ANALIZA FIABILITATII BAZATA PE DIAGRAMELE DE FIABILITATE (MLF /MSF)

DIAGRAMELE DE FIABILITATE (MLF /MSF)

- SERIE

- PARALEL

- MIXT

- NEDECOMPOZABIL LA SERIE/PARALEL

ANALIZA FIABILITĂŢII SISTEMELOR CU STRUCTURĂ SERIE ŞI/SAU PARALEL

Structura serie

Pe baza acestora, rezultă imediat relaţia dintre evenimentul buna funcţionare a sistemului, S, si evenimentele buna funcţionare a elementelor componente, Ei; (i = 1 , 2, ... n)

S =E1∩E2∩... ∩En. (3.4)

Ţinînd cont de (3.4), rezultă următoarea relaţie generală pentru evaluarea fiabilităţii sistemelor cu structură fiabilistică serie:

RS(n)= P(S) = P(E1∩E2∩....∩En), (3.5)

unde RS(n) este funcţia de fiabilitate a sistemului cu structură fiabilistică serie format din n elemente.

În cazul defectărilor independente, relaţia anterioară devine :

RS(n)=∏i=1

n

P(E i)=∏i=1

n

Ri(3 .6 )

unde Ri = P(Ei) este functia de fiabilitate a elementului i.

În cazul defectărilor dependente rezultă:

RS(n)d=P(E1)P(E2/E1)P(E3/E1E2)..P(En/E1E2..En-1)

În relaţia anterioară iniervin probabilităţi condiţionate; astfel P(E3/E1E2) reprezintă probabilitatea de bună funcţionare a elementului 3, evaluată în condiţiile influenţei funcţionării elementelor 1 şi 2. Evaluarea numerică a acestor probabilităţi este dificilă în practică, motiv pentru care, în mod uzual, este utilizată relaţia bazată pe independenţa defectărilor elementelor sistemului.

UTILIZARE NOMOGRAME PTR CALCULUL FIABILITATII SISTEMELOR SERIE

SISTEME CU STRUCTURĂ PARALEL

Pornind de la modelul logic de fiabilitate (fig. 3.5 a) sau de la graful de fiabilitate (fig. 3.5 b) al unui sistem cu structură paralel, rezultă următoarea expresie a funcţiei de structură corespunzătoare acestui sistem:

Analiza cantitativă a fiabilităţii unui sistem cu structură paralel, considerîndu-se evenimentele bună funcţionare, nu este la fel de simplă ca în cazul structurii serie. Totuşi, utilizînd relaţiile lui de Morgan, se poate ajunge la o funcţie de structură similară cu cea din cazul sistemelor serie, dar pentru evenimentele defectare :

Rezultă că în acest caz este mai avantajos să se opereze cu probabilităţile de defectare. Relaţia generală pentru evaluarea fiabilităţii sistemelor cu structură paralel este :

unde FP(n), este funcţia de nonfiabilitate (probabilitatea de defectare) a sistemului cu structură fiabilistică paralel, format din n elemente. În cazul defectărilor independente, relaţia anterioarå devine:

unde Fi= P(Ei) este funcţia de nonfiabilitate a elementului i

Ţinînd cont de relaţiile existente între indicatorii de fiabilitate, relaţia 3.13 mai poate fi scrisă utilizînd funcţiile de fiabilitate astfel:

S=E1∪E2∪.. .. . .. ..∪Ei∪. . .. .. .∪En

(3 .11)S=E1∪E2∪.. .. .∪E i∪. .. . .. ..∪En=E1∩E2∩. .. .∩E i∩. .. En

FP (n )=P (S )=P(E1∩E2∩. . .. .. .∩En ), (3 .12 )

FP (n )=∏i=1

n

P(Ei )=∏i=1

n

Fi ,(3 .13 )

RP(n)=1−F P(n)=1−∏i=1

n

(1−R i)(3 .14 )

În cazul defectărilor dependente, pornind de la relaţia 3.12 rezultă:

SISTEME CU STRUCTURĂ MIXTĂ

FP (n )d=P(E1 )P(E2 ¿E1)P(E3 ¿E1E2). .. .P (En)/E1 E2 .. .. .En−1)

UTILIZARE NOMOGRAME PTR CALCULUL FIABILITATII SISTEMELOR MIXTE

ANALIZA FIABILITĂŢII SISTEMELOR COMPLEXE CU STRUCTURA NEDECOMPOZABILĂ LA SERIE PARALEL

METODĂ BAZATĂ PE UTILIZAREA FORMULEI PROBABILITĂŢII TOTALE Această metodă se bazează pe formula probabilităţii totale, conform căreia dacă evenimentele E1,E2,..,Ei..,En, formează un sistem complet de evenimente, cu probabilităţile P(E1),P(E2), ..., P(Ei),.., P(En),atunci probabilitatea unui eveniment S, care face parte din cîmpul de evenimente definit de E1,E2,..,Ei..,En ,este:

Dacă se aplică formula probabilităţii totale în domeniul analizei fiabilităţii sistemelor cu două stări, sistemul complect de evenimente se reduce la două: buna funcţionare, respectiv defectarea unui element j, ales astfel încît să aibă o poziţie „cheie"  în cadrul sistemului. Pornind de la relatia 3.19 rezultă următoarea expresie a funcţiei de fiabilitate R(S) sistemului:

unde Rj este funcţia de fiabilitatc a elementului j, R(S/j) – funcţia de fiabilitate a sistemului condiţionată de buna funcţionarc a 1ui j, iar R(S/j) –funcţia de fiabilitate a sistemului condiţionată de defectarea lui j.

P( S )=∑i=1

n

P(E1 )P (S /E i) .(3 .19 )

R( S )=Ri R( S/ j)+(1−R i)R( S/ j) ,

Studiu de caz

Datorită poziţiei sale în sistem, se va alege elementul {blocul) E drept element „cheie” al sistemului, ceea ce conduce la următoarea expresie a funcţiei de fiabilitate a sistemului :

Ţinînd seama de structura fiabilistică a sistemului analizat rezultă, atunci, cind elementul E functionează corect

iar atunci cînd acest element este defect :

În cazul structurilor fiabilistice nedecompozabile mai complexe se poate aplica de mai multe ori consecutiv formula probabilităţii totale, pînă se ajunge la structuri simple serie-paralel.

RNED=R( S )=REP( S/E )+(1−RE )P( S/E ).

P( S/E )=(R A+RC−RA RC )(RB+RD−RBRD) .

P( S/E )=RA RB+RCRD−R ARBRC RD .

METODĂ BAZATĂ PE ENUMERAREA EXHAUSTIVĂ A STĂRILOR SISTEMULUI- enumerarea tuturor stărilor posibile ale sistemului {pentru un sistem format din n elemente, fiecare element avînd 2 stări – bună funcţionare şi defectare - rezultă 2n stări posibile pentru sistem) ;

- selectarea acelor stări pentru care sistemul este în bună stare de functionare şi scrierea, pe această bază, a expresiei funcţiei de fiabilitate a sistemului.

Pentru sistemul cu model logic nedecompozabil din figura 3.8, care are n = 5 elemente, vor fi 25 = 32 stări posibile ale sistemului, evidenţiate în tabelul 3.2.

RS = FAFBRCRDFE + FAFBRCRDRE + FARBRCFDRE + FARBRCRDRE

+FARBRcRDFE + RARBFCFDFE + RARBFCFDRE + RARBFCRDRE +RARBFCRDFE + RARBRCRDFE + RARBRCRDRE + RARBRCFDRE +RARBRCFDFE + RAFBRCRDRE + RAFBRCRDFE + RAFBFCRDRE

METODE BAZATE PE MULŢIMILE LEGĂTURILOR MINIMALEChemins de succès ou liens minimaux

Coupes minimales

Legătura (calea) minimală este legătura ïn care nu există o submulţime de elemente a căror funcţionare singură să ducă la buna funcţionare a sistemului.

Privită prin prisma grafului de fiabilitate, o legătură va fi minimală, dacă fiecare nod este parcurs doar o singurå dată.

În cazul general, al unui graf de fiabilitate de formă poligonală cu n noduri, ale cărui arce sînt toate bidirecţionale, numărul m al legăturilor minimale este dat de relaţia :

În tabelul 3.3 au fost calculate valorile lui m pentru cazul general al unor grafuri de fiabilitate de formă poligonală.

Pornind de la relatia anterioara, este posibilă determinarea expresiei funcţiei de fiabilitate a sistemului :

m=(n−2 )!∑i=0

n−2 1i !.

R( S )=P(L1∪L2∪. .. .∪Li∪.. . .∪Lm) .

METODE DE IDENTIFICARE A MULŢIMII LEGĂTURILOR MINIMALE ALE UNUI SISTEM

Metodă bazată pe ridicarea la putere a matricelor de conexiune

O matrice de conexiune [C] constituie corespondentul analitic al grafului de fiabilitate al sistemului şi are dimensiunea (n X n), unde n este număruI nodurilor grafului.

În această matrice, elementeie au valorile: cij = 0, dacă nu există nici o cale directă de la nodul i la nodul j ; cij = X, dacă există o cale directă între nodurile i şi j ( X înseamnă că evenimentul corespunzător acestei căi este buna funcţionare).

Se demonstrează că pentru matricea [C]n, elementul cij dă toate căile minime de la i la j de mărime r.

Într-un graf de conexiune cu n noduri, cea mai mare cale va fi de mărimea(n –1); deci pentru a se determina toate căile din graf este necesar să se calculeze mai întîi [C],[C]2, ..., ,[C]n-1.

Metoda analizată presupune următoarele etape:

(a) Stabilirea matricei de conexiune [C] corespunzătoare grafului de fiabilitate al sistemului ;

(b) Calculul matricelor [C]2, ..., [C]n-1 (unde n este numărul nodurilor grafului) ;

(c) Determinarea legăturilor (căilor) minimale ale sistemului, care sînt date de termenii cij (1 fiind nodul de intrare, iar k nodul de ieşire al gratului de fiabilitate aferent sistemului) ai matricelcr [C], [C]2, ...,[C]n-1

E x e m p l u Matricea de conexiune corespunzatoare grafului de fiabilitate al sistemului cu structura nedecompozabilă din figura 3.8 este următoarea :

Deoarece graful de fiabilitate al sistemului analizat are n = 4 noduri, trebuie calculate [C]2 şi [C]3

Deoarece pentru sistemul considerat 1 este nod de intrare, iar 2 nod de ieşire, pentru stabilirea mulţimii legăturilor minimale trebuie consideraţi

termenii c12 ai acestor matrice ; rezultă următoarele legături minimale :AB,CD, CEB, AED.

Deoarece metoda necesită calculul puterilor unor matrice, aceasta este indicata doar pentru sistemele de mica complexitate (al căror graf de fiabilitate are puţine noduri}, devenind laborioasă pentru sistemele complexe.

[C ]=[0 0 A C0 0 0 00 B 0 E0 D E 0 ]

C2=[0 AB+CD CE AE0 0 0 00 ED 0 00 EB 0 0 ]

C3=[0 CEB+AED 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0 ]

Metodă bazată pe reducerea succesivă a mărimii matricei de conexiune

Această metodă presupune următoarele etape :

(a) Stabilirea matricei de conexiune [C] corespunzătoare grafului de fiabilitate al sistemului (conform metodologiei prezentate în cazul metodei precedente) ; (b) Reducerea în mod succesiv a mărimii matricei de conexiune [C] prin îndepărtarea ultimei sale linii şi a ultimei sale coloane, după ce au fost modificaţi termenii rămaşi ai lui [C] conform relatiei :

Cij nou = Cij vechi + CinCnj

Procedeul se repetă pînă cînd se ajunge la o matrice mai simpla (de obicei de dimensiuni 2 X 2) din care rezultă imediat legăturile, minimale ale sistemului.

E x e m p l u Pornind de la matricea de conexiune corespunzătoare grafului de fiabilitate al sistemului din figura 3.8 şi îndepărtînd succesiv nodurile 4, respectiv 3, rezultă:

Termenul c12 al matricei [C]43 evidenţiază legăturile minimale ale sistemului; în cazul analizat, acestea sînt : AB, CD, CEB,AED

[C ]4=[0 CD (4 ) A+CE (4 )0 0 00 B+ED ( 4 ) 0 ]

[C ]43=[0 CD (4 )+AB(3 )+CEB (4 .3 )+AED (4,3 )0 ]

METODE DE EVALUARE A FIABILITĂŢII PORNIND DE LA MULŢIMEA LEGĂTURILOR MINIMALE ALE SISTEMULUI Metodă bazată pe dezvoltarea canonică directă

Metodă bazată pe utilizarea calculului probabilităţilor

Metodă bazată pe utilizarea diagramelor de tip Karnaugh

Metodă bazată pe extracţia algebrică a termenilor exclusivi

METODĂ BAZATĂ PE DESCOMPUNEREA GRAFULUI DE FLUENŢĂ

METODE BAZATE PE MULŢIMILE TĂIETURILOR MINIMALE Se defineşte tăietura ca o mulţime de elemente a căror defectare conduce la defectarea sistemului analizat, indiferent de starea celorlalte elemente ale acestuia.

Tăietura minimală este tăietura în care nu există o submulţime de elemente a căror defectare singură să ducă la defectarea sistemului  In acest caz este mai comodă evaluarea funcţiei de nonfiabilitate a sistemului, conform relaţiei :

unde T1, ..., Ti reprezintă cele l tăieturi minimale ale sistemului.

METODE APROXIMATIVE PENTRU ANALIZA FIABILITĂŢII SISTEMELOR DE ÎNALTĂ FIABILITATE

FS=P(T 1∪T 2∪.. . .∪T i∪. .. ..∪T l )

Analiza fiabilităţii utilizînd metode exacte devine foarte laborioasă în cazul sîstemelor de mare complexitate.

De aceea, în cazul sistemelor de telecomunicaţii complexe, formate din elemente de înaltă fiabilitate (avînd probabilităţile de defectare Fi << 1 ) este indicată utilizarea unor metode aproximative, dar eficiente şi rapide care conduc la reducerea sensibilă a volumului de calcule necesare.

Analogia ce se poate face între modelele structurale de fiabilitate şi reprezentările schematice din teoria reţelelor electrice a sugerat posibilitea utilizării unor teoreme din teoria reţelelor electrice - si anume teorema superpoziţiei şi teoremele de transformare triunghi stea în scopul deducerii rapide a expresiilor funcţiilor de fiabilitate în cazul sistemelor complexe cu structură fiabilistică nedecompozabilă.

Teorema superpoziţiei reduce problema evaluării fiabilităţii unui sistem format din n elemnente la doua probleme mai simple, şi anume evaluarea fiabilităţii unor elemente formate din cîte (n-1) elemente. Procedeul poate fi aplicat iterativ, practic operaţia fiind oprită cînd se ajunge la structuri fiabilistice cunoscute pentru care rezultatele pot fi scrise direct.

Utilizarea teoremelor de transfigurare triunghi stea permite transformarea rapidă a structurilor fiabilistice nedecompozabile în structuri de tip serie-paralel.

Un interes practic deosebit îl prezintă relaţiile aproximative de transfigurare triunghi stea, obţinute, punînd condiţia echivalenţei din punctul de vedere al fiabilităţii între cele două tipuri de

conesiuni, în condiţiile în care elementele acestora sînt de înalta fiabilitate (avand Fi <<1)

Transfigurari triunghi - stea

Transfigurari stea - triunghi

Utilizînd aceleaşi notaţii,în cazul transfigurării inverse, stea triunghi se obţin următoarele relaţii aproximative :

Evaluările de fiabilitate în cazul unor sisteme cu structură fiabilistică nedecompozabilă, conţin elemente de înaltă fiabilitate (în practică este suficient ca FI<10-2 au evidenţiat că erorile datorate utilizării relaţiilor aproximative de transfigurare - în raport cu alte metode exacte sînt, în general, neglijabile

F3≃F31F23;F2≃F23F12 ;F1≃F12F31;

F3≃F31F23;F2≃F23F12 ;F1≃F12F31;

F31≃√ F3F1F2;F23≃√ F2F3F1

;F12≃√ F1F2F3;

EXEMPLUDeoarece FI << l, pentru evaluarea fiabilităţii sistemelor al căror model

relaţie aproximativă PT MODEL SERIE:

Tinînd cont de cele enunţate anterior, se obţine în final (g).

FS=1−∏i=1

n

(1−Fi )≃∏i=1

n

Fi .

FNED≃2 F12+nF3

2+4 F1F2F3+2(n−1 )F32F2 .