Portofoliu

Cercul

Elev: Tulbă-Lecu Gabriel

Clasa: VII-B

Definiție:

Cercul este mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan egal depărtate de un punct fix numit centru.

Coarda ce trece prin centrul cercului se numește diametru și este egală cu dublul razei.

BC=diametru=2OA

Diametrul împarte cercul in două semicercuri.

Multimea punctelor de pe cerc, cuprinse între două puncte se numește arc de cerc.

AB=arc subîntins de coardă.

Unghiul la centru AOCeste unghiul ce are vărful în central cercului și laturile lui sunt raze.Măsura unghiului la centru este egala cu masura arcului cuprins între laturișe sale.

Elemente ale cercului:

Distanța de la centrul cercului la un punct de pe cerc se numeste rază.

OA=rază=r

Segmentul ce unește două puncte de pe cerc se numește coardă

AB=coardă

m( AOC)=m( AC=)

Teoreme:

Într-un cerc la coarde congruente corespund arce congruente si reciproca.

AB=CD

AB=CD

Între coarde paralele se gasesc arce congruente.

AB∥CD => AC≡ BD

Diametrul perpendicular pe o coardă imparte coarda și arcele subîntins de ea in părți concruente.

Dacă distanțele de la centrul cercului la două coarde sunt egale, atunci coardele sunt congruente si reciproca.

OE⊥CD => CE=ED

OF⊥AB => BD=AF

CD⊥AB

AE≡EB

AD≡ DB

Unghiul înscris în cerc este unghiul care are vârful pe cerc și laturile lui sunt coarde.

Unghiul înscris in semicerc are vârful pe cerc, iar laturile lui taie cercul in puncte diametral opuse.

Punctul de intersecție al medianelor laturilor unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului.

Măsura unghiului înscris în cerc este jumatate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

m( ABC)= m(AC )2

Raza cercului circumscris triunghiului este egala cu a∗b∗c

4 S unde a,b,c

sunt laturile triunghiului, iar S este aria triunghiului.

Un patrulater cu vârfurile pe cerc se numeste patrulater înscris in cerc

Un patrulater care se poate înscrie în cerc se numește patrulater inscriptibil.

Un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă unghiurile opuse sunt suplementare.

Pozitia relativă a unei drepte fată de cerc:C(O,r)

OA⊥d =>OA=d(O,d)

OA>r => d=exterioară cercului

OB⊥d1

OB=r

=> d1=tangentă la cerc

OC⊥d2

OC<r => d2=secantă

Un cerc este inscris intr-un triunghi daca laturile triunghiului sunt tangente la cerc.

Un patrulater care poate fi înscris în cerc se numeste patrulater circumscriptibil.

Un patrulater este circumscriptibil daca suma laturilor opuse este egală cu suma celorlalte două.

Pozitia relativă a două cercuri:

O1O2>r+R => cercurile sunt exterioare

O1O2=r+R => cercurile sunt tangente exterior

R-r>O1O2<r+R => cercurile sunt secante

O1O2=R-r => cercurile sunt

tangente interior

Mulțimaea punctelor din plan cuprinsă între două cercuri concentrice se numește coroană circulară

O1O2<R-r => cercurile sunt interioare

O1≡O2 =>cercurile sunt concentrice

Poligoane regulate:

Poligonul regulat este poligonul cu toate laetrile egale și toate unghiurile egale.

Orice poligon regulat se poate înscrie intr-un cerc.

Numim apotema unui poligon regulat prependiculara coborâta din centrul cercului circumscris pe mijlocul unei laturi.

Triunghiul echilateral:

a3=R2

l3=R√ 3

A3=l2√3

4

Pătratul:

a4=R√22

l4=R√2

A4=l2

Hexagonul regulat:

a6=R √3

2

l6=R

A6=3R2√22

Aria și Lungimea cercului:

Lcerc=2πR

Adisc=πR2

Larc=πRn180

Asector=π R2n360

Unde n este măsura unghiului la centru.

Asegment=π R2n360

-R2sinn

2