contributii la anumite clase de echilibru...

UNIVERSITATEA DIN BUCURESTI

FACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

SCOALA DOCTORALA DE MATEMATICA

CONTRIBUTII LA ANUMITE CLASE

DE ECHILIBRU GENERALIZAT

Rezumat

Coordonator: Doctorand:

Prof.Dr. VASILE PREDA Biolan Bogdan-Corneliu

BUCURESTI,

2015

Dedicated to my missing father, Ion Biolan!

CUPRINS

INTRODUCERE .................................................................................................................... 1

CAPITOLUL 1

Existenta Echilibrului. Echilibru Nash ……………….............................

3

1.1 Mecanisme competitive generalizate .......................................................................... 3

1.2 Aplicatii ale teoremei de existenta ............................................................................ 3

1.3 Teoremele Welfare ................................................................................................... 3

1.4 Echilibru Nash .......................................................................................................... 4

1.5 Probleme de Echilibru Nash Generalizate ........................................................................ 4

CAPITOLUL 2 GNEP in dimensiune infinita si optimizare semiinfinita. O abordare de tip

interval cu aplicatii.........................................................................................

5

2.1 O abordare interval folosind teorema multiplicatorilor lui Lagrange ................................. 5

2.2 Regula Multiplicatorilor Lui Lagrange ............................................................................... 7

2.3 Optimizare interval semi-infinita neneteda utilizand subdiferentiale limita

………………………………………….............................................................................

7

2.4 Functii interval si aplicatii in economie ale GNEP ……………………………………... 12

CAPITOLUL 3 Probleme de echilibru generalizat cu presupuneri relaxate ..................... 15

3.1 Rezultate cunoscute ...................................................................................................... 15

3.2 Existenta solutiei pentru Problema de Echilibru Generalizat(GEP)............................... 16

3.3 Existenta solutiei pentru GEP pentru aplicatii (r,s)-α-β-monotone…………………… 17

3.4 Existenta solutiei pentru GEP pentru aplicatii ρ-mixt relaxat monotone

…………………………....…………………………………………………………….

18

CAPITOLUL 4 Probleme de echilibru mixt

generalizate...............................................................................................

19

4.1 Definirea problemei si ultimele rezultate…..…........................................................ 19

4.2 Preliminarii ………………………………………….................................................. 19

4.3 Rezultate de existenta pentru probleme de echilibru mixt generalizate ............................. 20

4.4 Un algoritm de proiectie hibrid.……………………….................................................. 22

BIBLIOGRAFIE ......................................................................................................................... 24

INTRODUCERE

In aceasta teza vom studia unele clase de probleme de echilibru Nash generalizate.

Problemele de echilibru Nash generalizat reprezint¼a jocuri necooperative în care

strategia ec¼arui juc¼ator poate depinde de strategiile juc¼atorilor rivali. Aceste clase

de probleme sunt de mare actualitate în prezent, datorit¼a importaņtei deosebite

pentru modelarea problemelor economice, precum şi pentru modelarea problemele

de rutare din rȩtelele de comunicare. Conceptul de echilibru introdus de Rosen în

1965, în strâns¼a leg¼atur¼a cu abordarea bazat¼a pe inegalit¼a̧ti varia̧tionale, prezint¼a o

mare importaņt¼a din punct de vedere teoretic şi din punct de vedere al posibilit¼a̧tilor

de implementare cu ajutorul tehnicii de calcul. Faraci a extins conceptul de echilibru

introdus de Rosen în 1965 la cazul spa̧tiilor innit dimensionale. Unul din obiectivele

tezei const¼a în extinderea acestui tip de echilibru ob̧tinut de Faraci la cadrul mai

general al claselor de funçtii interval.

Recent, Facchinei et al. au dovedit c¼a solutiile unor clase de probleme de echili-

bru Nash generalizat în spa̧tii de dimensiune nita pot ob̧tinute prin rezolvarea

unor inegalit¼a̧ti varia̧tionale, în locul rezolv¼arii unor inegalit¼a̧ti cvasi-varia̧tionale.

Pentru a demonstra o parte din rezultatele principale, în tez¼a sunt folosite condi̧tiile

Knaster-Kuratowski-Mazurkievicz asociate problemelor de echilibru Nash general-

izat. Rezultatele ob̧tinute sunt extinse la cadrul innit dimensional. Aceast¼a ex-

tensie este motivat¼a de faptul c¼a toate problemele de echilibru dependente de timp

necesit¼a utilizarea unor inegalitati variationale în spatii de dimensiune innita. În

plus, studiul problemelor aleatoare de echilibru se poate face folosind o abordare

bazata pe inegalitati variationale denite pe spatii de probabilitate.

Capitolul 1, Existence of Equilibrium. The Nash Equilibrium, coņtine rezultate

fundamentale privind conceptul de echilibru si proprietatii ale acestuia, precum

si metode de determinare a punctelor de echilibru. Sunt prezentate trei teoreme

fundamentale ale teoriei echilibrului general, care arm¼a c¼a, în cazul formul¼arii unor

ipoteze corecte, (i) exist¼a un echilibru concurential; (ii) un echilibru competitiv este

1

Pareto ecient; si (iii) o alocare ecient¼a Pareto conduce la un echilibru competitiv cu

pl¼ati de transfer. Sunt evidentiati mai multi algoritmi pentru rezolvarea problemelor

de echilibru Nash generalizat, precum si rezultate de convergenta global¼a si local¼a.

În Capitolul 2, Generalized Nash Equilibrium Problems in innite dimension

and semiinnite optimization. An interval approach with applications, este studiat

un caz special de echilibru Nash, corespunz¼ator cazului în care functiile pay-o¤

sunt descrise prin functii interval. Rezultatele originale din Seçtiunea 2.1 au ca

punct de plecare extinderea metodei multiplicatorilor Lagrange utilizând analiza

interval. In Seçtiunea 2.2 sunt reformulate mai multe probleme de optimizare într-

un cadru mai general, iar pentru rezolvarea acestora este utilizat algoritmul Particle

SwarmOptimization. Conceptele originale introduse în acest capitol sunt cuprinse în

deni̧tiile 2.2, 2.3 şi 2.4. Sunt ob̧tinute rezultate originale privind existeņta punctului

interval de echilibru, acestea ind prezentate în Teoremele 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 şi 2.5.

In Capitolul 3, Generalized equilibrium problems with relaxed assumptions, sunt

introduse conceptele noi de funçtie (r-s) - (� � �) - monoton¼a generalizat¼a si de

funçtie � - mixt relaxat monoton¼a generalizat¼a. Contribu̧tiile originale ob̧tinute

în Seçtiunea 3.2 sunt cuprinse în Teoremele 3.1 şi 3.2, privind existeņta solu̧tiei

problemelor de echilibru generalizat. Contribu̧tiile originale ob̧tinute în Seçtiunea 3.3

sunt cuprinse în Teoremele 3.3 şi 3.4, care se refer¼a la rezultate de existeņt¼a pentru

problemele de echilibru asociate noului concept de funçtie (r-s) - (��) - monoton¼a

generalizat¼a, introdus în tez¼a. Contribu̧tiile originale ob̧tinute în Seçtiunea 3.4 sunt

cuprinse în Teoremele 3.5 şi 3.6, privind rezultate de existeņt¼a pentru problemele de

echilibru asociate noului concept de funçtie � - mixt relaxat monoton¼a generalizat¼a,

introdus în tez¼a.

În Capitolul 4, Generalized mixed equilibrium problems, sunt ob̧tinute mai multe

teoreme de existeņt¼a şi sunt construite metode de aproximare succesiv¼a pentru prob-

leme de echilibru generalizat mixt corespunz¼atoare unor familii num¼arabile de funçtii

non-expansive. Rezultatele originale ob̧tinute sunt cuprinse in Teoremele 4.1 şi 4.2,

precum şi în corolarul Teoremei 4.2.

2

Chapter 1

Existenta echilibrului.Echilibru

Nash

Acest capitol contine rezultate generale de echilibru precum si marea teorema de

echilibru a lui John Nash.

1.1 Mecanisme competitive generalizate

1.2 Aplicatii ale teoremei de existenta

1.3 Teoremele Welfare

Teorema 1.2. (Prima TeoremaWelfare). Daca preferintele sunt strict monotone,

atunci orice echilibru al GCM este Pareto ecient.

Teorema 1.4. (A doua teorema Welfare). Presupunand ca preferintele sunt

convexe, continue si strict monotone si multimea productiilor este convexa, inchisa

si marginita. Atunci, daca��exh ;�eyf sunt Pareto e¤cient si exh este strict poz-

itiv pentru toti h, atunci exista preturile p si balanta de transfer fT hg astfel incat

perechea��exh ;�eyf este un echilibru alocat, tinand cont de mecanismul dat,

pentru ecare p, consumatorul h va avea venitul p � !h +Pf

�hfp � eyf + T h.3

1.4 Echilibru Nash

Vom enunta teorema de echilibru a lui John Nash(1950):

Fie G = (S; u) un joc nit de n persoane in forma sa normala.

S = S1 � S2 � : : : � Sn, S este nevida denotand multimea strategiilor fesabile,

(Sk)k=1;n sunt multimea strategiilor individuale, u : S ! R reprezinta functia de

utilitate.

1.5 Probleme de echilibru Nash generalizate

GNEP este problema aarii x� 2 X(x�) astfel incat pentru toti � = 1; N , urma-

toarele au loc:

��(x�;� ; x�;��) � ��(x� ; x�;��) unde: �� reprezinta functiile de utilitate asociate

ecaruia dintre jucatori, pentru toti x� 2 X�(x�;��):

4

Chapter 2

GNEP in dimensiune innita si

optimizare semiinnita. O

abordare de tip interval cu

aplicatii

2.1 O abordare interval folosind teorema multi-

plicatorilor lui Lagrange

2.1.1 Preliminarii

Fie J1 si J2 doua functii de tip interval, J1; J2 : X ! MI(R) functille de utilitate

astfel incat J1(�; u2) este convexa si Gateaux diferentiabila pentru toti u2 2 X2 si

J2(u1; �) este convexa si Gateaux diferentiabila, pentru toti u1 2 X1.

Denitia 2.3. Spunem ca u = (u1; u2) este punct de echilibru interval pentru

GNEP daca urmatoarele au loc:

(1) J1 (u1; u2) = min fJ1 (u1; u2) ; u1 2 K1(u)g, unde u2 este xat;

(2) J2 (u1; u2) = min fJ2 (u1; u2) ; u2 2 K2(u)g, unde u1 est xat;

Din rezultate binecunoscute de analiza convexa (a se vedea e.g. Teorema 3.8 din

5

[4]), u = (u1; u2) este considerat optim interval daca si numai daca:

D1JL1

�u1; u2

� �u1 � u1

�� 0; 8u1 2 K1(u) \

�u1 : JU1

�u1; u2

�� JU1

�u1; u2

�,

(2.2)

D1JU1

�u1; u2

� �u1 � u1

�� 0; 8u1 2 K1(u) \

�u1 : JL1

�u1; u2

�� JL1

�u1; u2

�,

(2.1)

D2JL2

�u1; u2

� �u2 � u2

�� 0; 8u2 2 K2(u) \

�u2 : JU2

�u1; u2

�� JU2

�u1; u2

�,

D2JU2

�u1; u2

� �u2 � u2

�� 0; 8u2 2 K2(u) \

�u2 : JL2

�u1; u2

�� JL2

�u1; u2

�,

undeD1 siD2 sunt derivatele Gateaux ale JL1 (�; u2) ; JU1 (�; u2) si JU2 (u1; �) ; JL2 (u1; �),

respectiv.

Fie � : X ! X�1 �X�2 ,

��u1; u2

�=

0BBBBBB@D1J

L1 (u

1; u2)

D1JU1 (u

1; u2)

D1JL2 (u

1; u2)

D1JU2 (u

1; u2)

1CCCCCCA : (2.3)

Denitia 2.5. Spunem ca L (�) = fx : (x) � �g, unde � 2 R , este multimea

sub-nivel a lui : X ! R.

Este clar atunci ca (2.2) este echivalent cu:

�(u)T (u� u) � 0;8u 2�K1 (u) \ LJU1

�JU1 (u

1; u2)�\ LJL1

�JL1 (u

1; u2)��

��K2 (u) \ LJU2

�JU2 (u

1; u2)�\ LJL2

�JL2 (u

1; u2)��.

Rezolvand inegalitatea de mai sus asociata lui � si multimiiK (pe scurt: V I(�; K)),

inseamna a gasi u = (u1; u2) 2 K astfel incat sa avem urmatoarea inegalitate varia-

tionala:

�(u)T (u� u) � 0;8u 2 K: (2.4)

Teorema 2.1. Fiecare solutie a inegalitatii variationale V I(�; K) este solutie a

6

jocului interval de tip GNEP.

2.2 Regula Multiplicatorilor Lui Lagrange

Teorema 2.3. (i) Fie u o solutie a inegalitatii variationale V I(�; K) astfel incat

constrangeri adecvate pentru V I(�; K) au loc in u. Atunci u este o solutie a GNEP

joc interval astfel incat ambii jucatori au in comun aceeasi multiplicatori ai lui

Lagrange.

(ii) u eate o solutie a GNEP-joc interval astfel incat constrangeri adecvate au

loc in u si ambii jucatori au in comun aceeasi multiplicatori ai lui Lagrange. Atunci

u este solutie a inegalitatii variationale V I(�; K).

2.3 Optimizare interval semi-innita neneteda uti-

lizand subdiferentiale limita

2.3.1 Preliminariii

Denitia 2.6. Pentru un punct x� 2 X; � se numeste subgradient al unei functii

convexe f daca

(x� x�)T � � f(x)� f(x�); 8x 2 X:

Denitia 2.7. Pentru un punct x� 2 X; � se numeste subgradient al functiei

strict convexe f daca

(x� x�)T � < f(x)� f(x�); 8x 2 X; x 6= x�:

Denitia 2.8. Multimea tuturor subgradientilor lui of � in x� se numeste sub-

diferentiala lui � in x� si se noteaza cu @�(x�):

7

Consideram urmatoarea problema de optimizare:

min F (x)

relativ la gi (x) � 0; i = 1;m;

x 2 C;

(P)

unde F (x) =�fL (x) ; fU (x)

�este o functie de tip interval, fL (x) ; fU (x) si gi (x) :

X ! R sunt functii continue si convexe, X este un spatiu real, local convex si C

este o submultime a lui X.

Notam

X0 =�x 2 X

��gi (x) � 0; i = 1;m; x 2 Cmultimea punctelor fesabile a problemei primale (P ).

2.3.2 Conditii Necesare Si Suciente De Optimalitate

In aceasta sectiune dam niste conditii necesare si suciente de optimalitate pentru

probleme de optimizare interval nenetede.

Lema 1 (Sun & Yang, 2013) Fie x o solutie fesabila pentru problema (P ). Atunci x

estesolutie optimala pentru problema (P ) daca si numai daca x este solutie optimala

a urmatoarelor probleme de optimizare deterministice (P1) si (P2) :

min fL (x)

relativ la fU (x) � fU (x)

g (x) � 0;

x 2 C;

(P1)

min fU (x)

relativ la fL (x) � fL (x)

g (x) � 0;

x 2 C:

(P2)

8

Acum consideram urmatoarea problema deterministica de optimizare semiinnita

neneteda citata in [69]:

min ' (x)

relativ la ai (x) � 0; i 2 I

x 2 Rn; (SIP)

unde ' si ai; i 2 I; sunt functii local Lipschitz de la Rn la R [ f+1g :

Teorema 2.4. Fie x o solutie optimala pentru problema M (SIP ) si I0(x) =

fi 2 I : gi (x) = 0g : Presupunem ca ' si gi; i 2 I0(x) sunt Lipschitz in vecinatatea

lui x , si gi pentru i 2 InI0(x) este continua in x: Atunci exista un � = (�i)i2I ; unde

�i � 0 si � �i 6= 0 pentru o multime nita de i 2 I; astfel incat:

0 2 @L' (x) +Xi2I

�i@Lgi (x)

si

�igi (x) = 0; i 2 I:

Acum dam conditiile necesare de optimalitate Kuhn-Tucker-Yucker pentru prob-

lema interval neneteda:

min F (x)

subject to gi (x) � 0; i 2 I

x 2 C

; (ISIP)

unde F (x) =�fL (x) ; fU (x)

�este o functie interval, fL (x) ; fU (x) si gi (x) : X ! R

sunt functii reale continue si convexe, X este un spatiu real, local convex si C este

o submultime convexa a lui X.

Teorema 2.5. Fie x o solutie optimala a problemei (ISIP ): Presupunem ca

fL; fU si gi; i 2 I(x) = fi 2 I jgi (x) = 0g sunt Lipschitz in jurul lui x ,si gi pentru

i =2 I(x) este continua in x: Atunci esxista �� =��L

�; �U

��> 0 si �� = (��i )i2I �

9

0; ��i 6= 0 pentru o multime nita de i 2 I; astfel incat

0 2 �L�@LfL (x) + �U�@Lf

U (x) +Xi2I

��i@Lgi (x)

si

��i gi (x) = 0; i 2 I:

Teorema 2.6. Fie x o solutie fesabila a problemei (ISIP ); astfel incat exista

�L�> 0; �U

�> 0,�� = (��i )i2I � 0; �

� 6= 0 cu ��i 6= 0 pentru o multime nita de

i 2 I; astfel incat

0 2 �L�@LfL�(x) + �U

�@Lf

U (x) +Xi2I

��i@Lgi (x) ; (2.2)

��i gi (x) = 0; i 2 I:

Daca fL si fU sunt (�; �fL); (�; �fU ) strict pseudo-invexe, gi; i 2 I (x) sunt (�; �gi)

quasi-invexe in x si

�fL + �fU = 0; (2.3)

atunci x este o solutie optimala pentru problema (ISIP ):

Denitia 2.9. x este o solutie optimala locala a problemei (ISIP ) daca exista

� > 0 astfel incat x este o solutie optimala in B� (x) multimea admisibila pentru

(ISIP ):

Teorema 2.7. Fie x o solutie fesabila a problemei (ISIP ): Presupunand fL; fUsi

gi; i 2 I (x) sunt invexe in vecinatatea lui x: Deasemenea presupunem ca DL =

?; DU = ?: Atunci x este o solutie optima locala a problemei (ISIP ):

2.3.3 Dualitate. O problema duala interval de tip Wolfe

In aceasta subsectiune consideram problema duala de optimizare interval de tip

Wolfe pentru problema (ISIP ) si niste rezultate de dualitate sunt expuse. Relativ

la (ISIP ) consideram urmatoarea problema duala interval de tip Wolfe:

10

max f (u) +Pi2I�igi (u)

s.t. 0 2 �L@LfL (u) + �U@LfU (u) +Pi2I�i@Lgi (u)�

�L; �U�> 0;

(WISID)

unde �i � 0 si �i 6= 0 pentru o multime nita de i 2 I: Notam prin�u; �L; �U ; �

�o solutie fesabila pentru (WISID): Deasemenea observam ca o solutie fesabila�u0; �

L0 ; �

U0 ; �0

�pentru (WISID) este o solutie optima pentru (WISID) daca nu

exista�u; �L; �U ; �

�fesabila pentru (WISID) astfel incat

f�u0�+Xi2I

�0igi�u0�� f (u) +

Xi2I

�igi (u) :

Teorema 2.8. (Dualitate Slaba) Fie x o solutie fesabila pentru (SIP ) si�u; �L; �U ; �

�o solutie fesabila pentru (WISID): Presupunem ca fL; fU si gi; i 2 I sunt

��; �L

�;��; �U

�si (�; �i) ; i 2 I invexe respectiv, cu �L�L + �U�U +

Pi2I�igi � 0: Daca gi pentru i =2

I (x) = fi : gi (x) = 0g este continua in x, atunci

f (x) � f (u) +Xi2I

�igi (u) :

Teorema 2.9. (Dualitatea tare) Fie x o solutie optimala pentru (ISIP ); fL; fU

si gi; i 2 I satisfac ipotezele teoremei dualitate slaba. Daca problemele PL(x)

si PU(x) [107] satisfac constrangeri adecvate de tip calicare, atunci exista � =��i�i2I ; �

L; �U> 0 astfel incat

�x; �

L; �U; ��este solutie optimala pentru (WISID)

si valorile obiectiv corespunzatoare sunt egale.

Teorema 2.10. (Dualitate Strict Convexa) Fie ex si �x; �L; �U ; �� o solutie opti-mala pentru (ISIP ) si (WISID) respectiv. Presupunand ca fL; fU si gi; i 2 I sunt

(�; �L); (�; �U) si (�; �i); i 2 I respectiv functii convexe si pentru orice solutie fesabila

x pentru (ISIP ); gi este continua in x pentru orice i 2 I (x) = fi : gi (x) = 0g. Daca

constrangeri adecvate de tip calicare sunt indeplinite de problemele�PL(x); PU(x)

�si fL is (�; �L) sunt strict convexe sau fU is (�; �U) este strict convexa sau exista

11

� 2 fL;Ug astfel incat fU este (�; ��) strict convexa in x w.r.t.(in raport cu) �,

atunci ex = x:Teorema 2.11. Fie ex si�x; �L; �U ; �� solutii fesabile pentru (ISIP ) si (WISID)

respectiv, astfel incat �LfL (ex) + �UfU (ex) � �LfL (x) + �UfU (x) +P

i2I�igi (x) apli-

catia x �LfL + �UfU +Pi2I�igi ieste (�; �) strict convexa in x; cu � > 0: Atunciex = x si x este solutie optimala pentru (ISIP ):

2.4 Functii interval si aplicatii in economie ale

GNEP

2.4.1 Modelul Matematic

Fie X si Y doua spatii Banach si e Z = X � Y spatiul produs si e z = (x; y) un

element al lui Z. Varaiabila x corespunde primului jucator iar y corespunde celui

de-al doilea. Fie C � Z nevida, convexa si e f; g : X ! R doua functionale de tip

interval, cunoscute si sub numelede functii de pay-o¤ astfel incat fU (�; y) respectiv

fL (�; y) sunt convexe si Gateaux di¤erentiabile pentru toti y 2 Y si gU(x; �) respectiv

gL(x; �) sunt convexe si Gateaux diferentiabile pentru toti x 2 X.

2.4.2 Modelul Economic

Notam prin:

rt;i return-ul asset-ului i la momentul t, unde rt;i =�rLt;i; r

Dt;i

�, evident: rLt;i � rDt;i;

�i;j;t =��Li;j;t; �

Di;j;t

�covarianta dintre rt;i si rt;j, unde �

Li;j;t � �Di;j;t;

ct;i =�cLt;i; c

Dt;i

�costul tranzactiei asset-ului i la momentul t;

xt;i investitia i la momentul t;

dt;i =�dLt;i; d

Dt;i

�este dat;

Ct =nPi=1

ct;ixt;i+dt;i costul tranzactiei, Ct =�CLt ; C

Dt

�=

�nPi=1

cLt;ixLt;i + d

Lt;i;

nPi=1

cUt;ixUt;i + d

Ut;i

��t =

��Lt ; �

Dt

�evaluarea riscului maxim al portofoliului la momentul t, unde

�Lt � �Dt ;

12

lt;i =�lLt;i; l

Dt;i

�rata de turnover a asset-ului i, unde lLt;i � lDt;i;

lt =�lLt ; l

Dt

�evaluarea riscului minim al portofoliului la momentul t, cu lLt � lDt ;

et diversicarea minima a portofoliului la mom t�th period portfolio;

WT (x) =

"W0

TYt=1

nXi=1

xt;irLt;i � CLt

!;W0

TYt=1

nXi=1

xt;irDt;i � CDt

!#protul la sfarsitul perioadei t; t = 1; T .

FieWT (x)L = W0TYt=1

nXi=1

xt;irLt;i � CLt

!;WT (x)

L = W0

TYt=1

nXi=1

xt;irDt;i � CDt

!.

Atunci conditiile de optimalitate (2.2) sunt:8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

0 �TXt=1

nXi=1

WT (x)L

rLt;i � cLt;inXi=1

xt;irLt;i � CLt

�rLt;i � rLt;i

�

0 �TXt=1

nXi=1

WT (x)D

rDt;i � cDt;inXi=1

xt;irDt;i � CDt

�rDt;i � rDt;i

�hrLt;i; r

Dt;i

i� 0

9>>>>>>>>>>>>=>>>>>>>>>>>>;(6)

Urmatoarea problema de optimizare poate formulata:

max WT (x)

s.t.

"nXi=1

xt;irLt;i � CLt ;

nXi=1

xt;irDt;i � CDt

#��RLt ; R

Dt

�"

nXi=1

nXk=1

xt;ixt;k�Li;k;t;

nXi=1

nXk=1

xt;ixt;k�Di;k;t

#� �t"

nXi=1

xt;ilLt;i;

nXi=1

xt;ilDt;i

#� lt

�nXi=1

xt;i ln(xt;i) � etnXi=1

xt;i = 1

xt;i � 0; i = 1; n; t = 1; T

(7)

Problema (P1) poate reformulata ca:

max WT (x)L

max WT (x)D

s.t. x 2

(8)

Conditiile (8) reprezinta problema (P2). Din nou problema poate rescrisa ca:

13

max f(x) = �WT (x)L + (1� �)WT (x)D

s.t. x 2

(9)

Conditiile (9) de mai, se numesc problema (P3) care poate transformata adau-

gand restrictiile din [62], intr-o problema de optimizare neliniara:

max f(x) = �WT (x)L + (1� �)WT (x)D

s.t.nXi=1

xt;irDt;i �

nXi=1

cDt;ixt;i + dDt;i

!� RLt

nXi=1

nXk=1

xt;ixt;k�Li;k;t � �Dt

nXi=1

xt;ilDt;i � lLt

�nXi=1

xt;i ln(xt;i) � et; t = 1; TnXi=1

xt;i = 1; t = 1; T

xt;i � 0; i = 1; n; t = 1; T

(10)

Conditiile (10) formeaza problema (P4), si poate rescrisa in urmatoarea prob-

lema (P5) de optimizare neliniara :

max f(x) = �WT (x)L + (1� �)WT (x)D

s.t. RLt �

nXi=1

xt;irDt;i �

nXi=1

cDt;ixt;i + dDt;i

!!0; t = 1; T

nXi=1

nXk=1

xt;ixt;k�Li;k;t � �Dt � 0; t = 1; T

lLt �nXi=1

xt;ilDt;i � 0; t = 1; T

et +nXi=1

xt;i ln(xt;i) � 0; t = 1; TnXi=1

xt;i � 1 = 0; t = 1; T

�xt;i � 0; i = 1; n; t = 1; T

14

Chapter 3

Probleme de echilibru

generalizat cu presupuneri

relaxate

3.1 Rezultate cunoscute

Fie K o submultime nevida a unui spatiu real Banach X. Fie � : K � K ! R o

functie reala si e f : K � K ! R o functie de echilibru, i.e. f(x; x) = 0, pentru

toti x 2 K.

Consideram urmatoarea problema de echilibru generalizat: gasiti x 2 K ca sa

avem urmatoarea relatie:

f(x; y) + �(x; y)� �(x; x) � 0;8y 2 K (3.1)

Denitia 3.5. O functie f : K � K ! R se numeste mixt relaxat � �

��monotona, daca exista functiile � : K ! R cu �(tx) = tp�(x), pentru toti

t > 0 si � : K �K ! R, astfel incat

f(x; y) + f(y; x) � �(y � x) + �(x; y);8x; y 2 K; (3.6)

15

unde

limt!0

�tp�(y � x)

t+�(x; ty + (1� t)x)

t

�= 0 (3.7)

si p > 1 este constant.

Denitia 3.6. O aplicatie � : K � K ! R [ f�1,+1g se numeste 0-

diagonalconvexa daca, pentru orice submultime nita fx1; x2; :::; xng a lui K si

�i � 0; i = 1; n cunXi=1

�i = 1 si x =nXi=1

�ixi, avem ca :

nXi=1

�i�(x; xi) � 0: (3.13)

3.2 Existenta solutiei pentru Problema de Echili-

bru Generalizat(GEP)

Teorema 3.1. Presupunand ca f : K�K ! R este mixt relaxat ��monotona,

hemicontinuoua in primul argument cu f(x; x) = 0, pentru toti x 2 K. Fie � :

K � K ! R convexa in al doilea argument. Atunci problema mixta de echilibru

generalizat (3.1) este echivalenta cu urmatoarea problema. Gasiti x 2 K astfel incat:

f(y; x) + �(x; x)� �(x; y) � �(y � x) + �(x; y);8y 2 K; (3.14)

unde �(tx) = tp�(x) si p > 1 este constant.

Teorema 3.2. Fie K nevida, marginita inchisa submultime a unui spatiu Banch

real X. Fie f : K � K ! R o aplicatie mixt relaxat � � ��monotona, hemicon-

tinua primul argument, convexa in al doilea argument cu f(x; x) = 0, 0-diagonal

convexa si inferior semicontinua. Fie �; : K � K ! R, � convexa in cel de-al

doilea argument, (x; y) = �(x; y)� �(x; x) si este 0-diagonal convexa, si inferior

semicontinua; � : K ! R este slab superior semicontinua si � : K � K ! R este

slab superior semicontinua in cel de-al doilea argument.Atunci problema mixta de

echilibru generalizat (4.2) admite solutii.

16

3.3 Existenta solutiei pentru GEP pentru apli-

catii (r; s)� �� monotone

Denitia 3.7. O functie f este spusa (r; s)� (�; �) daca urmatoarele au loc:1

r

�erf(x;y) � 1

�+1

r

�erf(x;y) � 1

�� (y � x) + �(x; y), r � s; r si s diferiti de 0,

adica:

fr(x; y) + fs(y; x) � �(y � x) + �(x; y), r � s, unde :

fr(x; y) =1

r

�erf(x;y) � 1

�:

Denitia 3.8. O aplicatie � : K�K ! R [ f�1,+1g este 0-diagonal convexa

daca, pentru orice multime nita fx1; x2; :::; xng a luiK si�i � 0; i = 1; n cunXi=1

�i =

1 si x =nXi=1

�ixi, avem ca :

nXi=1

�i�(x; xi) � 0: (3.13)

Teorema 3.3. Presupunand ca fr : K � K ! R este mixt relaxat � �

��monotona, hemicontinuoua in primul argument cu fr(x; x) = 0, pentru toti

x 2 K. Fie � : K � K ! R convexa in al doilea argument. Atunci problema

mixta de echilibru generalizat (3.1) este echivalenta cu urmatoarea problema. Ga-

siti x 2 K astfel incat:

1

r

�erf(y;x) � 1

�+ �(x; x)� �(x; y) � �(y � x) + �(x; y);8y 2 K; (3.14)

where �(tx) = tp�(x) and p > 1 is a constant.

Teorema 3.4.Fie K nevida, marginita inchisa submultime a unui spatiu Banch

real X. Fie fr : K �K ! R o aplicatie mixt relaxat � � ��monotona, hemicon-

tinua primul argument, convexa in al doilea argument cu fr(x; x) = 0, 0-diagonal

convexa si inferior semicontinua. Fie �; : K � K ! R, � convexa in cel de-al

doilea argument, (x; y) = �(x; y)� �(x; x) si este 0-diagonal convexa, si inferior

17

semicontinua; � : K ! R este slab superior semicontinua si � : K � K ! R este

slab superior semicontinua in cel de-al doilea argument.Atunci problema mixta de

echilibru generalizat (4.2) admite solutii.

3.4 Existenta solutiei pentru GEP pentru apli-

catii ��mixt relaxat monotone

Denitia 3.9. ' : K �K ! R se numeste ��diagonal convexa, daca pentru orice

multime nita fx1; x2; :::; xng din K si �i � 0, i = 1; n, cunPi=1

�i = 1 si x =nPi=1

�ixi,

avem canPi=1

�i'(x; xi) � ��mini=1;n

d(x; xi).

Teorema 3.5. Let f : K � K ! R be �1�mixt relaxat monotona, in primul

argument, �2�convexa in al doilea argument, cu f(x; x) = 0;8x 2 X.

Fie ' : K �K ! R , �3�convexa in al doilea argument.

Atunci, problema mixta de echilibru generalizat (3.1) din Sectiunea 3.1 este

echivalenta cu urmatoarea problema: Gasiti x 2 K astfel incat:

f(y; x) + �(x; x)� �(x; y) � �0d(x; y);8y 2 K, where �0 2 R.

Teorema 3.6. Fie K nevida, marginita inchisa submultime a unui spatiu Banch

real X: Fie f : K � K ! R; �1�mixt relaxat monotona, hemicontinua in primul

argument, �2�convexa in al doilea argument cu f(x; x) = 0, �3�diagonal convexa

si slab inferior semicontinua. Fie �; : K � K ! R, � �4�convexa in al doilea

argument, (x; y) = �(x; y) � �(x; x) si �5�diagonal convexa, si slab inferior

semicontinua. Fie d : K � K ! R, d � 0 slab superior semicontinua in al doilea

argument, si �1 � �0, �3 + �5 � 0.

Atunci problema mixta de echilibru generalizat (4.2) admite solutii.

18

Chapter 4

Probleme de echilibru mixt

generalizate

4.1 Denirea problemei si ultimele rezultate

Fie � 2 R:

Denitia 4.1. O functie T : C ! E� este spusa a (�; � � �) monotona daca

exista functia � : C � C ! E� si functia � : E � E ! R astfel incat

(Tx� Ty; �(x; y)) � ��(x; y); x; y 2 C

4.2 Preliminarii

Fie E un spatiu Banach real si e U = fx 2 E : jjxjj = 1g sfera unitate a lui E.

Denitia 4.2. Un spatiu Banach E este spus strict convex daca pentru orice

x; y 2 U ,

x 6= y implica jjx+ yjj < 2

Denitia 4.3. Un spatiu Banach E este uniform convex daca si numai daca

19

�(�) > 0 pentru toti � 2 (0; 2], unde � : [0; 2]! [0; 1] este denita dipa cum urmeaza

�(�) = inf

(1� kx+ y

2k : x; y 2 E; jjxjj = jjyjj = 1; jjx� yjj � 1

)

Denitia 4.4. Un spatiu Banach E se numeste neted daca limita

limt!0

jjx+ tyjj � jjxjjt

(4.1)

exista pentru orice x; y 2 U .

Pentru rezolvarea problemei mixte de echilibru, presupunem urmatoarele conditii

asupra bifunctiei f :

(i1) f(x; x) = 0, 8x 2 C

(i2) f is �1-monotona, i.e. f(x; y) + f(y; x) � �1d(x; y), pentru toti x; y 2 C,

d : C � C ! R+ si �1 2 R.

(i3) Pentru toti y 2 C, f(�; y)este slab superior semicontinua

(i4) Pentru toti x 2 C, f(x; �) este �2�convexa, �2 2 R.

4.3 Rezultate de existenta pentru probleme de

echilibru mixt generalizate

Teorema 4.2. Fie E spatiu Banach neted, reexiv, strict convex si o submultime

C nevida, marginita, inchisa si convexa a lui E.

Deasemenea, consideram:

(j1) o aplicatie T : C ! E� �� hemicontinua si � � � relaxed monotona

(j2) o bifunctie f : C � C ! R satisfacand (i1)�(i4).

(j3) o functie inferior semicontinua si �3-convexa, ' : C ! R

Fie r > 0 si z 2 C si presupunem ca

(j4) �(x; x) = 0;8x 2 C

(j5) Pentru orice u; v 2 C xati, aplicatia x!< Tv; �(x; u) > este �4�convexa

20

(j6) limt!0

�(x; (1� t)x+ ty)t

= 0 pentru orice x; y 2 C

Daca �2 + �3 + �4 � 0, atunci problemele 4.2 si 4.3 sunt echivalente:

Gasiti x 2 C astfel incat f(x; y)+'(y)+ < Tx; �(y; x) > +1r< y�x; J(x�z) � '(x);8y 2 C

(4.2)

Gasiti x 2 C astfel incat f(x; y)+ < Ty; �(y; x) > +'(y)+1r< y�x; J(x�z) >� '(x)+�(x; y);8y 2 C

(4.3)

Teorema 4.3. Fie C o multime nevida, marginita, inchisa si convex submultime

al unui spatiu Banach E neted, reexiv, strict convex si e T : C ! E� o aplicatie

�-hemicontinuoua si relaxata si �� monotona. Fie f o bifunctie de la C �C in R

satisfacand (a),(c) and (d) si e ' o functie inferior semicontinua si convexa de la

C la R. Fie r > 0 si z 2 C. Presupunand ca

(k1) �(x; y) + �(y; x) = 0;8x; y 2 C

(k2) pentru orice u; v 2 C xati, aplicatia x!< Tv; �(x; u) > este �4-convexa si

inferior semicontinua

(k3) � : E � E ! R este inferior semicontinua in primul argument; adica

pentru orice sir fx�g,daca x� converge la x in �(E;E�) aceasta implica �(x; y) �

lim inf �(x�; y), 8y 2 E

(k4) z(y; u) = f(y; u) + hTy; �(u; y)i + '(u) � '(y) +1

rhu� y; J(y � z)i este

convexa in al doilea argument.

Atunci solutia problemei (4.2) este nevida: adica, exista x0 2 C astfel incat

f(x0; y) +'(y)+ < Tx0; �(y; x0) > +1

r< y� x0; J(x0� z) � '(x0);8y 2 C: (4.4)

Teorema 4.4. Fie C o multime nevida, marginita, inchisa si convex submultime

al unui spatiu Banach E neted, reexiv, strict convex si e T : C ! E� o aplicatie

21

�-hemicontinuoua si relaxata si �� monotona. Fie f o bifunctie de la C �C in R

satisfacand (i1)-(i4) si e ' o functie inferior semicontinua si convexa de la C la R.

Fie r > 0 si denim �r : E ! C dupa cum urmeaza:

�r(x) =

(z 2 C : f(z; y)+ < Tz; �(y; z) > +'(y)+1

r< y�z; J(z�x) >� '(z);8y 2 C

)(4.5)

pentru toti x 2 E. Presupunand ca

1. �(x; y) + �(y; x) = 0, pentru toti x; y 2 C

2. pentru orice u; v 2 C xati, aplicatia x !< Tv; �(x; u) > este �4-convexa si

inferior semicontinua si aplicatia x!< Tu; �(v; x) > este inferior semicontinua

3. � : E ! R este slab inferior semicontinua

4. pentru orice x; y 2 C, �(x; y) + �(y; x) � 0

Atunci, urmatoarele au loc:

1. �r este single valued

2. < �rx� �ry; J(�rx� x) >�< �rx� �ry; J(�ry � y) > pentru toti x; y 2 E

3. F (�r) = EP (f; T )

4. EP (f; T ) este inchisa si convexa

4.4 Un algoritm de proiectie hibrid

Fie E un spatiu Banach uniform convex si neted si e C nevida, marginita, inchisa

si convexa, submultime a lui E. Deasemenea e f o bifunctie de la C � C la R si

o aplicatie T : C ! E�.

22

Teorema 4.5. Presupunem ca bifunctia f satisface conditiile (i1)-(i4) si T o

aplicatie � � � relaxat monotona.

Daca fSngn�0 este un sir de aplicatii non-expansive care verica conditia NST,

Sn : E ! C, astfel incat 6= ;, unde =Tn�0

F (Sn) \ EP (f; T ), si fxngn�0 este

unsir din C, dat de8>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>:

x0 2 C;D0 = C;

Cn = �cofz 2 C : jjz � Snzjj � tnjjxn � Snxnjjg; n � 0

un 2 C astfel incat

f(un; y) + '(y)+ < Tun; �(y; un) > +1rn< y � un; J(un � xn) >� '(un);8y 2 C; n � 0;

Dn�1 = fz 2 Dn1 :< un � z; J(xn � un) >� 0g; n � 1;

xn+1 = PCn\Dnx0; n � 0;(4.6)

0 < tn < 1; 0 < rn < 1 pentru orice n si limn!1 tn = 0, lim infn!1 rn > 0, atunci

sirul fxngn converge tare la PS0x0 sau Px0.

23

Bibliography

[1] Agarwal, R.P., ORegan, D., Sahu, D.R., Fixed Point Theory for Lipschitzian-

Type Mappings with Applications. Springer, Dordrecht, 2000

[2] Amiri, N.M., Nasseri, S.H., Duality in fuzzy number linear programming by use

of a certain linear ranking function, Applied Mathematics and Computation,

180, 206-216, 2006.

[3] Ansari, Q.H, Konnov, I.V., Yao, J.C., Existence of a solution and variational

principles for vector equilibrium problems, Journal of Optimization Theory

and Applications 110, 3, 481-492, 2001.

[4] Ansari, Q.H., Yao, J.C., On nondi¤erential and nonconvex vector optimization

problems, J. Optim.Theory Appl. 106, 475488, 2000.

[5] Aoyama, K., Kimura, Y., Takahashi, W., Toyoda, M., Approximation of com-

mon xed points of a countable family of nonexpansive mappings in a Banach

space. Nonlinear Anal. 67, 2350-2360, 2007.

[6] Bauschke, H.H., Matouskova, E., Reich, S., Projection and proximal point

methods: convergence results and counterexamples. Nonlinear Anal., 56, 715-

738, 2004.

[7] Biolan, B., A Lagrange multiplier approach using interval functions for gen-

eralized Nash Equilibrium in innite dimension, Scientic Bulletin, University

Politehnica of Bucharest, 2015, accepted for publication.

24

[8] Biolan, B., Nash Equilibrium for a Special Class of Interval Functions. Ap-

plications to Economy, Procedia Economics and Finance, 22, 587594, 2015.

[9] Biolan, B., De la teorema Fan minimax la echilibrul Nash, Studii si Cercetari

de Calcul Economic si Cibernetica Economica, 1-4, 2014.

[10] Biolan, B., The Weighted Log-Lindley distribution and its applications to

lifetime data modeling, 19th European Young Statisticians Meeting, Prague,

31 August - 4 September 2015

[11] Biolan, B., On equilibrium problem with relaxed monotonicity, The 18th

Conference of The Romanian Probability and Statistics Society, Bucharest, 8

Mai 2015.

[12] Biolan, B., Nash Equilibrium for a Special Class of Interval Functions. Ap-

plications to Economy, 2nd International Conference Economic Scientic Re-

search Theoretical, Empirical and Practical Approaches ESPERA 2014,

Bucharest, November 13-14, 2014.

[13] Biolan, B., On Nash Equilibrium by Lagrange multipliers approach using

interval functions, The 17th Conference of The Romanian Probability and

Statistics Society, Bucharest, April 25-26, 2014.

[14] Biolan, B., An approach of Nash equilibrium in innite dimension, The 16th

Conference of The Romanian Probability and Statistics Society, Bucharest,

April 26-27, 2013.

[15] Blum, E., Oettli W., From optimization and variational inequalities to equi-

librium problems. Math. Stud., 63, 1-4,123-145, 1994

[16] Bruck, R.E., On the convex approximation property and the asymptotic bahav-

iour of nonlinear contractions in Banach spaces. Israel J. Math. 38, 304-314,

1981

25

[17] Bruck, R.E., Properties of xed-point sets of nonexpansive mappings in Banach

space. Trans. Am. Math. Soc., 179, 251-262, 1973.

[18] Canovas, M.J., Lopez, M.A., Mordukhovich, B.S., Parra, J., Variational analy-

sis in semiinnite and nite programming, I: stability of linear inequality sys-

tems of feasible solutions. SIAM J. Optim., 20, 15041526, 2009.

[19] Canovas, M.J., Lopez, M.A., Mordukhovich, B.S., Parra, J., Variational analy-

sis in semiinnite and nite programming, II: necessary optimality conditions.

preprint.

[20] Chen, Y. Q., A multi-period portfolio selection optimization model by using

interval analysis, Economic Modelling 33, 113-119, 1999.

[21] Chen, Y., On the semi-monotone operator theory and applications, Journal of

Mathematical Analysis and Applications, 231, 1, 177192, 1999.

[22] Combettes, P.L., Hirstoaga, S.A., Equilibrium programming in Hilbert spaces.

J. Nonlinear Convex Anal., 6, 1, 117-136 2005

[23] P. Daniele, S. Giu¤ré, G. Idone, A. Maugeri, Innite dimensional duality and

applications, Matematische Annalen, 339, 221-239, 2007.

[24] Dinh, N., Morukhovich, B.S., Nghia, T.T.A.: Subdi¤erentials of value func-

tions and optimality conditions for DC and bilevel innite and semi-innite

programs. Math. Program. Ser. B. doi:10.1007/s10107-009-0323-4

[25] Ellaia and A. Hassouni, Characterization of nonsmooth functions through their

generalized gradients, Optimization, 22, 3, 401416, 1991.

[26] Facchinei, F., Fisher, A., Picialli, V., On generalized Nash games and varia-

tional inequalities, Operations Research Letters, vol. 35, no. 2, March 2007,

pp. 159-164.

[27] Fan, K., A generalization of Tychono¤s xed point theorem. Mathematische

Annalen 142, 305-310, 1961.

26

[28] Fang, Y.P., Huang, N.J., Variational-like inequalities with generalized

monotone mappings in Banach spaces. Journal of Optimization Theory and

Applications, 118, 2, 327338, 2003.

[29] F. Faraci, F. Raciti, On generalized Nash equilibrium in innite dimen-

sion: the Lagrange multipliers approach, Optimization: A Journal of Math-

ematical Programming and Operations Research, 2012, pp. 1-18, DOI:

10.1080/02331934.2012.747090.

[30] Gao, X., Optimality conditions for non-smooth multiobjective semi-innite

programming, Lecture Notes in Electrical Engineering 218, 467-474, 2013.

[31] Genal, A., Lindenstrass, J., An example concerning xed points. Israel J. Math.

22, 81-86, 1975.

[32] Giannessi, F., Maugeri, A., Pardalos, P.M., Equilibrium problems: Nonsmooth

Optimization and Variational Inequality Models. Kluwer Academics Publish-

ers, Dordrecht, Holland, 2001.

[33] Goberna, M.A., Lopez, M.A., Linear semi-innite programming theory: an

updated survey. Eur. J. Oper. Res. 143, 390405, 2002.

[34] Goeleven, D., Motreanu, D., Eigenvalue and dynamic problems for variational

and hemivariational inequalities. Commun. Appl. Nonlinear Anal. 3(4), 1-21,

1996.

[35] Gunzel, H., Jongen, H.T., Stein, O., Generalized semi-innite programming:

on generic Local minimizers. J. Global Otim. 42, 3, 413421, 2008.

[36] Gustafson, S.A., Semi-innite programming: approximation methods. In:

Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp. 3404

3408. Springer, Berlin, 2009.

27

[37] Gustafson, S.A., Semi-innite programming: methods for linear problems. In:

Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp. 3424


[38] Hettich, R., Kortanek, K.O., Semi-innite programming: theory, methods and

applications. SIAM Rev. 35, 380429 (1993)

[39] Hettich, R., Kaplan, A., Tichatschke, R., Semi-innite programming: nu-

merical methods. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of

Optimization, pp. 34293434. Springer, Berlin, 2009.

[40] Hettich, R., Still, G., Semi-innite programming: second order optimality con-

ditions. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimiza-

tion, pp. 34343439. Springer, Berlin, 2009.

[41] J. Jahn, Introduction to the Theory of Nonlinear Optimization, Springer,

Berlin, 2006.

[42] Jongen, H.T., Stein, O., Smoothing methods for semi-innite optimization.

In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp.


[43] Kamraksa, U., Wangkeere, R., Existence theorems and iterative approxima-

tion methods for generalized mixed equilibrium problems for a countable family

of nonexpansive mappings. J. Glob Optim 54, 27-46, doi:10.1007/s10898-011-

9739-5, 2012

[44] Kanster, B., Kuratowski, C., Mazurkiewicz, S., Ein Beweis des Fixpunktsatzes

fur n-dimensionale Simplexe. Fundamenta Mathematicae 14, 132-137, 1929.

[45] Kanzi, N., Nobakhtian, S., Optimality conditions for non-smooth semi-innite

programming, Optimization 59(5), 717727, 2010.

[46] Kanzi, N., Nobakhtian, S., Nonsmooth semi-innite programming problems

with mixed constraints, J. Math. Anal. Appl. 351, 22, 170181, 2009.

28

[47] S. Karamardian and S. Schaible, Seven kinds of monotone maps, Journal of

Optimization Theory and Applications, 66, 1, 3746, 1990.

[48] S. Karamardian, S. Schaible, and J. Crouzeix, Characterizations of generalized

monotone maps, Journal of Optimization Theory and Applications, 76, 3, 399

413, 1993.

[49] Kent E. Morrison, The Multiplication Game, Math. Mag., 83, 100-110, 2010.

[50] Kimura, Y., Nakajo, K., Some characterizations for a family of nonexpansive

mappings and convergence of a generated sequence to their common xed point.

Fixed Point Theory Appl. doi:10.1155/2010/732872, 2010.

[51] S. Komlósi, Generalized monotonicity and generalized convexity, Journal of

Optimization Theory and Applications, 84, 2, 361376, 1995.

[52] Konnov, I.V., Yao, J.C., On the generalized vector variational inequality prob-

lems, Journal of Mathematical Analysis and Applications 206, 42-58, 1997.

[53] Konnov, I.V., Schaible, S., Duality for equilibrium problems under generalized

monotonicity, Journal of Optimization Theory and Applications 104, 2, 395-

408, 2000.

[54] Kortanek, K.O., Medvedev, V.G., Semi-innite programming and applications

in nance. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimiza-

tion, 33963404. Springer, Berlin, 2009.

[55] Kortanek, K.O., Zhang, Q., Semi-innite programming, semidenite program-

ming and perfect duality. In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclope-

dia of Optimization, 34393445, Springer, Berlin, 2009.

[56] H. W. Kuhn, Classics in Game Theory, 1887, Princeton University Press.

[57] Levitin, E., Tichatschke, R., A branch-and-bound approach for solving a class

of generalized semi-innite programming problems, J. Global Optim. 13, 3,

299315, 1998.

29

[58] Li, D.H., Liqun, Q., Tam, J., Wu, S.Y., A smoothing Newton method for

semi-innite programming. J. Global Optim. 30, 169194, 2004.

[59] Li, X.B., Li, S.J., Existence of solutions for generalized vector quasi-equilibrium

problems. Optim. Lett. 4, 1,17-28, 2010.

[60] Lin, L.J., System of generalized vector quasi-equilibrium problems with ap-

plications to xed point theorems for a family of nonexpansive multivalued

mappings. J. Glob. Optim. 34, 1, 15-32, 2006.

[61] Liu, G.X.: A homotopy interior point method for semi-innite programming

problems, J. Global Optim., 37, 4, 631646, 2007.

[62] Liu, Y.J., Zhang, W.G., Zhang, P., On the semimonotone operator theory and

applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications 231, 177-192,

2013.

[63] Lopez, M., Still, G., Semi-innite programming, Eur. J. Oper. Res., 180, 491

518, 2007.

[64] Mann, W.R., Mean value methods in iteration. Proc. Am. Math. Soc. 4, 506-

510, 1953.

[65] Markowitz, Portfolio selection, The Journal of Finance 7, 1, 77-91, 1952.

[66] Matsushita, S., Takahashi, W., Approximating xed points of nonexpansive

mappings in a Banach space by metric projections. Appl. Math. Comput. 196,

422-425, 2008

[67] A. Maugeri, F. Raciti, On existence theorems for monotone and no-monotone

variational inequalities, Journal of Convex Analysis, vol. 16, 2009, pp. 899-911.

[68] J. Milnor, L.S. Shapley, On games of survival, Contrib. Theor. Games III,

Ann. Math. Studies 39, Princeton Univ. Press, 15-45, 1957.

30

[69] Mishra, S.K., Jaiswal, M., Le Thi, H.A., Nonsmooth semi-innite programming

problem using Limiting subdi¤erentials, J. Glob. Optim. 53, 285-296, 2012.

[70] Mond, B., Weir, T., Generalized Concavity and Duality, Generalized Concavity

in Optimization and Economics, Academic Press, New York, 1981.

[71] R. E. Moore, Methods and Applications of Interval Analysis, SIAM, Philadel-

phia, 1979.

[72] Mordukhovich, B.S., Variational Analysis and Generalized Di¤erentiation. I.

Basic Theory. Sp1ringer, Berlin, 2006.

[73] Mordukhovich, B.S., Variational Analysis and Generalized Di¤erentiation. II.

Basic Theory. Springer, Berlin, 2006.

[74] Mouda, A., Second-order di¤erential proximal methods for equilibrium prob-

lems. J. Inequal. Pure Appl. Math., 4, 1, article 18, 1-7, 2003.

[75] Nadler, S,BJr., Multi-valued contraction mappings, Pacic Journal of Math-

ematics 30, 475-488, 1969.

[76] Nakajo, K., Shimoji, K., Takahashi, W., Strong convergence to common xed

points of families of nonexpansive mappings in Banach spaces. J. Nonlinear

Convex Anal. 8, 11-34, 2007

[77] Nakajo, K., Takahashi, W., Strong convergence theorems for nonexpansive

mappings and nonexpansive semigroups. J. Math. Anal. Appl. 279, 372-379,

2003.

[78] J. F. Nash, L. S. Shapley, A simple 3-person poker game, Contrib. Theor.

Games I, Ann. Math. Studies 24, Princeton Univ. Press, 105-116. D. J. New-

man (1959) A model for realpoker, Oper. Res. 7, 557-560, 1950.

[79] M. A. Noor and W. Oettli, On general nonlinear complementarity problems

and quasi-equilibria, Le Matematiche, vol. 49, no. 2, pp. 313331, 1994.

31

[80] G. Owen, Game Theory, 2nd Edition, 1982,Academic Press.

[81] V. Preda, On nonlinear-programming and matrix game equivalence, Australian

Mathematical Society Series B-Applied Mathematics, 35, 429-438, 1994.

[82] V. Preda, C. Balcau, On maxentropic reconstruction of countable Markov

chains and matrix scaling problems, Studies in Applied Mathematics, vol. 111,

1, 85-100, 2003.

[83] V. Preda, C. Balcau, On maxentropic reconstruction of multiple Markov

chains, Bulletin Mathematique de la Societe des Sciences Mathematiques de

Roumanie, vol. 50, 4, 2007, pp. 295-304.

[84] V. Preda, S. Dedu, C. Gheorghe, New classes of Lorenz curves by maximiz-

ing Tsallis entropy under mean and Gini equality and inequality constraints,

Physica A, Volume 436, 925-932, 2015, Elsevier

[85] V. Preda, On duality with generalized convexity, Bolletino Della Unione

Matematica Italiana, vol. 5A, 3, Oct. 1991, pp. 291-305.

[86] Preda, V., Dedu, S., Sheraz, M., New measure selection for Hunt and De-

volder semi-Markov regime switching interest rate model, PhysicaA 407, 350-

359, 2014.

[87] Preda, V., Nondi¤erentiable mathematical programs. Optimality and higher-

order duality results, Proceedings of the Romanian Academy Series A Math-

ematics Physics Technical Sciences Information Science 9, 3, 179-183, 2008.

[88] Preda, V., On some su¢ cient optimality conditions in multiobjective di¤eren-

tiable programming, Kybernetika, 28, 4, 263-270, 1992.

[89] T. E. S. Raghavan, T. S. Ferguson, T. Parthasarathy and O. J. Vrieze, eds.,

Stochastic Games and Related Topics, 1991, Kluwer Academic Publishers.

32

[90] Reemtsen, R., Semi-innite programming: discretization methods. In:

Floudas, C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, 3417


[91] Reich, S., Weak convergence theorems for nonexpansive mappings in Banach

spaces. J. Math. Anal. Appl. 67, 274-276, 1979.

[92] J. Robinson, An Iterative Method of Solving a Game, Annals of Mathematics

54, 296-301, 1951.

[93] J.B. Rosen, Existence and uniqueness of equilibrium points for concave n-

person games, Econometrica, vol. 33, 3, 1965, 520-534.

[94] Rubio, J.E., Semi-innite programming and control problems. In: Floudas,

C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, pp. 34083417.

Springer, Berlin, 2009.

[95] W. H. Ruckle, Geometric games and their applications, Research Notes in

Mathematics 82, 1983, Pitman Publishing Inc.

[96] Schaible, S., Generalized monotonicity: Concepts and uses, in: F. Giannessi,

A. Maugeri (Eds.), Variational Inequalities and Network Equilibrium Prob-

lems, Plenum Publishing Corporation, New York, 289-299, 1995.

[97] M. Schechter, More on subgradient duality, Journal of Mathematical Analysis

and Application, 71, 251-262, 1979.

[98] Shapiro, A., On duality theory of convex semi-innite programming. Optimiza-

tion 54, 535543, 2005.

[99] Shapiro, A., Semi-innite programming, duality, discretization and optimality

condition. Optimization 58(2), 133161, 2009.

[100] L. S. Shapley, Stochastic Games, Proc. Nat. Acad. Sci., 39, 1095-1100, 1953.

33

[101] L. S. Shapley and R. N. Snow, Basic solutions of discrete games, Con-

trib.Theor.Games I, Ann. Math. Studies 24, Princeton Univ. Press, 27-35,

1950.

[102] Siddiqi, A.H., Ansari, Q.H., Kazmi, K.R., On nonlinear variational inequali-

ties. Indian J. Pure Appl. Math. 25(9), 969-973, 1994.

[103] Soleimani-damaneh, M., Jahanshahloo, G.R., Nonsmooth multiobjective opti-

mization using limiting subdi¤erentials. J. Math. Anal. Appl. 328, 281286,

2007.

[104] S. Sorin, J. P. Ponssard, The LP formulation of nite zero-sum games with

incomplete information, Int. J. Game Theory 9, 99-105, 1980.

[105] Stein, O., Adaptive convexication in semi-innite optimization. In: Floudas,

C.A., Pardalos, P.M. (eds.) Encyclopedia of Optimization, 1319. Springer,

Berlin, 2009.

[106] P. D. Stra¢ n, Game Theory and Strategy, Mathematical Association of Amer-

ica, 1993.

[107] Sun, Y.,Wang, L., Optimality conditions and dualityy in nondi¤erentiable

interval-valued programming, J. Ind. Manag. Optim. 9, 1, 131-142, 2013.

[108] Tada, A., Takahashi, W., Strong convergence theorem for an equilibrium prob-

lem and a nonexpansive mapping. In: Takahashi, W., Tanaka, T. (eds.), Non-

linear Analysis and Convex Analysis, 609-617, Yokohama Publishers, Yoko-

hama, 2007

[109] Tada, A., Takahashi, W.,Weak and strong convergence theorems for a nonex-

pansive mapping and an equilibrium problem. J. Optim. Theory Appl. 133, 3,

359-370, 2007.

34

[110] Takahashi, S., Takahashi, W., Strong convergence theorem for a generalized

equilibrium problem and a nonexpansive mappings in a Hilbert space. J. Non-

linear Anal. 69, 1025-1033, 2008

[111] Takahashi, W., Takeuchi, Y., Kubota, R., Strong convergence theorems by

hybrid meth-ods for families of nonexpansive mappings in Hilbert spaces. J.

Math. Anal. Appl. 341, 276-286, 2008.

[112] J. Tukey, A problem in strategy, Econometrica 17, 73, 1949.

[113] J. von Neumann, O. Morgenstern, The Theory of Games and Economic Be-

havior, 1944, Princeton University Press.

[114] Wangkeere, R., An extragradient approximation method for equilibrium prob-

lems and xed point problems of a countable family of nonexpansive mappings.

Fixed Point Theory Appl., Article ID 134148, p 17, doi: 10.1155/2008/134148,

2008

[115] Wangkeeree, R., Kamraksa, U., An iterative approximation method for solv-

ing a general system of variational inequality problems and mixed equilibrium

problems. Nonlinear Anal. Hybrid Syst. 3, 615-630, 2009

[116] Wangkeeree, R., Kamraksa, U., A general iterative method for solving the

variational inequality problem and xed point problem of an innite family of

nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Fixed Point Theory Appl., Article

ID: 369215, p 23, doi: 10.1155/2009/369215, 2009.

[117] H.C. Wu, Duality theory for optimization problems with interval-valued objec-

tive functions, Journal of Optimization Theory and Applications, 144, 615-628,

2010.

[118] H.C. Wu, On interval-valued nonlinear programming problems, Journal of

Mathematical Analysis and Application, 338, 299-316, 2008.

35

[119] H.C. Wu,Wolfe duality for interval-valued optimization, Journal of Optimiza-

tion Theory and Applications, 138, 497-509, 2008.

[120] H.C. Wu, The Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions in an optimization

problem with interval-valued objective function, European Journal of Opera-

tional Research, 176, 46-59, 2007.

[121] H.C. Wu, The Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions in multiobjective

programming problems with interval-valued objective functions, European

Journal of Operational Research, 196, 49-60, 2009.

[122] Xu, H.-K., Strong convergence of approximating xed point sequences for non-

expansive mappings. Bull. Austral. Math. Soc. 74, 143-151, 2006.

[123] Yao, J.C., Variational inequalities and generalized monotone operators, Math.

Oper. Res 19, 691-705, 1994.

[124] C. Z¼alinescu, Convex Analysis in General Vector Spaces, World Scientic,

Singapore, 2002.

[125] Zeidler, E., Nonlinear functional analysis and its applications-vol. I. Fixed-

Point Theorems, New York, Berlin Heidelberg Tokyo, 1986.

[126] Zeng, L.C., Schaible, S., Yao, J.C., Iterative algorithm for generalized set-

valued strongly nonlinear mixed variational-like inequalities, Journal of Opti-

mization Theory and Applications 124, 725-738, 2005.

[127] Zhang, Q., Optimality conditions and duality for semi-innite programming

involving B-arcwise connected functions, J. Glob. Optim. 45, 18, 615-629, 2009.

[128] H. C. Zhou and Y. J. Wang, Optimality condition and mixed duality for

interval-valued optimization. Fuzzy Information and Engineering, AISC, 62,

1315-1323, 2009.

36

contributii la anumite clase de echilibru...

Documents