i sisteme bidimensionale capitolul 2 - comm.pub.ro semnale si sisteme 2d.pdf · capitolul 2 -...
Embed Size (px)
TRANSCRIPT
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 35
CAPITOLUL 2
SEMNALE ŞI SISTEME BIDIMENSIONALE
Un semnal bidimensional poate fi modelat ca o funcţie de 2 variabile
independente.
Aceste semnale pot fi clasificate astfel:
- continue;
- discrete;
- mixte.
Un semnal continuu se modelează ca o funcţie de 2 variabile
independente pe o mulţime continuă de valori.
Un semnal discret poate fi modelat ca o funcţie definită doar pe o
mulţime finită de valori.
Un semnal mixt este un semnal bidimensional modelat ca o funcţie de
variabile continue şi discrete.
De exemplu un semnal înregistrat de la o matrice de traductoare electrice
este un semnal mixt. Acest semnal poate fi modelat cu o variabilă continuă
(timpul) şi una sau mai multe variabile discrete pentru indexarea traductoarelor.
În acest capitol ne vom ocupa de semnale şi sisteme bidimensionale.
Majoritatea proprietăţilor semnalelor şi sistemelor pe care le discutăm
sunt extensii ale proprietăţilor semnalelor şi sistemelor unidimensionale.
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive36
2.1 Semnale discrete bidimensionale
Un semnal discret bidimensional (2D) este o funcţie definită pe un set de
perechi de forma
∞<<∞−= 2121 ,,,( nnnnxx (2.1)
Un element din această secvenţă va fi numit eşantion. Astfel x(n1,n2)
reprezintă un eşantion din secvenţa x. Valorile eşantioanelor pot fi reale sau
complexe.
În practică, o secvenţă bidimensională are valori cunoscute ale
eşantioanelor doar într-o regiune finită a planului (n1,n2).
2.1.1 Secvenţe speciale
Câteva secvenţe sunt destul de importante pentru a avea nume şi
simboluri speciale.
Unul din acestea este impulsul unitar 2D, δ (n1,n2). Acesta este prezentat
în Figura 2.1
==
=δrest in,0
0,1),( 21
21nn
nn(2.2a)
Avem relaţia:
)()(),( 2121 nnnn δδ=δ (2.2b)
unde
=
=δrest in,0
0,1)(
nn
(2.2c)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 37
Figura 2.1
În Figura 2.2 este reprezentată secvenţa
)(),( 121 nnnx δ= (2.3)
Figura 2.2
În Figura 2.3 este reprezentată secvenţa
)(),( 221 nnnx δ= (2.4)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive38
Figura 2.3
În Figura 2.4a şi Figura 2.4b sunt reprezentate secvenţele:
)(),( 2121 nnnnx +δ= şi )(),( 2121 nnnnx −δ= (2.5)
Figura 2.4 a) Figura 2.4 b)
O altă secvenţă specială este secvenţa treaptă – unitate bidimensională
u(n1,n2), prezentată în Figura 2.5 şi definită astfel:
≥≥
=restin,0
0,0,1),( 21
21nn
nnu(2.6a)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 39
Figura 2.5
Avem relaţia:
)()(),( 2121 nununnu = (2.6b)
unde
<≥
=0,0
0,1)(
n
nnu
(2.6c)
este treapta - unitate unidimensională.
Definim funcţia:
intregi,cu),,(),(),( 212121 babnanunnunnua,b −−−= (2.7)
In Figura 2.6 este reprezentată funcţia ),( 212,3 nnu .
Definim fereastra rectangulară bidimensională
≤≤−≤≤−
=restin,0
,,1),( 222111
21, 21
NnNNnNnndrept NN
(2.8a)
Observăm că
)()(),( 2121, 2121nununndrept NNNN = (2.8b)
unde
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive40
≤≤−
=restin,0
,1)(
NnNndreptN
(2.8c)
Figura 2.6
Secvenţa exponenţială este definită de:
∞<<∞−= 2121 ,,),( 21 nnbannx nn (2.9)
unde a şi b sunt numere complexe nenule.
Când a şi b au amplitudini unitare, ele pot fi scrise sub forma:
)jexp(),jexp( 21 ω=ω= ba (2.10)
În acest caz, secvenţa exponenţială devine o secvenţă sinusoidală
complexă:
)sin(j)cos()jjexp(),( 22112211221121 nnnnnnnnx ω+ω+ω+ω=ω+ω= (2.11)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 41
2.1.2 Secvenţe separabile
Orice secvenţă ce poate fi scrisă ca produs de secvenţe unidimensionale
este numită separabilă şi se exprimă astfel:
)()(),( 221121 nxnxnnx = (2.12)
Puţine semnale întâlnite în practică sunt separabile.
Scriind secvenţă sub forma:
)(1)(),( 2221 nnnnx δ×=δ= (2.13)
observăm că este separabilă.
2.1.3 Secvenţe finite
Secvenţele finite 2D sunt o altă clasă importantă a semnalelor discrete.
Aceste semnale sunt zero în afara unei regiuni finite din planul
(n1, n2). Această regiune fiind denumită regiunea - suport a semnalului.
Deşi formele dreptunghiulare sau pătrate sunt cele mai folosite ca suport
al secvenţelor finite, este posibil să întâlnim şi regiuni suport de forme diverse.
2.1.4 Secvenţe periodice
Semnalele discrete periodice formează o altă clasă importantă de
secvenţe 2D, care poate fi gândită ca o formă de undă care se repetă la intervale
regulate. Deoarece un semnal 2D trebuie să se repete pe două direcţii diferite în
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive42
acelaşi timp, definiţia formală a secvenţei periodice 2D este mult mai complexă
decât a unei secvenţe periodice 1D.
Secvenţa cu proprietatea
),(),( 21121 nNnxnnx += (2.14)
o vom numi periodică de perioadă N1 pe direcţia n2.
Un exemplu de astfel de secvenţa este prezentat în Figura 2.7.
Figura 2.7
Secvenţa cu proprietatea
),(),( 22121 Nnnxnnx += (2.15)
o vom numi periodică de perioadă N2 pe direcţia n2.
Secvenţa cu proprietatea
),(),( 221121 NnNnxnnx ++= (2.16)
o vom numi secvenţa periodică de perioadă (N1, N2) pe direcţiile (n1, n2).
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 43
2.2 Sisteme bidimensionale
Formal, un sistem este un operator care transformă un semnal (de intrare)
în alt semnal (de ieşire):
Y=T[X] (2.17)
Operatorul T[ ] poate reprezenta o regulă sau un set de reguli pentru
transformarea unui semnal în alt semnal, sau chiar o listă de semnale de ieşire
ce corespund diferitelor semnale de intrare.
În acest capitol vom studia câteva sisteme simple şi în particular ne vom
îndrepta atenţia asupra sistemelor liniare invariante şi a transformărilor acestora.
2.2.1 Operaţii fundamentale
Sunt descrise câteva din operaţiile de bază asupra semnalelor care vor
constitui baza de pornire pentru studierea sistemelor mai complicate.
Fie w şi x două semnale discrete 2D. Aceste semnale pot fi adunate pentru
a obţine un al treilea semnal y. Această adunare este realizată eşantion cu
eşantion, astfel încât un eşantion particular y(n1,n2) este obţinut prin adunarea a
două eşantioane corespondente w(n1,n2) şi x(n1,n2).
),(),(),( 212121 nnwnnxnny += (2.18)
Secvenţele bidimensionale pot fi multiplicate cu o constantă pentru a
obţine o nouă secvenţă.
Dacă c este constanta, putem forma secvenţa 2D y din scalarul c şi x prin
înmulţirea fiecărui eşantion al lui x cu c.
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive44
),(),( 2121 nncxnny = (2.19)
O secvenţă 2D x poate fi deplasată liniar într-o nouă secvenţă y. Această
operaţie doar mută toată secvenţa x într-o nouă poziţie în planul (n1,n2). Valorile
eşantioanelor lui y sunt asociate eşantioanelor lui x astfel:
),(),( 221121 mnmnxnny −−= (2.20)
Folosind operaţiile fundamentale de adunare, multiplicarea cu un scalar şi
deplasarea orice secvenţă 2D se poate descompune într-o sumă de impulsuri de
forma:
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−δ=
1 2
),(),(),( 22112121
k k
knknkkxnnx (2.21)
Unde ),( 2211 knkn −−δ reprezintă un impuls unitar care a fost deplasat
astfel încât eşantioanele sale diferite de zero se află la (k1,k2) iar valorile x(k1,k2)
pot fi interpretate ca simpli multiplicatori scalari pentru impulsurile unitare
corespondente.
Multiplicarea a două secvenţe poate fi privită ca o generalizare a
multiplicării cu un scalar:
),(),(),( 212121 nnxnncnny = (2.22)
Două secvenţe 2D pot fi de asemenea supuse unor operatori neliniari.
Un important tip de operator neliniar, numit neliniar fără memorie,
acţionează asupra fiecărui eşantion.
De exemplu, vom considera secvenţa formată prin ridicarea la pătrat a
fiecărui eşantion din secvenţa bidimensională x
[ ]22121 ),(),( nnxnny = (2.23)
Această operaţie de ridicare la putere este o neliniar fără memorie
deoarece calculul valorii de ieşire în (n1,n2) depinde doar de o singură valoare
de intrare în (n1,n2).
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 45
2.2.2 Sisteme liniare
Un sistem este liniar dacă:
y1=L[x1], y2=L[x2] (2.24)
atunci
ay1+by2=L[ax1+bx2] (2.25)
pentru toate semnalele x1 şi x2 şi pentru toate constantele a şi b.
Sistemele liniare respectă principiul superpoziţiei. Răspunsul sistemelor
la o sumă de semnale de intrare este egală cu suma răspunsurilor la fiecare
semnal în parte.
O secvenţă 2D poate fi reprezentată ca o combinaţie liniară de impulsuri
unitare sub forma
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−δ=
1 2
),(),(),( 22112121
k k
knknkkxnnx (2.26)
Dacă folosim această secvenţă ca semnal de intrare într-un sistem 2D
discret şi liniar L[•], vom obţine următoarea secvenţă de ieşire:
−−δ= ∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=1 2
),(),(),( 22112121
k k
knknkkxLnny (2.27)
Dacă sistemul este liniar, putem scrie:
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive46
[ ]
∑ ∑
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
=
=−−δ=
1 2
21
1 2
),(),(
),(),(),(
21,21
22112121
k k
kk
k k
nnhkkx
knknLkkxnny
(2.28)
unde 21,kkh este răspunsul sistemului la impuls în (k1,k2).
Dacă răspunsul la impulsul variabil în spaţiu este cunoscut pentru fiecare
(k1,k2), răspunsul sistemului liniar la orice alt semnal de intrare poate fi găsit
prin superpoziţie.
2.2.3 Sisteme invariante la deplasare (SID)
Un sistem invariant la deplasare este un sistem pentru care o deplasare a
secvenţei de intrare implică o deplasare corespondentă a secvenţei de ieşire.
Dacă
[ ]),(),( 2121 nnxTnny = (2.29)
sistemul T[•] este invariant la deplasare dacă
[ ] ),(),( 21212121 mmnnymmnnxT −−=−− (2.30)
pentru toate secvenţele x şi pentru toţi întregii (n2, m2).
2.2.4. Sisteme liniare invariante la deplasare (SLID)
Pentru a studia eficient sistemele bidimensionale este necesar să
restrângem investigaţiile noastre la o clasă de operatori care au proprietăţi
comune.
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 47
A fost derivată expresia secvenţei de ieşire a unui sistem liniar după
intrarea x. Dacă sistemul este de asemeni invariant, alte simplificări pot fi
făcute. Răspunsul la impulsul variabil în spaţiu este definit de
[ ]),(),( 22112121knknLnnh kk −−δ= (2.31)
Pentru cazul special în care k1=k2=0, avem
[ ]),(),( 212100 nnLnnh δ= (2.32)
Aplicând principiul invarianţei la deplasare se obţine
),(),( 2211002121knknhnnh kk −−= (2.33)
Dacă definim h(n1,n2)=h00(n1-k1,n2-k2), putem scrie secvenţa de ieşire
astfel
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−=
1 2
),(),(),( 22112121
k k
knknhkkxnny (2.34)
Această relaţie defineşte convoluţia bidimensională. Un sistem liniar şi
invariant la deplasare (SLID) este complet caracterizat de răspunsul la impuls
h(n1,n2).
Dacă facem substituţiile n1-k1=l1 şi n2-k2=l2, ecuaţia anterioară poate fi
scrisă în forma
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−−=
1 2
),(),(),( 22112121
l l
lnlnxllhnny (2.35)
Prin această ultimă relaţie am demonstrat că operaţia de convoluţie este
comutativă. Vom nota cu ** operaţia de convoluţie 2D.
Un singur * este notaţia de convoluţie 1D.
Ecuaţiile anterioare pot fi scrise
y=x**h=h**x (2.36a)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive48
Exemple de convoluţii liniare
Imaginea originală
a(m,n)
Funcţia pondere
h1(m,n)
Convoluţia
a(m,n)** h1(m,n)
Imaginea originală b(m,n) Funcţia pondere h2(m,n) Convoluţia liniară
b(m,n)** h2(m,n)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 49
Imaginea originală c(m,n) Funcţia pondere h3(m,n) Convoluţia liniară
c(m,n)** h3(m,n)
Convoluţia este asociativă.
)()( ghxghxc ∗∗∗∗=∗∗∗∗= (2.36b)
Convoluţia este distributivă
)()()( gxhxghxc ∗∗+∗∗=+∗∗= (2.36c)
Convoluţia este distributivă:
)**()**()*(* dabadbac +=+= (2.36d)
O altă noţiune extrem de importantă este convoluţia ciclică definită
pentru două secvenţe finite, ),( 21 nnx şi ),( 21 nnh , de suport ],0[],0[ 21 NN ×
( )∑ ∑= =
−−=1
1
2
2
210 0
22112121 ,),(),(
N
k
N
kNN knknhkkxnny
(2.37a)
Această operaţie o notăm cu
),(),( 2121 nnynnxy c⊗= (2.38)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive50
Exemple de convoluţii ciclice
Imaginea originală
),( 21 nna
Răspunsul la impuls
),( 211 nnh
Ieşirea
),(),( 21121 nnhnna c⊗
Imaginea originală
),( 21 nnbRăspunsul la impuls
),( 212 nnh
Ieşirea
),(),( 21221 nnhnnb c⊗
Imaginea originală
),( 21 nnc
Răspunsul la impuls
),( 213 nnhIeşirea
),(),( 21321 nnhnnc c⊗
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 51
Imaginea originală
),( 21 nndRăspunsul la impuls
),( 214 nnh
Ieşirea
),(),( 21421 nnhnnd c⊗
2.2.5. Conectarea în cascadă şi paralel a sistemelor
Două sisteme sunt conectate în cascadă dacă ieşirea primului este intrarea
celui de-al doilea, ca în Figura 2.8.
Figura 2.8
hxw ∗∗= (2.39)
Dacă două sisteme sunt liniare şi invariante, conectarea lor în cascadă
este liniară şi invariantă.
Dacă w este ieşirea primului sistem în cascadă, atunci:
ghxgwy ∗∗∗∗=∗∗= )( (2.40)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive52
Putem scrie
)( ghxy ∗∗∗∗= (2.41)
şi astfel echivalentul răspunsului la impuls al sistemului în cascadă este
ghhechiv ∗∗=. (2.42)
Aplicând comutativitatea, se observă că echivalentul răspunsului la
impuls este neschimbat dacă ordinea celor două sisteme se schimbă.
In Figura 2.9 sunt prezentate două sisteme conectate în paralel. Ele au
intrările comune şi ieşirile sunt însumate pentru a produce o singură ieşire.
Figura 2.9
Pentru a găsi răspunsul echivalent la un impuls, observăm că:
)()( gxhxy ∗∗+∗∗= (2.43)
Aplicând distributivitatea, avem:
)( ghxy +∗∗= (2.44)
de unde rezultă că:
ghhechiv +=. (2.45)
Uneori este util să descompunem răspunsul la impuls în mai multe
componente, în special dacă el are o regiune suport finită care poate fi
reprezentată ca o colecţie de regiuni mai mici, dar cu forme regulate.
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 53
2.2.6 Sisteme separabile
Un sistem separabil este un sistem SLID al cărui răspuns impuls este o
secvenţă separabilă de forma:
)()(),( 221121 nhnhnnh = (2.46a)
Această proprietate permite sistemele să fie mai uşor de implementat.
Un exemplu de sistem separabil este prezentat în Figura 2.10
Figura 2.10 Exemplu de sistem separabil
Ieşirea sistemului va fi:
∑ ∑
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
−−=
−−=
1 2
1 2
)(),()(
)()(),(),(
22221111
2211221121
k k
k k
khknknxkh
khkhknknxnny
(2.46b)
Dacă definim
∑∞
−∞=
−=
2
)(),(),( 2222121
k
khknnxnng (2.47a)
atunci:
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive54
∑∞
−∞=
−=
1
),()(),( 2111121
k
nkngkhnny (2.47b)
Matricea g(n1,n2) poate fi calculată făcând convoluţia 1D între fiecare
coloană a lui x (n1 constant) şi secvenţa 1D h2.
Matricea de ieşire y se calculează prin convoluţia fiecărei linii g (n2
constant) cu secvenţa h1.
Convoluţiile liniilor pot fi făcute înainte de convoluţiilor coloanelor,
rezultatul fiind acelaşi. Important este faptul că ieşirea poate fi obţinută ca o
serie de convoluţii 1D.
2.2.7 Sisteme stabile
Ca şi în cazul 1D, singurele sisteme folositoare sunt cele stabile. Este
normal să cerem, de exemplu, ca secvenţa de ieşire a unui sistem să rămână
mărginită dacă secvenţa de intrare a acestuia este mărginită. Aceste sisteme sunt
numite IMRM (intrare mărginită ieşire mărginită) stabile.
Pentru un sistem IMRM stabil, când Bnnx ≤),( 21 , există un B’ astfel
încât '),( 21 Bnny ≤ pentru toate (n1, n2).
O condiţie necesară şi suficientă ca un sistem SLID să fie IMRM este ca
răspunsul său la impuls să fie absolut sumabil.
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞<=
1 2
121 ),(
n n
Snnh (2.48)
Demonstrarea acestui fapt este identică cu situaţia unidimensională.
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 55
O altă formă de stabilitate este stabilitatea în medie pătratică. Un sistem
SLID este stabil dacă:
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞<=
1 2
22
21 ),(
n n
Snnh (2.49)
Un sistem IMRM este pătratic stabil, însă invers nu este întotdeauna
adevărat. În continuare, dacă spunem că un sistem este stabil, ne vom referi la
stabilitatea IMRM.
2.3 Caracterizarea în frecvenţă a semnalelor şi sistemelor
Am văzut că răspunsul unui sistem SLID la un semnal de intrare poate fi
obţinut prin convoluţia semnalului de intrare cu răspunsul sistemului la impuls.
Reprezentând semnalul de intrare ca o superpoziţie de impulsuri
deplasate, semnalul de ieşire poate fi reprezentat ca o superpoziţie de răspunsuri
la impulsuri.
2.3.1 Răspunsul în frecvenţă a sistemelor SLID bidimensionale
Considerăm un sistem SLID 2D cu răspunsul la impulsul unitar h(n1,n2) şi
intrarea care este o cosinusoidă complexă de forma:
)jjexp(),( 221121 nnnnx ω+ω= (2.50)
unde 1ω şi 2ω sunt numere reale numite frecvenţe orizontale şi verticale.
Vom determina semnalul de ieşire prin convoluţie:
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive56
),()jjexp(
)jjexp(),()jjexp(
),()](j)(jexp[),(
212211
2211212211
2122211121
1 2
1 2
ωωω+ω=
=
ω−ω−ω+ω=
=−ω+−ω=
∑ ∑
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
Hnn
kkkkhnn
kkhknknnny
k k
k k
(2.51)
Semnalul de ieşire este o sinusoidă cu aceeaşi frecvenţă cu a semnalului
de intrare, dar amplitudinea şi faza au fost alterate de funcţia complexă
),( 21 ωωH , numită şi răspunsul sistemului în frecvenţă:
∑∑ ω−ω−=ωω
1 2
)jjexp()(),( 22112121
n n
nnnnhH(2.51)
Dacă ),( 21 ωωH este aproximativ egal cu unu pentru un pentru o valoare
particulară a perechii ),( 21 ωω , semnalul sinusoidal cu acea frecvenţă va trece
prin sistem fără a fi atenuat.
Dacă ),( 21 ωωH este apropiat de zero pentru unele perechi ),( 21 ωω ,
sinusoidele cu acele frecvenţe vor fi rejectate de sistem.
Vom arăta în continuare că răspunsul în frecvenţă ),( 21 ωωH este
periodic în cazurile variabilelor orizontale şi verticale cu perioadă 2π .
),()2,(
),(),2(
2121
2121
ωω=π+ωωωω=ωπ+ω
HH
HH
(2.52)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 57
Exemplu
Vom calcula răspunsul în frecvenţă pentru
)1,()1,(),1(),1(),( 2121212121 −δ++δ+−δ++δ= nnnnnnnnnnh (2.53)
Răspunsul în frecvenţă este dat de:
[ ]
)cos(cos2
)jjexp()1,()1,(),1(),1(
)jjexp(),(),(
21jjjj
221121212121
22112121
2211
1 2
1 2
ω+ω=+++=
=ω−ω−⋅−δ++δ+−δ++δ=
=ω−ω−=ωω
ω−ωω−ω
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∑ ∑
∑ ∑
eeee
nnnnnnnnnn
nnnnhH
n n
n n
(2.54)
Exemplu
Considerăm sistemul al cărui răspuns la impuls este dat de
±===±=±=±=
=
restin,0
1,0,5,0
0,1,25,0
1,1,125,0
),(21
21
21
21 nn
nn
nn
nnh(2.55)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive58
Aplicând definiţia răspunsului în frecvenţă vom obţine
)cos1)(cos1(5.0
)(125,0
)(25,05,0
)jjexp(),(),(
21
jjjjjjjj
jjjj
22112121
21212121
2211
1 2
ω+ω+==++++
+++++=
=ω−ω−=ωω
ωωω−ωωω−ω−ω−
ωω−ωω−
∞
−∞=
∞
−∞=∑ ∑
eeeeeeee
eeee
nnnnhH
n n
(2.56)
Acesta este un exemplu de filtru trece-jos.
Sistemul din acest exemplu are un răspuns la impuls separabil. Vom
vedea că răspunsul în frecvenţă este de asemenea o funcţie separabilă.
Rezultatul este adevărat în general.
Dacă
)()(),( 2121 ngnfnnh = (2.57)
atunci
)()(),( 2121 ωω=ωω GFH (2.58)
unde
∑ ω−=ω
1
)jexp()()( 1111
n
nnfF(2.59)
şi
∑ ω−=ω
2
)jexp()()( 2222
n
nngG (2.60)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 59
2.3.2 Determinarea răspunsului la impuls din răspunsul în frecvenţă
Răspunsul în frecvenţă al sistemelor SLID discrete este în general o
funcţie continuă periodică ce poate fi exprimată ca o combinaţie liniară de
sinusoide complexe armonice.
Relaţia inversă poate fi obţinută multiplicând ambele părţi ale ecuaţiei cu
o sinusoidă complexă şi integrând pe un pătrat în planul frecvenţei.
În detaliu vom avea
[ ] [ ]∑∑ ∫∫
∫ ∫∑∑
∫ ∫
ω−ω−
π⋅
ω−ω−
π=
=ωωω+ω⋅ω−ω−π
=
=ωωω+ωωωπ
π
π−
π
π−
π
π−
π
π−
π
π−
π
π−
1 2
1 2
2222111121
2122112211212
2122112
1
2
d)(jexp2
1d)(jexp
2
1),(
dd)jjexp()jjexp(),(4
1
dd)jjexp()(4
1
n n
n n
knknnnh
kknnnnh
kkH
(2.61)
Se demonstrează în continuare că
[ ] )(d)(jexp2
1knkn −δ=ω−ω−
π ∫π
π−(2.62)
După evaluarea sumei duble, doar h(k1,k2). Acest lucru ne oferă un mijloc
de a evalua valoarea răspunsului la impuls în (k1,k2).
Rescriind în (n1,n2), vom obţine
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive60
21221121221 dd)jjexp(),(4
1),( ωωω+ωωω
π= ∫ ∫
π
π−
π
π−
nnHnnh (2.63)
Până în acest moment s-a folosit o perioadă centrată în origine. În
realitate orice perioadă poate fi folosită.
Exemplu
Vom folosi acest rezultat pentru a găsi răspunsul la impuls al unui filtru
ideal trece-jos specificat de răspunsul în frecvenţă.
π<≤ωπ<≤ω
=ωωrestin,0
,,1),( 21
21ba
H(2.64)
Avem un sistem separabil. Astfel
2
2
1
1
222111
212211221
sinsin
d)jexp(2
1d)jexp(
2
1
dd)jjexp(4
1),(
n
bn
n
an
nn
nnnnh
b
b
a
a
a
a
b
b
π⋅
π=
=ωωπ
⋅ωωπ
=
=ωωω+ωπ
=
∫∫
∫ ∫
−−
− −
(2.65)
Exemplu
Determinaţi răspunsului la impuls al unui filtru trece-jos circular dat de
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 61
π<≤ω+ω=ωω
restin,0
,1),(
2222
21
21R
H(2.66)
În acest exemplu,
212211221 dd)jjexp(4
1),( ωωω+ω
π= ∫∫ nnnnh
A
(2.67)
Integrala pe discul de rază A este mai uşor de calculat dacă 1ω şi 1ω sunt
înlocuite de coordonate polare variabile.
Pentru aceasta vom defini,
1
21
1
2122
21 tan,tan,
n
n−− =θωω
=φω+ω=ω(2.68)
cu aceste definiţii, (2.67) devin
22
21
22
211
0
22
210
0
22
21
2
0221
2
d)(2
1
dd)cos(jexp4
1),(
nn
nnRJR
nnJ
nnnnh
R
R
+
+
⋅π
=
=ω+ωωπ
=
=θφ
φ−θ+ωω
π=
∫
∫ ∫π
(2.69)
unde J0(x) şi J1(x) sunt funcţiile Bessel de ordinul întâi ale lui 0 respectiv 2.
Acest răspuns este o funcţie circulară simetrică eşantionată. În lungul axei
n1 are forma
( )RnJn
Rnh 11
11 2
)0,(π
=(2.70)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive62
2.3.3 Transformata Fourier bidimensională
Dacă folosim o reprezentare similară cu h pentru secvenţa de intrare x
( ) ( )∫ ∫π
π−
π
π−
ωωω+ωωωπ
= 21221121221 ddjjexp,4
1),( nnXnnx (2.71)
Funcţia complexă X, numită şi transformata Fourier 2D a lui x, poate fi
calculată astfel
( ) ( ) ( )∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
ω−ω−=ωω
1 2
22112121 jjexp,,
n n
nnnnxX (2.72)
Cu această definiţie vom vedea că răspunsul în frecvenţă al sistemului
SLID este transformata Fourier a răspunsului sistemului la impuls.
Vom presupune acum un sistem 2D SLID L[ ] care are răspunsul la
impuls h(n1,n2) şi răspunsul în frecvenţă ( )21,ωωH .
Ştim că
( )[ ] ( ) ( )2211212211 jjexp,jjexp nnHnnL ω+ωωω=ω+ω (2.73)
Putem scrie
( )[ ]
( ) ( )
( ) ( )[ ]∫ ∫
∫ ∫π
π−
π
π−
π
π−
π
π−
ωωω+ωωωπ
=
=
ωωω+ωωω
π=
==
212211212
212211212
2121
ddjjexp,4
1
ddjjexp,4
1
,),(
nnLX
nnXL
nnxLnny
(2.74)
În final obţinem
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 63
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫π
π−
π
π−
ωωω+ωωωωωπ
= 2122112121221 ddjjexp,,4
1, nnXHnny (2.75)
Am presupus că ( )21,ωωX şi ( )21,ωωH sunt corect definite. Aceasta ne
permite să schimbăm ordinea integrării şi a operatorului L[ ].
Ecuaţia (2.75) ne oferă un mod alternativ de exprimare a ieşirii unui
sistem SLID. Secvenţa de ieşire calculată de ecuaţia (2.95) este identică cu
secvenţa de ieşire calculată de suma de convoluţie a ecuaţiilor (2.36) şi (2.37) .
Secvenţa de ieşire y(n1,n2) poate fi de asemeni scrisă în termenii
transformatei Fourier discrete ( )21,ωωY astfel
( ) ( ) ( )∫ ∫π
π−
π
π−
ωωω+ωωωπ
= 21221121221 ddjjexp,4
1, nnYnny (2.76)
O comparaţie a ecuaţiilor (2.75) şi (2.76) implică faptul că
( ) ( ) ( )212121 ,,, ωωωω=ωω XHY (2.77)
dacă y=h**x.
Acest rezultat, numit şi teorema convoluţiei poate fi enunţat astfel:
transformata Fourier discretă convoluţiei a două secvenţe 2D este produsul
transformatelor Fourier ale celor două secvenţe.
Se poate arăta că transformata Fourier definită de (2.72) există oricând
secvenţa x(n1,n2) este absolut sumabilă:
( )∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞<=
1 2
121,
n n
Snnx (2.78)
Răspunsul în frecvenţă al unui sistem SLID există doar dacă sistemul este
stabil.
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive64
Exemple de transformate Fourier discrete
Imaginea originală Transformată Fourier discretă
scară logaritmică
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 65 Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive66
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 67
Imaginea originală – Transformata Fourier Discretă
Sinusoidă
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive68
Caracteristică rectangulară
Caracteristică gaussiană
tren de impulsuri
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 69
2.3.4 Alte proprietăţi ale transformatei Fourier 2D
Vom folosi notaţia
Xx ↔ (2.79)
pentru a indica faptul că X( 21,ωω ) este transformată Fourier a lui x(n1,n2).
Teorema de convoluţie devine:
HXYxhy =↔∗∗= (2.80)
Operatorul transformatei Fourier 2D are o serie de alte proprietăţi
folositoare care sunt extensii ale proprietăţilor transformatei 1D. c
Acestea sunt enumerate mai jos:
Liniaritatea
Dacă
11 Xx ↔ şi 22 Xx ↔ (2.81)
atunci
2121 bXaXbxax +↔+ (2.82)
pentru orice numere complexe a şi b.
Deplasarea în spaţiu
Dacă
( ) ( )2121 ,, ωω↔ Xnnx (2.83)
atunci
( ) ( ) ( )2122112211 ,jjexp, ωωω−ω−↔−− Xmmmnmnx
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive70
Deplasarea unei secvenţe cu (m1,m2) corespunde cu multiplicarea
transformatei sale Fourier X( 21,ωω ) cu termenul cu fază liniară
( )2211 jj mm ω−ω− .
Modulaţia
( ) ( ) ( )2211221121 ,jjexp, θ−ωθ−ω↔θ+θ Xnnnnx (2.84)
Multiplicarea unei secvenţe cu o secvenţă complexă sinusoidală
corespunde cu deplasarea în frecvenţă a transformatei Fourier.
Multiplicarea
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )∫ ∫
∫ ∫π
π−
π
π−
π
π−
π
π−
θθθθθ−ωθ−ωπ
=
=θθθ−ωθ−ωθθπ
↔
212122112
2122112122121
,,4
1
,,4
1,,
ddCX
ddCXnnxnnc
(2.85)
Prin multiplicarea a două secvenţe, în urma aplicării transformatei,
obţinem convoluţia transformatelor. Notăm că integrala de convoluţie are o
formă specială; integrandul este de două ori periodic iar integrala se întinde
exact peste o perioadă a integrandului.
Proprietatea modulaţiei poate fi privită ca un caz special al multiplicării a
două secvenţe.
Diferenţierea unei transformate Fourier
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 71
( ) ( )1
21211
,,j
ω∂ωω∂
↔−X
nnxn(2.86a)
( ) ( )2
21212
,,j
ω∂ωω∂
↔−X
nnxn(2.86b)
( ) ( )21
212
2121,
,ω∂ω∂ωω∂
↔−X
nnxnn(2.86c)
Transpoziţia
( ) ( )1212 ,, ωω↔ Xnnx (2.87)
Reflexia
( ) ( )2121 ,, ωω−↔− Xnnx (2.88a)
( ) ( )2121 ,, ω−ω↔− Xnnx (2.88b)
( ) ( )2121 ,, ω−ω−↔−− Xnnx (2.88c)
Conjugata complexă
( ) ( )2121 ,, ω−ω−↔ ∗∗ Xnnx (2.89)
Părţi reale şi imaginare
( )[ ] ( ) ( )[ ]212121 ,,2
1,Re ω−ω−+ωω↔ ∗XXnnx
(2.90a)
( )[ ] ( ) ( )[ ]212121 ,,2
1,Imj ω−ω−−ωω↔ ∗XXnnx
(2.90b)
( ) ( )[ ] ( )[ ]212121 ,Re,,2
1ωω↔−−+ ∗ Xnnxnnx
(2.90c)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive72
( ) ( )[ ] ( )[ ]212121 ,Imj,,2
1ωω↔−−− ∗ Xnnxnnx
(2.90d)
În cazul special în care x(n1,n2) este o secvenţă cu valori reale, aceste
relaţii implică:
( ) ( )2121 ,, ω−ω−=ωω ∗XX (2.90e)
( )[ ] ( )[ ]2121 ,Re,Re ωω−=ωω XX (2.90f)
( )[ ] ( )[ ]2121 ,Im,Im ω−ω−−=ωω XX (2.90g)
Partea reală a transformatei Fourier are o simetrie pară faţă de origine, iar
partea imaginară are o simetrie impară faţă de origine.
Când x(n1,n2) este real, membrii din stânga ai ecuaţiilor (2.xxx) şi (2.xxx)
devin părţile pare, respectiv impare, ale lui x(n1,n2).
Teorema lui Parseval
Dacă
( ) ( )2121 ,, ωω↔ Xnnx (2.91)
şi
( ) ( )2121 ,, ωω↔Wnnw (2.92)
atunci
( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∫ ∫π
π−
π
π−
∗∗ ωωωωωωπ
=
1 2
1 2121212212 dd,,4
1,,
n n
WXnnwnnx (2.93)
Partea stângă a ecuaţiei (2.xxx) defineşte un produs intern între două
transformate Fourier 2D.
Teorema lui Parseval spune că acest produs intern este conservat de
transformata Fourier.
Un caz special apare când w(n1,n2)=x(n1,n2) astfel încât ecuaţia (2.113)
devine
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 73
( ) ( )∑∑ ∫ ∫π
π−
π
π−
ωωωπ
=
1 2
212
2122
21 dd,4
1,
n n
Xnnx(2.94)
Partea stângă a ecuaţiei (2.xxx) poate fi interpretată ca energia totală a
semnalului x(n1,n2). Funcţia ( )221,ωωX este interpretată ca densitate spectrală
de energie deoarece integrala este egală cu energia totală a semnalului.
Exemple pentru proprietăţile transformatei Fourier
Imaginea Modul Transformatei
Fourier Discrete
Faza Transformatei
Fourier Discrete
Observaţii
a(m,n) A(u,v) Aϕ
Imaginea a(m,n)
având
transformata Fourier
discretă A(u,v) şi faza
Aϕ (u,v)
b B
Teorema rotaţiei
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive74
c=a+b C=0.25A+0.75B
Teorema
superpoziţiei
Dacă c=k1a+k2 b
atunci C= k1A+ k2B.
Teorema translaţiei
Teorema
Importanţa amplitudinii şi fazei pentru transformata Fourier
Transformata Fourier este în general un număr complex. In Figura x.a-c
este reprezentată imaginea originală împreună cu caracteristica de amplitudine
şi fază.
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 75
Figura x.a
Imaginea originală
Figura x.b
Caracteristica de
amplitudine, ( )ΨΩ,(log A
Figura x.a Caracteristica
de fază, ),( ΨΩφ
Atât faza cât şi amplitudinea sunt necesare pentru reconstrucţia completă
a imaginii. În Figura Xa imaginea este reconstruită numai din caracteristica de
amplitudine considerând faza nulă. Observăm că imaginea reconstruită este
practic de nerecunoscut.
În Figura Xa imaginea este reconstruită numai din caracteristica de fază
considerând amplitudinea constantă. Observăm că imaginea reconstruită este
profund degradată.
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive76
Figura x.a Imaginea este reconstruită
numai din caracteristica de amplitudine
considerând faza nulă
Figura x.a Imaginea este reconstruită
numai din caracteristica de fază
considerând amplitudinea constantă.
2.4 Eşantionarea semnalelor 2D continue
2.4.1 Eşantionarea periodică cu geometrie rectangulară
Din multele moduri de a generaliza eşantionarea periodică 1D la cazul
bidimensional, cea mai directă este eşantionarea periodică în coordonate
rectangulare, pe care o vom numi simplu eşantionare dreptunghiulară.
Dacă xa(t1,t2) este o formă de undă 2D continuă, semnalul discret x(n1,n2)
obţinut din el prin eşantionare dreptunghiulară este dat de
( ) ( )221121 ,, TnTnxnnx a= (2.95)
unde T1 şi T2 sunt constante reale pozitive cunoscute ca intervale sau perioade
de eşantionare.
Pentru o secvenţă formată în acest mod, suntem preocupaţi de două
întrebări:
a) dacă forma de undă xa(t1,t2) poate fi refăcută din x(n1,n2)?
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 77
b) cum este transformata Fourier a lui x legată de transformata Fourier a lui xa?
Pentru început vom defini relaţiile transformatei Fourier pentru semnale
2D continue:
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
Ω−Ω−=ΩΩ 2122112121 ddjjexp,, ttttttxX aa
(2.96)
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
ΩΩΩ+ΩΩΩπ
= 21221121221 ddjjexp,4
1, ttXttx aa
(2.97)
Deoarece
( ) ( )221121 ,, TnTnxnnx a= (2.98)
putem scrie
( ) ( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
ΩΩΩ+ΩΩΩπ
= 2122211121221 ddjjexp,4
1, TnTnXnnx a (2.99)
Vom transforma această expresie într-o formă a transformatei Fourier
inverse pentru semnale discrete.
Vom începe cu substituţia 111 TΩ=ω şi 222 TΩ=ω pentru a aduce
termenii exponenţiali într-o formă corectă.
Aceasta conduce la:
( ) ( )∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
ωωω+ω
ωω
π= 212211
2
2
1
1
21221 ddjjexp,
1
4
1, nn
TTX
TTnnx a (2.100)
Integrala dublă pe întregul plan ( )21,ωω poate fi desfăcută într-o serie
infinită de integrale, fiecare din ele pe o arie de 24π .
Fie ca SQ(k1,k2) să reprezinte pătratul
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive78
222111 22,22 kkkk π+π−<ω≤π+π−π+π<ω≤π+π− (1.101)
Astfel ecuaţia (2.100) poate fi scrisă
( ) ( )( )
∑∑ ∫∫ ωωω+ω
ωω
π=
1 2 21,
2122112
2
1
1
21221 ddjjexp
1
4
1,
k k kkSQ
a nnTT
XTT
nnx
(2.102)
Înlocuind 1ω cu 11 2 kπ−ω şi 2ω cu 22 2 kπ−ω vom putea înlătura
dependenţa limitelor de integrare de k1 şi k2, obţinând
( ) ( )
( ) 212211
22112
22
1
11
21221
dd2j2jexp
jjexp2
,21
4
1,
1 2
ωωπ−π−⋅
ω+ω⋅
π−ωπ−ω
π= ∫ ∫ ∑∑
π
π−
π
π−
nknk
nnT
k
T
kX
TTnnx
k k
a
(2.103)
Al doilea factor exponenţial din ecuaţia (2.103) este egal cu unu pentru
toate valorile variabilelor întregi n1, k1, n2 şi k2.
Ecuaţia (2.103) are acum aceeaşi formă cu transformata Fourier inversă,
deci:
( ) ∑∑
π−ωπ−ω=ωω
1 22
22
1
11
2121
2,
21,
k k
a T
k
T
kX
TTX
(2.104)
sau, alternativ:
( ) ∑∑
π−Ω
π−Ω=ΩΩ
1 22
22
1
11
212211
2,
21,
k k
a T
k
T
kX
TTTTX
(2.105)
Ecuaţia (2.105) ne oferă relaţia căutată între transformatele Fourier ale
semnalelor discrete şi continue.
Membrul drept al acestei expresii poate fi interpretat ca o extensie a lui
( )21,ΩΩaX , care conduce la funcţia periodică ( )2211 , TTX ΩΩ .
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 79
Ecuaţia (2.105) poate fi mai departe simplificată în cazul în care semnalul
( )21, ttxa este de bandă limitată.
Transformata Fourier ( )21,ΩΩaX a unui semnal de bandă limitată este
egal cu zero în afara unei regiuni finite din planul ( )21,ΩΩ .
Pentru simplitate vom presupune că perioadele de eşantionare T1 şi T2
sunt alese suficient de mici astfel încât :
( )2
21
121 ,pentru,0,TT
X aπ
≥Ωπ
≥Ω=ΩΩ(2.106)
Atunci ecuaţia (2.105) devine
( ) ( )2121
2211 ,1
, ΩΩ=ΩΩ aXTT
TTX(2.107)
pentru
22
11 si
TT
π≤Ω
π≤Ω
(2.108)
Valorile lui ( )2211 , TTX ΩΩ în afara acestei regiuni sunt date de
periodicitatea lui ( )2211 , TTX ΩΩ .
Cât timp ( )21,ΩΩaX satisface ecuaţia (2.106), ( )21,ΩΩaX poate fi
refăcută din ( )2211 , TTX ΩΩ prin inversarea ecuaţiei (2.107)
( )( )
π
<Ωπ
<ΩΩΩ=ΩΩ
restin,0
,,,, 2
21
122112121 TT
TTXTTX a (2.109)
În consecinţă este posibil să refacem semnalul continuu ( )21,ttxa din
semnalul discret.
Pentru a demonstra acest lucru îl vom exprima pe ( )21,ttxa în termenii
unei transformate Fourier.
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive80
( ) ( ) ( )
( ) ( )∫ ∫
∫ ∫
− −
∞
∞−
∞
∞−
ΩΩΩ+ΩΩΩπ
=
=ΩΩΩ+ΩΩΩπ
=
1
1
2
2
2122112211212
21221121221
ddjjexp,4
1
jjexp,4
1,
W
W
W
W
aa
ttTTXTT
ddttXttx
(2.110)
unde 1
1 TW
π= şi
22 T
Wπ
= .
Acum îl vom exprima pe ( )2211 , TTX ΩΩ în termenii lui ( )21,nnx .
( ) ( ) ( )
( ) =ΩΩΩ+Ω⋅
⋅
Ω−Ω−
π= ∫ ∫ ∑∑
− −
212211
2221112121221
ddjjexp
jjexp,4
1,
1
1
2
2 1 2
tt
nTnTnnxTTttx
W
W
W
W n n
a
(2.111a)
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]( )
( )[ ]( )∑∑
∑∑ ∫ ∫
−−
⋅−−
=
=ΩΩ−Ω+−Ωπ
=
− −
1 2
1 2
1
1
2
2
2222
2222
1111
111121
212222111121221
sinsin,
ddjjexp,4
n n
n n
W
W
W
W
TntW
TntW
TntW
TntWnnx
TntTntnnxTT
(2.111b)
Am obţinut astfel teorema eşantionării.
Această teoremă spune că un semnal continuu de bandă limitată poate fi
refăcut din eşantioanele sale. Perioadele de eşantionare T1 şi T2 trebuie să fie
suficient de mici sau frecvenţele de eşantionare 2W1 şi 2W2 suficient de mari
pentru ca ecuaţia (2.106) să fie adevărată.
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 81
Un semnal continuu care nu este de bandă limitată poate fi eşantionat,
dar, în acest caz, apare fenomenul de aliere. Acest fenomen apare şi în situaţia
în care nu sunt respectate condiţiile date de relaţia Nyquist.
2.4.2 Eşantionarea imaginilor dinamice
Teorema eşantionării ne oferă o formulare matematică pentru
reconstrucţia funcţiei continue folosind eşantioanele acestor funcţii.
Fie o imagine continuă ( )yxi , . Obţinem eşantioane ale acestei imagini
folosind funcţia “comb” dată de
( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
ρ−δρ−δ=ρρ
x yn n
yyxxyx nynxyx ,;, (2.112)
Imaginea eşantionată, ( )yxis , este
( ) ( ) ( )∑ ρρ= yxs yxyxiyxi ,;,,, (2.113)
( ) ( ) ( )∑ ρρ∗=~
,;,,, yxyxyxyxs kkkkIkkI(2.114)
unde
( )∑ ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
ρ−δ
ρ
−δρρ
=ρρ~
11,;,
x yn n y
yy
x
xx
yxyxyx
nk
nkkk (2.115)
şi ( )yx kkI , este transformata Fourier a imaginii continue ),( yxi , ( )yxs kkI ,
este transformata Fourier a imaginii eşantionate ),( yxis .
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive82
Dacă ( )yx kkI , este de bandă limitată adică este nulă pentru
yyxx LkLk >> , .
Dacă y
yx
x LL 2
1,
2
1≤ρ≤ρ apare fenomenul de aliere. În această situaţie
înmulţim cu filtrul trece jos bidimensional ),( cy
cx kkH , cu frecvenţele de tăiere
),( cy
cx kk .
Dacă ycyx
cx LkLk ≥≥ , putem reconstrui exact ),( yxi .
În concluzie, dacă ( )yx kkI , este de bandă limitată adică este nulă pentru
yyxx LkLk >> , şi nu are singularităţi la extreme ( yyxx LkLk ±=±= , ) atunci
( )
−
−
= ∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞= y
yy
x
xx
n n y
y
x
xL
nyLc
L
nxLc
L
n
L
nIyxI
x y2
2sin2
2sin2
,2
,
(2.116)
unde funcţia sinc este funcţia inversă a lui ),( cy
cx kkH dată de
( ) .sinsin
,sin
ππ
ππ
=y
y
x
xyxc
(2.117)
Aceste rezultate legate de teorema eşantionării în cazul imaginilor (sau
sistemelor bidimensionale) statice dorim să le extindem la imaginile (sau
sistemele bidimensionale) dinamice.
În această situaţie ( )ω,, yx kkI este transformata Fourier a imaginii
continue ),,( tyxi , ( )ω,, yxs kkI este transformata Fourier a imaginii eşantionate
),,( tyxis .
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 83
Dacă ( )ω,, yx kkI este de bandă limitată adică este nulă pentru
tyyxx LLkLk >ω>> ,, unde ω,, yx kk sunt variabile Fourier ataşate lui x, y
şi t şi nu are singularităţi la tyyxx LLkLk ±=ω±=±= ,, atunci
( )
−
−⋅
⋅
−
= ∑ ∑ ∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
t
tt
y
yy
x
xx
n n t
t
y
y
x
x
n
L
nyLc
L
nyLc
L
nxLc
L
n
L
n
L
nItyxI
x y t
22sin
22sin
22sin
2,
2,
2,,
(2.118)
Presupunând că pentru poziţia ( )tyx ,, avem invarianţă la translaţie astfel
încât ( )tyxI ,, se poate scrie sub forma ( )tvytvxI yx ±± , unde ( )yx vvv ,=r
putem scrie
( ) ( ) ( )vkwkkIwkkI yxyxrr
m ⋅δ= ,,, (2.119)
Dacă există această relaţie observăm că nu este necesară o separare
absolută în timp şi spaţiu.
Vom demonstra această afirmaţie.
Avem relaţia
( ) ( ) ( ) ( )
( )
−δ
−δ−δ=
∑
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
t
yx
n
tttt
n
yyyy
n
xxxxyxyxs
LnkL
LnkLLnkLwkkIwkkI
22
2222**,,,,
(2.120)
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive84
dar
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )ttt
yyyyyxxxxx
n n n
yxyxyx
LnL
LnkkLLnkkL
vkkkIddkdkwkkI
x y t
2'2
2'22'2
''','''',,
−ω−ωδ×
−−δ−−δ×
−ωδω= ∑ ∑ ∑∫ ∫∫∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
rr
(2.121)
şi
( ) ( ) ( )∫ −δ=−δ−δ babxaxdx (2.122)
deci
( ) ( )
( ) ( )( )ttxxxxt
yyyyyxxxxx
n n n
yxyxyx
LnvkvkL
LnkkLLnkkL
kkIdkdkwkkI
x y t
2''2
2'22'2
',''',,
−−−ωδ×
−−δ−−δ×
= ∑ ∑ ∑∫ ∫∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
(2.123)
şi integrând în funcţie de ., ''yx kk
( ) ( )
( )( )ttyyyxxxyyxx
n n n
yyyxxxtyxyx
LnLvnLvnvkvkw
LnkLnkILLLwkkI
x y t
−++−−δ×
−−= ∑ ∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
2
2,28,,
(2.124)
2.4.3 Eşantionarea reală
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 85
Conversia unei imagini continue a(x,y) în o imagine digitală b(m,n)
necesita un proces de eşantionare. Acest lucru se poate realiza astfel:
),(),(
),(•),(].[
oo
m n
oo
oo
m n
ideal
nYyXmxnYmXa
nYyXmxyxanmb
−−δ=
−−δ=
∑ ∑
∑ ∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
∞+
−∞=
∞+
−∞=(2.125)
unde Xo şi Yo sunt distanţele de eşantionare. Eşantionarea ideală s-a realizat
folosind impulsuri dirac.
În realitate acest lucru nu se întâmplă.
Eşantionăm cu impulsuri de lungimi finite. Pentru a lua în considerare
acest efect modificăm modelul ideal de eşantionare, prin introducerea funcţiei
p(x,y) astfel:
( ) ),(•),(),(].[ oo
m n
nYyXmxyxpyxanmb −−δ⊗= ∑ ∑∞+
−∞=
∞+
−∞=(2.126)
Efectul eşantionării reale se poate înţelege mai bine în domeniul frecvenţă
prin aplicarea transformatei Fourier:
∑ ∑∞+
−∞=
∞+
−∞=
Ψ−ΨΩ−ΩΨ−ΨΩ−Ωπ
=ΨΩm n
ssss nmPnmAB ),(•),(4
1),(
2
(2.127)
unde 0/2 Xs π=Ω este frecvenţa de eşantionare pe direcţia x şi 0/2 Ys π=Ψ
este frecvenţa de eşantionare pe direcţia y.
Funcţia p(x,y) este de cele mai multe ori dreptunghiulară, circulară sau
gaussiană având asociată transformata Fourier ),( ΨΩP .
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive86
Câteva exemple sunt prezentate în Tabelul X.
Exemplu pentru înţelegerea fenomenului de aliere
Imaginea şi transformata Fourier discretă Observaţii
Frecvenţa sinusoidei este f1=1/128,
amplitudinea este egală cu unitatea
Frecvenţa sinusoidei este f2=16/128,
amplitudinea este egală cu unitatea
Frecvenţa sinusoidei este f3=64/128,
amplitudinea este egală cu unitatea
Frecvenţa sinusoidei este f4=68/128,
amplitudinea este egală cu unitatea
Pentru a evita apariţia fenomenului de aliere se pot impune două condiţii:
a) limitarea benzii imaginii
b) aplicarea relaţiei Nyquist
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 87
Imaginile achiziţionate prin lentile, ce au simetrie circulară, sunt în
general de bandă limitată.
Lentilele funcţionează ca un filtru trece jos cu simetrie circulară, cu
frecvenţa de tăiere dată de:
λ==
NAvu cc
2 (2.128)
unde NA este apertura numerică a lentilei şi λ este cea mai mică lungime de
undă ce trece prin lentilă [16fip].
Dacă lentilele nu satisfac toate proprietăţile de idealitate, ele funcţionează
tot ca un filtru trece jos cu simetrie circulară, cu frecvenţa de tăiere dată de:
+λ==
14
122F
vu cc
(2.129)
unde F este o constantă de mediu.
Funcţia p(x,y) descrisă mai sus va avea un efect marginal dacă sunt
respectate cele două condiţii de evitare a fenomenului de aliere.
În figura X este reprezentată valoare P(u,v=0) pentru mai multe situaţii.
Figura x
2.4.4 Aplicaţie
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive88
Mărirea imaginilor
Interpolarea este necesară atunci când o imagine este transformată
geometric şi valoarea unor pixeli trebuie obţinută.
Interpolarea poate fi văzută ca o filtrare trece jos. În funcţie de tipul
filtrării avem mai multe tipuri de interpolare.
În exemplul următor vom studia mărirea unei imagini de 4 ori împreună
cu 4 metode de interpolare: a celui mai apropiat vecin (nearest-neighbor),
liniară, ideală şi Butterworth.
În toate situaţiile spectrul este obţinut pentru o bună înţelegere a
componentelor frecvenţei.
În tabelul de mai jos sunt prezentate:
Imaginea iniţială f(x,y)
Spectrul F al imaginii f(x,y)
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 89
g(4x,4y) = f(x,y) Spectrul F al imaginii g(x,y)
Interpolare prin
mediere
se aplică imaginii
g filtrul 1h
gh ⊗1 Spectrul imaginii gh ⊗1
Interpolare
biliniară
se aplică imaginii
g filtrul 2h
gh ⊗2 Spectrul F al imaginii gh ⊗2
Interpolare ideală
se aplică imaginii
g filtrul 3h
Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive90
gh ⊗3 Spectrul F al imaginii gh ⊗3
Interpolare tip
Butterworth
se aplică imaginii g filtrul
4h
gh ⊗4 Spectrul F al imaginii
gh ⊗4