teoria circuitelor electrice

CUPRINS

1. Bazele fizice ale teoriei circuitelor electrice .................................................................. 11

1.1. Starea de electrizare şi câmpul electric ............................................................... 11

1.1.1. Teorema lui Coulomb ............................................................................... 13

1.1.2. Potenţial electrostatic, diferenţă de potenţial şi tensiune electrică ........... 14

1.2. Starea electrocinetică .......................................................................................... 16

1.2.1. Intensitatea câmpului electric imprimat.................................................... 17

1.2.2. Intensitatea curentului electric de conducţie............................................. 19

1.2.3. Teorema potenţialului electric staţionar ................................................... 20

1.3. Starea de magnetizare şi câmpul magnetic ......................................................... 21

1.4. Flux electric. Teorema fluxului electric .............................................................. 23

1.5. Flux magnetic. Teorema fluxului magnetic ........................................................ 24

1.6. Legea conservării sarcinii electrice .................................................................... 25

1.7. Legea inducţiei electromagnetice ....................................................................... 27

1.7.1. Intensitatea câmpului electric în sens larg ................................................ 29

1.7.2. Tensiune electrică şi tensiune electromotoare. Diferenţă de potenţial

şi tensiune la borne ................................................................................... 29

1.8. Legea conducţiei electrice .................................................................................. 31

1.9. Legea transformării energiei în conductoare ...................................................... 33

1.10. Legea circuitului magnetic ............................................................................... 34

1.11. Aproximaţiile teoriei circuitelor electrice cu parametri concentraţi ................. 34

2. Semnalele şi elementele circuitelor electrice ..................................................... 36

2.1. Semnale excitaţie şi semnale răspuns ................................................................. 36

2.2. Elemente de circuit pasive liniare ....................................................................... 38

2.2.1. Rezistorul liniar ideal ................................................................................ 39

2.2.2. Bobina liniară ideală ................................................................................. 39

2.2.3. Bobine cuplate magnetic........................................................................... 41

2.2.4. Condensatorul liniar ideal ......................................................................... 44

2.3. Elemente de circuit active ................................................................................... 45

2.3.1. Generatorul de tensiune ............................................................................ 45

Cuprins

4

2.3.2. Generatorul de curent ............................................................................... 46

2.3.3. Surse dependente ...................................................................................... 46

2.4. Clasificarea circuitelor electrice ......................................................................... 47

2.5. Elemente de teorie a grafurilor ........................................................................... 48

3. Circuite liniare de curent continuu în regim permanent ................................ 51

3.1. Legile şi teoremele circuitelor liniare de curent continuu .................................. 51

3.1.1. Legea lui Ohm .......................................................................................... 51

3.1.2. Teoremele lui Kirchhoff ........................................................................... 54

3.1.3. Legea Joule – Lenz ................................................................................... 55

3.2. Transformarea schemelor circuitelor liniare de curent continuu ....................... 56

3.2.1.Scheme echivalente. Rezistenţă echivalentă şi conductanţă echivalentă .. 56

3.2.2. Gruparea rezistoarelor .............................................................................. 56

3.2.3. Teorema transfigurării .............................................................................. 59

3.2.4. Transformarea schemelor circuitelor liniare active .................................. 61

3.3. Metode de analiză a circuitelor liniare de curent continuu ................................ 67

3.3.1. Metode de analiză cu obţinerea răspunsurilor pe toate laturile ................ 67

3.3.2. Metode de analiză cu obţinerea răspunsului pe o singură latură .............. 73

3.4. Circuite duale ..................................................................................................... 78

3.5. Dipoli şi cuadripoli liniari de curent continuu ................................................... 79

3.5.1. Multipoli ................................................................................................... 79

3.5.2. Dipoli liniari de curent continuu .............................................................. 79

3.5.3. Cuadripoli liniari de curent continuu ....................................................... 81

4. Circuite liniare de curent alternativ în regim permanent ............................... 85

4.1. Semnale variabile, periodice şi alternative ......................................................... 86

4.1.1. Semnale sinusoidale ................................................................................. 88

4.1.2. Producerea tensiunilor electromotoare sinusoidale .................................. 90

4.2. Valori caracteristice ale semnalelor sinusoidale ................................................ 91

4.3. Reprezentări simbolice ale semnalelor sinusoidale ............................................ 92

4.3.1. Reprezentarea simbolică geometrică ........................................................ 92

4.3.2. Reprezentarea simbolică analitică ............................................................ 94

4.3.3. Corespondenţa operaţiilor ........................................................................ 97

4.4. Parametrii circuitelor liniare de curent alternativ ............................................... 101

4.5. Puteri în circuite liniare în regim permanent sinusoidal .................................... 107

Cuprins

5

4.5.1 Puterea instantanee .................................................................................... 107

4.5.2. Puterea activă ............................................................................................ 108

4.5.3. Puterea aparentă ........................................................................................ 109

4.5.4. Factorul de putere ..................................................................................... 109

4.5.5. Puterea reactivă ......................................................................................... 110

4.5.6. Puterea aparentă complexă ....................................................................... 112

4.5.7. Puterea aparentă instantanee complexă .................................................... 113

4.6. Legile şi teoremele circuitelor liniare de curent alternativ ................................. 114

4.6.1. Legea lui Ohm generalizată ...................................................................... 114

4.6.2. Teoremele lui Kirchhoff ........................................................................... 117

4.6.3. Teorema de conservare a puterii instantanee ............................................ 120

4.6.4. Teoremele de conservare a puterilor aparente complexe,

active şi reactive ........................................................................................ 122

4.7. Analiza circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal .................................. 125

4.7.1. Analiza circuitelor liniare în regim cvasistaţionar .................................... 125

4.7.2. Metode simbolice de analiză a circuitelor liniare

în regim permanent sinusoidal .................................................................. 126

4.7.3. Analiza circuitelor liniare, lipsite de cuplaje magnetice,


4.7.4. Transformarea schemelor circuitelor liniare, lipsite de cuplaje magnetice,


4.7.5. Circuite duale ............................................................................................ 130

4.7.6. Metoda separării puterilor active şi reactive ............................................. 131

4.8. Circuite liniare elementare ideale în regim permanent sinusoidal ...................... 133

4.8.1. Rezistorul ideal în regim permanent sinusoidal........................................ 133

4.8.2. Bobina ideală în regim permanent sinusoidal ........................................... 135

4.8.3. Condensatorul ideal în regim permanent sinusoidal ................................. 137

4.8.4. Bobina ideală în serie cu un rezistor ideal în regim permanent sinusoidal .. 139

4.8.5. Bobina ideală în paralel cu un rezistor ideal


4.8.6. Condensatorul ideal în serie cu un rezistor ideal


4.8.7. Condensatorul ideal în paralel cu un rezistor ideal


Cuprins

6

4.8.8. Rezistorul ideal, bobina ideală şi condensatorul ideal, grupate în serie,


4.8.9. Rezistorul ideal, bobina ideală şi condensatorul ideal, grupate în paralel,


4.9. Circuite cuplate în regim permanent sinusoidal ................................................. 149

4.9.1. Circuite cuplate prin inductanţă mutuală ................................................. 149

4.10. Rezonanţa în circuite liniare în regim permanent sinusoidal ........................... 153

4.10.1. Rezonanţa de tensiuni ............................................................................ 154

4.10.2. Rezonanţa de curenţi .............................................................................. 157

5. Dipoli şi cuadripoli liniari în regim permanent sinusoidal .............................. 162

5.1. Dipoli liniari în regim permanent sinusoidal...................................................... 162

5.1.1 Transferul energiei electromagnetice printr-un dipol liniar pasiv ............. 163

5.2. Cuadripoli liniari ................................................................................................ 165

5.2.1. Ecuaţiile cuadripolului liniar în regim permanent sinusoidal .................. 167

5.2.2. Gruparea cuadripolilor ............................................................................. 169

5.2.3. Cuadripoli reciproci ................................................................................. 173

5.2.4. Impedanţa echivalentă la poarta de intrare. Impedanţe caracteristice şi

impedanţe imagini .................................................................................... 174

5.2.5. Determinarea experimentală a parametrilor cuadripolilor reciproci ........ 177

5.2.6. Cuadripoli reciproci simetrici .................................................................. 178

5.2.7. Scheme echivalente ale cuadripolilor reciproci ....................................... 181

5.3. Filtre electrice ..................................................................................................... 183

5.3.1. Teoria simplificată a filtrelor ................................................................... 184

5.3.2. Exemple de filtre ...................................................................................... 186

6. Circuite polifazate în regim permanent sinusoidal .......................................... 190

6.1. Generalităţi ......................................................................................................... 190

6.2. Sisteme trifazate simetrice şi nesimetrice .......................................................... 191

6.3. Producerea tensiunilor electromotoare sinusoidale trifazate .............................. 193

6.4. Conexiunile circuitelor trifazate ......................................................................... 194

6.4.1. Conexiunea în stea ................................................................................... 195

6.4.2. Conexiunea în triunghi ............................................................................. 197

6.5. Puteri în circuite trifazate în regim permanent sinusoidal.................................. 199

Cuprins

7

6.6. Analiza circuitelor trifazate liniare, echilibrate şi alimentate

cu tensiuni simetrice ........................................................................................... 202

6.6.1. Circuite trifazate cu conexiunea în stea, lipsite de cuplaje magnetice ..... 202

6.6.2. Circuite trifazate cu conexiunea în stea cu cuplaje magnetice între faze ... 204

6.6.3. Circuite trifazate cu conexiunea în triunghi, lipsite de cuplaje magnetice . 205

6.6.4. Circuite trifazate cu conexiunea în triunghi cu cuplaje magnetice

între faze .................................................................................................... 206

6.7. Analiza circuitelor trifazate liniare dezechilibrate şi alimentate

cu tensiuni nesimetrice ....................................................................................... 207

6.7.1. Circuite trifazate cu conexiunea în stea cu conductor neutru ................... 207

6.7.2. Circuite trifazate cu conexiunea în stea fără conductor neutru ................. 209

6.7.3. Circuite trifazate cu conexiunea în triunghi.............................................. 210

6.8. Analiza circuitelor trifazate liniare, dezechilibrate şi alementate

cu tensiuni nesimetrice, cu ajutorul metodei componentelor simetrice ... 212

6.8.1. Descompunerea unui sistem trifazat nesimetric de semnale sinusoidale

în sisteme simetrice .................................................................................. 212

6.8.2. Proprietăţi ale componentelor simetrice ale tensiunilor şi curenţilor ....... 214

6.8.3. Receptor trifazat echilibrat sub tensiuni nesimetrice ................................ 216

7. Circuite liniare în regim permanent periodic nesinusoidal ............................. 218

7.1. Generalităţi ......................................................................................................... 218

7.2. Analiza armonică a semnalelor periodice ........................................................... 218

7.2.1. Semnale periodice particulare................................................................... 220

7.2.2. Forma complexă a seriei trigonometrice .................................................. 233

7.2.3. Reprezentarea spectrală a semnalelor periodice nesinusoidale ................ 235

7.2.4. Metode grafico - analitice de analiză armonică ........................................ 238

7.3. Valori caracteristice ale semnalelor periodice nesinusoidale ............................. 239

7.4. Puteri în circuite liniare în regim permanent periodic nesinusoidal. .................. 242

7.5. Analiza circuitelor liniare în regim permanent periodic nesinusoidal ................ 247

7.5.1. Rezistorul ideal în regim permanent periodic nesinusoidal ...................... 248

7.5.2. Bobina ideală în regim permanent periodic nesinusoidal ......................... 249

7.5.3. Condensatorul liniar în regim permanent periodic nesinusoidal .............. 250

7.5.4. Circuitul serie RLC în regim permanent periodic nesinusoidal ............... 251

7.6. Circuite liniare trifazate echilibrate sub tensiuni simetrice nesinusoidale .......... 252

7.6.1. Receptor trifazat simetric cu conexiunea stea fără conductor neutru ....... 254

Cuprins

8

7.6.2. Receptor trifazat simetric cu conexiunea stea cu conductor neutru ......... 255

7.6.3. Receptor trifazat simetric cu conexiunea în triunghi ............................... 256

7.7. Efectele regimului permanent periodic nesinusoidal ......................................... 257

7.8. Semnale nesinusoidale care nu se dezvoltă în serie Fourier .............................. 259

7.8.1. Bătaia oscilaţiilor ..................................................................................... 259

7.8.2. Modulaţia oscilaţiilor ............................................................................... 261

8. Circuite liniare cu parametri concentraţi în regim tranzitoriu ...................... 267

8.1. Teoremele comutării .......................................................................................... 268

8.2. Metoda directă de analiză în domeniul timp ...................................................... 270

8.2.1.Circuite liniare de ordinul unu .................................................................. 270

8.2.2. Circuite liniare de ordinul doi .................................................................. 280

8.3. Metoda variabilelor de stare ............................................................................... 294

8.4. Metoda răspunsului tranzitoriu........................................................................... 298

8.5. Metoda transformatei Fourier............................................................................. 301

8.5.1. Transformata Fourier ............................................................................... 301

8.5.2. Forma trigonometrică a dezvoltării în integrală Fourier .......................... 303

8.5.3. Teoremele transformatei Fourier.............................................................. 304

8.5.4. Transformatele Fourier ale funcţiilor uzuale ............................................ 306

8.5.5. Analiza circuitelor dipolare utilizând transformata Fourier ..................... 311

8.6. Metoda transformatei Laplace ............................................................................ 313

8.6.1. Transformata Laplace ............................................................................... 313

8.6.2. Relaţia dintre transformatele Fourier şi Laplace ...................................... 314

8.6.3. Teoremele transformatei Laplace ............................................................. 315

8.6.4. Transformatele Laplace ale funcţiilor uzuale ........................................... 319

8.6.5. Teoremele dezvoltării ale lui Heaviside ................................................... 322

8.6.6. Transformatele Laplace ale ecuaţiilor elementelor de circuit liniare ....... 324

8.6.7. Legile şi teoremele circuitelor liniare sub formă operaţională ................. 329

8.6.8. Metode de analiză a circuitelor liniare utilizând transformata Laplace ... 331

9. Circuite cu parametri distribuiţi. Linii electrice lungi .................................... 332

9.1. Parametrii lineici primari ................................................................................... 333

9.2. Ecuaţiile liniei omogene ..................................................................................... 335

9.2.1. Ecuaţiile liniei omogene în regim permanent sinusoidal ......................... 338

9.2.2. Unde de tensiune şi de curent ................................................................... 341

Cuprins

9

9.3. Parametrii lineici secundari ................................................................................ 345

9.4. Linia omogenă în regim caracteristic ................................................................. 346

9.5. Linii omogene foarte lungi ................................................................................. 348

9.6. Linia omogenă fără dispersie .............................................................................. 348

9.7. Impedanţa echivalentă la poarta de intrare ......................................................... 350

9.8. Linia omogenă funcţionând în gol şi în scurtcircuit ........................................... 351

9.9. Linia omogenă fără pierderi ................................................................................ 352

9.9.1. Unde staţionare ......................................................................................... 354

9.9.2. Efectele Ferranti de tensiune şi de curent ................................................. 357

9.10. Linia omogenă considerată cuadripol simetric ................................................. 358

9.11. Linii omogene scurte ........................................................................................ 358

9.12. Linii electrice lungi în regim tranzitoriu ........................................................... 360

9.12.1. Analiza în domeniul timp ....................................................................... 360

9.12.2. Analiza în domeniul frecvenţă ................................................................ 365

10. Circuite neliniare ........................................................................................................... 369

10.1. Introducere ........................................................................................................ 369

10.2. Elemente de circuit neliniare ............................................................................ 370

10.2.1. Rezistorul neliniar necomandat .............................................................. 373

10.2.2. Rezistorul neliniar comandat .................................................................. 376

10.2.3. Bobina neliniară ...................................................................................... 378

10.2.4. Condensatorul neliniar ............................................................................ 381

10.3. Aproximarea analitică a caracteristicilor elementelor de circuit neliniare ....... 384

10.3.1. Funcţii de aproximare a caracteristicilor elementelor de circuit

neliniare ................................................................................................... 384

10.3.2. Determinarea coeficienţilor funcţiilor de aproximare ............................ 386

10.3.3. Exemple de aproximare a caracteristicilor elementelor de circuit

Neliniare .................................................................................................. 388

10.4. Analiza în regim permanent a circuitelor neliniare de curent continuu ............ 390

10.4.1. Legile şi teoremele circuitelor neliniare de curent continuu .................. 391

10.4.2. Transformarea schemelor circuitelor neliniare de curent continuu ........ 396

10.4.3. Metode de analiză a circuitelor neliniare de curent continuu

cu obţinerea răspunsului numai pe laturile neliniare ............................... 401

10.4.4. Metoda analitică a liniarizării caracteristicii în jurul punctului

de funcţionare .......................................................................................... 404

Cuprins

10

10.4.5. Metoda analitică utilizând funcţiile de aproximare ................................ 406

10.5. Analiza în regim permanent a circuitelor neliniare neinerţiale excitate

cu semnale periodice ........................................................................................ 406

10.5.1. Analiza în regim permanent a circuitelor constituite

numai din rezistoare neliniare neinerţiale .............................................. 406


numai din bobine neliniare neinerţiale .................................................. 409


numai din condensatoare neliniare neinerţiale ...................................... 415

10.6. Analiza în regim permanent a circuitelor neliniare inerţiale

excitate cu semnale periodice ........................................................................... 417


numai din rezistoare neliniare inerţiale.................................................. 418


numai din bobine neliniare inerţiale ...................................................... 419


numai din condensatoare neliniare inerţiale .......................................... 424

10.6.4. Dipolul pasiv neliniar inerţial................................................................. 429

10.6.5. Metode grafice de analiză a circuitelor neliniare inerţiale ..................... 430

10.7. Rezonanţa în circuitele neliniare inerţiale ........................................................ 432

10.7.1. Ferorezonanţa de tensiuni ...................................................................... 432

10.7.2. Ferorezonanţa de curenţi ........................................................................ 434

10.8. Analiza circuitelor neliniare în regim tranzitoriu ............................................. 436

10.8.1. Circuite neliniare de ordinul unu ............................................................ 437

10.8.2. Circuite neliniare de ordinul doi ............................................................ 445

Bibliografie ......................................................................................................................... 453

1. BAZELE FIZICE ALE TEORIEI

CIRCUITELOR ELECTRICE

1.1 STAREA DE ELECTRIZARE ŞI CÂMPUL ELECTRIC

Frecând o vergea de sticlă cu postav de lână sau mătase şi apoi separându-le, se

constată că între ele şi asupra unor mici corpuri (bucăţi mici de hârtie, cristale de gips etc.)

situate în apropiere se exercită forţe, respectiv cupluri denumite acţiuni ponderomotoare. Ca

urmare a tratamentului aplicat, vergeaua de sticlă şi postavul de lână se găsesc într-o stare

care nu este nici mecanică şi nici termică, numită stare de electrizare.

Starea de electrizare a corpurilor este numită orice stare în care acestea pot exercita

acţiuni ponderomotoare de natură electrică (forţe sau cupluri) asupra altor corpuri, adică

acţiuni ponderomotoare de aceeaşi natură cu cele exercitate de corpurile electrizate prin

frecare.

Din punct de vedere microscopic, starea de electrizare a unui corp înseamnă aducerea

acestuia în situaţia de a avea un exces sau o lipsă de electroni.

În afară de frecare, corpurile mai pot fi electrizate prin contact direct cu corpuri

electrizate, prin comprimarea sau întinderea unor cristale (piezoelectrizare), prin încălzire

(piroelectrizare), prin iradiere cu raze Röentgen, prin reacţii chimice etc.

Starea de electrizare se poate comunica de la un corp electrizat la un corp neelectrizat

prin contact sau prin influenţă. După durata în care se transmite starea de electrizare, corpurile

pot fi împărţite în trei categorii:

• Corpuri conductoare sau mai simplu conductori, care transmit starea de electrizare

într-un timp foarte scurt, de ordinul 10-10 – 10-12s, deci practic instantaneu. Din clasa

conductorilor fac parte metalele, soluţiile de acizi, baze şi săruri precum şi gazele în

timpul arderii;

• Corpuri izolante sau mai simplu izolanţi, care transmit starea de electrizare într-un

timp lung, de ordinul zilelor, lunilor. Din clasa izolanţilor fac parte sticla, mica,

cauciucul, masele plastice, porţelanul etc.;

Observaţie.

Nu există izolanţi perfecţi; toate materialele sunt conductoare. Numai vidul este

perfect izolant.

Capitolul 1 - Bazele fizice ale teoriei circuitelor electrice 12

• Corpuri slabconductoare, care au proprietăţi intermediare, timpul de transmitere a

stării de electrizare fiind de ordinul fracţiunilor de secundă sau al secundelor.

Materialele slabconductoare mai importante sunt semiconductorii (germaniul, siliciul,

seleniul, telurul etc.).

Plasate în apropierea unui corp electrizat, aceste trei categorii de corpuri, iniţial

neelectrizate, se comportă în mod diferit. Astfel, corpurile conductoare, iniţial neelectrizate,

aduse în contact cu un corp electrizat sunt respinse de acesta, iar corpurile izolatoare, iniţial

neelectrizate, aduse în contact cu un corp electrizat sunt atrase.

Acţiunile ponderomotoare care se exercită între corpuri electrizate sau asupra

corpurilor situate în apropiere, acţiuni care nu existau înainte de electrizare, pun în evidenţă

existenţa unui nou sistem fizic în spaţiul din jurul corpurilor electrizate, denumit câmp

electric. Interacţiunea între corpurile electrizate se produce prin intermediul câmpului electric

produs de corpurile electrizate.

În vecinătatea unui corp electrizat şi, în general, într-un câmp electric, corpurile

punctiforme din materiale conductoare au o comportare diferită de a celor din materiale

izolante. Un conductor punctiform, electrizat prin contact este acţionat de o forţă care nu

depinde de orientarea lui în raport cu corpul de referinţă electrizat şi nu este acţionat de un

cuplu care să-l rotească în raport cu centrul lui de masă. Conductorul punctiform se comportă

ca un punct material în mecanică şi starea lui de electrizare se numeşte de încărcare electrică.

Un corp punctiform dintr-un material izolant, chiar şi neelectrizat prin contact, poate fi

acţionat de un cuplu şi eventual de o forţă, ambele depinzând de orientarea micului corp în

raport cu corpul electrizat de referinţă; comportarea lui este diferită de a punctelor materiale

din mecanică şi starea lui de electrizare se numeşte de polarizare electrică. Spre deosebire de

conductori care se pot afla numai în stare de încărcare electrică, stările de electrizare ale

materialelor izolante pot fi atât de încărcare cât şi de polarizare. Materialele susceptibile de a

se polariza electric se numesc dielectrici.

Experimental s-a stabilit că forţa F care se exercită în câmp electric asupra unui corp

conductor punctiform este egală cu produsul dintre o mărime scalară, care caracterizează

starea de electrizare, numită sarcină electrică q, şi o mărime vectorială, care caracterizează

câmpul electric, numită intensitate a câmpului electric E:

F = qE. (1.1)

În Sistemul Internaţional de Unităţi (S.I.), unitatea de sarcină electrică este coulombul

C, iar a intensităţii câmpului electric, volt pe metru (V/m).

Capitolul 1 - Bazele fizice ale teoriei circuitelor electrice

13

Caracterul scalar al sarcinii electrice se constată experimental, prin faptul că direcţia

forţei care acţionează asupra corpului conductor punctiform nu depinde de starea sa de

electrizare. Faptul că sensul forţei se poate schimba, arată că acest scalar poate fi atât pozitiv

cât şi negativ.

Pentru caracterizarea câmpului electric în corpuri sunt necesare două mărimi E şi D,

unde mărimea vectorială D se numeşte inducţie electrică. În medii izotrope şi liniare, inducţia

electrică este dată de relaţia:

D = εE, (1.2)

unde ε se numeşte permitivitate absolută a mediului şi are în S.I. unitatea Farad/metru.

Stările electrice invariabile în timp, neînsoţite de transformări ale energiei se studiază

în cadrul electrostaticii, şi câmpul electric se numeşte electrostatic sau coulombian.

Fig. 1.1

Pentru a evidenţia regiunile în care câmpul este mai mult sau mai puţin intens, se

utilizează reprezentarea prin linii de câmp. În figura 1.1 este reprezentat spectrul câmpului

electric stabilit de două plăci conductoare încărcate cu sarcini electrice egale şi de semne

contrare. Sistemul se numeşte condensator, iar cele două plăci separate prin dielectric se

numesc armături.

Experienţa arată că relaţiile (1.1) şi (1.2) sunt valabile şi în regim variabil, în care atât

sarcina electrică cât şi intensitatea câmpului electric sunt variabile în timp.

1.1.1 Teorema lui Coulomb

Fig. 1.2 Fig.1.3

Se consideră sarcinile electrice q1 şi q2 care încarcă două corpuri punctiforme situate la

distanţa r. Forţele F12, respectiv F21 (fig. 1.2) care se exercită asupra primului corp, respectiv

asupra celui de al doilea corp au expresiile:

12212

2121221

12 rqq

41;

rqq

41 uFuF

επ=

επ= (1.3)


În conformitate cu relaţia (1.1), forţa F12 este egală cu produsul dintre sarcina electrică

q1 şi intensitatea câmpului electric coulombian Ec12 stabilit de sarcina electrică q2:

F12 = q1Ec12 (1.4)

Similar, forţa F21 este egală cu produsul dintre sarcina electrică q2 şi intensitatea

câmpului electric coulombian Ec21 stabilit de sarcina q1:

F21 = q2Ec21 (1.5)

Din relaţiile (1.3), (1.4) şi (1.5) se obţine:

.rq

41;

rq

41

1221

21c2122

12c uEuEπε

=επ

= (1.6)

Rezultă că o sarcină electrică punctiformă q stabileşte, într-un punct oarecare P situat

la distanţa r (fig. 1.3), un câmp electrostatic al cărui vector câmp Ec este radial, proporţional

cu sarcina q şi invers proporţional cu pătratul distanţei:

3r2c r4q

rq

41 ruE

επ=

επ= (1.7)

unde rrru = este versorul direcţiei r.

Vectorul Ec este orientat de la corpul punctiform spre infinit, dacă sarcina este pozitivă

şi către corp, dacă sarcina este negativă.

1.1.2 Potenţial electrostatic, diferenţă de potenţial şi tensiune electrică

În câmpul electric Ec stabilit de o sarcină punctiformă q se consideră o curbă oarecare

C (fig. 1.4). Integrala de linie a intensităţii câmpului electric Ec între două puncte P1 şi P2 ale

curbei C se numeşte tensiune electrică U12:

21

r

r2

r

r2

r

r3

P

)C(Pc12 r4

qr4

qrdr

4q

rcosds

4q

r4qU

2

1

2

1

2

1

2

1επ

−επ

=επ

=α

επ=

επ== ∫∫∫∫

dsrdsE (1.8)

Sensul de integrare pentru tensiune se numeşte sens de referinţă al tensiunii şi se

indică printr-o săgeată.


15

Fig. 1.4

Deoarece drumul C a fost luat arbitrar, rezultă că integrala ∫2

1

P

Pc dsE nu depinde de

alegerea drumului de integrare între cele două puncte P1 şi P2 şi este funcţie numai de

coordonatele punctelor P1 şi P2.

Dacă punctul P2 se îndepărtează la infinit (r2 → ∞) şi P1 este un punct curent P (r1 →

r), din relaţia (1.8) rezultă:

PrP

Vr1

4q

=επ

== ∫∫∞∞

dsEdsE (1.9)

Mărimea scalară VP se numeşte potenţial electrostatic în punctul P situat la distanţa r

de sarcina punctiformă q care produce câmpul electrostatic de intensitate Ec. La infinit,

potenţialul electrostatic tinde către zero şi are valoare finită în întreg spaţiul, cu excepţia

punctului singular r = 0 în care se presupune a fi concentrată sarcina.

Tensiunea electrică U12 (1.8) egală cu diferenţa potenţialelor V1 şi V2 se numeşte

diferenţă de potenţial.

Dacă în relaţia (1.8) se consideră P1 punct curent şi P2 punct de referinţă P0, potenţialul

electrostatic în punctul P are expresia:

∫−=P

P0P

0

VV dsE (1.10)

unde V0 este potenţialul punctului de referinţă.

Diferenţa de potenţial, la fel ca şi tensiunea electrică, este o mărime derivată. În S.I.

unitatea de măsură a diferenţei de potenţial, aceeaşi cu a tensiunii electrice, se numeşte volt (V).

Alegerea punctului de referinţă este arbitrară, cu condiţia ca integrala intensităţii

câmpului electrostatic între punctele P0 şi P să n u ia v alo ri in fin ite. În acest caz n u se

precizează punctul P0 şi în relaţia (1.10) 0V este o constantă aditivă:


.constVP

P +−= ∫ dsE (1.11)

Prin urmare, potenţialul electrostatic poate fi determinat numai cu aproximaţia unei

constante scalare arbitrare, care depinde de alegerea arbitrară a punctului de referinţă.

Câmpul care în fiecare punct poate fi caracterizat cu aproximaţia unei mărimi scalare

arbitrare, denumită potenţial electrostatic, se numeşte câmp potenţial.

Observaţie:

Noţiunea de diferenţă de potenţial, aplicabilă numai câmpurilor potenţiale, are un

sens mai restrâns decât noţiunea de tensiune electrică, aplicabilă oricărui câmp electric (v.

par. 1.6.2). Cele două noţiuni, tensiune electrică între punctele P1 şi P2 şi diferenţă de

potenţial între punctele P1 şi P2, coincid numai în cazul câmpului potenţial.

Dacă se calculează integrala curbilinie a vectorului Ec pe o curbă închisă Γ, se obţine:

0r1d

4q

r1grad

4q

r4q

3c =

επ−=

επ−=

επ= ∫∫∫∫

ΓΓΓΓ

dsdsrdsE (1.12)

Relaţia (1.12) constituie teorema potenţialului electrostatic.

1.2 STAREA ELECTROCINETICĂ

Fie două conductoare A şi B omogene şi imobile, izolate electric şi încărcate la

potenţiale electrice diferite, VA > VB. Stabilind o legătură conductoare între cele două

conductoare, se obţine un conductor unic în interiorul căruia grad V ≠ 0. Prin urmare, în

interiorul conductorului unic apare un câmp electric sub acţiunea căruia se produce, prin

legătura conductoare, o deplasare de sarcini electrice de la conductorul A cu potenţial mai

ridicat la conductorul B cu potenţial mai scăzut. Această deplasare are loc până când cele

două potenţiale se egalizează. În tot acest interval de timp, sistemul care formează acum un

conductor unic, este într-o stare nouă, diferită de starea electrostatică, numită stare

electrocinetică.

În exemplul considerat, starea electrocinetică a conductoarelor are loc până când

potenţialele conductoarelor A şi B se egalizează, VA = VB. Starea electrocinetică poate fi

menţinută numai dacă se cheltuieşte o anumită cantitate de energie de altă natură decât


17

electrică. Câmpul electric obţinut prin cheltuirea unei cantităţi de energie neelectrică, câmp

care imprimă purtătorilor de sarcină o mişcare ordonată are două aspecte:

• câmp electric imprimat care generează curent electric constant în timp (curent staţionar

sau continuu);

• câmp electric solenoidal (indus), produs de fluxul magnetic variabil în timp, care

generează curent electric variabil în timp.

1.2.1 Intensitatea câmpului electric imprimat

Câmpul electric imprimat depinde numai de starea locală neelectromagnetică a

substanţei considerate şi nu este determinat de repartiţia sarcinilor electrice sau de fenomenul

de inducţie electromagnetică. Câmpul electric imprimat este diferit de zero în unele medii

neomogene din punct de vedere fizico – chimic (de exemplu, datorită unor fenomene termice

sau chimice) sau în care există acceleraţie. Aceste fenomene de natură termică, chimică sau

mecanică pot determina apariţia unor forţe de natură neelectrică care să acţioneze asupra

particulelor din mediul respectiv, inclusiv asupra particulelor încărcate cu sarcină electrică,

numite purtători de sarcină electrică. Această deplasare a purtătorilor de sarcină electrică

poate fi considerată ca urmare a acţiunii unui câmp electric imprimat a cărui intensitate se

determină cu relaţia (1.1)

qineelFE = (1.13)

unde Fneel este forţa de natură neelectrică care acţionează asupra unei particule încărcată cu

sarcina q.

Purtătorii de sarcină în metale sunt electronii, iar în soluţiile electrolitice sunt ionii.

Transmisia de purtători de sarcină în interiorul unui conductor, sub acţiunea acestui

câmp electric, constituie un curent de sarcini electrice şi este numit curent electric de

conducţie. Prin urmare, trecerea curentului electric de conducţie printr-un mediu conductor

este legată de existenţa unui câmp electric în acest mediu.

Conductoarele parcurse de curent electric de conducţie se află într-o stare nouă,

diferită de starea electrostatică, numită stare electrocinetică.

Proprietatea corpurilor de a permite trecerea unui curent electric de conducţie se

numeşte conductibilitate electrică, iar fenomenul corespunzător se numeşte conducţie

electrică.


În ceea ce priveşte sensul de deplasare al sarcinilor electrice, aceasta are loc în sensul

câmpului electric pentru sarcinile pozitive şi în sens opus câmpului electric pentru sarcinile

negative.

Integrala pe o curbă închisă Γ a intensităţii câmpului electric imprimat se numeşte

tensiune electromotoare imprimată Ue:

∫Γ

= dsEieU (1.14)

Câmpurile electrice imprimate care apar la contactul dintre un electrod metalic şi

fluidul său ionic se numesc câmpuri electrice imprimate de contact între un metal şi un

electrolit.

Aceste câmpuri au fost descoperite de Galvani şi de aceea sunt cunoscute şi sub

numele de câmpuri electrice imprimate galvanice.

Un electrod dintr-un conductor metalic introdus într-o soluţie electrolitică în care poate

exista fluidul său ionic pozitiv, are tendinţa de a dizolva în soluţie fluidul său ionic pozitiv cu

o presiune care depinde numai de natura conductorului, numită presiune de disoluţie

electrolitică pd.

Presupunând că soluţia conţine fluidul ionic al conductorului, se exercită asupra

conductorului o presiune osmotică p0 opusă presiunii de disoluţie. Dacă presiunea de disoluţie

este mai mare decât presiunea osmotică, o parte a fluidului ionic pozitiv al conductorului trece

în soluţie pe care o încarcă pozitiv, iar conductorul rămâne încărcat negativ. Acţiunea pe care

o are asupra ionilor forţa condiţionată de diferenţa presiunilor este echivalentă cu existenţa

unui câmp electric imprimat Ei orientat de la electrod spre soluţie. Se stabileşte astfel un câmp

coulombian în stratul de contact dintre electrod şi electrolit, orientat dinspre electrolit spre

electrod şi care se opune deplasării în continuare a purtătorilor de sarcină electrică.

Deplasarea ionilor are loc până când câmpul rezultant E = Ec + Ei este nul, adică până când

se realizează condiţia de echilibru electrostatic E = 0. O astfel de situaţie este reprezentată în

figura 1.5, a pentru un electrod de Zn introdus în soluţie de ZnSO4.

Dacă presiunea de disoluţie este mai mică decât presiunea osmotică, o parte a fluidului

ionic pozitiv din soluţie trece pe electrod pe care-l încarcă pozitiv şi soluţia rămâne încărcată

negativ. Este cazul electrodului de Cu introdus în soluţie de CuSO4 (fig. 1.5, b). În acest caz,

în stratul de contact dintre electrod şi electrolit, câmpul electric imprimat este orientat de la

electrolit spre electrod, iar câmpul coulombian rezultă orientat dinspre electrod spre electrolit.


19

a) b)

Fig. 1.5 Fig. 1.6

Din cele prezentate mai sus rezultă că la introducerea unui electrod metalic într-un

electrolit, în stratul de contact dintre electrod şi electrolit apare un câmp imprimat şi ca

urmare o tensiune electromotoare imprimată. Astfel, apare o tensiune electrică între electrod

şi electrolit, numită tensiune de electrod sau potenţial de electrod.

Se poate realiza o pilă galvanică (element galvanic) utilizând un sistem de electrozi

diferiţi (de exemplu Zn şi Cu), introduşi într-o soluţie de electrolit (de exemplu soluţie de acid

sulfuric, H2SO4 + H2O), după cum se poate vedea în figura 1.6. În jurul electrodului de cupru,

prin reacţia cu acidul sulfuric se formează sulfat de cupru. În mod analog, în jurul electrodului

de zinc se formează sulfat de zinc. În acest mod, se realizează situaţia prezentată anterior.

1.2.2 Intensitatea curentului electric de conducţie

Mărimea care caracterizează complet starea electrocinetică a conductoarelor este o

mărime fizică scalară şi se numeşte intensitate a curentului electric de conducţie i. Luând o

anumită secţiune transversală a conductorului străbătut de curent electric de conducţie, se

defineşte intensitatea curentului electric de conducţie i ca fiind sarcina electrică dq care trece

în unitatea de timp dt prin secţiunea considerată,

dtdqi = (1.15)

Deşi intensitatea curentului electric de conducţie este o mărime scalară, deci poate

avea numai semn dar nu şi direcţie, curentului electric de conducţie i se asociază un sens de

referinţă. Prin convenţie, se defineşte drept sens pozitiv al curentului, sensul de deplasare al

particulelor încărcate cu sarcini electrice pozitive.

Se consideră un conductor de formă oarecare parcurs de curent electric de conducţie şi

fie ΓS o suprafaţă deschisă care se sprijină pe curba Γ trasată pe s uprafaţa conductorului (fig.


1.7). Sensul curbei Γ este asociat după regul a burghiului drept sensului de referinţă al

curentului. Mărimea vectorială J al cărei flux prin suprafaţa deschisă ΓS este curentul de

conducţie i, se numeşte densitate a curentului de conducţie:

∫∫Γ

=S

dAi nJ (1.16)

unde n este versorul elementului de suprafaţă dA, asociat sensului curbei Γ şi deci sensului de

referinţă al curentului, iar sensul vectorului densitate a curentului electric de conducţie J este

dat de sensul local de deplasare a sarcinilor pozitive în punctul considerat.

Fig. 1.7 Fig. 1.8

Într-un conductor drept, parcurs de curent uniform repartizat (fig. 1.8), densitatea de

curent este constantă pe secţiunea transversală (de arie A) şi are expresia:

AiJ = (1.17)

În domeniul în care există curent electric de conducţie se poate trasa un ansamblu de

linii, astfel încât vectorul J să fie tangent la aceste linii în orice punct al lor. Aceste linii se

numesc liniile vectorului densitate de curent sau linii de curent. Ansamblul liniilor de curent

prin conturul elementului ΔA al unei secţiuni transversale prin conductor, constituie un tub

elementar de curent. Dacă în fiecare punct din conductorul parcurs de curent densitatea este

finită şi nenulă, repartiţia curentului este volumetrică.

În S.I. unitatea de măsură pentru intensitatea curentului electric de conductie este

amperul, iar pentru densitatea curentului electric de conducţie este amper pe metru pătrat

( )2m/A . În practică însă, pentru densitatea curentului electric de conducţie, se utilizează

unităţile ( )2mm/A şi ( )2cm/A .

1.2.3 Teorema potenţialului electric staţionar

Regimul electrostatic este caracterizat prin aceea că în fiecare punct din conductor

densitatea curentului electric de conducţie este nulă. Spre deosebire de regimul electrostatic,

regimul electrocinetic este caracterizat printr-o densitate de curent diferită de zero şi

invariabilă în timp în fiecare punct din interiorul unui conductor. În cazul regimului


21

electrocinetic, în fiecare porţiune a unui tub de linii de curent se află acelaşi număr de

purtători de sarcină electrică şi prin urmare aceeaşi sarcină electrică (sarcina electrică care

intră în orice element de volum al conductorului, într-un interval de timp oarecare, trebuie să

fie egală cu sarcina electrică care iese din acest element de volum în acelaşi interval de timp).

Deoarece, cu tot caracterul nestatic al regimului electrocinetic, repartiţia sarcinilor şi repartiţia

curenţilor electrici rămân neschimbate în timp, intensitatea câmpului electric E poate avea

numai o componentă coulombiană Ec şi o componentă imprimată Ei (E = Ec + Ei). Câmpul

electric al sarcinilor cu repartizare staţionară este însă identic cu câmpul electrostatic al

sarcinilor fixe. De aceea, în domeniul în care nu există câmp electric imprimat, câmpul

electric al curenţilor continui, în mod analog cu câmpul electrostatic, este un câmp potenţial.

În acest câmp, pentru orice contur închis care nu conţine câmp imprimat Ei = 0, este valabilă

relaţia (1.12):

0=∫Γ

dsE (1.18)

Relaţia (1.18) constituie teorema potenţialului electric staţionar.

Tensiunea electrică între două puncte P1 şi P2 nu depinde de forma curbei între cele

două puncte şi este egală cu diferenţa potenţialelor punctelor:

21

2

1

PP

P

P12 VVU −== ∫ dsE (1.19)

Potenţialul electric staţionar într-un punct P are o expresie similară cu (1.10):

∫−=P

P0P

0

VV dsE (1.20)

1.3 STAREA DE MAGNETIZARE ŞI CÂMPUL MAGNETIC

Asupra corpurilor se pot exercita forţe şi cupluri de natură diferită de a celor

termomecanice sau electrice, numite forţe şi cupluri magnetice. Experimental se constată că în

lipsa unui tratament termomecanic şi la stare electrostatică nulă, cristalele naturale de

magnetită ( )43OFe au proprietatea că între ele şi asupra corpurilor din fier, cobalt, nichel sau

aliaje ale acestora, se exercită forţe şi cupluri. În aceste condiţii se spune că sistemul format

de cristalele de magnetită este în stare de magnetizare şi că în regiunea din spaţiu există câmp

magnetic.


Câmpul magnetic mai poate fi stabilit şi de conductoare parcurse de curent de

conducţie, de corpurile încărcate cu sarcini electrice aflate în mişcare şi de fluxul electric

variabil în timp.

Câmpul magnetic produs de substanţele magnetizate se numeşte câmp magnetostatic.

În acest regim mărimile de stare nu variază în timp şi nu au loc transformări de energie.

Câmpul magnetic produs de curentul continuu se numeşte câmp magnetic staţionar

(mărimile de stare nu variază în timp dar au loc transformări de energie).

Dacă regimul este variabil în timp (mărimile de stare variază în timp), câmpului

magnetic i se asociază inseparabil câmpul electric şi împreună se condiţionează reciproc,

alcătuind câmpul electromagnetic. Câmpul magnetic este câmpul electromagnetic considerat

din punctul de vedere al proprietăţilor lui magnetice. La fel ca în câmp electric, experienţa

arată că în vid câmpul magnetic este practic la fel cu cel din aer.

Explorarea câmpului magnetic în vid se poate face fie cu ajutorul unui corp de probă

încărcat cu sarcină electrică şi aflat în mişcare, fie cu ajutorul unei spire filiforme parcursă de

curent electric de conducţie.

Se consideră un corp de probă încărcat cu sarcină electrică, utilizat pentru explorarea

câmpului electric. Menţinut imobil în câmp electric, asupra corpului de probă se exercită

numai forţa electrică. Dacă punându-l în mişcare, se constată că asupra lui se exercită o forţă

suplimentară care depinde de sarcina electrică care-l încarcă şi de viteza cu care se

deplasează, în regiunea din spaţiu există câmp magnetic. Deci acest corp de probă pus în

mişcare este adecvat explorării câmpului magnetic.

Se consideră un sistem de corpuri magnetizate şi imobile al căror câmp magnetic

invariabil în timp urmează a fi explorat cu ajutorul unui corp de probă încărcat cu sarcina

electrică q şi aflat în mişcare cu viteza v. În afară de condiţiile pe care trebuie să le satisfacă

corpul de probă pentru explorarea câmpului electric în vid, pentru studiul câmpului magnetic

corpul de probă trebuie să nu fie magnetizat.

Efectuând experienţe în diferite puncte din câmp cu corpuri de probă având sarcini

electrice şi viteze diferite, se constată că forţa magnetică mqF acţionează perpendicular pe

viteza v şi este egală cu produsul vectorial dintre viteza v şi o mărime vectorială B numită

inducţie magnetică:

BvF ×= qmq (1.21)

În sistemul de unităţi S.I., unitatea lui B se numeşte tesla [T].

Liniile de câmp ale vectorului B se numesc linii de inducţie magnetică, iar ansamblul

liniilor inducţiei magnetice constituie spectrul magnetic.


23

Pentru caracterizarea câmpului magnetic în corpuri este necesar şi vectorul intensitate

a câmpului magnetic H. În mediile izotrope, omogene şi liniare, între vectorii B şi H există

relaţia:

B = µH, (1.22)

unde µ se numeşte permeabilitate absolută a mediului şi are în S.I. unitatea Henry/metru.

În S.I., unitatea lui H este Amper/metru.

Integrala de linie a intensităţii câmpului magnetic între două puncte P1 şi P2 ale unei

curbe C se numeşte tensiune magnetică um12,

∫=2

1

P

)C(P12mu dsH (1.23)

iar integrala curbilinie, efectuată pe o curbă închisă Γ, se numeşte tensiune magnetomotoare

umΓ,

∫Γ

Γ = dsHmu (1.24)

Unitatea S.I. de tensiune magnetică sau magnetomotoare este aceeaşi cu a intensităţii

curentului electric, amperul.

1.4 FLUX ELECTRIC. LEGEA FLUXULUI ELECTRIC

Se consideră o suprafaţă deschisă SΓ care se sprijină pe curba închisă Γ prevăzută cu

un sens de parcurgere, situată într-un câmp electric (fig. 1.9, a). Suprafaţa SΓ poate fi

descompusă în elemente de suprafaţă dA ale căror contururi au sensul de parcurgere al curbei

Γ. Elementele de suprafaţă dA sunt atât de mici încât suprafaţa fiecărui element este practic

plană, iar vectorul câmp nu variază pe această suprafaţă. Elementul de suprafaţă are o mărime

bine determinată şi defineşte o direcţie unică - cea a normalei pozitive n la suprafaţa

elementului, orientată în sensul de înaintare al burghiului drept care se roteşte în sensul curbei

Γ. Integrala de suprafaţă a inducţiei electrice D prin suprafaţa SΓ,

∫∫∫∫ΓΓ

Γ==Ψ

SSS dAnDdAD (1.25)

se numeşte flux electric prin suprafaţa deschisă SΓ.


a) b)

Fig. 1.9

Fie o suprafaţă închisă Σ de formă oarecare, trasată într-un câmp electric şi dA

elementul de suprafaţă considerat ca vector după normala n, orientată din interiorul suprafeţei

spre exterior (fig. 1.9, b). Fluxul electric prin suprafaţa Σ este mărimea scalară egală cu

integrala de suprafaţă a produsului scalar dintre vectorul D şi elementul de suprafaţă ndA:

∫∫∫∫ΣΣ

Σ ==Ψ dAnDdAD . (1.26)

Dacă în interiorul suprafeţei închise Σ se află corpuri încărcate cu sarcini electrice,

atunci fluxul electric prin suprafaţa Σ este egal cu sarcina electrică qΣ a corpurilor din

interiorul suprafeţei,

ΣΣΣ

Σ ===Ψ ∫∫∫∫ qdAnDdAD (1.27)

Relaţia (1.27) constituie forma integrală a legii fluxului electric.

În S.I. unitatea pentru fluxul electric se numeşte coulomb (C).

1.5 FLUX MAGNETIC. LEGEA FLUXULUI MAGNETIC

Integrala de suprafaţă a inducţiei magnetice B prin suprafaţa deschisă SΓ,

∫∫∫∫ΓΓ

Γ==Φ

SSS dAnBdAB (1.28)

se numeşte flux magnetic prin suprafaţa deschisă SΓ.

Fluxul magnetic prin suprafaţa închisă Σ este mărimea scalară egală cu integrala de

suprafaţă a produsului scalar dintre vectorul B şi elementul de suprafaţă ndA:

∫∫∫∫ΣΣ

Σ ==Φ dAnBdAB (1.29)


25

În sistemul de unităţi S.I., unitatea de flux magnetic se numeşte weber (Wb).

a) b)

Fig. 1.10

Liniile inducţiei magnetice sunt linii închise şi faţă de o suprafaţă închisă Σ, numărul

liniile de câmp care ies este egal cu numărul liniilor care intră (fig. 1.10, a). Asociind fluxul

magnetic numărului liniilor de câmp, rezultă că fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă Σ

este nul:

0dA ==Φ ∫∫Σ

Σ nB . (1.30)

Prin urmare, fluxul magnetic Γ

ΦS este acelaşi prin orice suprafaţă deschisă SΓ care se

sprijină pe curba închisă Γ (fig. 1.10, b).

Relaţia (1.30) reprezintă legea fluxului magnetic.

1.6 LEGEA CONSERVĂRII SARCINII ELECTRICE

Fig. 1.11

Se consideră un condensator încărcat cu sarcină electrică (fig. 1.11). Dacă cele două

armături ale condensatorului se unesc printr-un fir conductor, într-un interval de timp scurt,

până se neutralizează sarcinile de pe armături, prin firul conductor va circula un curent

electric de conducţie. În procesul de descărcare, sarcina electrică pe armături scade şi

mărimea dt

dqΣ reprezintă viteza de scădere a sarcinii electrice libere qΣ cuprinsă în interiorul

suprafeţei Σ.


Micşorarea sarcinii pozitive din volumul delimitat de suprafaţa Σ este posibilă prin

transportul sarcinilor pozitive din interior în exteriorul suprafeţei Σ. Acest transport este

realizat în procesul curentului de conducţie iΣ care iese din suprafaţa Σ. La micşorarea sarcinii

qΣ, adică pentru 0dt

dq<Σ , sarcinile pozitive ies din suprafaţa Σ, prin urmare intensitatea

curentului de conducţie iΣ va fi egală cu viteza de scădere a sarcinii electrice qΣ din interiorul

suprafeţei:

dtdqi Σ

Σ −= (1.31)

Însă, curentul electric nu poate circula decât într-un circuit închis. Între armăturile

condensatorului nu circulă curent de conducţie deoarece în acest domeniu există un material

dielectric. La micşorarea sarcinii pe armături, scade intensitatea câmpului electric dintre ele.

La o scădere în timp a intensităţii câmpului electric scade şi inducţia electrică D, adică:

0dtd

<D (1.32)

În acest timp, în dielectric se mişcă particulele elementare cu sarcină electrică care

intră în componenţa atomilor şi moleculelor substanţei. Prin urmare, în dielectric există curent

electric. Deoarece în dielectric particulele cu sarcini nu sunt libere şi sub acţiunea câmpului

electric ele pot numai să se deplaseze, acest fel de curent electric se numeşte curent electric de

deplasare.

Dacă qΣ(t) este sarcina electrică liberă cuprinsă în interiorul suprafeţei Σ la un moment

de timp t, atunci conform legii fluxului electric, rezultă:

( ) ( )tqt ΣΣ

=∫∫ dAD (1.33)

Derivând în raport cu timpul relaţia (1.33) şi deoarece mediul este imobil, se obţine:

( ) ( ) ( )dt

tdqdt

tdtdtd Σ

ΣΣ

== ∫∫∫∫ dADdAD (1.34)

Mărimea

( )Σ

== ∫∫∫∫ΣΣ

DD idt

td dAJdAD (1.35)

este intensitatea curentului electric de deplasare, iar

dtd

DDJ = (1.36)

este densitatea curentului electric de deplasare.

Ţinând seama de relaţia (1.32), liniile densităţii curentului electric de deplasare JD sunt

orientate în sens invers intensităţii câmpului electric E, adică dinspre armătura negativă spre


27

cea pozitivă şi reprezintă prelungirea liniilor curentului de conducţie din conductorul de

legătură dintre armături.

Relaţia (1.31) asociază curentului un sens de referinţă, din interiorul suprafeţei închise

Σ spre exteriorul acesteia şi constituie legea conservării sarcinii electrice: intensitatea

curentului electric de conducţie iΣ care iese dintr-o suprafaţă închisă Σ este în fiecare

moment egală cu viteza de scădere a sarcinii electrice qΣ din interiorul suprafeţei.

1.7 LEGEA INDUCŢIEI ELECTROMAGNETICE

Câmpul electric este stabilit de corpuri încărcate cu sarcini electrice sau polarizate

electric, de neomogenităţi fizico−chimice şi de fluxul magnetic variabil în timp. Legea

inducţiei electromagnetice stabileşte modul de producere a câmpului electric indus, respectiv

a tensiunii electromotoare induse de fluxul magnetic variabil in timp.

Formularea legii inducţiei electromagnetice se face prin analiza şi interpretarea

experienţelor efectuate de Faraday, care a pus în evidenţă fenomenul inducerii de tensiuni

electromotoare de fluxul magnetic variabil în timp.

Se consideră o spiră plată, filiformă, circulară, dintr-un material conductor omogen

(fig.1.12). În vecinătatea spirei se află o bobină cilindrică fixă parcursă de curent electric

variabil sinusoidal în timp, i = Imax sin ωt, a cărei axă coincide cu axa spirei. Liniile câmpului

magnetic stabilit de curentul care străbate bobina se închid parţial prin spiră. Se constată că

prin spiră trece curent electric al cărui sens de referinţă, la diferite momente de timp dintr-o

perioadă a curentului din bobină, este reprezentat în figura 1.12. Se spune că în spiră se induce

un curent electric de conducţie. Spira constituie indusul, iar bobina inductorul.

a) b) c) d)

Fig. 1.12

Deoarece fluxul magnetic inductoric este proporţional cu intensitatea curentului din

bobină, la variaţii de un semn ale curentului inductoric corespund variaţii de acelaşi semn ale

fluxului prin spiră. Dacă curentul prin bobină este continuu (constant în timp), fluxul


magnetic prin spiră este constant în timp şi curentul în spiră este nul. Rezultă că inducerea

curentului electric în spiră este provocată exclusiv de variaţia în timp a fluxului magnetic prin

spiră. În conformitate cu legea conducţiei electrice (v. par. 1.7), curentul electric în spiră este

o consecinţă a unei tensiuni electromotoare eΓ nenulă în lungul curbei spirei, proporţională cu

viteza de variaţie în timp a fluxului magnetic,

dtd

e SΓΦ

≈Γ (1.37)

În experienţa de mai sus, curentul indus în spiră are sensul de referinţă astfel încât

fluxul magnetic propriu pe care acesta îl produce tinde să compenseze variaţia fluxului

magnetic inductoric; de exemplu, la creşterea curentului prin bobină, fluxul magnetic

ΓΦS care străbate spira creşte şi deci 0S >∆Φ

Γ; sensul de referinţă al curentului în spiră este

asociat fluxului său magnetic care este de semn opus lui Γ

∆ΦS . În acest sens, fenomenul

inducţiei electromagnetice este un fenomen de reacţie; inducerii curentului în spiră îi

corespunde o reacţie prin fluxul magnetic al curentului indus. Ca urmare, în ecuaţia (1.37),

proporţionalitatea dintre eΓ şi dt

d SΓΦ

este cu semn schimbat,

dtd

e SΓΦ

−=Γ (1.38)

Relaţia (1.38) constituie legea inducţiei electromagnetice: tensiunea electromotoare eΓ

indusă în lungul unei curbe închise Γ este egală cu viteza de variaţie în timp cu semn

schimbat a fluxului magnetic Γ

ΦS prin orice suprafaţă SΓ care se sprijină pe curba Γ.

Proporţionalitatea dintre eΓ şi dt

d SΓΦ

a fost stabilită de Faraday, iar semnul schimbat

al proporţionalităţii a fost introdus de Lenz.

În toate experienţele care au pus în evidenţă fenomenul inducţiei electromagnetice,

intensitatea câmpului electric imprimat Ei şi tensiunea electromotoare a părţii potenţiale a

câmpului electric Ec sunt nule. Rezultă că tensiunea electromotoare indusă de fluxul magnetic

variabil în timp este egală cu integrala curbilinie a unei componente de câmp electric distinctă

de Ei şi de Ec numită câmp electric indus sau solenoidal Es. Ecuaţia (1.38) devine:

∫ ∫ ∫∫Γ Γ

Γ

Γ

Γ −=Φ

−===S

Ss dA

dtd

dtd

e nBdsEdsE (1.39)


29

1.7.1 Intensitatea câmpului electric în sens larg

Câmpul electric produs de repartiţia instantanee a sarcinilor electrice este denumit

câmp coulombian. În afară de câmpul electric stabilit de corpurile încărcate cu sarcină

electrică sau polarizate electric, câmpul electric mai poate fi produs de fluxul magnetic

variabil în timp, numit câmp electric indus sau solenoidal şi de neomogenităţi de natură

neelectrică în conductoare, numit câmp electric imprimat. În general, intensitatea câmpului

electric, numită în sens larg E , este egală cu suma a trei termeni,

isc EEEE ++= (1.40)

unde:

• Ec este intensitatea câmpului electric coulombian produs de repartiţia instantanee a

sarcinilor electrice;

• Es – intensitatea câmpului electric indus (solenoidal) produs de fluxul magnetic

variabil în timp;

• Ei – intensitatea câmpului electric imprimat, de natură neelectrică, care depinde numai

de starea locală neelectromagnetică a substanţei considerate şi nu este determinat de

repartiţia sarcinilor electrice sau de fenomenul de inducţie electromagnetică.

Diferenţa dintre intensităţile în sens larg E şi imprimat Ei se numeşte intensitate a

câmpului electric în sens restrâns E sau, mai simplu, intensitatea câmpului electric,

sci EEEEE +=−= (1.41)

Liniile câmpului vectorial E, numite pe scurt linii de câmp electric, sunt liniile la care

vectorul E este tangent în fiecare punct.

În relaţia (1.39) s-a înlocuit Es cu E = Es + Ec, deoarece 0c =∫Γ

dsE .

1.7.2 Tensiune electrică şi tensiune electromotoare. Diferenţă de

potenţial şi tensiune la borne

Noţiunea de tensiune electrică este legată de câmpul electric rezultat (în sens larg – v.

par.1.7.1). Integrala de linie a intensităţii câmpului electric în sens larg E (1.40) între două

puncte P1 şi P2 ale unei curbe C se numeşte tensiune electrică în sens larg,


( )dsEEE∫ ++=

2

1

P

CPisc12 )()u( . (1.42)

Dacă între punctele P1 şi P2 ale curbei C nu există câmp imprimat (Ei = 0), integrala de

linie a intensităţii câmpului electric în sens restrâns E (1.41) între punctele P1 şi P2 ale unei

curbei C se numeşte tensiune electrică:

( )( ) ( )

dsEdsEE ∫∫ =+=2

1

2

1

P

CP

P

CPsc12u . (1.43)

Elementul de lungime ds este considerat ca vector după tangenta la curba C. Rezultă

că semnul tensiunii electrice depinde de sensul de integrare, u12 = - u21. Sensul de integrare

pentru tensiune se numeşte sens de referinţă al tensiunii şi se indică printr-o săgeată.

Integrala de linie a intensităţii câmpului electric în sens larg E , în lungul unei curbe

închise Γ, coincide cu integrala componentei necoulombiene a intensităţii câmpului electric în

lungul aceleiaşi curbe închise, deoarece 0c =∫Γ

dsE , şi se numeşte tensiune electromotoare,

notată cu eΓ:

∫∫ΓΓ

Γ +== dsEEdsE )(e is (1.44)

Integrala de linie a lui Ec este independentă de forma curbei C între punctele P1 şi P2 şi

se numeşte diferenţă de potenţial (v. par. 1.1.2),

( )21

P

CPc VV

2

1

−=∫ dsE (1.45)

Fig. 1.13

În regim variabil în timp, tensiunea electrică între două puncte P1 şi P2 depinde de

alegerea drumului de integrare. Într-adevăr, pentru conturul închis Γ (fig. 1.13), în câmp

magnetic variabil în timp, rezultă:

( ) ( ) dtd S

P

nP

P

mP

1

2

2

1

ΓΦ

−=+= ∫∫∫Γ

dsEdsEdsE (1.46)

sau

( ) ( ) dtd S

P

nP

P

mP

2

1

2

1

ΓΦ

−= ∫∫ dsEdsE (1.47)


31

Fie de exemplu, un circuit de curent alternativ. Un voltmetru ale cărui conductoare

sunt conduse în lungul unei curbe C între cele două borne P1 şi P2 ale circuitului, măsoară

tensiunea electrică (1.43). Pentru ca voltmetrul să măsoare, între cele două borne, numai

diferenţa de potenţial, trebuie ca firele voltmetrului să fie dispuse în lungul unei linii Cb12

astfel încât în fiecare punct al acesteia să fie îndeplinită condiţia:

Es ⋅ ds = 0 (1.48)

Linia deschisă Cb12 trasată exclusiv prin dielectric, cu extremităţile la bornele

circuitului şi care satisface condiţia (1.48) se numeşte linie a tensiunii la borne. Tensiunea

electrică egală cu integrala de linie, în lungul unei curbe Cb12, a intensităţii câmpului electric,

egală cu diferenţa de potenţial, se numeşte tensiune la borne:

( )( ) ( )

dsEdsEE ∫∫ =+=−=2

b1

2

b1

P

CPc

P

CPsc2112b VVu (1.49)

După cum ştie, în câmp electrostatic şi în câmp electric staţionar, integrala de linie a

vectorului E nu depinde de alegerea drumului de integrare între punctele P1 şi P2, dacă drumul

de integrare nu trece prin surse de tensiune electromotoare. În aceste câmpuri, tensiunea

electromotoare în orice contur închis care nu trece prin surse de tensiune electromotoare este

egală cu zero. Aceste câmpuri pot fi caracterizate complet prin potenţialul electric scalar,

adică sunt câmpuri potenţiale. În raport cu ele se poate utiliza termenul diferenţă de potenţial

între punctele P1 şi P2. Astfel, noţiunea de diferenţă de potenţial, aplicabilă numai câmpurilor

potenţiale, are un sens mai restrâns decât noţiunea de tensiune, aplicabilă oricărui câmp

electric. În cazul câmpului potenţial, noţiunile de tensiune electrică între punctele P1 şi P2 şi

diferenţă de potenţial între punctele P1 şi P2 coincid.

1.8 LEGEA CONDUCŢIEI ELECTRICE

Se verifică experimental că în toate cazurile în care intensitatea câmpului electric

imprimat este diferită de zero, 0i ≠E , într-un conductor izotrop şi liniar, suma vectorilor

intensitate a câmpului electric E şi intensitate a câmpului electric imprimat Ei este

proporţională cu vectorul densităţii curentului electric de conducţie J,

E + Ei = ρ J = Jσ1

(1.50)

unde ρ este rezistivitatea, iar σ conductivitatea electrică a materialului.


Dacă conductorul este omogen, Ei = 0, relaţia (1.50) devine:

E = ρ J (1.51)

Se consideră o porţiune dintr-un conductor omogen a cărui secţiune transversală are

dimensiuni neglijabile faţă de lungimea conductorului şi parcurs de curent electric de

conducţie (fig. 1.14).

Fig. 1.14

Un astfel de conductor se numeşte conductor filiform. În cazul conductoarelor

filiforme, vectorii J, ds şi A sunt paraleli şi de acelaşi sens, iar curentul se repartizează

uniform, densitatea de curent este constantă în toate punctele unei secţiuni transversale (de

arie A),

AiJ = (1.52)

Înmulţind relaţia (1.51) cu ds şi integrând pe curba C între punctele 1 şi 2 se obţine

tensiunea electrică u12:

iG1iR

Adsids

AidsJu

2

)C(1

2

)C(1

2

)C(1

2

)C(1

2

)C(112 ==ρ=ρ=ρ=ρ== ∫∫∫∫∫ dsJdsE (1.53)

unde

∫ ρ=2

)C(1 AdsR (1.54)

se numeşte rezistenţa electrică, iar R1G = conductanţa electrică a conductorului filiform.

Dacă secţiunea transversală a conductorului este constantă, relaţia (1.54) devine:

AR

ρ= (1.55)

unde este lungimea, iar A aria secţiunii transversale a conductorului filiform.

Conductorul caracterizat de rezistenţa R se numeşte rezistor.

În curent continuu, tensiunea electrică u12 este egală cu diferenţa de potenţial V1–V2,

respectiv tensiunea la borne Ub şi ecuaţia (1.53) devine:


33

GIIRUb == (1.56)

Relaţia (1.56) constituie legea lui Ohm: tensiunea Ub aplicată la bornele unui

conductor de rezistenţă R stabileşte un curent de intensitate I = Ub/R, respectiv, intensitatea I

a curentului prin conductorul de rezistenţă R produce la bornele acestuia o cădere de

tensiune Ub = RI.

În S.I. unitatea de rezistenţă se numeşte ohm (Ω) şi unitatea de conductanţă, siemens

(S) sau Ω-1.

Observaţie. Mărimile variabile în timp, numite mărimi instantanee, se notează cu litere

mici: u, i etc., iar mărimile constante în timp (de curent continuu), cu majuscule: U, I etc.

1.9 LEGEA TRANSFORMĂRII ENERGIEI ÎN CONDUCTOARE

PARCURSE DE CURENT ELECTRIC DE CONDUCŢIE

Experienţa dovedeşte că procesul de conducţie electrică este însoţit de dezvoltare de

căldură. De asemenea, în cazul în care conductorul este sediul unui câmp electric imprimat,

are loc un schimb reversibil de energie între sursa de câmp electric imprimat şi câmpul

electromagnetic. Toate aceste transformări se exprimă cantitativ prin legea transformării

energiei în conductoare parcurse de curent electric de conducţie.

Puterea pe unitatea de volum pJ, transmisă unui conductor omogen (Ei = 0) de câmpul

electromagnetic, este egală cu produsul scalar dintre intensitatea câmpului electric E şi

densitatea curentului electric de conducţie J,

22J EJp σ=ρ== JE (1.57)

unde s-a ţinut seama de relaţia (1.51).

Rezultă că densitatea de volum a puterii este pozitivă şi reprezintă energia

electromagnetică transformată ireversibil în unitatea de volum şi unitatea de timp în căldură

prin efect electrocaloric (efect Joule-Lenz).

Se consideră o porţiune dintr-un conductor omogen, având aria secţiunii transversale

A constantă, în care curentul este uniform repartizat. Înmulţind relaţia (1.57) cu elementul de

volum dv = Ads şi integrând pe curba C între punctele 1 şi 2 (fig. 1.12) se obţine puterea

transformată în căldură prin efect electrocaloric PJ:


iudsEidsEAJdsAP 12

2

)C(1

2

)C(1

2

)C(1J ==== ∫∫∫ JE (1.58)

În curent continuu, ţinând seama de relaţia (1.56), se obţine:

2b

2bJ UGIRIUP === (1.59)

1.10 LEGEA CIRCUITULUI MAGNETIC

Legea circuitului magnetic stabileşte modul de producere a câmpului magnetic de

curentul electric de conducţie şi de fluxul electric variabil în timp: tensiunea magnetomotoare

umΓ în lungul unei curbe închise Γ este egală cu suma dintre curentul electric de conducţie

ΓSi şi derivata în raport cu timpul a fluxului electric dt/d SΓΨ prin orice suprafaţă SΓ :

dtd

iu SSm

Γ

Γ

Ψ+== ∫

ΓΓ dsH (1.60)

Dacă suprafaţa SΓ este imobilă, derivata în raport cu timpul a fluxului electric este

egală cu intensitatea curentului electric de deplasare iD (v. par. 1.5).

În regim staţionar iD = 0 şi ecuaţia (1.60) devine:

Γ== ∫

ΓΓ Sm iu dsH (1.61)

şi se numeşte teorema lui Ampère.

1.11 APROXIMAŢIILE TEORIEI CIRCUITELOR ELECTRICE

CU PARAMETRI CONCENTRAŢI

Sistemul format din generatoare şi receptoare prevăzute cu legături conductoare între

ele se numeşte circuit electric.

Generatoarele au rolul de a produce energie electromagnetică şi se numesc elemente

de circuit active. Receptoarele absorb energia electromagnetică şi o transformă în alte forme

de energie şi se numesc elemente de circuit pasive.


35

Elementele de circuit pasive se caracterizează prin mai mulţi parametri care pot fi

localizaţi în anumite puncte ale circuitului, fiind cunoscute sub denumirea de elemente cu

parametri concentraţi. În caz contrar, elementele de circuit sunt cu parametri distribuiţi.

Teoria circuitelor electrice cu parametri concentraţi se elaborează în următoarele

ipoteze simplificatoare:

• regimul de funcţionare este cvasistaţionar, ceea ce presupune anularea curentului de

deplasare cu excepţia dielectricilor condensatoarelor;

• energia câmpului magnetic este localizată numai în bobine, iar energia câmpului

electric numai în condensatoare;

• tensiunea la bornele elementului de circuit este univoc definită; se admite că

intensitatea curentului care intră pe la una din bornele elementului de circuit este egală

cu intensitatea curentului care iese pe la cealaltă bornă;

• circuitele sunt filiforme, ceea ce presupune neglijarea efectului de refulare a curentului

variabil în timp pe secţiunea conductoarelor.

2. SEMNALELE ŞI ELEMENTELE

CIRCUITELOR ELECTRICE

Regimul de funcţionare al unui circuit electric este caracterizat de mărimi de stare

(tensiuni electromotoare, tensiuni la borne, intensităţi ale curenţilor, fluxuri magnetice, sarcini

electrice) denumite semnale.

2.1 SEMNALE EXCITAŢIE ŞI SEMNALE RĂSPUNS

Se numesc semnale excitaţie (tensiuni sau curenţi), semnalele provenite de la

elementele de circuit active. Semnalul răspuns al unui circuit reprezintă reacţia circuitului la

semnalele excitaţie. Semnalul răspuns se determină integrând sistemul de ecuaţii integro-

diferenţiale obţinut prin aplicarea legilor şi teoremelor circuitelor electrice. Soluţia generală a

sistemului astfel obţinut caracterizează regimul tranzitoriu al circuitului şi constituie răspunsul

tranzitoriu. Acest răspuns este, în general, o funcţie de timp determinată. Limita acestei funcţii

atunci când timpul tinde la infinit reprezintă răspunsul permanent, iar regimul corespunzător

este denumit permanent. Regimul tranzitoriu poate fi considerat ca regimul de trecere de la un

regim permanent la alt regim permanent.

În absenţa elementelor active, sistemul de ecuaţii integro-diferenţiale este omogen şi

regimul se spune că este liber, iar soluţia sistemului reprezintă răspunsul de regim liber.

Soluţia particulară a sistemului, de forma semnalului excitaţie, poartă denumirea de

răspuns forţat, iar regimul corespunzător se numeşte regim forţat.

După forma de variaţie în timp, semnalele pot fi:

• semnale continue sunt acele semnale descrise prin funcţii constante în timp,

x(t) = C = constant, -∞ < t < ∞; (2.1)

• semnale periodice sunt semnale variabile a căror valoare x(t) la un moment oarecare

de timp t se reproduce după un număr întreg de intervale constante de timp T,

x(t) = x(t + kT), k = ±1; ±2,… (2.2)

O largă utilizare o au semnalele periodice sinusoidale (fig. 2.1), de forma:

( ) ( )γ+ω= tsinXtx m , (2.3)

Capitolul 2 - Semnalele şi elementele circuitelor electrice

37

unde: Xm reprezintă valoarea maximă; T2π

=ω este pulsaţia; T- perioada; γ- faza iniţială;

Fig. 2.1

• semnale neperiodice sau aperiodice sunt acele semnale variabile care nu satisfac

relaţia (2.2). Din categoria semnalelor neperiodice fac parte:

semnalul exponenţial (fig. 2.2 a)

( ) 0t,eKtx ta >= − ; (2.4)

a) b) c) d)

Fig. 2.2

semnalul treaptă unitate (fig. 2.2 b), notat cu h(t)

( )

≥<

=;0t,1,0t,0

th (2.5)

semnalul impuls rectangular unitar (fig. 2.2 c)

( )

∞<≤τ

τ<≤τ

<<∞−

=

;t,0

,t0,1,0t,0

ty (2.6)

semnalul impuls δ(t) (sau distribuţia Dirac) (fig. 2.2 d), se consideră

limită a impulsului rectangular unitar pentru τ→0,

( ) ( )tylimt0→τ

=δ (2.7)

încât

( ) ( ) 1dttylimdtt0

==δ ∫∫ →τ

∞

∞−

(2.8)


38

2.2 ELEMENTE DE CIRCUIT PASIVE LINIARE

Elementele de circuit pasive se caracterizează prin mai mulţi parametri, însă, de obicei

prezintă interes parametrul principal, cu ajutorul celorlalţi parametri apreciindu-se efectele

parazite. Dacă parametrii unui element de circuit pasiv sunt independenţi de semnalul excitaţie,

elementul de circuit este denumit liniar, iar în caz contrar se spune că este neliniar. În cazul în

care parametrii depind de un factor exterior, independent de semnalul excitaţie şi pot fi descrişi

prin funcţii de timp, elementul respectiv se numeşte parametric.

Elementele de circuit pasive caracterizate prin câte un singur parametru se numesc

elementele de circuit pasive ideale. Acestea sunt: rezistorul ideal, bobina ideală şi

condensatorul ideal. Elementele de circuit pasive ideale sunt elemente de circuit dipolare,

având două borne de acces cu exteriorul. Tensiunea la borne u(t) şi intensitatea curentului i(t)

sunt univoc determinate la bornele elementului de circuit dipolar şi produsul lor notat cu p,

iup = , (2.9)

este puterea instantanee, iar integrala în raport cu timpul este energia W,

∫∫ ==t

0

t

0

dtiudtpW (2.10)

Elementele de circuit pasive primesc putere pe la borne şi deci puterea este pozitivă,

p>0. Elementele de circuit pasive, capabile să acumuleze energie în câmpul magnetic sau

electric se numesc elemente reactive. Din această categorie fac parte bobina ideală, care

acumulează energie magnetică, şi condensatorul ideal, care acumulează energie electrică.

Rezistorul ideal este un element de circuit neconservativ, care transformă ireversibil energia

electrică în căldură.

Notând cu x(t) semnalul excitaţie şi cu y(t) semnalul răspuns, relaţia

y = y(x) (2.11)

se numeşte ecuaţia caracteristică de funcţionare.

Mărimile x(t) şi y(t) pot fi tensiunea la borne u(t), intensitatea curentului i(t), fluxul

magnetic Φ(t) sau sarcina electrică q(t).


39

2.2.1 Rezistorul liniar ideal

Fig. 2.3

Rezistorul liniar ideal, cu simbolul grafic din figura 2.3, al cărui parametru numit

rezistenţă R este definit de legea lui Ohm:

iRu = (2.12)

Din relaţia (2.11) rezultă:

uGuR1i == (2.12 a)

unde G poartă denumirea de conductanţă.

Unitatea de măsură a rezistenţei se numeşte ohm (Ω), iar a conductanţei Ω-1 sau siemens

(S).

Puterea primită la borne de rezistorul ideal este transformată ireversibil în căldură prin

efect Joule – Lenz şi are expresia:

0uGiRiup 22 >=== (2.13)

2.2.2 Bobina liniară ideală

Fig. 2.4

Se consideră o bobină filiformă cu N spire, parcursă de curentul i, situată într-un

mediu omogen, izotrop şi liniar de permeabilitate magnetică µ constantă (fig. 2.4). Bobina

este alimentată de la o sursă având tensiunea la borne u.


40

Fluxul magnetic Γ

Φ fS referitor la o suprafaţă deschisă care se sprijină numai pe o spiră

a bobinei se numeşte flux magnetic fascicular. Dacă dimensiunile transversale ale

conductorului bobinei sunt mult mai mici decât diametrul bobinei (conductorul este filiform)

şi spirele sunt dispuse strâns încât toate liniile inducţiei magnetice se închid prin toate spirele

bobinei, fluxul magnetic Γ

ΦS care străbate întreaga suprafaţă limitată de conturul întregului

circuit, numit flux magnetic total, este egal cu produsul dintre numărul de spire N şi fluxul

magnetic fascicular Γ

Φ fS :

ΓΓΦ=Φ fSS N (2.14)

Se aplică legea inducţiei electromagnetice în lungul unei curbe închise Γ care se

închide de-a lungul conductorului bobinei (afb) şi al unei linii a tensiunii la borne (bma)

(fig. 2.4):

dtd SΓΦ

−=∫Γ

dsE (2.15)

sau,

( ) ( ) dtd S

a

mb

b

fa

ΓΦ

−=+ ∫∫ dsEdsE (2.16)

Pentru porţiunea (afb) din curba Γ care trece prin conductorul străbătut de curent

electric de conducţie este valabilă legea conducţiei electrice E = ρJ şi deci:

( ) ( ) ( )∫∫∫ =ρ=ρ=b

fa

b

fa

b

fa

iRAdsidsJdsE (2.17)

Deoarece,

( )u

a

mb

−=∫ dsE (2.18)

relaţia (2.16) devine:

dtd

iRu SΓΦ

+= (2.19)

Raportul pozitiv, notat cu L, dintre fluxul magnetic Γ

ΦS şi curentul i este independent

de fluxul magnetic şi de intensitatea curentului şi se numeşte inductivitate sau inductanţă

proprie a bobinei,

0i

L S >Φ

= Γ (2.20)

În S.I. unitatea de inductivitate este numită henry (H).


41

Ţinând seama de definiţia (2.20), relaţia (2.19) devine:

dtdiLiRu += (2.21)

În ecuaţia (2.21) termenul dtdiL este denumit cădere inductivă de tensiune.

Bobina liniară ideală este caracterizată numai de parametrul inductivitate proprie L,

rezistenţa R fiind neglijabilă, R = 0, încât ecuaţia (2.21) devine:

dtdiLu = (2.22)

Integrând ecuaţia (2.22) în intervalul 0 – t, se obţine:

( )0idtuL1i

t

0

+= ∫ (2.23)

Bobina liniară ideală este un element de circuit pasiv nedisipativ (conservativ) de

circuit care poate acumula energie în câmpul magnetic. Presupunând i(0) = 0, din relaţiile

(2.10) şi (2.22) se obţine energia acumulată în câmpul magnetic al bobinei:

2t

0

t

0m iL

21diiLdtiuW === ∫∫ (2.24)

Simbolul grafic pentru bobinele ideale este reprezentat în figura 2.5.

Fig. 2.5

2.2.3 Bobine cuplate magnetic

Fig. 2.6

Se consideră două bobine având spirele filiforme, nedeformabile, menţinute în aceeaşi

poziţie relativă într-un mediu cu permeabilitatea µ constantă (fig. 2.6).


42

Presupunem că numai bobina (1) este parcursă de curent, având intensitatea i1. În

general, numai o parte din liniile de câmp ale fluxului magnetic fascicular propriu produs de

bobina (1) înlănţuie şi spirele bobinei (2); această parte se numeşte flux magnetic fascicular

util. Partea care se închide direct prin aer şi care nu înlănţuie bobina (2) se numeşte flux de

dispersie sau flux de scăpări.

Notând cu Φf11 fluxul fascicular propriu al bobinei (1), cu Φf21 fluxul fascicular produs

de bobina (1) printr-o spiră a bobinei (2) şi cu Φfd21 fluxul fascicular de dispersie al bobinei

(1) faţă de bobina (2), rezultă:

21fd21f11f Φ+Φ=Φ (2.25)

Dacă Φf21 ≠ 0, se spune că bobinele (1) şi (2) sunt cuplate magnetic. Dacă se consideră

că bobina (2) este parcursă de curent, având intensitatea i2, rezultă:

12fd12f22f Φ+Φ=Φ (2.26)

unde: - Φf22 este fluxul fascicular propriu al bobinei (2);

- Φf12 - fluxul fascicular produs de bobina (2) printr-o spiră a bobinei (1);

- Φfd12 - fluxul fascicular de dispersie al bobinei (2) faţă de bobina (1).

Raportul L21 dintre fluxul magnetic Φ21 prin bobina (2) stabilit de curentul i1 care

parcurge bobina (1) şi curentul i1, egal cu raportul L12 dintre fluxul magnetic Φ12 prin bobina

(1) stabilit de curentul i2 care parcurge bobina (2) şi curentul i2 este independent de fluxurile

magnetice şi de intensităţile curenţilor şi se numeşte inductivitate sau inductanţă mutuală

între cele două bobine,

.Mi

Li

Lnot

0i2

12d

120i1

21d

2112

=Φ

==Φ

===

(2.27)

a) b)

c) d)

Fig. 2.7


43

Inductivitatea mutuală se mai notează şi cu 1221 LLM == şi poate fi pozitivă, 0M >

sau negativă, 0M < , după cum sensurile de referinţă ale contururilor bobinelor (1) şi (2) sunt

asociate după regula burghiului drept în acelaşi sens sau în sens opus. Dacă liniile de câmp ale

inducţiei magnetice B1 stabilită de curentul i1 înlănţuie spirele bobinei Γ2 în sensul de

înaintare al burghiului drept care roteşte în sensul de referinţă al lui Γ2 (fig. 2.7, a), fluxul Φ21

este pozitiv şi deci inductivitatea mutuală este pozitivă, M > 0, iar în caz contrar (fig. 2.7, b)

inductivitatea mutuală este negativă, M < 0. Pentru a reprezenta modul în care se introduce

semnul inductivităţii mutuale, se indică cu steluţe bornele polarizate ale celor două bobine, cu

următoarea convenţie: dacă sensurile de referinţă ale curenţilor i1 şi i2 sunt identice faţă de

bornele polarizate (fig. 2.7, c), inductivitatea mutuală este pozitivă, iar dacă sensurile

curenţilor sunt diferite (fig. 2.7, d), inductivitatea mutuală este negativă.

În S.I. unitatea de inductivitate mutuală este aceeaşi cu a inductivităţii proprii, henry (H).

Se consideră două bobine cuplate magnetic având spirele filiforme, nedeformabile,

menţinute în aceeaşi poziţie relativă într-un mediu cu permeabilitatea µ constantă (fig. 2.6).

Dacă i1 ≠ 0 şi i2 = 0, fluxurile magnetice prin bobina (1) şi prin bobina (2) produse de curentul

i1 sunt:

1111f111 iLN =Φ=Φ ; 121f221 iMN =Φ=Φ (2.28)

Dacă i1 = 0 şi i2 ≠ 0, fluxurile magnetice prin cele două bobine produse de curentul i2

sunt:

212f112 iMN =Φ=Φ ; 2222f222 iLN =Φ=Φ (2.29)

Dacă i1 ≠ 0 şi i2≠ 0, fluxurile totale prin cele două bobine se obţin aplicând principiul

superpoziţiei:

21112111 MiiL +=Φ+Φ=Φ ; 22122212 iLMi +=Φ+Φ=Φ (2.30)

Tensiunile la bornele celor două bobine cuplate magnetic se calculează înlocuind

fluxurile date de relaţiile (2.30) în (2.22):

dtdiM

dtdiL

dtdu 21

11

1 +=Φ

= ; dtdiL

dtdiM

dtdu 2

212

2 +=Φ

= (2.31)

În relaţiile (2.31), termenii dtdiL 1

1 , dtdiL 2

2 se numesc căderi de tensiune inductivă

proprie, iar termenii dtdiM 2 şi

dtdiM 1 căderi de tensiune inductivă mutuală.

În cazul unei bobine (p) parcursă de curentul ip şi cuplată magnetic cu alte n-1 bobine,

se obţine:


44

∑=

=Φn

1kkpkp iL (2.32)

şi

n,...,2,1p;dtdiL

dtdi

Lun

pk1k

kpk

pppp =+= ∑

≠=

(2.33)

Înmulţind ecuaţiile (2.31) cu i1dt, respectiv i2dt, adunându-le şi integrând se obţine

energia magnetică a sistemului:

21222

211m iiMiL

21iL

21W ++= (2.34)

2.2.4 Condensatorul liniar ideal

Sistemul alcătuit din două conductoare încărcate cu sarcini electrice egale şi de semne

opuse, separate printr-un dielectric, constituie un condensator, iar cele două conductoare se

numesc armăturile condensatorului.

Raportul pozitiv dintre sarcina electrică q a armăturilor şi tensiunea la borne se

numeşte capacitate electrică a condensatorului,

uqC = (2.35)

În S.I. unitatea de măsură a capacităţii se numeşte farad (F).

Ecuaţia de legătură între sarcina electrică şi intensitatea curentului (curent de deplasare,

v. par. 1.5 ) are forma (1.35):

dtdqi = (2.36)

sau

dtduCi = (2.37)

unde s-a ţinut seama de relaţia (2.35).

Din relaţia (2.37), prin integrare rezultă:

( )0udtiC1u

t

0

+= ∫ (2.38)

Condensatorul ideal este un element de circuit pasiv nedisipativ, capabil să acumuleze

energie în câmpul electric. Presupunând u(0) = 0, din relaţiile (2.10) şi (2.37) se obţine energia

acumulată în câmpul electric al condensatorului:


45

2t

0

t

0e uC

21duuCdtiuW === ∫∫ (2.39)

Simbolul grafic pentru condensatoarele ideale este reprezentat în figura 2.8.

Fig. 2.8

2.3 ELEMENTE DE CIRCUIT ACTIVE

În circuitele electrice se întâlnesc două tipuri de elemente active:

• generatorul de tensiune (sursa de tensiune);

• generatorul de curent (sursa de curent).

2.3.1 Generatorul de tensiune

a) b)

Fig. 2.9 Fig. 2.10

Generatorul ideal de tensiune (fig. 2.9, a) este un element de circuit activ a cărui

tensiune la borne u nu depinde de intensitatea curentului i (fig. 2.9, b) şi este egală cu tensiunea

electromotoare e a generatorului,

u = e (2.40)

Intensitatea curentului într-un element pasiv conectat la un generator ideal de tensiune

depinde de tensiunea electromotoare, precum şi de parametrii elementului. Deci, dacă bornele

generatorului sunt scurtcircuitate, intensitatea curentului şi odată cu aceasta şi puterea

debitată, tind să devină infinite; se spune că generatorul ideal de tensiune este un generator de

putere infinită. În realitate, generatoarele de tensiune au o rezistenţă interioară care limitează

la valori finite curentul şi puterea în scurtcircuit. Schema unui generator real de tensiune

poate fi considerată ca fiind constituită dintr-un generator ideal de tensiune în serie cu un

element receptor având parametrii egali cu parametrii interiori ai generatorului (fig. 2.10).


46

2.3.2 Generatorul de curent

a) b)

Fig. 2.11 Fig. 2.12

Generatorul ideal de curent (fig. 2.11, a) este un element activ care debitează un curent

de intensitate independentă de tensiunea la borne (fig. 2.11, b). În ceea ce priveşte generatorul

ideal de curent, tensiunea la borne şi odată cu aceasta puterea debitată creşte nelimitat. Schema

unui generator real de curent, de putere finită, poate fi reprezentată printr-un generator ideal de

curent în paralel cu un element receptor având parametrii egali cu parametrii interiori ai

generatorului (fig. 2.12).

Un generator de tensiune se spune că este independent sau autonom dacă tensiunea

electromotoare nu depinde de tensiunile şi curenţii circuitului din care face parte. În caz

contrar, este considerat dependent (neautonom) sau comandat. Similar şi generatoarele de

curent pot fi clasificate ca independente şi dependente.

2.3.3 Surse dependente

Sursele dependente pot fi:

• sursa ideală de tensiune comandată (dependentă) de tensiune (fig. 2.13, a) este o sursă

ideală de tensiune a cărei tensiune electromotoare e este comandată (dependentă) de o

tensiune de comandă uc,

e = e(uc);

• sursa ideală de curent comandată (dependentă) de curent (fig. 2.13, b) este o sursă

ideală de curent care debitează un curent dependent de un curent de comandă ic,

ig = ig(ic);

• sursa ideală de tensiune comandată (dependentă) de curent (fig. 2.13, c) este o sursă

ideală de tensiune a cărei tensiune electromotoare e este comandată (dependentă) de un curent

de comandă ic,

e = e(ic);


47

• sursa ideală de curent comandată (dependentă) de tensiune (fig. 2.13, d) este o sursă

ideală de curent care debitează un curent dependent de o tensiune de comandă uc,

ig = ig(uc)

a) b)

c) d)

Fig. 2.13

2.4 CLASIFICAREA CIRCUITELOR ELECTRICE

Circuitele electrice pot fi clasificate din mai multe puncte de vedere şi anume:

• Din punct de vedere al dependenţei parametrilor circuitului de semnalele de excitaţie,

se deosebesc:

circuite liniare, constituite exclusiv din elemente liniare;

circuite neliniare, care conţin cel puţin un element neliniar;

circuite parametrice, având în structura lor cel puţin un element parametric.

Circuitele liniare satisfac, în principal, următoarele proprietăţi fundamentale:

omogenitatea, aditivitatea şi stabilitatea.

Prin omogenitate se înţelege proprietatea circuitelor liniare de a avea amplitudinea

semnalului răspuns proporţională cu cea a semnalului excitaţie.

Prin aditivitate se defineşte proprietatea circuitelor de a satisface teorema suprapunerii

şi anume, răspunsul la acţiunea simultană a mai multor excitaţii se obţine însumând algebric

răspunsurile individuale, corespunzătoare fiecărei excitaţii considerată ca acţionând

independent. Ca o consecinţă imediată rezultă faptul că semnalul răspuns, în circuitele liniare

de curent alternativ, în regim permanent, are acelaşi spectru de frecvenţe ca şi semnalul

excitaţie.

Stabilitatea este o proprietate care pune în evidenţă însuşirea circuitelor liniare ca în

regim tranzitoriu componentele libere ale semnalului răspuns să tindă spre zero atunci când

timpul creşte la infinit.

• Din punct de vedere al regimului permanent de funcţionare, circuitele pot fi:


48

de curent continuu (în regim staţionar);

de curent alternativ (în regim cvasistaţionar periodic).

• Din punct de vedere al localizării parametrilor elementelor se disting:

circuite cu parametri concentraţi, constituite exclusiv din elemente cu parametri

concentraţi;

circuite cu parametri distribuiţi, care conţin cel puţin un element cu parametri

distribuiţi;

• Din punct de vedere al căilor conductoare de acces cu exteriorul, circuitele sunt

izolate, dacă nu au borne de acces cu exteriorul şi neizolate în caz contrar.

Dacă un circuit neizolat are două borne de acces cu exteriorul, poartă denumirea de

dipol. În cazul în care numărul bornelor de acces cu exteriorul este patru, circuitul este numit

cuadripol, iar atunci când numărul bornelor de acces este mai mare decât patru, circuitul este

cunoscut sub denumirea de multipol.

Un circuit în care se anulează tensiunile electromotoare ale generatoarelor de tensiune

şi curenţii generatoarelor de curent, păstrând parametrii lor interiori, se spune că este

pasivizat.

2.5 ELEMENTE DE TEORIE A GRAFURILOR

Studiul sistematic al circuitelor liniare se poate efectua cu ajutorul unui ansamblu de

metode topologice, cunoscute sub denumirea de teorie a grafurilor. Elementele de bază care

definesc structura topologică a unui circuit sunt nodurile şi laturile. Se numeşte latură, o

porţiune neramificată a unui circuit, iar nodul este punctul de intersecţie a cel puţin trei laturi.

Din punct de vedere topologic un circuit este conex dacă orice pereche de noduri poate

fi unită printr-o curbă continuă care trece numai prin laturile circuitului. În caz contrar,

circuitul se numeşte neconex. Un circuit de curent continuu este totdeauna conex în timp ce

circuitele de curent alternativ pot fi şi neconexe. În acest ultim caz, circuitul este constituit din

mai multe subcircuite conexe, izolate din punct de vedere galvanic, unele de altele,

interacţionând prin inducţie electromagnetică.

Prin graf al unui circuit se denumeşte schema sa topologică, alcătuită din noduri, laturi

şi ochiuri. Se numeşte ochi, sau buclă, subgraful constituit dintr-o porţiune conductoare

închisă a unui anumit graf.


49

Proprietăţile topologice ale grafului pun în evidenţă pe cele ale schemei circuitului

respectiv.

Arborele unui graf, ataşat unui circuit conex, este un subgraf care conţine toate

nodurile şi nu conţine nici un ochi. Un astfel de graf se spune că este complet. Numărul de

laturi ale unui arbore complet este:

1na −= (2.41)

unde n reprezintă numărul de noduri al circuitului.

În cazul circuitelor neconexe, numărul de laturi al arborilor compleţi ataşaţi fiecărui

subgraf conex se determină cu ajutorul relaţiei:

1nka k−= , k = 1, 2, …, s (2.42)

unde s reprezintă numărul de subcircuite conexe.

Un graf poate avea mai mulţi arbori compleţi dar numărul de laturi al fiecărui arbore

este acelaşi.

Coarda este o latură care nu face parte dintr-un arbore complet. Laturile coardă

complementare unui arbore complet constituie subgraful corzilor corespunzătoare.

Într-un graf numărul de ochiuri este finit, unele fiind independente, iar altele

dependente. Un sistem de ochiuri este independent atunci când structura unui ochi nu poate fi

dedusă în întregime din cea a restului de ochiuri. Rezultă deci că un ochi independent are cel

puţin o latură necomună cu celelalte ochiuri independente.

Un sistem de ochiuri independente este constituit din câte o latură coardă şi laturile

corespunzătoare ale arborelui complet. Dacă se porneşte de la un arbore complet şi se adaugă

succesiv câte o coardă pentru a obţine graful circuitului, fiecare coardă contribuie la

completarea a câte unui ochi independent de celelalte şi numai unul. Prin urmare, numărul de

laturi ale unui circuit conex va fi, ţinând seama de (2.41):

o1n +−= (2.43)

unde (o) reprezintă numărul coardelor şi totodată numărul ochiurilor independente. Din relaţia

(2.43) rezultă:

1no +−= (2.44)

Se spune că o latură este incidentă unui nod dacă acesta din urmă constituie o

extremitate a laturii. O latură este incidentă unui ochi dacă face parte din acesta.

Orientarea reprezintă stabilirea de sensuri pozitive pentru laturile grafului şi implicit

pentru ochiurile sale.


50

Exemplul 1.1

Se consideră circuitul conex reprezentat în figura 2.14a, având n=4 noduri, =6 laturi.

a) b)

Fig. 2.14

În figura 2.14 b, este reprezentat graful acestui circuit precum şi unul din arborii săi

compleţi, trasat cu linii îngroşate. Circuitul considerat este constituit dintr-un număr de

o=6–4+1=3 ochiuri independente, numerotate cu 1, 2, 3. Pentru o identificare mai rapidă,

nodurile sunt numerotate cu cifre între paranteze.

3. CIRCUITE LINIARE DE CURENT CONTINUU

ÎN REGIM PERMANENT

Dacă tensiunile electromotoare ale generatoarelor de tensiune şi curenţii

generatoarelor de curent sunt invariabile în timp, curenţii care străbat elementele de circuit şi

tensiunile la bornele acestora nu variază în timp şi se numesc curenţi continui, respectiv

tensiuni continue, notate cu majuscule I, U.

Din ecuaţia bobinei ideale (2.22)

dtdiLu = (3.1)

în care curentul este continuu, i = I, rezultă că tensiunea este nulă u = 0 şi deci, în curent

continuu, bobina ideală se comportă ca un scurtcircuit. Bobina parcursă de curent continuu

acumulează energie magnetică (2.24) constantă în timp,

2m IL

21W = (3.2)

Din ecuaţia condensatorului ideal (2.37)

dtduCi = (3.3)

în care tensiunea este continuă, u = U, rezultă că intensitatea curentului este nulă i = 0 şi deci,

în curent continuu, condensatorul ideal se comportă ca un circuit deschis. Sub tensiune la

borne continuă, condensatorul acumulează energie electrică (2.39) constantă în timp,

2e UC

21W = (3.4)

Rezultă că circuitele de curent continuu conţin numai elemente de circuit pasive

rezistive.

3.1 LEGILE ŞI TEOREMELE CIRCUITELOR LINIARE DE

CURENT CONTINUU

3.1.1 Legea lui Ohm

Conectând un rezistor de rezistenţă R la bornele unui element galvanic (fig. 3.1), se

produc succesiv următoarele fenomene. Un număr de electroni trec de la electrodul de zinc

Capitolul 3 - Circuite liniare de curent continuu în regim permanent

52

prin legătura exterioară la electrodul de cupru formând deci un curent electric. Echilibrul din

stratul electric dublu al celor doi electrozi se strică. Ca urmare, electrodul de zinc degajă în

soluţie ioni de Zn2+, iar cel de cupru ioni Cu2+. Apare din nou o diferenţă între sarcinile

electrice ale electrozilor. Din nou un număr de electroni trece de la electrodul de zinc la cel de

cupru şi fenomenele se repetă. Prin urmare, se constată că prin circuitul închis, format din

elementul galvanic şi conductorul conectat la bornele acestuia, trece un curent electric de

conducţie, constant în timp, numit curent continuu. În urma procesului descris, electrodul de

zinc se dizolvă, iar ionii Cu2+ se depun pe electrodul de cupru producând cupru metalic.

Fig. 3.1

Scriind integrala de linie a intensităţii câmpului electric staţionar E = ρJ de la borna B,

de-a lungul drumului n în interiorul sursei, spre borna pozitivă A, rezultă:

∫∫∫∫ +=ρ=BnA

iBnA

cBnABnA

dlEdlEdlJdlE (3.5)

Deoarece integrala de linie a intensităţii câmpului coulombian nu depinde de alegerea

drumului de integrare, rezultă:

( ) bABBAAmB

cBmA

cBnA

c UVV −=−−=−== ∫∫∫ dlEdlEdlE (3.6)

Ultima integrală din relaţia (3.5) reprezintă tensiunea electromotoare a sursei:

EBnA

i =∫ dlE (3.7)

şi, prin urmare, relaţia (3.5) devine:

EUbABBnA

+−=ρ∫ dlJ (3.8)

Deoarece, în interiorul sursei, vectorii J şi dl sunt paraleli şi de acelaşi sens, integrala

din relaţia (3.8) se poate scrie sub forma:

∫∫∫∫ ρ=ρ=ρ=ρBnABnABnABnA A

dIJAAddJ

dlJ (3.9)

unde s-a ţinut seama de principiul continuităţii curentului electric, conform căruia mărimea

intensitate a curentului, I = J A, nu variază în lungul conductorului şi deci poate fi scoasă de

sub semnul integral.


53

În relaţia (3.9), mărimea

∫ ρ=BnA

i AdR (3.10)

se numeşte rezistenţa interioară a sursei.

Prin urmare, relaţia (3.8) devine:

IREU ibAB −= (3.11)

sau,

IRUE ibAB =− (3.12)

şi reprezintă legea conducţiei electrice (legea lui Ohm).

a) b)

Fig. 3.2

Relaţia (3.12) este valabilă numai pentru cazul în care se aleg pentru mărimile UbAB, E

şi I, sensurile de referinţă indicate în figura 3.2, a. Dacă se schimbă sensul de integrare pentru

oricare din aceste mărimi (asocierea sensurilor lor fiind o simplă convenţie), în relaţia (3.12)

trebuie schimbat sensul mărimii respective. De exemplu, pentru asocierea de sensuri indicată

în figura 3.2, b, relaţia (2.12) devine:

IRUE ibAB =+ (3.13)

Cele două sensuri indicate în figura 3.2, în care sensurile tensiunii la borne şi

intensităţii curentului electric sunt opuse şi respectiv coincid, se numesc convenţii de asociere

de tip generator, respectiv de tip receptor.

Se consideră un circuit liniar de curent continuu constituit dintr-un anumit număr de

laturi receptoare şi generatoare. Dacă R este rezistenţa totală a fiecărei laturi, forma generală

a legii lui Ohm (legea conducţiei electrice) pentru fiecare din aceste laturi se poate scrie sub

forma:

IRUE b =± (3.14)

unde semnul plus corespunde laturilor receptoare, iar semnul minus laturilor generatoare. În

acest fel se fixează şi convenţia de asociere a sensurilor pozitive ale tensiunii la borne Ub,

tensiunii electromotoare E şi curentului I.

În cazul ramurilor receptoare, polaritatea tensiunii electromotoare a generatorului

poate fi opusă curentului (de exemplu în cazul încărcării acumulatoarelor).


54

3.1.2 Teoremele lui Kirchhoff

a. Teorema de curenţi. Se consideră un nod (k) al unui circuit de curent continuu şi o

suprafaţă închisă Σ care înconjoară nodul considerat (fig. 3.3). În regim staţionar, legea

conservării sarcinii electrice libere (1.31), aplicată suprafeţei Σ, are forma:

0I =Σ (3.15)

Fig. 3.3

Atribuind semnul plus curenţilor cu sensul de referinţă de la nod, pentru cazul

reprezentat în figura 3.3, ecuaţia (3.15) devine:

0IIIII 54321 =−+++−

În general, relaţia (3.15) se poate scrie sub forma:

0Ik

1jj =∑

=

, sau 0Ikj

j =∑∈

(3.16)

unde k reprezintă numărul laturilor concurente în nodul k.

Relaţia (3.16) constituie prima teoremă a lui Kirchhoff (teorema de curenţi): suma

algebrică a curenţilor din laturile conectate într-un nod al unui circuit de curent continuu este

nulă.

Deoarece în relaţia (3.16) nu intervin parametrii circuitului, rezultă că este valabilă atât

pentru circuitele de curent continuu liniare cât şi pentru cele neliniare.

Fig. 3.4

b. Teorema de tensiuni

Se consideră ochiul (m) al unui circuit liniar de curent continuu (fig. 3.4) şi se aplică

fiecărei laturi legea lui Ohm (3.14):


55

mkkbk ,...,2,1k,IRUEk

==± (3.17)

unde m este numărul laturilor ochiului (m). Făcând suma relaţiilor (3.17) pentru toate laturile

ochiului considerat, se obţine:

∑∑∑===

=±mm

k

m

1kkk

1kb

1kk IRUE

(3.18)

În relaţia (3.18), ∑ ∫= Γ

=m

m

kb

1kU

dlE , unde E reprezintă intensitatea câmpului electric, iar

Γm conturul conductor al ochiului (m). Regimul fiind staţionar, câmpul electric are un caracter

potenţial, adică 0m

=∫Γ

dlE şi prin urmare:

0Um

k1k

b =∑=

(3.19)

Într-o primă formulare, teorema de tensiuni a lui Kirchhoff are următorul enunţ: suma

algebrică a tensiunilor de latură de-a lungul unui ochi al unui circuit liniar de curent

continuu este nulă.

Deoarece în expresia (3.19) nu intervin în mod explicit parametrii circuitului, sub

această formă teorema de tensiuni a lui Kirchhoff este valabilă şi pentru circuitele neliniare de

curent continuu.

Dacă se ţine seama de (3.19), relaţia (3.18) devine:

∑∑==

=mm

1kkk

1kk IRE

(3.20)

În această formulare, teorema de tensiuni a lui Kirchhoff are următorul enunţ: suma

algebrică a tensiunilor electromotoare ale generatoarelor de tensiune situate pe laturile unui

ochi al unui circuit liniar de curent continuu este egală cu suma algebrică a căderilor de

tensiune pe laturile ochiului.

3.1.3 Legea Joule-Lenz

Multiplicând relaţia (3.14) cu I se obţine forma globală a legii: 2

b IRIUIE =± (3.21)

unde:

• 0IE > sau 0IE < reprezintă puterea schimbată de sursă cu restul circuitului;

• 0IUb > sau 0IUb < este puterea schimbată de latura considerată pe la borne;

Rk Ek

Uk


56

• RI2 ≥0 reprezintă puterea transformată ireversibil în căldură prin efect electrocaloric.

În privinţa semnelor mărimilor care intervin în relaţia (3.21), se utilizează următoarea

convenţie:

EI > 0 reprezintă puterea furnizată, iar EI < 0 puterea absorbită de sursă, oricare ar fi

regimul laturii;

UbI > 0 constituie puterea la borne furnizată în cazul unei laturi generatoare, respectiv

absorbită în cazul laturii receptoare, iar UbI < 0 reprezintă puterea la borne absorbită în

cazul unei laturi generatoare, respectiv furnizată în cazul unei laturi receptoare.

3.2 TRANSFORMAREA SCHEMELOR CIRCUITELOR LINIARE

DE CURENT CONTINUU

3.2.1 Scheme echivalente. Rezistenţă echivalentă şi conductanţă echivalentă

O schemă este echivalentă unui circuit neizolat dacă în bornele de acces omoloage

ale circuitului şi ale schemei echivalente valorile potenţialelor şi ale intensităţilor curenţilor

sunt aceleaşi.

Se consideră un dipol liniar de curent continuu, activ sau pasiv, având tensiunea la

borne U şi curentul la bornele de acces I. Se defineşte rezistenţa echivalentă

IUR e = (3.22)

şi conductanţa echivalentă

UIGe = (3.23)

3.2.2 Gruparea rezistoarelor

Rezistoarele conţinute în structura unui dipol liniar pasiv pot fi grupate în serie, în

paralel, mixt şi complex. În fiecare din aceste cazuri prezintă interes să se stabilească regula

de calcul a rezistenţei echivalente între bornele de acces (Re) în funcţie de rezistenţele

rezistoarelor.

a. Gruparea în serie

În cazul grupării în serie, toate rezistoarele sunt parcurse de acelaşi curent (fig. 3.5, a).


57

a)

b)

Fig. 3.5

Deci, tensiunea la bornele fiecărui rezistor este:

n,...,2,1k,IRU kk == (3.24)

iar tensiunea la bornele dipolului va fi:

∑∑==

==n

1kk

n

1kk RIUU (3.25)

Cu ajutorul relaţiei (3.22) se obţine rezistenţa echivalentă (fig. 3.5, b):

∑=

=n

1kke RR (3.26)

Gruparea în serie a rezistoarelor se face cu scopul fie de a obţine o rezistenţă de

valoare ridicată, fie de a realiza un divizor de tensiune. Cel mai simplu divizor de tensiune

este constituit din două rezistoare conectate în serie (fig. 3.6).

Fig. 3.6

Aplicând legea lui Ohm se obţine:

I)RR(U 211 += (3.27)

şi

21

2122 RR

RUIRU+

== (3.28)

Din relaţia (3.28) se determină raportul de divizare (de reducere):

1RR

RUUK

21

2

1

2U <

+== (3.29)


58

b. Gruparea în paralel

a) b)

Fig. 3.7

În acest caz tensiunile la bornele tuturor rezistoarelor sunt aceleaşi (fig 3.7). Curentul

prin fiecare rezistor este, conform legii lui Ohm:

n,...,2,1k,RUI

kk == (3.30)

Aplicând prima teoremă a lui Kirchhoff rezultă:

∑∑==

==n

1k k

n

1kk R

1UII (3.31)

Cu ajutorul relaţiei (3.22) se obţine rezistenţa echivalentă:

∑=

=n

1k ke R1

R1 (3.32)

sau conductanţa echivalentă:

∑=

=n

1kke GG (3.33)

Gruparea în paralel a rezistoarelor se realizează cu scopul de a obţine un divizor de

curenţi şi, uneori, de a obţine o rezistenţă mai mică.

c. Gruparea mixtă. Această grupare se reduce la cele precedente, iar pentru

determinarea rezistenţelor echivalente se face apel la regulile de calcul corespunzătoare

grupărilor în serie şi paralel.

d. Gruparea complexă este o grupare ireductibilă la cele precedente. Pentru a putea

totuşi reduce gruparea complexă la una precedentă se recurge la transformarea

(transfigurarea) circuitului.


59

3.2.3 Teorema transfigurării

a) b)

Fig. 3.8

Se consideră un circuit pasiv neizolat având (m + 1) noduri şi (m) laturi conectate în

stea (fig. 3.8 a), nodurile de acces fiind numerotate de la (1) la (m). Fie R1, R2,…, Rm

rezistenţele laturilor, V1, V2,…, Vm potenţialele nodurilor de acces, Vo potenţialul nodului (0)

şi I1, I2,…, Im curenţii în nodurile de acces. Condiţiile necesare şi suficiente, pentru ca

circuitul cu laturile dispuse în poligon complet cu m noduri şi ( )2

1mmC2m

−= laturi (fig.3.8 b)

să fie echivalent circuitului cu laturile conectate în stea, sunt ca valorile potenţialelor şi

curenţilor în nodurile de acces ale celor două circuite să fie aceleaşi. Substituind circuitul în

stea cu cel echivalent în poligon, regimul de funcţionare al circuitului exterior nu se modifică.

Substituirea unui circuit în stea printr-un circuit echivalent în poligon sau reciproc poartă

denumirea de transfigurare.

Curentul în nodul de acces (j) al circuitului în stea este:

)VV(GR

VVI 0jj

j

0jj −=

−= (3.34)

şi aplicând nodului (0) teorema de curenţi a lui Kirchhoff, se obţine:

0)VV(GIm

1j0jj

m

1jj =−=∑∑

==

(3.35)

Din relaţia (3.35) rezultă potenţialul V0 al nodului (0):

∑

∑

=

== m

1jj

m

1jjj

0

G

VGV (3.36)

Relaţia (3.36) constituie teorema lui Millman. Utilizând expresia (3.36) a potenţialului

V0, se obţine expresia curentului în nodul de acces (i):


60

m,...,2,1i,G

VGVG)VV(GI m

1jj

m

1jjj

ii0iii =

−=−=

∑

∑

=

= (3.37)

Curentul în latura de rezistenţă Rij, incidentă nodurilor (i) şi (j), a circuitului în poligon,

este:

)VV(GR

VVI jiij

ij

jiij −=

−= (3.38)

Aplicând teorema de curenţi a lui Kirchhoff nodului (i) al circuitului în poligon, se obţine:

m,...,2,1i,VGGVIIm

ij1j

jij

m

ij1j

iji

m

ij1j

iji =−== ∑∑∑≠=

≠=

≠=

(3.39)

Pentru a determina relaţiile de transfigurare, se impune condiţia ca intensităţile

curenţilor într-un acelaşi nod de acces să fie egale în cazul ambelor circuite, oricare ar fi

valorile potenţialelor V1, V2, …, Vn, aceleaşi atât pentru nodurile de acces ale circuitului în

stea cât şi pentru cele ale circuitului în poligon. Prin urmare, din relaţiile (3.37) şi (3.39) se

obţine:

=−

∑

∑

=

=m

1jj

m

1jjj

iii

G

VGGVG ∑∑

≠=

≠=

−m

ij1j

jij

m

ij1j

iji VGGV (3.40)

Identificând coeficienţii potenţialului Vj, rezultă relaţiile de transfigurare:

ji,m,...,2,1j,i,G

GGG m

1jj

jiij ≠==

∑=

(3.41, a)

sau

ji,m,...,2,1j,i,R1RRR

m

1j jjiij ≠== ∑=

(3.41, b)

Relaţia (3.41) asigură transfigurarea unui circuit cu laturile dispuse în stea, într-un

circuit echivalent cu laturile dispuse în poligon. Transfigurarea în sens invers nu este posibilă

decât dacă se recurge şi la alte condiţii suplimentare. În cazul general, relaţia de echivalenţă

(3.41) furnizează un sistem cu 2mC ecuaţii cu m necunoscute, iar condiţia de compatibilitate a

acestui sistem este:

( ) m2

1mmC2m =

−= (3.42)


61

cu soluţia m = 3. Numai în acest caz este posibil să se stabilească, fără alte condiţii

suplimentare, relaţii de transfigurare în ambele sensuri.

a) b)

Fig. 3.9

Dacă se consideră circuitele pasive, neizolate, reprezentate în figura 3.9, prin

particularizarea relaţiei (3.41), (j, k = 1, 2, 3, j ≠ k), se obţin relaţiile de transfigurare a unui

circuit în stea în altul echivalent, în triunghi:

3

212112 R

RRRRR ++= , 1

323223 R

RRRRR ++= , 1

323223 R

RRRRR ++= (3.43)

Soluţionând sistemul (3.43) în raport cu R1, R2, R3 rezultă relaţiile de transfigurare a

unui circuit în triunghi, în altul, echivalent, în stea:

312312

31121 RRR

RRR++

= , 312312

12232 RRR

RRR++

= , 312312

23313 RRR

RRR++

= (3.44)

3.2.4 Transformarea schemelor circuitelor liniare active

a. Echivalenţa dintre un generator real de tensiune şi un generator real de curent

Dacă se ţine seama că generatoarele reale de tensiune şi de curent sunt de putere

finită, schemele unor astfel de generatoare, în regim staţionar (curent continuu), sunt cele

reprezentate în figura 3.10, a şi b.

a) b)

Fig. 3.10

Aplicând legea lui Ohm se obţine ecuaţia generatorului real de tensiune:

IRUE g+= (3.45)

sau, IREU g−= (3.46)


62

Utilizând teorema de curenţi a lui Kirchhoff rezultă ecuaţia generatorului real de

curent:

UGII gg += (3.47)

sau, IG1I

G1U

gg

g

−= (3.48)

Un generator real de tensiune este echivalent unui generator real de curent şi reciproc

dacă prin substituirea lor curenţii şi tensiunile din circuitul de sarcină nu se modifică. Condiţia

de echivalenţă revine la egalitatea tensiunilor la bornele celor două generatoare, oricare ar fi

valoarea curentului debitat, adică:

IG1I

G1IRE

gg

gg −=− (3.49)

Dacă rezistenţele interioare ale celor două generatoare sunt egale, g

g G1R = , relaţia de

echivalenţă poate fi scrisă sub forma:

ggIRE = (3.50)

Această relaţie asigură echivalenţa numai din punct de vedere al invariabilităţii

curenţilor, tensiunilor şi puterilor în circuitul de sarcină al generatoarelor, deoarece puterile

disipate pe rezistenţele interioare sunt diferite. Puterea disipată pe rezistenţa interioară a

generatorului de tensiune este 2gE IRP = , iar cea disipată pe rezistenţa interioară a

generatorului de curent este ( )

g

2g

I GII

P−

= , încât PE ≠ PI.

b. Conexiunea serie a generatoarelor

Se consideră un dipol constituit din (n) generatoare reale de tensiune conectate în serie

(fig. 3.11 a). Tensiunea la bornele unui generator real de tensiune este:

n,...,2,1k,IREU gkkk =−= (3.51)

iar tensiunea la bornele dipolului va fi:

∑∑∑===

−==n

1kgk

n

1kk

n

1kk RIEUU (3.52)

Comparând această relaţie cu ecuaţia (3.46), rezultă că circuitul din figura 3.11 a este

echivalent cu un generator real de tensiune (fig. 3.11 b) având tensiunea electromotoare

∑=

=n

1kke EE (3.53)


63

şi rezistenţa interioară

∑=

=n

1kgkge RR (3.54)

a) b)

Fig. 3.11

Ţinând seama de echivalenţa schemelor generatoarelor de tensiune şi de curent

(fig.3.10), circuitul cu (n) generatoare de curent (fig. 3.12 a) este echivalent cu (n) generatoare

de tensiune conectate în serie (fig. 3.12, b), având rezistenţele interioare gkR şi tensiunile

electromotoare gkgkk IRE = .

Fig. 3.12

Tensiunea electromotoare Ee şi rezistenţa interioară geR a generatorului de tensiune

echivalent (fig. 3.12, c) au expresiile:

∑∑==

==n

1kgkgk

n

1kke IREE ; ∑

=

=n

1kgkge RR (3.55)


64

Revenind la schema generatorului de curent (fig. 2.12, d), rezultă:

∑

∑

=

=== n

1kgk

n

1kgkgk

ge

ege

R

IR

REI (3.56)

c. Conexiunea paralel a generatoarelor

Fig. 3.13

Se consideră un dipol constituit din (n) generatoare reale de curent conectate în paralel

(fig. 3.13, a). Aplicând teorema de curenţi a lui Kirchhoff, se obţine relaţia între tensiunea la

borne şi intensitatea curentului la bornele de acces:

∑∑==

−=n

1kgk

n

1kgk GUII (3.57)

Relaţia între tensiunea la borne şi intensitatea curentului, pentru generatorul real de

curent (fig. 3.13, b) este:

gege GUII −= (3.58)

Prin urmare, circuitul paralel cu (n) generatoare reale de curent este echivalent cu un

generator echivalent de curent având curentul

∑=

=n

1kgkge II (3.59)

şi conductanţa interioară

∑=

=n

1kgkge GG (3.60)


65

Ţinând seama de echivalenţa schemelor generatoarelor reale de curent şi de tensiune,

circuitul cu (n) generatoare de tensiune conectate în paralel (fig. 3.13, c) este echivalent cu (n)

generatoare reale de curent (fig. 3.13, a) având curenţii

gkkgk GEI = (3.61)

Circuitul format din (n) generatoare reale de curent conectate în paralel este echivalent

cu un generator echivalent de curent având curentul

∑∑==

==n

1kgkk

n

1kgkge GEII (3.62)

şi conductanţă interioară

∑=

=n

1kgkge GG (3.63)

Generatorul real de curent (fig. 3.13, b), având curentul geI (3.62) şi conductanţa

interioară geG (3.63), este echivalent cu un generator real de tensiune (fig. 3.13, d) având

tensiunea electromotoare (3.50)

∑

∑

=

=== n

1kgk

n

1kgkk

ge

gee

G

GE

GI

E (3.64)

şi rezistenţa interioară

∑=

=n

1k gkge R1

R1 (3.65)

Prin urmare, circuitul paralel cu (n) generatoare reale de tensiune conectate în paralel

este echivalent cu un generator real de tensiune având tensiunea electromotoare şi rezistenţa

interioară date respectiv de relaţiile (3.64) şi (3.65).

d. Teorema compensaţiei. Reguli de substituţie

Se consideră un dipol liniar activ, (D.L.A.), alimentând un receptor pasiv de rezistenţă

Rab (fig. 3.14, a). Aplicând laturii incidente nodurilor (a) şi (b) legea lui Ohm, se obţine:

ababab IRU = (3.66)

Regimul acestei laturi nu este perturbat dacă se introduc în structura ei două

generatoare ideale, neautonome, de tensiune, de polarităţi opuse, (fig. 3.14, b). În cazul când

tensiunile electromotoare ale acestor generatoare satisfac condiţia:

ababab IRE = (3.67)


66

în baza relaţiei (3.66), rezultă:

abab UE = (3.68)

căreia îi corespunde schema din figura 3.14, c.

Fig. 3.14

De asemenea, introducând în paralel cu rezistorul Rab două generatoare ideale,

neautonome, de curent, de polarităţi opuse, (fig. 3.14 d), regimul laturii incidente nodurilor (a)

şi (b) nu se modifică. Dacă se alege curentul generatorului de curent egal cu Iab, dat de (3.67),

atunci în baza teoremei de curenţi a lui Kirchhoff, rezultă că schema din figura 3.14 d se poate

substitui prin cea din figura 3.14 e.

Teorema compensaţiei:

Un rezistor parcurs de curent poate fi substituit fie cu un generator ideal neautonom

de tensiune, având polaritatea opusă sensului curentului din rezistor şi tensiunea

electromotoare egală cu tensiunea la bornele rezistorului, fie cu un generator ideal

neautonom de curent având aceeaşi polaritate cu sensul curentului din rezistor şi debitând un

curent egal cu cel care străbate rezistorul.

a) b) c)

Fig. 3.15

În particular, dacă bornele (a), (b) sunt deschise (fig. 3.15 a), între aceste borne există

o tensiune Uab0; regimul circuitului nu se modifică dacă se introduce pe aceeaşi latură un

generator ideal de tensiune, având tensiunea electromotoare Eab egală cu Uab0 şi polaritatea


67

indicată în figura 3.15 b. Aceeaşi latură deschisă, poate fi substituită şi prin două generatoare

ideale de curent, de polarităţi opuse, dispuse în paralel (fig. 3.15 c). Într-un mod asemănător

se poate proceda şi în cazul în care bornele (a), (b) sunt scurtcircuitate (fig. 3.16 a). În acest

caz, latura scurtcircuitată, incidentă nodurilor (a), (b), poate fi substituită prin două

generatoare de tensiune având aceeaşi tensiune electromotoare şi de polarităţi opuse

(fig. 3.16 b), fie printr-un generator ideal de curent (fig. 3.16 c).

a) b) c)

Fig. 3.16

3.3 METODE DE ANALIZĂ A CIRCUITELOR LINIARE

DE CURENT CONTINUU

A analiza un circuit de curent continuu înseamnă a determina semnalele răspuns (de

obicei intensităţile curenţilor pe laturi) atunci când se cunosc:

• structura topologică a circuitului (numărul de laturi, numărul de noduri);

• semnale de excitaţie (tensiunile electromotoare ale generatoarelor de tensiune şi

curenţii generatoarelor de curent);

• rezistenţele rezistoarelor şi cele interioare ale generatoarelor.

3.3.1 Metode de analiză a circuitelor liniare de curent continuu cu

obţinerea răspunsului pe toate laturile

Pentru a obţine răspunsul simultan pe toate laturile unui circuit liniar se utilizează

teoremele lui Kirchhoff, teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei), teorema curenţilor de

ochiuri sau teorema potenţialelor nodurilor.

a. Utilizarea teoremelor lui Kirchhoff

În general, analiza unui circuit liniar de curent continuu se bazează pe utilizarea

teoremelor lui Kirchhoff. Dacă circuitul este construit din laturi şi n noduri şi se urmăreşte


68

determinarea intensităţilor curenţilor pe laturi, se soluţionează sistemul liniar de ecuaţii

obţinut prin aplicarea teoremei de curenţi a lui Kirchhoff nodurilor independente (n - 1

ecuaţii) şi a teoremei de tensiuni a lui Kirchhoff ochiurilor independente ( – n + 1 ecuaţii).

Chiar şi în cazul unor circuite relativ simple, metoda de analiză bazată pe utilizarea

teoremelor lui Kirchhoff implică un volum mare de calcule. Este posibil să se simplifice

procedeul de analiză dacă se utilizează teorema curenţilor de ochiuri sau teorema potenţialelor

nodurilor.

b. Teorema suprapunerii efectelor (superpoziţiei)

Conform acestei teoreme, intensitatea curentului electric dintr-o latură a unui circuit

liniar de curent continuu, în care acţionează m generatoare de tensiune şi de curent, este

egală cu suma algebrică a intensităţilor curenţilor produşi în acea latură de fiecare

generator în parte, dacă ar acţiona singur în circuit.

a) b) c)

Fig. 3.17

Fie, de exemplu, circuitul din figura 3.17, a, care se descompune în două circuite, în

care acţionează separat cele două generatoare de tensiune (fig. 3.17, b şi c). Curenţii din

laturile circuitelor auxiliare (fig. 3.17, b şi c) se determină cu relaţiile:

'2

'1

'3

32

3'1

'2

32

321

1'1 III;

RRRII;

RRRRR

EI −=+

=

++

= ;

"1

"2

"3

31

3"2

"1

31

312

2"2 III;

RRRII;

RRRRR

EI −=+

=

++

= .

Prin suprapunerea efectelor se obţin curenţii din laturile circuitului dat (fig. 3.17, a):

"3

'33

'2

"22

"1

'11 III;III;III +=−=−= .


69

c. Teorema curenţilor de ochiuri

Fig. 3.18

Se consideră circuitul din figura 3.18, în care se ataşează fiecărui ochi independent

câte un curent fictiv, numit curent de ochi '1I , '

2I , '3I . În baza teoremei superpoziţiei, curentul

într-o anumită latură a circuitului poate fi considerat ca rezultând din suma algebrică a

curenţilor fictivi din ochiurile independente cărora le este incidentă latura respectivă:

'2

'16

'3

'25

'3

'14

'33

'22

'11 III;III;III;II;II;II +=+=−==== (3.69)

Aplicând teorema de tensiuni a lui Kirchhoff ochiurilor independente, se obţine:

6644114 IRIRIRE ++= , 6655222 IRIRIRE ++= , 44553343 IRIRIREE −+=− (3.70)

Se substituie curenţii I1, I2, I3, I4, I5, I6 din ecuaţiile (3.70) prin curenţii de ochiuri,

utilizând relaţiile (3.69). Rezultă: '313

'212

'11111 IRIRIRE −+=

'323

'222

'12122 IRIRIRE ++= (3.71)

'333

'232

'13133 IRIRIRE ++−=

unde:

64111 RRRR ++= reprezintă rezistenţa totală a ochiului independent (1);

65222 RRRR ++= este rezistenţa totală a ochiului independent (2);

54333 RRRR ++= - rezistenţa totală a ochiului independent (3);

62112 RRR == - rezistenţa laturii comune ochiurilor independente (1) şi (2);

43113 RRR == este rezistenţa laturii comune ochiurilor independente (1) şi (3);

53223 RRR == - rezistenţa laturii comune ochiurilor independente (2) şi (3);

411 EE = – suma algebrică a tensiunilor electromotoare a ochiului (1);


70

222 EE = – suma algebrică a tensiunilor electromotoare a ochiului (2);

4333 EEE −= este suma algebrică a tensiunilor electromotoare a ochiului (3).

Relaţiile (3.71) constituie un sistem liniar de ecuaţii având drept necunoscute curenţii

de ochiuri. Curenţii reali se determină apoi cu relaţiile (3.69).

În general, pentru un circuit liniar de curent continuu constituit din laturi, n noduri

şi având prin urmare o = - n + 1 ochiuri independente, în care se substituie toate

generatoarele reale de curent prin generatoare reale echivalente de tensiune, se obţine un

sistem de ecuaţii de forma: 'oo1

'212

'11111 IR...IRIRE ±±±=

'oo2

'222

'12122 IR...IRIRE ±±+±= (3.72)

………………………………… 'ooo

'22o

'11ooo IR...IRIRE +±±±=

unde: - Rii reprezintă rezistenţa totală a ochiului independent (i);

- Rij = Rji constituie rezistenţa ramurilor comune ochiurilor independente (i) şi (j);

- 'mI , m = 1, 2,…,o, este curentul de ochi;

- Eii reprezintă tensiunea electromotoare a ochiului independent (i).

În sistemul de ecuaţii (3.72) rezistenţele Rij ale laturilor comune ochiurilor

independente (i) şi (j) au în faţă semnul (+) dacă sunt parcurse de curenţii de ochiuri I’i, I’

j în

acelaşi sens şi semnul (-) în caz contrar.

Relaţiile (3.72) constituie un sistem liniar de (o) ecuaţii având drept necunoscute

curenţii de ochiuri. În baza teoremei superpoziţiei, curentul într-o anumită latură, de exemplu

k, (k = 1,2,…, ) poate fi considerat ca rezultând din suma algebrică a curenţilor fictivi din

ochiurile independente cărora le este incidentă latura k:

( ) ,...,m

21,k,IIo

1

'kmk ==∑

=

(3.73)

unde ( )'

kmI reprezintă curentul de ochi 'mI care străbate latura k.

Dacă latura k nu este incidentă ochiului m, I’p(k) = 0.

Metoda ochiurilor independente implică un volum de calcule sensibil mai redus decât

atunci când se recurge la teoremele lui Kirchhoff. Astfel, în cazul unui circuit cu laturi şi n

noduri, procedeul de analiză bazat pe utilizarea teoremelor lui Kirchhoff implică soluţionarea

unui sistem liniar de ecuaţii algebrice, în timp ce metoda curenţilor de ochiuri necesită

soluţionarea unui sistem liniar de (o) ecuaţii (cu n – 1 mai mic decât în cazul utilizării

teoremelor lui Kirchhoff).


71

d. Teorema potenţialelor nodurilor

Se consideră circuitul din figura 3.19 a, constituit din = 6 laturi şi n = 4 noduri,

numerotate (0), (1), (2), (3), nodul (0) fiind un nod de referinţă. Pentru fiecare latură a

circuitului se aplică legea lui Ohm:

1110 IRU = , 22302 IRUE =− , 33133 IRUE =+

44124 IRUE =+ , 5532 IRU = , 6620 IRU = (3.74)

Din relaţiile (3.74) rezultă:

1011 UGI = , )UE(GI 30222 −= , )UUE(GI 3010333 −+=

)UUE(GI 2010444 −+= , )UU(GI 203055 −= , 2066 UGI = (3.75)

Analiza circuitelor de curent continuu cu ajutorul metodei potenţialelor nodurilor este

avantajos să fie efectuată substituind generatoarele de tensiune prin generatoare de curent

echivalente (fig. 3.19, b). Conform relaţiei de echivalenţă (3.50), rezultă:

444g333g222g EGI,EGI,EGI === (3.76)

şi sistemul de ecuaţii (3.75) devine:

1011 UGI = , 3022g2 UGII −= , )UU(GII 301033g3 −+= ,

)UU(GII 201044g4 −+= , )UU(GI 203055 −= , 2066 UGI = (3.77)

Pentru constituirea sistemului de ecuaţii ale cărui necunoscute sunt tensiunile U10, U20,

U30, se aplică teorema de curenţi a lui Kirchhoff nodurilor independente (1), (2) şi (3):

0III 431 =++ , 654 III =+ , 532 III =+ (3.78)

Se substituie curenţii din sistemul (3.78) cu expresiile (3.77) şi se obţine:

+101UG +−+ )UU(GI 301033g 0)UU(GI 201044g =−+

+−+ )UU(GI 201044g =− )UU(G 20305 206UG (3.79)

+− 3022g UGI =−+ )UU(GI 301033g )UU(G 20305 −

Ordonând sistemul (3.79) în raport cu tensiunile U10, U20, U30, rezultă:

4g3g30320410431 IIUGUGU)GGG( −−=−−++

4g30520654104 IUGU)GGG(UG =−+++− (3.80)

3g2g30532205103 IIU)GGG(UGUG +=+++−−


72

Sistemul de ecuaţii (3.80) se poate scrie sub forma:

11g301320121011 IUGUGUG =−−

22g302320221021 IUGUGUG =−+− (3.81)

33g303320321031 IUGUGUG =+−−

unde:

43111 GGGG ++= reprezintă suma conductanţelor laturilor incidente nodului (1);

65422 GGGG ++= - suma conductanţelor laturilor incidente nodului (2);

53233 GGGG ++= - suma conductanţelor laturilor incidente nodului (3);

G12 = G21 = G4 - conductanţa laturii conectate între nodurile (1) şi (2);



Ig11 = -Ig3 – Ig4 reprezintă suma algebrică a curenţilor generatoarelor de curent conectate

în nodul (1);

Ig22 = Ig4 este suma algebrică a curenţilor generatoarelor de curent conectate în nodul (2);

Ig33=Ig2 + Ig3 - suma algebrică a curenţilor generatoarelor de curent conectate în nodul (3).

După rezolvarea sistemului de ecuaţii (3.81), se determină curenţii din laturile

circuitului cu relaţiile (3.77).

În general, pentru un circuit cu laturi şi n noduri, numerotate (0), (1), (2),…, (n - 1),

nodul (0) fiind un nod de referinţă, se obţine sistemul de ecuaţii:

;IUG...UGUG 11g0,1n1n,120121011 =−−− −−

;IUG...UGUG 22g0,1n1n,220221021 =−−+− −− (3.82)

………………………………………………

,IUG...UGUG 1n,1gn0,1n1n,1n202,1n101,1n −−−−−−− =+−−−

unde: - Gii reprezintă suma conductanţelor laturilor incidente nodului i;

- Gij = Gji – suma conductanţelor laturilor conectate între nodurile i şi j;

- Igii - suma algebrică a curenţilor generatoarelor de curent conectate în nodul (i), cu

semnul (+) sau (-) după cum sensurile de referinţă ale generatoarelor de curent

sunt spre nod, sau de la nod.

Analiza unui circuit liniar de curent continuu cu ajutorul metodei potenţialelor

nodurilor implică un volum de calcule sensibil mai redus decât atunci când se recurge la

utilizarea teoremelor lui Kirchhoff.


73

Astfel, în cazul unui circuit cu laturi şi n noduri, procedeul de analiză bazat pe

utilizarea teoremelor lui Kirchhoff implică soluţionarea unui sistem liniar de ecuaţii

algebrice, în timp ce metoda potenţialelor nodurilor necesită soluţionarea unui sistem liniar de

(n - 1) ecuaţii (cu - n – 1 mai mic decât în cazul utilizării teoremelor lui Kirchhoff).

3.3.2 Metode de analiză a circuitelor liniare de curent continuu cu

obţinerea răspunsului pe o singură latură

Aceste metode se bazează, în principal, pe utilizarea teoremelor generatoarelor

echivalente de tensiune şi de curent.

a. Teorema generatorului echivalent de tensiune (Thévenin)

Se consideră un circuit liniar activ, pentru care se urmăreşte determinarea răspunsului

pe o singură latură, presupusă, pentru simplificare, pasivă.

Circuitul (incomplet) din care s-a exclus latura considerată poate fi asimilat unui dipol

liniar activ (fig. 3.20 a), având incluse în structura sa n generatoare de tensiune sau de

curent. Dacă se introduc pe latura incidentă nodurilor (a), (b) două generatoare ideale de

tensiune, de polarităţi opuse şi având aceeaşi tensiune electromotoare, regimul circuitului nu

se modifică. Rezultă deci că circuitul conţinând n generatoare (de tensiune sau de curent,

fig. 3.20 a) este echivalent cu cel având n + 2 generatoare (fig. 3.20 b).

Fig. 3.20


74

Se alege tensiunea electromotoare a celor două generatoare astfel încât:

Eab = Uab0 (3.83)

unde Uab0 este tensiunea la gol la bornele laturii incidente nodurilor (a), (b). În aceste condiţii,

dacă acţionează numai n +1 generatoare (fig. 3.20 c), curentul pe latura considerată este nul,

Iab = 0, deoarece tensiunea electromotoare la bornele (a), (b) ale dipolului, produsă de sursele

conţinute în structura dipolului, este compensată de cea a generatorului ideal de tensiune de pe

latura incidentă nodurilor (a), (b) şi de polaritate opusă sensului curentului de pe această

latură.

Deci, regimul de funcţionare reprezentat în figura 3.20, c este echivalent celui în care

latura incidentă nodurilor (a), (b) este deschisă (fig. 3.20 d). Rezultă de aici că, în mod efectiv,

curentul care circulă prin latura incidentă nodurilor (a), (b) este produs numai de generatorul

ideal de tensiune de pe această latură şi având aceeaşi polaritate cu sensul curentului (fig. 3.20 e):

0abab

0ab

0abab

abab RR

URR

EI+

=+

= (3.84)

unde Rab0 reprezintă rezistenţa echivalentă a dipolului pasivizat.

Prin urmare, circuitului dat (fig. 3.20 a) i se poate ataşa schema echivalentă din figura

3.20, f. În aceste condiţii se poate enunţa teorema generatorului echivalent de tensiune: unui

dipol liniar activ, alimentând un rezistor liniar, i se poate ataşa drept schemă echivalentă un

generator real de tensiune având tensiunea electromotoare egală cu tensiunea la gol la

bornele dipolului si rezistenţa interioară egală cu rezistenţa echivalentă a dipolului pasivizat.

b. Teorema generatorului echivalent de curent (Norton)

Dacă se recurge la echivalenţa dintre un generator real de tensiune şi un generator real

de curent, schemei din figura 3.20, f i se poate ataşa schema echivalentă reprezentată în

figura 3.20, g (echivalentă deci şi schemei din figura 3.20, a), unde

0ab0ab0ab

0ababsc UG

RUI == (3.85)

S-a stabilit astfel teorema generatorului echivalent de curent: unui dipol liniar activ,

alimentând un rezistor liniar, i se poate ataşa drept schemă echivalentă un generator real de

curent având curentul egal cu cel debitat de dipol la funcţionarea în scurcircuit şi

conductanţa interioară egală cu conductanţa echivalentă a dipolului pasivizat.

Schema din figura 3.20 g permite să se scrie relaţia:


75

0abab

abscab GG

IU+

= (3.86)

cu ajutorul căreia poate fi efectuată analiza unui circuit liniar de curent continuu, determinând

răspunsul pe câte una din laturile sale.

c. Teorema conductanţelor de intrare şi de transfer

Se consideră un circuit liniar, activ, de curent continuu, având laturi şi n noduri. Se

substituie generatoarele reale de curent cu generatoare reale de tensiune, astfel încât circuitul

să conţină exclusiv astfel de generatoare. Se consideră că toate generatoarele sunt pasivizate

cu excepţia celui conţinut în latura q, q = 1, 2, …, , având tensiunea electromotoare Eq şi

debitând curentul Iq. Fie Ip, p = 1, 2, …, , p ≠ q, curentul pe una din laturile pasive sau

pasivizate ale circuitului. Restul circuitului se echivalează cu un cuadripol liniar pasiv

(circuitul având patru borne de acces cu exteriorul, figura 3.21).

Fig. 3.21

Se aplică acestui circuit, având o = - n + 1 ochiuri independente, teorema curenţilor

de ochiuri. Descompunerea circuitului în ochiuri independente se face în aşa fel încât latura q

să fie incidentă exclusiv ochiului independent j, iar latura p să fie incidentă exclusiv ochiului

independent k. Fie ,o,...,2,1m,I'm = curenţii fictivi ataşaţi ochiurilor independente. Pentru

circuitul din figura 3.21, în care 'kp

'jq II,II == , (3.87)

rezultă:

,0IR...IR...IR...IRIR 'oo1

'kk1

'jj1

'212

'111 =+++++++

,0IR...IR...IR...IRIR 'oo2

'kk2

'jj2

'222

'121 =+++++++

………………………………………………………..

,EIR...IR...IR...IRIR q'ojo

'kjk

'jjj

'22j

'11j =+++++++

...................................................................................... (3.88)

,0IR...IR...IR...IRIR 'oko

'kkk

'jkj

'22k

'11k =+++++++

………………………………………………………..

.0IR...IR...IR...IRIR 'ooo

'kok

'joj

'22o

'11o =+++++++


76

Se soluţionează sistemul de ecuaţii (3.88) şi se obţine:

qjkkj'

kqjjj2'

j E)1(I,E)1(I∆∆

−=∆∆

−= + (3.89)

unde

jkjkjjjjpq Rmin,Rmin,o,...,2,1q,p,R ∆∆ =∆=∆==∆

Din relaţiile (3.87) şi (3,89) rezultă:

qjkkj

pqjjj2

q E)1(I,E)1(I∆∆

−=∆∆

−= + (3.90)

sau

qpqpqqqq EGI,EGI == (3.91)

unde

∆

∆−= jjj2

qq )1(G (3.92)

reprezintă conductanţa de intrare, iar

∆

∆−= + jkkj

pq )1(G (3.93)

este conductanţa de transfer între laturile p şi q.

Dacă pe lângă generatorul de tensiune autonom, de tensiune electromotoare Eq,

acţionează, în laturile 1, 2,…, ale circuitului şi alte generatoare autonome de tensiune,

având tensiunile electromotoare E1, E2,…, ,E curentul Ip care circulă prin latura p se obţine

aplicând teorema suprapunerii efectelor:

∑=

=

1qqpqp EGI (3.94)

Prin urmare, teorema conductanţelor de intrare şi de transfer permite determinarea

curentului pe o latură a circuitului.

d. Teorema reciprocităţii

Se consideră un circuit liniar, activ, de curent continuu. Se substituie generatoarele

reale de curent cu generatoare reale de tensiune, astfel încât circuitul să conţină exclusiv astfel

de generatoare. Se consideră că toate generatoarele sunt pasivizate cu excepţia celui conţinut

în latura q, având tensiunea electromotoare Eq (fig. 3.22).

Curentul care circulă prin orice altă latură, de exemplu p, este dat de a doua relaţie

(3.92):


77

qpqp EGI = (3.95)

unde conductanţa de transfer Gpq este dată de relaţia (3.93).

a) b)

Fig. 3.22

Dacă în acelaşi circuit se pasivizează toate laturile cu excepţia laturii p, care conţine un

generator autonom de tensiune având tensiunea electromotoare Ep (fig. 3.22, b), curentul din

latura q este dat de relaţia:

pqpq EGI = (3.96)

unde conductanţa Gqp se calculează cu o relaţie similară cu (3.93):

kjkjkjjk

qp Rmin,)1(G ∆+ =∆

∆

∆−= (3.97)

Deoarece rezistenţele Rjk, elemente ale determinanţilor ∆jk şi ∆kj, satisfac relaţia Rjk =

Rkj, şi deci determinantul ∆ este simetric în raport cu diagonala principală, rezultă că şi

determinanţii ∆jk, ∆kj verifică o relaţie similară:

∆jk = ∆kj, (3.98)

încât

Gpq = Gqp. (3.99)

Efectuând raportul relaţiilor (3.95) şi (3.96) şi ţinând seama de relaţia (3.99), rezultă:

p

q

q

p

EE

II

= (3.100)

Relaţia (3.100) constituie teorema reciprocităţii şi se poate enunţa astfel: curentul

care circulă într-o latură q a unui circuit liniar de curent continuu, produs de un generator

de tensiune aflat în latura p, celelalte laturi fiind pasive sau pasivizate, este egal cu curentul

care ar străbate latura p, produs de acelaşi generator aflat în latura q, structura circuitului

fiind, în rest, invariabilă.


78

3.4 CIRCUITE DUALE

Două circuite se spune că sunt duale, dacă între elementele celor două circuite poate fi

stabilită o corespondenţă biunivocă, astfel încât oricărei relaţii în curenţi a unui circuit să-i

corespundă o relaţie formal analogă în tensiuni pentru al doilea circuit şi reciproc. Cu alte

cuvinte, ecuaţiile a două circuite duale au aceeaşi structură, fie că se consideră tensiunea drept

semnal de excitaţie, iar curentul semnal răspuns, fie invers.

Se consideră o latură liniară pasivă a unui circuit de curent continuu, căreia i se aplică

legea lui Ohm:

U = RI

sau sub forma echivalentă:

I = GU

Din aceste relaţii rezultă:

• un receptor de rezistenţă R are ca element dual un receptor de conductanţă G;

• unui element de circuit sub tensiune îi corespunde prin dualitate un element de circuit

parcurs de current;

• un generator real de tensiune constituie elementul dual al unui generator real de curent

şi reciproc.

Rezultă că elementele conectate în serie într-un circuit au elementele grupate în paralel

în circuitul dual.

Nu numai structurile şi semnalele unor circuite se corespund prin dualitate ci şi unele

teoreme şi metode de analiză. Astfel, teoremele lui Kirchhoff pot fi considerate duale încât

numărul de ochiuri independente al unui circuit rezultă a fi egal cu numărul de noduri

independente al circuitului dual.

Rezultă că teorema curenţilor de ochiuri şi teorema tensiunilor de noduri se corespund

prin dualitate. O aceeaşi corespondenţă poate fi stabilită între teorema generatorului

echivalent de tensiune şi teorema generatorului echivalent de curent.


79

3.5 DIPOLI ŞI CUADRIPOLI LINIARI

DE CURENT CONTINUU

3.5.1 Multipoli

Se numeşte multipol un circuit cu n borne de acces cu exteriorul. Curenţii şi tensiunile

din circuitul exterior multipolului sunt complet determinaţi de structura acestuia precum şi de

potenţialele şi curenţii în bornele de acces ale multipolului. Prin urmare, interacţiunea

multipolului cu exteriorul este complet caracterizată de cele n potenţiale ale bornelor şi de cei

n curenţi în bornele de acces.

Dacă se alege potenţialul uneia dintre borne ca potenţial de referinţă, urmează că n – 1

tensiuni sunt independente. De asemenea, în baza legii conservării sarcinii electrice libere,

suma curenţilor de conducţie care străbat o suprafaţă închisă care închide multipolul fiind

nulă, rezultă că unul dintre curenţi se poate exprima în funcţie de ceilalţi curenţi şi în

consecinţă n – 1 curenţi sunt liniar independenţi. Aşadar, regimul de funcţionare al unui

multipol este caracterizat de 2(n – 1) semnale independente, n – 1 tensiuni şi n – 1 curenţi.

Se numeşte poartă a unui multipol o pereche de borne de acces pentru care suma

curenţilor este nulă oricare ar fi potenţialele bornelor multipolului. Poarta se numeşte de

intrare sau de ieşire şi multipolul primeşte sau transmite putere electromagnetică dacă

tensiunile şi curenţii la bornele porţii au sensurile de referinţă asociate după regula de la

receptoare, respectiv de la generatoare.

3.5.2 Dipoli liniari de curent continuu

Un circuit care are două borne de acces cu exteriorul, constituind o poartă, reprezintă

un dipol. Diferenţa potenţialelor la borne este univoc determinată, iar intensitatea curentului

pe la una din borne este în fiecare moment egală cu intensitatea curentului la cealaltă bornă.

Dipolii pot fi pasivi sau activi. Un dipol pasiv este caracterizat printr-un singur parametru,

rezistenţa echivalentă, în timp ce un dipol activ este caracterizat în plus fie de o tensiune

electromotoare echivalentă, fie de un curent echivalent.

a) b)

Fig. 3.23


80

Schema echivalentă a unui dipol liniar pasiv (DLP) se obţine alegând în plus un punct

de referinţă al potenţialelor (fig. 3.23 a). Acest mod de reprezentare este avantajos în vederea

scrierii ecuaţiei dipolului. Astfel, dacă R este rezistenţa echivalentă a dipolului liniar pasiv

(fig. 3.23 b), ecuaţia acestuia este:

IRUU 21 += (3.101)

Transferul energiei electrice printr-un dipol liniar pasiv

Se consideră receptorul de rezistenţă variabilă R2 alimentat de un generator ideal de

tensiune, având tensiunea electromotoare E = U1, prin intermediul unui dipol liniar pasiv de

rezistenţă R (fig. 3.24). Dacă tensiunea U1 este menţinută constantă, puterea furnizată

receptorului este funcţie de intensitatea curentului şi este dată de relaţia: 2

1122 IRIUI)IRU(IU)I(P −=−== (3.102)

Fig. 3.24 Fig. 3.25

Puterea P2 (fig. 3.25) se anulează în regimurile extreme de funcţionare, la gol (R2 = ∞,

I = 0) şi în scurtcircuit (R2 = 0, I = Isc = U1/R) şi admite un maxim pentru o valoare a

curentului care anulează derivata:

0RI2UI

P1

2 =−=∂∂ (3.103)

adică

2I

R2UI sc1

P max2== (3.104)

Puterea maximă transferată receptorului se obţine substituind expresia (3.104) în

(3.102):

R4UP

21

max2 = (3.105)

Pe de altă parte,

2

21

22P2max2 R4

URIRPmax2

== (3.106)


81

Din relaţiile (3.105) şi (3.106) rezultă că transferul puterii maxime este realizat atunci

când:

RRmax22 PP2 =

= (3.107)

Prin urmare, transferul puterii maxime de la un generator ideal de tensiune, printr-un

dipol liniar pasiv, la un receptor pasiv, se realizează atunci când rezistenţa receptorului este

egală cu rezistenţa dipolului.

Fig. 3.26

Deoarece orice generator real de tensiune (fig. 3.26), având ecuaţia IRUE += , unde

R reprezintă rezistenţa interioară, poate fi reprezentat printr-un dipol, rezultă că un astfel de

generator furnizează receptorului o putere maximă dacă este satisfăcută condiţia (3.107).

Randamentul transmisiei energiei prin dipol este:

( ) 22

22

1

2

IRRIR

PP

+==η (3.108)

Puterea maximă este transferată receptorului cu un randament:

5,0RR

R

RR2

2PP

2

max22=

+=η

==

(3.109)

Prin urmare, oricare ar fi tensiunea la bornele generatorului şi rezistenţa echivalentă a

dipolului, randamentul transmisiei puterii maxime este totdeauna de 50%.

3.5.3 Cuadripoli liniari de curent continuu

Cuadripolul este un circuit electric cu patru borne de acces cu exteriorul. Asupra

structurii interioare a cuadripolului nu se impune nici o restricţie, încât poate fi oarecare.

Numai în privinţa legăturii cuadripolului cu exteriorul se impune condiţia ca aceasta să se

realizeze exclusiv prin intermediul bornelor de acces.


82

Prin urmare, ca şi în cazul general al multipolilor, pentru studiul circuitelor

cuadripolare se utilizează semnale care se definesc faţă de borne – tensiunile şi curenţii în

bornele de acces.

În figura 3.27 s-au indicat curenţii şi tensiunile în bornele de acces, pentru un

cuadripol oarecare. În total sunt patru curenţi (I1, I’1, I2, I’

2) şi şase tensiuni

(12212112222111 '''''' U,U,U,U,UU,UU == ). Dintre aceste semnale, trei curenţi şi trei tensiuni

sunt independente.

Dacă perechile de borne (1), (1’) şi (2), (2’) constituie câte o poartă, cuadripolul este

numit în sens restrâns, iar în caz contrar este denumit general.

Bornele cărora li se aplică o tensiune din exterior sunt, de obicei, receptoare şi se

numesc borne de intrare sau primare, iar cele la care sunt conectate circuite receptoare sunt

borne generatoare şi se numesc borne de ieşire sau secundare. În vederea scrierii ecuaţiilor

cuadripolului, se adoptă sensurile de referinţă de la receptoare la bornele de intrare şi cele de

la generatoare la bornele de ieşire.

Fig.3.27 Fig. 3.28

Cuadripolii în sens restrâns, a căror reprezentare simbolică este redată în figura 3.28,

vor fi denumiţi prin termenul generic de cuadripoli. Datorită posibilităţii de a separa bornele

de acces în două porţi, semnalele la care se face apel în vederea scrierii ecuaţiilor

cuadripolului vor fi curenţii I1, I2 şi tensiunile U1 , U2, tensiunile12212112 '''' U,U,U,U putând fi

considerate ca semnale interioare, fără a prezenta vreun interes special.

Clasificarea cuadripolilor se face pe baza aceloraşi criterii care se folosesc în teoria

generală a circuitelor electrice. Astfel, cuadripolii pot fi activi sau pasivi; cei din prima

categorie sunt autonomi dacă conţin în structura lor generatoare autonome de tensiune sau de

curent şi neautonomi în caz contrar.

O clasificare mai cuprinzătoare a cuadripolilor poate fi făcută dacă se alege drept

criteriu teorema reciprocităţii.


83

Din acest punct de vedere se pot distinge cuadripoli reciproci şi nereciproci. Atunci

când comportarea cuadripolului în raport cu cele două porţi este simetrică, în sensul că prin

schimbarea între ele a porţii de intrare cu cea de ieşire nu se modifică tensiunile şi curenţii la

porţi, cuadripolul este simetric, iar în caz contrar este nesimetric.

Tensiunile şi curenţii la porţile unui cuadripol nu sunt independente, deoarece

structura interioară a cuadripolului determină anumite relaţii între aceste semnale exterioare.

Relaţiile care se stabilesc între tensiunile şi curenţii la porţi reprezintă ecuaţiile cuadripolului.

În ecuaţiile cuadripolului, din grupul de semnale (tensiuni şi curenţi la porţi) se

deosebesc variabile independente şi variabile dependente. În raport cu variabilele dependente

explicitate, ecuaţiile cuadripolului pot fi scrise sub mai multe forme.

Coeficienţii (adimensionali sau având dimensiuni) care intervin în ecuaţiile

cuadripolului şi care depind exclusiv de structura sa interioară, se numesc parametrii

cuadripolului. În cazul cuadripolilor liniari, ecuaţiile vor fi liniare. Numărul acestor ecuaţii

este egal cu numărul de porţi şi pot fi scrise sub forma:

f1(U1, U2, I1, I2) = 0, f2(U1, U2, I1, I2) = 0 (3.110)

Relaţiile (3.110) constituie ecuaţiile implicite ale cuadripolului.

Existenţa a două relaţii de legătură între variabilele cuadripolului, pune în evidenţă

faptul că numai două din cele patru variabile sunt independente. Prin urmare, un cuadripol

este caracterizat prin două variabile independente.

Dacă se notează cu X1, X2 variabilele dependente şi cu Y1, Y2 cele independente, prin

explicitarea ecuaţiilor (3.110) se obţin relaţii liniare în Xi, Yi (i = 1, 2), de forma:

2222121212121111 YKYKX,YKYKX λ++=λ++= (3.111)

Relaţiile (3.111) reprezintă ecuaţiile explicite ale cuadripolului.

În cazul cuadripolilor pasivi precum şi al celor activi dar neautonomi, ecuaţiile (3.111)

trebuie să fie omogene în variabilele Xi, Yi, (λ1 = λ2 = 0), deoarece dacă o pereche din grupul

de semnale U1, U2, I1, I2 este nulă, atunci şi cealaltă pereche are de asemenea valori nule.

În ecuaţiile (3.111), Kij, i, j = 1, 2, reprezintă parametrii cuadripolului, iar λi, i = 1, 2,

ţin seama de contribuţia generatoarelor autonome interioare.

Studiul circuitelor liniare de tip cuadripol, în curent continuu, poate fi efectuat

adaptând în mod adecvat procedeele utilizate pentru analiza unor astfel de circuite în regim

permanent sinusoidal (v. par. 5.3).


84

Astfel, preluând ecuaţiile cuadripolilor în regim permanent sinusoidal şi substituind

valorile efective complexe ale tensiunilor şi curenţilor (U, I) cu valorile de regim staţionar

(U,I), iar impedanţele şi admitanţele complexe cu rezistenţele şi conductanţele, se obţin

ecuaţiile circuitelor respective în curent continuu. În mod asemănător se pot obţine şi alte

rezultate referitoare la comportarea cuadripolilor liniari în curent continuu.

4. CIRCUITE LINIARE DE CURENT ALTERNATIV

ÎN REGIM PERMANENT

Regimul permanent este staţionar (de curent continuu) dacă tensiunile şi curenţii nu

variază în timp şi este variabil dacă mărimile sunt variabile în timp. În regim variabil,

fenomenele care se manifestă în circuitele electrice sunt mult mai complexe decât cele care au

loc în circuitele de curent continuu. Astfel, fluxul magnetic variabil apare în orice porţiune a

circuitului încât este necesar să se ia în consideraţie inductanţa tuturor elementelor circuitului,

inclusiv cea a conductoarelor.

Pe de altă parte, fluxul magnetic din interiorul conductoarelor parcurse de curenţi

variabili produce o distribuţie neuniformă a densităţii de curent în secţiunea conductoarelor

(efectul pelicular). Anume, densitatea de curent se micşorează în interior şi creşte la suprafaţa

conductorului şi în consecinţă rezistenţa conductorului este mai mare decât cea în curent

continuu. În acelaşi timp efectul pelicular produce o micşorare a inductanţei interioare a

conductorului ca urmare a micşorării fluxului magnetic în interiorul acestuia.

În conductoarele masive situate în câmpuri magnetice variabile iau naştere, prin

inducţie electromagnetică, curenţi turbionari, care contribuie, în principal, la încălzirea

acestora.

Dacă circuitele de curent continuu (imobile) sunt parcurse, în regim electrocinetic,

exclusiv de curenţi de conducţie, fiind constituite totdeauna din trasee conductoare închise, în

regim variabil apar şi curenţi de deplasare. Aceşti curenţi se manifestă în dielectricii care

separă armăturile condensatoarelor, conductoarele liniilor de transport şi de telecomunicaţii,

spirele bobinelor şi rezistoarelor.

Transformarea energiei câmpului electromagnetic în energie termică are loc în toate

elementele unui circuit în regim variabil, deci şi în dielectricii condensatoarelor şi în

miezurile magnetice ale bobinelor.

În studiul diferitelor probleme legate de teoria curenţilor variabili nu este necesar, de

obicei, să se ţină seama de întreaga complexitate a fenomenelor fizice. Astfel se pot folosi o

serie de ipoteze simplificatoare care nu introduc aproximaţii apreciabile. De exemplu, în

condensatoare prezintă interes în special fenomenele în legătură cu variaţia câmpului electric,

în timp ce în bobine – cele referitoare la variaţia câmpului magnetic.

Capitolul 4 - Circuite liniare de curent alternativ în regim permanent 86

Totodată este foarte important să se cunoască exact limitele până la care se pot face

astfel de ipoteze simplificatoare. De exemplu, la frecvenţe joase se poate neglija capacitatea

dintre spirele bobinelor în timp ce la frecvenţe înalte această ipoteză introduce erori

inadmisibile.

4.1 SEMNALE VARIABILE, PERIODICE ŞI ALTERNATIVE

În regim variabil, valoarea x(t), la un moment dat, a unui semnal oarecare (tensiune

electromotoare, tensiune, curent), poartă denumirea de valoare instantanee.

Valoarea maximă Xmax, respectiv valoarea minimă Xmin, sunt maximul, respectiv

minimul valorilor instantanee în intervalul (t2 – t1). Valoarea maximă se mai numeşte şi

valoare de vârf (fig. 4.1).

Fig. 4.1

Valoarea medie a semnalului x(t) în intervalul de timp [t1, t2] este media aritmetică a

valorilor instantanee, notată cu Xmed,

∫−=

2

1

t

t12med dt)t(x

tt1X (4.1)

Valoarea efectivă în intervalul [t1, t2] este rădăcina pătrată a mediei pătratelor valorilor

instantanee, notată cu X,

∫−=

2

1

t

t

2

12

dt)t(xtt

1X (4.2)

Valoarea efectivă se utilizează deoarece în regim variabil este avantajos să se opereze

cu valori medii ale efectelor. De exemplu, valoarea medie, în intervalul de timp t2 – t1, a

puterii disipate într-un rezistor de rezistenţă R şi parcurs de curentul variabil i(t) este:

2t

t

2

12

t

t

2

12med IRdt)t(i

tt1Rdt)t(iR

tt1P

2

1

2

1

=

−=

−= ∫∫ (4.3)

unde I reprezintă valoarea efectivă a curentului i(t).

Capitolul 4 - Circuite liniare de curent alternativ în regim permanent

87

Din relaţia (4.3) se observă că dacă se utilizează valoarea efectivă a curentului,

calculul valorii medii a puterii disipate în rezistor se poate efectua formal cu aceeaşi relaţie ca

în circuitele de curent continuu (relaţia 3.21). La rezultate similare se ajunge atunci când se

calculează valoarea medie a altor efecte (forţa electrodinamică, forţa electrostatică, etc.).

Semnalele variabile care la intervale de timp egale trec prin aceleaşi valori, în acelaşi

sens, se numesc semnale periodice (fig. 4.2). Un astfel de semnal satisface ecuaţia:

,...,2,1,0k),Tkt(x)t(x ±±=+= (4.4)

unde T se numeşte perioada semnalului şi reprezintă intervalul de timp între două treceri

consecutive ale semnalului considerat prin aceeaşi valoare şi în acelaşi sens.

Fig. 4.2

Inversul perioadei poartă denumirea de frecvenţă şi reprezintă numărul de perioade

efectuate în unitatea de timp:

T1f = (4.5)

Unitatea de măsură a frecvenţei se numeşte hertz (Hz).

Mărimea notată cu ω şi dată de relaţia

ω = 2πf (4.6)

se numeşte pulsaţie sau frecvenţă ciclică.

a) b)

Fig. 4.3

Un semnal periodic a cărui valoare medie pe o perioadă este nulă poartă denumirea de

semnal alternativ (fig. 4.3 a). Porţiunile de curbă pentru care x(t) > 0, respectiv x(t) < 0, se

numesc alternanţe pozitive respectiv negative.


Dacă semnalele dintr-un circuit sunt alternative, atunci se spune că circuitul este de

curent alternativ.

Dacă semnul valorii instantanee a unui semnal periodic este invariabil în timp,

semnalul respectiv poartă denumirea de semnal pulsatoriu (fig.4.3 b).

4.1.1 Semnale sinusoidale

Fig. 4.4

În electrotehnică au o largă răspândire semnalele alternative sinusoidale sau armonice,

de forma (fig. 4.4):

x(t) = Xm sin(ωt + γ) (4.7)

sau

x(t) = Xm cos(ωt + γ) (4.8)

unde: Xm este amplitudinea (valoarea maximă), ωt + γ se numeşte fază şi se măsoară în

radiani, iar valoarea fazei în momentul t = 0 este faza iniţială γ.

Considerând două semnale sinusoidale de aceeaşi frecvenţă,

x1(t) = Xm1 sin(ωt + γ1); x1(t) = Xm2 sin(ωt + γ2) (4.9)

se numeşte defazaj diferenţa fazelor iniţiale ale celor două semnale:

21 γ−γ=ϕ (4.10)

După valorile defazajului ϕ se definesc următoarele relaţii de fază între semnalele x1(t)

şi x2(t):

• semnalul x1(t) este defazat înaintea semnalului x2(t) (fig. 4.5, a) dacă:

021 >γ−γ=ϕ ; (4.11)

• semnalul x1(t) este defazat în urma semnalului x2(t) dacă:

021 <γ−γ=ϕ ; (4.12)

• semnalele x1(t) şi x2(t) sunt în fază sau simfazice (fig. 4.5, b) dacă:

021 =γ−γ=ϕ . (4.13)


89

a) b)

c) d)

Fig. 4.5

În acest caz, ambele semnale trec simultan prin zero şi maxim pozitiv, respectiv prin

maxim negativ, prin valori crescătoare sau descrescătoare;

• semnalele x1(t) şi x2(t) sunt în cuadratură (fig. 4.5, c) dacă

221π

±=γ−γ=ϕ ; (4.14)

• semnalele x1(t) şi x2(t) sunt în opoziţie de fază (fig. 4.5, d) dacă

π±=γ−γ=ϕ 21 (4.15)

Ambele semnale trec simultan prin zero, dar când un semnal trece prin maxim pozitiv,

celălalt semnal trece prin maxim negativ.

Relaţiile de fază între semnalele sinusoidale au sens numai dacă semnalele au aceeaşi

frecvenţă. Dacă frecvenţele semnalelor x1(t) şi x2(t) sunt diferite, diferenţa fazelor este

variabilă în timp,

21212211 t)()t(t γ−γ+ω−ω=γ+ω−γ+ω (4.16)

şi relaţiile de fază defazat înainte sau defazat în urmă nu au semnificaţie.

Derivata în raport cu timpul a unui semnal sinusoidal (4.7),

( ) )2tsin(X)tcos(Xdttdx

mm π+γ+ωω=γ+ωω= (4.17)

este un semnal sinusoidal având aceeaşi frecvenţă, valoarea maximă de ω ori mai mare şi

defazat înaintea semnalului respectiv cu π/2.


Integrala în raport cu timpul a unui semnal sinusoidal (4.7),

)2tsin(X)tcos(Xdt)t(x mm π−γ+ωω=γ+ωω−=∫ (4.18)

este un semnal sinusoidal de aceeaşi frecvenţă având valoarea maximă de ω ori mai mică şi

defazat în urma semnalului cu π/2.

4.1.2 Producerea tensiunilor electromotoare sinusoidale

Fig. 4.6

Cel mai simplu procedeu de a obţine o tensiune electromotoare sinusoidală constă în

rotirea uniformă a unei spire conductoare într-un câmp magnetic omogen (fig. 4.6). În acest

caz, suprafaţa delimitată de spira conductoare este străbătută de fluxul magnetic:

αΦ=Φ cosm (4.19)

unde Φm este valoarea maximă a fluxului, corespunzătoare cazului când liniile câmpului

magnetic sunt perpendiculare pe planul spirei. Deoarece spira se roteşte uniform,

γ+ω=α t (4.20)

şi relaţia (4.19) devine:

( ) )tcos(t m γ+ωΦ=Φ (4.21)

Fluxul magnetic fiind variabil în timp, în spiră se introduce o tensiune electromotoare:

( ) )tsin(E)tsin(dttd

e mm γ+ω=γ+ωΦω=Φ

−= (4.22)

Dacă se consideră o bobină cu N spire identice, de forma celei indicate în figura 4.6,

care se rotesc rigid şi uniform cu viteza unghiulară ω într-un câmp magnetic omogen de

inducţie B, în spirele bobinei se induce tensiunea electromotoare:

)tsin(E)tsin(Ne mm γ+ω=γ+ωΦω= (4.23)


91

4.2 VALORI CARACTERISTICE ALE SEMNALELOR

SINUSOIDALE

a. Valoarea efectivă

Fie un semnal sinusoidal x(t) care oscilează în timp după legea (4.7). Pentru a

determina valoarea efectivă X se introduce expresia (4.7) a semnalului x(t) în relaţia (4.2) şi

se obţine:

=γ+ω−=γ+ω== ∫∫T

0

2m2

T

0

2m

2 dt)]t(2cos1[T2Xdt)t(sinX

T1dt)t(x

T1X

2X]2sin2

1)T(2sin21T[T2

1X mm =γω+γ+ωω−= . (4.24)

b. Valoarea medie pe o perioadă (t2 - t1 = T) a semnalului sinusoidal (4.7) calculată cu

relaţia (4.1) este nulă,

0)tcos(TXdt)tsin(

TXdt)t(x

tt1X

Tt

t

mTt

t

mt

t12med

1

1

1

1

2

1

=γ+ωω

−=γ+ω=−

=++

∫∫ (4.25)

În mod obişnuit, valoarea medie a unui semnal sinusoidal se determină pe o

semiperioadă, adică pentru t2 - t1 = T/2 şi x(t1) = x(t2) = 0:

m

t

t

2/T

0

mmmed X2

TX4dttsinT

X2dt)t(x2T1X

2

1

∫ ∫ π=ω=ω== (4.26)

c. Factorul de amplitudine, notat cu ka reprezintă raportul dintre amplitudinea şi

valoarea efectivă a unui semnal periodic. În cazul semnalelor sinusoidale se obţine:

41,12X

Xk ma === (4.27)

d. Factorul de formă (kf) se defineşte ca fiind egal cu raportul dintre valoarea efectivă

şi valoarea medie pe semiperioadă a unui semnal periodic. În cazul unui semnal sinusoidal se

obţine:

11,122X

Xkmed

f =π

== (4.28)


4.3 REPREZENTĂRI SIMBOLICE ALE SEMNALELOR

SINUSOIDALE

La o frecvenţă dată orice semnal sinusoidal este complet determinat de două mărimi

scalare: amplitudinea (sau valoarea efectivă) şi faza iniţială. În acelaşi timp, orice vector liber

este complet determinat de două mărimi scalare: modulul şi argumentul (unghiul făcut cu o

axă de referinţă). Prin urmare, fiecărui semnal sinusoidal de o anumită specie (curent,

tensiune) i se poate ataşa biunivoc un vector liber în plan. Dacă se mai are în vedere faptul că

fiecărui vector liber din plan îi corespunde biunivoc o mărime complexă, al cărei afix are

drept vector de poziţie vectorul liber dat, rezultă că fiecărui semnal sinusoidal i se poate ataşa

biunivoc o mărime complexă.

Procedeele de reprezentare a semnalelor sinusoidale, fie prin vectori liberi, fie prin

mărimi complexe, constituie metode simbolice de reprezentare a unor astfel de semnale şi

utilitatea lor poate fi pusă în evidenţă la analiza circuitelor liniare de curent alternativ în regim

permanent sinusoidal.

Reprezentările simbolice care fac apel la corespondenţa dintre semnale sinusoidale şi

vectori liberi din plan poartă denumirea de reprezentări geometrice, iar cele care utilizează

corespondenţa dintre semnale sinusoidale şi mărimi complexe se numesc reprezentări

analitice.

4.3.1 Reprezentarea simbolică geometrică

Se consideră un semnal sinusoidal de forma:

)tsin(X2)t(x γ+ω= sau )tcos(X2)t(x γ+ω= (4.29)

Unui astfel de semnal i se poate ataşa biunivoc un vector liber, numit fazor pentru a-l

distinge de vectorii (de exemplu ai câmpului electromagnetic) din spaţiul tridimensional.

Planul fazorilor este un plan abstract, câte unul pentru fiecare specie de semnale care

oscilează sinusoidal cu aceeaşi frecvenţă.

Acest procedeu simbolic de reprezentare geometrică a semnalelor sinusoidale a fost

imaginat de Fresnel.


93

a. Reprezentarea simbolică geometrică cinematică

În această reprezentare, se asociază semnalului sinusoidal (4.29) un vector de modul

constant şi egal cu amplitudinea X2 a semnalului, care se roteşte, în plan, în sens

trigonometric cu viteza unghiulară egală cu pulsaţia ω şi formează în fiecare moment t cu o

axă de referinţă fixă Ox0 un unghi egal cu faza ωt + γ (fig. 4.7). Axa Ox care se roteşte cu

viteza ω în acelaşi sens cu vectorul şi formează cu acesta unghiul constant γ se numeşte axă

origine de fază. Unghiul de fază iniţială γ se măsoară de la axa origine de fază Ox şi este

pozitiv în sens trigonometric şi negativ în sens orar (fig. 4.8).

Fig. 4.7 Fig. 4.8

Vectorul rotitor poartă denumirea de fazor cinematic şi se notează formal cu Fcx.

Prin urmare, s-a stabilit următoarea corespondenţă biunivocă:

γ+ω=⇔ tX2xF)t(x c (4.30)

Relaţia (4.30) asigură trecerea de la semnalul sinusoidal la fazor. Invers, fiind cunoscut

un factor cinematic, semnalul sinusoidal corespunzător se poate determina cu ajutorul

proiecţiei fazorului pe una din axele Ox0, Oy0. Într-adevăr:

a) dacă )tcos(X2)t(x γ+ω= , atunci xFoprOP)t(x cx

'

0== ;

b) dacă )tsin(X2)t(x γ+ω= , atunci .xFoprOP)t(x cy

''

0==

Într-un acelaşi plan fazorial se pot reprezenta fazori cinematici ai unor semnale

sinusoidale de specii diferite dar de aceeaşi frecvenţă.

b. Reprezentarea simbolică geometrică polară.

Dacă un fazor cinematic este raportat la un observator care se roteşte sincron cu

fazorul considerat şi se reduce scara de reprezentare cu 2/1 se obţine reprezentarea


simbolică geometrică polară. În acest mod fazorul conservă din semnalul sinusoidal doar

elementele care-l individualizează în raport cu celelalte semnale de aceeaşi frecvenţă –

valoarea efectivă şi faza iniţială. Prin urmare, fazorul asociat semnalului sinusoidal, numit

fazor polar Fpx, este un vector liber de modul constant şi egal cu valoarea efectivă a

semnalului, având argumentul de asemenea constant şi egal cu faza iniţială a semnalului

sinusoidal:

γ=⇔ XxF)t(x p (4.31)

Deoarece atât fazorul Fpx cât şi axa origine de fază Ox sunt imobile, reprezentarea

geometrică polară utilizează vectori ficşi. În schimb, axele Ox0 şi Oyo, la care se poate

renunţa, se rotesc înapoi (în sens invers trigonometric) cu viteza unghiulară ω (fig. 4.9).

Fig. 4.9

Reprezentarea simbolică geometrică polară este de fapt o reprezentare simbolică

geometrică cinematică raportată la un sistem de referinţă mobil, cu viteza unghiulară ω. În

consecinţă, proprietăţile reprezentării simbolice geometrice cinematice, relative la semnale

sinusoidale de aceeaşi frecvenţă, se conservă şi pentru reprezentarea simbolică geometrică

polară.

4.3.2 Reprezentarea simbolică analitică

Oricărui semnal sinusoidal de forma (4.7) i se poate ataşa biunivoc o mărime

complexă şi anume identificând planul complex fie cu planul abstract al fazorilor cinematici,

fie cu planul abstract al fazorilor polari. În primul caz se obţine reprezentarea simbolică

analitică în complex nesimplificat, iar în al doilea caz, reprezentarea simbolică analitică în

complex simplificat. Astfel de reprezentări simbolice au fost introduse în studiul regimului

permanent sinusoidal al circuitelor liniare de către Steinmetz.


95

Fig. 4.10

Un număr complex c poate fi scris fie sub formă carteziană (fig. 4.10):

bjac += (4.32)

unde a este partea reală măsurată după axa reală, iar b este partea imaginară măsurată după

axa imaginară,

a = Rec; b = Imc (4.33)

fie sub formă polară (fig. 4.10):

ϕ= jecc (4.34)

unde c este modulul şi ϕ argumentul.

Ţinând seama de relaţia lui Euler,

ϕ+ϕ=ϕ sinjcose j (4.35)

rezultă relaţiile de trecere de la reprezentarea polară la cea carteziană:

ϕ⋅=ϕ⋅= sincb,cosca (4.36)

sau invers:

0sau0;abarctg;0bac 22 <ϕ>ϕ=ϕ>+= (4.37)

Prin mărime complexă conjugată se înţelege mărimea complexă (fig. 4.10):

ϕ−=−= j* ecbjac (4.38)

Mărimea complexă

θ+θ=θ sinjcose j (4.39)

poartă denumirea de operator de rotaţie sau de defazare.


Multiplicând un număr complex ϕ= jecc cu operatorul θje , se obţine un număr

complex având modulul neschimbat şi argumentul ϕ + θ:

)(jj ecec θ+ϕθ ⋅=⋅ (4.40)

iar vectorul de poziţie se roteşte în sens trigonometric cu unghiul θ (fig. 4.11, a). Pentru

2π

±=θ , operatorii de rotaţie sunt:

je;je 2/j2/j −== π−π (4.41)

Multiplicând numărul complex c cu operatorul j sau –j, se obţine un număr complex având

modulul neschimbat, iar vectorul de poziţie rotit cu π/2, respectiv - π/2 (fig. 4.11, b).

a. Reprezentarea simbolică analitică în complex nesimplificat

Fig. 4.12

Deoarece această reprezentare se obţine prin identificarea planului complex cu planul

abstract al fazorilor cinematici, rezultă că fiecărui semnal sinusoidal de forma (4.7) i se poate

ataşa o mărime complexă (nesimplificată) notată cu x şi numită imagine în complex

nesimplificat sau valoare instantanee complexă, având modulul egal cu amplitudinea X2 şi

argumentul egal cu faza mărimii sinusoidale (fig. 4.12):

)t(jeX2x γ+ω= (4.42)

Utilizând relaţia lui Euler (4.35), expresia (4.42) p o ate fi scrisă şi su b fo rma

echivalentă:

)tsin(X2j)tcos(X2x γ+ω+γ+ω= (4.43)

Prin urmare, regula de trecere de la mărimea imagine la mărimea original, căreia îi

este ataşată, este următoarea:

γ+ω=

γ+ω==

).tsin(X2)t(xdacă,xIm

),tcos(X2)t(xdacă,xRe)t(x (4.44)


97

b. Reprezentarea simbolică analitică în complex simplificat

Dacă se ţine seama că o astfel de reprezentare rezultă identificând planul complex cu

planul abstract al fazorilor polari, urmează că fiecărui semnal sinusoidal de forma (4.7) i se

poate ataşa o mărime complexă (simplificată) notată cu X, numită imagine în complex

simplificat sau valoare efectivă complexă, având modulul egal cu valoarea efectivă X şi

argumentul egal cu faza iniţială a semnalului sinusoidal:

γ= jeXX (4.45)

Între imaginea în complex nesimplificat (4.42) şi imaginea în complex simplificat

(4.45), ataşate unui aceluiaşi semnal sinusoidal, de forma (4.7), există relaţia de legătură:

tjeX2x ω= (4.46)

Trecerea de la imaginea în complex simplificat la semnalul original este asigurată de

relaţiile:

( )( )

γ+ω=

γ+ω==

ω

ω

.tsinX2)t(xdacă,eX2Im

,tcosX2)t(xdacă,eX2Re)t(x

tj

tj

(4.47)

4.3.3 Corespondenţa operaţiilor

Odată stabilite regulile de reprezentare simbolică, geometrică sau analitică, este

important să se urmărească operaţiile cu fazori cinematici sau polari, respectiv cu valori

instantanee sau efective complexe, corespunzătoare operaţiilor cu semnale sinusoidale.

Stabilirea acestei corespondenţe este deosebit de utilă în analiza circuitelor liniare de curent

alternativ, în regim permanent sinusoidal, cu ajutorul reprezentărilor simbolice.

a. Adunarea

Sumei a două semnale sinusoidale,

)tsin(X2)tsin(X2)t(x)t(x)t(x 221121 γ+ω+γ+ω=+= (4.48)

îi corespunde un fazor cinematic (fig. 4.13, a) sau polar (4.13, b), egal cu suma fazorilor

(cinematici sau polari) ataşaţi fiecărui semnal sinusoidal:

xFxFxxF,xFxFxxF 2p1p21p2c1c21c +=++=+ (4.49)


a) b)

Fig. 4.13

Acest rezultat este consecinţa imediată a teoremei proiecţiilor, având în vedere că

semnalele sinusoidale reprezintă proiecţiile, pe una din axele Ox sau Oy, ale fazorilor

respectivi (cinematici sau polari).

a) b)

Fig. 4.14

Dacă se utilizează reprezentarea simbolică analitică, un raţionament similar conduce la

concluziile (fig. 4.14):

x1 + x2 ⇔ 21 xx + ⇔ 21 XX + (4.50)

b. Amplificarea cu un scalar

Operaţiei de multiplicare a mărimii sinusoidale x(t) cu scalarul λ (pozitiv sau negativ),

)tsin(X2)t(x γ+ωλ=λ (4.51)

îi corespunde un fazor cinematic (fig. 4.15, a) sau polar (fig. 4.15, b) egal cu produsul dintre

parametrul real (pozitiv sau negativ) λ şi fazorul (cinematic sau polar) ataşat semnalului

sinusoidal respectiv:

)t(xF)t(xF),t(xF)t(xF ppcc λ=λλ=λ (4.52)


99

a) b)

Fig. 4.15

În figura 4.15 este reprezentată situaţia corespunzătoare cazului λ > 0. Un rezultat

analog se obţine şi în cazul opus.

În reprezentarea simbolică analitică (simplificată sau nesimplificată) se obţine:

Xx)t(x λ⇔λ⇔λ (4.53)

c. Derivarea în raport cu timpul

Dacă se consideră un semnal sinusoidal de forma (4.7), derivatei în raport cu timpul,

)2

tsin(X2)tcos(X2dtdx π

+γ+ωω=γ+ωω= (4.54)

i se poate ataşa fazorul cinematic (fig. 4.15, a):

2tX2

dtdxFc

π+γ+ωω=

(4.55)

sau fazorul polar (fig. 4.15, b):

2X

dtdxFp

π+γω=

(4.56)

Prin urmare, fazorul (cinematic sau polar) al derivatei în raport cu timpul a unui

semnal sinusoidal se obţine amplificând modulul fazorului respectiv cu ω şi rotindu-l în sens

direct trigonometric (înainte) cu π/2.

Dacă se utilizează reprezentarea simbolică analitică a derivatei (4.54) se poate stabili

corespondenţa biunivocă (fig. 4.16, a):

xjeX2jeeX2eX2dtdx )t(j2

j)t(j)2

t(jω=ω=ω=ω⇔ γ+ω

πγ+ω

π+γ+ω

(4.57)


a) b)

Fig. 4.16

În mod asemănător se poate arăta că atunci când se recurge la reprezentarea simbolică

analitică în complex simplificat se poate stabili corespondenţa (fig. 4.16, b):

Xjdtdx

ω⇔ (4.58)

d. Integrarea în raport cu timpul

Integrala în raport cu timpul a unui semnal sinusoidal de forma (4.7) este:

)2

tsin(X2)tcos(X2dt)t(x π−γ+ω

ω=γ+ω

ω−=∫ (4.59)

Acestei expresii i se poate ataşa biunivoc fazorul cinematic (fig. 4.15, a):

2tX2dt)t(xFc

π−γ+ω

ω=

∫ (4.60)

sau fazorul polar (fig. 4.15, b):

2Xdt)t(xFp

π−γ

ω=

∫ (4.61)

Aşadar, fazorul (cinematic sau polar) al integralei în raport cu timpul a unui semnal

sinusoidal se obţine împărţind modulul fazorului respectiv cu ω şi rotindu-l în sens invers

trigonometric (înapoi) cu π/2.

Utilizând reprezentarea simbolică analitică a integralei (4.59) se poate stabili

corespondenţa biunivocă (fig. 4.16, a):

xj1eX2

j1eeX2eX2dt)t(x )t(j2

j)t(j)2

t(j

ω=

ω=

ω=

ω⇔ γ+ω

π−γ+ω

π−γ+ω

∫ (4.62)


101

Analog se demonstrează că în cazul reprezentării simbolice analitice în complex

simplificat (fig.4.16, b):

Xj1dt)t(x∫ ω

⇔ (4.63)

Prin urmare, operaţiilor de derivare şi de integrare în raport cu timpul, referitoare la

semnalele sinusoidale, le corespund operaţii algebrice efectuate asupra valorilor instantanee

sau efective complexe ataşate. Această proprietate a reprezentării simbolice analitice este

deosebit de utilă în analiza circuitelor liniare de curent alternativ în regim permanent

sinusoidal.

Produsul a două mărimi sinusoidale nefiind, în general, o funcţie sinusoidală, nu se

poate reprezenta printr-un fazor sau o mărime complexă.

4.4 PARAMETRII CIRCUITELOR LINIARE

DE CURENT ALTERNATIV

Parametrii unui circuit izolat (lipsit de cuplaje magnetice) de curent alternativ sunt:

rezistenţa R, inductanţa proprie L şi capacitatea C. În cazul circuitelor neizolate intervine şi

inductanţa mutuală M.

Fie un dipol liniar pasiv, la bornele căruia se aplică tensiunea:

)tsin(U2)t(u uγ+ω= (4.64)

Dipolul fiind liniar, va fi parcurs, în regim permanent, de un curent de aceeaşi formă

cu tensiunea aplicată:

)tsin(I2)t(i iγ+ω= (4.65)

Raportul u(t)/i(t) este, în general, o funcţie de timp deoarece γu ≠ γi. Prin urmare, în

regim permanent sinusoidal raportul dintre valorile instantanee ale tensiunii la borne şi

curentului nu mai este o constantă caracteristică, ca în cazul circuitelor liniare de curent

continuu.

Ţinând seama de caracterul liniar şi pasiv al dipolului considerat se poate observa că:

• dacă valoarea efectivă a tensiunii la borne creşte (scade) de un anumit număr de ori,

atunci şi valoarea efectivă a curentului creşte (scade) de acelaşi număr de ori, iar fazele lor

iniţiale rămân neschimbate;

• dacă la faza iniţială a tensiunii se adaugă un termen aditiv, pozitiv sau negativ, totul se

petrece ca şi cum s-ar fi modificat originea timpului, iar la faza iniţială a curentului se adaugă


aceeaşi cantitate. Prin urmare, în cazul unui dipol liniar, pasiv, raportul valorilor efective şi

diferenţa fazelor iniţiale ale tensiunii la borne şi curentului sunt mărimi independente de

tensiune şi de curent, capabile să caracterizeze dipolul studiat la o anumită valoare a

frecvenţei. În consecinţă, pentru a caracteriza un dipol liniar, pasiv, se defineşte:

impedanţa dipolului:

0,...)M,C,L,R,(ZIUZ >ω== (4.66)

reprezentând raportul dintre valorile efective ale tensiunii la borne şi curentului;

defazajul dipolului:

0sau0,...),M,C,L,R,(iu <ϕ>ϕωϕ=γ−γ=ϕ (4.67)

constituind diferenţa fazelor iniţiale ale tensiunii la borne şi curentului.

Atât impedanţa cât şi defazajul depind exclusiv de frecvenţă şi parametrii dipolului. În

timp ce impedanţa este totdeauna pozitivă, defazajul poate lua şi valori negative. În cazul

dipolilor pasivi, cosϕ > 0, încât

ππ−∈ϕ

2,

2.

Impedanţa, ca şi rezistenţa, se măsoară în S.I. în ohmi.

Pentru caracterizarea unui dipol liniar pasiv impedanţa dipolului poate fi substituită cu

inversa ei:

,...)M,C,L,R,(YUIY ω== (4.68)

numită admitanţă, şi care împreună cu defazajul constituie un sistem de parametri ai dipolului

respectiv.

Cuplul de parametri impedanţă (Z) şi defazaj (ϕ) este echivalent, din punct de vedere

al caracterizării dipolilor pasivi liniari, cu perechea rezistenţă (R) -reactanţă (X). Pentru

definirea acestor parametri se reprezintă tensiunea la bornele dipolului şi curentul cu ajutorul

fazorilor cinematici polari. În figura 4.17 s-au reprezentat fazorii polari ataşaţi acestor

semnale, care permit definirea:

componentei active a tensiunii:

ϕ= cosUUa (4.69)

componentei reactive a tensiunii:

ϕ= sinUUr (4.70)

componentei active a curentului:

ϕ= cosIIa (4.71)


103

componentei reactive a curentului:

ϕ= sinIIr (4.72)

Rezistenţa (în regim permanent sinusoidal) se defineşte ca raportul dintre valoarea

efectivă a componentei active a tensiunii la borne şi valoarea efectivă a curentului:

ϕ=ϕ

== cosZI

cosUI

UR a (4.73)

Acest parametru nu trebuie confundat cu rezistenţa în curent continuu şi care se

defineşte cu ajutorul legii conducţiei electrice, cu care coincide numai în anumite cazuri

particulare.

Reactanţa se defineşte drept raport dintre valoarea efectivă a componentei reactive a

tensiunii la borne şi valoarea efectivă a curentului:

ϕ=ϕ

== sinZI

sinUI

UX r (4.74)

Rezistenţa şi reactanţa se măsoară în S.I. în ohmi.

Relaţiile (4.73), (4.74) permit determinarea rezistentei şi reactanţei în funcţie de

impedanţă şi defazaj. Invers, pentru a exprima impedanţa şi defazajul în funcţie de rezistenţă

şi reactanţă se utilizează relaţiile:

RXarctg,XRZ 22 =ϕ+= (4.75)

Perechea de parametri admitanţă - defazaj poate fi substituită, în vederea caracterizării

unui dipol liniar pasiv, cu perechea conductanţă (G) - susceptanţă (B).

Conductanţa (în regim permanent sinusoidal) se defineşte drept raport dintre valoarea

efectivă a componentei active a curentului şi valoarea efectivă a tensiunii la borne:

ϕ=ϕ

== cosYU

cosIUIG a (4.76)

Acest parametru nu este, în general, egal cu inversul rezistenţei definite cu relaţia

(4.73). De asemenea nu trebuie confundat cu conductanţa definită în curent continuu şi cu

care coincide numai în cazuri particulare.

Susceptanţa se defineşte ca raport dintre valoarea efectivă a componentei reactive a

curentului şi valoarea efectivă a tensiunii la borne:

ϕ=ϕ

== sinYU

sinIUIB r (4.77)


Conductanţa şi susceptanţa, ca şi admitanţa, se măsoară în S.I. în siemens (S).

Relaţiile (4.76), (4.77) permit determinarea conductanţei şi susceptanţei în funcţie de

admitanţă şi defazaj. Este posibil să se determine invers, admitanţa şi defazajul, în funcţie de

conductanţă şi susceptanţă:

GBarctg,BGY 22 =ϕ+= (4.78)

a) b) a) b)

Fig. 4.18 Fig. 4.19

Se poate observa că tensiunea şi componentele sale activă şi reactivă precum şi

curentul, cu componentele sale activă şi reactivă, formează câte un triunghi dreptunghic;

primul este denumit triunghi al tensiunilor (fig. 4.18, a), iar al doilea, triunghi al curenţilor

(fig.4.18, b). De asemenea, impedanţa, rezistenţa şi reactanţa pe de-o parte, admitanţa,

conductanţa şi susceptanţa pe de altă parte, formează câte un triunghi dreptunghic; primul este

cunoscut sub denumirea de triunghiul impedanţelor (fig. 4.19, a), al doilea fiind triunghiul

admitanţelor (fig. 4.19, b).

Acest mod de reprezentare grafică a legăturii dintre parametrii unui dipol liniar, pasiv,

în regim permanent sinusoidal, sugerează posibilitatea reprezentării parametrilor în planul

complex. În acest scop se asociază tensiunii (4.64) şi curentului (4.65) fie valorile instantanee

complexe:

)t(j)t(j iu eI2i,eU2u γ+ωγ+ω == (4.79)

fie valorile lor efective complexe:

iu jj eII,eUU γγ == (4.80)

Se defineşte impedanţa complexă ca raport dintre valorile instantanee (sau efective)

complexe ale tensiunii la borne şi curentului (fig.4.20):

iuZ = (4.81)

Substituind în (4.81) valorile instantanee complexe i,u cu expresiile (4.79) se obţine:

IU)(je

IUZ iu =γ−γ= (4.82)


105

Dacă se ţine seama de (4.66), (4.67) rezultă în definitiv:

ϕ= jZeZ (4.83)

adică impedanţa complexă a unui dipol liniar pasiv are modulul egal cu impedanţa, iar

argumentul egal cu defazajul dintre tensiune şi curent la bornele dipolului.

Impedanţa complexă poate fi scrisă şi sub forma echivalentă:

jXRsinjcosZZ +=ϕ+ϕ= , (4.84)

unde s-au avut în vedere relaţiile (4.73), (4.74). Prin urmare, impedanţa complexă a unui dipol

liniar pasiv are partea reală egală cu rezistenţa, iar partea imaginară egală cu reactanţa

dipolului respectiv.

În cazul dipolilor pasivi impedanţa complexă poate lua valori numai în semiplanul

0ZRe ≥ .

Fig. 4.20

Se defineşte admitanţa complexă a unui dipol liniar, pasiv, ca raport dintre valorile

instantanee (sau efective) complexe ale curentului şi tensiuni la borne (fig.4.20):

ui

Z1Y == (4.85)

Dacă se substituie în (4.85) valorile instantanee complexe u, i cu expresiile (4.79)

rezultă:

UIe

UIY )(j iu == γ−γ− (4.86)

Aşadar, admitanţa complexă a unui dipol liniar pasiv, are modulul egal cu admitanţa,

iar argumentul egal şi de semn opus defazajului dintre tensiunea şi curentul la bornele

dipolului.

Admitanţa complexă poate fi scrisă şi sub forma:

jBGsinjYcosYY −=ϕ−ϕ= (4.87)

unde s-a ţinut seama de relaţiile (4.76), (4.77). Rezultă deci că admitanţa complexă are partea

reală egală cu conductanţa, iar partea imaginară egală şi de semn opus susceptanţei.


Pentru cazul dipolilor pasivi admitanţa complexă este definită numai în semiplanul

Re Y ≥0.

Atât impedanţa complexă, definită cu relaţia (4.81), cât şi admitanţa complexă,

definită cu relaţia (4.85), nu constituie o reprezentare simbolică a raportului valorilor

instantanee ale tensiunii la borne şi curentului, respectiv ale curentului şi tensiunii la borne,

deoarece, în general, acest raport este o funcţie de timp. Trebuie să se considere că impedanţa

complexă precum şi admitanţa complexă sunt parametri complecşi care intervin în ecuaţiile

circuitelor ca operatori de înmulţire.

În cazul dipolilor liniari activi se defineşte:

impedanţa complexă echivalentă:

eee jXRIU

iuZ +=== (4.88)

admitanţa complexă echivalentă:

eee jBGUI

uiY −=== (4.89)

unde tensiunea u şi curentul i fiind asociate cu convenţia de la receptoare. În relaţiile (4.88) şi

(4.89), Re reprezintă rezistenţa echivalentă, Xe – reactanţa echivalentă, Ge– conductanţa

echivalentă, Be – susceptanţa echivalentă.

În concluzie orice dipol liniar, pasiv sau activ, poate fi reprezentat prin una din

schemele indicate în figura 4.21.

a) b)

Fig. 4.21


107

4.5 PUTERI ÎN CIRCUITE LINIARE

ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

4.5.1 Puterea instantanee

Fig. 4.22

Pentru a determina schimbul instantaneu de energie între un dipol liniar activ sau pasiv

şi generatoarele exterioare (fig. 4.22), se aplică unei suprafeţe ănchise care conţine bornele

(1), (2), teorema energiei electromagnetice şi se obţine:

),t(i)t(up = (4.90)

unde p(t) reprezentând puterea instantanee, poate fi o putere absorbită sau cedată, după cum

sensurile tensiunii la borne u şi curentului i sunt asociate după regula de la receptoare sau

după cea de la generatoare. Puterea instantanee schimbată de dipol cu exteriorul poate fi

calculată cu relaţia (4.90) în regim staţionar sau cvasistaţionar, deci şi în cazul unui dipol

liniar care având tensiunea la borne

)tsin(U2u uγ+ω= (4.91)

este parcurs de curentul

)tsin(I2i iγ+ω= (4.92)

Prin urmare,

)tsin()tsin(IU2p iu γ+ωγ+ω= (4.93)

Utilizând identitatea trigonometrică )cos()cos(sinsin2 β+α−β−α=βα , expresia

(4.93) poate fi scrisă sub forma:

)t2cos(IUcosIUp iu γ+γ+ω−ϕ= (4.94)

unde iu γ−γ=ϕ reprezintă defazajul dintre tensiunea la borne şi curent.

Relaţia (4.94) pune în evidenţă faptul că puterea instantanee este o mărime periodică

constituită dintr-o componentă continuă şi o componentă sinusoidală de frecvenţă dublă

(fig. 4.23). Chiar dacă dipolul considerat este pasiv, în anumite intervale de timp ale unei

perioade, puterea instantanee este furnizată de dipol, în exterior. În aceste intervale, energia


acumulată în câmpul magnetic al bobinelor şi în câmpul electric al condensatoarelor este, în

parte, retrocedată generatoarelor exterioare.

Fig. 4.23

4.5.2 Puterea activă

Valoarea medie a puterii instantanee în decurs de o perioadă,

ϕ== ∫ cosIUdt)t(pT1P

T

0

(4.95)

poartă denumirea de putere activă. Această putere reprezintă viteza generalizată de

transformare a energiei electromagnetice în alte forme de energie şi depinde de valorile

efective ale tensiunii şi curentului precum şi de defazajul dintre acestea.

Deoarece în cazul unui dipol pasiv puterea activă este pozitivă (sau nulă în cazul

dipolilor nedisipativi) rezultă că în astfel de situaţii .0cos ≥ϕ

Dacă se au în vedere relaţiile (4.69), (4.71), (4.73) şi (4.76) rezultă posibilitatea de a

exprima puterea activă sub una din formele următoare:

22aa UGIRIUIUP ==== (4.96)

valabile pentru dipoli liniari pasivi.

Puterea activă se măsoară în S.I., ca şi puterea instantanee, în watt (W).

Componenta sinusoidală, de frecvenţă dublă, a puterii instantanee,

)t2cos(IUp iuf γ+γ+ω= (4.97)

poartă denumirea de putere fluctuantă.


109

4.5.3 Puterea aparentă

Valoarea maximă a puterii active, la valori efective constante ale tensiunii la borne şi

curentului şi la defazaj variabil:

0IUS >= (4.98)

reprezintă puterea aparentă.

Maşinile şi aparatele electrice sunt caracterizate printr-o valoare efectivă limită a

curentului, astfel încât pierderile prin efect electrocaloric să nu conducă la

o încălzire excesivă, şi prin o valoare efectivă limită a tensiunii, astfel încât izolaţia

conductoarelor să nu fie străpunsă. Prin urmare, puterea aparentă caracterizează limitele de

funcţionare ale maşinilor şi aparatelor electrice.

Dacă se ţine seama de expresiile (4.66) şi (4.68) rezultă că puterea aparentă a unui

dipol liniar, pasiv, poate fi determinată cu una din relaţiile:

22 UYIZS == (4.99)

În S.I., puterea aparentă se măsoară în voltamper (VA).

4.5.4 Factorul de putere

Prin definiţie, se numeşte factor de putere mărimea adimensională pozitivă,

subunitară, egală cu raportul dintre puterea activă şi puterea aparentă:

SPk p = (4.100)

În regim permanent sinusoidal, factorul de putere al unui dipol liniar pasiv rezultă a fi:

ϕ= cosk p (4.101)

unde s-a ţinut seama de expresiile (4.95) şi (4.98) ale puterii active, respectiv aparente.

Pentru ca o instalaţie de putere aparentă dată să funcţioneze cât mai eficient, adică la o

putere activă cât mai mare, este necesar ca valoarea factorului de putere să fie cât mai ridicată.

Cu alte cuvinte, defazajul trebuie ca fie cât mai redus cu putinţă.


4.5.5 Puterea reactivă

Expresia (4.93) a puterii instantanee poate fi scrisă în mod avantajos sub o formă

echivalentă dacă se ţine seama de (4.67). În acest sens, se face substituţia ϕ+γ=γ iu , încât

relaţia (4.93 devine:

=ϕ+γ+ω−ϕ= ])t(2cos[IUcosIUp i

)t(2sinsinIU)]t(2cos1[cosIU ii γ+ωϕ+γ+ω−ϕ= . (4.102)

Prin urmare, puterea instantanee conţine două componente:

)]t(2cos1[cosIUp ip γ+ω−ϕ= (4.103)

numită putere instantanee de pulsaţie (fig. 4.24, a), şi

)t(2sinsinIUp io γ+ωϕ= (4.104)

reprezentând puterea instantanee de oscilaţie (fig. 4.24, b).

a) b)

Fig. 4.24

Se observă că puterea activă constituie valoarea medie a puterii instantanee de

pulsaţie:

ϕ== ∫ cosIUdt)t(pT1P

T

0p (4.105)

Din expresiile (4.102) - (4.104) se constată că pe reţeaua de alimentare a unui dipol

circulă, pe lângă puterea instantanee de pulsaţie, a cărei valoare medie constituie o măsură a

puterii electromagnetice care se transformă nemijlocit în alte forme de energie, şi o putere

care oscilează neamortizat între generatoarele interioare şi dipol. În acest mod, reţeaua este

"blocată" de prezenţa puterii instantanee de oscilaţie, împiedicând încărcarea ei în mod

suplimentar, cu putere activă. Ca măsură a puterii instantanee de oscilaţie se convine a utiliza

amplitudinea ei:

ϕ== sinIUpmaxQ o (4.106)

numită putere reactivă.


111

Se poate observa că deşi între expresiile (4.95) şi (4.106) ale puterii active şi respectiv

reactive există o analogie formală, semnificaţiile lor energetice diferă în mod esenţial şi în

primul rând datorită faptului că spre deosebire de puterea activă, puterea reactivă nu

reprezintă un aport mediu de putere la bornele dipolului. Depăşirea acestei dificultăţi este

posibilă dacă se recurge la noţiunile de putere activă instantanee şi putere reactivă

instantanee, introduse de către prof. dr. ing. V. N. Nedelcu (v. par. 4.5.7).

În S.I. puterea reactivă se măsoară în var (voltamper – reactiv). Unitatea de măsură a

puterii reactive a fost adoptată în anul 1931 de către Comitetul Electrotehnic Internaţional, la

propunerea delegatului român, acad. C. I. Budeanu.

Dacă se ţine seama de relaţiile (4.70), (4.72), (4.74), (4.77), puterea reactivă poate fi

scrisă şi sub una din formele echivalente:

22rr UBIXIUIUQ ==== (4.107)

valabile pentru dipoli liniari pasivi.

În ceea ce priveşte semnele puterii active şi reactive, s-a adoptat următoarea convenţie:

Pentru circuite receptoare: P > 0 - putere activă absorbită, Q > 0 - putere reactivă

absorbită, P < 0 - putere activă furnizată, Q < 0 - putere reactivă furnizată;

Pentru circuite generatoare: P > 0 - putere activă furnizată, Q > 0 – putere reactivă

furnizată, P < 0 - putere activă absorbită, Q < 0 - putere reactivă absorbită.

Puterile activă (4.95), reactivă (4.106) şi aparentă (4.98) satisfac relaţiile:

ϕ=ϕ=ϕ=+= tgPQ,sinSQ,cosSP,QPS 22 (4.108)

Prin urmare, cu mărimile P, Q, S se poate construi un triunghi dreptunghic, numit

triunghiul puterilor (fig. 4.25).

Fig. 4.25

Dacă se face apel la prima relaţie (4.108), expresia (4.100) a factorului de putere

devine:

2

222

p SQ1

SQS

k −=−

= (4.109)


Prin urmare, problema ameliorării (creşterii) factorului de putere se reduce, în esenţă,

la micşorarea consumului de putere reactivă. În acest scop se montează în preajma

receptoarelor câte un generator local de energie reactivă, făcând posibile transportul şi

furnizarea către receptor a unei puteri active sporite.

4.5.6 Puterea aparentă complexă

Deoarece produsul a două mărimi sinusoidale nu este în general o mărime sinusoidală,

rezultă că puterea instantanee (4.93) nu poate fi reprezentată sub formă simbolică analitică, în

complex, folosind regulile stabilite în paragraful 4.3.2. Este posibil, însă, să se definească o

mărime complexă care înglobează într-o expresie unică puterea activă, puterea reactivă şi

puterea aparentă. În acest scop se consideră un dipol liniar (receptor sau generator), la bornele

căruia este aplicată tensiunea )tsin(U2u uγ+ω= , fiind parcurs de curentul

)tsin(I2i iγ+ω= . Ataşând acestor semnale fie valorile instantanee complexe, fie valorile

efective complexe, se defineşte puterea aparentă complexă:

** IUiu21S == (4.110)

Efectuând calculele se obţine:

)(j)t(j)t(j iuiu eIUeI2eU221S γ−γγ+ω−γ+ω == (4.111)

Dacă se ţine seama de (4.67), (4.95), (4.98) şi (4.106) rezultă:

jQPsinIUjcosIUeIUeSS jj +=ϕ+ϕ=== ϕϕ (4.112)

Rezultă deci că puterea aparentă complexă are modulul egal cu puterea aparentă,

partea reală egală cu puterea activă si partea imaginară egală cu puterea reactivă.

În planul complex al puterilor aparente (planul S) poziţia afixului puterii aparente

complexe poate fi oricare în cazul dipolilor activi, deoarece P > 0 sau P < 0 şi Q > 0 sau Q <

0. În schimb, în cazul dipolilor pasivi puterea aparentă complexă poate lua valori numai în

semiplanul ReS≥ 0, (P ≥ 0, Q ≥ 0). Pentru astfel de dipoli sunt valabile relaţiile:

222*2 U)jBG(I)jXR(UYIZS +=+=== (4.113)

unde s-a ţinut seama de (4.82), (4.84), (4.86), (4.87).


113

Procedeul de reprezentare simbolică analitică, în complex, a puterilor, expus în acest

paragraf, prezintă inconvenientul că puterea aparentă complexă S nu reprezintă imaginea în

complex a puterii instantanee p. Această dificultate poate fi înlăturată dacă se utilizează

noţiunea de putere aparentă instantanee complexă.

4.5.7 Puterea aparentă instantanee complexă

Se consideră un dipol liniar, pasiv sau activ, având tensiunea la borne

)tsin(U2u uγ+ω= şi curentul în una din bornele de acces )tsin(I2i iγ+ω= . Acestor

semnale li se ataşează valorile instantanee complexe:

)t(j)t(j iu eI2i,eU2u γ+ωγ+ω == (4.114)

sau valorile efective complexe:

iu jj eII,eUU γγ == (4.115)

Puterii instantanee schimbată de dipol pe la bornele de acces cu exteriorul (4.94),

)t2cos(IUcosIUp iu γ+γ+ω−ϕ= , ( iu γ−γ=ϕ ) (4.116)

i se poate ataşa valoarea instantanee complexă:

)t2(j** iueIUIU)ii(u21s γ+γ+ω−=−= (4.117)

astfel încât

sRep = (4.118)

Mărimea s poate fi considerată drept o putere aparentă instantanee complexă, p fiind

în aceste condiţii o putere activă instantanee.

Părţii imaginare a puterii aparente instantanee complexă,

)t2sin(IUsinIUq iu γ+γ+ω−ϕ= (4.119)

i se atribuie denumirea de putere reactivă instantanee.

Puterea aparentă complexă S rezultă ca valoarea medie a puterii aparente instantaneee

complexă:

jQPeIUIUiu21dts

T1S j**

T

0

+===== ϕ∫ , (4.120)

unde puterile activă P şi reactivă Q rezultă ca valori medii ale puterii active instantanee


ϕ== ∫ cosIUdtpT1P

T

0

, (4.121)

respectiv puterii reactive instantanee:

ϕ== ∫ sinIUdtqT1Q

T

0

. (4.122)

Ataşând mărimii periodice nesinusoidale p (4.116), valoarea instantanee complexă s,

se conferă un caracter unitar modului de definire a puterilor activă şi reactivă, ca valori medii

ale unor puteri instantanee.

4.6 LEGILE ŞI TEOREMELE CIRCUITELOR LINIARE

DE CURENT ALTERNATIV

4.6.1 Legea lui Ohm generalizată

Se consideră o latură activă (j) conţinând un rezistor de rezistenţă Rj, o bobină având

inductanţa proprie Ljj, un condensator de capacitate Cj, un generator de tensiune având

tensiunea electromotoare ej. Dacă latura considerată conţine un generator de curent se recurge

la echivalenţa dintre un astfel de generator şi un generator de tensiune (v. par. 3.2.4, a). De

asemenea se consideră că latura este cuplată magnetic cu celelalte laturi ale circuitului,

cuplajele fiind caracterizate de inductanţele mutuale Ljk (j ≠ k). Se admite că latura este

receptoare, tensiunea la borne ujb şi curentul ij fiind asociate în mod corespunzător (fig. 4.26).

Fig. 4.26

Fie Γ un contur închis, ales în sensul curentului ij, prin interiorul generatorului,

rezistorului, bobinei şi prin dielectricul condensatorului, închizându-se pe la borne în sens

opus tensiunii ujb. Înlocuind în ecuaţia legii inducţiei electromagnetice ∫Γ

ΓΓ

Φ−==

dtd

e Ss dsE ,

Es cu cis EEEE −−= (1.40), se obţine:


115

dtd

e)()( Sjici

ΓΦ

−=−=−=−− ∫∫∫ΓΓΓ

dsEdsEEdsEEE (4.123)

sau

dtd

e Sj

ΓΦ

−=∫Γ

dsE (4.124)

Integrala din membrul stâng al relaţiei (4.124) poate fi calculată pe porţiuni ale

conturului Γ şi anume:

jj CRjb

1

5

4

1

5

4

uuu ++−=++=∫ ∫ ∫ ∫Γ

dsEdsEdsEdsE (4.125)

unde jR

4

1

u=∫ dsE reprezintă căderea de tensiune pe rezistenţa laturii (inclusiv rezistenţa

interioară a generatorului), iar jC

5

4

u=∫ dsE este tensiunea la bornele condensatorului.

Înlocuind (4.125) în (4.124) se obţine:

dtd

uuue SCRjbj jj

ΓΦ

++=+ (4.126)

sau în general,

dtd

uuue SCRjbj jj

ΓΦ

++=± (4.127)

semnul plus corespunzând cazului în care latura este receptoare iar semnul minus cazului când

latura este generatoare.

Relaţia (4.127) constituie legea lui Ohm generalizată numită şi teorema lui Joubert în

regim cvasistaţionar, permanent sau tranzitoriu, valabilă atât pentru circuite liniare cât şi

pentru circuite neliniare şi parametrice, deoarece parametrii laturii considerate nu intervin în

mod explicit.

În cazul când latura este liniară, în virtutea legii conducţiei:

jjR iRuj= (4.128)

De asemenea, făcând apel la relaţia lui Maxwell relativă la inductivităţi (2.32):

k

jk1k

jkjjjS iLiL ∑≠=

+=ΦΓ

(4.129)

rezultă:

dtdiL

dtdi

Ldt

dk

jk1k

jkj

jjS ∑

≠=

+=Φ

Γ

(4.130)


În sfârşit, latura fiind liniară, tensiunea la bornele condensatorului este:

∫∞−

==t

jjj

jC dti

C1

Cq

uj

(4.131)

unde integrala este definită în regim tranzitoriu şi nedefinită în regim permanent periodic.

Având în vedere relaţiile (4.128), (4.130) şi (4.131), expresia (4.127) devine:

∑∫≠=∞−

+++=±

jk1k

kjk

t

jj

jjjjjjbj dt

diLdtiC1

dtdi

LiRue (4.132)

şi constituie legea lui Ohm pentru o latură liniară, activă, receptoare sau generatoare, în regim

cvasistaţionar.

În regim permanent sinusoidal este avantajos să se utilizeze reprezentarea simbolică

analitică. Dacă:

)tsin(E2ejejj γ+ω= , )tsin(U2u

jbujbjb γ+ω= (4.133)

)tsin(I2ijijj γ+ω= , )tsin(I2i

kikk γ+ω= (4.134)

sunt valorile instantanee ale tensiunii electromotoare a generatorului, tensiunii la bornele

laturii, curentului prin latura j şi a curentului prin latura k şi se utilizează reprezentarea

simbolică în complex simplificat, ecuaţia (4.132) devine:

∑≠=

ω+ω

+ω+=±

jk1k

kjkjj

jjjjjjbj ILjICj

1ILjIRUE (4.135)

sau:

∑≠=

ω+

ω−ω+=±

jk1k

kjkjj

jjjjbj ILjIC1LjRUE (4.136)

Relaţia (4.136) constituie legea lui Ohm generalizată, în regim permanent sinusoidal,

pentru o latură liniară, scrisă sub formă simbolică analitică (în complex simplificat).

Introducând notaţiile:

jkjkj

jjjjj LjZ),C1L(jRZ ω=

ω−ω+= (4.137)

unde Zjj reprezintă impedanţa complexă proprie a laturii j, iar Zjk impedanţa complexă

mutuală între laturile j şi k, ecuaţia (4.136) devine:

∑≠=

+=±

jk1k

kjkjjjjbj IZIZUE (4.138)

În cazul unei laturi pasive ( 0E j = ) se obţine:


117

∑≠=

+=

jk1k

kjkjjjjb IZIZU (4.139)

Dacă latura considerată este izolată din punct de vedere magnetic ( kj,0Z jk ≠= ),

expresia (4.138) devine:

jjjjbj IZUE =± (4.140)

Comparând relaţiile (3.14) şi (4.140) rezultă că în regim permanent sinusoidal şi

pentru laturi izolate din punct de vedere magnetic, legea lui Ohm generalizată este formal

analoagă aceleiaşi legi scrisă în curent continuu, substituind tensiunea electromotoare,

tensiunea la borne şi curentul cu valorile lor efective (sau instantanee) complexe, iar rezistenţa

cu impedanţa complexă.

4.6.2 Teoremele lui Kirchhoff

Ca şi în cazul circuitelor de curent continuu, teoremele lui Kirchhoff pentru un circuit

de curent alternativ se stabilesc, drept consecinţe ale legii conservării sarcinii electrice libere,

respectiv legii lui Ohm generalizate.

a. Teorema de curenţi

Deoarece în regim cvasistaţionar formularea legii conservării sarcinii electrice libere

este identică cu cea corespunzătoare regimului staţionar, rezultă că într-un astfel de regim

teorema de curenţi a lui Kirchhoff se scrie sub aceeaşi formă ca în curent continuu. Astfel,

curenţii incidenţi nodului u al unui circuit cu n noduri satisfac în regim cvasistaţionar relaţia:

∑∈

==uj

j )n,...,2,1u(,0i (4.141)

Enunţul acestei teoreme este următorul: suma algebrică a valorilor instantanee ale

curenţilor din ramurile incidente unui nod al unui circuit, în regim cvasistaţionar este nulă.

Deoarece în expresia (4.141) nu intervin parametrii circuitului, rezultă că teorema

stabilită este valabilă atât pentru circuite liniare cât şi pentru cele neliniare şi parametrice.

În regim permanent sinusoidal, ataşând valorii instantanee a curentului,

)tsin(I2ijijj γ+ω= , fie valoarea instantanee complexă )t(j

jjjieI2i γ+ω

= , fie valoarea

efectivă complexă jijjj eII γ

= , se poate scrie teorema de curenţi a lui Kirchhoff sub formă

analitică. De exemplu, în complex simplificat se obţine:


∑∈

==uj

j )n,...,2,1u(,0I (4.142)

Se observă că în regim permanent sinusoidal, teorema de curenţi a lui Kirchhoff este

formal analoagă aceleiaşi teoreme scrisă în curent continuu, substituind curenţii cu valorile

lor instantanee sau efective complexe.

b. Teorema de tensiuni

Se consideră un circuit în regim cvasistaţionar, constituit din laturi, n noduri şi s

subcircuite cuplate magnetic şi fie un ochi m al acestui circuit, reprezentat în figura 4.27. Se

alege un contur închis Γm constituit din succesiunea liniilor tensiunilor de latură uj ale ochiului

m (j ∈ m). Se calculează tensiunea electromotoare indusă:

∫Γ

ΓΓ

Φ−==

m

m

m dtd

e SdsE (4.143)

Fig. 4.27

Deoarece fluxul magnetic prin suprafaţa SΓm, delimitată de curba Γm, este practic nul,

consecinţă a modului de alegere a acestui contur care evită regiunile de flux intens, localizate

în bobine, rezultă că integrala ∫Γm

dsE este egală cu suma algebrică a tensiunilor de latură:

0umj

j

m

==∑∫∈Γ

dsE (4.144)

Tensiunile de latură sunt considerate pozitive dacă sensul lor de referinţă coincide cu

sensul pozitiv de parcurgere a ochiului şi negative în caz opus. Aşadar: suma algebrică a

tensiunilor de latură de-a lungul unui ochi al unui circuit liniar în regim cvasistaţionar este

nulă.

Sub forma (4.144) teorema de tensiuni a lui Kirchhoff este valabilă şi pentru circuite

neliniare şi parametrice, în regim cvasistaţionar.


119

Se aplică legea lui Ohm generalizată (4.127) pentru fiecare latură a ochiului m, se

adună relaţiile astfel obţinute şi dacă se ţine seama de relaţia (4.144), rezultă:

∑∑∈∈

=

Ψ++= Γ

mj

'S

CRmj

j )o,...,2,1m(,dt

duue j

jj (4.145)

unde o’ reprezintă numărul total de ochiuri al circuitului considerat, iar Γj reprezintă conturul

închis care trece prin interiorul generatorului, rezistorului, bobinei şi prin dielectricul

condensatorului laturii j, închizându-se pe la borne (fig. 4.26).

Sub forma (4.145), teorema de tensiuni a lui Kirchhoff este de asemenea valabilă atât

pentru circuite liniare cât şi pentru circuite neliniare şi parametrice în regim cvasistaţionar,

permanent sau tranzitoriu. Aici uRj reprezintă căderea de tensiune (activă) pe rezistenţa laturii

j, uCj - tensiunea la bornele condensatorului Cj (numită şi "cădere de tensiune capacitivă"),

dt

djSΓ

Ψ- tensiunea la bornele bobinei (ideale) din ramura j (numită şi "cădere de tensiune

inductivă").

Teorema de tensiuni a lui Kirchhoff, în regim cvasistaţionar, poate fi enunţată şi sub

forma echivalentă (4.145): suma algebrică a tensiunilor electromotoare ale generatoarelor de

tensiune de-a lungul laturilor unui ochi al unui circuit liniar, neliniar sau parametric este

egală cu suma algebrică a căderilor de tensiune (active, capacitive şi inductive) din laturile

ochiului.

În cazul circuitelor liniare, ţinând seama de relaţiile (4.128), (4.130) şi (4.131),

expresia (4.145) devine:

)'o,...,2,1m(,dtdiLdti

C1

dtdi

LiRemj

jk1k

kjk

t

jj

jjjjj

mjj =

+++=∑ ∑∫∑

∈≠=∞−∈

(4.146)

Dacă regimul este permanent sinusoidal şi se utilizează reprezentarea simbolică

analitică, în complex simplificat, se obţine:

)'o,...,2,1m(,IZIZEmj

jk1k

kjkjjjmj

j =

+=∑ ∑∑

∈≠=∈

(4.147)

unde impedanţele complexe jjZ şi jkZ sunt date de relaţiile (4.137).

Relaţia (4.147) constituie teorema de tensiuni a lui Kirchhoff în regim permanent

sinusoidal scrisă sub formă simbolică.


În cazul particular când laturile sunt izolate din punct de vedere magnetic (Zjk = 0),


)'o,...,2,1m(,IZEmj

jjjmj

j ==∑∑∈∈

(4.148)

Comparând relaţiile (4.148) şi (3.20), se observă că în regim permanent sinusoidal şi

pentru ochiuri cu laturi izolate din punct de vedere magnetic, teorema de tensiuni a lui

Kirchhoff este formal analoagă aceleaşi teoreme scrisă în curent continuu, dacă se substituie

tensiunile electromotoare şi curenţii cu valorile lor instantanee (sau efective) complexe, iar

rezistenţele cu impedanţele complexe.

4.6.3 Teorema de conservare a puterii instantanee

Fig. 4.28

Se consideră un circuit neizolat, constituit exclusiv din elemente dipolare, ale cărui

laturi nu sunt cuplate magnetic cu exteriorul (fig. 4.28). Fie numărul de laturi şi n numărul

de noduri. Se notează cu v1, v2,..., vn potenţialele nodurilor, cu i1e, i2e,..., ine curenţii în nodurile

de acces, cu u1, u2,..., u şi i12 = i1, i23 = i2,..., iiqn = tensiunile şi curenţii prin laturi. Se

aplică teorema de curenţi a lui Kirchhoff în cele n noduri ale circuitului:

n11312e1 i...iii +++=

n22321e2 i...iii +++= (4.149)

....................................

1nn2n1nne i...iii −+++=

Ecuaţiile (4.149) se amplifică cu potenţialele v1, v2,..., vn ale nodurilor de acces şi

relaţiile astfel obţinute se însumează:


121

...)i...ii(v)i...ii(viv n223212n113121

n

1iiei ++++++++=∑

=

)i...ii(v 1nn2n1nn −++++ (4.150)

Deoarece iqp = - ipq, relaţia (4.150) poate fi scrisă sub forma echivalentă:

)vv(i...)vv(i...)vv(i)vv(iiv 1nn1nnqppq31132112

n

1iiei −−

=

−++−++−+−=∑ (4.151)

Deoarece vp – vq = upq = uk şi ipq = ik, k = 1, 2,…, , se obţine:

∑∑==

=

1kkk

n

1iiei iuiv (4.152)

Relaţia (4.152) constituie teorema conservării puterii instantanee: puterea instantanee

în laturile circuitului, ∑=

1kkk iu , este egală cu puterea instantanee transmisă din exterior,

∑=

=n

1iieiivp .

În cazul circuitelor liniare, aplicând laturii k legea lui Ohm generalizată (4.132),

k

kj1j

jkj

t

kk

kkkkkk e

dtdi

LdtiC1

dtdiLiRu −+++= ∑∫

≠=∞−

(4.153)


+++= ∑ ∫∑∑∑= ∞−===

1k

t

kk

k

1k

kkkk

1k

2kk

n

1iiei dti

Ci

dtdiiLiRiv

∑∑ ∑==

≠=

−+

1kkk

1kkj1j

jkkj ie

dtdi

iL (4.154)

Deoarece

,dt

dWiiLiL21

dtd

dtdi

iLdtdiiL m

1k

r

kj1j

jkkj1k

2kkk

1k

r

kj1j

jkkj

1k

kkkk =

+=+ ∑ ∑∑∑ ∑∑

=≠===

≠==

(4.155)

∑∑∑∑ ∫==== ∞−

====

1k

CkC

1kkC

1kk

k

k

1k

t

kk

k

dtdu

CuiuqCidti

Ci k

kk

dtdWuC

21

dtd e

1k

2Ck k

=

= ∑

=

(4.156)


unde - Wm este energia magnetică instantanee acumulată în câmpul magnetic al bobinelor şi

We energia electrică instantanee acumulată în câmpul electric al condensatorelor, relaţia

(4.154) se poate scrie sub forma:

)WW(dtdppp emjg ++=+ , (4.157)

unde: - ∑=

=

1k

2kkj iRp este puterea instantanee disipată prin efect Joule în rezistoare;

- ∑=

=n

1iiei ivp este puterea instantanee schimbată pe la borne cu exteriorul;

- ∑=

=

1kkkg iep reprezintă puterea instantanee schimbată de generatoare cu circuitul.

Relaţia (4.157) reprezintă teorema de conservare a puterilor instantanee în circuite

liniare. În cazul particular al unui circuit izolat, p = 0, iar dacă circuitul considerat este pasiv,

pg = 0.

4.6.4 Teorema de conservare a puterilor aparente complexe, active şi reactive

În regim permanent sinusoidal, semnalelor sinusoidale li se pot ataşa biunivoc valorile

efective complexe şi înlocuind în relaţia (4.152) mărimile instantanee cu imaginile în complex

corespunzătoare, se obţine teorema de conservare a puterilor aparente complexe:

∑∑==

==

1k

*kk

n

1i

*iei IUIVS (4.158)

adică, puterea aparentă complexă S schimbată pe la borne de circuit cu exteriorul este egală

cu puterea aparentă complexă în laturile circuitului.

Aplicând pentru fiecare latură a circuitului legea lui Ohm generalizată în valori

efective complexe (4.138),

∑≠=

+=+

kj1j

jkjkkkkk IZIZUE (4.159)

cu convenţia de semne de la receptoare, relaţia (4.158) devine:

∑ ∑∑∑= =

≠==

−+=

1k 1k

*kk

kj1j

*kjkj

1k

2kkk IEIIZIZS (4.160)


123

Deoarece Zkj = Zjk, rezultă:

∑∑∑ ∑∑∑=

≠== =

≠=

≠=

γ−γ=+=

1kkj1j

iikjkj1k 1k

kj1j

k*j

*kjkj

kj1j

*kjkj )cos(IIZ2)IIII(ZIIZ

kj (4.161)

şi relaţia (4.160) devine:

∑∑∑∑=

≠===

γ−γ+=+

1kkj1j

iikjkj1k

2kkk

1k

*kk )cos(IIZ2IZIES

kj (4.162)

Ţinând seama de relaţiile (4.137),

kjkjk

kkkkk LjZ),C1L(jRZ ω=

ω−ω+= (4.163)


ω−γ−γω+ω+=+ ∑ ∑ ∑∑∑∑

= = =≠===

1k 1k 1k k

2k

kj1j

iikjkj2kkk

1k

2kk

1k

*kk C

I)cos(IIL2ILjIRIESkj

(4.164)

Relaţia (4.164) reprezintă teorema conservării puterilor aparente complexe în circuite

neizolate în regim permanent sinusoidal şi poate fi scrisă sub forma:

S + Sg = PJ + jQX, (4.165)

unde:

∑=

=

1k

*kkg IES (4.166)

este puterea aparentă complexă la bornele generatoarelor;

∑=

=

1k

2kkJ IRP (4.167)

reprezintă puterea disipată în rezistoare prin efect electrocaloric ireversibil;

∑ ∑ ∑∑= = =

≠= ω

−γ−γω+ω=

1k 1k 1k k

2k

kj1j

iikjkj2kkkX C

I)cos(IIL2ILQkj

(4.168)

este puterea reactivă absorbită sau furnizată de bobinele şi condensatoarele circuitului.

Dacă se egalează părţile reale din expresia (4.165), se obţine teorema de conservare a

puterilor active:

P + Pg = PJ, (4.169)


unde:

∑=

γ−γ==n

1iiviei )cos(IVSRePiei

(4.170)

reprezintă puterea activă schimbată de circuit pe la borne cu exteriorul;

∑=

γ−γ==

1kiekkgg )cos(IESReP

kk (4.171)

este puterea activă schimbată de generatoare cu circuitul.

Relaţia (4.169) pune în evidenţă faptul că în regim permanent sinusoidal energia

câmpului electromagnetic este constantă; câmpul nu participă la bilanţul puterilor active, ci

numai mijloceşte transmisia puterii de la borne şi de la generatoare, la rezistoare, în care se

disipă prin efect electrocaloric.

Egalând părţile imaginare din (4.165), se obţine teorema de conservare a puterilor

reactive:

Q + Qg = QX, (4.172)

unde:

∑=

γ−γ==n

1iiviei )sin(IVSImQiei

(4.173)

reprezintă puterea reactivă schimbată de circuit pe la borne de circuit cu exteriorul;

∑=

γ−γ==

1kiekkgg )sin(IESImQ

kk (4.174)

este puterea reactivă schimbată de generatoare cu circuitul.

Relaţia (4.168) se poate scrie sub forma:

)WW(2Q emX −ω= , (4.175)

unde Wm şi We sunt energiile medii acumulate în câmpul magnetic al bobinelor, respectiv în

câmpul electric al condensatoarelor:

( )∑ ∑∑= =

≠=

γ−γ+=

1k 1kkj1j

iikjkj2kkkm kj

cosIILIL21W (4.176)

∑=

=

1k

2Cke k

UC21W (4.177)


125

4.7 ANALIZA CIRCUITELOR LINIARE ÎN REGIM

PERMANENT SINUSOIDAL

Efectuarea analizei unui circuit liniar de curent alternativ presupune cunoaşterea

aceloraşi elemente ca şi în cazul analizei circuitelor liniare de curent continuu, fiind necesar în

plus să se ştie care este numărul de subcircuite (conexe) cuplate magnetic, iar în afară de

rezistenţe să fie date inductanţele (proprii şi mutuale) şi capacităţile. Totodată, este necesar să

se calculeze puterile active şi reactive absorbite sau furnizate pe laturi.

Analiza unui circuit liniar de curent alternativ se bazează, în principal, pe utilizarea

teoremelor lui Kirchhoff.

Pentru a putea preciza condiţiile în care se poate efectua analiza unui circuit liniar în

regim permanent, eventual sinusoidal, este necesar să se cunoască câteva particularităţi

referitoare la analiza unui astfel de circuit în regim nepermanent (dar cvasistaţionar).

4.7.1 Analiza circuitelor liniare în regim cvasistaţionar

Se consideră un circuit liniar constituit din laturi, n noduri şi s subcircuite conexe

(cuplate magnetic) şi se urmăreşte determinarea semnalelor răspuns atunci când circuitul este

excitat. În acest scop se constituie sistemul liniar de ecuaţii integro - diferenţiale obţinut prin

aplicarea teoremei de curenţi a lui Kirchhoff nodurilor independente (n - s ecuaţii) şi a

teoremei de tensiuni a lui Kirchhoff ochiurilor independente ( - n + s ecuaţii):

)sn,...,2,1u(,0iuj

j −==∑∈

(4.178)

∑ ∑∑∫∈ ∈

≠=∞−

=

+++

mk mkk

kj1j

jkj

t

kk

kkkkk e

dtdi

LdtiC1

dtdiLIR

(4.179)

unde sno...,,2,1m +−== .

Soluţiile generale ale sistemului (4.178, 4.179) sunt de forma:

( ) ,,...,2,1k),t(i)t(iti kkk p

=+= (4.180)

unde pki reprezintă soluţiile particulare de forma membrului drept şi corespund regimului

permanent, iar ki constituie soluţiile sistemului omogen, caracterizând regimul liber.


Dacă excitaţiile ek(t), aplicate unui circuit liniar, sunt funcţii sinusoidale de timp, de

aceeaşi frecvenţă, răspunsurile )t(ipk vor fi de asemenea funcţii sinusoidale de timp şi de

aceeaşi frecvenţă. Prin urmare, în regim permanent sinusoidal, toate semnalele dintr-un circuit

liniar sunt funcţii sinusoidale de timp, oscilând cu aceeaşi frecvenţă. Astfel de semnale pot fi

reprezentate simbolic, geometric sau analitic.

4.7.2 Metode simbolice de analiză a circuitelor liniare în regim

permanent sinusoidal

Determinarea, în regim permanent sinusoidal, a soluţiilor particulare ale sistemului

(4.178, 4.179), de forma membrului drept, implică un mare volum de calcule (dacă se

utilizează, de exemplu, metoda substituţiei). În vederea simplificării analizei circuitelor liniare

de curent alternativ în regim permanent sinusoidal se ţine seama de posibilitatea reprezentării

simbolice a semnalelor sinusoidale, utilizând metode de analiză corespunzătoare, numite

simbolice. În acest scop se procedează după cum urmează:

• utilizând o anumită regulă de reprezentare se ataşează fiecărui semnal sinusoidal,

cunoscut sau necunoscut, numit original, un simbol, numit imagine, fazor în

reprezentarea geometrică şi mărime complexă în reprezentarea analitică;

• se determină ecuaţiile pe care le satisfac imaginile, corespunzătoare sistemului de

ecuaţii integro - diferenţiale (4.178, 4.179) ale semnalelor original;

• se soluţionează sistemul de ecuaţii satisfăcut de imagini în raport cu imaginile

necunoscute;

• în baza regulii de reprezentare simbolică se determină semnalele sinusoidale (original)

necunoscute.

Acest procedeu prezintă avantajul unui volum de calcule sensibil mai redus decât

metoda directă de analiză.

Metodele simbolice de analiză sunt geometrice sau analitice, după cum se reprezintă

semnalele sinusoidale prin fazori sau prin mărimi complexe. La rândul său, metoda simbolică

geometrică poate fi cinematică (dacă se utilizează fazori cinematici) sau polară (când se

folosesc fazori polari), iar metoda simbolică analitică poate fi în complex nesimplificat sau

simplificat, după cum se face uz de valori instantanee complexe sau de valori efective

complexe.

În cadrul metodei simbolice analitice, operaţiilor elementare relative la semnalele

sinusoidale care intervin în ecuaţiile integro - diferenţiale (4.178, 4.179) şi anume: sumare,


127

amplificare cu un scalar, derivare şi integrare în raport cu timpul, le corespund operaţii

elementare relative la fazorii (cinematici sau polari) corespunzători: sumare, amplificare cu un

scalar şi rotire cu π/2. Prin urmare, ecuaţiilor integro - diferenţiale satisfăcute de semnalele

sinusoidale le vor corespunde construcţii geometrice reprezentând însumarea a diverşi fazori

cu orientări diferite. O astfel de construcţie geometrică poartă denumirea de diagramă

fazorială, constituind imaginea ecuaţiei integro - diferenţiale a circuitului în reprezentarea

simbolică geometrică.

Pentru a analiza un circuit liniar în regim permanent sinusoidal cu ajutorul metodei

simbolice geometrice se procedează în modul următor:

• se consideră ecuaţia integro - diferenţială liniară a unui anumit semnal din circuit şi se

construiesc fazorii (cinematici sau polari) fiecărui termen, folosind corespondenţa operaţiilor;

• se construieşte fazorul corespunzător termenului liber al ecuaţiei, care închide

poligonul obţinut prin însumarea diferiţilor fazori corespunzători din ecuaţia considerată;

• se determină, prin metode geometrice (proiecţii), relaţiile dintre modulele şi

argumentele fazorilor ataşaţi semnalelor sinusoidale cunoscute şi necunoscute;

• se explicitează, din aceste relaţii, elementele semnalelor necunoscute (valori efective

şi defazaje) şi se scriu, în cele din urmă, expresiile valorilor instantanee ale semnalelor

necunoscute, pe baza regulilor de reprezentare.

Cu ajutorul metodei simbolice geometrice analiza unui circuit liniar în regim

permanent sinusoidal, sau cu alte cuvinte integrarea unui sistem de ecuaţii integro -

diferenţiale de tipul (4.178, 4.179), se reduce la determinarea, cu mijloace geometrice, a unor

segmente şi unghiuri necunoscute.

Dacă se utilizează metoda simbolică analitică, operaţiilor elementare relative la

semnalele sinusoidale care intervin în ecuaţiile integro - diferenţiale de tipul (4.178, 4.179):

sumare, amplificare cu un scalar, derivare şi integrare în raport cu timpul, le corespund

operaţii elementare relative la valorile instantanee sau efective complexe corespunzătoare:

sumare şi amplificare. Prin urmare, operaţiilor diferenţiale în raport cu timpul efectuate asupra

semnalelor sinusoidale le corespund operaţii algebrice relative la imaginile lor în complex.

Rezultă de aici că metoda simbolică analitică permite ataşarea pe lângă ecuaţiile

integro - diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi, satisfăcute de semnalele sinusoidale, a

unor ecuaţii algebrice în imaginile lor în complex. Aşadar la analiza circuitelor liniare în

regim permanent sinusoidal, cu ajutorul metodei simbolice analitice, este necesar să se

soluţioneze sisteme liniare de ecuaţii algebrice, ca şi în cazul analizei circuitelor liniare de

curent continuu.


Această observaţie permite elaborarea metodicii de analiză a circuitelor liniare în

regim permanent sinusoidal în strânsă analogie cu aceea de analiză a circuitelor liniare de

curent continuu. Analogia este şi mai pronunţată în cazul circuitelor lipsite de cuplaje

magnetice.

Pentru a analiza un circuit liniar în regim permanent sinusoidal cu ajutorul metodei

simbolice analitice se procedează după cum urmează:

• se scriu ecuaţiile integro - diferenţiale (liniare) ale circuitului, rezultate din aplicarea

teoremelor lui Kirchhoff;

• se scriu ecuaţiile algebrice - imaginile în complex ale ecuaţiilor integro -diferenţiale,

ataşând semnalelor sinusoidale cunoscute şi necunoscute imaginile lor complexe;

• se soluţionează aceste ecuaţii în raport cu imaginile necunoscute;

• se determină expresiile valorilor instantanee ale semnalelor necunoscute, pe baza

regulilor de reprezentare.

4.7.3 Analiza circuitelor liniare, lipsite de cuplaje magnetice, în regim


Se consideră un astfel de circuit constituit din laturi şi n noduri. Circuitul fiind lipsit

de cuplaje magnetice are un caracter conex şi posedă prin urmare n - l noduri independente şi

o = – n + l ochiuri independente. Analiza unui astfel de circuit, în regim permanent

sinusoidal, poate fi efectuată cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff, scrise sub formă simbolică

analitică, în valori efective complexe:

1n,...,2,1u,0Iuj

j −==∑∈

(4.181)

1no,...,2,1m,EIZmk

kmk

kkk +−=== ∑∑∈∈

(4.182)

Comparând aceste ecuaţii cu cele similare, scrise, pentru un circuit liniar de curent

continuu, se pune în evidenţă strânsa analogie care există între cele două grupe de relaţii. Pe

baza acestei analogii rezultă posibilitatea de a prelua toate metodele de analiză a circuitelor

liniare de curent continuu (v. cap. 3) şi de a le adapta sub forma simbolică (în complex) la

analiza circuitelor liniare în regim permanent sinusoidal. În acest scop se substituie tensiunile

electromotoare, tensiunile şi curenţii cu valorile lor efective (sau instantanee) complexe, iar

rezistenţele si conductanţele cu impedanţele şi admitanţele complexe.


129

Pe această cale se pot imediat formula teoremele generatoarelor echivalente de

tensiune (v. par. 3.3.2, a) şi de curent (v. par. 3.3.2, b), teorema curenţilor de ochiuri (v. par.

3.3.1, c), teorema tensiunilor de noduri (v. par. 3.3.1, d), teorema impedanţelor şi admitanţelor

de intrare şi transfer (v. par. 3.3.2, c), teorema reciprocităţii (v. par. 3.3.2, d).

4.7.4 Transformarea schemelor circuitelor liniare, lipsite de cuplaje magnetice,

în regim permanent sinusoidal

În baza analogiei stabilite între modul de scriere a teoremelor lui Kirchhoff, în

complex, pentru un circuit liniar, în regim permanent sinusoidal, lipsit de cuplaje magnetice şi

modul de scriere al aceloraşi teoreme în cazul unui circuit liniar de curent continuu, este

posibil, în primul rând, să se stabilească relaţiile de calcul ale impedanţelor echivalente

grupărilor uzuale.

Astfel, impedanţa echivalentă unei grupări de n impedanţe în serie este dată de relaţia

(v.rel. 3.26):

∑=

=n

1kke ZZ (4.183)

Deoarece ,jXRZ,jXRZ eeekkk +=+= rezultă:

∑∑==

==n

1kke

n

1kke XX,RR (4.184)

Modulele impedanţelor satisfac relaţia:

∑=

≤n

1kke ZZ (4.185)

O relaţie similară va fi satisfăcută şi de tensiunile de la bornele impedanţelor:

∑=

≤n

1kkUU (4.186)

Impedanţa echivalentă unei grupări de n impedanţe în paralel poate fi calculată cu

relaţia (v. rel. 3.32):

∑=

=n

1k ke Z1

Z1 (4.187)

iar admitanţa echivalentă va fi:

∑=

=n

1kke YY (4.188)


Dacă se ţine seama de relaţiile: ,jBGY,jBGY kkkeee −=−= rezultă:

∑∑==

==n

1kke

n

1kke BB,GG (4.189)

Modulele admitanţelor satisfac relaţia:

∑=

≤n

1kke YY (4.190)

O relaţie asemănătoare va fi satisfăcută şi de curenţii ramificaţi prin cele n impedanţe:

∑=

≤n

1kkII (4.191)

În cazul grupării complexe a impedanţelor, se recurge la teorema transfigurării.

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca un circuit liniar pasiv, in regim permanent sinusoidal,

constituit din n laturi lipsite de cuplaje magnetice, dispuse în stea, să fie echivalent cu un

circuit în poligon complet cu 2

)1n(nC2n

−= laturi este (v. rel. 3.41, b):

)kj;n,...,2,1k,j(,ZZZ

Z0

kjjk ≠== (4.192)

cu

∑=

=

n

1j j0 Z1

Z1 (4.193)

unde - jZ - reprezintă impedanţele laturilor circuitului în stea;

- iar jkZ - impedanţele laturilor circuitului în poligon complet.

Pe baza aceleiaşi analogii este posibil să se stabilească pentru circuitele liniare, lipsite

de cuplaje magnetice, în regim permanent sinusoidal, echivalenţa dintre un generator real de

tensiune şi un generator real de curent (v. par. 3.2.4, a), teorema lui Millman (v. rel. 3.36),

teorema compensaţiei (v. par. 3.2.4, d).

4.7.5 Circuite duale

Principiul dualităţii, stabilit pentru circuitele liniare de curent continuu (v. par. 3.4) îşi

îmbogăţeşte considerabil conţinutul şi îşi lărgeşte sensibil domeniul de aplicaţii, în cazul

circuitelor liniare, lipsite de cuplaje magnetice, în regim permanent sinusoidal.


131

a) b)

Fig. 4.29

Pentru a ilustra acest principiu se consideră circuitele reprezentate în figura 4.29 şi se

aplică primului circuit teorema de tensiuni a lui Kirchhoff :

ICj

1ILjIRE1

11 ω+ω+= (4.194)

iar celui de al doilea, teorema de curenţi a lui Kirchhoff :

ULj1UCjUGI

222 ω

+ω+= (4.195)

Comparând ecuaţiile (4.l94) şi (4.195) se pune în evidenţă corespondenţa prin dualitate

a următoarelor perechi de semnale şi parametri:

U ⇔ I ; R ⇔ G; L ⇔ C; Z ⇔ Y (4.196)

Datorită faptului că în cazul circuitelor liniare, lipsite de cuplaje magnetice, în regim

permanent sinusoidal, teoremele lui Kirchhoff se scriu sub formă analoagă celei

corespunzătoare circuitelor liniare de curent continuu şi ţinând seama de faptul că pentru

astfel de circuite teoremele lui Kirchhoff au un caracter dual (v. par. 3.4), rezultă că această

proprietate îşi păstrează valabilitatea şi pentru circuitele liniare, lipsite de cuplaje magnetice,

în regim permanent sinusoidal. În consecinţă, pentru astfel de circuite se corespund prin

dualitate: teorema curenţilor de ochiuri şi teorema tensiunilor de noduri, teorema

generatorului echivalent de tensiune şi teorema generatorului echivalent de curent.

4.7.6 Metoda separării puterilor active şi reactive

Relaţiile de conservare ale puterilor active (4.169) şi reactive (4.172) într-un circuit

liniar lipsit de cuplaje magnetice cu exteriorul, în regim permanent sinusoidal, pot fi utilizate

în vederea efectuării analizei circuitului. Astfel, considerând drept necunoscute valoarea

efectivă a curentului şi defazajul, sistemul de ecuaţii (4.169) şi (4.172) poate fi utilizat pentru

determinarea acestor mărimi.


Fig. 4.30

Fie, de exemplu, circuitul reprezentat în figura 4.30 ai cărui parametri R1, R2, R3, L şi

C sunt cunoscuţi; de asemenea este dată valoarea efectivă a tensiunii la borne, U. Se

urmăreşte determinarea valorii efective a curentului I şi a defazajului ϕ.

Se calculează puterile active şi reactive absorbite sau cedate pe laturi, ţinând seama de

convenţia relativă la semnele puterilor (v. par. 4.5):

2

2223

32333

2

22222

2222

1

12111 U

C1R

RIRP,RUIRP,U

LRRIRP

ω+

====ω+

== (4.197)

2

2223

322

2221

2111 U

C1R

1C

1Q,0Q,ULR

LIXQ

ω+ω

−==ω+

ω== (4.198)

Pe de altă parte, circuitul absoarbe pe la borne o putere activă şi absoarbe sau cedează

o putere reactivă, care se determină cu relaţiile:

ϕ=ϕ= sinUIQ,cosUIP (4.199)

În baza relaţiilor de conservare ale puterilor active şi reactive, se pot scrie egalităţile:

321321 QQQQ,PPPP ++=++= (4.200)

Dacă se ţine seama de relaţiile (4.197) – (4.199), relaţiile (4.200) conduc la sistemul:

2

2223

32

22

2221

1 U

C1R

RRUU

LRRcosUI

ω+

++ω+

=ϕ (4.201)

2

2223

2222

1

U

C1R

1C

1ULR

LsinUI

ω+ω

−ω+

ω=ϕ (4.202)

ale cărui rădăcini, I şi ϕ, constituie soluţia problemei.


133

4.8 CIRCUITE LINIARE ELEMENTARE IDEALE ÎN REGIM


Prin circuite elementare ideale se vor înţelege: rezistorul ideal, bobina ideală,

condensatorul ideal, grupările lor în serie sau paralel, alimentate fie de un generator ideal de

tensiune, fie de un generator ideal de curent. În fiecare din aceste cazuri se va considera că

tensiunea electromotoare a generatorului de tensiune, egală cu tensiunea la borne, este

( )utsinU2u γ+ω= , iar curentul generatorului de curent, ( )itsinI2i γ+ω= . Acestor

semnale li se ataşează fie câte un fazor (cinematic sau polar), fie câte o valoare instantanee

sau efectivă complexă:

( ) ⇔γ+ω=⇔γ+ω= ucu tU2uFtsinU2u

uu j)t(jup UeUUe2uUuF γγ+ω =⇔=⇔γ=⇔ (4.203)

( ) ⇔γ+ω=⇔γ+ω= ici tI2iFtsinI2i

ii j)t(jip IeIIe2iIiF γγ+ω =⇔=⇔γ=⇔ (4.204)

4.8.1 Rezistorul ideal în regim permanent sinusoidal

Se consideră un rezistor ideal de rezistenţă R = 1/G, în regim permanent, alimentat fie

de un generator ideal de tensiune sinusoidală (fig. 4.31, a), fie de un generator ideal de curent

sinusoidal (fig. 4.31, b). Dacă se aplică legea lui Ohm se obţine:

u = R i, i = G u (4.205)

sau sub formă simbolică, în valori efective complexe:

UGI,IRU == (4.206)

a) b)

Fig. 4.31 Fig. 4.32



U = RI, ϕ = γu- γi = 0 (4.207)

Prin urmare:

• curentul care circulă printr-un rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un

generator de tensiune sinusoidală, este simfazic cu tensiunea la borne (fig. 4.32):

( )utsinRU2i γ+ω= (4.208)

• tensiunea la bornele unui rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un generator

de curent sinusoidal, este simfazică cu curentul (fig. 4.32):

( )itsinGI2u γ+ω= (4.209)

În cazul rezistorului ideal, în regim permanent sinusoidal:

0sinYB,GR1

Z1Y,0sinZX,R

IUZ =ϕ=====ϕ=== (4.210)

De asemenea:

0sinII,IcosII,0sinUU,UcosUU rara =ϕ==ϕ==ϕ==ϕ= (4.211)

Puterea instantanee absorbită de rezistor pe la borne va fi:

( ) ( )[ ]=γ+ω−=γ+ω== u

2

u2

2

t2cos1RUtsin

RU2iup

( ) ( )[ ] 0t2cos1GItsin

GI2

i

2

i2

2

≥γ+ω−=γ+ω= (4.212)

şi are caracterul unei puteri instantanee de pulsaţie (v. par. 4.5.5).

Fig. 4.33


135

Tensiunea u(t), curentul i(t) şi puterea instantanee p(t) sunt reprezentate în figura 4.33.

Puterea aparentă complexă este dată de:

22* GURIIUS === (4.213)

încât:

0SImQ,0GURISReP 22 ==>=== (4.214)

Rezultă că un rezistor ideal în regim permanent sinusoidal, absoarbe putere activă pe

care o transformă în căldură prin efect electrocaloric, nu absoarbe şi nici nu furnizează putere

reactivă.

4.8.2 Bobina ideală în regim permanent sinusoidal

Fig. 4.34

Se consideră o bobină ideală, de inductanţă L, alimentată fie de un generator ideal de

tensiune sinusoidală (fig.4.34, a), fie de un generator ideal de curent sinusoidal (fig. 4.34, b).

Aplicând bobinei legea lui Ohm generalizată, se obţine:

∫== udtL1i,

dtdiLu (4.215)

sau în valori efective complexe:

LjUI,ILjUω

=ω= (4.216)

Din relaţiile (4.216) rezultă:

2,ILU iu

π=γ−γ=ϕω= (4.217)

Din a doua relaţie (4.217) rezultă:

• curentul care circulă printr-o bobină ideală în regim permanent, alimentată de la un

generator ideal de tensiune sinusoidală, este defazat în urma tensiunii la borne cu π/2 (fig.

4.35):


π

−γ+ωω

=2

tsinL

U2i u (4.218)

• tensiunea la bornele unei bobine ideale, în regim permanent, alimentată de la un

generator ideal de curent sinusoidal, este defazată înaintea curentului cu π/2.

π

+γ+ωω=2

tsinLI2u i (4.219)

Fig. 4.35 Fig. 4.36

În ambele cazuri:

LXLsinZX,LjIUZ =ω=ϕ=ω== (4.220)

LBL

1sinYB,Lj

1UIY =

ω=ϕ=

ω== (4.221)

unde XL reprezintă reactanţa inductivă iar BL susceptanţa inductivă.

De asemenea:

IsinII,0cosII,UsinUU,0cosUU rara =ϕ==ϕ==ϕ==ϕ= (4.222)

Puterea instantanee schimbată de bobină pe la borne cu generatoarele exterioare este

dată de relaţia:

( ) ( ) ( ) =γ+ωω

−=γ+ωγ+ωω

−== u

2

uu

2

t2sinL

UtcostsinL

U2uip

( ) ( ) ( )i2

ii2 t2sinLItcostsinLI2 γ+ωω=γ+ωγ+ωω= (4.223)

şi este de natura unei puteri instantanee de oscilaţie (v. par. 4.5.5).


Puterea aparentă complexă se calculează cu relaţia:

2L

2L

22 UjBIjXULjILj*IUS ==

ω=ω== (4.224)

încât:

0UBIXSImQ,0SReP 2L

2L >===== (4.225)


137

Prin urmare, o bobină ideală în regim permanent sinusoidal nu absoarbe putere activă

şi absoarbe putere reactivă.

4.8.3 Condensatorul ideal în regim permanent sinusoidal

Un condensator ideal, de capacitate C, este alimentat fie de un generator ideal de

tensiune sinusoidală (fig. 4.37 a), fie de un un generator ideal de curent sinusoidal (fig. 4.37 b).

a) b)

Fig. 4.37

În ambele cazuri se pot scrie relaţiile:

dtduCi,idt

C1u == ∫ (4.226)


UCjI,ICj

1U ω=ω

= (4.227)

Dacă se compară relaţiile (4.215), (4.226) sau (4.216), (4.227) se observă că au un

caracter dual şi anume bobina ideală alimentată de un generator ideal de tensiune este duală

unui condensator ideal alimentat de un generator ideal de curent, iar o bobină ideală

alimentată de un generator ideal de curent este duală unui condensator ideal alimentat de un

generator ideal de tensiune.

Ţinând seama de corespondenţa stabilită rezultă că:

2,CUI iu

π−=γ−γ=ϕω= (4.228)

încât:

• curentul care circulă printr-un condensator ideal în regim permanent, alimentat de un

generator ideal de tensiune sinusoidală este defazat înaintea tensiunii la borne cu π⁄2 (fig.

4.38):

π

+γ+ωω=2

tsinCU2i u (4.229)

• tensiunea la bornele unui condensator, în regim permanent alimentat de un generator

ideal de curent sinusoidal este defazată în urma curentului cu π/2 (fig. 4.38):


π

−γ+ωω

=2

tsinCI2u i (4.230)

În ambele cazuri:

cXC

1sinZX,Cj

1IUZ =

ω=ϕ=

ω== (4.231)

cBCsinYB,CjUIY =ω=ϕ=ω== (4.232)

unde Xc reprezintă reactanţa capacitivă, iar Bc susceptanţa capacitivă.

Totodată:

UsinUU,0cosUU ra =ϕ==ϕ= (4.233)

IsinII,0cosII ra =ϕ==ϕ= (4.234)

Fig. 4.38 Fig. 4.39

Puterea instantanee schimbată de condensator pe la borne cu generatoarele se determină

cu relaţia:

( ) ( )u2

i

2

t2sinCUt2sinC

Ip γ+ωω=γ+ωω

−= (4.235)

şi este de natura unei puteri instantanee de oscilaţie.


Puterea aparentă complexă se calculează cu relaţia:

2C

2c

22 UjBIjXCUjICj*IUS −=−=ω−=

ω−== (4.236)

de unde rezultă:

0UBIXSImQ,0SReP 2C

2C <−=−==== (4.237)

Prin urmare, un condensator ideal, în regim permanent sinusoidal, nu absoarbe putere

activă şi furnizează putere reactivă.

Această proprietate remarcabilă a condensatoarelor le oferă posibilitatea de a fi utilizate

în mod avantajos în instalaţiile de ameliorare a factorului de putere.


139

4.8.4 Bobina ideală în serie cu un rezistor ideal în regim permanent sinusoidal

Se consideră o bobină ideală, de inductanţă L, în serie cu un rezistor ideal, de

rezistenţă R, alimentate fie de un generator ideal de tensiune sinusoidală (fig. 4.40, a), fie de

un generator ideal de curent sinusoidal (fig. 4.40, b).

Dacă se aplică unui astfel de circuit legea lui Ohm generalizată se obţine ecuaţia

diferenţială:

dtdiLRiu += (4.238)

În valori efective complexe rezultă ecuaţia algebrică:

( )ILjRU ω+= (4.239)

Prin urmare:

RLarctg,LRIU iu

222 ω=γ−γ=ϕω+= (4.240)

încât:

• curentul care circulă printr-o bobină ideală, legată în serie cu un rezistor ideal, în

regim permanent sinusoidal, alimentate de un generator ideal de tensiune sinusoidală, este:

ω

−γ+ωω+

=RLarctgtsin

LRU2i u222

(4.241)

• tensiunea la bornele circuitului constituit prin gruparea în serie a unei bobine ideale şi

a unui rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un generator ideal de curent sinusoidal,

este:

ω

+γ+ωω+=RLarctgtsinLRI2u i

222 (4.242)


LXX,LjRIUZ L ω==ω+== (4.243)

Puterea aparentă complexă este dată de relaţia:

2L

222 IjXRILIjRI*IUS +=ω+== (4.244)

încât:

0IXQ,0RIP 2L

2 >=>= (4.245)

În figura 4.40 este reprezentată diagrama fazorială a tensiunilor.


Fig. 4.41

4.8.5 Bobina ideală în paralel cu un rezistor ideal în regim permanent sinusoidal

O bobină ideală, de inductanţă L, în paralel cu un rezistor ideal de rezistenţă R, se

alimentează fie de la un generator ideal de tensiune sinusoidală (fig. 4.42, a), fie de la un

generator ideal de curent sinusoidal (fig. 4.42, b).

Fig. 4.42

Se aplică oricărui din aceste circuite teorema de curenţi a lui Kirchhoff:

21 iii += (4.246)

unde:

∫== udtL1i,

Rui 21 (4.247)

încât ecuaţia (4.246) devine:

∫+= udtL1

Rui (4.248)

Acestei ecuaţii i se poate ataşa ecuaţia algebrică în valori efective complexe:

ULj

R1I

ω−= (4.249)


LRarctg,

L1

R1UI iu222 ω

=γ−γ=ϕω

+= (4.250)

încât:

• curentul care circulă prin grupul constituit din legarea în paralel a unei bobine ideale şi

a unui rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un generator ideal de tensiune

sinusoidală, este:


141

ω−γ+ω

ωω+

=L

RarctgtsinLR

LRU2i u

222

(4.251)

• tensiunea la bornele circuitului constituit prin gruparea în paralel a unei bobine ideale

şi a unui rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un generator ideal de curent

sinusoidal este:

ω+γ+ω

ω+

ω=

LRarctgtsin

LRLRI2u i222

(4.252)

Admitanţa complexă a circuitului se deduce din (4.249)

L1B;

R1G;

Lj

R1

UIY L ω

==ω

−== (4.253)

Puterea aparentă complexă rezultă:

,QjPUjBGUUL

1jUR1*IUS 2

L222 +=+=

ω+== (4.254)

unde: 2

L2 UBQ,GUP == (4.255)

În figura 4.43 s-a trasat diagrama fazorială a circuitului constituit prin gruparea în

paralel a unei bobine ideale şi a unui rezistor ideal în regim permanent sinusoidal.

Fig. 4.43

4.8.6 Condensatorul ideal în serie cu un rezistor ideal în regim permanent sinusoidal

Se consideră gruparea în serie a unui condensator ideal de capacitate C şi a unui rezistor

ideal de rezistenţă R, alimentată fie de un generator ideal de tensiune sinusoidală (fig. 4.44, a),

fie de un generator ideal de curent sinusoidal (fig. 4.44, b).

a) b)

Fig. 4.44


Aplicând legea lui Ohm generalizată se obţine ecuaţia:

∫+= idtC1Riu (4.256)

căreia i se poate ataşa, în regim permanent sinusoidal, ecuaţia algebrică în valori efective

complexe:

ICjRU

ω−= (4.257)

Dacă se compară relaţiile (4.249) şi (4.257), se observă că se corespund prin dualitate.

Rezultă că gruparea în paralel a unei bobine ideale şi a unui rezistor ideal alimentată de la un

generator ideal de tensiune este duală grupării în serie a unui condensator ideal şi a unui

rezistor ideal alimentată de la un generator ideal de curent. De asemenea, gruparea în paralel a

unei bobine ideale şi a unui rezistor ideal alimentată de la un generator ideal de curent este

duală grupării în serie a unui condensator ideal şi a unui rezistor ideal alimentată de un

generator ideal de tensiune.

În baza acestei corespondenţe rezultă:

CR1arctg,

C1RIU iu22

2

ω−=γ−γ=ϕ

ω+= (4.258)

şi deci:

• curentul care circulă printr-un condensator ideal în serie cu un rezistor ideal, în regim

permanent, alimentate de un generator ideal de tensiune sinusoidală este:

ω+γ+ω

ω+

=CR1arctgtsin

C1R

U2i u

222

(4.259)

• tensiunea la bornele circuitului obţinut prin gruparea în serie a unui condensator ideal

şi a unui rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un generator ideal de curent

sinusoidal, este:

ω−γ+ω

ω+=

CR1arctgtsin

C1RI2u i2

2 (4.260)

Impedanţa complexă a circuitului rezultă din relaţia (4.257):

C1XX,

CjR

IUZ c ω

==ω

−== (4.261)


143

Puterea aparentă complexă se determină cu relaţia:

2C

222 IjXRIICjRI*IUS −=

ω−== (4.262)

de unde se deduce: 2

C2 IXQ,RIP −== (4.263)

Ţinând seama de dualitatea stabilită se poate construi direct diagrama fazorială, de

aceeaşi formă cu cea reprezentată în figura 4.43, substituind conductanţa prin rezistenţă,

inductanţa prin capacitate şi valoarea efectivă complexă a tensiunii (curentului) prin valoarea

efectivă complexă a curentului (tensiunii).

4.8.7 Condensatorul ideal în paralel cu un rezistor ideal în regim


Un condensator ideal, de capacitate C, în paralel cu un rezistor ideal, de rezistenţă R,

este alimentat fie de un generator ideal de tensiune (fig.4.45, a), fie de un generator ideal de

curent (fig.4.45, b).

a) b)

Fig. 4.45

Se aplică oricăruia din aceste circuite teorema de curenţi a lui Kirchhoff, obţinându-se:

dtduC

Rui += (4.264)

Ecuaţiei diferenţiale (4.264) i se poate ataşa ecuaţia algebrică în valori efective

complexe:

UCjR1I

ω+= (4.265)

Comparând relaţiile (4.238), (4.264) sau (4.239), (4.265) se observă că se corespund

prin dualitate. Rezultă că gruparea în serie a unei bobine ideale şi a unui rezistor ideal,

alimentată de un generator ideal de tensiune, este duală grupării în paralel a unui condensator


ideal şi a unui rezistor ideal, alimentată de un generator ideal de curent. De asemenea,

gruparea în serie a unei bobine ideale şi a unui rezistor ideal, alimentată de un generator ideal

de curent este duală grupării în paralel a unui condensator ideal şi a unui rezistor ideal,

alimentată de un generator ideal de tensiune.

În baza acestei corespondenţe se obţine:

CRarctg,CR1UI iu

222 ω−=γ−γ=ϕω+= (4.266)

Aşadar:

• curentul care circulă printr-un condensator ideal legat în paralel cu un rezistor ideal, în

regim permanent, alimentat de un generator ideal de tensiune sinusoidală este:

( )CRarctgtsinCR1U2i u

222 ω+γ+ωω+= (4.267)

• tensiunea la bornele circuitului obţinut prin gruparea în paralel a unui condensator

ideal şi a unui rezistor ideal, în regim permanent, alimentat de un generator ideal de curent

sinusoidal este:

( )CRarctgtsinC

R1

I2u i22

2

ω−γ+ωω+

= (4.268)

Admitanţa complexă a acestui circuit este:

CB,R1G,jBGCj

R1

UIY cc ω==+=ω+== (4.269)

Puterea aparentă complexă este în acest caz:

2c

222 UjBGUCUjUR1*IUS −=ω−== (4.270)

În baza dualităţii stabilite, diagrama fazorială este de aceeaşi formă cu cea reprezentată

în figura 4.41, substituind rezistenţa prin conductanţă, inductanţa prin capacitate, valoarea

efectivă complexă a curentului (tensiunii) prin valoarea efectivă complexă a tensiunii

(curentului).


145

4.8.8 Rezistorul ideal, bobina ideală şi condensatorul ideal, grupate în

serie, în regim permanent sinusoidal

Se consideră circuitul reprezentat în figura 4.46, alimentat fie de un generator ideal de

tensiune, fie de un generator ideal de curent, căruia i se aplică legea lui Ohm generalizată:

∫++= idtC1

dtdiLRiu (4.271)

a) b)

Fig. 4.46

Ecuaţiei (4.271) i se poate ataşa, în regim permanent sinusoidal, ecuaţia algebrică, în

valori efective complexe:

IC

1LjRU

ω−ω+= (4.272)

care permite să se stabilească relaţiile:

RC

1Larctg,

C1LRIU iu

22 ω

−ω=γ−γ=ϕ

ω−ω+= (4.273)

Prin urmare:

• curentul care circulă printr-un rezistor ideal legat în serie cu o bobină ideală şi un

condensator ideal, în regim permanent, alimentat de un generator ideal de tensiune

sinusoidală, este:

ω

−ω−γ+ω

ω−ω+

=R

C1L

arctgtsin

C1LR

U2i u22

(4.274)

• tensiunea la bornele circuitului obţinut prin gruparea în serie a unui rezistor ideal, a

unei bobine ideale şi a unui condensator ideal, în regim permanent, alimentat de un generator

ideal de curent sinusoidal, este:


ω

−ω+γ+ω

ω−ω+=

RC

1Larctgtsin

C1LRI2u i

22 (4.275)

Impedanţa complexă a circuitului se determină din (4.272):

CL XXX,jXRC

1LjRIUZ −=+=

ω−ω+== (4.276)

Puterea aparentă complexă se determină cu relaţia:

jQPIjXIRIC

1LjRI*IUS 2222 +=+=

ω−ω+== (4.277)

încât: 22 XIQ,RIP == (4.278)

Fig. 4.47

În figura 4.47 s-a reprezentat diagrama fazorială care corespunde unui circuit inductiv

(ϕ > 0, XL > XC → X > 0, BL > BC → B > 0, Q > 0). O diagramă similară se poate trasa în

cazul unui circuit capacitiv (ϕ < 0, XL < XC → X < 0, BL < BC → B < 0, Q < 0).

Dacă se amplifică cu i expresia (4.271), se obţine puterea instantanee schimbată de

circuit, pe la borne, cu exteriorul:

( ) ( )dt

WWdRiCuLi21

dtdRi

dtduCu

dtdiLiRip em22

C22C

C2 +

+=

++=++= (4.279)

unde uC=q/C reprezintă valoarea instantanee a tensiunii la bornele condensatorului.

Energia schimbată pe la borne de circuit cu generatoarele exterioare este, în regim

permanent:

em2 WWdtRipdtW ++== ∫∫ (4.280)

Se pune în evidenţă existenţa unor oscilaţii de energie între generatoarele exterioare şi

câmpul electromagnetic, cu disipare de energie pe rezistor.


147

4.8.9 Rezistorul ideal, bobina ideală şi condensatorul ideal, grupate în

paralel, în regim permanent sinusoidal

Fie un astfel de grup de elemente ideale, alimentat de un generator ideal de tensiune

(fig.4.48 a) sau de un generator ideal de curent (fig.4.48 b).

a) b)

Fig. 4.48

Se aplică oricăruia din cele două circuite teorema de curenţi a lui Kirchhoff:

321 iiii ++= (4.281)

unde:

dtduCi,udt

L1i,

Rui 321 === ∫ (4.282)

încât relaţia (11.75) devine:

dtduCudt

L1Gui ++= ∫ (4.283)

unde G = 1/R.

Regimul fiind permanent sinusoidal, se poate utiliza metoda simbolică analitică în

complex simplificat, ecuaţiei (4.283), în valori instantanee, i se ataşează ecuaţia algebrică:

UCL

1jGI

ω−ω

−= (4.284)

în valori efective complexe.

Circuitele reprezentate în figura 4.46, a şi figura 4.48, b, respectiv 4.46, b şi 4.48, a

sunt duale. În baza acestei corespondenţe rezultă:

GL

1Carctg,

L1CGUI iu

22 ω

−ω−=γ−γ=ϕ

ω−ω+= (4.285)


Prin urmare:

• curentul care circulă prin circuitul constituit din gruparea obţinută din legarea în

paralel a unui rezistor ideal, unei babine ideale şi unui condensator ideal în regim permanent,

alimentat de un generator ideal de tensiune sinusoidală, este:

ω

−ω+γ+ω

ω−ω+=

GL

1Carctgtsin

L1CGU2i u

22 (4.286)

• tensiunea la bornele circuitului obţinut prin gruparea în paralel a unui rezistor ideal, a

unei bobine ideale şi a unui condensator ideal, în regim permanent, alimentat de un generator

ideal de curent sinusoidal, este:

ω

−ω−γ+ω

ω−ω+

=G

L1C

arctgtsin

L1CG

I2u i22

(4.287)

Admitanţa complexă a circuitului se determină din relaţia (4.284):

CL BBB,jBGCL

1jGY −=−=

ω−ω

−= (4.288)

Puterea aparentă complexă va fi:

2222 jBUGUUCL

1jGU*IUS +=

ω−ω

+== (4.289)

şi deci:

22 BUQ,GUP == (4.290)

Dacă se ţine seama de corespondenţa prin dualitate stabilită între circuitele

reprezentate în figura 4.46 şi figura 4.48, rezultă că diagrama fazorială poate fi obţinută direct,

fiind de aceeaşi formă cu cea reprezentată în figura 4.47, substituind însă rezistenţa prin

conductanţă, inductanţa (capacitatea) prin capacitate (inductanţă) şi valoarea efectivă a

tensiunii (curentului) prin valoarea efectivă complexă a curentului (tensiunii).

Pe aceeaşi cale se poate arăta că puterea instantanee schimbată de circuit, pe la borne,

cu generatoarele exterioare, este dată de relaţia:

( ) ( )dt

WWdGuCuLi21

dtdGup em222

22 +

+=

++= (4.291)


149

iar energia în regim permanent:

em2 WWdtGupdtW ++== ∫∫ (4.292)

Concluziile sunt analoge celor din paragraful 4.8.8.

4.9 CIRCUITE CUPLATE ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

Două circuite se spune că sunt cuplate dacă procesele care au loc în unul din circuite

influenţează desfăşurarea proceselor în cel de al doilea circuit.

Se deosebesc trei tipuri de cuplaje:

• cuplajul inductiv, care poate fi realizat fie prin inductanţe proprii (fig. 4.49 a), fie prin

inductanţe mutuale (fig. 4.49 b);

• cuplajul capacitiv (fig. 4.50 a);

• cuplajul galvanic (prin rezistor, fig. 4.50 b).

a) b)

Fig. 4.49

a) b)

Fig. 4.50

4.9.1 Circuite cuplate prin inductanţă mutuală

Două circuite conexe sunt cuplate prin inductanţă mutuală (L12 = L21 =M) dacă fiind

parcurse de curenţi, o parte din fluxul magnetic produs de curentul care circulă prin unul din

circuite străbate suprafaţa delimitată de conturul conductor al celui de al doilea circuit (v. par.

2.2.3). Acest cuplaj este aditiv (fig. 2.7, a) dacă fluxul magnetic propriu este de acelaşi sens cu


fluxul produs de circuitul vecin şi diferenţial în caz contrar (fig. 2.7, b). Dacă curenţii intră

sau ies simultan prin bornele polarizate, cuplajul este aditiv şi inductivitatea mutuală este

pozitivă M > 0 (fig. 2.7, c). În caz contrar, cuplajul este diferenţial şi M < 0 (fig. 2.7, d).

Prezenţa cuplajelor prin inductanţe mutuale într-un circuit liniar complică considerabil

problema transformării schemelor lor şi în particular determinarea impedanţei echivalente. În

astfel de cazuri nu mai este posibil să se utilizeze relaţiile de calcul ale impedanţei echivalente

folosite în cazul circuitelor liniare lipsite de cuplaje magnetice şi analoage celor din cazul

circuitelor liniare de curent continuu. Stabilirea unor reguli generale fiind dificilă, se vor

prezenta doar cazurile simple ale grupării în serie şi în paralel a două circuite cuplate prin

inductanţă mutuală.

Gruparea în serie

Fig. 4.51

Se consideră două bobine având rezistenţele R1, R2, inductivităţile proprii L1, L2 şi

inductivitatea mutuală M, grupate în serie (fig. 4.51). Aplicând fiecărei bobine legea lui Ohm

generalizată, se obţine:

,dtdiM

dtdiLiRu 111 ++=

dtdiM

dtdiLiRu 222 ++= (4.293)

încât:

dtdi)M2LL(i)RR(uuu 212121 ++++=+= (4.294)

Rezultă că circuitul dat are o rezistenţă echivalentă şi o inductivitate echivalentă date

de relaţiile:

M2LLL,RRR 21e21e ++=+= (4.295)

În cazul cuplajului aditiv, inductivitatea mutuală este pozitivă şi inductivitatea

echivalentă este:

M2LLL 21ea ++= (4.296)


151

în timp ce pentru cuplajul diferenţial, deoarece M < 0, rezultă:

M2LLL 21ed −+= (4.297)

Deoarece:

212

2121 LL2)LL(LL +−=+ (4.298)

rezultă:

0)LL(LL2LL 2212121 >−=−+ (4.299)

Datorită dispersiei magnetice, 21LLM < şi deci:

212121 LL2LLM2LL −+>−+ (4.300)

încât 0Led > . Prin urmare, în regim permanent sinusoidal, curentul este totdeauna defazat în

urma tensiunii la borne.

În regim permanent sinusoidal ecuaţiile (4.293) şi (4.294) se pot scrie în valori

efective complexe:

IMjILjIRU,IMjILjIRU 222111 ω+ω+=ω+ω+= (4.301)

I)M2LL(jI)RR(UUU 212121 ++ω++=+= (4.302)

Puterea aparentă complexă absorbită de cele două bobine cuplate prin inductivitate

mutuală este:

QjPI)M2LL(jI)RR(IUS 221

221

* +=++ω++== (4.303)

Din relaţia (4.303 rezultă puterea activă disipată în rezistenţe,

221 I)RR(P += (4.304)

şi putere reactivă absorbită de bobine:

221 I)M2LL(Q ++ω= (4.305)

Gruparea în paralel

Se aplică fiecărei bobine (fig. 4.52) legea lui Ohm generalizată:

,dtdiM

dtdiLiRu 21

111 ++= dtdiM

dtdiLiRu 12

222 ++= (4.306)



,IMjI)LjR(U 2111 ω+ω+= 1222 IMjI)LjR(U ω+ω+= (4.307)

Fig. 4.52

Soluţionând sistemul de ecuaţii în raport cu I1 şi I2, se obţine:

21221

12122

1221

1221 ZZZ

ZZUI,ZZZ

ZZUI−

−=

−−

= (4.308)

unde:

MjZ,LjRZ,LjRZ 12222111 ω=ω+=ω+= (4.309)

Utilizând relaţiile (4.308) se obţine curentul total:

e21221

122121 Z

UZZZ

Z2ZZUIII =−−+

=+= (4.310)

unde eee LjRZ ω+= reprezintă impedanţa echivalentă, iar Re şi Le sunt rezistenţa şi

inductivitatea echivalentă.

Ţinând seama de relaţiile (4.307), se obţin puterile aparente complexe absorbite de

cele două bobine:

=ω+ω+== 2*1

2111

*11 IIMjI)LjR(IUS

=ω+ω+= π−γ−γ− )2/(j21

2111

2i1ieIIMI)LjR(

)]cos(IIMIL[j)sin(IIMIR2121 ii21

211ii21

211 γ−γω+ω+γ−γω+= (4.311)

=ω+ω+== 1*2

2222

*22 IIMjI)LjR(IUS

=ω+ω+= π+γ−γ− )2/(j21

2222

2i1ieIIMI)LjR(

)]cos(IIMIL[j)sin(IIMIR2121 ii21

222ii21

222 γ−γω+ω+γ−γω−= (4.312)


153

Din relaţiile (4.311) şi (4.312) rezultă puterile active şi reactive:

)sin(IIMIRP21 ii21

2111 γ−γω+= (4.313)

)sin(IIMIRP21 ii21

2222 γ−γω−= (4.314)

)cos(IIMILQ21 ii21

2111 γ−γω+ω= (4.315)

)cos(IIMILQ21 ii21

2222 γ−γω+ω= (4.316)

Puterea activă totală absorbită de la reţea este:

222

21121 IRIRPPP +=+= (4.317)

Din relaţiile (4.313), (4.314) şi (4.317) se observă că deşi puterea activă totală

absorbită de la reţea este folosită exclusiv pentru acoperirea pierderilor prin efect

electrocaloric, în expresiile puterilor active corespunzătoare celor două bobine grupate în

paralel intervine câte un termen suplimentar, )sin(IIM21 ii21 γ−γω± , reprezentând

puterea activă transferată prin inducţie electromagnetică de la o bobină la alta.

4.10 REZONANŢA ÎN CIRCUITE LINIARE ÎN REGIM


Se consideră un dipol liniar activ, având incluse în structura sa atât bobine cât şi

condensatoare, excitat de un semnal sinusoidal. Amplitudinea şi faza iniţială a semnalului

răspuns, în regim permanent sinusoidal, depind de frecvenţa semnalului excitaţie. Dacă

frecvenţa sau eventual parametrii dipolului variază continuu, atunci pentru anumite valori ale

acestora defazajul dintre semnalele răspuns şi excitaţie se anulează. Regimurile de funcţionare

ale unui astfel de dipol, excitat de un semnal (tensiune sau curent) sinusoidal, în care se

anulează defazajul dintre excitaţie şi răspuns (curent sau tensiune) poartă denumirea de

regimuri de rezonanţă. Valorile frecvenţei semnalului excitaţie precum şi cele ale

parametrilor dipolului, corespunzătoare regimurilor de rezonanţă, se numesc frecvenţe de

rezonanţă, respectiv parametri de rezonanţă.

Odată cu anularea defazajului dintre excitaţia sinusoidală (tensiune sau curent) şi

răspunsul sinusoidal (curent sau tensiune) de regim permanent, se anulează:

• reactanţa echivalentă a dipolului;

• susceptanţa echivalentă a dipolului;


• puterea reactivă schimbată de dipol cu exteriorul.

Prin urmare, condiţia de realizare a rezonanţei la poarta de acces a unui dipol liniar,

pasiv, în regim permanent sinusoidal, poate fi scrisă sub una din următoarele forme

echivalente:

0Q,0B,0X,0 ee ====ϕ (4.318)

Rezonanţa poate fi obţinută, în principiu, în circuite oricât de complexe, însă

proprietăţile semnificative ale unor astfel de regimuri se pun în evidenţă, cel mai simplu, în

circuitele constituite din rezistoare, bobine şi condensatoare ideale, grupate în serie sau în

paralel.

4.10.1 Rezonanţa de tensiuni

Un astfel de regim poate fi obţinut, în cazul cel mai simplu, în circuitul constituit prin

gruparea în serie a unui rezistor ideal, a unei bobine ideale şi a unui condensator ideal,

alimentat fie de un generator ideal de tensiune sinusoidală (fig. 4.46, a), fie de un generator

ideal de curent sinusoidal (fig. 4.46, b).

Impedanţa circuitului este (v. prima relaţie 4.276):

22

C1LRZ

ω−ω+= (4.319)

Regimul este rezonant dacă este îndeplinită condiţia (v. a doua relaţie 4.318):

0C

1LXe =ω

−ω= (4.320)

Din relaţia (4.320) rezultă că rezonanţa poate fi realizată fie prin variaţia frecvenţei

excitaţiei, fie prin variaţia parametrilor (inductivitatea bobinei sau capacitatea

condensatorului).

Dacă regimul de rezonanţă este obţinut prin variaţia frecvenţei semnalului excitaţie,

din relaţia (4.320) se obţine pulsaţia de rezonanţă,

CL1

r =ω (4.321)

şi frecvenţa de rezonanţă,

CL21fr

π= (4.322)


155

În cazurile în care rezonanţa este realizată prin variaţia parametrilor, din relaţia (4.320)

se determină inductivitatea de rezonanţă şi capacitatea de rezonanţă:

L1C,

C1L 2r2r ω

=ω

= (4.323)

Deoarece, la rezonanţă, reactanţa echivalentă a circuitului se anulează (4.320),

impedanţa (4.319) este minimă şi egală cu rezistenţa R,

Zr = R (4.324)

iar curentul este maxim,

RUIr = (4.325)

La rezonanţă, tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului sunt:

rrL I)L(Ur

ω= , rr

C I)C(

1Ur ω= (4.326)

Ţinând seama de condiţia (4.320), ,)C(

1)L(r

r ω=ω rezultă că la rezonanţă tensiunile

la bornele bobinei şi condensatorului sunt egale:

rr CL UU = (4.327)

În figura 4.53 este reprezentată diagrama fazorială, la rezonanţă. Se observă că este

posibil ca la rezonanţă tensiunile la bornele bobinei şi condensatorului să depăşească valoarea

tensiunii aplicate la bornele circuitului; se pune astfel în evidenţă posibilitatea producerii unor

supratensiuni, de unde şi denumirea de rezonanţa de tensiuni.

Fig. 4.53

Apariţia supratensiunilor la rezonanţă este condiţionată de satisfacerea inegalităţilor:

rRrr

rr IRUUI)C(

1I)L(r==>

ω=ω (4.328)


sau,

R)C(

1)L(r

r >ω

=ω (4.329)

Condiţia de rezonanţă (4.320) se poate scrie sub forma:

ρ=

=

ωω=

ω=ω

rrr

rr C

L)C(

1)L()C(

1)L( (4.330)

unde ρ se numeşte impedanţă caracteristică. Se observă că impedanţa caracteristică este egală

cu raportul dintre tensiunea la bornele bobinei sau condensatorului şi curentul din circuit, la

rezonanţă. Prin urmare, la rezonanţa de tensiuni, reactanţele bobinei şi condensatorului sunt

egale şi independente de frecvenţă.

Condiţia de apariţie a supratensiunilor (4.329) poate fi scrisă sub forma echivalentă:

ρ > R. (4.331)

Raportul

RQt

ρ= (4.332)

se numeşte factor de calitate, iar inversul său,

ρ==

RQ1d

tt (4.333)

se numeşte factor de amortizare al circuitului.

Din relaţiile (4.330) şi (4.333) rezultă că factorul de amortizare este egal cu raportul

dintre tensiunea aplicată la bornele circuitului şi tensiunea la bornele bobinei sau

condensatorului, la rezonanţă.

Oscilaţii de energie la rezonanţa de tensiuni

Dacă valoarea instantanee a curentului prin circuit este:

)tsin(I2i iγ+ω= (4.334)

atunci tensiunea la bornele condensatorului rezultă:

)tcos(U2)tcos(CI2dti

C1u iCiC γ+ω−=γ+ω

ω−== ∫ (4.335)


157

Valoarea instantanee a energiei înmagazinate în câmpul electromagnetic al circuitului

este:

)t(sinIL)t(cosC

IiL21uC

21WWW i

22i

22

222

Cmeem γ+ω+γ+ωω

=+=+= (4.336)

La rezonanţă, relaţia (4.336) devine:

( ) )t(sinIL)t(cosC

I)W(rr ir

2r

2ir

2

r2

2

rem γ+ω+γ+ω

ω

= (4.337)

Deoarece la rezonanţă este valabilă relaţia (4.320), valoarea instantanee a energiei

înmagazinate în câmpul electromagnetic al circuitului (4.337), devine:

( ) ( ) ( ) ( ) .constUCIL)t(sinIL)t(cosIL)W( r2Cr

2ir

2r

2ir

2r

2rem rr

===γ+ω+γ+ω=

Fig. 4.54

Rezultă că la rezonanţa de tensiuni, în câmpul electromagnetic au loc oscilaţii

neamortizate ale energiei; în orice moment, energia localizată în câmp are o valoare constantă

(fig. 4.54). Cu alte cuvinte, în astfel de regimuri nu are loc schimb de energie între

generatoarele exterioare şi câmpul electromagnetic al circuitului. Generatoarele exterioare

furnizează energie numai rezistoarelor, în care se produc efecte electrocalorice ireversibile.

4.10.2 Rezonanţa de curenţi

Un astfel de regim poate fi obţinut, în cazul cel mai simplu, în circuitul constituit prin

gruparea în paralel a unui rezistor ideal, a unei bobine ideale şi a unui condensator ideal,

alimentat fie de un generator ideal de tensiune sinusoidală (fig. 4.48, a), fie de un generator

ideal de curent sinusoidal (fig. 4.48, b).


Admitanţa circuitului este (v. prima relaţie 4.285):

22

L1CGY

ω−ω+= (4.338)

Regimul este rezonant dacă este îndeplinită condiţia (v. a treia relaţie 4.318):

0L

1CBe =ω

−ω= (4.339)

Din relaţia (4.339) rezultă că rezonanţa poate fi realizată fie prin variaţia frecvenţei

excitaţiei, fie prin variaţia parametrilor (inductivitatea bobinei sau capacitatea

condensatorului).

Dacă regimul de rezonanţă este obţinut prin variaţia frecvenţei semnalului excitaţie,

din relaţia (4.339) se obţine pulsaţia de rezonanţă,

CL1

r =ω (4.340)

şi frecvenţa de rezonanţă,

CL21fr

π= (4.341)

În cazurile în care rezonanţa este realizată prin variaţia parametrilor, din relaţia (4.339)

se determină inductivitatea de rezonanţă şi capacitatea de rezonanţă:

L1C,

C1L 2r2r ω

=ω

= (4.342)

Deoarece, la rezonanţă, susceptanţa echivalentă a circuitului se anulează (4.339),

admitanţa (4.338) este minimă şi egală cu conductanţa G,

Yr = G, (4.343)

iar curentul este minim,

GUIr = (4.344)

La rezonanţă, curenţii prin bobină şi condensator sunt:

rL )L(

UIr ω= , U)C(I rCr

ω= (4.345)


159

Ţinând seama de condiţia (4.339), ,)C()L(

1r

r

ω=ω

rezultă că la rezonanţă curenţii

prin bobină şi condensator sunt egali:

rr CL II = . (4.346)

În figura 4.55 este reprezentată diagrama fazorială, la rezonanţă. Se observă că este

posibil ca la rezonanţă curenţii prin bobină şi condensator să depăşească valoarea curentului

total; se pune astfel în evidenţă posibilitatea producerii unor supracurenţi, de unde şi

denumirea de rezonanţa de curenţi.

Fig. 4.55

Apariţia supracurenţilor la rezonanţă este condiţionată de satisfacerea inegalităţilor:

UGIIU)C()L(

UrRrr

r

==>ω=ω

(4.347)

sau

G)C()L(

1r

r

>ω=ω

(4.348)

Condiţia de rezonanţă (4.339) se poate scrie sub forma:

γ=

=ω

ω=ω=

ω rr

rr

r LC)C(

)L(1)C(

)L(1 (4.349)

unde γ se numeşte admitanţă caracteristică. Se observă că admitanţa caracteristică este egală

cu raportul dintre curentul prin bobină sau condensator şi tensiunea la bornele circuitului, la

rezonanţă. Prin urmare, la rezonanţa de curenţi susceptanţele bobinei şi condensatorului sunt

egale şi independente de frecvenţă.

Condiţia de apariţie a supracurenţilor (4.348) poate fi scrisă sub forma echivalentă:

γ > G. (4.350)


Raportul

GQc

γ= (4.351)

se numeşte factor de calitate, iar inversul său,

γ==

GQ1d

cc (4.352)

se numeşte factor de amortizare al circuitului.

Din relaţiile (4.349) şi (4.352) rezultă că factorul de amortizare este egal cu raportul

dintre curentul total şi curentul prin bobină sau condensator, la rezonanţă.

Oscilaţii de energie la rezonanţa de curenţi

Dacă valoarea instantanee a tensiunii la bornele circuitului este:

)tsin(U2u uγ+ω= (4.353)

atunci curentul prin bobină rezultă:

)tcos(I2)tcos(L

U2dtuL1i uLuL γ+ω−=γ+ω

ω−== ∫ (4.354)

Valoarea instantanee a energiei înmagazinate în câmpul electromagnetic al circuitului

este:

)t(cosL

U)t(sinCULi21Cu

21WWW u

22

2

u222

L2

meem γ+ωω

+γ+ω=+=+= (4.355)

La rezonanţă, relaţia (4.355) devine:

( ) )t(cosL

U)t(sinUC)W(rr ur

2

r2

2

ur2

r2

rem γ+ω

ω

+γ+ω= (4.356)

Deoarece la rezonanţă este valabilă relaţia (4.339), valoarea instantanee a energiei

înmagazinate în câmpul electromagnetic al circuitului (4.356), devine:

( ) ( ) ( ) ( ) .constILUC)t(cosUC)t(sinUC)W( r2Lr

2ur

2r

2ur

2r

2rem rr

===γ+ω+γ+ω=

Rezultă că la rezonanţa de curenţi, în câmpul electromagnetic au loc oscilaţii

neamortizate ale energiei; în orice moment, energia localizată în câmp are o valoare constantă.

Cu alte cuvinte, în astfel de regimuri nu are loc schimb de energie între generatoarele

exterioare şi câmpul electromagnetic al circuitului. Generatoarele exterioare furnizează

energie numai rezistoarelor, în care se produc efecte electrocalorice ireversibile.


161

În cazul particular în care G = 0 (fig. 4.56, a), Yr = 0 şi deci 0UYI rr == . Un astfel

de circuit, având la rezonanţă impedanţa infinită, se comportă ca un filtru de frecvenţă.

Intercalând în serie cu un receptor un astfel de circuit (fig. 4.56, b), ai cărui parametri sunt

acordaţi la rezonanţă (ω2LC = 1), curentul de pulsaţie ω este filtrat.

a) b)

Fig. 4.56

5. DIPOLI ŞI CUADRIPOLI LINIARI ÎN REGIM


5.1 DIPOLI LINIARI ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

Un circuit care are două borne de acces cu exteriorul, constituind o poartă, reprezintă

un dipol. Diferenţa potenţialelor la borne este univoc determinată, iar intensitatea curentului

pe la una din borne este în fiecare moment egală cu intensitatea curentului la cealaltă bornă (v.

par. 3.5.2). Dipolii pot fi pasivi sau activi. Un dipol pasiv este caracterizat printr-un singur

parametru, impedanţa echivalentă, în timp ce un dipol activ este caracterizat în plus fie de o

tensiune electromotoare echivalentă, fie de un curent echivalent.

a) b)

Fig. 5.1

Schema echivalentă a unui dipol liniar pasiv (DLP) se obţine alegând în plus un punct

de referinţă al potenţialelor (fig. 5.1 a). Acest mod de reprezentare este avantajos în vederea

scrierii ecuaţiei dipolului. Astfel, dacă XjRZ += este impedanţa echivalentă a dipolului

liniar pasiv (fig. 5.1 b), ecuaţia acestuia este:

IZUU 21 += (5.1)

Diagrama fazorială din figura 5.2, a corespunde unui receptor inductiv, iar cea din

figura 5.2, b unui receptor capacitiv. Din diagramele fazoriale rezultă că este posibil ca

valoarea efectivă a tensiunii de ieşire U2 să depăşească valoarea efectivă a tensiunii de intrare

U1. O astfel de situaţie poate să apară dacă defazajul dintre tensiunea la bornele dipolului şi

tensiunea de ieşire este mai mare de π/2. Această condiţie este satisfăcută dacă reactanţele

dipolului şi receptorului sunt una inductivă şi cealaltă capacitivă.

Capitolul 5 - Dipoli şi cuadripoli liniari în regim permanent sinusoidal

163

a) b)

Fig. 5.2

Apariţia supratensiunii la bornele de ieşire, cunoscută sub denumirea de efect Ferranti,

este o consecinţă a realizării unui regim apropiat de regimul de rezonanţă a tensiunilor. În

particular este posibil ca tensiunile U1 şi U2 să fie egale.

5.1.2 Transferul energiei electromagnetice printr-un dipol liniar pasiv

Se consideră receptorul de impedanţă 222 XjRZ += alimentat de un generator ideal

de tensiune, având tensiunea electromotoare E = U1, prin intermediul unui dipol de impedanţă

XjRZ += (fig. 5.3). Puterea activă furnizată receptorului este dată de relaţia:

( ) ( )222

2

221

222 XXRR

RUIRP+++

== (5.2)

şi poate fi considerată ca o funcţie de variabilele R2 şi X2.

Fig. 5.3

Valorile parametrilor R2 şi X2, pentru care puterea P2 este maximă, se determină din

sistemul de ecuaţii:

( )( ) ( )[ ] 0

XXRR

XXRRURP

222

22

22

22

221

2

2 =+++

++−=

∂∂ (5.3)

( )( ) ( )[ ] 0

XXRR

XXR2UXP

222

22

2221

2

2 =+++

+−=

∂∂ (5.4)

Rezultă:

RRmax22 PP2 =

=; XX

max22 PP2 −==

(5.5)


164

şi deci *PP2PP2PP2 ZXjRXjRZ

max22max22max22=−=+=

=== (5.6)

Deoarece,

0R64

UXR

PXP

RP

6

41

XXRR

2

22

22

22

22

22

22

22

>=

∂∂

∂−

∂∂

∂∂

−==

(5.7)

şi

0R8U

RP

3

21

XXRR

22

22

22

<−=∂∂

−==

(5.8)

rezultă că valorile (5.5) ale parametrilor receptorului corespund unui maxim al puterii active.

Înlocuind în (5.2) parametrii R2 şi X2 cu valorile (5.5) se obţine puterea activă maximă

transferată receptorului:

R4UP

21

max2 = (5.9)

Prin urmare, în regim permanent sinusoidal, transferul puterii active maxime de la un

generator ideal de tensiune, printr-un dipol liniar pasiv, la un receptor pasiv, se realizează

atunci când impedanţa complexă a receptorului este egală cu conjugata impedanţei complexe

a dipolului (5.6).

Fig. 5.4

Deoarece orice generator real de tensiune sinusoidală (fig. 5.4), având ecuaţia

IZUE += , unde Z reprezintă impedanţa interioară, poate fi reprezentat printr-un dipol,

rezultă că un astfel de generator furnizează receptorului o putere activă maximă dacă este

satisfăcută condiţia (5.6).

Randamentul transmisiei puterii active prin dipol este:

( ) 22

22

1

2

IRRIR

PP

+==η (5.10)

Puterea maximă este transferată receptorului cu un randament:

5,0RR

R

RR2

2PP

2

max22=

+=η

==

(5.11)

La fel ca în curent continuu, randamentul transmisiei puterii maxime este de 50%.


165

5.2 CUADRIPOLI LINIARI

Cuadripolul este un circuit electric cu patru borne de acces cu exteriorul. Asupra

structurii interioare a cuadripolului nu se impune nici o restricţie, încât poate fi oarecare.

Numai în privinţa legăturii cuadripolului cu exteriorul se impune condiţia ca aceasta să se

realizeze exclusiv prin intermediul bornelor de acces. Prin urmare, ca şi în cazul general al

multipolilor, pentru studiul circuitelor cuadripolare se utilizează semnale care se definesc faţă

de borne – tensiunile şi curenţii în bornele de acces. În figura 5.5 s-au indicat curenţii şi

tensiunile în bornele de acces, pentru un cuadripol oarecare. În total sunt patru curenţi (i1, i’1,

i2, i’2) şi şase tensiuni (

12212112222111 '''''' u,u,u,u,uu,uu == ). Dintre aceste semnale, trei

curenţi şi trei tensiuni sunt independente.

Fig. 5.5

Dacă perechile de borne (1), (1’) şi (2), (2’) constituie câte o poartă, cuadripolul este

numit în sens restrâns, iar în caz contrar este denumit general.

Bornele cărora li se aplică o tensiune din exterior sunt, de obicei, receptoare şi se

numesc borne de intrare sau primare, iar cele la care sunt conectate circuite receptoare sunt

borne generatoare şi se numesc borne de ieşire sau secundare. În vederea scrierii ecuaţiilor

cuadripolului, se adoptă sensurile de referinţă de la receptoare la bornele de intrare şi cele de

la generatoare la bornele de ieşire.

a) b)

Fig. 5.6

În continuare se vor studia exclusiv cuadripolii în sens restrâns, a căror reprezentare

simbolică este redată în figura 5.6 şi care vor fi denumiţi prin termenul generic de cuadripoli.

Datorită posibilităţii de a separa bornele de acces în două porţi, semnalele la care se face apel


166

în vederea scrierii ecuaţiilor cuadripolului vor fi curenţii i1, i2 şi tensiunile u1 , u2, tensiunile

12212112 '''' u,u,u,u putând fi considerate ca semnale interioare, fără a prezenta vreun interes

special.

Clasificarea cuadripolilor se face pe baza aceloraşi criterii care se folosesc în teoria

generală a circuitelor electrice. Astfel, cuadripolii pot fi activi sau pasivi; cei din prima

categorie sunt autonomi dacă conţin în structura lor generatoare autonome de tensiune sau de

curent şi neautonomi în caz contrar. O clasificare mai cuprinzătoare a cuadripolilor poate fi

făcută dacă se alege drept criteriu teorema reciprocităţii. Din acest punct de vedere se pot

distinge cuadripoli reciproci şi nereciproci. Atunci când comportarea cuadripolului în raport

cu cele două porţi este simetrică, în sensul că prin schimbarea între ele a porţii de intrare cu

cea de ieşire nu se modifică tensiunile şi curenţii la porţi, cuadripolul este simetric, iar în caz

contrar este nesimetric.

Tensiunile şi curenţii la porţile unui cuadripol nu sunt independente, deoarece

structura interioară a cuadripolului determină anumite relaţii între aceste semnale exterioare.

Relaţiile care se stabilesc între tensiunile şi curenţii la porţi reprezintă ecuaţiile cuadripolului.

În ecuaţiile cuadripolului, din grupul de semnale (tensiuni şi curenţi la porţi) se deosebesc

variabile independente şi variabile dependente. În raport cu variabilele dependente explicitate,

ecuaţiile cuadripolului pot fi scrise sub mai multe forme. Coeficienţii (adimensionali sau

având dimensiuni) care intervin în ecuaţiile cuadripolului şi care depind exclusiv de structura

sa interioară, se numesc parametrii cuadripolului. În cazul cuadripolilor liniari, ecuaţiile vor

fi liniare. Numărul acestor ecuaţii este egal cu numărul de porţi şi pot fi scrise sub forma:

f1(u1, u2, i1, i2) = 0, f2(u1, u2, i1, i2) = 0 (5.12)

Relaţiile (5.12) constituie ecuaţiile implicite ale cuadripolului.

Existenţa a două relaţii de legătură între variabilele cuadripolului, pune în evidenţă

faptul că numai două din cele patru variabile sunt independente. Prin urmare, un cuadripol

este caracterizat prin două variabile independente.

Dacă se notează cu x1, x2 variabilele dependente şi cu y1, y2 cele independente, prin

explicitarea ecuaţiilor (5.12) se obţin relaţii liniare în xi, yi (i = 1, 2), de forma:

2222121212121111 ykykx,ykykx λ++=λ++= (5.13)

Relaţiile (5.13) reprezintă ecuaţiile explicite ale cuadripolului.

În cazul cuadripolilor pasivi precum şi al celor activi dar neautonomi, ecuaţiile (5.13)

trebuie să fie omogene în variabilele xi, yi, (λ1 = λ2 = 0), deoarece dacă o pereche din grupul

de semnale u1, u2, i1, i2 este nulă, atunci şi cealaltă pereche are de asemenea valori nule.


167

În ecuaţiile (5.13), kij, i, j = 1, 2, reprezintă parametrii cuadripolului, iar λi, i = 1, 2, ţin

seama de contribuţia generatoarelor autonome interioare.

5.2.1 Ecuaţiile cuadripolului liniar în regim permanent sinusoidal

a) b)

Fig. 5.7

Se consideră cuadripolul liniar şi pasiv cu tensiunile şi curenţii la bornele de acces

sinusoidali în timp 2121 I,I,U,U (fig. 5.7, a). Ecuaţiile explicite ale cuadripolului formează un

sistem liniar şi omogen de forma:

,YKYKX 2121111 += 2221212 YKYKX += (5.14)

După modul de alegere a variabilelor independente, rezultă următoarele forme ale

ecuaţiilor cuadripolului în regim permanent sinusoidal:

1

a. variabile independente :I,U 22

,IAUAU 2122111 += 2222211 IAUAI += (5.15)

b. variabile independente 11 I,U :

,IBUBU 1121112 += 1221212 IBUBI += (5.16)

c. variabile independente :U,U 21

,UYUYI 2121111 += 2221212 UYUYI += (5.17)

d. variabile independente :I,I 21

,IZIZU 2121111 += 2221212 IZIZU += (5.18)

e. variabile independente :U,I 21

,UHIHU 2121111 += 2221212 UHIHI += (5.19)

f. variabile independente :I,U 21

,IFUFI 2121111 += 2221212 IFUFU += (5.20)

Parametrii A şi B poartă denumirea de parametri fundamentali (de transfer) ai

cuadripolului, iar ecuaţiile corespunzătoare (5.15), (5.16) ecuaţii fundamentale ale

cuadripolului. Se observă că parametrii Y au dimensiunile unor admitanţe, iar parametrii Z –


168

dimensiunile unor impedanţe. În ceea ce priveşte parametrii A, B, H şi F, unii dintre ei (A12,

B12, H11, F22) au dimensiunile unor impedanţe, alţii (A21, B21, H22, F11) au dimensiunile unor

admitanţe, iar ceilalţi (A11, A22, B11, B22, H12, H21, F12, F21) sunt adimensionali. Parametrii Y

sunt denumiţi parametri admitanţă, Z – parametri impedanţă, iar H şi F – parametri hibrizi.

Dacă un cuadripol este alimentat pe la poarta secundară (bornele 2, 2’), iar receptorul

este conectat la poarta primară (bornele 1, 1’), se spune că este inversat (fig. 5.7, b). Ecuaţiile

unui cuadripol inversat se obţin din ecuaţiile (5.15) – (5.20) modificând semnele curenţilor I1,

I2. Pentru a distinge semnalele corespunzătoare cuadripolului inversat, acestea sunt afectate de

un accent. În vederea obţinerii ecuaţiilor fundamentale ale unui cuadripol inversat, se

soluţionează sistemul (5.15) în raport cu U2, I2, se inversează semnele curenţilor şi se

afectează cu câte un accent semnalele U1, U2, I1, I2:

( ),IAUAA1U '

112'122

'2 += ( )'

111'121

'2 IAUA

A1I += (5.21)

unde:

21122211 AAAAA −= (5.22)

Ecuaţiile cuadripolului inversat pot fi scrise şi în funcţie de ceilalţi parametri ai

acestuia.

Deoarece ecuaţiile (5.15) – (5.20) reprezintă forme algebrice liniare în tensiunile şi

curenţii de intrare şi ieşire, ele se pot scrie şi sub formă matriceală. Sub formă matriceală

aceste ecuaţii devin:

=

2

2

2221

1211

1

1

IU

AAAA

IU

,

=

1

1

2221

1211

2

2

IU

BBBB

IU

(5.23)

=

2

1

2221

1211

2

1

UU

YYYY

II

,

=

2

1

2221

1211

2

1

II

ZZZZ

UU

(5.23, a)

=

2

1

2221

1211

2

1

UI

HHHH

IU

,

=

2

1

2221

1211

2

1

IU

FFFF

UI

(5.23, b)

Se introduc notaţiile:

[ ]

=

2221

1211

AAAA

A , [ ]

=

2221

1211

BBBB

B , [ ]

=

2221

1211

YYYY

Y

(5.24)

[ ]

=

2221

1211

ZZZZ

Z , [ ]

=

2221

1211

HHHH

H , [ ]

=

2221

1211

FFFF

F


169

unde: - [ ]A este matricea de transfer (fundamentală) directă;

- [ ]B - matricea de transfer inversă;

- [ ]Y - matricea admitanţă;

- [ ]Z - matricea impedanţă;

- [ ]H - matricea hibridă directă (serie – paralel);

- [ ]F - matricea hibridă inversă (paralel – serie).

Aceste matrice satisfac relaţiile:

[ ] [ ] 1BA −= , [ ] [ ] 1YZ −= , [ ] [ ] 1FH −= (5.25)

Ecuaţiile (5.21) ale cuadripolului inversat pot fi scrise de asemenea sub formă

matriceală:

=

'1

'1

1121

1222'2

'2

IU

AAAA

A1

IU (5.26)

5.2.2 Gruparea cuadripolilor

Cuadripolii se pot grupa în: lanţ, paralel, serie, serie – paralel şi paralel – serie. De

asemenea, există posibilitatea de a grupa cuadripolii mixt sau de a realiza grupări complexe

ireductibile la cele precedente. În toate cazurile se va presupune că proprietăţile de cuadripol

în sens restrâns sunt satisfăcute, ceea ce înseamnă că nu există curenţi de circulaţie între

cuadripolii conexiunii.

a. Gruparea în lanţ

Fig. 5.8

Doi cuadripoli sunt grupaţi în lanţ (cascadă) dacă poarta de intrare a celui de al doilea

cuadripol coincide cu poarta de ieşire a primului (fig. 5.8). Pentru fiecare cuadripol se pot

scrie ecuaţiile fundamentale: ( )

( ) [ ]( )

( )

=

12

12

111

11

IUA

IU ,

( )

( ) [ ]( )

( )

=

2

2

22

221

21

IUA

IU . (5.27)


170

Deoarece ( ) ( ),UU 21

12 = ( ) ( ),II 2

112 = rezultă:

( )

( )

( )

( )

=

2

1

21

12

12

IU

IU (5.28)

Dacă se ţine seama de (5.28), din prima relaţie (5.27) se deduce: ( )

( ) [ ][ ]( )

( )

=

2

2

22

2111

11

IUAA

IU (5.29)

Rezultă că grupul de doi cuadripoli conectaţi în lanţ este echivalent cu un cuadripol

având tensiunea la intrare ( )11U , curentul la intrare ( )1

1I , tensiunea la ieşire ( )22U , curentul la

ieşire ( )22I şi matricea de transfer

[ ] [ ][ ]21 AAA = (5.30)

În cazul general, prin gruparea în lanţ a n cuadripoli având matricele de transfer

[ ] [ ] [ ]n21 A...,,A,A , se obţine un cuadripol echivalent cu matricea de transfer:

[ ] [ ]∏=

=n

1kkAA (5.31)

b. Gruparea în paralel

Se consideră doi cuadripoli grupaţi astfel încât tensiunile la porţile lor de intrare sunt

egale şi tensiunile la porţile de ieşire sunt de asemenea egale (fig. 5.9). În aceste condiţii

cuadripolii sunt grupaţi în paralel.

Fig. 5.9

Pentru fiecare cuadripol se pot scrie ecuaţii de forma (5.23):

( )

( ) [ ]( )

( )

=

12

11

112

11

UUY

II ,

( )

( ) [ ]( )

( )

=

2

2

21

222

21

UUY

II (5.32)

Deoarece ( ) ( ),III 21

111 += ( ) ( )2

2122 III += şi ( ) ( ) ,UUU 1

21

11 == ( ) ( ) ,UUU 2

22

12 ==

rezultă: ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) [ ]( )

( ) [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

+=

+

=

+

=

++

=

2

1212

2

21

212

11

122

21

12

11

22

12

21

11

2

1

UU

YYUUY

UUY

II

II

IIII

II

(5.33)


171

Rezultă că grupul de doi cuadripoli în paralel este echivalent cu un cuadripol având

matricea admitanţă:

[ ] [ ] [ ]21 YYY += (5.34)

În general, matricea admitanţă a unei grupări în paralel a n cuadripoli este:

[ ] [ ]∑=

=n

1kkYY (5.35)

c. Gruparea în serie

În cazul a doi cuadripoli grupaţi în serie, curenţii la porţile de intrare, respectiv la

ieşire, sunt egali (fig. 5.10). Cei doi cuadripoli satisfac ecuaţiile: ( )

( ) [ ]( )

( )

=

12

11

112

11

IIZ

UU ,

( )

( ) [ ]( )

( )

=

2

2

21

222

21

IIZ

UU (5.36)

Fig. 5.10

La fiecare poartă se pot scrie relaţiile:

( ) ( ),UUU 21

111 += ( ) ( )2

2122 UUU += , ( ) ( ) ,III 1

21

11 == ( ) ( )

22

212 III == (5.37)

şi rezultă:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) [ ]( )

( ) [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

+=

+

=

+

=

++

=

2

1212

2

21

212

11

122

21

12

11

22

12

21

11

2

1

II

ZZIIZ

IIZ

UU

UU

UUUU

UU

(5.38)

Prin urmare, grupul de doi cuadripoli în serie este echivalent cu un cuadripol având

matricea impedanţă:

[ ] [ ] [ ]21 ZZZ += (5.39)

În cazul general a n cuadripoli grupaţi în serie, matricea impedanţă a cuadripolului

echivalent este:

[ ] [ ]∑=

=n

1kkZZ (5.40)


172

d. Gruparea în serie – paralel

Doi cuadripoli sunt grupaţi în serie – paralel dacă curenţii la porţile de intrare şi

tensiunile la porţile de ieşire, au valori respectiv egale (fig. 5.11).

Ecuaţiile celor doi cuadripoli sunt de forma:

Fig. 5.11

( )

( ) [ ]( )

( )

=

12

11

112

11

UIH

IU ,

( )

( ) [ ]( )

( )

=

2

2

21

122

21

UIH

IU (5.41)

Deoarece ( ) ( )

12

11

1 III == , ( ) ( ),UUU 21

111 += ( ) ( ),III 2

2122 += ( ) ( ) ,UUU 2

22

12 ==

rezultă: ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) [ ]( )

( ) [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

+=

+

=

+

=

++

=

2

1212

2

21

212

11

122

21

12

11

22

12

21

11

2

1

UI

HHUIH

UIH

IU

IU

IIUU

IU

(5.42)

Deci, grupul de doi cuadripoli în serie - paralel este echivalent cu un cuadripol având

matricea hibridă directă:

[ ] [ ] [ ]21 HHH += (5.43)

În cazul grupării în serie – paralel a n cuadripoli, matricea hibridă directă a

cuadripolului echivalent este:

[ ] [ ]∑=

=n

1kkHH (5.44)

e. Gruparea în paralel – serie

Dacă tensiunile la porţile de intrare şi curenţii la porţile de ieşire a doi cuadripoli au,

respectiv, aceleaşi valori, se spune că cei doi cuadripoli sunt grupaţi în paralel – serie (fig.

5.12). Cei doi cuadripoli satisfac ecuaţiile:


173

( )

( ) [ ]( )

( )

=

12

11

112

11

IUF

UI ,

( )

( ) [ ]( )

( )

=

2

2

21

122

21

IUF

UI (5.45)

Ţinând seama de relaţiile: ( ) ( ),III 2

11

11 += ( ) ( ) ,UUU 12

11

1 == ( ) ( )2

22

12 III == , ( ) ( )2

2122 UUU += , rezultă:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) [ ]( )

( ) [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

+=

+

=

+

=

++

=

2

1212

2

21

212

11

122

21

12

11

22

12

21

11

2

1

IU

FFIUF

IUF

UI

UI

UUII

UI

(5.46)

Fig. 5.12

Prin urmare, grupul de doi cuadripoli în paralel – serie este echivalent unui cuadripol

având matricea hibridă inversă:

[ ] [ ] [ ]21 FFF += (5.47)

În cazul general a n cuadripoli grupaţi în paralel - serie, matricea hibridă inversă a

cuadripolului echivalent este:

[ ] [ ]∑=

=n

1kkFF (5.48)

5.2.3 Cuadripoli reciproci

a) b)

Fig. 5.13

Se consideră un cuadripol alimentat succesiv pe la bornele 1, 1’ (fig. 5.13, a), respectiv

pe la bornele 2, 2’ (fig. 5.13, b), de un generator ideal de tensiune, având tensiunea

electromotoare E şi funcţionând în scurtcircuit ( 0U,0U '12 == ). În conformitate cu

teorema reciprocităţii, cuadripolul este reciproc dacă:


174

0UEU

'10U

EU2'1

'2

21 II

==

== = . (5.49)

Condiţia de reciprocitate (5.49) se exprimă în mod avantajos în funcţie de parametrii

cuadripolului. Astfel, folosind ecuaţiile (5.17) şi ţinând seama de regimul particular de

funcţionare al cuadripolului, se obţine:

EYUYI,EYUYI 12'212

'1211212 −=−=== (5.50)

şi condiţia (5.49) devine:

Y12 = - Y21 (5.51)

Condiţia de reciprocitate (5.51) poate fi scrisă şi sub una din formele echivalente:

1AAAAA 21122211 =−= (5.52)

Z12 = - Z21, H12 = H21, F12 = F21 (5.53)

Deoarece condiţia de reciprocitate constituie o relaţie de legătură între parametrii unui

aceluiaşi sistem de ecuaţii, rezultă că la un cuadripol reciproc numai trei din orice grup de

patru parametri sunt independenţi, în timp ce la un cuadripol nereciproc toţi cei patru

parametri sunt independenţi.

5.2.4 Impedanţa echivalentă la poarta de intrare. Impedanţe caracteristice

şi impedanţe imagini

a. Impedanţe echivalente la poarta de intrare

a) b)

Fig. 5.14

Dacă la poarta de ieşire a unui cuadripol este conectată impedanţa 2

22 I

UZ = (fig. 5.14a)

se defineşte impedanţa echivalentă la poarta de intrare:

22221

12211

222221

212211

1

11e AZA

AZAIAUAIAUA

IUZ

++

=++

== (5.54)

unde s-au utilizat ecuaţiile (5.15).


175

Similar, notând cu '1

'1

1IUZ = impedanţa conectată la poarta de ieşire a cuadripolului

inversat (fig. 5.14 b), se obţine expresia impedanţei echivalente la poarta de intrare a

cuadripolului inversat:

11121

12122'111

'121

'112

'122

'2

'2

2e AZAAZA

IAUAIAUA

IUZ

++

=++

== (5.55)

unde s-au utilizat ecuaţiile (5.21).

b. Impedanţe caracteristice

a) b)

Fig. 5.15

Se numeşte impedanţă caracteristică directă Zc1, acea impedanţă a receptorului care

trebuie conectată la bornele 2, 2’ pentru ca impedanţa echivalentă la bornele 1, 1’ să fie egală

cu aceasta (fig. 5.15, a), adică:

Zc1 = Z2 = Ze1 (5.56)

Înlocuind în ecuaţia (5.54) Ze1 şi Z2 cu Zc1, se obţine ecuaţia pe care o satisface Zc1:

221c21

121c111c AZA

AZAZ++

= (5.57)

din care rezultă:

( )21

21122

221122111c A2

AA4AAAAZ

+−±−= (5.58)

Analog, impedanţa caracteristică inversă Zc2 reprezintă acea impedanţă a receptorului

care trebuie conectată la bornele 1, 1’, cuadripolul fiind inversat, pentru ca impedanţa

echivalentă la bornele 2, 2’ să fie egală cu ea (fig. 5.15, b), adică:

Zc2 = Z1 = Ze2 (5.59)

Înlocuind în ecuaţia (5.55) Zc2 şi Z1 cu Zc2 se obţine:

112c21

122c222c AZA

AZAZ++

= (5.60)


176

din care rezultă:

( )21

21122

112211222c A2

AA4AAAAZ

+−±−= (5.61)

În expresiile impedanţelor caracteristice Zc1 şi Zc2 se alege semnul care corespunde

condiţiei de realizare a acestor impedanţe,

0Zre 1c ≥ , 0Zre 2c ≥ (5.62)

a) b)

Fig. 5.16

Impedanţele caracteristice intervin în probleme de adaptare a unui dipol generator de

impedanţă Zg cu un dipol receptor de impedanţă Zs, în anumite condiţii care nu permit legarea

lor directă (fig. 5.16, a). De exemplu, dacă este necesar să se separe componentele de curent

continuu din circuitele celor doi dipoli, se intercalează un cuadripol (fig. 5.16, b). Condiţiile

de adaptare dintre dipoli nu se modifică prin introducerea cuadripolului dacă impedanţa

caracteristică directă Zc1 a cuadripolului este egală cu impedanţa Zs a sarcinii, Zc1 = Zs, iar

impedanţa caracteristică inversă Zc2 este egală cu impedanţa Zg a dipolului generator, Zc2 = Zg.

c. Impedanţe imagini

a) b)

Fig. 5.17

Impedanţele Zi1, Zi2 se numesc impedanţe imagini ale cuadripolului, dacă conectând

impedanţa Zi2 la bornele secundare, impedanţa de intrare primară este egală cu Zi1 şi dacă

conectând impedanţa Zi1 la bornele primare, impedanţa de intrare secundară este egală cu Zi2

(fig. 5.17). În conformitate cu relaţiile (5.54) şi (5.55), impedanţele Zi1, Zi2 sunt soluţii ale

sistemului de ecuaţii:

222i21

122i111i AZA

AZAZ++

= , 111i21

121i222i AZA

AZAZ++

= (5.63)


177

Soluţionând sistemul (5.63) în raport cu Zi1, Zi2 se obţine:

2221

12111i AA

AAZ ±= , 2111

22122i AA

AAZ ±= (5.64)

În expresiile impedanţelor imagini Zi1 şi Zi2 se alege semnul care corespunde condiţiei

de realizare a acestor impedanţe,

0Zre 1i ≥ , 0Zre 2i ≥ (5.65)

Impedanţele imagini intervin în probleme de satisfacere a condiţiilor de adaptare a

sarcinii de impedanţă Zs la un dipol generator de impedanţă Zg, încât prin introducerea unui

cuadripol cele două impedanţe să fie egale. În acest scop, impedanţa imagine Zi1 a

cuadripolului la intrare trebuie să fie egală cu impedanţa generatorului Zg, Zi1 = Zg şi

impedanţa imagine la ieşire Zi2 trebuie să fie egală cu impedanţa de sarcină Zs, Zi2 = Zs (fig.

5.18).

a) b)

Fig. 5.18

5.2.5 Determinarea experimentală a parametrilor cuadripolilor reciproci

Parametrii unui cuadripol reciproc pot fi determinaţi pe cale experimentală efectuând

următoarele încercări:

• o încercare de funcţionare în gol (I2 = 0) pentru cuadripolul alimentat în sens direct,

prin care se determină impedanţa primară de funcţionare în gol (impedanţa echivalentă la

poarta de intrare la funcţionarea în gol):

21

11

0I1

110e A

AIUZ

2

===

(5.66)

• o încercare de funcţionare în scurtcircuit (U2 = 0) pentru cuadripolul alimentat în sens

direct, prin care se determină impedanţa primară de funcţionare în scurtcircuit (impedanţa

echivalentă la poarta de intrare la funcţionarea în scurtcircuit):

22

12

0U1

1sc1e A

AIUZ

2

===

(5.67)


178

• o încercare de funcţionare în gol (I’1 = 0) pentru cuadripolul alimentat în sens invers,

prin care se determină impedanţa secundară de funcţionare în gol:

21

22

0I'2

'2

20e AA

IUZ

'1

===

(5.68)

• o încercare de funcţionare în scurtcircuit (U’1 = 0) pentru cuadripolul alimentat în sens

invers, prin care se determină impedanţa secundară de funcţionare în scurtcircuit:

11

12

0U'2

'2

sc2e AA

IUZ

'1

===

(5.69)

Din relaţiile (5.66 – 5.69) rezultă:

sc1e20esc2e10e ZZZZ = (5.70)

adică numai trei impedanţe sunt independente.

Pentru a determina, pe cale experimentală, parametrii unui cuadripol reciproc se are în

vedere, pe de o parte, că numai trei din orice grup de parametri sunt independenţi, iar pe de

altă parte, că încercările la gol şi în scurtcircuit permit determinarea a trei impedanţe

echivalente independente. În acest scop, se formează următorul sistem de ecuaţii:

21

1110e A

AZ = , 22

12sc1e A

AZ = , 21

2220e A

AZ = , 1AAAA 21122211 =− (5.71)

prin soluţionarea căruia pot fi determinaţi parametrii fundamentali ai cuadripolului reciproc:

)ZZ(ZZA

sc1e10e20e

10e11

−= ,

sc1e10e

20esc1e12 ZZ

ZZA−

=

(5.72)

)ZZ(Z1A

sc1e10e20e21

−= ,

sc1e10e

20e22 ZZ

ZA−

=

În mod similar pot fi determinaţi şi ceilalţi parametri ai cuadripolilor reciproci.

5.2.6 Cuadripoli reciproci simetrici

Se consideră un cuadripol reciproc ( 1A = ) având, la alimentarea în sens direct,

ecuaţiile (5.15), iar la alimentarea în sens invers, ecuaţiile (5.21). Cuadripolul este simetric

dacă semnalele la porţi nu se modifică, adică:

'21 UU = , '

21 II = , '12 UU = , '

12 II = (5.73)


179

În această situaţie, ecuaţiile (5.21) devin:

,IAUAU 2122221 += ,IAUAI 2112211 += (5.74)

unde s-a ţinut seama de condiţia de reciprocitate (5.52). Pentru ca ecuaţiile (5.74) să coincidă

cu ecuaţiile (5.15) este necesar să fie îndeplinită condiţia:

A11 = A22. (5.75)

Această egalitate reprezintă condiţia necesară şi suficientă pentru ca un cuadripol

reciproc să fie simetric. În funcţie de ceilalţi parametri ai cuadripolului, condiţia de simetrie

poate fi scrisă sub una din formele echivalente:

Y11 = -Y22, Z11 = -Z22, 1H −= , 1F −= . (5.76)

Parametrii unui cuadripol liniar, reciproc şi simetric satisfac condiţia de reciprocitate

(5.52),

1AAA 2112211 =− (5.77)

şi în consecinţă cuadripolul este caracterizat de doi parametri independenţi.

În cazul cuadripolilor simetrici, impedanţele caracteristice directă şi inversă precum şi

impedanţele imagini primară şi secundară coincid. Într-adevăr, ţinând seama de condiţia de

simetrie (5.77), relaţiile (5.58), (5.61) şi (5.64) conduc la egalitatea:

21

12ic2i1i2c1c A

AZZZZZZ ±====== (5.78)

Ţinând seama de identitatea 1gshgch 22 =− , relaţiile (5.77) şi (5.78) sugerează

notaţiile:

gshZ1A,gshZA,gchAA

c21c122211 ==== (5.79)

Ecuaţiile (5.74) ale cuadripolului simetric, în care intervin trei parametri între care

există relaţia (5.77), se transformă în ecuaţiile

,gshIZgchUU 2c21 += gchIgshUZ1I 22

c1 += , (5.80)

în care intervin numai doi parametri complecşi Zc şi g denumiţi parametri caracteristici ai

cuadripolului.

Identificând relaţiile:

( )( ) ( )( ) 1gshgchgshgch,1AAAAAA 211211211211 =+−=+−

se obţine:

211211g AAAe += , 211211

g AAAe −=−


180

şi prin urmare,

)AAAln()AAAln(g 211211211211 −−=+= (5.81)

Mărimea complexă g se numeşte exponent de transfer caracteristic.

În conformitate cu definiţia impedanţei carecteristice, rezultă:

21

12c

2

2

1

1

AAZ

IU

IU

=== (5.82)

În ecuaţiile cuadripolului de forma (5.80), înlocuind c

22 Z

UI = şi 2c2 IZU = , se obţine:

jbag

2

1

2

1 eegshgchII

UU +==+== (5.83)

unde s-a notat cu a partea reală şi cu b partea imaginară a lui g .

Notând cu u1(t) tensiunea instantanee şi cu i1(t) curentul instantaneu la bornele de

intrare ale cuadripolului, ( ) ( )111 tsinU2tu γ+ω= , ( ) ( )1111 tsinI2ti ϕ−γ+ω= , cu imaginile

în complex U1 şi I1,

1j11 eUU γ= , )(j

1111eII ϕ−γ= (5.84)

tensiunea u2(t) şi curentul i2(t) la bornele de ieşire se calculează cu relaţiile (5.83):

( ) ( )btsineU2eeU2ImeU2Imtu 1a

1tjjba

1tj

22 −γ+ω=== −ω−−ω (5.85)

( ) ( )11a

1tjjba

1tj

22 btsineI2eeI2ImeI2Imti ϕ−−γ+ω=== −ω−−ω (5.86)

Raportul dintre valorile efective ale tensiunilor şi curenţilor la intrare şi ieşire este egal

cu ae ,

a

2

1

2

1 eII

UU

== (5.87)

În consecinţă, valorile efective ale tensiunii şi curentului la ieşire scad monoton

exponenţial; din acest motiv, mărimea a definită de relaţia (5.87), scrisă sub forma

2

1

2

1

IIln

UUlngRea === (5.88)

se numeşte atenuare caracteristică a cuadripolului simetric şi se măsoară în neperi (Np).

Dacă de exemplu, eII

UU

2

1

2

1 == , atunci atenuarea este 1Np.

Pentru atenuare se utilizează şi o altă unitate de măsură, numită decibel (dB). În acest

caz, atenuarea se scrie sub forma:


181

2

1

2

1

IIlog20

UUlog20a == (5.89)

Atunci când 201

2

1

2

1 10II

UU

== , atenuarea este de 1dB.

Pentru a determina relaţia dintre Np şi dB se fac transformările:

dB2

1

2

1

2

1Np a115,0

UUlog20115,0

UUlog3,2

UUlna ⋅=⋅=== (5.90)

Prin urmare,

1dB = 0,115 Np (5.91)

Între tensiunile u1(t) şi u2(t), respectiv între curenţii i1(t) şi i2(t), defazajul aparţinând

intervalului ( )π+π− , este egal cu b (5.85, 5.86) şi se numeşte defazaj caracteristic al

cuadripolului.

Atenuarea caracteristică şi defazajul caracteristic depind de frecvenţă; funcţiile de

frecvenţă corespunzătoare se numesc caracteristica de frecvenţă a atenuării a(ω), respectiv

caracteristica de frecvenţă a defazajului b(ω).

5.2.7 Scheme echivalente ale cuadripolilor reciproci

Se numeşte schemă echivalentă a unui cuadripol un circuit fictiv sau real care are

aceleaşi tensiuni şi aceiaşi curenţi în bornele de acces. Substituind un cuadripol prin schema

sa echivalentă, regimul de funcţionare al circuitului exterior nu se modifică. Deoarece schema

echivalentă poate avea o structură mult mai simplă decât cea a cuadripolului dat, rezultă că

utilizarea unor astfel de scheme este avantajoasă în analiza circuitelor care conţin cuadripoli.

Deoarece un cuadripol liniar, pasiv şi reciproc are trei parametri independenţi,

schemele echivalente sunt constituite din cel puţin trei elemente. Cele mai simple scheme

echivalente ale cuadripolilor sunt schemele în T şi Π.

a. Schema echivalentă în T (fig. 5.19, a) conţine două impedanţe longitudinale Z1 şi

Z2 şi o admitanţă transversală Y. Pentru determinarea parametrilor schemei echivalente,

atunci când se cunosc parametrii cuadripolului, se aplică teorema de curenţi,

( )22221 UIZYII ++= (5.92)

şi teorema de tensiuni a lui Kirchhoff,

222111 UIZIZU ++= (5.93)


182

Ecuaţiile (5.92) şi (5.93) pot fi scrise sub forma fundamentală (5.15), substituind în a

doua ecuaţie curentul I1 cu expresia dată de prima relaţie. Se obţine:

( ) ( ) 22121211 IZZYZZUZY1U ++++= , ( ) 2221 IZY1UYI ++= (5.94)

a) b)

Fig. 5.19

Din relaţiile (5.94) se determină parametrii fundamentali ai cuadripolului:

111 ZY1A += , 212112 ZZYZZA ++= , YA21 = , 222 ZY1A += (5.95)

Sistemul (5.95) permite determinarea parametrilor schemei echivalente în T funcţie de

parametrii fundamentali ai cuadripolului:

21

222

21

11121 A

1AZ,A

1AZ,AY −=

−== (5.96)

Dacă Z1 = Z2 = Z, cuadripolul este simetric şi se obţine:

ZY1AA 2211 +== , 212 ZYZ2A += , YA21 = (5.97)

respectiv,

21

22

21

1121 A

1AA

1AZ,AY −=

−== (5.98)

b. Schema echivalentă în Π (fig. 5.19, b) conţine o impedanţă longitudinală Z şi două

admitanţe transversale Y1 şi Y2. Curentul prin impedanţa Z se obţine din ecuaţia de curenţi a

lui Kirchhoff fie în nodul 1, fie în nodul 2:

222111 UYIUYI +=− (5.99)

Aplicând teorema a doua a lui Kirchhoff ochiului 122’1’1, se obţine:

( ) 22221 UZUYIU ++= (5.100)

Înlocuind în prima ecuaţie expresia lui U1 din a doua ecuaţie, rezultă ecuaţiile

cuadripolului în Π,

( ) 2221 IZUZY1U ++= , ( ) ( ) 21221211 IYZ1UYYZYYI ++++= (5.101)


183

din care se deduc parametrii fundamentali ai cuadripolului,

211 YZ1A += , ZA12 = , 212121 YYZYYA ++= , ZY1A 122 += (5.102)

Din sistemul de ecuaţii (5.102) se determină parametrii schemei echivalente în Π

funcţie de parametrii fundamentali ai cuadripolului:

12

112

12

22112 A

1AY,A

1AY,AZ −=

−== (5.103)

Dacă Y1=Y2=Y, cuadripolul este simetric şi relaţiile (5.102), respectiv (5.103) devin:

YZ1AA 2211 +== , ZA12 = , 221 YZY2A += (5.104)

respectiv:

12

22

12

1112 A

1AA

1AY,AZ −=

−== (5.105)

5.3 FILTRE ELECTRICE

Filtrele electrice sunt circuite care transmit semnale de anumite frecvenţe, respectiv

semnale ale căror frecvenţe sunt cuprinse într-un anumit interval.

Filtrul electric este constituit dintr-un cuadripol sau lanţ de cuadripoli, admiţând o

schemă echivalentă de tipul unui cuadripol. Partea reală a exponentului caracteristic de

transfer al cuadripolului echivalent este atenuarea filtrului a(ω), iar partea imaginară este

defazajul filtrului b(ω). Introducând un filtru într-un canal de transmisie, se poate obţine

favorizarea sau blocarea trecerii componentelor de anumite frecvenţe ale semnalului transmis.

Intervalul din spectrul frecvenţelor cuprins între două frecvenţe, una inferioară fi = ωi/2π şi

alta superioară fs = ωs/2π, pentru care filtrul prezintă o atenuare foarte mică (eventual nulă) se

numeşte interval sau bandă de trecere. Intervalul din spectrul frecvenţelor cuprins între două

frecvenţe pentru care filtrul prezintă o atenuare mare se numeşte interval sau bandă de

atenuare sau oprire. Frecvenţele care delimitează benzile de trecere şi de atenuare se numesc

frecvenţe de tăiere.

Dacă filtrul permite transmisia semnalelor de frecvenţe inferioare unei valori (fi = 0, fs

≠ 0), se numeşte filtru trece jos, respectiv de la o valoare inferioară (fi ≠ 0, fs = ∞), filtru trece

sus. Dacă transmisia semnalelor este neatenuată într-un interval cuprins între două valori (fi ≠

0, fs ≠ 0), se numeşte filtru trece bandă, respectiv dacă în intervalul respectiv semnalele sunt

atenuate, filtru opreşte bandă.


184

Dacă pierderile de energie în rezistenţele conductoarelor, în dielectricii

condensatoarelor şi în miezurile bobinelor sunt neglijabile, filtrul se numeşte fără pierderi sau

nedisipativ. În continuare se vor studia filtrele constituite din lanţuri de cuadripoli liniari,

reciproci, simetrici şi nedisipativi, adaptaţi pe impedanţa caracteristică Zc.

5.3.1 Teoria simplificată a filtrelor nedisipative şi adaptate

Filtrele de frecvenţă nedisipative au următoarele proprietăţi:

• Deoarece elementele cuadripolului sunt reactive (bobine şi condensatoare), parametrul

2211 AA = este totdeauna real, în timp ce parametrii A12, A21 sunt imaginari. Într-adevăr, dacă

se adoptă schema echivalentă în T şi dacă elementele Z şi Y sunt reactive, din relaţiile (5.97)

rezultă:

ImA11 = 0, ReA12 = 0, ReA21 = 0 (5.106)

Similar, dacă se adoptă schema echivalentă în Π, în conformitate cu relaţiile (5.104),

rezultă că sunt satisfăcute condiţiile (5.106).

Deoarece pentru orice cuadripol simetric (v. prima relaţie 5.79),

( ) bsinshajbcoschajbachgchA11 +=+== (5.107)

în conformitate cu prima relaţie (5.106) rezultă:

sha sinb = 0 (5.108)

şi deci

bcoschaA11 = (5.109)

• Impedanţa caracteristică poate fi reală sau imaginară. Într-adevăr, din relaţiile (5.79) se

obţine gshAA 2112 = şi:

dacă 0AA 2112 < , adică ( ) 0bcosshajbashRegshRe ==+= , rezultă:

0ZIm c = (5.110)

dacă 0AA 2112 > , adică ( ) 0bsinchajbashImgshIm ==+= , rezultă:

0ZRe c = (5.111)


185

a. Calculul intervalelor de trecere

În intervalele de trecere, atenuarea a fiind nulă, din relaţia (5.109) rezultă:

A11 = cosb (5.112)

Pentru un defazaj oarecare π<<π− b , relaţia (5.112) implică inegalităţile

1A1 11 <<− (5.113)

Intervalele de trecere se determină din inegalităţile (5.113) şi din ecuaţiile

A11(ω) = ±1 (5.114)

se calculează frecvenţele de tăiere.

Din relaţia gshAA 2112 = , respectiv gshAA 22112 = , pentru a = 0 şi în virtutea

relaţiilor (5.106) se obţine:

( ) 0bshjbashAImAIm 222112 <−=+=− (5.115)

şi deci

2112 AImsignAImsign = (5.116)

Prin urmare, impedanţa caracteristică este reală:

21

12c A

AZ = (5.117)

Caracteristica de frecvenţă a defazajului se obţine din relaţia (5.112):

( ) 11Aarccosb =ω (5.118)

Pentru cuadripolii în T sau Π, ecuaţiile (5.114) şi caracteristica de frecvenţă a

defazajului b(ω) au următoarele forme:

02YZ;0YZ =+= (5.119)

( ) ( )YZ1arccosb +=ω (5.120)

b. Calculul intervalelor de atenuare

În intervalele de atenuare a ≠ 0 şi deci pentru ca egalitatea (5.108) să fie satisfăcută

este necesar ca

b = 0 sau b = ±π (5.121)

şi deci (v. relaţia 5.109):

A11 = ±cha (5.122)

Deoarece cha ≥ 1, rezultă că în interiorul intervalelor de oprire sunt satisfăcute

inegalităţile:


186

A11(ω) ≤ -1, A11(ω) ≥ 1 (5.123)

În intervalele de frecvenţă limitate de frecvenţele soluţii ale inegalităţilor (5.123),

atenuarea nu este nulă şi are expresia:

0Acharga 11 >= (5.124)

Dacă se ţine seama de relaţia (5.115), rezultă că în interiorul intervalelor de oprire (b =

0, ±π), ashAImAIm 22112 =− şi deci 2112 AImsignAImsign −= . Prin urmare,

impedanţa caracteristică este imaginară,

21

12c A

AjZ ±= (5.125)

Studiul unui filtru electric de frecvenţă constă în determinarea, pe de o parte, a

frecvenţelor de tăiere, iar pe de altă parte, în analiza caracteristicilor de frecvenţă ale atenuării

a(ω) şi defazajului b(ω). Intervalele de trecere şi de atenuare pot fi determinate şi pe cale

grafică. În acest scop, se trasează curba A11(ω) şi abscisele punctelor de intersecţie ale acestei

curbe cu dreptele A11 = 1, A11 = -1 constituie limitele intervalelor de trecere.

5.3.2 Exemple de filtre

a. Filtrul trece jos (FTJ) este un lanţ de cuadripoli simetrici în T sau în Π, în care

elementele longitudinale sunt bobine, iar cele transversale sunt condensatoare. Deoarece toţi

cuadripolii componenţi sunt identici, prima şi ultima bobină a lanţului de cuadripoli în T are

inductivitatea L, iar inductivităţile echivalente din interiorul lanţului sunt egale cu 2L (fig.

5.20, a). Similar, condensatoarele de la extremităţile lanţului în Π au capacităţile egale cu C,

iar capacităţile interioare sunt egale cu 2C (fig. 5.20, b).

a) b)

Fig. 5.20

Dacă se aplică la bornele de intrare ale filtrului o tensiune de frecvenţă joasă, curentul

trece prin inductivităţile longitudinale, reactanţa inductivă fiind relativ mică în raport cu

reactanţa capacitivă a condensatoarelor transversale; la frecvenţe mari, reactanţa inductivă

fiind mare, închiderea curenţilor este favorizată de condensatoarele transversale şi ca urmare

semnalul ajunge mult atenuat la bornele de ieşire.


187

Înlocuind în inegalităţile (5.113) Z = jωL şi Y = jωC se obţine:

1LC11 2 ≤ω−≤− (5.126)

Din inegalităţile (5.126) rezultă frecvenţele de tăiere:

LC21f,0f si

π== (5.127)

Frecvenţa inferioară fiind nulă, filtrul este de tipul trece jos. Caracteristica de frecvenţă

a atenuării calculată cu relaţia (5.124) este:

( )1LCchargAcharga 211 −ω== (5.128)

În figura 5.21 sunt reprezentate grafic caracteristicile de frecvenţă A11 = A11(ω) şi a =

a(ω).

a) b)

Fig. 5.21

b. Filtrul trece sus este un lanţ de cuadripoli simetrici în T sau în Π în care

elementele longitudinale sunt condensatoare, iar cele transversale sunt bobine. Cuadripolii în

T ai lanţului fiind identici, condensatoarele de la extremităţi au capacităţile egale cu C, iar

celelalte au capacitatea echivalentă C/2 (fig. 5.22, a). Similar, prima şi ultima bobină

transversală a lanţului de cuadripoli în Π au inductivitatea L, iar celelalte au inductivităţile

echivalente egale cu L/2 (fig. 5.22, b).

a) b)

Fig. 5.22

Dacă se aplică filtrului la bornele de intrare o tensiune de frecvenţă joasă, curentul prin

condensatoarele longitudinale este mult atenuat, fiind în schimb favorizată trecerea curentului

prin bobinele transversale.


188

Semnalele de frecvenţă înaltă sunt însă favorizate de condensatoare şi închiderea prin

bobinele transversale este blocată datorită reactanţei mari a acestora.

Înlocuind în inegalităţile (5.113) Z = 1/jωC şi Y = 1/jωL se obţine:

1LC111 2 ≤

ω−≤− (5.129)

de unde rezultă frecvenţele de tăiere:

∞=π

= si f,LC22

1f (5.130)

Frecvenţa superioară fiind infinită, filtrul este de tipul trece sus. Caracteristica de

frecvenţă a atenuării se determină cu relaţia (5.124) şi are următoarea expresie:

−ω

== 1LC1chargAcharga 211 (5.131)

În figura 5.23 s-au reprezentat grafic caracteristicile de frecvenţă A11 = A11(ω) şi a =

a(ω).

a) b)

Fig. 5.23

c. Filtrul trece bandă (fig. 5.24) este un lanţ de cuadripoli în T sau în Π în care

elementele longitudinale sunt rezonante, iar elementele transversale sunt condensatoare. Din

aceleaşi motive ca şi la filtrele examinate anterior, primul şi ultimul element longitudinal al

lanţului în T au bobina de inductivitate L şi condensatorul de capacitate C1, iar celelalte

elemente longitudinale au inductivităţile echivalente egale cu 2L şi capacităţile echivalente

egale cu C1/2; primul şi ultimul condensator transversal al lanţului de cuadripoli în Π au

capacitatea C2, iar celelalte au capacităţile echivalente 2C2.

Deoarece

ω

−ω=1C

1LjZ şi 2CjY ω= , inegalităţile (5.113) devin:

1C1LC11

12 ≤

ω

−ωω−≤− (5.132)


189

a) b)

Fig. 5.24

Soluţiile inegalităţilor (5.132) reprezintă frecvenţele de tăiere:

1i LC2

1fπ

= ; 21

21s CLC

CC221f +π

= (5.133)

În banda de frecvenţe fi < f < fs, semnalele nu sunt atenuate, filtrul fiind, prin urmare,

de tipul trece bandă. Caracteristicile de frecvenţă ale atenuărilor în cele două intervale au

expresiile:

i1

211 ;C1LC1chargAcharga ω<ω

ω

−ωω−== (5.134)

s1

211 ;1C1LCchargAcharga ω>ω

−

ω

−ωω== (5.135)

În figura 5.25 sunt reprezentate caracteristicile A11 = A11(ω) şi a = a(ω).

a) b)

Fig. 5.25

6. CIRCUITE POLIFAZATE ÎN REGIM


6.1 GENERALITĂŢI

Cel mai simplu sistem de transmisie a energiei electrice este constituit dintr-un

generator monofazat G care alimentează printr-o linie bifilară un receptor dipolar R (fig. 6.1 a).

Un astfel de sistem se spune că este monofazat.

O linie bifilară este dimensionată pentru o anumită valoare efectivă nominală a

tensiunii (Un), a cărei depăşire periclitează izolaţia liniei şi o anumită valoare efectivă

nominală a curentului (In), a cărei depăşire determină creşterea peste limitele admisibile a

pierderilor de putere prin efect electrocaloric în conductoarele liniei. Performanţa energetică a

unei linii se caracterizează cu ajutorul mărimii numită putere activă maximă specifică Pmax,

definită ca fiind egală cu raportul dintre puterea activă maximă, factorul de putere fiind egal

cu unitatea, şi numărul de conductoare.

În cazul unei linii monofazate, rezultă:

2IUP nn1

max = (6.1)

Dacă se substituie linia bifilară printr-o linie cu trei conductoare, alimentată de

generatoare având valorile efective ale tensiunilor electromotoare egale şi defazate cu câte

2π/3, se poate obţine o creştere sensibilă a puterii active maxime specifice. Un astfel de sistem

(fig. 6.1, b) se spune că este trifazat şi poate fi considerat ca fiind constituit din suprapunerea

a trei sisteme monofazate.

Avantajele sistemelor trifazate în raport cu cele monofazate sunt următoarele:

• economie de material utilizat în construcţia liniei de transport, pentru o aceeaşi putere

activă transportată, datorită creşterii puterii active maxime specifice;

• suprimarea termenului oscilant în expresia puterii instantanee;

• posibilitatea de a dispune la receptor de două tensiuni diferite, pentru receptorii

monofazaţi.

Datorită acestor avantaje, producerea, transportul şi distribuţia energiei electrice se

realizează, la frecvenţa f =50 Hz, aproape exclusiv în trifazat.

Capitolul 6 - Circuite polifazate în regim permanent sinusoidal

191

6.2 SISTEME TRIFAZATE SIMETRICE ŞI NESIMETRICE

Un grup de trei circuite monofazate parcurse de curenţi de aceeaşi frecvenţă, defazaţi

între ei, constituie un circuit trifazat. Fiecare circuit monofazat component poartă denumirea

de fază a circuitului trifazat (a se face deosebirea de faza unui semnal sinusoidal).

Semnalele de aceeaşi natură (tensiuni electromotoare, tensiuni, curenţi) care

acţionează într-un circuit trifazat constituie un sistem trifazat:

)tsin(Xx),tsin(Xx),tsin(Xx321 xm33xm22xm11 γ+ω=γ+ω=γ+ω= (6.2)

Un sistem trifazat se spune că este direct sau de succesiune directă, dacă semnalul x1

este defazat înaintea semnalului x2, iar semnalul x2 este defazat înaintea semnalului x3. Dacă

semnalul x1 este defazat în urma semnalului x2, iar semnalul x2 este defazat în urma

semnalului x3, sistemul trifazat este invers sau de succesiune inversă. Dacă semnalele x1, x2,

x3 sunt în fază, sistemul trifazat se spune că este omopolar sau de succesiune omopolară.

Un sistem trifazat este simetric dacă verifică următoarele condiţii:

• amplitudinile semnalelor sistemului sunt egale:

X1m = X2m = X3m (6.3)

• semnalele sistemului se succed la un interval de timp de T/3.

Rezultă că valorile instantanee ale unui sistem trifazat simetric direct , reprezentat în

figura 6.2, a, se pot scrie sub forma:

)tsin(X2x1xdd1 γ+ω=

)3

2tsin(X2x1xdd2

π−γ+ω= (6.4)

)3

4tsin(X2x1xdd3

π−γ+ω=

unde Xd reprezintă valoarea efectivă a semnalelor sistemului. Se observă că defazajul dintre

două semnale consecutive este egal cu 2π/3:

32

133221 xxxxxxπ

=γ−γ=γ−γ=γ−γ (6.5)

Valorile instantanee ale unui sistem trifazat simetric invers, reprezentat în figura 6.2, b

sunt date de relaţiile:


192

)tsin(X2x1xii1 γ+ω=

)3

2tsin(X2x1xii2

π+γ+ω= (6.6)

)3

4tsin(X2x1xii3

π+γ+ω=

unde Xi este valoarea efectivă.

Din relaţiile (6.6) rezultă defazajul dintre două semnale consecutive:

32

133221 xxxxxxπ

−=γ−γ=γ−γ=γ−γ (6.7)

Dacă sistemul trifazat nu satisface condiţiile de simetrie, se spune că este nesimetric.

a) b)

Fig. 6.2

Sistemele trifazate simetrice poate fi transcrise sub formă simbolică, geometrică sau

analitică. De exemplu, sub formă simbolică analitică în valori efective complexe, relaţiile

(6.4) şi (6.5) devin:

)3/4(jdd3

)3/2(jdd2

jdd1

1x1x1x eXX,eXX,eXX π−γπ−γγ === (6.8)

)3/4(jii3

)3/2(jii2

jii1

1x1x1x eXX,eXX,eXX π+γπ+γγ === (6.9)

Diagramele fazoriale ale sistemelor trifazate simetrice direct (6.8) şi invers (6.9) sunt

reprezentate în figura 6.3.

a) b)

Fig. 6.3


193

Sistemele trifazate simetrice au proprietatea că suma valorilor instantanee ale

semnalelor sistemului este nulă:

x1d + x2d + x3d = 0; x1i + x2i + x3i = 0 (6.10)

Relaţiile (6.10) pot fi scrise sub formă simbolică analitică în valori efective complexe:

X1d + X2d + X3d = 0; X1i + X2i + X3i = 0 (6.11)

Se introduce operatorul complex de rotaţie,

23j

21ea 3/2j +−== π (6.12)

Multiplicarea unui fazor cu operatorul a este echivalentă unei rotiri înainte cu 2π/3

(sau în urmă cu -4π/3), iar multiplicarea cu 23j

21ea 3/4j2 −−== π este echivalentă unei rotiri

înainte cu 4π/3 (sau în urmă cu -2π/3). Prin urmare, sistemele trifazate simetrice, direct (6.8)

şi invers (6.9), pot fi scrise sub forma:

i2

d3ii2ii1dd3d2

d2dd1 XaX,XaX,XX;XaX,XaX,XX ====== (6.13)

Operatorul de rotaţie a are următoarele proprietăţi:

a)a(,aa,0aa1,1a *22*23 ===++= (6.14)

Un receptor trifazat se spune că este echilibrat dacă impedanţele fazelor sale sunt

egale atât în modul cât şi în argument. Astfel, dacă impedanţele receptorului sunt: 321 j

33j

22j

11 eZZ,eZZ,eZZ ϕϕϕ === (6.15)

şi sunt satisfăcute condiţiile:

ϕ=ϕ=ϕ=ϕ=== 321321 ,ZZZZ (6.16)

receptorul este echilibrat.

Dacă nu sunt satisfăcute condiţiile (6.16), receptorul este dezechilibrat.

6.3 PRODUCEREA TENSIUNILOR ELECTROMOTOARE

SINUSOIDALE TRIFAZATE

Principiul de producere a tensiunilor electromotoare sinusoidale trifazate este

asemănător celui de generare a tensiunilor electromotoare monofazate (v. par. 4.1.2). În cazul

cel mai simplu, este posibil să se obţină un sistem trifazat de tensiuni electromotoare

sinusoidale prin rotirea uniformă, cu aceeaşi viteză unghiulară ω, a trei spire conductoare,


194

coaxiale, într-un câmp magnetic omogen, de inducţie B (fig. 6.4). În cele trei spire se vor

induce tensiunile electromotoare (v. relaţia 4.2.2):

)tsin(e 1m11 γ+ωΦω=

)tsin(e 2m22 γ+ωΦω= (6.17)

)tsin(e 3m33 γ+ωΦω=

unde,

3,2,1j,AB jjm ==Φ (6.18)

Pentru ca sistemul de tensiuni electromotoare induse în spire să fie simetric este

necesar ca spirele să fie identice (A1=A2=A3) şi să fie egal decalate în spaţiu

( 3/22312 π=γ−γ=γ−γ ).

6.4 CONEXIUNILE CIRCUITELOR TRIFAZATE

Fig. 6.5

Se consideră trei sisteme monofazate de transmisie a energiei electrice (fig. 6.5)

constituite din:

• trei generatoare de tensiuni electromotoare E1, E2, E3 având impedanţele interioare

321 ggg Z,Z,Z ;

• trei linii bifilare având impedanţele ;Z,Z,Z321

• trei receptoare de impedanţe .Z,Z,Z321 rrr


195

Fie I1, I2, I3 curenţii prin cele trei circuite, gf

gf

gf 321

U,U,U tensiunile la bornele

generatoarelor şi rf

rf

rf 321

U,U,U tensiunile la bornele receptoarelor.

Cele trei circuite monofazate izolate se numesc necatenate (nelegate). Fiecare

generator de tensiune se numeşte fază generatoare (prescurtat fază). Un circuit trifazat este

catenat (legat) dacă are legături conductoare între circuitele monofazate. Introducerea

legăturilor conductoare între faze trebuie astfel realizată încât în interiorul generatoarelor sau

receptoarelor să nu se formeze căi conductoare de-a lungul cărora să existe tensiuni nenule

care ar stabili curenţi de circulaţie interioară. Legarea fazelor unui circuit trifazat are drept

scop, în principal, micşorarea numărului de conductoare de legătură cu exteriorul. Astfel, în

locul a şase conductoare de legătură vor fi suficiente trei sau cel mult patru conductoare. Se

utilizează două tipuri de conexiuni ale circuitelor trifazate:

• conexiunea în stea;

• conexiunea în triunghi.

6.4.1 Conexiunea în stea

Dacă se conectează bornele generatoarelor monofazate 'g

'g

'g 3,2,1 la un punct comun

O numit neutrul generatorului (sau nulul generatorului) şi bornele receptoarelor monofazate 'r

'r

'r 3,2,1 la un punct comun N numit neutrul receptorului (sau nulul receptorului), grupul

celor trei conductoare de întoarcere a curentului 'r

'g

'r

'g

'r

'g 3,3,2,2,1,1 se înlocuieşte printr-un

conductor NO numit conductor neutru (sau fir neutru). Conexiunea celor trei circuite

monofazate se numeşte conexiune în stea (fig. 6.6).

Fig. 6.6


196

Impedanţele 321 ggg Z,Z,Z se numesc impedanţe de fază ale generatorului,

321 rrr Z,Z,Z - impedanţe de fază ale receptorului, 321

Z,Z,Z - impedanţe de linie şi ZN

impedanţa conductorului neutru.

Tensiunile gf

gf

gf 321

U,U,U dintre bornele de acces ale fazelor generatorului şi punctul

său neutru se numesc tensiuni de fază ale generatorului. Tensiunile rf

rf

rf 321

U,U,U dintre

bornele de acces ale fazelor receptorului şi punctul său neutru se numesc tensiune de fază ale

receptorului. Tensiunile g31

g23

g12 U,U,U dintre bornele de acces ale generatorului se numesc

tensiuni de linie ale generatorului. Tensiunile r31

r23

r12 U,U,U dintre bornele de acces ale

receptorului se numesc tensiuni de linie ale receptorului. Tensiunea UNO dintre punctele

neutre ale generatorului şi receptorului se numeşte tensiune de nul.

Curenţii gf

gf

gf 321

I,I,I care circulă pe fazele generatorului se numesc curenţi de fază ai

generatorului, iar curenţii rf

rf

rf 321

I,I,I care circulă pe fazele receptorului se numesc curenţi de

fază ai receptorului. Curenţii 321

I,I,I care circulă pe conductoarele liniei ce unesc bornele

de acces ale generatorului cu cele ale receptorului se numesc curenţi de linie. Curentul IN care

circulă pe conductorul neutru se numeşte curent de nul.

Sensurile pozitive ale tensiunilor şi curenţilor sunt reprezentate în figura 6.6.

Tensiunile de linie şi de fază precum şi curenţii de linie şi cei de fază ai generatorului

şi receptorului satisfac relaţiile: gf

gf

g31

gf

gf

g23

gf

gf

g12 133221

UUU,UUU,UUU −=−=−= (6.19)

rf

rf

r31

rf

rf

r23

rf

rf

r12 133221

UUU,UUU,UUU −=−=−= (6.20)

rf

gf

rf

gf

rf

gf 333222111

III,III,III ====== (6.21)

Prin urmare, curenţii de fază ai generatorului şi receptorului precum şi curenţii de

linie coincid.

Dacă tensiunile de fază ale generatorului formează un sistem simetric (6.13), gf

gf

gf

2gf

gf

jgf

gf UaU,UaU,UeUU

32

1

1==== γ (6.22)

rezultă că şi tensiunile de linie (6.19) constituie de asemenea un sistem simetric. Într-adevăr,

rezultă: )6/(jg

f6/jg

fgf

2gf

gf

gf

g12

1

21eU3eU3UaUUUU π+γπ ==−=−= (6.23)

)2/(jgf

2/jgf

gf

gf

2gf

gf

g23

1

32eU3eU3UaUaUUU π−γπ− ==−=−= (6.24)

)6/7(jgf

6/7jgf

gf

gf

gf

gf

g31

1

13eU3eU3UUaUUU π−γπ− ==−=−= (6.25)


197

Fig. 6.7

Din relaţiile (6.23) – (6.25) rezultă că valorile efective ale tensiunilor de linie şi de

fază satisfac relaţia: gf

gg31

g23

g12 U3UUUU ==== (6.26)

Prin urmare, la conexiunea în stea a unui sistem trifazat simetric de tensiuni, valoarea

efectivă a tensiunii de linie este de 3 ori mai mare decât valoarea efectivă a tensiunii de

fază.

În figura 6.7 s-a reprezentat diagrama fazorială a tensiunilor de fază şi de linie ale

generatorului.

La aceleaşi rezultate se ajunge şi în privinţa relaţiei dintre tensiunile de linie şi de fază

ale receptorului alimentat cu un sistem simetric de tensiuni.

6.4.2 Conexiunea în triunghi

Dacă se conectează bornele generatoartelor monofazate 'g1 cu 2g, '

g2 cu 3g, 'g3 cu 1g şi

bornele impedanţelor receptoarelor monofazate 'r1 cu 2r, '

r2 cu 3r, 'r3 cu 1r, se obţine

conexiunea în triunghi (fig. 6.8). Perechile de conductoare conectate împreună pot fi înlocuite

cu un singur conductor şi linia trifazată rezultă constituită din trei conductoare.

Tensiunile de linie şi de fază precum şi curenţii de linie şi de fază ai generatorului şi

receptorului satisfac relaţiile: g12

rf

r31

rf

r23

rf

g12

gf

g31

gf

g23

gf UU,UU,UU,UU,UU,UU

321321====== (6.27)

respectiv, gf

gf

gf

gf

gf

gf 123312231

III,III,III −=−=−= (6.28)

rf

rf

rf

rf

rf

rf 123312231

III,III,III −=−=−= (6.29)


198

Fig. 6.8

Prin urmare, în cazul conexiunii în triunghi, tensiunile de fază şi de linie ale

generatorului, respectiv ale receptorului, sunt egale.

Dacă curenţii de fază ale generatorului formează un sistem simetric (6.13),

gf

gf

gf

2gf

gf

jgf

gf IaI,IaI,IeII

32

1

1==== γ (6.30)

rezultă că şi curenţii de linie (6.29) constituie de asemenea un sistem simetric. Într-adevăr,

rezultă: )2/(jg

f2/jg

fgf

2gf

gf

gf

1

231eI3eI3IaIaIII π−γπ ==−=−= (6.31)

)6/(jgf

6/jgf

gf

gf

gf

gf

1

312eI3eI3IaIIII π−γπ− ==−=−= (6.32)

)6/5(jgf

6/5jgf

gf

gf

2gf

gf

1

123eI3eI3IIaIII π−γπ− ==−=−= (6.33)

Din relaţiile (6.31) – (6.33) rezultă că valorile efective ale curenţilor de linie şi de fază

satisfac relaţia: gfI3IIII

321==== (6.34)

Fig. 6.9

Capitolul 10 – Circuite neliniare

433

Datorită caracterului neliniar al bobinei, curentul în circuit este nesinusoidal. Într-o

analiză simplificată, când se admite că bobina este inerţială, curentul nesinusoidal se

înlocuieşte cu un curent echivalent sinusoidal. Prin urmare, semnalele din circuit fiind

sinusoidale, se poate utiliza metoda simbolică de reprezentare în complex. Astfel, se poate

scrie legea lui Ohm generalizată:

CLR UUUU ++=

reprezentată sub forma diagramei fazoriale în figura 10.53, b.

Neglijând pierderile în fier, caracteristica UL(I) are o formă similară cu caracteristica

de magnetizare Φ(i), iar caracteristicile UR(I) şi UC(I) sunt drepte care trec prin origine (fig.

10.54). Dacă panta caracteristicii UC(I) este mai mare decât panta tangentei în origine la curba

UL(I) nu apare fenomenul de rezonanţă. Fie cazul când panta lui Uc(I) este mai mică decât

panta tangentei în origine la caracteristica UL(I). Prin compunerea grafică, în cuadratură, a

tensiunilor UR(I) şi CLX UU)I(U −= se determină caracteristica tensiune - curent U(I).

Fig. 10.54

Dând valori crescătoare tensiunii aplicate, punctul de funcţionare M se deplasează pe

ramura OB a caracteristicii U(I). Pe această ramură, la valori crescătoare sau descrescătoare

ale tensiunii U, corespund valori crescătoare sau descrescătoare ale curentului I, adică pe

această ramură funcţionarea este stabilă. La o creştere în continuare a tensiunii U, punctul de

funcţionare trece din poziţia B, căruia îi corespunde curentul IB, în poziţia C, căruia îi

corespunde curentul IC. În punctul B curentul este discontinuu, deoarece la o creştere infinit

mică a tensiunii aplicate corespunde o creştere finită IC – IB a curentului.

Totodată are loc şi o răsturnare de fază; în punctul B curentul este inductiv deoarece

predomină reactanţa inductivă, iar în punctul C curentul este capacitiv şi predomină reactanţa

capacitivă. Continuând cu creşterea tensiunii aplicate, punctul de funcţionare se deplasează pe

ramura CD, tensiunea fiind defazată în urma curentului. Dacă din punctul D se reduce


434

tensiunea, curentul descreşte şi se ajunge în punctul R în care tensiunea la bornele bobinei UL

este egală şi în opoziţie de fază cu tensiunea UC la bornele condensatorului. Acest punct în

care UL – UC = 0 şi curentul Ir are o valoare finită se numeşte punct de rezonanţă. Rezultă că,

spre deosebire de circuitele liniare, în circuitul neliniar considerat rezonanţa se poate obţine

prin modificarea valorii efective a tensiunii aplicate. Acest lucru se explică prin faptul că

reactanţa bobinei neliniare depinde de valoarea efectivă a curentului care variază odată cu

variaţia tensiunii la bornele circuitului.

Pe ramura CD a caracteristicii U(I), la valori crescătoare sau descrescătoare ale

tensiunii aplicate, corespund valori crescătoare sau descrescătoare ale curentului. Prin urmare,

pe această ramură funcţionarea este stabilă. Pe ramura BR funcţionarea este instabilă,

deoarece la valori crescătoare sau descrescătoare ale tensiunii corespund valori descrescătoare

respectiv crescătoare ale curentului. În punctul R, la scăderea valorii efective a tensiunii, se

produce saltul de curent reprezentat prin segmentul RA (punctul de funcţionare trece din

poziţia R în poziţia A).

Pentru o anumită valoare efectivă a tensiunii, valoarea efectivă a curentului poate avea

una, două sau trei valori diferite. De exemplu, pentru U = U1 sunt posibile trei valori I1, I2 şi I3

ale curentului, din care prima şi ultima corespund unei funcţionări stabile, iar a doua

corespunde unui regim de funcţionare nestabil.

10.7.2 Ferorezonanţa de curenţi

Ferorezonanţa de curenţi se produce, în cazul cel mai simplu, în circuitele constituite

din gruparea în paralel a unui rezistor liniar, a unei bobine neliniare şi a unui condensator

liniar (fig. 10.55, a). Dacă tensiunea aplicată la bornele circuitului este sinusoidală, curentul

care străbate bobina, datorită neliniarităţii acesteia, este nesinusoidal. Într-o analiză

simplificată, când se admite că bobina este inerţială, curentul nesinusoidal se înlocuieşte cu un

curent echivalent sinusoidal.

a) b)

Fig. 10.55


435

Prin urmare, semnalele din circuit fiind sinusoidale, se poate utiliza metoda simbolică

de reprezentare în complex. Astfel, se poate scrie teorema de curenţi a lui Kirchhoff:

CLG IIII ++=

reprezentată sub forma diagramei fazoriale în figura 10.55, b.

Analiza circuitului se efectuează cu ajutorul metodei grafice. În acest sens, se trasează

caracteristicile IG(U), IL(U), IC(U) şi IX(U) = IC(U) - IL(U). Prin compunerea grafică, în

cuadratură, a caracteristicilor IG(U) şi IX(U) se obţine caracteristica rezultantă I(U) (fig.10.56).

Fig. 10.56

Pentru a obţine reglarea continuă a intensităţii curentului absorbit, se conectează în

serie cu circuitul paralel un reostat a cărui rezistenţă este mult mai mare decât impedanţa

circuitului paralel. Dând valori crescătoare curentului, punctul de funcţionare M se deplasează

pe porţiunea OB a caracteristicii I(U). Pe această ramură funcţionarea este stabilă deoarece la

valori crescătoare sau descrescătoare ale curentului corespund valori crescătoare sau

descrescătoare ale tensiunii.

La o creştere în continuare a curentului, punctul de funcţionare trece din poziţia B,

căruia îi corespunde tensiunea UB, în punctul B1, căruia îi corespunde tensiunea UB1. În

punctul B are loc o discontinuitate pentru tensiune, de la UB la UB1. Totodată are loc şi o

răsturnare de fază, curentul care era defazat înaintea tensiunii rămâne în urma acesteia.

Continuând cu creşterea curentului, punctul de funcţionare se deplasează pe ramura B1C,

curentul fiind în continuare inductiv.

La reducerea curentului din punctul C, se ajunge ca în punctul R, curenţii în bobină şi

în condensator să fie egali în valoare efectivă (IL = IC) şi în opoziţie de fază. Acest punct se

numeşte de rezonanţă. Pe ramura BR funcţionarea este instabilă, iar pe ramura B1R pentru

valori ale lui I cuprinse între zero si I1 există trei valori posibile ale tensiunii, U1, U2 şi U3, din

care prima şi ultima corespund unei funcţionări stabile. Urmează că punctul de funcţionare nu

parcurge ramura BR nici la creşterea şi nici la reducerea curentului.


436

10.8 ANALIZA CIRCUITELOR NELINIARE

ÎN REGIM TRANZITORIU

Ecuaţiile unui circuit neliniar sunt ecuaţii diferenţiale, neliniare de forma:

)t(f,...dt

yd,dtdy,yF 2

2

=

(10.219)

Soluţia generală a ecuaţiei (10.219)

y = y(t) (10.220)

caracterizează regimul tranzitoriu al circuitului.

Datorită caracterului neliniar al circuitului, teorema suprapunerii nu este satisfăcută şi

prin urmare, spre deosebire de circuitele liniare, soluţia generală (10.220), corespunzătoare

regimului tranzitoriu, nu mai poate fi descompusă în două componente, una caracterizând

regimul forţat, iar cealaltă regimul liber.

Soluţia de regim permanent poate fi obţinută prin trecerea la limită a soluţiei generale

(10.220),

)t(ylimytp ∞→

= (10.221)

Soluţia de regim liber se determină integrând ecuaţia corespunzătoare circuitului

pasivizat,

0,...dt

yd,dtdy,yF 2

2

=

(10.222)

Regimul particular de funcţionare al unui circuit neliniar în care semnalul răspuns este

de o formă asemănătoare funcţiei f(t) poartă denumirea de răspuns forţat. Dacă în cazul

circuitelor liniare soluţiile regimului permanent coincid cu cele ale regimului forţat, fiind

independente de condiţiile iniţiale, în ceea ce priveşte circuitele neliniare cele două soluţii

sunt, în general, diferite.

Problema studiului riguros al regimului tranzitoriu, permanent, liber sau forţat, al unui

circuit neliniar, prezintă un înalt grad de dificultate. O primă dificultate o constituie

determinarea exactă sau cel puţin aproximativă a ecuaţiei diferenţiale a circuitului. O a doua

dificultate constă în obţinerea soluţiei exacte sau aproximative a ecuaţiei diferenţiale. În ceea

ce priveşte prima aproximaţie – în legătură cu stabilirea ecuaţiei diferenţiale a circuitului – ea


437

se bazează pe utilizarea funcţiilor de aproximare a caracteristicilor elementelor de circuit

neliniare. Cel mai mare grad de dificultate îl constituie obţinerea soluţiilor exacte sau chiar

aproximative ale ecuaţiilor diferenţiale neliniare. Pentru obţinerea soluţiei aproximative se

utilizează metode numerice, analitice şi grafo-analitice.

Studiul proceselor din circuitele neliniare se simplifică şi capătă un grad înalt de

generalitate în cazul când se recurge la normarea ecuaţiilor. Astfel, cu ajutorul aceleiaşi

ecuaţii diferenţiale în care atât funcţia şi derivatele sale, cât şi coeficienţii precum şi membrul

drept sunt mărimi adimensionale, se poate descrie o clasă numeroasă de procese tranzitorii.

10.8.1 Circuite neliniare de ordinul unu

Circuitele constituite dintr-un rezistor şi o bobină, respectiv dintr-un rezistor şi un

condensator, ambele neliniare sau numai unul dintre elemente neliniar şi celălalt liniar,

conectate în serie sau în paralel şi alimentate de la un generator de tensiune sau de curent, sunt

descrise de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul unu şi se numesc circuite neliniare de

ordinul unu. De exemplu, aplicând pentru fiecare din circuitele reprezentate în figura 10.57, a

– c teorema de tensiuni a lui Kirchhoff, se obţin ecuaţiile diferenţiale neliniare de ordinul unu:

e)i(udtdiL R =+ ; e)(iR

dtd

=Φ+Φ ; e)q(u

dtdqR C =+ (10.223)

a) b)

c) d)

Fig. 10.57


438

Ecuaţiile (10.223) se normează în mod diferit, după cum semnalul excitaţie este

constant sau periodic. În vederea normării primei ecuaţii (10.223), în cazul în care semnalul

excitaţie este constant, e = E, se introduc notaţiile:

tILE,

E)i(u)y(x,

Iiy

p

R

p

=τ== (10.224)

unde Ip este curentul de regim permanent.

Pentru a norma a doua ecuaţie (10.223) se introduc notaţiile:

tE,I

)(i)y(x,yppp Φ

=τΦ

=ΦΦ

= (10.225)

unde Φp este fluxul magnetic de regim permanenr, iar REIp = reprezintă curentul de regim

permanent.

În vederea normării celei de a treia ecuaţie (10.223), în cazul în care semnalul excitaţie

este constant, e = E, se introduc notaţiile:

tqRE,

E)q(u)y(x,

qqy

p

C

p

=τ== (10.226)

unde qp este sarcina condensatorului în regim permanent.

În toate cele trei cazuri, notaţiile utilizate conduc la ecuaţii diferenţiale normate de

aceeaşi formă:

1)y(xddy

=+τ

(10.227)

unde: y reprezintă semnalul răspuns normat (curent, flux magnetic, respectiv sarcină

electrică); x(y) – funcţia neliniară normată (tensiunea la bornele rezistorului neliniar,

intensitatea curentului prin bobina neliniară, respectiv tensiunea la bornele condensatorului

neliniar), iar τ - timpul normat.

Procedând în mod similar, se poate norma ecuaţia diferenţială care descrie regimul

liber al descărcării unui condensator liniar pe un rezistor neliniar (fig. 10.57, d). Folosind

relaţiile:

∫∞−

==+t

CCR dtiC1u,0uu (10.228)

prin derivare se obţine ecuaţia:

0iC1

dtdu R =+ (10.229)


439

Dacă uC(0) = U0, i(0) = I0 sunt valorile iniţiale imediat după comutare, ale tensiunii la

bornele condensatorului şi curentului, şi se introduc notaţiile:

tUCI,

I)u(i)y(x,

Uuy

0

0

0

R

0

R =τ== (10.230)

ecuaţia (10.229) devine:

0)y(xddy

=+τ

(10.231)

În mod similar se pot norma ecuaţiile (10.223) în cazul în care excitaţia este

sinusoidală. De exemplu, dacă circuitul din figura 10.57, b se conectează la un generator de

tensiune având tensiunea electromotoare e = Em sin(ωt + γe) şi se introduc notaţiile:

t,Ek,)(iR)y(x,ym

m

mm

ω=τΦω

=ΦωΦ

=ΦΦ

= (10.232)

a doua ecuaţie (10.223) devine:

)sin(k)y(xddy

eγ+τ=+τ

(10.233)

A. Metode numerice de analiză a circuitelor neliniare de ordinul unu

în regim tranzitoriu

Metodele numerice se aplică ecuaţiilor diferenţiale (10.227), (10.229) şi (10.233) care

se pot scrie şi sub forma:

0),y(fddy

=τ+τ

(10.234)

unde y reprezintă răspunsul normat, iar τ este timpul normat.

Metoda Euler permite obţinerea soluţiei aproximative a ecuaţiei (10.234), cu condiţia

iniţială 00y)0(y)(y ==τ

=τ, utilizând aproximaţiile succesive.

Valoarea răspunsului normat pentru τ = ∆τ se obţine din dezvoltarea în serie Taylor, în

care se neglijează derivatele de ordin superior:

τ∆−=τ∆−=τ∆τ

+=τ∆= 00001 fy)0,y(fyd

)0(dy)0(y)(yy (10.235)


440

Procedând în mod similar se determină valoarea răspunsului normat pentru τ = 2∆τ:

τ∆−=τ∆τ∆−=τ∆ττ∆

+τ∆=τ∆= 10112 fy),y(fyd

)(dy)(y)2(yy (10.236)

Continuând acest procedeu, se obţine:

τ∆−=τ∆τ∆−=τ∆ττ∆

+τ∆=τ∆+=+ kkkk1k fy)k,y(fyd

)k(dy)k(y])1k[(yy (10.237)

Ecuaţia (10.237) este uşor programabilă şi precizia este cu atât mai bună cu cât ∆τ este

mai mic.

Exemplul 10.1

Se consideră procesul tranzitoriu al conectării la un generator de tensiune constantă a

unui circuit de tipul indicat în figura 10.57, a – c.

Aproximând caracteristica elementului neliniar cu polinomul

2210 yayaa)y(x ++= (10.238)

ecuaţia diferenţială normată (10.227) devine:

2210 yayaa1

ddy

−−−=τ

(10.239)

În prima etapă, cunoscând condiţiile iniţiale, de exemplu, τ = 0, y(0) = 0, se calculează

valoarea derivalei τd

dy în punctul τ = 0:

0a1d

)0(dy−=

τ (10.240)

şi apoi se determină răspunsul normat y1 (10.235):

τ∆−=τ∆τ

+=τ∆= )a1(d

)0(dy)0(y)(yy 01 (10.241)

În etapa următoare se calculează valoarea derivatei lui y1,

212110

1 yayaa1ddy

−−−=τ

(10.242)

şi apoi se determină răspunsul normat y2 (10.236) :

2121100

112 yayaa1)a1(

ddyyy −−−+τ∆−=τ∆τ

+= (10.243)


441

Continuând acest procedeu, se determină un număr suficient de valori y1, y2, …,

pentru a se putea obţine răspunsul circuitului în procesul tranzitoriu consecutiv conectării

circuitului la sursa de tensiune continuă.

Metoda Euler necesită determinarea unui mare număr de derivate succesive, cu atât

mai mare cu cât gradul de precizie cerut este mai mare. Pentru evitarea acestui dezavantaj, se

utilizează metoda Runge – Kutta [14].

B. Metode analitice de analiză a circuitelor neliniare de ordinul unu


Integrarea exactă, pe cale analitică, a ecuaţiilor neliniare de ordinul unu este posibilă

într-un număr restrâns de cazuri.

Metoda liniarizării fragmentate se bazează pe aproximarea caracteristicii neliniare

y(x) prin segmente de dreaptă (în particular trei segmente de dreaptă – figura 10.21):

∈+

∈+

∈

=

],1,x[xpentru,xay

],x,x[xpentru,xay

],x,0[xpentru,xa

)x(y

22'2

211'1

10

(10.244)

unde xm = 1 şi ym = 1.

Ecuaţia diferenţială (10.227) se descompune în intervalul [0, ∞) în trei ecuaţii

diferenţiale:

]x,0[x],,0[pentru,1xddxa 110 ∈τ∈τ=+τ

(10.245)

]x,x[x],,[pentru,1xddxa 21211 ∈ττ∈τ=+τ

(10.246)

)1,x[x),,[pentru,1xddxa 222 ∈∞τ∈τ=+τ

(10.247)

cu soluţiile:

,ek1x 0a0

τ−

−= ,ek1x 1

1

a1

τ−τ−

−= 2

2

a2 ek1x

τ−τ−

−= (10.248)

unde k0, k1, k2 sunt constante de integrare ale căror valori se determină din condiţia iniţială şi

condiţiile de continuitate ale semnalului x(τ) în punctele x1 şi x2:

τ = 0, x = 0, k0 = 1 (10.249)

τ = τ1, x = x1, k1 = 1 – x1 (10.250)

τ = τ2, x = x2, k2 = 1 – x2 (10.251)


442

Prin urmare, se obţine:

,e1x 0aτ

−

−= ]x,0[x],,0[pentru 11 ∈τ∈τ (10.252)

,e)x1(1x 1

1

a1

τ−τ−

−−= ]x,x[x],,[pentru 2121 ∈ττ∈τ (10.253)

,e)x1(1x 2

2

a2

τ−τ−

−−= )1,x[x),,[pentru 22 ∈∞τ∈τ (10.254)

Din ecuaţiile

,e1x)(x 0

1

a11

τ−

−==τ 1

12

a122 e)x1(1x)(x

τ−τ−

−−==τ (10.255)

se obţin valorile normate

2

1112

101 x1

x1lna,x1

1lna−−

+τ=τ−

=τ (10.256)

Cunoscând semnalul x(τ) şi caracteristica y(x), cu relaţiile (10.244) se determină

răspunsul y(τ).

Metoda aproximării analitice se bazează pe aproximarea caracteristicii elementului

de circuit neliniar printr-un polinom de puteri, de exponenţiale sau trigonometric. De

exemplu, dacă caracteristica neliniară se aproximează cu polinomul

x = y2 (10.257)


1yddy 2 =+τ

(10.258)

Separând variabilele şi integrând se obţine:

∫∫ −=τ

τ y

02

0 y1dyd (10.259)

sau

thyarg=τ (10.260)

Din relaţia (10.260) se obţine:

τ= thy , τ= 2thx (10.261)

Metoda perturbaţiei, cunoscută şi sub denumirea de metoda parametrului mic, este o

metodă analitică aproximativă care poate fi aplicată ecuaţiilor neliniare de forma:

0),y(f),y(fddy

21 =τµ+τ+τ

(10.262)

unde f1 este o funcţie liniară, f2 – o funcţie neliniară, iar µ - un parametru mic (µ << 1).


443

De exemplu, dacă se consideră regimul liber al descărcării unui condensator liniar pe

un rezistor neliniar (fig. 10.57, d) a cărui caracteristică se aproximează cu parabola: 2R2R1R uaua)u(i += (10.263)

condiţia iniţială fiind:

uR(0) = -uC(0) = - U0 (10.264)


0uCau

Ca

dtdu 2

R2

R1R =++ (10.265)

Prin normare, ecuaţia (10.265) capătă forma:

0ymyddy 2 =++τ

(10.266)

unde:

01

21

0

R Uaam,t

Ca,

Uuy ==τ= (10.267)

Făcând substituţia 'mm µ= , ecuaţia (10.266) devine:

0ymyddy 2' =µ++τ

(10.268)

adică are forma ecuaţiei (10.262).

Se adoptă o soluţie a ecuaţiei (10.268) de forma:

)(y)(y)(y)(y 22

10 τµ+τµ+τ=τ (10.269)

Substituind această soluţie în ecuaţia (10.268) şi neglijând termenii care conţin puteri

ale lui µ mai mari decât doi se obţine:

10'22

0'

22

102210 yym2ymyyy

ddy

ddy

ddy

µ−µ−µ−µ−−=τ

µ+τ

µ+τ

(10.270)

Identificând termenii în µ0 se obţine ecuaţia diferenţială liniară

00 y

ddy

−=τ

(10.271)

a cărei soluţie este de forma: τ−= eAy 00 (10.272)

unde A0 este o constantă de integrare care se determină cu ajutorul condiţiei iniţiale (10.264 şi

10.267), y0(0) = -1. Prin urmare, A0 = -1 încât τ−−= ey0 (10.273)


444

Identificând termenii în µ se obţine ecuaţia diferenţială liniară

20

'1

1 ymyddy

−−=τ

(10.274)

Ţinând seama de soluţia (10.273) ecuaţia (10.274) devine:

τ−−=+τ

2'1

1 emyddy (10.275)

Soluţia ecuaţiei (10.275) este:

τ−τ− += eAeBy 12

11 (10.276)

Constanta B1 se determină prin metoda substituţiei, impunând soluţiei particulare τ−2

1 eB condiţia de a verifica ecuaţia (10.275) şi se obţine:

B1 = m’ (10.277)

Prin urmare, soluţia (10.276) devine:

τ−τ− += eAemy 12'

1 (10.278)

Ţinând seama de condiţia iniţială y1(0) = 0, rezultă A1 = - m’ şi

)ee(my 2'1

τ−τ− −= (10.279)

Identificând termenii în µ2 ai ecuaţiei (10.270) se obţine ecuaţia diferenţială liniară:

10'

22 yym2y

ddy

−−=τ

(10.280)

Ţinând seama de expresiile (10.273) şi (10.279), ecuaţia (10.280) devine:

)ee()m(2yd

dy 232'2

2 τ−τ− −=+τ

(10.281)

şi are soluţia:

τ−τ−τ− ++= eAeBeBy 22

33

22 (10.282)

Constantele B2 şi B3 se determină prin metoda substituţiei, ţinând seama de faptul că

soluţia particulară τ−τ− += 23

3221 eBeBy verifică ecuaţia (10.281). Dacă se are în vedere că

τ−τ− −−=τ 23

3221 eB2eB3d/dy , rezultă:

B2 = - (m’)2, B3 = 2(m’)2 (10.283)


445

şi deci

τ−τ−τ− ++−= eA)e2e()m(y 2232'

2 (10.284)

Utilizând condiţia iniţială y2(0) = 0, se obţine A2 = - (m’)2 şi soluţia (10.284) devine:

)ee2e()m(y 232'2

τ−τ−τ− −+−= (10.285)

Dacă se substituie în soluţia adoptată (10.269) expresiile (10.273), (10.279) şi

(10.285), se obţine soluţia căutată:

)ee2e()m()ee(mey 232'2' τ−τ−τ−τ−τ−τ− −+−+−+−= (10.286)

Dacă se ţine seama de substituţia 'mm µ= , rezultă:

])1e(m)1e(m1[ey 22 −−−+−= τ−τ−τ− (10.287)

Pentru ca soluţia (10.287) să fie rapid convergentă este necesar ca m << 1.

10.8.2 Circuite neliniare de ordinul doi

Circuitele constituite dintr-un rezistor, o bobină şi un condensator, dintre care cel puţin

un element este neliniar, conectate în serie sau în paralel şi alimentate de la un generator de

tensiune sau de curent, sunt descrise de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul doi şi se

numesc circuite neliniare de ordinul doi.

a) b)

Fig. 10.58

Fie, de exemplu, regimul liber al circuitului cu bobină neliniară (fig. 10.58, a) a cărei

caracteristică se aproximează cu polinomul

331L aa)(i Φ+Φ=Φ (10.288)


446

Ţinând seama de relaţiile 2

2

CR dtdC

dtduCi,

dtd

R1

Rui Φ

==Φ

== şi de expresia (10.288),

teorema de curenţi a lui Kirchhoff

iL + iR + iC = 0 (10.289)

devine:

0aadtd

R1

dtdC 3

312

2

=Φ+Φ+Φ

+Φ (10.290)

sau

0Ca

Ca

dtd

CR1

dtd 331

2

2

=Φ+Φ+Φ

+Φ (10.291)

O ecuaţie similară se obţine pentru circuitul cu condensator neliniar (fig. 10.58, b).

Aproximând caracteristica condensatorului cu polinomul

uC(q) = b1q + b3q3 (10.292)

şi utilizând relaţiile 2

2

dtqd

dtdi,

dtdqi == , teorema de tensiuni a lui Kirchhoff,

0uRidtdiL C =++ (10.293)

devine

0qbqbdtdqR

dtqdL 32

2

31 =+++ (10.294)

sau

0qLbq

Lb

dtdq

LR

dtqd 32

231 =+++ (10.295)

Ecuaţiile (10.291) şi (10.295) sunt de forma:

0ykykdtdyk

dtyd 3

2102

2

=+++ (10.296)

şi sunt cunoscute sub denumirea de ecuaţii de tip Duffing.

Regimul liber al circuitelor conţinând rezistoare neliniare a căror caracteristică are

forma reprezentată în figura 10.59, b este descris de ecuaţii diferenţiale neliniare de ordinul

doi de forma

0ymdtdy)ym1(m

dtyd

22

102

2

=+−− (10.297)

cunoscute sub denumirea de ecuaţii van der Pol.


447

a) b)

Fig. 10.59

Fie, de exemplu, regimul liber al circuitului cu rezistor neliniar (fig. 10.59, a) a cărui

caracteristică (fig. 10.59, b) se aproximează cu polinomul 3

31R uaua)u(i +−= (10.298)

Ţinând seama de relaţiile dtduCi,dtu

L1i C

t

0L == ∫ şi de expresia (10.298) şi derivând

în raport cu timpul, teorema de curenţi a lui Kirchhoff (10.289) devine:

0uL1

dtdu)ua3a(

dtudC 2

312

2

=+−− (10.299)

sau,

0uCL

1dtdu)u

aa31(

Ca

dtud 2

1

312

2

=+−− (10.300)

Se observă că ecuaţia (10.300) are forma ecuaţiei van der Pol (10.297).

A. Metode numerice de analiză a circuitelor neliniare de ordinul doi


Metodele numerice se aplică ecuaţiilor diferenţiale (10.296), (10.300) care se pot scrie

şi sub forma:

0)t,dtdy,y(f

dtdy

2

2

=+ (10.301)

Cu notaţiile

dtdy

dtdyy,yy 1

21 === (10.302)

ecuaţia (10.301) este echivalentă cu sistemul ecuaţiilor diferenţiale neliniare de ordinul unu:

)t,y,y(fdt

dy,ydt

dy21

22

1 −== (10.303)

care poate fi scris şi sub formă matriceală:

)t,(Fdtd yy = (10.304)


448

unde

=

2

1

yy

y ,

−

=)t,y,y(f

y)t,(F

21

2y (10.305)

Ecuaţia (10.304) reprezintă ecuaţia de evoluţie a circuitelor neliniare şi este formal

similară cu ecuaţia (10.234).

Metoda aproximaţiilor succesive se aplică la fel ca în cazul circuitelor de ordinul unu.

Cunoscând condiţia iniţială

=

)0(y)0(y

(0)2

1y (10.306)

răspunsul la momentul ∆t se determină din ecuaţia:

t]0,(0)[F)0(tdt

)0(d)0()t( ∆+=∆+=∆ yyyyy (10.307)

Procedând în mod similar se determină valoarea răspunsului pentru t = 2∆t:

t]t,t)([F)t(tdt

)t(d)t()t2( ∆∆∆+∆=∆∆

+∆=∆ yyyyy (10.308)

Continuând acest procedeu, se obţine răspunsul la momentul (k + 1)∆t:

t]t,t)(k[F)tk(]t)1k([ ∆∆∆+∆=∆+ yyy (10.309)

B. Metode analitice aproximative de analiză a circuitelor neliniare de ordinul

doi în regim tranzitoriu

Ecuaţiile diferenţiale neliniare de ordinul doi, în general, nu pot fi rezolvate analitic

exact şi pentru soluţionarea lor s-au elaborat metode analitice aproximative.

Metoda liniarizării constă în aproximarea caracteristicii elementului de circuit

neliniar prin segmente de dreaptă. Ecuaţia diferenţială neliniară de ordinul doi se descompune

într-un număr de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul doi, egal cu numărul segmentelor de

dreaptă.

Metoda perturbaţiei poate fi aplicată şi ecuaţiilor diferenţiale neliniare de ordinul

doi, însă necesită un volum mare de calcule.

Metoda variaţiei constantelor a fost elaborată de Lagrange şi apoi dezvoltată de van

der Pol. Fie, de exemplu, regimul liber al circuitului neliniar din figura 10.59, a. Ecuaţia de tip

van der Pol (10.300) se poate scrie sub forma echivalentă:


449

0Uu

CL1

)t(d)U/u(d)

Uu

aUa31(

Ca

)t(d)U/u(d

0200

020

2

1

203

0

12

0

02

=ω

+ω

−ω

−ω

(10.310)

unde LC1

0 =ω , 3

10 a3

aU = . Introducând notaţiile:

Ca,t,

Uuy

0

10

0 ω=εω=τ= (10.311)


0yddy)y1(

dyd 22

2

=+τ

−ε−τ

(10.312)

Se caută o soluţie de forma:

)sin()(Y)tsin()t(Yy m0m γ+ττ=γ+ω= (10.313)

unde amplitudinea Ym este o funcţie lent variabilă de timp.

Se calculează derivatele de primul şi al doilea ordin:

)sin(d

dY)cos(Yddy m

m γ+ττ

+γ+τ=τ

(10.314)

)sin(Y)cos(d

dY2)sin(d

Ydd

ydm

m2m

2

2

2

γ+τ−γ+ττ

+γ+ττ

=τ

(10.315)

Datorită caracterului lent al variaţiei în timp a funcţiei Ym, se pot face aproximaţiile:

τ<<

τ<<

τ ddY

dYd,Y

ddY m

2m

2

mm (10.316)

şi deci pentru calculul derivatelor de primul şi al doilea ordin se pot utiliza relaţiile

aproximative:

)cos(Yddy

m γ+τ≈τ

(10.317)

)sin(Y)cos(d

dY2d

ydm

m2

2

γ+τ−γ+ττ

≈τ

(10.318)

Introducând expresiile (10.313), (10.317) şi (10.318) în ecuaţia (10.312), se obţine:

−γ+τε+γ+τε−γ+ττ

)cos(Y)cos(Y)cos(d

dY2 3mm

m

0)(3cosY41)cos(Y

43 3

m3m =γ+τε−γ+τε− (10.319)


450

Neglijând armonica de rangul trei, ecuaţia (10.319) devine:

−

ε=

τ 4Y1

2Y

ddY 2

mmm (10.320)

Multiplicând ambii membri ai ecuaţiei (10.320) cu 2Ym şi separând variabilele se

obţine:

τε=

−

ddY

4Y1Y

1m2

m2m

(10.321)

Deoarece

−

=

−

2m

2m

m2m2

m

Y4YlnddY

4Y1Y

1 , ecuaţia (10.321) devine:

τε=

−

dY4

Ylnd 2m

2m (10.322)

iar prin integrare se obţine:

20m

20m

2m

2m

Y4Yln

Y4Yln

−+τε=

− (10.323)

unde Ym(0) = Ym0.

Relaţia (10.323) poate fi scrisă şi sub forma echivalentă:

τε

−=

−e

Y4Y

Y4Y

20m

20m

2m

2m (10.324)

care permite determinarea amplitudinii Ym:

)1e(Y411

eYY2

0m

2/0m

m

−+=

τε

τε

(10.325)

Prin urmare, soluţia (10.313) a ecuaţiei van der Pol este:

)sin()1e(Y

411

eYy2

0m

2/0m γ+τ

−+=

τε

τε

(10.326)

Dacă se introduce notaţia

20m

20m

YY4K −

= (10.327)


451

soluţia (10.326) devine:

)sin(eK1

2)(y γ+τ+

=ττε−

(10.328)

Pentru τ→∞ rezultă soluţia de regim permanent, care este o autooscilaţie de

amplitudine egală cu 2.

Soluţii aproximative cu grad înalt de precizie se obţin utilizând metoda asimptotică,

sau metoda variaţională [14].

BIBLIOGRAFIE

1. Andronescu, P.: Bazele electrotehnicii, vol. I şi II, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1972.

2. Angot, A.: Complemente de matematici pentru inginerii din electrotehnică şi

telecomunicaţii, Editura Tehnică, Bucureşti, 1966.

3. Antoniu, I. S.: Bazele electrotehnicii, vol. I şi II, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1974.

4. Bobrow, L.: Elementary Liniar Circuit Analysis – second edition, HRW Series in

Electrical Engineering, University of Massachusetts, USA, 1995.

5. Crug, C. A.: Bazele electrotehnicii, vol. I şi II, Editura Tehnică, Bucureşti, 1953.

6. Flanco, S.: Electric Circuits Fundamentals, Saunders College – Publishing, San

Francisco State University, USA, 1995.

7. Ivas, S.: Teoria macroscopică a câmpului electromagnetic, Editura Fundaţiei

Universitare Dunărea de Jos, Galaţi, 2003.

8. Mocanu, C. I.: Teoria câmpului electromagnetic, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.

9. Mocanu, C. I.: Teoria circuitelor electrice, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1979.

10. Neiman, L., R., Kalantarov, P. L.: Bazele teoretice ale electrotehnicii, vol. I şi II, Editura

Energetică de Stat, Bucureşti, 1955.

11. Preda, M.: Bazele electrotehnicii, vol. II, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti,

1980.

12. Rosman, H., Savin, Gh.: Circuite electrice liniare, vol. I şi II, Institutul Politehnic Iaşi,

1974.

13. Răduleţ, R.: Bazele electrotehnicii, Probleme, vol. II, Editura Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti, 1981.

14. Savin, Gh., Rosman, H.: Circuite electrice neliniare şi parametrice, Editura Tehnică,

Bucureşti, 1973.

teoria circuitelor electrice

Documents