Definiția grupului

Clasa a XII-a

www.meditatii.ro 1

Definiție • O mulțime nevidă G împreună cu o lege de compoziție *,

definită pe G, formează o structură numită grup dacă legea este – Asociativă

– Are element neutru

– Toate elementele din G sunt simetrizabile

• Dacă în plus legea este comutativă, atunci grupul se numeste comutativ (abelian)

• Elementul neutru al legii de compoziție se numește elementul neutru al grupului.

Gcbacbacba ,,,)*(**)*(

GaaaaG ,*11* a.i. 1

1** a.i. , aaaaGaGa

www.meditatii.ro 2

Exemple

1. Grupuri numerice:

(care sunt comutative)

2. este un grup comutativ.

este un grup necomutativ, unde

www.meditatii.ro 3

Observație

• Premergător noțiunii de grup, literatura de specialitate menționează structura de monoid.

• O mulțime nevidă M, împreună cu legea de compoziție *, definită pe M, se numește monoid dacă legea de compoziție este asociativă și are element neutru.

• Dacă legea de compoziție este și comutativă, monoidul se numește comutativ.

www.meditatii.ro 4

Exemple de monoizi 1.

sunt monoizi comutativi

2. este monoid necomutativ.

3.

este monoid necomutativ.

În aceste exemple, cel puțin un element al mulțimii este nesimetrizabil.

Putem defini grupul ca și ca un caz particular de monoid – în care toate elementele sunt simetrizabile.

www.meditatii.ro 5

Grupul claselor de resturi modulo n

Clasa a XII-a

www.meditatii.ro 6

Grupul claselor de resturi modulo n

• Fie fixat.

• Mulțimea

se numește clasă de resturi modulo n a numărului întreg x.

• Numele de clasă de resturi vine de la faptul că toate elementele mulțimii dau același rest ca și x la împărțirea cu n.

www.meditatii.ro 7

Grupul claselor de resturi modulo n

• Dacă r este restul împărțirii lui x la n, atunci, din teorema împărțirii cu rest avem:

• Prin urmare,

• Deci,

www.meditatii.ro 8

Grupul claselor de resturi modulo n

• Întrucât la împărțirea cu n sunt n resturi posibile, 0,1,2,...,n-1, deducem că printre clasele de resturi modulo n există n clase distincte două câte două:

www.meditatii.ro 9

Grupul claselor de resturi modulo n • Exemple:

• Pentru n=4 avem , unde

mulțimea claselor de resturi modulo 4.

• Convenim să desemnăm clasa oricărui număr întreg prin clasa restului său la împărțirea cu n

Dacă n=4: scriem în loc de , în loc de

www.meditatii.ro 10

Operații cu clase de resturi

• Pe mulțimea , introducem două legi de compoziție, numite sumă și produs (+,*), după cum urmează: dacă , atunci prin definiție

unde operațiile sunt definite pe .

• Exemplu:

În :

www.meditatii.ro 11

Consistența operațiilor

• Definițiile adunării și înmulțirii modulo n au consistență, adică, dacă alegem alți reprezentanți ai claselor

avem

www.meditatii.ro 12

Teoremă Dacă , atunci

1. este grup comutativ (numit grupul aditiv al claselor de resturi modulo n).

2. este monoid comutativ.

3. Mulțimea elementelor simetrizabile ale monoidului formează împreună cu înmulțirea claselor de resturi modulo n o structură de grup, numit grupul multiplicativ al claselor de resturi modulo n .

www.meditatii.ro 13

Grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității

Clasa a XII-a

www.meditatii.ro 14

Rădăcinile de ordin n ale unității

• Fie . Știm că ecuația are n rădăcini complexe:

• Dacă , și notăm cu

atunci

www.meditatii.ro 15

Teoremă Mulțimea Un formează în raport cu operația de

înmulțire a numerelor complexe o structură de grup comutativ, numit grupul rădăcinilor de ordinul n al unității.

Înmulțirea numerelor complexe este asociativă și

comutativă, deci este și peste Un. Dacă , atunci adică este simetrizabil, având simetricul

www.meditatii.ro 16

Grupul permutărilor de grad n

Clasa a XII-a

www.meditatii.ro 17

Permutări de grad n

• Reamintim că prin permutare de gradul n înțelegem o funcție bijectivă

• Mulțimea permutărilor de gradul n are n! elemente și se notează prin Sn. Pe Sn avem o lege de compoziție numită compunerea permutărilor (provenită de la compunerea funcțiilor bijective).

www.meditatii.ro 18

Teoremă

• Mulțimea Sn formează împreună cu operația de compunere a permutărilor o structură de grup, numit grupul permutărilor de gradul n (sau grupul simetric de ordinul n).

• Dacă , atunci Sn este un grup necomutativ.

www.meditatii.ro 19

Reguli de simplificare într-un grup

Clasa a XII-a

www.meditatii.ro 20

Teoremă

• Fie (G,*) un grup și x, y, z ∊ G. Avem următoarele reguli de simplificare:

• Demonstrație.

www.meditatii.ro 21

Observații

1) Regulile de simplificare sunt valabile într-un monoid numai dacă elementul x este simetrizabil.

De exemplu, în monoidul

2) Într-un grup orice ecuație de forma a*x=b sau x*a=b are soluție unică

www.meditatii.ro 22

Reguli de calcul într-un grup

Clasa a XII-a

www.meditatii.ro 23

Puterile întregi ale unui element

• Fie (G,*) un grup cu elementul neutru e, și

x ∊ G. Atunci definim puterea cu exponent 0 și puterea cu exponent pozitiv astfel

• Dacă , definim puterea cu exponent negativă astfel

adică simetricul elementului xn.

www.meditatii.ro 24

Teoremă

• Fie (G,*) un grup și x, y ∊ G. Atunci:

• Observație. Dacă (M,*) este un monoid, atunci putem defini numai puteri naturale ale elementelor.

www.meditatii.ro 25