aplicatii ale ecuatiei bernoulli (iii)

7/13/2019 Aplicatii Ale Ecuatiei Bernoulli (III)

1/44

Aplicaii

Aplicatii ale ecuatiei Bernoulli

Titlul aplicatieiIngineria proceselor in textile si pielarie I Nr.ore

28

Lucrri practice de laborator

L.1.Comportarea reologic a lichidelor. Modelul

Ostwaldde Waele

2

L.2.Rezistene hidrodinamice la curgerea fluidelor

prin conducte. Determinarea experimental acoeficientului de frecare i a coeficienilor de

rezisten local

2

L.3.Transfer de cldur global n regim staionar.

Determinarea experimental a coeficientului global

de transfer de cldur 2


2/44

Aplicaii numerice la curs

A.1.Notiuni introductive. Calcul tehnic, uniti de

msur i sisteme de uniti de msur, analizdimensional, bilanuri de materiale, bilanuri termice

2

A.2.Aplicaii ale ecuaiei fundamentale a hidrostaticii 2

A.3. Mrimi i relaii caracteristice n curgerea fluidelor 4

A.4.Aplicaii ale ecuaiei Bernoulli 4

A.5.Transfer de cldur prin conductivitate 2

A.6. Transfer global de cldur 4

A.7.Transfer de mas 4


3/44

Aplicatii din manalul:

Exerci t i i si prob leme de procese si aparate in tehno logia

chimicaautori K.F. Pavlov, P.G. Romankov si A.A. Noskov,Traducere din limba rusa dupa editia a 7-a prelucrata si

complectata, Editura TehnicaBucuresti.

Problemepag.86


4/44

Aplicaiiale ecuaieiBernoulli

II.2.4.3. Ecuatia de conservare a energiei pentru sis teme

macroscop ice (ecuat ia Bernoul l i)Curgerea unui fluid este cauzata de o forta care se

exercita asupra acestuia, ceea ce impl ica un consum de

energie.Acest consum de energie poate fi calculat dintr-un

bilant al energiilor care intervin la curgerea fluidului.

Bilantul energiilor pentru curgerea neizoterma aplicat

asupra unui volum de dimensiuni infinit mici conduce la o

ecuatie diferentiala foarte complicata denumita ecuatia

energiei.

Pentru cazul mai simplu al curgerii printr-un sistem

macroscopic ecuatia care exprima conservarea energiei este

mai simpla si se numeste Ecuatia Bernoul l i .


5/44

a) Pentru f lu ide necompresib i le in cu rgere izoterma,

=constant,si deci volumul specific: Vs=1/, este

independent de presiune. In acast caz:

In relatia de mai sus semificatia marimilor este urmatoarea :

- LM- lucrul mecanic consumat in sisem;

- g - este constanta acceleratiei gravitationale;

- H1si H2- inaltimile geomertice , in m;

- v1si v2 - vitezele medii in sectiunile de intrare si deiesire din sistem;

- P1si P2- presinile statice in sectiunile de intrare si de

iesire din sistem;

p12212212M EPPvv2

1HHgL


6/44

- - densitatea fluidului din sistem;

- Ep- energia perduta in sistem ca rezultat al fercarilor si a

rezistentelor locale.

In ecuatia de mai sus fiecare termen are

dimensiunea unei energii raportata la unitatea de masa:

Ecuatia lui Bernoulli in forma data de relatia

anterioara poate fi interpretata astfel: lucrul mecanic de

exterior este folosit pentru:

- cresterea energiei potentiale a fluidului,

exprimata prin termenul,

kgJ

kg

mN

kgs

mmkg

ms

m

gH 22SI

ML


7/44

)HH(g 12

- cresterea energiei cin et ice a fluidulu i,exprimata

prin termenul,

- inv ingerea eventualelor diferente de presiune

stat icain t re sect iuni le sis temului,

-acoperirea pierderi lor de energie determinate def recari si de inert ie,

2122 vv2

1

12 PP

pE


8/44

In calculele ingineresti ecuatia Bernoulli se utilizeaza si

in alte forme:

- ecuatia Bernou l l i in termeni de presiuni:

p12212212TM EPPvv2

1HHgPL

in care fiecare termen aredimensiuni le unei presiuni:Intr-o forma mai restransa:

32 m

J

m

N

psdgT PPPPP

-ecuatia lui Bernou l l i in termeni de inalt im i. Se obtine prin

impartirea ecuatiei exprimata in presiuni la g:

g

E

g

PPvv

g2

1HHH

L p1221

2

212MM


9/44

Raportul se numeste inal t imea manometr ica a

s is temulu i, si reprezinta ca semnificatie fizica, inaltimea unei

coloane de lichid a carei energie potentiala, gHM, este egalacu energia mecanica, LM, consumata pentru transportul in

sistemul dat a unitatii de masa de fluid. Semnificatia

marimilor este urmatoarea :

MM Hg

L

)inaltimedetermeniinenergiedepierderile(g

EH

)staticainaltimea(gPPH

)dinamicainaltimea(vvg2

1H

)geometricainaltimea(HHH

p

p

12s

2

1

2

2d

12g


10/44

b) Pentru f luide compresibi le (gaze) in curgere izoterma,

densitatea si deci volumul specific depind de presiune.

Dependenta de presiune a volumului specific se obtine

din ecuatia de stare a fluidului. Pentru gaze la presiunimoderate ecuatia de stare rezulta din legea gazelor perfecte

p122

1

2

212M

1

2

P

P

P

P

s

s

EP

P

lnM

RT

vv2

1

HHgL

P

Pln

M

RT

P

dP

M

RTdPV

MP

RTV

M

RTP

M

RT

V

mPnRTPV

2

1

2

1


11/44

II.2.4.3.1. Ap licati i ale ecuatiei Bernou ll i

Ecuatia Bernoulli are numeroase aplicatii ingineresti.Una dintre aplicatii consta in utilizarea valorii lucrului

mecanic, LM, necesar transportului unitatii de masa de fluid

intr-un sistem datdeterminat din ecuatia Bernoullipentru

calculul puterii necesare motoarelor ce actioneaza utilajele

de transport (pompe, ventilatoare, suflante etc.).Produsul dintre lucrul mecanic, LM, si debitul masic de

fluid, Mm, da tocmai puterea teoretica. Tinand cont de

randamentul global (to tal) al instalatiei de transpor t, t,

puterea necesara va fi data de relatia:

t

Tv

t

mv

t

mm

t

Mm

1000

PM

1000

gHM

1000

gHM

1000

LMP


12/44

II.2.5.3.1. Rezistente hidrodinamice la curgerea in

conducte

In functie de natura lor, rezistentele hidrodinamice se

clasifica in rezistente de frecare cauzate numai de

frecarile in portiunile drepte ale conductei si rezistente

locale cauzate de actiunea simultana a frecarilor si

inertiei in armaturi si in alte elemente ale conductei.

II.2.5.3.1.1. Rezistente determ inate de frecari

Rezistentele de frecare sunt calculate pentruportiunile drepte ale conductei fiind denumite rezistente

l iniare.Exprimarea cantitativa a acestor rezistente se face

de obicei prin caderea de presiune, P.


13/44

Caderea de presiune intr-o conducta determinata de

frecari se calculeaza cu relatia :

2

v

d

LP

2

f


14/44

in care :

-Pf- este caderea de presiune determinata de

frecari;

- - coeficientul de frecare in conducta;- L - lungimea conductei;

- d - diamedrul conductei;

- - densitaea fluidului;

- v - viteza medie a fluidului.

Factorul este adimensional si se numeste coefic ient

de rezisten ta determin at de frecari, fiind notat cu f

d

L

2

vP

2

ff


15/44

Coeficientul de frecare este o functie de intensitatea curgerii

caracterizata prin valoarea lui Reynolds cat si de

rug ozitatea relat iva a conduc tei, .

unde:

Rugozitatea relativa este data de raportul dintre rugozitateaabsoluta, e, si diametrul interior al conductei, d. Criteriul Re

indica inf luenta frecari lor interne iar rugozitatea relativa

indica inf luenta fercari lor cu pereteleconducte i.

d

e

Re,f


16/44

In regim laminar nu depinde de rugozitate ci numai de Re. In

regim puternic turbulent fortele vascoase sunt neglijabile si

depinde numai de rugozitatea relativa si nu depinde de Re

(regim sau domeniu de automodelare).Pentru regimul laminar expresia pentru coeficientul de

fracare se stabileste utilizand relatia Fanning-Darcy si relatia

care da viteza medie in curgerea laminara din care rezulta:

Pentru regimul intermediar si cel turbulent se folosec grafice

de forma celor prezentate in figura de mai jos:

Re64

vd64


17/44


18/44

II.2.5.3.1.2.Rezistente lo cale

Rezistentele localedetermina caderi de presiune prin

frecari si inertie si sunt date de:elementele de legatu ra intreport iuni le drepte ale conductei (cotur i , reducti i , teuri ,

ramificati i , etc), de elementele de reglare a curgeri i

(robinete, vane, etc), de elementele de masurare a

parametri lor flu idu lui (diafragme, ro tametre, etc) si de alte

elemente ce pot f i intalni te pe un tr aseu de curgere.

Caderea de presiune determinata de rezistentele locale

se pot calcula prin doua metode:

- metoda coefic ient i lor de rezistenta locala (metodamai exacta);

- metoda lungim i lor echivalente (mai putin exacta).


19/44

a) metoda coefic ient i lor de rezistenta locala

Daca pe un traseu de curgere sunt n rezistente locale:

2

vP

2

rl

2

vP

2n

1i

irl

Coeficientii de rezistenta locala se determina experimental si

sunt tabelati in literatura de specialitate.

b) metoda lungim i lor echivalente

Aceasta metoda foloseste relatia Fann ing -Darcyin

care lungimea conductei este inlocuita cu lungimea

echivalenta a rezistentei locale, Le.


20/44

2

v

d

LP

2

erl

dkL rle Lungimea echivalenta se exprima in functie de diametrul

conductei. Coeficientul krleste tabelat pentru diverse tipuri de

rezistenta locala.

Caderea totala de presiune Pp va fi egala cu suma

Pf+Prl.

2

v

d

LLP

2

v

d

LP

2

ep

2

ip


21/44

38. Un lichid cu densitatea relativa 0,9 intra prin curgere

libera dintr-un vas deschis, situat la inaltime, intr-o

coloana de rectificare (fig. 1-25). Presiunea din coloana de

rectificare, citita la un manometru (at), este 0,4 kgf/cm2. La

ce inaltime x trebuie sa fie nivelul lichidului in vasul de

alimentare fata de locul de intrare in coloana, pentru ca

vitetza lichidului din teava sa fie 2 m/s ? Pierderea de

presiune prin frecare si rezistente locale corespunde la2,5 m (se utilizeaza ecuatia Bernoulli).

sau:

p12212212M EPP

vv

2

1HHgL

p12

2

1

2

212

M Hg

PP

g2

vv)HH(

g

L


22/44

Prin conventie se considera ca fluidul curge intotdeauna

dinspre sectiunea S1spre sectiunea S2.

Daca lichidul curge liber LM= 0

V1 este viteza in sectiunea de sus care este mult mai mare

decat sectiunea S2, care este sectiunea la intrearea lichidului

in coloana. Deci v1


23/44

prin urmare:

m14,75,281,9900

1081,94,0

81,92

25,281,9900

1081,9)14,1(

g2

vx4242


24/44

39. O solutie de 86 % glicerina se scurge din rezervorul 1

in aparatul 2 prin teava cu diametrul 29 x 2 mm. Diferenta

de nivel intre aparate este 10 m , lungimea totala a

conductei 110 m. Sa se determine debitul solutiei, dacadensitatea relativa este 1,23 iar vascozitatea 97 cP.

Rezistentele locale se neglijeaza. Regimul de curgere se

considera laminar (cu verificare ulterioara). Nivelul solutiei

in rezervor se considera constant.

H=H1-H2=10 m

(S1)

(S2)

Se aplica ecuatia Bernoulli intre

sectiunile (S1) si (S2) in termeni

de inatimi;

p12

2

1

2

212

M Hg

PP

g2

vv)HH(

g

L


25/44

Deoarece lichidul curge liber intre cele doua sectiuni LM= 0.

Prin conventie lichidul curge dinspre (S1) spre (S2) si

ecuatia Bernoulli se scrie astfel :

p2

12 Hg2

vHH0

v1

=0 (viteza in sectiunea S1

care se poate neglija );

v2= v (viteza in sectiunea S2 care este tocmai sectiunea

conductei);

)1(Hg2

vH p

2

)2(4

dvSvMM

2

vm


26/44

Din relatia (1) se calculeaza viteza medie in conducta :

0Hgd

vL32

g2

v2

2

in care:

gdvL32

g2v

dL

dv64

g2v

dLH

2

22

p

010v275,45v05096,0 2

s/m22,005096,02

1005096,04)275,45(275,45v

2

2,1


27/44

Se verifica Re:

arminlaregimulverificase7,691097

22,010251230vd

Re 3

3

Iar din relatia (2) se calculeaza debitul masic de lichid:

min/l47,6Mv

601000100788,1s/m100788,11230

1327,0M

M

:respectiv

h/kg94,477s/kg1327,0M

4)1025(14,322,01230

4dvSvMM

434m

v

m

232

vm


28/44

40.20 t/h clorbenzen la 45 oC se pompeaza din rectorul (1)

in rezervorul deschis (2). In reactor, deasupra lichidului,

se mentine o depresiune de 200 mm Hg (fig. 1-27).

Conducta este din teava de otel cu coroziuneaneinsemnata, cu diametrul 76 x 4 mm, lungimea totala

fiind de 26,6 m. Pe conducta se gasesc doua ventile, o

diafragma (do=48 mm) si cinci coturi de 90o (Ro/d=3).

Clorbenzenul se transporta (se pompeaza) la inaltimeaH=15 m. Sa se gaseasca puterea necesara pompei ,

considerand randamentul total al instalatiei de pompare

egal cu 0,7.

t

tv

t

Mv

t

Mm

1000pM

1000HgM

1000HgMP

212g m/N1570091581,91067HHgp


29/44

unde:

V1= 0 ; iar v2= v (viteza din conducta) care se calculeaza din

ecuatia debitului masic:

35

m/kg1067)45101241(1130t)(1

4

dvM

2

m

din care:

s/m43,1)1068(14,310673600

10204

d

M4v

23

3

2

m

2

22

d m/N9,1090243,11067

2vp

2

12s m/N746483,133)200760(PPp


30/44

2

v

d

L

2

v

2

v

d

Lppp

2

i

2

i

2

rlfp

Se calculeaza =f(Re, ) unde :

172925106,0

106843,11067dvRe

3

3

Unde: (nomograma la pag.640)

Pentru conducta de otel la coroziune neinsemnata e = 0,2

mm (pag.604 tab.XI)

Din fig.de la pag. 41, pentru d/e=68/0,2 =340 si pentru Re =172925 rezulta = 0,026.

Lungimea totala a conductei este data fiind de 26,6 m.

23

45 m/sN106,0cP6,0

C0


31/44

Se scot din tabele coeficientii de rezistenta itinand cont de tipurile de rezistenta locala (pag. 605, Tab.XII).

Pe conducta se gasesc urmtoarele rezistente locale:

- doua ventile normale;- o diafragma cu do= 48 mm;

-5 coturi de 90 o, cu Ro/d =3

-- Pentru ventil normal vn se ia in functie de diametrul interior(pag. 607):

-pentru d=68 mm prin interpoare se obtine

-d=40 mm .....................68 mm..................................d=80 mm

-=4,9 ......................... x =4,27 ................................=4,0

-deci: vn= 4,27


32/44

- pentru diafragma se calculeaza parametrul

498,06848

Ddm

22

o

pentru: 5,0m

d= 4

pentru coturi de 90

o

pentru care Ro/d = 3 avem :

212,0122,009,0:deci

3d

R:unde

122,0360

90314,32026,0

d360

R2

d

L

:iar

09,009,01BA:unde

t

'

c

o

ocot

t

'

t

'

c


33/44

Si: 6,13212,05427,42512 cdvni

Deci :

2

3

d3

2

ip

m/N3,259319,10906,131068

6,26026,0

p6,131068

6,26026,0

2

v

d

Lp

Prin umare:


34/44

2

p12

2

12t

m/N2,2586793,25931746489,1090157009

pPP2

v)HH(gp

Kw92,17,0100010673600

2,2586791020

1000

pM

1000

HgM

1000

HgMP

3

t

tv

t

Mv

t

Mm


35/44

46. Sa se determine puterea necesara pentru a

transporta 6 m3/h solutie refrigrenta (solutie 25 % CaCl2)

din instalatia de racire in condensatorul asezatdeasupra coloanei de rectificare. Inaltimea de ridicare

este 16 m; vascozitatea solutiei este 9,5 cP, densitatea

1200 kg/m3; diametrul conductei de otel este 32 x 2,5

mm, iar lungimea totala 80 m. Conducta de otel are o

coroziune neinsemnata. Pe conducta sunt sase coturi

de 90 o (Ro/D=4) si patru ventile Randamentul total al

pompei electromotorului se considera 0,5.

unde: t

tv

1000

pM

P

p122

t pPP

2

vHgp


36/44

2

g m/N1883521681,91200Hgp

Pentru a calcula pdse determina viteza medie din ecuatiadebitului volumic:

s/m91,2

10273600

64

d

M4v:undede

4

dvSvM

232

v2

v

si deci :

222

d m/N8,50802

91,21200

2

vp

aatmosfericpresiuneaPP:deoarece0PPp 2112s

2

v

d

Lp

2

ip


37/44

se determina in functie de Re si de din graficul de la pag. 41.

e = 0,2 pentru coroziune neinsemnata si deci d/e=27/0,2=135

Se calculeaza Re:

6,9924105,9

102791,21200dvRe

3

3

Din graficul de la pag. 41 rezulta =0,038

Pentru rezustentele locale avem:

- sase coturi de 90 o (si Ro/D=4);

- patru ventile normale

Pentru coeficientii de rezistenta locala se folosesc tabelele de

la pag.605


38/44

pentru coturi:

839,0749,009,0

749,04

42038,0d

R2038,0

d

L

09,009,01BA':carein

c

oct

t

'

c

pentru ventile normale cu diametrul 27 mm:

- prin interpolare

d =20 mm.................d=27mm...................................d=40mm= 8 ........................x.=6,91...................................... =4,9

v=6,91


39/44

Deci:

2

p

3

2

ip

m/N5,738070p

8,508091,64839,061027

80038,0

2

v

d

Lp

Si deci :

2

t

p12

2

t

m/N3,931503p

5,7380708,5080188352pPP2

vHgp

Deci:

kw1,35,010003600

3,9315036

1000

pMP

t

tv


40/44

47.Printr-o conducta orizontala se pompeaza un lichid.

De cate ori se mareste consumul de energie necesar

transportului, daca prin aceeasi teava trece o cantitate

dubla de lichid ? Coeficientul de ferecare se consideraconstant, iar 0p st

2

v

d

L1p

2

vp

2

v

d

L1

2

v

d

L

2

vp

2

vp

2

2

1

2

2

22t

2

1

1

2

1

1

2

11

2

11t

2

1

2

212

1

2

1v

2v v4v:undedev2v:carezultaSv

Sv2

M

M


41/44

8

v

v42

v

v2

2v

dL1

2

v

d

L1

2

pM

pM

P

P2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

1

2

2

1

1t1v

2t2v

1

2


42/44

49. Dintr-un rau se pompeaza cu o pompa apa la 10 oC

intr-un rezervor deschis. Nivelul apei in rezervor este in

medie cu 50 m deasupra nivelului apei din rau. Conducta

are diametrul 80 mm, iar lungimea ei calculata (lungimeainitiala plus lungimea echivalenta pentru coturi, ventile

etc.) este 165 m. Pompa debiteaza 575 l/min. Care este

puterea consumata de pompa , daca radamentul

instalatiei de pompare este 0,55 ?

t

tv

1000

pMP

in care:

212t m/N4905005081,91000HHgp

4

d

vSvM:carein2

v

p

2

v

2

d


43/44

de unde:

s/m90,1)1080(14,360

105754

d

M4v

23

3

2

v

cu care se calculeaza pd:

222

d m/N18052

90,11000

2

v

p

0PPp 12s

5,116030

1031,1

10809,11000dvRe

pd

LL

2

v

d

LLp

3

3

d

e

2

e

p


44/44

4002,0

80

e

d

s-a considerat coroziunea conductei

neinsemnata (pag. 604)

din graficul de la pag. 41 gasim = 0,033

23d

ep m/N8,7384710851080165033,0p

d

LLp

deci:

2

t m/N8,5661528,738471805490500p

Kw86,955,0100060

8,56615210575

1000

pMP

3

t

tv

aplicatii ale ecuatiei bernoulli (iii)

Documents