() n ()( )( ) - mec.upt.ro · se consideră funcţiile trigonometrice y =sin(x) şi u =sin(x +3π4)...

12. ANEXE

Redăm convenţiile utilizate în redactarea exemplelor din această anexă:

• Click : apăsarea butonului stânga al mouse-lui; • Courier Font: vizualizare display; • Arial Font: intrările utilizatorului în MATLAB • ARIAL Bold: funcţii MATLAB • Times Bold Italic: termeni importanţi, nume de fişier.

12.1. Anexa 1. Calculul rădăcinilor pentru o ecuaţie polinomială Forma polinomială de ordinul “n” se poate exprima pe baza rădăcinilor

nssss ....,,,, 321 ale ecuaţiei, sub forma

( )( ) ( ) ( )nn

nn

nn

ssssssaasasasasasf

−−⋅−⋅=

=+++++= −−

..........

21

012

21

1 ( 12.1)

Ecuaţia polinomială de gradul 2 are forma generală:

02 =++ cbsas ( 12.2)

cu rădăcinile:

aacbbs

242

2,1−±−

= ( 12.3)

şi astfel forma polinomială se poate exprima:

( )( )212 ssssacbsas −−⋅=++ ( 12.4)

Ecuaţia polinomială de gradul 3 are forma generală:

( ) 023 =+++= cbsasssf ( 12.5)

Dacă coeficienţii ecuaţiei sunt valori întregi, una din metodele de determinare a rădăcinilor este metoda divizorilor termenului liber.

12.1 - Anexa 1. Calculul rădăcinilor pentru o ecuaţie polinomială

334

12.1.1. Exemplu de calcul

( ) 012198 23 =−+−= ssssf ( 12.6)

Divizorii termenului liber sunt: 12,6,4,3,2,1 ±±±±±± .

Prin verificare se obţin cele trei rădăcini: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

431

3

2

1

sss

şi forma de exprimare pe baza rădăcinilor este:

( ) ( )( )( ) 043112198 23 =−−−=−+−= sssssssf ( 12.7)

Pentru ecuaţii polinomiale de grad ≥ 3 cu coeficienţi întregi sau zecimali, se pot utiliza metodele iterative: metoda Newton, metoda bisecţiei, metoda Muller etc.

Metoda bisecţiei are următoarea procedură: 1) Se determină prezenţa unui zero al funcţiei f(s) cuprins între valorile “a” şi ”b”; 2) Se împarte intervalul [a, b] în două părţi egale, după care se testează în care

jumătate de interval se află rădăcina ş.a.m.d. 3) Se estimează valoarea rădăcinei şi se determină polinomul de ordin inferior

pentru care se repetă metoda pornind de la pct.1.

12.1.2. Exemplu

( ) 0662.221.12.2 23 =−−+= ssssf 1) Se determină că funcţia polinomială, în punctele 01 =x şi 22 =x , are valorile:

( )0298.9)2(0662.20

>=<−=

ff

( 12.8)

2) Intervalul [0,2] se divide în intervalele:[0,1] şi [1,2] pentru care se verifică uşor că 0672.0)1( <−=f . Rezultă că rădăcina se află în intervalul [1,2].

1

20

s

f(s)

Fig. 12.1 Metoda bisecţiei

Se repetă operaţia de la pct.2 pentru intervalele înjumătăţite: [1, 1.5]; [1, 1.25]; [1, 1.125]; [1, 1.0625]. Pentru ultimul interval rezultă inegalităţile (12.9). Rezultă că rădăcina se află în intervalul [1.0625, 1.125]. Se continuă aplicarea metodei de înjumăţăţire a intervalului găsind în final rădăcina 1.11 =s .

ANEXE - 12 335

( )

01849.0)125.1(02645.0)0625.1(

0672.01

>=<−=

<−=

fff

( 12.9)

3) Se împarte funcţia polinomială )(sf prin ( ) ( )1.11 −=− sss şi se determină trinomul care va da celelalte două rădăcini.

În MATLAB, un polinom )(xp se poate reprezenta printr-un matrice cu singură

linie [ ]0121 ..... aaaaa nn − a cărei termeni sunt coeficienţii polinomiali în ordine descendentă. Se introduc toţi coeficienţii şi acei coeficienţi de valoare zero. Rădăcinile ecuaţiei polinomiale 0)( =xp se pot determina cu ajutorul funcţiei roots(p). .


Se consideră polinomul

2040358)( 2341 +−+−= xxxxxp ( 12.10)

şi se cere să se determine rădăcinile ecuaţiei polinomiale 0)(1 =xp . Fişierul radacina.m scoate în evidenţă modul de redactare a fişierului de lucru şi rezultatul obţinut exprimat prin variabila radacina_p1.

Fig. 12.2 Fişierul radacina.m

Fig. 12.3 Rezultatul obţinut

Ecuaţia polinomială a fost de gradul patru, iar rădăcinile sunt complexe.

12.2 - Anexa 2. Construcţia funcţiei polinomiale şi evaluarea acesteia pentru o valoare specificată

336

12.2. Anexa 2. Construcţia funcţiei polinomiale şi evaluarea acesteia pentru o valoare specificată

Pornind de la rădăcinile cunoscute ale ecuaţiei polinomiale 0)( =xp se poate determina funcţia polinomială )(xp . Se utilizează funcţia poly(r) unde r matricea liniară conţinând rădăcinile cunoscute.


Se consideră cunoscute rădăcinile unei ecuaţii polinomiale: 11 =x , 22 =x , 43 =x şi 64 =x . Se cere să se determine coeficienţii polinomiali. Având 4 rădăcini estimăm un polinom de gradul 4. polinom_3 este matricea care

va reda coeficienţii polionomiali.

Fig. 12.4 Fişierul polinom_3

Fig. 12.5 Rezultatul obţinut

Evaluarea unei funcţii polinomiale )(xp pentru o valoare particulară 0xx = se poate realiza prin apelarea funcţiei polyval (p,x).


Fiind dată funcţia polinomială 342546)( 2457 +−+−= xxxxxp se cere să se determine valoarea funcţiei pentru 12.3−=x

Valoarea funcţiei polinomiale este val_p5. Fişierul de lucru şi rezultatul obţinut

sunt prezentate în figura 12.6.

ANEXE - 12 337

Fig. 12.6 Fişierul de lucru şi rezultatul obţinut

12.3. Anexa 3. Alte operaţii cu funcţii polinomiale • Cunoscând două polinoame )(xp şi )(xq se urmăreşte determinarea

polinomului )()()( xqxpxr ⋅= . Funcţia utilizată este conv(p,q); • Cunoscând două polinoame )(xp şi )(xq se urmăreşte determinarea împărţirii

acestora )()(

xqxp

. Funcţia utilizată este [m,r]=deconv(p,d). Se vor vizualiza

câtul împărţirii şi eventualul rest prin matricile coeficienţilor polinomiali.


Fiind date polinoamele 1252)( 23 −+−= xxxxp şi

1252)( 34 −+−= xxxxq se cere să se determine )()()( xqxpxr ⋅= . Cele două polinoame se reprezintă, pe baza coeficienţilor polinomiali, prin două

matrici corespunzătoare iar rezultatul înmulţirii prin coeficienţii polinomiali obţinuti.

Fig. 12.7 Fişierul şi rezultatul înmulţirii a două polinoame

Polinomul )(xr obţinut prin înmulţirea celor două polinoame este:

12.4 - Anexa 1.4. Grafice în Matlab

338

1442461312727204)( 234567 +−++−+−= xxxxxxxxr ( 12.11)


Se dau polinoamele 1252)( 25 −+−= xxxxp şi 1252)( 34 −+−= xxxxq . Se cere să se determine rezultatul împărţirii celor două polinoame.

Din analiza celor două polinoame se observă că [ ] 5)(gr =xp şi [ ] 4)(gr =xq . Se

deduce că prin împărţirea celor două polinoame se va obţine un polinom cât cu [ ] [ ] [ ] 145)(gr)(gr)(gr =−=−= xqxpxm şi un polinom rest cu gradul 4)(gr <xr .

Fig. 12.8 Fişierul utilizat şi rezultatul împărţirii polinomiale

Rezultatul împărţirii celor două polnioame este:

1252185.1065.125.2

12521252

)()(

34

23

34

25

−+−

++−++=

−+−

−+−=

xxxxxxx

xxxxxx

xqxp

( 12.12)

12.4. Anexa 1.4. Grafice în Matlab

12.4.1. Reprezentarea grafică pe baza valorilor tabelare

Pentru a reprezenta grafic o dependenţă valorică )(xyy = dată tabelar se utilizează comanda plot (x, y). Pentru o reprezentare logaritmică:

• pe o singură axă – se utilizează comanda semilogx (x,y) sau semilogy (x,y);

• pe ambele axe – se utilizează comanda loglog(x,y). Este util adeseori să utilizăm pentru axa „x” o scală logaritmică iar pentru axa „y” o scală în dB (decibeli). În acest scop se introduce în fisierul editat

ANEXE - 12 339

relaţia )(10log*20 ydB = iar comanda utilizată pentru reprezentarea grafică va deveni semilogx (x,dB).

Pentru reprezentarea caroiajului se utilizează comanda grid on.

12.4.1.1. Exemplu de calcul

Un circuit serie RLC are impedanţa 22 )1(C

LRZω

ω −+= . Valoarea

pulsaţiei, fπω 2= , depinde de valoarea frecvenţei de alimentare a circuitului. Tabelul A.1

Graficul obţinut este reprezentat în figura 12.9. Fişierul scris pentru realizarea reprezentării grafice în varianta logaritmică este prezentat în figura 12.10.

Fig. 12.9 Reprezentarea logaritmică (axa ω) a dependenţei )(ω= ZZ

]/[ sradω ][ohmZ ]/[ sradω ][ohmZ ]/[ sradω ][ohmZ

100 140.7160 1200 100.0672 2300 101.7246 200 110.9234 1300 100.1408 2400 101.9478 300 104.4993 1400 100.2348 2500 102.1812 400 102.1812 1500 100.3466 2600 102.4246 500 101.1187 1600 100.4742 2700 102.6777 600 100.5673 1700 100.6161 2800 102.9405 700 100.2651 1800 100.7713 2900 103.2128 800 100.1012 1900 100.9391 3000 103.4945 900 100.0223 2000 101.1187 3100 103.7854

1000 100.0000 2100 101.3098 3200 104.0854 1100 100.0182 2200 101.5119 3300 104.3944

12.4 - Anexa 1.4. Grafice în Matlab

340

Fig. 12.10 Fişierul utilizat pentru reprezentare logaritmică pe o axă

12.4.2. Reprezentarea grafică pe baza funcţiei matematice descrisă analitic

Pentru reprezentarea grafică a unei funcţii )(xfy = exista posibilitatea utilizării mai multor variante de lucru:

• se specifică punctul origine, punctul final şi numărul de valori intermediare între cele două extreme; Linia din fişier are forma:

linspace(valoare_ini, valoare_fin, nr_val)

• se specifică valoarea iniţială a variabilei inx , incrementul xΔ şi ultima valoare a variabilei finx ; In acest caz linia din fişier are expresia:

x = origine: increment: final • în unele reprezentări este necesară specificarea tipul de linie, culoare

etc. În acest caz comanda de lucru este plot(x,y,s). Parametrul s este un caracter care se alege din tabelul A.2.

Tabelul A.2 Simbol Culoare Simbol Marcher Simbol Linie

b albastru . Punct - Linie continuă g verde � Cerc : Linie punctată r roşu + Plus -. Linie punct y galben * Stea _ Linie întreruptă k negru p Pentagon w alb h Hexagon

• reprezentarea grafică în spaţiul 3D apelează la comanda plot3(x,y,z) unde x,y,z sunt trei vectori de aceeaşi lungime. Formatul general este plot3(x1,y1,z1,s1, x2,y2,z2,s2,x3,y3,z3,s3,.....) unde xn, yn şi zn sunt vectori de acceaşi lungime iar sn specifică simbolul culorii, liniei sau a marcărului.

ANEXE - 12 341

12.4.2.1. Exemplu de calcul

Se consideră funcţiile trigonometrice )sin( xy = şi )43sin( π+= xu pentru

care se doreşte reprezentarea în intervalul [ ]π,0∈x prin utilizarea a 30 puncte de reprezentat. Fişierul scris este prezentat în fig. 12.11 iar graficele obţinute în fig.12.12.

Fig. 12.11 Fişierul utilizat pentru reprezentare

Fig. 12.12 Reprezentarea grafică a a unei funcţii matematice

12.5. Anexa 1.5. Algebra numerelor complexe În limbajul matematic, radicalul de ordinul doi din minus unu este notat cu i:

1−=i ( 12.13)

În domeniul electric se utilizează adeseori notaţia j pentru a face distincţie de valoarea momentană a curentului.

12.5 - Anexa 1.5. Algebra numerelor complexe

342

Esenţial, j este un operator care produce o rotaţie cu 900 în sens invers acelor de ceasornic a oricărui vector care este înmulţit cu acest operator (fig 12.13).

x

y

A

jA

Fig. 12.13 Operatorul j

Ca o corelaţie de lucru cu acest operator, axa x (abscisa) o vom denumi axa reală iar axa y (ordonata) – axa imaginară.

Numărul imaginar este reprezentat prin produsul unui număr real y cu operatorul j. Numărul complex este reprezentat prin suma dintre un număr real x şi un număr imaginar:

( )bajbaz ,=+= ( 12.14)

Referindu-ne la numărul complex vom spune că: a este partea reală a numărului complex, adică }Re{za = iar b este partea imaginară, adică }{Im zb = .

jba +

θ

x

y

|z|

a

jb

Fig. 12.14 Numărul complex z

Fiind date două numere complexe jbaA += şi jdcB += suma celor două numere este:

)( dbjcaBA +++=+ ( 12.15)

iar diferenţa lor:

)()( dbjcaBA −+−=− ( 12.16)

ANEXE - 12 343


Sunt date numerele complexe 75 jA += şi 83 jB −= pentru care se cere să se determine BA+ şi respectiv BA− .

jjjBA −=−++=+ 88375

152)87()35()83()75( jjjjbA +=++−=−−+=−

Pentru multiplicarea a două numere complexe se ţine cont că 12 −=i . Fiind date două numere complexe jbaA += şi jdcB += , produsul acestora este:

( ) ( ) ( )( )adbcjbdac

bdjadbcjacjdcjbaBA++−=

=+++=+⋅+=⋅ 2 ( 12.17)

Conjugatul unui număr complex jbaA += este notat în general A* şi are forma:

jbaA −= ( 12.18)

Produsul dintre un număr complex şi conjugatul său este un număr real: 22* )()( bajbajbaAA +=−⋅+=⋅ ( 12.19)


Pentru numerele complexe jA += 2 şi 43 jB += se cere: • Să se determine produsul BA ⋅ ; • Să se determine numerele conjugate A* şi B* ; • Să se determine produsele *AA ⋅ şi *BB ⋅ ;

11211464836)43)(2( 2 jjjjjjjBA +=+−=+++=++=⋅

jA −= 2*

43* jB −=

5144)2()2( 2* =+=−=−⋅+=⋅ jjjAA

25169169)43()43( 2* =+=−=−⋅+=⋅ jjjBB

Împărţirea numerelor complexe BA / constă practic în separarea expresiei într-o parte reală şi o parte imaginară. Procedeul are la bază înmulţirea expresiei cu conjugatul numitorului şi efectuarea clasică a calculelor.

12.5 - Anexa 1.5. Algebra numerelor complexe

344

( ) ( )( ) ( )

( )

( )112222

22*

*

jBAdcadbcj

dcbdac

dcadbcjbdac

jdcjdcjdcjba

BBBA

jdcjba

BA

+=+

−+

+

+=

=+

−++=

−⋅+−⋅+

=⋅

⋅=

++

= ( 12.20)


Pentru numerele complexe jA += 2 şi 43 jB += se cere să se determine raportul BA / .

( ) ( )( ) ( )

51

52

255

2510

25510

1694836

4343432

432

jj

jjjjjjj

jj

BA

−=−=

=−

=+

+−+=

−⋅+−⋅+

=++

= ( 12.21)

Forma exponenţială şi polară se constituie în variante de exprimare matematică ale numerelor complexe

Relaţiile

θ+θ=θ sincos je j ( 12.22)

θ−θ=θ− sincos je j ( 12.23)

sunt cunoscute sub numele de relaţiile lui Euler. Se observă că relaţiile anterioare permit şi scrierea:

jbajCCCe j +=θ+θ=θ sincos ( 12.24)

pentru care se identifică θ= cosCa şi θ= sinCb .

Relaţiile anterioare permit calculul:

( ) ( ) ( ) 22222222 sincossincos CCCCba =θ+θ⋅=θ+θ=+ ( 12.25)

22 baC += ( 12.26)

abtg =

θθ

=θcossin

( 12.27)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ

abarctg ( 12.28)

Pe baza relaţiilor anterioare un număr complex se poate scrie sub forma exponenţială:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⋅+=+ abarctgj

ebajba 22 ( 12.29)

ANEXE - 12 345

Forma polară de reprezentare diferă de cea exponenţială doar prin modul de redactare. Semnificaţia acestei reprezentări este dată în figura 12.15.

θ∠=θ CCe j ( 12.30)

Re

Im

Ccosθ

Csinθ

C

θ

Fig. 12.15 Reprezentarea polară a numărului complex

Utilizând forma exponenţială de scriere se pot utiliza şi relaţiile:

( ) θ⋅=θ+θ⋅= jezjzz sincos

( 12.31)

22 yxz += ( 12.32)

( ) zzxyarctg ∠==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ arg

( 12.33)

( ) ( ) )(11221121 21 θ+θ⋅⋅=+⋅+=⋅= jezzjyxjyxzzz ( 12.34)

( )21

2

1

2

1 θ−θ⋅== jezz

zzz

( 12.35)

12.5.4. Forme de exprimare a numărului complex cu ajutorul mediului Matlab

Mediul Matlab dispune de facilităţi de calcul cu numerele complexe. În tabelul A.3 se prezintă comenzile utilizate pentru lucrul cu numerele complexe.

Tabelul A.3 Comanda Descriere

abs (x) Returnează modulul numărului x angle (x) Returnează unghiul de fază a numărului complex imag (x) Returnează partea imaginară a numărului complex real (x) Returnează partea reală a numărului complex

12.6 - Anexa 6. Complemente de geometrie analitică

346

Fig. 12.16 Fişier de lucru pentru numerele complexe

În figura 12.16 se prezintă fişierul de lucru pentru determinarea părţii reale, a părţii imaginare, a modulului şi a fazei (în radiani şi respectiv grade) a numărului complex jx −= 3 .

Rularea programului returnează următoarele valori:

Fig. 12.17 Rezultatele obţinute din rularea fişierului complex_1

12.6. Anexa 6. Complemente de geometrie analitică

12.6.1. Introducere

Se cunoaşte că reprezentarea grafică a unei funcţii reale de o variabilă reală este în general o „curbă plană”.

Prin reprezentarea parametrică a unei curbe înţelegem indicarea coordonatelor punctelor curbei ca funcţii )(tfi de un parametru t real care variază într-un interval dat. Sistemul (12.39) se numeşte reprezentarea parametrică a unei curbe plane:

21)()(

ttttytx

<<ψ=ϕ=

( 12.36)

În unele aplicaţii este posibilă reprezentarea implicită a curbei plane printr-o ecuaţie de forma dycbxayxF <<<<= ;;0),( .

Reprezentarea explicită a curbei plane se realizează printr-o ecuaţie de forma bxaxfy <<= ),( .

ANEXE - 12 347

12.6.2. Reprezentări ale unor curbe plane uzuale

12.6.2.1. Elipsa • Reprezentare parametrică

⎩⎨⎧

=π∈=

=parametrut

ttbytax

]2,0[,sincos

( 12.37)

• Reprezentare implicită

22

2

2

2),(;1 Ryx

by

ax

∈=+ ( 12.38)

x

y

O -a a

b

Fig. 12.18 Elipsa

• Reprezentare explicită

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈−−=

−=],[

22

22

baxxa

aby

xaaby

( 12.39)

12.6.2.2. Hiperbola

A1 A x

y

)0,(aA )0,(1 aA − Fig. 12.19 Hiperbola

• Reprezentare parametrică

⎩⎨⎧

===

parametruttbytax

shch

( 12.40)

• Reprezentare implicită

12.6 - Anexa 6. Complemente de geometrie analitică

348

22

2

2

2),(;1 Ryx

by

ax

∈=− ( 12.41)

12.6.2.3. Cercul • Reprezentare parametrică

parametrutttryytrxx

−π∈⎩⎨⎧

+=+=

];2,0[,sincos

0

0 ( 12.42)

• Reprezentare implicită 222

02

0 ),(;)()( Ryxryyxx ∈=−+− ( 12.43)

y

x0x

0y

r

O Fig. 12.20 Cercul cu centrul în punctul de coordonate ( )00 , yx

12.6.2.4. Parabola

x

y

axy 2=

axy 2−=

Fig. 12.21 Parabola

• Reprezentare parametrică

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈=

=

R,2

2

ttya

tx ( 12.44)

• Reprezentare implicită 22 ),(;2 Ryxaxy ∈= ( 12.45)

• Reprezentare explicită

ANEXE - 12 349

0;2 ≥±= xaxy ( 12.46)

12.7. Anexa7. Introducere în calculul matricial

12.7.1. Definiţii

O matrice se defineşte ca un tablou bidimensional cu m linii şi n coloane:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

mxn

aaa

aaaaaa

.......

...

...

21

22221

11211

A ( 12.47)

Dacă numărul liniilor şi a coloanelor sunt egale se spune că avem o matrice pătrată.

Dacă numărul liniilor sau coloanelor este unitar, se defineşte un: • Vector linie:

[ ]nxxxx 1131211 ...=x ( 12.48) • Vector coloană:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

31

21

11

...

my

yyy

y ( 12.49)

Două matrici particulare se regăsesc ca utilitate în analiza sistemelor: • Matricea unitate – cu elemente de valoare unitară pe diagonala principală

( ji = ) şi zero în rest:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1...00....0...100...01

I ( 12.50)

• Matricea nulă (zero) – cu elemente de valoare egală cu zero. Operaţii elementare cu matrici

• Adunarea matricilor de aceeaşi dimensiune:

ijijij bac +=+= BAC

( 12.51)

Adunarea matricilor este asociativă şi comutativă. • Înmulţirea cu un scalar:

12.7 - Anexa7. Introducere în calculul matricial

350

ijij akbk⋅=

= AB ( 12.52)

• Înmulţirea a două matrici necesită ca dimensiunile celor două matrici să fie corelate:

∑=

⋅=

=

n

kkjikij bac

1

nxpmxnmxp BAC

( 12.53)

12.7.2. Reprezentarea sistemului de ecuaţii în formă matricială

12.7.2.1. Sistem de ecuaţii liniare Rezolvarea printr-o procedură matricială a unui sistem de ecuaţii liniare presupune transcrierea într-o formă matricială sistemului de acuaţii. Se consideră un set de n ecuaţii independente liniare cu variabilele ix pentru

ni ,...,2,1= :

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxaxaxaxa

bxaxaxaxabxaxaxaxa

bxaxaxaxa

=++++

=++++=++++=++++

.........................................................

........

....

332211

31333232131

22323222121

11313212111

( 12.54)

astfel că se pot forma: • matricea pătratică a coeficienţilor ija :

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

.......

...

...

21

22221

11211

A ( 12.55)

• vectorul coloană al variabilelor jx :

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mx

xxx

...3

2

1

x ( 12.56)

• vectorul coloană al constantelor bj:

ANEXE - 12 351

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mb

bbb

...3

2

1

b ( 12.57)

Cu aceste transformări, sistemul de ecuaţii liniare se poate scrie sub forma matricială compactă:

bAx = ( 12.58)

12.7.3. Funcţii ale matricilor

12.7.3.1. Matricea transpusă Matricea transpusă AT a matricii Anxm se obţine prin schimbarea liniilor în

coloane pentru matricea A. De exemplu, pentru matricea:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmnn

m

m

aaa

aaaaaa

.......

...

...

21

22221

11211

A ( 12.59)

matricea transpusă este:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

.......

...

...

21

22212

12111

TA ( 12.60)

Două proprietăţi referitoare la utilizarea transpunerii unei matrici trebuie remarcate:

( ) TTT ABAB = ( 12.61)

( ) ( )∑=

=n

iix

1

2Txx ( 12.62)

Exemplu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

635241

654321 TAA ( 12.63)

În figura 12.22 se prezintă fişierul explicativ pentru obţinerea matricii transpuse în Matlab.


352

Fig. 12.22 Calculul matricii transpuse

12.7.3.2. Determinantul şi minorul unei matrici Un determinant reprezintă un tablou ordonat de mărimi aij. Valoarea unui

determinant este un scalar notat sub forma Adet sau Δ . Fie determinantul:

nnnn

m

n

aaa

aaaaaa

.......

...

...

21

22221

11211

( 12.64)

Determinantul având expresia anterioară este de ordinul n deoarece are n linii şi n coloane. Poziţia unui element în determinant se identifică cu ajutorul indicilor:

Rândul i Coloana j

ija

Fig. 12.23 Identificarea unui element din determinant

Dacă se înlătură dintr-un determinant oricare m coloane şi oricare m linii, determinantul de dimensiune ( ) ( )mnmn −×− , care rezultă, se numeşte minor al determinantului iniţial.

Dacă se înlătură numai linia i şi coloana j se obţine minorul ( ) ( )11 −×− nn .

Valoarea acestui minor multiplicat cu semnul ( ) ji+−1 poartă denumirea de cofactor sau complement algebric al elementelor aij şi se notează cu Aij.

Orice determinant poate fi calculat cu ajutorul elementelor unei linii fixate (alese) şi a complemenţilor algebrici corespunzători:

ininiiii AaAaAaA +++= ....det 2211 ( 12.65)

ANEXE - 12 353

12.7.3.3. Exemplu de calcul Considerăm un determinat şi calculăm valoarea acestuia prin dezvoltare după linia a doua:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 189...207111

24010

107311210

10

127311240

12120311241

11

1207311100212410

det

4232

2212

−==−−⋅+−⋅+

+−−⋅−+−−⋅=−

−=

++

++A

( 12.66)

În figura 12.35 se ilustrează fişierul pentru calculul determinanţilor matricile A şi B. Se obţin în mod corespunzător valorile: ans = - 2 şi respectiv ans = 2.

Fig. 12.24 Calculul unui determinant în Matlab

12.7.3.4. Inversarea matricilor Împărţirea matricilor nu este definită. Într-o serie de aplicaţii ar exista însă o

astfel de necesitate. S-a definit astfel inversarea matricilor (cu o serie de proprietăţi) care soluţionează această necesitate.

Pentru o matrice pătrată Amxm, se defineşte matricea inversă A-1 care, dacă există, are proprietăţile:

IAAAA 11 =⋅=⋅ −− ( 12.67)

În aceste condiţii, soluţia unui sistem de ecuaţii bAx = se obţine în mod simplu:

bAx 1 ⋅= − ( 12.68)

Inversa matricii A se calculează conform relaţiei:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=−

nnn1

1n111

A...A.........

A...A

Adet1A ( 12.69)

unde Aij sunt cofactorii elementeloir matricii A. Dacă matricea A are o matrice inversă, se spune că matricea A este ne-singulară. O matrice A, pentru care nu se poate determina matricea inversă, se numeşte şi matrice singulară. În figura 12.25 se prezintă fişierul de lucru pentru calculul matricii inverse şi rezultatul obţinut.


354

Fig. 12.25 Calculul matricii inverse în Matlab

12.7.3.5. Rangul unei matrici Considerăm o matrice mnA × . Numărul Nr∈ se numeşte rangul matricii A

( ( )Arangr = dacă sunt îndeplinite condiţiile: • există un minor nenul de ordinul r; • toţi minorii cu ordin mai mare decât r sunt egali cu zero.

Din definiţie rezultă că 0 ≤ rang A ≤ min{n, m}. Se numesc transformări elementare ale liniilor / coloanelor unei matrici A

următoarele operaţii: • schimbarea a două linii (coloane) între ele; • înmulţirea unei linii (coloane) cu un scalar nenul; • adunarea elementelor unei linii (coloane) la elementele altei linii (coloane)

înmulţite cu un scalar. Două matrici A, B se numesc echivalente dacă au acelaşi rang şi se notează cu

A ~ B. Relaţia "~" este o relaţie de echivalenţă algebrică. Rangul unei matrici este invariant la transformări elementare. Astfel, două

matrici care se obţin una din alta prin transformări elementare sunt echivalente şi au acelaşi rang.

Pentru calculul rangului unei matrici se poate aplica metoda calculului minorilor caracteristici pornind de la ordinul superior. Metoda este neproductivă pentru matrici de dimensiuni mari şi valori inconveniente ale elementelor.

Exemplu de calcul Fie matricea A de determinant:

852112321

−−−−

=A ( 12.70)

Se cere să se determine rangul matricii A. Se observă simplu că valoarea determinantului de ordinul 3 este:

ANEXE - 12 355

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) 3223322

1516258311212

358212158111det13

1211

−=−+−=+−⋅−−+−⋅−+−=⋅−−⋅−−⋅−+

+⋅−−⋅−−⋅+⋅−−⋅−−⋅=+

++A

( 12.71)

Având în vedere că 0det ≠A rezultă că rangul matricei este 3=r . Pentru determinarea rangului unei matrici, se aplică transformări elementare

asupra liniilor (coloanelor) până se obţine o matrice diagonală. Rangul matricii A va fi egal cu numărul elementelor nenule de pe diagonala principală. Metoda de lucru este simplă doar pentru matrici de dimensiuni de ordin redus şi elemente de valori convenabile. Pentru dimensiuni mari ale matricii, lucrul manual devine greoi.

Mediul Matlab oferă funcţia rank (A) pentru calculul rangului matricii A. Exemplu de calcul Se reconsideră matricea A din exemplul anterior. Se aplică transformări

successive pentru determinarea matricii diagonale echivalente. Semnificaţia notaţiilor este următoarea: iliniaLi ~ ; jcoloanaC j ~ .

100010001

~100510

001~

~1430

510001

~1490

530001

~1490

530321

~852112321

32

23212

13

12

135

33/2

3

2

2

−−−

−−

−−

−−

−

−−−−

=

−

++

−

−

+

LL

LLCCC

CC

LL

LL

A

( 12.72)

Se observă că diagonala principală nu are elemente nule şi deci 3=r Exemplu de calcul Se reconsideră matricea A din exemplele anterioare. Fişierul de lucru în mediul

Matlab este prezentat în figura 12.26 iar rezultatul în figura 12.27.

Fig. 12.26 Fişierul de lucru pentru calculul rangului matricii A

Fig. 12.27 Valoarea determinantului şi a rangului matricii

% Calculul rangului unei matrici % Declararea matricii A si calculul valorilor A=[1 -2 3;2 -1 1; -2 -5 8]; det_A=det (A) r=rank(A)

det_A = -3

r = 3

0 - Anexa8. Transformata Laplace

356

12.8. Anexa8. Transformata Laplace Proprietăţile transformatei Laplace sunt prezentate în tabelul A.4 iar transformata Laplace pentru o serie de funcţii uzuale în tabelul A.5.

Tabelul A.4

Nr. Crt. Proprietatea Exprimarea în funcţie

de timp Transformata Laplace

1 Liniaritate

[ ])(taxL

[ ])()( 21 txtx +L

[ ]∑ )(txa kkL

)(saF )()( 21 sFsF +

∑ ⋅ )(sFa kk

2 Derivare în funcţie de timp

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

dttdx )(L

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡2

2 )(dt

txdL

)0()( xssF −

)0(')0()(2 xsxsFs −−

3 Derivare de ordinul “n” în funcţie de timp ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡n

n

dttxd )(L

)0(...

)0()0()()1(

)1(21

−

−−

−

−−−n

nnn

x

xsxssFs

4 Integrare în funcţie de timp ⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ττ∫

tdx

0)(L

sx

ssF )0()( )1(−− Uzual x(-1)(0)=0,

5 Derivare în funcţie de frecvenţǎ

[ ])(ttx−L dssdF )(

6 Integrare în funcţie de frecvenţǎ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

ttx )(L ∫ λλ

sdF

0)(

7 Modificarea scǎrilor de reprezentare

[ ])(atxL ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

asF

a1

8 Deplasare în timp (translaţie)

[ ])( 0ttx −L 0)( stesF −

9 Deplasare în frecvenţǎ [ ]0)( stetxL )( 0ssF −

11 Convoluţie în timp [ ])(*)( 21 txtxL )()( 21 sFsF

12 Convoluţie în frecvenţǎ [ ])()( 21 txtxL [ ])(*)(

21

21 sFsFjπ

ANEXE - 12 357

Tabelul A.5 Nr.crt. Funcţia de timp Transformata Laplace

1 ⎩⎨⎧

=∞≠

=δ=0,0,0

)()(tpentrutpentru

ttf { } 1)( =δ tL

2 ⎩⎨⎧

≥=<=

=0100

)(tt

tf s1}{ =1L

3 ⎩⎨⎧

≥=<=

=000

)(tCtt

tf 2sC}Ct{ =L

4 ⎩⎨⎧

≥<

=0

00)( 2 tpentruCt

tpentrutf { } 3

2 2sCCt =L

5 ⎩⎨⎧

≥<

=0

00)(

tpentruCttpentru

tf n { } 1!+= n

n

sntL

6 ⎩⎨⎧

≥<

= α− 0,0,0

)(tpentrue

tpentrutf t { }

α+=α−

se t 1L

7 ttf ω= cos)( { } 22)cos(ω+

=ωs

stL

8 ttf ω= sin)( { } 22)sin(ω+

ω=ω

stL

9 tetf at ω⋅= − sin)( { }( ) 22)sin(

ω++

ω=ω−

aste atL

10 tetf at ω⋅= − cos)( { }( ) 22)cos(

ω++

+=ω⋅−

asaste atL

11 btat eetf −− −=)( { } ( ) ( )asasabee btat+⋅+

−=− −−L

12.9. Bibliografia capitolului 12 [12.1]Bernstein,H., Mathematik fur mechatroniker, Franzis Verlag, 2007 [12.2]Davidescu, A., Analiza şi procesarea datelor în MATLAB, Ed.. Politehnica, Timişoara, 2003 [12.3]Dorf, R.C., Bishop, R.H., Modern Control Systems, Pearson Studium, ISBN 3-8273-7162-7, 2006 [12.4]Postelnicu, V., Coatu, S., Mică enciclopedie matematică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1980 [12.5]Singh, K., Agnihotri, G., System Design through Matlab, Control Toolbox and Simulink, ISBN: 1852333375 / 1-85233-337-5 [12.6]***, Control System Toolbox. For use with Matlab, version 7, The MathWorks, Inc., 2006

() n ()( )( ) - mec.upt.ro · se consideră funcţiile trigonometrice y =sin(x) şi u =sin(x +3π4)...

Documents