teoria sistemelor

Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II - 2014/2015 154

.3.4. Puncte i domenii de echilibru ale sistemelor Punctele i domeniile de echilibru ale sistemelor corespund situaiei n care starea sistemului x(t) nu se mai modific n timp. n acest context spunem c sistemul se gsete ntr-o stare de echilibru sau ntr-un punct de echilibru, procesele de acumulare asociate variabilelor de stare fiind n regim permanent constant. Instrumentul de determinare a acestor puncte este cunoscut: calculul sistemelor n regim permanent constant (.3.2). n cele ce urmeaz se arat cum se determin punctele de echilibru i cum se discut existena lor.

Fie sistemele

t)u(t),g(x(t),y(t)),[t t, x)x(t,t)u(t),f(x(t),(t)x 000 (3.66)

i

t)u[t],g(x[t],y[t]t t, t, x]x[t,t)u[t],f(x[t],1]x[t 000 . (3.67)

O stare xe = const. reprezint un punct de echilibru al unuia dintre aceste sisteme n condiiile aplicrii unui semnal de intrare u() dat 1) dac sistemul are proprietatea c odat ce atinge starea xe el rmne n continuare n aceast stare.

Dac notm cu te momentul cnd sistemul atinge punctul de echilibru xe, atunci pentru STC avem ),t[t,0)t(x e iar pentru STD avem Nt,tt,x]t[x]1t[x ee . n consecin, punctul de echilibru xe se determin ca soluie a uneia din ecuaiile:

),[t t,0t)u(t),,f(x ee (pentru STC) (3.68) Nt,tt ,xt)u[t],,f(x eee (pentru STD). (3.69)

Dup caz, sistemele (3.68) i (3.69) pot fi compatibile sau incompatibile. n primul caz ele pot avea o soluie (un singur punct de echilibru), mai multe soluii, dar n numr finit (mai multe puncte de echilibru) sau un numr infinit de soluii. Odat determinate punctele de echilibru xe, ieirea sistemului se obine cu relaiile:

),[t t, t)u(t),,g(xy(t) ee (pentru STC) , (3.70)

Nt,t t, t)u[t],,g(xy[t] ee (pentru STD) . (3.71)

n cazul sistemelor liniare invariante n timp ecuaiile (3.70) i (3.71) iau formele

0u(t)BxA e (pentru STC), (3.72)

0 u[t]BxI)(A e (pentru STD). (3.73)

Pentru aceste ecuaii existena unei soluii depinde de matricele A i B. n particular, dac A, respectiv A-I sunt nesingulare, punctul de echilibru se obine cu formulele:

u(t)BAx 1e pentru STC) , (3.72')

u[t]BI)(Ax 1e (pentru STD) , (3.73')

dac este ndeplinit condiia xe = const.. O condiie suficient este de a avea u(t) = const. sau u[t] = const. 1) Notaia u() are semnificaia u(t) pentru sistemele n timp continuu i u[t] pentru sistemele n timp discret.


Dac matricele A, respectiv A-I din (3.72) i (3.73) sunt singulare formulele (3.97') i (3.98') nu sunt utilizabile, iar soluionarea sistemelor depinde de fiecare caz n parte. n particular, dac 0uB , sistemele (3.72) i (3.73) sunt nedeterminate avnd o infinitate de soluii. n locul unui punct de echilibru vom avea un domeniu de echilibru.

Exemplul 1: S se demonstreze c pentru sistemele liniare aflate n regim liber punctul x = 0 este un punct de echilibru.

Soluie: n regim liber avem u = 0, astfel c ecuaiile (3.72) i (3.73) devin Axe = 0, respectiv (A-I)xe = 0. n ambele cazuri xe = 0 este o soluie a ecuaiilor rezultate. Dac, n plus, matricele A i A-I sunt nesingulare, atunci xe = 0 este unicul punct de echilibru al sistemelor. n astfel de cazuri, dac punctul de echilibru este atractor, n regim liber sistemele vor ajunge n punctul de echilibru oricare ar fi starea lor iniial, iar dac este repulsor, traiectoriile de stare se vor ndeprta de el.

Exemplul 2: S se analizeze existena punctelor de echilibru pentru: i) sistemul de poziionare elementar

v(t)d(t)

d(t)

P(t)Jv(t)

d(t)(t)v(t)d

I

01

10

0010

(3.74)

ii) sistemul de poziionare masresort din Fig. 130 avnd MM-ISI

r

0 1 0d(t)d(t) F (t)k 1 0 v(t)v(t)

mmd(t)

d(t) = 1 0 v(t)

(3.75)

Soluie: i) Pentru sistemul (3.74) matricea A =

0010

este

singular. Formula (3.72') nu poate fi folosit. Existena punctelor de echilibru se studiaz pe baza ecuaiei (3.72) care devine

. 0 P(t)0 v

P(t)Jv

d

e

Ie

e

00

10

0010 (*)

Dac P(t) = 0, sistemul (*) este nedeterminat i admite o infinitate de soluii: R

,

0ee

vd .

Din punct de vedere practic rezultatul are urmtoarea interpretare: sistemul se poate gsi n echilibru numai dac aciunea pondero motoare P i viteza ve sunt nule. Anularea lui P trebuie s se produc n momentul cnd v(t) trece prin valoarea 0. n astfel de cazuri sistemul rmne n poziia de = n care s-a gsit n momentul cnd cele dou mrimi au devenit simultan nule. Din punct de vedere teoretic aceasta nseamn c sistemul (3.99) are un domeniu de echilibru DE ca n Fig. 131:

Dac P(t) 0, atunci sistemul (*) este incompatibil, iar sistemul de poziionare nu are nici un punct de echilibru.

ii) Punctele de echilibru ale sistemului (3.75) se obin din ecuaia

ve

d DE

Fig. 131. Domeniul de echilibru al sistemului (3.74) coincide cu

axa d.

Fig. 130. Sistem mas-resort


(t)F

mk

r

00

10

0

10

mvd

e

e

F(t)k1 d

0 v

re

e. (**)

Rezult c n cazul F(t) = F0 = const. sistemul are un singur punct de echilibru. Altfel, sistemul nu are puncte de echilibru. Rezultatul poate fi intuit cu uurin plecnd de la Fig. 131: dac fora F este constant atunci, n limitele elasticitii resortului, sistemul ajunge ntr-o stare de echilibru n care fora dezvoltat de resort echilibreaz fora exterioar.

Exemplu 3: S se analizeze existena punctelor de echilibru pentru sistemul

s[t 1] 1 0 s[t] 1 1 c[t] , t N

v[t 1] 0 1 v[t] p 0 a[t]

.

Soluie: Sistemul dat este un STD pentru care egalitatea (3.73) ia forma

e

e

s 0 0 1 -1 c[t]

0 0 v -p 0 a[t]

. Constatm c sistemul se poate gsi n echilibru numai

dac c[t] = a[t] = 0. n acest caz se i ve pot lua orice valori, domeniul de echilibru extinzndu-se peste ntregul domeniu de valori admisibile ale lui s i v.

.3.5. Liniarizarea dup tangent Metoda liniarizrii dup tangent, denumit i metoda liniarizrii la mici perturbaii, este cel mai utilizat instrument de liniarizare a MM cu neliniariti neeseniale, adic de obinere a unui MM liniar care s aproximeze n vecintatea unor puncte de funcionare (n particular a unor puncte de echilibru) comportarea MM neliniar. MM cu neliniariti neeseniale sunt MM neliniare ale cror expresii sunt derivabile, membru cu membru, n vecintatea oricrui punct de funcionare. Metoda se bazeaz pe:

i) dezvoltarea n serie Taylor a funciilor din expresiile MM n vecintatea unui punct de funcionare,

ii) reinerea din dezvoltare a termenilor de grad 0 i de grad 1 i neglijarea termenilor de ordin superior (notai n continuare cu TOS).

Prin liniarizarea dup tangent se obin modele matematice de aproximare a modelelor neliniare iniiale, denumite modele matematice liniarizate. Variabilele acestora sunt abateri ale variabilelor de intrare, stare i ieire ale modelului iniial fa de coordonatele punctului de funcionare n vecintatea cruia s-a fcut liniarizarea. Din acest motiv, interpretarea rezultatelor obinute cu ajutorul unui model liniarizat trebuie s in seam de faptul c rezultatele se refer doar la abateri, Pentru a obine dimensiuni absolute, compatibile cu modelul iniial, este necesar ca aceste abateri s se adauge la valorile coordonatelor punctului de funcionare n vecintatea cruia s-a fcut liniarizarea.

Extensia vecintii n care este valabil un model liniarizat difer de la punct de funcionare la punct de funcionare i de la sistem la sistem. Metoda este folosit cu rezultate foarte bune pentru proiectarea sistemelor de reglare stabilizatoare (sisteme destinate meninerii funcionrii sistemului de reglare n vecintatea unui punct de funcionare).

Obiectul acestei seciuni l reprezint doar prezentarea metodei i exemplificarea folosirii ei.


Pentru prezentarea suportului matematic pe care se bazeaz metoda liniarizrii dup tangnt se consider situaia din Fig. 130. Gf este graficul unei funcii continue f(x) iar

))x(f,x( ee un punct pe Gf. Tangenta Tf la grafic n acest punct are ecuaia

x

ee'

y

e )xx()x(f)x(fy

(3.76)

Se observ c ea poate fi folosit pentru a aproxima dependena n vecintatea punctului ))x(f,x( ee y = f(x). Cu ct variaiile lui x n vecintatea lui xe sunt mai mici. cu att aproximarea este mai bun. Deci, notnd yyy e i

xxx e , putem scrie relaia de aproximare:

x)x(fy e . (3.77)

Vom observa c (3.77) este un model liniar n raport cu variabile x i y , reprezentnd abaterile lui x i y fa de valorile coordonatelor punctului ))x(f,x( ee .

De la relaia de baz )x(fy , neliniar, se poate ajunge la modelul (3.77) i prin dezvoltare n serie Taylor. Astfel, considernd un punct de funcionare de coordonate x = xe + x i y = ye + y, egalitatea )x(fy poate fi rescris sub forma )xx(fyy ee . Dezvoltnd membrul drept n serie Taylor n vecintatea lui xe, rezult

ey y e ef(x ) f '(x ) x TOS .

n ipoteza c

2k0(x)fk!x)(

x1lim (k)

k

exx

, , (3.78)

termenii de ordin superior, TOS, se pot neglija. ntruct e ey f(x ) , rezult x)x('fy e , deci tocmai relaia (3.77).

n cazul general ne desprindem de interpretarea geometric dat anterior i reinem algoritmul de liniarizare, denumit liniarizare dup tangent, sub urmtoarea form:

Se consider dat un sistem dinamic neliniar cu neliniariti neeseniale 2) i un punct de funcionare al acestuia. Sistemul liniarizat care aproximeaz comportarea sistemului neliniar n vecintatea punctului se obine prin trei operaii:

1) Se particularizeaz ecuaiile sistemului pentru punctul de funcionare . Fie (G) ecuaiile care rezult prin particularizare.

2) Se dezvolt n serie Taylor fiecare egalitate a sistemului neliniar, membru cu membru, n vecintatea punctului de funcionare .

2) Sistemul conine una sau mai multe egaliti ale cror membri sunt expresii derivabile n raport cu toate mrimile caracteristice (mrimi de intrare, de stare i de ieire), derivatele satisfcnd n punctul condiii de forma (3.68).

eyyy

exxx

x

y

O x ex

y

ey

T f

G f

Fig. 132. Referitore la interpretarea geometric a derivatie unei funcii


3) Din egalitile rezultate prin dezvoltare se elimin termenii de ordin superior iar apoi, pe baza egalitilor (G), se reduc termenii egali.

Egalitile rezultate n final reprezint sistemul liniarizat. Not: Dac MM are i ecuaii liniare, ele nu trebuie supuse operaiilor anterioare ntruct ele i pstreaz forma i n sistemul liniarizat. Formal, n aceste ecuaii se nlocuiesc u, x i y cu x, u i y.

Cazurile practice de aplicare a algoritmului de liniarizare se ncadreaz n urmtoarea situaie cu caracter general:

Fie

f(v) = g(w). (3.79)

una dintre ecuaiile neliniare care intr n componena unui sistem care trebuie liniari-zat. Am notat cu v = [v1, v2, ... , vp]T i w = [w1, w2, ... , wq]T vectorii alctuii cu mrimile caracteristice care apar n membrul stng, f(v), respectiv n membrul drept, g(w), al ecuaiei.

Atunci, parcurgnd succesiv cele trei etape menionate rezult:

1) f(ve) = g(we) (G)

unde ve i we corespund punctului de funcionare ,

2) f(ve)+ f (ve)(v-ve)+TOSf = g(we)+ g (we)(w-we)+TOSg , (3.80)

3) f (ve)(v-ve) = g (we)(w-we)

sau

w)w(gv)v(f e'

e' . (3.81)

n relaiile de mai sus f(ve) i g(we)reprezint derivatele de ordinul I ale funciilor f(v) i g(w) n raport cu v i w, calculate n punctul de funcionare, iar v i w diferenele

..........w)t(ww)t(w

w)t(ww,..........

v)t(vv)t(v

v)t(vv ee

ee

e

e 22

11

22

11

.

Dup cum f i v (sau g i w) sunt scalare sau vectoriale, distingem urmtoarele situaii de calcul:

f este o funcie scalar i v o variabil scalar:

evve dv)v(df)v('f ; (3.82)

f este o funcie scalar i v o variabil vectorial:

e

e

vvp1

T

vve vf...

vf

dv)v(df)v('f

; (3.83)

f este o funcie vectorial cu s componente i v o variabil scalar:


e

s

1

vve

vvdvdf

dvdf

dv)v(df)v('f

e

; (3.84)

f este o funcie vectorial cu s componente i v o variabil vectorial cu p componente:

)v(J

vvvf

vf

vf

vf

vf

vf

vf

vf

vf

dv)v(df)v('f ef

ep

s

2

s

1

s

p

2

2

2

1

2

p

1

2

1

1

1

vve e

, (3.85)

unde Jf(ve) este matricea Jacobi a funciei f n raport cu v, calculat n punctul de funcionare ve 3).

n particular, dac Tuxv , atunci matricea Jacobi se poate scrie i sub forma celular:

])v(J)v(J[)v('f eu,fex,fe . (3.86)

n continuare se prezint patru exemple. Exemplele 1 i 2 au un caracter general. Exemplele 3 i 4 se refer la aplicaii particulare.

Exemplul 1: Se consider un sistem de forma 0)y,y,u(f cu u, y i f scalare, f derivabil n raport cu toate argumentele. n ipoteza c sistemul are ca punct de func-ionare punctul de regim permanent constant e e e(u , y , y ) t(u, y, y) (u ,y ,0) , s se stabileasc sistemul liniarizat n vecintatea punctului de funcionare considerat folosind metoda de liniarizare dup tangent.

Soluie: Sistemul dat are forma (3.79) cu T]y,y,u[v i cu g(w) = 0. Sistemul liniarizat se obine prin particularizarea relaiilor (3.72) i (3.73).

Rezult f (ve)(v-ve) = 0, adic 0

0

y)(vfy)(vfu)(vf

1a

e'ye

'y

0b

e'u

a

, sau

ubyaya 001 . (3.87)

Relaia (3.87) este rezultatul cutat. n egalitile de mai sus s-a notat:

yyyy ,yyy ,uuu eee .

Exemplul 2: Fie sistemul neliniar

))t(u),t(x(g)t(y))t(u),t(x(f)t(x

, (3.88)

3) Trebuie fcut distincie ntre matricea Jf(v) numit matrice Jacobi a funciei f(v) sau matrice jacobian a funciei f(v) i determinantul Jf(v)din cazul cnd Jf(v) este ptratic i care se numete jacobianul funciei f(v).


cu f i g derivabile n raport cu x i u. Prin ipotez se consider c sistemul are un punct de funcionare de regim permanent constant (ue,xe,ye). Deci 0xe . S se determine cu ajutorul metodei de liniarizare dup tangent MM-ISI liniarizat n vecintatea punctului de funcionare considerat.

Soluie: Notm cu u = u - ue, x = x - xe i y = y - ye, variaiile lui u, x i y n raport cu coordonatele lui . Fiecare ecuaie este de forma (3.69) soluia obinndu-se cu relaiile (3.81) i (3.85). Astfel, rezult

ugxgy

ufxfx

Dug,J

'u

Cxg,J

'x

Buf,J

'u

Axf,J

'x

, respectiv

uDxCyuBxAx

. (3.89)

Exemplul 3: Pendulul din Fig. 133 se rotete n articulaia superioar sub aciunea propriei greuti i a momentului exterior M. La captul braului de de inerie neglijabil i lungime l este fixat o mas punctiform de valoare m. Se consider c sistemul are orientarea M , unde reprezint unghiul format de bra cu verticala, luat n sens trigonometric. n aceste condiii micarea pendulului este descris de sistemul:

2m l (t) m g l sin (t) M(t) , (3.90)

n care g este acceleraia gravitaional.

Se cere:

i) S se liniarizeze sistemul (3.90), folosind metoda liniarizrii dup tangent, n vecintatea unui punct de echilibru4;

ii) S se asocieze sistemului (3.90) o realizare sistemic i s se liniarizeze rezultatul, folosind metoda liniarizrii dup tangent, n vecintatea punctului de echilibru 3) de la i).

Soluie: i) MM (5.80) se rescrie sub forma

)t(Mlm

1)t(sinlg)t( 2

, (a)

astfel c punctul de echilibru se obine din egalitatea

)t(Mlm

1sinlg0 2e

. (b)

Din (b) rezult c echilibrul este posibil numai dac .constM)t(M e i glmMe .

Aplicnd modelului (a) formula (3.82) deducem

2 em l (t) m g l [cos ] (t) M(t) , (c)

n care ee M)t(M)t(M ,)t()t( , cu e determinat prin rezolvarea ecuaiei (b).

ii) Sistemului (a) i asociem MM-ISI neliniar

4) n cazul de fa prin punct de echilibru se nelege un punct de funcionare n care toate derivatele temporale ale mrimii de ieire, respectiv ale mrimilor de stare sunt nule.

Fig. 133. Pendul gravitaional cu

moment exterior de acionare

l


(t)x)t(

)t(Mlm

1)t(xsinlg)t(x

)t(x)t(x

1

212

21

5) (d)

Pentru funcia vectorial

M

lm1xsin

lg

x)M,x,x(f

21

2

21 ,

asociat modelului (d), matricea Jacobi calculat n punctul de echilibru este

2e

eeflm

10coslg

010)M,0,(J .

Aadar, sistemul liniarizat n vecintatea punctului de echilibru are forma

(t)x)t(

)t(Mlm

10

)t(x)t(x

0coslg

10

)t(x)t(x

1

22

1

e2

1

(e)

Este uor de verificat c prin eliminarea cantitilor x1(t) = x1(t)-e i x2(t) =x2(t) 0, din (e) se obine (c).

Exemplul 4: Fie sistemul u.uyyyy 502 2 , n care u i y sunt funcii de timp. Fie un punct de funcionare de regim permanent constant corespunztor situaiei n care u i y iau valorile u0 i y0. S se determine, pe baza metodei de liniarizare dup tangent, sistemul liniarizat n vecintatea punctului de funcionare.

Soluie: Sistemul este neliniar datorit termenilor de gradul II: yy i 2u . n punctul de

funcionare este valabil egalitatea 0200 u5.0uy (*).

ncadrm sistemul dat n forma canonic (3.69):

uw,yyy

v,u5.0uyyy2y)w(g)u(g

2

)v(f)y,y,y(f

.

Potrivit notaiilor fcute, pentru membrul stng punctul de funcionare n vecintatea

cruia facem dezvoltarea este

00

0

0

0

y00

yyy

v

, iar pentru membrul drept ][u00 w .

Dezvoltarea n serie Taylor (v. (3.81)) conduce la:

g0uu

020

f0yy

00y

00y

0

TOS)uu(ug

!11u5.0u

TOS)yy(yf

!11)yy(

yf

!11)yy(

yf

!11y

0

0

5) Pentru punctul de echilibru se regsete egalitatea (b).


Dup reducerea unor termeni pe baza egalitii (*) i omiterea TOS se obine:

)uu()5.0u2()yy(1)0y(y21)0y(11 0000 ,

respectiv rezultatul cutat

u)5.0u2(yyy2y 00 .

Abordarea din aceast seciune s-a referit la STC. Ea este valabil, n spirit, i pentru STD.

Liniarizarea dup tangent este o metoda ce poate fi generalizat prin ceea ce numim liniarizare n vecintatea unei traiectorii.

Generalizarea se aplic n situaiile n care n mod curent evoluia unui sistem S se desfoar, cu aproximaie, n vecintatea unei traiectorii nominale care reprezint, la fel ca i traiectoria real, o soluie a sistemului S pentru un semnal de intrare dat. n acest caz variabilele modelului liniarizat sunt abateri fa de traiectoria nominal, iar pentru a reconstitui traiectoria real este necesar nsumarea, moment cu moment, a abaterilor ca funcie de timp, cu coordonatele punctelor de pe traiectorie, de asemenea funcii de timp.

Considerm simultan sistemele

x(t) f(x(t),u(t)) x[t 1] f(x[t],u[t]) i

y(t) g(x(t),u(t)) y[t] g(x[t],u[t]) (3.91.a)

care, n scriere cu variabil unificat, devin

)u,x(gy)u,x(f'x

(3.91.b)

Presupunem c sistemul (3.91.a) admite, corespunztor unui semnal de intrare nominal u = u*, traiectoria nominal x* (sau y*), ceea ce nseamn c:

)u,x(gy)u,x(f'x. (3.92)

Totodat, admitem c din diverse cauze intrarea real a sistemului difer de cea nominal, adic

u u*.

Ca urmare, traiectoriile reale ale sistemului (3.91.b) vor diferi de cea nominal, iar y y*. Notnd

yyyxxxuuu ,, ,

egalitatea (3.91.b) devine

)u*u,x*x(gy*y)u*u,x*x(f'x*'x . (3.93)

Dezvoltnd cele dou egaliti n serie Taylor, membru cu membru, neglijnd termenii de ordin superior i reducnd termenii legai prin relaiile (3.92), rezult sistemul liniarizat cutat


u*)u*,x(Jx*)u*,x(Jyu*)u*,x(Jx*)u*,x(J'x

u,gx,g

u,fx,f . (3.94)

Ji,j(,) reprezint matricea Jacobi a funciei i n raport cu variabila j. Analiznd acest rezultat vom observa, pe de-o parte, c el reprezint un sistem variant n timp, iar pe de alt parte, faptul c dac traiectoria nominal se reduce la un punct de echilibru, atunci n el se regsesc rezultatele din seciunea anterioar.

164 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR I - 2014/2015

.3.6. Stabilitatea sistemelor 1. Conceptul de stabilitate 1) 1.1. Abordare general Stabilitatea este proprietatea unui sistem de a ajunge i de a se menine ntr-un regim de funcionare impus prin semnalele de intrare. Stabilitatea reprezint una dintre proprietile fundamentale ale unui sistem.

Datorit ineriei sistemului un regim impus nu se poate instala sau reinstala instan-taneu ci doar temporizat, printr-un proces tranzitoriu. n acest context:

Problema ajungerii sistemului ntr-un regim de funcionare impus se pune n ipoteza c sistemul se gsete pn la un moment dat t0 ntr-un regim de funcionare iniial iar de la momentul t0 i se impune un nou regim de funcionare prin modificarea formei de variaie n timp a mrimii de intrare. Dac sistemul este capabil s ajung n noul regim de funcionare impus atunci el este considerat stabil.

Problema meninerii sistemului ntr-un regim de funcionare impus apare n ideea c asupra sistemului aflat ntr-un regim de funcionare impus acioneaz, ncepnd cu un moment dat, perturbaii, pe un interval de timp limitat superior de momentul t0. ncepnd cu momentul t0 perturbaiile nu mai acioneaz. Regimul de funcionare impus se consider stabil dac dup momentul t0 sistemul revine n acel regim.

Sub forma prezentat conceptul de stabilitate este pur calitativ, iar stabilitatea este asociat unui regim de funcionare. Un sistem poate avea att regimuri de funcio-nare stabile ct i regimuri de funcionare instabile. De aceea este firesc s vorbim de stabilitatea regimului de funcionare i s spunem c un sistem este stabil numai n msura n care toate regimurile sale de funcionare sunt stabile.

n continuare ne referim la sisteme n timp continuu, finit dimensionale, neliniare i variante n timp. n cap.1 s-a artat c un regim de funcionare al unui astfel de sistem este descris prin ansamblul variaiei mrimilor sale caracteristice pe un interval de timp finit sau infinit. Pentru regimul de funcionare impus, a crui stabilitate ne intereseaz, notm cu )t(x* i )t(y* semnalele corespunztoare

mrimilor de stare i de ieire i cu )t(u* semnalul de intrare corespunztor. Totodat, notm cu x(t) i y(t) semnalele care descriu variaiile mrimilor de stare i de ieire n regimul tranzitoriu ce urmeaz momentului t0, cnd s-a impus noul regim de funcionare sau cnd a ncetat aciunea perturbaiilor. Acesta este regimul real de funcionare, denumit i regim perturbat. Dac regimul de funcionare impus este stabil, atunci valorile curente x(t) i y(t) din regimul real de funcionare vor parcurge un proces tranzitoriu i vor ajunge odat cu trecerea timpului s ia valorile impuse )t(x* i )t(y* , sau cel puin n vecintatea lor.

Pentru a se manifesta, proprietatea de stabilitate trebuie provocat prin semnalul )t(u* sau prin aciunea perturbaiilor. Odat provocat, ea poate fi urmrit prin

intermediul diferenelor

)t(x)t(x)t(x * i )t(y)t(y)t(y * . (3.95)

1) n contextul acestei prime pri a leciei de curs recomandm cititorului lucrarea: Rsvan, V., Four Lectures on Stability, (Lectures 1), CEAI, Vol. 7, No. 4, pp. 49-54, 2006, accesibil pe site-ul revistei CEAI: http://www.ceai.srait.ro/index.php/ceai.

165 Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II - 2014/2015

n acest stadiu al discuiei conceptul de stabilitate poate fi reformulat astfel:

Un regim de funcionare impus este stabil dac ncepnd cu momentul t0 diferenele )t(x)t(x)t(x * i / sau )t(y)t(y)t(y * pot fi pstrate ntre

anumite limite. Dac, n plus 0

)t(xlimt

i / sau 0

)t(ylimt

spunem c

regimul de funcionare este asimptotic stabil 2).

n cazul n care proprietatea este valabil pentru orice regim impus spunem c sistemul este stabil, respectiv asimptotic stabil.

Stabilitatea unui sistem privit din punctul de vedere al variabilelor de stare este numit stabilitate intern. n cazul urmririi stabiliti prin intermediul diferenei

)t(y)t(y)t(y * vorbim despre stabilitate extern 3).

innd seam de legtura dintre variabilele de stare i cele de ieire se demon-streaz c stabilitatea intern asimptotic a unui sistem implic stabilitatea extern a acelui sistem , adic faptul c diferena )t(y)t(y)t(y * poate fi pstrat, ncepnd

cu un anumit moment '0t , la valori limitate.

1.2. Stabilitatea n sens Liapunov 4)

Conceptul de stabilitate n sens Liapunov se refer la stabilitatea intern a unui sis-tem i se bazeaz pe investigarea acesteia cu ajutorul traiectoriilor de stare. Traiec-toriile de stare reprezint curbe parcurse de vectorul de stare x(t), n spaial strilor.

Fig. 134 exemplific noiunea de traiectorie de stare pentru trei sisteme, unul de ordinul I, unul de ordinul II i unul de ordinul III. n cele trei cazuri avem,

respectiv,

(t)x(t)x(t)x

x(t),(t)x(t)x

x(t)(t)],[xx(t)

3

2

1

2

11 , iar spaiul strilor este o ax, un plan,

respectiv un spaiul cartezian.

2) n relaiile care urmeaz notaia pv are semnificaia unei norme de tip p n sensul urmtoarei

definiii: Norma de tip p (p =1, 2, ) a vectorului v real sau complex, n dimensional, este prin

definiie n

1i i1vv ,

n1i

2i2 vv sau ii

vmaxv

., n care iv este modulul compo-

nentei scalare vi 3) Pentru conceptele de stabilitate intern i stabilitate extern recomandm consultarea urmtoa-rei lucrri de referin: Ionescu, V., Teoria sistemelor, EDP, Bucureti, 1985. 4) http://en.wikipedia.org/wiki/Aleksandr_Lyapunov

Fig. 134. Exemple de traiectorii de stare pentru sisteme de ordinul I, II i III.


O formulare riguroas a conceptului de stabilitate intern, cantitativ, este cea cunoscut n literatur sub denumirea de definiia stabilitii n sens Liapunov:

Un regim de funcionare )t(x* impus este stabil dac pentru orice 0 ( R )

i orice Rt0 exist R )t,( 0 astfel nct: dac )t,(xx)t(x 00*00 atunci

pentru 0tt avem )t(x)t(x)t(x * . Dac exist cel puin o stare iniial

0x pentru care implicaia )t,(xx)t(x 00*00 )t(x)t(x)t(x *

pentru 0tt nu este valabil, atunci regimul impus este considerat instabil.

Dac )t,( 0 este o cantitate care nu depinde de momentul iniial t0, (notm acest lucru scriind )( ), spunem c regimul impus este invariant stabil n timp sau c regimul impus este uniform stabil.

Dac, n plus, pentru orice 0 ( R ) exist un )(0 astfel nct dac )()t(x 00 atunci i 0)t(xlim

t

spunem c regimul impus este asimptotic

stabil.

n Fig. 135 sunt prezentate, n completarea expunerii anterioare, dou ilustrri grafice referitoare la conceptul de stabilitate intern pentru un sistem de ordinul II. Reprezentrile sunt fcute n planul strilor, la fel ca i n Fig. 134, dar fr a mai reprezenta axele de coordonate. Curbele 1 reprezint traiectorii de stare )x(x *1

*2

impuse (regimurile de funcionare impuse). Curbele 2 sunt traiectorii de stare x2(x1) ale regimului real de funcionare. Momentul t0 este momentul de la care ncepnd urmrim modul n care traiectoriile x2(x1) tind spre traiectoriile )x(x *1

*2 .5).

n cazul din Fig. 135a regimul )t(x* este stabil ntruct traiectoria 2 converge nspre tra-iectoria 1. n cazul din Fig. 135b traiectoria 2 se deprteaz de traiectoria 1. Deci regimul

)t(x* este instabil. Totodat, figura sugereaz i modul n care trebuie interpretat )t(x .

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0

x*(to)x(to)

x(t)

x*(t)

x(t)

x*(to)-x(to)

x*(t)-x(t)

1

2

2

1x*(to)

x(t)

x(to)

x(t)

x*(t)-x(t)

x*(to)-x(to)

-a- -b-

Fig. 135. Referitoare la stabilitatea intern comportarea la modificarea semnalului de intrare.

n acest context, cu referire la spaiul strilor X Rn introducem urmtoarele notaii:

rS - mulimea punctelor caracterizate prin x 2 < r (= interiorul unei sfere (hipersfere) de raz r),

rS~ - mulimea punctelor pentru care x 2 = r, (= suprafaa unei sfere (hipersfere) cu raz r),

5) n accepiunea celor prezentate n seciunea 1 a acestui paragraf momentul t0 poate avea dou interpretri: i) momentul la care sistemului i se impune s evolueze pe traiectoria 1, ii) momentul la care nceteaz perturbaiile care au fcut ca traiectoria real 2 s se abat de la traiectoria impus 1.


rrr S~SS - mulimea punctelor pentru care x 2 r, (= interiorul unei

sfere (hipersfere) cu raz r).

Pe baz celor de mai sus stabilitatea i instabilitatea n sens Liapunov pot fi reformulate astfel:

Definiia 1: Starea de repaus x = 0 este stabil dac , astfel nct dac

Sx0 , atunci S)t(x pentru 0tt . Dac exist cel puin un pentru care condiia de stabilitate nu este ndeplinit spunem c starea x = 0 este instabil. Observaia 2: Conceptual, legtura dintre sfere i starea x = 0 este urmtoarea: atunci cnd devine foarte mic, definiia de mai sus impune sistemului traiectorii perturbate amplasate n vecintatea strii de repaus x = 0.

Exemplul 1: Pentru un sistem de ordinul II sunt posibile cele dou evoluii din Fig. 136.

Definiia 2: Starea de repaus x = 0, se numete asimptotic stabil dac ea e stabil n sens Liapunov i dac exist sfere S cu proprietatea c 0)( tx cnd t .

Stabilitatea asimptotic garanteaz, n plus fa de stabilitatea n sens Liapunov, faptul c exist o vecintate a strii de repaus din care ncepnd evoluia sistemului se face nspre starea de repaus (traiectoriile perturbate tind spre starea de repaos).

Definiia 3: Spunem c un sistem este marginal stabil sau la limita stabilitii atunci cnd el este stabil n sens Liapunov dar nu este asimptotic stabil.

Definiia 4: Spunem c starea de repaos este exponenial stabil dac ea este asimptotic stabil i, n plus, exist sfere S

~ n care to exk)t(x , cu k, > 0. Exemplul 2: Un sistem al crui rspuns liber are aspectul din Fig. 137 are starea de repaos exponenial stabil.

Definiia 5: Spunem c un sistem este stabil n mare sau global stabil, dac el este asimptotic stabil (exponenial stabil), oricare ar fi starea iniial ox .

In acest caz, indiferent care ar fi starea iniial, sistemul va evolua spre starea de echilibru.

Dac sistemul este instabil atunci evoluiile strilor sistemului se caracterizeaz prin variaii neoscilante sau oscilante cu amplitudinea tinznd ctre infinit.

Fig. 138 conine reprezentri de principiu care se refer la stabilitatea regimurilor permanente ale unui sistem autonom de ordinul II.

Fig. 137. Exemplu de sistem cu starea de repaus exponenial stabil.

Fig. 136. Exemple de evoluii stabile i instabile la un sistem de ordinul II.


n Fig. 138a sunt ilustrate dou regimuri permanente de funcionare posibile: un regim redat de traiectoria de stare 1 care corespunde unui regim permanent periodic (traiectoria

are form nchis), i un regim permanent constant redat de punctul *ax .

Fig. 138. Referitoare la stabilitatea intern a regimurilor permanente ale sistemelor de ordinul II.

n figurile 138b i 138c apar, n plus, cteva traiectorii de stare ale regimurilor perturbate. Ele permit caracterizarea stabilitii celor dou regimuri permanente:

- n Fig. 138b orice deviaie de la regimul redat de traiectoria 1 se soldeaz cu evoluii care se ndeprteaz de acest regim. Aceasta nseamn c regimul permanent periodic

este instabil. Traiectoriile din interiorul curbei 1 converg spre punctul *ax , ceea ce nseamn c regimul permanent constant este asimptotic stabil n interiorul

traiectoriei de stare 1. Spunem c punctul *ax este un punct atractor iar domeniul de atracie este interiorul curbei 1. Traiectoriile de stare din exteriorul curbei 1 se deprteaz tot mai mult de aceasta, starea sistemului tinznd spre punctul de la infinit. n exteriorul traiectoriei 1 comportarea sistemului este instabil.

- n Fig. 138c orice deviaie de la regimul redat de curba 1 se soldeaz cu traiectorii perturbate care converg spre acest regim. Aceasta nseamn c regimul periodic este asimptotic stabil. Totodat, observm c orice traiectorie de stare din interiorul curbei 1 care rezult prin scoaterea sistemului din regimul permanent constant reprezentat

de punctul *ax se ndeprteaz de acesta i n final se termin pe traiectoria 1. Aadar,

regimul permanent constant este instabil. Spunem c *ax este un punct repulsor.

Observaia 1: Folosind notaiile introduse n seciunea 1.1. regimul impus este descris prin ecuaiile

0**

*0

****tt.

t)(t),g(x(t)y0x)(txt),(t),u(t),f(x(t)x

, (3.96)

iar regimul real (perturbat) prin ecuaiile

000

*tt,

t)g(x(t),y(t)x)x(tt),(t),uf(x(t),(t)x

. (3.97)

Pentru investigarea stabilitii n sens Liapunov n locul sistemului (3.97) se poate folosi un nou sistem de variabil de stare )t(x . Ecuaiile de stare ale noului sistem se obin scznd din ecuaiile de stare din (3.96), membru cu membru, ecuaiile de stare din (3.97):

t)(t),xx(t),F(

********

*t)(t),ux(t),(t)f(xt)(t),u(t),f(xt)(t),uf(x(t),t)(t),u(t),f(x(t)x(t)x(t)x

.

n consecin, stabilitatea intern poate fi investigat considernd sistemul

00*00

* tt,xx)x(tt),(t),x(t),F((t)x x (3.98)

mpreun cu sistemul (3.96) care furnizeaz pe (t)x* . Pentru sistemul (3.98) regimul

impus este 0tt,0)t(x iar funcia )t(x* apare ca semnal de intrare. Astfel, problema


stabilitii regimului impus este redus la cerina ca sistemul (3.98) s fie stabil oricare ar fi

(t)x* .6)

Potrivit definiiei stabilitii n sens Liapunov un regim de funcionare (t)x* asimptotic stabil are o vecintate definit prin valoarea lui 0 n care este atras evoluia real x(t) a sistemului. Spunem c regimul impus are caracter atractor. n limbajul sistemului (3.98) vecintatea atractoare devine o vecintate a punctului 0(t)x* (punct atractor). n

particular regimul impus poate fi un regim permanent constant, *a* xconst.(t)x , cu *ax

soluie a sistemului (3.96).

n spiritul observaiei de mai sus, stabilitatea i instabilitatea n sens Liapunov se re-fer la regimul impus x(t) = 0 al sistemului (3.88). Pentru simplitate x din (3.98) se noteaz cu x, asfel c regimul x(t) = 0 devine starea de repaus, x = 0. Aadar, formal, vom opera cu sisteme de forma

00*00

* tt,xx)x(tt),(t),x(t),F((t)x x , (3.98')

care admit regimul x(t) = 0.

n cazul sistemelor liniare, problema stabiliti interne se poate trata n mod simplu folosind criteriile de stabilitate din seciunea 2.

1.3. Conceptul de BIBO-Stabilitate

Stabilitatea intern, mai ales sub forma stabilitii n sens Liapunov, este un concept deosebit de important din punct de vedere teoretic. El furnizeaz mijloace sistematice de investigare a stabilitii care au condus la numeroase criterii de stabilitate.

Din punct de vedere experimental stabilitatea intern este ns un concept cu care, de cele mai multe ori, nu se poate opera. Pe de-o parte, nu toate variabilele de stare corespund unor mrimi msurabile, pe de alt parte, numrul regimurilor de funcionare care ar trebui generate poate fi infinit. Mai mult, producerea unor situaii experimentale cu variaii ale lui x(t) acoperitoare din punct de vedere teoretic nu este de regul posibil.

ntruct mrimile de ieire ale unui sistem sunt msurabile, stabilitatea extern, spre deosebire de stabilitatea intern, se preteaz la verificare experimental. Din aceast perspectiv, admind c utilizm un semnal de intrare care poate acoperi un numr mare de regimuri de funcionare i c regimul asociat semnalului de intrare este extern stabil, intuim c i regimurile acoperite, mai puin solicitante, vor fi stabile. Printr-un astfel de raionament ne apropiem de ideea investigrii experimentale a stabilitii sistemului.

Observaia 2: Fie (t))u,0x,t(t,t)(t),g(x(t)y**

0* i u(t)),0x,t(t,t)g(x(t),y(t) 0

semnalele de ieire ale sistemelor (3.96) i (3.97). Atunci, din (3.85) rezult c (t))u,0x,t(t,(t))u,0x,t(t,y(t)

*0

**0 . (3.99)

Aceast relaie ne permite s intuim c pentru condiii de experimentare reale variaiile mrginite ale mrimii de intrare de forma:

t],[tt,u(t)u 0max* , (3.100)

pot avea ca efect variaii mrginite y(t) ale mrimii de ieire pe intervalul ]t,t[ 0 .

Aprofundarea acestei abordri a stabilitii externe a condus la conceptul de BIBO-stabilitate (Bounded Input Bounded Output Stability) potrivit cruia:

6) Traiectoria de stare x(t) a sistemului (3.88) corespunztoare lui x*(t) = 0 se numete traiectorie neperturbat (sau de baz). Restul traiectoriilor, corespunztoare diferitelor semnale x*(t) 0, se numesc traiectorii perturbate.


Un sistem se consider stabil extern dac pentru orice variaie mrginit a semnalului de intrare el rspunde cu o variaie mrginit a semnalului de ieire.

Conceptul de BIBO-stabilitate se utilizeaz practic astfel:

Se aplic sistemului un semnal de intrare (t)u* mrginit n amplitudine i limitat n durat, adoptat astfel nct s solicite sistemul ct mai puternic din punctul de vedere al funciei pe care o ndeplinete i se nregistreaz rspunsul sistemului la aceast solicitare. Dac rspunsul este mrginit, atunci se consider c regimurile de funcionare cauzate de funcii de intrare u(t) mai puin solicitante dect (t)u* vor fi, de asemenea, stabile..

Figurile 139 exemplific conceptul de BIBO stabilitate.

Fig. 139. Referitoare la stabilitatea extern a sistemelor.

Fig. 139a: Pentru un sistem de tip SISO sunt ilustrate un semnal de intrare (sus) i

rspunsul sistemului la acest semnal (jos). Se observ c max* u(t)u i c exist un ymax

astfel nct maxy)t(y . n ipoteza c acest tip de comportare este general valabil, vom considera sistemul BIBO-stabil.

Fig. 139b: La intrarea unui sistem cu dou intrri i dou ieiri se aplic dou semnale de

intrare (t)u*1 i (t)u*2 (stnga) mrginite n amplitudine ( 1max

*1 u(t)u i 2max

*2 u(t)u ) i

se nregistreaz rspunsul sistemului, redat de semnalele (t)y1 i (t)y2 (dreapta). Se

observ c rspunsul nu verific n ansamblu condiiile 1max*1 y(t)y i 2max

*2 y(t)y . A

doua condiie fiind nclcat nseamn c sistemul nu este BIBO stabil. Aceasta nu exclude existena unor semnale de intrare fa de care proprietatea de BIBO stabilitate s fie ndeplinit.

n cele prezentate pn aici n aceast seciune, ne-am referit doar la sisteme n timp continuu. Conceptele sunt valabile i pentru sistemele n timp discret. Pentru aceste sisteme urmrirea proceselor care au loc se realizeaz numai prin intermediul valorilor mrimilor caracteristice de la momentele de discretizare. Traiectoriile sunt constituite din puncte discrete i nu din curbe continue.

Conceptele expuse pot fi folosite pentru a obine diferite metode i criterii de investigare a stabilitii.


2. Stabilitatea intern a sistemelor liniare. Criteriul rdcinilor

2.1. Sisteme n timp continuu

Fie sistemul liniar n timp continuu i invariant n timp:

)t(Du)t(Cx)t(yx)t(x , )t(Bu)t(Ax)t(x 00 (3.101)

n condiiile observaiei 1 din seciunea 1.2, stabilitatea lui se poate studia pe baza sistemului (3.98) care ia forma:

0000 tt,xx)t(x),t(xA)t(x* . (3.102)

n (3.102) )t(x)t(x)t(x * reprezint abaterea strii impuse fa de starea curent. n ipoteza c polinomul caracteristic al matricei A (de tipul n x n),

)AsIdet()s( , (3.103)

are numai rdcini simple si, i = 1;n, soluia ecuaiei (3.102) este de forma (3.26), adic:

n

1i

tsii0

At ie)x(tex(t) , (3.104)

n care i reprezint vectorul propriu asociat valorii proprii si, iar i sunt constante scalare care se obin impunnd soluiei (3.104) condiia )t(x 0 .

Exemplul 17: S se determine traiectoria de stare 0tt,)t(x a sistemului

0

A

ttx(t),1012

(t)x

pentru condiiile iniiale

0x

02

01

*0x

0 xx

12

)x(t

.

Soluie: Este uor de observat c valorile proprii ale sistemului sunt s1 = -2 i s2 = 1. n consecin (3.104) ia forma

t2

2t1

t2s22

t1s11

2

1i

tisii e3

1e

01

eeex(t)

.

Impunnd condiiile iniiale date rezult

tttt ex

xe

xxee)t(x

02

02202012

21

13

1

03

37

31

01

. (*)

Analiznd expresia (3.104) prin prisma cerinei ca )t(x,)t(xlim

t00

se constat

c8): i) Dac toate valorile proprii ale matricei A au partea real strict negativ, adic

n;i,}sRe{ i 10 , atunci )t(x,)t(xlimt

00

, deci sistemul este asimptotic

stabil.

Aceast constatare reprezint o condiie suficient de stabilitate asimptotic a siste-mului (3.101). Pe o cale similar se ajunge la concluzia c afirmaia este valabil i n cazul valorilor proprii multiple.

7) Acest exerciiu este de acelai tip cu cel din .3.2., seciunea 4. 8) Concluzia iv) se bazeaz pe generalizarea formulei (3.104) pentru cazul rdcinilor multiple.


ii) Dac cel puin una dintre valorile proprii ale matricei A are partea real strict pozitiv, adic 0}sRe{ i , condiia )t(x,)t(xlim

t00

nu mai poate fi ndepli-

nit, deci sistemul este instabil. Exemplul anterior ilustreaz clar acest lucru ntruct din formula (*) rezult

00

13

1

03

37

02

0220201 tt

tte

x

xe

xxlim)t(xlim .

Ce se ntmpl n cazul n care polinomul caracteristic are valori proprii imaginare ? Rspunsul se obine folosind relaia (3.104) (presupunem c matricea A este real):

iii) Dac toate valorile proprii imaginare sunt simple 9), )t(x are valori mrginite ntruct vor rezulta unul sau mai muli termeni armonici i, eventual, un termen constant dac una dintre valorile proprii este nul. Deci sistemul este stabil (marginal stabil).

Observaia 1: n aplicaiile practice nu suntem siguri de valorile rdcinilor polinomului ca-racteristic. O rdcina pur imaginar rezultat prin calcul poate fi aproximarea unei rdcini complex conjugate cu o parte real pozitiv sau negativ foarte mic, iar sistemul real poate fi, dup caz, instabil sau stabil. Din acest motiv n practic modelele de aproximare cu rd-cini imaginare simple se consider instabile i marginal stabile.

iv) Dac valorile proprii pur imaginare sunt multiple n expresia lui )t(x termenii armonici sau constani, mai sus menionai, apar nmulii cu polinoame de variabil timp, iar variaiile lui )t(x nu mai sunt mrginite. (v. rel. (2.41)). n consecin sistemul este instabil.

Analizarea stabilitii sistemelor liniare pe baza calculrii valorilor proprii i a analizei amplasrii lor fa de axa imaginar a planului complex s corespunztor enunurilor i) iv) de mai sus este cunoscut sub denumirea de criteriul rdcinilor. Rezumnd, criteriu rdcinilor, reine c:

Sistemul (3.101) este: asimptotic stabil atunci cnd rdcinile polinomului caracteristic (s) au partea real strict negativ, stabil atunci cnd unele rdcini au partea real strict negativ iar restul sunt pur imaginare, dar simple, i instabil n restul cazurilor.

Aplicarea criteriului n cele trei situaii la care se refer criteriul rdcinilor este exemplificat n Fig. 140. Ea se refer la trei sisteme de ordinul III. Polii sistemelor au fost simbolizai prin puncte reprezentate prin . n planul complex al variabilei operaionale s, notat cu s, sunt delimitate cele trei mulimi care prezint interes

9) Presupunem c matricea A este real i ca urmare odat cu o valoare proprie complex, n particular imaginar, apare i conjugata sa complex.

Fig. 140. Referitoare la criteriul rdcinilor pentru cazul sistemelor n timp continuu.


din punctul de vedere al criteriului rdcinilor: Cs = {sC / Re{s}0}.

n prima figur cei trei poli sunt amplasai n Cs, deci sistemul este asimptotic stabil. n a doua figur un pol este n Cs iar ceilali doi poli sunt imaginari (se gsesc pe C0), complex conjugai. Ca urmare sistemul este stabil (marginal stabil). n a treia figur

unul dintre poli este n Ci. Deci sistemul este instabil.

Exemplul 2: Se consider trei sisteme liniare de ordinul III, nsoite de polinoamele lor caracteristice i rdcinile acestora:

(S1):

(t)x(t)x(t)x

0215y(t)

0.21-1

(0)x(0)x(0)x

,u(t)(t)x(t)x(t)x

(t)x(t)x(t)x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

100

4910100010

,

2j--1s2j,-1s-2,s

2j),12j)(s12)(s(s109s4ss(s)

3

21

231

(S2):

(t)x(t)x(t)x

0215y(t)

0.21-1

(0)x(0)x(0)x

,u(t)(t)x(t)x(t)x

(t)x(t)x(t)x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

100

248100010

,

-2js2j,s-2,s

2j),2j)(s2)(s(s84s2ss(s)

321

232

(S3):

(t)x(t)x(t)x

0215y(t)

0.21-1

(0)x(0)x(0)x

,u(t)(t)x(t)x(t)x

(t)x(t)x(t)x

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

100

212100010

,

1s -1,s-2,s

1),1)(s2)(s(s2-s-ss(s)

321

233

2

Este uor de observat c rdcinile ocup, cu aproximaie, poziiile din Fig. 140. Prin ur-mare, sistemul (S1) este asimptotic stabil, sistemul (S2) este marginal stabil, iar sistemul S3 este instabil. Comportarea lor este redat n Fig. 141, att n regim liber, pentru condi-iile iniiale x1(0)=1, x2(0)=-1 i x3(0)=-0.2, ct i n regim forat, pentru aceleai condiii iniiale i pentru u(t) = (t). n primul caz valorile semnalele x1(t), x2(t) i x3(t), respectiv y(t) se stabilizeaz la valorile de regim permanent constant. n al doilea caz att mrimile de stare ct li ieirea oscileaz n loc s se stabilizeze. n fine, n al treilea caz variaiile celor patru mrimi tind s devin nemrginite.

0 1 2 3 4 5 6 7-1

0

1

2

t [sec]

Sistemul S1 in regim liber: u(t)=0, x1(0)=1, x2(0)=-1, x3(0)=0.2

x2x3

x1

0.1 y

0 1 2 3 4 5 6 7-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Sistemul S1 in regim fortat: u(t)=1, t>=0, x1(0)1, x2(0)=-1, x3(0)=0.2

x2

x1

x3

0.1 y


0 1 2 3 4 5 6 7-2

0

2Sistemul S2 in regim liber: u(t)=0, x1(0)=1, x2(0)=-1, x3(0)=0.2

t [sec]

x3 x1

0.1 yx2

0 1 2 3 4 5 6 7-2

-1

0

1

2Sistemul S2 in regim fortat: u(t)=1, t>=0, x1(0)=1, x2(0)=-1, x3(0)=0.2

x2

x3 x1

0.1 y

0 1 2 3 4 5 6 7-300

-200

-100

0

100Sistemul S3 in regim liber: u(t)=0, x1(0)=1, x2(0)=-1, x3(0)=0.2

t [sec]

0.1 y

x3x1 x2

0 1 2 3 4 5 6 7-200

20

40

60

80Sistemul S3 in regim fortat: u(t)=1, t>=0, x1(0)=1, x2(0)=-1, x3(0)=-0.2

0.1 y x3x2

x1

Fig. 141. Rspunsuri libere i forate ale sistemelor din cadrul exemplului 2.


3.2. Sisteme n timp continuu de ordinul II autonome

Scopul acestei seciuni este de a exemplific comportarea stabil i instabil a sistemelor i se a aprofunda terminologia folosit n acest context, pe cazul sistemelor liniare n timp continuu de ordinul II, folosind traiectoriile de stare.

Se consider sistemului liniar autonom

00

20

10

02

01

2

1

2221

1211

2

1

x)txxAx

xx

txtx

,xx

aaaa

xx

(

)()(

(3.105)

Punctele sale de echilibru se obin ca soluii ale sistemului algebric

00

00222121

212111

2

1

2221

1211

ee

ee

x

e

e

A

xaxaxaxa

xx

aaaa

x

e

. (3.106)

Numrul i tipul punctelor de echilibru depind de determinantul

211222112221

1211 aaaaaaaa

Adet . (3.107)

i) Dac det A 0 , sistemul (3.105) are un singur punct de echilibru, anume punctul 00 21 x,x .

ii) Dac det A = 0, sistemul (3.106) are o infinitate soluii. n continuare investigm cazul i). Ne intereseaz legtura calitativ dintre rdcinile polinomului caracteristic i forma pe care o au traiectoriile de stare n vecintatea acestui punct de echilibru, legtur referit prin sintagma tipul punctului de echilibru. Fie 21 , rdcinile polinomului caracteristic (valorile proprii ale matricei A):

2211211222112

2221

1211 aaaasaasasa

aasAsIdets

)()()( ,

iar 21, vectorii proprii corespunztori. n cazul n care cele dou rdcini sunt distincte, traiectoriile de stare se obin cu formula (3.26) de descompunere modal:

2

1i

tii iex(t) . (3.108)

Constantele 1 i 2 se determin rezolvnd ecuaia ce rezult impunnd traiectoriei (3.108) s treac la un moment dat printr-un punct dat, n particular s satisfac condiii iniiale de forma x(t0) = x0. n acest caz avem:

20

101

220t2

120t1

210t2

110t1

2

1

20

10

22

210t22

12

110t11 x

x

eeee

xx

e

e .

Not: Construcia traiectoriilor de stare (3. 108) poate fi fcut n diferite moduri. Ne

referim n continuare la cel bazat pe utilizarea componentelor modale t1i1 e(t)x' i t222 e(t)x" ale lui x(t), care variaz pe direciile de pante

k1 = 12/11 i k2 = 22/21 (3.109)


ale vectorilor proprii 1 i 2.

Valorile pantelor k1 i k2 se pot obin i ca soluii ale ecuaiei

0a)ka(aka 212211212 (3.110)

sau reciprocei acsteia.1)

Construcia traiectoriilor de stare se realizeaz n principiu n trei pai:

i) Se detaliaz componentele modale rescriind expresia (3.108) sub forma

(t)x(t)xx(t) ''' , (3.111)

n care

12t11

11t11

'2

'1'

ee

(t)x(t)x(t)x i

22t22

21t22

''2

''1''

ee

(t)x(t)x(t)x .

ii) Se reprezint vectorii (t)x' i (t)x" pe direciile de pante k1 i k2 (Fig. 142).

iii) Se aplic, punct cu punct, regula paralelogramului de compunere vectorial a lui (t)x' i (t)x" (Fig. 143).

n Fig. 142 sunt ilustrate dou drepte suport ale vectorilor proprii 1 i 2 construite n ipoteza c 0/ 1112 1k , respectiv 0/ 2122 2k . Pe cele dou drepte suport apar

vectorii de poziie OP' , respectiv 'OP' , corespunztori componentelor x i x, precum i

sensurile de deplasare n timp ale punctelor 'P i ''P n ipoteza c 01 i 02 (punctele P si P se ndeprteaz de origine). Dac 1 0. Traiectoria de stare dintre cele dou momente este redat de curba trasat cu verde.

1) Ecuaia (3.111) se obine astfel: Fie o valoare proprie a matricei

2221

1211

aaaa

A i

2

1 vectorul propriu

corespunztor. Aceasta nseamn c are loc egalitatea: A sau

2

1

2

1

2221

1211

aaaa

. Cele dou egaliti

scalare pot fi rescrise sub forma

1

2

1

2

1

2

2221

1211

aa

aa. Notnd

1

2

k i eliminnd din cele dou cele dou

ecuaii pe , se obine imediat ecuaia (3.111).

Fig. 142. Drepte suport asociate expresiei (3.110).


Se cunoate c printr-o transformare de stare adecvat sistemul (3.105) se poate aduce la forma n care matricea A este diagonal. Considerm numai valori proprii reale i

presupunem c am efectuat o astfel de transformare. n final rezult:

'

'

22

11a00aA ,

respectiv vectori proprii i componente modale de forma:

0

'11

1 ,

01111

111

tt' ee)t(x i

'

222

0

222

2222

0t

t''e

e)t(x .

Vectorii proprii sunt n acest caz ortogonali i se suprapun peste axele de coordonate Ox1 i Ox2 (Fig. 144). Punctul P' se deplaseaz pe direcia de pant k1=0 reprezentat de axa Ox1, iar P'' pe direcia de pant 1/k2=0 reprezentat de axa Ox2. Combinarea vectorial are ca interpretare tocmai reprezentarea punctului P n coordonate carteziene 2).

n ceea ce privete aspectul traiectoriilor de stare n vecintatea punctului de echilibru distingem n funcie de 21 , mai multe tipuri de puncte de echilibru, dup cum 21 , sunt numere reale, imaginare sau complex-conjugate, respectiv, dup cum prile reale sunt pozitive sau negative. Astfel, reinem urmtoarele cazuri:

21, sunt reale i au acelai semn, caz n care spunem c punctul de echilibru este de tip nod (Fig. 145 i Fig. 146);

21, sunt reale i au semne diferite, caz n care vorbim despre punct de echilibru de tip a (Fig. 147);

21, sunt numere complex-conjugate i vorbim despre punct de echilibru de tip focar (Fig. 148).

21, sunt imaginare, caz n care spunem c punctul de echilibru este de tip centru (Fig. 149);

Dac n vecintatea nodurilor i focarelor traiectoriile de stare sunt orientate nspre punctul de echilibru vorbim despre noduri i focare atractoare, iar dac orientarea

2) n continuare, pe parcursul prezentrii tipurilor de puncte de echilibru, coordonatele x1 i x2 corespunztoare realizrii diagonale sunt notate cu x*1 i x*2, notaiile x1 i x2 folosindu-se pentru realizarile iniiale, nediagonale, ale sistemelor.

Fig. 144. Drepte suport n cazul realizrilor sistemice diagonale i utilizarea lor.

Fig. 143. Utilizarea dreptelor suport din Fig. 142.


este dinspre punctul de echilibru spre exterior, vorbim despre noduri i focare repulsoare.

n accepiunea conferit stabilitii interne:

punctele de echilibru atractoare sunt local sau global asimptotic stabile;

punctele de echilbru repulsoare sunt instabile;

punctele de echilibru de tip a sunt instabile;

punctele de echilibru de tip centru sunt puncte de echilibru marginal stabile.

Atunci cnd de referim la stabilitate i la caracterul de atractor sau repulsor al unui punct de echilibru vorbim despre natura punctului de echilibru.

n continuare sunt prezentate mai multe figuri referitoare la conceptele introduse mai sus.

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

x1

x2

B'

A'

A

B

0

-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

x*1

x*2

A

A'

B'

B

0

Traiectoriile de stare din vecintatea nodului atractoare sunt curbe fr inflexiuni care converg spre punctul de echilibru x=0. Ca urmare sistemul este asimptotic stabil.

Dreptele AA' i BB' reprezint dreptele suport ale vectorilor proprii. Pentru forma (1) ele nu sunt ortogonale i nici nu se suprapun peste axele de coordonate. Pentru forma (2) dreptele suport sunt ortogonale i se suprapun peste axele de coordonate. Sgeiile suprapuse peste traiectorii indic sensul de deplasare n timp a

punctului curent

(t)x(t)x

x(t)2

1 n lungul traiectoriilor care pornesc din diferite puncte iniiale.

-2 0 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x2

A'

B

0

A

B' -2-2-2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

x*1

x*2

B

A

B'

A'

0

Traiectoriile de stare din vecintatea nodului repulsoare sunt curbe fr inflexiuni care converg dinspre punctul de echilibru x=0 spre punctul de la infinit. Sistemul este instabil.

La fel ca i n cazul Fig. 146, dreptele AA' i BB' reprezint dreptele suport ale vectorilor proprii. Pentru forma (3) ele nu sunt ortogonale i nici nu se suprapun peste axele de coordonate. Pentru forma (4) dreptele suport sunt ortogonale i se suprapun peste axele de coordonate. Sgeiile suprapuse peste traiectorii indic

sensul de deplasare n timp a punctului curent

(t)x(t)x

x(t)2

1 n lungul traiectoriilor care pornesc din diferite

puncte iniiale.

Fig. 145. Punctul de echilibru x = 0 este de tip nod atractor.

Sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului

x....

x

84212041 (1)

i ale realizrii diagonale asociate

xx

1002 (2).

Fig. 147. Punctul de echilibru x = 0 este de tip nod repulsor.


x....

x

84212041 (1)


xx

1002 (2).

Fig. 146. Punctul de echilibru x = 0 este de tip nod repuslsor.


x....

x

84212041 (3)


xx

1002 (4).


-10 -5 0 5 10-10

-5

0

5

10

x1

x2

A'

B'

B

A

0

-2 0 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x*1x*

2

A

B'

A'

B

0

Dreptele AA' i BB' reprezint dreptele suport ale vectorilor proprii. Pentru forma (5) ele nu sunt ortogonale i nici nu se suprapun peste axele de coordonate. Pentru forma (6) dreptele suport sunt ortogonale i se supra-pun peste axele de coordonate. Ca i n cazurile din Fig. 146 i 147, dreptele suport sunt ele nsele traiectorii de stare. Sgeiile indic sensul de deplasare a punctului curent n lungul traiectoriilor care pornesc din diferite puncte iniiale.

Se observ c sensurile de deplasare pe dreptele suport difer. Pe una dintre dreptele suport traiectoriile de stare converg spre punctul de echilibru. Pe cealalt, traiectoriile diverg dinspre punctul de echilibru nspre punctul de la infinit. Traiectoriile de stare sunt curbe fr inflexiuni care care se apropie asimptotic de dreptele suport ale vectorilor proprii. Sensul de deplasare pe fiecare traiectorie coincide cu sensul de deplasare de pe dreapta suport din vecintate. Odat scos sistemul din punctul de echilibru, el nu mai revine n acest punct. Ca urmare sistemul este instabil.

-5 0 5-6

-4

-2

0

2

4

6

x1

x2

0

-20 0 20

-60

-40

-20

0

20

40

60

x1

x2

n acest caz valorile proprii, vectorii proprii idreptele suport ale vectorilor prorii sunt imaginare. Traiectoriile de stare sunt de form melcat. Cnd partea real a valorilor proprii este negativ (sistemul (7))traiectoriile de stare converg nspre punctul de echilibru. Sistemul este stabil iar punctul x = 0 este un focar atractor. Cnd partea real a valorilor proprii este pozitiv (sistemul (8)) traiectoriile de stare se deprteaz de punctul de echilibru i tind spre punctul de la infinit. Sistemul este instabil.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-0.5

0

0.5

1

x1

x2

Fig. 149. Punctul de echilibru x = 0 este de tip centru.

Traiectoriile corespund sistemului j}0.1j,0.1{

,x

.x

01010 (9). Ele au o form eliptic. Punctul

de funcionare curent

(t)x(t)x

2

1 se deplaseaz pe traiectorii n sensul indicat de sgei. Regimurile de funcionare

sunt periodice, armonice. Formal, ele sunt impuse prin punctul de funcionare de la momentul iniial

)(tx)(tx

02

01 .

Punctul de echilibru x = o este marginal stabil.

Fig. 147. Punctul de echilibru x = 0 este de tip a.


x....

x

42636020 (5)


xx

1002 (6).

Fig. 148. Punctul de echilibru x = 0 este de tip focar.

n figura din stnga sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului

j}2j,2{

,xx

2112 (7),

iar n figura din dreapta traiectorii de stare ale siste-mului

3j}3j,1{1

,xx

21010 (8).


Analiznd imaginile din planul n cazul punctelor de echilibru de tip nod i a, constatm c de o parte i se alta a dreptelor suport ale vectorilor proprii se schimb orientarea concavitii traiectelor. Dreptele suport divizeaz planul n 4 zone cu concaviti orientate n mod diferit. n acest context, ele au fost numite separatoare.

Continum investigarea comportrii sistemului (3.106) n cazul i) cu situaia n care polinomul caracteristic (s) are valori proprii egale. Aceasta nseamn c elementele matricei A sunt legate prin egalitatea 0a4a)a(a 211222211 , iar ca urmare ecuaia (3.111) are, de asemenea, o rdcin dubl. Separatoarele se suprapun. Situaia este redat prin exemplele din Fig. 150.

-2 0 2-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x2

0

A

A'

-2 0 2

-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x2

A

A'

0

Fig. 150. Punctul de echilibru x = 0 este de tip dublu nod atractor (stnga sus), respectiv dublu nod repulsor

(jos).

n figura din stnga sunt reprezentate traiectorii de stare ale sistemului

},{ 334112

,xx (9),

iar n figura de jos dreapta traiectorii de stare ale sistemului

{1,1}

,xx

4192 (10).

n fiecare caz apare o singur separatoare AA'.

n cazul sistemului (9) traiectoriile din fiecare semiplan delimitat de separatoare au aceeai concavitate. A fel se petrec lucrurile i n cazul sistemului (10). Deplasarea pe traiectorii se face la nceput n acelai sens cu sensul celei mai apropiate poriuni de separatoare.

n cazul ii), cnd det A = 0, ntruct sistemul (3.106) are o infinitate soluii sistemul (3.105) are o infinitate de puncte de echilibru. Ele se gsesc pe una din dreptele

112

112 xa

ax sau 122

212 xa

ax , 01 x i 02 x (3.112)

(v. Fig. 151). Traiectoriile pe care se deplaseaz punctul de funcionare, atunci cnd

pornete dintr-o poziie iniial

20

10

xx

x(0) , sunt, de

asemenea drepte:

2010

11

211

11

212 xxa

a(t)x

aa

(t)x (3.113)

Punctul de echilibru corespunztor traiectoriei (3.113) se gsete la intersecia acestei traiectorii cu dreapta (3.112). Analiza stabilitii regimului perma-nent constant corespunztor punctului de echilibru rmne ca exerciiu pentru cititor.

Fig. 151. Punctele singulare ale sistemului (3.106) n cazul a11a12


3.3. Sisteme n timp discret

n cazul sistemului n timp discret

]t[Du]t[Cx]t[yx]t[x , ]t[Bu]t[Ax]t[x 001 (3.114)

n locul sistemului (3.102) obinem sistemul autonom

00001 tt,Nt,xx]t[x],t[xA]t[x* . (3.115)

El are polinomul caracteristic

)AzIdet()z( . (3.116)

n acest caz este semnificativ amplasarea rdcinilor polinomului caracteristic n raport cu cercul de raz unitar 1z . Printr-un raionament similar cu cel din cazul STC rezult criteriul rdcinilor pentru STD i interpretarea din Fig 152:

Dac toate rdcinile polinomului caracteristic (z) sunt n modul subunitare, adic n;i,zi 11 , atunci ][][ 00 tx,txlim

t

, deci sistemul este asimptotic

stabil. Dac, cu excepia unor rdcini simple amplasate pe cercul 1z , restul rdcinilor sunt n interiorul cercului unitar, sistemul este stabil (marginal). n restul situaiilor condiia ]t[x,]t[xlim

t00

nu mai poate fi ndeplinit,

sistemul fiind instabil. i n acest caz figura se refer la sisteme de ordinul III. n planul complex al variabilei operaionale z, notat cu z, sunt delimitate mulimile: Cs = {zC / z1}.

n prima figur cei trei poli sunt amplasai n Cs, deci sistemul este asimptotic stabil. n a doua figur un pol este n Cs iar ceilali doi poli, complex conjugai, sunt pe C0. n consecin, sistemul este stabil (marginal stabil). n a treia figur unul dintre poli este n Ci, astfel c sistemul este instabil.

Polinomul caracteristic al unui sistem liniar pune n eviden toi polii sistemului indiferent de structura acestuia.

n funcie de structura sistemului este ns posibil ca stabilitatea unui sistem s fie caracterizat numai de o parte din poli i anume de cei care apar n polinomul minimal al sistemului.

Fig. 152. Referitoare la criteriul rdcinilor pentru sisteme n timp discret.


Observaie: Polinomul minimal al unui sistem. Fie:

BuAxx ' (3.117)

un sistem liniar de ordin n (xRn), 1 2 p, , , rdcinile distincte ale polinomului caracteris-

tic ( ) det( I A) , iar m1, m2, ..., mp ordinele lor de multiplicitate. Fiecrei rdcini i i co-respund

iJ in n rang(A I) , i = 1;p celule Jordan. Ca urmare, dac iJn 1 , valorii proprii i

i corespund mai multe celule Jordan. Dac notm cu ' ' '1 2 pm , m , ,m dimensiunile maxime ale

celulelor Jordan asociate celor p valori proprii, atunci polinomul minimal al sistemului (3.108) este

'''p21 mmm

1 2 p( ) ( ) ( ) ( ) (3.118).

Celule Jordan ataate unei valori proprii i sunt matrice de tipul

i

ii i

ii

1 01

, , 0 1 ,0

0 0

.

Ele apar ca i componente ale matricei A transformate n forma de realizare standard diagonal.

n numeroase situaii, cum este i cazul valorilor proprii simple, polinomul minimal coincide cu polinomul caracteristic: )()( . n cazul valorilor proprii multiple este posibil ca cele dou polinoame s nu mai coincid.

n acest context, n mod riguros, criteriului rdcinilor trebuie s opereze cu polinomul minimal i nu ce cel caractersitic, astfel c pentru criteriul rdcinilor vom reine urmtorul enun:

Pentru STC:

Sistemul (3.101) este: asimptotic stabil atunci cnd rdcinile polinomului minimal (s) au partea real strict negativ, stabil (marginal), atunci cnd unele rdcini au partea real strict negativ iar restul sunt rdcini simple pur imaginare i instabil n restul cazurilor.

Pentru STD:

Sistemul (3.114) este: asimptotic stabil atunci cnd toate rdcinile polinomului minimal (z) sunt n modul subunitare, adic n;i,z i 11 , stabil, dac cu excepia unor rdcini simple amplasate pe cercul 1z , restul rdcinilor sunt n interiorul cercului unitar i instabil n restul situaiilor. Exemplu: i) S se analizeze stabilitatea intern a sistemului n timp continuu S din Fig. 153. ii) S se analizeze stabilitatea modelului n timp discret Sd obinut ca r.i.s.t. a sistemului S pentru un pas de discretizare h 0.

Fig. 153. Un STC oscilant (S) i STD (Sd) corespunztor, obinut ca r.i.s.t..


Soluie: i) ntruct f.d.t. 1s1sH(s) 2

a sistemului S este ireductibil, polinomul caracte-

ristic i polinomul minimal coincid. Rdcinile polinomului caracteristic (s) = s2+1 sunt s1,2 = + j. Ele se situeaz pe axa imaginar a planului complex s. n consecin, sistemul se gsete la limita de stabilitate. Figura 154 ilustreaz comportarea sistemului ntr-un regim liber i un regim forat. 3)

ii) Potrivit formulei (3.9) funciei de transfer H(s) i corespunde realizarea sistemic

minimal

0 1 0x(t) x(t) u(t)

1 0 1y(t) 1 1 x(t)

. R.i.s.t. asociat acestui model se obine cu

relaiile (2.133). Rezult sistemul

x[t]11y[t]

u[t]sinh

cosh1x[t]

coshsinhsinhcosh

1]x[t (3.119)

cu f.d.t.

2

z cosh z sinh z cosh sinh 1H(z)z 2z cosh 1

.

Pentru valorile lui h pentru care cosh +1 f.d.t. H(z) este ireductibil, iar polinomul carac-teristic i polinomul minimal coincid. Rdcinile polinomului caracteristic (z) = z2-2zcosh+1 sunt s1,2 = cosh + jsinh. Ele se situeaz pe cercul de raz unitar al planului complex z. n consecin sistemul Sd se gsete la limita de stabilitate.

Pentru cosh=+1 rezult c 21)(z(z) . Ca urmare sistemul Sd are un pol dublu pe cercul de raz unitar. Polul fiind dublu, se pune ntrebarea dac modelul Sd este instabil sau marginal stabil (la limita de stabilitate). Pentru a da un rspuns corect la problema stabilitii este necesar s analizm fiecare situaie n parte.

Pentru cosh=1, adic pentru h=2k, Sd are un pol dublu n z=1 iar funcia de transfer devine H(z)=0. Modelul Sd nu mai realizeaz un transfer intrare-ieire. Investigarea stabilitii se poate realiza doar cu ajutorul MM-ISI (3.119) care ia forma

x[t]11y[t]

u[t]0

x[t]101

1]x[t0

0 . Lui i corespunde schema bloc din

Fig. 155. Se observ c avem de a face cu un sistem autonom, cu stri decuplate, alctuit din dou subsisteme identice. Fiecare

3) n textul figurilor 154, 156 i 157 simbolul # denot operaie de transpunere.

0 5 10 15

-1

0

1

2

t [s]

Comportarea sistemului S: 1. Conditii initiale x(0)=[1, -0.1]#, u(t) = 0, t real pozitiv; 2. Conditii initiale x(0)=[1, -0.1]#, u(t) = sigma(t-1), t real pozitiv

2

1

Fig. 154. Comportarea sistemului S n regim liber i regim forat.

Fig. 155. Schema bloc a sistemului Sd din Fig. 153, pentru

h=2k, kZ.


subsistem reprezint o structur marginal stabil caracterizat prin faptul c pstreaz starea la valoarea iniial (n Fig. 155: x1[t+1] = x1[t], x1[0] = x10 respectiv x2[t+1] = x2[t], x2[0] = x20 y[t+1] = y[t]). n consecin, modelul Sd este un sistem marginal stabil (sistem aflat la limita de stabilitate).

Rezultatul poate fi pus n eviden i cu ajutorul polinomului minimal. Astfel:

- Din ecuaia caracteristic 0(z) a sistemului, de ordin n=2, rezult c sitemul are un singur pol, pe 1=1, cu ordinul de multiplicitate m1=2.

- Polului i corespunde un numr de celule Jordan:

2021001

11001

rang2I)rang(An1n 1J

,

ambele de dimensiune 1m'1 . Ca urmare, polinomul minimal al sistemului este

(z)1z1)(z'1)(z(z) 1m1 .

- Fiind de gradul I i avnd rdcina pe cer-cul de raz unitar, sistemul Sd este margi-nal stabil (la limita de stabilitate). Comporta-rea sistemului este ilustrat n Fig. 156. Iei-rea sistemului rmne la valoarea constant corespunztoare condiiilor iniiale: y[t] = y[0] = x1[0] + x2[0] = 1 + (-0.1) = 0.9.

Pentru cosh=-1, adic pentru h=(2k+1),

Sd are un pol dublu n z=-1, funcia de transfer a sistemului devine H(z)=1

2z

. Ordinul

sistemului fiind n=2, iar gradul numitorului lui H(z) fiind 1, intuim c i de data aceasta modelul este neminimal i marginal stabil (la limita de stabilitate). n adevr, MM-ISI

(3.119) devine

x[t]11y[t]

u[t]0

x[t]1-01-

1]x[t2

0 , rezultnd un sistem care nu mai este

autonom. Sd are polul 1=-1, cu ordinul de multiplicitate m1=2. Polului i corespunde un numr de celule Jordan:

2021001

(-1)-1-001-

rang2I)rang(An1n 1J

,

ambele de dimensiune 1m'1 . Polinomul minimal al sistemului este (z)1z(z) . Fiind de gradul I i avnd rdcina pe cercul de raz unitar, Sd este i n acest caz la limita de stabilitate. O imagine despre comportarea sistemului o ofer Fig. 157.

n concluzie, pentru orice valoare h>0 a pasului de discretizare modelul Sd este la limita de stabilitate. Comportarea lui difer n funcie de valoarea parametrului h.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-1

0

1

2

3

Comportarea comparativa a sistemului Sd obtinut ca r.i.s.t. pentru h = pi (curba 2) si a sistemului S (curba 1) la aplicarea unui semnalal treapta unitara: incepand cu momentul t=1 s.

Conditii initiale: x[0]=[1, -0,1]#.

t [s]

y

1

2

Fig. 157. Cazul h = (2k+1) secunde.

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

t [s]

y

Comportarea sistemului Sd (h=2*pi s) pentru conditii initiale x[0]=[1, -0,1]#.

Fig. 156. Cazul h = 2k secunde


4. BIBO stabilitatea sistemelor liniare. Criteriul rspunsului la impuls. Limitm prezentarea din aceast seciune la cazul sistemelor de tip SISO.

Considerm pentru nceput STC:

00 0

t,

)t(du)t(xc)t(y

x)(x , )t(bu)t(Ax)t(xT

. (3.120)

Rspunsul acestui sistem la semnalul de intrare 0t),t(*u se obine cu relaia

(2.17.2). Dac inem seama de funcia rspuns cauzal la impuls T At

0 , t 0 h(t)

c e b , t 0

definit prin relaia (2.24'), rspunsul (2.17.2) devine:

)t(udd)(u)t(h)(xec)t(y *t

*AtT 0

0 . (3.121)

Investignd aceast formul potrivit conceptului de BIBO - stabilitate se obine urmtorul rezultat cunoscut sub denumirea criteriul rspunsului la impuls:

O condiie suficient ca sistemul (3.120) s fie BIBO stabil este ca

0

d)(h

s ia valori finite, adic funcia rspuns la impuls unitar a sistemului s fie absolut convergent (Criteriul rspunsului la impuls pentru STC).

Observaie: (Demonstraia enunului). Potrivit conceptului de BIBO stabilitate introdus n seciunea 1.3 a acestui paragraf rspunsul y(t) al sistemului (3.120) la o intrare

0t),t(*u mrginit trebuie s fie mrginit. Semnalul )t(*u fiind mrginit deducem c i termenul )t(*ud este mrginit. Ca urmare, trebuie s fie mrginit suma

t

0

*AtT d)(u)t(h)0(xec . ntruct, )0(x i )t(*u sunt cantiti independente,

rezult c, pe de-o parte rspunsul liber )0(xec AtT trebuie s fie mrginit, iar pe de

alt parte, c rspunsul forat t

* d)(u)t(h0

trebuie s fie mrginit.

innd seama de restricia (3.100) rezult c

t

0max

t

0

*t

0

*t

0

* d)t(hud)(u)t(hd)(u)t(hd)(u)t(h ,

respectiv inegalitatea t

0max

t

0

* d)(hud)(u)t(h . Proprietatea trebuind s fie

adevrat pentru orice t > 0, iar integrala modulului fiind monoton cresctoare deducem c

00

d)(hud)(u)t(h max* . (3.122)


Aadar, pentru ca termenul t

0

* d)(u)t(h s fie mrginit atunci cnd 0t),t(*u

este mrginit este necesar i suficient ca

0

d)(h s ia valori finite, adic funcia

rspuns la impuls unitar a sistemului (3.120) s fie absolut convergent.

Din faptul c h(t) = bec AtT H(s) = b)AsI(c 1T , rezult c o condiie suficient pentru ca h(t) s fie absolut convergent este ca toate valorile proprii ale matricei A, adic toi polii lui H (s), s ndeplineasc condiia 0}sRe{ i . n consecin:

O condiie suficient pentru ca sistemul (3.120) s fie BIBO stabil este ca el s fie asimptotic stabil.

Reciproca nu este adevrat.

Considerm n continuare STD:

]t[du]t[xc]t[y

x][x , ]t[bu]t[Ax]t[xT

001 (3.123)

Prin raionamente similare cu cele din cazul timp continuu rezult c:

i) O condiie suficient ca sistemul (3.123) s fie BIBO stabil este ca

0t

h[t] s ia valori finite, adic funcia rspuns la impuls unitar a

sistemului s fie absolut convergent.(Criteriul rspunsului la impuls pentru STD).

ii) O condiie suficient pentru ca sistemul (3.123) s fie BIBO stabil este ca el s fie asimptotic stabil.

Aceasta nseamn verificarea condiiei n;i,z i 11 . n locul verificrii condiiei

0t]t[h mrginit. Reciproca nu este adevrat.

Exemplul 1: S se analizeze stabilitatea intern i existena proprietii de BIBO stabilitate pentru sistemul de poziionare descris de modelul matematic (3.74).

Soluie: Matricea A =

0010

a sistemului (3.74) are valorile proprii 1 = 2 = 0 situate pe

axa imaginar. Fiind o valoare proprie dubl, sistemul este instabil i, probabil, nu are proprietatea de BIBO - stabilitate.

Matricea de tranziie a sistemului fiind Ate10t1

)t(

, funcia rspuns la impuls are

expresia tJ1

J0

10t1

01bec)t(hI

1I

AtT

. Este uor de observat c

0

d)(h .

Ca urmare criteriul rspunsului la impuls nu este aplicabil.

Pentru aprofundare determinm formula de calcul a rspunsului sistemului aflat n condiii iniiale oarecari, x1(0) i x2(0), la un semnal de intrare dat, u*(t), t > 0. Cu formula (3.121) obinem:


fortat raspunsul

t

0

*

Iliber raspunsul21

t

0

*

I2

1 d)(u)(tJ1t(0)x(0)xd)(u)(t

J1

(0)x(0)x

10t1

01y(t)

Se observ c att rspunsul liber ct i rspunsul forat au n cazul general variaii nemrginite.

De exemplu, dac condiiile iniiale sunt nule iar intrarea este impulsul dreptunghiular

1)(t(t)(t)u* rezult rspunsul dat de formula (3.124), avnd graficul din Fig. 158.

)(1,t,)21

(tJ1

1][0,t,2t

J1

)(1,t,d)(tJ1

1][0,t,d)(tJ1

d1)](t[(t)(tJ1

y(t)

I

2

I1

0I

t

0It

0I. (3.124)

Exemplul 2: S se analizeze stabilitatea intern i existena proprietii de BIBO stabili-

tate pentru sistemul

]t[x]t[x

01]t[y

]t[ua0

]t[x]t[x

0010

]1t[x]1t[x

2

1

2

1

2

1

.

Soluie: i n acest caz A =

0010

iar valorile proprii sunt z1 = z2 = 0. Datorit faptului c

valoarea proprie este n interiorul cercului de raz unitar sistemul este asimptotic stabil i are proprietatea de BIBO - stabilitate.

Pentru aprofundare, calculm matricea de tranziie i artm c este aplicabil criteriul rspunsului la impuls.

Astfel, matricea de tranziie a sistemului este:

2t,0000

1t,0010

0t,1001

At . Ca urmare, funcia

rspuns la impuls unitar (2.69) obine expresia

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

t [sec]

y

Fig. 158. Graficul rspunsului (3.124)


2t,a2t0,

2t,a0

0010

01

1t,a0

1001

01

}4,3,{0,t,0

][

th .

n consecin, ah[t]0t

, adic o valoare finit. Potrivit criteriului rspunsului la impuls

sistemul este BIBO-stabil.

Formula de calcul a rspunsului sistemului aflat n condiii iniiale oarecari, x1(0)=x10 i x2(0)=x20, la un semnal de intrare dat, u*[t], t N. Se obine cu formula (2.63.2):

3t3],[tua

2t,01t,x0t,x

Nt,[u1]h[txx

A01

0t,xx

01

y[t]

*

02

01

*1t

0

*

02

01t

02

01

.

Se observ cu uurin c rspunsul liber,

2t,01t,x0t,x

[t]x 0201

, este mrginit i c dac

intrarea este mrginit, atunci i rspunsul forat,

3t3],[tua2}1,{0,t0,

[t]y *f , este mrginit.

Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II, - 2014/2015 189

5. Criterii de stabilitate pentru sisteme liniare

5.1. Teorema fundamental a stabilitii sistemelor liniare

n .3.6, seciunile 2.1 i 3.3 s-a precizat criteriul rdcinilor pentru sisteme liniare n timp continuu, respectiv pentru sisteme liniare n timp discret. Sub denumirea de teorema fundamental a stabilitii sistemelor liniare nelegem enunul care opereaz potrivit criteriului rdcinilor i folosind variabila operaional unificat "" cu polinomul minimal al sistemelor liniare 1). n cadrul teoremei fundamentale a stabilitii rdcinilor polinomului minimal li se impun aceleai condiii ca i rdcinilor polinomului caracteristic din cazul criteriului rdcinilor. Sistemele pentru care dependena dintre intrri i ieiri se realizeaz prin intervenia tuturor variabilelor de stare ale sistemului se numesc sisteme minimale 2). Pentru sistemele minimale polinomul minimal i polinomul caracteristic coincid.

Etapele de aplicare a teoremei fundamentale a stabilitii sistemelor liniare sunt urmtoarele:

1. Se determin polinomul minimal )( al sistemului liniar.

2. Se determin spectrul polinomului minimal, adic mulimea rdcinilor acestui polinom: n,...,, 21 (n gradul polinomului).

3. Se examineaz amplasarea spectrului n raport cu urmtoarele zone ale planului complex "" :

sC (semiplanul stng al planului complex s sau interiorul cercului unitar din planul complex z),

oC (axa imaginar a planului complex s sau cercul unitar din planul complex z),

iC (semiplanul drept al planului complex s sau exteriorul cercului unitar din planul complex z).

4. Se concluzioneaz asupra stabilitii n sens Liapunov, astfel: dac spectrul sC , sistemul este asimptotic stabil;

dac iC , i intersectat cu oC are doar elemente simple, sistemul

este la limita de stabilitate (marginal stabil), dac spectrul intersectat cu iC este diferit de mulimea vid ( iC ),

i/sau intersectat cu oC are elemente multiple, sistemul este instabil. Metodele numerice de analiz a stabilitii sistemelor liniare se bazeaz pe teorema fundamental sau pe interpretri grafo-analitice derivate din aceasta. Pentru analiza stabilitii n ingineria reglrii se folosesc numeroase procedee de analiz derivate din teorema fundamental a stabilitii care ocolesc utilizarea direct a acesteia, cunoscute sub denumirea de criterii de stabilitate. La nivelul acestui curs

1) V. i notele explicative din culegerea de probleme Aplicaii 2. 2) Un sistem minimal este att controlabil ct i observabil. Practic, un sistem de tip SISO este minimal atunci cnd funcia sa de transfer, dup efectuarea tuturor simplificrilor posibile (ntre numrtor i numitor) are gradul numitorului egal cu ordinul sistemului.

Prof. dr. ing. Toma L. Dragomir, TEORIA SISTEMELOR II, - 2014/2015 190

vom distinge criterii de stabilitate pentru STC i criterii de stabilitate pentru STD, iar n fiecare caz criterii de stabilitate algebrice si criterii de stabilitate frecveniale. Ca principale criterii de stabilitate algebrice ne vom referi la criteriul lui Hurwitz (pentru STC) i la criteriul lui Jury (pentru STD). Dintre criteriile frecveniale vom trata doar criteriul lui Nyquist. 5.2. Criteriul de stabilitate Hurwitz

Considerm un sistem liniar n timp continuu, minimal, cu polinomul caracteristic scris n form monic (coeficientul lui ns este 1):

01

11

1 ...)( asasassn

nn . (3.125)

Cu ajutorul coeficienilor care apar n polinomul (3.125) construim urmtorul determinant de ordinul n:

0

31

42

531

000

00010

a...

...aa

...aa

...aaa

H nnnn

nnn

n

.

nH se numete determinant Hurwitz.

Not: Construcia determinantului se ncepe cu diagonala principal. Apoi, calat pe ele-mentele diagonalei principale, se construiesc coloanele. Pe diagonala principal, indicii elementelor descresc cu cte o unitate, iar pe coloane ei cresc cu cte o unitate.

Considerm minorii de nord-vest (au colul din stnga sus comun) extrai din nH :

11 naH , 2

312 1

n

nnaaa

H ,

31

42

teoria sistemelor

Documents