7. regimul tranzitoriu al circuitelor electrice liniareregimul tranzitoriu al circuitelor electrice...
TRANSCRIPT
7. Regimul tranzitoriu al circuitelor electrice liniare
Numim regim tranzitoriu trecerea unui sistem de la o stare stabila la o alta stare
stabila. Cele doua stari stabile se mai numesc si regimuri permanente .
Analiza circuitelor electrice in regim tranzitoriu este posibila:
- în domeniul timp (reprezentare directa a marimii functie de timp) prin urmatoarele
metode:
a) metoda directa
b) a variabilelor de stare
c) metoda raspunsului tranzitoriu la excitatie treapta
- în domeniul frecventa (utilizeaza reprezentari simbolice ale functiilor) prin urmatoarele
metodele:
a) aplicarea transformatei Fourier(metoda spectrala)
b) aplicarea transformatei Laplace (metoda operationala)
7.1 Teoremele comutatiei
În circuitele ce contin bobine si condensatoare trecerea de la un regim
permanent la un alt regim nu are loc instantaneu deoarece, în regimuri diferite energia
înmagazinata în câmpul electromagnetic al circuitului are valori diferite. Orice variatie a
energiei într-un interval presupune o variatie a puterii sursei conform relatiei
tW
limp em
0tS ∆∆
=→∆
. Daca trecerea de la o stare la alta stare are loc instantaneu (∆t =0)
puterea sursei ar fi infinita ceea ce nu este posibil practic si fizic.
7.1.1 Teorema I a comutatiei
Sa consideram o bobina careia i se aplica o tensiune. Din legea inductiei
electromagnetice se deduce tensiunea la bornele bobinei ideale în baza careia se
calculeaza fluxul magnetic ∫∫∫∫ +Φ=+==ϕ⇒ϕ
=∞−∞−
t
0
t
0
0t
L dt)t(u)0(dt)t(udt)t(udtudtd
u .
Deoarece tensiunea u(t) este integrabila rezulta ca fluxul este o functie continua
si în momentul initial t=0-=0+ fluxul este Φ (0-)=Φ (0+)
Capitolul 7
208
Analizând invers daca fluxul Φ ar fi discontinuu atunci tensiunea la bornele
bobinei tinde la infinit (nu-I posibil fizic).
Concluzii:
1° Fluxul magnetic nu poate trece brusc de la o valoare finita la alta valoare finita
2° În circuitele liniare relatia de dependenta flux –curent este Φ =Li si-n
consecinta curentul într-o bobina liniara nu variaza în salt.
7.1.2 A II-a teorema a comutatiei
Energia electrica înmagazinata într-un condensator este data de relatia
Cq
21
CU21
W2
2e == . Variatia acestei energii reprezinta puterea instantanee la bornele
condensatorului. Curentul prin condensator este definit de relatia dtdq
i = . Daca sarcina q
ar varia în salt curentul prin condensator ar avea valoare infinita, ceea ce nu este posibil
fizic.
Concluzii:
1° Sarcina ∫+=t
0dti)0(qq este o functie continua si nu variaza în salt.
2° Pentru circuitele liniare, dependenta sarcina - tensiune este data de relatia
q=Cu si, în consecinta, tensiunea pe un condensator nu variaza în salt (tensiunea este
functie continua).
7.2. Metode de analiza în domeniul timp a circuitelor electrice
Pentru analiza în domeniul timp ale circuitelor electrice în regim tranzitoriu se
aplica:
1- metoda directa pentru circuitele de ordinul I si II
2- metoda variabilelor de stare pentru circuite de ordin mai mare sau egal cu II
7.2.1 Metoda directa de analiza a circuitelor de ordinul I
Daca circuitul electric supus analizei contine un singur element conservativ
(reactiv) ecuatia caracteristica ce descrie din punct de vedere matematic comportarea
circuitului este o ecuatie diferentiala de ordinul I.
Capitolul 7
209
Circuitele de ordinul I pot fi R-C, R-L serie sau paralel. Aceste circuite pot fi sub
excitatie proprie sau improprie. Raspunsul sistemului sub excitatie proprie poarta numele
de raspuns natural.
Circuitul este sub excitatie proprie daca din ecuatia diferentiala de ordinul I pe
care o satisface raspunsul, impunând conditiile de regim permanent, acesta (raspunsul)
se poate determina direct din excitatie. În continuare sunt prezentate tabelat circuitele de
ordinul I în regim de excitatie proprie:
Circuite R – C
Aplicând teorema de
transformare a surselor
de tensiune în surse de
curent fata de bornele
condensatorului
=
+=
dtdu
Ci
uu)t(e
C
CR
CC u
dtdu
RC)t(e +=
CRg iii += ;
Re
ig =
Ru
i CR = ;
dtdu
CRu
i CCg +=
dtdu
RCuRi CCg +=
Circuite R – L
Aplicând teorema de
transformare a surselor
de tensiune în surse de
curent fata de bornele
bobinei
LRg iii +=
dtdi
LRiuu LRRL ===
dtdi
RL
i LR =⇒
dtdi
RL
ii LLg +=
Rie g ⋅=
dtdi
LRiRi LLg +=
dtdi
RL
iRe L
L +=
Capitolul 7
210
Ecuatiile de tipul )t(x)t(ydtdy
=+τ sunt ecuatii de ordinul I în regim de excitatie
proprie. Daca se anuleaza variatia în timp 0dtd
= se obtine regimul permanent iar
raspunsul are aceeasi forma de variatie cu excitatia y(t)=x(t). Raspunsul y(t), egal cu
excitatia x(t), este raspunsul natural pentru circuitele în regim de excitatie proprie.
Sa analizam raspunsul natural pentru circuitul RC cunoscând încarcarea
continua a condensatorul cu tensiunea uC de la zero la tensiunea E (fig.7.1).
Presupunând condensatorul încarcat cu tensiunea E în caz de scurcircuitare a circuitului
RC se obtine ecuatia ce descrie descarcarea unui condensator în conditii initiale nenule
(UC(0)=E) UR+UC=0, relatie echivalenta cu Ri+uc=0. Curentul de descarcare înlocuit în
ecuatia prezentata conduce la ecuatia diferentiala de ordinul I:
0Udt
dURC C
C =+
Fig.7.1 Fig.7.2
Ecuatia caracteristica a diferentialei de ordin I este RCp+1=0 iar solutia are
forma: τ−== tp tC AeAeU - cu A constanta ce se determina din conditiile initiale si anume
la t=0, tensiunea ce încarca condensatorul este UC=UC0=E=A. Aceasta constanta
înlocuita în ecuatia tensiunii ce descrie descarcarea condensatorului conduce la
τ−= tC EeU , relatie ce descrie evolutia tensiunii pe condensator la descarcare.
La încarcarea condensatorului în conditii initiale nule UC(0)=0 ecuatia în tensiune
a circuitului este neomogena: EUdt
dURC C
C =+ si admite solutii de forma:
fC0CC UUU += unde Uc0 – reprezinta solutia ecuatiei omogene iar U cf - solutia impusa de
excitatie. În regim permanent pentru circuitul analizat (excitatie în cc) UCf=E iar solutia
ecuatiei omogene are forma τ−== tp tC AeAeU . Astfel se obtine EAeU t
C += τ− . Constanta
de integrare din relatia prezentata se determina din impunerea conditiilor initiale si
anume:
Capitolul 7
211
- la t=0, tensiunea ce încarca condensatorul este nula UC=0 rezultând astfel
constanta de integrare A=-E. Se determina astfel evolutia în timp a tensiunii de încarcare a
condensatorului )e1(EU tC
τ−−= cu reprezentarea grafica din fig.7.3:
Fig. 7.3
Metoda clasica de rezolvare a acestor ecuatii consta în rezolvarea ecuatia
omogene. Solutia gasita da un proces liber de anulare (stingere) denumita solutie de
regim liber yl0(t). La solutia generala a ecuatiei omogene se adauga o solutie particulara a
ecuatiei neomogene. Asa se obtine solutia generala a ecuatiei neomogene, din care, cu o
alegere adecvata a constantei se obtine solutia corespunzatoare conditiilor initiale date.
Daca este vorba de circuite cu excitatie constanta sau excitatie sinusoidala, se obtine
imediat solutia particulara. Solutia generala se exprima deci:
y(t)=yl0(t) +yf(t)
Observatie:
1° Solutia ecuatiei omogene este datorata energiei înmagazinate în elementul
reactiv. Întotdeauna 0)t(ylim 0lt=
∞→, cu yl0 – solutie de regim liber (a ecuatiei omogene)
7.2.1.1 Solutia generala a ecuatiilor diferentiale de ordinul I
1. Ecuatiile de ordinul I omogene 0ydt
dyl
l =+τ admit solutii de forma: ptAey = .
Solutia este denumita componenta de regim liber. Aceasta solutie înlocuita în ecuatia
diferentiala conduce la urmatoarea forma: 0AepAe ptpt =+τ sau ( ) 0Ae1p pt =+τ .
Deoarece 0Aep t ≠ (fiind solutie), atunci relatia τp+1=0, se numeste ecuatia
caracteristica a ecuatiei diferentiale de ordinul I.
Impunând conditiile initiale la t=0, y(t) = y(0), rezulta evolutia în timp a
componentei de regim liber τ−⋅= tl e)0(yy redata în graficul din fig.7.4.
Fig. 7.4
Capitolul 7
212
2. Constanta de timp τ reprezinta timpul dupa care raspunsul îsi atinge valoarea
de regim permanent daca ar avea aceeasi viteza de variatie cu cea din momentul initial.
Ea reprezinta timpul ideal de atingere a raspunsului permanent daca raspunsul ar avea
aceeasi viteza de variatie cu cea din momentul initial.(raspuns ideal)
Raspunsul circuitului în momentul t=τ este:
)0(y37,07,2)0(y
e)0(ye)0(y)(y 1 ===⋅=τ −
ceea ce conduce la urmatoarea observatie ca dupa t=τ semnalul raspuns are
amplitudinea redusa de e ori.
De foarte multe ori dorim sa estimam care este timpul tε dupa care raspunsul y(t)
are valoarea ε din valoarea initiala y(0). În aceasta situatiei: y(t)=εy(0), dar τε−⋅= te)0(y)t(y
rezultând )0(y)t(ylnte
)0(y)t(y t τ−=⇒=⇒ ε
τε− sau ετ−=ε lnt cu )0(y)t(y=ε ce are valoarea
cuprinsa între 0 si 1 ( 0<ε<1).
3. Daca în domeniul timp solutia este τ−⋅= te)0(y)t(y , în planul ecuatiei
caracteristice τ
−=1
p ( planul p) solutiei îi corespunde un punct pe axa reala cu
valoarea p=σ. Întrucât în planul ecuatiei caracteristice τ
−=ω+σ=1
jp deducem
atenuarea:
tjtptt eeee)0(y)t(y ωσ⋅τ− ⋅=== rezultând:
)0(y)t(ye t =σ respectiv
)0(y)t(yln
t1=σ
4. Solutia ecuatiei diferentiale neomogene de ordin I se obtine astfel:
multiplicam ecuatia diferentiala cu (1/τ) et/τ
τ
τ=+τ te1)t(xy
dtdy
rezultând:
τττ
τ=
τ+ ttt e)t(x
1ye
1e
dtdy
sau
[ ] τττ ⋅⋅τ
+= ttt ey1
edtdy
yedtd
atunci:
[ ] ττ ⋅⋅τ
= tt e)t(x1
yedtd
Integrând în raport cu ξ de la zero la t rezulta:
Capitolul 7
213
[ ] ∫∫ ξξτ
=ξξξ
τξτξ t
0
t
0de)(x1de)(y
dd
444 3444 2143421
f
t
0
t
l
t
y
de)(xe1
ye)0(y)t(y ∫ ξξ
τ+=⇒ τξτ−τ−
Solutia ecuatiei neomogene este y=yl+yf, unde:
yl – componenta libera impusa de conditiile initiale denumita si raspuns natural
impus numai de starile initiale
yf – componenta fortata impusa de excitatie
7.2.1.2 Particularizarea solutiei generale pentru circuitele electrice excitate în cc si ca
1. Circuitul de ordinul I excitat în curent continuu x(t)=X(t)=XS=ct admite
urmatoarea solutie:
⋅τ⋅τ
+= τξτ−τ− t
0
tt eXe1
e)0(y)t(y
τ⋅τ⋅
−⋅ττ
+=τ−
ττ−τ−t
ttt eXeeX
1e)0(y)t(y
( ) 32143421initialaexcitatie
t
permanentraspuns
initialastare
ttt XeXe)0(ye1Xe)0(y)t(y τ−τ−τ−τ− −+=−+=
Impunerea conditiei de regim permanent conduce la X)(yt =∞∞=
( ) 321444 3444 21permanentregimsolutie
f
utranzitoriregimsolutie
tf )(ye)0(y)0(y)t(y ∞+−= τ−
2 Circuitul de ordinul I excitat în c.a x(t)=Xmcosωt admite urmatoarea solutie:
44 344 211
t
0
tmt
0 mt
f
I
dcoseeXdetcosXe1y ∫∫ ξωξτ
=ξ⋅ωτ
= τξτ−
τξτ−
Rezolvând prin parti integrala I1 în baza notatiilor urmatoare :
ωξω
=
ξτ
=
ξωξ==
τξ
τξ
sin1
v
de1du
dcosdveu
rezulta: ∫ ξωξτω
−ωξω
= τξτξ t
0
t
01 dsine1esin1I .
Capitolul 7
214
Notând:
44 344 211
t
0
t
0
t
02
I
dcose1
cose1
dsineI ∫∫ ξωξωτ
+ωξω
−=ξωξ= τξτξτξ, si în baza acelorasi
notatii aplicând integrarea prin parti rezulta:
ωξω
−=
ξτ
=
ξωξ==
τξ
τξ
cos1v
de1
du
dsindveu
122
t
021 I1cose1AI
τω−ωξ
τω+= τξ
t
02
t
0221 cose1esin111I ωξ
τω+ωξ
ω=
τω+ τξτξ
τω−ω
τω+ω
ω=
τω
τω+ ττ2
t2
t22
22
1
1tcose
1tsine
11I
Atunci solutia fortata de excitatie a ecuatiei este:
τω
−ωω
+ωτω
⋅τω+
τω⋅
τ=
τττ−
2
t
2
t
22
22tm
f
1tsin
etcos
e1
eXy
[ ]τ−−ωωτ+ωτω+
= t22
mf etsintcos
1X
y
Utilizând identitatea trigonometrica ( ) [ ])arctgtcos(1tsintcos 2 ωτ−ωωτ+=ωωτ+ω
înlocuita in solutia fortata de excitatie conduce la:
44 344 2144444 344444 21)arctgcos(
1
X)0(y
e1
X
)(y
)arctgtcos(1
Xy
22
mf
t22
m
f
22
mf
ωτωτ+
=
ωτ+−
∞
ωτ−ωτω+
=⇒ τ−
În baza notatiilor de mai sus se poate defini solutia completa de regim tranzitoriu
sub forma:
321444 3444 21permanentregimul
deimpusasolutia
f
utranzitoriregimdesolutia
tft )(ye))0(y)0(y(y ∞+−= τ−
7.2.1.3 Determinarea solutiei generale a regimului tranzitoriu
în circuitele de ordinul I ce contin surse independente
Exemplul 1
Capitolul 7
215
Sa consideram spre exemplificare un circuit RC ce prezinta conditii initiale
Uc(0)=5V, circuit cuplat la t=0 la o sursa de curent continuu de valoare E=10V. Urmarim
sa determinam tensiunea la bornele condensatorului.
Rezolvare: Ecuatia circuitului rezulta din aplicarea teoremei II Kirchhoff astfel:
e(t)=E ⇒ UR+UC=E, dar dt
dUCi C=
EUdt
dURC C
C =+ . Solutia conform celor prezentate anterior este:
UC=UCt+UCp cu τ−= tCt AeU
UCp – impusa de excitatie având valoarea UCp=E. Rezulta astfel:
EAe)t(U tC += τ−
Impunând conditiile initiale si anume la t=0, UC(t)=UC(0)=A+E ⇒ A=UC(0)-E se
obtine evolutia în timp a tensiunii la bornele condensatorului.
( ) EeE)0(U)t(U tCC +−= τ−
Fig. 7.5
Exemplul 2
Circuitul RC excitat în ca cu e(t)=10⋅cos2π103t, ω=103 conduce la urmatoarea
ecuatie diferentiala tcosEUdt
dUmC
C ω=+τ . Solutia acestei ecuatii este de forma
UC=UCt+UCp cu τ−= tCt AeU iar UCp – solutie a ecuatiei în regim permanent sinusoidal.
Deducem solutia ecuatiei diferentiale în regim permanent sinusoidal prin reprezentarea
în complex a aceleiasi ecuatii obtinând 0jmCC e
2
EUURCj =+ω .
Rezolvarea în complex conduce la:
ω+⋅=⇒
ω+⋅=
CjR1
1R1
2
EU
RCj11
2
EU m
Cm
C ,
relatie echivalenta cu RCarctgj22
mC
e)RC(1
12
EU
ω⋅⋅ω+⋅= sau restrânsa sub forma:
Capitolul 7
216
RCarctgj
22
mC e
1
1
2
EU ω⋅−⋅
τω+⋅=
Trecând din planul complex în domeniul timp solutia este:
( )ωτ−ωτω+
=⋅= ω arctgtcos1
EUe2Re)t(U
22
mC
tjCp
Solutia generala a ecuatiei neomogene este:
( )ωτ−ωτω+
+= τ− arctgtcos1
EAe)t(U
22
mtC
Impunând conditiile initiale si anume la t=0, UC(t)=UC(0)=5V rezulta valoarea
constantei de integrare A:
( )ωττω+
+= arctgcos1
EA)0(U
22
mC ,
( )4444 34444 21
321
)0(y
arctgcos1
E
)0(y
)0(UA
f
22
mC ωτ
τω+−=
( ) ( )arctgtcos1
Eearctgcos
1
E)0(U)t(U
22
mt
22
mCC ωτ−ω
τω++⋅
ωτ
τω+−= τ−
Aplicatii tipice ale circuitelor de ordinul 1
1. Circuit integrator RC
Fig. 7.6
Considerând tensiunea pe condensator UC=Uo – tensiune de iesire, forma de
variatie în timp a acesteia este redata în figura 7.7 a
Fig. 7.7
2. Circuit derivator RC
Capitolul 7
217
Fig. 7.8
Considerând tensiunea pe rezistor dtdU
RCRiUR == tensiune de iesire, forma de
variatie în timp a acesteia este redata în figura 7.7b.
Generalizarea constantei de timp pentru orice retea de ordinul 1
Constanta de timp pentru retele RC este τ=RC respectiv τ=L/R pentru orice retea RL
7.2.1.4 Determinarea solutiei generale a regimului tranzitoriu
în circuitele de ordinul I ce contin surse dependente
Exemplul 1
Circuitul din figura 7.9 functioneaza cu întrerupatorul k închis. La momentul t=0 se
deschide. Sa se traseze variatia tensiunii v(t) de pe rezistenta de 1KΩ.
a) În regim permanent (înainte de descarcare) stabilim tensiunea UC(0) ce
încarca condensatorul.
Rezolvare:
Potentialul V1 este impus de sursa rezultând mA5,0105
10v
i 1x === .
Aplicând T2K pe ochiul 2 obtinem:
0i41v x2 =⋅⋅+ , 05,041v2 =⋅⋅+ V2v2 −=⇒
uc(0)=v1-v2=5-(-2V)=7V
b) În regim tranzitoriu, la deschiderea întrerupatorului k, circuitul echivalent este:
Fig.7.9.
Tensiunea la bornele condensatorului este:
∫∫∫ +=∞−∞−
t
0
c
0tidt
c1
)0(u
idtc1
idtc1
321
careia îi corespunde ecuatia Joubert ∫=+−t
0cc idtc1
u)0(u .
Urmarim în continuare sa asociem fata de bornele condensatorului încarcat cu
tensiunea U c0 o rezistenta echivalenta a circuitului (fig. 7.10).
uc=
Capitolul 7
218
Fig. 7.10
În aceasta situatie putem exprima comod curentul de descarcare al
condensatorului conform relatiilor: uc(0)=uc+uReg, dtdu
CRu ceggR e ⋅= . Rezulta:
dtdu
CRu)0(u cegcc ⋅+=
Solutia acestei ecuatii este u c(t)=uc0+ucp cu
τ−τ
−
=
== t
0cc
ccp
t
0c eu)t(u)0(uu
Aeu
Impunerea conditiilor la limita (regim permanent) t=∞, conduc la uc=0, ucp=0.
Curentul de descarcare este dat de relatia
τ−⋅⋅== τ
− t
0cc e1uC
dtduci . Înlocuirea
constantei de timp a circuitului în solutia de mai sus conduce la urmatoarea relatie a
curentului de descarcare τ−
−=t
eg
0c eRu
i .
În prezentarea anterioara avem de rezolvat problema determinarii rezistentei
echivalente asociate circuitului. Pentru determinarea acesteia avem posibilitatea
alimentarii circuitului de la o sursa independenta exterioara, în absenta laturii
condensatorului încarcat, caz în care rezistenta echivalenta este:
ui15ui5i10i5iii4i0
uii10;
iu
R xxxx11xx
1xeg =⇒=+⇒
=⇒−+==+
=
K15
15uu
iuR
15ui
xegx ===⇒= Ω
În baza acestei rezolvarii curentul de descarcare al condensatorului respectiv
tensiunea la bornele rezistorului de 1kΩ devin
Ve37
e15
57i5)t(v;e
157
itt
x
tτ
−τ
−τ
−−=
⋅−==⋅
−=
Valoarea înainte de comutare a tensiunii pe rezistorul de 1kΩ rezulta din
aplicarea teoremei II Kirchhoff v+4ix⋅1=0 ⇒ V21020
1105
4v −=−=⋅⋅−= .
Capitolul 7
219
7.2.2 Metoda variabilelor de stare
7.2.2.1 Ecuatiile de stare
Metoda variabilelor de stare este o metoda de calcul avantajoasa atât pentru
circuitele liniare, cât si pentru cele neliniare. Metoda consta în introducerea variabilelor de
stare - tensiunile condensatoarelor si curentii bobinelor (marimile ce nu variaza în salt) -
pe baza unui sistem de ecuatii diferentiale de ordinul I pentru care se exprima solutia cu
ajutorul functiilor de matrice. Avantajele principale ale metodei consista în faptul ca
metoda ia în considerare simplu conditiile initiale, se programeaza usor pe calculatoarele
numerice si poate fi generalizata pentru orice circuite.
Ca exemplu se considera un circuit oscilant serie fara pierderi, circuit caruia îi
corespund ecuatiile: dt
duC c =il ; dt
diL l =-Ril-uc+e.
În notatie matriceala ecuatiile se scriu:
eL10
iu
LR
L1
C10
iu
dtd
L
c
l
c ⋅
+
⋅
−−=
⋅−
Aceasta expresie este un caz particular al ecuatiei diferentiale matriceale
bxAydtdy
+= , în care y este vectorul de stare care descrie starea electrica a circuitului în
spatiul starilor.
Matricele coeficientilor A,b se numesc matricea de tranzitie a sistemului si
respectiv matricea asociata vectorului de intrare x. Solutia acestei ecuatii este similara
celei discutate în subcapitolul anterior (7.2.1.2).
7.2.2.2 Schema structurala de calcul a regimului tranzitoriu pentru ecuatiile ordinul I
Ecuatia diferentiala pe care o satisface circuitul RL sau RC este de ordinul 1 cu
forma: )t(xydtdy
=+τ , având solutia 'dte)'t(xe1
e)0(yyt
0
ttt
∫ τ−
τ−
τ−
⋅τ
+= , solutie ce evidentiaza
componentele raspunsului daca este exprimata sub urmatoarea forma:
perm
t
tranz
t
y)(ye
y)0(y)0(yy ∞+⋅
−= τ
−
321.
Capitolul 7
220
Ecuatia diferentiala de ordinul I poate fi scrisa sub forma ecuatiei de stare astfel:
[ ] [ ] [ ])t(x1y1ydtd)t(x1y1
dtdy ⋅
τ
+⋅
τ−=⇒
τ+⋅
τ−=
Implementarea acestei ecuatii pe un calculator necesita urmatoarea schema
structurala:
Fig.7.11
schema ce se initializeaza prin y(0) adica pentru t=0, y=y(0).
Rezolvarea acestei ecuatii implica cunoasterea valorii initiale y(0). Raspunsul y
este variabila de stare (uc sau iL) ceea ce confirma înca odata ca bobina sau
condensatorul este complet definit de valorile L si iL(0) respectiv C si uc(0).
7.2.2.3 Raspunsul circuitelor liniare de ordinul II
Presupunem ca în circuit exista elemente reactive de ambele tipuri, atât L cât si
C. Studiul acestor circuite poate fi redus la studiul ecuatiei satisfacute de circuitul RLC
serie, respectiv RLC paralel.
A. Marimi de stare ale circuitelor de ordin II
a) RLC serie excitat în tensiune
Fig.7.12.
Aplicând în circuitul din figura 7.12 teorema II Kirchhoff se obtine ecuatia în
tensiune cudtdi
LiR)t(e ++⋅= . Alegând variabila de stare tensiunea pe condensator u c prin
impunerea conditiei de conexiune RLc
c iidt
duCi === rezulta:
ccc u
dtdu
CdtdL
dtdu
RC)t(e +
+= )t(e
dtdu
RCdt
udLC c
2c
2
=+⇒
LC)t(e
uLC1
dtdu
LR
dtud
cc
2c
2
=++
Capitolul 7
221
Rezolvarea implica cunoasterea uc(0) si 0tdt
du c
=. Tensiunea initiala a
condensatorului uc(0) este cunoscuta dar derivata acesteia nu este explicit cunoscuta
0tdtdu c
=. Aceasta este determinata din curentul initial prin bobina astfel:
C)0(i
0tdtdu
0tdtdu
Cii LcccL =
=⇒
=== .
Daca se alege variabila de stare curentul din bobina iL ( dtdu
Cii ccL == ) ecuatia pe
care o satisface acest curent se obtine derivând ecuatia tensiunilor
dtde
Ci
dtdi
Rdt
idL
dtde
dtdu
dtid
Ldtdi
Rdtde
2
2c
2
2
=++==++= .
Împartind prin L rezulta: dtde
L1
iLC1
dtdi
LR
dtid2
2
=++ . Rezolvarea implica cunoasterea
iL(0) si 0tdt
duC
dtd
0tdtdi cL
=
=
=
b) Circuit RLC paralel considerând gruparea paralel RLC în care elementele
reactive prezinta conditii initiale, din aplicarea teoremei I Kirchhoff rezulta:
Fig . 7.13
ig=iR+iL+ic
dtdu
CiRu
i cLg ++=
Impunerea conditiei de conexiune dt
diLuuu L
cRc === conduce la:
2L
2
LL
g dtid
CLidtdi
RL
i ++= LC
i
LCi
dtdi
RLCL
dtid gLL2L
2
=++⇒
LC
ii
LC1
dtdi
RC1
dtid g
LL
2L
2
=++ ecuatie în care variabila de stare este curentul prin bobina.
Utilizarea tensiunii condensatorului drept variabila de stare uc necesita definirea
Capitolul 7
222
urmatoarei ecuatii (derivarea relatiei curentilor din teorema I Kirchhoff):
dtdi
dtdi
dtdi
dt
dicLRg ++=
dtdu
Ci,Ru
i ccR ==
( ) 2c
2
Lcg
dtud
Cidtd
dtdu
R1
dt
di++=
Lu
Lu
dtdi
dtdi
Lu cLLLL ==⇒=
atunci: 2c
2ccg
dtud
CLu
dtdu
R1
dt
di++= sau
dt
di
C1
uLC1
dtdu
RC1
dtud g
cc
2c
2
=++ .
B. Solutia ecuatiei diferentiale omogene a ecuatiilor de ordinul II
Ecuatia generala a circuitelor de ordinul II este xydtdy
2dt
yd 2002
2
=ω+ξω⋅+ , ecuatie
obtinuta pe baza urmatoarelor notatii:
=ω
=ξω
LC1
LR
2
20
0
sau
=ω
=ξω
LC1
RC1
2
20
0
.
Daca presupunem variabila de stare de forma ptAey = , solutie nenula a ecuatiei
diferentiale, ecuatia caracteristica este: [ ] 0p2p0p2py 200
2200
2 =ω+ξω+⇒=ω+ξω+ cu
radacinile: 02
21 1p ω
−ξ±ξ−= .
Matematic, daca:
1. ξ>1 atunci, 1
201
11pτ
−=
−ξ+ξ−ω−= ; 2
202
11pτ
−=
−ξ−ξ−ω−=
−ξ+ξω
=−=τ
−ξ−ξω
=−=τ⇒
1
1p1
1
1p1
20
22
20
11
p1 , p2 ∈ R.
În acest caz (p1, p2 ∈ R) solutia ecuatiei omogene este aperiodica, (fig.7.14). În
exprimare matematica avem solutia tp2
tp1e
21 eAeA)t(y += , în care constantele se
determina din conditiile initiale si anume:
Capitolul 7
223
⇒
τ+
τ−=
+==
=2
21
10t
21
A1A1dtdy
AA)0(y,0t
τ+
τ−ττ
=
τ+
τ−ττ
=
dt)0(dy
)0(yA
dt)0(dy
)0(yA
112
22
221
11
Fig. 7.14
Parametrul 00 Z
R21
CL
R21
LC
R21
1LC
L2R1
LR
21
===⋅=ω
⋅=ξ reprezinta rata
atenuarii. Factorul de calitate al circuitului este RCL
RILI
UU
Q 0L =ω
== , cu Z0=RQ face ca
rata atenuarii exprimata functie de acesta sa fie Q1
21 ⋅=ξ .
2. Daca ξ=1 atunci 012 =−ξ se obtine regimul aperiodic critic în care
ξω−=ξω
=τ=τ=τ 010
12121 p,1
,pp, . Solutia ecuatiei circuitului este în acest caz
reprezentata în fig.7.15.
t21
t21e e)tCC(e)tCC(y 0 α−ξω− +=+=
Fig. 7.15
3. Daca ξ<1, atunci
ξ−ω=ω 2
0d 1 iar radacinile sunt:
dd01 jjp ω±α−=ω±ξω−=
unde: α - coeficient de amortizare si ωd – pseudopulsatie
Solutia ecuatiei este (fig.7.16): )tcos(Aey dt β+ω= α−
Planul ecuatiei caracteristice
y
t
Planul ecuatiei caracteristice
y
Capitolul 7
224
Fig. 7.16
C. Ecuatii de stare pentru circuitele de ordinul II
Metoda variabilelor de stare consta în transformarea ecuatiilor diferentiale de
ordinul II si superior în sisteme de ecuatii de ordinul I. Variabilele de stare utilizate sunt
curentii prin bobine iL si tensiunile de la bornele condensatoarelor u c .
În continuare exemplificam transformarea ecuatiei diferentiale de ordinul II într-un
sistem de doua ecuatii de ordinul I.
)t(eudt
duR
dtud
LC cc
e2c
2
=++
Variabilele de stare uc si dt
duCii c
cL == înlocuite în ecuatia de mai sus conduc la
definirea sistemului.
=++
=
)t(euRidtdiL
dtdu
Ci
cLL
cL
rearanjate sub forma:
+−−=
=
LRu
L1i
LR
dtdi
iC1
dtdu
cLL
Lc
+
−−=
)t(e
0
L1
1
01
iu
LR
L1
C10
iu
dtd
L
c
L
c
[ ] [ ][ ] [ ][ ])t(xByAydtd
+= ecuatie similara cu a circuitului de ordinul I ce are
forma [ ] [ ] [ ])t(x1y1ydtd
τ+
τ−= ; τ - constanta de timp (de tranzitie).
Planul ecuatiei caracteristice
t
Capitolul 7
225
D. Schema structurala de calcul atasata ecuatiilor de ordinul II
Fig. 7.17
E. Aplicarea metodei variabilelor de stare în circuitele ce contin surse
dependente
Exemplificam metoda variabilelor de stare pe circuitul din fig.7.18.
Fig.7.18.
Marimile de stare sunt curentii prin bobine si tensiunile de la bornele
condensatoarelor. În circuitele ce contin surse dependente, sistemul ecuatiilor de stare
trebuie completat cu relatia de dependenta introdusa de sursa comandata. În scrierea
sistemului de ecuatii sursa dependenta se trateaza ca una independenta. Sistemul de
ecuatii atasat circuitului din fig.7.18 este:
S
C
2
1
C
2
1
v
7437
10
v
i
i
7444
3007400
v
i
i
dtd
⋅
+
⋅
−−−=
rezultat al aplicarii teoremei I Kirchhoff 0iidt
dvCi 1
C2 =+−⋅+− , si al definitiei tensiunii pe
bobine: CS2
2 vvdt
diL −= si C
11 vi5
dtdi
L += , unde 2
vi5vi CS −−= , V10vs = .
5i V
Capitolul 7
226
7.3. Metode de analiza în domeniul frecventa
7.3.1 Metoda operationala (a transformatei Laplace)
Fiind data o functie variabila f(t), neteda pe portiuni pentru t>0, ce satisface
inegalitatea t0Ae)t(f σ< cu σ0>0 pentru t>t0 (creste mai lent decât o exponentiala), se
defineste transformata Laplace (sau imaginea Laplace) prin relatia:
∫−
−==t
0
p tdte)t(f)]t(f[)p(F L ,
unde: - F(p) – functie de variabila complexa, p=σ+jω (σ>σ0 pentru a creste mai lent ca
exponentiala).
Functia f(t) se numeste functie original iar F(p) functie imagine.
A. Proprietatile transformatei Laplace
1. Liniaritate
[ ] [ ] [ ] )p(G)p(F)t(g)t(f)t(g)t(f LLL β+α=β+α=β+α
2. Teorema valorilor limita
∫∞
−
∞→∞→=
0
p t
ppdte)t(flim)p(Flim
0tp;t
2jjp →⇒∞→
π+σ=ω+σ=
)0(f)t(flim)p(pFlim0tp +→∞→
==+
)(f)t(flim)p(pFlimt0p
∞==∞→→
3. Transformata Laplace a derivatei
∫∞
−
−
=
0
ptdtedt
)t(dfdt
)t(dfL ; integrând prin parti:(uv)’=u’v+uv’. Rezulta u’v=(uv)’-uv’
cu notatiile ( ) ⇒−⋅+= −−− p tp tp t e)p(fedtdf
'fe
( )=−−==
∫∫∫
∞−
∞ −∞−
−− 0
p t
0
p t
0
p t dte)t(pfdtdt
e)t(fddte
dt)t(df
dt)t(dfL
Capitolul 7
227
)0(f)t(flim)p(pF)p(pFe)t(f
0
t0
pt−
=
∞→
∞− −+=+=
−
321
)0(f)p(pFdt
)t(dfL −−=
1n
1n2n1nn
n
n
dt)0(yd
dt)0(dy
p)0(yp)p(Fpdt
fdL −
−−− −−−−=
L
4. Transformata Laplace a integralei
∫ ∫∫∞
−
−
=
=
0
p tt
0
t
0 p)p(F
dte'dt)'t(fdt)t(fL
întrucât (uv)’=uv’+u’v si consideram ∫=t
0
'dt)'t(fu , ⇒−
==−
−∫ pedtev
p tp t
∫∫∫∞ −∞−
=−
+−=
0
p t
0
t
0
p tt
0 p)p(Fdt
pe)t(fdt)t(f
pedt)t(fL
5. Teorema întârzierii
[ ] ∫ ∫∫τ
∞−τ−
∞τ+−− ==τ−=τ−
t
0
'p tp
0
)'t(pp t 'dte)'t(fe'dte)'t(fdte)t(f)t(fL
s-a substituit t - τ = t’ deci t = t’ + τ iar dt=dt’
[ ] )p(Fe)t(f pL τ−=τ−
6. Teorema atenuarii
[ ] )p(Fdte)t(fdte)t(fe)t(fe0
t)p(
0
p tttL λ+=== ∫∫∞
λ+−∞
−λ−λ−
7. Teorema asemanarii
[ ]
==⋅= ∫∫
∞−
∞−
kp
Fk1
)kt(dek
)kt(fkk
dte)kt(f)kt(f0
k tkp
0
kkp t
L
B. Calculul transformatei Laplace a principalelor semnale utilizate în
electrotehnica
Sursele de curent continuu sunt, în general, multiplu al functiei treapta unitara,
functie prezentata în fig.7.19.
Capitolul 7
228
Fig.7.19
Aceasta functie, matematic, are urmatoarea definitie:
><
=0t,10t,0
)t(h . Ea poate fi
considerata conform relatiei )t(flim)t(h0→ε
= , limita unei functii rampa f(t) (fig.7.20).
Modelând functia rampa prin relatia urmatoare:
ε<<ε−εε+
ε−<=
t,2
tt,0
)t(f pentru t=0, 21
)t(f = .
În intervalul (-ε ,ε) functia f(t) poate fi
aproximata printr-o dreapta de ecuatie
f(t)=at+b. Constantele a si b se pot determina
din conditiile la limita, astfel:
t=0, f(t)= b21
=
ε−
=⇒+ε==ε+=b1
aba1)t(f,t
ε=⇒=+ε−==ε−=
ba0ba0)t(f,t
atunci: )t(21tb1tbbtb)t(f ε+ε
=
εε+=
+
ε=+
ε= ;
εε+
=2
t)t(f . Derivata acestei functii se
numeste impuls unitar ε
=21
dtdf
; pentru ∞→→εdtdf
,0 . Notam dtdf
lim)t(0→ε
=δ unde:
ε>
ε<<ε−ε⋅
ε−<
=δ
t0
t21
t0
)t( . Suprafata determinata de impulsul unitar, de latime 2ε si înaltime
1/2ε, are aria unitate. La limita impulsul unitar are reprezentarea din fig.7.21, însa, fizic,
aria trebuie sa se conserve, motiv pentru care 1dt)t( =δ∫∞
∞−
. Transformata Laplace a
impulsului unitar [ ] 1dte)t()t(0
p tL =δ=δ ∫∞
− .
Fig.7.20
Capitolul 7
229
1. Transformata Laplace a impulsului treapta
[ ] ∫∞
−=0
p tdte)t(ch)t(chL se obtine din formula de integrare prin parti,
(uv)’=uv’+u’v, unde se noteaza u=ch(t) si p
evp t
−=
−
. Înlocuind rezulta:
[ ]pc
epc
pe
)t(chdtp
ecdt
pe
)t(chdtd
)t(ch0
pt
0
0
pt
0
pt
0
pt
=+−
=−
−
−
=∞
−
=
∞−∞ −∞ −
−∫∫
43421L
2. Transformata Laplace a functiei exponentiale te)t(f λ−=
[ ]λ+
=⋅=⋅⋅= ∫∫∞
λ+−∞
−λ−
p1
dte1dtee1)t(f0
t)p(
0
p ttL
3. Transformata Laplace a functiei sinusoidale f(t)=ymsinωt.
Substituind: j2eetsin
tjtj ω−ω −=ω se obtine transformata Laplace a functiei:
[ ] ∫∫∫∞
−ω−∞
−ω∞
−ω−ω
⋅−⋅=⋅−
=ω0
p ttjm
0
p ttjm
0
p ttjtj
mm dteej2
ydtee
j2y
dtej2ee
ytsinyL
⇒ω−
⋅==⋅ ∫∫∞
ω−−∞
−ω
jp1
j2y
dtej2
ydtee
j2y m
0
t)jp(m
0
p ttjm
[ ])p(j2
j2yp
)jp(jpj2
yjp
1jp
1j2
ytsiny 22
m22
mmmL
ω+⋅ω⋅
=ω+
ω−−ω+⋅=
ω+
−ω−
=ω
[ ] 22mm pytsinyL
ω+ω⋅=ω
Similar se obtine transformata Laplace a functiei cosinusoidale:
[ ] 22mm
tjtj
mm pp
yjp
1jp
12
y2
eeytcosy LL
ω+⋅=
ω+
+ω−
=
+=ω
ω−ω
C. Determinarea functiei original cunoscând transformata Laplace (Teoreme)
1) Teorema derivarii
[ ] [ ])t(tfdte)t(tfdte)t(fdpd
))p(F(dpd L
0
p t
0
p t −=−=
= ∫∫
∞−
∞−
2) Teorema integrarii
Fig.7.21
Capitolul 7
230
=∫
∞
t)t(f
dp)p(F Lp
(operatia inversa derivarii)
3) Teorema Mellin – Fourier
∫ω+σ
ω−σπ=
j
j
p tdpe)p(Fj2
1)t(f σ > σ0
4) Teorema Heaviside
Daca )p(Q)p(P)p(F = unde pk radacinile numitorului sunt reale si distincte atunci
functia imagine poate fi descompusa astfel:
( ) kk
n
1p k
k
k
k
2
2
1
1 c)p(Q)p(Ppp
ppc
ppc
ppc
ppc
)p(Q)p(P)p(F =−⇒
−=
−++
−+
−== ∑
=
L
)p('Q)p(P
pp)pp(Q
lim
)p(P
pp)p(Q
1lim)p(P)p(Q)p(P)pp(lim
k
k
k
k
k
k
ppkkpp kk
=
−−
=
−
=−→→
, unde: kpp
k dpdQ
)p('Q=
= .
Rezulta functia imagine de forma ∑ ∑ −⋅=
−=
kk
k
k
k
pp1
)p('Q)p(P
ppc
)p(F , iar functia original
corespunzatoare este: ∑=k
tp
k
k ke)p('Q)p(P
)t(f .
Daca numitorul are radacini nule p=0 functia imagine poate fi descompusa în
fractii simple astfel: L+−
+=1
10
ppc
pc
)p(Q)p(P
Coeficientii fractiilor simple pentru radacinile nenule se calculeaza similar
iar coeficientul radacinii nule se determina cu relatia )0(Q)0(P
)p(pQ)p(Pplim
)p(Q)p(Pplimc
110p0p0 ===
→→.
Obtinem în acest mod functia imagine de forma ∑ −⋅+⋅=
kk1
k
1 pp1
)p('pQ)p(P
p1
)0(Q)0(P)p(F având
functia original data de expresia ∑+= pk t
k1k
k
1
e)p('Qp
)p(P)0(Q)0(P)t(f .
7.3.2 Aplicarea transformatei Laplace în analiza regimurilor tranzitorii
ale circuitelor electrice
Analizam în continuare comportarea elementelor simple de circuit în regim
tranzitoriu determinând pentru fiecare element ecuatia în domeniul imagine si schema
operationala asociata.
Capitolul 7
231
7.3.2.1 Transformata Laplace a elementelor simple de circuit
a. Rezistorul
Ecuatia din domeniul timp u(t)=Ri(t) admite
urmatoarea imaginea operationala:
[ ] [ ] [ ])t(iR)t(Ri)t(u LLL == )p(RI)p(U =⇒
Definim în domeniul imagine )p(Z)p(I)p(U = impedanta operationala a elementului
dipolar. Impedanta operationala a rezistorului este: R)p(ZR = . Inversa acesteia
)p(U)p(I
)p(Z1)p(Y == se numeste admitanta operationala.
b . Bobina ideala
Fig.7.23
Aplicând transformata Laplace relatiei ∫+=t
0LL dt)t(u
L1
)t(h)0(i)t(i rezulta ecuatia
în domeniul imagine pentru o bobina ideala pL
)p(Up
Ip
)p(UL1
pI
)p(I L0LL0L +=+= cu
pL1)p(YpL)p(Z LL =⇒= . Schema operationala atasata ecuatiei operationale este:
Fig. 7.24
Din ecuatia în tensiune a bobinei ∫+=t
0LL dt)t(u)t(h)0(Li)t(Li , prin derivare, rezulta
)t(u)t()0(Lidtdi
L LL +δ= . Trecând în domeniul imagine se obtine ecuatia operationala si
schema atasata (fig.7.25).
Fig. 7.22
Capitolul 7
232
)p(ULI)p(pLI L0L +=
0L0L LiE =
pL1)p(YL =
0LL LI)p(pLI)p(U −=
Observatie:
Ecuatiei Joubert e±ub=zi, prin aplicarea transformatei Laplace conduce la
urmatoarea imagine operationala a ecuatiei: E(p)±U(p)=Z(p)⋅I(p).
c. Bobina cuplata magnetic
Tensiunea la bornele bobinei j, în domeniul timp, este:
∑=
=+=n
1k
kjk
kjk
jijj dt
diLdtdiL
dt
diLu
Aplicând transformata Laplace rezulta:
( )∑∑ +=⇒
=
=
)0(i)p(pIL)p(Udtdi
Lu kkjkj
n
1k
kjkjL
∑∑==
−=n
1kkjk
n
1kkjkj )0(IL)p(IpL)p(U
∑=
=n
1kkjkkL )0(ILE - suma tensiunilor conditiilor initiale.
Schema operationala echivalenta a bobinelor cuplate magnetic este:
Fig.7.27
d. Condensatorul
Fig.7.26
Fig.7.25
Capitolul 7
233
Ecuatiilor din domeniul timp 0c
t
0cc
cc udt)t(i
C1usau
dtdu
Ci +== ∫ , prin
aplicarea transformatei Laplace, le corespund urmatoarele ecuatii
operationale:
]u)p(pU[C)p(I 0ccc −=
)p(IpC1
p)0(u
)p(U)0(CU)p(pCU)p(I cc
cccc =−⇒−=
pu
pI
C1)p(U 0cc
c += ; p
upCI
)p(U 0ccc += ; )p(I)p(Z
pCI
)p(Up
ucc
cc
0c ⋅==+−
pC1)p(Z)p(I)p(Z)p(UE cccc0c =⇒⋅=+−
Concluzii:
1° În aplicarea transformatei Laplace pentru elementele reactive trebuie
determinate conditiile initiale înainte de comutare.
2° Raportul loperationacurentlaoperationatensiune
se numeste impedanta operationala Z(p).
Inversa impedantei operationale este admitanta operationala.
e. Aplicarea transformatei Laplace unui dipol ce admite schema echivalenta:
e1. Serie
Ecuatia tensiune-curent la bornele dipolului este:
∫∫∫ +++=++=++=∞−∞−
t
0
)0(u
0t
LCR idtC1
idtC1
dtdi
LRiidtC1
dtd
LRiuuuu
c
321
Aplicând
transformata Laplace rezulta:
( ) )p(Ip1
C1
pu
)0(i)p(pIpLR)p(I)p(U 0cL ++−+= sau
434210c
L0c
E
)0(Lip
upC1
pLR)p(I)p(U
−
−+
++=
Ecuatia Joubert atasata dipolului este:
)p(I)p(Z)p(UE 0c =+ cu pC1pLR)p(Z ++= .
e2. Paralel
Fig. 7.25
Fig. 7.28
Capitolul 7
234
Ecuatiei curent-tensiune a dipolului serie:
dtdu
CdtuL1
Ru
iiii ct
LCLR ++=++= ∫∞−
sau
dtdu
CdtuL1
)0(i
dtuL1
Ru
i ct
0
L
L
0
L +++= ∫∫∞− 43421
aplicându-i transformata Laplace, conduce la urmatoarea relatie operationala:
]upU[CUpL1
pi
RUI 0c
0L −+++= , relatie ce poate fi restrânsa in forma :
0c0L Cu
pi
pCpL1
R1
UI −+
++=
Ecuatia Joubert în curent a unei laturi are forma: sgs yui
zu
zei +=+= ce admite
urmatoarea imagine operationala: [ ] YUII;yuii gsgL +=+= .
Identificând forma operationala a ecuatiei Joubert cu ecuatia operationala a
circuitului rezulta: I=UY+Ig cu 0c0L
g CUp
iI −= .
7.3.2.2 Aplicarea transformatei Laplace în analiza circuitelor ce contin surse
independente
Se considera circuitul din figura 7.27 ce functioneaza cu sursa de curent, sursa
de tensiune fiind scurcircuitata. La momentul t > 0 se cupleaza sursa de tensiune e (e
=5V). Sa se determine variatia în timp a tensiunii v de pe rezistenta 1KΩ.
Fig.7.27
Rezolvarea circuitului implica determinarea conditiilor initiale pentru elementele
reactive. Valorile marimilor de stare iL(0) si uc(0) rezulta din functionarea initiala t < 0 a
circuitului.
În regimul stationar. (t < 0) elementele reactive sunt înlocuite prin
comportamentul lor în c.c. iar circuitul are urmatoarea configuratie
Fig. 7.26
Capitolul 7
235
Fig.7.28.
Determinarea conditiilor initiale necesita rezolvarea circuitului din figura 7.28. In
acest sens aplicam metoda reducerii circuitului la dipol echivalent. Aplicând divizorul de
curent obtinem curentul initial ce parcurge bobina : A254
1025
54
5,214
4i)0(i gL =⋅=⋅=
+⋅=
Tensiunea ce încarca condensatorul poate fi considerata fie tensiunea de
pe rezistenta de 1KΩ, fie tensiunea de pe rezistenta de 4KΩ obtinând
V254
5,2Ri)0(u egc =⋅=⋅= , V2451
5,2451
iRi)0(u g44Rc =⋅⋅=⋅⋅=⋅= .
Cunoscând conditiile initiale si reprezentându-le prin surse se obtine
circuitul de analizat, (fig.7.29), circuit analizat în regim tranzitoriu prin asocierea imaginii
operationale.
Fig.7.29.
In rezolvarea circuitului se aplica metoda potentialelor nodale rezultat al aplicarii
teoremei Kirchhoff I în nodul v1 si v2:
0iiiiii 0LLg0cc4 =++−−+− ,
0iii 10LL =+−−
relatii completate cu 4
vp5
i1
4
−= ,
1
21 R
vi = ,
pLvv
i 21L
−= , 1
1c pCv
pC1v
i == .
Forma operationala a ecuatiilor nodale este:
Capitolul 7
236
0p2
2,0pvv
p5,22
41
p4v
4
vp5
2111
=+⋅−+−⋅−+
−−
01v
p2
p2,0vv 121 =+−
−
Rezolvând sistemul de ecuatii rezulta:
( )25p6pp75p12p2v 2
2
2 ++++= -
Pentru determinarea functiei original se deduc radacinile
2
112 pj43
pj434j32593p
=−−=+−
±−=−±−= .
Descompunerea în fractii simple a expresiei potentialului operational, necesita
determinarea a trei coeficienti
2
3
1
21
21
2
2 ppc
ppc
pc
)pp)(pp(p75p12p2v
−+
−+=
−−++= .
Rezultat al calculelor matematice deducem urmatoarele valori ale coeficientilor
32575
)0(Q)0(Pc1 === , 4
3j
222
12 e
45)j34(4
121625
)pp(p)p(Pc
−=−
+=
−= , 4
3j
3 e45
c+
= .
Înlocuind în expresia potentialului operational j43p
1e45
j43p1e
45
p3v 4
3j43j
2 ++⋅⋅+
−+⋅⋅+=
+−
se obtine variatia în domeniul timp a potentialului v2 rezultat al aplicarii transformatei
Laplace inverse t)j43(43jt)j43(4
3j
2 ee45ee
453)t(v +−+−−−
⋅+⋅+= ; relatie echivalenta cu
++= −
43arctgt4cose25,13)t(v t3
2
7.3..2.3. Aplicarea transformatei Laplace în circuitele ce contin surse dependente
Se considera pentru exemplificare circuitul din figura 7.30 ce functioneaza cu
întrerupatorul k (space) deschis. În momentul t > 0 este suntata rezistenta de 2Ω. Sa se
determine variatia în timp a curentului sursei de 8V.
Capitolul 7
237
Fig. 7. 30
Pentru rezolvare trebuie sa determinam conditiile initiale ale circuitului , circuit
considerat la t< 0 (fig.7.31)
Fig.7.31
Aplicarea teoremei I Kirchhoff în circuitul din figura 7.31 conduce la
2v
1v
2v8 xxx +=
− din care rezulta: V2vx = .
Conditiile initiale sunt:
- V2v)0(v xC ==− ;
- A32v8
)0(i xL =
−=− ;
Schema operationala a circuitului ,tinând cont de relatiile
5,0241)0(VC c =×=⋅ − ;
p3
p)0(iL =
−
devine (fig7.32):
Fig. 7.32
Capitolul 7
238
Deoarece întrerupatorul este închis, p/8)p(vx = iar rezolvare prin metoda potentialelor
nodale conduce la :s/4)s(v
2s/8
1)s(v5,0
s5,0
)s(vs8
s3 11
1
++=+⋅
−+
s3
s5,0
)s(vs8
)s(I1
+⋅
−=
Eliminând )s(v1 se obtine imaginea operationala a curentului:
)8s4s(s96s24s3
)s(I 2
2
+⋅+⋅+⋅+⋅
= din care deducem variatia in domeniul timp a acestuia:
A)]57,161t2cos(e104[3)0t(i t2 °+⋅⋅+⋅=> ⋅−