propunere de subiect pentru exam. de la mate ase

8/17/2019 Propunere de Subiect Pentru Exam. de La Mate ase

1/6

MOSTRĂ

Subiectul I

1. Se consideră o populaţie, a cărei caracteristică sub cercetare este variabila aleatoare X , având legea

de probabilitate dată de funcţia:!)2();( )2(

xe x f

x

θ θ θ ⋅= − , unde ∈ x ℕ, iar 0>θ un parametru real

necunoscut strict poitiv!Cerinţe:

a) Să se estimee parametrul necunoscut )0(>θ pe baa unei selecţii de volum n din

populaţia considerată!b) Să se demonstree că estimatorul găsit este absolut corect!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia # de la pag! ##$, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!

Sau tot %n rol de 1. putea fi, problema de mai 'os:

1. ie X o v!a! cu legea de probabilitate dată de : f ℝ→ℝ,

≤

>=−

0,0

0,

#),(

x

xe x f

x

λ

λ λ , 0>λ !

*erinţe:a) Să se găsească un estimator al parametrului 0>λ , pe baa unei selecţii de volum n ,

caracteriată de v!a X !b) Să se verifice dacă estimatorul obţinut este absolut corect!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia + de la pag! #2, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!


1. "e baa selecţiei realiate }{ ;-,#;-,2;2;# asupra v!a!c! X , cu densitatea de repartiţie:

∉

∈−=

.,#/,0

.,#/,#

#

),(

θ

θ θ θ

x

x x f , #>θ , o estimaţie a parametrului θ obţinută cu metoda momentelor

este: a) 2 ; b) ),2 ; c) ) ; d) 2,2 ; e) ,2 !

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia # de la pag! #, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!


1. ie X o variabilă aleatoare, având repartiţie normală )2,(m N ! Scieţi intervalul de %ncredereα −# pentru media m !

#


2/6

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia - de la pag! #+, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!


1. Scrieţi intervalul de %ncredere pentru parametrul m al repartiţiei normale ),( σ m N , cu σ necunoscut!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia de la pag! #+0, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!

2. 1ată fiind selecţia 2; 2; 2#; 2; 22; 2#; 2; 2-; 22; 2 asupra unei variabile aleatoare, să sedetermine media de selecţie i dispersia de selecţie pentru aceste valori de selecţie!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia punctul b) de la pag! #22, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar această aplicaţie!


2. "entru selecţia #2; ##; #; #-; #2; #; #; #; ##; # asupra unei variabile aleatoare, să se determinemedia de selecţie i dispersia de selecţie pentru aceste valori de selecţie!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia punctul b) de la pag! #2, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar această aplicaţie!


2. "entru selecţia #; #3; #+; #3; #$; #+; #3; 20; #$; #3 asupra unei variabile aleatoare, să se determinemedia de selecţie i dispersia de selecţie pentru aceste valori de selecţie!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia - punctul b) de la pag! #2+, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar această aplicaţie!

Subiectul II

1. "entru ce valori ale parametrului real 4a5 vectorii v1 = (1, 1, !t, v2 = (1, 2, a!t, v = (, a, 1"!t dinspaţiul liniar (ℝ, ℝ) sunt liniar de#endenţi6! "entru a = 2 să se determine relaţia dintre ei!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia de la pag! #3-, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!


1. Să se studiee natura următorului $i$te% de vectori, preciându7se când este caul relaţia dede#endenţ& (R.'.) dintre vectori:

= (1, !t, ) =t

−

2

#, !

2


3/6

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia # punctul a) de la pag! #, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!



= (2, , 1!t

, ) = (*1, ", 1!t

, z = (2, +, !t

!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia # punctul b) de la pag! #, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!



a1 = (1, 1, 1, 1!t, a2 = (2, , *2, 1!t, a = (+, , ", α !t, a+ = (*1, *2, , "!t, unde ∈α ℝ! 'i$cuţie după#ara%etrul real α !

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia # punctul c) de la pag! #, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!



a1 = (*1, ", 1, , "!t, a2 = (*, , -, *1+, 2!t, a = (*, , 1", *-, 2!t!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia # punctul d) de la pag! #, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!


1. "entru ce valori ale parametrului real 4a5 vectorii v1 = (1, 1, a!t, v2 = (*a, *2, a2!t, v = (*a, *1, 2!t dinspaţiul liniar (ℝ, ℝ) formeaă o baz& %n acest spaţiu6! "entru a = 2 să se determine coordonatele

vectorului v = (*, */, 1/!t %n acea$t& baz&!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia 2 de la pag! #3, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar această aplicaţie!

2. Să se reolve următoarea "!"!8!:


4/6

(ma9)f 0,$9# 0,92 0,-9 (*)

9 ≥ 200

9#,2, ≥ 0 (*S)

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia ## de la pag! 2+, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!


2. Să se reolve următoarea "!"!8!:

(min)f -9# 92 (*)

92 ≥ #

9#,2 ≥ 0 (*S)

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia #2, caul %n care prin e9trem sau optim %nţelege minim, de la pag!2+$, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar această aplicaţie!

Subiectul III

1. < persoană desc&ide un cont pe data de0#!0#!(?) depunând suma de #0 - u!m!! "e data de 0#!0!(?)retrage - @ #0 u!m!! "e data de #-!0!(?) depune suma de #- @ #0 u!m!, iar pe data de 0-!0-!(?)retrage $ @ #0 u!m!! "e data de 0#!0+!(?) lic&ideaă contul desc&is %n bancă la %nceputul anului ?,adică pe data de 0#!0#!(?)!


5/6

1. Se desc&ide un cont prin plasarea unui capital de #00 milioane u!m! (#0 u!m!)! 1oi ani mai târiu seretrag 2- milioane u!m! (2- @ #0+ u!m!), iar ani mai târiu de la desc&iderea contului se lic&ideaă%ntregul capital la care dacă s7ar mai adăuga ##$- u!m! s7ar dispune de capitalul de 3 milioane u!m!(3@#0+ u!m!)! Se cer:a) procentul anual unic al operaţiunii; b) dobânda care s7ar fi realiat, dacă %ntregul capital ar fi rămas %n cont ani cu procentul determinatmai sus atât %n regim de 41S5 cât i %n regim de 41*5!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia #0, de la pag! 0+, punctele a) i b) %ntrucât 1. de mai sus estec&iar această aplicaţie!


1. Sunteţi %n posesia unei polite cumpărată cu suma de #0 milioane u!m! i scadentă peste ani de la

cumpărare! Bi când mai sunt + luni până la scadenţă doriţi să o vindeţi unei bănci comerciale, care vă

preintă următoarele condiţii:a) "rocentul annual de scont #-A;

b) *omision de acceptare #,-A;c) *omision fi9 pe efect #0 u!m!;d) Ca9a pe comision fi9 #A;e) Se aplică un SS* (# an +0 ile)!"rocentul nominal sau de evaluare este p #2A! Se cere suma care vi se oferă pentru poliţă (capitalul

scontat)!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia +2, de la pag! $, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!


1. 1iferenţa dintre SS* i SS> ale unui efect polite de valoare nominal -#!000 u!m! i procent anual

de scont D #00' +A este de 20 u!m! *âte ile corespund scontării acestui efect i care este valoarea

scontată a acestuia dacă # an +- ile!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia -3, de la pag! $#, %ntrucât 1. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!

Sau tot %n rol de 1. puteau fi, problemele de mai 'os:

+3E2 sau $#E sau $2E, pentru caul anuităţilor anticipate, respectiv:

$E, sau $E-, sau $+E+, sau $$E+, sau $E+, pentru caul anuităţilor posticipate!

-


6/6

2. Fn credit %n valoare de #0$ u!m! urmeaă să fie rambursat %n n - ani prin plăţi anuale posticipate,

cu dobândă posticipată i cu a%orti$%ente e0ale! Gntocmiţi tabloul de amortiare corespunător dacă:

a) procentul anual unic este p #00i -A;

b) procentele anuale sunt p# #00i# -A, p2 #00i2 0A, p #00i -A, p #00i -0A, p-

#00i- --A!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia +-, de la pag! $, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!


2. Fn %mprumut se amortieaă %n #0 ani prin anuit&ţi con$tante #o$tici#ate! Se tie că

amortismentele H i H+ sunt respectiv egale cu 2!#0!$00 i 2!-!00 u!m! Se cer:

a) procentul operaţiunii;

b) suma %mprumutată;

c) anuitatea constantă;

d) primele linii din tabloul de amortiare!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia ++, de la pag! $3, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!


2. 1atoria de - ⋅ #0 u!m! contractată ai va fi rambursată cu %ncepere de ai peste ani, prin anuit&ţi

e0ale #o$tici#ate, timp de ani i cu un procent anual unic p #00i A pe toţi cei $ ani! Ii se cere

tabloul de amortiare!

"entru rezolvare, urmăriţi aplicaţia +$, de la pag! 0, %ntrucât 2. de mai sus este c&iar aceastăaplicaţie!

STO

+

propunere de subiect pentru exam. de la mate ase

Documents