TEORIA HAOSULUI

Un fluture btnd din aripi undeva n Europa poate declana o tornad n Texas. Aa afirm teoria haosului. Aceast teorie - n esen - indic faptul c mici modificri ale datelor iniiale ale unui sistem complex poate duce la stri finale al sistemului foarte diferite. Edward Lorenz este cel care pune bazele acestei teorii. CONINUTUL ARTICOLULUI: Ce este teoria haosului? Cine a "inventat" teoria haosului? Teoria haosului i viaa de zi cu zi Haosul nu este chiar... haos Exemple de comportament haotic n natur CE ESTE TEORIA HAOSULUI? Teoria haosului afirm c mici variaii ale unor parametri ai unui sistem complex pot duce la rezultate complet diferite. Probabil c ai auzit de efectul fluturelui (ori, n varianta englez, butterfly effect). Acest exemplu vine din zona meteorologiei i ne spune c mici variaii ale vremii ntr-o anumit parte a globului pot duce la modificri semnificative ale situaiei meteo din alt parte a Pmntului; ori, mai simplu spus, btaia aripilor unui fluture n Bucureti poate duce la declanarea unui uragan n Pacific

CINE A "INVENTAT" TEORIA HAOSULUI? Aceast teorie l are ca printe pe matematicianul i meteorologul american Edward Lorenz, care n anii 60 ai secolului trecut a folosit calculatorul pentru a crea modele ale situaiei meteo. Lorenz a observat cum mici ajustri ale valorilor de intrare (rotunjirea unor la valori, punnd n loc de 0,345676, de pild, 0,345) au generat scenarii ale vremii radical diferite fa de cazul n care s-au pstrat valorile iniiale. Pe de alt parte, cercettorul american a observat un fapt esenial, o caracteristic fundamental a sistemelor haotice: la variaii multiple a valorilor de intrare sunt favorizate anumite modele pentru rezultatele finale. Aadar, dei nu se poate prezice exact care va fi modelul final n funcie de variabila modificat, anumite rezultate par a fi

favorite n pofida altora. Aceste modele favorite pentru a descrie starea final a sistemului au fost denumite de Lorenz atractori.

TEORIA HAOSULUI I VIAA DE ZI CU ZI Dar teoria haosului poate fi ilustrat i din alt perspectiv, a vieii de zi cu zi. S lum urmtorul exemplu. n loc s ieii pe ua casei, aa cum obinuii n fiecare diminea, la orele 8.00, ntr-o anume zi ntrziai un sfert de or pentru c vi s-a terminat pasta de dini, iar tubul cel nou cu past s-a lsat greu gsit. Astfel, n loc s ajungei la 8.45 la serviciu, e de ateptat s ajungei la 9.00. Numai c la 8.50 are loc un cutremur devastator care duce la prbuirea cldirii unde avei biroul, iar toi cei din cldire sunt strivii. E posibil s considerai c vreun zeu bizar v-a avut n vedere i v-a salvat pe dumneavoastr, avnd el vreun motiv ascuns. Ori e posibil s considerai c ai avut noroc, s v gsii un nou loc de munc i n jumtate de an s descoperii cum se poate produce energie gratuit nelimitat pentru ntreaga omenire (s zicem c realizai fuziunea nuclear). n felul acesta, nu numai c vei deveni celebru, iar numele dumneavoastr va subzista att ct va exista specia uman, dar milioane de oameni v vor datora, literalmente, viaa. n felul acesta, pornind de la terminarea unui tub de past de dini, umanitatea se alege cu cea mai mare realizare tehnologic din istorie. http://www.youtube.com/watch?v=sDQXqDuebqU&feature=player_embedded#at=2 O scurt introducere video n teoria haosului. Despre efectul fluture i fractali. HAOSUL NU ESTE CHIAR... HAOS Un sistem complex cum este sistemul meteorologic al Pmntului poate fi privit ca haotic. n fapt, haosul care apare cercettorului nu este n fapt haos, ci un sistem att de complex nct este imposibil s fie surprins n toate variabilele sale. Aadar, sistemul haotic este unul determinist,

iar dac i cunoti punctul de plecare i i poi controla variabilele, i poi prezice i strile intermediare ori finale. O alt caracteristic cardinal a unui sistem haotic este aceea c pornind de la o stare final a acestuia nu se poate nelege starea sa iniial. Se ntmpl astfel, pentru c exist mai multe ci de a ajunge la acelai rezultat. Necunoaterea evoluiei sistemului face imposibil reconstituirea acesteia doar pe baza strii finale. EXEMPLE DE COMPORTAMENT HAOTIC N NATUR Comportamentul haotic este foarte rspndit n natur. Haosul nu afecteaz doar prognoza meteo, ci a fost identificat de oamenii de tiin n circuitele electrice, lasere, reacii chimice, dinamica sateliilor din sistemul nostru solar, creterea populaiei ori vibraiile moleculare. De asemenea, unii experi afirm c haosul este prezent n micarea plcilor tectonice i chiar n economie.

Teoria haosului are un nceput n ncercrile lui Henri Poincar de modelare matematic a instabilitii sistemelor mecanice, pe la nceputul secolului. Ea s-a dezvoltat o dat cu perfecionarea calculatoarelor i creterea consecutiv a puterii lor de calcul. Aceast teorie a furnizat mijloacele de studiu a sistemelor complexe. Prin aceasta i-a gsit aplicaii n multe domenii, din cele mai diverse, i a revoluionat cunoaterea tiinific. eoria haosului este studiul sistemelor complexe aflate in permanenta miscare, bazate pe concepte matematice ale recursivitatii, fie sub forma unui proces recursiv, fie un set de ecuatii diferite care modifica un sistem fizic. Numele de Teoria haosului provine de la faptul ca sistemele pe care teoria le descrie sunt aparent dezordonate, dar teoria haosului cauta de fapt ordinea interioara in aceste aparent intamplatoare date. Teoria haosului porneste de la ideea ca trebuie sa cautam n natura termeni contrarii, tensiunea generata de contradictii, de cumulare si relaxare, de invatare si uitare etc. Natura "lucreaza neliniar" si implicit haotic. De exemplu, o mica ntrziere a autobuzului de dimineata poate sa strice ntreg programul din aceeasi zi ( o adevarata catastrofa). Cea mai des intalnita conceptie gresita in legatura cu teoria haosului este aceea ca aceasta teorie se refera la dezordine.Nimic nu e mai departe de adevar ca aceasta afirmatie. Haosul din teoria haosului inseamna ordine in cel mai simplu sens al acestuia. Astfel, teoria haosului nu pune accent pe dezordine(caracterul imprevizibil mostenit al unui sistem), ci pe ordinea mostenita a sistemului(caracterul universal al sistemelor similare).\ Primul adevarat experimentator legat de aceasta teorie a fost meteorologul Edward Lorenz. In 1960, el lucra la o problema de prezicere a vremii. Lorenz construise un calculator cu un set de 12 ecuatii dupa modelul vremii. Nu prezicea vremea, teoretic, acest computer prezicea cum ar putea sa fie vremea. Intr-o zi din anul 1961, el a vrut sa revada o anumita secventa. Pentru a salva timp, a pornit de la mijlocul secventei si nu de la inceput. A introdus numerele din documentele printate anterior si a asteptat rezultatele. Intorcandu-se dupa o ora, a observat ca secventa evoluase diferit. In loc sa urmeze acelasi algoritm ca mai devreme, a divagate de la acesta, sfarsind complet diferit fata de original. (fig. 1) Intr-un final, a realizat ce s-a intamplat. Computerul a stocat numerele pana la 6 zecimale in memorie. Pentru a economisi

hartie, el le-a printat cu numai 3 zecimale. In secventa originala, numarul era .506127, iar el a intodus numai .506. Conform tuturor ideilor conventionale de timp, rezultatul ar fi trebuit sa difere foarte putin de secventa originala. Lorenz a demonstrat ca aceasta ide este gresita. Acest effect a ajuns sa fie cunoscut ca si The butterfly effect. Diferenta initiala intre doua curbe este atat de mica incat se poate compara cu un fluture care da din aripi. The flapping of a single butterfly's wing today produces a tiny change in the state of the atmosphere. Over a period of time, what the atmosphere actually does diverges from what it would have done. So, in a month's time, a tornado that would have devastated the Indonesian coast doesn't happen. Or maybe one that wasn't going to happen, does. (Ian Stewart, Does God Play Dice? The Mathematics of Chaos, pg. 141) Acest fenomen, comun teoriei haosului, este de asemenea cunoscut ca o dependenta senzitiva de conditiile initiale. o mica schimbare in consitiile intiale poate schimba drastic comportamentului unui system pe termen lung. Pornind de la aceasta ide, Lorenz a afirmat ca este imposibil sa se prezica vremea cu exactitate. Totusi, descoperirea l-a condus pe Lorenz la alte aspecte care in cele din urma au ajuns sa fie cunoscute drept teoria haosului. Lorenz a dorit ca creeze un sistem mai simplu decat cel cu 12 ecuatii care sa depinda la fel de mult de factorii initali. Astfel, a reusit sa creeze un system cu numai 3 ecuatii dependenr de factorii initiali. Mai tarziu, s-a descoperit ca aceste ecuatii descriau prcisa a morii de apa. Cand a reprodus graphic rezultatele, Lorenz a observat ca acesta se incadra mereu intr-o spirala dubla. Astfel, ecuatiile lui Lorenz nu se intalneau in acelasi punct niciodata, dar pentru ca nici nu se repetau nu erau nici periodice .A numit aceasta imagine Atractorul Lorenz.(fig 2) In 1963, Lorenz a publicat ceea ce a descoperit, dar pentru ca nu era nici matematician, nici fizician, descoperirile sale nu au fost luate in considerare decat dupa ce au fost redescoperite de altii. Mandelbrot se intreba despre lungimea linie de tarm, asa ca s-a ghidat dupa o harta care cuprindea multe golfuri. Cu toate acestea, masurand lungimea coastei direct de pe harta, el a pierdut din vedere micile golfuri care erau considerate prea mici pentru a fi trecute pe harta. Oricat de mult ar fi marita harta, tot ar exista multe golfuri vizibile doar daca s-ar mari mai mult. Matematicianul Helge von Koch, a folosit aceasta ide pentru a crea curva Koch. Pornind de la un triunghi echilateral, la care a adaugat inca un triunghi echilateral pentru fiecare a treia parte a triunghiului initial(fig 4) Acesta curba aduce cu sine un paradox: de fiecare data cand sunt adaugate triunghiuri noi, lungimea liniei creste. Totusi, zona interioara a curbei ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. Exemple aruncarea unei monede. Sunt doua variabile de care depinde: cat de repede loveste pamantul si cat de rapid se invarte. Teoretic, ar fi posibil sa se controleze aceste variabile pentru a controla moneda. Este posibil sa se puna variabilele intr-o anumita ordine, dar este imposibil sa fie controlate destul de bine astefel incat sa se cunoasca rezultatul finalo problema similara se intalneste in ecologie, in prezicerea populatiei. Ecuatia ar fi simpla daca populatia ar creste indefinit, dar efectul unui stoc limitat de mancare face aceasta ecuatie incorecta. Aplicatii in viata de zi cu zi: Tehnicile teoriei haosului au fost folosite pentru crearea de sisteme biologice, care sunt unele

din cele mai haotice sisteme imaginabile. Sisteme de ecuatii dinamice au fost folosite pentru aflarea a orice de la cresterea populatiei la bataile neregulate ale inimii.Inima omului urmeaza un model haotic. Timpul intre bataile inimii nu ramane constant, ci depinde de activitatea cardiaca, printre alte lucruri. Analiza batailor inimii, care pot incetini sau se pot intensifica, pot ajuta cercetatorii stiintifici sa gaseasca cai sa readuca un ritm anormal intr-o rata stabila. De fapt, aproape orice sistem haotic poate fi imitat cu usurinta piata de specialitate ofera tehnologii usor de utilizat. Arta computerizata a devenit mult mai realistica folosind haosul si fractalii. Acum,cu o simpla formula, un computer poate crea un copac realist. Fractalii au rasarit peste tot, dar cel mai evident este in aplicatiile grafice cum ar fi renumitele serii de productie Fractal Design Painter. Industia efectelor speciale folosite in filme ar fi fost mult mai putin realistica fara tehnologia fractal graphic. Teoria haosului (sau teoria sistemelor complexe) este o ramur a matematicii i fizicii moderne care descrie comportamentul anumitor sisteme dinamice neliniare, acelor sisteme care prezint fenomenul de instabilitate numit sensibilitate fa de condiiile iniiale, motiv pentru care comportamentul lor pe termen relativ lung (dei se conformeaz legilor deterministe) este imprevizibil, adic aparent haotic (de unde i denumirea teoriei).

http://www.descopera.org/teoria-haosului/ Numele de Teorie a Haosului vine de la faptul ca in sistemele descrise de ea exista o dezordine aparenta. Teoria haosului este un domeniu de studiu in matematica, fizica, economie si filozofie si se ocupa cu studierea comportamentului sistemelor dinamice care sunt foarte sensibile fata de conditiile initiale. Aceasta sensibilitate mai este numita si efectul fluturelui. Mici modificari ale conditiilor initiale (cum ar fi rotunjirea numerelor cu care se lucreaza) au ca efect rezultate haotice, facand ca anticiparea efectelor pe termen lung sa fie imposibila. Acest lucru se intampla chiar daca sistemele sunt deterministice, ceea ce inseamna ca comportamentul lor viitor este determinat in intregime de conditiile initiale, fara interventia altor elemente aleatorii. Cu alte cuvinte, natura deterministica a acestor sisteme nu le face predictibile. Acest comportament este cunoscut sub denumirea de haos deterministic. Comportamentul haotic a fost observat in laborator pe o varietate de sisteme care include circuite electrice, lasere, reactii chimice oscilante, dinamica fluidelor si aparate magneto-mecanice si mecanice, dar si in simulari virtuale ale proceselor haotice. Una dintre aplicatiile cele mai de success a teoriei haosului este in ecologie, unde sistemele dinamice de genul modelului lui Ricker au fost folosite pentru a arata cum cresterea populatiei in raport cu suprafata ocupata duce la o dinamica haotica.

Sistemele complexe sunt sistemele care contin atata de multe elemente in miscare incat e nevoie de un calculator care sa calculeze toate posibilitatile de interactiune. Acesta e motivul pentru care Teoria Haosului nu avea cum sa apara inainte de sfarsitul secolului al XX-lea. Mai exista un alt motiv pentru care aceasta teorie a aparut atat de recent, acel motiv e Revolutia Mecanicii Cuantice si felul in care a terminat Era Deterministica. Pana la aparitia mecanicii cuantice oamenii credeau ca fenomenele sunt cauzate de alte fenomene si ca tot ce se duce in sus trebuie sa vina in jos, si numai prin descoperirea si etichetarea fiecarei particule din Univers am putea sa cunoastem tot ce urma sa se intample. Sisteme intregi de gandire au fost bazate pe aceasta idee si din nefericire inca sunt. Atunci cand Sigmund Freud a inventat psihanaliza, el a pornit de la ideea ca problemele mentale sunt rezultatul unor traume din trecut. Regresia permitea pacientului sa isi strabata amintirile, sa gaseasca si sa infrunte problema. Toata aceasta idee se baza pe o cauza si un efect liniar. Teoria Haosului ne arata ca natura lucreaza dupa anumite tipare care sunt suma mai multor impulsuri marunte. In 1960. Edward Lorentz a creat un model meteorologic pe unul din calculatoarele Universitatii din Massachusetts. Modelul meteorologic al lui Lorentz era compus dintr-o serie larga de formule complexe. Colegii si studentii au ramas uimiti in fata modelului, deoarece acesta nu parea sa repete nici o secventa, era cat se poate de asemanator cu vremea reala. Unii oameni chiar au sperat ca daca vor fi introduse niste date meteorologice , care sa fie in concordanta cu vremea de afara, modelul s-ar transforma intr-un adevarat profet. Intr-o zi, Lorentz a schimbat modul de lucru al modelului. A lasat programul sa ruleze anumiti parametri in baza carora sa genereze un anumit tipar meteorologic pentru a putea sa observe mai bine finalitatea procesului. Dar in loc sa lase programul sa ruleze cu setarile initiale si sa calculeze rezultatul, Lorentz a decis sa opreasca si apoi sa porneasca programul de la jumatatea secventei de rulare prin introducerea valorilor pe care programul le calculase mai devreme si l-e tiparise. Dar imprimanta putea sa tipareasca doar ultimele 3 zecimale. Deci in loc sa introduca exact aceleasi numere cu 6 zecimale calculate de masina (care tineau loc de vant, soare, etc.), Lorentz a introdus numere cu doar 3 zecimale. Aceasta inexactitate aparent minora a fost amplificata si a dat peste cap intreg sistemul. Aceasta exactitate este foarte importanta. Vremea

reprezinta comportamentul tuturor moleculelor care formeaza atmosfera. Principiul Incertitudinii ne impiedica sa sa localizam cu exactitate o particula, acesta este motivul pentru care previziunile meteorologice nu sunt valabile mai mult de 2-3 zile, si totodata acesta e motivul pentru care ele sunt simple aproximari ale situatiei din acel moment. Prin prisma ideilor conventionale ale acelei vremi, Lorenz nu facuse nimic gresit. El ar fi trebuit sa obtina un rezultat destul de asemanator cu cel precedent. Un cercetator se poate considera norocos daca masuratorile sale au o acuratete de 3 zecimale. Si e evident ca cea de a 5-a si cea de 6-a zecimala sunt imposibil de masurat prin metode rezonabile si totodata ca aceste valori atat de mici nu au cum sa influenteze rezultatul experimentului. Lorentz a demonstrat ca aceasta idee e gresita. Efectul Fluture Acest efect se mai numeste si efectul fluture si se refera la diferenta dintre punctele de pornire ale celor doua curbe din grafic care e atat de mica incat poate fi comparata cu bataia aripilor unui fluture. Miscarea aripilor unui fluture azi poate produce o mica schimbare a atmosferei. Din aceasta cauza si de-a lungul unei anumite perioade de timp, atmosfera se va schimba. Peste o luna poate, o tornada care trebuia sa loveasca coasta Indoneziei nu va mai aparea. Sau din contra, tocmai din aceasta cauza va aparea. Acest fenomen este cunoscut mai ales pentru dependenta sa de conditiile initiale. Cea mai mica schimbare a conditiilor initiale duce la rezultate complet diferite. Aceasta schimbare poate proveni de la zgomot experimental sau de fond, lipsa de acuratete a instrumentelor, etc. Acest gen de probleme sunt imposibil de evitat, chiar si in cel mai performat si dotat laborator existent. Daca folosim ca baza a experimentului numarul 2, rezultatul va fi complet diferit fata de experimentul in care folosim 2.0000001. Un asemenea nivel de acuratete e imposibil incercati sa masurati 0.0000001 cm. Un exemplu de sistem complet dependent de conditiile initiale e aruncarea unei monede. Exista doua variabile in aruncarea unei monede: cat de repede loveste pamantul si cat de repede se roteste. Teoretic, este posibil sa controlam aceste variabile, astfel reusind sa stabilim ce fata va cadea in sus. Practic, e imposibil de controlat in mod exact viteza de rotatie a monedei si inaltimea la care e aruncata. Este posibil sa stabilim o medie ai acestor parametri, dar e imposibil ca in baza lor sa facem estimari exacte asupra rezultatului final. Aceasta problema poate fi regasita in biologie la estimarea populatiilor biologice. Ecuatia ar fi simpla daca acele populatii doar ar creste, dar efectul pradatorilor si a rezervei limitate de hrana schimba totul. Atractorii Sistemele complexe par uneori prea haotice pentru a mai putea recunoaste in ele un tipar. Dar prin folosirea unor anumite tehnici, o gama larga de parametri pot fi concentrati intr-un singur punct de pe un grafic. Primii teoriticieni ai haosului au descoperit faptul ca sistemele complexe par a parcurge anumite cicluri de evenimente, chiar daca acele evenimente sunt rareori repetate si replicate exact. Reprezentarea sistemului sub forma unui grafic indica faptul ca exista o anumita stare la care sistemul incearca sa ajunga, un fel de echilibru. Imaginati-va un oras cu 10.000 de locuitori, pentru a-i acomoda pe toti, orasul e nevoit sa construiasca 1 supermarket, 2 piscine, o biblioteca si o biserica. Sa presupunem ca aceasta configuratie multumeste pe toata lumea. Dar o companie va deschide o fabrica de inghetata in acest oras si va pune la dispozitie 10.000 de locuri de munca care vor atrage alti oameni. Orasul trebuie sa se extinda rapid pentru a reusi sa ii acomodeze pe toti cei 20.000 de locuitori. Alte

constructii vor fi adaugate la cele initiale, pana in clipa in care se va ajunge la un echilibru. Acest echilibru se numeste atractor. Acum sa spunem ca in loc de a adauga 10.000 de oameni, 3.000 se vor muta si 7.000 vor ramane. Supermarket-ul are nevoie de cel putin 8.000 de clienti pentru a putea functiona. Asa ca se va inchide iar oamenii raman fara magazin. Cererea creste si o alta companie deschide un magazin in zona, sperand ca noul magazin va atrage noi oameni. Si asa si este, dar oamenii deja au hotarat ca pleaca iar noul magazin nu le schimba planurile. Magazinul e deschis timp de un an dupa care da faliment. Oamenii se muta, cererea creste, alt magazin deschis, oamenii se muta si iar nu sunt suficienti, magazinul se inchide iar si tot asa. Aceasta situatie reprezinta si ea un fel de echilibru, un echilibru dinamic. Echilibrul dinamic se numeste atractor straniu. Diferenta dintre cei doi atractori e faptul ca atractorul reprezinta o stare finala a sistemului, in timp ce atractorul straniu reprezinta o traiectorie pe care ruleaza sistemul de la o situatie la alta fara a ajunge la o finalitate. Descoperirea atractorilor explica multe, dar cel mai interesant fenomen descoperit de Teoria Haosului este Auto-Similaritatea. Un fulg de zapada este compus din molecule de apa. Aceste molecule nu au un sistem nervos sau A.D.N. care sa le spuna ce sa faca. Cum de stiu aceste molecule unde sa se duca si ce sa faca ca sa formeze o stea cu sase colturi? Si de ce sunt diferite de fiecare data? De unde stie molecula, ce formeaza unul din colturile fulgului, ce model o sa urmeze celelalte molecule, din alte colturi ale fulgului?

Principalele aspecte ale Teoriei Haosului sunt: -cea mai mica schimbare a parametrilor initiali vor produce un comportament complet diferit al acelui sistem complex. -principiul incertitudinii neaga acuratetea. De aceea sitiatia initiala a unui sistem complex nu poate fi determinata cu precizie, prin urmare nici evolutia unui sistem complex.

-sistemele complexe, de obicei, incearca sa ajunga intr-o anumita situatie. Acea situatie poate fi statica (Atractor) sau dinamica (Atractor Straniu). Curba lui Koch

Un alt matematician, Helge von Koch, a creat o constructie matematica numita Curba lui Koch. Pentru a crea curba lui Koch, imaginati-va un triunghi echilateral. Acuma adaugati pe fiecare latura un alt triunghi echilateral si continuati sa adaugati pe fiecare din laturile triunghiurilor un alt triunghi echilateral, ceea ce rezulta e o curba Koch. Orice parte a ei, marita, arata exact ca originalul. Aceasta e o figura autosimilara. Curba lui Koch prezinta un paradox interesant. De fiecare data cand un nou triunghi este adaugat la figura centrala, lungimea liniei creste. Dar aria interioara a curbei lui Koch ramane mai mica decat aria unui cerc desenat in jurul triunghiului original. In esenta, este o linie de o lungime infinita ce inconjoara o zona finita. Fractalii Pentru a putea depasi aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunile fractale. Cuvantul fractal provine din cuvantul fractional. Un fractal este o figura geometrica fragmentata sau franta care poate fi divizata in parti, astfel incat fiecare dintre acestea sa fie (cel putin aproximativ) o copie miniaturala a intregului. Dimensiunea fractala a curbei lui Koch e de 1.26. O dimensiune fractionala e imposibil de perceput, dar are sens. In comparatie cu cu o simpla linie sau curba, care au o singura dimensiune, curba Koch e bruta si incretita. De aceea ea ocupa spatiu mai usor, dar nu il poate umple asemenea unui patrat cu doua dimensiuni, deoarece nu are arie. Prin urmare dimensiunea curbei Koch e undeva intre cele doua. Termenul de fractal a ajuns sa descrie orice imagine care prezinta atributul de auto-similaritate.

Mai tarziu, un cercetator pe nume Feigenbaum studia bifurcatiile unei diagrame si incerca sa isi dea seama cat de repede apar acele bifurcatii. A reusit sa isi de-a seama ca au au o viteza de aparitie constanta. El a calculat-o la 4.669. cu alte cuvinte, a descoperit scara la care diagrama devenea auto-similara. Daca se micsora diagrama de 4.669 ori, ea ar fi aratat ca una din regiunile bifurcatiei. A decis sa studieze si celelalte ecuatii cautand un factor de scalare a lor. Spre surpriza sa, factorul de scalare era acelasi. Nu numai ca aceasta ecuatie complicata dadea dovada de regularitate, dar regularitatea era identica cu cea a unei ecuatii mult mai

simple. Aceasta era o descoperire revolutionara. El a descoperit ca o intreaga clasa de functii matematice se comportau in acelasi fel. Aceasta universalitate putea sa ii ajute pe alti cercetatori care studiau ecuatiile haotice. Universalitatea oferise cercetatorilor unealta necesata pentru a studia sistemele haotice. Acum ei puteau utiliza o simpla ecuatie pentru a afla rezultatul unei ecuatii mai complexe. Structurile fractale au fost observate si in alte locuri in afara mintii unui matematician. Vasele de sange care se ramnifica, ramurile unui copac, structura interna a plamanilor, graficele dela bursa, etc. Toate acestea au un singur lucru in comun: autosimilaritatea. Autor: Menssana, Editor Descopera.org.

Teoria HaosuluiSeptember 12th, 2008 by Medtruck

Teoria haosului are un nceput n ncercrile lui Henri Poincar de modelare matematic a instabilitii sistemelor mecanice, pe la nceputul secolului. Ea s-a dezvoltat o dat cu perfecionarea calculatoarelor i creterea consecutiva puterii lor de calcul. Aceast teorie a furnizat mijloacele de studiu a sistemelor complexe. Prin aceasta i-a gsit aplicaii n multe domenii, din cele mai diverse, i a revoluionat cunoaterea tiinific

Numele de Teoria haosului provine de la faptul ca sistemele pe care teoria le descrie sunt aparent dezordonate, dar teoria haosului cauta de fapt ordinea interioara in aceste aparent intamplatoare date. Teoria haosului porneste de la ideea ca trebuie sa cautam n natura termeni contrarii, tensiunea generata de contradictii, de cumulare si relaxare, de invatare si uitare etc. Natura lucreaza neliniar si implicit haotic. De exemplu, o mica ntrziere a autobuzului de dimineata poate sa strice ntreg programul din aceeasi zi ( o adevarata catastrofa). Cea mai des intalnita conceptie gresita in legatura cu teoria haosului este aceea ca aceasta teorie se refera la dezordine.Nimic nu e mai departe de adevar ca aceasta afirmatie. Haosul din teoria haosului inseamna ordine in cel mai simplu sens al acestuia.

Astfel, teoria haosului nu pune accent pe dezordine(caracterul imprevizibil mostenit al unui sistem), ci pe ordinea mostenita a sistemului (caracterul universal al sistemelor similare). Primul adevarat experimentator legat de aceasta teorie a fost meteorologul Edward Lorenz. In 1960, el lucra la o problema de prezicere a vremii. Lorenz construise un calculator cu un set de 12 ecuatii dupa modelul vremii. Nu prezicea vremea, teoretic, acest computer prezicea cum ar putea sa fie vremea. Intr-o zi din anul 1961, el a vrut sa revada o anumita secventa. Pentru a salva timp, a pornit de la mijlocul secventei si nu de la inceput. A introdus numerele din documentele printate anterior si a asteptat rezultatele. Intorcandu-se dupa o ora, a observat ca secventa evoluase diferit. Conform tuturor ideilor conventionale de timp, rezultatul ar fi trebuit sa difere foarte putin de secventa originala. Lorenz a demonstrat ca aceasta ide este gresita. Acest effect a ajuns sa fie cunoscut ca si The butterfly effect. Diferenta initiala intre doua curbe este atat de mica incat se poate compara cu un fluture care da din aripi.

http://www.scritube.com/stiinta/informatica/LUCRARE-DE-DIPLOMA-Teoriafrac15110711.php

Evolutia este haos cu reactie inversa. Joseph Ford, fizician, 1990

3.1. Notiuni introductivestiinta a cautat mereu ordinea ntr-un univers haotic, dominat de fenomene imprevizibile si incontrolabile. Dorinta de a fi cu un pas naintea timpului l-a caracterizat dintotdeauna pe om; el a dorit mereu sa poata anticipa viitorul, vremea, succesul sau esecul n comert, n evenimente sociale. Dar ntotdeauna Natura a dovedit ca nu poate fi cuprinsa n ntregime n legi pe baza carora sa-i fie descris si prezis comportamentul. Un sistem haotic este caracterizat prin instabilitatea, imposibilitatea de a fi controlat si dezordinea sa, prin dependenta de conditiile initiale, care determina mari modificari n starea sistemului, ca urmare a unei mici schimbari neperiodice anterioare. Supersensibilitatea la conditiile initiale este o notiune cheie a teoriei haosului. Aceasta nseamna ca evolutia sistemului este dependenta de starea initiala.

Formele neregulate si procesele haotice abunda n natura. Astfel, fumul dintr-o anumita sursa se raspndeste formnd o multime de vrtejuri, un curs de apa este nvolburat din cauza obstacolelor, o nava sau un avion lasa n urma o dra turbulenta. Instabilitate si haos ntlnim att n societate (politica si razboaie, boli, familie si relatii sociale), ct si n fenomene complexe, precum circuite electrice, eruptii de pojar, lasere, bataile inimii, activitatea electrica a creierului, mecanica fluidelor, reactii chimice, sau n sisteme simple precum un pendul. Teoria haosului a nceput ca un subdomeniu al fizicii si al matematicii, lucrnd cu structuri ale turbulentei (una dintre cele mai dificile probleme din fizica) si auto-similaritatea formelor din geometria fractala. Ea a aparut la sfrsitul anilor 60, fundamentata de matematicianul James Yorke de la Universitatea din Maryland. Primul care a descoperit nsa efectele haosului, pe care le-a numit Efectul fluturelui, a fost Edward Lorentz, meteorolog la Massachusetts Institute of Technology. De-a lungul ultimelor decenii, aceasta dependenta fata de conditiile initiale a fost cunoscuta sub diferite nume, precum Teoria haosului, Teoria complexitatii, Procese stohastice, etc. Teoria vizeaza procesele naturale exprimate sub forma formulelor matematice, calcule ce erau imposibile fara calculatoare. n calculul diferential, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale, care se ocupa cu fenomene naturale precum turbulenta apei sau piete financiare. Spre deosebire de ecuatiile liniare care se comporta previzibil, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale care se schimba brusc sau discontinuu. ntr-o ecuatie neliniara, o mica schimbare ntr-o variabila poate avea un efect disproportionat, chiar catastrofal asupra celorlalte variabile.

3.2. Efectul fluturelui - Atractorul LorentzSimulnd vremea pe calculator n 1961, Edward Lorentz a vazut oportunitatea de a combina meteorologia cu matematica. Modelul lui matematic al vremii era constituit dintr-un set de 12 ecuatii diferentiale care reprezentau schimbari n temperatura, presiune, intensitatea vntului, etc. ntr-o zi, vrnd sa repete o secventa interesanta din model, din dorinta de a salva timp, a renceput procesul din mijloc. Datele din aceasta rulare ar fi trebuit sa fie identice cu cele din prima rulare, dar rezultatul a fost surprinzator: desi au pornit similar, spre final au devenit complet divergente, al doilea model pierznd orice asemanare cu primul n cteva luni. O imagine a acestor doua rulari este prezentata mai jos:

Fig. 3.1. - Graficul obtinut de Lorentz n simularea vremii Lorentz a presupus ca a fost o eroare, fie cnd a introdus numerele, fie n derularea calculelor de catre calculator. Dupa ce a cercetat tot procesul, a descoperit sursa problemei: pentru a salva spatiu, imprimanta includea numai patru zecimale dupa virgula, n timp ce datele n memoria calculatorului era exacte pna la a sasea zecimala. Lorentz a introdus o diferenta ntre prima si a doua rulare, care nu s-a dovedit a fi nesemnificativa. El a ajuns la concluzia ca perturbatii extraordinar de mici ale datelor se mbina cu rapiditate, ducnd la o schimbare uriasa a vremii. Asadar, previzionarea vremii este pentru totdeauna compromisa. Daca modelul lui Lorentz s-ar asemana ntru totul cu realitatea, atunci o interferenta minuscula cum ar fi bataia de aripi a unui fluture n Amazon ar putea modifica radical vremea n Massachusettes. Efectul fluturelui, cunoscut mai exact ca dependenta sensibila de conditiile initiale, este o proprietate comuna a sistemelor naturale si sociale complexe. n concluzie, Lorentz a apreciat ca sunt imposibile previziunile precise n meteorologie datorita cunoasterii aproximative a legilor naturii si a situatiei Universului la momentul initial. Pentru a preciza modul n care se ajunge la haos, trebuie stiut ca un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Un atractor poate fi un punct, o curba, o suprafata sau mai adesea, un fractal, catre care converg traiectoriile izvorte din toate punctele care apartin vecinatatii sale. Lorentz a observat n reprezentarea grafica a sistemului sau de ecuatii ca rezultatul se mentinea mereu pe o curba, o spirala dubla. Erau cunoscute numai doua stari de ordine: o stare stabila, n care variabilele nu se schimbau niciodata, si comportament periodic, n care sistemul intra ntr-o bucla, repetndu-se nedefinit. Ecuatiile lui Lorentz erau clar ordonate: urmareau mereu o spirala. Nu se opreau niciodata ntr-un punct stabil, dar din moment ce nu repetau mereu acelasi lucru, nu erau nici periodice. El a numit imaginea pe care a obtinut-o Atractorul Lorentz.

Fig. 3.2. Atractorul Lorentz De ce un set de ecuatii complet deterministe au acest comportament? Raspunsul rezida n natura lor: sistemele neliniare, de altfel dificil de rezolvat, sunt supuse teoriei haosului si deseori manifesta comportamente extrem de complexe si haotice. n 1963, Lorentz a publicat o lucrare care descria ceea ce descoperise, nsa ntr-un jurnal meteorologic, pentru ca era meteorolog. Din aceasta cauza, descoperirile lui Lorentz nu au fost recunoscute dect ani mai trziu, cnd au fost redescoperite de altii. Lorentz descoperise ceva revolutionar, si acum astepta la rndul lui sa fie descoperit de altii.

3.3. Exemple de sisteme haoticeUn alt sistem n care sensibilitatea la conditiile initiale este evidenta este aruncarea unei monede. Exista doua variabile n acest experiment: ct de rapid moneda loveste pamntul, si ct de rapid se nvrte. Teoretic, ar trebui sa fie controlabile aceste variabile n totalitate, precum si rezultatul aruncarii. n practica, este imposibil de controlat exact ct de sus va sari moneda si ct de repede se va roti. Se pot ncadra variabilele ntr-un interval anume, dar este imposibil de controlat astfel nct sa se stie exact ce fata va arata moneda. O problema similara este ntlnita n predictia populatiei biologice. Ecuatia ar fi simpla daca populatia ar creste indefinit, dar efectul calamitatilor si a resurselor de hrana limitate fac aceasta ecuatie incorecta. Cea mai simpla ecuatie care considera aceste aspecte ar arata astfel: Populatia anului viitor = r * populatia anului curent * (1 populatia curent). n aceasta ecuatie, populatia este un numar ntre 0 si 1, unde 1 reprezinta populatia maxima posibila, iar 0 reprezinta extinctia. R este rata de crestere. Cum afecteaza acest parametru ecuatia? Evident, pentru o rata mare, populatia se va stabiliza la o valoare mare, pentru o rata mica, se va stabiliza la o valoare mica. Dar ecuatia manifesta un comportament socant, dupa cum a demonstrat biologul Robert May n 1970, schimbnd rata de crestere n ecuatie. La valori mici ale ratei de crestere, populatia se va stabiliza ntr-adevar la o singura

valoare: de exemplu, pentru o rata de 2,7, populatia va fi 0.6292. Pe masura ce creste rata, populatia finala va creste si ea. Dar cnd rata a devenit mai mare dect 3, linia s-a descompus n doua. n loc sa ramna la un singur numar, populatia oscila an dupa an ntre doua valori. Cu fiecare crestere a ratei, linia se bifurca n continuare, pna cnd a aparut haosul. Peste o anumita valoare a ratei de crestere, devine imposibil de prezis comportamentul ecuatiei. Asadar, la nceput, rezultatele se nscriu pe o dreapta, iar n final manifesta o neregularitate haotica. Autosimilaritatea, faptul ca graficul are o copie exacta a sa ascunsa n structura sa, a devenit un aspect important al haosului.

Fig. 3.3. Diagrama bifurcatiei pentru ecuatia populatiei[5] Fractal a ajuns sa nsemne orice imagine care dispune de auto-similaritate. Bifurcatia diagramei ecuatiei populatiei este un fractal. Atractorul lui Lorentz este fractal. Curba lui Koch este fractal. Piata este de asemenea un sistem instabil si haotic, iar teoria haosului este si mai interesanta cnd este aplicata evenimentelor umane, precum bursa de valori. Teoreticienii haosului au combatut direct teoria neoclasica a bursei de valori, care presupunea ca asteptarile cu privire la piata sunt rationale, adica omnisciente despre viitor. Daca toate preturile de pe piata bunurilor sau preturile actiunilor cotate la bursa ncorporeaza cunostinte exacte despre viitor, atunci orice nclinatie a bursei ar fi total accidentala, nensemnata, adica nici un pret nu are legatura cu vreun altul, fie viitor, fie trecut. Dar un aspect crucial al istoriei umanitatii este ca toate evenimentele sunt interconectate, orice eveniment economic are efecte asupra altora, si dupa cum am aratat n Capitolul 2, piata are memorie att pe termen scurt, ct si pe termen lung.

Sistemul liniar n care exista doar doi atractori: cererea si oferta nu este suficient pentru a modela structura neliniara, complexa, turbulenta si volatila specifica pietei. Pentru aceasta trebuie plasat un al treilea atractor, care va induce haosul si structura fractala n sistem.

3.4. Caracteristicile sistemelor haotice n analogie cu organizatiile managerialeJames Gleick a publicat n 1987 cartea Chaos: Making A New Science (Haos: crend o noua stiinta), un best-seller care a facut din teoria haosului o metafora extrem de populara n literatura de management, fiind privita ca noua stiinta a administratiei.[6] Gleick nu a inventat teoria haosului, nici nu a contribuit la partea ei stiintifica, dar a scos-o din obscuritatea jurnalelor stiintifice si a adus-o n ochii publicului larg. Exista multe carti, articole, jurnale, institute, firme de consultanta care fac din teoria haosului noua paradigma pentru aplicarea teoriei complexitatii n managementul afacerilor. Sensibilitatea la conditiile initiale. Ca si n cazul experimentului lui Lorentz, un sistem complex reactioneaza la diferite variabile n moduri imprevizibile. Daca sistemul este complex, chiar si folosirea acelorasi date de intrare sau a unora similare nu va duce la aceleasi rezultate. Ireversibilitatea timpului. ntr-un sistem complex, nu ntlnim niciodata acelasi context de doua ori. O analogie folosita des pentru a descrie acest lucru este: Niciodata nu calci de doua ori n acelasi ru., ntelegnd prin aceasta ca sistemul nu este niciodata acelasi. Apa rului se schimba n fiecare moment, precum n management, o strategie sau decizie nu va fi niciodata luata n acelasi context. Atractorii stranii. Un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Atractorii n teoria haosului sunt ca influenta gravitatiei, seturi de valori spre care sistemul migreaza n timp, numiti si insule de stabilitate. ntr-o formula, un atractor poate fi un singur punct fixat, o colectie de puncte, o orbita complexa sau un numar infinit de puncte. Atractorii pot fi asimilati lacurilor care aduna toate apele iesite dintru-un bazin determinat, sau pot fi centre de prelucrare (consum) care focalizeaza curentii de marfuri dintr-o anumita zona. Denumirea de straniu se datoreaza dificultatii de prezentare a atractorilor si aspectului lor curios. De regula, atractorii sunt fractali caracterizati printr-o structura geometrica complexa, neregulata. Atractorul Lorentz este un fractal cu dimensiunea Hausdorff cuprinsa ntre 2 si 3.

Desi este mai neclar cum atractorii stranii pot fi reprezentati ntr-o organizatie sociala, este convingerea ca fiecare organizatie are atractori care duc la alterarea comportamentului organizatiei n timp, n functie de ce forte sociale, economice sau de alt fel conduc sistemul catre un punct dat si de interactiunea acestora. Forme fractale. Orice parte a unui fractal, marita, reflecta exact ntregul. n management, se presupune ca diferite nivele ale organizatiei se aseamana cu altele, ca un fractal n ierarhia manageriala. O forma a structurii sociale poate fi examinata n relatie cu caracteristicile ntregului sistem la nivel macro si micro. Bifurcatii. Bifurcatia reprezinta aparitia brusca a solutiilor diferite calitativ atunci cnd se modificam parametru dintr-un sistem neliniar. n orice organizatie, doua cai diferite pot adresa o problema diferit, complexitatea crescnd. Aceasta este recomandata des ca o sursa de creativitate. Atractia pentru teoria haosului porneste din viziunea teoreticienilor managementului si ai organizatiilor sociale ca organizatiile sunt sisteme complexe, adaptive, neliniare, dinamice, care au comportament similar cu sistemele naturale diferite nivele de stabilitate si haos.[7] n mod similar, comportamentul acesteia este imprevizibil, fiind imposibil de prezis uragane n viitorul ndepartat. Mai degraba dect sa controleze un sistem, un manager ar trebui sa profite de complexitatea sa. Stacey afirma ca managerii nvata cum sa faca fata anxietatii ce nsoteste aparitia haosului n sistemul lor prin adoptarea unui concept mistic de distrugere creativa. Stacey ncheie ntr-o nota pozitiva, avnd convingerea ca desi rezultatele pe termen lung sunt imposibil de prezis, tratarea eficienta a schimbarilor si a provocarilor n fiecare moment vor duce n final la succes. Dennard afirma n 1996: La ce buna o stiinta a haosului daca nu ne nvata cum sa nfruntam haosul si complexitatea? Nu la asta se refera managementul? n analiza finala, aceasta este cea mai importanta ntrebare. Daca un manager nu poate controla sau forta un sistem ntr-o forma oarecare de ordine, este managementul posibil? Este el necesar? Cu exceptia cazurilor specifice, precum fluxurile monetare mondiale sau aritmia cardiaca care pot fi usor reprezentate numeric, este dificil de demonstrat ca sistemele sociale au aceleasi trasaturi. Totusi, ca o metafora sau analogie, teoria haosului este des folosita ca mijloc de conceptualizare a teoriei managementului si altor sisteme sociale. Asadar, managerul eficient se va pregati si va astepta schimbari constante n sistemul sau. Scopurile lui vor fi nu un set de

rezultate, ci o serie de scenarii contingente la care va putea reactiona n cel mai scurt timp n viitor.

Home Administratie Arta cultura Biologie Casa gradina Diverse Economie Geografie Gradinita Istorie Jurnalism Limba Literatura romana Management Medicina Personalitati Profesor scoala Sociologie Stiinta Arhitectura constructii Astronomie Chimie Drept Fizica Informatica Abbyy finereader Access Adobe photoshop Autocad Baze de date C Dc Excel Foxpro Hardware Html Java Linux Oracle Php Retele Sql Visual basic Windows Word Matematica Stiinte politice Tutorials Tehnica mecanica Timp liber

Exploreaza

Uploa

ALTE DOCUMENTE

LUCRARE DE DIPLOMA Teoria fractalilor si Teoria haosuluiInformatica

ACADEMIA DE STUDII ECONOMICEFACULTATEA DE CIBERNETIC, STATISTIC sI INFORMATIC ECONOMIC

Windows XP - Tu decizi ce mesaje de eroare sa vezi in XP Directive preprocesor si metodologie de programare ROLUL sI FUNCIILE SISTEMELOR DE CALCUL calculatorul METODA DIVIDE ET IMPERA Configurarea unei conexiuni PC to Zapp Network COMENZI UTILE APELURI SISTEM PENTRU FISIERE Retele LAN fara fir COMUNICARE DE BAZA CU BAZELE DE DATE EXTERNE PRIN INTERMEDIUL IMPORTULUI SI AL COMBINARILOR Securitatea retelelor. Viermele Internetului

Cautare

LUCRARE DE DIPLOM Teoria fractalilor si Teoria haosuluiBUCUREsTI 2008

CuprinsIntroducere............................................................... Capitolul 1. Ce sunt fractalii?...............................1.1. 1.2. 1.3. 1.4 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. Scurt istoric................................................................... Primii fractali faimosi................................................... Definitie........................................................................ Dimensiunea fractala ................................................... Avantajele utilizarii fractalilor...................................... Economie...................................................................... Astronomie.................................................................... Meteorologie................................................................. Dinamica fluidelor si chimia......................................... Fizica............................................................................. Grafica pe calculator..................................................... Notiuni introductive...................................................... Efectul fluturelui - Atractorul Lorentz...................... Exemple de sisteme haotice.......................................... Caracteristicile sistemelor haotice n analogie cu organizatiile manageriale..............................................

4 66 7 10 11

Capitolul 2. Aplicatii curente ale fractalilor.........

1313 14 16 17 19 20 21

Capitolul 3. Teoria Haosului.................................

2222 23 24 27

Capitolul 4. Tehnici de reprezentare a fractalilor4.1. Sistemul functiei iterate (IFS).......................................4.1.1. Jocul pisicii.................................................................. 4.1.2. Jocul haosului...............................................................

303132 33

4.2. Sisteme Lindenmayer...................................................4.2.1. Scurt istoric.................................................................. 4.2.2. Descrierea procesului...................................................

3434 35

Capitolul 5. Realizarea aplicatiei..........................5.1. Scopul aplicatiei............................................................ 5.2. Descrierea interfetei...................................................... 5.3. Structura aplicatiei........................................................5.3.1. 5.3.2. 5.3.3. 5.3.4. Clasa Fractal................................................................. Curba dragonului......................................................... Copac fractal................................................................ Setul Mandelbrot..........................................................

3838 38 4040 42 44 44

Concluzii................................................................... Anexe........................................................................ Anexa Lista 511. Anexa 2. figurilor..................................................... Listare de cod sursa...........................................

49 51

52 59

Bibliografie...............................................................

IntroducereSe pare ca nimeni nu este indiferent fata de fractali. De fapt, multi privesc prima lor ntlnire cu geometria fractala ca o experienta cu totul noua, att din punct de vedere estetic, ct si stiintific. Benoit Mandelbrot Frumusetea fractalilor, 1986 Rigla si compasul au constituit pentru matematicienii antici principalele unelte utilizate n studiul geometriei, al carei parinte este considerat si n ziua de azi Euclid din Alexandria, nca din secolul IV . Hr. stim cu totii ca geometria euclidiana este un ansamblu de leme, corolare, teoreme si demonstratii, care foloseste doar patru notiuni fundamentale: punct, dreapta, plan si spatiu, si care se bazeaza pe cele cinci axiome, enuntate de Euclid n cartea sa Elementele. Orice obiect al muncii omului era scufundat si reprezentat n spatiul 1D, 2D, 3D. Dar Natura, n imensa ei complexitate, nu s-a limitat la a construi corpuri geometrice doar n acest spatiu att de particular, a carui masura este un numar ntreg si mai mic dect 3. Privind n natura, observam imagini imposibil de ndesat ntr-o viziune euclidiana, precum conturul coastei Normadiei, al crestei muntilor, al norilor, chiar si brocolli si conopida, care nu pot fi construite si definite geometric la fel de usor. Aparitia calculatorului a permis patrunderea n acest univers n care rigla si compasul nu mai sunt suficiente pentru reprezentarea unor obiecte prea complexe pentru a putea fi integrate ntr-o lume geometrica. Acesta este universul fractalilor, definit in 1975 odata cu aparitia primei carti a lui Mandelbrot: "Les objects fractales, forme, hasard et dimension". Fiind primele forme geometrice nebazate pe linii drepte sau liniarizabile, fractalii au fost considerate ciudatenii si abandonate de matematicieni caci erau dezordonat de complexe. Neliniari, deci imposibil de construit prin linii nentrerupte, este nevoie de calculator pentru a fi trasati.

Mandelbrot, considerat Parintele geometriei fractale, a inventat si numele de fractal, care vine din latinescul frangere a sparge n fragmente neregulate. El nota patetic: Deoarece algebra deriva din cuvntul arab jabara (a lega mpreuna), ntre cuvintele fractal si algebra este o contradictie etimologica. Din nefericire pentru aceia dintre noi carora le place sa controleze lucrurile, mare parte din lumea naturala nu se conformeaza cu usurinta ecuatiilor liniare. Formele neliniare, fractale, sunt mai degraba regula dect exceptie. Asa cum spunea Benoit Mandelbrot n cartea sa Geometria fractala a naturii: Norii nu sunt sfere, muntii nu sunt conuri, liniile de coasta nu sunt cercuri, iar scoarta copacilor nu e neteda.... Tehnicile noastre matematice au repurtat un mare succes n prezicerea fenomenelor exceptionale, care sunt aproape liniare, cum ar fi traiectoriile pro 10110h71k iectilelor, planetelor si particulelor. Subiecte mai haotice (si imediat folositoare) cum ar fi vremea, cutremurele, curgerea fluidelor si dinamica formativa au nselat constant previziunile. Fractalii nu ofera n mod neaparat speranta ca putem controla aceste fenomene nselatoare. Din contra, ncepem sa ntelegem ca haosul si imprevizibilul sunt mult mai puternic incluse n natura dect ne-am imaginat vreodata. Oricum, fractalii ne ofera instrumente puternice pentru modelarea si vizualizarea sistemelor neliniare. n majoritatea cazurilor, cu ajutorul fractalilor putem modela aspectul si structura lumii reale mult mai usor si mai succint dect cu formele liniare.

Capitolul 1Ce sunt fractalii?n ochii mintii, un fractal este un mod de a vedea infinitul. James Glick, Haos, 1986 1.1. Scurt istoric Asa cum am mentionat mai sus, Euclid a construit o geometrie bazata pe logica si pe niste adevaruri intuitive. El a dezvoltat astfel un set de reguli logice pentru a descrie punctul, dreapta si planul (axiome): 1. Prin oricare doua puncte distincte trece o dreapta si numai una; 2. Orice segment de dreapta poate fi prelungit la infinit (sub forma unei drepte); 3. Dat fiind un segment de dreapta, se poate construi un cerc cu centrul la unul din capetele segmentului si care are segmentul drept raza; 4. Toate unghiurile drepte sunt congruente; 5. Printr-un punct exterior unei drepte se poate trasa o singura paralela la acea dreapta. n geometria euclidiana, trei puncte necoliniare determina un plan si numai unul, iar patru puncte necoplanare determina un spatiu. Simplu si logic. Observatiile nu au avut nici un rol n gndirea euclidiana. Aproape doua milenii mai trziu, n 1600, Rene Decartes a zguduit geometria euclidiana, sugernd ca spatiul fizic poate fi disecat si masurat cu ajutorul a trei axe perpendiculare, localiznd astfel fiecare punct din spatiu prin trei dimensiuni liniare. Ideea ca Universul poate fi imaginat ca o multitudine de cuburi mici a format fundamentul stiintei moderne asupra lumii. Un secol mai trziu, Gottfried Wilhelm Von Leibniz si Sir Isaac Newton au dus lucrurile mai departe, facnd o presupunere periculoasa si revolutionara, pe care nu au putut-o demonstra matematic initial, si anume ca orice curba este de fapt un numar infinit de segmente de dreapta (numite tangente). Astfel, ei au inventat calculul diferential. Ideea de baza a acestuia este ca

orice curba marita la infinit se aseamana din ce n ce mai mult cu o dreapta, iar limita acestui proces este tocmai linia cu care ar semana curba la infinit. Leibniz nu a putut sa si explice nsa de ce teoria lui dadea rezultate n majoritatea cazurilor, dar uneori ducea la nepotriviri neasteptate. Desi chiar el a abandonat ideea segmentului de dreapta infinitezimal, ea a ramas n folosinta dnd rezultate n majoritatea cazurilor. Presupunerea ca, la infinit, curbele de fapt sunt similare dreptelor, ramne n picioare, desi aparitia iminenta a unor forme imposibil de supus liniaritatii avea sa zguduie iar matematica.

Fig. 1.1. Aproximarea curbelor cu linii tangente Totul a nceput n 1875 cnd marele matematician german Karl Waierstrass a descris o curba continua care nu putea fi diferentiata, deci nu parea sa aiba nici o tangenta. O multime de curbe ciudate au nceput sa apara, denumite Galerie de monstri. 1.2. Primii fractali faimosi Triunghiul lui Sierpinski Polonezul Waclav Sierpinski a pornit de la un triunghi pe care l-a divizat n patru parti egale. Apoi a divizat cele trei parti marginale n acelasi mod, continund procesul la infinit. Figura obtinuta este numita Triunghiul lui Sierpinski.

Fig. 1.2. Triunghiul lui Sierpinski Un alt mod de constructie a aceleiasi forme porneste de la un triunghi plin, n care decupam gauri identice, n loc de a trasa linii. Rezultatul este acelasi desi este numit n aceasta maniera Sita lui Sierpinski.

Fig. 1.3. Sita lui Sierpinski Covorul lui Sierpinski este o alta forma care a nedumerit matematicienii, format la fel, prin ambele variate:

Fig. 1.4. Covorul lui Sierpinski 1

Fig. 1.5. Covorul lui Sierpinski 2 Principala problema era legata de aria acestor figuri. Din moment ce ele erau alcatuite din segmente de dreapta, care, matematic, nu au nici arie, nici latime, matematicienii au convenit ca aria figurilor este 0, mai mult nsa deoarece nu puteau spune ct este aria, daca nu ar fi 0. Matematicianul italian Giueppe Peano, profesor extraordinar de calcul infinitezimal la Universitatea din Torino, folosindu-se de Covorul lui Sierpinski, a demonstrat ca o curba continua, fara latime (si deci fara arie), poate umple o portiune de spatiu, deoarece la infinit, ntre linii nu va mai ramne deloc spatiu gol (curba de umplere a spatiului). Curba va avea asadar aria patratului care o margineste, desi este alcatuita n continuare din segmente de dreapta. Praful lui Cantor Matematicianul german Georg Cantor[1], cel care a dezvoltat singur teoria seriilor, a creat n 1877 o forma denumita Praful lui Cantor. Ea este construita din fragmentarea segmentelor de dreapta unidimensionale, continnd la sfrsit doar puncte de dimensiune 0, desi este n continuare alcatuita din segmente de dreapta.

Fig. 1.6. Praful lui Cantor Curba lui Koch Matematicianul suedez Helge Von Koch[2], fascinat de infinit ca toti colegii sai n timpul marii crize din matematica, a construit curba liniei de coasta. El a pornit de la o dreapta pe care a desenat un triunghi exterior. Pe fiecare segment de dreapta al aceleiasi forme a desenat cte un triunghi, s.a.m.d. Asemanator, se poate crea Curba liniei de coasta Koch si pornind de la un patrat, sau de la un triunghi echilateral pe laturile caruia desenam triunghiuri echilaterale.

Fig. 1.7. Curba lui Koch

Fig. 1.8. Fulgul de zapada Koch Curba lui Koch da nastere la un paradox interesant. De fiecare data cnd un nou triunghi este adaugat figurii 12, lungimea liniei evident creste. Totusi, aria interioara a curbei lui Koch ramne mai mica dect aria cercului care trece prin vrfurile triunghiului initial. O linie de lungime infinita care nconjoara o arie finita. Lungimea curbelor este diferita, pornind de la tipul de generare. La primul nivel, lungimea curbei din figura 11 va fi de patru treimi din segmentul de dreapta, iar lungimea curbei similare generate cu un patrat va fi de cinci treimi, adica 133, respectiv 166, daca lungimea segmentului initial este de 100. Pentru a rezolva aceasta dificultate, matematicienii au inventat dimensiunea fractala, prezentata n cele ce urmeaza. La nceputul secolului al XX-lea, cercetarea n domeniul acestor curbe complexe s-a lovit de o mare piedica: calculul laborios. Matematicienii trudeau zile si chiar luni, calculnd si desennd pentru a produce niste aproximatii foarte inexacte si sarace n detalii ale curbelor neliniare infinit detaliate. Din 1925 pna n 1960, limitele calculului manual au mpiedicat orice proces serios n geometria complexitatii si infinitului.

Apoi au aparut calculatoarele. La nceput, nimeni nu s-a gndit sa foloseasca aceste masini scumpe, construite pentru calcule contabile sau pentru utilizari militare, n cercetarea matematica. Apoi, calculatoarele au nceput sa atraga atentia matematicienilor, prin furnizarea sutelor de zecimale ale numerelor , e, sau ale radacinii patrate din 2. Dar matematicienii erau nca nelinistiti de bazarea calculelor pe aproximari. Primul care a ndraznit sa foloseasca simularea pe calculator a fost un biolog: Aristid Lindenmayer, care a introdus ideea automatelor celulare pentru a modela dezvoltarea organismelor vii. El era n special interesat de dezvoltarea celulei si de modele ramificate ale plantelor. 1.2. Definitie Fractalii sunt reprezentari ale planului complex, ntr-o maniera recursiva. Un obiect fractal este mai dificil de surprins n complexitatea sa, el necesita din partea observatorului un efort imaginativ, o participare mentala de natura unui proces nesfrsit, care este nsasi esenta fractalilor - ei si pastreaza forma, indiferent ct de mult am mari o reprezentare. n termenii cei mai generali, un fractal demonstreaza o limita; obiectul fractal este chiar limita acestui proces cu numar infinit de operatii. Fractalii pot parea foarte complicati fata de formele geometrice clasice. Liniile drepte, arcele gratioase, curbele, poligoanele, etc., au un lucru n comun: chiar daca unele nu sunt drepte, ele sunt considerate liniare, datorita diferentierii (marind la infinit frontiera lor, obtinem tangenta). n cazul formelor neliniare, marind la infinit imaginea lor, obtinem n continuare detalii complexe. nsa, ei sunt de obicei niste procese foarte simple care produc rezultate complicate. Aceasta proprietate se transfera si asupra Teoriei Haosului. Daca ceva are rezultate complicate, nu nseamna neaparat ca a avut si un input complicat. Este posibil ca haosul sa se fi strecurat n proces, producnd rezultate complicate. Fractalii sunt forme auto-similare, aceasta nsemnnd ca structura ntregului sistem e deseori reflectata n fiecare portiune a sa. Un sistem va arata auto-similar cnd forte asemanatoare actioneaza la mai multe nivele ale scarii. Natura abunda n forme auto-similare, cum ar fi liniile de coasta, ramurile care se aseamana cu copacii, vrful muntilor care are aceeasi forma ca ntregul munte, valurile si norii mici sunt o replica a celor mai mari. si astfel putem caracteriza ntr-un mod nou mediul nconjurator. 1.4. Dimensiunea fractala

O notiune elementara cnd discutam despre fractali este dimensiunea fractala. Formal, spunem ca un set este n-dimensional daca avem nevoie de n variabile pentru a descrie vecinatatea unui punct. Aceasta notiune a dimensiunii este numita dimensiunea topologica a setului. Uneori apar confuzii cu privire la dimensiunea unei figuri. Evident, o linie are dimensiunea 1, un plan dimensiunea 2, un cub dimensiunea 3. Deseori se crede nsa ca o sfera are dimensiunea 3, ea neputnd exista dect n spatiu, nu si n plan. Dar sfera este bidimensionala: fiecare particica a ei arata ca o portiune din plan si ntr-o portiune asa mica, este nevoie doar de doua coordonate pentru a reprezenta un punct. ntr-o exprimare libera, dimensiunea fractala este o masura a ct de complicata este o figura auto-similara. Exista mai multe definitii si metode de a determina dimensiunea fractala a unei figuri. n1919, matematicianul Hausdorff, a introdus o noua dimensiune, dimensiunea fractala sau dimensiunea Hausdorff. Aceasta dimensiune, masoara numarul de multimi de diametre mai mici, necesare pentru a acoperi o figura. Daca acest numar este ntreg, atunci dimensiunea este topologica, altfel, dimensiunea este fractala. Besicovitch, dezvoltnd lucrarile anterioare ale lui Hausdorff, a afirmat ca formele ar putea avea ntradevar dimensiuni fractionare cum ar fi 1,3 sau 2,5. Curbe precum cele ale lui Sierpinski si ale lui Koch ar putea fi explicate cu ajutorul aceste dimensiuni. n mod concret, dimensiunea Hausdorff/Besicovitch este definita ca raportul dintre logaritmul numarului de copii si logaritmul marimii semintei corespunzatoare fiecarei copii. Pentru linia de coasta Koch triunghiulara vom gasi dimensiunea fractala log4/log3=1,2618, deoarece sunt patru copii si fiecare este o treime din marimea semintei, iar pentru linia de coasta patrata: log5/log3=1,46. Dimensiunea fractala a prafului lui Cantor este log2/log3=0.63, deci acest obiect are dimensiunea mai mare dect punctul (0) si mai mica dect linia (1). Dimensiunea fractala a triunghiului lui Sierpinski este log(3)/log(2) = 1.585. Pentru a fi clasificata oficial ca fractal, o forma trebuie sa aiba dimensiunea HausdorffBesicovitch mai mare ca dimensiunea sa topologica traditionala.

Muntii, norii, copacii, florile au dimensiuni ntre 2 si 3, si putem deduce multe doar din dimensiunea unui corp. Dimensiunea fractala, asa cum a denumit-o mai trziu Mandelbrot, a devenit un instrument nou de masurare a spatiului.

Capitolul 2Aplicatii curente ale fractalilor si haosului...ntotdeauna au existat zone mari ale stiintei n care metodele analitice simple puteau fi cu greu aplicate. Fenomenele naturale erau prea complexe. n legatura cu ele, oamenii ridicau din umeri a zadarnicie si enuntau teorii calitative sau aproximatii grosolane, sau nu emiteau nici o parere. Acestea sunt domeniile n care fractalii si gasesc o multime de aplicatii. D.E. Thomsen, Science News, 1987

2.1. Avantajele utilizarii fractalilorFractalii prezinta anumite avantaje datorita carora sunt larg folositi n modelarea aspectului si comportamentului unor sistemelor naturale: Fractalii pot reprezenta cu usurinta forte similare actionnd la mai multe niveluri ale scarii, n timp ce geometria liniara nu poate. Fractalii ofera deseori o metoda mai compacta de nregistrare a imaginilor si datelor complexe dect vectorii liniari. Cu ajutorul fractalilor, se pot gasi curbe fractale care sa aproximeze un set de date (precum temperaturi nregistrate ntr-o anumita perioada de timp, preturile unei actiuni la bursa ntr-un interval de timp, etc.) Fractalii pot fi folositi pentru a construi modele folositoare ale unor sisteme imprevizibile si haotice, unde ecuatiile liniare dau gres. Fractalii sunt folositi n diverse discipline, precum: economie, astronomie, fizica si dinamica fluidelor, chimie, cardiologie, ornitologie, etc.

2.2. Economie

Benoit Mandelbrot si-a ntemeiat geometria fractala bazndu-se n principal pe simularea sa ncununata de succes a tendintei preturilor bunurilor de consum, iar analiza pietei ramne una dintre cele mai atragatoare aplicatii ale geometriei fractale. n economie, probabil cel mai important lucru este prezicerea ntr-un mod ct mai sigur a ceea ce se va ntmpla pe piata dupa o perioada de timp. Pna recent, teoria dominanta folosita n acest scop era Teoria Portofoliului. Conform acesteia, probabilitatea schimbarilor de pe piata puteau fi modelate prin clopotul lui Gauss:

Fig. 2.1. - Probabilitatea schimbarilor de pe piata Presupunnd ca aceasta teorie este corecta, putem conchide ca schimbarile foarte mici sunt si cele mai frecvente, iar schimbari foarte mari au loc extrem de rar. Acest lucru nu este nsa adevarat n practica. Pe aceasta curba, putem observa probabilitatea schimbarilor rapide apropiindu-se de 0, schimbari care pot fi vazute lunar pe piata. Recent, la 20 de ani de la descoperirea fractalilor, Benoit Mandelbrot introduce o noua teorie fractala care poate fi folosita mai eficient dect Teoria Portofoliului n analiza pietei. Consideram un an de activitate de piata si reprezentarea grafica a pretului n fiecare luna. Vom obtine o linie frnta cu suisuri si coborsuri. Daca luam una din aceste luni si realizam un grafic mai detaliat pe fiecare saptamna, vom obtine o linie foarte similara, cu suisuri si coborsuri. Daca detaliem curba din ce n ce mai mult, pe fiecare zi, ora, chiar minut sau secunda, vom obtine aceleasi, numai ca mai mici, suisuri si coborsuri. Aceasta este autosimilaritatea Browniana. Mandelbrot a definit o metoda de a crea fractali pe baza descrierii de mai sus. El a bazato pe o iteratie cu generator si a creat fractali care pot modela piata. n Februarie 1999 el a publicat n Scientific American ctiva dintre acesti fractali, alaturi de grafice ale pietei, aratnd ct de asemanatori sunt. n aceasta metoda, se porneste de la o forma, numita generator. Generatorul trebuie sa fie compus din 3 segmente de dreapta, pentru a obtine si cresterea si scaderea pretului. De exemplu,

luam o linie frnta, si nlocuim fiecare segment cu linia frnta initiala, obtinnd dupa un numar de pasi urmatorul grafic:

Fig. 2.2.a

Fig. 2.2.b

Fig. 2.2.c Grafic fractal de modelare a pietei comparativ cu un model al teoriei de portofoliu:

Fig. 2.3. Grafic de modelare a pietei (Teoria de Portofoliu) Una din revelatiile majore ale analizei fractale a pietei este memoria sau persistenta pe piata. Modele economice traditionale iau n considerare un consumator care traieste totdeauna n prezent, care ia decizii pe baza preturilor curente ale pietei si pe dorinta perfect rationala de a obtine profit n orice moment. nsa piata are att memorie pe termen lung, ct si pe termen scurt si este persistenta la fiecare scara posibila, de la ore la secole. Adevaratul participant la economie si aduce aminte si cnd a obtinut profit maxim, si cnd si-a pierdut bunicul ferma.[3] n domeniul pietei, ca si n alte domenii n care fractalii si haosul dau rezultate, rareori se dovedesc att de folositori pentru prezicere, pe ct sunt pentru simulare. Simularea fractala poate modela si prezice natura general statistica a unui sistem, fara a i prezice comportarea ntr-un anumit moment. Pretul bumbacului era subiectul preferat al lui Mandelbrot, deoarece existau date disponibile de-a lungul a sute de ani de comert. El prezenta nsa o constanta ciudata: aceeasi

variatie ntr-o perioada de secole, ca si ntr-o perioada de zeci de ani sau de ctiva ani. El a numit acest lucru invarianta de scara. Desi valoarea variantei din scara ramne constanta, aceasta este imposibil de prezis n orice moment si la orice marime a scarii. Simularile lui asupra pretului bumbacului in 1953 continua sa prezica cu exactitate cantitatea de variatie din pretul bumbacului, att lunar ct si anual, dar nu pot pretinde ca indica pretul bumbacului din iulie 2008.

2.3. AstronomieUnul dintre cei mai frumosi fractali matematici a fost inventat de un astronom. La nceputul anilor 1960, Michel Henon de la observatorul din Nisa din Franta a observat o comportare tulburatoare ntr-un simplu model al stelelor care orbiteaza ntr-o galaxie. Cteva dintre orbite erau line si stabile, n timp ce altele pareau aproape aleatoare. La nceput, a ignorat orbitele anormale, creznd ca ele apar datorita unor erori de calcul inexplicabile. n cele din urma, Henon a descoperit ca acest tip de comportare haotica era o parte esentiala a dinamicii orbitelor stelare. Planetele, ca orice obiect din Univers, se supun legii gravitationale a lui Newton. nsa desi legea lui Newon pare relativ simpla, poate fi greu de pus n practica, deoarece ntr-un univers real, atractiile gravitationale ale altor planete si stele fac ca orbita planetei analizate sa fie mai putin previzibila. Folosind aproximatii, astronomii pot prezice care va fi traiectoria orbitelor corpilor ceresti din sistemul nostru solar saptamna viitoare sau peste douazeci de ani; unii dintre ei cred nsa ca nu putem afirma sigur unde se vor afla ele peste un milion de ani. Trebuie specificat nsa ca orbitele planetelor nu sunt fractali; ele se apropie sensibil de elipse perfecte. Daca plasam nsa pozitia planetei noastre sub anumite conditii, descoperim ca se ncadreaza n limitele unei curbe numite bazin de atractie. Acesta, de cele mai multe ori, este un fractal. Henon, dupa ce a studiat modele care explicau comportarea turbulenta a fenomenelor terestre, a elaborat un model si pentru orbitele planetare. Desi n trecut nu era folosit, denumim acum acel tip de modele pe care Henon l-a folosit atractori stranii. Spre deosebire de modelele liniare clasice, care par sa prezica pentru totdeauna traiectoria fiecarui corp ceresc, ei ofera un amestec de comportari nesigure. Vechile modele si pastreaza capacitatea de a previziona pe termen scurt, dar cercetari recente au aratat ca, pe termen lung, modul de comportare al sistemului nostru solar este cel putin incert.

2.4 MeteorologieMeteorologii, ca si economistii, investesc o cantitate enorma de efort, bani si energie ncercnd sa prezica ce se va ntmpla mine si saptamna urmatoare. Ambele categorii fac sute de previziuni zilnic, folosind teorii binecunoscute, bazate pe secole de calcule si cercetari, dar dau gres, previziunile economice si cele meteorologice fiind cunoscute pentru inexactitatea lor. Vremea poate fi previzionata suficient de bine pentru cel mult doua zile, dar dincolo de aceasta, predictiile sunt slabe. Fractalii nu au fost de mare ajutor n jocul previziunii meteorologice, dar au ajutat explicnd de ce aceasta nu da rezultate. nregistrarile pe termen lung ale datelor climaterice deseori prezinta cicluri autoreflectoare: valuri de arsita care dureaza ctiva ani, un deceniu sau chiar secole de caldura. nregistrarile facute pe fluviul Nil dezvaluie perioade uscate de un mileniu. Viata de zi cu zi ne sugereaza ca ciclurile neregulate de temperatura au loc si n perioade de o luna, sau o saptamna. Figura urmatoare confirma acest lucru.

Fig. 2.4. nregistrarile pe o perioada de 600 de zile ale temperaturilor din Middlesex, statul Vermont Acest tip de date este greu de caracterizat prin metodele liniare traditionale. Modelarea printr-un val sinusoidal ar pierde aparenta de cicluri mbinate unul n altul, si acesta este tocmai aspectul cel mai interesant de modelat. Acest lucru se poate face aproximnd datele cu o curba fractala, nu n scopuri anticipative, predictive, ci pentru a sugera caracterul esential al curbei.

Fig. 2.5. Aproximare fractala a figurii 2.4 n 1961, Eduard Lorentz, meteorolog si matematician la MIT, pasionat de studiul vremii, a descoperit si a introdus n istorie, pornind de la modelarea vremii pe calculator, efectul fluturelui si atractorul Lorentz, prezentate n capitolul urmator. Graficele fractale sunt cele mai adecvate reprezentari ale formelor neregulate ciclice, prezente n seriile de date complexe, privind evolutia n timp a fenomenelor naturale si economice. Cutremurele evidentiaza de asemenea prin seismograma lor complexitate si forme auto-similare, deoarece undele de avertizare si replicile lui sunt niste cutremure n miniatura, iar cutremurul principal este o perioada de activitate intensa constituita din subperioade similare. Activitatea seismica este greu de modelat cu ajutorul curbelor traditionale. Alte fenomene usor de modelat cu ajutorul fractalilor sunt debitele rurilor, evolutia pretului unei actiuni la bursa, cursul valutar, etc.

2.5. Dinamica fluidelor si chimiaTurbulenta n dinamica fluidelor reprezinta starea de miscare a unui fluid, caracterizata de schimbari haotice si stohastice. Aceasta include difuzii, convectii si variatii rapide ale presiunii si vitezei n timp si spatiu. Turbulenta reprezinta nca un domeniu incontrolabil de savanti, ea rezistnd tuturor aproximarilor liniare si consumnd foarte mult timp calculatoarelor. Lorentz a fost unul dintre cei mai nversunati exploratori ai analizei neliniare a fluidelor, prin atractorul Lorenz, prezentat n Capitolul 3. Sistemul de ecuatii din care a derivat Atractorul Lorentz este nonlinear, tridimensional, si deterministic. n dinamica fluidelor, atractorul Lorentz

este un model realist al climei turbulente dintr-un cilindru mic de fluid nchis, pe masura ce i se aplica o ncalzire continua la partea inferioara a cilindrului. Cele trei variabile ale sistemului corespund vitezei fluidului, temperaturii si vitezei de modificare a temperaturii. O metoda de simulare a mai multe fenomene diferite din fizica, chimie si electricitate este agregarea limitata de difuzie. La nceputul simularii pe calculator, se plaseaza n centrul unui cerc o bucata mica de materie artificiala. Apoi calculatorul lanseaza aleator, una dupa alta, particule din jurul cercului care ratacesc la ntmplare, pna ies din cerc sau adera la alta particula ntlnita. Treptat, particulele virtuale formeaza dendrite fractale orientate din centrul cercului spre circumferinta. Acestea prezinta trei proprietati de baza ale fractalilor: autosimilaritate, dimensiune fractala si lacune. Ele pierd din densitate pe masura ce cresc n dimensiune.

Fig.2.6. Dendrite fractale formate prin agregarea limitata de difuzie[4] Procese fizice care dau nastere la astfel de forme sunt agregarea cenusii n cosuri, depunerea zincului n celulele electrolitice, difuzia bulelor de gaz prin lichidele vscoase si descarcarile electrice n atmosfera. Aceste sisteme sunt departe de echilibru, ele primind si disipnd cantitati importante de energie. Simularea pe calculator ntoarce cumva procesul real pe dos, particulele artificiale deplasndu-se lent din exterior spre interior, n timp ce structura dendritica reala se formeaza rapid din interior spre exterior.

2.6. FizicaExista patru clase fundamentale de sisteme fizice: sisteme liniare conservative (pendul fara frecari care oscileaza liber) sisteme neliniare conservative (pendul fara frecari, mpins)

-

sisteme liniare disipative (pendul care oscileaza liber ntr-o atmosfera care i opune rezistenta)

-

sisteme neliniare disipitave (pendul mpins ntr-o atmosfera care i opune rezistenta).

Sistemele neliniare au fost mereu considerate ciudate si mai putin importante. Sistemele neliniare disipative sunt chiar iremediabile. Dar lumea reala este alcatuita tocmai din astfel de sisteme, iar modelarea acestora se face tocmai prin atractori fractali haotici. Fizicienii au ajuns la concluzia ca o gama larga de comportari complexe, unele de o mare regularitate, rasar acum din ceea ce nainte era doar haos. Multe sisteme fizice si chimice fluctueaza printr-o serie de schimbari majore de la ordinea liniara la complexitatea haotica si napoi. A doua lege a termodinamicii are si o fateta surprinzatoare: multe sisteme se auto-organizeaza si creeaza spontan o ordine proprie acolo unde nu era nici un fel de ordine.

2.7. Grafica pe calculatorDomeniul cel mai larg n care sunt folositi fractalii astazi este grafica pe calculator. Multe scheme de comprimare a imaginilor folosesc algoritmi fractali pentru a comprima fisiere grafice la mai putin de un sfert din dimensiunea originala. Artisti ai graficii pe calculator folosesc forme fractale pentru a crea peisaje si modele intrinseci; productii cinematografice importante i folosesc pentru efecte speciale.

Fig. 2.7. Peisaj fractal stiinta, matematica si tehnologia nu mai sunt domeniile plictisitoare, inestetice si rigide, ci capata o frumusete care face competitie artei.

Capitolul 3Teoria haosuluiEvolutia este haos cu reactie inversa. Joseph Ford, fizician, 1990

3.1. Notiuni introductivestiinta a cautat mereu ordinea ntr-un univers haotic, dominat de fenomene imprevizibile si incontrolabile. Dorinta de a fi cu un pas naintea timpului l-a caracterizat dintotdeauna pe om; el a dorit mereu sa poata anticipa viitorul, vremea, succesul sau esecul n comert, n evenimente sociale. Dar ntotdeauna Natura a dovedit ca nu poate fi cuprinsa n ntregime n legi pe baza carora sa-i fie descris si prezis comportamentul. Un sistem haotic este caracterizat prin instabilitatea, imposibilitatea de a fi controlat si dezordinea sa, prin dependenta de conditiile initiale, care determina mari modificari n starea sistemului, ca urmare a unei mici schimbari neperiodice anterioare. Supersensibilitatea la conditiile initiale este o notiune cheie a teoriei haosului. Aceasta nseamna ca evolutia sistemului este dependenta de starea initiala. Formele neregulate si procesele haotice abunda n natura. Astfel, fumul dintr-o anumita sursa se raspndeste formnd o multime de vrtejuri, un curs de apa este nvolburat din cauza obstacolelor, o nava sau un avion lasa n urma o dra turbulenta. Instabilitate si haos ntlnim att n societate (politica si razboaie, boli, familie si relatii sociale), ct si n fenomene complexe, precum circuite electrice, eruptii de pojar, lasere, bataile inimii, activitatea electrica a creierului, mecanica fluidelor, reactii chimice, sau n sisteme simple precum un pendul. Teoria haosului a nceput ca un subdomeniu al fizicii si al matematicii, lucrnd cu structuri ale turbulentei (una dintre cele mai dificile probleme din fizica) si auto-similaritatea formelor din geometria fractala. Ea a aparut la sfrsitul anilor 60, fundamentata de matematicianul James Yorke de la Universitatea din Maryland. Primul care a descoperit nsa efectele haosului, pe care le-a numit Efectul fluturelui, a fost Edward Lorentz, meteorolog la Massachusetts Institute of Technology. De-a lungul ultimelor decenii, aceasta dependenta fata

de conditiile initiale a fost cunoscuta sub diferite nume, precum Teoria haosului, Teoria complexitatii, Procese stohastice, etc. Teoria vizeaza procesele naturale exprimate sub forma formulelor matematice, calcule ce erau imposibile fara calculatoare. n calculul diferential, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale, care se ocupa cu fenomene naturale precum turbulenta apei sau piete financiare. Spre deosebire de ecuatiile liniare care se comporta previzibil, sistemele haotice sunt reprezentate prin ecuatii neliniare diferentiale care se schimba brusc sau discontinuu. ntr-o ecuatie neliniara, o mica schimbare ntr-o variabila poate avea un efect disproportionat, chiar catastrofal asupra celorlalte variabile.

3.2. Efectul fluturelui - Atractorul LorentzSimulnd vremea pe calculator n 1961, Edward Lorentz a vazut oportunitatea de a combina meteorologia cu matematica. Modelul lui matematic al vremii era constituit dintr-un set de 12 ecuatii diferentiale care reprezentau schimbari n temperatura, presiune, intensitatea vntului, etc. ntr-o zi, vrnd sa repete o secventa interesanta din model, din dorinta de a salva timp, a renceput procesul din mijloc. Datele din aceasta rulare ar fi trebuit sa fie identice cu cele din prima rulare, dar rezultatul a fost surprinzator: desi au pornit similar, spre final au devenit complet divergente, al doilea model pierznd orice asemanare cu primul n cteva luni. O imagine a acestor doua rulari este prezentata mai jos:

Fig. 3.1. - Graficul obtinut de Lorentz n simularea vremii Lorentz a presupus ca a fost o eroare, fie cnd a introdus numerele, fie n derularea calculelor de catre calculator. Dupa ce a cercetat tot procesul, a descoperit sursa problemei: pentru a salva spatiu, imprimanta includea numai patru zecimale dupa virgula, n timp ce datele n memoria calculatorului era exacte pna la a sasea zecimala. Lorentz a introdus o diferenta ntre prima si a doua rulare, care nu s-a dovedit a fi nesemnificativa.

El a ajuns la concluzia ca perturbatii extraordinar de mici ale datelor se mbina cu rapiditate, ducnd la o schimbare uriasa a vremii. Asadar, previzionarea vremii este pentru totdeauna compromisa. Daca modelul lui Lorentz s-ar asemana ntru totul cu realitatea, atunci o interferenta minuscula cum ar fi bataia de aripi a unui fluture n Amazon ar putea modifica radical vremea n Massachusettes. Efectul fluturelui, cunoscut mai exact ca dependenta sensibila de conditiile initiale, este o proprietate comuna a sistemelor naturale si sociale complexe. n concluzie, Lorentz a apreciat ca sunt imposibile previziunile precise n meteorologie datorita cunoasterii aproximative a legilor naturii si a situatiei Universului la momentul initial. Pentru a preciza modul n care se ajunge la haos, trebuie stiut ca un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Un atractor poate fi un punct, o curba, o suprafata sau mai adesea, un fractal, catre care converg traiectoriile izvorte din toate punctele care apartin vecinatatii sale. Lorentz a observat n reprezentarea grafica a sistemului sau de ecuatii ca rezultatul se mentinea mereu pe o curba, o spirala dubla. Erau cunoscute numai doua stari de ordine: o stare stabila, n care variabilele nu se schimbau niciodata, si comportament periodic, n care sistemul intra ntr-o bucla, repetndu-se nedefinit. Ecuatiile lui Lorentz erau clar ordonate: urmareau mereu o spirala. Nu se opreau niciodata ntr-un punct stabil, dar din moment ce nu repetau mereu acelasi lucru, nu erau nici periodice. El a numit imaginea pe care a obtinut-o Atractorul Lorentz.

Fig. 3.2. Atractorul Lorentz De ce un set de ecuatii complet deterministe au acest comportament? Raspunsul rezida n natura lor: sistemele neliniare, de altfel dificil de rezolvat, sunt supuse teoriei haosului si deseori manifesta comportamente extrem de complexe si haotice.

n 1963, Lorentz a publicat o lucrare care descria ceea ce descoperise, nsa ntr-un jurnal meteorologic, pentru ca era meteorolog. Din aceasta cauza, descoperirile lui Lorentz nu au fost recunoscute dect ani mai trziu, cnd au fost redescoperite de altii. Lorentz descoperise ceva revolutionar, si acum astepta la rndul lui sa fie descoperit de altii.

3.3. Exemple de sisteme haoticeUn alt sistem n care sensibilitatea la conditiile initiale este evidenta este aruncarea unei monede. Exista doua variabile n acest experiment: ct de rapid moneda loveste pamntul, si ct de rapid se nvrte. Teoretic, ar trebui sa fie controlabile aceste variabile n totalitate, precum si rezultatul aruncarii. n practica, este imposibil de controlat exact ct de sus va sari moneda si ct de repede se va roti. Se pot ncadra variabilele ntr-un interval anume, dar este imposibil de controlat astfel nct sa se stie exact ce fata va arata moneda. O problema similara este ntlnita n predictia populatiei biologice. Ecuatia ar fi simpla daca populatia ar creste indefinit, dar efectul calamitatilor si a resurselor de hrana limitate fac aceasta ecuatie incorecta. Cea mai simpla ecuatie care considera aceste aspecte ar arata astfel: Populatia anului viitor = r * populatia anului curent * (1 populatia curent). n aceasta ecuatie, populatia este un numar ntre 0 si 1, unde 1 reprezinta populatia maxima posibila, iar 0 reprezinta extinctia. R este rata de crestere. Cum afecteaza acest parametru ecuatia? Evident, pentru o rata mare, populatia se va stabiliza la o valoare mare, pentru o rata mica, se va stabiliza la o valoare mica. Dar ecuatia manifesta un comportament socant, dupa cum a demonstrat biologul Robert May n 1970, schimbnd rata de crestere n ecuatie. La valori mici ale ratei de crestere, populatia se va stabiliza ntr-adevar la o singura valoare: de exemplu, pentru o rata de 2,7, populatia va fi 0.6292. Pe masura ce creste rata, populatia finala va creste si ea. Dar cnd rata a devenit mai mare dect 3, linia s-a descompus n doua. n loc sa ramna la un singur numar, populatia oscila an dupa an ntre doua valori. Cu fiecare crestere a ratei, linia se bifurca n continuare, pna cnd a aparut haosul. Peste o anumita valoare a ratei de crestere, devine imposibil de prezis comportamentul ecuatiei. Asadar, la nceput, rezultatele se nscriu pe o dreapta, iar n final manifesta o neregularitate haotica. Autosimilaritatea, faptul ca graficul are o copie exacta a sa ascunsa n structura sa, a devenit un aspect important al haosului.

Fig. 3.3. Diagrama bifurcatiei pentru ecuatia populatiei[5] Fractal a ajuns sa nsemne orice imagine care dispune de auto-similaritate. Bifurcatia diagramei ecuatiei populatiei este un fractal. Atractorul lui Lorentz este fractal. Curba lui Koch este fractal. Piata este de asemenea un sistem instabil si haotic, iar teoria haosului este si mai interesanta cnd este aplicata evenimentelor umane, precum bursa de valori. Teoreticienii haosului au combatut direct teoria neoclasica a bursei de valori, care presupunea ca asteptarile cu privire la piata sunt rationale, adica omnisciente despre viitor. Daca toate preturile de pe piata bunurilor sau preturile actiunilor cotate la bursa ncorporeaza cunostinte exacte despre viitor, atunci orice nclinatie a bursei ar fi total accidentala, nensemnata, adica nici un pret nu are legatura cu vreun altul, fie viitor, fie trecut. Dar un aspect crucial al istoriei umanitatii este ca toate evenimentele sunt interconectate, orice eveniment economic are efecte asupra altora, si dupa cum am aratat n Capitolul 2, piata are memorie att pe termen scurt, ct si pe termen lung. Sistemul liniar n care exista doar doi atractori: cererea si oferta nu este suficient pentru a modela structura neliniara, complexa, turbulenta si volatila specifica pietei. Pentru aceasta trebuie plasat un al treilea atractor, care va induce haosul si structura fractala n sistem.

3.4. Caracteristicile sistemelor haotice n analogie cu organizatiile manageriale

James Gleick a publicat n 1987 cartea Chaos: Making A New Science (Haos: crend o noua stiinta), un best-seller care a facut din teoria haosului o metafora extrem de populara n literatura de management, fiind privita ca noua stiinta a administratiei.[6] Gleick nu a inventat teoria haosului, nici nu a contribuit la partea ei stiintifica, dar a scos-o din obscuritatea jurnalelor stiintifice si a adus-o n ochii publicului larg. Exista multe carti, articole, jurnale, institute, firme de consultanta care fac din teoria haosului noua paradigma pentru aplicarea teoriei complexitatii n managementul afacerilor. Sensibilitatea la conditiile initiale. Ca si n cazul experimentului lui Lorentz, un sistem complex reactioneaza la diferite variabile n moduri imprevizibile. Daca sistemul este complex, chiar si folosirea acelorasi date de intrare sau a unora similare nu va duce la aceleasi rezultate. Ireversibilitatea timpului. ntr-un sistem complex, nu ntlnim niciodata acelasi context de doua ori. O analogie folosita des pentru a descrie acest lucru este: Niciodata nu calci de doua ori n acelasi ru., ntelegnd prin aceasta ca sistemul nu este niciodata acelasi. Apa rului se schimba n fiecare moment, precum n management, o strategie sau decizie nu va fi niciodata luata n acelasi context. Atractorii stranii. Un regim regulat devine neregulat sau turbulent ca urmare a actiunii atractorilor stranii. Atractorii n teoria haosului sunt ca influenta gravitatiei, seturi de valori spre care sistemul migreaza n timp, numiti si insule de stabilitate. ntr-o formula, un atractor poate fi un singur punct fixat, o colectie de puncte, o orbita complexa sau un numar infinit de puncte. Atractorii pot fi asimilati lacurilor care aduna toate apele iesite dintru-un bazin determinat, sau pot fi centre de prelucrare (consum) care focalizeaza curentii de marfuri dintr-o anumita zona. Denumirea de straniu se datoreaza dificultatii de prezentare a atractorilor si aspectului lor curios. De regula, atractorii sunt fractali caracterizati printr-o structura geometrica complexa, neregulata. Atractorul Lorentz este un fractal cu dimensiunea Hausdorff cuprinsa ntre 2 si 3. Desi este mai neclar cum atractorii stranii pot fi reprezentati ntr-o organizatie sociala, este convingerea ca fiecare organizatie are atractori care duc la alterarea comportamentului organizatiei n timp, n functie de ce forte sociale, economice sau de alt fel conduc sistemul catre un punct dat si de interactiunea acestora. Forme fractale. Orice parte a unui fractal, marita, reflecta exact ntregul. n management, se presupune ca diferite nivele ale organizatiei se aseamana cu altele, ca un fractal n ierarhia

manageriala. O forma a structurii sociale poate fi examinata n relatie cu caracteristicile ntregului sistem la nivel macro si micro. Bifurcatii. Bifurcatia reprezinta aparitia brusca a solutiilor diferite calitativ atunci cnd se modificam parametru dintr-un sistem neliniar. n orice organizatie, doua cai diferite pot adresa o problema diferit, complexitatea crescnd. Aceasta este recomandata des ca o sursa de creativitate. Atractia pentru teoria haosului porneste din viziunea teoreticienilor managementului si ai organizatiilor sociale ca organizatiile sunt sisteme complexe, adaptive, neliniare, dinamice, care au comportament similar cu sistemele naturale diferite nivele de stabilitate si haos.[7] n mod similar, comportamentul acesteia este imprevizibil, fiind imposibil de prezis uragane n viitorul ndepartat. Mai degraba dect sa controleze un sistem, un manager ar trebui sa profite de complexitatea sa. Stacey afirma ca managerii nvata cum sa faca fata anxietatii ce nsoteste aparitia haosului n sistemul lor prin adoptarea unui concept mistic de distrugere creativa. Stacey ncheie ntr-o nota pozitiva, avnd convingerea ca desi rezultatele pe termen lung sunt imposibil de prezis, tratarea eficienta a schimbarilor si a provocarilor n fiecare moment vor duce n final la succes. Dennard afirma n 1996: La ce buna o stiinta a haosului daca nu ne nvata cum sa nfruntam haosul si complexitatea? Nu la asta se refera managementul? n analiza finala, aceasta este cea mai importanta ntrebare. Daca un manager nu poate controla sau forta un sistem ntr-o forma oarecare de ordine, este managementul posibil? Este el necesar? Cu e