analiza si sinteza circuitelor - ece.ubm.roece.ubm.ro/ea/cursuri/asc_temele 1-14.pdf · circuite...

Analiza şi Sinteza Circuitelor

Cursul 1 INTRODUCERE. TOPOLOGIA CIRCUITELOR

Durata cursului este de 56 ore distribuite astfel:

28 ore de curs – 14 şedinţe

14 ore de seminar – 7 şedinţe

14 ore de laborator – 7 şedinţe

Bibliografie recomandată:

[1] Victor Popescu - Semnale, circuite şi sisteme. Partea III-a.Teoria Circuitelor. Editura Casa Cărţii de Ştiinţă, 2003

[2] Adelaida Mateescu – Semnale şi sisteme. Editura Teora, 2001

[3] M. Săvescu, T. Petrescu, S. Ciochină – Semnale, circuite şi sisteme. Probleme. Editura tehnică, 1976

Examinare pe parcurs (Ep=50 p.):

Asistenţă la curs (AC=10 p.)

Teste la seminar (TS=30 p.):

Evaluare laborator (EL=20 p.)

Examinare finală (E=50 p.):

un test scris compus din: teorie (10 p.) grilă (20 p.)probleme (20 p.)

Componentele notei: un total de 100 de puncte (pentru nota 10) se distribuie astfel:

Capitolele cursului:

Curs 1 – Introducere. Topologia circuitelor. Curs 2 – Metode de analiză matricială. Circuite duale. Curs 3 – Funcţii de circuit. Forma compactă a răspunsului permanent. Curs 4 – Formalisme de reprezentare a multiporţilor. Formalismul de repartiţie. Curs 5 – Structuri de uniporţi. Uniporţi cu un singur tip de elemente. Curs 6 – Uniporţi de ordinul I. Curs 7 – Uniporţi de ordinul II. Echivalenţa uniporţilor. Curs 8 – Diporţi pasivi. Diporţi simetrici şi asimetrici. Curs 9 – Propagarea undelor şi adaptarea diporţilor. Adaptarea lanţurilor de diporţi. Curs 10 – Circuite de adaptare. Curs 11 – Defazajul introdus de diporţi. Rejecţia unor frecvenţe. Curs 12 – Filtre pasive. Caracteristici universale de frecvenţă. Curs 13 – Filtre de tip k-constant. Filtre derivate-m. Curs 14 – Corectarea impedanţei caracteristice. Exemple de calcul al filtrelorcompuse.

Laborator:

Lucrare 1 – Sisteme de ordinul I Lucrare 2 – Sisteme de ordinul II TJ şi TS. Lucrarea 3 – Sisteme de ordinul II TB. Lucrarea 4 – Circuite duale. Lucrarea 5 – Uniporţi elementari. Lucrarea 6 – Propagarea undelor şi adaptarea. Lucrarea 7 – Circuite simple de adaptare. Lucrarea 8 – Adaptoare pe imagini. Lucrarea 9 – Adaptare cu rejecţie de frecvenţe. Lucrarea 10 – Filtre de tip k-constant Lucrarea 11 – Filtre derivate. Lucrarea 12 – Filtre compuse. Lucrarea 13 – Filtre active Sallen-Key. Lucrarea 14 – Recuperări, testare.

SISTEM - un ansamblu de elemente, dependente intre ele siformand un intreg organizat; este reprezentat printr-un modelmatematic format din:

•o mulţime de perechi de vectori intrare-ieşire, care îşi corespund:x y

•o transformare T aplicată semnalelor de intrare x, care furnizează semnalele de ieşire y: y= T(x)

SISTEM ELECTRIC - sistemul format dintr-un ansamblu de circuite electrice

CIRCUIT ELECTRIC – un ansamblu de componente electrice şielectronice, interconectate prin conductoare sau prin câmpelectromagnetic, care transmit şi prelucrează semnale electrice

Analiza - determinarea răspunsului unui sistem (circuit) dat la o excitaţie data (se dau: circuitul si excitatia; se cere raspunsul)

Sinteza - determinarea structurii unui sistem (circuit) dintr-o clasăprecizată, care să realizeze o transformare dată (se dau: excitatia si raspunsul; se cere: structura circuitul)

1.1 Introducere in teoria circuitelor

După natura elementelor componente sistemele (circuitele) pot fi: Cu parametrii concentrati (se poate neglija fenomenul de propagare a undelor electromagnetice)

1. Cu parametrii distribuiti (fenomenul de propagare a undelor electromagnetice nu poate fi neglijat)



y(t)=tx(t)y(t)=tx(t)

• Circuitele considerate in continuare sunt:1. liniare, 2. Invariante in timp3. Cu parametrii concentrati• După numărul de poli (terminale) de conectare în exterior

exista urmatoarele tipuri de circuite:1. Dipoli (2 terminale)2. Tripoli (3 terminale)3. Cudripoli (4 terminale)4. n-poli (n terminale)• După numărul de porti (perechi de terminale) de

conectare în exterior exista urmatoarele tipuri de circuite:1. Uniporti (1 poarta)2. Diporti (2 porti)3. n-porti (n porti)


1.2 Topologia circuitelor1.2.1 Grafuri liniare orientate (GLO)

Proprietăţi topologice - sunt cele care decurg exclusiv din modul de interconectare a laturilor circuitului

Se exprimă:grafic: prin graful liniar orientat (GLO);

analitic: prin teoremele lui KirchhoffTKI

TKVDEFINIŢIE:

Un graf este o colecţie de puncte în plan, numite noduri ale grafului, conectate prin arce orientate (cu un sens de parcurgere), numite laturi ale grafului.

Graful Liniar Orientat este o reprezentare a topologiei unui circuit.

Calea este o succesiune de laturi orientate în acelaşi sens şi fără a trece de două ori prin acelaşi nod (fără a face bucle).Bucla este o cale închisă pe ea însăşi.

Etape în întocmirea GLO plecand de la un circuit dat:1) se numerotează nodurile;

OBSERVAŢIE

(1)(2) (3)

(4)

: două noduri conectate printr-o impedanţă nulă reprezintă un singur nod electric [nodul (5)].

2) se orientează şi se numerotează laturile.3) se plasează (arbitrar) noduri în plan;4) se plasează laturile GLO.

(5)

2 3 4

5 6 7 8

1

(1)(2) (3) (4)

(5)

1

2 3 4

5 6 7 8


3

6

5 8

27

4

1

(2) (3)

(4)(5)(1)

EXEMPLU:

3) cale sau drum – Ex. 7 si 5, între (3), (5) şi (1).

4) buclă – Ex. Calea între (1), (2), (3), (4) şi (1).

3

2 4

1

1) nod – Ex. (2), (3), (5) 2) latura – Ex. 7, între (3) şi (5).

5) Un GLO este planar dacă el poate fi reprezentat în plan fără ca laturile să se intersecteze.


Graful de fluenţă permite reprezentarea sistemelor de ecuaţii algebrice liniare.

( )u t

( )i tR L

( ) ( ) ( )d i tu t R i t L

dt= +

( )u tdR Ldt∗

∗ +( )i t

operator

Săgeţile indică: sensuri de referinţă sensul transmiterii semnalului

Schimbarea sensului are ca efect: schimbarea semnului mărimilor inversarea operatorului

R sL+( )U s( )I s

( ) ( ) ( )U s R s L I s= + ⋅

operator algebric

la GLO: la GF:

1.2 Topologia circuitelor1.2.2 Grafuri de fluenta GF (sau de semnal GS)

DEFINIŢIE: Factorul care înmulţeşte mărimea din originea laturii pentru a obţinemărimea din extremitate sa numeste transmitanţă a laturii.

DEFINIŢIE: Graful de fluenţă (de semnal) este format din:

1.- o mulţime de puncte în plan (numite noduri) asociate unor mărimi fizice2.- o mulţime de arce orientate (numite laturi) care leagă nodurile.

a) latura este orientată de la nodul j la nodul kb) mărimea din origine aduce o contribuţie la formarea mărimii

din extremitate ( )kj jt x⋅

c) mărimea din extremitate este egală cu suma contribuţiilor transmise prin laturile convergente nodului:

k kj jj

x t x= ⋅∑

3.- fiecărei laturi i se asociază transmitanţa tkj cu semnificaţia:


EXEMPLU: Fie sistemul de ecuaţii in care se expliciteaza fiecare variabila:

1 2 1

1 3 1 2

1 2 3

y 2 y xy 3 y x x

2 y y 3 y 0

+ =⎧⎪ − + = − +⎨⎪ + + =⎩

1 2 1

3 1 3 1 2

2 1 3

y 2 y xy y 2 y x xy 2 y 3 y

= − +⎧⎪⇒ = − − +⎨⎪ = − −⎩

1y

2y

3y

1x

2x

1

2−1y

2y

3y

1x

2x

1y

2y

3y

1x

2x 3−

2−

1

2−

1−

1

1y

2y

3y

1x

2x

1

2−

3−

2−1

2−

1−

1

Final: IMPORTANT: Din fiecare ecuaţie trebuie explicitată altă variabilă!


Elemente ale GF :

latură = un arc ce leagă două noduri.

nod = punct asociat unei mărimi fizice.

cale (drum) = o succesiune de laturi orientate în acelaşi sens fără a trece de două ori prin acelaşi nod.

buclă = o cale închisă pe ea însăşi. buclă proprie (a unui nod) = o buclă cu o singură latură.

nod sursa = are incidente numai laturi divergente (excitaţie).nod sarcină = are incidente numai laturi convergente. nod intermediar (de trecere) = are incidente şi laturi convergente

şi laturi divergente.

2−1

1

3−11

1−

2−

1−2−

1y

2y

3y

1x

2x


DEFINIŢII: Un GF care are numai noduri sursă şi noduri sarcină se numeşte ireductibil. Transmitanţele unui graf ireductibil sunt transmitanţele globale ale grafului.

A rezolva un GF (echivalent cu a rezolva sistemul de ecuaţii) înseamnă a-l aduce la forma ireductibila si a determina transmitanţele sale globale.

EXEMPLU: Dacă graful dat se aduce la forma ireductibila:

1y

2y

3y

1x

2x

11T

12T21T

22T31T

32T

soluţia problemei se scrie direct:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

3 31 1 32 2

y T x T xy T x T xy T x T x

= +⎧⎪ = +⎨⎪ = +⎩


Regula lui Mason permite determinarea transmitanţei globale de la un nod sursă la un nod oarecare (sarcină sau intermediar) prin relaţia:

ij k kk

1T T= ΔΔ∑unde:

1m 2m 3mm m m

1 P P PΔ = − + − +∑ ∑ ∑ L este determinantul GF.

P1m transmitanţa buclei m (produsul transmitanţelor laturilor care o compun);

P2m transmitanţa perechii m de bucle neadiacente (care nu au nici un nod comun);

P3m transmitanţa tripletului m de bucle neadiacente două câte două;

Tk este transmitanţa căii k de la nodul sursă la nodul considerat (produsul transmitanţelor laturilor care compun calea).

Δk este determinantul sub-grafului neadiacent căii (se obţine din graful dat eliminând toate nodurile căii respective).


EXEMPLU 1:

Să determinăm transmitanţa T31 în GF alăturat.

2−1

1

3−11

1−

2−

1−2−

1y

2y

3y

1x

2x

1P 2 1 2= − ⋅ = − 2P 1= ( )3P 1 3 3= − ⋅ − =

4P 2= − ( ) ( )5P 3 2 2 12= − ⋅ − ⋅ − = −

( )14 1 4P P P 2 2 4= ⋅ = − ⋅ − = ( )24 2 4P P P 1 2 2= ⋅ = ⋅ − = −

Evaluăm transmitanţele buclelor:

Sunt numai două dublete de bucle neadiacente:

Determinantul este: ( ) ( )1 2 1 3 2 12 4 2 15Δ = − − + + − − + − =


CONTINUARE EXEMPLU 1:

Să determinăm transmitanţa T31 în GF alăturat.

2−1

1

3−11

1−

2−

1−2−

1y

2y

3y

1x

2x

Determinantul este: ( ) ( )1 2 1 3 2 12 4 2 15Δ = − − + + − − + − =

( )1 1T 1 2 2 ; 1 1 0= ⋅ − = − Δ = − = ( )2 2T 1 1 1 1; 1= ⋅ ⋅ − = − Δ =

( )3 3T 1 1 1; 1= − ⋅ − = Δ = ( ) ( )4 4T 1 2 2 4 ; 1= − ⋅ − ⋅ − = Δ =

Sunt patru căi de la x1 la y3 :

Transmitanţa globală:

( ) ( ) ( ) ( )311 4T 2 0 1 1 1 1 4 1

15 15⎡ ⎤= − ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ = −⎣ ⎦


EXEMPLU 2:Să determinăm şi transmitanţa T32.

2−1

1

3−11

1−

2−

1−2−

1y

2y

3y

1x

2xSunt două căi:

Transmitanţa globală:

( ) ( )1 1T 1 2 2 4 ; 1= ⋅ − ⋅ − = Δ =

( )2 2T 1 1 1 ; 1= ⋅ − = − Δ =

( ) ( )321 3 1T 4 1 1 1

15 15 5⎡ ⎤= ⋅ + − ⋅ = =⎣ ⎦

Acum, se poate scrie soluţia parţială:

3 31 1 32 2y T x T x= + 1 24 1x x

15 5= − +


Analiza şi Sinteza Circuitelor

Cursul 2 METODE DE ANALIZĂ MATRICIALĂ. CIRCUITE DUALE.

În general, un sistem liniar si invariant este caracterizat de un sistem de ecuaţii algebrice liniare.Acestea se obtin scriind ecuaţiile ce descriu circuitul în termenii Transformatei Laplace (pentru a obţine ecuaţii algebrice din ecuatiile diferentiale initiale), astfel:

⋅ = ⋅A Y B X

2.1 Metode de analiză matricială2.1.1 Matricea de conexiune

In final sistemul de ecuaţii algebrice liniare se poate scrie sub forma matriciala astfel:

1. Tteorema I a lui Kirchhoff (TKI) – suma algebrica a curentilor dintr-un nod este nula

2. Tteorema II a lui Kirchhoff (TKV) – suma algebrica a tensiunilor laturilor ce formeaza o bucla este nula

3. Curenţii din laturi se pot determina în funcţie de tensiuni, prin legea lui Ohm

În sistemul de ecuaţii algebrice liniare:

⋅ = ⋅A Y B X

( ) [ ]T1 2 nn 1 y y y× =Y L este vectorul necunoscutelor (răspunsurilor)

( ) [ ]T1 2 mm 1 x x x× =X L este vectorul excitaţiilor

( ) ( )n n ; n m× ×A B sunt matricile coeficienţilor

Ecuaţia se scrie, succesiv: 0 = − ⋅ + ⋅ +A Y B X Y = − ⋅ + ⋅Y Y A Y B X ( )n= − ⋅ + ⋅Y 1 A Y B X

[ ]n⎡ ⎤

= − ⋅ ⎢ ⎥⎣ ⎦

YY 1 A B

X

DEFINIŢIE: Matricea: [ ]n= −T 1 A B se numeşte matrice de conexiune

a circuitului sau a GF asociat circuitului


Explicitând matricea de conexiune se obţine:

Matricea de conexiune permite construcţia directa a GF (variabilele yi sunt deja explicitate):

1) Se amplasează câte un nod pentru fiecare coloană a matricii de conexiune. 2) Pentru fiecare element nenul, se duce o latură de la nodul asociat coloanei

la nodul asociat liniei.

3) Pe latura grafului se notează, ca transmitanţă, valoarea elementului nenul.

4) Se rezolva sistemul calculand transmitantele globale cu regula lui Mason.


[ ]n= −T 1 A B

1y

2y

ny

111 a−

221 a−

nn1 a−

12a− 1na− 11b 12b 1mb

21b 22b 2mb

n1b n2b nmb

21a− 2na−

n1a− n2a−

L

L

L

L

L

L

LLL LLLL

1y2y

nyL

1x2x

mxL

1y 2y ny 1x 2x mx

=

EXEMPLU: Reluăm sistemul de ecuaţii si plecam de la relatia :

1 2 1

1 3 1 2

1 2 3

y 2 y xy 3 y x x

2 y y 3 y 0

+ =⎧⎪ − + = − +⎨⎪ + + =⎩

1 2 0 1 01 0 3 ; 1 1

2 1 3 0 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ = − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

A B

[ ]1

n 2

3

y 0 2 0 1 0y 1 1 3 1 1y 2 1 2 0 0

−⎡ ⎤⎢ ⎥= − = − −⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

T 1 A B

1y 2y 3y 1x 2x

2−1

1

3−11

1−

2−

1−2−

grafuri izomorferezolvabile cu regula lui Mason

1y

2y

3y

1x

2x

1

2−

3−

2−1

2−

1−

1

Stg.. – GF precedentDrp. – GF actual

1y

2y

3y

1x

2x


⋅ = ⋅A Y B X

Sistemele Analogice Liniare si Invariante in timp (SALI) cu o singura intrare x(t) si o singura iesire y(t) sunt caracterizate printr-o ecuatie diferentiala cu coeficienti reali si constanti

Ordinul n al ecuatiei diferentiale este determinat in cazul circuitelor electrice de numarul elementelor reactive.

2.1 Metode de analiză matricială2.1.2 Analiza Sistemelor Analogice Liniare si Invariante

Exemplul 1: circuitul RL serie1. Este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de ordinul I

deoarece contine un singur element de circuit reactiv2. Excitatia este tensiunea electromotoare e(t)3. Raspunsul este curentul i(t)


Exemplul 2: circuitul RLC paralel1. Este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de ordinul

II deoarece contine doua elemente de circuit reactive2. Excitatia este curentul i(t)3. Raspunsul este tensiunea electromotaore e(t)



Functia de transfer (de sistem sau de circuit) H(s) a SALI este o functie rationala in s definita ca raportul dintre Transformata Laplace a iesirii Y(s) si cea a intrarii X(s), in conditii initiale nule


Functiile de transfer ale circuitului RL serie si RLC paralel


In cazul unui SALI cu mai multe intrari si mai multe iesiri functia de transfer H(s) este o matrice ale carei elemente se calculeaza peprincipiul suprapunerii efectelor


Functiile de transfer ale circuitului RL serie si RLC paralel

n pol−

1

2

k

n

1i

2i

ki

ni

1V

2V

kV

nV

Curenţii la terminale pot fi exprimaţi în funcţie de potenţiale la terminale:

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

11 12 1j 1n 11

221 22 2j 2n2

jk k1 k2 kj kn

n nn1 n2 nk nn

Y Y Y Y V sI sV sY Y Y YI s

V sI s Y Y Y Y

I s V sY Y Y Y

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥= ⋅ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

L L

L L

LL L L L L L L

L L

L LL L L L L L

L L

2.1 Metode de analiză matricială2.1.3 Multi-poli si multi-porti

Pentru un SALI de tip n-pol la care marimile de intrare sunt potentialeleIar cele de iesire curenti la terminale, functia de trasfer H(s) devine matriceade transfer, de tip matrice admitanta nedefinita (cu determinant nul)

1

2

3 4

5

6

6-pol

terminal sau pol

DEFINIŢIE:Poarta este o grupare de terminale având suma algebrică a curenţilor nulă.

i2 u65

u40

Gruparea în porţi poate fi determinată de: structura internă

conexiunile externe

1

2

3 4

5

6

M

1

2

3 4

5

6

C1

C2

C33-port

DEFINIŢIE: Dacă unul dintre terminale este conectat la masă, circuitul se numeşte: „cu bornă la masă”, sau „cu bornă comună”.

Transformarea unui multi-pol in multi-port (6-pol in 3-port)


OBSERVAŢIE: Cel mai des se întâlnesc porţi formate din două terminale. La o asemenea poartă se definesc o tensiune şi un curent.

RAŢIONAMENT:1) Un circuit n-port are definit 2n mărimi (n tensiuni şi n curenţi); pentru

determinarea acestora sunt necesare 2n relaţii. 2) Prin conectarea unui circuit exterior la o poartă se impun o relaţie între

tensiunea şi curentul la poarta respectivă.3) Conectând n circuite la cele n porţi se impun, deci, n relaţii.4) Pe de altă parte, dacă la toate porţile unui circuit sunt conectate circuite

exterioare, circuitul este determinat.5) Cum circuitele exterioare furnizează n relaţii, rămâne că n-portul trebuie

să furnizeze restul de n relaţii.

CONCLUZIE: Un circuit n-port este caracterizat prin n relaţii între tensiunile şi curenţii de la porţile sale.


Cazul unui diport - considerand ca la ambele porti se aplica surse de tensiune Iar curentii la porti sunt raspunsurile, matricea de transfer are ca elemente, admitanţele în scurtcircuit ale dipolului


2.1 Metode de analiză matricială2.2 Circuite duale

Exemplu: uniporti si conexiuni duale1. Rezistenta-Conductanta2. Bobina-Condensatorul3. Sursa de tensiune-Sursa de curent4. Conexiune serie - Conexiune paralel


Exemplu de diporti duali


Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 3 FUNCTIA DE CIRCUIT.

DETERMINAREA RASPUNSUL UNUI CIRCUIT.

Observaţii:

1) Funcţiile de circuit (f.d.c) se definesc în vederea caracterizării „la borne”a circuitelor electrice liniare, invariante şi cu parametri concentraţi.

2) Ele sunt particularizarea la circuite a funcţiilor de transfer sau de sistemH(s), ale sistemelor analogice liniare, invariante (SALI).

3) Pentru circuite cu mai multe intrări şi/sau ieşiri, f.d.c permit caracterizarea efectului unei anumite intrări asupra unei anumite ieşiri.

4) F.d.c. se definesc în planul complex (s), deoarece acolo ecuaţiile diferenţiale în domeniul timp devin ecuaţii algebrice.

5) IMPORTANT: f.d.c. se definesc în condiţii iniţiale nule, dar pot fi utilizateîn condiţii iniţiale oarecare.

3.1 Functia de circuit

EXEMPLU: Penrtu un acelaşi circuit RLC serie mărimea de ieşire poatefi considerata caderea de tensiune pe C, L sau R:

R

L

C

u1(t)

u2(t)

aR

L

Cu1(t)

u2(t)

b

R

L

Cu1(t)

u2(t)

c

Toate trei circuitele sunt caracterizate de aceiasi ecuatie diferentiala de ordinul II:

1di 1Ri L i dt udt C

+ + =∫2

12

dud i diLC RC i Cdt dtdt

⇒ + + =


Functia de circuit H(s)= U2(s)/ U1(s) particularizata pentru cazurile a), b) si c)

R

L

C

u1(t)

u2(t)

aR

L

Cu1(t)

u2(t)

b

R

L

Cu1(t)

u2(t)

c

( )a 21H s

LCs RCs 1=

+ +( )

2

b 2LCsH s

LCs RCs 1=

+ +( )c 2

RCsH sLCs RCs 1

=+ +

OBSERVAŢII:

1) Ecuaţia omogenă (membrul stâng) depinde numai de structura circuitului, nu şi de mărimea considerată ca ieşire.

2) Numitorul f.d.c. provine din membrul stâng al ecuaţiei diferenţiale, deci va depinde numai de structura circuitului, nu şi de mărimea considerată răspuns.

3) Mărimea considerată ca răspuns va afecta numai numărătorul f.d.c.


Definirea f.d.c. pornind de la funcţia pondere.

1) Funcţia pondere este răspunsul circuitului la impuls Dirac: ( ) ( )t h tδ →

2) Imaginea Laplace a impulsului este: ( ){ }t 1δ =L

3) Funcţia de circuit face legătura între imaginile Laplace ale excitaţiei şi răspunsului: ( ){ } ( ) ( ){ }y t H s x t=L L

Rezultă: ( ){ } ( ) ( ){ }h t H s t= δL L

OBSERVAŢIE: Mai frecvent se utilizează f.d.c. pentru a determina (analitic) funcţia pondere:

( ) ( ){ }1h t H s−= L

deci: ( ) ( ){ }H s h t= L

Funcţia de circuit pot fi definita nu doar plecand de la ecuaţia diferenţialăa circuitului dar si folosind raspunsul h(t) al circuitului la impulsul Dirac, numit functie pondere.


F.d.c. în formă factorizată: ( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

m 1 2 m

n 1 2 n

P s s z s z s zH s H

Q s s p s p s p∞− − −

= =− − −

LL

amplificarea la frecvenţă infinită, dacă m n=

un factor de scară, dacă m n≠

zk sunt zerourile f.d.c. (funcţia tinde la zero când s → zk);

pk sunt polii f.d.c. (funcţia tinde la infinit când s → pk);

zk şi pk sunt punctele singulare ale f.d.c.

funcţia mai are:m – n poli la infinit dacă m > n

n – m zerouri la infinit dacă m < n

m

n

bHa∞ = este


DEFINIŢII:1) Ordinul unui circuit este egal cu numărul de condiţii iniţiale care pot fi impuse.

2) O buclă-C este o buclă formată numai din condensatoare, eventual şi surse de tensiune.

3) O secţiune-L este o secţiune care conţine numai bobine, eventual şi surse de curent.

Un circuit prezintă un regim tranzitoriu numai dacă este capabil să înmagazineze energie.

În cazul circuitelor, elementele reactive au această proprietate.

Un caz particular de regim tranzitoriu este regimul liber: circuitul evoluează fără excitaţie, dar pornind de la nişte condiţii iniţiale nenule. Este regimul de descărcare a energiei înmagazinate în elementele reactive.

4) Ordinul unui circuit este egal cu numărul de elemente reactive din care se scade câte o unitate pentru fiecare buclă-C, sau secţiune-L liniar independentă.

Ordinul unui circuit


Schema operaţională R2U1(s) U2(s)

R1

1sC

Divizor de tensiune:

( )2

22

22

RRsCZ R || C 1 sR C 1R

sC

= =++

( ) ( )( )

( )( )

2 2

1 1 2

U s Z R || CH s

U s R Z R || C= =

+

( )2

2 2

2 1 2 1 21

2

RsR C 1 RH s R sR R C R RR

sR C 1

+⇒ = =

+ +++

Notaţie: 1 2p

1 2

R RRR R

=+

( ) 2

1 2 p

R 1H sR R sR C 1

⇒ = ⋅+ +

Notaţie:p

20

1 2

R C

RAR R

τ =⎧⎪⎨ =⎪ +⎩

( ) 01H s A

s 1⇒ = ⋅

τ +

R2Cu1(t) u2(t)

R1

Determinarea f.d.c. pentru un circuit RC tip divizor de tensiune


Ca transformată inversă a f.d.c., funcţia pondere se scrie: k

np t

kk 1

h(t) a e=

=∑DEFINIŢIE: Exponenţiala se numeşte mod de oscilaţie. Constanta ak este

amplitudinea modului.kp te

OBSERVAŢII:1) Modurile de oscilaţie apar în perechi complex-conjugate.2) Modurile complex-conjugate au amplitudini complex-conjugate.

1 1p t p *t

1 1

a a * ae a * es p s p *

+ ⇔ +− −

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1j t j tre im re ima ja e a ja eα + ω α − ω= + + − ( ) ( )1 1 1 1 1 1t j t j t t j t j t

re ima e e e ja e e eα ω − ω α ω − ω= + + −

( ) ( )1tre 1 im 12e a cos t a sin tα ⎡ ⎤= ω − ω⎣ ⎦ ( )1t

1 1 1A e cos tα= ω + ϕ

( )( )

2 21 re im1 1 re

im1 1 im 1

re

A 2 a a 2 aA cos 2aaA sin 2a a tana

⎧ = + =⎧ ϕ = ⎪⎪ ⇒⎨ ⎨ϕ = ϕ =⎪ ⎪⎩

⎩


Poziţia polilor in semiplanul stang, drept sau pe axa frecventelordetermină aspectul modurilor de oscilaţie:

α

jω( )1t

1e cos tα ω

Moduri de oscilaţie


RAŢIONAMENT :

1) Funcţia pondere este un răspuns liber al circuitului.

2) Ea este o sumă ponderată de moduri de oscilaţie.

3) Aspectul modurilor de oscilaţie depinde numai de numitorul f.d.c.

4) Acesta depinde numai de structura circuitului.

CONCLUZIE:Evoluţia liberă (fara aplicarea unei excitatii la intrare) a circuitului depinde numai de structura sa, nu şi de mărimea considerată răspuns.

OBSERVAŢIE:Sub acţiunea unei excitaţii, circuitul evoluează într-un mod determinat de structura sa si de natura excitatiei.


Raspunsului in frecventa/pulsatie al unui circuit poate fi determinat ca raport al Transformatelor Fourier ale raspunsului in timp y(t) si respectiva excitatiei x(t).

3.1 Determinarea raspunsului unui circuit


Raspunsului in frecventa este o functie complexa care descrie exprimavariatia amplitudinii si a defazajului unui semnal armonic in functie de frecventa/pulsatia sa.

Frecventa unui semnal armonic de intrare poate varia in limite mari iaramplitudinea lui la iesirea circuitului variaza in limite largi in functie de frecventa.De aceea pentru amplitudine si frecventa se folosesc scari logaritmice.


Raspunsului unui circuit este format din componenta de regim liber sicea de regim fortat si poate fi determinat direct prin rezolvarea ecuatieidiferentiale a circuitului.


Raspunsul de regim liber: este solutia ecuatiei caracteristice (cu membruldrept nul) si depinde doar de structura circuituluiRaspunsul de regim fortat: este o solutie particulara a ecuatiei diferentialecare depinde de natura excitatiei


Raspunsul i(t) al circuitului RL serie la treapta unitate in tensiune e(t)


Raspunsul circuitului poate fi determinat prin convolutia dintre excitatia x(t)si functia sa pondere h(t) – raspunsul circuitului la impulsul Dirac


Raspunsul unui circuit pentru care atat functia sa pondere h(t) cat siexcitatia x(t) sunt functii exponentiale cauzale



Raspunsul circuitului poate fi determinat si ca Transformata Laplace inversaa functiei de circuit H(s)


Raspunsul i(t) al circuitului RC serie cu conditii initiale nule la un semnalaperiodic cauzal in tensiune e(t)


Raspunsul i(t) al circuitului RC serie cu conditii initiale nenule la un semnalaperiodic cauzal in tensiune e(t)


Raspunsul unui circuit la excitatia treapta unitate se numeste raspunsindicial si este important in aprecierea calitatii circuitelor de impulsuri

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 4 FORMALISME DE REPREZENTARE.

FORMALISMUL DE REPARTITIE.

Parametrii circuitelor multiport

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor

Formalism de reprezentare - exprimarea a n mărimi (câte una de la fiecare poartă, numita mărimie dependente sauraspuns ) în funcţie de celelalte n mărimi (independente sau excitatii).

Formalismul se exprimă prin relaţia matricială intrare-ieşire: ( ) ( ) ( )s s s=Y H X

DEFINIŢIE: Dacă vectorul X(s) colectează mărimile independente,iar Y(s) – pe cele dependente, matricea pătrată H(s) se numeşte matrice de transfer, ar elementele sale sunt f.d.c.

Structura interna a fiecarui circuit n-port determina alte n relaţii între tensiunile şi curenţii de la porţile sale.

In general, la fiecare dintre porţile unui n-port este conectat cate un circuit exterioar, prin care se impune o relaţie între tensiunea şi curentul la poarta respectivă. Pentru a determina cele n tensiuni si cei n curenti de la portisunt necesare 2n relatii din care n realtii se obtin prin conditii externe.

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor

Formalismul hibrid se obţine considerând vectorii de forma:1. Vectorul excitatie X(s): tensiunile la portile 1 la k si curentii la portile k+1 la n2. Vectorul raspuns Y(s ): curentii la portile 1 la k si tensiunile la portile k+1 la n

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor4.1.1 Formalismul hibrid

Să explicăm ultimele afirmaţii:

( ) i ik k,1 1 k,2 2 k,k 1 k 1 k,n nI s Y U Y U A I A I+ += + + + + +K K

jkk,2

2 j

U 0 ; j 2IYU I 0;

= ≠⎧⎪= ⎨ =⎪⎩

ji kk,k 1

k 1 j

U 0 ;IAI I 0; j k 1++

=⎧⎪= ⎨ = ≠ +⎪⎩

OBSERVAŢIE: Elementele matricii hibride sunt f.d.c. definite în condiţiile:a.- porţile: 1 ... k sunt în scurtcircuitb.- porţile: k+1 ... n sunt în gol

mai puţin poarta la care se aplică excitaţia.

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor4.1.1 Formalismul hibrid

Formalismul impedanţă se exprima prin relatia matriciala in planul s: U(s)=Z(s)I(s)

( )k,kZ s este impedanţa de intrare la poarta k, cu toate porţile în gol, mai puţin poarta k la care se aplică excitaţia.

( )k,jZ s este impedanţa de transfer de la poarta j (la care se aplică un curent) la poarta k (la care se obţine o tensiune).

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor4.1.1 Formalismul impedanţă

In cazul unui diport relatia matriciala U(s)=Z(s)I(s) poate fi redata sub formaunui sistem de ecuatii de ordinul II prin care tensiunile sunt explicitate in functiede curentii la porti.


EXEMPLU: determinarea parametriilor impedanta ai dipolului simetric si reciproc in T

Similar: Matricea Z a diportului in T este :


( )k,kY s este admitanţa de intrare la poarta k, cu toate porţile în scurt, mai puţin poarta k la care se aplică excitaţia.

( )k,jY s este admitanţa de transfer de la poarta j (la care se aplică o tensiune) şi poarta k (la care se obţine un curent).

4.1 Formalismele de reprezentare a multiportilor4.1.1 Formalismul admitanţă

Formalismul admitanţă se exprima prin relatia matriciala in planul s: I(s)=Ys)U(s)

Pentru definirea formalismului de repatitie sunt necesareurmatoarele operatii preliminare:a). Normarea dupa rezistenta a elementelor de circuitb). “Marirea” la porti a multi-portilor

a) Normarea după rezistenţă. Se alege arbitrar o rezistenţă de normare R0iar folosind relatiile de mai jos, din valorile initiale notate cu majuscule ale rezistentelor, inductantelor si capacitatilor se obtin valorile normate, notate cu litere mici.

i i i0

i i i

R L c Rr C

ω ω= = =ω ωl

i ii i i 0 i

0 0

R Lr ; ; c R CR R

⇒ = = =l

OBSERVAŢIE: Comportamentul dinamic nu este afectat; constantele de timp nu se modifică:

i iRL RC i i i i 0

i i i i i i

L 1 1; R C rc ;R r L C c

τ = = τ = = ω = =l

l

4.2 Formalismul de repartiţie

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 5 STRUCURI DE UNIPORTI.

UNIPORTI CU UN SINGUR TIP DE ELEMENTE.

5.1 Structuri de uniporti

Uniportul elementar- este formati dintr-un singurelement de circuit:

- pasiv (rezisenta, inductanta sau capacitate) - activ (sursa de curent sau de tensiune)

Uniportul - este cazul partcicular (n=1), al n-portului cu o singura poarta, caracterizata prin doua marimi (curentul la poarta si tensiunea la poarta). Rezulta ca indiferent de complexitatea strucurii sale interne, uniportul are doar douaterminale prin care se poate conecta la exterior.


Uniportul pasiv - este format exclusiv din elemente de circuit pasive.Uniportul activ - contine cel putin un element de circuit activ (o sursa de curent sau de tensiune).

Structuri elementare de uniporti:- structura serie: contine exclusiv elemente de circuit conectatein serie- structura derivatie: contine exclusiv elemente de circuit conectate in paralel- structura mixta: contine elemente de circuit conectate atat in serie cat si in paralel

Pentru un uniport, functia de circuit, definita ca raportul TransformateiLaplace a raspunsului si respectiv excitatiei, este o imitanta:

- fie impedanta:

- fie admitanta:


Uniportul serie: impedanta echivalenta

Uniportul derivatie: admitanta echivalenta


Uniportul in scara infinita – tip a)

Determinarea inpedanteiechivalente


Uniportul in scara infinita – tip a)

Inpedanta echivalentaSchema echivalenta


Uniportul in scara infinita – tip b)

Determinarea inpedanteiechivalente


Uniportul in scara infinita – tip b)

Inpedanta echivalentaSchema echivalenta


5.2 Uniporti cu un singur tip de elemente

Uniportul pur rezistiv derivatie:

Determinarea conductanteiechivalente

Determinarea rezistenteiechivalente

Uniportul pur rezistiv serie:

Uniportul pur inductiv serie:

Determinarea inductanteiechivalente

Uniportul pur capacitiv serie:

Determinarea cpacitatiiechivalente

Uniportul pur inductiv derivatie:

Uniportul pur capacitiv derivatie:

Determinarea capacitatiiechivalente

Determinarea inductanteiechivalente

5.2 Uniporti cu un singur tip de elemente

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 6 UNIPORTI DE ORDINUL I.

6.1 Uniporti de ordinul I

Uniportul de ordinul I- contine doar elemente de circuit pasive

- consumatoare de energie: rezistente- acumulatoare de energie: (bobine, care acumuleazaenergia in campul magenetic propriu sau condensatoare, care acumuleaza energia in campul electric propriu)

- contine un singur element de circuit reactiv (inductanta saucapacitate)- in domeniul timp este caracterizat de o ecuatie diferentialade ordinul I, care stabileste legatura intre curentul sitensiunea la borne- functia de circuit este o functie rationala de ordinul I in planul s

Tipuri de uniporti de ordinul I- uniport RL - serie

- derivatie- uniport RC - serie

- derivatie

Uniportul RL serie1. Este caracterizat printr-o ecuatie diferentiala de ordinul I

deoarece contine un singur element de circuit reactiv2. Excitatia este tensiunea electromotaore e(t)3. Raspunsul este curentul i(t)

6.1 Uniporti de ordinul I6.1.1 Uniportul RL

Raspunsul uniportului RL serie:- pentru o excitatie treapta: e(t)=E pt. t>0 - se determina din ecuatia diferentiala de ordinul I a uniportului


Functia de circuit a uniportului RL serie:- se determina din ecuatia diferentiala de ordinul I a uniportului- dupa aplicarea Transformatei Laplace ecuatiei diferentiale se

expliciteaza functia de circuit: Y(s)=I(s)/U(s)


Functia de circuit a uniportului RL derivatie:

Functia de circuit a uniportului RC serie:- se determina din ecuatia diferentiala de ordinul I a uniportului- dupa aplicarea Transformatei Laplace ecuatiei diferentiale se

expliciteaza functia de circuit: Z(s)=U(s)/I(s)- constanta de timp a uniportului RC este:

6.1 Uniporti de ordinul I6.1.2 Uniportul RC

Functia de circuit a uniportului RC derivatie:

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 7 UNIPORTI DE ORDINUL II.

Uniportul LC serie-contine doua elemente de circuit reactive, deci este caracterizatde o ecuatie diferentiala de ordinul II- este excitat in tensiune iar raspunsul este curentul care se stabileste prin circuit- raspunsul in frecventa este datde impedanta complexa:

7.1 Uniporti de ordinul II

In cazul circuitelor pur reactive (R=0),Impedanta complexa se reduce la reactanta:

Uniportul LC serie - impedanta circuitului este:


Deci, impedanta circuitului devine:

Uniportul LC serie - variatia cu frecventa a functiei reactanta


In final, reactanta circuitului LC serieeste:

La frecventa de rezonanta, reactantauniportului este nula, deci circuitulprezinta un scurtcircuit.

Uniportul rLC serie-contine doua elemente de circuit reactive si unul rezistiv, deci estecaracterizat tot de o ecuatie diferentiala de ordinul II- este excitat in tensiune iar raspunsul este curentul prin circuit


Raspunsul in frecventa estedat de impedanta complexa:

Impedanta uniportului contine deci o parte rezistiva constanta r si o parte reactiva, dependenta de frecventa

In care: este pulsatia/frecventa de rezonanta

Uniportul rLC serie - variatia curentului functie de frecventailustreaza caracterul selectiv al circuitului


Folosind notatiile: - - care defineste factorul de calitate al circuitului

- ce defineste factorul de dezacord al circuitului

impedanta circuitului devine:

La rezonanta, dezacordul este nul, impedanta devine pur rezistiva iarcurentul prin unipor este maxim.

Uniportul LC derivatieeste un uniport pur reactiv de ordinul II- impedanta circuitului este:


Uniportul LC derivatie - variatia cu frecventa a functiei reactanta


La frecventa de rezonanta, reactantauniportului LC derivatie este infinita, deci circuitul se prezinta ca si cand arfi in gol.

In final, reactanta circuitului LC derivatieeste:

Uniportul rLC derivatie-contine doua elemente de circuit reactive si unul rezistiv, deci estecaracterizat tot de o ecuatie diferentiala de ordinul II- este excitat in curent iar raspunsul este tensiunea la borne


Pentru valori mici ale rezistentei, rapunsul in frecventa este dat de impedanta complexa:

Impedanta uniportului contine deci o componenta rezistiva, invariabilain frecventa cat si o componenta reactiva, dependenta de frecventa

Uniportul rLC derivatie - variatia tensiunii functie de frecventailustreaza caracterul selectiv al circuitului


Folosind notatiile: - - care defineste factorul de calitate al circuitului

- ce defineste factorul de dezacord al circuitului

impedanta circuitului devine:

La rezonanta, dezacordul este nul, iar tensiunea la bornele uniportuluieste maxima.

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 8 DIPORTI PASIVI.

DEFINIŢIE: Un diport este un circuit cu patru terminale (cuadripol) grupate în două porţi, numite (în sensul de transmitere a semnalelor) de intrare, respectiv de ieşire.

OBSERVAŢII:

1) în cazul diporţilor pasivi, semnalele pot circula şi în sens invers (lucru care se şi petrece în cazul reflexiilor, care produc unde inverse)

4) indiferent de funcţia principală îndeplinită, diporţii au un comportament selectiv în frecvenţă (comportament de filtru)

3) diporţii au funcţii (principale) diferite: amplificatori (diporţi activi), atenuatori, adaptori, filtre, linii de transmisie etc.

2) diporţii lucrează cel mai ades conectaţi în lanţuri, între o sursă de semnal şi o sarcină

8.1 Diporti pasivi

CONCLUZIE : Diporţii pasivi şi simetrici vor fi caracterizaţi prin doi parametri complecşi.

RAŢIONAMENT:

1) Un diport este caracterizat prin patru parametri complecşi.2) Orice diport pasiv este reciproc ceea impune o relaţie între parametri;

rămân trei parametri complecşi.3) Condiţia de simetrie mai reduce un parametru.

8.1 Diporti pasivi8.1.1 Impedanţa caracteristică

EXEMPLUL

Parametri impedanţă sunt, în cazul general:1 11 12 1

2 21 22 2

U z z IU z z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

a) condiţia de reciprocitate impune relaţia: 21 12z z=

b) condiţia de simetrie impune relaţia: 22 11z z=

Pentru diportul pasiv şi simetric, rezultă :1 11 12 1

2 12 11 2

U z z IU z z I⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vom caracteriza diporţii simetrici prin doi parametri complecşi: impedanţa caracteristică şi constanta de transfer.

DEFINIŢIE: Impedanţa caracteristică este impedanţa Zc care, conectată la o poartă,

face ca impedanţa de intrare la cealaltă poartă să fie egală tot cu Zc.Pentru diportul in T rezulta:

12Zl

12Zl

tZ CTZCTZ

t CT

CT

t CT

1Z Z Z1 2Z Z 12 Z Z Z

2

⎛ ⎞+⎜ ⎟⎝ ⎠= ++ +

l

l

l

2

CT tZZ Z Z4

= + ll


OBSERVAŢIE: Expresia stabilita:1) depinde de structura diportului elementar;2) sunt valabile numai pentru structurile elementare respective;

O relaţie mai generală foloseste impedantele de gol si scurt.12 Zl

12 Zl

tZ

0 t1Z Z Z2

= +l

tsc

t

1 Z Z1 2Z Z 12 Z Z2

= ++

ll

l

2

t

t

ZZ Z4

1Z Z2

+=

+

ll

l

2sc 0 CTZ Z Z⇒ =

Relaţia are un caracter general: c sc 0Z Z Z=

OBSERVAŢII:1) Expresia nu depinde de structura internă; Zc este exprimată în funcţie de

mărimi măsurabile la borne (impedantele de gol si scurtcircuit)


DEg

Zc

ZcU1 U2

I1 I2

Zc

Diportul conectat între impedanţe egale cu impedanţa sa caracteristică:

1 2c

1 2

U UZI I

= =−

1 1

2 2

U I eU I

θ= =−

DEFINIŢIE: Constanta de transfer (pe impedanţa caracteristică) este mărimea complexă θ definită prin relaţia:

1 1

2 2

U Ia jb ln lnU I

θ = + = =−

unde tensiunile şi curenţii sunt cei care se stabilesc atunci când diportul este conectat pe impedanţa sa caracteristică.

OBSERVAŢII:

1) Două relaţii între cele patru mărimi definesc cei doi parametri complecşi.2) Dacă diportul este conectat pe impedanţa sa caracteristică, tensiunile şi

curenţii sunt în egală măsură atenuaţi, respectiv defazaţi.

8.1 Diporti pasivi8.1.2 Constanta de transfer

Constanta de transfer are semnificaţia unei atenuări complexeexprimată logaritmic

1

2

j11

j2 2

U eUln lnU U e

ϕ

ϕ

⋅=

⋅( )1 2j1

2

Uln e

Uϕ −ϕ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1 2j1

2

Uln ln e

Uϕ −ϕ⎡ ⎤= + ⎢ ⎥⎣ ⎦ ( )1

1 22

Uln j

U= + ϕ − ϕ

[ ]1

2

Ua ln Np

U=1) Partea reală a constantei de transfer este atenuarea (reală):

2) Măsura în decibeli se poate obţine prin: dB Npa 8,686 a= ⋅

( )1 2 2 1b = ϕ − ϕ = − ϕ − ϕ = −ϕ

OBSERVAŢII:

3) Partea imaginară reprezintă defazajul intrării faţă de ieşire, deci opusul defazajului „clasic” (al ieşirii faţă de intrare):

4) Aceleaşi relaţii se aplică şi curenţilor.

8.1 Diporti pasivi8.1.2 Constanta de transfer

1) diporţii (cuadripolii) sunt caracterizaţi prin patru parametri complecşi;

2) diporţii pasivi (asimetrici) sunt reciproci şi sunt caracterizaţi prin treiparametri complecşi;

3) dacă sunt şi simetrici, rămân doi parametri complecşi;

4) la diporţii simetrici am găsit două moduri de lucru: pe impedanţa caracteristică, sau pe altă sarcină;

5) la diporţii asimetrici avem doua moduri de lucru:

pe impedanţe imagini

pe impedanţe oarecare

Caracterizarea diporţilor pasivi asimetrici

8.1 Diporti pasivi8.1.3 Impedanţe imagini

Eg

Zg=ZI1

Zs=ZI2U1 U2

I1 I2ZI2ZI1 2U2

DEFINIŢIE: Impedanţele imagine sunt doi parametri complecşi (ZI1 şi ZI2) ai diportului, astfel încât:

1) dacă impedanţa de sarcină este egală cu ZI2, impedanţa de intrare a diportului este egală cu ZI1

2) dacă impedanţa internă a sursei este egală cu ZI1, impedanţa de ieşire a diportului este egală cu ZI2.

1) Se poate afirma că: diportul „transformă” o impedanţă imagine în cealaltă.

OBSERVAŢII:

2) Dacă diportul este conectat pe impedanţele „sale” imagine, el lucrează adaptat la ambele porţi, deşi nivelele de impedanţe sunt diferite.


Dacă se cunoaşte matricea impedanţă a diportului:

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

U z I z IU z I z I

= +⎧⎨ = +⎩ Eg

Zg=ZI1

Zs=ZI2U1 U2

I1 I2

ZI2ZI1 2U2


( )

( )

211I1 11 22 12

22

222I2 11 22 12

11

zZ z z zz

zZ z z zz

⎧= −⎪

⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Relaţiile finale:

Se pot deduce relatiile prin care impedanteleImagini se exprima in functie de parametriiImpedanta ai diportului:

Pentru definirea constantei de transferpe imagini:

1 I1 1

2 I2 2

U Z IU Z I

=−

OBSERVAŢII:

1. Atenuările în tensiune şi în curent nu mai sunt egale.2. A propune două constante de transfer (în tensiune, respectiv în curent) este,

greşit deoarece:2.1. diportul asimetric trebuie să fie caracterizat prin numai trei parametri:

două impedanţe imagine şi o singură constantă de transfer pe imagini;

2.2. atenuările în tensiune, respectiv în curent nu sunt independente (rezultă chiar din relaţia de mai sus).

3. Abordarea corectă: se porneste de la atenuarea puterii complexe.

Eg

Zg=ZI1

Zs=ZI2U1 U2

I1 I2

ZI2ZI1 2U2


Pentru definirea constantei de transferpe imagini:

DEFINIŢIE: Constanta de transfer pe imagini este constanta θI definită prin:

I 1 1 1

2 2 2

P U IeP U I

θ = =−

1 I2 1 I1I I I

2 I1 2 I2

U Z I Za jb ln lnU Z I Z⎛ ⎞ ⎛ ⎞

θ = + = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1 I1 1

2 I2 2

U Z IU Z I

=−

Eg

Zg=ZI1

Zs=ZI2U1 U2

I1 I2

ZI2ZI1 2U2


Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 9 PROPAGAREA UNDELOR SI ADAPTAREA

DIPORTILOR.

2) Viteza de propagare a undelor electrice de-a lungul conductorului este egală cu viteza de propagare a câmpului electromagnetic prin mediul dielectric care înconjoară conductorul.

1) Energia electromagnetică se transmite, de-a lungul unui conductor, prin câmpul electromagnetic care îl înconjoară; de aici, o parte din ea este dirijată spreconductor, pentru a acoperi pierderile.

i

9.1 Propagarea undelor electromagnetice

La o anumită frecvenţă, apare o repartiţie spaţială armonică.„Perioada” spaţială este legată de perioada temporală prin:

vv Tf

λ = ⋅ =

1) Dacă cea mai mare dimensiune geometrică a circuitului este neglijabilă faţă de cea mai mică lungime de undă, fenomenul de propagare se neglijează. Circuitul este cu constante concentrate sau în regim cvasi-staţionar.

2) Dacă dimensiunile geometrice ale circuitului sunt comparabile sau mai mari decât lungimea de undă, circuitul este cu constante distribuite sau în regim de linie lungă.

3) O linie lungă este caracterizată printr-o impedanţă caracteristică şi o constantă de transfer şi poate fi modelată printr-un lanţ de diporţi.

Dacă unda ce se propagă printr-un lanţ de transmisie întâlneşte o secţiune în care nu se respectă condiţia de adaptare se produce un fenomen de reflexie–refracţie:

Eg

Zg

Zs

I

U

Ui

Ur

Ut

Undele reflectate: s g g sr i r i

g s g s

Z Z Z ZU U ; I I

Z Z Z Z− −

= =+ +

Undele refractate (transmise): gst i t i

g s g s

2Z2ZU U ; I IZ Z Z Z

= =+ +

Factori de reflexie/refracţie:

s g g srU rI

g s g s

Z Z Z ZK ; K

Z Z Z Z− −

= =+ +

gstU tI

g s g s

2Z2ZK ; KZ Z Z Z

= =+ +


Teoria clasică: gsg

g s g s

ERU E ; IR R R R

= =+ +

Undele directe:

g gi i

g

E EU ; I

2 2R= =

Undele reflectate:

s g g g s gr r

g s g s g

R R E R R EU ; I

R R 2 R R 2R− −

= ⋅ = ⋅+ +

Eg

Rg

Rs

I

U

OBSERVAŢIE: Unda directă se propagă ca şi cum întregul lanţ ar fi adaptat. Abia la întâlnirea secţiunii neadaptate unda „constată” neadaptarea şi, prin unda reflectată, „informează” lanţul din amonte.

Undele transmise:

s siaval t i

g s g s

2R REU U E UR R 2 R R

= = = =+ +

g i iaval t

g s g g s

2R E EI I IR R 2R R R

= = = =+ +

Undele reflectate sunt nule dacă impedanţele amonte şi aval sunt egale,deci când secţiunea este adaptată.


OBSERVAŢII:

1) Adaptarea nu urmăreşte transferul maxim de putere.

2) Adaptarea urmăreşte eliminarea reflexiilor (multiple) care apar în secţiunilede neomogenitate:

Ut1

Ut2

Ut3

Ui

Zc1 Zc2 Zc3

t t1 t2 t3U U U U= + + +K

3) Undele transmise succesive sunt atenuate şi defazate (întârziate) corespunzător parcurgerii dus-întors a distanţei între cele două secţiuni.


Eg

Zg

ZgU1 U2

I1 I2

Zc ; θ

Eg

Zg

ZgU

ICand urmărim asigurarea adaptării,apar două situaţii:

Pentru ca diportul să nu introducă alte atenuări(în afara constantei de transfer), trebuie ca:

I1 g

I2 s

Z Z

Z Z

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

s gZ Z=⎯⎯⎯⎯→ I1 I2 cZ Z Z= =

1) Pentru ca inserarea unui diport să nu afecteze adaptarea pre-existentă în acea secţiune, diportul trebuie să fie simetric.

2) Un diport simetric poate menţine adaptarea (dacă Zc = Zg = Zs), dar nu poate realiza adaptarea.

OBSERVAŢII:

a) secţiunea era adaptată: s gZ Z=

9.2 Adaptarea diportilor

b) secţiunea nu era adaptată: s gZ Z≠

I1 g

I2 s

Z Z

Z Z

=⎧⎪⎨ =⎪⎩

s gZ Z≠⎯⎯⎯⎯→ I1 I2Z Z≠

OBSERVAŢII:

1) Diportul trebuie să fie asimetric.

2) Un diport asimetric poate realiza adaptarea, dar nu poate menţine adaptarea.

3) Atenuarea de inserţie trebuie să „acopere” diferenţa dintre atenuarea de neadaptare pre-existentă şi constanta de transfer pe imagini.

Lanţul realizat poate deveni adaptat dacă:

4) Se înlocuieşte atenuarea de neadaptare cu o atenuare dată de constanta de transfer. Ce se câştigă?

se elimină reflexiile!

Eg

Zg

ZsU1 U2

I1 I2

ZI1, ZI2

Eg

Zg

ZsU

I


Cand urmărim asigurarea adaptării,apar două situaţii:

DEFINIŢIE: Un lanţ de diporţi este adaptat dacă, în orice secţiune a sa, impedanţa echivalentă amonte este egală cu impedanţa echivalentă aval.

D1 Dk DnEg

Zg

Zs

Ze amonte=Ze aval

DkEgk

Zgk

Zsk

DECHEg

Zg

Zs

Ze amonte=Ze aval


DEFINIŢIE: Un lanţ de diporţi simetrici este adaptat dacă sunt îndeplinite, simultan, condiţiile:

1) Toţi diporţii au aceeaşi impedanţă caracteristică (Zc); diporţii pot avea constante de transfer diferite (θ1, θ2, ..., θn).

2) Impedanţa de sarcină este egală cu impedanţa caracteristică.

3) Impedanţa internă a sursei este egală cu impedanţa caracteristică.

D1 D2 DnEg

Zc

ZcU1 U2 U3 Un Un+1

Atenuarea complexă globală:

1 1 2 n 1 n

n 1 2 3 n n 1

U U U U UU U U U U

−

+ += ⋅ ⋅L 1 2 n 1 n−⇒ θ = θ + θ + +θ + θL

1) Atenuarea (reală) globală este (în termeni logaritmici) suma atenuărilor diporţilor.

2) Defazajul global este suma defazajelor introduse de diporţi.


Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 10 CIRCUITE DE ADAPTARE A DIPORTILOR.

PROBLEMA: dorim să inserăm un diport (cu o funcţie principală oarecare) într-un lanţ pre-existent, astfel încât să menţinem, sau să realizăm, după caz, condiţiile de adaptare.

1) Un diport simetric inserat într-o secţiune adaptată poate menţine condiţia de adaptare dacă este proiectat astfel încât parametrul său impedanţă caracteristicăsă fie egal cu valoarea comună a impedanţelor echivalente aval şi amonte.

2) Un diport asimetric inserat într-o secţiune adaptată nu poate menţine condiţia de adaptare.

3) În general, un diport simetric inserat într-o secţiune neadaptată nu poate realizacondiţia de adaptare a lanţului.

4) Un diport asimetric inserat într-o secţiune neadaptată poate realiza condiţia de adaptare dacă este proiectat să lucreze în modul de lucru pe imagini.

CONCLUZII

10.1 Problema adaptării unui lanţ de diporţi

:

a) un diport simetric, proiectat în modul de lucru pe impedanţa caracteristicăpoate conserva adaptarea într-o secţiune adaptată;

b) un diport asimetric, proiectat în modul de lucru pe impedanţe imaginepoate realiza adaptarea într-o secţiune neadaptată;

10. 2 Adaptarea prin transformator ideal

Transformatorul ideal:

1) este un transformator perfect (cu factor de cuplaj unitar, deci cu fluxde pierderi nul);

admite salturi ale curenţilor, cu condiţia ca acestea să se compenseze.

2) rezistenţa înfăşurărilor este nulă;

nu prezintă pierderi prin efect Joule si deci nu consumă putere activă.

3) inductanţele înfăşurărilor tind la zero, astfel încât raportul lor esteconstant şi egal cu pătratul raportului de transformare;

nu este selectiv în frecvenţă, nu impune un regim tranzitoriu.

Raportul de transformare: 21

2 1

IU nU I

= =

Condiţia de adaptare în primar:

21 2g IN1 s

21

U nUR Z n RIIn

= = = =

OBSERVAŢII:1) Se asigură adaptarea şi în secundar ?

Da, deoarece: 1

2IN2 g s2

2 1

UU 1nZ R RI nI n

= = = =− −

2) Puterea activă transferată în primar se regăseşte pe sarcină.

g

s

Rn

R⇒ =

3) Adaptarea se realizează la toate frecvenţele.

4) Din: , înfăşurarea cu mai multe spire se amplasează spre

rezistenţa mai mare.

1

2

LnL

=

n :1Rg

Rs

Eg

I1 I2

U1 U2


n :1Rg

Rs

Eg

I1 I2

U1 U2

EXEMPLU: g sR 20 ; R 4= Ω = Ω

g

s

R 20n 2,236R 4

⇒ = = = g1

2 s

RLL R

= 20 54

= =

OBSERVAŢII:

1) Pentru dimensionare, este necesară o condiţie suplimentară.


CONCLUZII:

1) Evident, transformatorul ideal nu poate fi realizat, practic

2) Am arătat cum se poate proiecta un adaptor printr-un transformator real.

3) Un transformator nu este doar un transformator de tensiune (curent), ci şi un transformator de impedanţă.

4) Orice adaptor este, în fond, un „transformator” de impedanţă.

OBSERVAŢII:

1) Deoarece adaptarea se poate realiza numai la frecvenţa de lucru, putem impune comportamentul adaptorului la alte frecvenţe.

2) În proiectarea adaptorilor se impun reactanţele acestuia la frecvenţa de lucru.

PRINCIPIUL rejecţiei unor frecvenţe se bazează pe fenomenul de rezonanţă LC

Circuitele rezonante vor fi proiectate astfel ca să satisfacă, simultan, condiţiile:

a) La frecvenţa de lucru să prezinte o reactanţă echivalentă egală cu cea rezultată din proiectarea adaptorului.

b) La frecvenţa de rezonanţă să asigure un zero de transmisie.

Una sau mai multe dintre reactanţele adaptorului se înlocuiesc cucircuite LC serie sau paralel.

10. 3 Rejecţia unor frecvenţe

REAMINTIM:

1) Reactanţa echivalentă este o funcţie monoton crescătoare cu frecvenţa.

2) Pentru circuitul LC-serie:

XL XC

X

ω0ω

Ces

0ω < ωl

Les

0ω > ωl

3) Pentru circuitul LC-derivaţie:

XL

XC

X

ω0ω0ω < ωl

Lep

Cep

0ω > ωl


Pe de altă parte, un zero de transmisie se poate obţine cu:

1) un circuit serie plasat transversal: U = 0

2) un circuit derivaţie plasat longitudinal:I = 0

Zaval

Zaval


X

ωωl

0ω < ωl

X

ωωl 0ω > ωl

În faza de proiectare se cunoaşte frecvenţa de lucru şi se urmăreşte rejecţia altor frecvenţe.

a) pentru rejecţia unei frecvenţe mai mici decât cea de lucru:

b) pentru rejecţia unei frecvenţe mai mari decât cea de lucru:


CONCLUZII PRIVIND ADAPTAREA LANTURILOR DE DIPORTI

1) Adaptarea elimină reflexiile undelor electrice.

2) Adaptarea nu poate fi realizată decât la o frecvenţă (de lucru) şi, doar cu aproximaţie în jurul ei.

3) Caracteristicile de frecvenţă ale diferitelor soluţii pot sta la baza alegerii soluţiei potrivite.

4) Adaptorii pot, suplimentar, rejecta alte frecvenţe decât cea de lucru.

5) Din aproape în aproape se poate ajunge la structuri relativ complicate, cu caracteristici de frecvenţă diferite.


Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 11 FILTRE DE TIP K-CONSTANT.

Consideraţii preliminare:

1. Filtrele studiate în acest capitol sunt diporţi simetrici, nedisipativi, care lucrează într-un lanţ de transmisie adaptat.

2. Adaptarea este imposibilă la orice frecvenţă, deci caracteristicile reale vor diferi de cele teoretice, dar:

3. O categorie de filtre (compuse) vor fi caracterizate printr-o impedanţă caracteristică ce va aproxima foarte bine o rezistenţă constantă într-o bandă relativ largă.

Vom exprima impedanţele de mers în gol şi în scurtcircuit în funcţie de:> structura propusă,> parametrii circuitului,> frecvenţă.

11.1 Consideratii generale

diport simetric: scc 0 sc

0

ZZ Z Z ; thZ

= θ =

nedisipativ: scc 0 sc

0

XZ X X ; thX

= − θ =

A. la frecvenţele la care 0 scX X 0< ( ) ( ) ( ) ( )c 0 sc cZ X X Rω = ω ω = ω

dacă diportul lucrează pe Rc(ω): a 0⇒ =

Atenuarea este nula deci suntem într-o bandă de trecere.

B. la frecvenţele la care atenuarea este neuladeci suntem într-o bandă de oprire.

0 scX X 0>

( ) ( ) ( ) ( )c 0 sc cZ j X X j Xω = ω ω = ω

Dacă diportul lucrează pe Xc(ω): b 0, ,2π

⇒ = ± ± π


scc 0 sc

0

XZ X X ; thX

= − θ =

scc 0 sc

0

XZ X X ; thX

= − θ =

0 scX X 0< ( ) ( )c cZ Rω = ω a 0=

0 scX X 0> ( ) ( )c cZ j Xω = ω b 0,= ± π

BT: ( ) ( )bθ ω ⇒ ω

( ) ( )aθ ω ⇒ ωBO:

OBSERVAŢII:

1) Frecvenţele de tăiere sunt frecvenţe la care una şi numai una dintre reactanţele de mers în gol şi în scurt schimbă semnul.

2) Sunt deci frecvenţe de rezonanţă în gol sau în scurt.


Zl

t2Zt2Z cZ ΠcZ Π

Celule de bază (simetrice) in T si in ∏ :

12Zl

12Zl

tZ cTZcTZ

Caracteristici normate in frecventa: frecventa normata este notata cu x iar factorul de normare este k

2

t

Z2x2Z

=− l

A.- În banda de trecere (a = 0)

cu condiţia: x 1≤

B.- În banda de oprire: | x | > 1, deci: 1 – 2 x2 < -1

In banda de oprire, defazajul poate fi numai:

b=±π

11.2 Caracteristici de frecventa

BT:( )( )

a x 0

b x 2arcsinx

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

BO:( )( )

a x 2argch x

b x

⎧ =⎪⎨

= ± π⎪⎩

( )x kω = ω

Schimbarea de variabilă :

( )x x= ω

5,7 dB

8,4 dB

x

a

BO BO

a

bπ

-πBT

a, b

BT:( )( )

a x 0

b x 2arcsinx

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

BO:( )( )

a x 2argch x

b x

⎧ =⎪⎨

= ± π⎪⎩

OBSERVAŢII:

1) Caracteristicile sunt normate, deoarece „frecvenţele” de tăiere sunt unitare.

2) Caracteristicile sunt şi universale, deoarece caracteristicile FTJ, FTS si FTBpoate fi obţinută din acestea. Trebuie doar stabilită legătura între variabila normată x şi frecvenţa ω.


ω

x

0 ωi ω0 ωs ∞→ → → → tip

5,7 dB

8,4 dB

x

a

BO BO

a

bπ

-πBT

a, b

EXEMPLU: FTJ cu freceventa de taiere si frecventa de taiere normata (unitara)

FTJ0 1 ∞→ →

Cazul particular al fitrului trece jos (FTJ)

ω0

( )x kω = ω


0

1k =ω

( )0

x ωω =

ω

DEFINIŢIE:

Filtrele de tip K-constant sunt filtrele la care: tZ Z K const.= =l

Pentru structura în T: 2

cT tZZ Z Z4

= + ll notaţie: tR Z Z= l

ATENŢIE: este doar o notaţie, un parametru al filtrului, nu este o rezistenţă fizică!

cTt

ZZ R 14 Z

= + l 2cTZ R 1 x⇒ = −

Pentru structura în П: cT c tZ Z Z ZΠ = l2R=

2

ccT

RZZΠ⇒ = c 2

RZ1 x

Π⇒ =−

11.3 Impedanţa caracteristică a filtrelor K-constant

2cTZ R 1 x= − c 2

RZ1 x

Π =−

cT cZ Z,R R

Π

cR Π

cTR

cTX

cTXcX Π

cX Π

x

11.3 Impedanţa caracteristică a filtrelor K-constant

a) caracteristicile deduse se obţin dacă filtrul lucrează adaptat;

CONCLUZIE:

Filtrul nu poate lucra adaptat la orice frecvenţă, deci caracteristicile deduse nu pot fi realizate cu circuite RLC

SOLUŢIE:

Filtrul este proiectat să lucreze adaptat la o anumită frecvenţă.

11.4 Adaptarea celulelor de tip K

c) interesează adaptarea în banda de trecere;d) unele structuri (compuse) vor fi proiectate astfel ca rezistenţa caracteristică

să aproximeze o rezistenţă constanta, într-o bandă cât mai largă;e) chiar şi fără această „corecţie”, vom putea „regla” frecvenţa la care se

realizează adaptarea.

b) în banda de oprire componentele sunt (mult) atenuate, deci efectulneadaptării este redus;

OBSERVATII:

Trei puncte de vedere:

1) adaptarea peste tot este imposibilă

2) adaptarea se urmăreşte în BT

3) depinde de structură

R

R

Rs

RCT

x-1 10 x0-x0

a) dacă adaptarea se realizează la x = 0, impedanţa caracteristică pentru cele două structuri coincide: RcT = RcΠ = R;

b) dacă adaptarea se realizează la 0 < | x0 | < 1, expresiile impedanţelor caracteristice depind de structură.

R

R

Rs

RCП

x-1 10-x0 x0

se alege: R = Rsse alege: R > Rs se alege: R < Rs

11.4 Adaptarea celulelor de tip K

( ) ( )t1Z j L ; Z

j Cω = ω ω =

ωl

12 L 1

2 L

C22

t

Z LCx4Z 4

ω⇒ = − =l

L

1 C2

1 C2

LCx2

ω= Frecvenţa de tăiere: t

tLC 21

2 LCω

= ⇒ ω =

ωtω

a, b

ωtω

CT CZ , Z Π

R

tx ω=ω

doar o denormare în frecvenţă

11.5 Celula FTJ de tip K

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 12 FILTRE DERIVATE-m.

12.1 Conectarea în lanţ a celulelor de filtrare

Celulele de tip K-constant, aspecte pozitive şi negative:

> structuri simple, relaţii de dimensionare simple;

> atenuarea în BO tinde la infinit (departe de BT);

> atenuarea în BT creşte relativ lent lângă BT;

> rezistenţa caracteristică variază mult în BT.

Soluţii:

a) utilizarea lanţurilor de mai multe celule identice;

b) utilizarea unor celule derivate (modificate);

OBSERVAŢIE:

Efectele negative se manifestă cu precădere în apropierea frecvenţelor de tăiere.

Efectele conectării în lanţ: Constanta de transfer pentru filtre cu una, două, trei celule TJ

1) Adaptarea se realizează în origine (la frecventa nula)si acolo, cele trei filtre se comportă identic.

2) La frecvenţa de tăiere (1 MHz)atenuările sunt:

- o celulă: 3 dB- două celule: 7 dB- trei celule: 10 dB

1

2

3


Efectele conectării în lanţ:

1

2

3

4) Atenuarea în BO: la frecvenţa de 1,1 MHz.

- o celulă: 4,4 dB

- două celule: 11,8 dB- trei celule: 19,4 dB


Constanta de transfer pentru filtre cu una, două, trei celule TJ

12.2 Filtre derivate

OBSERVAŢII:

1) Filtrele se numesc derivate deoarece ele derivă (se obţin) din filtrele K.

2) Filtrele de tip K au:

> pozitiv – o atenuare foarte mare departe de frecvenţa de tăiere;

> negativ – o slabă delimitare a benzilor.

4) Filtrele derivate urmăresc delimitarea netă a benzilor.

3) Filtrele derivate sunt proiectate să lucreze în lanţ cu celule K.

5) Delimitarea benzilor se realizează introducând atenuări infinite în apropierea frecvenţelor de tăiere.

=> au aceeaşi impedanţă caracteristică;

=> au aceleaşi frecvenţe de tăiere.

6) În locul impedanţelor: vor apare impedanţele modificate:tZ , Zl m tmZ , Zl

mZ mZ=l l

2

tm t1 1 mZ Z Zm 4m

−= + l 0 m 1< ≤

12 Zl

12 Zl

tZ cTZcTZ

m2 Z l

m2 Z l

1tm Z

cTZcTZ21 m

4 m Z−l

OBSERVAŢII:

1) impedanţa longitudinală este redusă prin factorul m.

2) impedanţa transversală este crescută prin factorul 1/m.

3) în serie cu impedanţa transversală se plasează o impedanţă de natura celei longitudinale.

m = factor de derivare (real, pozitiv).

CTm CTZ Z

12.3 Celule derivate in T

=2 2

mm tm t

Z ZZ Z Z Z4 4

⇒ + = +l ll l

mZ mZ=l l

2

tm t1 1 mZ Z Zm 4m

−= + l 0 m 1< ≤

Variabila normată: m2m

tm

Zx

4Z= − l

2

t

mZ4 1 mZ Zm m

= −−

+

l

l

( )2 2

2m 2 2

m xx1 1 m x

=− −

OBSERVAŢII:

1) xm parcurge caracteristicile universale deduse anterior;

2) x este o variabilă normată (şi ea) care parcurge caracteristicile universale (pe care le vom determina) ale filtrelor derivate.


0 m 1< ≤( )

2 22m 2 2

m xx1 1 m x

=− −

2 2m 2 2 2

1 1 1x 0 x x x x1 m 1 m 1 m

∞ ∞> ⇒ < ⇒ − = − < < =− − −

1) Caracteristica universală este „strânsă” în intervalul: .( )x ; x∞ ∞− Ce este ? x∞

OBSERVAŢII:

2) Dacă: mx x x a∞→ ± ⇒ → ± ∞ ⇒ →∞

3) Atenuarea este infinită doar în prezenţa unei rezonanţe serie într-o latură transversală, sau o rezonanţă derivaţie într-o latură longitudinală.

( )2

tm t1 1 mZ x Z Zm 4m∞

−= + l ( )2

tt

Z1 Z 1 1 mm 4Z

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

⎣ ⎦l ( )2 2

t1 Z 1 1 m x 0m ∞

⎡ ⎤= − − =⎣ ⎦


xm

a

BO BO

a

bπ

-πBT

a, b

x

a

BO BO

a

b

π

-πBT

a, b

2

1x1 m

∞ =−

x∞−

1 mln1 m+⎛ ⎞

⎜ ⎟−⎝ ⎠

x

mx

−∞ 2

1

1 m−

− 2

1

1 m−1− 0 1 ∞

2

m

1 m− 2

m

1 m−−∞∞

−∞∞1− 0 1


Caracteristici separate

FTJk

FTJm2

Celule în lanţ:

k

m1

m2<m1

a

f

Compunerea caracteristicilor

a

f

O soluţie bună: ( )m 1 k x

m 0,8 x 1,66m 0,6 x 1,25

∞

∞

∞

⎧ = → = ∞⎪

= → =⎨⎪ = → =⎩

FTJm1


12.4 Dimensionarea celulelor derivate

OBSERVAŢIE:Celulele derivate se obţin din celulele de tip k-constant; şi dimensionarea

va porni de la aceste celule.

Etape:

1. Se determină impedanţele longitudinale şi transversale ale celulei k.

2. Se aplică relaţiile de derivare:m

2

tm t

Z mZ

1 1 mZ Z Zm 4m

=⎧⎪⎨ −

= +⎪⎩

l l

l

t

Z j L1Z

j C

= ω⎧⎪⎨ =⎪ ω⎩

l m

2

tm t

Z mZ

1 1 mZ Z Zm 4m

=⎧⎪⎨ −

= +⎪⎩

l l

l

t2

t

L mLC mC

1 mL L4m

=

=

−=

l

3. Relatiile de dimensionare pentru celula FTJ de tip derivat-m :

EXEMPLU: t sf 1MHz ; R 300 ; f 1,25 MHz∞= = Ω =

28,65 Hμ 28,65 Hμ

636 pF

25,47 Hμ

47,75 Hμ 47,75 Hμ

1,06 nFL 95,5 H ; C 1,06 nF= μ =Celula k-constant:

Din: 2t

f 1xf 1 m∞

∞ = =−

2 21 1m 1 1 0,6

x 1,25∞

⇒ = − = − =

Dimensionarea celulei derivate:

L mL 0,6 95,5 57,3 H= = ⋅ = μl

tC mC 0,6 1,06 0,636 nF= = ⋅ =2 2

t1 m 1 0,6L L 95,5 25,47 H

4m 4 0,6− −

= = = μ⋅

12.5 Celula FTJ de tip derivat-m

158

28,65 Hμ 28,65 Hμ

636 pF

25,47 Hμ

47,75 Hμ 47,75 Hμ

1,06 nF

0,312 (-10 dB)

2,16 MHz

916 kHz 1 MHz

0,707

EXEMPLU: t sf 1MHz ; R 300 ; x 1,25∞= = Ω = ; m 0,6=

12.5 Celula FTJ de tip derivat-m

Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 13 APROXIMAREA DE TIP MAXIM-PLAT A FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

13.1. Principiul maxim-plat

DEFINIŢIE:Aproximarea de tip maxim-plat este aproximarea la care valoarea funcţiei

aproximante şi primele sale derivate coincid, în origine, cu valoarea şi derivatele corespunzătoare ale funcţiei obiectiv.

ECHIVALENT:

Aproximarea se aplică pătratului modulului funcţiei aproximante.

Eroarea se anulează în origine dacă funcţia este normată: 0 0a b 1= =

Eroarea de aproximare în BT este: ( ) ( ) 22 1 H jε ω = − ω

Funcţia normată se poate scrie: ( )2 4 2m2 1 2 m2 4 2n

1 2 n

1 c c cH j1 d d d+ ω + ω + + ω

ω =+ ω + ω + + ω

L

L

EXEMPLU:( ) 1

22 1

b s 1H sa s a s 1

+=

+ +( ) 1

22 1

1 j bH j1 a j a

+ ω⇒ ω =

−ω + ω

( )( )

2 22 122 2 2

2 1

1 bH j1 a a

+ ωω =

− ω + ω ( )2 21

2 2 2 41 2 2

1 b1 a 2a a

+ ω=

+ − ω + ω

Final: ( )22 1

2 41 2

1 cH j1 d d

+ ωω =

+ ω + ωunde: 2 2 2

1 1 1 1 2 2 2c b ; d a 2a ; d a= = − =

ALTFEL:

( ) ( ) ( )( )( )( )

1 12 2

2 1 2 1

1 b s 1 b sH s H s

1 a s a s 1 a s a s

+ −− =

+ + + − ( )2 2122 2 2

2 1

1 b s

1 a s a s

−=

+ −

( )2 21

2 2 2 41 2 2

1 b s1 a 2a s a s

−=

− − +


Funcţia aproximantă depinde de m+n coeficienţi:

( )2 4 2m2 1 2 m2 4 2n

1 2 n

1 c c cH j1 d d d+ ω + ω + + ω

ω =+ ω + ω + + ω

L

L

1. Prin normare, am asigurat eroarea nulă în origine.

2. Pentru determinarea celorlalţi coeficienţi, mai trebuie să punem m+n condiţii:2.1. n-1 condiţii servesc la aplatizarea caracteristicii;2.2. ceilalţi coeficienţi se determină din alte condiţii de proiectare,

care nu ţin de aplatizare.

3. Din definiţia erorii: rezultă că derivatele acesteia sunt derivatele funcţiei aproximante cu semn schimbat.

( ) ( ) 22 1 H jε ω = − ω

OBSERVAŢII:


( )2 4 2m2 1 2 m2 4 2n

1 2 n

1 c c cH j1 d d d+ ω + ω + + ω

ω =+ ω + ω + + ω

L

L

Împărţind numărătorul la numitor, funcţia aproximantă se poate scrie:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 41 1 2 2 1 1 1H j 1 c d c d d c d⎡ ⎤ω = + − ω + − − − ω +⎣ ⎦ L

Anulând primele n-1 derivate în origine, rezultă, succesiv:

1 1 2 2 m m m 1 n 1c d ; c d ; c d ; d 0 ; d 0+ −= = = = =L L

Funcţia aproximantă devine:

( )2 4 m2 1 2 m

2 4 m 2n1 2 m n

1 d d dH j1 d d d d

+ ω + ω + + ωω =

+ ω + ω + + ω + ωL

L

( )( )

2m

2 2nm n

A

A d

ω=

ω + ω

OBSERVAŢIE: Derivarea se face în raport cu .ω2


13.2 Aproximarea Butterworth

Aproximarea Butterworth este o aproximare de tip maxim-plat a caracteristicii amplificării, pentru funcţii aproximante fără nuluri finite:

( )2mA 1ω =

Considerând: , se obţine o normare în frecvenţă ce urmează a fi explicată mai jos.

nd 1=

Rezultă: ( ) 22n

1H j1

ω =+ ω

OBSERVAŢII:

1) În urma normării în amplitudine, amplificarea în origine este unitară şi este şi amplificarea maximă în BT.

2) La frecvenţa unitară, indiferent de ordinul aproximării, amplificarea scade cu 3 dB:

( ) max1 2n

A1A21 1

ω=ω = =+ ω ω =

Caracteristici Butterworth pentru câteva ordine de aproximare.

Eroarea de aproximare este:

în BT: ( ) ( )err 1 Aω = − ω

în BO: ( ) ( )err Aω = − ω

OBSERVAŢIE: Am reprezentat amplificarea şi nu funcţia aproximantă (care este pătratul amplificării).

n 1=n 2=

n 5=n 10=

0 1 2 3

1A

0,3

0,7−

0 1 2 3

err


La frecvenţe mari, departe de frecvenţa de tăiere, panta asimptotică este de 20n dB/dec, respectiv 6n dB/oct.

În locul amplificării se poate utiliza atenuarea:

( ) ( )2n 2nNpa ln 1 0,5ln 1ω = + ω = + ω

sau:( ) ( )2n 2n

dBa 20lg 1 10lg 1ω = + ω = + ω

OBSERVAŢIE: Caracteristica normată Butterworth depinde de un singur parametru: ordinul său.

Ordinul aproximării se determină din datele de proiectare.

a. Se cere o anumită pantă asimptotică.b. Se acceptă atenuarea maximă de 3 dB în BT şi se cere o anumită

atenuare la o frecvenţă dată în BO.

Să analizăm trei variante:

c. Se cere o atenuare maximă la o frecvenţă în BT şi o atenuare minimăla o frecvenţă în BO.


EXEMPLU: Să se determine ordinul aproximării Butterworth care asigură o pantă asimptotică de minim a 54 dB / dec.Δ =

SOLUŢIE:Panta asimptotică este, în general: a 20n dB / dec.Δ =

F.d.c. astfel determinată asigură o pantă asimptotică:a 20 3 60 dB / dec. 54 dB / dec.Δ = ⋅ = >

Rezultă ordinul aproximării: a 54n 2,720 20Δ

= = =

Se alege întregul imediat superior: n 3=

a. Se cere o anumită pantă asimptotică.


Punem condiţia de gabarit la frecvenţa :1ω

( ) ( )2ndB 1 1 mina 10lg 1 aω = + ω ≥

Rezultă, succesiv:

( )2n1 minlg 1 0,1a+ ω ≥ min0,1a2n

11 10+ ω ≥ min0,1a2n1 10 1ω ≥ −

( )min0,1a12n lg lg 10 1⋅ ω ≥ − ( )min0,1a

1

lg 10 1n

2 lg

−≥

ω

Caracteristica trebuie să treacă prin punctele: şi „pe sub” punctul:

( ) ( )0 ; 1 , 1; 0,707( )1 min; 1/ aω

ω1ω1

min1/a

1A

b. Se acceptă atenuarea maximă de 3 dB în BT şi se cere o anumită atenuare la o frecvenţă dată în BO.


b. Se acceptă atenuarea maximă de 3 dB în BT şi se cere o anumită atenuare la o frecvenţă dată în BO.

EXEMPLU:Să se determine ordinul aproximării Butterworth care asigură o atenuare de minim la frecvenţa normatămina 21dB= 1 1,8ω =

SOLUŢIE:Aplicăm relaţia dedusă anterior:

( )2,1lg 10 1n

2 lg1,8

−≥ ( )lg 124,89

4,12 lg1,8

= =

Se alege: n 5=

1 1,8

1

0,089 21dB= −0,052 25,7 dB= −

0,707 3 dB= −


c. Se cere o atenuare maximă la o frecvenţă în BT şi o atenuare minimă la o frecvenţă în BO.

Dacă problema s-ar trata ca în cazul precedent, s-ar pune două condiţii pentru determinarea unei singure necunoscute (ordinul).

Vom impune condiţiile în termenii frecvenţelor

nenormate:

( )( )

1 max 1 t

2 min 2 t

a a ;

a a ;

⎧ ω ≤ ω < ω⎪⎨

ω ≥ ω > ω⎪⎩

şi le transpunem în termenii frecvenţelor

normate:

2n1

maxt

10lg 1 a⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ ≤⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2n2

mint

10lg 1 a⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ ≥⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

max

2n0,1a1

t10 1

⎛ ⎞ω≤ −⎜ ⎟ω⎝ ⎠

min

2n0,1a2

t10 1

⎛ ⎞ω≥ −⎜ ⎟ω⎝ ⎠

min

max

2n 0,1a2

0,1a1

10 110 1

⎛ ⎞ω −≥⎜ ⎟ω −⎝ ⎠

min

max

0,1a

0,1a2

1

1 10 1n lg10 12 lg

⎛ ⎞−≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ω −⎝ ⎠

ω



Pentru denormarea în frecvenţă a funcţiei aproximante obţinute,trebuie aleasă frecvenţa de tăiere (denormată).

OBSERVAŢII:

1) Prin rotunjirea în sus a ordinului rezultat din calcul, gabaritele sunt„ocolite” cu o rezervă.

2) Ca urmare, prin alegerea frecvenţei de tăiere se poate „aşeza”caracteristica între:

> a respecta la limită gabaritul inferior şi > a respecta la limită gabaritul superior.

3) Cele două limite sunt date de:2n

1max t1

t110lg 1 a

⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ = ⇒ ω⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2n2

min t2t2

10lg 1 a⎡ ⎤⎛ ⎞ω⎢ ⎥+ = ⇒ ω⎜ ⎟ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

sau:



EXEMPLU:

Se dau condiţiile de gabarit:

1 max

2 min

5 a 1dB15 a 15 dB

ω = → =⎧⎨ω = → =⎩

1,5

0,11 10 1n lg 2,1715 10 12 lg

5

⎛ ⎞−≥ =⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Frecvenţele de tăiere limită rezultă:

t1 t26,26 ; 8,48ω = ω =

Se alege: n 3=

3 dB−

15 dB−

1dB−

6,26 8,48

5 15


Analiza şi Sinteza CircuitelorCursul 14 APROXIMAREA DE TIP MINI-MAX A FUNCŢIILOR DE CIRCUIT

14.1 Principiul mimi-max

( )( )( )n

cos n arccos , 0 1C

ch n argch , 1

⎧ ⎡ ⎤ω < ω <⎪ ⎣ ⎦ω = ⎨⎡ ⎤ω ω >⎪ ⎣ ⎦⎩

Relaţia de recurenţă: ( ) ( ) ( )n n 1 n 2C 2 C C− −ω = ω ω − ω

cu condiţiile de start: ( ) ( )0 1C 1; Cω = ω = ω

Aproximările care urmează admit ondulaţii controlate ale caracteristicilor în zona aproximată.Criteriul mini-max urmăreşte realizarea unor maxime egale între ele şi a unor minime egale între ele.

Dezideratul poate fi atins cu ajutorul polinoamelor Cebâşev:

14.1 Principiul mimi-max

( ) 22C 2 1ω = ω −

1

1

1−

1−

ω

( ) 33C 4ω = ω −ω

1

1

1−

1−

ω

( ) 4 24C 8 8 1ω = ω − ω +

1

1

1−

1−

ω

( )1C ω = ω

1

1

1−

1−

ω

( )nC ω ( )2nC ωLEGENDĂ:

Graficul primelor polinoame Cebâşev:

Polinoamele de ordin par sunt pare, cele de ordin impar – impare.

Au toate zerourile distincte şi în intervalul (-1, 1).

La extremităţile intervalului de aproximare ating extremele egale cu 1±

În afara intervalului de aproximare panta creşte cu n.

( )2nC ω , care va fi utilizat, are n extreme locale în .0ω >

14.2 Aproximarea Cebâşev

Se utilizează funcţia aproximantă:

( )( )

22 2

n

1H j1 C

ω =+ ε ω

unde ε este un parametru care va controla mărimea erorii de aproximare.

2

1

1+ ε

1

1

n 3=

n 2=

Valoarea în origine depinde de paritatea ordinului aproximării.

( ) ( )

( ) ( )

n max

n min 2

n impar : C 0 H 0 H 1

1n par : C 1 H 0 H1

ω = ⇒ = =

ω = ⇒ = =+ ε

Extremele în BT sunt:

( )

( )

n max

n min 2

C 0 H 11C 1 H

1

ω = ⇒ =

ω = ⇒ =+ ε


Expresia amplificării este:

( )( )2 2

n

1A1 C

ω =+ ε ω

( ) ( )2 2dB nA 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = − + ε ω⎣ ⎦

min 2

1A1

=+ ε

1

10

A

ωiar atenuarea este:

( ) ( )2 2dB na 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = + ε ω⎣ ⎦

1

( )2maxa 10 lg 1= + ε

0

dBa

ω

maxa


min 2

1A1

=+ ε

1

10

A

ω

La frecvenţe mari, atenuarea se poate scrie:

( ) ( ) ( )2 2dB n na 10 lg C 20 lg C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω = ε ω = ε ω⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) n 1 ndBa 20 lg 2 −⎡ ⎤ω → ε ω⎣ ⎦

( )20 lg 6 n 1 20n lg= ε + − + ω

Atenuarea este mai mare decât în cazul aproximării Butterworth, datorită termenilor constanţi.

Panta asimptotică este de 20n dB/dec., cumera de aşteptat de la un FTJ de ordinul n.

EX: O atenuare maximă în BT de 3 dB înseamnă un ε = 0,9976. 1

( )2maxa 10 lg 1= + ε

0

dBa

ω

maxa

( )n 3 20 lg 0,9976 6 3 1 11,98 dB= → + − =

( )n 5 20 lg 0,9976 6 5 1 23,98 dB= → + − =


Aproximarea depinde de doi parametri: ε şi n.Datele de proiectare se pun sub forma gabaritelor pentru atenuare.

mina

maxa

dBa

ω1 tω = ω 2ω

Din expresia atenuării:

( ) ( )2 2dB na 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = + ε ω⎣ ⎦

( ) 2maxa 10 lg 1⎡ ⎤ω = + ε⎣ ⎦

max0,1a10 1ε = −

Valori întâlnite frecvent:[ ]maxa dB 0,5 1 3

0,3493 0,5088 0,9976ε


mina

maxa

dBa

ω1 tω = ω 2ω

Din expresia atenuării:

( ) ( )2 2dB na 10 lg 1 C⎡ ⎤ω = + ε ω⎣ ⎦

La frecvenţa ω2:2 2 2

min n1

a 10 lg 1 C⎡ ⎤⎛ ⎞ω

≤ + ε⎢ ⎥⎜ ⎟ω⎝ ⎠⎣ ⎦

min0,1a2

n1

10 1C⎛ ⎞ω −

≥⎜ ⎟ω ε⎝ ⎠

min

max

0,1a

0,1a10 110 1

−=

−

Ţinând cont de expresia polinomului Cebâşev în BO (slide 24):

min

max

0,1a2

0,1a1

10 1ch n argch10 1

⎡ ⎤⎛ ⎞ω −≥⎢ ⎥⎜ ⎟ω −⎝ ⎠⎣ ⎦

min

max

0,1a1

0,1a

1 2

1

10 1ch10 1

nch

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠⇒ ≥

⎛ ⎞ω⎜ ⎟ω⎝ ⎠


2 0 d B

1 d B

d Ba

ω1 0 0 1 2 5

EXEMPLU:Să se proiecteze un FTJ Cebâşevcu condiţiile de gabarit:

1 max

2 min

100 ; a 1dB125 ; a 20 dB

ω = =

ω = =

0,110 1 0,5088ε = − =

0,11

2

1

10 1ch10 1

n 5,2884 n 6125ch100

−

−

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠≥ = → =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠


2 0 d B

1 d B

d Ba

ω1 0 0 1 2 5

EXEMPLU:Să se proiecteze un FTJ Cebâşevcu condiţiile de gabarit:

1 max

2 min

100 ; a 1dB125 ; a 20 dB

ω = =

ω = =

O comparaţie cu soluţii Butterworth:

n 6=

n 14=

n 6=Cebâşev

Butterworth

n 6=

n 14= n 6=

CebâşevButterworth

banda de tranziţie

analiza si sinteza circuitelor - ece.ubm.roece.ubm.ro/ea/cursuri/asc_temele 1-14.pdf · circuite...

Documents