Lucrare de laborator nr.1FORMAREA SEMNALELOR CONTINUE I DISCRETE N SISTEMUL MATLAB1.1. Scopul lucrrii:Studiereaposibilitilor debazasistemului MATLABdup modelarea diferitor forme a semnalelor, att n form continu(analogic) ct i n form discret,necesare pentru cercetarea particularitilor acestor semnale, n particular a caracteristicilor lor spectrale, i utilizarea lor pentru studierea diferitor sisteme de prelucrare a semnalelor i de transmitere a informaiei.1.2. ndrumri metodice1.2.1. Noiuni generaleObiectul de baz a operaiilor nMATLABeste omatrice dreptunghiular a numerelor reale sau complexe, sau, ca caz particular ,vectorul acestor numere. Pachetul deprogramepentru prelucrareanumericasemnalelor (Signal ProcessingToolboxSPTB) are un set larg de funcii pentru generarea semnalelor, majoritatea crora necesit stabilirea prealabil a vectorului momentelor detimpt saun.Casformmvectorul detimpt cu pasul T=1ms pe intervalul de la 0 pn la 1s folosim comanda:t=0:0.001:1; Aceasta corespunde 1000 eantioanelor pe secund sau frecvenei de eantionare de 1000 Hz. Pentru ca s formm vectorul cunvalori detimppentrusemnalul descrisndomeniul detimp discret de la n=0 pn la n=1000, folosim comanda:n=0:1000;Pentru valorile date t sau n putem forma semnalul care ne intereseaz.n MATLABsemnalul n domeniul de timp discret se prezint precis, pentru c valorile semnalului sunt descrise ca elementele unui vector. Semnalul ndomeniul detimpcontinuu 3Fig.1 Construirea a trei impulsuri dreptunghiulare Fg..a impulsului w nu este dat

poate fi prezentat doar aproximativ cu ajutorul interpolriivalorilor sale n intervalele dintre eantioanele sale discrete. De aceea intervalul dintreeantioanetrebuiesfiedestul demiccasse garanteze c eantioanele vor reda destul de precis forma semnalului.1.2.1.1. Formarea semnalelor impuls unitarenpachetul SPTBsunt prevzutecteva proceduri, care formeaz consecutivitatea datelor, care prezint nite semnale impuls unitare de forme tipice. Impulsul unitar de form dreptunghiular se poate de format cu ajutorul proceduriirectpuls, de tipul:t=rectpuls(t,w) carepermite de a forma vectorul ya valorilor semnalului a aa impuls de amplitudine unitate, cu limea w, centrat fadet=0dupvectorul dattamomentelordetimp. Dac limea impulsului w nu este dat, atunci valoarea ei se ia egal cu 1. n fig.1 este prezentat rezultatul procesului, care const din trei impulsuri dreptunghiulare consecutive de diferite nlimi i limi, dup consecutivitatea comenzilor: t=0:0.01:10; y=0.75*rectpuls(t-3.2)+1.4*rectpuls(t-5.1)++0.5*rectpuls(t-8.04); plot(t,y),grid; xlabel('timpul(s)') ylabel('procesul de ieire y(t)')4Fig.1 Construirea a trei impulsuri dreptunghiulare Fg..a impulsului w nu este dat

Impulsurile de form triunghiular cu amplitudine unitate se pot realiza cu ajutorul procedurii tripuls, care are forma:y=tripuls(t,w,s)Argumentele y, t, w, au acelai sens ca i mai sus. Argumentul S ( 1 S 1 ) determin nclinarea triunghiului. Dac S=0, saudac nueste indicat, atunci impulsul triunghiular este simetric. Funcia y=tripuls(t,w) formeaz un impuls simetric de amplitudine unitate w centrat fa de t=0. Prezentm un exemplu de formare a procesului, care const din trei impulsuri: t=0:0.01:10; y=0.8*tripuls(t-1,0.5)+1.4*tripuls(t-3,0.8,1)++0.5*tripuls(t-5,0.5,-1); plot(t,y); grid xlabel('timpul (s)') ylabel('y(t)') Formarea impulsului care este sinusoida modulat de funcia Gaussse execut cu procedura gauspuls, adresarea ctre ea are forma:yi=gauspuls(t,fc,bw)5Fig.2 Impulsuri triunghiulareyi=gauspuls(t,fc,bw,bwr)[yi,yq]=gauspuls()[yi,yq,ye]=gauspuls()tc=gauspuls(cutoff,fc,bw,bwr,tpe)Funcia yi=gauspuls(t,fc,bw) formeaz secvena eantioanelor semnalului, calculatenmomenteledetimpdaten vectorul t; fc determin frecvena sinusoidei; bw lrgimea benzii de frecvenasemnalului. Deexemplu, sepoateluafc=1000Hzi bw=0.5.Funcia yi=gauspuls(t,fc,bw,bwr)calculeaz secvena eantioanelor semnalului cu urmtorii parametri: amplitudinea=1,limea benzii de frecven=100bw. Graniele benzii de frecven se determin de nivelul de atenuare bwr(dB) n raport cu amplitudinea normat a semnalului. Parametrul bwr trebuie s fie negativ, de exemplu bwr=-6dB.Funcia[yi,yq]=gauspuls()calculeaz doi vectori. Vectorul yi conineeantioanele semnalului iniial ,iar vectorul yq conine eantioanele semnalului n care faza sinusoidei este schimbat cu 90 de grade.Funcia[yi,yq,ye]=gauspuls()calculeaz adugtor semnalul ye.Funcia tc=gauspuls(cutoff,fc,bw,bwr,tpe) calculeaz timpultc, corespunztor momentului de timp n care amplitudinea semnalului scade pn la trei (dB).Mrimea pe trebuie s fie negativ, de exemplu tpe=-60dB. Exemplu: t=0:0.01:10; yi=0.8*gauspuls(t-4,1,0.5); plot(t,yi),grid xlabel('timpul(s)') ylabel('yi(t)')6Procedurasincpermite deacalcula valoarea vectorului funciei sinc(t), care se determin de formulele:( )'0 t ,tt sin0 t , 1) t ( c sincareprezintotransformareinversFourieraimpulsului dreptunghiular cu nlimea 1 i limea 2:sinc(t)=1/2 ejtdExemplu:t=0:0.01:50; yi=0.9*sinc(pi*(t-25)/5); plot(t,yi),grid xlabel('timpul(s)') ylabel('yi(t)')7Fig.3 Impuls gaussian1.2.1.2. Formarea oscilaiilor periodiceFormarea oscilaiilor care constau din numrul finit a componentelor armonice, adic aanumitor oscilaii poliarmonice, se poate realiza cu ajutorul procedurilor obinuitesin(x) i cos(x). De exemplu: t=0:0.01:50; y1=0.6*sin(pi*t/5); plot(t,y1),grid xlabel('timpul(s)'); ylabel('y1(t)') 8Fig.4 Transformata Fourier a impulsului dreptunghiularFig.5 Formarea unei sinusoideGenerareasecvenei impulsurilordreptunghiulareseface cu ajutorul procedurii square. Adresarea ctre ea are forma:y=square(t)y=square(t,duty)Funciasquare(t)formeaz oscilaii dreptunghiulare cu perioada 2 i amplitudinea t1.Funcia y=square(t,duty) formeaz o secven de impulsuri cu durata semiundei pozitive, care se determin de parametrulduty nprocentedelaperioad. Deobicei seiaduty=50. Sdmun exemplu de utilizare a acestei proceduri:t=-20:0.1:20; y=square(t,20); plot(t,y),axis([min(t) max(t)-22]),gridFormarea semnalelor dinte de ferestru i triunghiulare cu amplitudinea t1 i perioada 2 se face cu procedura sawtooth :x=sawtooth(t)x=sawtooth(t,width)Funcia x=sawtooth(t) formeaz semnal de forma dinte de ferestru,care ia valoarea -1 n momentul 2 i crescnd liniar pe intervalul 2 cu panta 1/.Funcia x=sawtooth(t,width) formeaz semnalul dinte de ferestru modificat. Parametrul width se d n diapazonul de la 0 la 9Fig.6 Segven de impulsuri1 i determin o parte a perioadei, n care semnalul crete. Semnalul crete de la 1 pn la 1, pe intervalul de la 0 pn la 2*width, iar pe urm scade de la 1 pn la 1 pe intervalul de la 2*width pn la 2.Dacwidth=0.5,atunci se formeaz o und simetric.Funcia sawtooth(t,1)esteechivalentcufunciasawtooth(t).Aducemun exempludegenerare aunuisemnalde tip dinte de ferestrupe intervalul 0-6: t=0:0.1:6*pi; x=sawtooth(t); plot(t,x)Procedurapulstranpermite de a forma oscilaii, care sunt secvene a impulsurilor dreptunghiulare, triunghiulare sau gaussiene. Adresarea ctre ea are forma:y=pulstran(t,d,func)y=pulstran(t,d,func,p1,p2,)y=pulstran(t,d,p,Fs)y=pulstran(t,d,p)Aiciddeterminvaloareavectorului acelor momentede timp unde trebuie s fie centrele impulsurilor corespunztoare; parametrulfuncdetermin forma impulsului i poate avea una din urmtoarele sensuri: rectpuls (pentru impuls dreptunghiular), tripuls (pentru impuls triunghiular), gauspuls(sinusoid modulat cu funcia 10Fig.7 Crearea semnalelor dinte de ferestrugauss). Semnalul de ieire y se calculeaz pentru valorile argumentului, date n vectorul t, dup formula:y=funct(t-d(1)+func(t-d(2)+... Numrul impulsurilor n diapazonul dat a argumentelor este length(d).Parametriip1, p2... determin parametrii necesari a impulsului n dependen de forma de adresare ctre procedura, care determin acest impuls.Funciay=pulstran(t,d,p,Fs )permite de a determina impulsul cu secvena eantioanelor date n vectorulp. Frecvena de discretizare este dat de parametrul Fs. La folosirea funciei y=pulstran(t,d,p), frecvena de discretizare se ia egal cu 1Hz. Mai jos sunt prezentate trei exemple de utilizare a procedurii pulstran:Pentru o consecutivitate de impulsuri dreptunghiulare: t=0:0.01:50; d=[0:10:50]; y=0.6*pulstran(t,d,'rectpuls',3); plot(t,y),gridPentru o consecutivitate de impulsuri triunghiulare: t=0:0.01:50; d=[0:10:50]; y1=0.8*pulstran(t,d,'tripuls',5); plot(t,y1),grid11Fig.8 Utilizarea funciei pulstran la semnale dreptunghiularePentru o consecutivitate de impulsuri gaussiene: t=0:0.01:50; d=[0:10:50]; y2=0.7*pulstran(t,d,'gauspuls',1,0.5); plot(t,y2),gridFormarea cosinusoidei frecvena creia se schimb liniar n timp, se face cu ajutorul procedurii chirp:y=chirp(t,f0,t1,f1)Ea formeaz eantioanele din semnalul cosinusoidal cu frecvena schimbat liniar pentru momentele de timp date n vectorul t; f0-frecvenamomentannmomentul detimpt=0; f1-frecvena momentan n momentul de timp t=1. Frecvenele f0i f1se dau n Hz. De exemplu f0=0, t1=1, f1=100.12Fig.9 Utilizarea funciei pulstran la semnale triunghiulareFig.10 Utilizarea funciei pulstran la semnale gaussieneExemplu: t=0:0.001:1; y=0.8*chirp(t); plot(t,y),grid3.Lucru pentru acasDupliteraturarecomandati indicaiilendrumarului de laborator lalucrareadat, ssefaccunotincumetodelede formare a semnalelor tipice descrise mai sus n punctul 2.4.Lucru n laboratorTrebuie de efectuat formarea semnalelor descrise n exemplele de mai jos i de asemenea a unor semnale adugtoare la indicaia profesorului. De verificat cum se schimb forma semnalului generat, la schimbarea unor parametri caracteristici ai lui. Denregistrat i deprezentat ndareadeseamlafiecarepunct forma de adresare la procedura corespunztoare i oscilograma semnalului format.nafardesemnalelestandarderealizatenSPToolbox, folosind mijloacele limbajului Matlab este posibil de creat practic un numr nelimitat de semnale diferite.13Fig. 11 Formarea unei cosinusoide cu frecvena variabilExemplul 1.Ssecreezedin256eantioaneooscilaie armonic cu amplitudinea unitate i perioada de 50 eantioane. Pentru aceasta n regiunea de comand MATLAB trebuie de cules urmtoarea serie de comenzi: k=0:255; x=sin(2*pi*k/50); plot(x); grid on; title('sine wave'); xlabel('sample number'); ylabel('Amplitude')Prima comand creeaz vectorul k=[0,1,255]. Urmtoarea comandgenereazvectorulx care conine mrimea eantioanelor oscilaiei sinusoidalelaunnumrcorespunztork. Comandaplot mpreun cu comenzile urmtoare afieaz graficul oscilaiei formate sub forma unui semnal continuu i nu a unei succesiuni de eantioane discrete datorit unirii eantioanelor vecine cu segmente de dreapt. Dac ar fi fost necesar prezentarea graficului sub forma deeantioanediscrete, atunci nlocdecomandaplottrebuiede folosit comanda stem.Exemplul 2.S se creeze un semnal ce conine 1024 eantioane a unui proces tranzitoriu a unui sistem oarecare, descris de urmtoarea relaie:14Fig.12( )( )( ) ( )'< 1]1

1]1

< s 024 . 1 t 1 . 0 ;16 . 01 . 0 t 2sin2 . 01 . 0 texp t xs 1 . 0 t ; 0 t xIntervalul de timp ntre eantioanele vecine T=0,001s. Formarea unui aa tip de semnal este posibil cu ajutorul urmtoarei serii de comenzi: t=0:0.001:1.023; T=0.001; k=101:1024; Z=zeros(1,100); x=[Z exp(-(k*T-0.1)/0.2).*sin(2*pi*(k*T-0.1)/0.16)]; plot(t,x); grid on; title('Transient process'); xlabel('Time(s)'); ylabel('Amplitude')Primacomandgenereaz vectorul valorilor argumentelor timpului care conine 1024 de elemente: 0, 0.001, 0.002, ..., 1.023. n rndul al treileaseinstaleazvectorul kdin924denumereale eantioanelor ndomeniul detimpundex(t) 0. Vectorul [Xk]se creeaz prin unirea (concatenarea) vectorului [Zk] ce conine 100 de eantioane nule, creat cu comanda a patra i vectorul valorilor nenule ale eantioanelor X(t) calculate n corespundere cu relaia dat x(t). 15Fig.13Aducem aminte c operatorul .* esteoperatorul nmulirii element cu element a vectorilor sin i exp. Comanda plotare aici dou argumenteartnd c se construiete graficul x funcie de t. Exemplul3.Ssecreezeun semnal nintervalul de timp 1 t 0 s care const din suma unei oscilaii armonice cu amplitudinea de 1V i frecvena 50Hz , unei oscilaii sinusoidale cu amplitudineade2Vi frecvenade120Hzi aunui semnal de zgomot distribuit normalcu valoarea medie zero i valoarea medie ptratic 0.5V, folosind o frecven de discretizare de 1000Hz, adic intervalul de discretizare T=0.001s.Setul de comenzi necesar pentru crearea unui astfel de semnal are forma: t=0:0.001:1; y=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*120*t); randn('state',0); yn=y+0.5*randn(size(t)); plot(t(1:50), yn(1:50));gridConform comenziiplotpe ecran sunt afiate primele 50 de eantioane ale semnalului.Exemplul 4.S secreeze nintervalul 1 t 0 s semnale sinusoidale de forma:a) 5exp(-6t); b) exp(5t), 16Fig.14folosind frecvena eantioanelor fd=1000Hz. Succesiunea comenzilor poate fi urmtoarea:a) B=5; a=6; t=0:0.001:1; x=B*exp(-a*t); plot(t,x), gridb) B=1; a=5; t=0:0.001:1; x=B*exp(a*t); plot(t,x), grid17Fig.15Fig.16Exemplul 5.S se creeze un impuls exponenial discret de forma x(n)=Brn, unde B=1, r=0.8 pe intervalul10 10 n . Pentru aceasta pot fi folosite urmtoarele comenzi: B=1; r=0.8; n=-10:10; x=B*r.^n; stem(n,x)Observmc, operatorul.^nseamnridicarealaputere element cu element, iar comanda stem reprezint graficul sub forma unei serii de valori discrete, i nu un semnal continuu ca la comanda plot.Exemplul 6.Ssecreezeunsemnalsinusoidal discret cu perioada de 12 eantioane i amplitudinea de 2V: ( ) 10 n 10 , n122sin 2 n x

,_

Pentru aceasta poate fi folosit urmtorul set de comenzi: A=1; omega=2*pi/12; n=-10:10; y=A*sin(omega*n); stem(n,y)18Fig.17Exemplul 7.S secreeze unsemnal discret exponenial atenuat, pe baza nmulirii exponentei atenuatoare formate n exemplul 5 i a semnalului sinusoidal creat n exemplul 6, ambele primite pentru intervalul10 10 n .Soluie:notndrezultatul nmulirii cuZ(n) putemfolosi urmtoarele comenzi pentru generarea i vizualizarea semnalului: Z=x.*y; stem(n,Z)Remarcmcaici nuestenecesitateadeadaregiuneade modificarea lui n,deoarece ea estencomenzile pentru formarea semnalelor x i y.19Fig.18Fig.19Exemplul 8.S se creeze urmtoarele serii de impulsuri, care se descriu, dup cum se tie, de relaia:='0 k , 00 k , 1a) x1=2(k-3),10 1 k;b) x2=0.6(k),10 10 k;c) x3=1.5(k+7),0 10 kSoluie: a) k=1:10; x1=zeros(size(k)); x1(3)=2; figure;stem(k,x1);grid;xlabel('k');ylabel('x1(k)') b) k=-10:10; x2=zeros(size(k)); x2(11)=0.6; figure;stem(k,x2); grid; xlabel('k');ylabel('x2(k)')20Fig.20 c) k=-10:0; x3=zeros(size(k)); x3(4)=1.5; figure;stem(k,x3);grid; xlabel('k');ylabel('x3(k)')Exemplul 9.Crearea impulsului dreptunghiular de amplitudineunitatei durata1s, amplasat simetricnorigineade coordonate t=0( ) s t s 5 . 0 5 . 0 descrisn intervalul de timp s t s 1 1 cu pasul T=2ms.Soluie: impulsul dreptunghiular poatefi creat cuajutorul diferenei adoufuncii detiptreaptdeplasatentimpcuun 21Fig.21Fig.22interval egal cu durata impulsului. Acest semnal poate fi format cu ajutorul urmtorului set de comenzi:t=-1:0.002:1; U1=[zeros(1,250), ones(1,751)]; U2=[zeros(1,751), ones(1,250)]; U=U1-U2; plot(t,U)Exemplul 10.Crearea unui ir discret de impulsuri dreptunghiulare cu amplitudinea A=1 i viteza unghiular =/4 n intervalul 10 10 n seefectueazcuajutorulurmtoarelor comenzi: A=1; omega=pi/4;rho=0.5; %parametrul rhodeterminaparteaperioadei in care semnalul e pozitiv n=-10:10; x=A*square(omega*n*rho); stem(n,x)22Fig.23Fig.24Cu toate c n realitate folosim semnale reale, foarte util n teoriasemnalelor estefaptul cavemposibilitateadeaprezenta semnalul real ca partea real sau imaginar a unui semnal complex. Vom arta mai jos exemple de creare a unor semnale complexe cu separarea prii lor reale i imaginare.Exemplul 11.Crearea semnalului exponenial complex ( )3expnj x . Poate fi folosit urmtorul set de comenzi: n=0:25; x=exp(j*n/3); subplot(2,1,1); stem(n,real(x)); title('real part');xlabel('index(n)'); subplot(2,1,2); stem(n,imag(x)); title('imag part');xlabel('index(n)')23Fig.25Exemplul 12.Crearea semnalului exponenial complex ( ) ( ) ( ) n j n x 3 . 0 1 . 0 exp + . Pe intervalul 10 10 n : n=[-10:1:10];alpha=-0.1+0.3j; x=exp(alpha*n); subplot(2,2,1);stem(n,real(x));title('real part');xlabel('n'); subplot(2,2,2);stem(n,imag(x));title('imaginare part');xlabel('n'); subplot(2,2,3);stem(n,abs(x));title('magnitudine');xlabel('n'); subplot(2,2,4);stem(n,(180/pi)*angle(x));title('phase');xlabel('n')ntrebri de control:24Fig.261) Enumerai procedeele standarde folosite pentru crearea impulsurilor unitare.2) Descriei sintaxa procedurii de formare a impulsurilor de form triunghiular.3) n ce mod se poate de creat un ir periodic de impulsuri dreptunghiulare?4) Scriei setul de comenzi pentru crearea unei oscilaii periodice cu forma dinte de ferestru, perioada 0,2s n intervalul 0-1s.5)Descriei sintaxa procedurii pulstran.6) Scriei setul decomenzi pentrucreareanintervalul t=0-2sa oscilaiei( ) ( ) t t y 2 cos 2 4 sin 5 . 0 + + .7) Scriei setul de comenzi pentru crearea exponentei discrete ( ) ( ) n n x 3 . 0 exp n intervalul10 0 n .Lucrare de laborator nr.225CERCETAREA SPECTRELOR SEMNALELOR2.1. Scopul lucrrii:Analiza i sinteza semnalelor periodice i aperiodice.2.2. ndrumri metodice2.2.1. Noiuni generale. Spectrele semnalelor periodice.Unsemnalperiodic S(t)de perioadaT,poate fi dezvoltat n serie Fourier dac satisface condiiile lui Dirichlet. Snt cteva forme ale seriei Fourier: exponenial (complex), trigonometric i armonic. Formeleseriei Fourier i relaiiledecalcul alecoeficienilor snt prezentate n tabelul 1.T21 reprezint frecvena unghiular (pulsaia) fundamental, iar f1=1/T este frecvena fundamental (prima armonic); semai numetei frecvenderepetiieasemnalului periodic.Alegerea limitelor deintegrare nevaluarea coeficienilor seriilor Fourier este arbitrar; esenial este ca integrarea s se fac pe o perioad (de la T/2 la T/2, de la 0 la T etc).Seria Fourier complex d odescompunereasemnalului periodic ntr-o sum de componente elementare de tip exponenial t jke1. Utilizarea ei este comod n problemele teoretice.Dinpunct devedereexperimental intereseaz seria Fourier armonic. Aceasta descompune semnalul ntr-o sum de componente cosinusoidale (sinusoidale) ale cror frecvene snt multipli ai frecvenei fundamentale. Aceste componente se mai numesc armonici. Armonica ntia (k=1) se numete fundamental, A0 reprezint componenta continu a semnalului periodic.26A, -/2 t /20, -T/2 t -/2, /2 t T/2Fig.2 Spectru de amplitudini a semnalului periodic Tabelul 1.Forma seriei Reprezentarea analitic Relaiile pentru coeficieniExponenial (complex) kt jkke C t S1) (+T ttt jkkdt e t STC001) (1Trigonometric + + 11110sin cos2) (kkkkt k b t k aat S +T ttdt t STa00) (120+T ttktdt k t sTa001cos ) (2+T ttktdt k t sTb001sin ) (2Armonic + 11 0) cos( ) (kk kt k A A t S 200aA 2 2k k kb a A + kkkabarctg A, -/2 t /20, -T/2 t -/2, /2 t T/2Fig.2 Spectru de amplitudini a semnalului periodic 27Caracterizareandomeniulfrecvenasemnalului periodic se face prin reprezentarea spectrelor de amplitudini i faze. n acest scop, fiecrei componente Ak i k din dezvoltare i se aloc cte un segment de dreapt (linie spectral) n cele dou spectre, localizate la frecvena componenteii avnd mrimea segmentului proporional cu amplitudinea Ak, respectiv faza k a componentei.Deoarece semnaleleperiodicesnt reprezentateprinsume discrete de semnale elementare, rezult c spectrele de amplitudini i faze vor fi discrete, ca n fig. 1.Dac S(t) este funcie par, adic S(t)=S(-t), atunci: 2 / T01 ktdt k cos ) t ( ST4a,bk=0(4)i seria Fourier n acest caz va avea forma: + 110cos2) (kkt k aat s (5)Dac S(t) este funcie impar, adic S(t)=-S(-t), atunci:A, -/2 t /20, -T/2 t -/2, /2 t T/2Fig.1 Spectrele de amplitudini i fazef12f13f14f101234ff12f13f14f10AA1A2A3A4Fig.2 Spectru de amplitudini a semnalului periodic 28ak=0, 2 /01sin ) (4Tktdt k t STb (6)iar seria Fourier va avea forma: 1 k1 kt k sin b ) t ( S(7)Teoretic spectrele semnalelor periodice se ntind de la f=0 la f=. Practic, spectrele snt limitate din cauza de descretere a amplitudinilor, permindu-ne s limitm seria la un termen, ncepnd cu care amplitudinea componentelor este neglijabil. Trunchierea seriei la un anumit termen depinde de cerinele impuse tipului de comunicaie care utilizeaz semnalul respectiv. Prin urmare analiza spectral a unui semnal ne permite s stabilim limea benzii de frecvene efectiv ocupat de semnal.n teoria telecomunicaiei o deosebit importan o au semnalele periodice sub form de succesiuni de impulsuri dreptunghiulare. n lucrarea de fa ne vom ocupa de determinarea teoretic i experimental a spectrului de amplitudini al semnalului periodicreprezentat prinsuccesiunedeimpulsuri dreptunghiulare (fig. 2) cu amplitudinea A, perioada T i durata . Pe intervalul de o perioad,_

2,2T T acest semnal se descrie prin expresia:A, -/2 t /20, -T/2 t -/2, /2 t T/2S(t)=Fig.2 Spectru de amplitudini a semnalului periodic 29Semnalul fiind par, amplitudinile bk din seria trigonometric snt nulei deci Ak=|ak|. Dinpunct devedere al spectrului de amplitudini nu prezint importanparitatea semnalului, tiut fiind faptul c o deplasare pe axa timpului atrage dup sine doar modificarea fazelor k nu i a amplitudinilor Ak.Utiliznd relaiile din tabelul 1 se gsete:QATAAdtT1dt ) t ( ST12aA2 /2 /2 / T2 / T00 (8)unde Q=T/ este coeficientul de umplere: 2 /2 /12 / T2 / T1 k ktdt k cosTA 2tdt k cos ) t ( ST2a AQkQksinQA 22k2ksinTA 22ksinkA 2111 ,k(1, )astfel, pentru Q=T/=2 relaia (9) devine:Reprezentarea grafic a spectrului de amplitudini normat n acest caz, este dat n fig. 3.1/k pentru k impar0, pentru k par 2sin2sin11kk AAkA, -T/2t T/2S(t)=0,-T/2t /2, /2t T/2A, -T/4t T/4S(t)=0, -T/2t -T/4, T/4t T/230n tabelul 2 snt date exemple de reprezentare a semnalelor n domeniul timp i spectrele lor pentru cteva forme tipice ale semnalelor periodice.A, -T/2t T/2S(t)=0,-T/2t /2, /2t T/2A, -T/4t T/4S(t)=0, -T/2t -T/4, T/4t T/2Fig.3 Spectru de amplitudini normat31Tabelul 2.Nr. Forma semnalului Reprezentarea analitic Coeficienii Fourier1 2 3 41 ak=0) cos 1 (2kkAbk b2k=0; ) 1 2 (41 2kAbk ;k=1, 2, ) 1 2 (41 2kAAk , k=1, 2, 32 a0=A/2; ak=0, k=1, 2, b2k=0; ) 1 2 (21 2kAbk ;k=1, 2, A0=a0/2=A/2; A2k=0-A, -T/2t 0S(t)=A,0t T/20, -T/2t 0S(t)=A,0t T/2A, -T/2t T/2S(t)=0,-T/2t /2, /2t T/2A, -T/4t T/4S(t)=0, -T/2t -T/4, T/4t T/232 ) 1 2 (21 2 1 2 kAb Ak k3QATAa2 20 ; bk=0QkQkTkTkkQATAasin2 sin 2 QATA aA 200QkQkk kQAa Asin2 4a0=A; bk=022sinkkkA a 2 200A aA ; A, -T/2t T/2S(t)=0,-T/2t /2, /2t T/2A, -T/4t T/4S(t)=0, -T/2t -T/4, T/4t T/2332sin2 kkAa Ak k A2k=0; ) 1 2 (21 2kAAk5 ak=0; b2k=02) 1 2 sin() 1 2 (82 21 2kkAbkk=1, 2, ; A0=0; A2k=02 21 2) 1 2 (8kAAk6 a0=A; b2k=0;a2k=0; 2 21 2) 1 2 (4kAak20AA ; A2k=0;At/T, -T/4t T/4S(t)= 4A/T(T/2-t), T/4t T/2, 4A/T(T/2+t), -T/2t -T/42A(t/T+), -T/2t 0S(t)=2A(-t/T,0t T/234) 1 2 (421 2kAAk, k=1, 2, 35Dup cum se vede din formulele tabelei 1 exist aa relaii ntre coeficienii seriilor Fourier:2aA C00 0 k kjk kjb a e A Ck 21k k k k kA C a cos cos 2

k k k k kA C b sin sin 2 (11)2 22k k k kb a C A + kkk kabarctg C ) arg( Mrimea A0se numete componenta continu a semnalului S(t).Mrimile2Aksenumescvalorileefectivealearmonicilor (k>0).Reprezentarea numerelor Ak i k funcie de k1 se numete respectiv spectru de amplitudine i spectru de faz.Puterea semnalului periodic de perioada T este:TSdt t STP2) (1Au loc urmtoarele relaii de tip Parseval:

,_

+ k kkk SAA C P122022(12)Deoarece puterea unei sinusoide este egal cu ptratul valorii sale efective, rezult c puterea unui semnal periodic este suma dintre puterea componentei continue i puterile semnalelor sinusoidale care apar n dezvoltarea sa n seria Fourier armonic.362.2.2. Spectrele semnalelor aperiodice.Semnaleleneperiodicepot fi considerateuncazaparteal semnalelor periodice cnd perioada T tinde la infinit. Fie semnalul periodic oarecare din fig. 2 este constituit din impulsuri f(t) cu durate finite, cesesuccedlaintervaleegalecuperioadaT. Evident, la limita T semnalul periodic fT(t) degenereaz ntr-un impuls f(t).Pentru semnalul periodic se scrie seria Fourier exponenial: nt jnn Te C t f ) ((13)unde =2/T, iar dt e ) t ( fT1dt e ) t ( fT1dt e ) t ( fT1Ct jn2 / T2 / Tt jn2 / T2 / Tt jnT n (14)deoarece n intervalul,_

2,2T Tfunciile fT(t) if(t) sunt identice, iar n afara intervalului precizat f(t)=0. Dac (14) se nlocuiete n (13) rezult: 1]1

nTdt t fTt ft jn t jn -e e ) (1) ( (15)Cnd T, frecvena unghiular se micoreaz foarte mult, astfel csepoatescrie==desteinfinit mic. Totodat, mrimea 37- T / 20T / 2t | |fT( t )f ( t )TFig.4 Semnal periodic analizatn=n corespunde, pentru n=0, 1, 2, , unor puncte echidistante, separate de intervale mici, pe o ax a frecvenei n=n.Deoarece, cnd T, se obine fT(t)f(t),=d, iar parametrulnpoate lua orice valoare pe axa frecvenei, avnd semnificaia unei frecvene curente i suma (15) devine o integral: d dt e t f e t ft j t j1]1

) (21) ((16).Se noteaz a doua integral cu dt e t f Ft j ) ( ) ( (17)i rezult: d e F t ft j) (21) ((18)Funcia F() este transformata Fourier a semnalului f(t); ea este numit uneorifunciaspectralsaudensitatea spectral de amplitudine complex.Relaia(18) exprimsemnalul f(t) caosumcontinude funcii exponeniale avnd frecvenele ( ) , i amplitudinile infinitmici 2) ( d F. FunciaF()estecontinuexistndpentru orice a i se determin prin transformata Fourier direct (17).n general F() este o funcie complex i poate fi scris sub forma de modul i faz:) ( ) ( ) ( ) () ( jB A e F Fj+ (19)) ( Freprezintspectrul de amplitudini, iar() reprezint spectrul de faz.Expresia (17) rezolv problema analizei spectrale a impulsului n sensul c ea efectueaz o trecere din domeniul timp, undeeste definit funcia f(t), ndomeniul frecven unde este conceput spectrul F(). Expresia (18) rezolv problema sintezei 38spectrale a impulsului deoarece ea permite trecerea de la componentele spectraleF() la funcia de timp f(t).Pentru lmurirea sensului fizic al funciei F() relaia (18) se poate rescrie, cel puin aproximativ, sub forma: [ ] nt jn Tne F t f t f ) (21) ( ) ( aproximaia fiind cu att mai buncuctTestemaimare, iareste maimic.Sededucec impulsul f(t) se exprim ca sum de oscilaii armonice. Frecvenele unghiulare ale acestora nnsunt foarte apropiate unele de altele, pe axa frecvenei; amplitudinile sunt egale cu: f F Fn n ) ( ) (21 , dac 21f. Se observ c funcia F(n) sau F(fn) se exprim ca raportul dintre o amplitudine i intervalul de frecven sau f; este deci fireasc denumirea de densitate spectral de amplitudine complexcare se msoar nu n VsauA, ci nV/Hz sauA/Hz. Lalimita Tcomponentele spectrale devininfinit apropiate, eleselipesc uneledealtele, constituind un spectru continuu al impulsului.Trebuie observat c amplitudinea 0 ) (21 nFcnd 0 ; aadar amplitudinea componentei spectrale asociate unui punct anumit al axei frecvenei este nul; amplitudinea ei este nenul numaidacseasociazpunctuluiovecintate orict de mic,dar finit , i se determin amplitudinea ) (21nF corespunztoare acestei vecinti.Funcia F() este o funcie complex i poart informaia ct despreamplitudineatt i desprefazasinusoidelor elementare. Folosind formula lui Eulert j t et j sin cos + se poate scrie tdt cos ) t ( f ) ( A; tdt sin ) t ( f ) ( B(20)39Modululiargumentul densitii spectralesedetermincu expresiile ) ( B ) ( A ) ( F2 2 + (21)) ( A) ( Barctg ) ( (22)Relaia (21) exprim caracteristica amplitudine-frecven (CAF), iar (22) caracteristicafaz-frecven(CFF) al spectrului continuu al semnalului neperiodic.Ca i pentru seria Fourier ) ( F este funcie par, iar ) ( este o funcie impar a frecvenei. Din aceasta rezult c relaia (18) poate fi transformat la forma trigonometric: + + 0d ) t cos( ) ( F1d ) t cos( ) ( F21) t ( f(23)Din relaia (23) rezult c spectrul semnalului poate fi considerat fie pe ntreaga ax a frecvenei ntre ( ) ,, fie c el este definit numai pentru frecvenele 0 ; n acest al doilea caz densitatea spectral este dubl fa de cea din cazul anterior.Sepoateremarcacla 0 , F(0)= dt t f ) ( ariasub curba f(t).Aadar, pentru orice semnal f(t) densitatea spectral F() la frecvena nul e egal numeric cu aria semnalului.2.2.3. Legtura dintre spectrele impulsului i succesiunii periodice a impulsurilorFie este dat un impuls x(t) i densitatea spectral a lui X() reprezentate respectiv n fig. 5.40La repetarea periodic a impulsurilor cu perioada T se obine semnalulperiodicprezentatn fig.5b(stnga).Spectrul discret al acestei succesiuni e prezentat n partea dreapt a fig. 5b.Coeficientul Cn a armonicii n n corespundere cu (14): 0 0) (1) (1dt e t xTdt e t xTCt jnTt jnn(24)unde =2/T.Densitatea spectral a impulsului simplu la aceiai frecven =n, innd cont durata finit va fi egal: 0) ( ) ( dt e t x n Xt jn(25)Din comparaia relaiilor (24) i (25) rezult c are loc relaia simpl:) (1 n XTCn; nC T n X ) ((26)iar amplitudinea armonicii ) (22 XTC An n .Deci modulul densitii spectrale a impulsului singur i anvelopaspectrului discret asuccesiunii periodice, obinuteprin repetarea impulsului dat coincid dup form i se deosebesc numai cuoscar. Aceastaesteilustratnfigura5b, ncareprinlinie 41Fig. 5.punctat a fost trasat modulul) 2 (1f XT, iar cu linie plin au fost indicate amplitudinile componentelor semnalului periodic.Relaiile(26) permit deacalculacoeficienii Cnaseriei Fourier din densitatea spectral) ( n Xi invers. Ele arat deasemenea c dac coeficienii Cn se msoar n V, sau A atunci X() se msoar respectiv n V*s sau V/Hz etc.2.2.4.Sinteza semnalelor.Problema sintezei semnalului este invers problemei de analiz. De exemplu, pentru semnalul periodic S(t) dat problema de analiz const n determinarea coeficienilor seriei Fourier, sau altfel spus amplitudinilor, frecvenelor i fazelor armonicilor. Problema de sintez const n determinarea formei semnalului S(t) dup valorile coeficienilor seriei Fourier. Dac sunt cunoscui parametrii funciei Fourier Ak,k=k1,krestabilirea formei semnalului poate fi efectuat prin calculul sumei finite a seriei: + + M1 kk 1 k 0) t k cos( A A ) t ( S(27)n punctele dorite tipe axa timpului t. Pentru semnal periodic acest calcul seefectueaznumai peinterval deoperioad. Eclar c restabilirea formei S(t) va fi cu att mai corect, cu ct mai mare este numrul Mal armonicilor considerate i cuatt mai mic este distana dintre punctele ti nvecinate. Deobicei punctele ti se plaseaz peaxatechidistanate cu pasul Td T/(5M), unde T este perioada semnalului.2.2.5. Transformata Fourier discret (TFD).TFD este folosit n implementarea multor algoritmi de prelucrare numeric a semnalelor. Pe baza TFD a fost elaborat 42algoritmul transformrii Fourier rapide (TFR), procedeu esenial n utilizarea calculatorului electronic n probleme de analiz spectral a semnalelor (n limba englez FFT, Fast Fourier Transform.).La TFD semnale analizate se consider numai pe o mulime finitapunctelor peaxeletimpuluiifrecvenei.De exemplu,un semnal x(t) cu durata finit se descrie prin secvena eantioanelor xn=x(nTd) adic valorilor semnalului luate n momentele echidistanate de-alungul axei detimpcupasul dediscretizare (eantionare) Td (fig. 6a). Intuitiv este clar c pasul de eantionare Td trebuie s fie destul de mic pentru prezentarea corect a variaiilor rapide posibile a semnalului. n teorema de eantionare a lui Kotelnikov-Shannon se arat c dac semnalul x(t) are spectrul X() limitat la frecvena maxim fS atunci pasul de eantionare trebuie s fie ales din condiia: Td1/2fS(27), numit condiia lui Nyquist.Fiesemnalulx(t)serepetperiodiccuoperioadT=NTd. Semnalul discret xndat pe segmentul [0,T] cu eantioanele sale x0, x1, , xN-1 luate n momentele corespunztoare de timp 0, Td, , (N-1)Tdcunumrultotal al eantioanelor N=T/Td. Dac acest semnal discret se repet periodic (fig. 6b) atunci se poate arta c spectrul lui va fi discret ca pentru orice semnal periodic i n acelai timp va fi periodic pe axa frecvenelor din cauza discretizrii n timp.Coeficienii Ck Fourier corespunztoare semnalului discret xn se determin din relaia 10/ 21NnN kn jn ke xNC, k=0, 1, , N-1 (28a)numit TFD direct.43Existi TFD inverscare permite de a determina valorile eantioanelor xn din valorile coeficienilor Ck:10/ 2NkN kn jk ne C x(29a)n literatura de specialitate, n afar de formulele (28a) i (29a) se folosesc i alte definiii:10/ 21NnN kn jn ke xNC(28b)1 N0 kN / kn 2 jk ne CN1x (29b)1 N0 nN / kn 2 jn ke x C (28c)10/ 21NkN kn jk ne CNx(29c)4400Td2 TdT - T1 2 3Ta )b )x ( t )XT( t )Fig.6aceste deosebiri nu sunt principiale.n lucrarea dat va fi folosit definiia (a).Coeficienii Ckreprezint componentele spectrale X(k). Forma tipic a spectrului X(k) este dat n fig. 7, din care se vede c el are caracter discret i periodic cu perioada Nf=1/T. Distana ntre componentele spectrale f=1/T=1/N*Td.Vom descrie cteva proprieti ale spectrului Xk:1) Numrul coeficienilor diferii Ck=X(k): C0, C1, , CN-1, calculat dupformula(28a) esteegal cunumrul Naeantioanelor pe perioad; la k=N coeficientul CN=C0.2) Coeficientul C0=X0(componenta continu) este valoarea medie a tuturor eantioanelor1 N0 nn 0xN1C45Fig.7a )01 2 ( N - 1 )x ( n )b )0x ( t )tc )0x ( t )t1Td )0t1Tx1( t )Fig. 8.3) Dac N este numr par atunci 1 N0 nnnx ) 1 (N1C2N4) Dacx(t)esteunsemnalreal, atunci coeficienii numerelede ordine ale crora sunt poziionate simetric fa de N/2 sunt complex conjugate Ck=C*N-k.Deaceeasepoateconsideraccoeficienii Cn/2+1, , CN-1 corespund frecvenelor negative. La cercetarea spectrului de amplitudini ele nu dau informaia nou. Au loc aa relaii:Re[X(k)]=Re[X(N-k)], Im[X(k)]=-Im[X(N-k)];|X(k)|= |X(N-k) |, arg X(k)=-argX(N-k) (30)46Relaiile (30) arat c este suficient de a calcula componentele spectrale numai pentru k=0, , N/2. Celelalte pot fi determinate din proprietile de simetrie. Din condiia X(N/2)=X*(N/2) rezult c X(N/2) este ntotdeauna un numr real. Aceasta este valabil i pentru X(0).Dac pasul de eantionare Td este ales suficient de mic pentru pstrarea informaiei coninute n semnalul x(t) atunci totalitatea N a coeficienilor spectrali X(k) reflect corect informaia despre spectrul X() al semnalului continuu x(t). innd cont de relaia (26) densitatea spectral X() a semnalului continuu la frecvenele k=k*2/T se determin prin relaia X(k)=TCk.Pentruevaluareacucalculatoarea(28), (29)suntelaboratemulte algoritme efective cunoscute sub denumirea general a algoritmilor de transformare Fourier rapid (TFR) care micoreaz esenial numrul total al operaiilor aritmetice necesare. Ca regul algoritmii TFRnecesitca numrulN a eantioanelor s fie egal cu puterea ntreag a numrului 2, adic N=2m(2, 4, 8, 16, ). Aceast restricie nu este prea esenial. n caz de necesitate semnalul dat Xn poate fi complectat ntotdeauna cu cteva eantioane nule pentru a cpta numrul total N al eantioanelor pn la valoarea ce satisface condiiaN=2m. Dac semnalul x(t) areodurat lungseaplic tehnica nmulirii semnalului cu diverse ferestre w(t) adic n loc de x(t) se consider semnalul x1(t)=x(t)*w(t). Fereastra dreptunghiular(fig. 8) esteceamai simpl, dar, pentruevitarea apariiei fenomenului Gibbsseutilizeazi ferestremai evoluate (Hann, Hanning etc).2.3. Analiza spectral a semnalelor cu ajutorul sistemului MATLABMATLAB este un sistem de modelare matematic a diferitor procese i sisteme, ce include de asemenea, mijloacele bine dezvoltate ale analizei spectrale a semnalului. n lucrarea de fa se vor analiza doar cteva din aceste mijloace.Cel mai simplumoddeutilizareaMATLAB-ului pentru calculul spectrelor este utilizarea lui ca calculator pentru calculul spectrelor dup expresiile analitice gata, obinute din analiza 47teoretic. De exemplu, este necesar de calculat i de construit graficul spectrului impulsului dreptunghiular cu amplitudinea A=1, durata T, situat simetric fa de t=0 (fig.9). Este cunoscut c spectrul unui astfel de semnal se descrie de expresia: ( )( )2 T2 / T sinT X ;( ) ( ) fT TSa f X ;Pentru calculul graficului spectrului poate fi utilizat urmtorul program: f=-10:0.1:10; T=1; x=pi*T*f+0.001;% Adugareavalorii foartemici 0.001estenecesarpentru excluderea mpririi la zero n calculele urmtoare la f=0 y=Sa(x);plot(f,y);gridO mult mai mare importan o are utilizarea MATLAB-ului n calculul numeric al spectrelor, bazate pe utilizarea procedurilor, realizate n MATLAB, ale + -transformatei Fourier discrete(TFD), realizate pe baza unor algoritme foarte efective ale transformatei Fourier rapide(TFR, FFT Fast Fourier Transform).Adresarea la aceste proceduri are forma:y=fft(x)y=fft(x,n)x=fft(y)4810 T/2 -T/2tFig.9 Semnal dreptunghiularx=fft(y,n)Grupa funciilor fftcalculeaz TFD a succesiunilor date de vectorul x, ce se determin de relaia:( ) ( )( ) + +1 N0 nN / kn 2 je 1 n x 1 k yunde N=length(x) lungimea vectorului x, folosind algoritmul TFR. Dac x este o matrice, se calculeaz transformata fiecrei coloane.Cel mai efectiv, adic cu cel mai mic numr de operaii, i implicit timp de calcul, algoritmul TFR lucreaz atunci cnd m2 N , undemunnumr ntreg. Ctigul ntimpul decalcul dupalgoritmul TFR, nacest caz, nraport cualgoritmul clasic TFD poate atinge valoarea:N logN 21TT2TFDTFRi pentru N foarte mare poate fi destul de important.Dac m2 N , atunci se utilizeaz descompunerea lui N n factori i realizarea TFR nu n baza 2, ci n alte baze. Aceasta duce la creterea cheltuielilor i a timpului de calcul. Cea mai defavorabil situaie este atuncicnd N este numr prim i nu poate fi descompus n factori. n acest caz se utilizeaz un algoritmul obinuit de calcul alTFD dup formula (31), ce necesit 2N operaii aritmetice n loc deN log2N2pentru algoritmul TFR, cu condiia c m2 N . Ca rezultat volumul calculelor, la lungimea masivului N=1024, va fi mult mai mic dect la valorile lui apropiate N=1019 sau 1013.de aceea uneori este mai convenabil de a completa masivul disponibil de date cu dimensiunea m12 N cu un numr oarecare de zerouri, astfel nct m2 N (zero padding).La comanda y=fft(y) se calculeaz TFDdin Npuncte, independent de lungimea adevrat a masivului x. Dac length(x)n, elementele n plus se terg.49Funcia x=ifft(y) calculeaz TFR invers consecutivitii date n vectorul y n corespundere cu expresia:( ) ( ) ( ) ( ) + + +1 No kN kn 2 j exp 1 k y N 1 1 n x(32)undeN=length(x). Trebuiederemarcat faptul cscrierea formulelor pentru TFD direct (31) i pentru TFD invers (32) se deosebetedeceaacceptat nliteratur dincauzacindexarea masivelor n MATLAB se ncepe de la 1 i nu de la 0. Dac y este matrice, atunci fiecare coloan se transform separat.Funciax=ifft(y,N) efectueazTFRinversdinNpuncte. Dac length(y) length(y), elementele de prisos se elimin. Transformata invers se efectueaz dup acelai algoritm ca i pentru funcia fft.Pentru prezentarea graficelor spectrelor semnalelor n form obinuit, cudeplasarea frecvenei nulencentrul spectrului, se utilizeaz regruparea masivului de ieire al transformatelor Fourier, efectuat n MATLAB cu ajutorul comenzii:y=fftshift(x).Dac xvector, se efectueaz reamplasarea ciclic a jumtilor dindreaptai dinstnga. Vomforma, deexemplu, vectorul x: x=[1,2,3,4,5,6];i vom efectua reamplasarea ciclic: y=fftshift(x)y = 4 5 6 1 2 3Trebuiederemarcat c, nvirtuteaperiodicitii funciilor exponeniale exp(j2kn/N) n (31) cu perioada N, periodice sunt de asemenea elementele masivului transformatei Fourier y, adic ym=ym+N.n afar de aceasta, dac x este masivul valorilor unui semnal real, atunci exponentele masivului y satisfac condiia simetriei complex-conjugate, adic*m m Ny y . Aceasta permite de a micora de dou ori numrul elementelor calculate ale masivului: y0, 50y1,...,yN/2,deoarece elementele rmasepot fi gsite din condiia de simetrie.Vom ilustra proprieti prin exemple: x=[1,1,0,0]; y=fft(x)y = 2.0000 1.0000 - 1.0000i0 1.0000 + 1.0000iMasivele x i y au dimensiunea N=4. Deoarecex este masiv real, atunci masivul y satisface condiia conjugrii complexe a elementelor de forma:*m N my y ,m=0,1,2,...,( ) ( ) par N2Nsau impar N21 N ,la enumerarea elementelor masivului ncepnd cu zero, adic 0,1,...,N-1, sau condiia simetriei elementelor de forma:m 2 N my y +,m=1,2,...,( ) ( ) par N2Nsau impar N21 N ,la indexarea elementelor acceptat n MATLAB ncepnd cu 1:1,2,...,N.Urmtorul exemplu arat c la mrirea lungimii masivului x i utilizarea funciei fft(x,N), cuaceeai valoare N=4, rezultatul transformrii va fi acelai. x=[1 1 0 0 3]; y=fft(x,4)y = 2.0000 1.0000 - 1.0000i0 1.0000 + 1.0000i Un rezultat analogic se obine i la folosirea comenzii: x=[1 1]; y=fft(x,4)51Vomanaliza posibilitatea folosirii TFDpentru calculul spectrului semnalului periodic x(t) cuperioada T, care poate fi reprezentat sub forma unei serii Fouriercomplexe:( ) ( )( ) mt m j1e m C t xunde amplitudinile complexe C(m) se calculeaz dup formula:( ) ( ) ( ) 2T2Tmt f 2 j2T2Tt jmdt e t xT1dt e t xT1m C1 1(33)n aa fel, spectrul de frecven al semnalului periodic const din frecvene multiple frecvenei de baz f1=1/T, adic din frecvenele fm=m f1 (m=0,1,2...).Prilerealei imaginarealeCmformeaz, corespunztor, spectre reale i imaginare de oscilaie. Dac amplitudinea complex Cmo vom prezenta sub forma exponenial mjmme2AC , atunci mrimea Amvareprezenta amplitudinea componentei armonice cu frecvena fm=m f1, iar mfaza iniial, adic x(t) poate fi reprezentat, deasemenea, subaspectul aanumitei formearmoniceairului Fourier:( ) ( ) + + 1 mm 1 m 0t mf 2 cos A A t x (34)Pentru semnalele reale x(t) sunt adevrate relaiile:( ) { } ( ) { } m C Re m C Re ( ) { } ( ) { } m C Im m C Im ( ) ( ) m C m C m m undeprilerealealespectrelor i amplitudinilespectrelor sunt funcii pare de frecven, iar prile imaginare spectrele fazei funcii impare.La calculele numerice a amplitudinilor spectrale Cm, semnalul x(t) dat n diapazonul de timp (-T/2, T/2) sau (0, T) trebuie 52s fie dat de valorile sale ntr-un numr limitat de puncte. n acest cazintegrareasenlocuieteprinsumarei integraladin(31) se reprezint aproximativ prin suma de forma:( )

,_

,_

1 N0 m1 N0 mm kNkm 2j exp xN1T2 t kmj exp t m xTtC(35)unde se presupune c T=Nt, tpasul de discretizare a x(t).Comparnd (35) cu forma general de scriere a TFD:,Nkm 2j exp x X1 N0 mm k

,_

k=0,1,...,N-1 (36a)

,_

1 N0 kk m,Nkm 2j exp XN1xm=0,1,...,N-1 (36b)se poate de conchis c amplitudinile complexe Ck sunt legate de elementele corespunztoare ale masivului TFD directe (36a) prin relaia:k kXN1C Aici, ns, trebuie de fcut o remarc important. Seria Fourier are n caz general un numr infinit de termeni. Din formula (36a) n virtutea proprietilor periodicitii (cu perioada N) i proprietilor simetriei complex conjugate a elementelor *k N kX X pentru semnalele reale se poate de determinat coeficienii Ckdoar pentru2 N k (pentru N par) i ( ) 2 1 N k (pentru N impar). Pentru a determina coeficienii Ck pentruunnumr mai maredearmonici estenecesar deamri numrul Nde eantioane a semnalului luate pe o perioad de oscilaie T. Dac este necesar de calculat M armonici atunci numrul se alege din condiia M2N, sauM 2 N . Aceast condiie poate fi prezentat i n alt form. Dacfrecvena maxim a spectrului calculat este egal cu fm=Mf1=M/T,atunci frecvena de discretizare t1fs se alege din condiia: 53M 2fftTN1s (38)saum sf 2 f cecorespundecunoscutei condiii ateoremei Kotelnicov-Shannon. Aceastaaducelaconcluziacpasul dediscretizaret trebuie s fie nu mai puin de dou ori mai mic ca perioada componentei spectrale cu frecvena cea mai nalt, adic TM2 t . n caz contrar este posibil distorsionarea spectrului calculat din cauza efectului de suprapunere (alising effect).Urmtoarearemarcsereferlaintervalul deobservarea semnalului x(t). Nu-i obligatoriucaacest interval sfieegal cu perioadaoscilaiei debazT=T1cumsepresupuneamai sus, dar poate fi ales i mai mare, ns astfel nct s conin un numr ntreg de perioade ale oscilaiei de baz, adic T=lT1, unde l este un numr ntreg. n acest caz frecvenele armonicilor semnalului analizat:s11 kfNklt NklTklTkkf f vorintra nsubmulimea frecvenelor n care se calculeaz TFD.Dacnsl=T/T1nuesteunnumrntreg, atunci calculul spectrului efectivserealizeazpefrecvenelecenucorespundcu frecvenele adevrate ale armonicilor, ceaducela distorsionarea formei spectrului, aa numitei ntinderi a spectrului(leakage-effect). n acest caz, chiar i la calculul spectrului unei oscilaii monotone, spectrul care conine doar o component discret, n spectrul calculat vorapreaunirdecomponentesuplimentarefalse. nfig.10, n calitate de material ilustrativ, este prezentat spectrul oscilaiei sinusoidale cu frecvena f=200Hz la frecvena fs=800Hz(fs/f=l=4) i a oscilaiei cu frecvena f=130Hz la fs=800Hz(fs/f=6,2).

54200a)f, Hzf, Hz100150b)Fig.10200a)f, Hzf, Hz100150b)nacelecazuri, cndperioadaoscilaiei analizatenueste cunoscut din timp i de aceeaintervalul de analiz se alege egal cu T, care poate i s nu satisfac cerinelor impuse, se recomand de a seutilizafuncii depondere(ferestredepondere) w(t)lacarese nmuleteprocesul analizat x(t) naintedeaseefectuaoperaia TFD. Printre cele mai cunoscute pot fi menionate funciile de pondere Hamming, Hann, Cebev, Kaiser, Bartlett, etc.Acumvomanalizaposibilitatea folosirii TFDncalculul spectrelor semnalelor neperiodicex(t). Dupcumsetiespectrul X() a unor astfel de semnale se determin din transformata Fourier: ( ) ( ) ( ) dt t j exp t x X; (39a)( ) ( ) ( ) d t j exp X21t x(39b)La calculele numerice se poate opera doar cu procese de o durat T limitat, i anume nsui procesul n intervalul dat de timp trebuiesfiedatdevalorilesalentr-unnumrlimitat depuncte N=T/t, unde t pasul de calcul dup timp. n acest caz integrarea n (39a) pe interval finit Tse nlocuiete prin sumare,iar calculul spectrului se efectueaz nupe omulime continu, ci pe o mulime limitat de frecvene, care conine N frecvene k=k sau fk=kf, undef=fs/N=1/Nt=1/T, iar k=0,1,...,N-1. Acceptnd notarea xm=x(mt) formula (39a) poate fi scris sub forma:( )k1 No mmX tNkm 2j exp x t f k X

,_

,k=0,1,...,N-1 (40a)55Fig.10. Spectrul oscilaiei sinusoidale la 200Hz (a) i 130Hz(b) unde Xk TFDa irului xmscris n forma (36a). La indexarea masivelor acceptat n MATLAB, ncepnd nu cu 0, ci cu 1, expresia (40a) poate fi transcris n alt form echivalent:( ) [ ] ( ) [ ]( ) ( );N1 m 1 k 2j exp t 1 m x t f 1 k XN1 m

,_

k=0,1,...,N(40b)Dac vom notat prin Ts, vom introduce notaia x(m)=xm=x[(m-1)t], i avndnvederecnumrul depuncten careestedefinitacest proceseste egalcuN=T/Ts=1/fTs, atunci (40b) poate fi reprezentat ca:( ) [ ]k sX T f 1 k X k=0,1,...,Nunde Xk TFD a irului xm n forma acceptat de MATLAB (37).Din (40) rezult c prin procedura fft MATLAB gsete imaginea Fourier discret a semnalului x(t) dat discret n timp, raportat la Ts. Pentru a folosi procedura fft cu scopul de a obine prezentarea semnalului n domeniul frecven reieind din reprezentarea lui n domeniul timp este necesar de a efectua urmtoarele:1) DupvaloareaaleasaluiTsssecalculezemrimea Fmax a gamei de frecvene(n Hertzi) dup formula:Fmax=1/ Ts2) Dup durata dat a procesului T s se calculeze df dup formula: df=1/T3) Dup valorile calculate s se formeze vectorul valorilor frecvenelor n care se va calcula imaginea Fourier, de exemplu, n forma:f=0:df: Fmaxn rezultatul utilizrii procedurii fft se va obine valoarea vectorului XkTFD a succesiunii xm dat n domeniul timp. Pentru a obine spectrul este necesar de a mai efectua urmtorii pai:561) Rezultatele aciunii procedurii fft trebuiesc nmulite cu factorul Ts i supuse aciunii procedurii fftshift, care schimb cu locurile prima i a doua jumtate a vectorului obinut.2) S se reconstruiasc vectorul frecvenelor dup algoritmul:f=-Fmax/2:df:Fmax/2Afiarea graficelor spectrelor discrete ale semnalelor periodice este mai binede efectuat cucomanda MATLAB-ului stem(...), iar aspectrelor continuealesemnalelor neperiodicecu comanda plot(...). 2.4. Lucru pentru acas1. Dup literatura recomandat, conspectul leciilor i materialele acestui ndrumar s se fac cunotin cu metodele de calcul i particularitile spectrelor semnalelor deterministe.2. S se efectueze calculul spectrului unuia din semnalele tipice date.2.5. Sarcina de laborator2.5.1. S se efectueze calculul spectrului discret a succesiunii periodice de impulsuri dreptunghiulare cu ajutorul programului fourier2, sintaxa creia are forma:fourier2(0,N,1)unde0=/T=1/Q durata relativ a impulsurilor; N numrul armonicilor calculate. Se recomand valorile pentru calcul: 0=0.1; 0.2; 0.5; N=50. Calculul amplitudinilor i fazelor armonicelor se efectueaz dup relaiile:( )0 k0 k sin0 2 C 2 Ak k ( )

,_

,_

0 k0 k sinsign 12kcu presupunerea c amplitudinea impulsurilor A=1.57Cercetai cum influeneaz durata relativ0 asupra spectrului. Pentruaceastaanalizai rezultatelecalculului spectrelor cu programul fourier2 pentru diferite valori0: 0.1;0.2; 0.5 i de asemenearezultatelecalcului spectrelor pentrutrei valori0: 0.1; 0.05; 0.01, afiate pe ecran cu comanda fourier3.2.5.2.S se cerceteze procedura de sintez a semnalului de tip meandru dup numrul limitat al primelor n armonici a acestui semnal. Sseconvingdefaptul c, cucreterealui ncalitatea aproximaiei se mbuntete. Remarcai prezena oscilaiilor n vecintatea salturilor de semnal, legate cu aa numitul efectul Gibbs, ce apare la tierea seriei Fourier. Cercetarea se efectueaz cu ajutorul programului gibbs1 adresarea la care are forma:gibbs1(n,1)undennumrul dearmoniciconsiderate (serecomand valorile n=2, 5, 10).Cu ajutorul programului gibbs2 s se afieze pe ecran concomitent trei oscilograme ale semnalului sintetizat la n=2, 10, 20. 2.5.3. Analiza spectrelor semnalelor poliarmoniceVom analiza ca exemplu semnalul ce const din trei oscilaii armonice cu frecvenele 1, 2 i 3Hz i amplitudinile corespunztor 3, 1 i 4.y(t)= 3cos(2t)+ sin(4t)+ 4cos(6t)Vomafia graficele a nsui semnalului, a spectrului de amplitudine (modulul spectrului) i de asemenea a prilor reale i imaginare ale spectrului. Ts=0.01;T=100;t=0:Ts:T; y=3*cos(2*pi*t)+sin(4*pi*t)+4*cos(6*pi*t); plot(t,y);grid58 Fig.11Fig.11Aflm modulul spectrului acestui semnal: df=1/T;Fm=1/Ts;len=length(t); f=-Fm/2:df:Fm/2;x=fft(y)/len; xs=fftshift(x); A=abs(xs);s1=len/2-500;s2=len/2+500; stem(f(s1:s2), A(s1:s2));grid xlabel('frecventa(Hz)');ylabel('Modulul')n rezultat se obine modulul spectrului complex, ce corespunde formei complexe a seriei Fourier cu coeficienii 2 A Ck kde dou ori mai mici ca amplitudinile reale Ak, deoarece ele sunt distribuite egal ntre eantioanele pozitive i cele negative. Pentruconstruciaspectrului defazestesuficient c operatorul calculului modulului A=abs(xs) s-l schimbm cu operatorul calculului unghiului de fazP=angle(xs)cuschimbrile corespunztoare noperatorii deafiare a graficelor stem i ylabel.59Fig.11Fig.12Fig.12Evideniempartea real i cea imaginar ale spectrului complex: Re=real(xs);Im=imag(xs); s1=len/2-500;s2=len/2+500; subplot(2,1,1) plot(f(s1:s2),Re(s1:s2));grid ylabel('Partea reala') subplot(2,1,2) plot(f(s1:s2),Im(s1:s2));grid ylabel('Partea imaginara')Dup graficele obinute se poate judeca nu doar despre frecvenele i amplitudinile, dar i despre fazele unor armonici separate.2.5.4.Analizai posibilitateaapariiei nspectrul calculat a componentelor spectrale false la alegerea incorect a frecvenei fs de discretizare a semnalului (efectul de suprapunere sau alising effect). Dac semnalul armonic cu frecvena fm se eantioneaz cu frecvena fs, atunci n spectrul semnalului discret calculat dup TFR(TFD) vor aprea componentecufrecvena( ) ,... 2 , 1 , 0 k kf f fs mt t + . Pentru anumite valori ale lui k i fm> fs n spectrul calculat n gama de la 0 la fs pot aprea componente false. De exemplu la fm=4300Hz i fs=1000Hz la k=-4 apare o component fals cu frecvena 300 1000 4 4300 f Hz, iar la k=-5 componenta cu frecvena 60Fig.13700 1000 5 4300 f Hz i cu faza opus fazei iniiale la frecvena 700Hz, care de asemenea este fals.Cu ajutorul programului fourier4 privii graficele semnalelor cufrecvenele f1=100Hz, f2=4300Hz i frecvena de discretizare fs=1000Hz, i de asemenea spectrele sumei acestor semnale. Graficul spectrului ilustreaz c n afar de componentele reale cu frecvenele de 100,1000-100=900Hz sunt dou componente spectrale false cu frecvenele 300 i 700Hz, ce lipsesc n semnalul de intrare. Pentru eliminarea efectului desuprapunereaspectrelor este necesar ca frecvena de discretizare s satisfac condiia m sf 2 f , unde fm frecvena maxim n spectrul semnalului analizat.2.5.5.Cu ajutorul programului fourier5 s se efectueze calculul spectrelor semnalelor armonice cu frecvenele f1=130Hz i f2=200Hz, utiliznd intervalul de observare T=50ms i frecvena de discretizare fs=800Hz. Deoarece pentru primul semnal intervalul de observare conine un numr fracionar de perioade m1=Tf1=6.5 se observefectul, amintit mai sus, dentindereaspectrului(leakage effect). Pentru al doilea semnal, la care m2=Tf2=10, acest efect lipsete. Este artat de asemenea influena utilizrii funciei Hanning cu scopul micorrii influenei acestui efect.2.5.6.S se genereze unsemnal subunui impuls unitar dreptunghiularcuamplitudineaA=0.8i limea w=0.5s.Vomda pasul de discretizare Ts=0.01s, iar durata analizei T= 1s. Ts=0.01;T=1; A=0.8; w=0.5;N=T/Ts;t=0:Ts:T; y=A*rectpuls(t,w); plot(t(1:100),y(1:100)); grid61Fig.14Vomaplica procedura fft la vectorul yi vomconstrui graficul modulului rezultatului de frecven. x=fft(y)/N;df=1/T;Fm=1/Ts; f=0:df:Fm;a=abs(x); stem(f,a);gridGraficul spectrului din figura 15 este prezentat n intervalul defrecvenedela0lafs. Pentruconstruciagraficuluimodulului spectrului n form obinuit, n gama de frecvene de la -fs/2 la fs/2 utilizm comenzile xp=fftshift(x);f1=-Fm/2:df:Fm/2; a=abs(xp);stem(f1,a),grid;xlabel('Frecventa, Hz');ylabel('Modulul')62Fig.16Fig.15Fig.15Vom construi graficele prilor reale i imaginare ale imaginii Fourier a impulsuluidreptunghiular: Re=real(xp);Im=imag(xp); plot(f1,Re,f1,Im),grid xlabel('Frecventa, Hz') ylabel('Partea reala si imaginara')2.5.7. S se calculeze i s se construiasc graficele spectrului semnalului periodic ales la recomandaiile profesorului.2.5.8. S se calculeze i s se construiasc graficul spectrului semnalului neperiodic ales la recomandaiile profesorului.63Fig.17ntrebri de control1. Cum apare noiunea de frecven negativ?2. Ce caracter au spectrele semnalelor neperiodice?3. Cum se calculeaz amplitudinile i fazele spectrelor semnalelor neperiodice?4. Cum se schimb spectrul unei succesiuni periodice de impulsuri la schimbarea perioadei impulsurilor?5. Cum se schimb spectrul unei succesiuni periodice de impulsuri la schimbarea duratei impulsurilor?6. Ce caracter are spectrul semnalului neperiodic?7. Ce particulariti are densitatea spectral a semnalului real?8. n ce const particularitatea spectrului impulsului delta?9. Care este legtura dintre durata impulsului i lrgimea spectrului su?10. Cum sunt legate ntre ele densitile spectrale ale impulsurilor radio i video?11. n ce const asemnarea i deosebirea spectrelor semnalelor discrete i analogice?12. n ce const i cum se manifest suprapunerea spectrelor la discretizarea semnalului?13. Din ce condiii se alege frecvena de discretizare a semnalului analogic?14. Prezentai relaiile de calcul a TFD directe i inverse?15. Prezentai relaiile pentru transformata Fourier direct i invers?16. Descriei posibilitile de baz a utilizrii sistemului MATLAB n analiza spectral a semnalelor?BIBLIOGRAFIE1. . , MATLAB 5.x,K.,2000642. . . , . . , MATLAB 5 , . 19993. . , . , MATLAB. . , , 20024. Signal processing Toolbox. Users Guide, The MATHWORKS Inc, 1999. 5. . , . .,19886. . . , . .,19867. Iu. Lazarev, MATLAB 5.X, Kiev, 2000CUPRINS:Lucrare de laborator nr.1FORMAREA SEMNALELOR CONTINUE I DISCRETE N SISTEMUL MATLAB.....................................................................3Lucrare de laborator nr.2CERCETAREA SPECTRELOR SEMNALELOR........................26BIBLIOGRAFIE............................................................................6565