)(A

Reprezentarea grafica a diagramelor BodePentru sisteme oarecare

1. Considerente teoreticeÎn analiza şi sinteza sistemelor automate, răspunsul la frecvenţă se utilizează atât în

formă analitică, cât şi în forme grafice tipice(locul de transfer şi caracteristici logaritmice).Studiul sistemelor în domeniul frecvenţelor are la bază următorul procedeu: se aplică

la intrare semnalele armonice, de anumite frecvenţe şi aptitudini, determinându-se în mod corespunzător comportarea în regim permanent a ieşirii sistemului respectiv. Legăturile dintre amplitudinile şi frecvenţele semnalului de la intrare şi de ieşire scot în evidenţă, în mod remarcabil, o serie de însuşiri ale sistemului analizat.

În cele mai multe cazuri, răspunsul la frecvenţă interesează mai ales în cazul pulsaţiilor joase şi a celor înalte. Aceste două domenii se numesc joasă frecvenţă şi respectiv, înaltă frecvenţă.

A reprezenta pulsaţia ω de la 0 la ∞ punând în evidenţă cele două domenii este relativ dificil şi prin urmare pentru a reprezenta această scală se apelează la logaritmare (logaritm zecimal). Atunci când logaritmul variază cu o unitate se numeşte decadă. Diagramele Bode sunt reprezentări grafice în funcţie de logaritmul din ω ale următoarelor mărimi:

1.1 Răspunsul la frecvenţă al elementelor tipiceElemente de tip proporţional(P)

Se observă că oricare ar fi valoarea lui ω, modulul este egal cu factorul proporţional k şi

1

Figura 1.1. Caracteristici logaritmice pentru elementul proporţionalTeoria SistemelorLucrarea de laborator nr. 13

2. Elementul de tip integrator (I)

3. Elementul de tip derivativ (D)

)(R-20db

A(ω)

lg(ω)

φ(ω)

lg(ω)

-2π

)(R

20db

A(ω)

lg(ω)

φ(ω)

lg(ω)

-2π

2

4. Elementul de întârziere de ordinul I (T1)

Teoria SistemelorLucrarea de laborator nr. 13

a. comportarea la joasă frecvență

b. comportarea la înaltă frecvență

Figura 1.4. Caracteristici logaritmice pentru elementul T1

5. Elemente de întârziere de ordinul II(T2)

3

A(ω)

A(ω)

φ(ω)

lgω)

lgω)

lgω)

-20JR

-π/4

-π/2

La joasă frecvență: , iar la înaltă frecvență

În situația în care trebuie făcute anumite corecții diagramelor Bode.

Figura 1.5. Caracteristici logaritmice pentru elementul T2

Spre deosebire de elementul de ordinul I, la care reprezentarea asimptotică aproximativă este

suficient de corectă, în cazul elementului de ordin II, cu , apar modificări

importante în apropierea pulsației de frângere. Este vorba despre un maxim local cu atât mai mare cu cât ξ este mai mic.

1.2 Pașii necesari pentru trasarea diagramelor Bode

Se consideră G(s) funcția de transfer a unui sistem liniar, constant, monovariabil, având poli și zerouri ăn semiplanul complex stâng și eventual pe axa imaginară,

.Funcția de transfer compusă a acestui tip de sistem poate fi exprimată sub forma:

- amplitudinea va deveni:

- faza va deveni

Din ultimele două relații rezultă că trasarea diagramelor de frecvență pentru un sistem compus se poate face prin trasarea diagramelor individuale pentru elementele componente și însumarea acestora. De aceea, se va urmări un algoritm de trasare rapidă a diagramelor, ce va cuprinde următoarele etape:

-π/4

-π/2

2

2A(ω)

1/T

-20JR

4

1. Se aduce funcția de transfer a sistemului sub forma unui produs de funcții de transfer tipice pentru care se cunosc diagrame de frecvență;

2. Se determină pulsațiile de frângere pentru toate elementele componente(se determina acele ,ce apar pentru elementele T1,T2,A1,A2). Pe caracteristicele de frecvență, prin lg , se trasează drepte verticale punctate.

Diagrame Bode

b)

s: G(s)=s

e = exces pol zerouri (grad numitor – grad numărător) = 5 – 2 = 3

q = nr. de integrare (dacă s este la numărător => q negativ; iar dacă s este la numitor => q pozitiv și este la

puterea acestuia)q = – 1

5

100

80

60

40

20

-20-38-40

-60

-80

φ(ω)

2π

Π

+20dB/dec

-40dB/dec

-80dB/dec

-60dB/dec

6