Matematici speciale

Ecuatii liniare de ordin superior

Martie 2018

ii

“ Exista vreo motivatie mai buna decat succesul ? ”

Ion Tiriac

7Ecuatii liniare de ordin superior

Bungee jumping

Bungee jumping sau saritura cu coarda elastica este unul dintre cele maispectaculoase sporturi extreme, o sfidare a gravitatiei care necesita mult curaj,experienta si rezistenta. Practicantul sare de la o inaltime de zeci de metri, fiindasigurat cu o coarda elastica fixata de glezna.

1

Sa presupunem ca cel care dorestesa faca bungee jumping alege un podaflat la o distanta de 174 m de apa.Are legata de picioare o coarda culungimea 100 m. Consideram po-zitia pana unde ajunge coarda prinsade pod ca fiind 0 si masuram pozi-tia picioarelor in timpul sariturii prinintermediul functiei 𝑥(𝑡) care este ofunctie de timpul 𝑡. Evident in mo-mentul in care saritorul se afla pe podavem 𝑥(0) = −100. Distanta cresteatunci cand e in cadere si deci vitezaeste pozitiva iar atunci cand e tras in-apoi de coarda viteza este negativa. Sestie ca acceleratia gravitationala 𝑔 esteconstanta. Astfel ca forta care ii im-pinge in jos corpul are valoarea 𝑚𝑔.

Atunci cand sari de pe pod forta de rezistenta a aerului creste proportionalcu viteza ta si reprezinta o forta de sens opus miscarii tale, de valoare 𝛽𝑣, unde𝛽 este o constanta si 𝑣 este viteza miscarii tale.

Conform legii lui Hooke referitoare la actiunea resorturilor coarda de bungeeva exercita o forta asupra saritorului proportionala cu distanta parcursa dincolode lungimea naturala a corzii. Astfel forta cu care coarda te impinge inapoi sepoate exprima ca:

𝑏(𝑥) =

{︃0, daca 𝑥 ≤ 0,

−𝑘𝑥, daca 𝑥 > 0.

Numarul 𝑘 este constanta de elasticitate a corzii si reprezinta modul in carecoarda influenteaza ecuatia. E nevoie de o coarda cu o constanta 𝑘 suficientde mare care sa il opreasca pe cel care sare inainte de a atinge apa dar nudintr-odata pentru a nu-l vatama. Prin urmare esti interesat sa afli distanta lacare vei cadea dincolo de lungimea naturala a corzii ca functie de constanta deelasticitate a corzii.

Pentru a afla asta trebuie sa rezolvi ecuatia diferentiala obtinuta din celespuse mai sus. Forta 𝑚𝑥

′′care apasa asupra asupra corpului tau este data de:

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 + 𝑏(𝑥(𝑡)) − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

Aici 𝑚𝑔 este greutatea ta iar 𝑥′este viteza ta. Constanta 𝛽 a fortei de rezistenta

a aerului depinde de multi factori, incluzand hainele pe care le porti.Aceasta este o ecuatie neliniare dar ascunde doua ecuatii liniare in interiorul

ei. Cand 𝑥(𝑡0) < 0 ecuatia devine:

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

2

si dupa punctul unde lungimea naturala a corzii se termina avem ecuatia:

𝑚 · 𝑥′′(𝑡) = 𝑚 · 𝑔 − 𝑘 · 𝑥(𝑡) − 𝛽 · 𝑥′(𝑡)

Sa stii putina matematica este periculos !! Toata modelarea matematicade mai sus este doar o aproximare a situatiei reale. De exemplu, pre-supunerea ca forta de rezistenta a aerului este liniara se poate aplica doarvitezelor mici. Mai mult resorturile se pot comporta neliniar la oscilatiimari astfel ca legea lui Hooke este doar o aproximare. Nu-ti pune viatain pericol pentru o aproximare a unui tip care a trait acum 200 de ani !

Remarca:

3

Ecuatii liniare omogene cu coeficienti constanti:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 0

unde 𝑎𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑛.

Algoritm:∙ scriem polinomul caracteristic:

𝑝(𝜆) = 𝜆𝑛 + 𝑎1𝜆𝑛−1 . . . + 𝑎𝑛−1𝜆 + 𝑎𝑛

∙ aflam radacinile, reale sau complexe, ale ecuatiei caracteristice: 𝑝(𝜆) = 0.∙ pentru orice radacina obtinem un element al sistemului fundamental de

solutii, conform urmatorului tabel:

radacina solutia generata

𝜆 = 𝑎 𝑒𝑎𝑥

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 𝑎 𝑒𝑎𝑥, 𝑥𝑒𝑎𝑥, 𝑥2𝑒𝑎𝑥. . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝑎𝑥

𝜆 = 𝛼 + 𝛽𝑖, 𝜆 = 𝛼− 𝛽𝑖 𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥{︃𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 𝛼 + 𝛽𝑖

𝜆𝑘+1 = 𝜆𝑘+2 = . . . = 𝜆2𝑘 = 𝛼− 𝛽𝑖

{︃𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥 . . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝛼𝑥 sin𝛽𝑥

𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥, 𝑥𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥 . . . , 𝑥𝑘−1𝑒𝛼𝑥 cos𝛽𝑥

𝜆 = 0 1

𝜆1 = 𝜆2 = . . . = 𝜆𝑘 = 0 1, 𝑥, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘−1

∙ solutia generala a ecuatiei liniare omogene va fi:

𝑦(𝑥) = 𝐶1 · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2 · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛 · 𝑦𝑛(𝑥),

unde 𝑦1, 𝑦2, . . . , 𝑦𝑛 sunt cele 𝑛 solutii liniar independente ale sistemului funda-mental.

Ecuatii liniare neomogene cu coeficienti constanti:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 𝑓(𝑥)

Algoritm:∙ aflam solutia generala 𝑦(𝑥) a ecuatiei omogene atasate:

𝑦(𝑛) + 𝑎1𝑦(𝑛−1) + . . . + 𝑎𝑛−1𝑦

′ + 𝑎𝑛𝑦 = 0

4

∙ solutia generala a ecuatiei neomogene va fi:

𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥)

unde 𝑦𝑝(𝑥) este o solutie particulara a ecuatiei neomogene care poate fi aflatafolosind metoda variatiei constantelor:�

daca 𝑦(𝑥) = 𝐶1 · 𝑦1(𝑥) +𝐶2 · 𝑦2(𝑥) + . . .+𝐶𝑛 · 𝑦𝑛(𝑥) este o solutie generalaa ecuatiei omogene atasate cautam o solutie particulara de tipul:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝐶1(𝑥) · 𝑦1(𝑥) + 𝐶2(𝑥) · 𝑦2(𝑥) + . . . + 𝐶𝑛(𝑥) · 𝑦𝑛(𝑥)

�

aceste functii 𝐶1(𝑥), 𝐶2(𝑥), . . . , 𝐶𝑛(𝑥) se afla rezolvand sistemul liniar:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦′

1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦′

2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦′

𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦′′

1 + 𝐶′

2(𝑥) · 𝑦′′

2 + . . . + 𝐶′

𝑛(𝑥) · 𝑦′′

𝑛 = 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)1 + 𝐶

′

2(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)2 + . . . + 𝐶

′

𝑛(𝑥) · 𝑦(𝑛−2)𝑛 = 0

𝐶′

1(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)1 + 𝐶

′

2(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)2 + . . . + 𝐶

′

𝑛(𝑥) · 𝑦(𝑛−1)𝑛 = 𝑓(𝑥)

Cazuri particulare:

∙ pentru anumite forme particulare ale lui 𝑓(𝑥) obtinem indicii despre osolutie particulara 𝑦𝑝(𝑥) folosind regulile :

1. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑚(𝑥) unde 𝑃𝑚 este un polinom de grad 𝑚 si 𝛼 nu esteradacina a ecuatiei caracteristice, atunci:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑄𝑚(𝑥)

pentru 𝑄𝑚 un polinom de grad 𝑚 care trebuie determinat.2. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥𝑃𝑚(𝑥) si 𝛼 este o radacina multipla de ordin 𝑘 a ecuatiei

caracteristice, cautam:𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥𝑄𝑚(𝑥)

3. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑃𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 sin𝛽𝑥] si 𝛼 + 𝑖𝛽 nu este o radacinaa ecuatiei caracteristice, cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑅𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑆𝑚(𝑥) sin𝛽𝑥]

4. daca 𝑓(𝑥) = 𝑒𝛼𝑥 [𝑃𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑄𝑚 sin𝛽𝑥] si 𝛼 + 𝑖𝛽 este o radacinamultipla de ordin 𝑘 a ecuatiei caracteristice, cautam:

𝑦𝑝(𝑥) = 𝑥𝑘𝑒𝛼𝑥 [𝑅𝑚(𝑥) cos𝛽𝑥 + 𝑆𝑚(𝑥) sin𝛽𝑥]

5

Probleme rezolvate

Problema 1. Gasiti solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii liniare:

a) 𝑦𝑖𝑣 − 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0,

b) 𝑦′′′ − 6𝑦′′ + 12𝑦′ − 8𝑦 = 0,

c) 𝑦𝑖𝑣 + 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0.

Solutie: a) Pentru ecuatia omogena 𝑦𝑖𝑣 − 5𝑦′′ + 4𝑦 = 0 scriem ecuatiacaracteristica:

𝑟4 − 5𝑟2 + 4 = 0𝑟2=𝑡⇒ 𝑡2 − 5𝑡 + 4 = 0

⇒ (𝑡− 1) (𝑡− 4) = 0

astfel:

𝑟2 = 1, 𝑟2 = 4 ⇔𝑟1,2 = ±1, 𝑟3,4 = ±2.

Intrucat cele patru radacini sunt reale si distincte construim solutia generala aecuatiei de mai sus:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒2𝑥 + 𝑐4𝑒

−2𝑥.

b) Sa scriem ecuatia caracteristica atasata:

𝑟3 − 6𝑟2 + 12𝑟 − 8 = 0 ⇔ (𝑟 − 2)(︀𝑟2 − 4𝑟 + 4

)︀= 0

⇔ (𝑟 − 2)3

= 0.

Obtinem o radacina tripla care genereaza urmatoarea forma a solutiei generale:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑥𝑒

2𝑥 + 𝑐3𝑥2𝑒2𝑥

=(︀𝑐1 + 𝑐2𝑥 + 𝑐3𝑥

2)︀𝑒2𝑥.

c) Ecuatia caracteristica va fi:

𝑟4 + 5𝑟2 + 4 = 0𝑟2=𝑡⇒ 𝑡2 + 5𝑡 + 4 = 0

⇒ (𝑡 + 1) (𝑡 + 4) = 0

deci:

𝑟2 = −1, 𝑟2 = −4 ⇔𝑟1,2 = ±𝑖, 𝑟3,4 = ±2𝑖.

Radacinile sunt complexe si distincte si vor genera solutia:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1cos𝑥 + 𝑐2sin𝑥 + 𝑐3cos 2𝑥 + 𝑐4sin 2𝑥.

6

Problema 2. Gasiti formulele solutiilor generale ale urmatoarelor ecuatiiliniare neomogene:

a) 𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 3𝑒2𝑥,

b) 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥.

Solutie: a) Scriem ecuatia omogena atasata acestei probleme 𝑦′′−𝑦′−2𝑦 = 0care va avea ca ecuatie caracteristica:

𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇔(𝑟 − 2) (𝑟 + 1) = 0 ⇒ 𝑟1 = 2, 𝑟2 = −1.

Solutia generala a ecuatiei omogene va fi:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥.

Sa observam ca functia 𝑓 (𝑥) = 3𝑒2𝑥 are 𝛼 = 2 care e radacina pentru ecuatiacaracteristica (𝑟1 = 2) astfel suntem sfatuiti sa cautam solutii particulare deforma:

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑥1 · 𝑒2𝑥 · 𝑐.

Calculam:

𝑦′𝑝 (𝑥) = 𝑐 (1 + 2𝑥) 𝑒2𝑥,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 4𝑐 (1 + 𝑥) 𝑒2𝑥.

si substituim in ecuatia neomogena, pentru a obtine:

4𝑐 (1 + 𝑥) 𝑒2𝑥 − 𝑐 (1 + 2𝑥) 𝑒2𝑥 − 2𝑐𝑥𝑒2𝑥 = 3𝑒2𝑥 |: 𝑒2𝑥 ⇔

4𝑐 (1 + 𝑥) − 𝑐 (1 + 2𝑥) − 2𝑐𝑥 = 3

⇒ 𝑐 = 1 ⇒ 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑥𝑒2𝑥

In cele din urma putem afisa solutia generala a ecuatiei date:

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥)

= 𝑐1𝑒2𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑥𝑒2𝑥.

b) Ecuatia omogena 𝑦′′′ + 2𝑦′′ − 𝑦′ − 2𝑦 = 0 admite ecuatia caracteristica:

𝑟3 + 2𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0 ⇔ (𝑟 − 1) (𝑟 + 1) (𝑟 + 2) = 0

⇒ 𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = −2,

si solutia generala:𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒

𝑥 + 𝑐2𝑒−𝑥 + 𝑐3𝑒

−2𝑥.

Termenul care este responsabil de neomogenitate 𝑓 (𝑥) = 2+𝑒𝑥+sin𝑥 trebuiedescompus in:

2 + 𝑒𝑥 + sin𝑥

pentru a putea utiliza cazurile particulare studiate la inceputul acestei fise deseminar:

7

2 = 2 · 𝑒0·𝑥 ⇒ 𝛼 = 0

𝑒𝑥 = 𝑒1·𝑥 ⇒ 𝛼 = 1

sin𝑥 = 𝑒0·𝑥 sin (1 · 𝑥) ⇒ 𝛼 = 0 ± 1 · 𝑖.

Una dintre valori (𝛼 = 1) este si radacina a ecuatiei caracteristice, asadarsolutia particulara pe care trebuie sa o cautam va fi de forma:

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑎 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 + 𝛼 cos𝑥 + 𝛽 sin𝑥.

Calculam acum:

𝑦′𝑝 (𝑥) = 𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 − 𝛼 sin𝑥 + 𝛽 cos𝑥,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 2𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 − 𝛼 cos𝑥− 𝛽 sin𝑥,

𝑦′′′𝑝 (𝑥) = 3𝑐𝑒𝑥 + 𝑐𝑥𝑒𝑥 + 𝛼 sin𝑥− 𝛽 cos𝑥.

si inlocuim aceste rezultate in ecuatia neomogena pentru a obtine coeficientii:

𝑎 = −1 𝑐 =1

6, 𝛽 = −1

5, 𝛼 =

1

10,

care conduc la solutia particulara:

𝑦𝑝 (𝑥) = −1 +1

6𝑥𝑒𝑥 +

1

10cos𝑥− 1

5sin𝑥,

In final, solutia generala a problemei este:

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

= 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3𝑒−2𝑥 − 1 +

1

6𝑥𝑒𝑥 +

1

10cos𝑥− 1

5sin𝑥.

Problema 3. Rezolvati ecuatia Cauchy:⎧⎨⎩ 𝑦𝑖𝑣 − 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥

𝑦 (0) = 𝑦′ (0) = 𝑦′′ (0) = 𝑦′′′ (0) = 0

Solutie: Ecuatia caracteristica este:

𝑟4 − 1 = 0 ⇔(︀𝑟2 − 1

)︀ (︀𝑟2 + 1

)︀= 0 ⇔ (𝑟 − 1) (𝑟 + 1) (𝑟 − 𝑖) (𝑟 + 𝑖) = 0

deci:𝑟1 = 1, 𝑟2 = −1, 𝑟3 = 𝑖, 𝑟4 = −𝑖

vor genera solutia:

𝑦 (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3cos𝑥 + 𝑐4sin𝑥.

Pentru functia 𝑓 (𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 = 𝑒0·𝑥(︀𝑥3 + 𝑥

)︀evident 𝛼 = 0 nu este o

radacina a ecuatiei caracteristice, prin urmare:

𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑

8

Incepem sa calculam:𝑦′𝑝 (𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐,

𝑦′′𝑝 (𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏, 𝑦′′′𝑝 (𝑥) = 6𝑎, 𝑦𝑖𝑣 (𝑥) = 0.

pentru a le substitui in ecuatia neomeogena si a obtine:

𝑎 = −1, 𝑏 = 0, 𝑐 = −1, 𝑑 = 0

deci solutia particulara este:

𝑦𝑝 (𝑥) = −1 · 𝑥3 + 0 · 𝑥2 − 1 · 𝑥 + 0

= −𝑥3 − 𝑥.

iar solutia generala e:

𝑦 (𝑥) = 𝑦 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

= 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 cos𝑥 + 𝑐4 sin𝑥−𝑥3 − 𝑥.

Pentru a rezolva problema Cauchy trebuie sa folosim conditiile initiale pentrua afla constantele 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3, 𝑐4 :

𝑦 (0) = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3,

𝑦′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 − 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑐3 sin𝑥 + 𝑐4 cos𝑥− 3𝑥2 − 1 ⇒ 𝑦′ (0) = 𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐4 − 1,

𝑦′′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 + 𝑐2𝑒

−𝑥 − 𝑐3 cos𝑥− 𝑐4 sin𝑥− 6𝑥 ⇒ 𝑦′′ (0) = 𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3,

𝑦′′′ (𝑥) = 𝑐1𝑒𝑥 − 𝑐2𝑒

−𝑥 + 𝑐3 sin𝑥− 𝑐4 cos𝑥− 6 ⇒ 𝑦′′′ (0) = 𝑐1 − 𝑐2 − 𝑐4 − 6.

Folosind:𝑦 (0) = 𝑦′ (0) = 𝑦′′ (0) = 𝑦′′′ (0) = 0

se obtine: ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3 = 0

𝑐1 − 𝑐2 + 𝑐4 = 1

𝑐1 + 𝑐2 − 𝑐3 = 0

𝑐1 − 𝑐2 − 𝑐4 = 6

cu solutia:

𝑐1 =7

4, 𝑐2 = −7

4, 𝑐3 = 0, 𝑐4 = −5

2.

In concluzie, ecuatia Cauchy are solutia:

𝑦 (𝑥) =7

4𝑒𝑥 − 7

4𝑒−𝑥 − 5

2sin𝑥−𝑥3 − 𝑥,

sau echivalent:

𝑦 (𝑥) =7

2cosh𝑥− 5

2sin𝑥− 𝑥3 − 𝑥.

9

Probleme propuse

Problema 1. Aflati solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii liniare:

a) 64𝑦(8) + 48𝑦(6) + 12𝑦(4) + 𝑦(2) = 0,

b) 𝑦𝑖𝑣 − 3𝑦′′′ + 5𝑦′′ − 3𝑦′ + 4𝑦 = 0.

Problema 2. Aflati solutiile generale ale urmatoarelor ecuatii liniare neomo-gene cu coeficienti constanti:

a) 𝑦′′ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 1 + 𝑒𝑥 + 𝑒2𝑥,

b) 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑥𝑒𝑥 sin𝑥,

c) 𝑦𝑖𝑣 − 4𝑦′′ = 1,

d) 𝑦′′′ − 𝑦′′ = 𝑥.

f) 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥2𝑒𝑥

g) 𝑦′′ − 4𝑦 = 𝑒2𝑥(11 cos𝑥− 7 sin𝑥)

h) 𝑦′′ − 2𝑦′′ = 𝑒𝑥((4 − 4𝑥) cos𝑥− (6𝑥 + 2) sin𝑥)

i) 𝑦′′′ − 𝑦′′ + 𝑦′ − 𝑦 = cos𝑥

j) 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒3𝑥(𝑥2 + 𝑥)

k) 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 6𝑥2 − 10𝑥 + 2

10

Bibliografie

[1] Dennis. G. Zill. A First Course in Differential Equations with ModelingApplications, Brooks/Cole, 2013.

[2] Octavian Lipovan. Matematici speciale: Ecuatii diferentiale si teoria cam-purilor, Editura Politehnica, 2007.

11