teoria circuitelor electrice – aplicaţiicazacu/1. suport curs be i-tr- tet 2015/probleme... ·...
TRANSCRIPT
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
X.2. PROBLEME REZOLVATE
R10.1. Pentru circuitul din figura 10.R.1, alimentat de la un sistem de tensiuni simetrice de succesiune directă, se cunosc următoarele date:
[V] 314sin2220)(10 ttu , 22L . Să se afle curenţii intensităţile curenţilor de linie, intensitatea curentului pe firul de nul şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.1
Rezolvare:
Fig. 10.R.1.a. Schema în complex pentru 10.R.1
jLjZZZ 22321 , 00Z 0N0 U Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 1-N-0-1: 101N10N01N UUUUU , dar
2
1
10
1
1N1111N 1010
22220 j
ejjZ
UZ
UIIZU
Trecând din complex în timp, se obţine ]A[)2
314sin(210)(1
tti
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 2-N-0-2: 202N20N02N UUUUU , dar
65
2
20
2
2N2222N 10535
223110110 j
ejj
jZ
UZ
UIIZU
, deci
]A[)6
5314sin(210)(2
tti
Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 3-N-0-3: 303N30N03N UUUUU
6
3
30
3
3N3333N 10535
223110110
jej
jj
ZU
ZUIIZU
)6
314sin(210)(3
tti [A]
Sistemul fiind alimentat cu tensiuni de succesiune simetrică si având receptorul echilibrat, intensitatea curentului pe firul neutru este „0”. În figura R10.1.b sunt reprezentaţi fazorii tensiunilor şi curenţilor.
Fig. 10.R.1.b. Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor
Pentru bilanţul puterilor, se calculează puterea activă consumată şi puterea reactivă consumată:
0}Re{}Re{}Re{ 233
222
211 IZIZIZPc W
6600100223}Im{}Im{}Im{ 233
222
211 IZIZIZQc var
Puterea aparentă complexă generată este
jjj
jjjIUIUIUS g
6600)535)(31(110
)535)(31(11010220*330
*220
*110
Puterea activă generată este partea reală a puterii aparente complexe generate W0}Re{ gg SP , iar puterea reactivă generată este partea imaginară a puterii
aparente complexe generate: var6600}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
R10.2. Pentru circuitul din figura 10.R.2, alimentat cu un sistem de tensiuni simetrice de succesiune directă, se cunosc: ttu sin2380)(12 [V],
19LR . Să se determine intensităţile curenţilor de fază, de linie şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.2
Rezolvare:
Fig. 10.R.2.a Schema în complex pentru 10.R.2
)1(19312312 jLjRZZZ
Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 1-1’-2’-2-1:
121212 IZU 4
12
1212 210)1(10
)1(19380 j
ejjZ
UI
Variaţia în timp a curentului )(12 ti este ]A[)4
sin(20)(12 tti
Similar, se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 2-2’-3’-3-2:
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
232323 IZU
1211
432
23
2323
210210
)2
12
1)(23
21(210
)1(19)31(190
jjjeee
jjj
jZUI
Trecând în timp, [A])12
11sin(20)(23 tti
Teorema Kirchhoff II pe bucla 1-1’-3’-3-1:
313131 IZU
125
432
31
3131
210210
)2
12
1)(23
21(210
)1(19)31(190
jjj
eee
jjj
jZUI
Trecând în timp, [A])125sin(20)(31 tti
Intensităţile curenţilor de linie se determină aplicând teorema I a lui Kirchhoff în nodurile receptorului:
125
6432
4431121 6103210210210
jjjjjjeeeeeeIII
Expresia în timp este: [A])125sin(320)(1 tti
1211
65
4432
412232 6103210210210
jjjjjjeeeeeeIII
Expresia în timp este: [A])12
11sin(320)(2 tti
43
2432
432
423313 6103210210210
jjjjjjjeeeeeeeIII
Expresia în timp este: [A])4
3sin(320)(3 tti
Pentru bilanţul puterilor :
W11400)200200200(19}Re{}Re{}Re{ 2
313122323
21212
IZIZIZPc
var11400)200200200(19}Im{}Im{}Im{ 23131
22323
21212 IZIZIZQc
jjjjjj
jjIUIUIUS g
1140011400)331)(31(190)3
31)(31(5190)1(10380*3131
*2323
*1212
W11400}Re{ gg SP var11400}Im{ gg SQ gcgc QQPP ,
În figura 10.R.2.b sunt reprezentaţi fazorii tensiunilor şi curenţilor.
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Fig. 10.R.2.b. Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor
R10.3. Se consideră următoarele date pentru circuitul de mai jos, alimentat de la un sistem de tensiuni simetrice de succesiune inversă: ttu sin2220)(10 [V],
11
321 C
RL
, 332 RL , 23L . Să se afle intensităţile
curenţilor de linie şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.3
Rezolvare:
Fig. 10.R.3.a. Schema în complex pentru 10.R.3
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
jCjLjRZjLjRZjLjZ 3,31,
333322211
00Z 0N0 U Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 1-N-0-1:
101N10N01N UUUUU , dar
2
1
10
1
1N1111N 220220220 j
ejjZ
UZ
UIIZU
Trecând din complex în timp, se obţine ]A[)2
314sin(2220)(1
tti
Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 2-N-0-2: 20N220N0N2 UUUUU ,
dar jNN e
jj
ZU
ZUIIZU
11031
31101102
20
2
22222 , deci
]A[)314sin(2110)(2 tti Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 3-N-0-3: 3033003 UUUUU NNN
2
3
30
3
33333 110
33110110 j
NN e
jj
ZU
ZUIIZU
[A])2
314sin(2110)(3
tti
jjjIIII 1101101101102203210
[A])4
3314sin(220)(0
tti
Puterea activă consumată şi puterea reactivă consumată sunt:
W)31(12100
110311010}Re{}Re{}Re{ 22233
222
211
IZIZIZPc
var31210060500
110111032201}Im{}Im{}Im{ 222233
222
211
IZIZIZQc
Puterea aparentă complexă generată este
jjj
jjIUIUIUS g
)31210060500(31210012100110)31(110
)31(110220220*303
*202
*110
Puterea activă generată este partea reală a puterii aparente complexe generate W)31(12100}Re{ gg SP ,
iar puterea reactivă generată este partea imaginară a puterii aparente complexe generate:
var31210060500}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
R10.4. Circuitul din figura 10.R.4 este alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice, de succesiune directă, şi are următoarele date: ]V[)sin(120)(10 ttu ,
3
31001 RR , mH50
2 L , Hz50 mF,2
3 fC
. Să se afle intensităţile
curenţilor de fază, tensiunea )(tuNO şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.4
Rezolvare: 12010 U jU 3606020 , jU 3606030
1005022 f jCjZjLjZRZZ 5,5,
3310
3322101
Fig. 10.R.4.a. Schema în complex pentru 10.R.4
60
3103
51
51
3103
51)31(60
51)31(60
3103120
0321
330220110N0
jj
jj
jj
YYYYYUYUYUU
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
318
331060120
1
N0101
ZUUI ]A[sin618)(1 tti
3125
60360602
N0202
jj
ZUUI ]A[)sin(612)(2 tti
3125
60360603
N0303
j
jZ
UUI ]A[)sin(612)(3 tti
363123123183210 IIII ]A[)sin(66)(0 tti Puterea activă consumată este
W33600363310
3183310}Re{}Re{}Re{}Re{
2
2200
233
222
211
IZIZIZIZPc
Puterea reactivă consumată este var0}Im{}Im{}Im{}Im{ 2
00233
222
211 IZIZIZIZQc
Puterea aparentă complexă este 33600*
330*220
*110 IUIUIUS g
W33600}Re{ gg SP var0}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
R10.5. Circuitul din figura 10.R.5 este alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice, de succesiune directă. Pentru acest circuit se cunosc:
11],V[sin2220)( 110 Lttu , 3111R , 201
22 C
L
,
113L . Se cere să se afle curentul )(2 ti şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.5
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Rezolvare:
Fig.10.R.5.a Schema în complex pentru 10.R.5
12010 U , jU 311011020 , jU 311011030 1005022 f
jLjZCjLjZjLjRZ 11,0,11311 33
222111
20N02N UUU , dar 022N2 IZU jUU 311011020N0
310)3(11
3110110220
1
N0101
jj
ZUU
I
32011
31101103110110
1
20303
jjj
ZUU
I
330320310,0 3123210 IIIIIII]A[)sin(630)(2 tti
W33300311310
}Re{}Re{}Re{}Re{2
200
233
222
211
IZIZIZIZPc
var16500)320(11
)310(1}Im{}Im{}Im{}Im{2
2200
233
222
211
IZIZIZIZQc
jj
jIUIUIUS g
1650033300)320()31(110
)330()31(110)310(220*330
*220
*110
W33300}Re{ gg SP var16500}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
R10.6. Fie circuitul din figura 10.R.6, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă, cu următoarele date: ]V[sin2220)(10 ttu ,
3331 LL , 441
1C, 22,111
32
13 RC
M
. Să se afle
intensităţile curenţilor de fază, tensiunea )(tuNO şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.6
Rezolvare:
Fig. 10.R.6.a Schema în complex pentru 10.R.6
Se desface cuplajul (cuplaj pozitiv) şi se obţin următoarele impedanţe:
jjjjMjLjCjZ 22113344131
11
,
01111132
2 jjMjCjZ
jjjMjLjRZ 222211332213333
02220 IZU , 20N02N UUU , deci tensiunea jUU 311011020N0
111N IZU şi 10N01N UUU
65
1
N0101 3101535
223110110220 j
ejj
jZ
UUI
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
]A[)6
5sin(610)(1 tti
30N03N UUU , 333N IZU
jj
jjZ
UUI 3535)1(22
311011031101101
20303
]A[)4
sin(310)(3 tti
jjjIIIIIII )3515(35351535,0 3123210
]A[)2
sin(2)3515()(2 tti
W33006522}Re{}Re{}Re{22
33222
211 IZIZIZPc
var3300)65(22)310(22}Im{}Im{}Im{ 222
33222
211
IZIZIZQc
jjj
jjjIUIUIUS g
33003300)3535)(31(110
)3515()31(110)1535(220*330
*220
*110
W3300}Re{ gg SP var3300}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
R10.7. Fie circuitul din figura 10.R.7, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă. Se cunosc: 44,]V[sin2220)( 110 Rttu ,
311,11 22 LR . Să se afle variaţia în timp a curenţilor )(1 ti , )(),( 32 titi şi să se verifice bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.7
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
Rezolvare:
Fig. 10.R.7.a Schema în complex pentru 10.R.7
)31(11,44 22211 jLjRZRZ
00Z 0N0 U , 10N01N UUU , dar 111N IZU 544220
1
10
1
1N1
ZU
ZUI
]A[)sin(25)(1 tti
20N02N UUU şi 222N IZU ,
10)31(113110110
2
202
j
jZ
UI ]A[)sin(210)(2 tti
32103 ,0 IIIII 5105210 III ]A[)sin(25)(0 tti W2200)10(11544}Re{}Re{}Re{ 222
33222
211 IZIZIZPc
var31100)10(311}Im{}Im{}Im{ 2233
222
211 IZIZIZQc
jjIUIUIUS g 31100220010)31(1105220*330
*220
*110
W2200}Re{ gg SP
var31100}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
R10.8. Fie circuitul din figura 10.R.8, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă, cu următoarele date: ],V[sin2220)(10 ttu
1132 LL , 101
1C. Să se afle variaţia în timp a curenţilor de linie, a
curentului pe firul de nul şi să se verifice bilanţul puterilor. Ce valoare v-a indica ampermetrul montat pe faza II, ştiind că rezistenţa sa internă este 0?
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Fig. 10.R.8
Rezolvare:
Fig. 10.R.8.a Schema în complex pentru 10.R.8
jLjZjLjZjCjZ 11,11,10 3322
11
0N0 U , 10N01N UUU
111N IZU jjZ
UZ
UI 2210
2201
10
1
1N1
]A[)
2sin(222)(1
tti
20N02N UUU 202N UU , dar 222N IZU ,
jj
jZ
UI 1031011
31101102
202
]A[)6
5sin(220)(2 tti
30N03N UUU 303N UU , dar 333N IZU
jj
jZ
UI 1031011
31101103
303
]A[)6
sin(220)(3 tti
jIIII 423210 ]A[)2
sin(242)(0 tti .
Aparatele de măsură indică valoarea efectivă, deci ampermetrul A va indica valoarea efectivă a curentului 2I , adică 20 A.
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
W0}Re{}Re{}Re{ 233
222
211 IZIZIZPc
var3960400114001148410)10(311}Im{}Im{}Im{ 22
33222
211
IZIZIZQc
jjj
jjjIUIUIUS g
3960)3()31(1100
)3()31(1100)22(220*330
*220
*110
W0}Re{ gg SP var3960}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
R10.9. Fie circuitul din figura 10.R.9, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă, cu următoarele date: ]V[sin2220)(20 ttu ,
22R . Să se afle variaţia în timp a curenţilor )(),(),( 321 tititi , indicaţia aparatelor de măsură şi să se verifice bilanţul puterilor pentru: a) comutatorul K închis; b) comutatorul K deschis.
Fig. 10.R.9
Rezolvare: Aparatele de măsură indică valorile efective ale mărimilor, deci voltmetrul 1V va indica valoarea efectivă a tensiunii NU 1 , voltmetrul 0V va indica valoarea efectivă a tensiunii 0NU şi ampermetrul 0A va indica valoarea efectivă a curentului 0I . Voltmetrul ideal are rezistenţa internă infinită şi se va simula printr-un gol, iar ampermetrul ideal ale rezistenţa internă 0 şi va fi simulat printr-un scurtcircuit. a) comutatorul K este închis, deci voltmetrul 0V este scurtcircuitat şi schema echivalentă în complex este cea din figura R10.9.a.
jUjUU 3110110,3110110220 103020 jUUU 31101100 10N1N0 , deci voltmetrul 1V va indica 220 V.
01 I
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Fig. 10.R.9.a. Schema în complex pentru 10.R.9.a)
De asemenea din teorema Kirchhoff II
220202N UU 1022
2202
202
ZUI ]A[sin210)(2 tti
jUU 3110110303N jjZ
UI 35522
31101103
303
]A[)3
2sin(210)(3 tti
)31(53210 jIIII ]A[)3
sin(210)(0 tti
Ampermetrul 0A va indica 10 A. W4400)100100(22}Re{}Re{}Re{}Re{ 2
00233
222
211 IZIZIZIZPc
var0}Im{}Im{}Im{}Im{ 200
233
222
211 IZIZIZIZQc
4400)31(5)31(11010220*330
*220
*110 jjIUIUIUS g
W4400}Re{ gg SP ; var0}Im{ gg SQ gcgc QQPP , . b) Pentru comutatorul K deschis, schema echivalentă în complex a circuitului este reprezentată în figura R10.9.b.
Fig.R10.9.b. Schema în complex pentru 10.R.9.b)
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
00 I , deci ampermetru 0A va indica 0 A. jUjUU 3110110,3110110220 103020
N0101N10N01N UUUUUU
j
jU
YYYYYUYUYUU 355551
221
2211
22)31(110
2222010
0321
330220110N0
jjjU 31651653555531101101N . Voltmetrul 1V va indica valoarea efectivă a tensiunii 1NU , adică 330 V şi voltmetrul 0V va indica valoarea efectivă a tensiunii N0U , adică 110 V.
2235555220
2
N0202
jZ
UUI
]A[)
3sin(65)(2
tti
22355553110110
3
N0303
jjZ
UUI
]A[)
32sin(65)(3 tti
W3300)7575(22}Re{}Re{}Re{}Re{ 200
233
222
211 IZIZIZIZPc
var0}Im{}Im{}Im{}Im{ 200
233
222
211 IZIZIZIZQc
3300
)21
23(35)31(110)
21
23(35220*
330*220
*110
jjjIUIUIUS g
W3300}Re{ gg SP var0}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .
R10.10. Un circuit trifazat în conexiune stea, echilibrat, are impedanţa fiecărei faze formată dintr-un rezistor de rezistenţă 10R şi o bobină ideală de reactanţă
310L . Alimentarea se face de o sursă trifazată de succesiune directă cu tensiune de fază ]V[100sin2400)(10 ttu . Pentru compensarea factorului de putere din circuit se leagă în paralel o baterie trifazată de condesatoare. Ce valoare are capacitatea fiecărui condensator, astfel încât factorul de putere sa ajungă la valoarea 0,9? Rezolvare:
jUaU
jUaU
U
31200
31200
400
1030
102
20
10
jjLjRZZZZ 311031010321
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Fig. 10.R.10.a. Schema în complex pentru 10.R.10
Receptorul fiind echilibrat, intensitatea curentului pe firul neutru este „0”:
jjZ
UI 3110
3110400
1
101
]A[)
3sin(220)(1
tti
20
311031200
1
202
jj
ZU
I ]A[)sin(220)(2 tti
j
jj
ZU
I 31103110
31200
3
303
]A[)
3sin(220)(1
tti
W1200020103}Re{3 22 fIZP
var312000203103}Im{3 22 fIZQ
VA240003112000203133 22 gfg SjjIZS
Fig. 10.R.10.b. Schema în complex pentru 10.R.10, cu compensarea factorului de putere
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
Factorul de putere într-un circuit se calculează în felul următor:
5,02400012000cos
22
QP
PSP
Se poate observa că îmbunătăţirea factorului de putere a circuitului la valoarea de 0,9 cerută prin problemă se poate face prin scăderea puterii reactive, deci prin introducerea unei baterii de condensatoare. Factorul de putere ideal este „1”, posibil în circuite pur rezistive. Atunci, puterea reactivă devine:
CQQQ '
C
f
C
fCfCc X
UXU
XIXQ22
2 333
QtgPQtgPQQP
Pc
'''
''cos
22
577,320
'3 2
tgPQU
X fC
Pentru pulsaţia rad/s100 : μF12,3C . R10.11. Pentru circuitul din figura 10.R.11, alimentat de la un sistem de tensiuni simetrice de succesiune directă, se cunosc următoarele date:
[V] sin2220)(12 ttu , 221R , 32232 RR , 2231 LL ,
112L , 331
2C. Să se afle intensităţile curenţilor de linie şi să se verifice
bilanţul puterilor.
Fig. 10.R.11
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Rezolvare: Realizăm schema în complex (fig. R.10.).
Fig. 10.R.11a. Schema în complex pentru 10.R.11
În această schemă apar: 221R1
RZ , jLjZ 221L1 , 3222R 2
RZ , jLjZ 112L2 ,
jCj
Z 331
2C2
, 3223R3 RZ , jLjZ 223L3
.
Deoarece alimentarea circuitului se realizează cu tensiuni simetrice de succesiune directă, sistemul de tensiuni este următorul:
jUaU
jUaU
eU j
23
21220
23
21220
2202
2220
1231
122
23
012
.
Simplificăm schema în complex ca în figura următoare.
Fig. 10.R.11b.. Schema în complex simplificată
Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate
Astfel, avem: jZZZ 12211 LR12 , jZZZZ 322
222 CLR23 ,
jZZZ 32233 LR31 .
Ştiind că pentru conexiunea triunghi modulul tensiunii de linie este egal cu modulul tensiunii de fază, putem aplica legea lui Ohm în curent alternativ şi obţinem curenţii de fază:
jjZ
UIIZU
15
)1(22220
12
1212121212 ;
jj
j
ZU
IIZU 5322
23
21220
23
2323232323
;
jj
j
ZU
IIZU 5322
23
21220
31
3131313131
.
Curenţii de linie îi obţinem aplicând teorema I a lui Kirchhoff în fiecare nod al circuitului:
0:)3.(..0:)2.(..
0:)1.(..
23313
12232
31121
IIIIKTIIIIKT
IIIIKT. Rezultă:
23
2
01
1010
5555
j
j
j
ejI
eIeI
.
În domeniul timp, intensităţile curenţilor electrici de linie au următoarele valori:
]A[2
sin210)(
]A[sin25)(
]A[sin25)(
3
2
1
tti
tti
tti
.
Bilanţurile puterilor
Puterea activă consumată în circuit este: W3111002
3132232
2121c IRIRIRP .
Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: var11002525100ImImIm
3221 LCLL23131
22323
21212c XXXXIZIZIZQ
Puterea aparentă complexă generată se calculează astfel: gg
*3131
*2323
*1212g 1100311100 jQPjIUIUIUS .
Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii
Extragem puterea activă generată ca fiind: W311100Re gg SP . La fel
şi pentru puterea reactivă generată: var1100Im gg SQ . Se observă că gcgc , QQPP . Aşadar se verifică bilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate, respectiv generate. Implicit se verifică bilanţul puterilor aparente complexe consumate, respectiv generate: gc SS .