Teoria haosului(Teoria sistemelor complexe)

CE ESTE TEORIA HAOSULUI? Teoria haosului este studiul sistemelor complexe aflate in permanenta miscare, bazate pe concepte matematice ale recursivitatii, fie sub forma unui proces recursiv, fie un set de ecuatii diferite care modifica un sistem fizic. Numele de Teoria haosului provine de la faptul ca sistemele pe care teoria le descrie sunt aparent dezordonate, dar teoria haosului cauta de fapt ordinea interioara in aceste aparent intamplatoare date. Cea mai des intalnita conceptie greita in legatura cu teoria haosului este aceea ca aceasta teorie se refera la dezordine.Nimic nu e mai departe de adevar ca aceasta afirmatie.

CINE A "INVENTAT" TEORIA HAOSULUI? Aceast teorie l are ca printe pe matematicianul i meteorologul american Edward Lorenz, care n anii 60 ai secolului trecut a folosit calculatorul pentru a crea modele ale situaiei meteo. Lorenz a observat cum mici ajustri ale valorilor de intrare (rotunjirea unor la valori, punnd n loc de 0,345676, de pild, 0,345) au generat scenarii ale vremii radical diferite fa de cazul n care s-au pstrat valorile iniiale. Pe de alt parte, cercettorul american a observat un fapt esenial, o caracteristic fundamental a sistemelor haotice: la variaii multiple a valorilor de intrare sunt favorizate anumite modele pentru rezultatele finale. Aadar, dei nu se poate prezice exact care va fi modelul final n funcie de variabila modificat, anumite rezultate par a fi favorite n pofida altora. Aceste modele favorite pentru a descrie starea final a sistemului au fost denumite de Lorenz atractori.

Edward Lorenz

ATRACTORUL LORENTZAtractorul Lorenz, numit in onoarea Edward N. Lorenz, este o structura fractala corespunztoare comportamentul pe termen lung a oscilatorului Lorenz. Oscilator Lorenz este un sistem 3-dimensional dinamice care prezint fluxul haotic, remarcat pentru forma sa lemniscate. Harta arat modul n care starea unui sistem dinamic (trei variabile a unui sistem tridimensional) evolueaz n timp, ntr-un model complex, care nu se repet.

ATRACTORUL LORENTZ

ATRACTORUL LORENZ

Ecuaiile care guverneaz oscilator Lorenz sunt:Unde se numete numrul lui Prandtl i se numeste numarul lui Rayleigh. Toate , , > 0, dar de obicei = 10, = 8 / 3 i este variat. Sistemul sufera un comportament haotic pentru = 28, dar afieaz orbite periodice pentru alte valori ale . De exemplu, cu = 99.96 devine un T (3,2) nod tor.

Atractorul n sine, i ecuaiile din care este derivat, au fost introduse de Edward Lorenz, n 1963 care a derivat din ecuaiile simplificate de role de convecie care apar n ecuaiile de atmosfer. n plus fa de interesul su in domeniul matematicii neliniare, modelul Lorenz are implicaii importante in prognozelor meteo. Modelul este o declaraie explicit c atmosferele planetare i stelare pot prezenta o varietate de regimuri cvasi-periodice, care sunt, dei complet determinist, un subiect brusc i aparent aleator schimbator.

Traiectoriile urmate de-a lungul unui atractor straniu nu se ncrucieaz niciodat, acest fapt este interzis de determinism, ele constituie contururi care sunt din ce n ce mai strnse cnd sunt privite la scar din ce n ce mai mic. Pn la descoperirea atractorilor stranii, existena unui atractor a fost considerat o garanie a stabilitaii i reproductibilitii, altfel spus proprietatea unui sistem de a ajunge tot acolo, indiferent de perturbaii,oricare ar fi caracteristicile iniiale.

Astfel,se vede ca prin regiunea ocupat de un atractor straniu(fractal) pot trece orict de multe traiectorii, iar fiecare dinaceste traiectorii are un destin diferit de al celorlalte; situaii iniiale pe care le putem alege orict de apropiate, pot genera evoluii divergente. O ct de mic diferen, o ct de mic perturbaie poate avea consecine deosebite; acest Comportament primit numele de efectul fluturelui(butterfly effect).

THE BUTTERFLY EFFECT Teoria haosului afirm c mici variaii ale unor parametri ai unui sistem complex pot duce la rezultate complet diferite rezultand un efect numit Efectul fluturelui Numele de efect, inventat de Edward Lorenz, este derivat din exemplul teoretic de formarea a unui uragan in functie daca un fluture si-a ndeprtat sau nu aripile sale cu cteva sptmni nainte. Acest exemplu vine din zona meteorologiei i ne spune c mici variaii ale vremii ntr-o anumit parte a globului pot duce la modificri semnificative ale situaiei meteo din alt parte a Pmntului; ori, mai simplu spus, btaia aripilor unui fluture n Bucureti poate duce la declanarea unui uragan n Pacific. Efectul fluturelui este o figur de stil comun n ficiune atunci cnd prezint scenarii care implic cltorie n timp i cu ipoteze n cazul n care unul abate de poveste, la momentul unui eveniment aparent minor rezultat n dou rezultate semnificativ diferite.

DEFINITIA FRACTALILORUn fractal este un obiect geometric care este neregulat sau discontinuu la orice scar l am privi i care este fracturat ntr-un mod specific. Obiectul fractal poate fi desfcut n pri care sunt fiecare similare cu obiectul original. Un fractal are o infinitate de detalii, care se prezint ntr-o succesiune care se repet.

ISTORIA FRACTALILORIstoria fractalilor are originea in anul 1975, cand apare lucrarea fondatorului geometriei fractale, Benoit Mandelbrot, O teorie a sistemelor fractale. Aparentele contradictorii dintre parerea acestuia despre matematica si natura rigida a matematicii impusa de matematicienii vremii, au generat aparitia unui nou concept, si anume a geometriei fractale .

Matematicieni ca Waclaw Sierpinski, David Hilbert, George Cantor i Helge von Koch au creat primii fractali, n general ca exerciii abstracte, neavnd nici o idee despre semnificaia lor. Muli dintre ei considerau aceste forme patologice, dizgraioase sau chiar dezgusttoare. Ce ocai ar fi acum s afle c sunt mai cunoscui tocmai prin acele forme care i-au ngrozit mai mult. Civa dintre aceti pionieri aveau motive ntemeiate pentru dezgustul lor, pentru aceste "aberaii" geometrice.

TRIUNGHIUL LUI SIERPINSKIProbabil cel mai cunoscut (folosind acelasi procedeu), fractal al tuturor timpurilor este procesul continund la infinit renumitul triunghi al lui pentru toate triunghiurile Sierpinski. formate Modul de realizare al acestui fractal este foarte simplu la nceputse deseneaz un triunghi pe care l vom diviza n patru prtiegale, iar trei dintre ele (cele din exterior) vor fi si ele divizate

FULGUL DE NEA ALUI KOCH

Dup apariia termenului de fractal s-a produs o adevrata frenezie n explorarea diverselor fenomene din perspectiva fractalilor, dar si gsirea celor mai spectaculoi i aratoi fractali

Grania mulimii lui Mandelbrot este un exemplu faimos de fractal.

FRACTALII N NATURFractali aproximativi sunt uor de observat n natur. Aceste obiecte afieaz o structur auto-similar la o scar mare, dar finit. Exemplele includ norii, fulgii de zpad, cristalele,lanurile montane, fulgerele, reelele de ruri, conopida sau broccoli i sistemul de vase sanguine i vase pulmonare

Ramificarea fractalilor are loc n cazul suprafeei DVDurilor iradiate ntr-un cuptor cu microunde

Broccoli Romanesco evideniind structuri de fractal naturale foarte fine

TEORIA HAOSULUI I VIAA DE ZI CU ZI Dar teoria haosului poate fi ilustrat i din alt perspectiv, a vieii de zi cu zi. S lum urmtorul exemplu. n loc s ieii pe ua casei, aa cum obinuii n fiecare diminea, la orele 8.00, ntr-o anume zi ntrziai un sfert de or pentru c vi s-a terminat pasta de dini, iar tubul cel nou cu past s-a lsat greu gsit. Astfel, n loc s ajungei la 8.45 la serviciu, e de ateptat s ajungei la 9.00. Numai c la 8.50 are loc un cutremur devastator care duce la prbuirea cldirii unde avei biroul, iar toi cei din cldire sunt strivii. E posibil s considerai c vreun zeu bizar v-a avut n vedere i v-a salvat pe dumneavoastr, avnd el vreun motiv ascuns. Ori e posibil s considerai c ai avut noroc, s v gsii un nou loc de munc i n jumtate de an s descoperii cum se poate produce energie gratuit nelimitat pentru ntreaga omenire (s zicem c realizai fuziunea nuclear). n felul acesta, nu numai c vei deveni celebru, iar numele dumneavoastr va subzista att ct va exista specia uman, dar milioane de oameni v vor datora, literalmente, viaa. n felul acesta, pornind de la terminarea unui tub de past de dini, umanitatea se alege cu cea mai mare realizare tehnologic din istorie.

HAOSUL NU ESTE CHIAR... HAOS Un sistem complex cum este sistemul meteorologic al Pmntului poate fi privit ca haotic. n fapt, haosul care apare cercettorului nu este n fapt haos, ci un sistem att de complex nct este imposibil s fie surprins n toate variabilele sale. Aadar, sistemul haotic este unul determinist, iar dac i cunoti punctul de plecare i i poi controla variabilele, i poi prezice i strile intermediare ori finale. O alt caracteristic cardinal a unui sistem haotic este aceea c pornind de la o stare final a acestuia nu se poate nelege starea sa iniial. Se ntmpl astfel, pentru c exist mai multe ci de a ajunge la acelai rezultat. Necunoaterea evoluiei sistemului face imposibil reconstituirea acesteia doar pe baza strii finale.