bacm2_teorie mate 2013
TRANSCRIPT
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
1/21
NOIUNI TEORETICE PENTRU BACALAUREATFormule de calcul
2222)( bababa ++=+
222 2)( bababa +=))((22 bababa +=
a ))(( 2233 bababab ++=a ))(( 2233 bababab ++=+(a+b) 32233 33 babbaa +++= (a-b) 32233 33 babbaa += a ))(( 121 +++= nnnnn bbaabab
Funcia de gradul IDefiniie:f:R R,f(x)=ax+b,a 0 , a,b R , se numete funcia de gradul IProprieti:Dac a>0 f este strict cresctoare
Dac a 0 ecuaia are rdcini reale i diferite.Dac = 0 ecuaia are rdcini reale i egale.Dac
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
2/21
0>
x - x1 x 2
f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a0=
x - x21 x=
f(x) semnul lui a 0 semnul lui a00,a 1 se numete funcie exponenial.Proprieti:1)Dac a>1 f strict cresctoare2)Dac a )1,0( f strict descresctoare3)Funcia exponenial este bijectivFuncia logaritmic
Definiie: f:(0,) R, f(x)= log a x , a>0, a 1 se numete funcie logaritmic.Proprieti:1)Dac a >1 f strict cresctoare2)Dac a )1,0( f strict descresctoare3)Funcia logaritmic este bijectiv4)log yxxy aaa loglog += 5)log xmx a
m
a log= ,m R
6)log yxy
xaaa
loglog = 7)a xxa =log
2
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
3/21
Schimbarea bazei:loga
AA
b
ba
log
log= ,log
ab
b
alog
1=
Progresii aritmeticeDefiniie: Se numete progresie aritmetic un ir de numere realea n n care diferena oricror doi termeni consecutivi este un numr
constant r, numit raia progresiei aritmetice:a 1,1 =+ nrannTermenul general : a rnan )1(1 +=
Prop.:Nr. a,b,c sunt n progresie aritmetic2
cab
+=
Suma primilor n termeni ai unei progresii aritmetice: S2
)(1 naa n
n
+=
Progresii geometriceDefiniie : Se numete progresie geometric un ir de numerereale b 0, 1 bn n care raportul oricror doi termeni consecutivi este un
numr constant q, numit raia progresiei geometrice: qb
b
n
n
=+1
,q 0 Termenul general al unei progresii geometrice:b 11
= nn qb
Prop.:Numerelea,b,c sunt n progresie geometric cab = 2
Suma primilor n termeni ai unei progresii geometrice: S1
)1(1
=q
qb n
n
,q 1 sau S dacbnn ,1= q = 1
Formule utile:
1+2+3+2
)1( +=+ nnn
16
)12)(1(2 222 ++=+++
nnnn
1 2333 ]2
)1([2
+=+++
nnn
Modulul numerelor reale Proprieti:
aaxaax 7. 0),,[],( > aaaxax 8.yxyx ++
3
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
4/21
Combinatoricn!=1 n2 ,n )1!0( =N ,P !nn= ,n N
A)!(
!kn
nkn
= ,0 1,,; nNnknk
C)!(!
!
knk
nkn
= , 0 Nnknk ,;
Proprieti:1. C knnk
n C= ,0 Nnknk ,; 2. C kCC kn
k
n
k
n += 1,
1
11
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
5/21
Teorem:Vectorii u i v sunt coliniari R a.i. v = u .Punctele A, B, C sunt coliniare R a.i. AB = ACAB CD R a.i. AB = AC
Ecuaiile dreptei n plan
Ecuaia cartezian general a dreptei:ax+by+c=0 (d)Punctul M(x M ,y M ) d a Mx + 0=+ cbyM
Ecuaia dreptei determinat de dou puncte distincte:A( ), AA yx ,B(x ), BB y
AB:1
1
1
BB
AA
yx
yx
yx
=0
Ecuaia dreptei determinat de un punct A(x ), AA y i panta m : y-y )( AA xxm =
Dreptele d1 ,d 2 sunt paralele 21 dd mm =
Dreptele d1 ,d 2 sunt perpendiculare 21 dd mm = -1
Distana dintre punctele A(x ), AA y ,B(x ,B y )B :AB= 22 )()( ABAB yyxx +
Distana de la punctul A(x ), AA y la dreapta h:ax+by+c=0:
d(A,h)=22 ba
cbyax AA
+
++
Punctele A,B,C sunt coliniare 01
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Elemente de geometrie i trigonometrieFormule trigonometrice.Proprieti.
sin Rxxx =+ ,1cos 22
5
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
6/21
-1 Rxx ,1sin -1 Rxx ,1cos sin(x+2k xsin) = , ZkRx , cos(x+2k
= kRxx ,,cos) sin(a+b)=sinacosb+sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosb cos(a-b)=cosacosb+sinasinbsin2x=2sinxcosx, cos2x=cos
xx 22 sin
sin xx cos)2
( =
cos xx sin)2
( =
tgx= 0cos,cos
sinx
x
xctgx= 0sin,
sin
cos xx
x
tg(x+k tgx=) ctg(x+k ctgx=)
tg ctgxx = )2
(
ctg tgxx = )2
(
Valori principale ale funciilor trigonometricex 0
6
4
3
2
2
3 2
sinx 0
2
12
2
2
3 1 0 -1 0
cosx 12
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
tgx 03
3 1 3 - 0 - 0
ctgx - 3 133 0 - 0 -
Teorema sinusurilor:C
c
B
b
A
a
sinsinsin== =2R,unde R = raza cercului
circumscris tr.Teorema cosinusului:a Abccb cos2222 +=Aria unui triunghi:
A2
hb = A
2
sin AACAB = A ))()(( cpbpapp = ,p=
2
cba ++
A1
1
1
,2
CC
BB
AA
ABC
yx
yx
yx
== A2
21 cccdreptunghi = A
4
32llechilatera =
6
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
7/21
Matrice
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
......
......
21
22221
11211
-matrice cu m linii i n coloane;
nj
miijaA
,1
,1)(
=
=
=
)(, CM nm -reprezint mulimea matricelor cu m linii i n coloane cuelemente din C.
)(, CMA mnt -reprezint transpusa lui A i se obine din A prin
schimbarea liniilor ncoloane(sau a coloanelor n linii).Dac m = n atunci matricea se numete ptratic de ordinul n i areforma
A=
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
......
......
21
22221
11211
- )(CMA n
Tr(A)= nnaaa +++ 2211 -reprezint urma matricei ASistemul ordonat de elemente ),,,( 2211 nnaaa se numete diagonalaprincipal a matricei A,iar sistemul ordonat de elemente ),,( 11 nn aa senumete diagonala secundar a matricei A.
7
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
8/21
nI =
1000
0010
0100
-matricea unitate de ordinul n ; nmO , =
0000
0000
0000
-
matricea nulProprieti ale operaiilor cu matrice.:1)A+B=B+A , )(, , CMBA nm (comutativitate)2)(A+B)+C = A+(B+C) , )(,, , CMCBA nm (asociativitate)3)A+ nmO , = nmO , +A = A , )(, CMA nm
4) )()(),( ,. CMACMA nmnm a.. A+(-A) = (-A)+A= nmO , ,)(, CMA nm
5)(AB)C = A(BC) , )(),(),( ,,, CMCCMBCMA qppnnm (asociativitate)6)a)A(B+C) = AB+AC , )(,),( ,, CMCBCMA pnnm (distributivitateanmulirii fa de adunare)
b)(B+C)A = BA+CA, )(),(, ,, CMACMCB pnnm
7) )(, CMAAAIAI nnn ==
8)a(bA) = (ab)A, )(,, , CMACba nm
9)(a+b)A=aA+bA, )(,, , CMACba nm
10)a(A+B)=aA+aB, )(,, , CMBACa nm
11)aA = 0, =aO nm sau A=
nmO ,
12) ABABAaaABABAAA tttttttttt ==+=+= )(,)(,)(,)(Puterile unei matrice:Fie )(CMA n
Definim ===== NnAAAAAAAAAAAIA nnn ,,,,,,123210
Relaia Hamilton-Cayley: 222
)()( OIbcadAdaA =++ ,unde
=
dc
baA
Determinani.
bcaddc
ba= (determinantul de ordinul doi)
Determinantul de ordinul trei(regula lui Sarrus)
fed
cba
ibdfhaceggbfdhcaei
ihg
fedcba
++=
Propr: det(A BAB detdet) = , A,B )(CMn
8
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
9/21
Definiie:Fie )()( CMaA nij = .Se numete minor asociat elementuluinjiaij ,1,
determinantul matricei obinute din A prin eliminarea liniei i i acoloanei j.Se noteaz acest minor cu ijM .Numrul ij
ji
ij MA+= )1( se numete complementul algebric al
elementului ija .
Matrice inversabileInversa unei matrice :A )(CMn se numete inversabil dac existo matrice notat A )(1 CMn
a.i. A nIAAA == 11
Teorem:A 0det)( AinversabilCMn
A = AAdet
11 ,Aadjuncta matricei A. A se obine din At nlocuind
fiecare element cu complementul su algebric.Dac A,B )(CMn sunt inversabile,atunci au loc relaiile: a)(A 1 ) 1 = Ab)(AB) 111 = AB
Sisteme de ecuaii liniareForma general a unui sistem de m ecuaii cu n necunoscute:
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
a ij -coeficienii necunoscutelor, x nxx ,,, 21 - necunoscute, b mbb ,,, 21 -termenii liberi
A=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
.....
....................
......
......
21
22221
11211
-matricea sistemului, A =
mmnmm
n
n
baaa
baaa
baaa
.....
....................
......
......
21
222221
111211
-matricea
extins
9
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
10/21
B=
mb
b
b
....
2
1
matricea coloan a termenilor liberi,X=
nx
x
x
...
2
1
.matricea
necunoscutelor.AX=B -forma matriceal a sistemuluiDefiniie:- Un sistem se numete incompatibil dac nu are soluie;- Un sistem se numete compatibil dac are cel puin o soluie;- Un sistem se numete compatibil determinat dac are o singursoluie;- Un sistem se numete compatibil nedeterminat dac are mai mult deo soluie.Rezolvarea sistemelor prin metoda lui Cramer:Un sistem de ecuaii liniare este de tip Cramer dac numrul de ecuaiieste egal cu numrul de necunoscute i determinantul matriceisistemului este nenul.Teorema lui Cramer: Dac det A notat 0 , atunci sistemul AX=B
are o soluie unic x i =i ,unde i se obine nlocuind coloana i cu
coloana termenilor liberi.
GrupuriDefiniie:Fie MMM : lege de compozitie pe M.O submultimenevid H a lui M ,se numete parte stabil a lui M n raport cu legea dac HyxHyx , .Proprietile legilor de compoziieFie MMM : lege de compoziie pe M.Legea se numete asociativ dac (x
Mzyxzyxzy = ,,),()
Legea se numete comutativ dac x Myxxyy = ,,Legea admite element neutru dac exista e M a.iMxxxeex == ,.
Definiie:Cuplul (M, ) formeaz un monoid dac are proprietile:1)(x Mzyxzyxzy = ,,),()2) exist e M a.i Mxxxeex == ,.Dac n plus x Myxxyy = ,, atunci monoidul se numetecomutativ.
10
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
11/21
Notaie:U(M)={x xM/ este simetrizabil}Definiie:Cuplul (G, ) formeaz un grup dac are proprietile:1)(x Gzyxzyxzy = ,,),()2) exist e M a.i Gxxxeex == ,.3) GxGx ', a.i. x exxx == ''
Dac n plus x Gyxxyy = ,, atunci grupul se numete abelian saucomutativ.Definiie:Un grup G se numete finit dac mulimea G este finit igrup infinit ,n caz contrar.Se numete ordinul grupului G ,cardinalul mulimii G(numrul deelemente din G).Ordinul unui elementDefinie:Fie (G, ) un grup i x G .Cel mai mic numr natural nenul ncu proprietatea x en= se numete ordinul elementului x n grupul G.(ordx = n)
SubgrupDefiniie:Fie (G, ) un grup.O submulime nevid H a lui G senumete subgrup al grupului (G, ) dac ndeplinete condiiile:1) HyxHyx , .2) HxHx '
Grupul claselor de resturi modulo n, }1,,2,1{^^^
= nZn
+),( nZ grup abelian
),( nZ -monoid comutativ ,n care }1),.(..../{)(^
== nkcdmmcZkZUnn
Morfisme i izomorfisme de grupuriDefiniie:Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.O funcie f:G 'G senumete morfism de grupuri dac are loc conditia f(
Gyxyfxfyx
=,),()()
Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de grupuri.Prop.Fie (G, ) i (G ),' dou grupuri.Dac f:G 'G este morfism degrupuri atunci:1)f(e)=e ' unde e,e ' sunt elementele neutre din cele dou grupuri.2)f(x '' )]([) xf= Gx
Inele i corpuri
11
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
12/21
Definiie:Un triplet (A, ), , unde A este o multime nevid iar ,, i ,, sunt doulegi de compozitie pe A,este inel dac:
1) (A, )este grup abelian2) (A, )este monoid3)Legea ,,este distributiv fata de legea ,, :
x
(y z)=(x
y) (x
z),(y Azyxxzxyxz = ,,)()()
Inelul (A, ), , este fr divizori ai lui 0,dac (. eyxeyx eelementneutru de la legea ,, )Un inel (A, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: x
Ayxxyy = ,,
Un inel (A, ), , comutativ,cu cel putin 2 elemente i fr divizori ai lui 0, senumete,domeniu de integritate .Definiie :Un inel (K, ), cu e e se numete corp dac KxexKx
',, a.i.
eeexxxx ,('' == fiind elementele neutre )
Un corp (K, ), , se numete comutativ dac satisface i axioma: xKyxxyy = ,,
Obs.:Corpurile nu au divizori ai lui zero.Morfisme i izomorfisme de inele i corpuri.
Definiie :Fie (A, ),(),, ' A dou inele.O funcie f:A 'A se numete morfism deinele dac :1)f( Ayxyfxfyx = ,),()()1)f( Ayxyfxfyx = ,),()()
3)f(e )= e (e , e fiind elementele neutre corespunztoare legilor , )Dac n plus f este bijectiv atunci f se numete izomorfism de inele.Definiie:Fiind date corpurile K, 'K ,orice morfism(izomorfism) de inele de la K la
'K ,se numete morfism(izomorfism)de corpuri.
Inele de polinoameForma algebric a unui polinom:f = 0,011
1 ++++
nn
n
n
n aaxaxaxa ,
Aai un inel comutativ.Definiie:a A se numete rdcin a polinomului f dac f(a)=0.Teorema mpririi cu rest:Fie K un corp comutativ,iar f i g,cu g
polinoame,0 din K[X].Atunci exist polinoamele q i r din K[X] ,unicdeterminate,astfel nct f=gq+r cu gradr
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
13/21
Teorem:Fie f ][XR ,f 0 .Dac z = a+ib,b 0 este o rdcincomplex a lui f,atunci:1) z= a-ib este de asemenea o rdcin complex a lui f1)z i z au acelai ordin de multiplicitate.Obs. : fzXzX /))((
Polinoame cu coeficieni raionaliTeorem :Fie f ][XQ , f 0 .Dac x 0 ba += este o rdcin a lui
f,unde a,b QbbQ ,0, ,atunci1) bax =0 este de asemenea o rdcin a lui f 2)x 0 , 0x au acelaiordin de multiplicitate.Obs. : fxXxX /))(( 00 Polinoame cu coeficieni ntregi
Teorem :fie f= 0,011
1 ++++
nn
n
n
n aaxaxaxa ;f ][XZ
1)Dac x qpq
p,(0= numere prime ntre ele) este o rdcin raional a
lui f,atuncia)p divide termenul liber a 0b)q divide pe a n2)Dac x p=0 este o rdcin ntreag a lui f,atunci p este un divizor allui a 0 .Polinoame ireductibileDefiniie:Fie K un corp comutativ,f un polinom din K[X] cu gradf>0 senumete reductibil peste K dac exist g,q din K[X] cugradg
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
14/21
Dac f = +++ ][,012
2
3
3 XCfaxaxaxa
=
=++
=++
3
0321
3
1323121
3
2321
a
axxx
a
axxxxxx
a
axxx
f=a
=
=+++
=+++
=+++
++++
4
04321
4
1432431421321
4
2433121
4
34321
01
2
2
3
3
4
4 ][,
a
axxxx
a
axxxxxxxxxxxx
a
axxxxxx
a
axxxx
XCfaxaxaxax
Ecuaii reciproce
Definiie:O ecuaie de forma 0,011
1 ++++
nn
n
n
n aaxaxaxa pentrucare niaa iin = 0, se numete ecuaie reciproc de gradul n.Orice ecuaie reciproc de grad impar are rdcina -1.Ecuaia reciproc de gradul IV are forma:a 0,234 ++++ aabxcxbxx
Se mparte prin 2x i devine a 0)1
()1
(2
2=++++ c
xxb
xx ;notez x t
x=+
1i
obinem o ecuaie de gradul II.
Limite de functiiTeorem:O funcie are limit ntr-un punct finit de acumulare dac i numai dac arelimite laterale egale n acel punct.
f are limit n x )()( 000 xlxl ds = )0()0( 00 += xfxf
)(lim)(lim0
0
0
0 xfxfxxxx
xxxx
=
14
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
15/21
Limite uzuale.Limite remarcabile.n
nx
n
n
n
nx
xaaxaxaxa
=++++ lim)(lim 01
1
1
=
=++++
++++
mkb
a
km
mkb
a
bxbxbxb
axaxaxa
mk
m
k
m
k
m
m
m
m
k
k
k
k
x
,)(
,0
,
lim01
1
1
01
1
1
01
lim = xx
01
lim = xx
=
< x
xx
1lim
00
+ =
> x
xx
1lim
00
=
xxlim =
3lim xx
=
3lim xx
( )
>
= 10daca0
1dacalim
,a,
a,
a
x
x
( )
>
= 10daca
1daca0
lim ,a,
a,
a
x
x
( )
>=
10daca
1dacaloglim
,a,-
a,
xa
x
( )
>=
> 10daca
1dacaloglim
00 ,a,
a,
xa
x
x
2arctglim
= xx 2arctglim
=x
x 0lim =
arcctgxx
=
arcctgxx
lim
ex
x
x=
+
11lim e
x
x
x=
+
11lim ( ) ex x
x=+
1
01lim
1sin
lim0
= x
x
x 1lim
0=
x
tgx
x 1
arcsinlim
0=
x
x
x 1
arctglim
0=
x
x
x
( )1
1lnlim
0=
+ x
x
x 1,0ln
1lim
0>=
aa , ax
ax
x
15
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
16/21
1)(
)(sinlim
0=
xu
xu
x 1
)(
)(tglim
0=
xu
xu
x 1
)(
)(arcsinlim
0=
xu
xu
x
1)(
)(arctglim
0=
xu
xu
x
( )
1)(
)(1ln
lim0 =
+ xu
xu
x 1,0ln)(1
lim
)(
0 >=
aa , axu
a xu
x unde0)(lim
0
=
xuxx
Operaii fr sens: 00 ,0,1,0,,0
0,
Funcii continue
Definiie Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D
f este continu n D0 x dac )()(lim 00
xfxfxx
=
Dac f nu este continu n D0 x ,ea se numete discontinu n 0x ,iar 0x se numetepunct de discontinuitate.Teorem: Fie RDf : i D0 x punct de acumulare pentru D f continu n 0x
)()( 00 xlxl ds = = f( )0xTeorem:Funciile elementare sunt continue pe domeniile maxime de definiie.Operaii cu funcii continueTeorem:Fie f,g:D R continue pe D f+g,
),min(),,max(,),0(, gfgffgg
fgf sunt funcii continue pe D.
Compunerea a dou funcii continue este o funcie continu.Teorem: Fie f:[a,b] R o funcie continu a.. f(a)f(b)
)(lim xf
axax sau
=>
)(lim xf
axax .
Definiie : Fie f :E RaR , punct de acumulare pentru E.Se spune c dreapta x = aeste asimptot vertical pentru f dac ea este asimptot vertical att la stnga ct i ladreapta sau numai lateral.2.Asimptote oblice
Teorema : Fie f :E ,R unde E conine un interval de forma(a, )
16
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
17/21
Dreapta y=mx+n,m 0 este asimptot oblic spre + la graficul lui f dac i numai
dac m,n sunt numere reale finite,unde m= ])([lim,)(
lim mxxfnx
xfxx
=
.Analog la -
.3.Asimptote orizontale
Dac llxfx ,)(lim = numr finit atunci y = l este asimptot orizontal spre + lagraficul lui f.Analog la -Obs :O funcie nu poate admite att asimptot orizontala ct i oblic spre + (- )
Funcii derivabile
Definiie:Fie f:D R ,x D0 punct de acumulare pentru D
Derivata ntr-un punct:f )( 0' x =
0
0 )()(lim0 xx
xfxf
xx
.
f este derivabil n x 0 dac limita precedent exist i este finit.Dac f este derivabil n 0x , graficul funciei are n punctul ))(,( 000 xfxM tangent a
crei pant este )( 0' xf .Ecuaia tangentei este: ))(()( 00
'0 xxxfxfy = .
Teorem:Fie f:DR , x 0 D punct de acumulare pentru D f este derivabil n
punctul de acumulare 0x (finite)R)()( 0'
0
' = xfxf ds
0
0)()(lim
0
0 xx
xfxf
xxxx
= .
Rxx
xfxf
xxxx
0
0 )()(lim
0
0
.
Teorem .Orice funcie derivabil ntr-un punct este continu n acel punct.
Derivatele funciilor elementare
Functia Derivatac 0x 1
*Nnx n , 1nnx
Rrx r, 1rrx
x
x2
1
17
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
18/21
n xn nxn 1
1
xln
x
1
xe xe
)1,0( > aaax aax lnxsin xcosxcos xsin
xtg
x2cos
1
xctg
x2sin
1
xarcsin21
1
xxarccos
21
1
x
xarctg
21
1
x+xarcctg
21
1
x+
Operaii cu funcii derivabile
Teorem:Fie f,g:D R derivabile pe D f+g ,fg, gf
(g 0 )sunt funcii derivabile peD.Compunerea a dou funcii derivabile este o funcie derivabil.Reguli de derivare
''')( gfgf = ; ''')( gfgfgf += ; '')( ff = ;2
'''
g
gfgf
g
f =
''' )()( uufuf =
Proprietile funciilor derivabile
Definiie:Fie f:DR.Un punct x0 D se numete punct de maxim local(respectiv deminim local)al lui f dac exist o vecintate U a punctului x 0 astfel nct f(x)f(x 0 )
(respectiv f(x)f(x 0 ) ) pentru orice x UD .Dac f(x)f(x 0 )(respectiv f(x)f(x 0 ) ) pentru orice x D atunci x 0 se numetepunct de maxim absolut(respectiv minim absolut)Teorem . ( Fermat) Fie I un interval deschis i x 0 I un punct de extrem al uneifuncii : IR. Dac este derivabil n punctul x 0 atunci (x 0 )=0.
18
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
19/21
Rolul primei derivate3. Fiefo funcie derivabil pe un interval I.Dac I),0)((0)( '' > xxfxf , atuncifeste strict cresctoare( cresctoare) pe I.Dac I),0)((0)( '' < xxfxf , atuncifeste strict descresctoare(descresctoare) pe
I.Observaie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale uneifuncii derivabile i se determin punctele de extrem local.
Rolul derivatei a douaTeorem: Fiefo funcie de dou ori derivabil pe I.
Dac I,0)(" xxf , atuncifeste convex pe I.
Dac I,0)("
xxf , atuncifeste concav pe I.Definiie: Fiefo funcie continu pe Isi I0x punct interior intervalului. Spunem c
0x este punct de inflexiune al graficului funciei dacfeste convex pe o vecintatestnga a lui 0x i concav pe o vecintate dreapta a lui 0x sau invers.Observaie:Cu ajutorul derivatei a doua se stabilesc intervalele de convexitate iconcavitate i se determin punctele de inflexiune.
Noiunea de primitiv
Definiie: Fie I R interval, f : I R. Se numete primitiv a funciei f pe I, oricefuncie F : I Rderivabil pe I cu proprietatea F '(x) = f (x), x I.Teorem.Orice funcie continu f : I R posed primitive pe I.
Tabel de integrale nedefinite
Cn
xdxx
nn +
+=
+
1
1
,n N ,x R
Caxx
a
a ++=+
11
,a 1, aR ,x ),0(
),0(,ln1
+= xCxdxx sau x )0,(
RxaaCa
adxa
xx += ,1,0,ln
19
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
20/21
),(,0,ln2
1122
axaCax
ax
aax+
+
= sau x ),( aa sau x ),( a
RxaCa
xarctg
adx
ax+=
+,0,
1122
),(,0,arcsin1
22
aaxaCa
xdx
xa+=
RxaCaxxdx
ax+++=
+ ,0,)ln(
1 2222
),(,0,ln1 22
22axaCaxxdx
ax++=
sau x ),( a
+= RxCxxdx ,cossin
+= RxCxxdx ,sincos
0cos,cos
12
+= xCtgxdxx
0sin,sin
12 += xCctgxdxx
Integrala definitTeorem (Formula Leibniz - Newton)
Dac f : [a, b]Reste o funcie integrabil i f admite primitive pe [a, b] atunci pentruorice primitiv F a lui f pe [a, b] are loc formula Leibniz-Newton:
( ) ( ) ( ) ( )b b
aa
f x dx F x F b F a= = .
Proprietile funciilor integrabile.a)(Proprietatea de linearitate)Dac f,g Rba ].[: sunt integrabile i R
1) ( ) +=+b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2) =b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
b)Dac [ ]baxxf ,,0)( i este integrabil pe [ ]ba, , atunci 0d)( b
axxf .
c)Dac )()( xgxf pentru orice [ ]bax , i dacfigsunt integrabile pe [ ]ba, ,atunci
b
a
b
axxgxxf d)(d)(
d)(Proprietatea de aditivitate n raport cu intervalul)
20
-
7/30/2019 BacM2_teorie Mate 2013
21/21
Funcia f : [a, b]Reste integrabil pe [a, b] dac i numai dac, c (a, b) funciile
1 2[ , ] i [ , ]f f a c f f c b= = sunt integrabile i are loc formula:
.d)(d)(d)( =+b
a
b
c
c
axxfxxfxxf
Teorem (Formula de integrare prin pri)Fie f , g : [a, b]Rcu f , g derivabile cu derivatele continue, atunci :
' 'b bb
aa afg dx fg f gdx= .
Aria unui domeniu din plan
1. Aria mulimii din plan DR2 mrginit de dreptelex = a,x = b, y = 0 i graficul
funcieif: [a, b] R pozitiv i continu se calculeaz prin formula: ( ) ( )Ab
aD f x dx= .
2. n cazulf: [a, b] R continu i de semn oarecare, avem: ( ) | ( ) |Ab
aD f x dx= .
Volumul unui corp de rotaie Fief: [a, b]Ro funcie continu, atunci corpul Cf din spaiu obinut prin rotirea graficului luif , Gf, n jurul axei Ox, are volumul calculat
prin formula: .V(C f )= b
a
dxxf )(2