Colegiul Tehnic T. F. ,,Anghel Saligny” – Simeria

Prof. Cosma Teodora

Notație: V(a) – mulțimea vecinătăților numărului (punctului) a∈R .

Definiție: Mulțimea V⊆R se numește vecinătate a

numărului a∈R⇔∃ε>0 a.î. (a−ε , a+ε )⊂V .

* Intervalul (a−ε , a+ε ) se numește interval centrat în a sau interval simetric în a.

Definiție: Mulțimile V⊆R și V’⊆R se numesc: i) vecinătate a lui −∞ , dacă ∃a ∈R a.î. [−∞ , a) ⊂V; ii) vecinătate a lui +∞ , dacă ∃b ∈R a.î. (b, +∞ ] ⊂V’.

Observații:

1) Fiecare număr real a are o infinitate de vecinătăți;

2) ∀ ε>0 , (a−ε , a+ε ) este o vecinătate a numărului a∈R ;

3) Orice interval (a, b), a < b, este vecinătate a oricărui punct al său.

Proprietăți:

1) a∈V ,∀ V∈V(a);

2) V∈V(a), V⊂U ⇒ U∈V(a);

3) V 1 ,V 2∈V(a) ⇒V 1∩V 2∈V(a);

4) Proprietatea de separare a lui R:∀ a, b∈R, a¿ b, ∃V 1∈V(a), V 2∈V(b) a.î.V 1∩V 2 = φ .

Stabiliți valoarea de adevăr a propozițiilor:

a) [-1, 2] ∈V(0)

b) (-2, 1) ∈V(0)

c) [-2, 1] ∈V(-1)

d) [-2, 1] ∈V(-2)

e) [-1, 2] ∉V(-1)

f) [0, +∞ ) ∈V(0)

g) (-2, 1)¿ (2, +∞ ) ∉V(0)

h) Z ∈V(0)

i) (0, +∞ ) ∈V(+∞ )

j) [−∞ , 10) ∈V(−∞ )

Determinați mulțimea A’ și punctele izolate pentru

Definiție: Un număr a∈R se numește punct de acumulare sau punct limită pentru o mulțime A

dacă ∀ V∈V(a) ⇒ {V ¿{a¿}}∩A≠φ .

Notație: A’- este mulțimea punctelor de acumulare ale mulțimii A și se mai numește și mulțimea derivată a mulțimii A.

Definiție: Un număr (punct)x0∈ A ,A≠φ , A⊆R , se numește punct izolat al mulțimii A dacă există

cel puțin o vecinătate V a numărului (punctului)x0 ,

astfel încât V∩A= {x0 } .

Definiție: Se numește lungimea intervalului (a, b),

A(a), B(b), numărul lAB=|b−a|.

Observații:

1) a – este punct de acumulare pentru mulțimea A, dacă ∀ V∈V(a), ∃ x∈V∩A , x≠a ;

2) a – este punct de acumulare pentru mulțimea A, dacă mulțimea A conține un interval de forma: (a - p, a), (a, a + p), (a – p, a) ¿ (a, a + p), p>0;

3) a∈R este un punct de acumulare pentru

mulțimea A dacă ∀ δ>0, ∃ x∈ A ,x≠aa. î. |x – a| < δ;

4) Dacă a∈ A ' nu rezultă obligatoriu căa∈ A ;

5) Orice element al unei mulțimi A este fie punct de acumulare, fie punct izolat;

6) Dacă A este un interval, atunci a∈ A ' dacă a∈ A sau dacă a este una dintre extremitățile intervalului;

7) Dacă A(a), [a, a]={a}, (a, a) = φ , iar l[a ,a ]=0

.

mulțimile A de mai jos:

a) A = (-1, 4)

b) A = [-3, 3)

c) A = (4, 8]

d) A = [0, √2 ]

e) A = N

f) A = Z

g) A = R

h) A = φ

i) A = {1, 2, 3, 5, 7}

j) A = {1n|n∈N ¿}

k) A = {1 }∪¿ ¿[-8, -2]

l) A = (-5, -1] ¿ (0,6) ¿ {9}

m) A = (−∞ , -1] ¿ (2, ∞ )

n) A = (−∞ , -3) ¿ {0}¿ [4, ∞ )