5 electricitate final.doc

Upload: andreea-grama

Post on 24-Feb-2018

244 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    1/48

    Tema 5 (am dat replace 4. cu 5.)Elemente de Electricitate.

    Circuite de curent continuu i curent alternativ

    5.1 Circuite de curent continuuIntroducerePentru caracterizarea strii de ncrcare electric a unui corp s-a introdus

    noiunea de sarcin electric, care a fost pus n eviden experimental la studiulmai multor efecte sau fenomene legate de electrizarea corpurilor, cureniielectrici n corpuri solide, electrolii !i gaze, efectul fotoelectric, efectul"ompton, structura cristalin a solidelor, structura atomului, structura nucleuluiatomic etc. #-au pus n eviden dou tipuri de sarcin, pozitiv !i negativ. Prin

    analiza legilor electrolizei !i n mod mai riguros prin experimentele lui $illi%an,s-a sta&ilit existena unei sarcini electrice elementare egal cu sarcina unui electron'',*+' '* "e = ,

    !i s-a demonstrat structura discontinu a sarcinii electrice. ceasta nseamn corice sarcin macroscopic este compus dintr-un numr ntreg de sarcinielementare. nitatea de msur n #.. pentru sarcina electric este coulom&ul,".

    #-a sta&ilit de asemenea c sarcina electric nu se creaz !i nu se distruge,astfel c ntr-un sistem izolat suma alge&ric a sarcinilor electrice este constant

    / *j

    j

    q = , (5.')ceea ce constituie legea conservrii sarcinii electrice.

    0 sarcin electric creeaz n spaiul din 1urul su o stare a materieidefinit prin noiunea de cmp electric, prin intermediul cruia sarcinainteracioneaz cu alte sarcini. Pe vremea c2nd aceast noiune nu era clar,$ax3ell !i imagina c2mpul electromagnetic drept o entitate care se propag nspaiu, !i al crei suport este ea ns!i

    Apare n mod natural ntrebarea: dac ceva este transmis de la o particul laalta, aflat la o anumit distan, ce devine acel ceva dup ce a prsit prima

    particul i pn ajunge la a doua? Dac acel ceva este energia potenial a

    celor dou particule, cum ne putem ncipui oare e!istena acestei energii ntr"

    un punct al spaiului care nu coincide nici cu prima particul, nici cu cealalt?

    Aceasta sugerea# conceperea unui mediu n care s aib loc propagarea i

    dac, prin ipote#, admitem e!istena acestui mediu, cred c ar trebui s ocupe

    un loc primordial n cercetrile noastre.ntensitatea c2mpului electric este o mrime vectorial definit ca fora

    electric a lui "oulom& exercitat asupra sarcinii electrice unitate

    '56

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    2/48

    $%q

    =r

    (5.+)

    7n #.. unitatea de msur a intensitii c2mpului electric este volt pe metru,8

    m.

    9eoarece fora lui "oulom& este o for conservativ, sunt vala&ile nacest caz urmtoarele relaii demonstrate forele conservative

    grad% & &= = ,

    pd ' "d% qd& = L

    d& % dr & % dr = = r r

    rot *% % = =

    : *( A

    A( A ( AA A A

    A A

    & % dr & & & % dr % dr & &

    = = = = = = r r rr r r

    , (5.6)

    unde % dr

    r

    este circulaia vectorului c2mp electric pe un contur nc;is , !ieste egal cu zero (fig.'), iar & este potenialulelectric al sarcinii care a creat c2mpul deintensitate %.

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    3/48

    dq)

    dt= (5.4)

    cosn n

    n

    d)j d) j ds j nds j ds jds j ds

    ds= = = = = =

    r rr r (5.5)

    9in (5.4) !i (5.5) rezult

    *

    ) j n ds= r

    (5.)

    #ensul convenional al curentului electric este sensulde deplasare al sarcinilor pozitive. nitatea demsur pentru intensitatea curentului electric este

    amperul , iar pentru densitatea de curent + m .

    5.1.1 Ecuaia de continuitate#arcina elementar fiind mult mai mic dec2t

    sarcinile cu care lucrm la scar macroscopic, noipercepem de o&icei sarcina electric ca !i cum arvaria continuu. 9in acest motiv s-a introdus noiunea de densitate de sarcin."onsiderm un volum - , delimitat de suprafaa nc;is *, care conine sarcinaq , densitatea volumic de sarcin fiind (fig.6)

    -dq q d-d- = =

    9ac sarcina poate traversa suprafaa *, se poate sta&ili un curent )prinaceast suprafa, ceea ce va conduce la mic!orarea sarcinii din volumul -

    -

    dq) d-

    dt t

    = =

    . (5.>)dentific2nd (5.) cu (5.>) !i folosind teorema ?auss-0strograds%i

    ( )* -j n ds divj d- = r

    (5.@)o&inem

    *divjt

    + =

    r, (5.)

    care se nume!te ecuaia de continuitate. 9up cum sepoate o&serva, ecuaia de continuitate constituie oconsecin a legii conservrii sarcinii electrice (5.').

    5.1.2 Legea lui hmpentru un conductor metalic omogen ii!otrop

    '55

    !+

    #

    ds

    j

    *

    Figura 2. "ectoruldensitate de curent

    n

    * -

    Figura #. Ecuaia decontinuitate

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    4/48

    plic2nd o diferen de potenial constant + '& & & = la capetele unuiconductor cilindric de seciune transversal * !i lungime l , n conductor sesta&ile!te un curent de intensitate ), constant n timp (fig.4). "urentul va aveaaceea!i valoare n orice seciune transversal a conductorului !i se nume!te

    curent continuu.

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    5/48

    =ucrul mecanic efectuat de c2mpul electric coulom&ian pentru deplasareaunei sarcini electrice q ntre dou puncte ntre care s-a sta&ilit o diferen de

    potenial & este+q & ) t & ) . t = = = L , (5.'4)

    unde am folosit pentru expresia lui & relaia (5.'*). cest lucru mecanic setransform n energie cinetic a purttorilor de sarcin, care datorit rezisteneint2mpinate la naintare de ctre purttorii de sarcin din partea mediuluiconductor, se transform la r2ndul ei n cldur. stfel, legea lui Boule su& formmacroscopic arat c la trecerea unui curent continuu de intensitate )printr-unconductor de rezisten . , n timpul t , se dega1 cantitatea de cldur /

    +/ ) . t = (5.'5)

    Pentru a sta&ili forma microscopic a legii lui Boule definim densitatea deenergie termic 0 ca mrimea ce exprim cldura dega1at n unitatea de volum!i n unitatea de timp

    /0

    * l t=

    (5.')

    "u notaiile din fig.4 putem scriel

    .*

    =

    , astfel c formula (5.')

    devine

    + + +

    +

    l) t) j*0

    * l t *

    = = =

    )

    #e o&serv c n forma microscopic at2t a legii 0;m (5.'6), c2t !i Boule(5.'>), n mem&rul drept apare conductivitatea !i intensitatea c2mpului electric.

    5.1.% Interpretarea electronic& a legilor hm i $oulen model simplu al unui conductor metalic const dintr-o reea spaial cu

    ioni pozitivi plasai n nodurile reelei, !i din electroni li&eri (de conducie),care se deplaseaz prin reea interacion2nd cu aceasta. Clectronii li&eri nuaparin unui atom sau altuia, ci aparin ntregului metal, !i se pot deplasa pe toatsuprafaa sa, comport2nu-se ca un gaz ideal. $i!carea electronilor n a&senaunui c2mp electric aplicat metalului este ;aotic, complet dezordonat/, !i secaracterizeaz la ec;ili&ru termodinamic prin energia cinetic medie c% , sau

    '5>

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    6/48

    prin viteza termic 1v . '* %molA3 = - numrul lui vogadro ) . 9in

    (5.'@) rezult c la temperatura camerei 6**E1; ,

    5

    ','@ '* mFs1v ; .=a aplicarea unui c2mp electric de intensitate % pe conductor, pestemi!carea permanent de agitaie termic a electronilor se suprapune o mi!careordonat a electronilor n ansam&lu, n sensul opus vectorului %. nteraciuneadintre electronii li&eri !i reeaua de ioni este caracterizat prin timpul li&ermediu dintre dou ciocniri succesive ale unui electron. =a c2mpuri mici !itemperatura camerei viteza medie a mi!crii ordonate a electronilor v este multinferioar vitezei termice ( )1v v= . "onsiderm c ansam&lul de electroni sedeplaseaz n c2mpul electric cu viteza v , denumit !i vite#a de drift, d2nd

    na!tere la o densitate de curent j . "onform notaiilor din fig.4

    ) 4 3e l 3

    j e v env* t * t * l -

    = = = = =

    , (5.')

    unde n este concentraia electronilor li&eri, e este sarcina electronului, iar 3este numrul total de electroni din volumul de conductor - * l = .

    Pentru determinarea vitezei de drift considerm c imediat dup ociocnire viteza mi!crii ordonate a electronului este zero. 9up un interval detimp egal cu timpul mediu ntre dou ciocniri viteza electronului devine

    ( )v a = , unde*

    e%am

    = este acceleraia electronului n c2mpul de intensitate %.

    8iteza medie n mi!carea uniform variat este media vitezelor iniial !i final( )*

    * *

    *

    + + + + 1

    v v a e% e% v

    m m v

    + + = = = = (5.+*)

    unde este drumul li&er mediu al electronului. ntroduc2nd (5.+*) n (5.')o&inem

    +

    * *+ +1 1

    e% ne

    j en %m v m v

    = = ( 5.+')

    '5@

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    7/48

    )nterpretarea electronic a legii lui 5m6

    "ompar2nd (5.+') cu forma local a legii lui 0;m (5.'6), o&inemexpresia conductivitii n funcie de mrimile care caracterizeaz gazulelectronic ( ), 1v , sau

    +

    *+ 1

    ne

    m v

    = (5.++)

    9efinind mo&ilitatea electronilor ca mrimea numeric egal cu viteza dedrift pe care o capt purttorul de sarcin ntr-un c2mp electric egal cu unitatea

    v

    % = , (5.+6)

    o&inem expresia lui n funcie de mrimea microscopic timp li&er mediu

    *

    '+

    e

    m = . (5.+4)

    9in (5.++) !i (5.+4) se poate o&ine simplu expresia conductivitii n funcie demo&ilitatea electronilor

    ne = (5.+5)

    )nterpretarea electronic a legii lui 7oule

    Cnergia cinetic c2!tigat de un electron datorit mi!crii de drift n

    mi!carea sa accelerat n timpul mediu dintre dou ciocniri este

    ( ) ( )

    ++ + + + + ++ +* *

    +* * *

    ' '

    + + + +c1

    m v m e% e % e % %

    m m m v

    = = = =

    (5.+)

    "onsiderm c n procesul de ciocnire electronul cedeaz integral aceastenergie reelei conductorului, su& form de energie termic. ), o&inemexpresia conductivitii n funcie de , sau n funcie de ( ), 1v

    +

    *+ 1

    ne

    m v

    =

    , (5.+@)

    '5

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    8/48

    Cxpresia (5.+@) fiind identic cu (5.++), nseamn c ipoteza privindmi!carea accelerat a electronului ntre dou ciocniri succesive su& aciuneac2mpului electric, cu cedarea ntregii energii cinetice acumulate n acest timpsu& form de cldur, conduce la interpretarea corect din punct de vedere

    electronic a legilor lui 0;m !i Boule.

    5.1.5 Legile electroli!eim artat c prezena unui curent electric ntr-un conductor reprezint un

    transport de sarcini electrice. 9ensitatea fluxului de sarcini electrice estecaracterizat de densitatea de curent electric j nqv= . 9eoarece purttorii desarcin electric q posed !i o mas *m , rezult clar c transportul de sarcinelectric este nsoit ntotdeauna !i de un transport de mas. 9ensitatea fluxului

    de mas mj reprezint masa de su&stan ce trece n unitatea de timp prinunitatea de arie a seciunii transversale din conductorul respectiv. Cfectu2nd unraionament analog cu cel pentru calculul lui j , se a1unge simplu la expresia

    *mj nm v= : (5.+)

    * *m mj m m

    j jj q q

    = = . (5.6*)

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    9/48

    ' +6 "', '* ,*+6 '* 4**ec;ivalent gramA

    $ e3 = = =

    ,

    unde A este masa atomic a su&stanei respective !i se exprim n grame, $

    este numrul lui

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    10/48

    Pe rezistena extern . cade diferena de potenial ' +& & , iar pe rezistenaintern rcade + '& & , legea lui 0;m pentru aceste poriuni av2nd forma

    ' + + ':). & & )r & & = = (5.64)ceste diferene de potenial, ca !i curentul prin circuit se menin numai dac nanumite locuri din circuit apar salturi de potenial la interfeele dintre electrozi !ielectrolit, datorit reaciilor c;imice din aceste locuri. 9reptele verticale dinfig. reprezint aceste salturi de la +& la +& , !i de la '& la '& . 7nsum2nd celedou relaii din (5.64), o&inem

    ) . r & & & & + = + (5.65)

    ntroduc2nd notaiile

    :& & & & = = E , (5.6)

    !i definind suma ' +=E +E drept tensiuneaelectromotoarea sursei galvanice, relaia (5.65) vaavea forma

    ( )) . r+ =Esau

    )= E (5.6>)

    !i reprezint legea lui 5m pentru un circuit ncis, neomogen, cu surs detensiune electromotoare. Ielaia (5.6>) se poate scrie !i su& forma

    ' + b& & & ). )r = = = E (5.6@)

    unde b& se mai nume!te tensiunea la bornele sursei. "2nd . , *) !ib

    & E , astfel c putem defini tensiunea electromotoare ca tensiunea la &ornen circuit desc;is. n voltmetru de rezisten foarte mare legat la &ornele uneisurse va indica o tensiune egal cu tensiunea electromotoare a sursei.

    #e mai define!te curentul de scurt"circuit al unei surse curentul prin

    circuit c2nd rezistena extern tinde ctre zero

    4Jn#0

    4"u#0

    "uJn r

    .'

    &+

    &

    A

    '&

    +& .

    (rE , )

    +

    Figura 5. Circuit nchis cu surs& galvanic&

    )a )b

    '+

    '&

    '&

    +&

    +&

    '

    '

    +

    +

    Figura.( )alturi depotenial la inter*ee

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    11/48

    * sc. )r

    E

    . (5.6)

    1ensiunea electromotoare

    #-a artat c circulaia vectorului c2mp electric coulom&ian pe un drum

    nc;is este zero (5.6). 7nmulind (5.6) cu sarcina electric rezult c !i lucrulmecanic produs de acest c2mp pe un circuit nc;is este zero, astfel c pentruntreinerea unui curent electric pe un drum nc;is nu este suficient aciuneac2mpului electric coulom&ian.

    "onect2nd la &ornele unei surse de tensiune electromotoare o rezistende sarcin . (fig.5&), prin rezisten se va sta&ili un curent constant n sensul dela potenialul ridicat (polul pozitiv al sursei) la potenialul co&or2t (polul negatival sursei). #arcina pozitiv se va deplasa de la A la ( , n sensul c2mpuluicoulom&ian. Pentru a pstra n toate punctele circuitului acela!i sens al

    curentului, n interiorul sursei tre&uie efectuat un lucru mecanic mpotrivac2mpului coulom&ian. Iaionamentul este acela!i !i pentru mi!careaelectronilor, sc;im&2nd sensul de parcurgere a circuitului nc;is.

    =ucrul efectuat asupra sarcinii n interiorul sursei este rezultatul aciuniiunui c2mp electromotor, de natur diferit de a c2mpului coulom&ian, careconduce la conversia unei forme oarecare de energie n energie electric. 7ntr-un

    punct al circuitului (fig.5), asupra unei sarcini electrice acioneaz n generalrezultanta re#% a c2mpului coulom&ian % !i a c2mpului electromotor e%

    re# e% % %= + (5.4*)7n unele poriuni sau puncte ale circuitului c2mpul electromotor poate fi nul. 7ninteriorul sursei, n general c2mpurile % !i e% au sensuri opuse.

    "irculaia vectorului re#% de-a lungul unei linii de circuit nc;ise este

    re# e% dl % dl % dl = + ,

    unde *% dl = , iar *e% dl c2nd n circuit se afl o surs de tensiune

    electromotoare. 9efinim tensiunea electromotoare a surseie

    % dl= , (5.4')ca mrimea fizic ce reprezint lucrul mecanic efectuat de c2mpul electromotor

    pe poriunea de circuit unde c2mpul electromotor este diferit de zero, asupraunei sarcini electrice unitate. 7n fig. se poate o&serva mersul potenialuluielectric de-a lungul unei linii de curent. Kensiunea electromotoare este egal cusuma salturilor de potenial ' ' !i ++ de la interfeele electrod-electrolit.

    Pentru a caracteriza tensiunea electromotoare din punct de vedere

    energetic tre&uie luat n calcul !i efectul Boule pe poriunile rezistive alecircuitului, din exteriorul !i interiorul sursei. "ldura disipat prin efect Boule la

    '6

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    12/48

    trecerea curentului electric este ec;ivalent cu lucrul mecanic efectuat de o foranaloag cu o for de frecare, notat cu 7$ . Got2nd fora asociat c2mpuluielectromotor cu e$!i fora coulom&ian cu $ , lucrul efectuat de toate acestetrei fore asupra sarcinii pozitive unitate, n stare staionar, va fi egal cu zero

    * e 7$ dl $ dl $ dl + + =

    7n interiorul sursei de tensiune electromotoare toi termenii sunt diferii de zero,iar n exteriorul sursei sunt diferii de zero numai primul !i ultimul termen.

    5.1.+ Legea lui hm pentru o poriune neomogen& decircuit ,generali!at&-

    # exprimm diferena de potenial dintre dou puncte ale unui circuit, de

    exemplu A !i ( din fig.>. 9up teorema superpoziiei c2mpurilor electrice, nfiecare punct al circuitului o sarcin este supus aciunii c2mpului

    re# e% % %= + , (5.4+)

    unde % este intensitatea c2mpului coulom&ian !i e% este intensitatea c2mpuluielectromotor generat n interiorul sursei de tensiune. 7n interiorul unei surse aparam&ele c2mpuri, acestea fiind egale !i de sens contrar. Gumai astfel rezultantaforelor ce acioneaz asupra sarcinilor li&ere n aceast zon (electronii) va fizero, permi2nd astfel deplasarea acestora de la &orna cu polaritate pozitiv lacea cu polaritate negativ pentru a nc;ide circuitul

    = . (5.46)

    7n afara sursei de tensiuneintensitatea c2mpului electromotor

    e% va fi nul. Pentru c2mpul

    coulom&ian putem scrie relaiadintre c2mp !i potenial su& forma

    (

    A( ,

    A

    - % dl = rr , (5.44)

    unde A(- este diferena de potenial ntre dou puncte A !i ( ale circuitului,iar dl este elementul de deplasare, n timp ce pentru c2mpul electromotor se

    poate scrie o relaie analoag

    ( )e e A(A(A(

    - % dl = = rr

    E , (5.45)

    '4

    )

    +E

    'E

    6.+.'. (A

    Figura +. Legea lui hm generali!at&

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    13/48

    unde A( reprezint tensiunea electromotoare dintre ntre punctele A !i ( .7nmulim am&ii mem&rii ai relaiei (5.4+) cu dl !i integrm de la A la (

    ( ( (

    re# e

    A A A

    % dl % dl % dl = +

    r r rr r r. (5.4)

    Lin2nd cont de (5.'6), prima integral din (5.4) poate fi scris astfel( ( ( (

    re# A(

    A A A A

    j ) dl% dl dl dl ) ).

    * *

    = = = =

    r rr

    , (5.4>)

    deoarece(

    A

    dl

    *

    este suma rezistenelor o;mice ntre punctele A !i ( . 7nlocuind

    (5.44), (5.45) !i (5.4>) n (5.4) se o&ine legea lui 0;m generalizat

    A( A( A(). -= +E

    sau

    A ( A( A(- - ). = E , (5.4@)

    Pentru poriunea de circuit din fig.>

    ' + 6A(. . . .= + + !i ' +A( = E E . 7n cazul

    general,'

    n

    A( j

    j

    . .

    =

    = !i'

    m

    A( i

    i=

    = E E .9ac circuitul este nc;is (punctul A coincide

    cu ( ), din legea lui 0;m generalizat se o&ine legeaa doua a lui Eir%;;off (fig.@)

    2 i

    2 i

    ) . = E .

    5.1. Legile lui /irchho** i aplicaii0 reea electric oarecare este constituit din mai multe laturi (ramuri),

    noduri !i oc;iuri. n nodal circuitului reprezint un punct n care se nt2lnesccel puin trei cureni electrici, care vin sau pleac prin trei laturi ale circuitului.5ciuleste un circuit nc;is format ar&itrar n circuitul complex considerat !icare conine cel puin dou laturi. 0 latureste poriunea de circuit cuprinsntre dou noduri succesive. Iezolvarea pro&lemelor care se refer la circuitelecomplexe se face in2nd seama de cele dou teoreme ale lui Eirc;;off.

    9egea nti a lui 8ircoff

    Cste o consecin a legii generale de conservare a sarcinii electrice, !i seenun astfel

    #arcina electric care intr n unitatea de timp ntr-un nod este egal cu sarcinaelectric care iese n unitatea de timp din nodul respectiv.

    '5

    ,A (

    +.

    6.

    '.

    '

    E

    Fig. Legea hmgenerali!at&

    pentru o 0ucl&

    +E

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    14/48

    Pentru exprimarea intuitiv a primei legi, se adopt o regul a semnelorpur convenional pentru intensitile curenilor electrici. 7n fig. se consider

    pozitive intensitile curenilor electrici care intr ntr-un nod ( )' + 6, ,) ) ) , !i negative intensitile curenilor

    electrici care ies din nodul respectiv ( 4) !i )5) . "uaceast regul a semnelor prima lege a lui Eirc;;off semai enun !i astfel#uma alge&ric a intensitilor curenilor electricintr- un nod este zero

    /

    '

    *n

    i

    i

    )=

    = . (5.4)

    A doua lege a lui 8ircoff

    #uma alge&ric a cderilor de tensiune i i) . de pe laturile unui oc;i este egalcu suma alge&ric a tensiunilor electromotoare a surselor de curent care se afln oc;iul respectiv

    / /

    ' '

    m n

    i i i

    i i

    ) .= =

    = E . (5.5*)#e sta&ile!te mai nt2i un sens pozitiv de parcurs a laturilor oc;iului.

    Iegula semnelor este- pentru tensiunea electromotoare i se ia semnul ( )+ dac sensul curentuluide&itat de sursa respectiv (n cazul n care ar fi singura din circuit) coincide cusensul pozitiv ales, iar semnul ( ) se va lua n caz contrar:- pentru produsul i i) . (cderea de tensiune pe rezistorul M Mi ) se ia semnul ( )+dac curentul i) are acela!i sens cu sensul pozitiv ales, iar semnul ( ) se va luan caz contrar.

    etoda de aplicare a legilor lui 8ircoff6

    '. +.') +))

    '

    +

    . ..' ',rE

    ++ +,rE

    +

    Figura 1. etoda de aplicare a legilor lui /irchho**

    '

    Figura 3. Legea nt4ia lui /irchho**

    5)

    ')

    4

    )

    6)+)

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    15/48

    #e determin numrul de laturi ( )# !i numrul de noduri ( )n . #e fixeazn mod ar&itrar sensul curenilor din fiecare latur.

    #e sta&ile!te nt2i un nod oarecare, acesta fiind considerat primul nodindependent, n care scriem legea nt2i a lui Eirc;;off (5.4). rmrim apoi

    existena altor noduri independente - care s conin cel puin o intensitate acurentului electric care nu a fost cuprins n primul nod. 9up ce am sta&ilit cele

    '3 noduri independente, scriem pentru fiecare legea nt2i a lui Eirc;;off. 9eexemplu, circuitul din fig.'* are un singur nod independent, ' sau +.

    #e determin apoi numrul de laturi #, care reprezint de o&icei cureniidin laturile circuitului.

    A (

    ,

    D

    ...'

    )

    . ..

    +.

    6.

    4. 5.

    .

    +)

    6)

    4) 5)

    ))

    Figura 11. plicaie la legilelui /irchho**

    '.

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    16/48

    "onsiderm circuitul din fig.'+, n care fiecare rezisten are valoarea r.plic2nd tensiunea &ntre punctele A !i ( ale circuitului, prin laturile acestuiavor trece curenii conform fig.'+ (s-a inut cont de simetria 1os-sus !i st2nga-dreapta a circuitului). #e o&serv c exist numai trei noduri independente (celemarcate cu cerc gol), n care legea nt2i a lui Eirc;;off se va scrie astfel

    '+) )= : (5.5')

    ' + 6) ) )= + : (5.5+)

    4 6+) )= . (5.56)

    9e asemenea, o&servm c exist un singur oc;i independent, n care pentrusensul de parcurs indicat se scrie legea a doua a lui Eirc;;off

    + 6 4+) ) )= + . (5.54)

    Kensiunea &poate fi scris, pe de o parte

    A(& ).= , (5.55)

    iar pe de alt parte, urmrind un traseu oarecare ntre punctele A !i ( ' + '& ) r ) r ) r = + + . (5.5)

    dentific2nd (5.55) cu (5.5) o&inem

    r)

    )).A(

    +=

    +'+ . (5.5>)

    9in (5.5'-5.54) eliminm 6) !i 4) , !i o&inem ') !i +) n funcie de )

    '

    +

    )) = , +

    +

    5

    )) = ,

    care se nlocuiesc n (5.5) o&in2ndu-se

    ')

    ')

    ')

    ')

    6)

    )4) )

    6)

    6)

    +)

    +)

    &

    (A

    Figura 12. Circuit cu simetrie

    .

    6)

    '@

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    17/48

    >

    5A(. r= . (5.5@)

    %!emplul =6 9egarea surselor n paralel

    9up cum se o&serv n fig.'6 a, exist un singur nod independent, ncare scriem legea nt2i a lui Eirc;;off

    '

    n

    i

    i

    ) )=

    = , (5.5)!i n oc;iuri independente, n care legea a doua a lui Eirc;;off are aceea!iform

    i i i) r ).= + . (5.*)

    7nlocuind i) din (5.*) n (5.5) o&inem

    '

    '

    ''

    n

    i

    i in

    i i

    r)

    .r

    =

    =

    =+

    E

    . (5.')

    Pe de alt parte, o surs ec;ivalent cu sistemul celor n surse legate n paralel artre&ui s de&iteze acela!i curent )prin aceea!i rezisren exterioar .

    '

    '

    '

    '

    ' ' ''' '

    n

    pp p p i i

    n

    pn

    i i

    p i i

    r)

    . r. . .

    rr r

    =

    =

    =

    = = = =+ + + +

    EE E E

    (5.+)

    dentific2nd formulele (5.') !i (5.+), o&inem

    '

    '

    n

    i

    i ip n

    r==

    E . (5.6)

    7n cazul general suma de la numrtor este alge&ric,pentru c sursele pot de&ita n sensuri diferite.

    7n cazul particular al dou surse ce de&iteaz nsensuri opuse, tensiunea electromotoare ec;ivalent din(5.6) are expresia

    '

    )

    )

    )

    ')

    +)

    6)

    2)

    n)

    . )

    + +, rE

    6 6, rE

    ,2 2rE

    ,n nrE

    ' '

    , rE

    ,p prE

    .

    Figura 1#. Legareasurselor n paralel

    )

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    18/48

    ' +

    ' + + '' +

    ' +

    ' +

    ' 'pr rr r

    r r

    r r

    = =++

    E E

    E E.

    9e aici se desprinde o regul legarea n paralel, anume c sursele tre&uies ai& curenii de scurt-circuit de valori c2t mai diferite, n caz contrar tensiuneaelectromotoare ec;ivalent poate fi nul.

    5.1.3 Teorema superpo!iiei.ceast teorem este vala&il numai n circuite liniare, !i se enun astfel

    "urentul electric dintr-o latur a unui circuit n care exist mai multe surse estesuma alge&ric a curenilor produ!i n acea latur de fiecare surs n parte, dacar aciona singur n circuit, celelalte surse fiind scurt-circuitate sau nlocuite cu

    rezistena lor interioar (dac rezistena interioar este diferit de zero).#e recomand folosirea acestei teoreme la reele simple cu laturi legate n

    paralel, care conin surse de curent (cel mult dou) sau rezistoare, ca n fig.'5.Pentru calculul curenilor din circuitul a), n prima etap vom considera circuitul

    &), n care + *= . "urentul ') se va calcula direct din formula

    ''

    +'

    +

    ).r

    r. r

    =+

    +

    E

    ,

    iar curenii +) !i .) din sistemul de ecuaii

    ' +

    +

    .

    .

    ) ) )

    ) . ) r

    = + =

    Iezolv2nd sistemul o&inem

    +'

    +.

    r) )

    . r =

    + !i + '+

    .) )

    . r =

    + .

    .' ', rE + +, rE

    )a

    ' ', rE

    . +r

    )b')

    +)

    .)

    + +, rE'r .

    )c') +)

    .)

    Figura 15. Ilustrarea teoremei superpo!iiei

    '>*

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    19/48

    7n etapa a doua considerm circuitul &), de unde proced2nd la fel ca lacircuitul a), o&inem

    ++

    '

    +'

    ).r

    r . r

    =

    ++

    E

    ,'

    +

    '

    .

    r) )

    . r

    =

    +!i ' +

    '

    .) )

    . r

    =

    +.

    "urenii reali din circuitul a) vor fi, conform teoremei superpoziiei

    ' ' ' + + +: : .. . .) ) ) ) ) ) ) ) ) = + = =

    5.1.1 Teorema trans*erului ma6im de putere.Puterea electric total consumat prin efect Boule n circuitul din fig.5 &

    este

    ( )+ + +> ) . ) r ) . r= + = + , (5.4)

    iar puterea consumat pe rezistena extern . este

    +e> ) .=

    (5.4)

    . ). r

    =+

    EE =

    (5.5)

    ( )( )

    +

    +e

    .> .

    . r=

    +E

    (5.)

    #e define!te randamentul energetic alcircuitului

    e> .

    > . r

    = =

    + (5.>)

    Ieprezent2nd ( )> . , ( )e> . !i ( ). n fig.'5, o&servm urmtoarele

    - pentru ( ) ( )+

    max* * : * *e. > > >r

    = = = =E

    !i ( )* * = :

    - pentru ( ) ( )+ +

    max :+ 4e e. r > r > r >

    r r= = = =

    E E!i ( )

    '

    +r = :

    - pentru *: *e. > > !i ' .

    Pentru aflarea valorii maxime a lui e>n (5.) !i s-a pus condiia *

    ed>

    d. =, o&in2ndu-se . r= !i apoi s-a nlocuit . cu rn (5.). Cste vor&a ntr-adevr

    '>'

    e>

    '

    ( ) maxe>

    max>

    >

    *,5

    r .Figura 15. Trans*erul de putere

    pe re!istena e6terioar&

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    20/48

    de un maxim, deoarece+

    + *e

    d >

    d.< la . r= . stfel, transferul optim de putere de

    la surs la circuitul extern (rezistena de sarcin) se face c2nd rezistena externeste egal cu rezistena intern a sursei.

    9e!i randamentul are valoarea maxim egal cu ' la . , situaia nupoate fi folosit n practic pentru c at2t >, c2t !i e>tind ctre zero la . .

    %!emplul

    #e grupeaz n surse identice n paralel, apoi n serie. Iezistena interioara unei surse fiind r, s se determinea) valoarea rezistenei exterioare, racordat separat la cele dou grupri, pentrucare intensitatea curentului este aceea!i n fiecare circuit:

    &) "e grupare realizeaz un randament mai mareN

    .e#olvare

    a) Pentru gruparea cu sursele legate n paralel ')

    r.

    n

    =+

    E

    : Pentru gruparea

    serie, +n

    ). nr

    =+E

    . 9in condiia ' +) )= se o&ine

    . r=

    &)

    ( )'' +

    +

    ' '

    :' '

    n . nr

    r nr n. r

    n. .

    + = = = ++ + . 7n condiiile punctului a),

    unde . r= , se o&ine

    '

    +

    'n

    = > .

    5.2 Circuite cu regim tran!itoriu

    cest regim se nt2lne!te la conectarea unui circuit la o surs de tensiuneelectromotoare, sau la deconectarea sursei din circuit, pstr2nd circuitul nc;is.8om considera vala&ile legile lui Eirc;;off n regim tranzitoriu, !i vom analizacircuite liniare, n care parametrii ,. 9 !i ,ai circuitului nu depind de timp.

    8om discuta regimul tranzitoriu n cazul unor circuite tipice.

    5.2.1 CircuitR-Lseriea@ cu surs de tensiune electric

    7n circuitul din fig.' a), cu sursa galvanic conectat, scriem legea a

    doua a lui Eirc;;off pentru tensiunile din circuit

    '>+

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    21/48

    * *d) d) .

    9 .) )dt dt 9 9

    + = + =E

    E (5.@)

    #epar2nd varia&ilele )!i t!i apoi integr2nd, o&inem soluia

    ( )

    .t

    9) t e.

    = +E

    (5.)

    "onstanta , se determin din singura condiie iniial la *t= avem *)= .

    7nlocuind n (5.) o&inem constatnta .

    = E

    care nlocuit n (5.) ne

    conduce la soluia, reprezentat grafic n fig.'> a)

    '.

    t9) e

    .

    =

    E (5.>*)

    $rimea9

    . = se nume!te constanta de timp a circuitului, !i ne d msura

    timpului necesar pentru ca circuitul s ating regimul permanent.

    9in (5.>*) rezult c n regim permanent ).

    E

    .

    b@ fr surs de tensiune electric

    9esc;iz2nd comutatorul '8 !i nc;iz2nd simultan +8 , scriem legea adoua a lui Eirc;;off pentru circuitul fr surs din fig.' &)

    *d)

    9 .)dt

    + = (5.>')

    #epar2nd varia&ilele !i integr2nd, o&inem soluia reprezentat grafic n fig.'>&)

    *

    t

    ) ) e = , (5.>+)

    E

    .9

    +

    +8

    '8

    Figura 1(. Circuit tran!itoriu serie

    a-

    +8

    '8

    .

    E

    +

    9

    0-

    '>6

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    22/48

    unde *) este intensitatea la momentul iniial *t= !i are expresia *).

    =E

    .

    "onstanta de timp9

    . = este egal cu timpul n care intensitatea curentului )

    devine de M Me ori mai mic dec2t valoarea iniial *) . 9in (5.>*) rezult c nregim permanent *) .

    5.2.2 CircuitR-Cseriea@ cu surs de tensiune electric

    7nlocuim n circuitul din fig.' a) inductana 9 cu un condensator de

    capacitate ,, !i sciem legea a doua a lui Eirc;;off pentru tensiunile din circuit

    *q

    .)

    + =E , (5.>6)

    unde )!i q sunt valorile instantanee ale intensitii curentului, respectiv sarcinii

    de pe una din plcile condensatorului. Lin2nd cont cdq

    )dt

    = , (5.>6) se va scrie

    *dq q

    dt . .

    + =E

    (5.>4)

    #oluia ecuaiei (5.>4) se o&ine la fel ca soluia ecuaiei (5.@)

    ' 't t

    .,q , e , e

    = = E E , (5.>5)

    unde constanta de timp a circuitului are acum expresia

    . = (5.>)

    9ependena de timp a intensitii curentului prin circuit se o&ine de la definiie

    )

    t9.

    =

    ).

    =E

    )aFigura 1+. 7ependena pentru circuitele din *ig.1( a- i 0-

    )

    t9.

    =

    *).

    = E

    )b

    '>4

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    23/48

    t

    .,dq

    ) edt .

    = =E

    (5.>>)

    9in (5.>5) !i (5.>>) rezult c n regim permanent q =E !i *)= .

    b@ fr surs de tensiune electric

    9esc;idem, n circuitul din fig.', comutatorul '8 !i nc;idem simultan

    +8 (circuit fr surs).

    7nlocuind inductana 9 cu condensatorul de capacitate ,, !i scriind legeaa doua a lui Eirc;;off pentru tensiunile din circuit, o&inem

    * *q dq q

    .) dt .

    + = + = , (5.>@)

    #epar2nd varia&ilele !i integr2nd, o&inem soluia reprezentat grafic n fig.'>&)

    *

    t t t

    .,q e e q e

    = = =E E , (5.>)

    unde *q =E este sarcina din regimul permanent, la momentul iniial.

    7n fig.'@ sunt reprezentate grafic circuitele . serie cu surs (a),respectiv fr surs !i cu circuitul meninut nc;is (&).

    9eriv2nd (5.>), o&inem intensitatea curentului prin circuit n funcie de timp

    *

    t tdq q

    ) e edt . .

    = = =

    E (5.@*)

    9ependena exponenial de timp ne indic sta&ilirea unui curent prin circuit lanc;iderea comutatorului +8 , care apoi tinde n valoare a&solut la zero, la fel ca!i sarcina q de pe plcile condensatorului.

    9in (5.>) !i (5.@*) rezult c n regim permanent at2t q , c2t !i )devin zero.

    q

    t., =

    q ,=E

    )aFigura 1. 7ependena pentru un circuit serie

    q

    t., =

    *q ,=E

    )b

    '>5

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    24/48

    5.2.# CircuitR-L-Cserie"ondensatorul fiind iniial ncrcat, n

    circuit va apare un curent electric datoritvariaiei sarcinii electrice pe condensator.

    #criem legea a doua a lui Eirc;;off

    *d) q

    9 .)dt

    + + = , (5.@')

    care dup transformri simple se poate scrie+

    +*

    d q . dq q

    dt 9 dt 9 + + = . (5.@+)

    m o&inut astfel o ecuaie identic cu ecuaia oscilatorului armonic amortizat

    (+.5), care are soluia (+.'*6). Cfectu2nd nlocuirile+

    + + +

    * *

    ' ': :

    + +

    . .

    9 9 9 9

    = = = =

    : ++

    + '+

    .1

    9 .

    9 9

    = =

    ,

    o&inem soluia ecuaiei (5.@+) su& forma

    +* *( ) cos( )

    .t

    9q t q e t

    = + , (5.@6)

    unde *q este valoarea maxim a sarcinii electrice de pe una din armturilecondensatorului, iar * este faza iniial.#e poate arta c rezolvarea ecuaiei (5.@+) poate conduce, n cazul *. ,

    la urmtoarele soluiia) 9ac

    +

    +

    ' 4

    +

    . 9

    9 9 .

    >

    9 ,

    )

    .

    Figura 13. CircuitR-L-Cserie

    Figura 2. "ariaia n timp asarcinii ntr8un circuit serieR-L-C

    ( )q t

    t*

    t

    *t 1+

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    25/48

    .

    , ecuaia caracteristic +'

    *.

    9 9 + + =

    are dou soluii reale+

    ',+ +

    4. .

    9 9 9 = 8om alege soluia ecuaiei (5.@+) su& forma ( ) ' +

    t tq t Ae A e = + .

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    26/48

    ( )*

    't

    med

    q) ) t dt

    t t= = (5.@)

    ceea!i formul este vala&il !i pentru tensiunea mediea curentului alternativ

    ( )*

    ' t

    med& & t dt

    t= (5.@>)

    Puterea instantanee a curentului alternativ de intensitate ), care treceprintr-un circuit pe care se aplic tensiunea &, este

    ( ) ( ) ( )i> t & t ) t= . (5.@@)

    Cnergia a&sor&it de circuit n timpul unei perioade 1este

    ( ) ( ) ( )*

    1

    / t & t ) t dt = (5.@)Puterea medie se define!te astfel, n cazul n care perioada este constant

    ( ) ( )*

    ' 1

    /> & t ) t dt

    1 1= = (5.*)

    Pentru un circuit format din rezistena . tensiunea va fi & ).= !i putereamedie, care se disip su& form de efect Boule, devine

    ( )+

    *

    ' 1> .) t dt1

    = (5.')

    -aloarea efectiva curentului alternativ este valoarea curentului continuucare ar produce acela!i efect Boule printr-o rezisten identic n acela!i timp

    +ef

    > .)= (5.+)

    9in (5.') !i (5.+) rezult valoarea efectiv a curentului alternativ

    ( )+*

    '

    1

    ef) ) t dt1= , (5.6)

    !i analog valoarea efectiv a tensiunii este

    ( )+

    *

    ' 1

    ef& & t dt

    1= . (5.4)

    Pentru un curent alternativ sinusoidal, intensitatea ntr-un circuit are expresia

    ( )*cos) ) t

    = , (5.5)Puterea instantanee a unui circuit ce conine numai rezistena . este

    '>@

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    27/48

    ( )+ +* cosi> .) t= , (5.)

    iar expresia puterii medii (5.') devine

    ( )

    ++ + *

    **

    '

    cos +

    1.)

    > .) t dt1= = , (5.>)unde am folosit faptul cunoscut c valoarea medie pe o perioad

    +1

    =

    a

    funciei ( )+cos t , ca !i a funciei ( )+sin t , este zero. "ompar2nd (5.+)cu (5.>) o&inem n acest caz valoarea efectiv a intensitii

    *

    +ef

    )) = (5.@)

    !i analog pentru valoarea efectiv a tensiunii

    *

    +ef

    && = (5.)

    8alorile efective prezint o importan at2t practic, deoarece uneleaparate msoar c;iar valorile efective, c2t !i teoretic. 7n fig.+' sunt trasatedependenele de timp pentru intensitatea ), puterea instantanee i>, !i puterea

    medie >, cu condiia iniial * +

    = .

    5.#.2 Circuite serie

    '>

    t

    i>

    , ,i

    ) > >

    )

    +

    *

    +

    .)>=

    +1

    =

    Figura 21. "ariaia n timp a m&rimilorcaracteristice curentului alternativ

    ef&

    ef

    ef

    &)

    .=

    Figura 22 7iagrama*a!orial&

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    28/48

    ircuit format din re#isten

    plic2nd pe o rezisten . tensiunea alternativ &

    * cos + cosef& & t & t = = ,vom o&ine din legea lui 0;m intensitatea curentului prin rezisten

    **

    +cos cos cos + cosef ef

    && &) t t ) t ) t

    . . .= = = = = (5.'**)

    7n diagrama fazorial din fig.++ vectorii intensitate efectiv !i tensiuneefectiv au aceea!i direcie !i acela!i sens.

    ircuit format din inductan

    plic2nd pe o &o&in ideal de inductan 9tensiunea alternativ &(5.), din legea induciei vom

    o&ine intensitatea curentului prin inductan

    *

    't

    d) &dt & 9 d) ) &dt

    dt 9 9= = = (5.'*')

    7nlocuind (5.) n (5.'*') !i integr2nd, vom o&inepentru )expresia

    ' '+ sin + cos + cos

    + +ef ef ef ) & t & t ) t

    9 9

    = = = (5.'*+)

    9up cum se poate vedea !i n diagrama fazorial din fig.+6, vectorul

    intensitate a curentului este defazat n urm fa de vectorul tensiune cu+

    . #e

    define!te reactana inductiv prin notaia 99 = . 9in (5.'*+) rezult

    ef ef

    ef

    9

    & &)

    9 = =

    (5.'*6)

    ircuit format din capacitate

    plic2nd tensiunea alternativ &(5.) pe o

    capacitate ,, dinq

    &

    = !idq

    )dt

    = se o&ine

    intensitatea curentului prin capacitate

    + sin + cos+ef ef

    d&) & t & t

    dt

    = = = +

    (5.'*4)

    '@*

    ef&

    ef

    ef

    &)

    9=

    Figura 2#. 7iagrama

    *a!orial&

    ef&Figura 25. 7iagrama

    *a!orial&

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    29/48

    9up cum se poate vedea !i n diagrama fazorial din fig.+4, vectorul

    intensitate a curentului este defazat n avans fa de vectorul tensiune cu+

    . #e

    define!te reactana capacitiv prin notaia'

    =

    . 9in (5.'*4) rezult

    ef

    ef ef

    &) &

    = = (5.'*6)

    ircuit serie format din re#isten, inductan i capacitate

    plicm la capetele circuitului serie din fig.+5 tensiunea alternativ

    cos + cos& & t & t = = 9up legea a doua a lui Eir%;;off, tensiunease distri&uie pe elementele de circuit

    & & & & = + + , (5.'*4)

    unde

    : :. 9

    d) q& .) & 9 &

    dt = = = . (5.'*5)

    9in (5.'*4) !i (5.'*5) o&inem+

    + +cosef&d q . dq q t

    dt 9 dt 9 9+ + = (5.'*)

    "ompar2nd (5.'*) cu ecuaia oscilatorului ntreinut (+.''*)+

    + **+

    + i td ! d! $

    ! edt dt m

    + + =

    !i fc2nd analogiile +*'

    + :.

    9 9 !i * *

    $ &

    m 9 , o&inem soluia lui (5.'*)

    su& forma

    ( )( )

    *

    ++ '

    i t& e

    q t

    . 9

    = +

    ,

    legem partea real a exponenialei

    ( ) ( )*

    ++

    cos

    '

    & tq t

    . 9

    =

    +

    (5.'*>)

    '@'

    9 ,.

    Figura 25. Circuit serieR-L-C

    &

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    30/48

    unde, conform cu relaia + +*

    +tg

    = (+.''6) !i folosind analogiile, o&inem

    tg

    '

    .

    9

    =

    (5.'*@)

    "urentul prin circuit se o&ine prin derivare

    ( ) ( ) **

    + ++ +

    cossin +

    ' '

    & t& tdq

    ) q tdt

    . 9 . 9

    + = = = = + +

    , (5.'*)

    unde vom face nlocuirea+ = . Lin2nd cont de relaia trigonometric

    tg tg ctg+

    = =

    , relaiile (5.'*@) !i (5.'*) se vor avea forma final

    '

    tg 9 9

    . .

    = = , (5.''*)

    respectiv

    ( )( ) ( )* *

    ++

    +coscos cos

    '

    ef&& t &

    ) t tB B

    . 9

    = = =

    +

    (5.''')

    unde 9 = este reactana total, iar+

    + 'B . 9

    = + impedana

    circuitului. "u efef

    &)

    B= , formula (5.''') se mai poate scrie su& forma

    ( ) ( ) ( )*+

    cos + cos cosefef&

    ) ) t ) t tB

    = = = , (5.''+)

    7n diagrama fazorial din fig. + se o&serv c tensiunea Ief& pe

    rezisten este n faz cu vectorul intensitate a curentului, tensiunea =ef& pe

    inductan este defazat cu+

    n avans, iar tensiunea "ef& pe capacitate n

    urm fa de intensitate. Prin nsumarea vectorial a lui Ief& cu =ef& !i cu "ef&

    '@+

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    31/48

    se o&ine tensiunea ef& , iar estedefaza1ul dintre ef& !i ef) (ntre tensiuneatotal pe circuit !i intensitatea curentului

    prin circuit).ircuit serie format din mai mult

    de trei reactane

    7n fig.+>, +cosef& & t= estetensiunea alternativ la capetele unuicircuit format din dou rezistene '. !i +.

    , dou inductane '9 !i +9 , respectiv ocapacitate ,. Ge a!teptm ca intensitatea curentului prin circuit s fie de forma

    ( )+cosef) ) t= .

    "el mai simplu mod de a determina defaza1ul * !i relaia dintre valorileintensitii curentului !i tensiunii pe circuit este metoda diagramei fazoriale, n

    care vom lua drept referin orientarea vectorului ef) (fig.+@). 7nsum2ndvectorial tensiunile, se o&ine vectorul tensiunii efective totale ef& !i defaza1ul al acestuia fa de vectorul ef) . Ielaia dintre ef) !i ef& se va scrie astfel

    ( )+

    ++ +

    ' + ' +

    'ef ef

    & ) . . 9 9 .

    = + + + = + (5.''6)

    Iezultatele calitative o&inute prin metoda diagramei fazoriale sunt de cele maimulte ori suficiente n analiza unui circuitserie de orice tip.

    5.#.# Circuite derivaie,paralel-

    ircuit paralel cu re#isten, inductan i

    capacitate

    plicm la &ornele circuitului din fig.+

    tensiunea alternativ +cosef& & t= , !i

    &

    '. +.'9 +9 ,

    Figura 2+. Circuit serie *ormatdin mai mult de trei reactane

    '@6

    ef)

    ef&

    'Ief&

    +Ief&'=ef&

    +=ef&ef ,&

    Figura 2. 7iagrama *a!orial&

    a circuitului serie *ormatdin mai mult de trei reactane

    =ef&=ef&

    "ef&

    "ef& Ief

    &

    ef&

    Figura 2(. 7iagrama *a!orial&la un circuit serieR-L-C

    ef)

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    32/48

    scriem relaia ntre intensitile curenilor prin rezisten .) , inductan 9) , !icapacitate )

    ) ) ) )+ + = (5.''4)

    )

    9in (5.''>) o&inem

    'tg .

    9

    = , (5.''@)

    ++ +

    +

    ' 'ef ef

    ) & . 9

    = +

    (5.'')

    '@4

    )

    & 9. ,

    Figura 23. Circuit paralelcu re!isten&' inductan&

    i capacitate

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    33/48

    9efinind impedana circuitului paralel prin relaia

    ef ef & B )= , (5.'+*)

    din (5.'') o&inem

    +

    +

    '' '

    B

    . 9

    = +

    (5.'+')

    9e multe ori este comod s se foloseascmrimile conductana C , susceptanainductiv 9( , susceptana capacitiv ( ,susceptana total a circuitului ( , admitanacircuitului - cu unitatea de msur n #..

    siemensul (#), definite astfel' '

    : : :9 9 C ( ( ( ( (. 9

    = = = = +

    !i

    ( )++ + +'ef

    9

    ef

    ) C ( ( C (

    & B= = = + = + .

    "u aceste notaii (5.''@) se mai poate scrie astfel

    tg 9 ( (

    C

    =

    7n diagrama fazorial la circuitul paralel."9"din fig.6* s-a luat drept referinorientarea vectorului ef& pentru reprezentarea vectorilor ef .) , ef 9) !i ef ) , !i a

    defaza1elor acestora. 7nsum2nd vectorial curenii ef 9) !i ef) se o&ine

    ( )'

    ef ( ef 9 ef ef ) & ( ( & (&

    9

    = = =

    7nsum2nd vectorial ef . ef . ef ) ) C&= = cu ef () , o&inem

    + +ef ef C ef (

    ) ) )= + (5.'++)

    9in diagrama fazorial rezult de asemenea relaiile

    cos

    sin

    ef C ef a

    ef ( ef r

    ) ) )

    ) ) )

    = =

    = =, (5.'+6)

    unde prin a) definim componenta activ, iar prin r) componenta reactiv aintensitii curentului. 9in (5.'+6) rezult

    + +ef a r ) ) )= + (5.'+4)

    '@5

    =ef)

    ef ,)

    "ef)

    ef 9)

    Ief ef C) )=

    ef)

    Figura #. 7iagrama *a!orial&la un circuit paralelR-L-C

    ef&

    ef ()

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    34/48

    ircuit paralel cu mai mult de trei ramuri

    plic2nd tensiunea &la &ornele circuitului dinfig.6', prin ramurile sale vor trece curenii cu

    intensitile ' + 6, , ,..... ,n) ) ) ) astfel c suma acestorava fi

    n

    i) )=

    (5.'+5)

    Potrivit diagramei fazoriale din fig.6+,componenta activ !i cea reactiv a intensitii

    curentului din ramura i sunt date de relaiile

    cos :sin ,

    ia ef i i

    ir ef i i

    ) )) )

    = = (5.'+)

    n timp ce componentele intensitii totale )sunt

    '

    '

    cos :

    sin .

    n

    a ef i i

    i

    n

    r ef i i

    i

    ) )

    ) )

    =

    =

    =

    =

    (5.'+>)

    9in (5.'+>) se o&ine+ +

    ef a r ) ) )= + , (5.'+@)

    Pe de alt parte, cunosc2nd conductana !i susceptana fiecrei ramuri, sepot scrie relaiile

    :

    ,i

    i

    ia ef C ef

    ir ef ( ef

    ) ) &

    ) ) &

    =

    = (5.'+)

    de unde rezult componenta activ !i

    reactiv ale intensitii totale

    '

    '

    :

    ,

    n

    a ef i ef

    i

    n

    r ef i ef

    i

    ) & C C&

    ) & ( (&

    =

    =

    = =

    = =

    (5.'6*)

    unde'

    n

    i

    i

    C C=

    = !i'

    n

    i

    i

    ( (=

    = .

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    35/48

    + +

    + +ef ef i i ef ef

    i i

    ) & C ( & C ( &

    = + = + = , (5.'6')

    unde este admitana circuitului n ansam&lu. 9in (5.'6*) !i (5.'6') se pot

    o&ine u!or defaza1ul dintre , ,a r ef ) ) ) !i tensiunea ef&

    sin : cos : .r a r

    ef ef a

    ) ) )tg

    ) ) ) = = = (5.'6+)

    5.#.% :uterea trans*erat& unui circuit de curent

    alternativ"onsiderm un circuit serie."9", pe care se aplic tensiunea instantanee

    +cosef& & t= , intensitatea curentului din circuit fiind ( )+cosef) ) t=

    (5.''+). Ielaia dintre &!i ) este'd)

    & .) 9 )dt dt

    = + + : nmulind cu ),o&inem puterea instantanee a&sor&it de circuit

    +i

    d) )> &) .) 9) )dt

    dt = = + + . (5.'66)

    Got2nd cu +.> .)= , 9d)

    > 9)dt

    = !i )

    > )dt

    = puterile instantanee a&sor&iten rezisten, inductan !i respectiv capacitate, (5.'66) se poate scrie maisimplu

    i . 9 > > > >= + + (5.'64)

    9in (5.''+) o&inem

    ( ) ( )+ + + ++ cos ' cos+. ef ef> .) .) t .) t= = = +

    , (5.'65)

    de unde rezult c .> variaz n timp cu pulsaia + !i perioada+

    + +

    1 = =

    (unde !i 1sunt respectiv pulsaia !i perioada tensiunii !i curentului), av2ndvalori cuprinse ntre * !i

    ++ ef.) (fig.66). $ediind .> pe o perioad 1se o&ine

    ( )+

    +

    * *

    '' cos +

    med

    1 1

    ef

    . a ef a

    .)> > dt t dt .) >

    1 1= = + = = , (5.'6)

    unde a>este puterea activ a circuitului, cu unitatea de msur Oatt-ul (O) n#.. Puterea a&sor&it de rezisten se transform prin efect Boule n cldur.

    '@>

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    36/48

    9in (5.''+) o&inem de asemenea

    ( ) ( ) ( )+ ++ cos sin sin +9 ef efd)

    > 9) 9) t t 9) t

    dt

    = = = (5.'6>)

    ( ) ( ) ( )+ +

    + sin cos sin +ef ef ) ))

    > )dt t t t

    = = = (5.'6@)

    Puterea total din reactana circuitului se o&ine prin nsumare

    ( ) ( )+ +'

    sin + sin + 9 ef ef

    > > > 9 ) t ) t

    = + = = (5.'6)

    Ieprezent2nd grafic > n funcie de timp, o&servm n fig.64 alternane

    pozitive - n care reactana circuitului prime!te putere de la surs, !i alternanenegative - n care reactana circuitului cedeaz putere sursei. #e o&serv u!or cvaloarea medie a lui > este zero, astfel c reactana circuitului nu consum

    putere de la surs. 8aloarea maxim a puterii primite de reactan se nume!teputere reactiv !i se noteaz cu r>, cu unitatea de msur n #.. volt-amper-reactiv (8I).

    7nsum2nd .> (5.'65) cu > (5.'6) o&inem puterea instantanee total i>

    ( ) ( )+ +' cos+ sin +i ef ef > .) t ) t= + , (5.'4*)

    care are valoarea medie pe o perioad

    +

    * * * *

    ' ' ' '1 1 1 1

    med i . . . med ef a> >dt > dt > dt > dt > .) >

    1 1 1 1 = = + = = = = (5.'4')

    9in cele prezentate se poateo&serva c singurul element careconsum energie electric esterezistena. 9e!i sc;im& putere cusursa n mod periodic, reactana nu

    consum putere energia primit dela surs este stocat n c2mpul

    '@@

    t

    ++ ef.).>

    +

    med. ef> .)=

    1 =

    Figura ##. "ariaia n timp a puteriia0sor0ite de re!isten&

    t

    >

    +

    efA)

    +

    1 =

    Figura #5. "ariaia n timp a puteriidin reactana circuitului

    +

    ef)

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    37/48

    magnetic, respectiv electric al elementelor reactive, dup care este cedat napoisursei.

    Pentru un circuit serie."9"o&inem, din formulele tensiunii, intensitiicurentului !i puterii instantanee:

    +cosef& & t= : ( )+cosef) ) t= : ( )+ cos cosi ef ef > &) & ) t t= =

    ( )cos cos +i ef ef > ) & t= + (5.'4+)

    9in (5.'4+) o&inem valorile minim !i maxim ale i>

    ( ) ( )min maxcos ' : cos 'i ef ef i ef ef > ) & > ) &= = + , (5.'46)

    !i de asemenea valoarea medie a puterii totale

    *

    'cos cos

    1

    med a ef ef A> > &)dt ) & >1= = = = , (5.'44)unde prin A ef ef> & )= am definitputerea aparent.

    m sta&ilit n (5.'4') c+

    a ef> .)= . 7n diagrama fazorial a circuitului

    serie ."9" din fig.+ se constat c cosef ef . ef & & ) . = = , !i de asemeneasin

    ef ef ) &= , de unde nmulind cu ef) rezult

    + sin sinef ef ef A

    ) ) & >= = (5.'45)

    9eoarece am definit puterea reactiv r>prin formula+

    r ef> )= ,

    plec2nd de la (5.'45) se poate scrie

    sin sinr e e A> ) & >= = (5.'4)

    9in (5.'44) !i (5.'4) o&inem relaia ntre puterileaparent, activ !i reactiv (triung;iul puterilor, n

    fig.65)+ + +

    A a r> > >= + (5.'4>)

    Ielaiile sta&ilite pentru puterile activ, reactiv !i aparent intr-un circuitserie caracterizat prin rezisten, reactan !i impedan

    + + +: :a ef r ef A ef > .) > ) > B)= = = (5.'4@)

    rm2n vala&ile !i pentru un circuit caracterizat prin conductan, susceptan !iadmitan, su& forma

    + + +: :a ef r ef A ef > C& > (& > &= = = (5.'4)

    '@

    Figura #5. Triunghiulputerilor

    a>

    r>

    A>

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    38/48

    5.#.5 Fenomenul de re!onan& n circuite de curentalternativ

    Iezonana unui circuit este acea stare a sistemului, n care ntre surs !i

    reea nu are loc sc;im& de putere reactiv.

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    39/48

    alternativ de forma +cosef& & t= aplicat circuitului, curentul va fi

    ( )+cosef) ) t= , iar relaia dintre intensitatea curentului !i tensiunea pecircuit este

    +

    + '

    ef

    ef

    &)

    . 9

    = +

    (5.'54)

    Ieprezent2nd dependena ( )ef) , se o&ine o cur& ce atinge un maxim pentru

    r = . 8alorile efective ale intensitii curentului pentru diferite valori alepulsaiei sunt

    *, *ef

    ) = = : max'

    , efr ef

    &)

    .9 = = = , , *ef) = . (5.'55)

    Kensiunea efectiv aplicat pe inductan este

    +

    +' '

    ef

    ef 9 ef

    && 9 )

    . 99

    = =

    +

    (5.'5)

    +

    +

    ef

    ef 9

    ef ,

    )

    &

    &

    9

    r,

    ef)

    ef ,&

    ef 9&

    Figura #(. 7ependena m&rimilor i depulsaia curentului la un circuit serie

    ''

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    40/48

    9in condiia *ef 9d&

    d=

    se o&ine valoarea maxim pentru ef 9& , pentru o

    valoare a pulsaiei 9 r > (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efectiveaplicat pe inductan, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt

    *, *ef 9

    & = = : ,

    'ef ef ef

    r ef 9

    r ,

    & & &&

    . d.

    9 .

    = = = =

    , max,9 ef 9& =

    ,ef 9 ef

    & & = , (5.'5>)

    unde s-au introdus notaiile

    9.

    = pentru re#istena Esau impedana@

    caracteristica circuitului, !i

    .d .= pentrufactorul de atenuare.

    Kensiunea efectiv aplicat pe capacitate este

    +

    + '

    ef ef

    ef

    ) &&

    . 9

    = = +

    (5.'5@)

    9in condiia *ef d&

    d

    =

    se o&ine valoarea maxim pentru ef & , pentru o

    valoare a pulsaiei r < (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efectiveaplicat pe capacitate, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt

    *,ef ef

    & & = = : max, ef & = : , efr ef &

    &d

    = = : , *ef & = . (5.'5)

    9in (5.'55), (5.'5>) !i (5.'5) se o&serv c valorile tensiunilor efectivepe incuctan !i capacitate sunt egale la frecvena de rezonan r . 8aloarea

    tensiunii ef & scade de la valoarea ef& (pentru * = ) la valoarea * (pentru ), n timp ce ef 9& cre!te de la valoarea * (pentru * = ) p2n la valoarea

    ef& (pentru ).

    Pentru r = , valorile ef & !i ef 9& pot dep!i valoarea ef& , 1ustific2nddenumirea de fenomenul de rezonan a tensiunilor.

    Kangenta diferenei de faz dintre intensitatea curentului !i tensiunea pecircuit este

    '+

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    41/48

    '

    tg9

    .

    = (5.'*)

    8alorile tangentei ung;iului , pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt

    *, tg ,+ = = : , tg *, *r = = = , , tg ,

    + + = .

    (5.'5)9up cum s-a sta&ilit condiia fenomenului, la rezonan curentul este n

    faz cu tensiunea, ceea ce nseamn c circuitul sc;im& cu sursa de energieelectric numai putere activ.

    9in condiia de rezonan (5.'5') la un circuit paralelse o&ine pulsaia

    de rezonan'

    r

    9

    = .

    Pentru interpretarea fenomenului de rezonan urmrim dependena nfuncie de a valorilor efective ale intensitii totale a curentului, intensitiicurentului prin capacitate !i prin inductan, !i a defaza1ului dintre intensitateatotal !i tensiune (fig.6>). plic2nd circuitului paralel tensiunea alternativ

    +cosef

    & & t= , curentul va fi ( )+cosef) ) t= , iar relaia dintreintensitatea curentului !i tensiunea pe circuit este

    +

    +

    ' '

    ef

    ef

    &

    )

    . 9

    = + (5.'')

    Ieprezent2nd dependena ( )ef) , se o&ine o cur& ce atinge un maximpentru r = . 8alorile efective ale intensitii curentului pentru diferite valoriale pulsaiei sunt

    *,ef

    ) = : min,ef

    r ef ef .

    &) )

    . = = = , , ef) . (5.'+)

    '6

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    42/48

    ntensitatea efectiv efectiv a curentuui dinncapacitate este

    ef ef ) &= (5.'6)

    7n scopul analizei dependenei ( )ef ) , ntroducem notaiile

    9in condiia *ef 9d&

    d = se o&ine valoarea maxim pentruef 9& , pentru o valoare

    a pulsaiei 9 r > (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efective aplicat peinductan, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt

    *, *ef 9

    & = = : ,

    'ef ef ef

    r ef 9

    r ,

    & & &&

    . d.

    9 .

    = = = =

    , max,9 ef 9& =

    ,ef 9 ef

    & & = , (5.'5>)

    unde s-au introdus notaiile

    9.

    = pentru re#istena Esau impedana@

    caracteristica circuitului, !i

    .d

    .= pentrufactorul de atenuare.

    Kensiunea efectiv aplicat pe capacitate este

    +

    + '

    ef ef

    ef

    ) &&

    . 9

    = =

    +

    (5.'5@)

    r

    +

    +

    ef)

    ef 9)

    ef ,)

    , ,ef ef , ef 9

    ) ) )

    *

    Figura #+. 7ependena m&rimilorralel circuit serie&;

    ndiia *enomenului de re!onan&' activ&lor e*ecle valorilor e*ective ale intensit&ii curede pulsaia curentului la un circuit paralel

    '4

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    43/48

    9in condiia *ef d&

    d=

    se o&ine valoarea maxim pentru ef & , pentru o

    valoare a pulsaiei r < (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efectiveaplicat pe capacitate, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt

    *,ef ef

    & & = = : max, ef & = : , efr ef &

    &d

    = = : , *ef & = . (5.'5)

    9in (5.'55), (5.'5>) !i (5.'5) se o&serv c valorile tensiunilor efectivepe incuctan !i capacitate sunt egale la frecvena de rezonan r . 8aloareatensiunii ef & scade de la valoarea ef& (pentru * = ) la valoarea * (pentru ), n timp ce ef 9& cre!te de la valoarea * (pentru * = ) p2n la valoarea

    ef& (pentru ).

    Pentru r = , valorile ef & !i ef 9& pot dep!i valoarea ef& , 1ustific2nddenumirea de fenomenul de rezonan a tensiunilor.

    Kangenta diferenei de faz dintre intensitatea curentului !i tensiunea pecircuit este

    '

    tg9

    .

    = (5.'*)

    8alorile tangentei ung;iului , pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt

    *, tg ,+ = = : , tg *, *r = = = , , tg ,

    + = .

    (5.'5)

    5.#.( Conservarea energiei totale stocat& n c4mpurilemegnetic i electric din inductane i capacit&i' la re!onan&

    8om demonstra, n cazul unui circuit . 9serie, urmtoarele afirmaii- la rezonan nu se sc;im& putere reactiv ntre surs !i circuit:

    - la rezonan se sc;im&, n mod oscilant, energie ntre elementele inductive !icapacitive, astfel nc2t energia total nmagazinat n c2mpurile electric !imagnetic din aceste elemente este constant.

    "onsiderm un curent alternativ cu intensitatea

    +cosef

    ) ) t= (5.'')

    Cnergia coninut n c2mpul magnetic al inductanei la un moment teste

    + + +' '

    cos+ +9 9 ef 9

    / 9) 9) t = = (5.'+)

    Cnergia coninut n c2mpul electric al capacitii la un moment teste

    '5

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    44/48

    + + +' '

    sin+ + ef

    / & & t = = , (5.'6)

    deoarece + cos + sin

    +

    ef ef & & t & t

    = =

    .

    7nsum2nd (5.'+) !i (5.'6) o&inem

    + + + +' 'cos sin+ +9 ef 9 ef

    / / / 9) t & t = + = + (5.'4)

    =a rezonan ef ef 9 ef 9& & 9) = = , astfel c+ + + +

    ef ef 9& 9 ) = . (5.'5)

    7nlocuind expresia pulsaiei la rezonan +'

    r

    9 = n (5.'5), se o&ine

    + +

    ef ef 9& 9) = (5.')

    Kin2nd cont de (5.'6), (5.'4) devine

    ( )+ + + +cos sin const.ef 9 ef 9/ 9) t t 9) = + = = (5.'>)

    Ielaia (5.'>) demonstreaz c la rezonan energia total stocat nc2mpurile magnetic !i electric ale inductanelor !i capacitilor din circuit seconserv.

    %!emplul F

    # se deduc legea de variaiei n timp a curentului printr-un circuit careconine un rezistor cu rezistena I !i un condensator de capacitate " legate nserie, dac tensiunea la &ornele circuitului este * sin% t= C. Presupunem c nmomentul conectrii sursei condensatorul era descrcat.

    .e#olvare

    ** sin sin

    dq q dq q % . % t t

    dt dt . + = + = (5.'@)

    #oluia ecuaiei omogene este

    ( ) constt

    .q t e

    =

    "utm o soluie a ecuaiei neomogene de forma

    ( ) ( )+sin cos sin cos ' tg sin(

    q t A t ( t A t t A t

    A

    = + = + = + +

    ,

    (5.')

    '

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    45/48

    unde tg(

    A= . ntroducem (5.') n (5.'@) !i identificm cu zero coeficienii

    funciei sinus, respectiv cosinus, o&in2nd sistemul de dou ecuaii

    ** + + +

    +

    *+ + +

    * ''

    *'

    % AA% . ( ..

    tg .( . %

    . A ( .

    =+ = + = =

    + = = +

    0 soluie particular a ecuaiei neomegene va fi de forma

    ( ) ( )*+ + +

    const sin'

    t

    .%

    q t e t .

    = + +

    + , (5.'>*)

    unde constanta se determin din condiia iniial a pro&lemei. Pentru'

    t .? sepoate negli1a soluia ecuaiei omogene, astfel c soluia (5.'>*) devine

    ( ) ( )*+ + +

    sin'

    % q t t

    . = +

    + (5.'>*)

    ( ) ( )

    ( ) ( )* *+ + +

    +

    + +

    cos cos''

    dq t % %) t t t

    dt . .

    = = + = + + +

    (5.'>')

    %!emplul G

    0 &o&in alimentat la tensiunea la &orne ++*8&= are puterea activ'*O

    a>= !i puterea reactiv @8Ir>= . # se determine valoarea rezisteneielectrice a unui rezistor legat n serie cu &o&ina, la aceea!i tensiune de ++*8,

    pentru care puterea activ pe care o poate consuma rezistorul este maxim.

    .e#olvare

    9eterminm nt2i expresiile rezistenei b. !i reactanei inductive 9 a&o&inei n funcie de puterea activ !i puterea reactiv

    + +: a ba b r 9

    r 9

    > .> ) . > )

    > = = = : (5.'>+)

    + + ++ + + +

    + + + +A a r b 9

    b 9 a r

    & & &> > > &) .

    B . > >= + = = = + =

    + + (5.'>6)

    9in (5.'>+) !i(5.'>6) rezult

    '>

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    46/48

    +

    + +

    a

    b

    a r

    & >.

    > >=

    +!i

    +

    + +

    r

    9

    a r

    & >

    > >=

    + (5.'>4)

    ( )

    + ++

    ++ +a.

    b 9

    & . & .> ) .

    B. .

    = = =

    + +

    . 9in condiia de maximum *a.d>

    d.

    = rezult

    ++ +

    + +6>>

    b 9

    a r

    &. .

    > >= + = =

    +. (5.'>5)

    7nlocuind expresia lui . n expresia puterii active pe acest rezistor, a.> ,o&inem

    ( ) ( )

    + + +

    max+ +

    6,555O+ +

    a r

    a.

    b a a r

    & > >>

    . . > > >

    += = =

    + + + .

    %!emplul H

    plic2nd o tensiune '+sin5**& t= 8 la &ornele unei &o&ine de rezisten

    . !i inductan 9 , curentul care trece prin aceasta este 4sin 5**6

    ) t =

    .

    # se calculezea) Cnergia consumat n &o&in timp de '* minute:

    &) Iezistena !i rezistivitatea &o&inei:c) 8aloarea maxim a energieistocat n c2mpul magnetic al &o&inei:

    d) 8aloarea instantanee a intensitii curentului din &o&in dac frecvena sereduce la 1umtate, consider2nd c amplitudinea tensiunii rm2ne constant.

    .e#olvare

    a)'+ 4 '

    cos '* * >+**B++ +

    a ef ef / > & )

    = = = =

    .

    &)+ + +

    +

    + + + +

    6cos cos

    +cos

    '6 6mQ

    ef

    ef

    efef ef ef

    ef

    &. B. )

    . 9 && ) B ) . 9 9 .

    )

    = = = =

    + = = + = =

    c)+ +

    max 6 6 4 4',5+mB+ +

    9

    9

    )/ 9

    = = =

    d)6

    tgR 6+

    9 . = :+ +

    + 6 >

    4 4

    9B .

    = + = : maxmax'+ 4

    6 >

    &)

    B

    = = = :

    +

    cos *,>5 4*>

    .

    B = = = = .

    '@

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    47/48

    ( ) ( )sin +5* arccos*,>5 sin +5* 4*) t t = = .

    %!emplul I

    liment2nd circuitul din fig.6@ cu tensiuneaefectiv ++*8&= , reactana &o&inei la frecvena5*Qz = este 6*9 = . ,6

    6.= = , iar pentru capacitate se o&in dou valori

    ' 5@, '* 6

    .

    &)

    .= = = :

    +

    + +

    ' 'cos

    +' '.

    9

    ) & B B

    ) . & ..

    .

    = = = = =+ , de unde

    rezult * = .

    '

    E& 9

    .,

    Figura #

    '+

  • 7/25/2019 5 Electricitate final.doc

    48/48

    c) 9in condiia de rezonan (5.'56)'

    r

    9 = o&inem frecvena de rezonan

    ' '

    + + +

    r

    r

    99, ,

    = = =

    .

    7nlocuind cele dou valori ale capacitii, o&inem dou frecvene de rezonancu valorile ' >,'Qzr = , respectiv + 4',Qzr = .

    @.

    +. Cd3ard $. Purcell. ursul de $i#ic (er2ele+6 %lectricitate i agnetism6vol., Cd. 9idactic !i Pedagogic, Ducure!ti, '@+.6. Kraian . "reu.$i#ica Ceneral8ol., Cditura Ke;nic, Ducure!ti, '@.5. Iic;ard P. +sics vol., 9efinitive edition, ddison-OesleH Pu&lis;ing"ompanH, Ieading, $assac;usetts, +**.5. on 9ima. %lectricitate i agnetism, .@. Gicolae Dr&ulescu, Iadu Lieica, !.a. $i#ica, vol., Cd. 9idactic !iPedagogic, Ducure!ti, '>+.. Cmil #imion. Clectrote;nic. Cd. 9idactic !i Pedagogic, Ducure!ti, '>@.'*. . C. Kamm.(a#ele 1eoriei %lectricitii, traducere din lim&a rus, Cditurate;nic, &ucure!ti, '5+.