Despre Fractali şi aplicaŃii în matematică, informatică, artă, filozofie

Prof Pilat Elena Mihaela – Liceul Teoretic allatis”,mihaelapilat31@yahoo.com

Prof. Grozeanu Adela – Liceul Teoretic „Callatis”,agrozeanu@yahoo.co.uk Prof. Bechir Ghiulnar – Liceul Teoretic „Callatis”,ghiulnar68@yahoo.com

Prof. Serea Nicoleta – Liceul Industrial “Ion Bănescu”, nicolserea@yahoo.com Elev clasa a X-a Donisan George – Liceul Teoretic „Callatis”,

dony_dony_2009@yahoo.com Elev clasa a X-a Ferent Mihai – Liceul Teoretic „Callatis”,

ferent_mihai@yahoo.com Elev clasa a XI-a Carp Florin Cristian – Liceul Teoretic “Callatis”,

lordchristi@yahoo.com Elev clasa a XII-a Olăraşu Irina – Liceul Teoretic “Callatis”

Abstract

Lucrarea prezintă rezultate obŃinute prin elaborarea unor programe ce generează obiecte matematice de tip fractali. S-au obŃinut imagini şi obiecte ce simulează diverse forme reale şi care s-au grupat în expoziŃii cu imagini deosebite privind aplicaŃii ale fractalilor. În lucrare a fost aprofundată şi partea "filozofică" a fractalilor,încercand să se raspundă la multe întrebări despre timp, natură, viaŃă, cosmos etc. Proiectul a fost lansat pe platforma etwinning, unde au participat, alături de România şi următoarele Ńări: Turcia, FranŃa, Grecia, CroaŃia, şi Bulgaria. Elevii au publicat şi un site unde se găsesc rezultatele muncii lor: http://fractali.hi2.ro

1.Introducere În ultimii ani au fost analizate formele existente în natură. Dacă la începutul acestui secol în

centrul atenŃiei au fost doar atomii sau stelele, pulsarii sau quasarii, acum sunt studiate şi cele mai banale fenomene care dovedesc o complexitate redutabilă. Au fost analizate forme existente în natură: cristale, frunze, fum şi nori. Teoriile abordate „au lăsat să se întrevadă ceea ce în filozofie se numeste schimbare de paradigmă”.

Lindenmayer a lucrat cu drojdii şi fungi filomentoşi studiind modele de crestere a diferitelor tipuri de alge. Au fost concepute cu această ocazie L-systems pentru a descrie formal dezvoltarea unui astfel de organism simplu multicelular. Mai târziu, acest sistem a fost extins pentru a descrie plante superioare şi structuri complexe de tip cracă.

L-systems sunt cunoscute ca sisteme parametrice definite ca un triplu G = (V,Ț, P) unde -V (afabetul) este un set de simboluri care contin elemente care pot fi înlocuite (variabile).

- Ț (pornirea, axioma sau iniŃiatorul) este un şir de simboluri din V care definesc starea initială a sistemului

-P un set de reguli de producŃie sau de producŃii care definesc modul în care variabilele pot fi înlocuite cu combinaŃii de alte variabile.

Exemplu L-system pentru modelarea sistemului de creştere a algelor (Lindenmayer’s) Variables: AB n=0:A Constants: nom n=1:AB

ConferinŃa NaŃională de ÎnvăŃământ Virtual, ediŃia a VIII-a, 2010 257

Start:A n=2: ABA Rules:(A->AB), (B->A) n=3: ABAAB Which produces: n=4: ABAABABA Natura recursivă a regulilor L-system duce la auto-similaritate şi astfel formele fractale pot fi

usor de descrise cu un L-system. Modelul plantelor cu aspect natural, formele organice sunt la fel de usor de definit şi de cresterea nivelului de recursivitate. Cu cât nivelul de recursivitate este mai ridicat, cu atât modelul devine mai complex. Sistemele Lindenmayer sunt de asemenea populare în generarea de viaŃă artificială. Una din problemele deschise spre a fi cercetate ar fi că având o structură, să găsim acel L-system care poate produce structura.

Web Turtle este un program distractiv de desenare ce foloseste „Turtle Graphics” creat de Bill Kendrick (1997-2004). Grafica Turtle este un element cheie al limbajului de programare Logo (un limbaj de programare folosit pentru programarea funcŃională). Un turtle are 3 atribute: o poziŃie, o orientare şi un stilou care are la rândul său urmatoarele caracteristici: lăŃimea, poziŃia faŃă de sfârşituil paginii. 2. Fractalii

Termenul fractal provine din latinescul fractus care înseamnă „spart”, „fracturat”. Acest termen a fost introdus de Benoit Mandelbrot în 1975. Un fractal este un obiect matematic care are o structură detaliată la orice scară. În structura unui fractal fiecare parte este asemănătoare cu fractalul întreg, este autosimilar). Fractalii sunt generaŃi prin iteraŃia despre care am vorbit anterior în cazul L-system. Fractalii reprezintă ceva ce nu se încadrează în limitele cunoscute ale geometriei euclidiene sau ale calculului diferenŃial, infinmitezimal. Sunt forme fară arie care umplu o suprafaŃă din care cauză s-a declanşat la un moment dat infernul matematicienilor care au dat şi un nume acestei situaŃii „Teoria haosului”. Comportamentul haotic a fost observat în laboratoare pe o varietate de sisteme (circuite electrice, lasere, economie, crestere a populaŃiei în raport cu suprafata ocupată). Teoria haosului a apărut abia la sfarsitul secolului al XX-lea deoarece înainte se credea ca toate fenomenele sunt cauzate de alte fenomene. În era apariŃiei calculatoarelor au putut fi studiate aceste fenomene cu ajutorul calculatoarelor prin crearea unor simulatoare. Haos = un sistem dezordonat şi incontrolabil în care o mică schimbare poate duce la modificări foarte mari ale sistemului masurate la un moment ulterior, chiar dacă starea sistemului este complet dependentă de condiŃiile iniŃiale.

Voi exemplifica aici „Triunghiul lui Sierpinski.” Acesta se poate obŃine în 2 moduri. Putem împarŃi un triunghi în 4 părŃi egale, apoi fiecare din cele 4 triunghiuri obŃinute se împart din nou. Continuând acest proces la infinit, am putea trasa linii de divizare infinit de mici.

A 2-a metodă ar consta în confecŃionarea unui triunghi din carton pe care îl ştanŃăm. Prima dată decupăm triunghiul din mijloc, apoi realizam câte o gaură mai mică la fiecare din cele 3 triunghiuri din colŃuri. Se continuă la infinit.

Intrebarea la care nu s-a raspuns nici pană azi constă în aflarea ariei care acoperă această formă. Avem un numar infinit de găuri care acoperă fiecare bucăŃică plină din triunghi. Forma acoperă o suprafaŃă nulă? Aria este zero? Dacă îndepărtăm acum la fiecare pas un sfert din aria care a ramas, restul de ¾ este încă acoperit şi chiar dacă se repetă foarte mult această operaŃie, întotdeauna va rămâne mai mult decat s-a luat. Deci aria nu este zero?. 3. Exemple de fractali: Curba lui Koch

Avem o linie de lungime infinită ce înconjoară un spaŃiu finit. Covorul lui Sierpinski Este un exemplu de corp geometric despre care nu se poate preciza dacă este o curbă sau o

suprafaŃă.

Universitatea din Bucureşti şi Universitatea de Medicină şi Farmacie Târgu-Mureş 258

Figura 1. Curba lui Koch

Se repartizează într-un anume mod „golurile”

pentru a realiza o „sită naturala” în pătrat. La început avem un pătrat plin, pe care îl împarŃim în 9 bucăŃi egale din care se elimină mijlocul. În mod recurent, se generează celelalte obiecte, numarul acestora devinind extrem de mare.

Praful lui Cantor O altă variantă, la fel de cunoscută în lumea fractalilor, este praful lui Cantor. Ideea de generare este aceeaşi. Se porneşte de la un iniŃiator ce este şi în acest caz un segment de dreaptă. Legea de generare presupune doar îndepărtarea treimii din mijloc a segmentului.

Figura 3. Praful lui Cantor În acest mod, prin repetarea la nesfârşit a legii, se obŃine o structură alcătuită dintr-un set de puncte, structură caracterizată printr-o dimensiune dată de relaŃia:

Df = Ln(2) / Ln(3) = 0.63092.

Din nou o structură particulară, cu dimensiune intermediară cazurilor cunoscute de geometria euclidiană,.nici de dimensiune zero, specifică punctului, dar nici de dimensiune 1, specifică liniei, ci 0.63092.. Un mic "monstru" matematic, scufundat într-o linie, dar care are identitate doar în spaŃiul 0.63092.

Mulțimea lui Mandelbrot este un fractal care a devenit cunoscut în afara matematicii atât pentru estetica sa, cât și pentru structura complicată, care are la bază o definiție simplă. Acest lucru se datorează în mare parte eforturilor lui Benoît Mandelbrot și ale altora de a populariza acest domeniu al matematicii. Mulțimea lui Mandelbrot se definește ca fiind mulțimea acelor puncte c din planul complex pentru care aplicând în mod repetat polinomul complex z2 + c (pornind de la z = 0) rezultatul rămâne în interiorul unui disc de rază finită.

Figura 2. Covorul lui Sierpinski

ConferinŃa NaŃională de ÎnvăŃământ Virtual, ediŃia a VIII-a, 2010 259

Un fractal tridimensional -

buretele lui Menger se obtine folosind covorul lui sierpinski Mandelbrot argumentează că o multime neregulată cu cât este marită, tot mai multe neregularitati devin vizibile şi că

asemenea abstracŃiuni geometrice se potrivesc mai bine cu lumea fizică decât curbele şi suprafeŃele netede.

L. F Richardson studiază în 1961 variaŃiile lungimilor diverselor coaste măsurate cu compasul

pe hartă. Ű-etalon L(Ű)-variaŃii ale lungimilor aproximative ale diverselor coaste N(Ű) numărul de

paşi de lungime Ű cu prinşi cu compasul şi a(Ű) α b(Ű) înseamnă că a(Ű) şi b(Ű) variază la fel cand

Ű->0+ adică )(

)(

ε

ε

b

a tinde la o constantă nenulă când Ű->0+ avem:

L(Ű)=N(Ű) ŰαŰ-p, p>0

Pentru cerc p=0(constantă) dacă Ű suficient de mic în raport cu raza de curbură. Alte curbe prezintă un exponent p>0, iar lungimea lor creşte nedefinit şi spunem că aceste curbe sunt nerectificabile.

Exponentul 1+p al lui 1/N(Ű) este defapt o „dimensiune fractală.”

Această determinare a măsurii fractale prin acoperirea curbei cu discuri de raza Ű este exact cea utilizată de Pontriaghin si Schnirelman în 1932 pentru a defini dimensiunea de acoperire. Vom vorbi în acest context de curba Helge von Kock (1904). Pornim cu un segment etalon (inittiatorul) care se împarte în 3 segmente congruente şi se înlocuieste segmentul din mijloc cu cele două laturi ale unui triunghi echilateral avandu-l ca bază şi situat deasupra lui (generatorul).

Folosind iteraŃia, se repetă aceeaşi procedură cu toate cele 4 segmente obŃinute. Iată cum depinde lungimea de etalonul de masură.

Stadiul 0 Ű 1=1 N(Ű1)=1 L(Ű1)=1

Stadiul 1 Ű2=3

1 N(Ű2)=4 L(Ű1)= N(Ű2) Ű2=4*

3

1=4/3

Stadiul 3 Ű3= 23

1 N(Ű3)=42 L(Ű3)= N(Ű3) Ű3= 2

2

3

4

Prin inductie avem Űn= 13

1−n

N(Űn)=4n-1 L(Űn)= N(Űn) Űn= 1

1

3

4−

−

n

n

care tinde la infinit.

Rezultă dimensiunea fractală 43

43

log

log)1(13

1

4

1

)(

1nnn

nNε

ε===

−− rezultă D=1+p=log 4

3 =1,2618.

Figura 5. Buretele lui Menger

Figura 4. Multimea lui Mandelbrot

Universitatea din Bucureşti şi Universitatea de Medicină şi Farmacie Târgu-Mureş 260

4. Dimensiunea fractală

După cum se observă din calcule este o masură a regularităŃii sau a asprimii unei forme, adică gradul în care o formă umple spaŃiul. În concluzie, ea este estimată ca raport algoritmic al unor proprietăŃi la diferite scări. Un punct are dimensiunea 0. Dreptele şi curbele au dimensiunea 1. Planele şi suprafetele au dimensiunea 2, iar spaŃiul are dimensiunea 3. Exemplele prezentate nu se înscriu în această logică. Aceste curbe au dimensiuni fracŃionare care ne indică raporturi algoritmice.

Fractalii pot fi folosiŃi la comprimarea imaginilor, rata de compresie fiind cam 1:10000. Un fişier poate fi comprimat într-unul cu extensia IFS. Un fişier cu extensia IFS este un sistem care conŃine coduri Iterated Function System în format ASCII.

Sistemul FuncŃiei Iterate (IFS) este un sistem care iterează un set de transformări afine contractive. (Transformarea afină este o relaŃie geometrică ce pastrează forma de baza şi integritatea unei figuri).

Alexander F. Walz consideră un fractal ca fiind o schemă copiată de o infinitate de ori într-un spaŃiu finit. Dacă un obiect compus din elemente asemenea cu el are dimensiunea D, poate fi împărŃit în nD elemente de n ori mai mici, atunci dimensiunea sa fractală este dată de relaŃia:

CondiŃia necesară pentru valabilitatea aceastei formule este asemănarea dintre obiect şi piesele sale constitutive, această aproximare a dimensiunii fractale se mai numeşte dimensiune de auto-asemănare.

CondiŃia ca o figură geometrică să fie fractal este ca numărul de obiecte geometrice generate recurent să fie extrem de mare. Există aşa numiŃii fractali uniformi, obŃinuŃi prin aplicarea unui unic factor de scară, fractali neuniformi, obŃinuŃi prin aplicarea simultană a doi factori de scară şi fractali aleatori, care se generează absolut întâmplător.

Metode de evaluare a dimensiunii fractale Metodele de evaluare a dimensiunii fractale trebuie să verifice în principiu dacă există o lege

de tip putere între un parametru şi scara de masură. Am prezentat mai sus metoda prin care Richardson a studiat variaŃia lungimii coastelor

folosind metoda compasului. Metoda compasului se aplică în cazul curbelor, conturului unei

figuri şi presupune determinarea unei relaŃii exacte dintre lungimea (aproximativă) curbei în funcŃie de scara de masură utilizată. Se defineste scara s ca raport între deschiderea compasului. Începând cu s=0.3 şi pânã la s=0.01, se determinã numãrul n(s) de segmente cu care se poate aproxima conturul mãsurat şi implicit valoarea aproximativã a lungimii ui = ni(si) *si. Apoi, într-un grafic dublu logaritmic se plaseazã punctele experimentale (log(u)vs(log(s)). Se determinã panta dreptei d trasate printre punctele experimetale şi se poate determina dimensiunea fractalã atasatã D = 1+d.

Metoda box-counting Aceasta este cea mai performantă metodă pentru analiza fractală deoarece se pretează foarte

bine pentru structuri complexe. Avantajul constă mai ales în posibilitatea implementării cu ajutorul calculatorului în vederea unei evaluari automate. Se urmareşte modul în care numărul de celule necesare pentru a acoperi structura de mãsurat variază în funcŃie de latura acestor celule. Se alege un pãtrat ca care sã acopere complet structura mãsuratã, apoi se divide pe rând latura pãtratului la 2, 4, 8, ... (s=1/2, 1/4, 1/8, ....) şi se numãrã celulele în care existã elemente ale structurii de

Figura 6. Metoda

compasului

ConferinŃa NaŃională de ÎnvăŃământ Virtual, ediŃia a VIII-a, 2010 261

mãsurat. (N(s)). Din şirul de mãsurãtori efectuate cu latura celulei de mãrime s1, s2, ...sn se verificã dependeŃa de tipul N(s) = csD, de unde se deduce şi D. După cum se vede, algoritmul se pretează la o implementare recursivă, foarte avantajoasă din punctul de vedere al facilitătii programarii. Metoda “sand box” Este asemanatoare cu metoda descrisă anterior, se evaluează un parametru M(R) în functie de raza R a unei sfere ce creste progresiv de la un Rmin pâna la un Rmax.

Metoda “slite island” Se aplică pentru evaluarea dimensiunii fractale cuprinse între 2 si 3 pentru suprafete rugoase. Fiind dată o suprafaŃă rugoasă, se marchează un interval cuprins între minimul absolut al cotelor tuturor punctelor ce alcatuiesc figura obiectului de evaluat şi maximul absolut al acestora. Chiar dacă oamenii sunt unici precum fulgii de zăpadă, fiecare scormoneşte neîncetat dupa răspunsuri care generează cunoaştera. Chiar dacă este vorba de viaŃă, dragoste sau ştiintă, raspunsurile găsite ridică alte întrebari. Imaginează-le precum nişte lanŃuri nesfârşite care se leagă la infinit, precum un fractal. În momentul în care cineva crede că a găsit un răspuns, riscă să se ciocnească de o altă întrebare, pierdut într-o spirală de întrebări, devenind astfel şi mai confuz. Este ca o încercare disperată de a te apropia de linia orizontului care se îndepărtează din ce în ce mai mult pe măsură ce încerci să îl atingi.

Figura 7. Captura site fractali : http://fractali.hi2.ro

Bibliografie [1] http://er.adrianmoisei.com/fractali [2] http://virtualia.ong.ro/00/nadina_00.htm [3] Alain Boutot „Iventarierea formelor” Editura Nemira, Bucuresti, 1997 [4] http://video.google.com/videoplay?docid=874719564027220461” [5] http://virtuallearning.ning.com/forum/topics/web-turtle-and-applications [6] Marin Vlada, Ioan Nistor Adrian Posea „Grafica pe calculator în ;limbajul Pascal şi C” Editura Tehnică,

1992 [7] www.sonic.net/nbs/webturtle/examples [8] http://en.wikipedia.org/wiki/L_system [9] http://algorithmicbotany.org/papes/#abop [10] http://fmi.unibuc.ro/ro/pdf/2009/diverse/Fractali.pps [11] K Devlin-Vârsta de aur a matematicii, Editura Theta, Bucuresti, 2000 [12] J.-F.Gornyet-Physique et structures fractales, Masson Paris 1992 [13] B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman, 1982 [14] B. Mandelbrot- Obiecte fractale, Editura Nemira [15]Articole şi note matematice Stefan Frunza 1998 Conf. Dr. Facultatea de matematică, Univ. „Al. I. Cuza”, Iasi [16] http://www.descopera.org/teoria-haosuluui