i sisteme bidimensionale capitolul 2 - comm.pub.ro semnale si sisteme 2d.pdf · capitolul 2 -...

28
Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 35 CAPITOLUL 2 SEMNALE ŞI SISTEME BIDIMENSIONALE Un semnal bidimensional poate fi modelat ca o funcţie de 2 variabile independente. Aceste semnale pot fi clasificate astfel: - continue; - discrete; - mixte. Un semnal continuu se modelează ca o funcţie de 2 variabile independente pe o mulţime continuă de valori. Un semnal discret poate fi modelat ca o funcţie definită doar pe o mulţime finită de valori. Un semnal mixt este un semnal bidimensional modelat ca o funcţie de variabile continue şi discrete. De exemplu un semnal înregistrat de la o matrice de traductoare electrice este un semnal mixt. Acest semnal poate fi modelat cu o variabilă continuă (timpul) şi una sau mai multe variabile discrete pentru indexarea traductoarelor. În acest capitol ne vom ocupa de semnale şi sisteme bidimensionale. Majoritatea proprietăţilor semnalelor şi sistemelor pe care le discutăm sunt extensii ale proprietăţilor semnalelor şi sistemelor unidimensionale. Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive 36 2.1 Semnale discrete bidimensionale Un semnal discret bidimensional (2D) este o funcţie definită pe un set de perechi de forma { } < < = 2 1 2 1 , , , ( n n n n x x (2.1) Un element din această secvenţă va fi numit eşantion. Astfel x(n 1 ,n 2 ) reprezintă un eşantion din secvenţa x. Valorile eşantioanelor pot fi reale sau complexe. În practică, o secvenţă bidimensională are valori cunoscute ale eşantioanelor doar într-o regiune finită a planului (n 1 ,n 2 ). 2.1.1 Secvenţe speciale Câteva secvenţe sunt destul de importante pentru a avea nume şi simboluri speciale. Unul din acestea este impulsul unitar 2D, δ (n 1 ,n 2 ). Acesta este prezentat în Figura 2.1 = = = δ rest in , 0 0 , 1 ) , ( 2 1 2 1 n n n n (2.2a) Avem relaţia: ) ( ) ( ) , ( 2 1 2 1 n n n n δ δ = δ (2.2b) unde = = δ rest in , 0 0 , 1 ) ( n n (2.2c)

Upload: dangcong

Post on 19-Feb-2018

247 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 35

CAPITOLUL 2

SEMNALE ŞI SISTEME BIDIMENSIONALE

Un semnal bidimensional poate fi modelat ca o funcţie de 2 variabile

independente.

Aceste semnale pot fi clasificate astfel:

- continue;

- discrete;

- mixte.

Un semnal continuu se modelează ca o funcţie de 2 variabile

independente pe o mulţime continuă de valori.

Un semnal discret poate fi modelat ca o funcţie definită doar pe o

mulţime finită de valori.

Un semnal mixt este un semnal bidimensional modelat ca o funcţie de

variabile continue şi discrete.

De exemplu un semnal înregistrat de la o matrice de traductoare electrice

este un semnal mixt. Acest semnal poate fi modelat cu o variabilă continuă

(timpul) şi una sau mai multe variabile discrete pentru indexarea traductoarelor.

În acest capitol ne vom ocupa de semnale şi sisteme bidimensionale.

Majoritatea proprietăţilor semnalelor şi sistemelor pe care le discutăm

sunt extensii ale proprietăţilor semnalelor şi sistemelor unidimensionale.

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive36

2.1 Semnale discrete bidimensionale

Un semnal discret bidimensional (2D) este o funcţie definită pe un set de

perechi de forma

∞<<∞−= 2121 ,,,( nnnnxx (2.1)

Un element din această secvenţă va fi numit eşantion. Astfel x(n1,n2)

reprezintă un eşantion din secvenţa x. Valorile eşantioanelor pot fi reale sau

complexe.

În practică, o secvenţă bidimensională are valori cunoscute ale

eşantioanelor doar într-o regiune finită a planului (n1,n2).

2.1.1 Secvenţe speciale

Câteva secvenţe sunt destul de importante pentru a avea nume şi

simboluri speciale.

Unul din acestea este impulsul unitar 2D, δ (n1,n2). Acesta este prezentat

în Figura 2.1

==

=δrest in,0

0,1),( 21

21nn

nn(2.2a)

Avem relaţia:

)()(),( 2121 nnnn δδ=δ (2.2b)

unde

=

=δrest in,0

0,1)(

nn

(2.2c)

Page 2: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 37

Figura 2.1

În Figura 2.2 este reprezentată secvenţa

)(),( 121 nnnx δ= (2.3)

Figura 2.2

În Figura 2.3 este reprezentată secvenţa

)(),( 221 nnnx δ= (2.4)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive38

Figura 2.3

În Figura 2.4a şi Figura 2.4b sunt reprezentate secvenţele:

)(),( 2121 nnnnx +δ= şi )(),( 2121 nnnnx −δ= (2.5)

Figura 2.4 a) Figura 2.4 b)

O altă secvenţă specială este secvenţa treaptă – unitate bidimensională

u(n1,n2), prezentată în Figura 2.5 şi definită astfel:

≥≥

=restin,0

0,0,1),( 21

21nn

nnu(2.6a)

Page 3: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 39

Figura 2.5

Avem relaţia:

)()(),( 2121 nununnu = (2.6b)

unde

<≥

=0,0

0,1)(

n

nnu

(2.6c)

este treapta - unitate unidimensională.

Definim funcţia:

intregi,cu),,(),(),( 212121 babnanunnunnua,b −−−= (2.7)

In Figura 2.6 este reprezentată funcţia ),( 212,3 nnu .

Definim fereastra rectangulară bidimensională

≤≤−≤≤−

=restin,0

,,1),( 222111

21, 21

NnNNnNnndrept NN

(2.8a)

Observăm că

)()(),( 2121, 2121nununndrept NNNN = (2.8b)

unde

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive40

≤≤−

=restin,0

,1)(

NnNndreptN

(2.8c)

Figura 2.6

Secvenţa exponenţială este definită de:

∞<<∞−= 2121 ,,),( 21 nnbannx nn (2.9)

unde a şi b sunt numere complexe nenule.

Când a şi b au amplitudini unitare, ele pot fi scrise sub forma:

)jexp(),jexp( 21 ω=ω= ba (2.10)

În acest caz, secvenţa exponenţială devine o secvenţă sinusoidală

complexă:

)sin(j)cos()jjexp(),( 22112211221121 nnnnnnnnx ω+ω+ω+ω=ω+ω= (2.11)

Page 4: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 41

2.1.2 Secvenţe separabile

Orice secvenţă ce poate fi scrisă ca produs de secvenţe unidimensionale

este numită separabilă şi se exprimă astfel:

)()(),( 221121 nxnxnnx = (2.12)

Puţine semnale întâlnite în practică sunt separabile.

Scriind secvenţă sub forma:

)(1)(),( 2221 nnnnx δ×=δ= (2.13)

observăm că este separabilă.

2.1.3 Secvenţe finite

Secvenţele finite 2D sunt o altă clasă importantă a semnalelor discrete.

Aceste semnale sunt zero în afara unei regiuni finite din planul

(n1, n2). Această regiune fiind denumită regiunea - suport a semnalului.

Deşi formele dreptunghiulare sau pătrate sunt cele mai folosite ca suport

al secvenţelor finite, este posibil să întâlnim şi regiuni suport de forme diverse.

2.1.4 Secvenţe periodice

Semnalele discrete periodice formează o altă clasă importantă de

secvenţe 2D, care poate fi gândită ca o formă de undă care se repetă la intervale

regulate. Deoarece un semnal 2D trebuie să se repete pe două direcţii diferite în

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive42

acelaşi timp, definiţia formală a secvenţei periodice 2D este mult mai complexă

decât a unei secvenţe periodice 1D.

Secvenţa cu proprietatea

),(),( 21121 nNnxnnx += (2.14)

o vom numi periodică de perioadă N1 pe direcţia n2.

Un exemplu de astfel de secvenţa este prezentat în Figura 2.7.

Figura 2.7

Secvenţa cu proprietatea

),(),( 22121 Nnnxnnx += (2.15)

o vom numi periodică de perioadă N2 pe direcţia n2.

Secvenţa cu proprietatea

),(),( 221121 NnNnxnnx ++= (2.16)

o vom numi secvenţa periodică de perioadă (N1, N2) pe direcţiile (n1, n2).

Page 5: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 43

2.2 Sisteme bidimensionale

Formal, un sistem este un operator care transformă un semnal (de intrare)

în alt semnal (de ieşire):

Y=T[X] (2.17)

Operatorul T[ ] poate reprezenta o regulă sau un set de reguli pentru

transformarea unui semnal în alt semnal, sau chiar o listă de semnale de ieşire

ce corespund diferitelor semnale de intrare.

În acest capitol vom studia câteva sisteme simple şi în particular ne vom

îndrepta atenţia asupra sistemelor liniare invariante şi a transformărilor acestora.

2.2.1 Operaţii fundamentale

Sunt descrise câteva din operaţiile de bază asupra semnalelor care vor

constitui baza de pornire pentru studierea sistemelor mai complicate.

Fie w şi x două semnale discrete 2D. Aceste semnale pot fi adunate pentru

a obţine un al treilea semnal y. Această adunare este realizată eşantion cu

eşantion, astfel încât un eşantion particular y(n1,n2) este obţinut prin adunarea a

două eşantioane corespondente w(n1,n2) şi x(n1,n2).

),(),(),( 212121 nnwnnxnny += (2.18)

Secvenţele bidimensionale pot fi multiplicate cu o constantă pentru a

obţine o nouă secvenţă.

Dacă c este constanta, putem forma secvenţa 2D y din scalarul c şi x prin

înmulţirea fiecărui eşantion al lui x cu c.

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive44

),(),( 2121 nncxnny = (2.19)

O secvenţă 2D x poate fi deplasată liniar într-o nouă secvenţă y. Această

operaţie doar mută toată secvenţa x într-o nouă poziţie în planul (n1,n2). Valorile

eşantioanelor lui y sunt asociate eşantioanelor lui x astfel:

),(),( 221121 mnmnxnny −−= (2.20)

Folosind operaţiile fundamentale de adunare, multiplicarea cu un scalar şi

deplasarea orice secvenţă 2D se poate descompune într-o sumă de impulsuri de

forma:

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−−δ=

1 2

),(),(),( 22112121

k k

knknkkxnnx (2.21)

Unde ),( 2211 knkn −−δ reprezintă un impuls unitar care a fost deplasat

astfel încât eşantioanele sale diferite de zero se află la (k1,k2) iar valorile x(k1,k2)

pot fi interpretate ca simpli multiplicatori scalari pentru impulsurile unitare

corespondente.

Multiplicarea a două secvenţe poate fi privită ca o generalizare a

multiplicării cu un scalar:

),(),(),( 212121 nnxnncnny = (2.22)

Două secvenţe 2D pot fi de asemenea supuse unor operatori neliniari.

Un important tip de operator neliniar, numit neliniar fără memorie,

acţionează asupra fiecărui eşantion.

De exemplu, vom considera secvenţa formată prin ridicarea la pătrat a

fiecărui eşantion din secvenţa bidimensională x

[ ]22121 ),(),( nnxnny = (2.23)

Această operaţie de ridicare la putere este o neliniar fără memorie

deoarece calculul valorii de ieşire în (n1,n2) depinde doar de o singură valoare

de intrare în (n1,n2).

Page 6: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 45

2.2.2 Sisteme liniare

Un sistem este liniar dacă:

y1=L[x1], y2=L[x2] (2.24)

atunci

ay1+by2=L[ax1+bx2] (2.25)

pentru toate semnalele x1 şi x2 şi pentru toate constantele a şi b.

Sistemele liniare respectă principiul superpoziţiei. Răspunsul sistemelor

la o sumă de semnale de intrare este egală cu suma răspunsurilor la fiecare

semnal în parte.

O secvenţă 2D poate fi reprezentată ca o combinaţie liniară de impulsuri

unitare sub forma

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−−δ=

1 2

),(),(),( 22112121

k k

knknkkxnnx (2.26)

Dacă folosim această secvenţă ca semnal de intrare într-un sistem 2D

discret şi liniar L[•], vom obţine următoarea secvenţă de ieşire:

−−δ= ∑ ∑

−∞=

−∞=1 2

),(),(),( 22112121

k k

knknkkxLnny (2.27)

Dacă sistemul este liniar, putem scrie:

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive46

[ ]

∑ ∑

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

−∞=

=

=−−δ=

1 2

21

1 2

),(),(

),(),(),(

21,21

22112121

k k

kk

k k

nnhkkx

knknLkkxnny

(2.28)

unde 21,kkh este răspunsul sistemului la impuls în (k1,k2).

Dacă răspunsul la impulsul variabil în spaţiu este cunoscut pentru fiecare

(k1,k2), răspunsul sistemului liniar la orice alt semnal de intrare poate fi găsit

prin superpoziţie.

2.2.3 Sisteme invariante la deplasare (SID)

Un sistem invariant la deplasare este un sistem pentru care o deplasare a

secvenţei de intrare implică o deplasare corespondentă a secvenţei de ieşire.

Dacă

[ ]),(),( 2121 nnxTnny = (2.29)

sistemul T[•] este invariant la deplasare dacă

[ ] ),(),( 21212121 mmnnymmnnxT −−=−− (2.30)

pentru toate secvenţele x şi pentru toţi întregii (n2, m2).

2.2.4. Sisteme liniare invariante la deplasare (SLID)

Pentru a studia eficient sistemele bidimensionale este necesar să

restrângem investigaţiile noastre la o clasă de operatori care au proprietăţi

comune.

Page 7: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 47

A fost derivată expresia secvenţei de ieşire a unui sistem liniar după

intrarea x. Dacă sistemul este de asemeni invariant, alte simplificări pot fi

făcute. Răspunsul la impulsul variabil în spaţiu este definit de

[ ]),(),( 22112121knknLnnh kk −−δ= (2.31)

Pentru cazul special în care k1=k2=0, avem

[ ]),(),( 212100 nnLnnh δ= (2.32)

Aplicând principiul invarianţei la deplasare se obţine

),(),( 2211002121knknhnnh kk −−= (2.33)

Dacă definim h(n1,n2)=h00(n1-k1,n2-k2), putem scrie secvenţa de ieşire

astfel

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−−=

1 2

),(),(),( 22112121

k k

knknhkkxnny (2.34)

Această relaţie defineşte convoluţia bidimensională. Un sistem liniar şi

invariant la deplasare (SLID) este complet caracterizat de răspunsul la impuls

h(n1,n2).

Dacă facem substituţiile n1-k1=l1 şi n2-k2=l2, ecuaţia anterioară poate fi

scrisă în forma

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−−=

1 2

),(),(),( 22112121

l l

lnlnxllhnny (2.35)

Prin această ultimă relaţie am demonstrat că operaţia de convoluţie este

comutativă. Vom nota cu ** operaţia de convoluţie 2D.

Un singur * este notaţia de convoluţie 1D.

Ecuaţiile anterioare pot fi scrise

y=x**h=h**x (2.36a)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive48

Exemple de convoluţii liniare

Imaginea originală

a(m,n)

Funcţia pondere

h1(m,n)

Convoluţia

a(m,n)** h1(m,n)

Imaginea originală b(m,n) Funcţia pondere h2(m,n) Convoluţia liniară

b(m,n)** h2(m,n)

Page 8: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 49

Imaginea originală c(m,n) Funcţia pondere h3(m,n) Convoluţia liniară

c(m,n)** h3(m,n)

Convoluţia este asociativă.

)()( ghxghxc ∗∗∗∗=∗∗∗∗= (2.36b)

Convoluţia este distributivă

)()()( gxhxghxc ∗∗+∗∗=+∗∗= (2.36c)

Convoluţia este distributivă:

)**()**()*(* dabadbac +=+= (2.36d)

O altă noţiune extrem de importantă este convoluţia ciclică definită

pentru două secvenţe finite, ),( 21 nnx şi ),( 21 nnh , de suport ],0[],0[ 21 NN ×

( )∑ ∑= =

−−=1

1

2

2

210 0

22112121 ,),(),(

N

k

N

kNN knknhkkxnny

(2.37a)

Această operaţie o notăm cu

),(),( 2121 nnynnxy c⊗= (2.38)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive50

Exemple de convoluţii ciclice

Imaginea originală

),( 21 nna

Răspunsul la impuls

),( 211 nnh

Ieşirea

),(),( 21121 nnhnna c⊗

Imaginea originală

),( 21 nnbRăspunsul la impuls

),( 212 nnh

Ieşirea

),(),( 21221 nnhnnb c⊗

Imaginea originală

),( 21 nnc

Răspunsul la impuls

),( 213 nnhIeşirea

),(),( 21321 nnhnnc c⊗

Page 9: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 51

Imaginea originală

),( 21 nndRăspunsul la impuls

),( 214 nnh

Ieşirea

),(),( 21421 nnhnnd c⊗

2.2.5. Conectarea în cascadă şi paralel a sistemelor

Două sisteme sunt conectate în cascadă dacă ieşirea primului este intrarea

celui de-al doilea, ca în Figura 2.8.

Figura 2.8

hxw ∗∗= (2.39)

Dacă două sisteme sunt liniare şi invariante, conectarea lor în cascadă

este liniară şi invariantă.

Dacă w este ieşirea primului sistem în cascadă, atunci:

ghxgwy ∗∗∗∗=∗∗= )( (2.40)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive52

Putem scrie

)( ghxy ∗∗∗∗= (2.41)

şi astfel echivalentul răspunsului la impuls al sistemului în cascadă este

ghhechiv ∗∗=. (2.42)

Aplicând comutativitatea, se observă că echivalentul răspunsului la

impuls este neschimbat dacă ordinea celor două sisteme se schimbă.

In Figura 2.9 sunt prezentate două sisteme conectate în paralel. Ele au

intrările comune şi ieşirile sunt însumate pentru a produce o singură ieşire.

Figura 2.9

Pentru a găsi răspunsul echivalent la un impuls, observăm că:

)()( gxhxy ∗∗+∗∗= (2.43)

Aplicând distributivitatea, avem:

)( ghxy +∗∗= (2.44)

de unde rezultă că:

ghhechiv +=. (2.45)

Uneori este util să descompunem răspunsul la impuls în mai multe

componente, în special dacă el are o regiune suport finită care poate fi

reprezentată ca o colecţie de regiuni mai mici, dar cu forme regulate.

Page 10: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 53

2.2.6 Sisteme separabile

Un sistem separabil este un sistem SLID al cărui răspuns impuls este o

secvenţă separabilă de forma:

)()(),( 221121 nhnhnnh = (2.46a)

Această proprietate permite sistemele să fie mai uşor de implementat.

Un exemplu de sistem separabil este prezentat în Figura 2.10

Figura 2.10 Exemplu de sistem separabil

Ieşirea sistemului va fi:

∑ ∑

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

−∞=

−−=

−−=

1 2

1 2

)(),()(

)()(),(),(

22221111

2211221121

k k

k k

khknknxkh

khkhknknxnny

(2.46b)

Dacă definim

∑∞

−∞=

−=

2

)(),(),( 2222121

k

khknnxnng (2.47a)

atunci:

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive54

∑∞

−∞=

−=

1

),()(),( 2111121

k

nkngkhnny (2.47b)

Matricea g(n1,n2) poate fi calculată făcând convoluţia 1D între fiecare

coloană a lui x (n1 constant) şi secvenţa 1D h2.

Matricea de ieşire y se calculează prin convoluţia fiecărei linii g (n2

constant) cu secvenţa h1.

Convoluţiile liniilor pot fi făcute înainte de convoluţiilor coloanelor,

rezultatul fiind acelaşi. Important este faptul că ieşirea poate fi obţinută ca o

serie de convoluţii 1D.

2.2.7 Sisteme stabile

Ca şi în cazul 1D, singurele sisteme folositoare sunt cele stabile. Este

normal să cerem, de exemplu, ca secvenţa de ieşire a unui sistem să rămână

mărginită dacă secvenţa de intrare a acestuia este mărginită. Aceste sisteme sunt

numite IMRM (intrare mărginită ieşire mărginită) stabile.

Pentru un sistem IMRM stabil, când Bnnx ≤),( 21 , există un B’ astfel

încât '),( 21 Bnny ≤ pentru toate (n1, n2).

O condiţie necesară şi suficientă ca un sistem SLID să fie IMRM este ca

răspunsul său la impuls să fie absolut sumabil.

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

∞<=

1 2

121 ),(

n n

Snnh (2.48)

Demonstrarea acestui fapt este identică cu situaţia unidimensională.

Page 11: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 55

O altă formă de stabilitate este stabilitatea în medie pătratică. Un sistem

SLID este stabil dacă:

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

∞<=

1 2

22

21 ),(

n n

Snnh (2.49)

Un sistem IMRM este pătratic stabil, însă invers nu este întotdeauna

adevărat. În continuare, dacă spunem că un sistem este stabil, ne vom referi la

stabilitatea IMRM.

2.3 Caracterizarea în frecvenţă a semnalelor şi sistemelor

Am văzut că răspunsul unui sistem SLID la un semnal de intrare poate fi

obţinut prin convoluţia semnalului de intrare cu răspunsul sistemului la impuls.

Reprezentând semnalul de intrare ca o superpoziţie de impulsuri

deplasate, semnalul de ieşire poate fi reprezentat ca o superpoziţie de răspunsuri

la impulsuri.

2.3.1 Răspunsul în frecvenţă a sistemelor SLID bidimensionale

Considerăm un sistem SLID 2D cu răspunsul la impulsul unitar h(n1,n2) şi

intrarea care este o cosinusoidă complexă de forma:

)jjexp(),( 221121 nnnnx ω+ω= (2.50)

unde 1ω şi 2ω sunt numere reale numite frecvenţe orizontale şi verticale.

Vom determina semnalul de ieşire prin convoluţie:

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive56

),()jjexp(

)jjexp(),()jjexp(

),()](j)(jexp[),(

212211

2211212211

2122211121

1 2

1 2

ωωω+ω=

=

ω−ω−ω+ω=

=−ω+−ω=

∑ ∑

∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

−∞=

Hnn

kkkkhnn

kkhknknnny

k k

k k

(2.51)

Semnalul de ieşire este o sinusoidă cu aceeaşi frecvenţă cu a semnalului

de intrare, dar amplitudinea şi faza au fost alterate de funcţia complexă

),( 21 ωωH , numită şi răspunsul sistemului în frecvenţă:

∑∑ ω−ω−=ωω

1 2

)jjexp()(),( 22112121

n n

nnnnhH(2.51)

Dacă ),( 21 ωωH este aproximativ egal cu unu pentru un pentru o valoare

particulară a perechii ),( 21 ωω , semnalul sinusoidal cu acea frecvenţă va trece

prin sistem fără a fi atenuat.

Dacă ),( 21 ωωH este apropiat de zero pentru unele perechi ),( 21 ωω ,

sinusoidele cu acele frecvenţe vor fi rejectate de sistem.

Vom arăta în continuare că răspunsul în frecvenţă ),( 21 ωωH este

periodic în cazurile variabilelor orizontale şi verticale cu perioadă 2π .

),()2,(

),(),2(

2121

2121

ωω=π+ωωωω=ωπ+ω

HH

HH

(2.52)

Page 12: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 57

Exemplu

Vom calcula răspunsul în frecvenţă pentru

)1,()1,(),1(),1(),( 2121212121 −δ++δ+−δ++δ= nnnnnnnnnnh (2.53)

Răspunsul în frecvenţă este dat de:

[ ]

)cos(cos2

)jjexp()1,()1,(),1(),1(

)jjexp(),(),(

21jjjj

221121212121

22112121

2211

1 2

1 2

ω+ω=+++=

=ω−ω−⋅−δ++δ+−δ++δ=

=ω−ω−=ωω

ω−ωω−ω

−∞=

−∞=

−∞=

−∞=

∑ ∑

∑ ∑

eeee

nnnnnnnnnn

nnnnhH

n n

n n

(2.54)

Exemplu

Considerăm sistemul al cărui răspuns la impuls este dat de

±===±=±=±=

=

restin,0

1,0,5,0

0,1,25,0

1,1,125,0

),(21

21

21

21 nn

nn

nn

nnh(2.55)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive58

Aplicând definiţia răspunsului în frecvenţă vom obţine

)cos1)(cos1(5.0

)(125,0

)(25,05,0

)jjexp(),(),(

21

jjjjjjjj

jjjj

22112121

21212121

2211

1 2

ω+ω+==++++

+++++=

=ω−ω−=ωω

ωωω−ωωω−ω−ω−

ωω−ωω−

−∞=

−∞=∑ ∑

eeeeeeee

eeee

nnnnhH

n n

(2.56)

Acesta este un exemplu de filtru trece-jos.

Sistemul din acest exemplu are un răspuns la impuls separabil. Vom

vedea că răspunsul în frecvenţă este de asemenea o funcţie separabilă.

Rezultatul este adevărat în general.

Dacă

)()(),( 2121 ngnfnnh = (2.57)

atunci

)()(),( 2121 ωω=ωω GFH (2.58)

unde

∑ ω−=ω

1

)jexp()()( 1111

n

nnfF(2.59)

şi

∑ ω−=ω

2

)jexp()()( 2222

n

nngG (2.60)

Page 13: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 59

2.3.2 Determinarea răspunsului la impuls din răspunsul în frecvenţă

Răspunsul în frecvenţă al sistemelor SLID discrete este în general o

funcţie continuă periodică ce poate fi exprimată ca o combinaţie liniară de

sinusoide complexe armonice.

Relaţia inversă poate fi obţinută multiplicând ambele părţi ale ecuaţiei cu

o sinusoidă complexă şi integrând pe un pătrat în planul frecvenţei.

În detaliu vom avea

[ ] [ ]∑∑ ∫∫

∫ ∫∑∑

∫ ∫

ω−ω−

π⋅

ω−ω−

π=

=ωωω+ω⋅ω−ω−π

=

=ωωω+ωωωπ

π

π−

π

π−

π

π−

π

π−

π

π−

π

π−

1 2

1 2

2222111121

2122112211212

2122112

1

2

d)(jexp2

1d)(jexp

2

1),(

dd)jjexp()jjexp(),(4

1

dd)jjexp()(4

1

n n

n n

knknnnh

kknnnnh

kkH

(2.61)

Se demonstrează în continuare că

[ ] )(d)(jexp2

1knkn −δ=ω−ω−

π ∫π

π−(2.62)

După evaluarea sumei duble, doar h(k1,k2). Acest lucru ne oferă un mijloc

de a evalua valoarea răspunsului la impuls în (k1,k2).

Rescriind în (n1,n2), vom obţine

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive60

21221121221 dd)jjexp(),(4

1),( ωωω+ωωω

π= ∫ ∫

π

π−

π

π−

nnHnnh (2.63)

Până în acest moment s-a folosit o perioadă centrată în origine. În

realitate orice perioadă poate fi folosită.

Exemplu

Vom folosi acest rezultat pentru a găsi răspunsul la impuls al unui filtru

ideal trece-jos specificat de răspunsul în frecvenţă.

π<≤ωπ<≤ω

=ωωrestin,0

,,1),( 21

21ba

H(2.64)

Avem un sistem separabil. Astfel

2

2

1

1

222111

212211221

sinsin

d)jexp(2

1d)jexp(

2

1

dd)jjexp(4

1),(

n

bn

n

an

nn

nnnnh

b

b

a

a

a

a

b

b

π⋅

π=

=ωωπ

⋅ωωπ

=

=ωωω+ωπ

=

∫∫

∫ ∫

−−

− −

(2.65)

Exemplu

Determinaţi răspunsului la impuls al unui filtru trece-jos circular dat de

Page 14: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 61

π<≤ω+ω=ωω

restin,0

,1),(

2222

21

21R

H(2.66)

În acest exemplu,

212211221 dd)jjexp(4

1),( ωωω+ω

π= ∫∫ nnnnh

A

(2.67)

Integrala pe discul de rază A este mai uşor de calculat dacă 1ω şi 1ω sunt

înlocuite de coordonate polare variabile.

Pentru aceasta vom defini,

1

21

1

2122

21 tan,tan,

n

n−− =θωω

=φω+ω=ω(2.68)

cu aceste definiţii, (2.67) devin

22

21

22

211

0

22

210

0

22

21

2

0221

2

d)(2

1

dd)cos(jexp4

1),(

nn

nnRJR

nnJ

nnnnh

R

R

+

+

⋅π

=

=ω+ωωπ

=

=θφ

φ−θ+ωω

π=

∫ ∫π

(2.69)

unde J0(x) şi J1(x) sunt funcţiile Bessel de ordinul întâi ale lui 0 respectiv 2.

Acest răspuns este o funcţie circulară simetrică eşantionată. În lungul axei

n1 are forma

( )RnJn

Rnh 11

11 2

)0,(π

=(2.70)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive62

2.3.3 Transformata Fourier bidimensională

Dacă folosim o reprezentare similară cu h pentru secvenţa de intrare x

( ) ( )∫ ∫π

π−

π

π−

ωωω+ωωωπ

= 21221121221 ddjjexp,4

1),( nnXnnx (2.71)

Funcţia complexă X, numită şi transformata Fourier 2D a lui x, poate fi

calculată astfel

( ) ( ) ( )∑ ∑∞

−∞=

−∞=

ω−ω−=ωω

1 2

22112121 jjexp,,

n n

nnnnxX (2.72)

Cu această definiţie vom vedea că răspunsul în frecvenţă al sistemului

SLID este transformata Fourier a răspunsului sistemului la impuls.

Vom presupune acum un sistem 2D SLID L[ ] care are răspunsul la

impuls h(n1,n2) şi răspunsul în frecvenţă ( )21,ωωH .

Ştim că

( )[ ] ( ) ( )2211212211 jjexp,jjexp nnHnnL ω+ωωω=ω+ω (2.73)

Putem scrie

( )[ ]

( ) ( )

( ) ( )[ ]∫ ∫

∫ ∫π

π−

π

π−

π

π−

π

π−

ωωω+ωωωπ

=

=

ωωω+ωωω

π=

==

212211212

212211212

2121

ddjjexp,4

1

ddjjexp,4

1

,),(

nnLX

nnXL

nnxLnny

(2.74)

În final obţinem

Page 15: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 63

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫π

π−

π

π−

ωωω+ωωωωωπ

= 2122112121221 ddjjexp,,4

1, nnXHnny (2.75)

Am presupus că ( )21,ωωX şi ( )21,ωωH sunt corect definite. Aceasta ne

permite să schimbăm ordinea integrării şi a operatorului L[ ].

Ecuaţia (2.75) ne oferă un mod alternativ de exprimare a ieşirii unui

sistem SLID. Secvenţa de ieşire calculată de ecuaţia (2.95) este identică cu

secvenţa de ieşire calculată de suma de convoluţie a ecuaţiilor (2.36) şi (2.37) .

Secvenţa de ieşire y(n1,n2) poate fi de asemeni scrisă în termenii

transformatei Fourier discrete ( )21,ωωY astfel

( ) ( ) ( )∫ ∫π

π−

π

π−

ωωω+ωωωπ

= 21221121221 ddjjexp,4

1, nnYnny (2.76)

O comparaţie a ecuaţiilor (2.75) şi (2.76) implică faptul că

( ) ( ) ( )212121 ,,, ωωωω=ωω XHY (2.77)

dacă y=h**x.

Acest rezultat, numit şi teorema convoluţiei poate fi enunţat astfel:

transformata Fourier discretă convoluţiei a două secvenţe 2D este produsul

transformatelor Fourier ale celor două secvenţe.

Se poate arăta că transformata Fourier definită de (2.72) există oricând

secvenţa x(n1,n2) este absolut sumabilă:

( )∑ ∑∞

−∞=

−∞=

∞<=

1 2

121,

n n

Snnx (2.78)

Răspunsul în frecvenţă al unui sistem SLID există doar dacă sistemul este

stabil.

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive64

Exemple de transformate Fourier discrete

Imaginea originală Transformată Fourier discretă

scară logaritmică

Page 16: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 65 Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive66

Page 17: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 67

Imaginea originală – Transformata Fourier Discretă

Sinusoidă

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive68

Caracteristică rectangulară

Caracteristică gaussiană

tren de impulsuri

Page 18: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 69

2.3.4 Alte proprietăţi ale transformatei Fourier 2D

Vom folosi notaţia

Xx ↔ (2.79)

pentru a indica faptul că X( 21,ωω ) este transformată Fourier a lui x(n1,n2).

Teorema de convoluţie devine:

HXYxhy =↔∗∗= (2.80)

Operatorul transformatei Fourier 2D are o serie de alte proprietăţi

folositoare care sunt extensii ale proprietăţilor transformatei 1D. c

Acestea sunt enumerate mai jos:

Liniaritatea

Dacă

11 Xx ↔ şi 22 Xx ↔ (2.81)

atunci

2121 bXaXbxax +↔+ (2.82)

pentru orice numere complexe a şi b.

Deplasarea în spaţiu

Dacă

( ) ( )2121 ,, ωω↔ Xnnx (2.83)

atunci

( ) ( ) ( )2122112211 ,jjexp, ωωω−ω−↔−− Xmmmnmnx

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive70

Deplasarea unei secvenţe cu (m1,m2) corespunde cu multiplicarea

transformatei sale Fourier X( 21,ωω ) cu termenul cu fază liniară

( )2211 jj mm ω−ω− .

Modulaţia

( ) ( ) ( )2211221121 ,jjexp, θ−ωθ−ω↔θ+θ Xnnnnx (2.84)

Multiplicarea unei secvenţe cu o secvenţă complexă sinusoidală

corespunde cu deplasarea în frecvenţă a transformatei Fourier.

Multiplicarea

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )∫ ∫

∫ ∫π

π−

π

π−

π

π−

π

π−

θθθθθ−ωθ−ωπ

=

=θθθ−ωθ−ωθθπ

212122112

2122112122121

,,4

1

,,4

1,,

ddCX

ddCXnnxnnc

(2.85)

Prin multiplicarea a două secvenţe, în urma aplicării transformatei,

obţinem convoluţia transformatelor. Notăm că integrala de convoluţie are o

formă specială; integrandul este de două ori periodic iar integrala se întinde

exact peste o perioadă a integrandului.

Proprietatea modulaţiei poate fi privită ca un caz special al multiplicării a

două secvenţe.

Diferenţierea unei transformate Fourier

Page 19: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 71

( ) ( )1

21211

,,j

ω∂ωω∂

↔−X

nnxn(2.86a)

( ) ( )2

21212

,,j

ω∂ωω∂

↔−X

nnxn(2.86b)

( ) ( )21

212

2121,

,ω∂ω∂ωω∂

↔−X

nnxnn(2.86c)

Transpoziţia

( ) ( )1212 ,, ωω↔ Xnnx (2.87)

Reflexia

( ) ( )2121 ,, ωω−↔− Xnnx (2.88a)

( ) ( )2121 ,, ω−ω↔− Xnnx (2.88b)

( ) ( )2121 ,, ω−ω−↔−− Xnnx (2.88c)

Conjugata complexă

( ) ( )2121 ,, ω−ω−↔ ∗∗ Xnnx (2.89)

Părţi reale şi imaginare

( )[ ] ( ) ( )[ ]212121 ,,2

1,Re ω−ω−+ωω↔ ∗XXnnx

(2.90a)

( )[ ] ( ) ( )[ ]212121 ,,2

1,Imj ω−ω−−ωω↔ ∗XXnnx

(2.90b)

( ) ( )[ ] ( )[ ]212121 ,Re,,2

1ωω↔−−+ ∗ Xnnxnnx

(2.90c)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive72

( ) ( )[ ] ( )[ ]212121 ,Imj,,2

1ωω↔−−− ∗ Xnnxnnx

(2.90d)

În cazul special în care x(n1,n2) este o secvenţă cu valori reale, aceste

relaţii implică:

( ) ( )2121 ,, ω−ω−=ωω ∗XX (2.90e)

( )[ ] ( )[ ]2121 ,Re,Re ωω−=ωω XX (2.90f)

( )[ ] ( )[ ]2121 ,Im,Im ω−ω−−=ωω XX (2.90g)

Partea reală a transformatei Fourier are o simetrie pară faţă de origine, iar

partea imaginară are o simetrie impară faţă de origine.

Când x(n1,n2) este real, membrii din stânga ai ecuaţiilor (2.xxx) şi (2.xxx)

devin părţile pare, respectiv impare, ale lui x(n1,n2).

Teorema lui Parseval

Dacă

( ) ( )2121 ,, ωω↔ Xnnx (2.91)

şi

( ) ( )2121 ,, ωω↔Wnnw (2.92)

atunci

( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∫ ∫π

π−

π

π−

∗∗ ωωωωωωπ

=

1 2

1 2121212212 dd,,4

1,,

n n

WXnnwnnx (2.93)

Partea stângă a ecuaţiei (2.xxx) defineşte un produs intern între două

transformate Fourier 2D.

Teorema lui Parseval spune că acest produs intern este conservat de

transformata Fourier.

Un caz special apare când w(n1,n2)=x(n1,n2) astfel încât ecuaţia (2.113)

devine

Page 20: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 73

( ) ( )∑∑ ∫ ∫π

π−

π

π−

ωωωπ

=

1 2

212

2122

21 dd,4

1,

n n

Xnnx(2.94)

Partea stângă a ecuaţiei (2.xxx) poate fi interpretată ca energia totală a

semnalului x(n1,n2). Funcţia ( )221,ωωX este interpretată ca densitate spectrală

de energie deoarece integrala este egală cu energia totală a semnalului.

Exemple pentru proprietăţile transformatei Fourier

Imaginea Modul Transformatei

Fourier Discrete

Faza Transformatei

Fourier Discrete

Observaţii

a(m,n) A(u,v) Aϕ

Imaginea a(m,n)

având

transformata Fourier

discretă A(u,v) şi faza

Aϕ (u,v)

b B

Teorema rotaţiei

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive74

c=a+b C=0.25A+0.75B

Teorema

superpoziţiei

Dacă c=k1a+k2 b

atunci C= k1A+ k2B.

Teorema translaţiei

Teorema

Importanţa amplitudinii şi fazei pentru transformata Fourier

Transformata Fourier este în general un număr complex. In Figura x.a-c

este reprezentată imaginea originală împreună cu caracteristica de amplitudine

şi fază.

Page 21: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 75

Figura x.a

Imaginea originală

Figura x.b

Caracteristica de

amplitudine, ( )ΨΩ,(log A

Figura x.a Caracteristica

de fază, ),( ΨΩφ

Atât faza cât şi amplitudinea sunt necesare pentru reconstrucţia completă

a imaginii. În Figura Xa imaginea este reconstruită numai din caracteristica de

amplitudine considerând faza nulă. Observăm că imaginea reconstruită este

practic de nerecunoscut.

În Figura Xa imaginea este reconstruită numai din caracteristica de fază

considerând amplitudinea constantă. Observăm că imaginea reconstruită este

profund degradată.

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive76

Figura x.a Imaginea este reconstruită

numai din caracteristica de amplitudine

considerând faza nulă

Figura x.a Imaginea este reconstruită

numai din caracteristica de fază

considerând amplitudinea constantă.

2.4 Eşantionarea semnalelor 2D continue

2.4.1 Eşantionarea periodică cu geometrie rectangulară

Din multele moduri de a generaliza eşantionarea periodică 1D la cazul

bidimensional, cea mai directă este eşantionarea periodică în coordonate

rectangulare, pe care o vom numi simplu eşantionare dreptunghiulară.

Dacă xa(t1,t2) este o formă de undă 2D continuă, semnalul discret x(n1,n2)

obţinut din el prin eşantionare dreptunghiulară este dat de

( ) ( )221121 ,, TnTnxnnx a= (2.95)

unde T1 şi T2 sunt constante reale pozitive cunoscute ca intervale sau perioade

de eşantionare.

Pentru o secvenţă formată în acest mod, suntem preocupaţi de două

întrebări:

a) dacă forma de undă xa(t1,t2) poate fi refăcută din x(n1,n2)?

Page 22: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 77

b) cum este transformata Fourier a lui x legată de transformata Fourier a lui xa?

Pentru început vom defini relaţiile transformatei Fourier pentru semnale

2D continue:

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞−

Ω−Ω−=ΩΩ 2122112121 ddjjexp,, ttttttxX aa

(2.96)

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞−

ΩΩΩ+ΩΩΩπ

= 21221121221 ddjjexp,4

1, ttXttx aa

(2.97)

Deoarece

( ) ( )221121 ,, TnTnxnnx a= (2.98)

putem scrie

( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞−

ΩΩΩ+ΩΩΩπ

= 2122211121221 ddjjexp,4

1, TnTnXnnx a (2.99)

Vom transforma această expresie într-o formă a transformatei Fourier

inverse pentru semnale discrete.

Vom începe cu substituţia 111 TΩ=ω şi 222 TΩ=ω pentru a aduce

termenii exponenţiali într-o formă corectă.

Aceasta conduce la:

( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞−

ωωω+ω

ωω

π= 212211

2

2

1

1

21221 ddjjexp,

1

4

1, nn

TTX

TTnnx a (2.100)

Integrala dublă pe întregul plan ( )21,ωω poate fi desfăcută într-o serie

infinită de integrale, fiecare din ele pe o arie de 24π .

Fie ca SQ(k1,k2) să reprezinte pătratul

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive78

222111 22,22 kkkk π+π−<ω≤π+π−π+π<ω≤π+π− (1.101)

Astfel ecuaţia (2.100) poate fi scrisă

( ) ( )( )

∑∑ ∫∫ ωωω+ω

ωω

π=

1 2 21,

2122112

2

1

1

21221 ddjjexp

1

4

1,

k k kkSQ

a nnTT

XTT

nnx

(2.102)

Înlocuind 1ω cu 11 2 kπ−ω şi 2ω cu 22 2 kπ−ω vom putea înlătura

dependenţa limitelor de integrare de k1 şi k2, obţinând

( ) ( )

( ) 212211

22112

22

1

11

21221

dd2j2jexp

jjexp2

,21

4

1,

1 2

ωωπ−π−⋅

ω+ω⋅

π−ωπ−ω

π= ∫ ∫ ∑∑

π

π−

π

π−

nknk

nnT

k

T

kX

TTnnx

k k

a

(2.103)

Al doilea factor exponenţial din ecuaţia (2.103) este egal cu unu pentru

toate valorile variabilelor întregi n1, k1, n2 şi k2.

Ecuaţia (2.103) are acum aceeaşi formă cu transformata Fourier inversă,

deci:

( ) ∑∑

π−ωπ−ω=ωω

1 22

22

1

11

2121

2,

21,

k k

a T

k

T

kX

TTX

(2.104)

sau, alternativ:

( ) ∑∑

π−Ω

π−Ω=ΩΩ

1 22

22

1

11

212211

2,

21,

k k

a T

k

T

kX

TTTTX

(2.105)

Ecuaţia (2.105) ne oferă relaţia căutată între transformatele Fourier ale

semnalelor discrete şi continue.

Membrul drept al acestei expresii poate fi interpretat ca o extensie a lui

( )21,ΩΩaX , care conduce la funcţia periodică ( )2211 , TTX ΩΩ .

Page 23: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 79

Ecuaţia (2.105) poate fi mai departe simplificată în cazul în care semnalul

( )21, ttxa este de bandă limitată.

Transformata Fourier ( )21,ΩΩaX a unui semnal de bandă limitată este

egal cu zero în afara unei regiuni finite din planul ( )21,ΩΩ .

Pentru simplitate vom presupune că perioadele de eşantionare T1 şi T2

sunt alese suficient de mici astfel încât :

( )2

21

121 ,pentru,0,TT

X aπ

≥Ωπ

≥Ω=ΩΩ(2.106)

Atunci ecuaţia (2.105) devine

( ) ( )2121

2211 ,1

, ΩΩ=ΩΩ aXTT

TTX(2.107)

pentru

22

11 si

TT

π≤Ω

π≤Ω

(2.108)

Valorile lui ( )2211 , TTX ΩΩ în afara acestei regiuni sunt date de

periodicitatea lui ( )2211 , TTX ΩΩ .

Cât timp ( )21,ΩΩaX satisface ecuaţia (2.106), ( )21,ΩΩaX poate fi

refăcută din ( )2211 , TTX ΩΩ prin inversarea ecuaţiei (2.107)

( )( )

π

<Ωπ

<ΩΩΩ=ΩΩ

restin,0

,,,, 2

21

122112121 TT

TTXTTX a (2.109)

În consecinţă este posibil să refacem semnalul continuu ( )21,ttxa din

semnalul discret.

Pentru a demonstra acest lucru îl vom exprima pe ( )21,ttxa în termenii

unei transformate Fourier.

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive80

( ) ( ) ( )

( ) ( )∫ ∫

∫ ∫

− −

∞−

∞−

ΩΩΩ+ΩΩΩπ

=

=ΩΩΩ+ΩΩΩπ

=

1

1

2

2

2122112211212

21221121221

ddjjexp,4

1

jjexp,4

1,

W

W

W

W

aa

ttTTXTT

ddttXttx

(2.110)

unde 1

1 TW

π= şi

22 T

= .

Acum îl vom exprima pe ( )2211 , TTX ΩΩ în termenii lui ( )21,nnx .

( ) ( ) ( )

( ) =ΩΩΩ+Ω⋅

Ω−Ω−

π= ∫ ∫ ∑∑

− −

212211

2221112121221

ddjjexp

jjexp,4

1,

1

1

2

2 1 2

tt

nTnTnnxTTttx

W

W

W

W n n

a

(2.111a)

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]( )

( )[ ]( )∑∑

∑∑ ∫ ∫

−−

⋅−−

=

=ΩΩ−Ω+−Ωπ

=

− −

1 2

1 2

1

1

2

2

2222

2222

1111

111121

212222111121221

sinsin,

ddjjexp,4

n n

n n

W

W

W

W

TntW

TntW

TntW

TntWnnx

TntTntnnxTT

(2.111b)

Am obţinut astfel teorema eşantionării.

Această teoremă spune că un semnal continuu de bandă limitată poate fi

refăcut din eşantioanele sale. Perioadele de eşantionare T1 şi T2 trebuie să fie

suficient de mici sau frecvenţele de eşantionare 2W1 şi 2W2 suficient de mari

pentru ca ecuaţia (2.106) să fie adevărată.

Page 24: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 81

Un semnal continuu care nu este de bandă limitată poate fi eşantionat,

dar, în acest caz, apare fenomenul de aliere. Acest fenomen apare şi în situaţia

în care nu sunt respectate condiţiile date de relaţia Nyquist.

2.4.2 Eşantionarea imaginilor dinamice

Teorema eşantionării ne oferă o formulare matematică pentru

reconstrucţia funcţiei continue folosind eşantioanele acestor funcţii.

Fie o imagine continuă ( )yxi , . Obţinem eşantioane ale acestei imagini

folosind funcţia “comb” dată de

( ) ( ) ( )∑ ∑ ∑∞

−∞=

−∞=

ρ−δρ−δ=ρρ

x yn n

yyxxyx nynxyx ,;, (2.112)

Imaginea eşantionată, ( )yxis , este

( ) ( ) ( )∑ ρρ= yxs yxyxiyxi ,;,,, (2.113)

( ) ( ) ( )∑ ρρ∗=~

,;,,, yxyxyxyxs kkkkIkkI(2.114)

unde

( )∑ ∑ ∑∞

−∞=

−∞=

ρ−δ

ρ

−δρρ

=ρρ~

11,;,

x yn n y

yy

x

xx

yxyxyx

nk

nkkk (2.115)

şi ( )yx kkI , este transformata Fourier a imaginii continue ),( yxi , ( )yxs kkI ,

este transformata Fourier a imaginii eşantionate ),( yxis .

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive82

Dacă ( )yx kkI , este de bandă limitată adică este nulă pentru

yyxx LkLk >> , .

Dacă y

yx

x LL 2

1,

2

1≤ρ≤ρ apare fenomenul de aliere. În această situaţie

înmulţim cu filtrul trece jos bidimensional ),( cy

cx kkH , cu frecvenţele de tăiere

),( cy

cx kk .

Dacă ycyx

cx LkLk ≥≥ , putem reconstrui exact ),( yxi .

În concluzie, dacă ( )yx kkI , este de bandă limitată adică este nulă pentru

yyxx LkLk >> , şi nu are singularităţi la extreme ( yyxx LkLk ±=±= , ) atunci

( )

= ∑ ∑

−∞=

−∞= y

yy

x

xx

n n y

y

x

xL

nyLc

L

nxLc

L

n

L

nIyxI

x y2

2sin2

2sin2

,2

,

(2.116)

unde funcţia sinc este funcţia inversă a lui ),( cy

cx kkH dată de

( ) .sinsin

,sin

ππ

ππ

=y

y

x

xyxc

(2.117)

Aceste rezultate legate de teorema eşantionării în cazul imaginilor (sau

sistemelor bidimensionale) statice dorim să le extindem la imaginile (sau

sistemele bidimensionale) dinamice.

În această situaţie ( )ω,, yx kkI este transformata Fourier a imaginii

continue ),,( tyxi , ( )ω,, yxs kkI este transformata Fourier a imaginii eşantionate

),,( tyxis .

Page 25: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 83

Dacă ( )ω,, yx kkI este de bandă limitată adică este nulă pentru

tyyxx LLkLk >ω>> ,, unde ω,, yx kk sunt variabile Fourier ataşate lui x, y

şi t şi nu are singularităţi la tyyxx LLkLk ±=ω±=±= ,, atunci

( )

−⋅

= ∑ ∑ ∑

−∞=

−∞=

−∞=

t

tt

y

yy

x

xx

n n t

t

y

y

x

x

n

L

nyLc

L

nyLc

L

nxLc

L

n

L

n

L

nItyxI

x y t

22sin

22sin

22sin

2,

2,

2,,

(2.118)

Presupunând că pentru poziţia ( )tyx ,, avem invarianţă la translaţie astfel

încât ( )tyxI ,, se poate scrie sub forma ( )tvytvxI yx ±± , unde ( )yx vvv ,=r

putem scrie

( ) ( ) ( )vkwkkIwkkI yxyxrr

m ⋅δ= ,,, (2.119)

Dacă există această relaţie observăm că nu este necesară o separare

absolută în timp şi spaţiu.

Vom demonstra această afirmaţie.

Avem relaţia

( ) ( ) ( ) ( )

( )

−δ

−δ−δ=

∑∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

t

yx

n

tttt

n

yyyy

n

xxxxyxyxs

LnkL

LnkLLnkLwkkIwkkI

22

2222**,,,,

(2.120)

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive84

dar

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )ttt

yyyyyxxxxx

n n n

yxyxyx

LnL

LnkkLLnkkL

vkkkIddkdkwkkI

x y t

2'2

2'22'2

''','''',,

−ω−ωδ×

−−δ−−δ×

−ωδω= ∑ ∑ ∑∫ ∫∫∞

−∞=

−∞=

−∞=

rr

(2.121)

şi

( ) ( ) ( )∫ −δ=−δ−δ babxaxdx (2.122)

deci

( ) ( )

( ) ( )( )ttxxxxt

yyyyyxxxxx

n n n

yxyxyx

LnvkvkL

LnkkLLnkkL

kkIdkdkwkkI

x y t

2''2

2'22'2

',''',,

−−−ωδ×

−−δ−−δ×

= ∑ ∑ ∑∫ ∫∞

−∞=

−∞=

−∞=

(2.123)

şi integrând în funcţie de ., ''yx kk

( ) ( )

( )( )ttyyyxxxyyxx

n n n

yyyxxxtyxyx

LnLvnLvnvkvkw

LnkLnkILLLwkkI

x y t

−++−−δ×

−−= ∑ ∑ ∑∞

−∞=

−∞=

−∞=

2

2,28,,

(2.124)

2.4.3 Eşantionarea reală

Page 26: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 85

Conversia unei imagini continue a(x,y) în o imagine digitală b(m,n)

necesita un proces de eşantionare. Acest lucru se poate realiza astfel:

),(),(

),(•),(].[

oo

m n

oo

oo

m n

ideal

nYyXmxnYmXa

nYyXmxyxanmb

−−δ=

−−δ=

∑ ∑

∑ ∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=

∞+

−∞=(2.125)

unde Xo şi Yo sunt distanţele de eşantionare. Eşantionarea ideală s-a realizat

folosind impulsuri dirac.

În realitate acest lucru nu se întâmplă.

Eşantionăm cu impulsuri de lungimi finite. Pentru a lua în considerare

acest efect modificăm modelul ideal de eşantionare, prin introducerea funcţiei

p(x,y) astfel:

( ) ),(•),(),(].[ oo

m n

nYyXmxyxpyxanmb −−δ⊗= ∑ ∑∞+

−∞=

∞+

−∞=(2.126)

Efectul eşantionării reale se poate înţelege mai bine în domeniul frecvenţă

prin aplicarea transformatei Fourier:

∑ ∑∞+

−∞=

∞+

−∞=

Ψ−ΨΩ−ΩΨ−ΨΩ−Ωπ

=ΨΩm n

ssss nmPnmAB ),(•),(4

1),(

2

(2.127)

unde 0/2 Xs π=Ω este frecvenţa de eşantionare pe direcţia x şi 0/2 Ys π=Ψ

este frecvenţa de eşantionare pe direcţia y.

Funcţia p(x,y) este de cele mai multe ori dreptunghiulară, circulară sau

gaussiană având asociată transformata Fourier ),( ΨΩP .

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive86

Câteva exemple sunt prezentate în Tabelul X.

Exemplu pentru înţelegerea fenomenului de aliere

Imaginea şi transformata Fourier discretă Observaţii

Frecvenţa sinusoidei este f1=1/128,

amplitudinea este egală cu unitatea

Frecvenţa sinusoidei este f2=16/128,

amplitudinea este egală cu unitatea

Frecvenţa sinusoidei este f3=64/128,

amplitudinea este egală cu unitatea

Frecvenţa sinusoidei este f4=68/128,

amplitudinea este egală cu unitatea

Pentru a evita apariţia fenomenului de aliere se pot impune două condiţii:

a) limitarea benzii imaginii

b) aplicarea relaţiei Nyquist

Page 27: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 87

Imaginile achiziţionate prin lentile, ce au simetrie circulară, sunt în

general de bandă limitată.

Lentilele funcţionează ca un filtru trece jos cu simetrie circulară, cu

frecvenţa de tăiere dată de:

λ==

NAvu cc

2 (2.128)

unde NA este apertura numerică a lentilei şi λ este cea mai mică lungime de

undă ce trece prin lentilă [16fip].

Dacă lentilele nu satisfac toate proprietăţile de idealitate, ele funcţionează

tot ca un filtru trece jos cu simetrie circulară, cu frecvenţa de tăiere dată de:

+λ==

14

122F

vu cc

(2.129)

unde F este o constantă de mediu.

Funcţia p(x,y) descrisă mai sus va avea un efect marginal dacă sunt

respectate cele două condiţii de evitare a fenomenului de aliere.

În figura X este reprezentată valoare P(u,v=0) pentru mai multe situaţii.

Figura x

2.4.4 Aplicaţie

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive88

Mărirea imaginilor

Interpolarea este necesară atunci când o imagine este transformată

geometric şi valoarea unor pixeli trebuie obţinută.

Interpolarea poate fi văzută ca o filtrare trece jos. În funcţie de tipul

filtrării avem mai multe tipuri de interpolare.

În exemplul următor vom studia mărirea unei imagini de 4 ori împreună

cu 4 metode de interpolare: a celui mai apropiat vecin (nearest-neighbor),

liniară, ideală şi Butterworth.

În toate situaţiile spectrul este obţinut pentru o bună înţelegere a

componentelor frecvenţei.

În tabelul de mai jos sunt prezentate:

Imaginea iniţială f(x,y)

Spectrul F al imaginii f(x,y)

Page 28: I SISTEME BIDIMENSIONALE CAPITOLUL 2 - comm.pub.ro Semnale si sisteme 2D.pdf · Capitolul 2 - Semnale ş i sisteme bidimensionale 43 2.2 Sisteme bidimensionale Formal, un sistem este

Capitolul 2 - Semnale şi sisteme bidimensionale 89

g(4x,4y) = f(x,y) Spectrul F al imaginii g(x,y)

Interpolare prin

mediere

se aplică imaginii

g filtrul 1h

gh ⊗1 Spectrul imaginii gh ⊗1

Interpolare

biliniară

se aplică imaginii

g filtrul 2h

gh ⊗2 Spectrul F al imaginii gh ⊗2

Interpolare ideală

se aplică imaginii

g filtrul 3h

Prelucrarea imaginilor digitale - Elemente introductive90

gh ⊗3 Spectrul F al imaginii gh ⊗3

Interpolare tip

Butterworth

se aplică imaginii g filtrul

4h

gh ⊗4 Spectrul F al imaginii

gh ⊗4