b. caracteristici bode pentru elemente de transfer …...sunt inverse, caracteristicile bode din...

Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 128

B. Caracteristici Bode pentru elemente de transfer tipizate

1. ET-P Deoarece k)s(H , avem:

0)j(Hargk|)j(H|

, respectiv

0

|k|klg20H

H

dBdB .

Reprezentarea grafica este cea din figura alăturată.

2. ET-I s1)s(H H(jω) =

j1 = -

1j =

1 e-j(п/2)

Deci: |H| =1 |H|dB= - 20lgω= - 20ωlg

iar arg H = -2 ; φH= -

2 .

Diagramele au aspectul din figură.

3. ET-D s)s(H

Caracteristicile Bode ale ET-D se construiesc având în vedere că ET-D este inversul ET-I. 1)

4. ET-Tm se)s(H je)j(H

lgωlgωdB

10τ10τωτ)j(Harg

0H1)j(H,

1)

1) Spaţiile libere se completează la curs.


5. ET-PT1 1TsK)s(H

H(jω) = )T(jarctg2)T(jarctg2

e)T(1

1

e)T(1

1Tj1

1

Deci |H|=2)T(1

1

iar arg H=-arctg ωT.

Modulul |H| se poate aproxima astfel:

|H|≈

.,

;,

1111

TdacaT

Tdaca

(26)

Se introduce notaţia:

ω0 = T1

, (27)

unde ω0 se numeşte pulsaţie de frângere. Atunci relatia (26)

devine:

|H| ≈

;,

;,

Tdaca

T

Tdaca

11

11

.daca),(20;daca,0

H0gg0

0dB

Reprezentarea grafică a caracteristicilor Bode este cea din figură. S-a considerat H=-arctg ωT.

Exemplu : Să se determine caracteristicile Bode ale sistemului

din figură considerând că R=10kΩ şi C=0.01 F.

Cuadripolul are modelul matematic: RCy(1)(t)+y(t)=u(t),

respectiv f.d.t. este:H(s) =1RCs

1

.

Constanta de timp a sistemului este T = RC =

= 104 10-2 10-6 = 10-4 sec=0.1 msec.

Rezultă pulsaţia de frângere ω0 = 14 sec10T1 .

Pentru reprezentarea grafică a caracteristicilor Bode

particularizăm construcţia din cazul general

folosindu-ne de ω0 şi de pante.

6. ET-PD )sT1(K)s(H D

ET-PD este ET invers al ET-PT1.


Ca aplicaţie la cele prezentate se consideră ET-PDT1 . El are f.d.t. sT1sT1K)s(H D

. Pentru

simplitate adoptăm K=1. Elementului de transfer i se poate asocia schema bloc din figură, adică o structură în

care apar înseriate un ET-PD şi un ET-PT1.

Se disting 2 cazuri TD > T ET cu anticipare-întârziere (lead-lag)

T > TD ET cu întârziere anticipare (lag-lead)

7. ET-PT2...F.d.t. este 1sT2sT

KsH 22 )(

sau 2nn

2

2n

s2sKsH

)( . Formulele sunt

legate prin relaţia T1

n .

În figura alăturată sunt reprezentate caracteristicile

Bode ale ET-PT2. Reprezentarea s-a făcut pentru K

= 1. În abscisă s-a considerat variabila lgn

gˆ

, numită pulsaţie raportată, în loc de lg , denumită în

acest context pulsaţie absolută. Amortizarea joacă rol de parametru. Ca urmare, spre deosebire de cazurile

anterioare, nu mai avem două caracteristici ci două familii de caracteristici corespunzătoare diferitelor valori

ale lui . Familia de c.a-p. redă faptul că pentru foarte mică apare un vârf de rezonanţă cu atât mai pronunţat

cu cât valoarea lui este mai redusă.

u sT1 D

y

sT11


8. ET-DT2 H(s) = K·(T2s2+2Ts+1). Întrucât pentru K = 1 cele două elemente de transfer de la punctele 7 şi 8 sunt inverse, caracteristicile Bode din acest caz sunt în principiu simetrice în raport cu axele g sau

lgn

faţă de cele de la punctul 7.

3. Tipuri de probleme în care se folosesc caracteristici Bode

Filtre

Transmiterea, generarea sau prelucrarea de semnale este afectată în general de perturbații. Pentru

prelucrarea semnalelor afectate de perturbaţii se interpun, în aval de receptor filtre. Filtrele sunt sisteme

destinate prelucrării semnalelor de intrare astfel încât semnalele de la ieșirea lor să reţină numai o parte din

componentele semnalului de intrare (sau din spectrul semnalului de intrare). Cu ajutorul filtrelor:

i) pot fi eliminate componentele parazite ale semnalului de intrare, atunci când acesta este afectat din

anumite cauze de perturbaţii parazite, reţinându-se semnalul util (semnalul purtător de informaţie);

ii) pot fi selectate componente dintr-o bandă îngustă din semnalul de intrare necesare pentru prelucrări

ulterioare (filtre selective) sau dintr-o bandă largă (filtre trece jos, - trece bandă sau –trece sus);

componentele din afara plajei fiind rejectate.

Principalul mod de caracterizare al filtrelor îl reprezintă f.d.t. şi caracteristicile Bode asociate.

Ca exemplu, ne referim la trei filtre de ordin 2 care apar frecvent în aplicaţii. De obicei amortizarea lor

are valoarea F 22

. Pulsaţia F este pulsaţia proprie a filtrului. Reprezentăm doar c.a-p.

a) Filtrul trece-jos cu f.d.t. 1sT2sT

1sHFF

22F

F

)( sau 2FFF

2

2F

Fs2s

sH

)( .

b) Filtrul trece-bandă cu f.d.t. 2FFF

2F

s2sssH

)(


c) Filtrul trece-sus cu f.d.t. FFF

2

2

s2sssH

)( .

Definirea unor indicatori de calitate ai sistemelor cu ajutorul caracteristicilor Bode

În tehnică, pentru evaluarea diverselor aparate destinate prelucrării de semnale sau evaluarea unor

sisteme de reglare, se utilizează diferiţi indicatori de calitate, inclusiv indicatori definiţi pe baza caracteristicilor

Bode ale aparatelor, respectiv ale sistemelor de reglare.

De regulă se consideră că atenuările semnificative se produc atunci când 22H . Aceasta înseamnă

dBHlgH dBdB 32220 .

În acest context pe c.a.-p se definesc două mărimi: banda de pulsaţie şi pulsaţia de bandă. Modul în

care sunt definiţi rezultă din figură. Banda de pulsaţie este notată cu b şi reprezintă domeniul de valori ale lui

pentru care | |dBH dB3 . Banda de pulsaţie este mărginită superior de valoarea b numită pulsaţie de

bandă.


Figura evidenţiază şi posibilitatea producerii unor procese rezonante. Ele se manifestă faţă de

componentele sinusoidale ale semnalului de intrare de pulsaţii apropiate de r , pe care le amplifică foarte mult.

Banda de pulsaţii, pulsaţia de bandă şi dBr )j(H sunt considerate indicatori de calitate ai sistemelor.

De regulă se cere ca primii doi să aibă valori cât mai mari, iar cel de ak treia să tindă spre valoarea 0 dB.

§ 3.3 Stabilitatea sistemelor

1. Conceptul de stabilitate Stabilitatea este o proprietate fundamentală a unui sistem, anume: proprietatea de a ajunge într-un

regim de funcţionare impus prin semnalele de intrare şi de a se menţine în acel regim la apariţia perturbaţiilor.

(Conceptul de stabilitate).

Primul aspect al conceptului de stabilitate are în vedere cerinţa ca sistemul să ajungă într-un regim de

funcţionare impus prin aplicarea unui semnal de intrare începând cu un moment t0, în situaţia în care,

până la momentul t0 el se găsea într-un alt regim de funcţionare, datorat formei anterioare de variaţie

a mărimii de intrare.

Figurile a şi b, următoare, se referă la traiectorii reprezentate în spaţiul stărilor. Curbele 1 reprezintă

traiectorii corespunzătoare regimului impus începând cu momentul t0, iar curbele 2 traiectoriile pe care sistemul

evoluează în realitate. În cazul când traiectoria 1 este stabilă, traiectoria 2 trebuie să tindă spre traiectoria 1.

Trecerea nu poate fi instantanee datorită inerţiei sistemului.

Se observă că în situaţia din fig. a traiectoria 2 se apropie de traiectoria 1. Deci regimul 1 este stabil. În

situaţia din fig. b cerinţa nu este îndeplinită, traiectoria 2 se depărtează de traiectoria 1, deci regimul 1 este

instabil.

Cel de al doilea aspect al conceptului de stabilitate se referă

la menţinerea sistemului în regimul de funcţionare impus la

apariţia perturbaţiilor, în ideea că acestea acţionează asupra

sistemului pe un interval de timp limitat. După încetarea

acţiunii perturbaţiilor sistemul trebuie să aibă capacitatea de

a reveni în regimul de funcţionare impus.

Alăturat, în fig. a, curba 1 reprezintă traiectoria neperturbată

(traiectoria pe care sistemul ar evolua dacă asupra lui nu ar acţiona

perturbaţii). În realitate, datorită acţiunii unor perturbaţii care

acționează începând cu momentul t-1, sistemul ajunge pe una din


traiectoriile 2. Perturbaţiile încetează la momentul t0. Se observă că traiectoriile 2 converg spre traiectoria 1.

Aceasta înseamnă că regimul de funcţionare reprezentat prin traiectoria 1 este stabil. În medalioane se detaliază

două situaţii. În cazul din fig. b traiectoriile 2 ajung în regim permanent constant (pentru t ), la fel ca şi

traiectoria 1, în starea x*; spunem să regimul de funcţionare este asimptotic stabil. În cazul din fig. c traiectoriile

2 ajung în final într-o vecinătate a stării x*; spunem că regimul de funcţionare este stabil.

Conceptul de stabilitate fiind asociat regimului de funcţionare al unui sistem, vorbim de stabilitatea

regimului de funcţionare respectiv. Un sistem poate avea regimuri de funcţionare stabile dar şi regimuri de

funcţionare instabile. De aceea, vom spune că un sistem este stabil numai atunci când toate regimurile de

funcţionare ale sistemului sunt stabile.

Prezentarea anterioară a fost de factură calitativă. Plecând de la exemplele date putem trece în

continuare la o abordare cantitativă. Un regim de funcţionare al unui sistem este descris prin ansamblul variaţiei mărimilor caracteristice ale

acestuia pe un interval de timp finit sau infinit. Datorită inerţiei sistemului regimul impus nu se poate instala sau

reinstala instantaneu ci doar temporizat, printr-un proces tranzitoriu. Fie )t(x* şi )t(y* semnalele corespun-

zătoare mărimilor de stare şi de ieşire care descriu regimul de funcţionare impus unui sistem în timp continuu

prin aplicarea semnalului de intrare )t(u* . Fie x(t) şi y(t) semnalele care descriu variaţiile mărimilor de stare şi

de ieşire în regimurile tranzitorii ce urmează momentului impunerii noului regim de funcţionare sau momentului

încetării acţiunii perturbaţiilor. În cazul când regimul de funcţionare este stabil, valorile curente, x(t) şi y(t), ale

stării şi ieşirii diferă la începutul procesului tranzitoriu de valorile impuse )t(x* şi )t(y* , dar ajung în

vecinătatea lor odată cu trecerea timpului.

În contextul de mai sus proprietatea de stabilitate poate fi urmărită prin intermediul diferenţelor

)t(x)t(x)t(x * , (1)

respectiv

)t(y)t(y)t(y * , (2)

conceptul de regim stabil formulându-se astfel:

Regimul de funcţionare al unui sistem este considerat stabil dacă începând cu un anumit moment t0

diferenţele )t(x)t(x)t(x * sau )t(y)t(y)t(y * pot fi păstrate între anumite limite sau,

mai mult, dacă 0)t(xlimt

sau 0)t(ylimt

.

Dacă proprietatea este valabilă pentru orice regim impus )t(*x spunem că sistemul este stabil.

Atunci când urmărim problema stabilităţii regimurilor prin intermediul mărimilor de stare x, vorbim

despre stabilitate internă, şi definim stabilitatea regimului prin următorul enunţ cunoscut în literatură sub

denumirea de stabilitate în sens Liapunov:

Regimul impus )t(x* este stabil dacă pentru orice 0 ( R ) şi orice Rt0 există R)t,( 0

astfel încât: dacă )t,(xx)t(x 00*00 atunci şi )t(x)t(x)t(x * pentru t>t0.


Dacă există cel puţin o stare iniţială 0x pentru care implicaţia )t,(xx)t(x 00*00 →

)t(x)t(x)t(x * nu este valabilă, regimul impus este considerat instabil.

Dacă în definiţia stabilităţii în sens Liapunov )t,( 0 este o cantitate care nu depinde de momentul

iniţial t0, (notăm acest lucru scriind )( ), spunem că regimul impus este invariant stabil în timp sau că regimul

impus este uniform stabil. Dacă, în plus, pentru orice 0 ( R ) există un )(0 astfel încât dacă

)()t(x 00 atunci şi 0)t(xlimt

spunem că regimul impus este asimptotic stabil.

Stabilitatea internă poate fi studiată folosind ca o variabilă de stare auxiliară, pe )t(x)t(x)t(x~ * . În

acest caz diferenţa )t(x)t(x)t(x * are tocmai semnificaţia variabilei de stare nou introduse, iar

)t(x)t(x * este echivalentă cu 0)t(x~ . Problema este astfel redusă la stabilitatea regimului 0)t(x~ .

În cazul în care urmărim stabilitatea sistemului prin diferenţa )t(y)t(y)t(y * vorbim despre

stabilitatea externă a sistemului. Totodată, vom reţine că pentru sistemele liniare stabilitatea internă

asimptotică a unui sistem implică stabilitatea externă a acelui sistem.

Stabilitatea internă este din punct de vedere teoretic un concept deosebit de important prin faptul că

furnizează mijloace sistematice de investigare a stabilităţii şi permite obţinerea a numeroase rezultate. Din punct

de vedere experimental stabilitatea internă este însă un concept cu care de cele mai multe ori nu se poate

opera. Explicaţie: pe de-o parte, nu toate variabilele de stare sunt măsurabile, iar pe de altă parte, provocarea

unor situaţii experimentale acoperitoare din punctul de vedere al variabilelor de stare este de regulă imposibilă.

Experimental se operează cu conceptul de stabilitate externă prin raportarea variației semnalului de

ieșire y(t) la variația semnalul de intrare u(t). Forma de operare este: „intrarea mărginită implică ieşire

mărginită”. Conceptul este cunoscut sub denumirea de BIBO-stabilitate (Bounded Input Bounded Output –

Stability). El caracterizează comportarea sistemului într-un număr foarte mare de regimuri de funcţionare.

Conceptul de BIBO-stabilitate se utilizează în practică sub forma următoare:

„Se aplică sistemului un semnal de intrare )t(u* mărginit în amplitudine şi limitat în durată, adoptat

astfel încât să solicite sistemul cât mai puternic din punctul de vedere al funcţiei pe care sistemul o

îndeplineşte. Dacă răspunsul sistemului la această solicitare este mărginit atunci se consideră că

regimurile de funcţionare cauzate de funcţii de intrare u(t) mai puţin solicitante decât )t(u* vor fi, de

asemenea mărginite, deci stabile extern.”

În figurile următoare apar câteva exemple referitoare la BIBO – stabilitate.

Fig. a: Pentru un sistem de tip SISO sunt ilustrate un semnal de intrare şi răspunsul sistemului la acest

semnal. Se observă că max* u)t(u şi că există un ymax astfel încât maxy)t(y . În ipoteza că acest

tip de comportare este general valabil, vom considera că sistemul este BIBO-stabil.


Fig. b: La intrările unui sistem MIMO, cu două intrări şi două ieşiri, se aplică două semnale de intrare

)t(u*1 şi )t(u*

2 mărginite în amplitudine ( max* u)t(u 11 şi max

* u)t(u 22 ). Răspunsul sistemului,

redat de semnalele )t(y1 şi )t(y2 , nu verifică în ansamblu condiţiile max* y)t(y 11 şi

max* y)t(y 22 . A doua condiţie fiind încălcată înseamnă că sistemul nu este BIBO – stabil. Aceasta

nu exclude existenţa unor semnale de intrare mărginite la care sistemul să răspundă cu semnale de

ieşire mărginite.

În cele prezentate în această secţiune, până aici, ne-am referit doar la sisteme în timp continuu.

Conceptele sunt valabile şi pentru sistemele în timp discret. Pentru aceste sisteme urmărirea proceselor care au

loc se realizează prin intermediul valorile mărimilor caracteristice corespunzătoare numai momentelor de

discretizare. Traiectoriile sunt constituite din puncte discrete şi nu din curbe continue.

2. Criteriul rădăcinilor

S-a precizat anterior că „stabilitatea internă a oricărui regim poate fi studiată folosind ca variabilă de

stare pe )t(x)t(x)t(x~ * şi că în acest caz problema este redusă la stabilitatea regimului 0)t(x~ ”, adică la

stabilitatea punctului 0x~ .

Fie sistemul liniar în timp continuu:

)t(Du)t(Cx)t(yx)t(x , )t(Bu)t(Ax)t(x 00

(3)

În cazul traiectoriilor notate cu 1 în figurile din secțiunea 1, sistemul evoluează sub acțiunea semnalului

de intrare u*(t), t > t0, plecând din starea inițială 0x . În cazul traiectoriilor notate cu 2 în aceleași figuri sistemul


evoluează tot sub acțiunea semnalului de intrare u*(t), t > t0, dar plecând din starea inițială 0x . Ca urmare )t(x*

și )t(x vor satisface relațiile:

*00

*** x) x(t, (t)Bu(t)Ax(t)x

00 x) x(t, (t)BuAx(t)(t)x

Atunci, scăzându-le membru cu membru și introducând variabila de stare )t(x)t(x)t(x~ * , se obţine

sistemul

0000 tt,xx)t(x~),t(x~A)t(x~ * . (4)

Polinomul caracteristic al matricei A (matrice de tipul n x n), este

)AsIdet()s( . (5)

În acest context este valabil următorul rezultat cunoscut sub denumirea de criteriul rădăcinilor sau

criteriul fundamental al stabilităţii pentru sistemele liniare în timp continuu:

Sistemul (3) este:

o asimptotic stabil atunci când valorile proprii ale polinomului caracteristic (5) au partea reală

strict negativă,

o stabil atunci când unele valori proprii au partea reală strict negativă iar restul sunt pur

imaginare, dar simple (în acest caz se mai spune că sistemul este “la limita de stabilitate”)

şi

o instabil în restul cazurilor.

Celor trei situaţii le corespund reprezentările din figură.

În cazul sistemului în timp discret

]t[Du]t[Cx]t[yx]t[x , ]t[Bu]t[Ax]t[x 001

, (6)

similar sistemului (4), obţinem

00001 tt,Nt,xx]t[x~],t[x~A]t[x~ * . (7)


cu polinomul caracteristic

)AzIdet()z( . (8)

În acest caz este semnificativă amplasarea rădăcinilor polinomului caracteristic în raport cu cercul de

rază unitară 1z . Criteriul rădăcinilor (criteriul fundamental al stabilităţii) pentru sistemele în timp discret

este:

Sistemul (7) este:

o asimptotic stabil atunci când valorile proprii ale polinomului caracteristic (8) sunt în modul

subunitare, adică n;i,z i 11 ,

o stabil dacă, cu excepţia unor rădăcini simple amplasate pe cercul 1z , restul rădăcinilor

sunt în interiorul cercului unitar (sistem la limita de stabilitate)

şi

o instabil în restul cazurilor.

De data aceasta, celor trei situaţii le corespund reprezentările următoare:

Se observă că analizarea stabilităţii sistemelor liniare pe baza calculării valorilor proprii (rădăcinilor) se

reduce, formal, la identificarea amplasării imaginilor lor în planul complex faţă de axa imaginară a planului

complex „s” (în cazul sistemelor în timp continuu), respectiv faţă de cercul de rază unitate 1z din planul

complex „z” (în cazul sistemelor în timp discret).

Majoritatea programelor de analiză a stabilităţii sistemelor se bazează pe acest criteriu şi pe metode

numerice de rezolvare a ecuaţiilor polinomiale.

3. BIBO – stabilitatea sistemelor liniare, Criteriul răspunsului la impuls.

Limităm prezentarea la cazul SISO, corespunzător sistemului:

00 0

t,

)t(du)t(xc)t(y

x)(x , )t(bu)t(Ax)t(xT

(9)

pentru care răspunsul sistemului la semnalul de intrare 0t),t(*u este 2)

2) Textul scris cu roşu pe fond gri nu se cere pentru examen.


)t(dud)(bueC)(xec)t(yt

*)t(AAtT

0

0 . (10)

Dacă ţinem seama de funcţia răspuns cauzal la impuls T At

0 , t 0 h(t)

c e b , t 0

, rezultatul devine

)t(udd)(u)t(h)(xec)t(y *t

*AtT 0

0 . (11)

Potrivit conceptului de BIBO – stabilitate introdus în secţiunea 1 a acestui paragraf răspunsul y(t) al sistemului (9) la o intrare 0t),t(*u mărginită trebuie să fie mărginit. Semnalul )t(*u fiind mărginit

deducem că şi termenul )t(*ud este mărginit. Ca urmare, trebuie să fie mărginită suma

t

*AtT d)(u)t(h)(xec0

0 . Întrucât, )(x 0 şi )t(*u sunt cantităţi independente, rezultă că, pe de-o

parte răspunsul liber )(xec AtT 0 trebuie să fie mărginit, iar pe de altă parte că răspunsul forţat

t

* d)(u)t(h0

trebuie să fie mărginit.

Ţinând seama de (11) deducem că

t

max

t*

t*

t* d)t(hud)(u)t(hd)(u)t(hd)(u)t(h

0000

,

respectiv inegalitatea t

max

t* d)(hud)(u)t(h

00

. Deoarece proprietatea trebuie să fie adevărată

pentru orice t > 0 rezultă că

00

d)(hud)(u)t(h max* . (12)

Ca urmare, termenul t

0duth )()( * să fie mărginit atunci când 0t),t(*u este mărginită,

adică:

Pentru ca sistemul (9) să fie BIBO stabil este necesar şi suficient ca funcţia răspuns la impuls unitar

h(t) să fie absolut convergentă adică

0

d)(h să ia o valoare finită. (Criteriul răspunsului la

impuls).

Întrucât h(t) = bec AtT H(s) = b)AsI(cT 1 , o condiţie necesară şi suficientă pentru ca h(t) să fie absolut convergentă este ca toate valorile proprii ale matricei A, adică toţi polii funcţiei de transfer H(s), să îndeplinească condiţia 0sRe i . În consecinţă:

Pentru ca sistemul (9) să fie BIBO – stabil, o condiţie necesară şi suficientă este ca sistemul (9) să fie asimptotic stabil.

Similar, pentru sistemul în timp discret:

]t[du]t[xc]t[y

x][x , ]t[bu]t[Ax]t[xT

001 (13)


este valabilă precizarea:

Pentru ca sistemul (13) să fie BIBO – stabil, o condiţia necesară şi suficientă este ca sistemul să fie asimptotic stabil. Aceasta înseamnă n;i,z i 11 .

În locul condiţiei „

0

d)(h mărginită”, în cazul sistemului (13) în criteriul răspunsului la impuls apare

condiţia „

0t]t[h mărginită”.

Exemplul 1: Să se analizeze stabilitatea internă şi existenţa proprietăţii de BIBO – stabilitate pentru sistemul de poziţionare.

Soluţie: Matricea A =

0010

a sistemului de poziţionare are valorile proprii s1 = s2 = 0. Deoarece

valoarea proprie este pe axa imaginară şi este dublă sistemul este instabil şi nu are proprietatea de BIBO - stabilitate.

Exemplul 2: Să se analizeze stabilitatea internă şi existenţa proprietăţii de BIBO – stabilitate pentru

sistemul

[t]x[t]x

01y[t]

u[t]a0

[t]x[t]x

0010

1][tx1][tx

2

1

2

1

2

1

.

Soluţie: Şi în acest caz A =

0010

iar valorile proprii sunt z1 = z2 = 0. Datorită faptului că valoarea

proprie este în origine (deci în interiorul cercului de rază unitară) sistemul este stabil şi are proprietatea de BIBO - stabilitate.

b. caracteristici bode pentru elemente de transfer …...sunt inverse, caracteristicile bode din...

Documents