analiza circuitelor monofazate

Analiza circuitelor monofazate f�r� cuplaje magnetice în regim permanent sinusoidal

1

1. ANALIZA CIRCUITELOR MONOFAZATE F�R� CUPLAJE MAGNETICE ÎN REGIM

PERMANENT SINUSOIDAL 1.1. GENERALIT��I În cele ce urmeaz� vom analiza circuitele monofazate în care bobinele sunt necuplate magnetic (fluxul lor magnetic depinde doar de curentul propriu). Elementele acestor circuite pot fi conectate în serie, paralel, mixt, stea, triunghi sau complex. Vom considera în continuare doar cazul circuitelor electrice monofazate simple (cu conexiuni serie sau paralel). La alimentarea cu o tensiune sinusoidal�, circuitele cu elemente liniare sunt str�b�tute de un curent sinusoidal. Circuitele de tensiune alternativ� pot fi caracterizate prin oricare din parametrii: rezisten�a R, inductan�a L sau capacitatea C. Fiecare din ace�ti parametri contribuie la limitarea curentului în circuit. Problema const� în determinarea valorii efective a curentului care str�bate circuitul respectiv, a defazajului dintre tensiunea aplicat� �i curent �i scrierea bilan�ului de puteri. Pentru rezolvarea circuitelor cu elemente conectate în serie, se porne�te de la ecua�ia integro-diferen�ial� a circuitului, scris� pe baza aplic�rii celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff. În cazul circuitelor cu elemente conectate în paralel ecua�ia se scrie aplicând prima teorem� a lui Kirchhoff într-unul din nodurile comune ale elementelor conectate în paralel. Obi�nuit, rezolvarea ecua�iei nu se face direct ci prin intermediul imaginii acestei ecua�ii, fie pe cale reprezent�rii geometrice – în care caz ecua�iei rezultate îi corespunde o diagram� fazorial� care permite determinarea necunoscutei din rela�iile ob�inute din construc�ia geometric� respectiv� – , fie pe care reprezent�rii în complex – în care caz ecua�iei rezultate îi corespunde o ecua�ie algebric� în m�rimi complexe ceea ce permite determinarea necunoscutei pe cale analitic�. Ambele metode permit determinarea, cu ajutorul teoremei lui Ohm scris� pentru cazul regimului permanent sinusoidal

UYZU

I ⋅== (1.1)

a valorii efective a curentului ca raport dintre valoarea efectiv� a tensiunii aplicate �i impedan�a circuitului:

UYZU

I ⋅== (1.2)

CIRCUITE ELECTRICE

2

în care ( )ω= ,,, CLRfZ . De asemenea, ambele metode permit determinarea defazajului ϕ dintre tensiune �i curent ca fiind o func�ie de parametrii circuitului �i frecven�a sursei de alimentare ( )ω=ϕ ,,, CLRf . Expresia impedan�ei complexe depinde de schema electric� a circuitului. În cele ce urmeaz� se va considera cazul general un circuit electric în care au loc toate cele trei fenomene electromagnetice (pierderi de energie electromagnetic� prin disipare de c�ldur� pe rezistori, înmagazinare de energie electromagnetic� în câmpul magnetic al bobinelor, înmagazinare de energie electromagnetic� în câmpul electric al condensatorilor), fenomene caracterizate prin parametrii rezisten�� R, inductan�a L, respectiv capacitate C. Schema electric� a acestui circuit va con�ine toate cele trei elemente ideale de circuit: rezistor, bobin� �i condensator ideal. Func�ie de modul de conectare a acestor elemente schema echivalent� poate fi serie sau paralel. Pentru cazurile particulare ale circuitelor electrice în care unele fenomene sunt neglijate, fiind considerate preponderente altele, schemele electrice ale circuitului vor con�ine doar acele elemente corespunz�toare parametrului ce caracterizeaz� fenomenele preponderente. Ecua�iile de func�ionare ale acestor circuite se vor ob�ine din ecua�iile de func�ionare ale circuitului ce corespunde cazului general (când sunt considerate toate fenomenele electromagnetice) prin particulariz�ri corespunz�toare. Se va analiza, în continuare un circuit electric reprezentat printr-o schem� echivalent� serie (circuit RLC serie) sau printr-o schem� echivalent� paralel (circuit RLC paralel), analiza realizându-se prin mai multe metode: - metoda rezolv�rii utilizând valorile instantanee, - metoda utiliz�rii reprezent�rii simbolice geometrice, - metoda reprezent�rii simbolice analitice �i se vor compara rezultatele.

1.2. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE REPREZENTATE PRIN SCHEME ECHIVALENTE SERIE FUNC�IONÂND ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1.2.1. CIRCUITUL RLC SERIE Se consider� în fig.1.1 un circuit format dintr-un rezistor având rezisten�a R, o bobin� de inductan�� L �i un condensator de capacitate C, conectate în serie (circuit RLC serie) �i alimentat de la o surs� de tensiune sinusoidal� de pulsa�ie ω (se presupune c� rezisten�a R include �i rezisten�ele proprii ale bobinei �i condensatorului). Circuitul este str�b�tut de un curent, de asemenea sinusoidal, care produce la bornele rezistorului

Figura 1.1

u(t)

uR(t)

i(t)

R

C uC(t)

L uL(t)


3

R o c�dere de tensiune ( )tuR , în bobina de inductan�� L o tensiune electromotoare de autoinduc�ie ( )teL echilibrat� de o parte ( )tuL a tensiunii aplicate ( ) ( )( )tetu LL −= �i, înc�rcând condensatorul, o tensiune la bornele condensatorului ( )tuC , egal� de asemenea cu partea corespunz�toare din tensiunea aplicat�. În orice moment tensiunea aplicat� trebuie s� fie egal� cu suma tensiunilor la bornele celor trei elemente de circuit.

( ) ( ) ( ) ( )tutututu CLR ++= (1.3)

sau, �inând seama de dependen�a de curent a fiec�reia dintre tensiunile de la bornele elementelor, se ob�ine ecua�ia integro-diferen�ial�:

( ) ( ) ( ) ( )�⋅+⋅+⋅= ttiCt

tiLtiRtu d

1d

d, (1.4)

în care necunoscuta este ( )ti . Rezolvarea ecua�iei (1.4) este relativ dificil�, necesitând artificii de calcul incomode, de aceea ecua�ia se rezolv� indirect prin una din metodele cunoscute: prin intermediul reprezent�rii geometrice sau analitice (în complex).

* Pentru rezolvarea pe cale geometric� (polar�) se consider� curentul sinusoidal necunoscut drept origine de faz�, deoarece este comun celor elemente de circuit, adic�:

( ) ( )itIti γ+ω⋅= sin2 . (1.5)

Introducând expresia curentului, ecua�ia (1.4) devine:

( ) ( ) ��

��

� −γ+ω⋅ω

+��

��

� +γ+ω⋅ω+γ+ω⋅=2�

sin22�

sin2sin2 iii tCI

tLItRItu . (1.6)

Ecua�ia fazorial� corespunz�toare este:

CLR UUUU ++= , (1.7)

în care fazorii reprezentând tensiunile de la bornele elementelor de circuit sunt cunoscu�i, putând scrie:

0RIU R = , 2�+ω= LIU L ,

2�−

ω=

CI

UC

.

Diagrama fazorial�, reprezentat� în fig.1.2, se construie�te luând curentul I drept origine de faz�. Se traseaz�: fazorul reprezentând tensiunea la bornele rezistorului RU în faz� cu curentul I , vectorul reprezentând tensiunea la bornele

bobinei LU decalat cu unghiul 2�

înaintea curentului, iar fazorul reprezentând

tensiunea la bornele condensatorului CU decalat cu 2�

în urma curentului. Fazorul

CIRCUITE ELECTRICE

4

care une�te originea primului cu extremitatea ultimului fazor al sumei reprezint� tensiunea U aplicat�. Se observ� c� în func�ie de lungimile fazorilor corespunz�tori

tensiunilor la bornele bobinei �i condensatorului – IL ⋅ω respectiv IC

⋅ω1 – se disting

trei cazuri, reprezentate în diagramele fazoriale din fig.1.2.a, b, c:

- dac� C

Lω

>ω 1 – reactan�a inductiv� este preponderent� ( )CL XX > – defazajul

tensiunii la bornele circuitului în raport cu curentul este pozitiv 0>ϕ (curentul este defazat cu ϕ radiani în urma tensiunii), circuitul având caracter inductiv (fig.1.2.a);

- dac� C

Lω

<ω 1 – reactan�a capacitiv� este preponderent� ( )LC XX > – defazajul

tensiunii la bornele circuitului în raport cu curentul este negativ 0<ϕ (curentul este defazat cu ϕ radiani înaintea tensiunii), circuitul având caracter capacitiv (fig.1.2.b);

- dac� C

Lω

=ω 1 – reactan�a inductiv� este egal� cu reactan�a capacitiv�

( )CL XX = – defazajul tensiunii la bornele circuitului în raport cu curentul este nul 0=ϕ (curentul este în faz� cu tensiunea), circuitul având caracter rezistiv.

Deci unghiul ϕ poate avea valori pozitive sau negative dup� cum reactan�a inductiv� este mai mare sau mai mic� decât reactan�a capacitiv�. Din triunghiul tensiunilor OAB rezult�:

( ) ( ) IZC

LRIIC

ILIRUUUU CLR ⋅=��

��

�

ω−ω+⋅=�

�

��

� ⋅ω

−⋅ω+⋅=−+=2

22

222 11,

(1.8)

Figura 1.2

a

CU

RU

U

I

B

O ϕ > 0

LU

CU

LUU

CL UU +

b

CU

RU

U

I

B

A O

ϕ < 0

LU CU

LUU

CL UU +

c

ϕ = 0

CL UU + = 0

CU

RU ≡ U

I A ≡ B O

LU

CU

LUU

A


5

unde Z reprezint� impedan�a circuitului, putându-se exprima sub una din formele de mai jos:

( ) 22222

2 1XRXXR

CLRZ CL +=−+=�

�

��

�

ω−ω+= . (1.9)

În rela�ia impedan�ei s-a notat cu C

LXXX CL ω−ω=−= 1

reactan�a total�

(echivalent�) a circuitului. Valoarea efectiv� a curentului (egal� cu lungimea fazorului I ) se deduce din rela�iile de mai sus:

( ) 22

22 1��

��

�

ω−ω+

=−+

==

CLR

U

XXR

UZU

ICL

. (1.10)

Rela�ia (1.10) reprezint� teorema lui Ohm în curent alternativ în cazul circuitului complet, cu rezistor, bobin� �i condensator conectate în serie.

Unghiul de defazaj al tensiunii în raport cu curentul rezult� din acela�i triunghi, sau din triunghiul impedan�ei (fig.1.3) ob�inut prin împ�r�irea laturilor primului prin valoarea efectiv� a curentului curentul I (reprezentarea a fost f�cut� doar pentru primul caz, al circuitelor cu caracter inductiv):

RC

L

RXX CL ω

−ω=−=ϕ

1

tan ,

respectiv:

RC

L

RXX CL ω

−ω=−=ϕ

1

arctanarctan . (1.11)

Astfel, faza ini�ial� a curentului va fi:

RC

Luui

ω−ω

γ=ϕ−γ=γ

1

arctan- (1.12)

Diagramele din fig.1.2 au fost trasate admi�ând curentul drept origine de faz�. În mod obi�nuit, drept origine de faz� trebuie considerat� tensiunea. Din rela�iile (1.10) �i (1.12) �i utilizând regula de reprezentare fazorial� rezult� fazorul corespunz�tor curentului:

Figura 1.3

R

b

a o ϕ

Z XC

CIRCUITE ELECTRICE

6

RC

L

CLR

UI u

ω−ω

−γ

��

��

�

ω−ω+

=

1

arctan1

22

2 . (1.13)

Prin urmare, utilizând regula de reprezentare invers� (fazor – valoare instantanee), valoarea instantanee a intensit��ii curentului va avea expresia:

( )��

�

�

��

�

�

ω−ω

−γ+ω⋅

��

��

�

ω−ω+

=R

CL

t

CLR

Uti u

1

arctansin1

22

2

(1.14)

Curbele de varia�ie în timp a semnalelor sinusoidale i(t) �i u(t) sunt reprezentate în fig.1.4.

* Expresia valorii instantanee a intensit��ii curentului necunoscut se poate determina u�or utilizând reprezentarea în complex a ecua�iei integro-diferen�iale. Pornind de la imaginea în complex nesimplificat a ecua�iei (1.4) care se scrie:

iC

iLiRu ⋅ω

+⋅ω+⋅=j

1j , (1.15)

se deduce:

( ) iZiXRiC

LRu ⋅=⋅+=⋅�

��

��

��

�

ω−ω+= j

1j , (1.16)

în care

( ) ϕ⋅=+=−+=��

��

�

ω−ω+= jejj

1j ZXRXXR

CLRZ CL (1.17)

cu modulul

Figura 1.4

i(t)

ωt

u(t)

ϕ = 0

c

i(t)

ωt

u(t)

ϕ < 0

b

i(t)

ωt

u(t)

a


7

( )2

222 1��

��

�

ω−ω+=−+=

CLRXXRZ CL

�i argumentul

RC

L

RXX CL ω

−ω=−=ϕ

1

arctanarctan .

Valoarea instantanee complex� a intensit��ii curentului (forma exponen�ial�) rezult�:

( )( ) ( )iu

utt

t

IZU

ZU

Zui γ+ωϕ−γ+ω

ϕ

γ+ω

⋅=⋅=⋅

⋅== jjj

j

e2e2e

e2 (1.18)

în care:

( ) 22

22 1��

��

�

ω−ω+

=−+

==

CLR

U

XXR

UZU

ICL

,

RC

Luui

ω−ω

−γ=ϕ−γ=γ

1

arctan .

Trecând la forma trigonometric�,

( ) ( )ϕ−γ+ω⋅+ϕ−γ+ω⋅= uu tItIi sin2jcos2 (1.21)

se deduce expresia valorii instantanee a intensit��ii curentului ( )ti , aplicând regula de trecere de la imaginea în complex la valoarea instantanee corespunz�toare:

( ) { }��

�

�

��

�

�

ω−ω

−γ+ω⋅

��

��

�

ω−ω+

==R

CL

t

CLR

Uiti u

1

arctansin1

2Im2

2

. (1.22)

Se constat� c� s-a ob�inut aceea�i expresie pentru valoarea instantanee a intensit��ii curentului ca �i în cazul rezolv�rii problemei utilizând reprezent�rile simbolice geometrice (prin fazori).

* La aceea�i expresie se ajunge utilizând reprezentarea în complex simplificat:

IC

ILIRU ⋅ω

+⋅ω+⋅=j

1j . (1.23)

( )[ ] ( ) IZIXRIXXRIC

LRU CL ⋅=⋅+=⋅−+=⋅�

��

��

��

�

ω−ω+= jj

1j , (1.24)

în care

CIRCUITE ELECTRICE

8

( ) ϕ⋅=−+=+= jejj ZXXRXRZ CL cu modulul

22 1

��

��

�

ω−ω+=

CLRZ

�i argumentul

RC

Lω

−ω=ϕ

1

arctan .

Valoarea efectiv� complex� a curentului rezult�:

( ) ( )ϕ−γϕ−γϕ

γ

⋅=⋅=⋅⋅== uI

ZU

ZU

ZUI jj

j

j

eeee u

u

(1.25)

în care:

22 1

��

��

�

ω−ω+

==

CLR

UZU

I .

Regula de trecere de la imaginea în complex la valoarea instantanee este în acest caz:

( ) { }Iti t ⋅= ωje2Im . (1.26)

Dar, observând c� ( ) iI utt =⋅=⋅ ϕ−γ+ωω jj eI2e2 , rezult� c� expresia curentului c�utat ( )ti este cea determinat� mai sus:

( ) { }��

�

�

��

�

�

ω−ω

−γ+ω⋅

��

��

�

ω−ω+

==R

CL

t

CLR

Uiti u

1

arctansin1

2Im2

2

. (1.27)

Din cele expuse se observ� c� oricare ar fi metoda de rezolvare a circuitului, se ajunge la acela�i rezultat. Metoda de rezolvare grafo-analitic� bazat� pe reprezentarea geometric� este mai laborioas� dar prezint� avantajul c� permite compararea valorilor �i defazajelor diferi�ilor termeni ai ecua�iei, pe când metoda reprezent�rii simbolice prezint� avantajul unei determin�ri rapide a m�rimii necunoscute, care nu necesit� construc�ii grafice.

* Puterea activ� corespunz�toare circuitului RLC serie are expresia:

0coscos 22 ≥=ϕ=ϕ= RIZIUIP , (1.28)

�i este pozitiv� sau, la limit�, nul�, indiferent de valoarea defazajului ϕ, ceea ce înseamn� c�, în general, circuitul RLC serie consum� putere reactiv�.


9

Puterea reactiv�:

222 1sinsin I

CLXIZIUIQ �

�

��

�

ω−ω==ϕ=ϕ= (1.29)

este: - pozitiv� în cazul circuitelor cu caracter inductiv (circuitul consum� putere reactiv�), - negativ� în cazul circuitelor cu caracter capacitiv (circuitul consum�, de

asemenea, putere reactiv�) - nul� în cazul circuitelor cu caracter rezistiv (circuitul nu consum� �i nici nu

absoarbe putere reactiv�). Astfel, puterea aparent� complex�:

2222 1jjsinjcosj I

CLRIZIXIRUIUIQPS ⋅�

��

��

��

�

ω−ω+=⋅=⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=+=

(1.30)

având modulul 2

2222 1��

��

�

ω−ω+⋅=+=

CLRIQPS (1.31)

poate fi: - real� în cazul circuitelor cu caracter rezistiv, - pur imaginar�, în cazul circuitelor cu caracter pur reactiv, având partea imaginar�:

- pozitiv� în cazul circuitelor cu caracter inductiv, - negativ� în cazul circuitelor cu caracter capacitiv).

Prin urmare un circuit RLC serie func�ionând în regim permanent sinusoidal consum� atât putere activ� cât �i puterea reactiv�.

În concluzie, în cazul unui circuit RLC serie func�ionând în regim permanent sinusoidal se ob�ine:

- impedan�a complex�: ��

��

�

ω−ω+=

CLRZ

1j

- impedan�a: 2

2 1��

��

�

ω−ω+=

CLRZ

- defazajul tensiunii în raport cu curentul: R

CL

ω−ω

=ϕ

1

arctan

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: 2

2 1��

��

�

ω−ω+

=

CLR

UI

CIRCUITE ELECTRICE

10

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: R

CL

uiω

−ω−γ=γ

1

arctan

- valoarea instantanee a intensit��ii curentului:

( )��

�

�

��

�

�

ω−ω

−γ+ω⋅

��

��

�

ω−ω+

=R

CL

t

CLR

Uti u

1

arctansin1

22

2

- puterea activ�: 2RIP =

- puterea reactiv�: 21I

CLQ �

�

��

�

ω−ω=

- puterea aparent� complex�: 21jj I

CLRQPS ⋅�

��

��

��

�

ω−ω+=+=

- puterea aparent�: 2

2222 1��

��

�

ω−ω+⋅=+=

CLRIQPS .

Un exemplu de circuit RLC serie este o bobin� la care rezisten�a proprie �i capacitatea echivalent� a spirelor nu sunt neglijate.

1.2.2. CIRCUITUL RL SERIE

Se consider� în fig.1.5 schema echivalent� a unui circuit format dintr-un rezistor �i o bobin� de inductan�� L (rezisten�a proprie a bobinei se consider� înglobat� în

rezisten�a R). Conform celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff

în orice moment:

( ) ( ) ( )tRitetu L =+

sau, întrucât:

( ) ( ) ( )tti

Ltetu LL dd=−= �i ( ) ( )tRituR = ,

se poate scrie: ( ) ( ) ( )tututu LR += , sau:

( ) ( ) ( )tti

LtRitud

d+= . (1.32)

Curentul ( )ti poate fi determinat pe cale analitic� integrând ecua�ia diferen�ial� (1.32). Se prefer� calea indirect�, dar mai comod�, a metodei geometrice (polare)

+

( )tuR

u(t)

i(t)

R

Figura 1.5

L ( )tuL


11

bazat� pe reprezentarea simbolic� a semnalelor prin fazori �i trasarea diagramei fazoriale sau a metodei analitice, bazat� pe rezolvarea imaginii în complex a ecua�iei circuitului.

* Circuitul RL serie este o particularizare a circuitului RLC serie ob�inut� prin scurtcircuitarea condensatorului (anularea tensiunii la bornele acestuia). Având în vedere c�

( ) ( )�= ttiC

tuC d1

rezult� c� scurtcircuitarea condensatorului este echivalent� cu o valoarea ∞=C a capacit��ii acestuia. F�când ∞=C în rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷ 1.31) se ob�ine:

- impedan�a complex�: LRZ ω+= j

- impedan�a: ( )22 LRZ ω+=

- defazajul tensiunii în raport cu curentul: ��

��

� π∈ω=ϕ2

,0arctanRL

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: ( )22 LR

UI

ω+=

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: uui RL γ<ω−γ=γ arctan


( )( )

��

��

� ω−γ+ω⋅ω+

=RL

tLR

UIti u arctansin2

22

- puterea activ�: 02 >= RIP

- puterea reactiv�: 02 >⋅ω= ILQ

- puterea aparent� complex�: ( ) 2jj ILRQPS ⋅ω+=+=

- puterea aparent�: ( )22222 LRIQPS ω+⋅=+= .

Prin urmare, în cazul unui circuit RL serie func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - impedan�a este complex� - defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este pozitiv (circuitul are caracter

inductiv)

- curentul este defazat în urma tensiunii cu un unghi 2π<ϕ radiani

- circuitul consum� putere activ� �i reactiv�

CIRCUITE ELECTRICE

12

- puterea aparent� complex� are atât parte real� (egal� cu puterea activ�) cât �i parte imaginar� (egal� cu puterea reactiv�).

În fig.1.6.a se reprezint� curbele de varia�ie în timp a semnalelor sinusoidale i(t), u(t), iar în fig.1.6.b diagrama lor fazorial� (pentru cazul particular 0=γ i – curentul este origine de faz�). Un exemplu de circuit RL serie este o bobin� la care rezisten�a proprie nu este neglijat�.

1.2.3. CIRCUITUL RC SERIE

Se consider� în fig.1.7 schema echivalent� a unui circuit format dintr-un condensator de capacitate C, în serie cu un rezistor, rezisten�a R considerându-se c� înglobeaz� �i rezisten�a echivalent� pierderilor în condensator. Circuitul este alimentat de o surs� de tensiune sinusoidal�, de pulsa�ie ω, care între�ine circula�ia unui curent sinusoidal ( )ti .

Conform legii a doua a lui Kirchhoff tensiunea aplicat� ( )tu echilibreaz� c�derea de tensiune la bornele rezisten�ei ( )tuR �i tensiunea la bornele condensatorului

( )tuC : ( ) ( ) ( )tututu CR += .

Exprimând tensiunile la bornele elementelor de circuit în func�ie de curentul ( )ti se ob�ine ecua�ia:

( ) ( ) ( )�+= ttiC

tRitu d1

,

în care necunoscuta este curentul ( )ti . Problema se rezolv� prin una din metodele expuse anterior.

Figura 1.6

i(t)

u(t)

ϕ

a O

b

RU

U

I

B

A O ϕ > 0

LU

LUU

+

Figura 1.7

u(t) uR(t)

i(t)

R

C uC(t)


13

* Circuitul RC serie este o particularizare a circuitului RLC serie ob�inut� prin scurtcircuitarea bobinei (anularea tensiunii la bornele acesteia). Având în vedere c�

( ) ( )tti

LtuL dd=

rezult� c� scurtcircuitarea bobinei este echivalent� cu o valoarea 0=L a inductan�ei acesteia. F�când 0=L în rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷ 1.31) se ob�ine:

- impedan�a complex�: C

RZω

−= 1j

- impedan�a: 2

2 1��

��

�

ω+=

CRZ


��

� π−∈ω

−=ϕ 0,2

1arctan

RC


2 1��

��

�

ω+

=

CR

UI

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: uui RCγ>

ω+γ=γ 1

arctan


( ) ��

��

�

ω+γ+ω⋅

��

��

�

ω+

=RC

t

CR

Uti u

1arctansin

12

22


- puterea reactiv�: 01 2 <

ω−= I

CQ


CRQPS ⋅�

��

ω−=+=


2222 1��

��

�

ω+⋅=+=

CRIQPS .

Prin urmare, în cazul unui circuit RC serie func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - impedan�a este complex�

CIRCUITE ELECTRICE

14

- defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este negativ (circuitul are caracter capacitiv)

- curentul este defazat înaintea tensiunii cu un unghi 2π<ϕ radiani

- circuitul consum� putere activ� �i reactiv� - puterea aparent� complex� are atât parte real� (egal� cu puterea activ�) cât �i

parte imaginar� (egal� cu puterea reactiv�).

În fig.1.8.a se reprezint� curbele de varia�ie în timp a semnalelor sinusoidale i(t) �i u(t), iar în fig.1.8.b diagrama lor fazorial� (pentru cazul particular 0=γ i – tensiunea este origine de faz�). Un exemplu de circuit RC serie este un condensator la care rezisten�a proprie nu este neglijat�.

1.2.4. CIRCUITUL LC SERIE Circuitul LC (fig.1.9) serie este o particularizare a circuitului RLC serie ob�inut� prin scurtcircuitarea rezistorului (anularea tensiunii la bornele acestuia). Având în vedere c�

( ) ( )tRituR =

rezult� c� scurtcircuitarea rezistorului este echivalent� cu o valoarea 0=R a rezisten�ei acestuia.

F�când 0=R în rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷

1.31) se ob�ine:

- impedan�a complex�: ��

��

�

ω−ω=

CLZ

1j

- impedan�a: C

LZω

−ω= 1

Figura 1.8

b

CU

RU

U

I

B

A O ϕ < 0

CU

i(t)

ωt

u(t)

a

ϕ

Figura 1.9

C uC(t)

i(t)

L uL(t) u(t)


15

- defazajul tensiunii în raport cu curentul: ( )2

arctan0

1

arctanπ±=∞±=ω

−ω=ϕ C

L

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului:

CL

UI

ω−ω

=1

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: 2π±γ=γ ui

- valoarea instantanee a intensit��ii curentului: ( ) ��

��

� π±γ+ω⋅

ω−ω

=2

sin1

2 ut

CL

Uti

- puterea activ�: 0=P


CLQ ⋅�

�

��

�

ω−ω=


CLQS ⋅�

�

��

�

ω−ω==

- puterea aparent�: 21I

CLQS ⋅�

�

��

�

ω−ω== .

Prin urmare, în cazul unui circuit LC serie func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii:

- impedan�a este pur imaginar� sau nul� (pentru C

Lω

=ω 1)

- defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este:

- pozitiv (pentru circuite cu caracter inductiv, la care C

Lω

>ω 1)

- negativ (pentru circuite cu caracter capacitiv, la care C

Lω

<ω 1)

- nedeterminat (pentru C

Lω

=ω 1)

- curentul este:

- defazat în urma tensiunii cu un unghi 2π=ϕ radiani (pentru

CL

ω>ω 1

)

- defazat înaintea tensiunii cu un unghi 2π=ϕ radiani (pentru

CL

ω<ω 1

)

- �i are valoarea efectiv� infinit� pentru C

Lω

=ω 1 (în acest caz circuitul reprezentând un

scurtcircuit) - circuitul nu consum� putere activ�, de aceea aceste circuite se numesc f�r� pierderi

- circuitul consum� putere reactiv� (nul� în cazul C

Lω

=ω 1)

- puterea aparent� complex� este pur imaginar� - puterea aparent� este egal� cu puterea reactiv�. Pentru acest circuit este valabil� diagrama fazorial� din fig.1.10.

CIRCUITE ELECTRICE

16

Figura 1.11

R uR +

i

u

Un astfel de circuit, numit circuit f�r� pierderi sau supraconductor nu poate exista în practic� deoarece nu exist� bobine �i condensatori ideali (având rezisten�ele proprii nule). Circuitul, prezint� importan�� doar din punct de vedere teoretic.

1.2.5. REZISTORUL IDEAL Rezistorul ideal (fig.1.11) este caracterizat de un singur parametru, rezisten�a electric� R, iar schema acestuia reprezint� o particularizare a circuitului RLC serie ob�inut� prin scurtcircuitarea bobinei �i condensatorului (anularea tensiunilor la bornele acestora). Având în vedere c�

( ) ( )tti

LtuL dd= �i ( ) ( )�= tti

CtuC d

1

rezult� c� scurtcircuitarea bobinei �i condensatorului sunt echivalente cu valorile 0=L �i ∞=C ale

inductan�ei respectiv capacit��ii acestora. F�când 0=L �i ∞=C în rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷ 1.31) se ob�ine: - impedan�a complex�: RZ = - impedan�a: RZ = - defazajul tensiunii în raport cu curentul: 0=ϕ

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: RU

I =

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: ui γ=γ

2π=ϕ

Figura 1.10

b

I

CU

LUU

c

I O

CU

LUU

a

I O

CU

LUU

U = CL UU +

U = CL UU +

= 0 U = CL UU +

∞


17

- valoarea instantanee a intensit��ii curentului: ( ) ( )utRU

ti γ+ω⋅= sin2


- puterea reactiv�: 0=Q - puterea aparent� complex�: 2IRPS ⋅==

- puterea aparent�: 2IRPS ⋅== .

Prin urmare, în cazul unui rezistor ideal func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - impedan�a este real�, egal� cu rezisten�a - defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este nul (circuitul are caracter rezistiv) - curentul este în faz� cu tensiunea - circuitul consum� doar putere activ� - puterea aparent� complex� este real�. Curbele de varia�ie în timp a semnalelor sinusoidale i(t) �i u(t) sunt reprezentate în fig.1.12.

Prin urmare la aplicarea unei tensiuni sinusoidale la bornele unui rezistor ideal, în circuit apare un curent sinusoidal, în faz� cu tensiunea, a c�rui valoare efectiv� este egal� cu raportul dintre valoarea efectiv� a tensiunii aplicate �i rezisten�a

rezistorului. Rela�ia RU

I = exprim� teorema lui Ohm în curent alternativ aplicat� unui

circuit cu rezistor ideal. În fig.1.12.a se reprezint� curbele de varia�ie în timp a celor dou� semnale sinusoidale, iar în fig.1.12.b diagrama lor fazorial� (pentru cazul particular 0=γ i – curentul este origine de faz�).

1.2.6. BOBINA IDEAL� Vom numi bobin� ideal� o bobin� care, teoretic, are rezisten�� nul� �i prin urmare este caracterizat� numai prin inductan�a ei L.

Figura 1.12

b

i(t)

ωt

u(t)

a

ϕ = 0

RU I O

ϕ = 0 A

CIRCUITE ELECTRICE

18

Se men�ioneaz� c� nu exist� bobin� lipsit� de rezisten�� deoarece orice bobin� este realizat� dintr-un conductor, de o anumit� lungime �i sec�iune, care are o anume rezisten��. Exist� îns� bobine caracterizate printr-o rezisten�� foarte mic� în raport cu inductan�a bobinei. Se consider� în fig.1.13 un circuit format dintr-o bobin� de inductan�� L, lipsit� de rezisten��, alimentat� de la o surs� de tensiune sinusoidal�

( ) ( )utUtu γ+ω= sin2 . Tensiunea aplicat� produce un curent alternativ care circul� prin bobin� �i produce un flux alternativ ΨL, dependent de curent �i inductan�a

bobinei ( )LI�L = . Fiind str�b�tut� de un flux variabil în timp, în bobin� se induce o tensiune electromotoare de induc�ie proprie

( ) ( )tti

LteL dd−= .

Aplicând a doua teorem� a lui Kirchhoff circuitului închis format de inductan�a �i sursa de alimentare, vom scrie c� în orice moment suma tensiunilor electromotoare care ac�ioneaz� în circuitul închis trebuie s� fie nul�, deoarece am presupus c� rezisten�a circuitului este neglijabil�, respectiv:

( ) ( ) 0=+ tetu L sau ( ) ( ) ( )tti

Ltetu L dd=−= .

Prin urmare, tensiunea aplicat� echilibreaz� în orice moment tensiunea electromotoare de induc�ie proprie. Expresia curentului în circuit se deduce din rela�ia precedent�:

( ) ( ) ttuL

ti d1

d = de unde:

( ) ( ) ( )�� γ+ω== ttLU

ttuL

ti u dsin2d1

,

Bobina ideal� este caracterizat� de un singur parametru, inductanta electric� L, iar schema acesteia reprezint� o particularizare a circuitului RLC serie ob�inut� prin scurtcircuitarea rezistorului �i condensatorului (anularea tensiunilor la bornele acestora). Având în vedere c�

( ) ( )tRituR = �i ( ) ( )�= ttiC

tuC d1

rezult� c� scurtcircuitarea rezistorului �i condensatorului sunt echivalente cu valorile 0=R �i ∞=C ale rezisten�ei respectiv capacit��ii acestora.

F�când 0=R �i ∞=C în rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷ 1.31) se ob�ine: - impedan�a complex�: LZ ω= j

Figura 1.13

L eL +

i

u


19

- impedan�a: LZ ω=


arctan0

arctanπ+=∞+=ω=ϕ L

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: L

UI

ω=

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: 2π−γ=γ ui


��

� π−γ+ω⋅ω

=2

sin2 utL

Uti


- puterea reactiv�: 2ILQ ⋅ω=

- puterea aparent� complex�: 2jj ILQS ⋅ω==

- puterea aparent�: 2ILQS ⋅ω== .

Prin urmare, în cazul unei bobine ideale func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - impedan�a este pur imaginar� - defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este pozitiv (circuitul are caracter

inductiv) �i egal cu un sfert de perioad� - curentul este defazat cu un sfert de perioad� în urm� tensiunii - circuitul consum� doar putere reactiv� - puterea aparent� complex� este pur imaginar�. Prin urmare, la aplicarea unei tensiuni sinusoidale la bornele unei bobine ideale, aceasta este str�b�tut� de un curent sinusoidal, defazat în urm� în raport cu tensiunea aplicat� cu un sfert de perioad�, a c�rui valoare efectiv� este dat� de raportul dintre valoarea efectiv� a tensiunii aplicate �i reactan�a inductiv� a circuitului.

Rela�ia L

UI

ω= exprim� teorema lui Ohm în curent alternativ, aplicat� unui circuit cu

bobin� ideal�. Figura 1.14

u(t)

i(t)

2π

a O

b

I O

LUU

ϕ = 2π

CIRCUITE ELECTRICE

20

În fig.1.14.a se reprezint� curbele de varia�ie în timp a celor dou� semnale ( )( tu �i ( ))ti , iar în fig.1.14.b diagrama fazorial� a lor.

1.2.7. CONDENSATORUL IDEAL Condensatorul al c�rui dielectric prezint� o rezisten�� infinit de mare (conductan�a dielectricului nul�) se nume�te condensator ideal sau condensator f�r� pierderi1. Asemenea condensatori sunt aceia care au, drept dielectric, între arm�turi vid, aer sau gaz. Condensatorul ideal se caracterizeaz� printr-un singur parametru – capacitatea C. Se consider� în fig.1.15 un circuit electric format dintr-un condensator ideal alimentat de la o

surs� de tensiune sinusoidal�. La aplicarea tensiunii (se consider� tensiunea cresc�toare) condensatorul se încarc� cu sarcina electric� ( )tq �i, corespunz�tor, la bornele condensatorului apare o tensiune ( )tuC ; sarcina electric� ( )tq la un moment dat este legat� de tensiunea corespunz�toare ( )tuC de la bornele condensatorului prin rela�ia:

( ) ( )tCutq C= .

Tensiunea ( )tuC la bornele condensatorului urm�re�te permanent valorile tensiunii alternative aplicate ( )tu , astfel încât se poate considera c� cele dou� tensiuni sunt egale în orice moment, respectiv:

( ) ( )tutu C= .

Sarcina electric� este transportat� spre arm�turi de curentul de conduc�ie ( )ti care, prin defini�ie, reprezint� sarcina electric� ce str�bate circuitul conductor în unitatea de timp, respectiv:

( ) ( )ttq

tid

d= .

Sarcina electric� elementar� ( )tqd transportat� de curentul ( )ti în timpul elementar td este legat� de varia�ia corespunz�toare a tensiunii prin rela�ia:

1 Condensatorii ale c�ror dielectric prezint� o rezisten�� foarte mare (dar nu infinit�) constituie categoria condensatori cu pierderi, denumit� astfel datorit� faptului c� la aplicarea tensiunii alternative prin rezisten�a mare a dielectricului trece un curent mic de conduc�ie înso�it de transformarea ireversibil� a energiei electromagnetice în c�ldur�, aceasta constituind pierderi de energie. Condensatorii cu pierderi se caracterizeaz� prin capacitatea lor �i prin rezisten�a echivalent� pierderilor; ele se reprezint� de obicei printr-un condensator ideal în paralel cu o rezisten�� mare sau printr-un condensator ideal în serie cu o rezisten�� mic�.

+ uC(tu(t)

i(t)

C

Figura 1.15


21

( ) ( )tuCtq dd =

(dedus� din rela�iile de leg�tur� precedente). Prin urmare curentul care str�bate circuitul condensatorului se poate exprima prin rela�ia:

( ) ( )ttu

Ctid

d= .

Conform principiului continuit��ii curentului electric, curentul de conduc�ie prin circuitul conductor este continuat de un curent de deplasare egal, prin dielectric. Existen�a curentului de deplasare în dielectric se datore�te existen�ei tensiunii variabile între arm�turi, respectiv câmpului electric variabil în timp corespunz�tor, care polarizeaz�2 dielectricul dintre arm�turi în ritmul frecven�ei tensiunii aplicate. Condensatorul ideal este caracterizat� de un singur parametru, capacitatea electric� C, iar schema acestuia reprezint� o particularizare a circuitului RLC serie ob�inut� prin scurtcircuitarea rezistorului �i bobinei (anularea tensiunilor la bornele acestora). Având în vedere c�

( ) ( )tRituR = �i ( ) ( )tti

LtuL dd=

rezult� c� scurtcircuitarea rezistorului �i bobinei sunt echivalente cu valorile 0=R �i 0=L ale rezisten�ei respectiv inductan�ei acestora.

F�când 0=R �i 0=L în rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷ 1.31) se ob�ine:

- impedan�a complex�: C1

jω

−=Z

- impedan�a: C

Zω

= 1


arctan0

1

arctanπ−=∞−=ω

−=ϕ C

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: UCI ⋅ω=

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: 2π+γ=γ ui


��

� π+γ+ω⋅ω=2

sin2 utCUti


2 Polarizarea electric� const� în separarea (par�ial�) a sarcinilor electrice pozitive de cele negative ale unui corp sau sistem fizic (atom, molecul� etc.), sub ac�iunea unui câmp electric extern.

CIRCUITE ELECTRICE

22


CQ ⋅

ω−=


CQS ⋅

ω−==

- puterea aparent�: 21I

CQS ⋅

ω== .

Prin urmare, în cazul unui condensator ideal func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - impedan�a este pur imaginar� - defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este negativ (circuitul are caracter

capacitiv) �i egal cu un sfert de perioad� - curentul este defazat cu un sfert de perioad� înaintea tensiunii - circuitul consum� doar putere reactiv� - puterea aparent� complex� este pur imaginar�. Prin urmare, la aplicarea unei tensiuni sinusoidale la bornele unui condensator ideal, în circuit se stabile�te un curent sinusoidal, defazat înainte în raport cu tensiunea aplicat� cu un sfert de perioad�, a c�rui valoare efectiv� este egal� cu raportul dintre valoarea efectiv� a tensiunii aplicate �i reactan�a capacitiv� a circuitului. Rela�ia UCI ⋅ω= exprim� legea lui Ohm în curent alternativ aplicat� unui circuit cu condensator ideal.

În fig.1.16.a se reprezint� curbele de varia�ie în timp a celor dou� semnale, iar în fig.1.16.b diagrama fazorial� a acestora. Aspectul curbelor din fig.1.16.a reflect� procesele fizice ale fenomenelor care au loc în circuit. Folosind fig.1.17, în cele ce urmeaz� se va explica procesul de înc�rcare �i desc�rcare periodic� a condensatorului care are loc în decursul unei perioade. Explica�ia justific� circula�ia în sensuri alternative a curentului prin circuitul cu condensator �i existen�a defazajului curentului în raport cu tensiunea aplicat� la bornele condensatorului.

Figura 1.16

b

I O

CU

i(t)

ωt

u(t)

a

2π

ϕ = −2π


23

Urm�rind fig.1.17 se observ�:

În primul sfert de perioad� ��

��

��

��

�∈4

, 0T

t tensiunea aplicat� cre�te, varia�ia ei

este pozitiv� ( )

��

��

� > 0d

dttu

, curentul ( ) 0>ti are sensul de la sursa de energie c�tre

condensator �i serve�te pentru înc�rcarea acestuia cu cantitatea de electricitate ( )tq corespunz�toare tensiunii ( )tu aplicate la un moment dat. Când tensiunea atinge

valoarea maxim� ��

��

� =4T

t varia�ia ei este nul� ( )

��

��

� = 0d

dttu

�i curentul de înc�rcare se

anuleaz� ( )( )0=ti , înc�rcarea condensatorului fiind terminat�.

( ) 0=tuC

( ) 0=tu

( ) mIti =

+ - ( )tuC

( )tu

( ) 0>ti

( ) 0=tuC

( ) 0=tu

( ) mIti −=

+ - ( ) mC Utu =

( ) mUtu =

( ) 0=ti

+ - ( )tuC

( )tu

( ) 0<ti

- +

( )tuC

( )tu

( ) 0<ti

- +

( ) mC Utu −=

( ) mUtu −=

( ) 0=ti

- +

( )tu

( )tu

( ) 0>ti

Figura 1.17

T

( ) 0<ti

( )0

dd >

ttu

( ) mUtu =

2T

43T

( )0

dd >

ttu ( )

0d

d <ttu

( )0

dd <

ttu

( ) mUtu −=

( ) mIti −=

( ) 0>ti

( ) 0<ti

( ) 0>ti

desc�rcat înc�rcat

(sens invers) desc�rcat

ωt

( ) ( )titu ,

t

4T

( ) mIti =

desc�rcat înc�rcat

CIRCUITE ELECTRICE

24

În al doilea sfert de perioad� ��

��

��

��

�∈2

, 4

TTt tensiunea aplicat� scade, varia�ia ei

devine negativ� ( )

��

��

� < 0d

dttu

�i curentul schimb� de sens ( )( )0<ti ; prin urmare

condensatorul se descarc�, curentul având sensul de la condensator c�tre sursa de

energie. La anularea tensiunii ��

��

� =2T

t curentul de desc�rcare atinge valoarea

maxim�.

În al treilea sfert de perioad� ��

��

��

��

�∈4

3 ,

2TT

t tensiunea aplicat� schimb� de sens

�i începe procesul de desc�rcare în sens invers a condensatorului, proces care se petrece la fel ca în primul sfert de perioad�. Astfel, la cre�terea în valoare absolut� a

tensiunii negative varia�ia acestuia este negativ� ( )

��

��

� < 0d

dttu

. Ca urmare curentul de

desc�rcare p�strând sensul negativ ( )( )0<ti se transform� în curent de înc�rcare a condensatorului în sens invers (în noul sens al tensiunii aplicate). Când tensiunea

(negativ�) atinge valoarea maxim� ��

��

� =4

3Tt varia�ia ei devine nul� �i înc�rcarea

condensatorului este terminat�.

În ultimul sfert de perioad� ��

��

��

��

�∈ T , 4

3Tt tensiunea aplicat� (negativ�) scade în

valoare absolut�, varia�ia ei devine pozitiv� ( )

��

��

� > 0d

dttu

�i curentul schimb� de sens

( )( )0>ti ; prin urmare condensatorul se descarc�, curentul devine pozitiv circulând de la condensator c�tre sursa de energie. În momentul când tensiunea la bornele condensatorului se anuleaz� ( )Tt = condensatorul este complet desc�rcat, curentul de desc�rcare trecând prin valoarea maxim�. Odat� cu schimbarea sensului tensiunii în sfertul de perioad� urm�tor curentul de desc�rcare se transform� în curent de înc�rcare a condensatorului în noul sens al tensiunii aplicate, dup� care ciclul se repet�. A�adar, prin circuitul cu condensator circul� un curent alternativ, reprezentând curentul de înc�rcare �i desc�rcare a condensatorului prin dielectricul condensatorului dar este continuat de c�tre curentul de deplasare din dielectric.


25

1.3. ANALIZA CIRCUITELOR ELECTRICE REPREZENTATE PRIN SCHEME ECHIVALENTE PARALEL FUNC�IONÂND ÎN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

1.3.1. CIRCUITUL RLC PARALEL

Se consider� în fig.1.18 un circuit care cuprinde un rezistor având rezisten�a R, respectiv

conductan�a G ��

��

� =R

G1 , o bobin� de inductan�� L �i

un condensator de capacitate C, conectate în paralel (circuit RLC paralel) �i alimentat de la o surs� de tensiune sinusoidal� de pulsa�ie ω (se presupune c� rezisten�a R include �i rezisten�ele proprii ale bobinei �i condensatorului). Cele trei ramuri, fiind alimentate de aceea�i

tensiune ( )tu sunt str�b�tute de curen�i diferi�i care se pot exprima în func�ie de tensiunea comun� ( )tu �i parametrii ramurilor. Curentul care trece prin rezistor este propor�ional cu conductan�a G a sa:

( ) ( )tGutiG = . (1.33)

Curentul prin bobin� creeaz� fluxul magnetic variabil ( ) ( )tLit LL =� �i o tensiune electromotoare de autoinduc�ie care în orice moment este compensat� de tensiunea

( )tu aplicat�, respectiv: ( ) ( ) ( )t

ttetu L d

d L�=−= .

Se deduce ( ) ( )L

tti L

L�= �i ( ) ( )�= ttutL d� �i prin urmare:

( ) ( )�= ttuL

tiL d1

. (1.34)

Curentul prin condensator este exprimat de rela�ia:

( ) ( )ttq

tiC dd= . (1.35)

Aplicând prima teorem� a lui Kirchhoff într-unul din noduri rezult�:

( ) ( ) ( ) ( )titititi LCG ++= . (1.36)

Figura 1.18

u(t)

iG(t)

i(t)

G C

iC(t) iL(t)

L

CIRCUITE ELECTRICE

26

Înlocuind în rela�ia (1.35) curen�ii deriva�i, exprima�i prin rela�iile (1.33), (1.34) �i (1.35) func�ie de tensiunea aplicat�, se ob�ine ecua�ia integro-diferen�ial� a circuitului:

( ) ( ) ( ) ( )�++= ttuLt

tuCtGuti d

1d

d, (1.37)

în care necunoscuta este curentul ( )ti . Admi�ând tensiunea sinusoidal� de forma:

( ) ( )utUtu γ+ω⋅= sin2

�i f�când înlocuirile în rela�ia precedent� se ob�ine:

( ) ( ) ��

��

� −γ+ω⋅ω

+��

��

� +γ+ω⋅ω+γ+ω⋅=2�

sin22�

sin2sin2 uuu tL

UtCUtGUti ,(1.38)

rela�ie din care se pot deduce valorile efective �i fazele ini�iale ale curen�ilor deriva�i în situa�ia în care tensiunea este considerat� origine de faz�. Pentru a aduce expresia valorii instantanee a intensit��ii curentului sub forma:

( ) ( )itIti γ+ω⋅= sin2

sunt necesare artificii de calcul relativ dificile, de aceea rezolvarea circuitului se face utilizând reprezent�rile simbolice ale semnalelor sinusoidale.

* Aplicând metoda de reprezentare geometric� a semnalelor sinusoidale se scrie ecua�ia fazorial� corespunz�toare:

LCG IIII ++= , (1.39)

în care fazorii reprezentând curen�ii deriva�i sunt cunoscu�i prin modulul lor – egal cu valoarea efectiv� a curen�ilor respectivi – �i argumentul lor – egal cu faza ini�ial� a curen�ilor – , respectiv:

0GUIG = , 2�+ω= CUIC ,

2�+ω= CUIC . (1.40)

Se construie�te diagrama fazorial� luând fazorul tensiunii aplicate drept origine de faz� �i trasând fazorii reprezentativi astfel încât lungimile �i orient�rile lor s� corespund� modulelor, respectiv argumentelor, indicate de rela�iile (1.40). Din ecua�ia (1.38) precum �i din diagrama fazorial� trasat� în fig.1.19, se observ� c� curen�ii din ramurile con�inând bobina �i condensatorul sunt decala�i cu

2�

în urm�, respectiv înainte, în raport cu tensiunea; prin urmare ace�ti curen�i sunt

în opozi�ie, ei circul� în sensuri opuse. Din triunghiul curen�ilor OAB rezult�:

( ) ( )2

222 1��

��

� ⋅ω−⋅ω

+⋅=−+= UCUL

UGIIII CLG ,


27

de unde se deduce valoarea efectiv� a curentului nederivat:

UYCL

GUI ⋅=��

��

� ω−ω

+⋅=2

2 1 (1.41)

în care m�rimea 2

2 1��

��

� ω−ω

+== CL

GUI

Y

este admitan�a circuitului. Admitan�a este format� din doi termeni: conductan�a G a

circuitului �i m�rimea CL

B ω−ω

= 1 numit� susceptan�a circuitului. La rândul ei

susceptan�a circuitului este format� din doi termeni: L

BL ω= 1 , numit susceptan��

inductiv�, �i CBC ω= , numit susceptan�� capacitiv�. Cu aceste nota�ii admitan�a circuitului se poate exprima prin rela�ia:

( )2

22222 1��

��

� ω−ω

+=−+=+= CL

GBBGBGY CL . (1.42)

Prin urmare, valoarea efectiv� a curentului nederivat poate fi exprimat� func�ie de admitan�a circuitului prin rela�ia:

( )2

22222 1��

��

� ω−ω

+⋅=−+⋅=+⋅=⋅= CL

GUBBGUBGUUYI CL . (1.43)

Defazajul curentului nederivat în raport cu tensiunea rezult� din triunghiul curen�ilor OAB sau din triunghiul admitan�elor oab, reprezentat în fig.1.20, ob�inut

Figura 1.19

b

LI

RI

I

U

B

A >

O ϕ < 0

CI

LI

CIU

CL II +

a LI

RI U

I

B

A O

ϕ > 0

LI

CL II +

CI

CI

c

ϕ = 0

0=+ CL II

LI

II R ≡

U A ≡ B

O

LI

CI CI

CIRCUITE ELECTRICE

28

prin împ�r�irea laturilor triunghiului curen�ilor prin tensiunea U care este factorul comun al celor trei curen�i. Se ob�ine:

G

CL

G

BB

GB CL

ω−ω=

−==ϕ

1

tan , prin urmare:

G

CL

GBB CL

ω−ω=

−=ϕ

1

arctanarctan . (1.44)

Faza ini�ial� a intensit��ii curentului este:

G

CL

uui

ω−ω−γ=ϕ−γ=γ

1

arctan (1.45)

Din rela�iile (1.43) �i (1.44) �i utilizând regula de reprezentare fazorial� rezult� fazorul corespunz�tor curentului:

G

CLC

LGUI u

ω−ω−γ�

�

��

� ω−ω

+=

1

arctan1

22

2

. (1.46)

Prin urmare, utilizând regula de reprezentare invers� (fazor – valoare instantanee), valoarea instantanee a intensit��ii curentului va avea expresia:

( )��

�

�

��

�

� ω−ω−γ+ω⋅�

�

��

� ω−ω

+=G

CLtC

LGUti u

1

arctansin1

22

2 . (1.47)

Din rela�ia (1.44) se observ� c� unghiul ϕ poate avea valori pozitive sau negative dup� cum susceptan�a inductiv� este mai mare sau mai mic� decât susceptan�a capacitiv�: - în cazul în care susceptan�a inductiv� este preponderent� ( )CL BB > circuitul se

nume�te inductiv �i se caracterizeaz� printr-un curent decalat în urm� în raport cu tensiunea aplicat� ( )0>ϕ – fig.1.19.a;

- în cazul în care susceptan�a capacitiv� este preponderent� ( )LC BB > circuitul este capacitiv fiind caracterizat printr-un curent defazat înaintea tensiunii ( )0<ϕ – fig.1.19.b;

- în cazul în care susceptan�a capacitiv� este egal� cu susceptanta capacitiv� ( )LC BB > circuitul este rezistiv fiind caracterizat printr-un curent în faz� cu tensiunea ( )0=ϕ – fig.1.19.c.

Figura 1.20

G

b

a o ϕ

Y CL BBB −=


29

Formele de und� ale tensiunii �i intensit��ii curentului sunt identice cu cele reprezentate în fig.1.4.

* Rezolvarea circuitului se poate face �i pe calea utiliz�rii reprezent�rii în complex a rela�iei (1.37). Astfel, utilizând reprezentarea în complex nesimplificat, imaginea ecua�iei circuitului se scrie:

uL

uCuGi ⋅ω

−⋅ω+⋅= 1jj (1.48)

de unde rezult�:

( )[ ] ( ) uYuBGuBBGuCL

Gi CL ⋅=⋅−=⋅−−=⋅�

��

��

��

� ω−ω

−= jj1

j

în care

( ) ( ) ϕ−⋅=−=−−=��

��

� ω−ω

−= jjj1

j eYBGBBGCL

GY CL (1.49)

este admitan�a complex� cu modulul

( )2

222 1��

��

� ω−ω

+=−+= CL

GBBGY CL

�i argumentul

G

CL

GBB CL

ω−ω=

−=ϕ

1

arctanarctan .

Valoarea instantanee complex� a curentului rezult�: ( ) ( ) ( )iuu ttt IYUYUuYi γ+ωϕ−γ+ωϕ−γ+ω ⋅=⋅=⋅⋅=⋅= jjij e2e2ee2

unde

( )2

222 1��

��

� ω−ω

+⋅=−+⋅=⋅= CL

GUBBGUUYI CL .

sau, sub form� trigonometric�:

( ) ( )ii tItIi γ+ω+γ+ω= sin2jcos2 .

Din ultima rela�ie se deduce expresia curentului aplicând regula de trecere de la imaginea în complex la valoarea instantanee a semnalului sinusoidal corespunz�tor:

( ) { }��

�

�

��

�

� ω−ω−γ+ω⋅�

�

��

� ω−ω

+==G

CLtC

LGUiti u

1

arctansin1

2Im2

2 .

CIRCUITE ELECTRICE

30

* Utilizând metoda reprezent�rii în complex simplificat imaginea ecua�iei circuitului se scrie:

UL

UCUGI ⋅ω

+⋅ω+⋅=j1

j (1.50)

de unde se deduce:

( )[ ] ( ) UYUBGUBBGUCL

GI CL ⋅=⋅−=⋅−−=⋅�

��

��

��

� ω−ω

−= jj1

j

în care uje γ⋅= UU , deoarece orientarea fazorului reprezentativ coincide cu axa

real�, iar ϕ−⋅= jeYY , dup� cum rezult� din rela�iile precedente. Prin urmare:

( ) iIYUYUUYI γϕ−γϕ−γ ⋅=⋅=⋅=⋅= j-jij eeee uu unde:

( )2

222 1��

��

� ω−ω

+⋅=−+⋅=⋅= CL

GUBBGUUYI CL

�i

CL

GBB CL

ω−ω=

−=ϕ

1

arctanarctan .

Având valoarea efectiv� �i argumentul m�rimii sinusoidale se poate scrie expresia curentului sinusoidal:

( )��

�

�

��

�

� ω−ω−γ+ω⋅�

�

��

� ω−ω

+=G

CLtC

LGUti u

1

arctansin1

22

2 .

La aceea�i rela�ie se ajunge utilizând regula de trecere de la imaginea în complex la valoarea instantanee corespunz�toare observând c�:

( ) { } ( ){ } ( )ϕ−γ+ω⋅=⋅=⋅= ϕ−γ+ωωu

tt tYUYUIti u sin2e2Ime2Im jj .

Din cele expuse se observ� c� oricare ar fi metoda de rezolvare a circuitului, se ajunge la acela�i rezultat. Metoda de rezolvare grafo-analitic� bazat� pe reprezentarea geometric� este mai laborioas� dar prezint� avantajul c� permite compararea valorilor �i defazajelor diferi�ilor termeni ai ecua�iei, pe când metoda reprezent�rii simbolice prezint� avantajul unei determin�ri rapide a m�rimii necunoscute, care nu necesit� construc�ii grafice.


31

* Puterea activ� corespunz�toare circuitului RLC paralel are expresia:

0coscos 22 ≥=ϕ=ϕ= GUYUUIP , (1.51)

�i este pozitiv� sau, la limit�, nul�, indiferent de valoarea defazajului ϕ, ceea ce înseamn� c�, în general, circuitul RLC paralel consum� putere reactiv�. Puterea reactiv�:

222 1sinsin IC

LBUYUUIQ �

�

��

� ω−ω

==ϕ=ϕ= (1.52)

este: - pozitiv� în cazul circuitelor cu caracter inductiv (circuitul consum� putere reactiv�), - negativ� în cazul circuitelor cu caracter capacitiv (circuitul consum�, de

asemenea, putere reactiv�) - nul� în cazul circuitelor cu caracter rezistiv (circuitul nu consum� �i nici nu

absoarbe putere reactiv�). Astfel, puterea aparent� complex�:

2222 1jjBsinjcosj UC

LGUYUUGUIUIQPS ⋅�

��

��

��

� ω−ω

+=⋅=⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=+=

(9.53)

având modulul 2

2222 1��

��

� ω−ω

+⋅=+= CL

GUQPS (9.54)

poate fi: - real� în cazul circuitelor cu caracter rezistiv, - pur imaginar�, în cazul circuitelor cu caracter pur reactiv, având partea imaginar�:

- pozitiv� în cazul circuitelor cu caracter inductiv, - negativ� în cazul circuitelor cu caracter capacitiv).

Prin urmare un circuit RLC serie func�ionând în regim permanent sinusoidal consum� atât putere activ� cât �i puterea reactiv�.

În concluzie, în cazul unui circuit RLC paralel func�ionând în regim permanent sinusoidal se ob�ine:

- admitan�a complex�: ��

��

� ω−ω

+= CL

GY1

j

- admitan�a: 2

2 1��

��

� ω−ω

+= CL

GY

- defazajul tensiunii în raport cu curentul: G

CL

ω−ω=ϕ

1

arctan

CIRCUITE ELECTRICE

32


2 1��

��

� ω−ω

+⋅= CL

GUI

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: G

CL

ui

ω−ω−γ=γ

1

arctan


( )��

�

�

��

�

� ω−ω−γ+ω⋅�

�

��

� ω−ω

+=G

CLtC

LGUti u

1

arctansin1

22

2

- puterea activ�: 2GUP =

- puterea reactiv�: 21UC

LQ ⋅�

�

��

� ω−ω

=

- puterea aparent� complex�: 21jj UC

LGQPS ⋅�

��

��

��

� ω−ω

+=+=


2222 1��

��

� ω−ω

+⋅=+= CL

GUQPS .

1.3.2. CIRCUITUL RL PARALEL

Circuitul RL paralel (fig.1.21) este o particularizare a circuitului RLC paralel ob�inut� prin întreruperea ramurii ce con�ine condensatorul (anularea curentului prin acesta). Având în vedere c�

( ) ( )ttuCtiC d

d=

rezult� c� întreruperea ramurii ce con�ine condensatorul este echivalent� cu o valoarea 0=C a capacit��ii acestuia. F�când 0=C în rela�iile (1.42) (1.44), (1.45), (1.47), (1.41) �i (1.51 ÷ 1.54) se ob�ine:

- admitan�a complex�: L

GYω

+= 1j

Figura 1.21

u(t)

iG(t)

i(t)

G

iL(t)

L


33

- admitan�a: 2

2 1��

��

�

ω+=

LGY


��

� π∈ω

=ϕ2

,01

arctanLG


2 1��

��

�

ω+⋅=

LGUI

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: uui GL γ<ω−γ=γ

1

arctan


( )��

�

�

��

�

�

ω−γ+ω⋅��

��

�

ω+=

GLt

LGUti u

1

arctansin1

22

2

- puterea activ�: 02 ≥= GUP

- puterea reactiv�: 01 2 ≥⋅

ω= U

LQ

- puterea aparent� complex�: 21jj U

LGQPS ⋅�

�

��

�

ω+=+=


2222 1��

��

�

ω+⋅=+=

LGUQPS .

Prin urmare, în cazul unui circuit RL paralel func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - admitan�a este complex� - defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este pozitiv (circuitul are caracter

inductiv)

- curentul este defazat în urma tensiunii cu un unghi 2π<ϕ radiani


parte imaginar� (egal� cu puterea reactiv�). Formele de und� pentru tensiune �i intensitatea curentului precum �i diagrama fazorial� corespunz�toare sunt prezentate în fig.1.22.

CIRCUITE ELECTRICE

34

1.3.3. CIRCUITUL RC PARALEL

Circuitul RC paralel (fig.1.23) este o particularizare a circuitului RLC paralel ob�inut� prin întreruperea ramurii ce con�ine bobina (anularea curentului prin aceasta). Având în vedere c�

( ) ( )�= ttuL

tiL d1

rezult� c� întreruperea ramurii ce con�ine bobina este echivalent� cu o valoarea ∞=L a inductan�ei acesteia. F�când ∞=L în rela�iile (1.42) (1.44), (1.45), (1.47), (1.41) �i (1.51 ÷ 1.54) se ob�ine:

- admitan�a complex�: CGY ω−= j

- admitan�a: ( )22 CGY ω+=


��

� π−∈ω−=ϕ 0,2

arctanGC

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: ( )22 CGUI ω+⋅=

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: uui GC γ>ω+γ=γ arctan


( ) ( ) ��

��

� ω+γ+ω⋅ω+=GC

tCGUti u arctansin2 22

- puterea activ�: 02 ≥= GUP

- puterea reactiv�: 02 ≥⋅ω= UCQ

Figura 1.22

i(t)

u(t)

ϕ

a O

b

B

RI U

I

A O

ϕ > 0

LI LIU

Figura 1.23

u(t)

iG(t)

i(t)

G C

iC(t)


35

- puterea aparent� complex�: ( ) 2jj UCGQPS ⋅ω−=+=

- puterea aparent�: ( )22222 CGUQPS ω+⋅=+= .

Prin urmare, în cazul unui circuit RC paralel func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii: - admitan�a este complex� - defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este negativ (circuitul are caracter

capacitiv)

- curentul este defazat înaintea tensiunii cu un unghi 2π<ϕ radiani


parte imaginar� (egal� cu puterea reactiv�).

Formele de und� pentru tensiune �i intensitatea curentului precum �i diagrama fazorial� corespunz�toare sunt prezentate în fig.1.24.

1.3.4. CIRCUITUL LC PARALEL

Circuitul LC paralel (f�r� pierderi sau supraconductor) este o particularizare a circuitului RLC paralel ob�inut� prin întreruperea ramurii ce con�ine rezistorul (anularea curentului prin acesta). Având în vedere c�

( ) ( )tGutiR =

rezult� c� întreruperea ramurii ce con�ine rezistorul este echivalent� cu o valoarea 0=G a conductan�ei acestuia. F�când 0=G în rela�iile (1.41) (1.43), (1.44), (1.46), (1.48) �i (1.50 ÷ 1.53) se ob�ine:

- admitan�a complex�: ��

��

� ω−ω

= CL

Y1

j

CI

RI

I

U A O ϕ < 0

CI

Figura 1.24

b

B i(t)

ωt

u(t)

a

ϕ

Figura 1.25

u(t)

i(t)

C

iC(t) iL(t)

L

CIRCUITE ELECTRICE

36

- admitan�a: CL

Y ω−ω

=1

- defazajul tensiunii în raport cu curentul: 20

1

arctanπ+=

ω−ω=ϕ

CL

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: UCL

I ⋅��

��

� ω−ω

= 1

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: 2π−γ=γ ui


( ) ��

��

� π−γ+ω⋅��

��

� ω−ω

=2

sin1

2 utUCL

ti


- puterea reactiv�: 21UC

LQ ⋅�

�

��

� ω−ω

=

- puterea aparent� complex�: 21jj UC

LQPS ⋅�

�

��

� ω−ω

=+=

- puterea aparent�: 222 1UC

LQPS ⋅�

�

��

� ω−ω

=+= .

Prin urmare, în cazul unui circuit LC paralel func�ionând în regim permanent sinusoidal se pot face urm�toarele observa�ii:

- admitan�a este pur imaginar� sau nul� (pentru CL

ω=ω1

)

- defazajul ϕ al tensiunii în raport cu curentul este:

- pozitiv (pentru circuite cu caracter inductiv, la care CL

ω>ω1

)

- negativ (pentru circuite cu caracter capacitiv, la care CL

ω<ω1

)

- nedeterminat (pentru CL

ω=ω1

)

- curentul este:

- defazat în urma tensiunii cu un unghi 2π=ϕ radiani (pentru C

Lω>

ω1

)

- defazat înaintea tensiunii cu un unghi 2π=ϕ radiani (pentru C

Lω<

ω1

)

�i are valoarea efectiv� infinit� pentru CL

ω=ω1

(în acest caz circuitul reprezentând un scurtcircuit)

- circuitul nu consum� putere activ�, de aceea aceste circuite se numesc f�r� pierderi

- circuitul consum� putere reactiv� (nul� în cazul CL

ω=ω1

)

- puterea aparent� complex� este pur imaginar� - puterea aparent� este egal� cu puterea reactiv�. Pentru acest circuit este valabil� diagrama fazorial� din fig.1.26.


37

S� consider�m c� la un moment dat întrerupem alimentarea circuitului. În momentul întreruperii

curentul în circuit are valoarea instantanee i, energia câmpului magnetic este 2

21

LiWm = , iar a celui

electric 2

21

Ce CuW = . Chiar dup� întreruperea aliment�rii, procesul electromagnetic în acest circuit va

continua pe seama energiei câmpurilor. Altfel spus, în circuit va continua s� circule un curent i, de�i circuitul nu mai este alimentat de la surs�. Energia câmpului electric va trece în câmpul magnetic, iar de aici în câmpul electric �i a�a mai departe, prin intermediul unui curent i alternativ de pulsa�ie

LC

1=ω . Deoarece circuitul nu are rezisten�a care s� transforme energia câmpurilor în c�ldur� �i s�

o cedeze mediului exterior, procesul ar continua la infinit, f�r� ca valoarea efectiv� a curentului s� scad� (proces neamortizat). Un astfel de circuit, numit circuit oscilant, nu poate exista în practic� deoarece nu exist� bobine �i condensatori ideali (având rezisten�ele proprii nule). Circuitul, numit circuit f�r� pierderi sau supraconductor, prezint� importan�� doar din punct de vedere teoretic. În ceea ce prive�te rezistorul, bobina �i condensatorul ideal, pentru a ob�ine rela�iile corespunz�toare în func�ie de parametrii conductan�� i susceptan�� se fac urm�toarele transform�ri în rela�iile corespunz�toare din paragrafele 1.2.5, 1.2.6, 1.2.7: - impedan�ele complexe în admitan�e complexe - impedan�ele în admitan�e - rezisten�a în conductan�� - reactan�ele în suseptan�e - curen�ii în tensiuni �i invers Astfel, rela�iile scrise în func�ie de parametrii conductan�� i susceptan�� se scriu sub forma:

GY G = , L

Y L ω−= 1j , CY C ω= j ;

GYG = , L

YL ω= 1

, CYC ω= ;

2π=ϕ

b

U O

LI

CIU

I = CL II +

Figura 1.26

c

U

LI

= 0 I = CL II +

∞

2π=ϕ

a

U

LI

O

I = CL II +

CIU

O

CIU

CIRCUITE ELECTRICE

38

UGIG ⋅= , UL

IL ⋅ω

= 1 , UCIC ⋅ω= ;

2UGPG ⋅= , 21 UL

PL ⋅ω

= , 2UCPC ⋅ω= .

1.4. REZONAN�E ÎN CIRCUITE LINIARE F�R� CUPLAJE MAGNETICE

În general sursele de energie electric� care alimenteaz� circuitele electrice furnizeaz� acestora atât putere activ�, necesar� diverselor utiliz�ri, cât �i putere reactiv�, corespunz�toare varia�iei energiei înmagazinate în câmpurile electrice �i magnetice ale re�elei. În anumite cazuri particulare este posibil ca în timp ce în unele din aceste câmpuri se acumuleaz� energie, în celelalte câmpuri energia s� scad� cu o cantitate egal�, câmpurile electrice �i magnetice furnizându-�i reciproc energia necesar�, a�a încât, schimbul de energie între surs� �i câmpurile din circuit este nul în orice moment �i – corespunz�tor – puterea reactiv� furnizat� de surs� este de asemenea nul�. De�i circuitul are elemente reactive el va absorbi de la surs� numai putere activ�. În acest caz se spune c� în circuit au loc fenomene de rezonan��. A�a cum s-a v�zut în §.1.2.1 �i §.1.3.1 este posibil ca, la func�ionarea circuitelor RLC (serie sau paralel), în anumite condi�ii, defazajul tensiunii în raport cu curentul s� fie nul de�i circuitele con�in elemente reactive care defazeaz� curentul în raport cu tensiunea. Având în vedere expresia defazajului corespunz�tor circuitelor RLC serie �i paralel, condi�ia de rezonan�� poate fi scris�, dup� caz:

• 001 =�=�=�ω

=ω QXXXC

L eCL – în cazul circuitelor reprezentate prin

scheme echivalente serie,

• 001 =�=�=�ω=

ωQBBBC

L eCL – în cazul circuitelor reprezentate prin

scheme echivalente paralel. Condi�ia de rezonan�� poate fi ob�inut�: • la varia�ia pulsa�iei, respectiv a frecven�ei tensiunii de alimentare, p�strând

constante inductan�a L �i capacitatea C:

LCr

1=ω respectiv LC

fr π=

21

,

ωr �i fr numindu-se pulsa�ie, respectiv frecven�� de rezonan��;

• la varia�ia inductan�ei, alimentând circuitul de la o surs� de frecven�� fix� �i p�strând constant� capacitatea C:


39

CLr 2

1ω

= ,

Lr numindu-se inductan�� de rezonan��; • la varia�ia capacit��ii, alimentând circuitul de la o surs� de frecven�� fix� �i

p�strând constant� inductan�a L:

LCr 2

1ω

= ,

Cr numindu-se capacitate de rezonan��.

În cele ce urmeaz� vom analiza consecin�ele regimului de rezonan��, comparativ pentru cele dou� circuite: RLC serie �i RLC paralel, considerând c� s-a ob�inut condi�ia de rezonan�� prin varia�ia pulsa�iei.

1.4.1. REZONAN�A ÎN CIRCUITE RLC SERIE

În cazul unui circuit RLC serie func�ionând în regim permanent sinusoidal, în condi�ii de rezonan��, pornind de la rela�iile (1.9 ÷ 1.12), (1.14), (1.17) �i (1.28 ÷ 1.31) se ob�ine:

- impedan�a complex�: RC

LRZr

rr =��

��

�

ω−ω+= 1

j

- impedan�a: min

22 1

ZRC

LRZr

rr ==��

��

�

ω−ω+=


1

arctan =ω−ω

=ϕR

CL

rr

r , 1cos =ϕr

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: RU

ZU

Ir

r == , maxIRU

ZU

Ir

r ===

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: ur

r

ui RC

L

rγ=ω

−ω−γ=γ

1

arctan

- tensiunea la bornele rezistorului ideal:

URU

RIRU rrR =⋅=⋅= , UU rR = (1.55)

- tensiunea la bornele bobinei ideale:

CIRCUITE ELECTRICE

40

UR

LRULILU r

rrrrLω=⋅ω=⋅ω= jjj , U

RL

U rrL

ω= (1.56)

- tensiunea la bornele condensatorului ideal:

UR

LU

RCRU

CI

CU r

rrr

rrC

ω−=ω

−=⋅ω

−=⋅ω

−= j1

j1

j1

j , URC

Ur

rC ω= 1

(1.57)

- puterea activ�: max

22 P

RU

IRP rr ==⋅=

- puterea reactiv�: 01 2 =��

�

��

�

ω−ω= r

rrr I

CLQ .

Curbele de varia�ie în timp a semnalelor sinusoidale u(t) �i i(t) �i diagramele fazoriale ale tensiunilor în condi�ii de rezonan�� au fost prezentate în fig.1.4.c. respectiv fig.1.2.c.

În concluzie, în regim de rezonan��: - impedan�a (real�), egal� cu rezisten�a circuitului, are valoare minim�, - factorul de putere este maxim, - curentul, în faz� cu tensiunea, are valoare maxim�, - tensiunea pe bobin� �i condensator sunt egale în valori efective, �i de semn

contrar �i pot dep��i tensiunea aplicat� circuitului, adic� în circuit apar supratensiuni. Din acest motiv rezonan�a serie se mai nume�te �i rezonan�� de tensiuni.

Condi�ia de apari�ie a supratensiunilor este ca tensiunea pe bobin� sau condensator (egale între ele) s� fie mai mare decât tensiunea pe rezisten��, egal� cu tensiunea de alimentare a circuitului:

11 >

ω=ω

RCRL

r

r

Dar cum în regim de rezonan�� LC

r1=ω , rezult� 1

1 >CL

R.

Notându-se C

LCL

rr ω

=ω==ρ 1 – impedan�a caracteristic� a circuitului RLC

serie, condi�ia de apari�ie a supratensiunilor se poate scrie �i sub forma:

RRU

U

rR

rL >ρ⇔>ρ⇔> 11 .

Supratensiunile de rezonan�� pot determina arderea spirelor bobinei sau str�pungerea dielectricului condensatorului. Dac� se define�te factorul de calitate al circuitului q, numeric egal cu raportul de amplificare al tensiunilor la rezonan��:


41

RUU

UU

q rCrL ρ=== (1.58)

�i factorul de amortizare al circuitului:

CLRR

qd =

ρ== 1

(1.59)

condi�ia de apari�ie a supratensiunilor se mai poate scrie:

1>q sau 1<d .

La rezonan�� circuitul RLC serie nu consum� �i nu debiteaz� putere reactiv�. Dac� într-un circuit electric unul din parametrii R, L, C sau pulsa�ia ω este variabil�, pentru anumite valori se atinge condi�ia de rezonan��. În timpul acestei varia�ii, semnalele electrice din circuit (tensiuni, curen�i) �i factorul de putere variaz� dup� curbe caracteristice, denumite curbe de rezonan��. De cele mai multe ori intereseaz� curbele de rezonan�� ob�inute prin varia�ia pulsa�iei ω astfel încât în cele ce urmeaz� vor fi analizate unele din aceste curbe, în cazul circuitului RLC serie, f�r� a efectua calculele matematice corespunz�toare, acestea fiind elementare. Se noteaz�:

ωω=

ω=

ωrd

LCLCR

LR 11

rdLC

LC

RRC

C

Rωω=ω=ω=

ω1

Intensitatea curentului în circuit

22 1

��

��

�

ω−ω+

=

CLR

UI

• pentru 0=ω are valoarea 00 =I ,

• pentru ( ]rω∈ω ,0 cre�te pân� la RUI =max ,

• pentru [ )∞ω∈ω ,r scade din nou pân� la 0=∞I (fig.1.27). Tensiunea la bornele bobinei

2

2

2

2

22

22

11

��

��

�

ωω−+

ωω

=

��

��

�

ω−ω+

⋅ω=⋅ω=

rr

L

d

U

CLR

ULILU (1.60)

• pentru 0=ω are valoarea 00 =LU ,

CIRCUITE ELECTRICE

42

• pentru ( ]Lω∈ω ,0 unde rrL dω>

−ω=ω

222 cre�te pân� la valoarea maxim�

41

2maxdd

UUL

−

= ,

• pentru [ )∞ω∈ω ,L , scade pân� la valoarea UUL =∞ (fig.1.27). Tensiunea la bornele condensatorului

2

2

2

2

22

22

11

11

��

��

�−

ωω+

ωω

=

��

��

�

ω−ω+

⋅ω

=⋅ω

=

rr

C

d

U

CLR

UC

IC

U (1.61)

• pentru 0=ω are valoarea UUC =0 ,

• pentru ( ]Cω∈ω ,0 unde rrCd ω<−ω=ω

22 2

cre�te pân� la valoarea

max2max

41

LC Ud

d

UU =

−

=

• pentru [ )∞ω∈ω ,C scade pân� la valoarea 0=∞CU (fig.1.27). Pentru rω=ω , adic� la rezonan��, tensiunile UL �i UC sunt egala �i au valoarea efectiv�

dU

UU rCrL == .

Se observ� c� pentru 2>d , valorile ωL �i ωC sunt imaginare, deci UL cre�te continuu, iar UC scade continuu, f�r� a trece prin maxime. Din rela�iile precedent, rezult� clar �i condi�iile în care apar supratensiuni în circuitele RLC serie �i anume: pentru 2≥d nu apar supratensiuni la nici o pulsa�ie; pentru 2<d apar supratensiuni la pulsa�i diferite de pulsa�ia de rezonan��, dar în general apropiate de aceasta. Unghiul de defazaj ϕ între tensiunea u(t) �i intensitatea curentului i(t) rezult� din rela�ia:

��

��

�

ωω−

ωω=ω

−ω=ϕ r

rdRC

L 11

tan . (1.62)

• pentru 0=ω ∞=ϕtan , 2π−=ϕ , deci curentul este defazat capacitiv cu

2π

înaintea tensiunii u(t) (fig.1.27),


43

• pentru ( ]rω∈ω ,0 unghiul ϕ scade în valoare absolut� �i pentru rω=ω , adic� la rezonan��, 0tan =ϕ , 0=ϕ , deci curentul este în faz� cu tensiunea, iar factorul de putere 1cos =ϕ ,

• pentru [ )∞ω∈ω ,r defazajul cre�te în sens inductiv �i pentru ∞=ω , ∞=ϕtan ,

2π=ϕ , adic� curentul este defazat cu

2π

în urma tensiunii.

Pentru a putea compara mai u�or diferite circuite între ele, se obi�nuie�te ca m�rimile I, UL �i UC s� fie reprezentate nu în valorile absolute, ci prin m�rimile relative

maxII

i = , UU

u LL = ,

UU

u CC = ,

considerând ca variabil� pulsa�ia relativ� rω

ω=η . În cele ce urmeaz� se va ar�ta

numai varia�ia intensit��ii relative i a curentului. �inând seama de expresia intensit��ii maxime a curentului rezult�:

2

2

222max 11

1

1

11

1

1��

��

�

η−η+

=

��

��

�

ω−ω+

=⋅

��

��

�

ω−ω+

==

dRCRLU

R

CLR

UI

Ii (1.63)

Din aceast� expresie rezult�: • pentru 0=η ( )0=ω intensitatea relativ� i a curentului are valoarea zero ( )0=I , • pentru 1=η ( )rω=ω intensitatea relativ� i a curentului are valoarea maxim� 1=i

( )maxII = , • pentru ∞→η 0→i (fig.1.28). Figura 1.28

i

2

1

0

0ωω=η

Figura 1.27

I, UL, UC, ϕ

I

2π

Imax

U

2π−

0 ω ωL ωC ωr

ϕ

U

UL

ULmax = UCmax

CIRCUITE ELECTRICE

44

Forma exact� a curbei depinde îns� de valoarea factorului de amortizare d. Cu cât factorul de amortizare este mai mare, cu atât curba de rezonan�� este mai plat� �i invers, cu cât factorul de amortizare este mai mic, cu atât curba curentului este mai ascu�it�, deci rezonan�a apare mai puternic în eviden��.

1.4.2. REZONAN�A ÎN CIRCUITE RLC PARALEL

În cazul unui circuit RLC paralel func�ionând în regim permanent sinusoidal, în condi�ii de rezonan��, pornind de la rela�iile (1.42) (1.44), (1.45), (1.47), (1.49) �i (1.51 ÷ 1.54) se ob�ine:

- admitan�a complex�: GCL

GY rr

r =��

��

�ω−

ω+= 1

j

- admitan�a: min

22 1

YGCL

GY rr

==��

��

�ω−

ω+=


1

arctan =ω−

ω=ϕG

CL r

rr , 1cos =ϕr

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: UGUCL

GI rr

r ⋅=⋅�

��

��

��

�ω−

ω−= 1

j ,

minIUGIr =⋅=

- faza ini�ial� a intensit��ii curentului: u

rr

uri G

CL γ=

ω−ω−γ=γ

1

arctan

- intensitatea curentului prin rezistor: rrR IUGI =⋅= , rrR IUGI =⋅=

- intensitatea curentului prin bobin�: UL

Ir

rL ⋅ω

−= 1j , U

LI

rrL ⋅

ω= 1

- intensitatea curentului prin condensator: UL

UCIr

rrC ⋅ω

=⋅ω= 1jj , U

LI

rrL ⋅

ω= 1

- puterea activ�: 2GUPr =

- puterea reactiv�: 01 2 =⋅��

�

��

�ω−

ω= UC

LQ r

rr

În concluzie, în regim de rezonan��: - admitan�a (real�), egal� cu conductan�a circuitului, are valoare minim�,


45

- factorul de putere este maxim, - curentul, în faz� cu tensiunea, are valoare minim�, - intensit��ilor curen�ilor prin bobin� �i condensator sunt egale în valori efective � de

semn contrar �i pot avea valori efective mai mari decât cea a intensit��ii curentului total furnizat de sursa de alimentare. În aceast� situa�ie pot apare supracuren�i, iar rezonan�a în circuitul RLC paralel se mai nume�te �i rezonan�� de curen�i.

Condi�ia de apari�ie a supracuren�ilor este:

GCL r

r>ω=

ω1

Deoarece la rezonan�� LC

r1=ω , rezult� G

LC >��

��

� .

Notând LC=γ – admitan�a caracteristic� a circuitului RLC paralel, condi�ia de

apari�ie a supracuren�ilor se mai poate scrie:

G>γ sau 1>γG

.

Dac� se define�te factorul de calitate al circuitului q, numeric egal cu raportul de amplificare al curen�ilor la rezonan��:

GII

II

qrR

rC

rR

rL γ=== (1.64)

�i factorul de amortizare

γ=δ G

condi�ia de apari�ie a supratensiunilor se mai poate scrie:

1>q sau 1<δ .

La rezonan�� circuitul RLC paralel nu consum� �i nu debiteaz� putere reactiv�. În cazul circuitelor RLC paralel, curbele de rezonan�� reprezint� varia�ia curen�ilor I, IR, IL, IC �i a defazajului ϕ în func�ie de pulsa�ia ω (fig.1.29). Curentul total

22 1

��

��

� ω−ω

+⋅= CL

GUI

• pentru 0=ω este infinit, • pentru ( ]rω∈ω ,0 scade la valoarea UGI ⋅=min , • pentru ( )∞ω∈ω ,r cre�te tinzând c�tre infinit. Curentul prin rezistor

UGRU

IR ⋅==

este constant.

CIRCUITE ELECTRICE

46

Curentul prin bobin�

LU

IL ω= (1.65)

• pentru 0=ω este infinit, • pentru ∞→ω , tinde c�tre zero. Deci curentul prin bobin� scade invers propor�ional cu pulsa�ia ω (curba de varia�ie descriind o hiperbol� echilater�). Curentul prin condensator

UCIC ⋅ω= (1.66)

• pentru 0=ω este zero, • pentru ∞→ω , tinde c�tre infinit. Deci curentul prin condensator variaz� propor�ional cu pulsa�ia ω (curba de varia�ie descriind o dreapt�). Unghiul de defazaj ϕ dintre tensiune �i

intensitatea curentului, determinat de rela�ia

G

CL

ω−ω=ϕ

1

tan

• pentru 0=ω , ∞=ϕtan , 2π=ϕ ,

• pentru rω=ω , 0tan =ϕ , 0=ϕ ,

• pentru ∞→ω , −∞→ϕtan , 2π−→ϕ .

Curbele de rezonan�� studiate mai sus pot fi reprezentate �i în m�rimi relative, a�a cum s-a ar�tat pentru circuitul RLC serie.

1.4.3. REZONAN�A ÎN CIRCUITE F�R� PIERDERI În cazul circuitelor f�r� pierderi LC serie, func�ionând la rezonan��:

- impedan�a complex� are expresia �i modulul: 01

j0

0 =��

��

�

ω−ω=

CLZ , 0

1

00 =

ω−ω=

CLZ (circuitul

fiind echivalent cu o ramur� scurtcircuitat�)

- valoarea efectiv� a intensit��ii curentului: ∞=

ω−ω

=

CL

UI

00

1, ceea ce înseamn� c� un astfel de

circuit nu poate func�iona la rezonan�� În cazul circuitelor f�r� pierderi LC paralel, func�ionând la rezonan��:

Figura 1.29

I, IR, IR, IC, ϕ

I

2π

IC

2π−

0 ω ωr

ϕ

IR = Imin

IL


47

- admitan�a complex� are expresia �i modulul: 01

j 00

=��

��

�ω−

ω= C

LY , 0

10

0=ω−

ω= C

LY (circuitul

fiind echivalent cu o ramur� întrerupt�)


00

=⋅��

��

�ω−

ω= UC

LI , ceea ce înseamn� c� un circuit

LC paralel la rezonan�� nu permite trecerea semnalelor sinusoidale de pulsa�ie de rezonan��; acest circuit reprezint� un filtru de frecven��.

1.4.4. REZONAN�A ÎN CIRCUITE MIXTE Am v�zut în §.1.3.4 c�, în cazul unui circuit format dintr-o bobin� �i un condensator conectate în paralel (�i considerate ideale – cu rezisten�e proprii nule) , chiar dup� întreruperea aliment�rii circuitului, în circuit va exista un curent de instantanee i, deoarece procesul electromagnetic în acest circuit va continua pe seama energiei câmpurilor, circula�ia curentului continuând la infinit. În practic�, circuitul din fig.1.25 nu poate fi lipsit de rezisten��, astfel încât energia câmpurilor se transform�, treptat, în c�ldur� iar valoarea efectiv� a curentului scade (proces amortizat), iar pulsa�ia scade de asemenea (fig.1.30). Pentru a men�ine valoarea curentului din circuit acesta trebuie alimentat cu energie din exterior. S� consider�m circuitul mixt din fig.1.31. Condi�ia de rezonan�� se poate ob�ine pe diferite c�i: a) folosind diagrama fazorial�, b) separând elementele active �i reactive ale circuitului, c) prin calcul cu ajutorul reprezent�rii simbolice analitice.

a) În ramura R1L serie curentul are valoarea efectiv� 1

1 ZU

I = �i este defazat cu

unghiul ϕ1 în urma tensiunii (fig.1.32); acest curent are o component� reactiv� cu valoarea efectiv� 111 sinϕ= IIr . În ramura R2C serie curentul are valoarea efectiv�

Figura 1.31

C L

i2(t)

u(t)

i(t)

i1(t)

R1 R2

i(t)

t

Figura 1.30

CIRCUITE ELECTRICE

48

22 Z

UI = �i este defazat cu unghiul ϕ2 înaintea tensiunii; acest curent are o

componenta reactiv� cu valoarea efectiv� 222 sinϕ= IIr . Pentru a ob�ine rezonan��, factorul de putere trebuie s� aib� valoarea unu, deci componenta reactiv� a curentului total trebuie s� fie nul� �i, în consecin��:

0sinsin2

2

21

1

1221121 =⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=+

ZX

ZU

ZX

ZU

IIII rr

sau

022

221

1 =+ZX

ZX

Deoarece LX ω=1 , C

Xω

−= 12 ,

2221

21 LRZ ω+= , 22

22

22

1C

RZω

+= , condi�ia

precedent� devine

01

1

2222

2222

=��

��

�

ω+ω

−ω+

ω

CRCLR

L. (1.67)

b) Cele dou� ramuri au urm�toarele susceptan�e echivalente

2221

21

11 LR

LZX

Bω+

ω== , ��

��

�

ω+ω

==

2222

22

22 1

1

CRCZ

XB .

La rezonan�� susceptan�a total� trebuie s� fie nul�, deci

01

1

2222

2221

21 =��

��

�

ω+ω

−ω+

ω=+=

CRCLR

LBBB (1.68)

d) Admitan�a complex� a circuitului este

CRLRZZ

YYY

ω−

+ω+

=+=+=1j

1j

111

2121

21

sau

2222

2

2221

1

1

1j

jj

CR

CR

LRLR

Y

ω+

ω+

+ω+ω−= .

Condi�ia de rezonan�� devine:

Figura 1.32

UIU

1I

2I

11IRU

22 IRU

Ir1

Ir2

ϕ1

ϕ2


49

01

1

2222

2221

=��

��

�

ω+ω

−ω+

ω=

CRCLR

LB (1.69)

În consecin��, indiferent de metoda folosit�, condi�ia de rezonan��, dat� de rela�iile (1.67), (1.68), (1.69) are aceea�i form�. Din rela�iile precedente, prin transform�ri simple, se deduce pulsa�ia la care are loc rezonan�a

22

2

21

21RR

LCr −ρ

−ρ=ω (1.70)

în care CL=ρ . Din expresia precedent� se deduc urm�toarele cazuri particulare:

1. Pentru ρ≠= 21 RR

LCr

1=ω

deci condi�ia de rezonan�� are aceea�i form� ca în circuitele RLC serie sau deriva�ie 2. Pentru ρ== 21 RR , condi�ia de rezonan�� sub forma (1.70) devin o

nedeterminare, deci rezonan�a se produce la orice pulsa�ie. 3. Pentru ρ>1R , ρ<2R sau ρ<1R , ρ<2R pulsa�ia ωr din rela�ia (1.70) este

imaginar�, deci rezonan�a nu este posibil�. 4. Un alt caz particular, cu aplica�ii practice, îl constituie cazul 02 =R , când ramura

a doua se reduce numai la o capacitate (într-adev�r, dac� ramura a doua reprezint� un condensator, neglijând pierderile sale de putere activ�, rezisten�a sa echivalent� poate fi de asemenea neglijat�).

Condi�ia de rezonan�� devine

0222

1

=ω−ω+

ωC

LRL

de unde

2221 LR

LC

ω+= .

Rela�ia precedent� d� valoarea capacit��i C a condensatorului care trebuie montat în paralel cu un circuit inductiv compus dintr-un rezistor de rezisten�� R1 în serie cu o bobin� de inductan�� L, pentru ca ansamblul s� aib� factor de putere egal cu unitatea.

1.4.5. REZONAN�A ÎN CIRCUITE DE ORDIN SUPERIOR În circuitele RLC serie �i paralel se ob�ine câte un singur regim de rezonan��. În circuite complexe con�inând mai multe elemente reactive (bobine �i condensatori) num�rul de rezonan�e este cu unu mai mic decât num�rul acestor elemente.

CIRCUITE ELECTRICE

50

Una dintre condi�iile de rezonan�� este ca intensitatea curentului absorbit de circuit s� fie în faz� cu tensiunea de la borne. Dac� circuitul este reprezentat sub forma unui dipol liniar pasiv (fig.1.33), pentru care tensiunea �i intensitatea curentului sunt exprimate în form� exponen�ial�, condi�ia ca cele dou� semnale s� fie în faz� conduce la un defazaj nul între acestea.

iu

i

u

II

UU

γ=γ

⋅=

⋅=

γ

γ

j

j

e

e

, 00 =ϕ�=γ−γ=ϕ iu

Cea mai general� condi�ie de rezonan�� este: 0=ϕ . Puterea reactiv� corespunz�toare dipolului, calculat� pe baza rela�iei sale de defini�ie, conduce la:

00sinsin =⋅=ϕ⋅= UIUIQ Deci un circuit în regim de rezonan�� nu produce �i nu consum� putere reactiv�.

1cosk , 0

22

=ϕ==��

��

=

+=PS

Q

QPS

Dac� circuitul este reprezentat sub forma unui dipol liniar pasiv, el poate fi echivalat printr-o impedan�� complex� Ze (fig.1.34)

ϕ⋅=+= jej eeee ZXRZ

cu modulul 22eee XRZ += �i argumentul

e

e

RX

arctan=ϕ .

Deoarece la rezonan�� 0=ϕ , rezult� 0=eX sau ( ) 0Im =eZ reprezentând condi�ia de rezonan�� când circuitul este redus la o impedan��. În mod asem�n�tor, dac� circuitul este de tip paralel �i se reduce la o admitan�� echivalent� complex�,

ϕ−=−= jeYjBGY ee

unde argumentul este: e

e

GB

arctan=ϕ

condi�ia de rezonan�� se scrie:

0=eB sau ( ) 0Im =eY .

În cazul circuitelor cu rezonan�e multiple se constat� c� pulsa�iile de rezonan�� serie �i paralel alterneaz�, deci nu se poate trece dintr-un regim de rezonan�� serie în altul decât printr-un regim de rezonan�� paralel.

D.L.P U

I

Figura 1.33

Figura 1.34

U

I

Ze


51

1.4.6. ASPECTE ENERGETICE ÎN FENOMENUL DE REZONAN��

Dup� cum am ar�tat anterior, în cazul rezonan�ei nu exist� schimb de energie între surs� �i câmpurile magnetice sau electrice ale elementelor reactive. Rezult� de aici c�, în anumite cazuri, energia total� înmagazinat� în câmpurile electrice �i magnetice trebuie s� r�mân� constant�. În cele ce urmeaz� vom verifica aceast� afirma�ie în cazul circuitelor simple RLC serie sau paralel. Se va observa mai întâi c�, în ambele cazuri, chiar dac� nu este satisf�cut�

condi�ia de rezonan��, curentul iL în bobin� este defazat cu 2π fa�� de tensiunea uC la

bornele condensatorului. Într-adev�r, în cazul circuitului serie, curentul iL este acela�i

cu curentul iC în condensator �i se �tie c� iC, deci iL, este defazat cu 2π

înaintea

tensiunii uC; în cazul circuitului paralel tensiunea uL la bornele bobinei este acela�i cu

tensiunea uC la bornele condensatorului iar iL este defazat cu 2π în urm� fa�� de uL,

deci �i fa�� de uC. În consecin��, dac� valoarea instantanee a curentului iL este ( ) ( )γ+ω= tIti LL sin2 , valoarea instantanee a tensiunii uC se va scrie sub forma

( ) ( )γ+ω=��

��

� π+γ+ω= tUtUtu CCC cos22

sin2 .

Suma energiilor celor dou� câmpuri este

( ) ( )γ+ω+γ+ω=+=+= tCUtLICuLiWWW CLCLem222222 cossin

21

21

(1.71)

Observând c�, în ambele cazuri, la rezonan��, LLC ILUU ⋅ω== deci

( ) 2222222 1LLLLC LI

LCLCLILCLIILCCU =⋅⋅=ω⋅⋅=ω=

În consecin��, rela�ia (1.71) devine

( ) ( )[ ] .constcossin 22222 ===γ+ω+γ+ω= CLL CULIttLIW

adic� energia înmagazinat� în câmpurile circuitului este constan�� în orice moment. Fenomenul se explic� fizic în modul urm�tor: Deoarece curentul iL �i tensiunea

uC sunt defazate cu 2π

, când curentul iL cre�te în valoare absolut�, tensiunea uC

scade în valoare absolut� �i invers. În acela�i timp energia Wm în câmpul magnetic cre�te, iar energia We în câmpul electric scade cu aceea�i cantitate, astfel c� suma

em WW + r�mâne constant� �i egal� cu valoarea maxim� a lui Wm sau We (fig.1.35).

CIRCUITE ELECTRICE

52

Între surs� �i circuit nu exist� decât circula�ia corespunz�toare energiei consumate de rezistor, adic� sursa furnizeaz� circuitului numai energie activ�. În circuitele complexe fenomenele energetice sunt de asemenea mai complexe. 1.4.7. IMPORTAN�A PRACTIC� A FENOMENELOR DE REZONAN�� ÎN ELECTROTEHNIC� Fenomenele de rezonan�� este mult utilizat în electrotehnic�, având numeroase

aplica�ii utile în electrotehnic�, în special în tehnica frecven�elor înalte, dar în unele cazuri ele au efecte d�un�toare �i trebuie evitate. Dintre aplica�iile utile vom enumera: circuitele Boucherot utilizate în alimentarea cuptoarelor cu rezisten�e, circuitele defazoare, unele aparate de m�surare, emisia-recep�ia în radiotehnic� �i telefonia multipl�, îmbun�t��irea factorului de putere.

• Circuite Boucherot

În circuitele unor instala�ii speciale este necesar ca intensitatea curentului printr-o ramur� s� nu depind� de impedan�a ramurii respective. O condi�ie de acest fel intervine în circuitele de alimentare a cuptoarelor electrice în care curentul prin rezisten�a de înc�lzire a cuptorului trebuie s� fie independent de valoarea rezisten�ei. Aceste circuite se numesc circuite Boucherot. Un circuit simplu care realizeaz� aceast� condi�ie este constituit din trei impedan�e conectate în montaj mixt ca în fig.1.36.a. Tensiunea U se aplic� la bornele montajului, iar curentul I3 trebuie s� fie independent de impedan�a Z3.

Impedan�a echivalent� complex� Ze a circuitului este

32

321 ZZ

ZZZZe +

+= , (1.72)

iar curentul I are expresia

Figura 1.35

uL(t)

iL(t)

t

Wm

uC(t)

We W = Wm + We

Figura 1.36

I

U

Z3

a

Z2

Z1 C

L

I

U

Z3

c

C

L

I

U

Z3

b

I3 I3 I3


53

( ) UZZZZZ

ZZI ⋅

+++=

21321

32 . (1.73)

Curentul I3 are expresia:

( ) UZZZZZ

ZI

ZZZ

I ⋅++

=+

=21321

21

32

23 (1.74)

fiind independent de Z3 dac� 021 =+ ZZ (1.75)

adic� dac� sunt satisf�cute condi�iile

021 =+ RR �i 021 =+ XX (1.76)

Deoarece rezisten�ele sunt pozitiv definite, din prima condi�ie rezult� c� 021 == RR . A doua condi�ie este îndeplinit� dac� una dintre reactan�e este

inductiv�, iar cealalt� capacitiv�: de exemplu, dac� LZ ω= j1 �i C

Zω

−= 1j2

(fig.1.36.b) rela�ia (1.75) devine

01 =ω

−ωC

L

adic� o condi�ie de rezonan��. Aceea�i condi�ie este îndeplinit� dac� C

Zω

−= 1j1 �i

LZ ω= j2 �i (fig.1.36.c)

În circuitul din fig.1.37.a, curentul I5 este independent de impedan�a Z5 dac� sunt satisf�cute condi�iile

021 =+ ZZ �i 043 =+ ZZ (1.77)

adic� dac�: 11 j LZ ω= , 2

21

jC

Zω

−= (sau 1

11

jC

Zω

−= �i 22 j LZ ω= ) – fig.1.37.b – �i

33 j LZ ω= , 4

41

jC

Zω

−= (sau 3

31

jC

Zω

−= �i 44 j LZ ω= ) – fig.1.37.c.

Figura 1.37

I

U Z5

a

Z2

Z1

I5

Z4

I

U Z5

c

I5

L1

L2

C3

C4

I

U Z5

b

I5

L1 L3

C2 C4

CIRCUITE ELECTRICE

54

• Circuite defazoare

Fie circuitul din fig.1.36.a în care

111 j LRZ ω+= , 2

21

jC

Zω

−= , 333 j LRZ ω+= unde LLL == 31

Se cere s� se stabileasc� condi�ia ca tensiunea aplicat� circuitului s� fie în cvadratur� cu curentul I3 pentru orice valori ale rezisten�elor R1 �i R3. Impedan�a echivalent� Ze �i curentul I au expresiile (1.72) �i (1.73). Introducând expresia curentului I din (1.74)

32

321 I

ZZZ

I+=

în ecua�ia (1.74) , se ob�ine

33

3131 I

ZZZ

ZZU ⋅��

��

�++= .

Înlocuind impedan�ele cu expresiile lor dezvoltate rezult�

( )( ) ( )[ ] 3223

2313122 2j1 ICLCRRLRRLCU ⋅ω−ω+ω++ω−= (1.78)

În rela�ia (1.78) tensiunea U �i curentul I3 sunt în cvadratur� dac�

01 2 =ω− LC (1.79) adic� o condi�ie de rezonan��. Dac� în circuitul anterior se înlocuiesc bobinele cu condensatori identici �i condensatorul cu o bobin�, se ob�ine un circuit similar, condi�ia ca tensiunea U s� fie în cvadratur� cu curentul I3 fiind similar� cu (1.79).

• M�surarea inductan�elor

Fenomenul de rezonan�� este de asemenea utilizat în multe alte scopuri practice, ca, de exemplu, în instala�ii de m�surare a m�rimilor electrice �i neelectrice, în automatiz�ri, �.a. Dup� cum s-a v�zut, într-un circuit RLC serie la rezonan�� curentul este maxim �i simultan este satisf�cut� rela�ia 12 =ω LC . Folosind aceste propriet��i, se pot construii aparate industriale pentru m�surarea rapid� a rezisten�elor, inductan�elor, capacit��ilor sau frecven�elor – respectiv pulsa�iilor (ultimele aparate se numesc �i undametre, deoarece la o anumit� frecven�� corespunde o anumit� lungime de und� electromagnetic�). De exemplu, un aparat pentru m�surarea inductan�elor con�ine, în principiu în serie cu un rezistor de rezisten�� R, un condensator etalonat �i un ampermetru. Inductan�a de m�surat se monteaz� în serie cu acest circuit. Aparatul este alimentat cu o tensiune care trebuie s� aib� frecven�a pentru care a fost etalonat aparatul. Variind continuu capacitatea condensatorului se aduce circuitul la rezonan��, ceea ce se obsrv� la trecerea curentului prin maxim. Din rela�ia 12 =ω LC , în care se cunoa�te ω �i C, se poate deduce inductan�a L. Condensatorul poate fi gradat astfel încât s� se citeasc� direct valoarea inductan�ei. Alte scheme, mai perfec�ionate,


55

caut� s� reduc� sau s� elimine influen�a frecven�ei tensiunii cu care este alimentat aparatul. Bineîn�eles, determin�rile f�cute cu asemenea aparate sunt mai pu�in exacte decât cele ob�inute prin metodele clasice de laborator.

• Comunica�ii radio

Oscilatoarele de înalt� frecven�� utilizate în radiotehnic� sunt alc�tuite în principiu din circuite LC, acordate la rezonan��, în care se produc oscila�ii puternice ale tensiunii sau curentului având frecven�a de rezonan��. În tehnica comunica�iilor radio, fiec�rui emi��tor îi corespunde o anumit� frecven�� înalt�, denumit frecven�� purt�toare. Peste curentul cu frecven�a purt�toare se suprapun oscila�ii cu frecven�a sunetelor ce trebuie emise (corespunz�tor cuvintelor sau muzicii), prin procesul denumit de modula�ie. În consecin��, postul emi��tor produce un câmp electromagnetic modulat, caracterizat de frecven�a purt�toare, deosebit� de la un post la altul. În antena aparatului de radiorecep�ie (care con�ine de asemenea circuite oscilante ce pot fi acordate pe frecven�a unui post de radioemisie, prin manevrarea din exterior a unui condensator variabil, pân� ce parametrii circuitului îndeplinesc condi�ia de rezonan��) se induc tensiuni electromotoare de c�tre toate posturile emi��toare. Pentru a putea asculta (separa) un anumit post, antena este introdus� într-un circuit care (cu ajutorul capacit��ilor variabile) este „acordat” la rezonan�� pentru frecven�a purt�toare a postului dorit. Se asigur� astfel posibilitatea de a separa în aparatul de radiorecep�ie un anume post de radioemisie dintr-un num�r foarte mare de posturi care lucreaz� concomitent (tensiunile electromotoare induse de postul cu care s-a f�cut acordul, produc curen�i maximi ceea ce face posibil� audi�ia; curen�ii produ�i de celelalte tensiuni electromotoare fiind mici, nu perturb� audi�ia).

• Telefonia multipl�

În mod analog, în telefonia multipl�, se folose�te un singur circuit cu dou� fire, pentru a efectua simultan mai multe convorbiri. Ca �i în transmisiile radio convorbirile se efectueaz� pe o anumit� frecven�� purt�toare, deosebit� de a celorlalte posturi. Pentru a pune dou� posturi în leg�tur�, f�r� a perturba sau a fi perturba�i de celelalte convorbiri, este suficient ca posturile în leg�tur� s� fie acordate pe aceea�i frecven�� purt�toare, ceea ce se realizeaz� tot cu ajutorul unor dispozitive de rezonan��, denumite filtre.

• Îmbun�t��irea factorului de putere

Rezonan�a curen�ilor este folosit� mult �i la frecven�a industrial� pentru îmbun�t��irea factorului de putere al instala�iilor care cuprind receptoare inductive consumatoare de energie reactiv�, dat fiind c�, prin aducerea la rezonan�� a circuitului, unghiul de defazaj dintre tensiune �i curent se anuleaz�. În acest scop, în paralel cu receptoarele inductive se cupleaz� condensatori sau compensatoare sincrone care, absorbind un curent defazat înaintea tensiunii (curent reactiv capacitiv) compenseaz� în parte sau total, componenta reactiv� inductiv� a curentului absorbit de receptor. Prin aceasta curentul absorbit este adus în faz� (sau aproape în faz�) cu tensiunea �i deci factorul de putere (cosϕ) mult îmbun�t��it.

CIRCUITE ELECTRICE

56

Exemplele enumerate mai sus se refer� la cazurile în care fenomenul de rezonan�� are un efect util. Trebuie îns� remarcat c� exist� îns� �i cazuri în care fenomenele de rezonan�� pot avea �i efecte d�un�toare, mai ales când se produc f�r� a fi prev�zute. Un exemplu, deosebit de periculos, în constituie cuplarea în serie a unor elemente de circuit inductive �i capacitive când rezisten�a circuitului este foarte mic� în raport cu reactan�ele circuitului. În acest caz, dac� reactan�ele sunt apropiate ca ordin de m�rime, reactan�a total� se anuleaz�, apare rezonan�a tensiunilor, caracterizat� prin apari�ia supratensiunilor la bornele reactan�elor �i apari�ia curen�i de intensit��i foarte mari; în acela�i timp amortizarea d este mic� �i se produc supratensiuni importante. Un asemenea fenomen are loc în cazul unor anumite linii aeriene (sau în cablu), puse sub tensiune la un cap�t de c�tre un transformator sau un generator de curent alternativ, cap�tul cel�lalt fiind în gol (f�r� receptori de putere activ�). În acest caz rezisten�a liniei este mic� �i este posibil ca reactan�a total�3 s� fie nul�; generatorul sau transformatorul se caracterizeaz� printr-o inductan�� mare, iar cablul, func�ionând în gol, printr-o capacitate mare, ansamblul lor constituind un circuit echivalent cu parametrii L, C lega�i în serie. Dac� la frecven�a re�elei sau a unei armonici superioare4 reactan�ele celor dou� elemente sunt apropiate ca valoare, la bornele generatorului �i între conductoarele cablului apar, prin fenomenul de rezonan��, tensiuni cu mult mai mari decât tensiunea aplicat� (tensiunea la cap�tul nealimentat este mut mai mare decât tensiunea la cap�tul alimentat) care, întrecând tensiunile nominale ale elementelor, pot produce str�pungerea izola�iei dintre spirele înf��ur�rilor generatorului (transformatorului) sau str�pungerea izola�ie cablului. Curentul de mers în gol este, de asemenea mare putând conduce la deteriorarea înf��ur�rilor generatorului datorit� for�elor electrodinamice mari ce rezult�.

3 Inductan�a L este determinat� de elementele obi�nuite; capacitatea C este capacitatea condensatorului format de cele dou� conductoare, �inând seama eventual de influen�a p�mântului (influen�a mantalei cablului). 4 A se vedea în Introducere „Semnale periodice nesinusoidale”

analiza circuitelor monofazate

Documents