§ 1.2 semnale...dragomir, t.l., teoria sistemelor, curs anul ii cti, 2014/2015 16 0 t 1 t În...

Dragomir, T.L., Teoria sistemelor, Curs anul II CTI, 2014/2015 13

§ 1.2 Semnale

1. Semnale deterministe. Semnale aleatoare

Se numeşte semnal determinist un semnal ale cărui valori sunt bine cunoscute în orice moment. Un semnal determinist este predictibil. Unui semnal determinist îi asociem o reprezentare unică.

Se numeşte semnal aleator un semnal ale cărui valori nu sunt cunoscute la momentul curent dar se cunosc, ca funcţii de timp, probabilităţile de a lua valori într-un interval sau altul de valori (distribuţiile de probabilitate). Unui semnal aleator îi pot fi asociate o infinitate de reprezentări.

Din punct de vedere practic, majoritatea problemelor pot fi abordate folosind semnale deterministe. În acest context, în cele ce urmează lucrăm numai cu semnale deterministe.

Din punctul de vedere al acoperirii cu valori a mulţimii de timp T distingem situaţiile de mai jos:

(a) semnal bilateral (T = R); (b) semnal bilateral dreapta (T = R); (c) semnal bilateral stânga (T = R); (d) semnal unilateral sau semnal de tip cauzal (T = R+).

Terminologia este valabilă, cu modificările de rigoare (T = Z sau T = N), şi pentru semnalele în timp discret.

Semnalele de tip cauzal şi bilateral dreapta sunt folosite pentru a studia procesele începând cu un moment dat, numit moment iniţial. Această modalitate de studiu se numeşte „studiu prin decupare”, în sensul că studiul este realizat asupra unei părţi din realitate, cea decupată începând cu momentul iniţial.

2. Semnale standard

Semnalele standard se folosesc pentru a pune în evidenţă modul în care un sistem se comportă în situaţii relevante din punct de vedere tehnic.


Dacă comportarea unui sistem în raport cu astfel de semnale corespunde scopului urmărit, arătând că sistemul îşi îndeplineşte rolul, atunci, potrivit standardelor, se admite că sistemul va avea o comportare corespunzătoare şi în situaţiile reale „acoperite” de situaţia standard.

Pentru a putea face anticipări pe bază de modele matematice, semnalele standard trebuie să fie şi uşor manipulabile matematic.

În acest context, principalele semnale standard sunt:

semnalul impuls unitar; semnalul treaptă unitară; semnalul rampă unitară; semnalul parabolă unitară; semnalul sinusoidal.

A. Semnale standard în timp continuu

a) Semnalul impuls unitar

Este folosit pentru a caracteriza situaţii de solicitare foarte intensă a sistemului, pe un interval de timp foarte mic.

Ca punct de plecare considerăm impulsul real normat, adică impulsul de arie egală cu unitatea ( 1t

1t ).

O

t 0

t

t1

Semnalul impuls unitar, sau impulsul Dirac, se poate considera că se obţine din impulsul real normat prin trecere la limită pentru Δt→0, şi se reprezintă în modul următor:

O

t 0

t

Matematic, impulsul Dirac nu este o funcţie propriu-zisă, ci o distribuţie, adică o funcţie generalizată, caracterizată prin proprietatea de extracţie, în sensul relației:

)()()( 00 tfdttttf

,

cu f(t) definită pe R. Combinarea lui f(t) cu distribuţia Dirac )( 0tt extrage din f(t) valoarea la momentul t0. În particular:

)0()()( fdtttf

.


În practică se consideră în mod frecvent că impulsul Dirac este caracterizat prin relaţiile:

1)dt(

00)(

t

t,t.

Răspunsul unui sistem la impuls Dirac se numeşte funcţie răspuns la impuls (uneori funcţie pondere) şi se notează cu yδ(t).

u(t)=(t) y(t)=y(t) S

În cazul sistemelor liniare, yδ(t) este considerat ca reprezentând un model matematic al sistemului.

b) Semnalul treaptă unitară

0

t

1

0100

)(t,t,

t .

Semnalul treaptă unitară serveşte pentru a modela situaţii de tip „acţiune intensă de lungă durată”.

Matematic, există şi alte variante. De pildă:

01

021

00

)(

t,

t,

t,

t

Răspunsul unui sistem la semnalul treaptă unitară, notat cu y(t), poartă numele de funcţie indiceală.

În realitate pot fi aplicate doar trepte ca şi cea din figură, cu Δt foarte mic (treaptă reală):

u(t)=(t) y(t)=y(t) S


0

t

1

t

În teoria distribuţiilor semnalul treaptă este tot o distribuţie şi se demonstrează că în domeniul distribuțiilor este valabilă relaţia )()( tt . În mod obişnuit, preluăm această relaţie şi atunci când lucrăm cu funcţii propriu-zise.

c) Semnalul rampă unitară

)()( tttr

O

t

)()( ttr

d) Semnalul parabolă unitară

)(21)( 2 ttt

O

t

)()( trt

e) Semnalul sinusoidal

Se foloseşte în cazul sistemelor care funcţionează în regimuri periodice. În particular, în cazul sistemelor liniare, el produce tot un semnal sinusoidal. Expresia semnalului sinusoidal este:

)( 00 tsinU)t(u , unde:

U0 este amplitudinea semnalului; este pulsaţia semnalului; =2f, unde f este frecvenţa semnalului; 0 este faza iniţială a semnalului; t+0 este faza semnalului.


Observaţie (cu caracter pregătitor pentru diferite tipuri de semnale folosite în cadrul cursului): Fie semnalul în timp continuu f(t). Atunci:

)t()t(f reţine din f(t) partea care corespunde lui 0t ;

)tt()t(f 0 reţine din f(t) partea care corespunde lui 0tt ; ][ )tt()tt()t(f 21 , unde 12 tt , reţine din f(t) partea care corespunde lui ][ 21 t;tt .

B. Semnale standard în timp discret

Şi în cazul timp discret se folosesc semnale standard – în principal, se utilizează omoloagele semnalelor standard în timp continuu.

0

t h h h

1

secvenţa impuls unitar

0

t h h h

secvenţa treaptă unitară

0

t h h h

secvenţa rampă unitară

0

t h h h

secvenţa parabolă unitară

În principiu, semnalele în timp discret menţionate se obţin prin eşantionarea semnalelor în timp continuu cu pasul h constant. În cazul general, adoptarea valorii lui h trebuie făcută astfel încât, prin eşantionare, să se piardă cât mai puţină informaţie. În cazul din figura alăturată sinusoida este eșantionată corect. Semnalul inițial poate fi refăcut pe baza eșantioanelor. Deci se păstrează informaţia din semnalul eșantionat.

În figură de mai jos sinusoida cu frecvența de 20 kHz nu este eșantionată corect. Frecvența de eșantionare, de 30 kHz, este prea mică și ca urmare informaţia din semnalul sinusoidal este puternic distorsionată, astfel încât la reconstrucţie se obţine un alt semnal decât cel iniţial (un semnal cu frecvența de 10 kHz). Efectul poartă denumire de efect de aliasing.

În principiu, eşantionarea trebuie să se facă astfel încât din eşantioanele rezultate să poată fi reconstruit în mod unic semnalul iniţial.

Fundamentarea teoretică este dată de teorema lui Shannon. Fie fB frecvenţa de bandă a unui semnal u(t) (v. secţiunea 4 din acest paragraf), teorema afirmă că:

Eşantionarea uniformă cu pasul h a semnalului u(t) cu frecvenţa de bandă egală cu fB permite reconstruirea

semnalului în mod unic dacă şi numai dacă Bf2

1h

.


3. Reprezentarea semnalelor în domeniul imaginilor

În aplicaţiile referitoare la diversele categorii de sisteme, avem de-a face cu prelucrarea unor semnale de intrare pentru a obţine diverse efecte, caracterizate prin forma şi nivelul semnalelor de ieşire. În acest context, semnalele, ca funcţii de timp, sunt supuse operaţiilor care apar în modelele matematice ale sistemelor interpretate ca operatori. Apar, astfel, operaţii de derivare, integrare şi calcule recursive, care se efectuează asupra semnalelor. În general, efectuarea operaţiilor în domeniul timp este complicată. S-a căutat o alternativă de simplificare. Aceasta a fost oferită de calculul operaţional, în speţă de transformata Laplace, transformata z, transformata Fourier, transformata Hilbert.

În continuare ne referim numai la primele două dintre acestea.

a) Reprezentarea în domeniul operaţional a semnalelor în timp continuu

Pentru sistemele în timp continuu se foloseşte transformata Laplace. Ea se aplică atât în legătură cu semnalele, cât şi în legătură cu modelele matematice ale sistemelor. Aici ne referim numai la semnale.

Fie f(t) o funcţie bilaterală. Se numeşte integrală Laplace a acesteia expresia:

dte)t(f st

în care js,Cs (frecvenţă complexă). Pentru integrală, s joacă rol de parametru. Integrala este definită. În urma integrării rezultă o expresie de parametrul s, interpretată ca funcţie de s. Ea se numeşte transformata Laplace a funcţiei f(t). Pentru a simplifica exprimarea o notăm cu f(s).

În consecinţă, vorbim de transformata Laplace bilaterală:

dte)t(f)s(f st (1)

Pentru transformarea Laplace folosim simbolizarea f(s) •―◦ f(t).

Mulţimea funcţiilor f(t) care au transformate Laplace se numeşte mulţimea funcţiilor original.

Când lucrăm cu funcţii f(s) spunem că lucrăm cu funcţii din domeniul imaginilor sau în domeniul operaţional, iar când lucrăm cu funcţii f(t) spunem că lucrăm cu funcții din domeniul timp.

De regulă operăm cu transformata Laplace unilaterală:

0

dte)t(f)s(f st (2)

Explicaţia este următoarea: în mod obişnuit lucrăm cu semnale şi sisteme cauzale. Pentru un semnal cauzal, putem considera f(t) = 0 pentru t < 0. Atunci, )2()1( .

Operarea corectă cu transformata Laplace presupune cunoaşterea, pentru fiecare caz în parte, a domeniului de convergenţă a lui f(s), adică a domeniului din planul complex pe care este valabil rezultatul.


Exemplu: Fie ate)t(f , .t 0

dtedtee)s(f t)sa(stat00

011110

apentruas

elimas

eas

t)sa(t

t)sa(

Calcularea limitei s-a făcut având în vedere că:

).tsinjt(coseeeee t)a(tjt)a(t)ja(t)sa(

În concluzie:

}aj{s,as

)s(f

1 .

Domeniul de convergenţă este reprezentat mai jos prin haşurare:

Operaţiile care se efectuează în cadrul modelelor matematice ale sistemelor asupra funcţiilor de timp ce modelează matematic semnalele fizice se folosesc de mai multe dintre teoremele asociate transformatei Laplace. În cadrul lucrării de față cel mai des se folosesc următoarele teoreme:

teorema de liniaritate:

)t(fc)t(fc 2211 ◦―• )s(fc)s(fc 2211 , 21 f,f funcţii original, 21 c,c ;

f

0

1

„s”

-a

jω

σ O

t


teorema derivării:

)(tf ◦―• sf(s) - f(0)

t)f ( ◦―• )(f)(sf)s(fs 002

...

)0()0( f,f se numesc condiţii iniţiale. Dacă f(t) este o funcţie unilaterală, atunci condiţiile iniţiale se referă fie numai la momentul 0t ( tlim

tt

00

), fie numai la momentul 0t . Se aplică acelaşi mod de tratare pentru toate

semnalele din sistem. Dacă este vorba de o funcţie bilaterală, atunci, noțiunea de condiții inițiale nu are sens (convergența integralei improprii impune limite egale cu 0 la + ) și )(tf ◦―• sf(s) etc..

Precizarea anterioară, referitoare la cazul unilateral, este importantă în următorul context: din punct de vedere practic, ne interesează modul în care se comportă un sistem începând cu momentul iniţial (tratarea prin decupare). Ceea ce a fost înainte de momentul iniţial (preistoria) trebuie delimitat faţă de o „bornă de timp” unică pentru întregul sistem. Fie t=0 această bornă.

Anterior momentului 0t , semnalul putea să aibă diferite aluri. De cele mai multe ori, pentru aceste aluri este mai uşor să stabilim (din punct de vedere practic) condiţiile iniţiale la momentul 0t şi mai greu la momentul 0t . În consecinţă, se operează cu 0t , sau cu 0t , în funcţie de posibilitatea de obţinere a informaţiilor despre condiţiile iniţiale, sau cu semnalul biliniar, definit pe R, când noțiunile de moment inițial și condiții inițiale nu mai au sens.

b) Reprezentarea semnalelor în timp discret

Semnalele în timp discret sunt şiruri definite pe mulţimea numerelor întregi sau naturale, sau pe altă mulţime discretă. Pentru ele se foloseşte transformata z:

Fie semnalul unilateral }][]2[]1[]0[{]}[{ ,nf,,f,f.ftf Nt şi parametrul Cz . Se consideră suma:

-n-2-1 z][z][z][][ nffffn,f 210

În caz de convergenţă rezultatul este o funcţie de parametrul z. Se numeşte transformată z a şirului Nttf ]}[{ funcţia:

0 t

f


n,f

nlim)z(f .

Domeniul de valori al lui z pentru care limita există se numeşte domeniu de convergenţă.

Mai sus s-a definit transformata z unilaterală. Dacă şirul este bilateral, se defineşte transformata z bilaterală ca limită a sumei:

Z,f

Zk

kzkf ][

Pentru transformarea z folosim simbolizarea Z/Nttf ]}[{ �—ı f(z) .

Exemplu: Să se calculeze transformata z a şirului Nttf ]}[{ , unde ahtetf ][ . (Provenienţa expresiei: akhat e)kh(f,e)t(f ahtetf ][ ).

N,f

nznf...zff ][]1[]0[ 1

1

1221

1)(11

zezeze...zeze ah

nahnnahahah

11

11

)(111

ze,

ezezelim)z(f ah

ahah

nah

n

ahah ez,

ezz)z(f

Domeniul de convergenţă (exteriorul cercului de rază ahe ) este reprezentat haşurat.

În teoria sistemelor, în cazul transformatei z, se folosesc, de asemenea, diferite proprietăţi ale acesteia: proprietatea de liniaritate şi teorema de translatare la stânga şi la dreapta (teorema de translatare diferă după cum operăm cu transformata z unilaterală sau bilaterală).

În tehnică folosim transformata z pentru a putea opera cu semnale eşantionate. În general, acestea sunt asociate unor semnale în timp discret obţinute prin eşantionarea cu pas constant a unor semnale în timp continuu (ca şi în exemplul dat). Folosind modele bazate pe transformata z, rezultatele obţinute prin calcule se referă strict la momente de eşantionare.


Ce se întâmplă între momentele de eşantionare ?

Pentru a putea răspunde la întrebare, se foloseşte transformata z modificată. Ea este asociată unor şiruri de eşantionare prelevate la momente diferite de khtk , anume la momentele hkht ,k , unde ., )10[

h

t

)z(f )f(z,

h

f

Transformata z modificată este notată cu )(zf şi corespunde şirului de valori decalate în timp.

c) Tabele de transformare

În practică se lucrează cu transformate Laplace şi cu transformate z care se iau din tabele de transformare. Operăm cu tabele de transformare care au structura din figură:

(1) (2) (3) (4) f(t), t>0 f(s) )z(f Z }{ )s(f )(zf Z }{ )s(f

ate as 1 ahez

z

ah

na

ezze

... ... ... ...

În coloana (1), f(t) este o funcţie de timp continuu, unilaterală.

În coloana (2), apare transformata Laplace a lui f(t), anume f(s) •―◦ f(t).

În coloana (3), apare transformata z a şirului care se obţine din f(t) prin eşantionare la momentul t=kh. Prin notaţia Z )}s(f{ facem următoarea asociaţie de idei: f(z) este transformata z asociată şirului de valori care se obţine prin eşantionarea originalului lui f(s) la momentele t=kh.

În coloana (4) apare transformata z modificată.

Observaţii:

Exemplul dat în tabel atrage atenţia asupra faptului că rezultatul obţinut prin transformata Laplace este unic, pe când cel obţinut cu transformata z depinde de mărimea pasului de discretizare h.

Prin trecerea la limită pentru 0 , rezultatul din coloana (4) trebuie să conducă la expresia din coloana (3).

Cu câteva excepţii, transformatele z sunt funcţii raţionale, al căror numărător se divide prin z.

Folosind calculul operaţional, simplificăm rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale liniare sau a ecuaţiilor recursive liniare, algebrizându-le.

4. Spectrul semnalelor

Din punctul de vedere al periodicităţii în raport cu timpul, distingem semnale periodice şi semnale neperiodice.


Pentru a putea estima efectele semnalelor, se folosesc pe larg spectrele acestora. În cazul semnalelor periodice, spectrul este discret. În cazul semnalelor neperiodice, spectrul este continuu.

Baza matematică pentru obținerea o reprezintă descompunerea în serie Fourier, respectiv transformarea Fourier.

a) Semnale periodice

Fie x(t) un semnal periodic de perioadă T0, deci de frecvenţă 0T1f şi pulsaţie

00

2T

. Un astfel de semnal

poate fi descompus în serie Fourier. Distingem:

Forma complexă a seriei Fourier, adică descompunerea:

n

tnjn ec)t(x 0 (1)

Forma reală a seriei Fourier, adică descompunerea:

100 )(

nnn tncosAA)t(x . (2)

Coeficienţii nc sunt numere complexe şi se numesc coeficienţi ai seriei Fourier complexe.

În cazuri simple, ei pot fi determinaţi prin aducerea expresiei lui x(t) la forma (1). Dacă funcţia x(t) este absolut integrabilă (integrala modulului )(tx este finită), atunci coeficienţii se

pot obţine cu formula

Zn,dte)t(xT

c

T

T

tnjn

20

0

0

20

1 . (3)

În reprezentare polară coeficienţii se scriu sub forma ncargjnn ecc .

Legătura dintre coeficienții seriei Fourier complexe și coeficienții seriei Fourier reale este dată de formulele

Nn,carg,n,c

n,cA nn

nn

12

00 . (4)

Se numesc: spectru de amplitudine, respectiv spectru de fază ale semnalului x(t) asociate pe baza formei complexe a seriei Fourier, mulţimile valorilor

Znnc

, respectiv ale valorilor Znncarg asociate cu mulţimea de pulsaţii

Znn }{ 0 , iar spectru de amplitudine, respectiv spectru de fază ale semnalului x(t) asociate pe baza formei reale a

seriei Fourier, mulţimii valorilor NnnA , respectiv ale valorilor Nnn asociate mulţimii de pulsaţii

Nnn }{ 0 . Cele două spectre se reprezintă de regulă în funcţie de 0n : reprezentarea spectrului de amplitudine înseamnă

reprezentarea mulţimii de puncte Znnc,n

)( 0 sau NnnA,n )( 0 , iar reprezentarea spectrului de fază

înseamnă reprezentarea mulţimii de puncte Nnn,n )( 0 sau Znncarg,n )( 0 . De regulă în loc de

puncte se reprezintă segmente (spectru de linii) de amplitudine nc sau nA , respectiv ncarg sau n , distanța


dintre două linii consecutive fiind de ω0 unități. Spectrele semnalelor periodice pot fi considerate și ca funcţii de variabila discretă n, caz în care distanța dintre două linii consecutive este de o unitate. De remarcat că spectrul de amplitudine al semnalului x(t) asociat pe baza seriei Fourier reale diferă de spectrul de amplitudine al semnalului x(t) asociat pe baza seriei Fourier complexe prin omiterea componentelor corespunzătoare lui n<0 și dublarea valorilor componentelor corespunzătoare lui n > 0 (se însumează nnn ccc 2 ), iar spectrul

de fază al semnalului x(t) asociat pe baza seriei Fourier reale reține din cel asociat pe baza seriei Fourier compleze, doar valorile corespunzătoare lui Nn .

Exemplul 1: Să se determine spectrul de amplitudine şi spectrul de fază ale semnalului x(t)=sin2t.

Soluţie: Folosind formula lui Euler jj eej2

1sin , expresia lui x(t) devine:

t2jt2jt2jt2j e2j1e

2j1)ee(

2j1x(t) tj

c

jtj

c

jtjtj eeeeejej 2

1

22

1

22221

21

21

21

.

În consecință, seria Fourier complexă este tj

c

jtj

c

jeeeetsin)t(x 2222

11

21

212

, ceea ce înseamnă

că spectrele de amplitudine și fază au doar câte două linii corespunzătoare punctelor

2

1210 ,c, şi

21210 ,c, , respectiv

2

210 ,carg, şi

2

210 ,carg, . Dacă operăm cu valori

raportate ale pulsației, adică cu n în loc de 0n , liniile corespund

punctelor

2

111 1 ,c, şi

2111 1 ,c, , respectiv

2

11 1,carg, şi

211 1

,carg, . Cele două spectre sunt

reprezentate în figura alăturată.

Seria Fourier reală este )2

2(2 tcostsin)t(x , spectrele

de amplitudine și fază având doar câte o singură linie corespunzătoare

punctuliu şi 1210 ,A, , respectiv

2210

,, . Dacă operăm cu valori raportate ale pulsației, adică cu n

în loc de 0n , liniile corespund punctelor 121 1 ,A, , respectiv

211 1

,, .


Exemplul 2: Să se determine spectrul de amplitudine şi spectrul de fază complexe ale semnalului

tf4sinbtf2sina2)t(x 2 , cu b,a > 0 parametri reali.

Soluţie: Observăm că x(t) este un semnal periodic de pulsaţie f 40 . Îl supunem unor transformări succesive, după cum urmează:

tf4sinb)tf4cos1(a)t(x

tf4jtf4jtf4jtf4j eej2

bee21aa)t(x

tf4jtf4j ebj1a

21aeb

j1a

21)t(x

tf4j0jtf4j e)bja(21aee)jba(

21x(t)

tf4j

c

abarctgj22

0j

c

tf4j

c

abarctgj22

ee2

baeaee2

ba)t(x

1

0

1

De data aceasta spectrul de amplitudine şi cel de frecvenţă sunt formate din câte trei puncte:

24

22

10ba,fc, , a,c, 00 0 şi

24

22

10ba,fc, ,

în cazul spectrului de amplitudine, respectiv

a

barctg,fcarg, 410 , 000 0 ,carg, ,

abarctg,fcarg, 410

în cazul spectrului de pulsaţie.

Aspectul celor două spectre este redat în figurile de mai jos.


b) Semnale neperiodice

Semnalele neperiodice x(t) (absolut integrabile) sunt caracterizabile prin transformarea Fourier (bilaterală):

dte)t(x)(x tj

Seria Fourier nu este utilizabilă pentru acest caz întrucât unui semnal neperiodic, extins pe întreaga axă reală, îi corespunde o periodă 0T , respectiv o pulsaţie 00 . Deoarece 00 rezultă că spectrul semnalelor neperiodice ar trebui să fie unul continuu. Funcția )(x , R reprezintă spectrul de amplitudine al semnalului, iar funcția )(xarg , R reprezintă

spectrul de fază. Domeniul de pulsaţii pe care 0)(x se numeşte bandă de pulsaţii. Fie ][ BB , banda de

pulsaţii a unui semnal. Atunci, frecvența

2f BB se numeşte frecvenţă de bandă, iar frecvența Bs f2f

frecvenţă Nyquist. Un exemplu important este semnalul impuls Dirac de amplitudine A, f(t) = A(t). El are transformata Fourier

f() = A. În consecință spectrul de amplitudine este A)(f , iar spectru de fază

000

Adaca,Adaca,

)(farg

.

Rezultatul este important prin faptul că spectrul de amplitudine fiind constant (bandă de pulsații infinită) rezultă că un impuls Dirac aplicat la intrarea unui sistem excită toate frecvențele proprii ale sistemului.

Exemplul 3. Să se determine spectrul de amplitudine şi spectrul de fază ale impulsului ][ 00 )tt()tt(a)t(x , 0t0 .

Transformata Fourier a lui x(t) este:

0

0

t

t

tjtj dteadte)t(x)(x . Dezvoltând, obţinem:

020

0tsina)tcosjt(sina)(x

t

t

,

respectiv spectrele

)(22000 tSitatsina)(x

,

}))({[})(){[(

restîn,Zkk,kZk)k,kt,)(xarg 0 12222120 .

Exemplul 4. Să se determine spectrul de amplitudine şi spectrul de fază ale impulsului ]2[ 0 )tt()t(a)t(x ,

0t0 . Acest semnal rezultă din cel din exemplul anterior prin translatare la dreaptă cu t0 secunde.

Transformata Fourier a lui x(t) este:

02

0

t

dteadte)t(x)(x tjtj .


Dezvoltând, obţinem:

002

0

000

2122 tje

tsina)t(cosjtsina)tcosjt(sina)(x

t

.

În acest caz spectrul de amplitudine şi spectrul de fază sunt date de funcţiile:

)(22000 tSitatsina)(x

,

}))({[})(){[(

restîn,tZkk,kZk)k,kt,t)(jxarg 00

0

1222212 .

Temă: a) Să se arate că pentru exemplul 3 de mai sus, transformatei Fourier și celor două spectre le corespund reprezentările grafice din figura de mai jos.

b) Să se reprezinte grafic spectrele de amplitudine și de fază pentru exemplul 4 de mai sus.

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

2

omega [sec*(-1)]

x

Transformata Fourier a semnalului din exemplul 3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

omega [sec*(-1)]

mod

ul (x

(om

ega)

)

Spectrul de amplitudine al semnalului din exemplul 3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 200

1

2

3

4Spectrul de fazã al semnalului din exemplul 3

omega [sec*(-1)]

arg(

x(om

ega)

[rad

]

§ 1.2 semnale...dragomir, t.l., teoria sistemelor, curs anul ii cti, 2014/2015 16 0 t 1 t În...

Documents