Oscilatii amortizate

Oscilatiile amortizate sunt oscilatiile cu frecare in care energia

se disipa in timp sub forma de caldura. Aceasta inseamna ca pe langa

forta elastica mai actioneaza si o forta de rezistenta ce se opune

miscarii. In medii fluide, pentru viteze nu prea mari, forta de

rezistenta este direct proportionala cu viteza.

Fe=-kx, Fr=-rv=-rẋ (r=coef de rezistenta)

Ecuatia de miscare:

ma=Fe+Fr

mẍ=-kx-rẋ

mẍ+rẋ+kx=0 |:n

ẍ+�

�ẋ+

�

�x=0

Notam �

�=2 δ, δ=coeficient de amortizare

�

�=ω

2, pulsatia proprie

ẍ+2 δẋ+ ω2x=0 (*)

Vom cauta solutia ecuatiei sub forma x(t)=z(t)e- δt

in care z este o

functie ce urmeaza a fi determinata inlocuind solutia in ecuatia (*).

ẋ=ż e- δt

- δze- δt

ẍ=z(2pct) e- δt

-2δ ż e- δt

+δ2 ze

- δt

Se inlocuieste in ecuatia (*): z(2pct)- 2δ ż+δ2 z+2δ ż-2 δ

2 z+ ω

2z=0

z(2pct)+( ω2 -δ

2)z=0

1) daca ω> δ frecarea este slaba=> α2= ω

2 -δ

2, α fiind pulsatia

miscarii

z(2pct)+αz=0

z(t)=Acos(αt+φ)

=>x(t)=A e- δt

cos (αt+φ) --> legea de miscare a oscilatiilor

amortizate

Se observa ca amplitudinea miscarii este a(t)= A e- δt

si ca aceasta

nu ramane constanta ci scade exponential in timp

Perioada T=2π/α

O caracteristica a oscilatiilor amortizate este degrementul

logaritmic definit prin logaritmul natural al raportului a doua

amplitudini succesive despartite printr-o perioada

λ=ln����

�����=ln

�� ��

�� ������= δt

2) daca ω><δ frecarea este puternica.

In aceasta situatie putem nota α2= ω

2 -δ

2>0

z(2pct)- α2z=0

Solutia acestei ecuatii se obtine scriind ecuatia caracteristica

(r2- α

2=0-> r=+- α)

z(t)=c1e αt

+c2e –αt

x(t)= z(t) e- δt

= c1e –(δ-α)t

+c2 e –(δ +α)t

Se observa ca ambele exponentiale scad in timp destul de rapid

incat dupa un timp oscilatiile inceteaza, ele de fapt practic nu

apar

Corpul scos din pozitia de echilibru ajunge in aceasca pozitie pe

care nu o mai paraseste.