semnale sisteme

Semnale & Sisteme

Radu Stefan, Cristian Oara

Facultatea de Automatica si CalculatoareUniversitatea \Politehnica" Bucuresti

e-mail: [email protected]: http://www.riccati.pub.ro/

octombrie 2014

Concepte fundamentale ^n stiintele (ingineresti) moderne.

Capitolul 1 - Introducere.

Capitolul 1: INTRODUCERE

Motivatie. Automatica, Prelucrarea Semnalelor, Sisteme Biologice:

stiinte ingineresti.

Ingineria clasica (pa^na la al doilea razboi mondial):

- dispozitive/instalatii de transformare a energiei (masina cu aburi, motorul electric);caracteristici principale: randament, debit.

- comanda/actionarea unor astfel de instalatii: operator uman.

Informatiile necesare actionarii parvin prin intermediul simturilor umane, ^n urmaobservatiilor privind rezultatele actiunilor anterioare.

Capitolul 1 - Introducere. Semnale & Sisteme 1

Ingineria moderna: dezvoltarile tehnologice au creat dispozitive a caror actionare directade catre om devine imposibila datorita limitarilor ziologice;

Exemplu: Construirea unui sistem automat de tragere antiaeriana.

Motivatie: la sfarsitul celui de-al doilea razboi mondial, viteza tintelor a devenitcomparabila cu cea a proiectilelor, astfel ca tirul antiaerian nu mai putea comandat cusucces doar de catre operatorul uman.


Elemente necesare pentru functionarea unui sistem de tragere automata asupra tintelor:

- informatia asupra situatiei momentane

- extragerea datelor utilizabile pentru comanda

- manipularea acestor date ^n vederea elaborarii comenzii, ava^nd un scop bine determi-nat: dobora^rea tintei

Problema se reduce la construirea anumitor dispozitive de comunicatii si comanda,pentru a caror proiectare sunt necesare elemente de

- teoria comunicatiilor

- tehnica de calcul

- teoria sistemelor automate

Norbert Wiener, 1948: \Cybernetics, or Control and Communication in the Man andthe Machine"


Instalatiile din ingineria clasica: esential este randamentul - aspect de tip energetic.

Dispozitive de comunicatie si comanda: esentiala este acuratetea cu care este transmisasi prelucrata informatia.

In proiectarea dispozitivelor de comunicatie si comanda se face abstractie de natura(mecanica, electrica, chimica, etc.) procesului/instalatiei/ sistemului tehnologic.

Exemplu: un receptor radio primeste o cantitate foarte mica din energia emitatorului,dar important este ca semnalul receptionat sa e \curat" (fara zgomot sau distorsiuni).

Teorie generala a SEMNALELOR si SISTEMELOR.

Notiunea de SISTEM: conceptul fundamental.


1.1 CONCEPTELE FUNDAMENTALE: SEMNALE. EXEMPLE.

Sunt functii de variabile independente ("timp").

Purtatoare de informatii.

Semnale electrice: curenti, tensiuni ^n circuitele elctrice. Semnale acustice: audio, vorbire; analogice sau digitale. Semnale discrete ^n economie, biologie: cursul valutar, indicele bursier; secventa abazelor ^ntr-o molecula de ADN.

Semnale video: secvente de imagini (tablouri de pixeli). x(k), u(t): semnale discrete/continuale de o variabila.k, t - momente de TIMP. Multimea momentelor de timp are o proprietate importanta.Care este aceasta ?


CONCEPTELE FUNDAMENTALE: SISTEM. EXEMPLE.

DEX: \Ansamblu de elemente (principii, reguli) dependente ^ntre ele si forma^nd un^ntreg organizat, care pune ordine ^ntr-un domeniu de ga^ndire teoretica, reglementeazaclasicarea materialului ^ntr-un domeniu de stiinte ale naturii, sau face o activitatepractica sa functioneze conform scopului urmarit."

Sisteme social-politice; sisteme lozoce.

Sisteme zice; sisteme biologice.

Sistem informatic; sistem energetic; instalatie tehnologica, proces.

Sistem (in inginerie): \Ansamblu bine organizat de parti interdependente, capabil saraspunda, sub actiunea a diversi stimuli, unui anumit scop, cu anumite performante"

Exemple: un automobil, un sistem de operare, un sistem informatic.


Teoria (matematica a) sistemelor (automate)

Notiunea de sistem: un concept matematic precis.

Denitia 1 (Kalman, 1969). Concepem un sistem ca o structura ^n care ceva (materie,energie, informatie) poate introdus la un anumit moment dat si din care rezulta spreexterior ceva la un alt moment de timp.

S

u y

Figura 1: Model de tip \BLACK-BOX"

u si y (\ceva") sunt semnale. Problema: ce caracteristici are un astfel de model ? Sistem: \operator".


Exemple

1) Amplicatorul operational.

A

V

V

V+

-

+

-O O

Figura 2: Amplicator operational

vo = A(v+ v) v+=0= Av.Transforma un semnal ^n alt semnal: v 7! vo.Q: largimea de banda, raspuns la intrare sinusoidala?


2) Dinamica miscarii unui satelit, aat pe o orbita ecuatoriala la 400 de km altitudine:

_x =

26640 1 0 0

3!2 0 0 2!0 0 0 10 2! 0 0

3775x+26640100

3775ur +26640001

3775ut;In ecuatia de mai sus x reprezinta starea sistemului (este de fapt vectorul "abaterilor"coordonatelor si vitezelor unghiulare de la valorile stationare ce caracterizeaza traiectoriaorbitala), iar ur si ut sunt valorile propulsiei pe axa radiala, respectiv tangentiala laorbita.

! = 0:0011 rad/s este viteza unghiulara a satelitului la altitudinea specicata.

3) Ecuatia diferentiala _x = f(x); x(0) = x0

Asociaza o solutie unei conditii initiale date: x0 7! (t;x0).Q: crestere exponentiala, periodicitate ?


4) Program de calculator: transforma un sir de caractere ^n alt sir de caractere.

De exemplu, automat 7! tmt; sau Popocatepetl 7! Ppctptl.Q: regula ?

5) Algoritmi de prelucrare a imaginilor (inclusiv medicale: tomograi, RMN, etc.)

5x5 filtru WienerzgomotImagine initiala

Prelucrare numerica a unei imagini

Figura 3: Filtrare zgomot


Divizorul de tensiune ^n curent alternativ

v

i

v

o

L

R

i

Figura 4: Divizorul de tensiune ^n curent alternativ

Vo(s) =R

sL+RVi(s)

didt = RLi+ 1Lvivo = Ri

Comportament Intrare/Iesire (I/O) Comportament Intern

Proprietate importanta : Liniaritatea

R si L sunt elemente liniare de circuit.


Sisteme de convolutie care admit functii de transfer rationale

y = T (u); y(t) = (h u)(t) :=Z 11

h(t )u()dava^nd functie de transfer rationala (A(s) si B(s) sunt polinoame ^n s)

H(s) =Y (s)

U(s)=B(s)

A(s)

unde H(s) este transformata Laplace a functiei pondere h(t),

H(s) = Lfh(t)g(s) :=Z 10

h(t) estd t;

iar U(s) si Y (s) sunt transformatele Laplace ale intrarii u(t), si respectiv iesirii y(t).

Sistemul u ! y realizeaza tranzitia ^ntre semnalul de intrare (comanda) u si semnalulde iesire (raspunsul) y.

Sistemele de convolutie sunt liniare si invariante ^n timp.

Semnale si Sisteme.


1.2 ABORDARI FUNDAMENTALE

SISTEM: \operator" care transforma intrarea ^n iesire.

S-au impus doua puncte de vedere:

a) denirea notiunii prin caracterizarea comportamentului intrare-iesire manieraoperatoriala de abordare.

Analiza functionala

b) elementul primar ^l constituie comportamentul intern maniera newtoniana deabordare.

Ecuatii diferentiale


Modelare matematica

Modelare matematica: procesul de scriere a unor ecuatii care stabilesc dependenta dintrediverse marimi care actioneaza ^n sistem sau asupra sistemului.

a) pe baza datelor experimentale (intrare-iesire) din sistem: Identicarea Sistemelor.

b) pe baza ecuatiilor zico-matematice: abordarea newtoniana.

Exemplu: dependenta tensiune-curent a unui rezistor.

a) i = 1:02 1:98 3:03 4:01 5:01 mAv = 1:01 2:00 2:99 4:00 5:02 V=) v (aproximativ) proportional cu i: v = Ri; rezulta R = 1k.

b) Legea lui Ohm


In elaborarea modelului este necesar un compromis ^ntre complexitatea modelului sidescrierea adecvata a fenomenului/procesului respectiv.

Model satisfacator: diferentele ^ntre rezultatele obtinute prin calcul si cele obtinuteexperimental trebuie sa e mai mici deca^t anumite tolerante impuse.

SCOP: Proiectarea Sistemelor de Reglare Automata (SRA).


Scurt istoric

antichitate: reglare automata a debitului si a nivelului apei.

^n ceputul revolutiei industriale: regulatorul centrifugal al lui J. Watt pt. reglareavitezei de rotatie a masinii cu aburi.

contributii teoretice:- J.C. Maxwell \On Governors" 1868- E.J. Routh Stabilitate (sisteme liniare) 1877- A.M. Liapunov Stabilitate (sisteme neliniare)

practica inginereasca: servomecanisme, dispozitive de urmarire automata (US, WWI)

introducerea reactiei inverse ^ntehnica: Stephen Black - Bell Lab's - 1927; atenuareazgomotului si a perturbatiilor ^n liniile (telefonice) lungi.

perioada clasica (interbelica): proiectare ^n domeniul frecventaH. Bode & H. Nyquist - criterii de stabilitate, relatii fundamentale.


epoca moderna : comanda optimala 1960-1980R. Bellman: programare dinamicaL. Pontriaghin: principiul optimuluiR. Kalman: fundamentarea Teoriei SistemelorV.M. Popov & V.A. Yakubovich: Lema YKP

1980 - prezent: sinteza robusta: G. Zames

Exista vreo legatura ^ntre regulatorul turatiei la masina cu aburi (James Watt, 1794) simecanismele de evitare a congestiei ^n retelele TCP/IP ?

Reglarea automata prin conectare ^n reactie inversa.

Acelasi tip de lege de comanda.


Regulatorul Watt


- primul sistem de reglare automata folosit ^ntr-un proces industrial

- scop: mentinerea constanta a turatiei axului principal, ^n prezenta (eventualelor)variatii de sarcina (ex. ridicarea mai multor vagoneti plini cu carbune)

- "masoara" turatia cu ajutorul pozitiei celor doua bile metalice

- utilizeaza aceasta informatie (pozitia bilelor) pentru a elabora comanda:^nchiderea/deschiderea valvei de admisie a aburului

Concluzie: Regulatorul Watt IT !


Congestia ^n retele TCP


Protocolul TCP: Metode de evitare a congestiei

- congestie: prezenta prea multor pachete ^ntr-o subretea; degradare substantiala aperformantelor

- cauze: depasire a capacitatii de transport, procesoare lente, memorie redusa a cozii deasteptare.

Dar daca aceasta din urma ar innita? Congestia s-ar ^nrautati, datorita mecanismuluipauzelor de asteptare (timeout: intervalul de timp ^n care emitatorul asteapta primireaconrmarii pentru pachetul trimis).

- mecanisme de control a congestiei:fara reactie (^n bucla deschisa) sau cu reactie (^n bucla ^nchisa).


In primul caz se iau decizii fara a tine cont de starea curenta a retelei. De exemplu,"ceasul propriu": se ^ncetineste automat emiterea pachetelor ca^nd conrmarile sunt^nta^rziate (semnalare doar prin timeout).

In cel de-al doilea, se ajusteaza rata de de transmisie ^n functie de marimea ferestrei(numarul maxim de pachete trimise, ^nca neconrmate). La ra^ndul ei, marimea ferestreieste adaptata dinamic ^n functie de ca^t de aglomerata este reteaua (lungimea cozii deasteptare).

Exemplu de mecansim TCP/IP.

RED (random early detection).

TCP: Raspunsul la pachete pierdute este micsorarea ratei de transmisie ("ceasul pro-priu").

RED: se arunca pachete nu doar atunci ca^nd buer-ul cozii de asteptare este plin, pentruca este deja prea ta^rziu.


Pachetele se arunca cu o probabilitate care creste cu lungimea cozii de asteptare.

Sub o anumita valoare a lungimii cozii nu se arunca nici un pachet (probabilitate 0).

Peste o alta valoare a lungimii cozii se vor arunca toate pachetele (probabilitate 1).

Exista modele matematice pentru un astfel de mecanism ?

Alegem unul determinist. Asupra acuratetii acestui tip de model pentru protocolul TCP,^nca se mai discuta.


Un model matematic simplicat! pt. RED

_W =1

R(t)W (t)

2

W (tR(t))R(tR(t)) p(tR(t))

_q =

8>>>:C + N(t)

R(t)W (t); q > 0

max

0;C + N(t)

R(t)W (t)

; q = 0

(1)

unde:

W = valoarea medie a ferestrei TCPq = lungimea cozii de asteptare asociata ruteruluiR(t) = Round Trip Time (= q(t)C + Tp)C = capacitatea conexiuniiTp = timpul de propagareN = numar de sesiuni TCPp = probabilitatea ca un pachet sa e marcat


- prima ecuatie: dinamica marimii ferestrei

- a doua ecuatie: variatia lungimii cozii, ca diferenta dintre rata de primire a pachetelorsi capacitatea conexiunii

- model complex: sistem cu ^nta^rziere, neliniar, variabil ^n timp.

- scopul reglarii automate: functionarea sistemului ^n jurul unor valori "de echilibru" W0,q0, p0, prin elaborarea unei comenzi potrivite p, ^n functie de W si q.

Ideea: utilizarea unei aproximatii liniare > Teoria Sistemelor Liniare.- exemplu numeric: N = 120 sesiuni TCP, q0 = 175 pachete, C = 3750 pachete/sec,W0 = 7:7 pachete, R0 = 0:346 secunde etc.

- problema dicila: vom reveni cu ideile principale la sfa^rsitul cursului (probabil ca nuvom mai avea timp)


Pendulul gravitational

Model foarte popular. Fie unghiul dintre pozitia tijei si axa verticala. Tija estepresupusa rigida si de lungime l.

Figura 5: Pendul

Din legea fundamentala a mecanicii Newtoniene pentru miscari de rotatie, aplicata bileide masa m se deduce ca:

ml2 = G sin l Ff l + Tc;

sau; echivalent; = glsin k

m_ +

Tcml2

: (2)


Aici g este acceleratia gravitationala iar k este coecientul de frecare va^scoasa, presupusconstant, care face legatura ^ntre viteza (tangentiala) si forta de frecare, Ff = kv = kl _.

ecuatie diferentiala neliniara =) model neliniar.Pentru obtinerea unui model matematic ^n spatiul starilor (de forma _x = f(x; u),y = g(x; u)), se aleg drept variabile de stat unghiul x1 = si respectiv viteza unghiularax2 = _ = !. Analizam evolutia libera a sistemului, presupunem deci ca Tc = 0. In nalse ajunge la:

_x1 = x2_x2 = gl sinx1 kmx2:

(3)

Punctele de echilibru ( _x1 = _x2 = 0) sunt (n; 0), n 2 Z, ca rezultat al sistemului deecuatii

0 = x20 = gl sinx1 kmx2


De asemenea, din punct de vedere zic, cele 2 echilibre sunt evident diferite: dacapendulul se poate ^ntr-adevar opri ^n punctul (0; 0), este imposibil sa se ^nta^mple acelasilucru ^n punctul (; 0), deoarece o perturbatie orica^t de mica ^n raport cu acest punctde echilibru ^ndeparteaza bila de aceasta pozitie.

Este vorba deci despre un punct de echilibru stabil - bila ^n pozitie verticala ^n jos - side un punct de echilibru instabil - bila ^n pozitie verticala ^n sus. Care este semnicatiacelorlalte puncte de echilibru (n 6= 0; n 6= 1) ?Ce se ^nta^mpla ^n situatia ideala ca^nd nu exista frecare (k = 0) sau ca^nd frecarea esteneglijabila (k foarte aproape de 0) ?


1.3 SISTEME DE REGLARE AUTOMATA

Reglare automata: procesul de a impune ca anumite variabile specicate ale unui sistemsa urmeze anumite evolutii impuse, ^n prezenta diferitelor perturbatii (precum si aincertitudinilor de modelare).

Inuentarea evolutiei unui sistem fara interventia umana.

Sisteme interconectate: serie, paralel, reactie - corespund unor operatii matematicespecice ale operatorilor care descriu (d.p.d.v matematic) sistemele respective.

Serie: compunere ("^nmultire")

Paralel: adunare

Reactie: transformare liniara fractionala (omograca)


Diagrama unui Sistem de Reglare Automata

Regulator Elementdeexecutie

Proces

Referinta+

_

Senzor

Iesire

Iesiremasurata

Eroare

Perturbatie

Zgomot

Figura 6: Diagrama bloc functionala a unui SRA


SRA

Observatii:

- ansamblu de sisteme interconectate (serie, paralel, reactie)

- existenta reactiei inverse !

Reglarea cu reactie inversa foloseste masuratori ale variabilei reglate pentru a inuentamarimile de intrare ale sistemului reglat, astfel ^nca^t variabila reglata sa urmareasca oanumita evolutie impusa .

Conexiunea inversa permite evaluarea permanenta a gradului de realizare a obiectuluipropus: metoda extrem de ecienta (vezi exemplul urmator).


Reglarea vitezei unui automobil

O prima analiza (calitativa) a avantajelor reglarii cu reactie inversa.

Se pune ^n evidenta rolul fundamental al reactiei inverse ^n sistemele de reglare automata.

vref = 55km/h - drum orizontal.

Factori de inuenta:

- acceleratia: unghiul clapetei de acceleratie (masurat ^n grade o)

- panta drumului: gradul de ^nclinare (masurat in %)


Modelul matematic

Ipoteze:

a) avem regim stationar (nu exista dinamica) - notiunea va introdusa ^n capitolul 3.

b) sistemul este liniar:

- la un unghi u de 1o al clapetei de acceleratie, viteza creste cu 10km/h.- la o ^nclinare a drumului w de 1%, viteza scade cu 5km/h.

v = 10u 5w = 10 (u 0:5w)

c) masuratorile sunt precise (eroare de pa^na la 1km/h)

Utilizam 2 scheme de reglare:

I. ^n bucla deschisa

II. ^n bucla ^nchisa.


Reglare ^n bucla deschisa

0.1

0.5

10

r -+

w

u v

Figura 7: Schema de reglare ^n bucla deschisa a vitezei unui automobil

Notam viteza de referinta vref cu r. In acest caz, u = 0:1r si viteza automobilului estedata de

v = 10u 5w = 10(u 0:5w) = 10( 110r) 5w = r 5w:

Performante:

Eroarea absoluta: " := r v = 5wEroarea relativa: "r = "=r = 5w=r.


Situatii posibile

w = 0: v = 55km/h, " = 0km/h, "r = 0%.

w = 1: v = 50km/h, " = 5km/h, "r 9:1%. Performanta destul de slaba.w = 10: Erori f. mari! (exercitiu)

Daca \amplicarea" sistemului se modica sau am estimat-o de la ^nceput imprecis (cuo eroare de 10%) cum se schimba performanta sistemului de reglare proiectat ?

v = 9u 4:5w = 0:9r 4:5w; " = 0:1r + 4:5w; "r = 0:1 + 4:5w=r:

Chiar si ^n absenta perturbatiei (w = 0) eroarea este semnicativa: " = 5:5km/h,"r = 10%. Situatia se ^nrautateste daca w 6= 0.


Concluzii:

- erori relative mari (chiar si la variatii mici ale perturbatiei)

- erorile ^n modelarea sistemului (10%) se transmit integral ^n eroarea relativa (10%)(nu se atenueaza deloc, nu avem robustete !)

- reglarea ^n bucla deschisa nu este o solutie \buna"

Cum corectam neajunsurile observate ?


Reglare ^n bucla ^nchisaK=100

0.5

10

r -+

w

u ve

Figura 8: Schema de reglare ^n bucla ^nchisa a vitezei unui automobil

Analiza^nd schema de mai sus (gura 8) rezulta ca viteza automobilului este

v = 10(u 0:5w) = 10(100(r v) 0:5w) = 1000r 1000v 5w,de unde

v =1000

1001r 5

1001w


Performante. Situatii posibile

Eroarea absoluta: " := r v = 0:001r + 0:005w.Eroarea relativa: "r = "=r = 0:001 + 0:005w=r.

Ambele erori sunt \mici" ! Performanta buna.

w = 0: v = 54:945km/h, " = 0:055km/h, "r = 0:1%.

w = 1: v = 54:940km/h, " = 0:060km/h, "r 0:11%. Crestere nesemnicativa ^nraport cu situatia w = 0.

w = 10: v = 54:895km/h, " = 0:105km/h, "r 0:2%. La o crestere de 10 ori aperturbatiei, eroarea relativa s-a dublat.


Incertitudini de modelare

Daca \amplicarea" sistemului este 9km/h (^n loc de 10km/h) ce se ^nta^mpla cuperformantele sistemului de reglare ^n bucla ^nchisa ?

v =900

901r 4:5

901= 0:9988r 0:0049w; " = 1

901r +

4:5

901w = 0:0011r + 0:0049w;

"r = 0:0011 + 0:0049w=r:

Nu se schimba aproape nimic! Erorile absoluta si relativa sunt practic aceleasi, desi amavut o eroare relativa de 10% ^n \amplicarea" sistemului.

Exercitiu: Analizati modicarile aparute ^n determinarea erorilor, ^n cazurile w = 1 siw = 10.

Explicatie: Amplicare mare si reactie inversa!


Concluzii

- ^n cazul w = 0 nu avem reglare perfecta, adica v 6= r; eroarea (de regim stationar)nu este zero, dar este foarte mica.

- daca amplicarea ^n bucla creste, atunci:

- creste precizia ^n regim stationar (scade eroarea de regim stationar)- scade senzitivitatea (relativa) a marimii reglate ^n raport cu perturbatia- scade senzitivitatea (relativa) a marimii reglate ^n raport cu imperfectiunile mode-lului.

- reglarea ^n bucla ^nchisa este ecienta.Amplicare mare =) performante mai bune.

Q: Ca^t de mult poate creste amplicarea ?

Nu poate creste orica^t, apare fenomenul de instabilitate ^n bucla. (Nu putem tineacceleratia \la blana").

Stabilitatea: cerinta principala de proiectare !


Schema bloc a unui SRA

Pe parcursul expunerii, vom utiliza frecvent schema bloc simplifcata din gura 9. Aceastaschema prezinta conguratia standard a unui sistem ^n reactie inversa.

In practica, se utilizeaza diverse scheme de reglare automata, care pot compuse dinmai multe bucle de reglare/regulatoare, specice ecarei aplicatii ^n parte).

Figura 9: Schema bloc simplicata a unui sistem ^n reactie inversa


Obiectivul principal al cursului (SS + TSA) consta in descriereaunor metode generale de sinteza a compensatoarelor

(regulatoarelor).

Cursul introduce notiunile fundamentale necesare pentru proiectarea ltrelor numerice(analogice).

Pentru a putea ^ntelege si aplica aceste tehnici de sinteza, este necesar mai ^nta^i sastudiem anumite proprietati si caracteristici sistemice:^n consecinta, prima parte a cursului este dedicata metodelor de analiza a sistemelor.


Proiectarea SRA

1. Stabilirea obiectivelor reglarii.

2. Identicarea marimilor ce trebuie reglate.

3. Scrierea specicatiilor pt. marimile reglate.

4. Stabilirea conguratiei de reglare.

5. Obtinerea unui model (pt. ecare element al buclei: proces, senzor, element deactionare, etc.)

6. Alegerea unui regulator si a parametrilor acestuia.

7. Optimizarea parametrilor si analiza performantelor.

8. Daca performante = specicatii atunci proiectarea este ^ncheiata.In caz contrar, se reia \algoritmul" de la pasul 4.


Obiectivele proiectarii: specicatii (ce trebuie realizat).

Caracteristici:- complexitate (web page vs. banking application)- compromisuri (inatie vs. somaj)- risc (esec)- nu iese ^ntotdeauna ce si-a propus proiectantul

Analiza si sinteza ...


Compromisul de proiectare

1) STABILITATE: cerinta principala de proiectare

2) PERFORMANTA:

- eroare de reglare (^n regim stationar) mai mica deca^t o valoare specicata

- dinamica raspunsului =) parametri specicati

3) ROBUSTETE: Stabilitatea si performantele trebuie mentinute ^n conditii de modelcu incertitudini.


Proiectarea ltrelor

- ltru stabil

- ltru cauzal

- raspuns specic ^n frecventa

- defazaj sau ^nta^rziere specica

- raspuns specic la impuls

- complexitate redusa (ordinul ltrului)

- implementare specica - hardware & software


semnale sisteme

Documents