Analiza 1Notit,e de seminar

Adrian ManeaCurs: L. Costache

28 ianuarie 2021

Cuprins

1 S, iruri de numere reale s, i pozitive 21.1 Exercit, ii recapitulative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Serii cu termeni pozitivi 42.1 Seria geometrica s, i seria armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Criterii de convergent, a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Criterii de convergent, a (cont.). Serii oarecare 93.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Serii alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Aproximarea sumelor seriilor convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Convergent, a seriilor — Exercit, ii 12

5 Spat, ii metrice 145.1 Not, iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.2 Exemplu rezolvat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.3 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

6 S, iruri de funct, ii 176.1 Convergent, a punctuala s, i convergenta uniforma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Transferul proprietat, ilor analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7 Serii de funct, ii 217.1 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217.2 Serii de puteri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4 Serii Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.5 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8 Funct, ii de mai multe variabile 28

8.1 Limite s, i continuitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288.1.1 Exercit, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8.2 Derivate part, iale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9 Extreme libere 359.1 Polinomul Taylor ın 2 variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.2 Extreme libere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.3 Exercit, ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379.4 Exercit, ii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10 Extreme cu legaturi 3910.1 Generalitat, i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

10.1.1 Cazul compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.2 Exercit, ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Index 42

1

SEMINAR 1

S, IRURI DE NUMERE REALE S, I POZITIVE

1.1 Exercit, ii recapitulativeIn toate cele de mai jos, presupunem ca lucram cu s, iruri de numere reale s, i pozitive.

1. Gasit, i valoarea de adevar a a�rmat, iilor de mai jos. Daca sınt adevarate, justi�cat, i. Dacasınt false, gasit, i un contraexemplu.

(a) Orice s, ir monoton este marginit.

(b) Orice s, ir marginit este monoton.

(c) Orice s, ir convergent este monoton.

(d) Orice subs, ir al unui s, ir monoton este monoton.

(e) Suma a doua s, iruri monotone este un s, ir monoton.

(f) Orice s, ir divergent este nemarginit.

(g) Daca s, irul format din patratele termenilor unui s, ir este convergent, atunci s, irul init, ial esteconvergent.

2. Calculat, i limitele s, irurilor cu termenul general an ın cazurile de mai jos:

(a) an =n3 + 5n2 + 16n3 + n + 4

;

2

(b) an =n2 + 2n + 55n3 − 1

;

(c) an = arcsinn + 12n + 3

;

(d) an =√n2 + 1 + 4

√n2 + n + 1

n;

(e) an =12 + 22 + 32 + 42 +⋯ + n2

n3;

(f) an =11 ⋅ 3

+13 ⋅ 5

+⋯ +1

(2n − 1)(2n + 1);

(g) an = 3√n2 + 1 − 3

√n2 + n;

(h) an = 1 +12+13+⋯ +

1n

;

(i) an = (n + 53n + 2)

n;

(j) an = 1 +14+116+164+⋯ +

14n

;

(k) an =2 + sin n

n2;

(l) an =ln nn

;

(m) an =ln 2 + ln 3 +⋯ + ln n

n + 1;

(n) an =1n (1 +

12+13+⋯ +

1n)

;

(o) an =1n (

1√1+1√2+1√3+⋯ +

1√n)

;

(p) an =14 + 24 + 34 +⋯ + n4

n5;

(q) an =1n (

11 +

√2+

1√2 +

√3+⋯ +

1√n +

√n + 1)

;

(r) an =1n (1 +

13+15+⋯ +

12n − 1)

.

3

SEMINAR 2

SERII CU TERMENI POZITIVI

2.1 Seria geometrica s, i seria armonicaIntuitiv, seriile sınt sume in�nite. Inainte de a le studia mai amanunt, it, ıncepem cu doua exemplefoarte utilizate.

Daca (bn) este o progresie geometrica de rat, ie q, atunci suma primilor n termeni se poate scriesub forma:

Sn = b0 ⋅qn − 1q − 1

.

In cazul seriilor, ne punem problema sa calculam suma tuturor termenilor progresiei, adica:

limn→∞

Sn = ∑n≥0

bn.

Folosind formula de mai sus, se poate vedea us, or ca seria geometrica este convergenta, adicalimita de mai sus este �nita, daca s, i numai daca |q| < 1. Mai mult, ın acest caz, suma seriei este:

∑n≥0

bn = b0 ⋅1

1 − q.

Un alt exemplu foarte important de serie este seria armonica, numita s, i funct, ia zeta a luiRiemann. Aceasta se de�nes, te astfel:

� (s) = ∑n≥0

1ns, s ∈ ℚ.

4

Cıteva exemple imediate:

� (0) = ∑ 1 = ∞

� (1) = ∑1n= ∞

� (2) = ∑1n2

=� 2

6� (−1) = ∑ n = ∞

� (−2) = ∑ n2 = ∞.

Un rezultat general este urmatorul:

Teorema 2.1: Seria armonica este convergenta daca s, i numai daca exponentul s este strict suprau-nitar, adica s > 1.

2.2 Criterii de convergent, aPutem a�a daca o serie este convergenta aplicınd unul dintre criteriile care urmeaza. Fixam maiıntıi notat, ia: presupunem ca vorbim despre o serie cu termenul general xn, adica ∑

n≥1xn = ∑ xn.

Criteriul necesar: Daca limn→∞

xn ≠ 0, atunci seria ∑ xn este divergenta.

Observatie 2.1: Sa remarcam ca acest criteriu da o condit, ie necesara, care nu este su�cienta!Intr-adevar, seria � (1) are termenul general tinzınd spre 0, dar seria este divergenta!

Criteriul de comparat, ie termen cu termen: Fie ∑ yn o alta serie de numere reale s, i pozi-tive.

• Daca xn ≤ yn, ∀n s, i ∑ yn este convergenta, atunci s, i seria ∑ xn este convergenta;

• Daca xn ≥ yn, ∀n s, i ∑ yn este divergenta, atunci s, i seria ∑ xn este divergenta.

Criteriul de comparat, ie la limita: Fie ∑ yn o alta serie de numere reale s, i pozitive. Dacalimn→∞

xnyn

= l ∈ (0,∞), atunci cele doua serii au aceeas, i natura (seria ∑ xn este convergenta daca s, inumai daca seria ∑ yn este convergenta).

Observatie 2.2: In ambele criterii de comparat, ie, un candidat foarte bun pentru seria yn este �eseria armonica, cu un anume exponent s, �e seria geometrica, cu o anume rat, ie, alese convenabil.

5

Observatie 2.3: Criteriul de comparat, ie la limita poate � folosit s, i ın cazuri care nu sınt cuprinseın enunt, ul de mai sus. De exemplu, daca xn

yn→ 0, ınseamna ca xn ≤ yn, ∀n, deci putem folosi un

argument de tip comparat, ie termen cu termen:

• daca seria ∑ yn este convergenta, atunci seria ∑ xn este convergenta;

• daca seria ∑ xn este divergenta, atunci seria ∑ yn este divergenta.

In celelalte cazuri nu putem decide.

Criteriul raportului (D’Alembert): Fie � = limn→∞

xn+1xn

.

• Daca � > 1, atunci seria este divergenta;

• Daca � < 1, atunci seria este convergenta;

• Daca � = 1, criteriul nu decide.

Criteriul radical (radacinii, Cauchy): Fie � = limn→∞

n√xn.

• Daca � > 1, atunci seria este divergenta;

• Daca � < 1, atunci seria este convergenta;

• Daca � = 1, criteriul nu decide.

Criteriul Raabe-Duhamel: Fie � = limn→∞

n(xnxn+1

− 1).

• Daca � > 1, atunci seria este convergenta;

• Daca � < 1, atunci seria este divergenta;

• Daca � = 1, criteriul nu decide.

6

2.3 Exercit, ii1. Studiat, i convergent, a seriilor ∑ xn ın cazurile de mai jos:

(a) xn = (3n

3n + 1)n; (D, necesar)

(b) xn =1n!

; (C, raport)

(c) xn =1

n√n + 1

; (C, comparat, ie la limita cu � (3/2))

(d) xn = arcsinn + 12n + 3

; (D, necesar)

(e) xn = (1 −1n)

n; (D, necesar)

(f) xn =n!n2n

; (C, raport)

(g) xn = (n + 13n + 1)

n; (C, radical)

(h) xn = (1 −1n)

n2

; (C, radical)

(i) xn =1

7n + 3n; (C, comparat, ie cu geometrica)

(j) xn =2 + sin n

n2; (C, comparat, ie cu armonica)

(k) xn =sin2 nn2 + 1

; (C, comparat, ie cu armonica)

(l) xn =√n4 + 2n + 1 − n2; (D, comparat, ie cu armonica)

(m) xn =2n−12n

; (D, descompunere ın 2 serii)

(n) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n

; (D, Raabe)

(o) xn =(n!)2

(2n)!; (C, raport)

(p) xn =n! ⋅ 3n

1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1); (D, raport)

7

(q) xn =3n − 15n2 + 2

; (D, comparat, ie la limita)

(r) xn = (arctan 1)n; (C, radical)

2*. Studiat, i convergent, a seriilor cu termenul general dat de s, irurile de la exercit, iul 2 al sect, iuniianterioare.

8

SEMINAR 3

CRITERII DE CONVERGENT, A (CONT.). SERII OARECARE

Pe lınga criteriile prezentate ın seminarul anterior, vor mai � de folos s, i altele, pe care le enu-meram mai jos. In continuare, ment, ionam ca vom lucra cu o serie de forma ∑ xn s, i sıntem ınipoteza xn ∈ ℝ+, ∀n ∈ ℕ.

Criteriul logaritmic: Fie limita:

� = limn→∞

− ln xnln n

.

• Daca � > 1, seria este convergenta;

• Daca � < 1, seria este divergenta;

• Daca � = 1, criteriul nu decide.

Criteriul condensarii: Daca (xn) este un s, ir descrescator s, i cu termeni pozitivi, atunci seriile∑ xn s, i ∑ 2nx2n au aceeas, i natura.

Criteriul integral: Fie f ∶ (0,∞)→ [0,∞) o funct, ie descrescatoare s, i de�nim s, irul:

an = ∫n

1f (t)dt.

Atunci seria ∑ f (n) este convergenta daca s, i numai daca s, irul (an) este convergent.

9

3.1 Exercit, ii1. Studiat, i natura urmatoarelor serii cu termeni pozitivi, cu termenul general xn dat de:

(a) xn =1ln n

; (D, integral/comparat, ie)

(b) xn =1

n ln n; (D, integral/condensare)

(c) xn =1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1)2 ⋅ 4 ⋅ 6⋯ 2n

(D, Raabe)

(d) xn = (1 −3 ln n2n )

n

(C, logaritmic)

(e) xn =1

n n√n

(D, comparat, ie/logaritmic)

(f) xn = (1ln n)

ln(ln n); (D, logaritmic)

(g) xn = n2e−√n (C, logaritmic)

(h) xn =an(n!)2

(2n)!, a > 0. (raport, discut, ie a?4)

3.2 Serii alternanteIn continuare, discutam s, i cazul cınd termenii seriei pot � negativi. Dar vom � interesat, i doar deun caz particular, anume acela al seriilor alternante, adica acelea ın care un termen este negativ,iar celalalt pozitiv. Mai precis, o serie ∑ xn se numes, te alternanta daca xn ⋅ xn+1 < 0, pentru oricen.

Singurul criteriu de convergent, a pe care ıl folosim pentru aceste cazuri este:Criteriul lui Leibniz: Fie ∑n(−1)nxn o serie alternanta. Daca s, irul (xn) este descrescator s, i

converge catre 0, seria este convergenta.De asemenea, vom mai � interesat, i s, i de:

• serii absolut convergente, adica acele serii pentru care s, i seria modulelor, s, i seria data sıntconvergente;

• serii semiconvergente, adica acele serii pentru care seria init, iala este convergenta, dar seriamodulelor este divergenta.

10

Evident, cum x ≤ |x |, rezulta ca orice serie absolut convergenta este convergenta, dar reciprocanu este adevarata.

Pentru acest caz, avem:Criteriul Abel-Dirichlet*: Presupunem ca seria ∑ xn se mai poate scrie sub forma ∑ �nyn,

unde (�n) este un s, ir monoton s, i marginit (deci convergent). Daca s, i seria ∑ yn este convergenta,atunci seria init, iala ∑ �nyn este convergenta.

Formulare alternativa: Daca (�n) este un s, ir monoton, care tinde catre 0, iar s, irul cu termenulgeneral Yn = y1 +⋯ + yn este marginit, atunci seria ∑ �nyn este convergenta.

De exemplu, studiem seria ∑n(−1)n

n. Este o serie alternanta, deci:

• seria modulelor este � (1), care este divergenta;

• pentru seria data, aplicam criteriul lui Leibniz, cu s, irul xn =1n

, care este descrescator catre0, deci seria este convergenta.

Concluzia este ca seria ∑(−1)n

neste semiconvergenta.

Exercit, iu: Folosind criteriul Leibniz, studiat, i natura seriei cu termenul general:

xn = (−1)nloga nn

, a > 1.

3.3 Aproximarea sumelor seriilor convergentePresupunem ca avem o serie convergenta s, i alternanta. Se poate arata foarte simplu ca, dacanotam cu S suma seriei, iar cu sn suma primilor n termeni, cu xn termenul general al seriei, areloc inegalitatea:

" = |S − sn| ≤ xn+1. (3.1)Cu alte cuvinte, eroarea aproximat, iei are ordinul de marime al primului termen neglijat.

Deocamdata, exemplele simple pe care le studiem sınt de forma:Exercit, iu: Sa se aproximeze cu o eroare mai mica decıt " sumele seriilor de�nite de termenul

general xn de mai jos:

(a) xn =(−1)n

n!, " = 10−3;

(b) xn =(−1)n

n3√n, " = 10−2.

In ambele cazuri, se foloses, te inegalitatea din (3.1), de unde se scoate n. Se obt, ine n = 6 pentruprimul exercit, iu s, i n = 4 pentru al doilea.

Concluzia este ca, pentru a obt, ine valoarea sumei seriei cu o precizie de 3, respectiv 2 zecimale,este su�cient sa consideram primii 5, respectiv primii 3 termeni ai seriei. Eroarea este comparabilacu primul termen neglijat din serie.

11

SEMINAR 4

CONVERGENT, A SERIILOR — EXERCIT, II

Studiat, i convergent, a seriilor de forma ∑ xn. In cazul seriilor alternante, decidet, i s, i convergent, aabsoluta sau semiconvergent, a:

(1) xn = (arctan 1)n; (D, radical)

(2) xn =√n ⋅ ln(1 +

1n)

; (D, comparat, ie la limita)

(3) xn =1

n − ln n; (D, comparat, ie la limita)

(4) xn = (−1)nn + 1n3

; (C, Leibniz)

(5) xn =ln n

2n3 − 1; (C, comparat, ie)

(6) xn =n√2

n2; (C, comparat, ie/integral)

(7) xn =√n + 1 −

√n

3√n2

; (C, comparat, ie)

(8) xn =1

n ln2 n; (C, integral)

(9) xn =ln nn2

; (C, comparat, ie)

(10) xn =e 1n

n; (D, comparat, ie la limita)

12

(11) xn =(−1)n ln n

√n

; (C, Leibniz)

(12) xn =(−1)nn!(2n)!

; (C, Leibniz)

(13) xn =arctan nn2 + 1

; (C, comparat, ie/integral)

(14) xn =√n

ln(n + 1); (D, necesar)

(15) xn = (−1)n+12n + 13n

; (C, Leibniz)

(16) xn =3√n3 + n2 − n

n2; (part, ial 2018–2019)

(17) xn = (−1)nn

n2 − 1; (part, ial 2018–2019)

(18) xn = (−1)n(√n2 + 1 − n); (part, ial 2018–2019)

(19) xn =an

2n2 + 1; (discut, ie dupa a)

(20) xn = (−1)n(2n)!nn

; (part, ial FIA)

(21) xn = (n

n + a)n2

, a > 0; (discut, ie dupa a)

(22) xn =(−1)n

22n ⋅ n!(part, ial FIA)

(23) xn =an

n3, a > 0. (discut, ie dupa a)

13

SEMINAR 5

SPAT, II METRICE

5.1 Not, iuni teoreticeDe�nitie 5.1: Fie X o mult, ime nevida. O aplicat, ie d ∶ X ×X → ℝ se numes, te distant, a (metrica)pe X daca:

(a) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ ℝ;

(b) d(x, y) = 0⇔ x = y;

(c) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X ;

(d) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inegalitatea triunghiului).

In acest context, perechea (X, d) se numes, te spat, iu metric.

Aceasta not, iune generalizeaza calculul distant, elor cu ajutorul modulului, cum se procedeazaın cazul mult, imii numerelor reale, de exemplu. In consecint, a, avem ca (ℝ, | ⋅ |) este spat, iu metric.

Principala not, iune teoretica de interes foloses, te urmatoarea:

De�nitie 5.2: Fie (X, d) un spat, iu metric s, i �e f ∶ X → X o funct, ie.Aplicat, ia f se numes, te contract, ie pe X daca exista k ∈ [0, 1) astfel ıncıt:

d(f (x), f (y)) ≤ k ⋅ d(x, y), ∀x, y ∈ X.

Numarul k se numes, te factor de contract, ie.

Rezultatul fundamental este:

14

Teorema 5.1 (Banach): Fie (X, d) un spat, iu metric complet1s, i �e f ∶ X → X o contract, ie de factork. Atunci exista un unic punct � ∈ X astfel ıncıt f (� ) = � .

In acest context, � se numes, te punct �x pentru f .

Putem folosi metoda aproximat, iilor succesive pentru a gasit punctul �x al unei aplicat, ii. Seconstruies, te un s, ir recurent astfel. Fie x0 ∈ X arbitrar. De�nim s, irul xn+1 = f (xn). Se poate demon-stra ca s, irul xn este convergent, iar limita sa este punctul �x cautat. In plus, eroarea aproximat, ieicu acest s, ir este data de:

d(xn, � ) ≤kn

1 − k⋅ d(x0, x1), ∀n ∈ ℕ.

5.2 Exemplu rezolvatVom aproxima cu o eroare mai mica decıt 10−3 solut, ia reala a ecuat, iei

x3 + 4x − 1 = 0.

Solut, ie: Folosind, eventual, metode de analiza (e.g. s, irul lui Rolle), se poate arata ca ecuat, iaare o singura solut, ie reala � ∈ (0, 1). Folosim mai departe metoda aproximat, iilor succesive pentrua o gasi.

Fie X = [0, 1] s, i f ∶ X → X, f (x) =1

x2 + 4. Se vede ca, pına la o translat, ie (constanta), ecuat, ia

data este echivalenta cu f (x) = x , adica a gasi un punct �x pentru f .Spat, iul metric X este complet, ca orice subspat, iu al lui ℝ. Mai demonstram ca f este contract, ie

pe X . Derivata este:

f ′(x) =−2x

(x2 + 4)2⇒ sup

x∈X|f ′(x)| = −f ′(1) =

225

< 1.

Am obt, inut ca f este o contract, ie de factor 225.

Construim s, irul aproximat, iilor succesive. Alegem x0 = 0 (pentru simplitate) s, i:

xn+1 = f (xn) =1

x2n + 4.

Evaluarea erorii:|xn − � | <

kn

1 − k|x0 − x1| =

13(

225)

2≤ 10−3

de unde rezulta ca putem lua:� ≃ x3 = f(

1665)

≃ 0, 235.

Observatie 5.1: Alternativ, puteam lucra cu g(x) =14(1 − x3), cu x ∈ [0, 1]. Se arata ca s, i g este

o contract, ie, de factor k =34

. In acest caz, s, irul aproximat, iilor succesive converge mai ıncet s, iavem � ≃ x6.

15

5.3 Exercit, ii propuseGasit, i solut, ia reala a ecuat, iilor de mai jos, cu eroarea ":

(a) x3 + 12x − 1 = 0, " = 10−3;

(b) x5 + x − 15 = 0, " = 10−3;

(c) 3x + e−x = 1, " = 10−3;

(d) x3 − x + 5 = 0, " = 10−2;

(e) x5 + 3x − 2 = 0, " = 10−3.

16

SEMINAR 6

S, IRURI DE FUNCT, II

6.1 Convergent, a punctuala s, i convergenta uniformaFie (fn) un s, ir de funct, ii, adica �ecare fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ este o funct, ie reala. Daca ın cazul s, irurilorde numere reale, limita este un numar real, ın cazul s, irurilor de funct, ii, limita este o funct, ie.

Insa not, iunea de convergent, a este mai �na ın cazul s, irurilor de funct, ii.Astfel, avem doua tipuri de convergent, a:

De�nitie 6.1: Fie (fn) un s, ir de funct, ii reale ca mai sus.Spunem ca s, irul (fn) converge punctual (simplu) la funct, ia f daca are loc:

limn→∞

fn(x) = f (x), ∀x ∈ D.

Vom nota aceasta pe scurt prin fnpc−→ f sau fn

s−→ f , iar funct, ia f se va numi limita punctuala a

s, irului (fn).

De asemenea, un alt tip de convergent, a de interes este convergent, a uniforma. Formal, ea sede�nes, te folosind criterii de caracterizare cu ", dar ın exercit, ii vom folosi cel mai des teorema demai jos.

Teorema 6.1: In condit, iile s, i cu notat, iile de mai sus, spunem ca s, irul (fn) converge uniform la funct, iaf , notat fn

uc−→ f sau fn

u−→ f daca:

limn→∞

supx∈D

|fn(x) − f (x)| = 0.

Evident, funct, ia f folosita ın convergent, a uniforma va � limita punctuala a s, irului, deci esteclar ca proprietatea de convergent, a uniforma o implica pe cea de convergent, a punctuala.

17

Proprietatea reciproca este falsa, dupa cum se vede din exemplul simplu de mai jos.Fie fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn, ∀n ≥ 1.Atunci se poate vedea imediat ca:

limn→∞

fn(x) =

{0, 0 ≤ x < 11, x = 1

.

Rezulta ca fns−→ f , unde f este funct, ia de�nita pe ramuri mai sus.

Un calcul simplu arata ınsa ca:

limn→∞

supx∈[0,1]

|fn(x) − f (x)| = 1 ≠ 0,

deci s, irul nu este uniform convergent.

6.2 Transferul proprietat, ilor analiticeIn continuare, ne punem problema urmatoare: presupunem ca �ecare termen al s, irului de funct, ii(fn) are o proprietate analitica de un anumit tip (privitoare la continuitate, derivabilitate, integra-bilitate etc.). Intrebarea este care dintre aceste proprietat, i se transfera s, i funct, iei limita (punctualasau uniforma) s, i ın ce condit, ii.

In tot ceea ce urmeaza, vom pastra notat, iile s, i ipoteza de mai sus, adica vom lucra cu s, irul defunct, ii (fn), cu �ecare fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ.

Teorema 6.2 (Transfer de continuitate): Daca �ecare fn este funct, ie continua, pentru orice n, iars, irul (fn) converge uniform la funct, ia f , atunci funct, ia f este continua.

Proprietatea de mai sus poate � folosita ca o condit, ie su�cienta ın felul urmator: daca limitasimpla a unui s, ir de funct, ii nu este continua, atunci s, irul nu poate � uniform convergent. Aceastadeoarece funct, ia care este limita simpla a s, irului este singurul candidat pentru convergent, a uni-forma.

Teorema 6.3 (Integrare termen cu termen): Daca fnu−→ f , atunci are loc proprietatea de integrare

termen cu termen, adica:

limn→∞ ∫

b

afn(x)dx = ∫

b

af (x)dx, ∀[a, b] ⊆ D.

Cu alte cuvinte, ın ipoteza convergent, ei uniforme, limita s, i integrala pot comuta.

Teorema 6.4 (Derivare termen cu termen): Presupunem ca funct, iile fn sınt derivabile, pentru oricen ∈ ℕ. Daca fn

s−→ f s, i daca exista o funct, ie g ∶ D ⊆ ℝ → ℝ astfel ıncıt f ′n

u−→ g, atunci f este

derivabila s, i f ′ = g.

18

6.3 Exercit, ii1. Sa se studieze convergent, a punctuala s, i uniforma a s, irurilor de funct, ii:

(a) fn ∶ (0, 1)→ ℝ, fn(x) =1

nx + 1, n ≥ 0;

(b) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = xn − x2n, n ≥ 0;

(c) fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =√x2 +

1n2, n > 0;

(d) fn ∶ [−1, 1]→ ℝ, fn(x) =x

1 + nx2;

(e) fn ∶ (−1, 1)→ ℝ, fn(x) =1 − xn

1 − x;

(f) fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) =2nx

1 + n2x2;

(g) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x + n

x + n + 1;

(h) fn ∶ ℝ+ → ℝ, fn(x) =x

1 + nx2.

2. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ ℝ → ℝ, fn(x) =1narctan xn

converge uniform pe ℝ, dar:

( limn→∞

fn(x))′

x=1≠ lim

n→∞f ′n (1).

Rezultatele difera deoarece s, irul derivatelor nu converge uniform pe ℝ.

3. Sa se arate ca s, irul de funct, ii dat de:

fn ∶ [0, 1]→ ℝ, fn(x) = nxe−nx2

este convergent, dar:

limn→∞ ∫

1

0fn(x)dx ≠ ∫

1

0limn→∞

fn(x)dx.

19

Rezultatul se explica prin faptul ca s, irul nu este uniform convergent. De exemplu, pentru xn =1n

,avem fn(xn)→ 1, dar, ın general, fn(x)→ 0.

20

SEMINAR 7

SERII DE FUNCT, II

S, irurile de funct, ii studiate ın seminarul anterior se pot studia s, i ın serii de funct, ii, cu forma gene-rala ∑ fn(x), pentru fn ∶ D ⊆ ℝ → ℝ, un s, ir de funct, ii. Convergent, a acestora se studiaza folosindcriteriul lui Weierstrass.

Teorema 7.1 (Weierstrass): Fie ∑ fn(x) o serie de funct, ii, cu fn ∶ [a, b] → ℝ s, i �e ∑ an o serieconvergenta de numere reale pozitive.

Daca |fn(x)| ≤ an, pentru orice x ∈ [a, b] s, i n ≥ N , cu N �xat, atunci seria de funct, ii ∑ fn(x) esteuniform convergenta pe [a, b].

In exercit, ii, pentru a gasi termenul general al seriei numerice an, studiem funct, iile fn(x), carorale cautam valoarea maxima. Astfel, inegalitatea ceruta:

|fn(x)| ≤ an ∀x ∈ [a, b], n ≥ N

este automata.

7.1 Exercit, ii1. Studiat, i convergent, a seriilor de funct, ii:

(a) ∑n2√n!(xn + x−n), cu x ∈ [

12, 2];

(b) ∑nx

1 + n5x2, x ∈ ℝ;

(c) ∑cos(3nx)2n

, x ∈ ℝ;

21

(d) ∑ xn(1 − x), x ∈ [0, 1];

(e) ∑(x + n)2

n4, x ∈ [0, 2];

(f) ∑ln(1 + nx)

nxn, x > 0;

(g) ∑xe−nx√n, x ≥ 0;

(h) ∑ ne−nx , x ≥ 1.

Indicat, ii: In �ecare caz, se gases, te valoarea maxima a funct, iei |fn|, pe care o notam cu an, apoistudiem convergent, a seriei numerice ∑ an.

7.2 Serii de puteriSeriile de puteri sınt cazuri particulare ale seriilor de funct, ii, ın care funct, iile sınt polinomiale. Deaceea, ın general, o serie de puteri se va nota:

∑ an(x − �)n, � ∈ ℝ,

care se numes, te serie de puteri centrata ın x = � sau serie de puteri ale lui x − � .In general, o serie de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ (� − R, � + R), unde R ∈ ℝ se

numes, te raza de convergent, a s, i se calculeaza dupa una dintre formulele:

• R = limn→∞

||||anan+1

||||;

• R = limn→∞

1n√|an|

.

In plus, se studiaza separat cazurile x = ±R.

7.3 Exercit, ii1. Sa se calculeze raza de convergent, a s, i mult, imea de convergent, a pentru urmatoarele serii deputeri:

(a) ∑n≥0 xn;

(b) ∑n≥1 nnxn;

22

(c) ∑n≥1(−1)n+1xn

n;

(d) ∑n≥1nnxn

n!;

(e) ∑(x − 1)2n

n ⋅ 9n;

(f) ∑(x + 3)n

n2.

(g) ∑n − 1n2 + 2

(x − 2)2;

(h) ∑n + 1√

n4 + n3 + 1 (x + 12x + 3)

.

2. Gasit, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriilor:

(a) ∑n≥0(−1)n

x2n+1

2n + 1; (b) ∑

n≥0

2n

2n + 1xn; (c) ∑

n≥0

nn + 1

xn.

Indicat, ii: Se pornes, te de la seria geometrica, pentru cazul convergent:

S(x) = ∑ xn =1

1 − x, x ∈ (−1, 1).

Putem sa o derivam sau integram termen cu termen s, i obt, inem serii convergente pe acelas, i do-meniu:

S′(x) = ∑ nxn−1 =1

(1 − x)2, x ∈ (−1, 1)

∫ S(x)dx = ∑xn+1

n + 1= − ln(1 − x), x ∈ (−1, 1).

Se prelucreaza seriile date pına se ajunge la una dintre aceste formule:

(a) se deriveaza termen cu termen;

(b) se noteaza 2x = ±t2, ın funct, ie de semnul lui x ;

(c) se descompune, folosind nn + 1

= 1 −1

n + 1, apoi cele doua serii se studiaza separat.

Daca este necesar, se poate s, i ınmult, i sau ımpart, i prin x .Atent, ie! Pentru x = 0, majoritatea metodelor de mai sus nu funct, ioneaza, dar avem S(0) = 0,

ca valoare particulara.

23

7.4 Serii TaylorOrice funct, ie cu anumite proprietat, i poate � aproximata cu un polinom:De�nitie 7.1: Fie I ⊆ ℝ un interval deschis s, i f ∶ I → ℝ o funct, ie de clasa Cm(I ). Pentru oricea ∈ I , de�nim polinomul Taylor de gradul n ≤ m asociat funct, iei f ın punctual a prin:

Tn,f ,a(x) =n

∑k=0

f (k)(a)k!

(x − a)k .

Restul (eroarea de aproximare) este de�nit prin:Rn,f ,a = f (x) − Tn,f ,a(x).

Acest polinom poate � mai departe utilizat pentru a studia seria Taylor asociata unei funct, ii.Teorema 7.2: Fie a < b s, i f ∈ C∞([a, b]) astfel ıncıt sa existe M > 0 cu proprietatea ca ∀n ∈ ℕ s, ix ∈ [a, b], avem |f (n)(x)| ≤ M .

Atunci pentru orice x0 ∈ (a, b), seria Taylor a lui f ın jurul punctului x0 este uniform convergentape [a, b] s, i suma ei este funct, ia f , adica avem:

f (x) = ∑n≥0

f (n)(x0)n!

(x − x0)n, ∀x ∈ [a, b].

Pentru cazul particular x0 = 0, seria se numes, te Maclaurin.Serii Taylor uzuale, pentru funct, ii elementare, ımpreuna cu domeniile de convergent, a, sınt

date mai jos:

ex = ∑n≥0

1n!xn, x ∈ ℝ

11 − x

= ∑n≥0

xn, |x | < 1

11 + x

= ∑n≥0(−1)nxn, |x | < 1

cos x = ∑n≥0

(−1)n

(2n)!x2n, x ∈ ℝ

sin x = ∑n≥0

(−1)n

(2n + 1)!x2n+1, x ∈ ℝ

(1 + x)� = ∑n≥0

�(� − 1)(� − 2)⋯ (� − n + 1)n!

xn, |x | < 1, � ∈ ℝ

arctan x = ∑n≥0

(−1)n

2n + 1x2n+1, |x | ≤ 1.

Seriile pentru alte funct, ii se pot obt, ine �e prin calcul direct, �e prin derivare sau integraretermen cu termen a seriilor de mai sus.

24

7.5 Exercit, ii1. Sa se dezvolte urmatoarele funct, ii ın serie Maclaurin, precizınd s, i domeniul de convergent, a:

(a) f (x) = ex ;

(b) f (x) = sin x ;

(c) f (x) = cos x ;

(d) f (x) = (1 + x)� , � ∈ ℝ;

(e) f (x) = 11 + x

;

(f) f (x) = ln(1 + x);

(g) f (x) = arctan x ;

(h) f (x) = ln(1 + 5x);

(i) f (x) = ln(2 + 3x)3;

(j) f (x) = 1x2 − 5x + 6

;

(k) f (x) = 1x2 − 3x + 2

.

2. Sa se calculeze polinomul Taylor de grad 3 ın jurul originii pentru funct, iile:

(a) f (x) = 3 ln(2 + x);

(b) f (x) = arctan x ;

(c) f (x) =√1 + 2x .

3. Gasit, i aproximarea liniara s, i patratica a funct, iilor:

(a) f (x) = 3√x + 1;

(b) f (x) = sin(cos x);

(c) f (x) = esin x ;

(d) f (x) = arcsin x .

25

4. Calculat, i mult, imea de convergent, a s, i suma seriei:

∑n≥0

(−1)n

n!x2n−1

5n.

5. Calculat, i cu o eroare mai mica decıt 10−3 integralele:

(a) ∫

12

0

sin xx

dx ;

(b) ∫

12

0

ln(1 + x)x

dx ;

(c) ∫1

0e−x

2dx ;

(d) ∫

12

0

1 − cos xx2

dx ;

(e) ∫

12

0

1 − ex

xdx ;

6. Folosind dezvoltarea ın serie Taylor, calculat, i cu o eroare de maximum 10−3:

(a) 3√65;

(b) 4√10005;

(c) cos 12

;

(d) sin 13

;

(e) 3 arctan 12

;

(f) e−0,2;

(g) ln(1, 1);

(h) ln 4;

(i) ln 5.

26

7. Estimat, i eroarea pentru calculele de la exercit, iul anterior.

8.

(a) Fie funct, ia f (x) = 3√x + 1.

(i) Scriet, i polinoamele Taylor T1 s, i T2 ın jurul originii.(ii) Calculat, i 3

√29 folosind T2.

(iii) Estimat, i eroarea calculului de mai sus.

(b) Fie funct, ia f (x) = sin x + cos x, x ∈ [0, �].

(i) Scriet, i polinoamele Taylor T1 s, i T2 ın jurul originii.(ii) Calculat, i

√2 folosind T2.

(iii) Estimat, i eroarea calculului de mai sus.

(c) Fie funct, ia f (x) = ln(1 + 3x)2.

(i) Scriet, i polinoamele Taylor T1 s, i T2 ın jurul originii.(ii) Calculat, i ln 49 folosind T2.

(iii) Estimat, i eroarea calculului de mai sus.

(d) Fie funct, ia f (x) = arctan√x + 1, x ≥ 0.

(i) Scriet, i polinoamele Taylor T1 s, i T2 ın jurul originii.(ii) Calculat, i arctan 0, 1 folosind T2.

(iii) Estimat, i eroarea calculului de mai sus.

27

SEMINAR 8

FUNCT, II DE MAI MULTE VARIABILE

8.1 Limite s, i continuitateIn cazul funct, iilor de mai multe variabile, atıt studiul continuitat, ii, cıt s, i al derivabilitat, ii s, i cal-culului limitelor sau derivatelor part, iale, se fac cu variabilele pe rınd, adica dınd prioritate uneiadintre ele s, i considerınd pe celelalte drept parametri.

8.1.1 Exercit, ii rezolvate1. Sa se arate, folosind de�nit, ia, ca urmatoarele funct, ii nu au limita ın origine:

(a) f (x, y) = 2xyx2 + y2

, (x, y) ≠ (0, 0);

(b) f (x, y) = y2 + 2xy2 − 2x

, (x, y) ≠ (0, 0).

Solut, ie: Vom folosi de�nit, ia cu s, iruri, punınd ın evident, a s, iruri de puncte, convergente catre(0, 0).

(a) Folosim s, iruri de puncte care se a�a pe drepte care trec prin origine. Aceste drepte auecuat, ii de forma y = mx . Daca funct, ia ar avea limita ın origine, ar trebui ca:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limx→0,y=mx

2x(mx)x2 + x2m2 =

2m1 +m2 .

Cu aceasta limita depinde de s, irul folosit (de m, mai exact), rezulta ca limita nu exista, ın general.(b) Calculam, similar:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limx→0,y=mx

m2x2 + 2xm2x2 − 2x

= −1.

28

Insa, daca luam y2 = px , adica (x, y)→ (0, 0) pe parabola care trece prin origine, cu p ∈ ℝ−{2},obt, inem:

limx→0,y2=px

px + 2xpx − 2x

=p + 2p − 2

.

Rezulta ca, pentru s, iruri diferite, obt, inem limite diferite, deci funct, ia nu are limita ın origine.

2. Sa se calculeze limitele:

(a) lim(x,y)→(0,0)

xy√xy + 1 − 1

;

(b) lim(x,y)→(0,2)

sin xyx

;

(c) lim(x,y)→(∞,∞)

x + yx2 + y2

.

Solut, ie: (a) Calculam direct:

lim(x,y)→(0,0)

xy√xy + 1 − 1

= limu→0

u√u + 1 − 1

= limu→0

(√u + 1 + 1)u

u= 2.

(b) Similar:lim

(x,y)→(0,2)

sin xyx

= lim(x,y)→(0,2)

sin xyxy

⋅ y = 2.

(c) Pentru x, y > 0, avem:

0 <x + yx2 + y2

=x

x2 + y2+

yx2 + y2

≤xx2+yy2.

Cum lim(x,y)→(∞,∞)(

1x+1y)

= 0, rezulta ca s, i limita init, iala este nula.

3. Sa se arate ca funct, ia:

f (x, y) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xy2 + sin(x3 + y5)x2 + y4

, (x, y) ≠ (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

este continua part, ial ın origine, dar nu este continua ın acest punct.

29

Solut, ie: Consideram variabilele separat. Funct, ia:

f (x, 0) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

sin x3

x2, x ≠ 0

0, x = 0

este continua ın origine, deoarece limx→0

f (x, 0) = 0 = f (0, 0).Similar, funct, ia f (0, y) este continua ın y = 0.Dar funct, ia f (x, y) nu este continua ın origine, deoarece avem:

lim(x,y)→(0,0)

f (x, y) = limx→0,y2=px

px2 + sin(x3 + p 52x 5

2 )x2 + p2x2

= limx→0,y2=px [

p1 + p2

+sin(x3 + p 5

2x 52 )

x3 + p 52x 5

2⋅x3 + p 5

2x 52

x2 + p2x2 ]

=p

1 + p2,

care depinde de p.

4. Sa se arate ca funct, ia:

f (x, y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

2xyx2 + y2

, (x, y) ≠ (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

este continua ın raport cu �ecare variabila ın parte, dar nu este continua ın raport cu ansamblulvariabilelor.

Indicat, ie: Consideram y = b, �xat. Avem f (x, b) continua. Similar, f (a, y).Pentru continuitatea globala ın origine, luam y = mx s, i obt, inem o limita care depinde de m.

5. Sa se arate ca funct, ia:

f (x, y) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

xy + x2y ln |x + y |x2 + y2

, (x, y) ≠ (0, 0)

0, (x, y) = (0, 0)

este continua part, ial ın origine, dar nu este continua ın raport cu ansamblul variabilelor ın acestpunct.

Indicat, ie: Limitele iterate ın origine sınt ambele nule, indiferent de ordine.Insa pentru x → 0 s, i y = mx , limita globala depinde de m.

30

8.2 Derivate part, ialeData o funct, ie de mai multe variabile, se pot calcula derivatele part, iale ale acesteia ın funct, ie de�ecare dintre variabile, pe rınd. De exemplu, �e funct, ia:

f ∶ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = 3x sin y + ey + 4xy.

Calculam:)f)x

= 3 sin y + 4y,)f)y

= 3x cos y + ey + 4x.

Mai departe, putem calcula s, i derivatele de ordin superior, dupa regula:

)2f)x2

=))x(

)f)x)

s, i similar pentru celelalte derivate part, iale, adica )2f)y2

, )2f)x)y

, respectiv )2f)y)x

.De asemenea, pentru o funct, ie de doua variabile f = f (x, y), se de�nes, te laplacianul funct, iei

ca �ind:Δf =

)2f)x2

+)2f)y2

.

De�nit, ia se extinde natural pentru n variabile.Daca f este astfel ıncıt Δf = 0, atunci funct, ia f se numes, te armonica.In plus, data o funct, ie de doua variabile f = f (x, y), se de�nes, te diferent, iala totala df ca �ind:

df =)f)x

dx +)f)y

dy.

Similar se poate de�ni pentru funct, ii de n variabile, precum s, i diferent, iala totala de ordinul 2:

d2f =)2f)x2

dx2 +)2f)y2

+ 2)2f)x)y

dxdy.

8.3 Exercit, ii0. Calculat, i urmatoarele derivate part, iale folosind de�nit, ia:

(a) pentru f (x, y) = 3x2 − 2xy + 5y2 − 3x + 2, )f)x(1, 2);

(b) pentru f (x, y) = 5x2 + xy − 3x + 2, )f)x(−1, 1) s, i

)f)y(1, 2);

(c) pentru f (x, y) = 3x − 2y2 + 2xy + 5, )f)x(0, 1) s, i

)f)y(−1, 0).

31

1. Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi pentru funct, iile:

(a) f (x, y) = ex−y2 ;

(b) f (x, y) = arctan xy+ arctan

yx

;

(c) f (x, y) = ex2+y2 ;

(d) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2;

(e) f (x, y) = x√y .

2. Calculat, i derivatele part, iale de ordinul ıntıi pentru funct, iile compuse:

(a) f (x, y) = ln(u2 + v), u(x, y) = ex+y2 , v(x, y) = x2 + y;

(b) f (x, y) = '(2xey + 3y sin 2x);

(c) f (x, y) = '(u, v, w), unde u(x, y) = xy, v(x, y) = x2 + y2 s, i w(x, y) = 2x + 3y;

(d) f (x, y) = arctan 2uv

, unde u(x, y) = x sin y s, i v(x, y) = x cos y;

3. Sa se calculeze derivatele part, iale de ordinul ıntıi s, i al doilea pentru funct, iile:

(a) f (x, y) = ex cos y;

(b) f (x, y) = x − yx + y

, (x, y) ≠ (0, 0);

(c) f (x, y) = ln(x2 + y2), (x, y) ≠ (0, 0);

(d) f (x, y) = x3 + xy;

(e) f (x, y, z) = y sin(x + z);

(f) f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2), (x, y, z) ≠ (0, 0, 0).

4. Sa se calculeze derivatele part, iale ın punctele indicate:

(a) f (x, y) = 2x2 + xy, )f)x(1, 1),

)f)y(3, 2);

(b) f (x, y) =√sin2 x + sin2 y,

)f)x(

�4, 0),

)f)y(

�4,�4)

;

32

(c) f (x, y) = ln(1 + x2 + y2), )f)x(1, 1),

)f)y(1, 1);

(d) f (x, y) = 3√x2y,

)f)x(−2, 2), )f

)y(−2, 2), )2f

)x)y(−2, 2);

(e) f (x, y) = xy ln x, x ≠ 0, )2f)x)y

(1, 1), )2f)y

)x(1, 1).

5. Aratat, i ca funct, iile urmatoare veri�ca ecuat, iile indicate:

(a) f (x, y) = '(yx )

,

x)f)x

+ y)f)y

= 0.

(b) f (x, y, z) = '(xy, x2 + y2 + z2),

xz)f)x

− yz)f)y

+ (y2 − x2))f)z

= 0.

(c) f (x, y) = y'(x2 − y2),1x)f)x

+1y)f)y

=1y2f (x, y);

(d) f (x, y, z) = xyzln x + x'(

xy,zx)

, pentru x > 0 s, i z ≠ 0, ecuat, ia �ind:

x)f)x

+ y)f)y

+ z)f)z

−xyz− f (x, y, z) = 0.

6. Veri�cat, i daca urmatoarele funct, ii sınt armonice:

(a) f (x, y) = ln(x2 + y2);

(b) f (x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2);

(c) f (x, y) =√x2 + y2;

(d) f (x, y, z) =√x2 + y2 + z2;

(e) f (x, y) = (x2 + y2)−1;

(f) f (x, y, z) = (x2 + y2 + z2)−1.

33

7. Fie funct, ia f (x, y) = xy'(ln(x + y) +xy)

, unde ' ∶ ℝ → ℝ este o funct, ie derivabila.

Aducet, i la forma cea mai simpla expresia:

E(x, y) = x)f)x

+ y)f)y

−x + yxy

f (x, y).

34

SEMINAR 9

EXTREME LIBERE

9.1 Polinomul Taylor ın 2 variabileFie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ o funct, ie de doua variabile, de clasa C∞. Polinomul Taylor al lui f ın jurulpunctului A(x0, y0) se scrie:

T (x, y) = f (x0, y0) +11![

(x − x0))f)x(A) + (y − y0)

)f)y(A)]+

+12![

(x − x0)2)2f)x2

(A) + 2(x − x0)(y − y0))2f)x)y

(A) + (y − y0)2)2f)y2

(A)]+

+13![

(x − x0)3)3f)x3

(A) + 3(x − x0)2(y − y0))3f)2x)y

(A)+

+ 3(x − x0)(y − y0)2)3f)x)2y

(A) + (y − y0)3)3f)y3

(A)]

+ …

Gradul polinomului Taylor este dat de ordinul ultimei derivate part, iale care se calculeaza.Astfel, avem, ın particular:

T1(x, y) = f (x0, y0) +11![

(x − x0))f)x(A) + (y − y0)

)f)y(A)]

T2(x, y) = T1(x, y) +12![

(x − x0)2)2f)x2

(A) + 2(x − x0)(y − y0))2f)x)y

(A) + (y − y0)2)2f)y2

(A)].

35

9.2 Extreme libereFie f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ o funct, ie de doua variabile. Pentru a gasi punctele de extrem ale funct, iei,parcurgem urmatoarele etape:(1) rezolvam sistemul de ecuat, ii dat de anularea derivatelor part, iale:

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩

)f)x

= 0

)f)y

= 0

Solut, iile acestui sistem se numesc puncte critice ale funct, iei.

(2) scriem matricea hessiana a funct, iei, adica:

Hf =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝

)2f)x2

)2f)x)y

)2f)y)x

)2f)y2

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

(3) Evaluam matricea ın �ecare punct critic. Astfel, daca A(x0, y0) este punct critic, calculamHf (x0, y0);

(4) Determinam valorile proprii1�1,2 ale matricei hessiene, adica radacinile polinomului caracte-ristic PM (X ) = det(M − XI2), unde M = Hf (x0, y0).

• Daca �1, �2 > 0, atunci punctul A(x0, y0) este punct de minim local;• Daca �1, �2 < 0, atunci punctul A(x0, y0) este punct de maxim local;• Daca �1 ⋅ �2 < 0, atunci punctul A(x0, y0) nu este de extrem;• Daca �1 ⋅ �2 = 0, problema necesita un studiu separat, acesta �ind un caz mai di�cil s, i

pe care ıl omitem. Formal, trebuie studiat semnul diferent, ei f (x, y) − f (x0, y0), pentru�ecare punct critic A(x0, y0), iar pentru aceasta se foloses, te polinomul Taylor.

(5) Se repeta procedura pentru �ecare punct critic.Procedura de mai sus se aplica ın cazul as, a-numitelor extreme libere, adica atunci cınd dome-

niul este D = ℝ2 sau un dreptunghi dat de un produs cartezian de intervale.Pentru cazul cınd domeniul este dat de (in)ecuat, ii, procedura este diferita s, i o vom exempli�ca

ın seminarul urmator.1Exista o metoda alternativa, aceea care se bazeaza pe criteriul lui Sylvester pentru forme patratice, studiata la

curs. Cıteva indicat, ii teoretice putet, i gasi s, i ın notit,ele mele aici.Vom prefera, ın seminar, sa folosim aceasta metoda a valorilor proprii, ınsa.

36

9.3 Exercit, ii rezolvateFie funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x3 + y3 − 6xy.

(a) Pentru D = ℝ2, determinat, i punctele de extrem s, i calculat, i valorile funct, iei ın aceste puncte.

(b) Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5}, determinat, i punctele de extrem s, i valorileextreme.

Solut, ie:(a) Punctele critice se determina din anularea derivatelor part, iale. Avem:

)f)x

= 3x2 − 6y,)f)y

= 3y2 − 6x.

Se obt, in A(0, 0) s, i B(2, 2).Apoi matricea hessiana:

Hf = (6x −6−6 6y)

Pentru A(0, 0), hessiana este:

Hf (A) = (0 −6−6 0 ) = M.

Polinomul caracteristic PM (X ) = det(M −XI2) = X 2 − 36⇒ �1,2 = ±6. Rezulta ca punctul A nueste de extrem.

Pentru B(2, 2), hessiana este:

Hf (B) = (12 −6−6 12) = M.

Polinomul caracteristic PM (X ) = (12 − X )2 − 36⇒ �1 = 6, �2 = 18. Cum ambele valori propriisınt pozitive, punctul B este punct de minim local.

Valoarea minima a funct, iei este f (2, 2) = −8.

(b) Problema se studiaza pe 2 cazuri: pe interiorul lui D s, i pe frontiera lui D.Pentru frontiera, avem x ≥ 0, y ≥ 0 s, i x+y = 5. Atunci putem studia funct, ia g(x) = f (x, 5−x) =

21x2 − 105x + 125, care are un punct de minim ın vırful acestei parabole. Se obt, ine f (2, 5; 2, 5) =−6, 25. De asemenea, mai avem s, i valorile f (0, 5) = 125, respectiv f (5, 0) = 125.

Apoi mai avem de studiat cazurile y = 0, x ∈ [0, 5], deci funct, ia f (x, 0) = ℎ(x), precum s, ix = 0, y ∈ [0, 5], deci funct, ia f (0, y) = j(y).

37

Pentru interiorul domeniului, avem:

Int(D) = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x > 0, y > 0, x + y < 5}.

Putem folosi calculele din cazul anterior s, i constatam ca B(2, 2) ∈ Int(D), deci avem o valoarede minim pe interior, cu f (2, 2) = −8.

As, adar, raspunsul �nal este max f = 125 s, i min f = −8.

9.4 Exercit, ii propuse1. Determinat, i punctele de extrem s, i valorile extreme pentru funct, iile:

(a) f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 + xy + y2 − 4 ln x − 10 ln y + 3;

(b) f (x, y) = 3xy2 − x3 − 15x − 36y + 9, de�nita (i) pe ℝ2 s, i (ii) pe [−4, 4] × [−3, 3];

(c) f (x, y) = 4xy − x4 − y4, de�nita (i) pe ℝ2 s, i (ii) pe [−1, 2] × [0, 2];

(d) f (x, y) = x3 + 3x2y − 15x − 12y de�nita (ii) pe ℝ2 s, i (ii) pe D = {x ≥ 0, y ≥ 0, 3y + x ≤ 3};

(e) f (x, y) = xy(1 − x − y), de�nita pe [0, 1] × [0, 1];

(f) f (x, y) = x3 + 8y3 − 2xy , de�nita pe D = {x, y ≥ 0, y + 2x ≤ 2};

(g) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2x + 6y − 6z, de�nita pe ℝ3;

(h) f (x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 6x + y − 2z, de�nita pe ℝ3;

(i) f (x, y, z) = 1x+xz+yz+ z, de�nita pe ℝ3 ⧵ {(0, 0, 0)}.

In toate exercit, iile de mai sus este recomandabil sa reprezentat, i gra�c domeniile de de�nit, ieatunci cınd sınt marginite.

2. Fie funct, ia f (x, y) = x ln(x2 + y2). Calculat, i polinoamele Taylor de gradul 1 s, i respectiv 2,T1, T2 ın jurul punctului (1, 0).

3. Aceeas, i cerint, a pentru funct, ia f (x, y) = 3xex2+y2 s, i pentru funct, ia g(x, y) = arctan

xy

.

4. Fie funct, ia: f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ, f (x, y) = x2 + 2xy − 4x − y.Pentru D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ −x2 + 2x}, determinat, i valoarea minima s, i

valoarea maxima a funct, iei.

38

SEMINAR 10

EXTREME CU LEGATURI

10.1 Generalitat, iIn cazul ın care domeniul de de�nit, ie este speci�cat cu o ecuat, ie sau este dat de un produs deintervale, se aplica o metoda speci�ca, numita, ın general, metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Astfel, �e funct, ia f ∶ D ⊆ ℝ2 → ℝ ca mai sus, careia vrem sa ıi determinam extremele s, ipresupunem ca vrem sa o facem numai ıntr-un domeniu dat de:

D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 = 4}.

Atunci, ecuat, ia x2 + y2 = 4 se numes, te legatura s, i o scriem sub forma unei funct, ii g(x, y) =x2 + y2 − 4, pentru ca legatura sa devina g(x, y) = 0.

Cu aceasta, metoda multiplicatorilor lui Lagrange ınseamna sa alcatuim funct, ia lui Lagrange1:

F (x, y) = f (x, y) − �g(x, y), � ∈ ℝ.

Cu aceasta, singura modi�care care trebuie aplicata metodei de mai sus este ca sistemul pentrugasirea punctelor critice devine:

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

fx = 0fy = 0g = 0

⟹ (x, y, �).

Pentru punctele critice, ne putem dispensa de �, iar rezolvarea funct, ioneaza ca mai devreme.1Detalii s, i explicat, ii geometrice sınt date, de exemplu, foarte clar ın aceasta lect, ie video.

39

Observatie 10.1: Nu ıntotdeauna este nevoie sa ne complicam cu funct, ia lui Lagrange. Daca, deexemplu, legatura era x +y = 3, putem sa o scriem ca y = 3−x , iar funct, ia init, iala devine o funct, iede o variabila, f (x, 3 − x), careia ıi studiem extremele ca ın liceu.

Observatie 10.2: Daca legaturile sınt multiple, de exemplu, g1, g2, g3,… , gk , funct, ia lui Lagrangecorespunzatoare este:

F (x, y) = f (x, y) −∑ �igi(x, y),

iar sistemul de rezolvat este dat de anularea derivatelor part, iale s, i a tuturor legaturilor.

10.1.1 Cazul compactDaca domeniul de de�nit, ie este un spat, iu compact — ceea ce, ın esent, a, pentru uzul acestui semi-nar ınseamna un produs de intervale (semi)ınchise sau legaturi date de inegalitat, i —, problema sestudiaza ın doua etape:

• In interiorul domeniului, caz ın care legatura este inexistenta;

• Pe frontiera, caz ın care legatura este data de egalitate.

De exemplu, pentru domeniile:

D1 = [3, 4] × [1, 5], D2 = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ 3x + 2y ≤ 2}

• Interiorul ınseamna:

– pentru D1, IntD1 = (3, 4) × (1, 5), caz ın care avem doar de veri�cat ca punctele criticese gasesc ın intervalele date;

– pentru D2, avem legatura 3x + 2y < 2, caz ın care, din nou, veri�cam daca punctelecritice satisfac inegalitatea stricta.

• Frontierele ınseamna:

– pentru D1, cazurile separate x = 3, y ∈ [1, 5], apoi x = 4, y ∈ [1, 5] s, i invers;– pentru D2, legatura devine 3x + 2y = 2, pe care o putem rezolva cu Lagrange sau cu

metoda simpli�cata din observat, ia 10.1.

10.2 Exercit, ii1. Sa se determine valorile extreme ale funct, iilor f , cu legatura g ın cazurile:

(a) f (x, y) = x2 + y2 − 6x − 2y + 1, g(x, y) = x + y − 2;

(b) f (x, y) = x2 + y2 − 2y + 1, g(x, y) = x2 + y2 − 2x − 2y + 1;

40

(c) f (x, y) = 3x + 4y, g(x, y) = x2 + 2y2 − 25

2. Sa se determine valorile extreme pentru funct, iile f , de�nite pe mult, imea D:

(a) f (x, y) = 5x2 + 4xy + 8y2, D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x2 + y2 ≤ 1};

(b) f (x, y) = xy2(x + y − 2), D = {(x, y) ∈ ℝ2 ∣ x + y ≤ 3, x, y ≥ 0};

(c) f (x, y) = x + y1 + xy

, D = [0, 1] × [0, 1];

(d) f (x, y, z) = x2 + y2 + xz − yz, D = {(x, y, z ∈ ℝ3 ∣ x + y + z = 1, x, y, z ≥ 0}.

41

INDEX

convergent, apunctuala, 17uniforma, 17

criteriulAbel-Dirichlet, 11comparat, ie

la limita, 5termen cu termen, 5

condensarii, 9integral, 9Leibniz, 10logaritmic, 9necesar, 5Raabe-Duhamel, 6radical, 6raportului, 6Weierstrass, 21

funct, iiarmonice, 31

Lagrange, 39laplacian, 31multiplicator Lagrange, 39

seriearmonica, 4geometrica, 4

seriialternante, 10de funct, ii, 21de puteri, 22Maclaurin, 24polinom Taylor, 24Taylor, 24

spat, iu metric, 14contract, ie, 14teorema Banach, 15

s, irurifunct, ii, 17

42