conceptul de probabilitate. aplicaţii în domeniul

1

Conceptul de

probabilitate.

Aplicaţii în domeniul

medical

Obiective

Prezentarea conceptelor fundamentale ale

teoriei calculului probabilitaţilor

Exemplificarea practică a diferitelor modele

matematice ale teoriei probabilităţilor

2

Medicii cu experienţă încep procesul de a pune un

diagnostic de la prima stabilire a contactului vizual

cu un pacient.

Dar procesul de diagnosticare poate începe chiar

înainte de stabilirea contactului vizual cu un pacient.

Oare nu se poate diagnostica pacientul care nu a

fost încă văzut, care este încă în camera de

aşteptare?

Doar noi cunoaștem foarte multe despre pacient şi

putem face unele deducții

3

Inainte de a vedea cu pacientul suntem deja

capabili să identificăm cele mai probabile

două diagnostice şi să atribuim o

probabilitate iniţială pentru fiecare.

În momentele ulterioare, în funcție de

anamneză, de examinare şi testele

suplimentare (dacă este necesar) fiecare

dintre probabilităţi va suferi o serie de

modificări în jos sau în sus.

4

Medicul individualizează întrebările puse şi

elementele examinate în aşa fel încât

rezultatul fiecărei interogări forţează un

diagnostic sau altul de a fi mai probabil.

Astfel, diagnoza este un proces dinamic şi

secvential.

5

Să presupunem că la un anumit moment am

finalizat procesul de diagnosticare pentru un

pacient. Până la sfârşitul procesului de

diagnosticare medicul ar trebui să aibă un

diagnostic 100% probabil, dar în multe

cazuri, diagnosticul de lucru (alegerea

numarul unu) poate avea probabilitatea de

doar 70% - 80%.

6

Când un diagnostic nu este 100% probabil,

la momentul iniţial de evaluare, se

urmărește evoluția simptomatologiei

pacientului în timp pentru revizuirea

probabilităţi de diagnostic.

În cazurile care implică incertitudine chiar şi

elaborarea listei de diagnostice probabile cu

un număr mic de alternative concrete permite

medicului evaluarea opţiunilor rezonabile să

aleagă diagnosticul corect.

7

8

De ce avem nevoie de probabilităţi?

Stau la baza statisticii inferenţiale

Poate fi privită ca o măsură a capacităţii

eşantionului de a estima caracteristica unei

populaţii

9

Obiective

Definirea conceptului de probabilitate

Operaţii cu probabilităţi

Probabilitate condiţionată. Formula lui Bayes

Prevalenţa, valori predictive, senzitivitate,

specificitate

10

Teoria probabilităţilor

Teoria probabilităţilor are ca obiect de studiu legile care se manifestă în domeniul fenomenelor întâmplătoare cu caracter de masă care pot apare în diverse arii de interes.

11

Concepte fundamentale -

definiţii

Un experiment este o activitate a cărui rezultat este întâmplător poate fi definit şi ca un proces de colectare a datelor dintr-o populaţie

Exemple:

Arucarea unui zar (1,2,3,4,5 sau 6)

Determinarea statusului de a fi seronegativ sau seropozitiv.(da/nu)

Determinarea grupei sangvine. (0,A,B,AB)

12

Concepte fundamentale -definiţii

Aplicarea experimentului asupra unui element al colectivităţii se numeşte probă.

Rezultatul unei probe constituie un eveniment.

Evenimentul ce apare ca rezultat al unei singure probe (sau încercări) se numeşte eveniment elementar.

13

Abordări ale calcului probabilităţilor

Clasic

Probabilitatea unui eveniment A =

Numărul de cazuri favorabile

Numărul de cazuri posibile

Frecvenţa relativă

Numărul de apariţii a unui eveniment, după

repetarea experimentului de un număr mare de

ori.

14


Care este probabilitatea ca la aruncarea unui

zar să obţinem faţa cu numărul 6?

Clasic

Numărul de cazuri favorabile = 1

Numărul total de cazuri posibile = 6

Probabilitatea = 1/6

15


Care este probabilitatea ca la aruncarea unui

zar să obţinem faţa cu numărul 6?

Frecvenţe relative

Realizăm un număr mare de aruncări ale zarului şi calculăm frecvenţa distribuţiei pentru fiecare eveniment{1,2,3,4,5,6}

Probabilitate {6} = Numărul de valori 6 / numărul total de aruncări

16

Probabilitatea

măsoară incertitudinea

măsoară şansele ca un eveniment să aibă loc

are valori între 0 şi 1

17

0 11

2

imposibil certşanse 50-50

100%50% 0%

18

Exemplu

Încercările constau în determinarea grupei sangvine, rezultatele posibile fiind: A, B, AB, O, acestea nu sunt echiprobabile.

Grupa Sangvina Probabilitatea

O 0.42

A 0.43

B 0.11

AB 0.04

19

Spaţiul fundamental de evenimente

evenimentul imposibil () - mulţimea vidă

evenimentul cert (E)- mulţimea fundamentală E

Evenimentul sigur se produce cu certitudine la orice efectuare a experimentului

Evenimentul imposibil este nerealizabil în urma efectuării experimentului.

Complementul evenimentului A

Complementul evenimentului A, notat cu sau nonA

reprezintă evenimentul care se realizează ori de câte ori

nu se realizează A.

Exemplu

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {1, 2} = { 3, 4, 5, 6 }

20

A

A

21

Definiţia axiomatică

Fie E un spaţiu fundamental asociat unui experiment H şi mulţimea tuturor evenimentelor, adică mulţimea părţilor lui E:

P(E) .

Se spune că funcţia Pr:R este o funcţie de probabilitate, iar prin Pr(A) se notează probabilitatea evenimentului A, dacă satisface următoarele axiome:

M1. 0 Pr(A) 1, A

M2. Pr(E) 1

M3. Dacă A şi B sunt incompatibile (adică nu pot avea loc simultan) atunci

Pr(AB) Pr(A) Pr(B).

Definiţia axiomatică - proprietăţi

T1. Dacă A1, A2, ..., An sunt evenimente

incompatibile două câte două atunci:

T2. Pr() 0.

T3. Pr(non A) 1 - Pr(A).

T4. Dacă AB atunci Pr(A) Pr(B).

T5. Pentru orice evenimente A şi B are loc

egalitatea:

Pr(AB) Pr(A) Pr(B) - Pr(AB) .

)AiPr()n

1iAiPr(

n

1i

23

Spaţiul fundamental este finit

Experimentul H constă în aruncarea unui zar.

Spaţiul fundamental în acest caz este mulţimea tuturor

rezultatelor posibile la aruncarea zarului: E 1, 2, 3, 4,

5,6. In acest caz spaţiul fundamental E este finit.

Printre evenimentele posibile (submulţimi ale lui E) se pot

considera:

A 2, 4, 6 (obţinerea unei feţe pare)

B 1, 3, 5 (obţinerea unei feţe impare)

C 3 ( eveniment elementar).

In acest caz, evenimentele A şi B sunt incompatibile.

Evenimentele elementare sunt echiprobabile.

24

Spaţiul fundamental este finit

Experimentul H constă în determinarea grupei sangvine.

In acest caz spaţiul fundamental este E A, B, AB, 0.

E este finit însă spre deosebire de exemplul precedent,

evenimentele elementare A, B, AB şi 0 nu sunt

echiprobabile.

25

Spaţiul fundamental este infinit şi

numărabil

Experimentul H constă în aruncarea succesivă a unui zar

până ce se obţine faţa 5.

Spaţiul fundamental în acest caz este alcătuit din numărul

aruncărilor necesare, care variază de la 1 la infinit:

E 1, 2, 3,...,n,....

Spaţiul fundamental E este infinit, însă elementele sale fiind

ordonate într-un şir, E este un exemplu de spaţiu

fundamental numărabil.

26


numărabil

Experimentul H constă în numărarea internărilor într-un

spital într-un interval de timp dat (săptămână, lună, an etc.)

Spaţiul fundamental E variază de la 0 la infinit, adică

E 0,1, 2, 3,...,n,....

In acest caz, E este o mulţime infinită şi numărabilă.

27


nenumărabil

Experimentul H constă în aruncarea unei bile sferice într-o

cutie dreptunghiulară.

In urma unei încercări după oprirea bilei ea are un punct de

contact cu baza cutiei.

Spaţiul fundamental E, în acest caz, este alcătuit din

punctele de contact.

E este o mulţime infinită şi nenumărabilă.

28


nenumărabil

Experimentul H constă în măsurarea temperaturii corporale.

Spaţiul fundamental E este alcătuit din toate valorile posibile

ale temperaturii corporale, astfel putem considera că în E

intră toate valorile din intervalul [35, 41], sau că

E [35,41].

In acest caz, spaţiul fundamental este o mulţime infinită şi

nenumărabilă.

29


nenumărabil

Experimentul H constă în măsurarea tensiunii arteriale

sistolice (TAS).

Spaţiul fundamental E este alcătuit din toate valorile posibile

ale TAS, astfel putem considera că E este inclus în

intervalul [0, ).

In acest caz, de asemenea, spaţiul fundamental este o

mulţime infinită şi nenumărabilă.

30

Reguli de probabilitate

Reguli care permit calculul probabilitaţii unui

eveniment:

adunare

înmulţire

Terminologie

Evenimente independente

Evenimente mutual exclusive

Probabilităţi condiţionate

31

Regula de adunare a probabilităţilor

Considerând două evenimente A şi B, care este

probabilitatea ca sa apară A sau B?

Regula de adunare constă în:

Pr(A sau B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A şi B)

Pr(A B)= Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)

BA

32

Exemplu

Se aruncă un zar şi se observă faţa care este

în sus.

Ev A: numărul obţinut este {2,4,6}

Ev B: un număr < 3 {1,2,3}

Pr(A)=3/6

Pr(B)=3/6

Pr(A B)=1/6

Folosim regula de adunare

Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) – Pr(A B)

=3/6 + 3/6 – 1/6

=5/6

BA4

6

2

1

3

33

Evenimente independente

Definiţie: Două evenimente sunt independentedacă realizarea unui eveniment nu depinde derealizarea celuilalt eveniment.

Exemple:

• Un experiment presupune aruncarea a două zaruri.Valoarea obţinută după aruncarea primului zar nu nespune absolut nimic în legătură cu valoarea pe careo vom obţine la aruncarea celui de al doilea zar.

• Alegem două persoane din sala de clasă.Cunoscând culoarea ochilor primei persoane, nuputem să spunem nimic despre culoarea ochilorceleilalte persoane.

Proprietăți

34

Dacă A și B sunt evenimente independente, atunci:

Pr( A B ) = Pr(A) + Pr(B) (1 – Pr(A))

Pr(AB) Pr(A) Pr(B)

35

Exemplu:

La experimentul care constă în aruncarea unuizar considerăm evenimentele:

A:{obţinerea unei feţe cu un număr par}

B:{obţinerea unei feţe cu un număr <=4}

Care este probabilitatea evenimentului (A şi B)?(Care este probabilitatea obținerii unei fețe

pare cu un număr <=4?)

36

Soluţie

Pr(A) = { 2, 4, 6} =3/6 =1/2

Pr(B) = { 1,2,3,4} = 4/6 =2/3

Pr(A B) = { 2,4} = 2/6

Pr(A B) = (1/2 2/3) = Pr(A) Pr(B)

De aici rezultă că evenimentele A şi B sunt

independente.

37


Definiţie: Două evenimente sunt mutual exclusive dacă realizarea unuia implică nerealizarea celuilalt.

Suma probabilităţilor pentru două sau mai

multe evenimente mutual exclusive este 1.

38


Exemplu: Aruncarea unui zar.

Evenimentul A = {număr par}

Evenimentul B = {număr impar}

Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B)

= 3/6 + 3/6

= 1

Exemplu

Fie A evenimentul ca o persoană să aibă tensiune

arterială diastolică normală (TAD <90).

Fie B evenimentul ca o persoană să aibă TAD la

limită, adică 90 TAD < 95.

Stim ca Pr(A) = 0.7, Pr(B) = 0.1 .

Care este probabilitatea ca o persoana sa aiba TAD

< 95?

Solutie.

Fie C evenimentul ca o persoană are TAD < 95.

C=AB şi AB=.

Atunci, Pr(C) =Pr(A) + Pr(B) = 0,7+0,1 =0,839

OBIECTIVE


Prevalenta

Sensibilitate, specificitate

VPP, VPN

Teorema lui Bayes

Independenţa a două evenimente

42


În anumite situaţii este necesar să cunoaştem probabilitatea unui eveniment particular care urmează să aibă loc, ştiind deja că alt eveniment a avut loc.

A şi B sunt două evenimente arbitrare

probabilitatea condiţionată a lui A de către B este probabilitatea de a se realiza evenimentul A dacă în prealabil s-a realizat evenimentul B.

Majoritatea aplicaţiilor pentru aceste tipuri de probabilităţi condiţionate sunt testele diagnostic şi programe de screening.

Pr(B|A) = Pr(A B)

Pr(A)

Pr(A B) = Pr(B|A) Pr(A)

43

Probabilitate condiţionată

Are loc următoarea regulă de calcul a

probabilităţii intersecţiei a două evenimente:

sau

)/Pr()Pr()Pr( ABABA

)/Pr()Pr()Pr( BABBA

44


Are loc următoarea regulă de calcul a probabilităţii

intersecţiei a două evenimente:

sau

Mai general, au loc următoarele reguli de înmulţire a probabilităţilor:

respectiv

)/Pr()/Pr()Pr()Pr( BACABACBA

)/Pr()/Pr()/Pr()Pr()Pr( CBADBACABADCBA

)/Pr()Pr()Pr( ABABA

)/Pr()Pr()Pr( BABBA

45

Independenţa a două evenimente

Două evenimente A şi B se numesc independente dacă şi numai dacă

Pr(AB) Pr(A) Pr(B).

Două evenimente A şi B sunt dependente dacă

Pr(AB) Pr(A) Pr(B).

Are loc următoarea proprietate privind probabilităţile condiţionate:

Dacă A şi B sunt evenimente independente, atunci

Pr(B|A) =Pr(B) = Pr(B|nonA).

46

Independenţa a două evenimenteDacă evenimentele A şi B sunt independente atunci:

Pr(B/A) Pr(B) şi

Pr(A/B) Pr(A)

(probabilitatea evenimentului B nu depinde de realizarea

evenimentului A şi invers).

Legea de adunare a evenimentelor independente.

Dacă A şi B sunt două evenimente independente, atunci

Pr( A B ) = Pr(A) + Pr(B) (1 – Pr(A)).

Exemple

Exemplul 1:

Pentru studiul HTA in cadrul familiilor s-a determinat probabilitatea HTA la barbati P(A)=0,2 si la femei P(B)=0,1 Care este probabilitatea de a avea o familie de hipertensivi?

Pr(A B) = ?

Exemplul 2:

Pentru studiul HTA in cadrul familiilor s-a determinat probabilitatea HTA la mama P(A)=0,1, la primul copil P(B)=0,2 si frecventa aparitiei HTA la copiii cu mama afectata de HTA: Pr(AB) = 0,5

Exista o relatie de cauzalitate intre HTA la mama si cea de la copil?

48

Formula lui BAYES

Considerăm evenimentele A şi B care nu sunt independente. Atunci din formulele:

se deduce formula lui BAYES:

Dar fiindcă

Pr(B) = Pr((BnonA) (BA)) =Pr(BnonA) + Pr(BA),

aplicând formula probabilităţilor condiţionate se obţine:

Pr(B)=Pr(B|A) Pr(A) + Pr(B|nonA) Pr(nonA).

De aici rezultă următoarea formă a formulei lui Bayes:

Pr(B)

B)Pr(APr(A/B)

Pr(A)

B)Pr(APr(B/A)

Pr(B)

Pr(A)Pr(B/A)Pr(A/B)

Pr(nonA)nonA)|Pr(BPr(A)A)|Pr(B

Pr(A)A)|Pr(BB)|Pr(A

49

Formula lui BAYES - exemplu

Se ştie că 60% din populaţia dintr-o ţară trăieşte în mediul urban, 20% din populaţie este alergică şi 55% dintre alergici trăiesc în mediul urban. Care este probabilitatea ca alegând la întâmplare un locuitor din mediul urban el să fie alergic?

Fie A evenimentul ca o persoană să fie alergică, iar U evenimentul ca o persoană să locuiască în mediul urban. Atunci probabilitatea căutată este:

60

11

6.0

2.055.0

)Pr(

)Pr()|Pr()|Pr(

U

AAUUA

50


Să considerăm următoarele evenimente în legătură cu aplicarea

unui test diagnostic:

A - evenimentul ca o persoană luată la întâmplare dintr-o

populaţie să aibă o anumită afecţiune A (periodontita,

cancer oral.),

T - evenimentul de obţinere a unui test pozitiv în cazul

aplicării unui test diagnostic T pentru detectarea afecţiunii

A la o persoană.

Prin non(A) (persoană fără afecţiunea A) şi non(T) (test

negativ) notăm evenimentele complementare

evenimentelor A şi respectiv T.

51


In general, din cauza imperfecţiunii testului, nu orice persoană

având afecţiunea A este detectată la aplicarea testului A ca

pozitivă (fals negativ) şi nu toate persoanele cu răspuns pozitiv

la testul T au neapărat afecţiunea (fals pozitiv).

Astfel, de regulă, prin aplicarea unui test diagnostic rezultă

falşi pozitivi şi falşi negativi.

Ambele rezultate eronate ce rezultă prin aplicarea testului sunt

de nedorit.

52


Să presupunem că din populaţia căreia i s-a aplicat

testul este selectat un eşantion reprezentativ de n

persoane şi s-au obţinut următoarele rezultate:

Afecţiunea

Testul

A non (A) Total

T

pozitiv

a b a+b

non (T)

Negativ

c d c+d

Total a+c b+d n

53

Prevalenta afectiunii

Extrăgând la întâmplare o persoană din populaţie, cu ajutorul

rezultatelor prezentate în tabelul precedent se pot determina

probabilităţile diverselor evenimente ce pot avea loc.

Astfel avem:

Pr(A) se numeşte prevalenţa afecţiunii A.

n

caA

)Pr(

n

dbnonA

)Pr(

Testul

Afecţiunea

A non (A) Total

T a b a+b

non (T) c d c+d

Total a+c b+d n

54

Exemplu de Screening

Un specialist în igienă a făcut un test de screening pe 220 de paciențipentru parodontită acută.

După un timp, un specialist în periodontită a examinat pacienții.Rezultatele examinării sunt în tabel

55

Screening

Care este probabilitatea ca o pacient care a făcut parodontită să fi avut un test pozitiv în urma screening-ului?

P (boală | rezultat pozitiv la test)

boala

Screening parodontită(+) parodontită(-) total

test (+) 45 26 71

test (-) 14 135 149

total 59 161 220

56

Soluţie

P (boală|screening+)

= P (boală screen+) / P (screen+)

P (boală screening+) = 45 / 220

71

220x

220

45

220

71/

220

45 = 0.63

P (screening+) = 71/220

valoarea predictiv pozitivă pentru testul de screening

boala


test (+) 45 26 71

test (-) 14 135 149

total 59 161 220

57

Valori predictive

Screening-ul unui test diagnostic se utilizează pentru

identificarea bolilor şi pentru ajutorul pe care îl dă în cazul

stabilirii unui diagnostic.

Este important să ştim probabilitatea ca testul aplicat să

ne dea un diagnostic corect (pozitiv sau negativ).

Valoarea predictiv pozitivă (VPP) este probabilitatea ca o

persoană care are afecţiunea să obţină un rezultat pozitiv

în urma aplicării testului.

VPP = P(test+ boala+)

P(test+)

58

Valori predictive

Analog, valoarea predictiv negativă (VPN) este probabilitatea

ca o persoană care nu are afecţiunea să obţină un rezultat

negativ în urma aplicării testului.

VPN = P(test- boala-)

P(test-)

59

Sensibilitate

Sensibilitatea este probabilitatea ca testul să fie pozitiv în timp

ce afecţiunea există.

Se = P(Test+|Boala+)

= P(Test +ve Boala+)

P(Boala+)

60

Calculul sensibilității

P(Test +|Boala+) = P(Test + Boala+)P(Boala+)

=(45/220) / (59/220)

=45/59

Se = 0.76

boala


test (+) 45 26 71

test (-) 14 135 149

total 59 161 220

61

Specificitate

Specificitatea este probabilitatea ca testul să fie negativ, în timp ce boala nu este prezentă.

Sp = P(Test -|Boala-)

= P(Test– Boala-)

P(Boala-)

62

Calculul Specificităţii

P(Test-|Boala-) = P(Test- Boala-)P(Boala-)

=(135/220) / (161/220)

=135/161

Sp = 0.84

boala


test (+) 45 26 71

test (-) 14 135 149

total 59 161 220

63

Sensibilitate, Specificitate, VPP

Sensibilitatea este probabilitatea ca prezenţa bolii să fi fost corect identificată de test

= 45/59 = 0.76 = 76%

Specificitatea este probabilitatea ca absenţei bolii să fi fost corect identificată de test

= 135/161= 0.84 = 84%

Valoarea pozitiv predictivă este probabilitatea ca un pacient care are un test pozitiv fie corect diagnosticat cu boala

= 45/71 = 0.63 = 63%

boala


test (+) 45 26 71

test (-) 14 135 149

total 59 161 220

Riscul relativ (RR)

Riscul bolii la expuşi:

p1=a/(a+b)

Riscul bolii la neexpuşi:

p0=c/(c+d)

Riscul relativ (RR): de câte

ori este mai mare proporţia

persoanelor bolnave în

rândul celor expuşi la

factorul de risc faţă de

proporţia bolnavilor în rândul

celor neexpuşi la factorul de

risc

RR=p1/p0

RR<1 Factor de

protectie

RR=1 Factor indiferent

RR>1 Factor de risc

)|Pr(

)|Pr(

AB

ABRR

Interpretare:

Riscul apariţiei bolii A la pacienţii

care sunt expuşi la factorul B este

de RR ori mai mare faţă de cei

neexpuşi la factorul B.

FORMULERiscuri pe tabelul de contingenta

B+ B- Total

F+ AP FP AP+FP

F- FN AN FN+AN

Total AP+FN FP+AN AP+FP+FN+AN=n

Denumire Formula

Rata falsi pozitivi =FP/(FP+AN)

Rata falsi negativi =FN/(FN+AP)

Sensibilitate =AP(AP+FN)

Specificitate =AN/(AN+FP)

Acuratete =(AP+AN)/n

Valoarea predictiv pozitiva =AP/(AP+FP)

Valoarea predictiv negativa =AN/(AN+FN)

Riscul relativ =AP(FP+AN)/[FN(AP+FP)]

Rata sansei =(AP·AN)/(FN·FP)

Riscul atribuabil =AP/(AP+FP)-FN/(FN+AN)

AP - Adevarat Pozitiv

FP – Fals Pozitiv

AN - Adevarat Negativ

FN - FalsNegativ

66

Observaţii

•Un fals negativ este o persoană pentru care testul este

negativ, dar care de fapt are boala.

•Un fals pozitiv este o persoană pentru care testul este

pozitiv, dar care de fapt nu are boala.

•Este important ca atât senzitivitatea cât şi specificitatea

să fie ridicate (cât mai aproape de valoarea 1 sau 100%)

pentru ca simptomul sau testul să fie predictiv pentru o

boală.

conceptul de probabilitate. aplicaţii în domeniul

Documents