pdf grinzi zvelte
TRANSCRIPT
3
CUPRINS PREFAŢĂ 5 1. CARACTERISTICI DE CALCUL ALE SECŢIUNILOR
7
2. PLĂCI PLANE STRUCTURALE
14
3. EFECTUL SHEAR LAG
32
4. CARACTERISTICI DE CALCUL UTILIZATE ÎN EC 3
39
5 STABILITATEA PLĂCILOR PLANE ÎN CONFORMITATE CU EC 3
48
6 PARAMETRII DE ZVELTEŢE
55
7 GRINZI PLANE CU INIMǍ PLINǍ. ALCĂTUIRE ŞI CALCUL DE REZISTENŢǍ
61
8. STABILITATEA LOCALĂ A GRINZILOR CU INIMI ZVELTE
91
9. RIGIDIZĂRI
108
10. FLAMBAJUL LATERAL AL GRINZILOR
122
11. VERIFICAREA LA OBOSEALĂ
141
12. STABILITATEA GENERALĂ A GRINZILOR PRINCIPALE REZEMATE ELASTIC
151
13. ÎMBINĂRI
162
14. CONSOLIDAREA GRINZILOR 192
BIBLIOGRAFIE 217
4
CONTENT
PREFACE 5 1. DESIGN CARACTERISTICS OF SECTIONS
7
2. STRUCTURAL PLATES
14
3. SHEAR LAG EFFECT
32
4 DESIGN SECTION CHARACTERISTICS USED IN EC 3
39
5. PLATE BUCKLING ACCORDING TO EC3
48
6. SLENDERNESS PARAMETERS
55
7. STEEL PLATE GIRDERS. RESISTANCE DESIGN
61
8. SHEAR BUCKLING REISTANCE OF WEB
91
9. STIFFENNERS
108
10. FLEXURAL-TORSIONAL BUCKLING
122
11. FATIGUE VERIFICATIONS
141
12. GENERAL STABILITY OF MAIN GIRDERS
151
13 DESIGN OF JOINTS
162
14. PLATE GIRDERS CONSOLIDATION 192
REFERENCES 217
5
Prefaţă Eficiente din punct de vedere structural, grinzile cu inimi având zvelteţea ridicată, intră frecvent în alcătuirea tablierelor de poduri metalice şi a construcţiilor metalice în general, fiind acceptată ipoteza de lucru în care anumite părţi ale secţiunii elementului se află temporar într-o formă de echilibru deformată (voalare locală), fără să fie afectată siguranţa în exploatare de ansamblu a elementului. Această ipoteză este justificată prin faptul că, după ce se produce voalarea locală a unor table din secţiunea elementului, există o rezervă de rezistenţă denumită postcritică care asigură comportarea mecanică a elementului structural în condiţii de siguranţă corespunzătoare. Grinzile cu inimă plină pot fi considerate ca fiind cu zvelteţe ridicată în cazul în care inima acestora se încadrează în Clasa 4 de secţiuni transversale (în lipsa rigidizărilor longitudinale), în conformitate cu normativul EC3.1-1, pentru care pierderea stabilităţii locale se produce înainte de a se atinge limita de curgere. Pentru secţiunile Clasa 4 se consideră lăţimile eficace pentru a ţine seama de reducerea de rezistenţă din efectele pierderii locale a stabilităţii.
Structurată pe 14 module de calcul specific, cu scopul de a permite o cât mai bună sistematizare a materialului tehnic prezentat, lucrarea Grinzi metalice zvelte, urmăreşte să prezinte noţiunile fundamentale privind calculul grinzilor cu inimă plină utilizate în structurile de construcţii şi poduri metalice, având la bază, In principal, normele europene de proiectare EN 1993-1 şi EN 1993-2.
Lucrarea urmăreşte facilitarea asimilării normelor europene de proiectare, fiind destinată cu deosebire studenţilor de la ciclul de MASTER.
Modulele de calcul teoretic sunt însoţite de exemple numerice rezolvate de autor, care, de asemenea ajută la înţelegerea metodologiei de aplicare a bazei teoretice de calcul prezentată în euronorme.
Exprim mulţumiri anticipate tuturor celor care vor aduce observaţii şi propuneri de îmbunătăţire a materialului editat sub această formă combinată de teorie şi aplicaţii.
Apreciez că lucrarea răspunde cerinţelor necesare unei lucrări specifice de calitate pentru învăţământul tehnic de construcţii.
Autorul
6
Preface Structurally efficient, the beams with high slenderness ratio of the webs are elements frequently used for bridge decks and steel constructions, given the acceptance that the working hypothesis that certain parts of the section element is temporarily in a local buckling without affecting the overall safety of the construction. This assumption is justified by the fact that after buckling occurs, there is a reserve of strength known as post-critical behaviour and the structural element is in the appropriate safety. Steel plate girders can be considered as having high slenderness of the web when they are in the Class 4 of the cross sections (in the absence of longitudinal stiffeners) in accordance with the normative EC3.1-1, for which local stability loss occurs before it reaches the yielding stress. For Class 4 section widths are considered effective to take into account the reduction of local resistance owned by plates buckling. Structured on 14 specific calculation modules in order to allow a better systematization of technical material the work Slender steel plate girders has the main aim to present the basics on calculating beams used in construction and steel bridges with design based on European standards EN 1993-1 and EN 1993-2. The Paper layout allows the easy assimilation of European norms, and is especially addressed to MS students. Theoretical calculation modules are accompanied by numerical examples solved by the author, which facilitate understanding of the theoretical basis for applying the methodology of calculation presented in EURONORM. I appreciate that the work meets the high standard requirements specific to a technical education paper.
I would like to express thanks in advance all those who make early comments and suggestions to improve the material published in this form combined theory and applications. Author
7
1. CARACTERISTICI DE CALCUL A SECŢIUNILOR
1.1. Aspecte generale
În primele module ale lucrării se vor prezenta caracteristicile geometrico - sectoriale ale secţiunii barelor cu pereţi subţiri (BPS), prezentate detaliat la disciplina de Rezistenţa materialelor, precum şi caracteristici legate de calculul elementelor de construcţii şi poduri metalice în conformitate cu normativul SR EN 1993 (EC 3).
Se apreciază că celelalte caracteristici de calcul ale secţiunii (arie brută, arie netă, moment static, moment de inerţie, modul de rezistenţă) sunt bine cunoscute de la disciplinele de Mecanica construcţiilor, acestea având o utilizare „curentă” în activitatea de dimensionare şi verificare a structurilor. O atenţie deosebită în practica de proiectare trebuie acordată sistemului de axe în care se lucrează, acesta nefiind unitar în cadrul disciplinelor de specialitate, normative şi standarde de proiectare, programe de calcul etc., tabelul 1.1. În lucrare se va utiliza sistemul de axe EN 1993.
Tabelul 1.1
Material tehnic
Rezistenţa materialelor; EC3, Tabele cu
europrofile
Tabele de produse
laminate (neactualizate)
Sistem de axe
Observaţie: În calculele de stabilitate (ex. flambaj prin încovoiere-răsucire, flambaj lateral), în cazul secţiunilor monosimetrice, axele principale se aleg în mod uzual ca în figura 1.1.
Fig.1.1
1.2. Caracteristici geometrico - sectoriale ale BPS Coordonata (aria) sectorială la BPS cu secţiune deschisă Coordonata (aria) sectorială a unui punct curent S(s), care se determină în raport cu un pol PP z,yP , se notează cu sP şi se defineşte prin integrala:
8
s
s
Pp
Q
dsrs 2L (1.1)
unde Pr este distanţa de la punctul P la tangenta dusă în punctul curent M al axei mediane a BPS
(produsul 0dsrP dacă raza vectoare Pr parcurge arcul ds în sens orar), fig. 1.2. Fiecărui punct de pe axa mediană a BPS, S(y,z), îi corespunde o valoare proprie pentru
sP , de aceea aria sectorială sP poate fi privită ca o coordonată a punctului respectiv. Ea reprezintă dublul ariei delimitate de raza polară origine PQ, raza polară PS a punctului considerat, şi porţiunea QMS din axa mediană a BPS.
Fig. 1.2. Coordonata sectorială
la BPS profil deschis
Coordonata sectorială depinde de poziţia polului PP z,yP şi de poziţia punctului origine
QsQ , de măsurare a ariei sectoriale. Punctul
QsQ se numeşte punct sectorial nul
0sQP .
Reprezentând grafic legea de variaţie a ariei sectoriale funcţie de arcul s, se obţine diagrama sectorială P .
Coordonata sectorială principală s , este aria sectorială care se determină faţă de acel pol cc z,yC şi acel punct sectorial nul 00 z,yO care
satisfac condiţiile:
a
0
0dAy ; a
0
0dAz ; a
0
0dA (1.2)
Polul cc z,yC care satisface primele două condiţii (1.2) se numeşte pol principal şi
coincide cu centrul de încovoiere al secţiunii, iar punctul sectorial nul 00 z,yO care satisface ultima condiţie (1.2) se numeşte punct sectorial nul principal.
Dacă se cunoaşte diagrama coordonatelor sectoriale P determinate faţă de polul arbitrar
PP z,yP şi punctul sectorial nul arbitrar QsQ , se poate preciza poziţia polului principal
cc z,yC , cu ajutorul relaţiilor:
A
Py
Pc dAzI
1yy (1.3.a)
A
Pz
Pc dAyI
1zz (1.3.b)
Coordonata sectorială a punctului sectorial 0sO faţă de un punct sectorial nul arbitrar, se
determină din relaţia:
a
0
QSQO dssA
1s (1.4)
9
Coordonata (aria) sectorială la BPS cu secţiune închisă Aria sectorială pentru BPS profil închis o singură dată are expresia:
r
rP
s
sPP a
s
g
ds
g
ds
0
(1.5)
unde: P - aria sectorială corespunzătoare tubului deschis, figura 1.3;
s
s
r
0
g
dss - lungimea redusă a arcului s;
g
dsar - lungimea redusă a conturului axei mediane a BPS profil închis;
dsr - dublul ariei delimitată de axa mediană a BPS.
Fig. 1.3. Coordonata sectorială la BPS profil închis
Aria sectorială generalizată principală
este acea arie sectorială generalizată care satisface condiţiile:
0dAy
0dAz (1.6)
0dA
Polul principal cc z,yC coincide cu centrul de încovoiere şi are coordonatele:
dAzI
1yy P
yPc (1.7.a)
dAyI
1zz P
zPc (1.7.b)
Condiţia dA precizează poziţia punctului sectorial nul principal 00 z,yO .
Observaţii: Pentru simplificarea calculelor în vederea determinării poziţiei polului principal C se recomandă să fie avute în vedere următoarele:
sistemul de axe coordonate Gyz este central principal; dacă secţiunea admite o axă de simetrie, punctul sectorial nul Q se ia la intersecţia acesteia cu axa
mediană a profilului, acesta fiind chiar punctul sectorial principal O; pentru determinarea coordonatelor polului principal C, poate fi folosită regula de integrare
Vereşceaghin, atunci când axa mediană este poligonală (în această situaţie diagramele p , y şi z
sunt liniar variabile); dacă axa mediană a BPS admite o axă de simetrie polul principal C se află pe această axă;
10
la secţiunile BPS a căror axă mediană este alcătuită din segmente concurente, polul principal C se află în punctul de intersecţie al acestor segmente;
la profilele care au simetrie polară, centrul de încovoiere-răsucire coincide cu centrul de simetrie polară, care este şi centrul de greutate al secţiunii;
în cazul secţiunilor BPS care au două axe de simetrie, centrul de răsucire coincide cu centrul de greutate al secţiunii barei;
în cazul secţiunilor închise se urmează aceeaşi cale ca în cazul BPS profil deschis, cu observaţia că
în locul coordonatelor se utilizează coordonatele generalizate .
În figura 1.4. se prezintă poziţia polului principal C pentru câteva secţiuni de BPS.
Fig. 1.4. Poziţia polului principal C
Momentul static sectorial Momentul static sectorial S , al porţiunii de secţiune cuprinsă între punctele 0sO şi sS
se defineşte ca fiind:
s
s0
dAS 4L - pentru secţiuni deschise (1.8.a)
s
s0
dAS 4L - pentru secţiuni închise (1.8.b)
Momentul static sectorial RS , al porţiunii de secţiune cuprinsă între punctul 0sR , care
este originea de măsurare a arcelor şi punctul curent sS de pe axa mediană a BPS, este:
s
0
R dAS - pentru BPS profil deschis (1.9.a)
s
0
R dAS - pentru BPS profil închis (1.9.b)
Punctele de maxim ale diagramei RS sunt puncte de nul sectorial.
11
Momentul de inerţie dirijat Momentul de inerţie dirijat, dI , este prin definiţie:
A
2d dArI 4L (1.10)
Momentul de inerţie sectorial Momentule de inerţie sectoriale I şi
I sunt definite prin relaţiile:
A
2 dAI 6L - la BPS profil deschis (1.11.a)
A
2dAI 6L - la BPS profil închis (1.11.b)
Momentul de inerţie dirijat şi momentul de inerţie sectorial sunt caracteristici geometrice ale întregii secţiunii, calculul lor poate fi făcut utilizând regula de integrare Vereşceaghin pentru secţiunile cu axa mediană poligonală. Momentul de inerţie echivalent (convenţional) BPS profil deschis:
Momentul de inerţie echivalent (convenţional) la răsucire liberă a BPS profil deschis, tI , se calculează cu relaţia:
dsg3
1I
a
0
3t (1.12)
În cazul profilelor deschise alcătuite din mai multe dreptunghiuri înguste, momentul de inerţie convenţional la răsucire liberă este egal cu suma momentelor de inerţie convenţionale ale porţiunilor componente.
Dacă pe porţiuni, grosimea “g” este constantă, expresia pentru tI este:
n
1j
3jjt ga
3
1I (1.13)
Pentru profilele laminate formula de calcul pentru tI este de forma:
n
1j
3jjt ga
3
cI (1.14)
unde c este un coeficient ce depinde de forma secţiunii transversale a profilului şi ţine seama de efectele racordării dintre dreptunghiurile elementelor separate, tabelul 1.2.
Tabelul 1.2
Tipul secţiunii C Profil I laminat 1,20 Profil U laminat 1,12 Profil cornier, grinzi I sudate fără rigidizări 1,00 Grinzi I sudate cu rigidizări dese 1,50 Grinzi I nituite 0,50
12
BPS profil închis:
Momentul de inerţie echivalent (convenţional) la răsucire liberă a BPS profil închis, rI , se calculează cu relaţia:
g
dsII
2
tr (1.15)
unde:
dsr - este dublul ariei delimitate de axa mediană a BPS profil închis;
dsg3
1I 3t
1.3. Exemplu de calcul Să se calculeze caracteristicile geometrico – sectoriale ale secţiunii din figura E.1. Cu sistemul de axe din figura 1.5, rezultă:
Iy=2.642 610 cm4; Iz=3.953 610 cm4; A=928 cm2.
Fig. E.1
Fig. E.2
Deoarece secţiunea are o axă de
simetrie, centrul de răsucire se va afla pe această axă; se va calcula numai abscisa zc.
Se alege polul P, la intersecţia axei de simetrie z-z cu axa mediană a profilului şi se trasează diagramele coordonatelor sectoriale
P , figura E.2 şi a ordonatelor y, figura E.3.
26P
25P
24P
cm 61255,122208575
;cm 110255,122208575
;cm 85755,12270
- momentul de inerţie convenţional al BPS, contur închis, care se consideră de secţiune inelară deschisă.
13
Se calculează abscisa centrului de
răsucire, integrând cu regula Vereşceaghin diagramele P şi y şi rezultă:
cm8.108zc
Fig. E.3
unde:
6c
10953.3
9061252110255061251102526
40370
2
5,12285752.12
51z
Se trasează diagrama faţă de punctul C, figura E.4 şi se calculează momentul de inerţie sectorial, I , integrând diagrama cu ea însăşi.
Fig. E.4
Se obţine:
.cm 102258.1813592381352923813592326
403
3
7.644529
3
8.5740462,1
3
100578022I
610
222
Momentul de inerţie convenţional la răsucire liberă It este:
.cm 392 134022.1120222003
1I 4333t
Caracteristicile geometrice ale secţiunii transversale brute sunt centralizate în tabelul E.1.
Tabelul E.1
Ag zP zC Iz Iy It I iy iz i02
U.M. cm2 cm cm x 106 cm4
x 106 cm4 cm4
x 1010 cm6
cm cm cm2
928 51 108,8 3.953 2.642 1392 1.2258 53.36 65.26 18 944
14
2. PLĂCI PLANE STRUCTURALE
2.1. Voalarea plăcilor dreptunghiulare uniform comprimate după o direcţie
Majoritatea elementelor componente ale barelor metalice sunt alcătuite din table subţiri, care sub acţiunea tensiunilor şi îşi pot pierde stabilitatea locală. Fenomenul de pierdere locală a stabilităţii tablelor subţiri sub acţiunea eforturilor care acţionează în planul lor median, este cunoscut sub denumirea de voalare. Modificarea prin voalare a formei tablelor are influenţă asupra rezistenţei şi stabilităţii întregului element din care acestea fac parte. Voalarea plăcilor plane se manifestă prin deplasări datorate trecerii dintr-o formă plană de echilibru în una spaţială de echilibru, figura 2.1.
Fig. 2.1. Voalarea tablelor din alcătuirea barelor comprimate O tablă subţire cu raport mare între lungimea şi lăţimea h (fig. 2.1), supusă acţiunilor
tensiunilor de compresiune z în lungul laturii lungi, îşi poate pierde stabilitatea locală prin deplasări de forma unor unde caracterizate prin zone nodale care nu se deformează. Distanţa între două zone nodale învecinate este denumită semiundă de voalare. Fenomenul de voalare poate avea loc fie în domeniul elastic, fie în domeniul elasto-plastic. Deformaţiile elastice din cauza voalării sunt reversibile (se anulează odată cu încetarea acţiunii tensiunilor), iar dacă fenomenul se dezvoltă peste limita de proporţionalitate, o parte din aceste deformaţii se menţin ca deformaţii remanente (voalare în domeniul elasto-plastic).
2.2. Rezistenţa critică de voalare
Placa simplu rezemată pe contur Relaţiile de calcul se stabilesc în ipoteza că fenomenul de voalare se produce în domeniul elastic (oţelul fiind considerat un material omogen şi izotrop), aceste relaţii fiind utilizate ulterior pentru stabilirea comportării plăcii în domeniul elasto-plastic.
15
Calculul se efectuează pornind de la ecuaţia diferenţială fundamentală a suprafeţei mediane deformate a plăcii voalate, având săgeţi u mici în raport cu grosimea t, figura 2.2.
2
2
z
2
yz2
2
y4
4
22
4
4
4
z
uN
zy
uN2
y
uN
z
u
zy
u2
y
uD
(2.1)
unde:
2
3
112
EtD
- rigiditatea cilindrică la
încovoiere a unei fâşii de tablă cu lăţime unitară; tN yy
tN zz
tN yzyz
Fig. 2.2. Tensiuni de membrană
în plăci plane
Luând în considerare efortul de membrană 0z , iar 0zyyzy , ecuaţia
diferenţială (2.1) devine:
0z
uN
z
u
zy
u2
y
uD
2
2
z4
4
22
4
4
4
(2.2.a)
sau în formă restrânsă:
0z
uNy,zuD
2
2
z2
(2.2.b)
Pentru cr.zz , pe lângă forma nedeformată de echilibru, există şi o formă deformată de echilibru instabil. Dacă se consideră condiţiile de simplă rezemare pe contur a plăcii, de-a lungul laturilor y = 0 şi y = b, figura 2.3. soluţia ecuaţiei diferenţiale (2.2) a plăcii deformate este:
b
ynsin
a
zmsinuy,zu m
(2.3)
unde:
mu - săgeata maximă a unei semiunde; m - numărul de semiunde pe direcţia z; n - numărul de semiunde pe direcţia y.
Fig. 2.3. Voalarea plăcilor uniform comprimate
Înlocuind soluţia (2.3) în ecuaţia diferenţială omogenă (2.2), după simplificările corespunzătoare, se obţine:
16
2
2
2
2
2
2
22
cr.zb
n
a
m
m
aDN
cm
daN, unde m,n=1,2... (2.4)
Deoarece interesează valoarea minimă cr.zN , în relaţia (2.4) se introduce n=1 (pentru că
intervine numai la numărător), iar valoarea lui m se obţine din condiţia de minim pentru cr.zN .
Introducând variabila continuă m în locul variabilei discrete m, din condiţia:
0md
dNz rezultă: b
am
Dacă raportul a/b reprezintă un număr întreg rezultă: mm , iar dacă este un număr
fracţionar, variabila m trebuie interpretată ca 1mmm , unde m şi m+1 reprezintă cele două numere întregi consecutive între care se găseşte , iar cr.zN este cea mai mică valoare
dintre mcr.zN şi 1m
cr.zN :
1mcr.z
mcr.zcr.z N;NminN (2.5)
Din punct de vedere practic rezultă două situaţii:
Situaţia 1b
a (plăci scurte)
În acest caz se va lua m=0 şi m+1=1. Se introduce în relaţia (2.4) m=n=1 şi se obţine:
222
22
2
2
2
2
cr.z 1a
D
b
a1
a
DN
(2.6.a)
Dacă 0ba 2 şi se obţine:
2
2
cr.za
DN
(2.6.b)
Situaţia 1b
a (plăci lungi)
În acest caz se consideră n=1, m poate fi oarecare şi rezultă:
2
22
2
2
cr.zb
Dk
b
a
m
1
a
bm
b
DN
(2.7)
unde:
22
m
m
b
a
m
1
a
bmk
(2.8)
Pentru b/a - număr întreg, rezultă m şi k=4, indiferent de valoarea 1 . Pentru b/a - număr fracţionar k are valori foarte puţin mai mari decât 4, cea mai mare
valoare k=4.5 se obţine pentru 2 . Punctele de intersecţie a două curbe corespunzătoare lui m şi m+1 se găsesc pentru
1mm , graficul din figura 2.4.
Pentru calculul practic se poate lua k=4 şi rezultă:
2
2
cr.zb
D4N
(2.9.a)
respectiv: 2
2
cr.zbt
D4
(2.9.b)
17
Fig. 2.4. Diagrama k
Din cele arătate rezultă că pentru <1 (plăci scurte) placa voalează cu câte o semiundă atât pe direcţia comprimată, cât şi perpendicular pe această direcţie (m=n=1). În cazul plăcilor lungi, tensiunea critică, cr , nu depinde de lungimea plăcii, ci numai de lăţimea acesteia. Placa voalează cu o semiundă perpendiculară pe direcţia compresiunii şi cu m semiunde pe direcţia compresiunii, realizându-se o serie de linii nodale (cu deplasări u=0), astfel încât se obţin bombări pe un contur pătrat de latură b, atunci când este un număr întreg şi apropiate de un pătrat pentru număr fracţionar. Se poate concluziona că, în cazul plăcii uniform comprimate după o direcţie, efortul unitar critic este dat de relaţia generală :
22
2
cr)t/b(
1
)1(12
Ek
(2.10)
unde : k - coeficientul de flambaj al plăcii comprimate. În calculele de stabilitate se utilizează relaţia adimensională:
p2
2y
cr
y
k
)1(12
E
f
t
bf
(2.11)
Dacă se acceptă faptul că materialul se comportă elastic până la atingerea limitei de
curgere yf , analiza elastică este valabilă pentru valori 1/f cry .
Această limită conduce la condiţia privind zvelteţea tablei :
8.56235
f
t
b y (2.12)
În tabelul 2.1 se dau valorile minime ale lui k , respectiv mink pentru alte condiţii de
rezemare, decât simpla rezemare pe contur a plăcii. Barele cu pereţi subţiri trebuie astfel proiectate la compresiune centrică, încât să fie
prevenite fenomenele de voalare a tablelor înainte ca ele să cedeze prin flambaj general. În cazul în care tablele sunt solidarizate cu rigidizări – longitudinale, transversale sau
longitudinale şi transversale, supleţea tablelor poate fi mult mai mare comparativ cu cea a tablelor nerigidizate.
18
Tabelul 2.1
Caz mink Caz mink
3.08
7.00
5.41
1.28
5.41
0.425
Placa liberă în lungul unei laturi longitudinale Placa simplu rezemată în lungul laturilor transversale şi liberă în lungul unei laturi longitudinale (paralelă cu direcţia efortului de compresiune), figura 2.5, îşi va pierde stabilitatea prin voalare cu o singură semiundă longitudinală.
Fig. 2.5
Coeficientul k , poate fi exprimat aproximativ prin relaţia :
2
a
b425.0k
(2.13)
Efortul unitar critic va fi obţinut şi în acest caz cu relaţia generală (2.10).
Graficul coeficientului de flambaj k este prezentat în figura 2.6 [19]. În cazul plăcilor lungi utilizate ca tălpi pentru grinzile cu inimă plină, coeficientul de flambaj se apropie de valoarea minimă
425.0k (a se vedea şi Tabelul 2.1). Flambajul în domeniul elastic rezultă în acest caz din condiţia :
5.18235
f
t
b y (2.14)
Fig. 2.6
19
Atât în cazul plăcilor simplu rezemate pe contur, cât şi în acest caz, în care una din laturile paralele cu efortul de compresiune este liberă, rezultă faptul că rigidizările longitudinale sunt mult mai eficiente decât rigidizările transversale în ceea ce priveşte majorarea efortului critic de pierdere a stabilităţii (se va demonstra numeric în analiza numerică 2.8). În cazul plăcii uniform comprimate, simplu rezemată pe contur, rigidizarea longitudinală trebuie să aibă o rigiditate suficientă pentru ca placa să nu se deformeze în dreptul acesteia (să nu se producă flambajul rigidizării). Valoarea aproximativă a momentului de inerţie necesar, calculat în raport cu axa plăcii, pentru o rigidizare longitudinală, dispusă la mijlocul plăcii este [19] :
t)2/b(
A5.01
t)2/b(
A3.21t)2/b(5.4I .st.st3
.st
(2.15)
In care : .stA =aria rigidizării longitudinale; 2/b = jumătate din lăţimea plăcii.
2.3. Solicitarea de forfecare Pentru placa în starea de membrană, în domeniul elastic, eforturile unitare critice pentru solicitarea simplă de compresiune axială sau de forfecare pură pot fi exprimate sub forma: Ecr k şi Ecr k (2.16.a,b)
unde: ]mm/N[b
t000190
b
t
)1(12
E 222
2
2
E
Coeficientul de flambaj din forfecare pură se determină cu relaţiile :
2b/a
434.5k , pentru:(a/b) 1 (2.17.a)
2b/a
34,500.4k , pentru: (a/b)<1 (2.17.b)
Variaţia coeficientului k pentru solicitarea de forfecare pură, în funcţie de raportul laturilor plăcii, b/a , este prezentată în graficul din figura 2.7 [35].
Fig. 2.7
În cazul plăcilor lungi sau fără rigidizări transversale, figura 2.8, 34.5k , efortul unitar tangenţial critic este dat de relaţia:
Ecr k ]mm/N[b
t00019034.5
b
t
)1(12
E34.5 2
22
2
2
(2.18)
Efortul unitar tangenţial critic cr este egal cu efortul unitar tangenţial de curgere
3/fyy , atunci când este îndeplinită condiţia:
4.86235
f
t
b y (2.19)
20
Fig. 2.8
Dacă pentru o placă lungă (fără rigidizări) este îndeplinită
condiţia: 235/f
4.86
t
b
y
, efortul
tangenţial critic este mai mic decât efortul unitar tangenţial de curgere
3/fyy .
Rezerva de rezistenţă post-critică în ceea ce priveşte efortul unitar tangenţial nu este importantă în acest caz, iar efortul unitar tangenţial ultim u , poate fi aproximat suficient de exact
de valoarea cr . Aşa cu rezultă din relaţiile de definire a coeficientului de flambaj la voalare din forfecare, precum şi din graficul din figura 2.8, valoarea acestuia creşte foarte mult dacă se micşorează raportul laturilor, respectiv raportul a/b, fapt ce se poate realiza prin dispunerea unor rigidizări transversale. De asemenea efortul tangenţial critic creşte dacă se micşorează raportul b/t , ceea ce se poate obţine prin dispunerea unor rigidizări longitudinale. Rigidizările intermediare trebuie să fie şi în acest caz suficient de rigide pentru a crea panouri capabile de a prelua eforturile tangenţiale critice. Pentru dimensionare rigidizărilor panourilor solicitate la forfecare se pot folosi relaţiile acoperitoare :
1b/a:pentru)b/a(
6
)1(12
ta
1b/a:pentrub/a
6
)1(12
ta
I
42
3
2
3
st (2.20)
2.4. Rezistenţa ultimă a plăcii nerigidizate
Curba Euler de flambaj din teoria liniară nu poate fi utilizată pentru proiectarea structurală, deoarece ipotezele care stau la bază nu sunt îndeplinite pentru placa reală. În urma a numeroase studii teoretice şi încercări experimentale s-a încercat stabilirea unei curbe de flambaj care să corespundă cât mai bine cu comportarea reală a plăcii, ajungându-se la concluzia că este avantajos să se exprime curba de flambaj sub o formă adimensională. În acest scop se exprimă zvelteţea a plăcii sub forma:
cr
2
pE
k
)1(12
t
b
(2.21)
Având în vedere expresia pentru zvelteţea de referinţă y
y f
E , se introduce parametrul
numit zvelteţe redusă (sau relativă), definit prin relaţia:
cr
y
y
pp
f
(2.22)
21
Efortul unitar ultim este exprimat de asemenea sub o formă adimensională, prin introducerea factorului de reducere :
y
u
f
(2.23)
Curbele adimensionale pentru efortul unitar normal şi efort unitar tangenţial sunt prezentate în figura 2.9.
Fig. 2.9
Aceste curbe de flambaj au valori mai ridicate decât curbele Euler, pentru zvelteţi mari, datorită comportării post-critice şi sunt limitate de limita de curgere a oţelului. Pentru zvelteţi de valori medii curbele au valori mai reduse decât curbele Euler, datorită efectului imperfecţiunilor geometrice şi structurale (tensiuni reziduale).
Plăcile cu grosime mare solicitate la forfecare, ating limita de curgere a oţelului înainte de producerea voalării elastice, astfel încât rezistenţa lor este determinată de efortul
3/fyy , aşa cum rezultă şi
din figura 2.10. În acest caz rigidizările nu contribuie la sporirea efortului unitar ultim, prin urmare în cazul plăcilor groase (sau a inimilor relativ groase, în cazul grinzilor), nu se prevăd în mod obişnuit rigidizări.
Fig. 2.10
În cazul inimilor cu zvelteţe ridicată prevăzute cu rigidizări, inimi care îşi pierd stabilitatea înainte de intrarea în curgere a acestora, există o rezervă importantă de rezistenţă după voalare (problema va fi reluată în paragraful privind stabilitatea locală a inimii grinzilor). În acest caz efortul unitar tangenţial ultim se poate aproxima cu relaţia: tfcru (2.24) unde : cr efortul unitar critic de voalare elastic ;
22
tf - efortul critic datorat câmpului diagonal întins (tf – tension field) , figura 2.11, care poate fi aproximat de relaţia :
2
ycrytf
)b/a(1
)3/f/(1
2
f
( pentru inimi )hdb w (2.25)
Fig. 2.11 Se obţine:
2
ycr
y
cr
y
u
y
u
)b/a(1
f/31
2
3
f
3
f
3
3/f
(2.26)
Relaţia (2.26) este oarecum acoperitoare deoarece nu se ţine cont de contribuţia tălpilor în evaluarea rezistenţei ultime. Pentru a se putea atinge efortul critic cr , rigidizările transversale trebuie să poată prelua forţa dată de relaţia:
2w
2w
wy
crwwyst
)h/a(1
)h/a(
h
a
3/f1
2
thfN (2.27)
În cazul rigidizărilor transversale foarte rigide (dispuse pe ambele părţi ale inimii), aria necesară a rigidizării se poate estima cu relaţia: ystst f/NA (2.28)
În cazul rigidizărilor flexibile trebuie verificată condiţia acoperitoare:
E
hNI
2
2wst
st
(2.29)
2.5. Solicitări compuse În cazul solicitărilor compuse eforturile critice scad, comparativ cu situaţia solicitărilor pure. Pentru placa comprimată pe două direcţii, coeficientul k are expresia generală [10]:
2
2
2
22
2
2
nm
nm
k
(2.30)
unde: - m – numărul de semiunde cu care voalează placă în direcţia x (latura a); - n – numărul de semiunde cu care voalează placă în direcţia y (latura b);
- x
y
;
b
a .
23
Valorile lui mink , pentru diferite rapoarte şi sunt date în tabelul 2.2 [10], din care se
observă că pentru 5.00 , valorile mink nu mai depind de .
Tabelul 2.2
Cazul min
k
1 0.5 –1.0 orice valoare 2
2
1
1
2 0 – 0.5
21
1
2
2
1
1
3 0 – 0.5
21
1 )1(4
În graficul din figura 2.12 [35] este reprezentată variaţia coeficientului k în funcţie de parametrii şi .
Fig. 2.12
În situaţiile reale de proiectare se utilizează anumite aproximaţii de calcul care facilitează obţinerea unor rezultate acoperitoare, printr-un calcul mai simplu. Astfel, eforturile unitare x şi , sunt diferite la cele două capete ale unui subpanou de inimă, în situaţia în care eforturile M şi V nu sunt constante. Pentru calculul practic aceste solicitări se consideră constante pe lungimea unui subpanou, luând în calcul valorile maxime sau cele medii corespunzătoare panoului considerat, figura 2.13. Verificarea se efectuează în mod curent considerând două subpanouri de inimă – unul încărcat cu valoarea maximă a lui x şi unul încărcat cu valoarea maximă a lui .
În cazul unui panou solicitat concomitent la eforturile unitare x şi se poate determina un
coeficient de voalare (flambaj sau pierdere a stabilităţii) pentru o anumită combinaţie x - , dar aceasta presupune un efort de calcul considerabil.
Pentru calculul practic se poate determina un efort unitar critic echivalent - eqcr , cu ajutorul
unor relaţii de interacţiune, după ce în prealabil au fost determinate eforturile unitare critice - 0cr şi
0cr pentru acţiunea independentă a eforturilor x şi .
24
Fig. 2.13 Curba de interacţiune pentru o placă solicitată simultan la eforturile unitare x şi , variază
între un arc de cerc şi o parabolă [35], depinzând de valoarea 1x2x / (efortul unitar 1x este efort de compresiune), figura 2.14.
Fig. 2.14
Relaţia de interacţiune poate fi aproximată prin ecuaţia:
14
3
4
12
0cr
cr
2
0cr
cr0cr
cr
(2.31)
Pentru o anumită pereche de eforturi unitare şi , se poate determina factorul
(coeficientul) de siguranţă la voalare, 0cr , cu ajutorul relaţiei:
2
0cr
2
0cr
0cr
eqcr
4
3
4
1
1
(2.32)
Efortul unitar critic echivalent este dat de relaţia:
22eqcr
eqcr 3 (2.33)
De asemenea se pot stabili relaţii de interacţiune în cazul solicitării simultane la compresiune biaxială şi la forfecare, dar acestea sunt mult mai complexe.
25
2.6. Influenţa imperfecţiunilor asupra comportării plăcii reale Se constată faptul că oricare structură reală de oţel conţine imperfecţiuni cum ar fi tensiunile reziduale din laminare şi sudare şi imperfecţiuni geometrice legate de faptul că plăcile nu sunt perfect plane. Aceste imperfecţiuni modifică comportarea plăcii reale, comparativ cu placa ideală, astfel în cazul plăcilor cu zvelteţe moderată, de tipul celor întâlnite în practică, eforturile unitare reale sunt mult sub cele determinate pentru placa ideală, aşa cum reiese din graficele din figura 2.15 [35].
Fig. 2.15
În figura 2.16 [35] se prezintă variaţia efortului unitar real în funcţie de zvelteţea redusă a plăcii.
Fig. 2.16
2.7. Metoda lăţimii efective (eficace) Metoda lăţimii efective a fost dezvoltată în special pentru calculul barelor cu pereţi subţiri solicitate la eforturi unitare de compresiune uniaxială. Distribuţia eforturilor unitare, care iniţial este uniformă, devine neuniformă după producerea voalării (pierderea stabilităţii), astfel încât, deoarece zona centrală a plăcii nu mai poate prelua
26
tensiuni de compresiune, se produce o redistribuire a eforturilor, rezultând astfel o supraîncărcare a zonelor marginale până la atingerea eforturilor unitare de curgere. Metoda lăţimii efective se bazează pe ipoteza că eforturile unitare distribuite neuniform pe întreaga lăţime a plăcii, pot fi înlocuite cu eforturi unitare uniform distribuite pe o secţiune redusă, denumită lăţime efectivă (sau eficace), figura 2.17 [35].
Fig. 2.17
Lăţimea efectivă se determină din condiţia: yeffu fbb (2.34)
Rezultă:
bf
bb
y
ueff
(2.35)
y
u
y
creff
ffb
b
(2.36)
Pentru alte tipuri de distribuţie a eforturilor unitare (altele decât distribuţia uniformă), şi alte condiţii de rezemare pe contur, coeficientul se determină în funcţie
de parametrul p .
2.8. Analiză privind eficienţa poziţiei rigidizărilor Să se evalueze capacitatea portantă la compresiune axială a unei plăci metalice realizată în trei variante constructive:
placă simplu rezemată pe contur, fără rigidizări; placă prevăzută cu rigidizări transversale; placă prevăzută cu rigidizări transversale şi/sau o rigidizare longitudinală.
Se cunosc următoarele date de proiectare: - dimensiunile plăcii: axbxt=2400x600x8 mm, figura E.1;
Fig. E.1
- oţel S275 ( )MPa275mm/N275f 2y ;
27
- rigidizările au o rigiditate suficientă pentru a constitui linii nodale.
I. Analiză numerică 1. Cazul 1: Placa comprimată centric, fără rigidizări (fig. E.1) Efortul unitar critic, forţa critică teoretică
4kZ4600
2400
b
a
)MPa(mm/N83.134
8
600)3.01(12
0002104
t
b)1(12
Ek
bt
Dk 2
22
2
22
2
2
2
cr
kN2.64710860083.134)tb(N 3crcr
Prin urmare, conform teoriei clasice de pierdere a stabilităţii plăcilor plane, capacitatea portantă a plăcii comprimate este foarte mare - kN2.647Ncr , când se atinge aşa numitul „punct de bifurcare a echilibrului”. În realitate datorită prezenţei imperfecţiunilor iniţiale şi a tensiunilor reziduale (ex. tensiunile din laminare), forţa critică reală de pierdere a stabilităţii este mai redusă. Observaţie: Pentru plăci lungi ( )1b/a , forţa critică de pierdere a stabilităţii pe unitatea de lăţime, se poate determina de asemenea cu relaţia:
2
2
cr.zb
DkN
[F/L], unde:
2
m
mk
mmN10846.9cmdaN10846.992.10
8.0101.2
112
EtD 64
36
2
3
2cr.zcr2
62
cr.z mm/N8.1348
64.1078
t
N;mm/N64.1078
600
10846.94N
kN2.6471060064.1078bNN 3cr.zcr
Forţa capabilă (capacitatea portantă) a plăcii Conform EC3-1.1 şi EC3-1.5, avem:
673.043.183.134
275
k4,28
t/bf
cr
yp
59.043.1
22.043.122,0)3(055,022
p
p
2p
p
; mm35460059.0bbeff .
Rezultă capacitatea portantă a plăcii comprimate:
kN8.778100.1
2758354fAN 3
0M
yeffRd.c
Se observă capacitatea portantă sporită a plăcii faţă de valoarea forţei critice teoretice, rezultată ca urmare a efectului comportării postcritice. În figura E.2 se prezintă placa comprimată atunci când eforturile unitare ating valoarea critică cr şi placa trece din poziţia plană de echilibru în poziţia deformată.
28
Fig. E.2
2. Cazul 2: Placa comprimată centric cu rigidizări transversale Placa cu 3 rigidizări transversale, figura E.3
Fig. E.3
În cazul în care se dispun trei rigidizări transversale echidistante rezultă un raport între laturile unui panou a*/b=1, astfel că efortul unitar critic rămâne acelaşi ca în cazul plăcii nerigidizate (k=4). Forma deformată a plăcii este de asemenea identică cu cea a plăcii nerigidizate. Prin urmare în cazul plăcii rigidizate cu 3 rigidizări rezultă (la fel cu cazul 1):
kN8.778N;kN2.647N;mm/N83.134 Rd.ccr2
cr Placa cu 2 rigidizări transversale, figura E.4 În acest caz raportul laturilor unui panou este:
233.1600
800
b
3/a* pe distanţa dintre două rigidizări transversale
consecutive se produce o singură semiundă de voalare, figura E.4. Se obţin următoarele valori numerice:
34.43
4
4
3
m
mk
22
2cr.zcr2
62
cr.z mm/N3.1468
3.1170
t
N;mm/N3.1170
600
10846.934.4N
kN2.702106003.1170bNN 3cr.zcr .
29
Fig. E.4
Forţa capabilă (capacitatea portantă) a plăcii
673.037.13.146
275f
cr
yp
; 61.0
37.1
22.037.122,022
p
p
mm36660061.0bbeff Rezultă capacitatea portantă a plăcii comprimate:
kN2.805100.1
2758366fAN 3
0M
yeffRd.c
Prin urmare capacitatea portantă a plăcii rigidizată cu 2 rigidizări transversale este mai ridicată decât în cazul plăcii rigidizate cu 3 rigidizări transversale. Placa cu rigidizări transversale dese, figura E.5. Se analizează cazul în care sunt prevăzute 7 rigidizări transversale. În acest caz raportul laturilor unui panou este:
5.0600
300
b
8/a* panoul este de tip placă scurtă iar pe distanţa dintre două
rigidizări transversale consecutive se produce o singură semiundă de voalare; numărul semiundelor de voalare pe toată lungimea plăcii va fi m=8, figura E.5. Se obţin următoarele valori numerice:
25.68
4
4
8
m
mk
22
2cr.zcr2
62
cr.z mm/N7.2108
4.1685
t
N;mm/N4.1685
600
10846.925.6N
kN2.1011106004.1685bNN 3cr.zcr .
Forţa capabilă (capacitatea portantă) a plăcii
673.014.17.210
275f
cr
yp
; 71.0
14.1
22.014.122,022
p
p
mm42660071.0bbeff Rezultă capacitatea portantă a plăcii comprimate:
kN2.937100.1
2758426fAN 3
0M
yeffRd.c
30
Fig. E.5
Aşa cum era de aşteptat, capacitatea portantă a plăcii rigidizată cu rigidizări transversale dese este mai ridicată decât în cazul plăcii rigidizate cu 2 sau 3 rigidizări transversale. 3. Cazul 3: Placa comprimată centric prevăzută cu trei rigidizări transversale şi o rigidizare longitudinală centrală (fig. E.6)
Fig. E.6
În acest caz rezultă:
4kZ2300
600
2/b
a**
)MPa(mm/N3.539
8
300)3.01(12
0002104
t
2/b)1(12
Ek
)2/b(t
Dk 2
22
2
22
2
2
2
cr
Deoarece ycr f , rezultă că se va produce intrarea în curgere a materialului înainte de
voalarea plăcii.
673.071.03.539
275f
cr
yp
; 97.0
71.0
22.071.022,022
p
p
mm29130097.0)2/b(beff Capacitatea portantă pentru întreaga placă va fi:
kN4.1280100.1
27582912fAN 3
0M
yeffRd.c
31
Observaţie: Aceeaşi rezistenţă la compresiune a plăcii se obţine şi în cazul în care nu se dispun rigidizări transversale.
II. Centralizarea rezultatelor. Comentarii În tabelul E.1 sunt prezentate sintetic rezultatele obţinute privind capacitatea portantă (rezistenţa) la compresiune axială a plăcii dreptunghiulare simplu rezemate pe contur, în varianta nerigidizată, comparativ cu variante în care sunt prevăzute rigidizări transversale şi/sau o rigidizare longitudinală centrală. În urma analizei efectuate se pot formula următoarele concluzii:
eficienţa rigidizărilor transversale este în general redusă sau nulă în cazul în care acestea subîmpart placa în panouri cu raport între laturi care rezultă un număr întreg;
rigidizările transversale dese nu sunt o soluţie constructivă eficientă deoarece sporul de rezistentă obţinut este anulat sau chiar depăşit de costul suplimentar al rigidizărilor;
rigidizările longitudinale sporesc semnificativ capacitatea portantă a plăcii comprimate, nefiind în general justificată prevederea şi a unor rigidizări transversale;
rigidizarea longitudinală continuă poate fi luată în considerare la evaluarea capacităţii portante a plăcii, sporind valoarea acesteia.
Tabelul E.1
TIP SCHEMĂ PLACĂ ]kN[N Rd.c .nerigRd.c
Rd.c
N
N
1
778.8 1
2
778.8 1
3
805.2 1.03
4
937.2 1.20
5
1280.4 1.64
6
1280.4 1.64
32
3. EFECTUL SHEAR LAG
3.1. Aspecte generale
În cazul plăcilor rigidizate, care au în general o lăţime mare, distribuţia tensiunilor poate să difere mult de distribuţia conformă cu ipoteza Bernoulli (ipoteza secţiunilor plane), datorită efectului „shear lag” , figura 3.1.
Fig. 3.1
În teoria clasică de încovoiere, deformaţiile specifice din forfecare sunt neglijate, astfel încât o secţiune plană rămâne plană şi după deformaţia produsă sub efectul încărcării. Prin acceptarea acestei ipoteze, rezultă distribuţia liniară a deformaţiilor şi tensiunilor din încovoiere, respectiv distribuţia cunoscută a eforturilor unitare tangenţiale, figura 3.2.
Fig. 3.2
Fenomenul „shear lag” este legat de discordanţa între teoria clasică de încovoiere a grinzii şi comportarea reală a acesteia, în particular cea referitoare la creşterea eforturilor unitare din încovoiere la nivelul legăturii talpă-inimă şi corespunzător, scăderea acestora în talpă, la o anumită distanţă de această zonă de conexiune. Efectul shear lag este exemplificat pentru o grindă dublu T, încărcată cu o forţă concentrată la mijloc [19], în vecinătatea zonei centrale (unde este aplicată forţa concentrată), figura 3.3.
33
Fig. 3.3
Aplicarea teoriei convenţionale de încovoiere, de o parte şi de alta a punctului de aplicare a forţei concentrate, unde se produce o schimbare bruscă a forţei tăietoare, conduce la obţinerea a două tipuri de deformaţii care sunt incompatibile (figura 3.3.b), prin urmare se impune o modificare a distribuţiei eforturilor unitare normale Distribuţia eforturilor unitare normale şi tangenţiale care ilustrează efectul shear lag este prezentată în figura 3.4.
Fig. 3.4
Tensiunile din forfecare conform teoriei „clasice” sunt prezentate în figura 3.5.a , iar deformaţiile specifice longitudinale induse sunt prezentate în figura 3.5.b [19]. Deformaţiile inimii sunt aproape liniare şi sunt neglijate, în mod obişnuit, atunci când se calculează săgeata grinzii. Deformaţiile specifice ale tălpii variază parabolic şi sunt cele care cauzează efectul „shear lag”.
Fig. 3.5
Pentru grinzile obişnuite, efectul shear lag este redus, cu excepţia punctelor de aplicare a forţelor concentrate, sau în zonele de rezemare, în cazul grinzilor cu deschidere mică având tălpi late şi subţiri. Efectul shear lag este important în cazul barelor cu pereţi subţiri sau în cazul grinzilor cheson rigidizate puternic.
34
Fenomenul shear lag poate favoriza pierderea stabilităţii tălpii comprimate sau poate favoriza fenomenul de fragilizare, în cazul tălpii întinse. Metoda aproximativă pentru a se ţine cont de efectul shear lag constă în utilizarea lăţimii efective effb . Metoda este similară cu utilizarea lăţimii efective (eficace) din cazul plăcilor subţiri, la care, după voalarea locală, se produce o redistribuire a eforturilor unitare pe lăţimea plăcii.
3.2. Lăţimea activă a tălpilor grinzilor metalice în conformitate cu normativul EN 1993-1-5 Aspecte generale
Grinzile podurilor de şosea se caracterizează prin prezenţa unei tălpi superioare late – în cazul podurilor secţiune deschisă, sau printr-o lăţime mare a ambelor tălpi în cazul grinzilor cu secţiuni casetate. În cazul grinzilor metalice cu platelaj ortotrop, tola rigidizată a platelajului conlucrează cu inimile grinzilor principale şi de asemenea tola conlucrează cu nervurile longitudinale şi transversale (antretoaze) la preluarea solicitărilor din încovoiere. În cazul tălpilor late, tensiunile din încovoiere nu se mai repartizează uniform pe lăţimea acestora, fiind maxime în dreptul inimilor şi minime la mijlocul distanţei dintre inimi (respectiv rigidizări longitudinale şi transversale dacă ne referim la conlucrarea acestora cu tola). Pentru simplificarea calculelor de rezistenţă şi stabilitate (stări limită de serviciu şi oboseală) se înlocuieşte lăţimea reală a plăcii (solicitată neuniform) printr-o lăţime redusă (solicitată uniform) denumită lăţime activă (efectivă) la încovoiere, fiind îndeplinită condiţia:
maxeff
b
0
x bdyy (3.1)
unde: 0eff bb ; β - coeficient care dă gradul de participare (conlucrare) a tălpii.
În literatura tehnică de specialitate există un număr foarte mare de metode şi propuneri de calcul a lăţimii active de placă, în acest paragraf fiind prezentată metodologia de calcul propusă în normativul EN 1993-1-5. Lăţimea efectivă pentru stări limită de serviciu şi oboseală În conformitate cu normativul EN 1993-1-5, lăţimea activă de placă, respectiv coeficienţii β, se determină cu ajutorul relaţiilor prezentate în tabelul 3.1, în care:
e
00
L
bk
(3.2)
tb
A1
0
sl0
(3.3)
Asl – aria rigidizărilor (nervurilor) longitudinale din lăţimea b; t – grosimea tolei (tălpii); Le – lungimile efective, evaluate ca fiind distanţa între două puncte consecutive unde
momentul încovoietor este zero. În cazul în care nici o deschidere nu este mai mare de 1.5 ori din deschiderea adiacentă şi
nici o consolă nu este mai mare de jumătate din deschiderea adiacentă, lungimile efective Le se pot determina din figura 3.6. Distribuţia tensiunilor longitudinale din placă datorită fenomenului „shear lag” se obţine din figura 3.7.
35
Tabelul 3.1 Zona pentru verificare Valorile β k
β = 1,0 ≤ 0,02
21k4,61
1
0,02 - 0,70
Diagrame de moment pozitiv
k9,5
11 > 0,70
22
k6,1k2500
1k0,61
1
0,02 - 0,70
Diagrame de moment negativ
k6,8
12 > 0,70
Capăt liber 1010 dar;k
25,055,0
Toate valorile k
Consolă 2 - în dreptul consolei şi la capătul liber Toate valorile k
Fig. 3.6. Variaţia factorului β
40212
12
b/y1y
20.025.1
:20.0
411
2
b/y1y
0
:20.0
1 este calculat cu lăţimea eficace a tălpii beff
Fig. 3.7. Distribuţia eforturilor unitare pe talpă
36
3.3. Exemplu numeric Se evaluează lăţimea activă (efectivă) de placă ortotropă, aceasta constituind talpa superioară a grinzii metalice pentru un pod de şosea cu trei deschideri. Schema statică a grinzii continue este prezentată în figura E.1.
Secţiunea transversală a tablierului este cea prezentată în figura E.2, un cheson deschis pe două grinzi principale cu platelaj metalic ortotrop.
Fig. E.1
Fig. E.2
Aplicare numerică Se evaluează coeficienţii α0 pentru zona în consolă – I şi centrală – II (dintre grinzile
principale) ale platelajului, tola cu grosimea de 15 mm fiind rigidizată cu nervuri longitudinale de 200x10 mm, figura E.3;
15,15,1120
12031I
0
19,15,1540
120171II
0
Fig. E.3
Se calculează lungimile efective Le, figura E.4, pentru grinda continuă cu trei deschideri;
37
Fig. E.4
Se evaluează coeficienţii k şi β, respectiv lăţimile efective de placă, tabelul E.1. Tabelul E.1
Deschideri marginale (40 m) Parametru
Consolă (I) Câmp (II) k 0,040 0,095 β1 0,99 1,00
beff [cm] 119 270 Deschidere centrală (60 m)
Parametru Consolă (I) Câmp (II)
k 0,033 0,076 β1 0,99 0,96
beff [cm] 119 259 Reazeme intermediare
Parametru Consolă (I) Câmp (II)
k 0,055 0,128 β2 0,77 0,56
beff [cm] 92 151
Diagrama coeficienţilor β pentru zona câmp (II) este prezentată în figura E.5. Fig. E.5
Distribuţia tensiunilor pe reazemul intermediar este prezentată în figura E.6.
38
2min1max ; Fig. E.6
maxmaxImin 45,020,056,025,1 ; maxmax
IImin 71,020,077,025,1
max
4
maxmin
4
minmaxx 45,0b
y155,0
b
y1
45,0b
y155,0
4
maxx
Observaţii referitoare la lăţimea activă de placă Evaluarea lăţimii active (efective) de placă în cazul grinzilor metalice cu tălpi late, în conformitate cu normativul EN 1993-1-5, se face prin determinarea coeficienţilor β, calculând în prealabil coeficienţii k şi α0, funcţie de lăţimea reală a plăcii (b0), aria rigidizărilor (nervurilor longitudinale) şi lungimea efectivă Le (prin care se ţine cont de schema statică şi diagrama de momente încovoietoare pe grindă). Coeficienţii β sunt cu atât mai mici cu cât lăţimea tălpilor, b0, este mai mare şi lungimea efectivă, Le, este mai mică. În cazul grinzilor continue lungimea efectivă este mică în dreptul reazemelor intermediare [Le =0,25(L1+L2)], prin urmare în această zonă conlucrarea inimilor cu platelajul ortotrop se manifestă pe o lăţime de placă mult mai mică comparativ cu zona dintre reazeme (câmpuri). Exemplul de calcul prezentat în acest paragraf arată că, în acest caz, lăţimea activă în zona reazemelor intermediare se apropie de 50% din lăţimea efectivă a platelajului, iar nervurile longitudinale reduc coeficienţii β cu 10-15%.
39
4. CARACTERISTICI DE CALCUL UTILIZATE ÎN EC 3
4.1. Coeficienţi parţiali de siguranţă Coeficienţii parţiali de siguranţă utilizaţi în euronorme sunt prezentaţi în SR EN 1993-2 :2007. Pentru calculul elementelor, aceştia au următoarele valori:
00.10M ;
10.11M (pentru clădiri, 00.11M );
25.12M
10.1ser.3M Îmbinările cu nituri şi şuruburi se realizează în conformitate cu normativul EN 1993-1-8: 2005, respectiv norma română echivalentă SR EN 1993-1-8: 2006, în care sunt prezentaţi coeficienţii parţiali de siguranţă M .
4.2. Clasificarea secţiunilor transversale Scopul clasificării secţiunilor transversale este acela de a identifica în ce măsură rezistenţa lor şi capacitatea de rotire sunt limitate de apariţia pierderii stabilităţii locale.
Sunt definite patru clase de secţiuni transversale: Secţiuni transversale Clasa 1 – sunt cele care permit formarea articulaţiilor plastice, care pot atinge, fără reducerea rezistenţei, capacitatea de rotire cerută de modelul de calcul plastic. Secţiuni transversale Clasa 2 – sunt cele care permit dezvoltarea momentului de încovoiere plastic al secţiunii, dar care posedă o capacitate de rotire limitată din cauza pierderii stabilităţii locale. Secţiuni transversale Clasa 3 – permit dezvoltarea numai a momentului de încovoiere elastic al secţiunii, dar pentru care pierderea stabilităţii locale poate împiedica dezvoltarea momentului plastic. Secţiuni transversale Clasa 4 – sunt cele pentru care pierderea stabilităţii locale se produce în unul sau mai mulţi pereţi ai secţiunii transversale, înainte de a atinge limita de curgere. Pentru secţiunile Clasa 4, pot fi utilizate lăţimile eficace pentru a lua în considerare reducerea de rezistenţă din efectele pierderii locale a stabilităţii. Stabilirea clasei secţiunii transversale depinde de raportul lăţime pe grosime a pereţilor supuşi la compresiune. Prin pereţi supuşi la compresiune se înţelege fiecare perete al secţiunii transversale, parţial sau total comprimat, sub efectul grupării de încărcări considerate. Pereţii comprimaţi ai unei secţiuni transversale (inimă sau talpă) pot fi în general de clase diferite, clasa unei secţiuni transversale fiind definită prin clasa cea mai mare a pereţilor săi comprimaţi. De asemenea clasa secţiunii transversale poate fi diferită pentru solicitarea de compresiune axială sau pentru solicitarea de încovoiere.
40
Fig. 4.1
Valorile limită ale supleţilor pereţilor comprimaţi sunt prezentate în tabelele 4.1. Toate clasele de secţiuni pot fi verificate în raport cu rezistenţa lor elastică, cu condiţia utilizării pentru Clasa 4 a caracteristicilor secţiunii transversale eficace.
Fig. 4.2. Modificarea clasei secţiunii prin rigidizarea inimii
41
Tabelul 4.1.a
INIMI (pereţi perpendiculari pe axa de încovoiere) şi TĂLPI (pereţi interiori paraleli cu axa de încovoiere)
CLASA Încovoiere Compresiune Încovoiere şi compresiune
Distribuţia
tensiunilor
(semnul “+” pt compresiune)
1 72t/c 33t/c
pentru :5,0 )113/(396t/c
pentru :5,0 /36t/c
2 83t/c 38t/c
pentru :5,0 )113/(456t/c
pentru :5,0
/5,41t/c
Distribuţia
tensiunilor
(semnul “+” pt compresiune)
3 124t/c 42t/c
pentru :1
)33,067,0/(42t/c
pentru :1
)()1(62t/c
fy (N/mm2) 235 275 355 420 460 yf/235
1 0,92 0,81 0,75 0,71
42
Tabelul 4.1.b
TĂLPI ÎN CONSOLĂ:
Talpa încovoiată şi comprimată
CLASA
Talpa comprimată
margine comprimată margine întinsă
Distribuţia tensiunilor
(semnul “+” pt compresiune)
1
9t/c
9
t/c
9t/c
2 10t/c
10
t/c
10t/c
Distribuţia tensiunilor
(semnul “+” pt compresiune)
3 14t/c f k21t/c f , k - coeficient de voalare
fy (N/mm2) 235 275 355 420 460 yf/235
1 0,92 0,81 0,75 0,71
4.3. Caracteristici ale secţiunilor eficace Calculul caracteristicilor secţiunilor eficace ale secţiunilor transversale de clasa 4 se bazează pe lăţimile eficace ale pereţilor comprimaţi. Lăţimile eficace ale pereţilor comprimaţi sunt definite în tabelul 4.2.a pentru pereţii interiori ai secţiunii şi în tabelul 4.2.b pentru pereţii în consolă. Coeficientul de reducere se determină astfel:
43
- pereţi interiori ai secţiunii:
0)3(unde,673.0pentru1
)3(055,0
673.0pentru1
p2p
p
p
(4.1.a)
- pereţi comprimaţi în consolă:
748.0pentru1
188,0
748.0pentru1
p2p
p
p
(4.1.b)
unde:
k4,28
t/bf p
cr
yp ;
yf
235
k - coeficientul de voalare, tabelul 4.2.a şi tabelul 4.2.b.
bp (notată şi cu b ) - lăţimea peretelui considerat, definită conform tabelelor pentru stabilirea clasei secţiunii transversale. Un calcul foarte exact ţine cont şi de grosimea cordoanelor de sudură, în cazul secţiunilor alcătuite sudat. În cazul pereţilor prevăzuţi cu rigidizări marginale, calculul se bazează pe ipoteza că rigidizarea lucrează ca o grindă pe mediu elastic, iar acest mediu elastic are o rigiditate tip resort care depinde de rigiditatea la încovoiere a pereţilor plani adiacenţi şi de condiţiile de margine ale peretelui respectiv. Axa neutră (trecând prin centrul de greutate) a secţiunii eficace se va decala cu o distanţă „e” faţă de cea a secţiunii brute şi se va ţine cont de momentul suplimentar NeNM , dacă secţiunea este supusă la efort axial (fig. 4.3). În practică această deplasare a axei neutre se poate neglija, ceea ce permite o evaluare mai rapidă a capacităţii portante, doar sub solicitarea de compresiune centrică, conducând la o uşoară supraestimare a capacităţii elementului.
Fig. 4.3
44
Tabelul 4.2.a
PEREŢI INTERIORI COMPRIMAŢI Distribuţia tensiunilor
(semnul “+” pt. compresiune) Lăţimea eficace
beff
eff2e
eff1e
peff
b5,0b
b5,0b
bb
: 1ψ
1eeff2e
eff1e
peff
bbb
5
b2b
bb
:0ψ1
eff2e
eff1e
pceff
b6,0b
b4,0b
1
bbb
:0ψ
12 / +1 1> >0 0 0> >-1 -1 -1 > > -3
Coeficientul de voalare
k 4,0
05,1
2,8 7,81 278,929,681,7 23,9 2)1(98,5
Alternativ, pentru 11 :
)1(])1(112,0)1[(
16k
5,022
45
Tabelul 4.2.b
PEREŢI COMPRIMAŢI ÎN CONSOLĂ Distribuţia tensiunilor
(semnul “+” pt compresiune) Lăţimea eficace
beff
peff bb
: 0ψ1
1
bbb
:0ψ
pceff
12 / +1 0 -1 11
Coeficientul de voalare k 0.43 0.57 0.85 207.021.057.0
peff bb
: 0ψ1
1
bbb
:0ψ
pceff
12 / +1 01 0 10 -1
Coeficientul de voalare k 0,43
34.0
578.0
1.70 21.17570.1 23.8
46
4.4. Exemplu numeric Să se stabilească clasa secţiunii şi caracteristicile efective, pentru secţiunea din figura E.1, bara fiind solicitată la încovoiere pură. Elementul este alcătuit din oţel S 355.
Fig. E.1
Oţel: S 355; 2y mm/N355f
81.0f/235 y
2g cm174A
45y cm10179.1I
44z cm10145.2I
66w cm1093.8I
3t.el.y cm2885W
3c.el.y cm5321W
Clasa secţiunii. Secţiunea efectivă Talpa superioară Talpa comprimată este alcătuită din două plăci în consolă, solicitate la compresiune uniformă, figura E.2.
43.0k
;1
Fig. E.2
4clasa34.111467.1318
2/8500
t
c
748.091.043.081.04.28
18/246
k4.28
t/bpp
mm21424687.0bb87.0188.0
peff2p
p
Inima Inima este o placă rezemată pe două laturi, solicitată la încovoiere, figura E.1.
197.197.1202
398
z
z111
1
22 5.034.0
600
202 ;
Observaţie: t.el.y
c.el.y
W
W
47
1Clasa7.85/36758
600
t
c
Secţiunea transversală a barei este Clasa 4 = max. [clasă talpă; clasă inimă].
Secţiunea efectivă pentru solicitarea de încovoiere este prezentată în figura E.3.
2eff cm5.162A
45eff.y cm10123.1I
44eff.z cm10513.1I
6w cm391.8I
3t.eff.y cm2854W
Fig. E.3
Observaţie: În cazul în care secţiunea transversală ar fi dublu simetrică, figura E.4, am avea:
1
44.100124758
600
t
c23.6783
Inima Clasa 3 Fig. E.4
48
5. STABILITATEA PLĂCILOR PLANE ÎN CONFORMITATE CU EC 3
5.1. Aspecte generale Plăcile rigidizate intră frecvent în alcătuirea elementelor şi structurilor de construcţii, acestea preluând atât acţiuni în planul plăcii, cât şi acţiuni normale pe palcă, figura 5.1.
Fig. 5.1
În proiectare se urmăreşte utilizarea la maxim a capacităţii portante a materialului prin utilizarea unor plăci cu zvelteţe ridicată, fiind susceptibile astfel fenomenului de voalare.
Dacă rigidizările se dispun ortogonal (rigidizări deschise sau închise), se realizează structurile de tip placă ortotropă, cu o largă utilizare în momentul actual, figura 5.2.
Fig. 5.2
Pentru determinarea stării de eforturi se pot utiliza ecuaţiile Navier, dar numai în cazul în care rigidizările sunt dese şi identice după cele două direcţii (placă izotropă), figura 5.3, respectiv atunci când rigiditatea plăcii ortotrope este egală faţă de cele două direcţii normale, situaţie foarte rar întâlnită în practică.
Fig. 5.3
5.2. Calculul plăcii rigidizate Plăci rigidizate longitudinal În cazul plăcilor prevăzute cu rigidizări longitudinale se va evalua:
- aria efectivă a subpanourilor în vederea verificării la flambaj local; - aria efectivă a întregii plăci rigidizate în vederea verificării la flambaj general. Aria efectivă a fiecărui subpanou se determină cu ajutorul coeficientului de reducere care ia
în considerare voalarea plăcilor plane, iar placa cu rigidizări se verifică la flambaj general prin modelarea acesteia cu o placă ortotropă echivalentă şi se va evalua un coeficient de reducere pentru flambajul general al plăcii.
Aria efectivă a zonei comprimate pentru placa rigidizată (fig. 5.4) se determină cu relaţia:
tbAA eff.edgeloc.eff.cceff.c (5.1)
49
unde aria efectivă a rigidizărilor şi subpanourilor - loc.eff.cA , se calculează cu relaţia:
c
loc.cloceff.slloc.eff.c tbAA (5.2)
unde:
- c
– se aplică componentelor plăcii rigidizate, cu excepţia părţilor eff.edgeb ;
- Asl.eff – suma ariilor efective a rigidizărilor longitudinale; - bc.loc – lăţimea plăcii fiecărui subpanou;
- loc – factorul de reducere pentru fiecare subpanou.
Fig. 5.4 Pentru determinarea factorului de reducere c , referitor la pierderea stabilităţii generale
(flambaj general) a plăcii rigidizate longitudinal, se are în vedere un factor de reducere care este mai mare decât factorul de reducere pentru voalarea plăcilor.
Factorul de reducere c , se va determina prin interpolare între factorul de reducere ,
pentru voalarea plăcilor şi factorul de reducere c , referitor la flambajul stâlpului.
Dacă efectul „shear lag” este relevant, aria efectivă eff.cA a zonei comprimate se va înlocui
cu *eff.cA , prin care se ţine seama, pe lângă voalare, şi de acest efect.
Comportarea tip placă
Zvelteţea relativă a plăcii, p , pentru placa echivalentă se determină cu relaţia:
p.cr
yc.Ap
f
(5.3)
unde: - c
loc.eff.cc.A A
A
- Ac – aria brută a zonei comprimate a plăcii rigidizate, cu excepţia subpanourilor marginale. Tensiunea elastică critică de voalare a plăcii ortotrope echivalente - p.cr , se determină cu
relaţia: Ep.p,cr k (5.4)
unde: - MPab
t000190
b)1(12
Et2
22
22
E
;
- p.k coeficientul de voalare a plăcii ortotrope;
- b (sau hw în cazul inimilor); t – grosimea plăcii, fig. 5.4 şi 5.5.
50
În funcţie de coeficientul de zvelteţe p , rezultă coeficientul de reducere pentru placa ortotropă echivalentă:
0)3(unde,673.0pentru1
)3(055,0
673.0pentru1
p2p
p
p
(5.5)
Plăci rigidizate cu cel puţin trei rigidizări longitudinale
Pentru plăci rigidizate cu cel puţin trei rigidizări longitudinale, egal distanţate, coeficientul de
voalare globală se poate aproxima cu relaţiile:
4
42
22
p.
:pentru11
14
:pentru11
112
k (5.6)
unde: 5.01
2
; p
s
I
I ; p
s
A
A ; 5.0
b
a
în care (figura 5.5 şi tabelul 5.1):
slI - momentul de inerţie al întregii plăci rigidizate;
92.10
bt
112
btI
3
2
3
p
- momentul de inerţie al plăcii;
sA - suma ariilor brute a rigidizărilor longitudinale;
Ap=b t - aria brută a plăcii;
1 - tensiunea maximă la marginea plăcii;
2 - tensiunea minimă la marginea plăcii. Tabelul 5.1
Lăţimea pentru aria brută
Lăţimea pentru aria eficace
Condiţia Pentru i
inf.1b 11
1 b5
3
eff,11
1 b5
3
0p,cr
1,sl,cr1
sup.2b 22
b5
2
eff,2
2
b5
2
01,sl,cr
22
inf.2b 22
2 b5
3
eff,22
2 b5
3
02
sup.3b c.3b4.0 eff.3.cb4.0 02
33
51
Fig. 5.5
Plăci rigidizate cu o rigidizare în zona comprimată În cazul plăcilor rigidizate cu o singură rigidizare longitudinală în zona comprimată, procedeul de calcul al tensiunii critice poate fi simplificat, considerând o bară fictivă pe mediu elastic pentru a lua în considerare efectul plăcii în direcţie perpendiculară pe bară. Efortul unitar critic de flambaj al rigidizării se determină cu relaţia:
c22
211.s
22
23
21.s
1.s2
c21
31.s
1.ss.cr
aa:pentrubbA14
abtE
aA
IE
aa:pentrubb
btI
A
E05.1
(5.7)
unde:
- 43
22
211.s
cbt
bbI33.4a ;
- Asl.1; Isl.1 – calculate cu o arie brută, considerând o conlucrare cu plăcile adiacente rigidizării (fig. 5.6), după cum urmează:
52
Dacă panoul este comprimat în întregime, zonele de conlucrare se vor lua:
22
11
1 b5
2respectiv,b
5
3
- spre zona cu tensiune maximă
Dacă efortul îşi schimbă semnul în panoul secundar (subpanou), se consideră o zonă egală cu 0.4 din lăţimea bc a porţiunii comprimate a panoului secundar (fig.5.6.c).
Fig. 5.6
Plăci rigidizate cu două rigidizări în zona comprimată În cazul plăcilor prevăzute cu două rigidizări longitudinale se aplică procedeul utilizat pentru placa cu o singură rigidizare longitudinală, considerând următoarele cazuri:
- flambajul pe rând a fiecărei rigidizări, în timp ce cealaltă rigidizare funcţionează ca un reazem rigid;
- flambajul simultan al celor două rigidizări prin considerarea unei rigidizări înlocuitoare a celor două, conform figurii 5.7.
Pentru fiecare situaţie se calculează p.cr , considerând:
*2
*1
*
*22
*11
bbBb
bb;bb
Fig. 5.7
Comportarea tip stâlp Efortul unitar critic elastic de flambaj de tip stâlp se va lua:
rigidizateplaciaA
IE
tenerigidizaplacia112
tE
21.s
1.s2
s.cr
22
22
c.cr
c.cr
(5.8)
Efortul critic s.cr se va calcula pentru rigidizarea cea mai apropiată de margine cu efort maxim de compresiune.
53
Zvelteţea relativă a stâlpului se evaluează cu relaţia:
rigidizateplacif
tenerigidizaplacif
c.cr
yc.A
c.cr
y
c (5.9)
unde: 1.s
eff.1.sc.A A
A
Factorul de reducere c se obţine conform flambajului barei drepte comprimate centric, considerând un factor de imperfecţiune astfel:
rigidizateplacie/i
09.0
tenerigidizaplaci21.0
'c
(5.10)
unde: - )e;e(maxe 21 - conform fig. 5.5;
-
)ccurba(deschiserigidizari49.0
)bcurba(inchiserigidizari34.0' ; 1.s
1.s
A
Ii
Interacţiunea între flambajul tip placă şi flambajul tip stâlp
Factorul global de reducere c , figura 5.7, se va obţine prin interpolare între c şi cu
ajutorul relaţiei: ccc 2 (5.11)
unde: 10;1c.cr
p.cr
Fig. 5.7
54
În figura 5.8 se prezintă sugestiv cele două moduri de comportare a rigidizării longitudinale – comportare tip placă şi comportarea tip stâlp.
Fig. 5.8
Deformaţii iniţiale ale unei plăci rigidizate [8]:
a) – deformaţia iniţială a rigidizării; b) – deformaţia iniţială locală a plăcii c) – imperfecţiuni locale ale rigidizării d) – deformaţia iniţială totală
55
6. PARAMETRII DE ZVELTEŢE
6.1. Prescripţii de proiectare În paragraful 7 din EN 1993-2: Stări limită ale exploatării normale, în §7.3: Limitarea eforturilor unitare, se precizează faptul că eforturile unitare nominale Ed,ser şi Ed,ser care rezultă din gruparea caracteristică de acţiuni, calculate ţinând seama de efectele lunecării în planul tălpilor precum şi de efectele de ordinul doi produse de deformaţii (de exemplu momentele de ordinul doi în elementele grinzilor cu zăbrele) se limitează după cum urmează:
ser,M
yser,Ed
f
;
ser,M
yser,Ed
3
f
(6.1.a,b)
ser,M
y2ser,Ed
2ser,Ed
f3
(6.2)
În conformitate cu §7.4: Limitarea respiraţiei inimilor, zvelteţea inimilor se limitează pentru a evita respiraţia excesivă care poate apare datorită fenomenului de oboseală în îmbinarea dintre inimă şi talpă şi în apropierea acesteia. Respiraţia plăcilor poate fi neglijată pentru panourile de inimi fără rigidizări longitudinale sau pentru subpanourile inimilor rigidizate dacă sunt îndeplinite criteriile următoare:
b/t 30 + 4,0 L 300 pentru poduri de şosea (6.3.a)
b/t 55 + 3,3 L 250 pentru poduri de cale ferată (6.3.b)
în care: L este deschiderea, dar nu mai mică de 20 m, exprimată în m. În cazul în care prevederea anterioară nu este îndeplinită, respiraţia inimii se verifică cu relaţia:
1.1k
1.1
k
2
E
ser,Ed,x2
E
ser,Ed,x
(6.4)
în care: - x,Ed,ser , Ed,ser sunt eforturi unitare obţinute în gruparea frecventă de acţiuni; - k şi k sunt coeficienţi de flambaj considerând marginile panoului articulate;
- ]mm/N[b
t000190
b
t
)1(12
E 222
2
2
E
;
- bp - este valoarea minimă dintre a şi b.
6.2. Parametrii de zvelteţe pentru placa solicitată la compresiune cu forfecare Placa solicitată la compresiune cu forfecare poate fi analizată simplificat prin descompunerea solicitării compuse în cele două componente de bază – o placă comprimată axial şi o placă solicitată la forfecare pură [8], figura 6.1. Pe măsură ce efortul axial creşte, distribuţia eforturilor unitare devine tot mai neuniformă datorită tendinţei de voalare a zonei centrale şi ca urmare rezultând o concentrare a tensiunilor spre laturile fixate, figura 6.2.b.
56
Reducerea rigidităţii tablei ca urmare a voalării, poate fi modelată cu ajutorul unei secţiuni transversale reduse, figura 6.2.c, denumită secţiune efectivă (eficace).
Fig.6.1. Descompunerea solicitării compuse în componente simple
Fig. 6.2. Evoluţia eforturilor unitare normale de compresiune Se admite că rezistenţa ultimă a plăcii se atinge atunci când max devine egal cu yf .
Pentru a determina lăţimea efectivă (eficace), effb , a plăcii în stare limită ultimă, se
utilizează ipoteza lui Von Karman, conform căreia tensiunea max corespunzând domeniului post-critic, este egală cu tensiunea critică elastică corespunzând lăţimii efective, respectiv este îndeplinită egalitatea: effcrmax )( ( 6.5) Având în vedere relaţia de evaluare a tensiunii critice:
2
p2
2
cr b
t
)1(12
Ek
(6.6)
rezultă: 2
eff
pcr
2
eff
p2
p2
2
effcrmax b
b
b
b
b
t
)1(12
Ek)(
(6.7)
La starea limită ultimă avem:
y
2
eff
pcreffcrmax f
b
b)(
(6.8)
Se obţine: 1fb
b
y
cr
p
eff
(6.9)
Coeficientul este denumit coeficient de reducere şi se poate exprima sub forma:
py
cr 1
f
(6.10)
Parametrul p : cr
yp
f
(6.11)
este definit ca fiind zvelteţea redusă de placă.
57
În figura 6.3 este prezentat
graficul b/beffp , pentru placa comprimată axial.
Fig. 6.3
Zvelteţea redusă 1p , corespunde unei zvelteţi a plăcii uniform comprimate, egală cu raportul între laturile plăcii, evaluată după cum urmează:
y2p
crcr
yp f
)t/b(
000190k1
f
; 0.4k
Rezultă: y
p
f
0001904
t
bs
( 6.12)
Rezultatele sunt prezentate în tabelul 6.1, în funcţie de marca (calitatea oţelului). Tabelul 6.1
S235 S275 S355 t/bs p 56.7 52.6 46.3
Coeficientul de reducere este unitar pentru o valoare p , determinată din condiţia:
p
eff
b
b 1
22.02p
p
Se obţine: 673.0p Având în vedere cele precizate anterior şi condiţiile de rezistenţă, rezultă faptul că, în cazul unei plăci plane solicitată la compresiune axială şi forfecare, trebuie să fie îndeplinite următoarele condiţii [8]: SLS (stări limită de serviciu sau ale exploatării normale):
1.1cr.x
ser.Ed.x
şi 1.1
1.1
cr
ser.Ed
(6.13.a,b)
ULS (stări limită ultime):
1/f 1My
Ed.x
şi 1
)3/(f 1Myw
Ed
(6.14.a,b)
Eforturile unitare din SLS, ser.Ed.x şi ser.Ed , pot fi puse sub forma:
Ed.xser.Ed.x K şi Edser.Ed K (6.15.a,b)
unde:
)v1(v
KQ
1
G
(6.16)
în care: - 1 - factorul de combinare pentru acţiuni frecvente;
- QG , - coeficientul acţiunilor permanente, respectiv utile;
58
- QG
Gv
; 10.11M .
Pentru o analiză globală se iau în calcul valorile parametrilor prezentate în tabelul 6.2. Tabelul 6.2
PODURI DE ŞOSEA PODURI DE CALE FERATĂ Coeficient Deschidere
mică Deschidere
mare Deschidere
mică Deschidere
mare
1 0.75 0.40 0.75 0.40
G 1.35 1.35 1.35 1.35
Q 1.35 1.35 1.45 1.45
v 0.50 0.40 0.30 0.20 K 0.65 0.47 0.58 0.37
Pentru placa uniform comprimată coeficientul de reducere are valoarea:
2p
p 22.0
(6.17)
Coeficientul de reducere w pentru placa solicitată la eforturi unitare tangenţiale (de
forfecare) pe contur, pentru mărimi curente ale zvelteţii reduse w , are valoarea:
w
w83.0
(6.18)
Cu aceste date, relaţiile (6.13.a,b) şi (6.14.a,b), se pot pune sub forma [8]: SLS (stări limită de serviciu sau ale exploatării normale):
11.1 cr.x
ser.Ed.x
şi 1
cr
ser.Ed
(6.19.a,b)
ULS (stări limită ultime):
1/fK 1My
ser.Ed.x
şi 1
)3/(fK 1Myw
ser.Ed
(6.20.a,b)
În continuare relaţiile (6.20.a,b) se pot aduce la forma:
11.1
E1.1fK
1.1
1.1
1.1
/fK cr.x
ser.Ed.x
cr.x
ser.Ed.x
y
1Mcr.x
cr.x
cr.x
1My
ser.Ed.x
(6.21.a)
1EfK
3
)3/(fK cr
ser.Ed
cr
ser.Ed
yw
1Mcr
cr
cr
1Myw
ser.Ed
(6.21.b)
unde: y
1Mcr.x
fK
1.1E
; yw
1Mcr
fK
3E
(6.22.a,b)
Se notează:
Fcr.x
ser.Ed.x
1.1
; Fcr
ser.Ed
(6.22.c,d)
Graficul funcţiei: 1FEf , respectiv 1FEf este prezentat In figura 6.4.
59
Fig. 6.4
Având în vedere relaţiile:
2p
ycr.x
cr.x
yp
ff
2w
y2w
y2
crcr
yw
f58.0f76.0f76.0
Rezultă:
)22.0(K
21.1E
p ;
wK
33.1E
(6.23.a,b)
Pentru satisfacerea simultană a inegalităţilor (6.19, 6.20, 6.21), şi având în vedere graficul din figura 6.4, în care F şi F sunt cel mult unitare, trebuie să fie îndeplinite condiţiile:
22.0K
21.11
)22.0(K
21.1E p
p
(6.24.a)
K
33.11
K
33.1E w
w
(6.24.b)
Cu ajutorul relaţiilor (6.24.a,b) se obţin zvelteţile reduse limită prezentate în tabelul 6.3. Tabelul 6.3
PODURI DE ŞOSEA PODURI DE CALE FERATĂ Coeficient Deschidere
mică Deschidere
mare Deschidere
mică Deschidere
mare K 0.65 0.47 0.58 0.37
p 2.08 2.79 2.30 3.49
w 2.05 2.83 2.29 3.59
Având în vedere relaţiile:
k4.28
t/bf p
cr.x
yp ; 4k (6.25.a)
t4.86
bf76.0
cr
yw (rigidizări transversale numai pe reazeme) (6.25.b)
Rezultă zvelteţile limită: pp 8.56t
b ; w4.86
t
b (6.26.a,b)
Pentru 1 - oţel S235, se obţin zvelteţile limită prezentate în tabelul 6.4. Tabelul 6.4
PODURI DE ŞOSEA PODURI DE CALE FERATĂ Coeficient Deschidere
mică Deschidere
mare Deschidere
mică Deschidere
mare
t/bp 118 158 131 198
b/t 177 245 198 310
60
6.3. Parametrii de zvelteţe pentru plăci solicitate la încovoiere cu forfecare Urmărind raţionamentul din cazul plăcii solicitate la compresiune cu forfecare, pentru cazul plăcii solicitată la încovoiere cu forfecare, descompunem solicitarea compusă în cele două solicitări pure – încovoiere şi forfecare, figura 6.5.
Fig.6.5. Descompunerea solicitării compuse în componente simple
Pentru placa încovoiată cu 1 , coeficientul de reducere are valoarea:
2p
p2p
p 11.0)3(055.0
(6.27)
unde:
k4.28
t/bf p
cr.x
yp ; 9.23k ;
2p
ycr.x
f
(6.28.a,b)
Rezultă: )11.0(K
21.1
fK
1.1E
py
1Mcr.x
(6.29)
Punând condiţia: 1E , rezultă: 11.0K
21.1p .
Pentru placa solicitată la încovoiere si forfecare se obţin zvelteţile reduse limită prezentate în tabelul 6.5. Tabelul 6.5
PODURI DE ŞOSEA PODURI DE CALE FERATĂ Coeficient Deschidere
mică Deschidere
mare Deschidere
mică Deschidere
mare
K 0.65 0.47 0.58 0.37
p 1.97 2.68 2.20 3.38
w 2.05 2.83 2.29 3.59
Având în vedere relaţia p , pentru solicitarea de încovoiere:
Se obţine: pp 8.138t
b (6.30)
Pentru 1 - oţel S235, se obţin zvelteţile limită prezentate în tabelul 6.6. Tabelul 6.6
PODURI DE ŞOSEA PODURI DE CALE FERATĂ Coeficient Deschidere
mică Deschidere
mare Deschidere
mică Deschidere
mare
t/bp 273 372 305 469
b/t 177 245 198 310
61
7. GRINZI PLANE CU INIMǍ PLINǍ. ALCǍTUIRE ŞI CALCUL DE REZISTENŢǍ
7.1. Aspecte generale. Secţiuni transversale Grinzile cu inimă plină se folosesc în mod curent în practica proiectării şi execuţiei construcţiilor şi podurilor metalice, având în vedere o serie de avantaje ale acestora:
- execuţie simplă şi rapidă; - posibilitatea utilizării sudării automate; - înălţime de construcţie relativ redusă; - posibilitatea realizării unor îmbinări de montaj simple şi în număr redus; - întreţinere simplă, prin suprafaţa redusă de control şi vopsire; - posibilitatea realizării unor soluţii estetice. Alături de solicitarea principală de încovoiere, în grinzi apar şi solicitări de forfecare şi
torsiune, la alcătuirea grinzilor trebuind să fie urmărite câteva principii de bază: - grinzile metalice se realizează în general de secţiune transversală dublu T, asigurându-
se o rigiditate mare la încovoiere; - inima grinzilor se alege de grosime mai mică decât cea a tălpilor, aportul acesteia la
asigurarea rezistenţei de ansamblu a elementului fiind mai redus; - pentru simplitatea execuţiei se recomandă ca grinzile cu inimă plină să se execute cu
înălţimea constantă a inimii pe toată lungimea lor, adaptarea secţiunii la variaţia solicitării de încovoiere urmând să se realizeze prin modificarea dimensiunilor tălpilor (lăţime, grosime, număr de platbande). Acest principiu nu se aplică, în general, la grinzile principale de poduri, unde datorită deschiderilor mari se recurge şi la variaţia înălţimii inimii pe lungime.
Alcătuirea secţiunii transversale a grinzilor depinde de următorii factori: - mărimea solicitărilor; - condiţiile tehnologice de exploatare şi întreţinere; - metoda de asamblare. Grinzile pot fi realizate în una din următoarele variante: - grinzi din profile laminate (I, U, T, L, grinzi cu goluri sau combinaţii între acestea ); - grinzi cu secţiune compusă solidarizate nituit; - grinzi cu secţiune compusă solidarizate sudat. La rândul lor grinzile cu secţiune compusă solidarizate nituit sau sudat pot fi realizate cu un
singur perete sau cu doi pereţi – cu talpa inferioară din două bucăţi (câte una pentru fiecare inimă), sau cu secţiunea complet închisă. În figurile 7.1.şi 7.2. sunt prezentate secţiuni compuse de grinzi cu inimă plină, asamblate nituit şi sudat.
Fig. 7.1. Secţiuni transversale de grinzi nituite
62
Fig. 7.2.Secţiuni transversale de grinzi sudate
7.2. Predimensionarea secţiunii grinzii Cu notaţiile din figura 7.3. predimensionarea grinzilor cu inimă plină se face astfel:
Fig. 7.3. Elemente geometrice
Înălţimea grinzii h
Înălţimea grinzii se alege pe baza următoarelor criterii: În raport cu deschiderea grinzii, funcţia pe care o îndeplineşte în
structură şi schema statică În funcţie de aceste elemente, pentru grinzile utilizate în structura podurilor metalice, se recomandă rapoartele h/L din tabelul 7.1.
Tabelul 7.1 Destinaţia
podului Elementul podului Sistemul static Raportul h/L
profil laminat 1/8 ÷ 1/12 Lonjeron secţiune
compusă 1/7 ÷ 1/10
pod deschis 1/6
Poduri de şosea sau C.F.
Antretoază pod închis
Simplu rezemat
1/8 Simplu rezemată 1/10 ÷ 1/16 Poduri de
şosea Grindă principală
Continuă 1/12 ÷ 1/30 Simplu rezemată 1/10
Poduri de C.F. Grindă principală Continuă 1/12
Criteriul economic, conform căruia consumul de oţel din grindă să fie minim:
63
3woptim W5,1h unde:
W
W
W t
h (7.1)
Pentru valori obişnuite , 150100w , rezultă:
3optim W6h (7.2)
Înălţimea grinzii se poate aprecia şi cu relaţia:
W
t
W1.1hoptim (7.3)
Criteriul de deformaţie Pentru grinzi simplu rezemate cu moment de inerţie constant, săgeata este :
hE24
Lf5
IE48
LM52
yd
b
2max
(7.4)
Punând condiţia la limită a şi înlocuind WfM ydmax ; h
I2W b
rezultă h:
Lf
L
E
f
24
5h
a
yd (7.5)
Pentru o anumită marcă de oţel şi o săgeată relativă admisibilă L/a se obţine valoarea înălţimii grinzii. Observaţii: - Pentru grinzi simplu rezemate cu moment de inerţie variabil săgeată se poate
calcula cu relaţia :b
2max
IE48
LM5.5
- Înălţimea inimii hw se va alege multiplu de 50 mm pentru h<1000 mm şi multiplu de 100 mm pentru h>1000 mm.
Grosimea inimii
din condiţia ca inima să preia forţa tăietoare maximă rezultă:
)3/f(h
Vt
ydw
maxw
(7.6)
din condiţia de zvelteţe a inimii (pentru grinzi „obişnuite”)
200100t
h
w
w (7.7.a)
Pentru grinzi principale de poduri zvelteţea inimii este mult mai ridicată, în mod obişnuit, se utilizează un raport cu valori:
500t
h200
w
w (7.7.b)
relaţii semiempirice:
mm)8]m[h2(tw (7.8.a)
mm])m[h37(tw (7.8.b)
]cm[h07,0tw (7.8.c)
yd
w fh577,0
Vt
(7.8.d)
Observaţie: Grosimi obişnuite tw = 8; 10; 12; 15; 18; (20) mm.
64
Dimensiunile tălpilor Cunoscând dimensiunile inimii, se pot determina dimensiunile tălpilor, din condiţia de rezistenţă la încovoiere a secţiunii grinzii. Momentul de inerţie necesar al grinzii este:
2
h
f
MI
yd
maxnec ;
2
f
3ww
necwnectalpi 2
hA2
12
htIIII
Rezultă: 2
wnecf
h
)II(2A
(7.9)
Cunoscând aria necesară a tălpii se determină dimensiunile b şi tf ale acesteia ţinând cont de următoarele condiţii:
h
5
1
3
1b ;
f
235t15c
t)32(t ;mm2tt
yf
wfwf
Se recomandă ca tălpile să fie cel mult Clasa 3, pentru ca întreaga secţiune să fie eficace. Observaţii: - b, tf – să fie cuprinse în sortimentul de tablă laminată;
- obişnuit: 12 mm < tf < 40 mm. Pentru predimensionarea grinzii se poate porni de la ipoteza simplificată că momentul încovoietor este preluat integral de tălpi, iar forţa tăietoare este preluată de inimă. Această ipoteză conduce la obţinerea rapidă a secţiunii iniţiale a grinzii, urmând ca în urma verificărilor de rezistenţă să fie eventual ajustată secţiunea aleasă.
7.3. Verificarea secţiunii grinzilor cu inimă plină
Rezistenţa secţiunilor transversale Încovoiere plană pură Momentul încovoietor de calcul trebuie să satisfacă condiţia:
0.1M
M
Rd.c
Ed (7.10)
Mc.Rd – rezistenţa de calcul la încovoiere (momentul capabil) se determină astfel:
italimtensiunipentruW
4clasatiunisecfW
3clasatiunisecfW
2si1clasetiunisecfW
M
0M
limmin.el
0M
ymin.eff
0M
ymin.el
0M
ypl
Rd.c (7.11)
- 1Mycitlim /f este efortul limită al celei mai slabe părţi a secţiunii transversale
supuse la compresiune (a se vedea §5) .
65
La calculul caracteristicilor secţiunii (W), se pot neglija găurile practicate în talpa întinsă pentru realizarea îmbinărilor, dacă este îndeplinită condiţia:
0M
yf
2M
unet.f fAf9.0A
(7.12)
Încovoiere plană cu forfecare (moment încovoietor şi forţă tăietoare) Prezenţa forţei tăietoare reduce rezistenţa de calcul la încovoiere a grinzii, însă pentru valori mici ale acesteia, respectiv sub 50% din valoarea rezistenţei plastice la forfecare, această reducere este nesemnificativă şi se neglijează. Dacă:
0M
yvRd.plRd.plEd
)3/f(AV:undeV5.0V
(7.13)
rezistenţa de calcul la încovoiere a grinzii se va micşora, prin evaluarea acesteia cu un efort unitar de calcul redus pe zona ariei de forfecare, la valoarea:
y'y f)1(f (7.14)
unde:
2
Rd.pl
Ed 1V
V2
(7.15)
Pentru secţiuni dublu T simetrice solicitate la încovoiere plană cu forfecare, momentul rezistent plastic al secţiunii se poate evalua cu relaţia:
0M
yw
2w
pl
Rd.V
ft4
AW
M
dar: Rd.cRd.V MM (7.16)
Moment încovoietor cu forţă axială Secţiuni transversale din Clasele 1 şi 2 Pentru secţiunile transversale din clasele 1 sau 2, criteriul de verificare la încovoiere cu forţă axială (în absenţa forţei tăietoare sau când Rd.plEd V5.0V ) este:
Rd.NEd MM (7.17) unde: MN.Rd – momentul încovoietor rezistent de calcul, în prezenţa forţei axiale.
Pentru o tolă fără găuri pentru mijloace de îmbinare, MN.Rd este dat de relaţia:
2
Rd.pl
EdRd.plRd.N N
N1MM (7.18)
şi criteriul (7.17) devine: 0.1N
N
M
M2
Rd.pl
Ed
Rd.pl
Ed
(7.19)
Pentru secţiuni dublu simetrice de tip I şi H, se poate neglija efectul forţei axiale asupra momentului rezistent plastic în raport cu axa y-y dacă sunt satisfăcute simultan condiţiile:
0M
yww
Rd.pl
Ed fth5.0
N25.0
N (7.20)
66
Pentru secţiuni dublu simetrice de tip I şi H laminate, respectiv I şi H cu tălpi egale, alcătuite sudat, fără găuri pentru mijloace de îmbinare, se pot folosi următoarele aproximări:
Rd.y.plRd.y.NRd.y.plRd.y.N MMdara5.01
n1MM
(7.21.a)
an:pentru
a1
an1M
an:pentruM
M 2
Rd.z.pl
Rd.z.pl
Rd.z.N (7.21.b)
unde: Rd.pl
Ed
N
Nn ; 5.0adar
A
bt2Aa f
În cazul ţevilor rectangulare laminate şi în cazul secţiunilor casetate dreptunghiulare sudate, cu tălpi şi respectiv inimi identice, se pot folosi aproximările:
Rd.y.plRd.y.Nw
Rd.y.plRd.y.N MMdara5.01
n1MM
(7.22.a)
Rd.z.plRd.z.Nf
Rd.z.plRd.z.N MMdara5.01
n1MM
(7.22.b)
unde:
sudatchesonpentruA/bt2A
gularetanrectevipentruA/bt2Aa
fw 5.0aw (7.23.a)
sudatchesonpentruA/ht2A
gularetanrectevipentruA/ht2Aa
wf 5.0af (7.23.b)
Secţiuni transversale Clasa 3 Se verifică condiţia:
0M
y
0M
limEd.x
f
(7.24)
unde eforturile unitare normale Ed.x se evaluează din momentul încovoietor şi forţa axială, iar
lim se determină prin metoda tensiunilor reduse.
Secţiuni transversale Clasa 4 În absenţa forţei tăietoare, efortul unitar longitudinal maxim Ed.x , calculat cu secţiunea efectivă, din acţiunea momentului încovoietor şi a forţei axiale, trebuie să verifice condiţia:
0M
yEd.x
f
(7.25)
Se va verifica următorul criteriu:
1/fW
eNM
/fW
eNM
/fA
N
0Mymin.z.eff
NzEdEd.z
0Mymin.y.eff
NyEdEd.y
0Myeff
Ed
(7.26)
unde: - Aeff – aria efectivă a secţiunii transversale, calculată numai pentru acţiunea forţei de
compresiune; - Weff.min – modulul de rezistenţă efectiv, calculat pentru secţiunea solicitată numai la
încovoiere; - eN – deplasarea centrului de greutate a secţiunii din acţiunea efortului de compresiune.
67
Moment încovoietor, forţă tăietoare si forţă axială Dacă: Rd.plEd V5.0V , (7.27)
rezistenţa secţiunii transversale se determină considerând, pe aria de forfecare, un efort de calcul redus la valoarea:
y'y f)1(f (7.28)
Rezistenţa secţiunii la forfecare Forţa tăietoare de calcul trebuie să satisfacă în fiecare secţiune transversală relaţia:
0.1V
V
Rd.c
Ed (7.29)
unde Rd.cV este rezistenţa de calcul la forfecare, care se consideră astfel:
)elasticcalculin(forfecarelaelasticacalculderezistenta
)plasticcalculin(
forfecarelaplasticacalculderezistenta3/fA
V
V0M
yvRd.pl
Rd.c (7.30)
Aria de forfecare se consideră astfel, figura 7.4: - wwfwf tht)r2t(bt2A - secţiuni laminate I şi H – încărcare paralelă cu inima;
- fwf t)rt(bt2A - secţiuni U laminate – încărcare paralelă cu inima;
- fbtA9.0 - secţiuni T laminate – încărcare paralelă cu inima;
- wwth - secţiuni sudate I, H şi casetate – încărcare paralelă cu inima;
- A wwth - secţiuni sudate I, H şi casetate – încărcare paralelă cu tălpile;
- )hb(/Ah - secţiuni tubulare rectangulare – încărcare paralelă cu inimile; - )hb(/Ab - secţiuni tubulare rectangulare – încărcare paralelă cu tălpile; - /A2 - secţiuni circulare. Valoarea se poate considera acoperitor egală cu 1.0 (a se vedea calculul la stabilitate locală a inimii grinzilor). Pentru verificarea rezistenţei de calcul elastice la forfecare se aplică relaţia:
0.1)3/(f 0My
Ed
(7.31)
Efortul tangenţial Ed se obţine din relaţia Juravski:
w
EdEd tI
SV
(7.32)
Pentru secţiuni I şi H, efortul unitar tangenţial în inimă se poate evalua cu relaţia:
6.0A/ApentruA
Vwf
w
EdEd (7.33)
Verificarea în stadiul elastic este acoperitoare şi exclude plastifieri parţiale din forfecare. Pentru inimă fără rigidizări transversale intermediare se va verifica rezistenţa la voalare dacă este îndeplinită condiţia : /72t/h ww .
68
Fig. 7.4 Rezistenţa la acţiunea forţelor concentrate conform EC 3
Dacǎ grinda cu inima plină este solicitată simultan la o forţă concentrată transversală, care
acţionează asupra tălpii comprimate şi la un moment încovoietor, rezistenţa secţiunii se verifică cu relaţia:
4,18,0 21 (7.34)
unde: 1z)/f(I
M
f ws0Myweff.y
Ed
yd
Ed.x1
; 1
tL/f
F
f weff1Myw
dE
ywd
dE.z2
(7.35.a, b)
în care: MEd – momentul încovoietor de calcul; eff.yI – momentul de inerţie efectiv;
FEd – forţa transversală de calcul; y – lungimea încărcată efectiv (eficace);
Leff – lungimea efectivă (eficace) pentru rezistenţa la forţe transversale.
Lungimea efectivă pentru rezistenţa la forţe transversale se determină cu relaţia: Leff = yF (7.36)
69
unde: 15,0
FF
;
cr
ywwyF
F
ft ;
w
3w
Fcr h
tEk9,0F (7.37.a, b, c)
Coeficientul kF este funcţie de tipul de aplicare a încărcării, astfel:
2
wF a
h26k
- pentru forţe aplicate printr-o talpă şi preluate prin rezistenţa
la forfecare a inimii, figura 7.5.a;
2
wF a
h25,3k
- pentru forţe aplicate printr-o talpă şi transferate prin inimă
la cealaltă talpă, figura 7.5.b.
Fig. 7.5. Încărcări locale
concentrate
Lungimea încărcată efectiv (eficace), y , se calculează cu relaţia:
21fy mm1t2s < a (7.38)
unde: wyw
fyf1 tf
bfm ;
5,0 dacã 0
5,0 dacã t
h02,0
m
F
F
2
w
w
2 (7.39.a, b)
În cazul panourilor prevăzute cu rigidizări longitudinale, coeficientul Fk se majorează conform relaţiei:
s1
2w
F 21.0a
b44.5
a
h26k
(7.40)
unde: -
a
b3.0210
h
a13
th
I9.10 1
3
w3ww
1.ss
; 3.0a
b05.0 1 şi 3.0
h
b
w
1
- 1.sI - momentul de inerţie al rigidizării celei mai apropiate de talpa încărcată, incluzând
contribuţia inimii de wt15 , de fiecare parte;
- 1b - înălţimea panoului secundar supus încărcării. În figura 7.6 se prezintă influenţa rigidităţii rigidizării asupra deformării inimii sub acţiunea forţei concentrate.
Fig. 7.6
70
Verificarea efortului unitar echivalent conform EC 3 În cazul grinzilor cu inimă plină, se verifică efortul unitar echivalent la nivelul legăturii dintre talpa superioară şi inimă, unde se cumulează efectul eforturilor unitare normale longitudinale
x (din M), ale eforturilor normale verticale, din acţiunea forţei concentrate, z , şi ale eforturilor unitare tangenţiale produse de forţa tăietoare, . Pentru verificarea elastică se va utiliza criteriul de curgere dat de relaţia:
0.1/f
3/f/f/f/f
2
0My
Ed
0My
Ed.z
0My
Ed.x
2
0My
Ed.z
2
0My
Ed.x
(7.41)
Efortul unitar normal longitudinal x :
wseff.y
EdEd.x z
I
M (7.42)
Efortul unitar normal vertical z :
Calculul se efectuează în conformitate cu EC 3-1-5, pct.3.2.3, efortul unitar z , având distribuţia prezentată în figura 7.7 , fiind dat de relaţia :
l.stweff
Ed.zEd.z atb
F
(7.43)
unde: - 2
eeeff ns
z1sb
;
w
l.st
t
a878.01636.0n ; fse t2ss
- ast.l = aria rigidizărilor / distanţa dintre rigidizări.
Fig. 7.7
Efortul unitar tangenţial:
w
EdEd A
V (7.44)
Rezistenţa la flambaj vertical
al tălpii comprimate în planul inimii
Sub acţiunea încărcărilor exterioare se produce încovoierea grinzii, iar rezultanta eforturilor unitare în tălpi produce un efort unitar de compresiune σn , uniform distribuit pe laturile inimii, figura 7.8.
71
Deplasarea bruscă a tălpii comprimate
către inimǎ este cunoscută sub denumirea de flambaj vertical, fenomenul fiind important în ceea ce priveşte siguranţa în exploatare a grinzilor cu inimă plină.
Fig. 7.8
Datorită necunoaşterii precise a rigidităţii mediului de rezemare alcătuit din inima
deformată, o analiză exactă a acestei probleme nu este practic posibilă, însă o valoare aproximativă a rezistenţei inimii se poate obţine presupunând că ea lucrează ca un stâlp dublu articulat de lungime hw. Forţa critică de flambaj vertical
Dacă se consideră o porţiune de grindă de lungime dx, figura 7.8, forţa radială de
compresiune care apare după deformarea grinzii din încovoiere, va fi:
dx
2
1A2R ff (7.45)
Înlocuind : w
t
h2
1
şi σt = fy , se obţine:
dxtAE
Af2
hE
dxAf2R w
w
f2y
w
f2y
(7.46)
Flambajul vertical al grinzii nu se va produce dacă forţa de compresiune R este mai mică decât forţa de compresiune critică a „barei comprimate” de lungime hw şi secţiune tw dx , respectiv:
dxt
th
112
Edxt
AE
Af2w2
w
w2
2
ww
f2y
(7.47)
Se obţine condiţia de a nu se produce flambajul vertical al inimii, exprimată în zvelteţea limită admisă:
f
w
yw
w
A
A
f
Ek
t
hs
(7.48)
unde: 67,0124
k2
2
, pentru μ = 0,3
Observaţie: Pentru cazurile obişnuite această condiţie nu este restrictivă, valoarea s rezultând mare.
72
Flambajul vertical în conformitate cu normativul EC 3:1-5
Pentru a preveni flambajul tălpii comprimate în planul inimii, raportul hw/tw al inimii trebuie să satisfacă criteriul:
fc
w
yfw
w
A
A
f
Ek
t
h
(7.49)
unde: Aw – aria inimii; Afc – aria tălpii comprimate; fyf – limita de curgere a oţelului din talpă. Valoarea coeficientului k se consideră astfel: - k = 0,3 - dacă se foloseşte procedeul articulaţiilor plastice (tălpi clasa 1); - k = 0,4 - dacă se foloseşte momentul plastic rezistent (tălpi clasa 2); - k = 0,55 - dacă se foloseşte momentul elastic rezistent (tălpi clasa 3 sau 4). Dacă grinda este curbă în elevaţie, cu talpa comprimată pe faţa concavă, supleţea inimii
rezultă din relaţia:
yf
w
fc
w
yf
w
w
fr3
Eh1
A
A
f
Ek
t
h
, r este raza de curbură a tălpii comprimate. (7.50)
Observaţii: Flambajul vertical al grinzilor cu inimă plină, respectiv flambajul tălpii comprimate în planul inimii, este un
fenomen de care trebuie să se ţină cont în cazul grinzilor cu inimă plină fără rigidizări transversale şi longitudinale. Condiţiile privind limitarea supleţii inimii nu sunt însă severe nici atunci când se ţine cont de influenţa tensiunilor reziduale din sudare, daca la talpa superioară (comprimată) a grinzii, nu se aplică încărcări concentrate. În cazul încărcărilor cu forţe concentrate, condiţia de neproducere a flambajului vertical este deosebit de severă, motiv pentru care se recomandă ca cel puţin în dreptul zonelor de aplicare ale acestora, grinda să fie prevăzută cu rigidizări transversale.
7.4. Metodă de evaluare a rezistenţei la încovoiere a grinzii prevăzută cu o rigidizare longitudinală Dispunerea unei rigidizări longitudinale în zona comprimată, figura 7.9, poate avea un efect favorabil în ceea ce priveşte rezistenţa la încovoiere a grinzii prin reducerea zonei inactive a inimii, soluţie mult mai economică comparativ cu mărirea grosimii inimii. Creşterea capacităţii portante este mai importantă dacă se are în vedere aportul rigidizării longitudinale la majorarea modulului de rezistenţă al secţiunii grinzii. Rigidizarea longitudinală se consideră o bară comprimată pe mediu elastic (inima grinzii), având secţiunea alcătuită din rigidizarea longitudinală propriu-zisă şi zonele de conlucrare ale celor două panouri adiacente acesteia, evaluate conform figurii 7.9.c (atunci când tensiunile din panoul inferior îşi schimbă semnul). Pentru calculul capacităţii portante a grinzii prevăzută cu o rigidizare longitudinală în zona comprimată se propune următorul algoritm:
1. Se determină factorul global de reducere c , obţinut prin interpolare între c şi din
interacţiunea între flambajul tip placă şi flambajul tip stâlp (a se vedea Stabilitatea plăcilor plane - §5), cu ajutorul relaţiei:
ccc 2 (7.51)
73
Se determină capacitatea portantă a rigidizării longitudinale ca bară comprimată pe mediu elastic, necesară pentru verificarea rigidizărilor transversale:
1M
yeff.1.scRd.c
fAN
(7.52)
Fig. 7.9 Dacă se cunoaşte momentul încovoietor, se verifică tensiunea medie în dreptul rigidizării
Ed.com , să nu depăşească valoarea 1Mycydc /ff (a se vedea EN 1993-1-5, Anexa A -
§A.2.1(4)), respectiv: ydcEd.com f (7.53)
unde: c.rigid.rigideff
EdEd.com bz;z
I
M
Momentul încovoietor capabil al grinzii se poate determina punând condiţia ca, în dreptul rigidizării longitudinale, să nu fie depăşită tensiunea ydc1Myc f/f , astfel:
Subpanoul superior Clasa 1 sau Clasa 2:
Considerând distribuţia eforturilor unitare dată în figura 7.10, în care tensiunea în dreptul rigidizării longitudinale se limitează la valoarea ydc1Myc f/f , rezultă zone cu o comportare
în domeniul plastic. În acest caz rezultă:
0M
y)2(plelr
Rd.c
fWM
unde: 6
htdAdAW
2el.ww
pl.wpl.wff)2(plel
În această situaţie, momentul capabil obţinut va fi cuprins între limitele:
pl.elRd.c
rRd.c
elRd.c MMM
în care: 0M
ymin.elelRd.c
fWM
;
0M
y)1(plelplel
Rd.c
fWM
(corespunzător diagramei (1) din figura 7.10).
74
Fig. 7.10
Subpanoul superior Clasa 3 sau Clasa 4: Rezistenţa la încovoiere a secţiunii se poate evalua cu relaţia:
1Mc1Rd.c
1Mc1Rd.crRd.c /:pentruMK
/:pentruMM (7.54)
unde: - Rd.cM este momentul capabil al grinzii considerând rigidizarea longitudinală perfect rigidă; - K– coeficient de reducere, determinat astfel încât în dreptul rigidizării să nu fie depăşită tensiunea ydc1Myc f/f :
0M
ymin).eff.(elRd.c
fWM
(a);
1M1
c
y
/y 1
f
fK
(b) (7.55.a,b)
Relaţiile de calcul rezultă din diagramele prezentate în figura 7.11.
Fig. 7.11
75
În cazul în care panoul superior este Clasa 3 sau 4, pentru eficientizarea secţiunii se recomandă să rezulte 11Mc / . În toate cazurile, un efect favorabil asupra rezistenţei la încovoiere a grinzii o are considerarea rigidizării longitudinale ca parte activă a secţiunii transversale a grinzii, în acest caz fiind necesar ca rigidizarea longitudinală sa fie îmbinată corespunzător cu rigidizările transversale.
7.5. Verificarea condiţiei de rigiditate Calculul deformaţiei verticale În cazul grinzilor drepte, cu secţiunea constantă, pentru încărcări curente, săgeata maximă se calculează cu relaţiile stabilite la “Rezistenţa materialelor”. În cazul unor scheme statice nedeterminate (grinzi continue) şi la grinzile cu secţiune variabilă, săgeata se calculează cu metoda grinzilor conjugate sau cu metoda Mohr-Maxwell (recomandată), după care, deformaţia maximă se determină cu relaţia:
dxI
ImM
IE
1 L
0
c
c
(7.56)
în care: M – momentul încovoietor produs de încărcarea reală de pe grindă;
m – momentul încovoietor produs de o încărcare unitară fictivă 1P , aplicată în punctul în care se calculează săgeata şi după direcţia săgeţii;
cI – momentul de inerţie de referinţă ( minI sau maxI ). Pentru simplificarea calculului de integrare a suprafeţelor se folosesc relaţiile
Vereşceaghin. În cazul grinzilor drepte simplu rezemate, cu secţiune variabilă, săgeata se poate calcula în
mod aproximativ cu relaţiile de la grinda cu secţiune constantă, majorând valorile cu 10 %. În cazul grinzilor continue, cu secţiune constantă, încărcate oarecum (cu forţe concentrate
sau distribuite), săgeata maximă la mijlocul unui panou se determină cu relaţia: r0max (7.57)
unde:
0 - săgeata unei grinzi simplu rezemate, cu deschiderea egală cu deschiderea panoului
unde se verifică săgeata, încărcată astfel încât MAX0 ;
r - săgeata aceleiaşi grinzi simplu rezemate, solicitată de momentele negative de pe reazemele alăturate, calculate în aceleaşi ipoteze de încărcare.
În lipsa unui calcul exact, săgeata maximă pentru o grindă cu secţiune constantă, max , poate fi calculată cu relaţia acoperitoare:
b
2
med.rmax
max IE8
LM
2.1
M
(7.58)
unde (fig. 7.12): maxM - momentul încovoietor maxim pe grinda simplu rezemată (deschidere L);
2
MMM d.rst.r
med.r
- media aritmetică a momentelor încovoietoare de pe cele
două reazeme adiacente deschiderii L.
Fig. 7.12. Momente încovoietoare pentru calculul săgeţii
76
Deformaţii limită – norme române
Deoarece euronormele nu prezintă detaliat săgeţile limită pentru diferite elemente constitutive ale suprastructurii, se consideră utilă şi prezentarea după normele române.
Verificarea rigidităţii grinzilor încovoiate se face în secţiunea unde deformaţiile sunt maxime, considerând că grinda lucrează în domeniul elastic.
La calculul deformaţiilor se iau în calcul numai acţiunile normate, fără a fi multiplicate cu coeficienţi dinamici .
Condiţia de rigiditate este asigurată dacă este îndeplinită condiţia: amax (7.59)
unde: max - săgeata maximă a grinzii, calculată cu secţiunea brută;
a - săgeata admisibilă a elementului, tabelul 7.2 şi tabelul 7.3. PODURI METALICE DE ŞOSEA Tabelul 7.2
Nr. crt. Elementul de construcţie Săgeata admisibilă a1. Grinzile trotuarului L/300
L/500 2.
Grinzile căii sub acţiunea: a) autovehiculelor cu şenile b) autocamioanelor L/600
L/600 3.
Grinzi principale cu inimă plină sub acţiunea: a) vehiculelor cu şenile b) autocamioanelor L/700
4. Poduri combinate L/500 5. Sisteme suspendate (suma săgeţilor) L/600 6. Sisteme suspendate combinate (suma săgeţilor) L/600
7. Deformaţia în plan orizontal a suprastructurii podurilor de şosea şi cale ferată
L/5000
PODURI METALICE DE CALE FERATǍ Tabelul 7.3
Stări limită de serviciu – euronorme In conformitate cu EN 1990. Anexa A2, se vor efectua verificări privind:
- starea de serviciu privind deformaţia şi vibraţia podurilor rutiere; - vibraţia pasarelei sub traficul pietonal; - starea de serviciu privind deformaţia şi vibraţia podurilor feroviare:
acceleraţia verticală a tablierului;
77
răsucirea tablierului; deformaţia orizontală; deformaţia verticală: 600/Lmax
Din condiţia de confort de circulaţie ”foarte bun”, săgeata verticală maximă, pentru elementele în lungul căii, este dată în EN 1990 - Anexa A2, pentru grinzi cu 3 sau mai mult de 3 deschideri simplu rezemate (figura 7.13). Deformaţia verticală se calculează din acţiunea convoiului LM 71, pentru 1i , luând în considerare coeficientul dinamic .
Fig. 7.13
Raportul /L admisibil, în funcţie de viteză, rezultat din figura 7.13, se multiplică cu 0.9 pentru grinzi continue şi cu 0.7 pentru o grindă simplu rezemată sau 2 grinzi simplu rezemate succesive .
7.6. Exemple numerice E1. Rezistenţa la acţiunea forţei concentrate
Se verifică rezistenţa în stadiul limită ultim pentru inima unei grinzi metalice având secţiunea transversală dată în figura E1.1. Grinda este solicitată la o forţă concentrată FEd=150 kN şi un moment încovoietor MEd=540 kNm.
Material:
Oţel S 235: 2y mm/N235f
Caracteristicile secţiunii:
Iy = 132 283 cm4
3g cm3575WW
Fig. E1.1
78
Clasa secţiunii transversale:
talpa: 995.420
90
t
c
f
secţiune Clasa 1
inima: 72727010
700
t
d
w
Secţiunea transversală fiind încadrată în Clasa 1, rezistenţa secţiunii se determină luând în
considerare caracteristicile secţiunii brute. Se calculează termenii care intervin în relaţiile de calcul:
2
wF a
h26k
53.7
80
7026
2
w
3w
Fcr h
tEk9,0F daN 310 203
70
1101.253.79.0
36
wyw
fyf1 tf
bfm 20
1235
20235
; 981
7002.0
t
h02.0m
22
w
w2
21fy mm1t2s cm57982012210
cr
ywwyF
F
ftl 81.0
310 203
2350157
;
FF
5,0
62.0
81.0
5,0
Rezultă lungimea efectiva de rezistenţă: Leff = yF cm 355762.0 .
Se calculează η1 la nivelul de legătură talpă - inimă şi η2:
1z)/f(I
M
f ws0Myeff.y
Ed
yd
xEd1
; 161.035
)0.1/2350(283 132
10540 4
1
1tL)/f(
F
f weff1My
dE
yd
dzE2
; 120.0
135)1.1/2350(
150002
Se verifică relaţia privind rezistenţa inimii solicitată la încovoiere şi forţă concentrată: 4.169.020.061.08.08.0 21
E2. Analiză numerică comparativă Să se analizeze comparativ rezistenţa la încovoiere pură a unei grinzi cu inimă plină, realizată în următoarele variante constructive:
Cazul 1: Grinda fără rigidizări; Cazul 2: Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală în zona comprimată, infinit rigidă; Cazul 3: Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală flexibilă în zona comprimată, fără ca
aceasta să fie considerată parte a secţiunii transversale a grinzii; Cazul 4: Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală flexibilă în zona comprimată,
aceasta fiind considerată parte a secţiunii transversale a grinzii; Cazul 5: Grinda lucrând în domeniul integral plastic (mai multe rigidizări longitudinale).
79
Date de proiectare:
Secţiunea transversală a grinzii, figura E2.1;
Fig. E2.1
Grinda este prevăzută cu rigidizări transversale la distanţa de 2500 mm, suficient de rigide pentru a crea linii nodale pentru inima voalată şi reazeme nedeplasabile pentru rigidizarea longitudinală, în cazul considerării comportării tip „stâlp”;
Oţel S355 pentru toate elementele grinzii. Cazul 1: Grinda fără rigidizări Clasa secţiunii:
Talpa comprimată: 34.1181.014146.1030
2/)12650(
t
c
f
talpa Clasa 3
Inima : 44.10081.01241247.21612
2600
t
c
w
inima Clasa 4
Clasa secţiunii =max. [clasa inimii; clasa tălpii comprimate] = 4.
Secţiunea eficace şi distribuţia eforturilor unitare este prezentată în figura E2.2.
Fig. E2.2
80
Rezultă rezistenţa de calcul la încovoiere pentru grinda nerigidizată:
kNm05420100.1
355049056fWM 4
0M
y.nerig.gr
min.eff.nerig.grRd.c
Cazul 2: Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală infinit rigidă în zona comprimată Rigidizarea longitudinală se dispune înspre mijlocul zonei inactive, respectiv la 600 mm sub talpa comprimată, la o distanţă de 0.23·b (fig. E2.3). Prin dispunerea rigidizării longitudinale înălţimea inimii este divizată în două subpanouri având laturile mm600b1 (subpanoul 1) şi mm2000b2 (subpanoul 2), figura E2.3.a.
Fig. E2.3
Clasa secţiunii Subpanoul 1:
Subpanoul superior de inimă este o placă comprimată neuniform, rezemată pe două laturi, figura E2.4.
4Clasa1.40)54.033.067.0/(81.042
)33.067.0/(422.4912
590
t
b
w
1
Fig. E2.4
154.01300
7000 16.5
54.005.1
2.8
05.1
2.8k
673.094.016.581.04.28
12/590
k4,28
t/bpp
84.094.0
)54.03(055.094.0)3(055,022
p
p
81
mm49659084.0bb peff ;
mm22254.05
4962
5
b2b eff
1e
; mm274222496bb 2eeff.inf.1
Subpanoul 2:
8.16512
1990
t
b
w
2 ; 186.1700
1300;5.035.0
2000
700
88.195)1(628.16596/5.41 subpanoul Clasa 3. Prin urmare subpanoul superior este Clasa 4, iar subpanoul inferior este Clasa 3. Secţiunea eficace a grinzii şi caracteristicile de rezistenţă sunt prezentate în figura E2.5.
Fig. E2.5
Rezultă momentul capabil al secţiunii rigidizate (rezistenţa la încovoiere):
mkN09022100.1
355010222.6fWM 4
4
0M
y.rigmin.effr
Rd.c
Cazul 3: Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală flexibilă în zona comprimată, fără ca aceasta să fie considerată parte a secţiunii transversale a grinzii Rigidizarea longitudinală se realizează din două platbande dispuse pe o parte şi pe alta a inimii, cu dimensiunile de 200x20 mm, figura E2.6.
Fig. E2.6
82
Clasele secţiunii părţilor componente sunt următoarele: - subpanoul 1 (superior) – Clasa 4; - subpanoul 2 (inferior) – Clasa 3; - platbandele rigidizărilor:
3Clasa34.1181.014141020
200
t
c
Secţiunea rigidizării, brută şi efectivă este prezentată în figura E2.7.
Fig. E2.7
Se obţin următoarele valori numerice: Comportare tip placă:
- lungimea teoretică de flambaj:
43
22
21s
cbt
bbI33.4a cm250acm7.384
2602.1
200601166433.4 4
3
22
- tensiunea critică de flambaj pentru caa :
2
22
236
2
62
22
21sl
22
23
2s
s2
p.cr
cm/daN29425200602.1539.35
2502602.1101.2
2502.153
66411101.2
bbA14
abtE
aA
IE
- zvelteţea relativă a plăcii echivalente:
p.cr
yc.Ap
f
1673.036.0
29425
355096.0
; 96.0
2.153
7.147
A
A
s
eff.sc.A
Comportare tip stâlp - efortul unitar critic elastic:
22
62
2s
s2
c.cr cm/daN222252502.153
11664101.2
aA
EI
- zvelteţea relativă a stâlpului:
c.cr
yc.Ac
f
91.037.0
22225
355096.0c
(curba c)
83
- factorul global de reducere c :
91.091.001)91.01(2 ccc ; 0125222
25294
c.cr
p.cr
Este îndeplinită condiţia: 83.0/51.0 1Mc1 (relaţia 7.54). Momentul încovoietor capabil al grinzii (rezistenţa la încovoiere) va fi:
mkN09022MM rRd.c
rRd.c
Cazul 4: Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală în zona comprimată, aceasta fiind considerată parte a secţiunii transversale a grinzii Rigidizările longitudinale cu secţiunea de 200x20 mm sunt considerate parte a secţiunii transversale a grinzii, figura E2.8.
Fig. E2.8
Clasa secţiunii Subpanoul 1: Subpanoul superior de inimă este o placă comprimată neuniform, rezemată pe două laturi.
4Clasa58.40)51.033.067.0/(81.042
)33.067.0/(422.4912
590
t
b
w
1
151.01228
6280 26.5
51.005.1
2.8
05.1
2.8k
673.093.026.581.04.28
12/590
k4,28
t/bpp
85.093.0
)51.03(055.093.0)3(055,022
p
p
mm50259085.0bb peff ;
84
mm22451.05
5022
5
b2b eff
1e
; mm278224502b 2e
Subpanoul 2:
8.16512
1990
t
b
w
2 ; 118.2628
1372;5.0314.0
2000
628
8.235)1(628.165107/5.41 subpanoul Clasa 3. Prin urmare subpanoul superior este Clasa 4, iar subpanoul inferior este Clasa 3. Secţiunea eficace a grinzii şi caracteristicile de rezistenţă sunt prezentate în figura E2.9.
Fig. E2.9
Rezultă momentul capabil al secţiunii rigidizate (rezistenţa la încovoiere):
mkN38622100.1
355010306.6fWM 4
4
0M
y.grr
min.el.grrRd.c
Cazul 5: Grinda lucrând în domeniul integral plastic (mai multe rigidizări longitudinale) În cazul în care se dispun două sau mai multe rigidizări longitudinale, secţiunea grinzii poate fi transformată în Clasa 2 sau Clasa 1, iar momentul capabil devine maxim:
mkN40425100.1
35510156.7fWM 6
7
0M
yplRd.c
În tabelul E2.1 sunt centralizate rezultatele analizei numerice efectuate anterior.
85
Tabelul E2.1
CAZUL T I P G R I N D Ă MOMENTUL
CAPABIL ]mkN[M Rd.c
GRADUL DE EFICIENŢĂ
.nerig.grRd.c
Rd.c
M
MC
1 Grinda fără rigidizări 20 054 1.00
2 Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală în zona comprimată, infinit rigidă 22 090 1.10
3 Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală flexibilă în zona comprimată, fără ca aceasta să fie considerată parte a secţiunii transversale a grinzii
22 090 1.10
4 Grinda prevăzută cu o rigidizare longitudinală flexibilă în zona comprimată, aceasta fiind considerată parte a secţiunii transversale a grinzii
22 386 1.12
5 Grinda lucrând integral în domeniul plastic (mai multe rigidizări longitudinale) 25 404 1.27
E3. Analiza influenţei rigidizării Se analizează influenţa rigidizării longitudinale asupra rezistenţei la încovoiere a secţiunii unei grinzi cu inimă plină. Alcătuirea constructivă a grinzii este prezentată în figurile E3.1 şi E3.2.
Fig. E3.1
Fig. E3.2
86
Caracteristicile de calcul ale secţiunii brute sunt prezentate în figura E3.3.
Fig. E3.3
Rezistenţa de calcul la încovoiere a grinzii Grinda fără rigidizare longitudinală Clasa secţiunii:
Talpa comprimată: 3.781.0995.630
2/)10400(
t
c
f
talpa Clasa 1
Inima : 44.10081.012412415010
1500
t
c
w
inima Clasa 4
Clasa secţiunii =max. [clasa inimii; clasa tălpii comprimate] = 4.
Secţiunea eficace a inimii Inima grinzii este un element rezemat pe două laturi, solicitat la încovoiere, figura E3.4.
Fig. E3.4
Pentru: = 01
2
, avem: beff = pc bb / 1 ; be1=0.4· beff; be2=0.6· beff
În acest caz: = - 1 ; kσ =23.9.
Rezultă : 673.033.1k4,28
t/bpp
; 163.0
)3(055,02p
p
Se obţine: beff=0.63 xּ750 = 473 mm; be1=190 mm; be2=283 mm.
Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor unitare este prezentată în figura E3.5.
87
Fig. E3.5
Rezultă momentul de rezistenţă de calcul (rezistenţa de calcul la încovoiere):
kNm1287100.1
355010008.2fWM 4
4
0M
y.nerig.gr
min.eff.nerig.grRd.c
Grinda prevăzută cu rigidizare longitudinală (considerată perfect rigidă) Rigidizarea longitudinală s-a dispus înspre mijlocul zonei inactive, respectiv la 300 mm sub talpa comprimată, fig. E3.6, la o distanţă de 0.20·b. Prin dispunerea rigidizării longitudinale înălţimea inimii este divizată în două subpanouri având laturile mm300b1 (subpanoul 1) şi mm1200b2 (subpanoul 2), figura E3.6.a.
Fig. E3.6
Clasa secţiunii Subpanoul 1: Subpanoul superior de inimă este o placă comprimată neuniform, rezemată pe două laturi, figura E3.7 )5.01( .
88
73.26)113/(3962910
290
t
c
w
78.30)113/(456t
c
w
Clasa 2
Panoul superior de inimă este integral activ (eficace).
Fig. E3.7
Subpanoul 2:
11910
1190
t
c
w
; 167.1450
750;5.038.0
1190
450
173)1(621195.88/5.41 subpanoul Clasa 3. Rezultă momentul capabil al secţiunii rigidizate (rezistenţa la încovoiere):
mkN2758100.1
355010331.2fWMM 4
4
0M
yr
pl.elplelRd.c
rRd.c
unde: 322
el.wwpl.wpl.wff
rpl.el cm31023
6
901120130153340
6
htdAdAW
Influenţa rigidizării longitudinale asupra rezistenţei la încovoiere a secţiunii Rigidizarea longitudinală se realizează din două platbande dispuse pe o parte şi pe alta a inimii, cu dimensiunile de 100x15 mm, figura E3.8.
Fig. E3.8
Având în vedere faptul că inima din cele două panouri adiacente rigidizării longitudinale este integral activă (efectivă), se evaluează clasa secţiunii platbandelor rigidizării longitudinale:
1Clasa29.7967.615
100
t
c
89
Secţiunea şi caracteristicile de calcul ale rigidizării longitudinale (platbandele şi zonele aferente din inimă) sunt prezentate în figura E3.9 (rigidizarea este integral activă).
Fig. E3.9
Se evaluează caracteristicile de calcul ale rigidizării ca bară comprimată rezemată elastic pe inima grinzii, figura E3.10.
Fig. E3.10
Comportarea tip placă:
- lungimea teoretică de flambaj:
43
22
21s
cbt
bbI33.4a cm200acm433
1501
12030116033.4 4
3
22
- tensiunea critică de flambaj pentru caa :
2
22
236
2
62
22
21s
22
23
2s
s2
p.cr
cm/daN97441204.64309.35
2001501101.2
2004.64
1160101.2
bbA14
abtE
aA
IE
- coeficientul de zvelteţe redus:
p.cr
yc.Ap
f
1673.060.0
9744
35501
(curba c)
Comportare tip stâlp - efortul unitar critic elastic:
22
62
2s
s2
c.cr cm/daN93242004.64
1160101.2
aA
EI
- zvelteţea relativă a stâlpului:
90
c.cr
yc.Ac
f
91.038.0
9324
35501
(curba c)
- factorul global de reducere c :
92.02 ccc ; 05.019324
9744
c.cr
p.cr
Se obţine tensiunea limită în dreptul rigidizării:
2ydc cm/daN297010.1/355092.0f yf84.0
Rezistenţa la încovoiere se poate determina trasând diagrama eforturilor unitare în starea limită, figura E3.11.
Fig. E3.11
Modulul de rezistenţă elasto-plastic, corespunzător diagramei (2) - figura E3.11:
322
)2.(el.ww)2(pl.w
)2(pl.wff
)2(pl.el cm02923
6
107112914.21153340
6
htdAdAW
Rezistenţa la încovoiere a grinzii va fi:
mkN1768100.1
355010303.2fWM 4
4
0M
y)2(pl.elr
Rd.c
Concluzii rezultate în urma analizelor numerice Grinzile metalice având inimi cu zvelteţe ridicată, respectiv Clasa 4 conform EC3.1-1, se utilizează frecvent în domeniul construcţiilor şi podurilor metalice, fiind eficiente din punct de vedere economic. Se poate accepta ca anumite părţi ale secţiunii să se afle temporar într-o formă de echilibru deformată (voalare locală), fără să fie afectată siguranţa în exploatare a elementului datorită faptului că, după ce se produce voalarea locală a unor table din secţiunea elementului, există o rezervă de rezistenţa denumită postcritică care asigură comportarea mecanică a elementului structural în condiţii de siguranţă corespunzătoare. Dispunerea unei rigidizări longitudinale în zona comprimată poate avea un efect favorabil în ceea ce priveşte rezistenţa la încovoiere a grinzii prin reducerea zonei inactive a inimii, soluţie mult mai economică comparativ cu mărirea grosimii inimii. Creşterea capacităţii portante este mai importantă dacă se are în vedere aportul rigidizării longitudinale la majorarea modulului de rezistenţă al secţiunii grinzii.
91
8. STABILITATEA LOCALǍ A GRINZILOR CU INIMI ZVELTE
8.1. Rezistenţa la voalare post-critică a inimii După producerea incipientă a voalării, figura 8.1, placa inimii poate prelua încărcări considerabile, spre deosebire de cazul barelor la care s-a produs flambajul, datorită fenomenului sau efectului de comportare post-critică la voalare a acesteia.
Fig. 8.1 În cazul grinzilor plane, o formă specială a comportării post-critice, o constituie aşa numită acţiune a câmpului diagonal întins. Acţiunea câmpului diagonal întins presupune o schimbare a modului în care este preluată forţa tăietoare de către inimă, prin trecerea de la o solicitare uniformă la forfecare a inimii - pentru forţe tăietoare cu valori reduse, la o comportare structurală de tip grindă cu zăbrele cu diagonale descendente (sistem Pratt) – pentru sarcini cu valori ridicate, figura 8.2.
Fig. 8.2
În slide-urile din figura 8.3 [35] se prezintă imagini cu grinzi solicitate la nivelul de comportare post-critică a inimii. Metoda câmpului diagonal întins stă la baza calcului la voalare din forfecare a inimii prezentat în EC3-1-5, respectiv SR EN 1993-1-5 -2008 : Eurocod 3 : Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-5: Elemente structurale din plăci plane solicitate în planul lor.
92
Fig. 8.3
Calculul la voalare din forfecare prezentat în variantele iniţiale ale EC 3 are o formă mai dezvoltată, formă care a fost condensată în ultima variantă a normativului, cu scopul de a fi mai practică pentru activitatea de proiectare. Pentru înţelegerea metodologiei care stă la baza calculului la voalare, în continuare, se prezintă pe scurt metoda post-critică simplă şi teoria câmpului diagonal întins.
8.2. Metoda post-critică simplă şi teoria câmpului diagonal întins În EC 3 se stabileşte capacitatea portantă la voalare numai la solicitarea de forfecare pură, urmând ca această capacitate portantă să fie „corectată” prin intermediul unor relaţii de interacţiune între forţa tăietoare şi momentul încovoietor, în cazul unor solicitări complexe. Prin urmare, se disting două etape pentru a determina capacitatea portantă la voalare şi anume: stabilirea capacităţii portante pentru solicitarea simplă de forfecare pură şi apoi „corectarea” acesteia pentru a se ţine seama de solicitarea reală complexă în care forfecarea este însoţită de încovoiere şi eventual şi de forţe axiale. Rezistenţa la voalare se poate determina cu una din următoarele metode:
Metoda postcritică simplă; Metoda câmpului diagonal de tensiuni de întindere.
Metoda postcritică simplă se poate aplica atât grinzilor cu rigidizări transversale intermediare cât şi grinzilor fără astfel de rigidizări; în ambele cazuri se vor prevedea însă rigidizări de reazem.
Metoda câmpului diagonal de tensiuni de întindere se aplică numai grinzilor care, în afară de rigidizările de reazem, au în mod obligatoriu şi rigidizări transversale intermediare. Considerarea acestei metode este eficientă numai în cazul în care câmpul diagonal are o înclinare optimă, fapt care conduce la limitarea distanţei dintre nervurile de rigidizare:
3h
a1
w
,
în care: a – este distanţa liberă între două nervuri de rigidizare consecutive;
93
wh – este înălţimea inimii. În ambele metode inima se consideră prinsă articulat pe contur.
Metoda postcritică simplă
Relaţiile de calcul sunt stabilite pe baza teoriei liniare a voalării plăcilor plane. Forţa tăietoare Vba.Rd pe care o poate prelua inima fără a se produce fenomenul de voalare
se calculează cu relaţia [35]:
baww1M
Rd.ba th1
V
(8.1)
în care: 1.11M - este coeficientul parţial de siguranţă pentru elemente care cedează prin
pierderea stabilităţii;
wh , tw - sunt înălţimea, respectiv grosimea inimii;
ba - este rezistenţa postcritică simplă (la forfecare), care se determină cu relaţiile:
A: inimi cu grosime mare (fig. 8.4 [35] – zona A - B), dacă 8.0w
:
3
fywba (8.2.a)
B: inimi subţiri (cu grosime medie) (fig. 8.4 – zona B - C), dacă 2.18.0 w
:
3
f8.0625.01 yw
wba
(8.2.b)
C: inimi zvelte(cu grosime mică) (fig. 8.4 – zona C - D), dacă 2.1w
:
3
f9,0 yw
w
ba
(8.2.c)
Fig. 8.4
Cu w
s-a notat supleţea redusă a inimii:
k4.37
t/h3/fww
cr
yww (8.3)
94
în care: fyw - este limita de curgere a oţelului inimii;
2
w
w2
2
cr h
tk
112
E
- este rezistenţa critică la voalare în domeniul liniar elastic;
k - este coeficientul de voalare la forfecare şi are valorile: - când inimile au numai rigidizări de reazem: 34.5k - când inimile au şi rigidizări intermediare:
2wh/a
434.5k pentru: (a/hw) 1 ;
2wh/a
34,500.4k pentru: (a/hw)<1 .
Metoda câmpului diagonal de tensiuni de întindere
Forţa tăietoare totală Vbb.Rd pe care o poate prelua un panou de inimă se calculează cu
relaţia:
sintg9.0th1
V bbwbbww1M
Rd.bb (8.4)
Ipotezele care stau la baza acestei relaţii sunt redate sub formă grafică în figura 8.5 .
Fig. 8.5
Se observă că această forţă tăietoare capabilă are două componente şi anume, forţa tăietoare capabilă corespunzătoare voalării elastice şi contribuţia la capacitatea portantă a panoului dată de câmpul diagonal de tensiuni.
În relaţia (8.4) s-au utilizat notaţiile:
bb rezistenţa critică iniţială la voalare, similară cu ba , cu unele mici corecţii:
A: inimi cu grosime mare (fig. 8.6 – zona A - B), dacă 8.0w
:
bayw
bb3
f (8.5.a)
B: inimi subţiri (cu grosime medie) (fig. 8.6 – zona B - C), dacă 25.18.0 w
:
95
3
f8,08.01 yw
wbb
(8.5.b)
C: inimi zvelte(cu grosime mică) (fig. 8.6 – zona C - D), dacă 25.1w
:
3
f1 yw
2w
bb
(8.5.c)
Fig. 8.6
bb este efortul unitar de întindere care se dezvoltă în câmpul diagonal:
22bb
2ywbb 3f (8.6)
în care: 2sin5.1 bb ;
- este unghiul de înclinare a câmpului diagonal (fig. 8.7); g - este lăţimea câmpului diagonal (fig. 8.7) şi se determină cu relaţia:
sinssacoshg tcw unde:
;at
M
sin
2s
bbw
Rk.Nf
s(sc,st) - este lungimea de ancorare a câmpului diagonal de tensiuni (de talpa comprimată – sc , respectiv întinsă - st);
MNf.Rk - este momentul plastic capabil redus al tălpii (fără considerarea vreunei porţiuni din înălţimea inimii). Pentru calculul acestuia nu se iau în considerare eventualele reborduri sau întăriri ale tălpii şi se ţine seama de reducerea acestuia datorită forţei axiale din talpă (Nf.Ed) produsă de momentul încovoietor şi forţa axială din element:
2
0Myff
Ed.fyffRk.Nf 1
ftb
N1ftb25,0M (8.7)
în care: b, tf – sunt lăţimea şi grosimea tălpii; fyf – este limita de curgere a oţelului din tălpi.
96
Fig. 8.7. Geometria şi tensiuni în câmpul diagonal de întindere
Înclinarea câmpului diagonal de tensiuni variază între valorile 2/ şi , fiind
înclinarea diagonalei panoului de inimă considerat, )a/h(arctg w , figura 8.8.
Fig. 8.8
Valoarea minimă 2/ se consideră atunci când tălpile sunt complet solicitate pentru
preluarea momentului încovoietor care solicită grinda. Valoarea maximă se consideră în cazul câmpului diagonal de tensiuni cu dimensiuni maxim posibile (s=a). În oricare altă situaţie valoarea adecvată pentru unghiul de înclinare a câmpului diagonal (cuprins între valorile
2/ şi ) este aceea pentru care, utilizându-se complet capacitatea portantă la valoarea elastică (primul termen din relaţia 8.4), rezultă în final o valoare maximă pentru Vbb.Rd calculată cu relaţia (8.4). În mod satisfăcător se poate aproxima înclinarea câmpului diagonal ca fiind
5.1/ . Ca alternativă, valoarea optimă pentru se poate determina prin iteraţie.
Panourile de capăt
Panourile de capăt se calculează cu metoda câmpului diagonal de tensiuni numai dacă rigidizarea (montantul) de capăt poate asigura ancorarea câmpului diagonal. În caz contrar se foloseşte pentru calcul metoda postcritică simplă.
O rigidizare de capăt (montant) realizată dintr-o singură piesă poate asigura ancorarea câmpului diagonal de tensiuni, deci poate prelua forţa de ancorare Fbb, dacă satisface condiţia:
2
sFMM s
bb3,pl2,pl (8.8)
în care: Mpl,2 – este minimul dintre:
97
2
yff
bbyf
2fNf ftb
F1ftb25,0M şi
2
ysss
2sys
2ssNs ftb
N1ftb25,0M ;
2
ysss
3sys
2ss3,pl ftb
N1ftb25,0M .
2bbswbb cosstF ;
2bbcw2s sinstN ;
swwbbEd3s shtVN ; tgsahs tws ; bs, ts – sunt lăţimea şi respectiv grosimea rigidizării; fys – este limita de curgere a oţelului din rigidizare; ss, sc, st – sunt dimensiuni conform figurii 8.7. Atunci când condiţia (8.8) este satisfăcută, capacitatea portantă la voalare pentru panoul de capăt se determină cu metoda câmpului diagonal de tensiuni, dar cu o lungime de ancorare sc corectată:
at2
MM
sin
2s
bbw
2,pl1,plc
(8.9)
în care:
2
yff
1fyf
2f1,pl ftb
N1ftb25,0M ; costgN bbw1f .
În cazul în care condiţia (8.8) nu este satisfăcută se poate adopta pentru înclinarea câmpului diagonal o valoare mai mare, astfel încât, prin reducerea lungimii de ancorare ss , în final condiţia să fie îndeplinită. În acest caz, capacitatea portantă la voalare (care va fi mai mică) se determină pentru noua valoare (mărită) considerată pentru unghiul .
Cazul solicitării complexe (forfecare, încovoiere şi forţă axială)
Calculul la voalare a inimii în cazul în care aceasta este supusă la solicitări complexe, se
face cu ajutorul unor relaţii de interacţiune (figura 8.9) care „corectează”, reducând capacitatea portantă la voalare a inimii pentru cazul solicitării simple de forfecare, în funcţie de momentul încovoietor şi forţa axială (dacă există).
Fig.8.9. Diagrame de rezistenţă la interacţiunea forfecare-încovoiere
98
În cazul în care tălpile preiau singure (fără contribuţia inimii) momentul încovoietor şi forţa axială care solicită elementul, capacitatea portantă la forfecare a inimii (aşa cum a fost prezentat anterior) nu va fi redusă. Se ţine însă seama, dacă se utilizează metoda câmpului diagonal de tensiuni, de momentul încovoietor şi de forţa axială la determinarea lăţimii g a acestuia prin intermediul relaţiei (8.7).
Dacă la preluarea momentului încovoietor şi a forţei axiale care solicită grinda participă şi inima, la determinarea capacităţii portante la voalare devin operante relaţiile de interacţiune specifice fiecărei metode de calcul utilizate.
Metoda postcritică simplă Secţiunea transversală este corect dimensionată dacă sunt satisfăcute condiţiile: Rd.fEd MM (8.10.a)
Rd.baEd VV (8.10.b) în care: MEd şi VEd - sunt momentul încovoietor şi forţa tăietoare care solicită panoul; Mf.Rd - este momentul rezistent plastic al secţiunii transversale considerând în calcul numai tălpile, ţinându-se seama de forţa axială din tălpi. Pentru tălpi comprimate care se încadrează în clasa 4 de secţiune se ia în considerare lăţimea eficace beff a tălpii comprimate. Vba.Rd - este rezistenţa de calcul la voalare a inimii produsă de solicitarea simplă de forfecare. Se disting situaţiile:
Dacă: VEd < 0.5·Vba.Rd ,
capacitatea portantă la încovoiere şi forţă axială nu trebuie să fie redusă pentru a se ţine seama de forţa tăietoare (MEdMN.Rd).
Dacă: VEd > 0.5·Vba.Rd ,
se va ţine seama de efectul forţei tăietoare, trebuind să fie satisfăcută condiţia de interacţiune:
2
Rd.ba
EdRd.fRd.plRd.fEd 1
V
V21MMMM (8.11)
Când este aplicată şi o forţă axială NEd , se înlocuieşte Mpl.Rd cu momentul redus de rezistenţă plastică MN.Rd.
În situaţia limită când VEd = Vba.Rd , momentul încovoietor este egal cu Mf.Rd (adică MEdMf.Rd).
Metoda câmpului diagonal de tensiuni de întindere Din punct de vedere principial metodologia de verificare nu diferă de cea folosită în metoda
postcritică simplă. Secţiunea transversală se consideră corect dimensionată dacă sunt satisfăcute condiţiile: Rd.fEd MM (8.12.a) Rd.bwEd VV (8.12.b)
în care: MEd şi VEd - sunt valorile maxime ale momentului încovoietor şi a forţei tăietoare din panoul de inimă, situat între două rigidizări transversale consecutive, care se verifică; Mf.Rd - are aceeaşi semnificaţie şi se calculează la fel ca în metoda postcritică simplă „corectată”; Vbw.Rd - este capacitatea portantă la voalare din forţa tăietoare, luând în considerare numai inima şi este egală cu Vbb.Rd calculat cu relaţia (8.4) în cazul în care în tălpi se dezvoltă momentul capabil Mf.Rd şi prin urmare MNf=0.
99
Pentru secţiunile dublu T cu tălpile egale care nu sunt solicitate şi de forţe axiale, Vbw.Rd se poate calcula considerând că sc = st = 0 şi 2/ . Se disting situaţiile:
Dacă: VEd 0.5·Vbw.Rd ,
capacitatea portantă a secţiunii transversale la încovoiere şi forţă axială nu trebuie să fie redusă pentru a se ţine seama de forţa tăietoare (deci MEdMN.Rd).
Dacă: VEd > 0.5·Vbw.Rd ,
se va ţine seama de influenţa forţei tăietoare utilizându-se pentru verificare următoarea relaţie de interacţiune:
2
Rd.bw
EdRd.fRd.plRd.fEd 1
V
V21MMMM (8.13)
în care Mpl.Rd se calculează ca în metoda postcritică simplă. Dacă:
VEd > Vbw.Rd , trebuie să fie satisfăcută condiţia: Rd.bbEd VV (8.14)
unde Rd.bbV se calculează ţinându-se seama de valorile MEd şi NEd .
8.3. Verificarea stabilităţii locale a inimii în conformitate cu normativul EC 3-1-5 În figura 8.10 sunt prezentate grinzi cu inimă plină, alcătuite sudat, prevăzute cu rigidizări transversale, respectiv rigidizări transversale şi longitudinale.
Fig. 8.10. Rigidizarea inimilor
Rezistenţa la voalare din forfecare Plăcile (tolele) pentru care:
rigidizateinimik31
tenerigidizainimi72
t
h
w
w (8.15)
se vor verifica la voalare din forfecare, iar grinzile vor fi prevăzute cu rigidizări transversale pe reazeme.
Parametrii care intervin în relaţii sunt:
100
yf
235 ;
,460S:otel00.1
460S...235S:otel20.1; k - coeficientul de voalare din forfecare.
Coeficientul de voalare din forfecare Pentru inimi prevăzute numai cu rigidizări transversale, fără rigidizări longitudinale sau, având mai mult de două rigidizări longitudinale, coeficientul de voalare din forfecare se determină cu relaţia:
1h
apentruk
a
h34.500.4
1h
apentruk
a
h00.434.5
k
ws
2w
ws
2w
(8.16)
unde: 3
w
s4
3
w3s
2w
s h
I
t
1.2:putinceldar
ht
I
a
h9k
(8.17)
- a – distanţa între rigidizările transversale (fig. 8.11); - sI – momentul de inerţie al rigidizării longitudinale în raport cu axa z-z ( fig. 8.11). Pentru inimi prevăzute cu două sau mai multe rigidizări longitudinale, egal sau inegal
distanţate, sI este suma momentelor de inerţie ale rigidizărilor. Relaţia (8.16) se aplică şi pentru inimi prevăzute cu una sau două rigidizări longitudinale, dacă este îndeplinită condiţia 3h/a w ; dacă 3 , coeficientul de voalare din forfecare se calculează relaţia:
3
w3s
2w
3s
ht
I2.2
ht
I18.03.6
1.4k
(8.18)
Fig. 8.11
Rezistenţa de proiectare la voalare Pentru inimi rigidizate sau nerigidizate, figura 8.12, rezistenţa de calcul la voalare din forfecare se calculează cu relaţia:
1M
wywRd.bfRd.bwRd.b
3
thfVVV
(8.19)
101
Fig. 8.12
În figura 8.13 se prezintă modul în care forţa tăietoare este preluată prin contribuţia inimii şi contribuţia tălpilor
Fig. 8.13
Contribuţia inimii Contribuţia inimii în valoarea rezistenţei la voalare din forfecare se evaluează cu relaţia:
1M
wywwRd.bw
3
thfV
(8.20)
Pentru inimi prevăzute cu rigidizări transversale numai la reazeme şi pentru inimi prevăzute cu rigidizări transversale sau cu rigidizări longitudinale, sau de ambele tipuri, factorul w , care defineşte contribuţia inimii în rezistenţa la voalare (grosimea efectivă pentru forfecare), se obţine din tabelul 8.1 sau din graficul din figura 8.14. Tabelul 8.1. Valori
Montant de reazem rigid Montant de reazem nerigid
/83.0w
08.1/83.0 w w/83.0 w/83.0
08.1w w7.0/37.1 w/83.0
Parametrul de zvelteţe w se determină cu relaţia:
cr
yww
f76.0
(8.21)
unde: Ecr k (8.22)
Zvelteţea w poate fi calculată cu relaţiile explicite:
102
kt4.37
h
reazeme pe numai letransversa rigidizarit4.86
h
w
w
w
w
w (8.23)
unde k se va lua corespunzător panoului de inimă pentru care se obţine valoarea minimă (panou delimitat de două rigidizări transversale rigide consecutive şi tălpi). Pentru inimi prevăzute şi cu rigidizări longitudinale se verifică condiţia:
i
wiw
kt4.37
h
(8.24)
unde hwi şi ik se referă la subpanoul cu cel mai mare coeficient w , iar ik se calculează cu
relaţiile (8.16), considerând stk = 0.
Fig. 8.14
Contribuţia tălpilor Dacă tălpile nu sunt complet utilizate pentru preluarea momentului încovoietor (MEd < Mf Rd), se poate lua în considerare şi contribuţia tălpilor în rezistenţa de voalare din forfecare, utilizând relaţia:
2
Rd.f
Ed
1M
yf2ff
Rd.bf M
M1
c
ftbV (8.25)
unde: - bf şi tf se iau pentru talpa cu secţiune minimă (pentru tălpi cel mult wt15 lateral inimii);
-
yw2w
yf2ff
fht
ftb6.125.0ac ;
- 0M
k.fRd.f
MM
- momentul rezistent al tălpilor;
- yf2eff.2f1eff.1fk.f fhAhAM ;
- rigidizări transversale pe reazeme şi rigidizări intermediare transversale şi / sau longitudinale
103
- A f1.eff , A f2.eff - ariile efective ale tălpilor; - h1 , h2 - distanţele de la centrele de greutate a tălpilor la centrul de greutate a secţiunii grinzii. Atunci când grinda este solicitată în plus şi la o forţă axială NEd, valoarea momentului Mf.Rd
se reduce cu factorul:
0M
yf2f1f
Ed
fAAN
1 (8.26)
Observaţie: La stabilirea contribuţiei tălpilor în evaluarea rezistenţei la voalare din forfecare pură (fără să se ţină seama de reducerile din moment şi forţă axială) se au în vedere relaţiile:
yf1M
2ffRd.f.pl
Rd.bf fc
tb
c
M4V
; yw
2ww
w.plyf
2ff
f.plw.pl
f.pl f4
htM;f
4
tbM;
M
M6.125.0ac
Relaţia de verificare la voalare din forfecare este:
0.1V
V
Rd.b
Ed3 (8.27)
8.4. Interacţiunea (SR EN 1993-1-5, § 7.1)
Interacţiunea dintre forţa de forfecare, momentul încovoietor şi forţa axială Dacă este îndeplinită condiţia:
5.0V
V
Rd.bw
Ed3 ,
nu este necesară reducerea momentului încovoietor capabil şi a forţei axiale capabile pentru luarea în considerare a efectelor de forfecare. Dacă condiţia nu este îndeplinită, efectele combinate de încovoiere şi forfecare din inima grinzii trebuie să satisfacă condiţia:
Rd.pl
Rd.f
Rd.pl
Ed1
23
Rd.pl
Rd.f1 M
M
M
M:pentru0.112
M
M1
(8.28)
De asemenea trebuie respectate condiţiile:
1/fW
eNM
/fA
N
0Myy.eff
NyEdEd.y
0Myeff
Ed1
(8.29.a)
0.1V
V
Rd.b
Ed3 (8.29.b)
Interacţiunea dintre forţa transversală, momentul încovoietor şi forţa axială
Dacǎ grinda cu inima plină este solicitată simultan la o forţă concentrată transversală, care
acţionează asupra tălpii comprimate şi la un moment încovoietor, rezistenţa secţiunii se verifică cu relaţia: 4,18,0 21 (8.30)
unde: 1tLf
F
weffywd
dE2
104
8.5. Exemplu numeric Verificarea stabilităţii locale a inimii Se verifică stabilitatea locală a inimii unei grinzi plane. Alcătuirea constructivă a grinzii este prezentată în figurile E.1 şi E.2.
Fig. E.1
Fig. E.2
Schema de încărcare a grinzii este prezentată în figura E.3.
Momentul încovoietor de calcul (maxim):
kNm548460055.18
95.335.1)2Q5.3Q2(
8
LgM
2
EdEd
2Ed
Ed
Forţa tăietoare la distanţa de 0.5·hw de la reazem, respectiv la 0.5·hw de la prima rigidizare:
kN18185.15.05.335.16005.122
95.335.1)h5.0(gQ2
2
LgV wEdEd
Ed1.Ed
kN9115.335.125.26005.12
95.335.1g25.2QQ2
2
LgV EdEdEd
Ed2.Ed
105
Fig. E.3
Rigidizarea longitudinală
Secţiunea şi caracteristicile de calcul ale rigidizării longitudinale (platbandele şi zonele aferente din inimă) sunt prezentate în figura E.4.
Fig. E.4
Rigidizările transversale Secţiunea de calcul a rigidizării este prezentată în figura E.5.
Fig. E.5
106
PANOUL 1
9.6334.92.1
81.031k31150
t
h
w
w
este necesară verificarea la voalare
unde: 34.9a
h00.434.5k
2w
Rezistenţa de calcul la voalare din forfecare se calculează cu relaţia:
1M
wywRd.bfRd.bwRd.b
3
thfVVV
Contribuţia inimii în valoarea rezistenţei la voalare din forfecare se evaluează cu relaţia:
kN1649101.13
1150355059.0
3
thfV 2
1M
wywwRd.bw
< VEd=1818 kN
unde: 62.134.981.0104.37
1500
kt4.37
h
w
ww
>1.08 w = w7.0/37.1 = 0.59
Deoarece contribuţia tălpilor este redusă (25.6 kN) se impune reconformarea constructivă a grinzii, fiind posibile cel puţin următoarele soluţii:
A - majorarea grosimii inimii în panourile 1 şi eventual 2 (dacă nici acesta nu corespunde verificării la voalare);
B - introducerea unei rigidizări transversale suplimentare; C - introducerea unei rigidizări longitudinale suplimentare; D - introducerea unei rigidizări înclinate.
Soluţiile prezentate sunt transpuse grafic în figura E.6.
Fig. E.6
Se apreciază ca fiind deosebit de eficientă soluţia D [3], cu toate că este mai puţin utilizată. Soluţia cu rigidizarea aşezată pe direcţia diagonalei descendente (întinse), se demonstrează că nu este eficientă deoarece voalarea panoului de inimă se produce pe direcţia diagonalei comprimate. Se adoptă Soluţia C pentru a păstra o formă constructivă unitară a grinzii şi rezultă:
107
3
w3s
2w
3s
ht
I2.2
ht
I18.03.6
1.4k
=15.53 (pentru )31
26.153.1581.0104.37
1500
kt4.37
h
w
ww
Pentru panouri rigidizate longitudinal se verifică condiţia 5.3(5) din EC3-1-1:
4.19.781.04.37
120
k4.37
h
i
wiwiw
(pentru subpanoul superior wi este mai mic)
unde: 9.7150
120434.5k
2
i
. Condiţia nu este verificată.
Prin urmare se va lua 08.14.1w w = w7.0/37.1 = 0.65
1.Ed2
1M
wywwRd.bw VkN181710
1.13
1150355065.0
3
thfV
Condiţia de verificare este îndeplinită (la Rd.bwV se adaugă Rd.bfV ). PANOUL 2
3
w3s
2w
3s
ht
I2.2
ht
I18.03.6
1.4k
=12.3 (pentru )333.1150/200
41.13.1281.0104.37
1500
kt4.37
h
w
ww
Se verifică condiţia:
52.178.681.04.37
120
k4.37
h
i
wiwiw
. Condiţia nu este verificată,
unde: 78.6200
120434.5k
2
i
Prin urmare se va lua 08.152.1w w = w7.0/37.1 = 0.62
kN1733101.13
1150355062.0
3
thfV 2
1M
wywwRd.bw
> VEd.2 = 911 kN
Condiţia de verificare este îndeplinită.
108
9. R I G I D I Z Ă R I 9.1. Rigidizări transversale Pentru verificarea la flambaj a rigidizărilor, la calculul ariei se consideră secţiunea brută plus o lăţime egală cu t15 de fiecare parte a rigidizării, figura 9.1, dar care să nu depăşească lăţimea de placă aferentă.
Fig. 9.1
Rigidizările transversale trebuie să asigure reazeme rigide pentru panourile de inimă prevăzute cu sau fără rigidizări longitudinale. Rigidizările transversale trebuie analizate ca şi grinzi simplu rezemate, cu o imperfecţiune iniţială w0 (fig. 9.2), unde: w0 = s/300, unde s = min. (a1, a2, b)
- a1; a2 – lungimile panourilor adiacente rigidizării; - b – distanţa dintre centrele de greutate a tălpilor sau deschiderea rigidizării
transversale.
Fig. 9.2
Utilizând o analiză elastică de ordinul II, rigidizările transversale trebuie să verifice următoarele criterii privind stările limită ultime:
C1 - tensiunile maxime să nu depăşească 1My /f ;
C2 - săgeata suplimentară să nu depăşească b/300. În absenţa unei forţe axiale sau a unor încărcări transversale concentrate, condiţiile
anterioare se consideră satisfăcute dacă momentul de inerţie al rigidizării transversale îndeplineşte condiţia:
u
b
300w1
b
EI 0
4m
st (9.1)
109
unde:
21
Ed
p.cr
c.crm a
1
a
1
b
N; 0.1
b300feE
u
1M
y
max2
(9.2.a, b)
- emax – distanţa maximă de la o fibră extremă a secţiunii rigidizării la centrul de greutate al secţiunii rigidizării;
- NEd – forţa de compresiune maximă a panourilor adiacente rigidizării;
- p.crc.cr ; – definite la stabilitatea plăcilor; 10p.cr
c.cr
.
Observaţie: Conform [8] se poate considera acoperitor: 1/ p.crc.cr .
Atunci când forţa de compresiune NEd nu este constantă pe înălţimea panoului de inimă, cum este în cazul grinzilor cu inimă plină, este importantă rezultanta eforturilor de compresiune pe zona comprimată a grinzii, care pentru simplitate, se extinde pe toată înălţimea panoului. ca încărcare uniform distribuită. Dacă în panourile adiacente rigidizării forţa de compresiune este diferită se operează cu cea maximă. În lucrarea [3], săgeata rigidizării transversale se evaluează considerând o încărcare
transversală a acesteia cu o forţa concentrată sRd.btransv N02.0N , figura 9.3.
Fig. 9.3
În această ipoteză se obţine condiţia:
300
b
bIE3
bbNw
st
22
21.transv
el
(9.3)
Pentru simplificare, în absenţa forţelor axiale, se consideră că sunt îndeplinite criteriile C1 şi
C2 utilizând o analiză elastică de ordinul I, luând în considerare o încărcare laterală uniform distribuită q, pe lungimea b a rigidizării, având valoarea:
el0m ww4
q
(9.4)
unde: - wel – deformaţia elastică determinată prin calcul iterativ, sau poate fi luată cu valoarea
maximă - b/300. Pentru a evita flambajul prin răsucire a rigidizărilor cu secţiune deschisă se vor verifica condiţiile prevăzute de EN 1993-1-5 § 9.2 (8);(9):
E
f3.5
I
I y
p
T (a); ycr f (b) (9.5.a,b)
în care: - TI - momentul de inerţie convenţional la răsucire (St. Venant) al rigidizării fără inimă:
110
3
tb2I
3ss
T (pentru rigidizări simple)
- pI - momentul de inerţie polar al rigidizării fără inimă faţă de marginea fixată pe inimă:
3
tb2
12
tb
3
tb2I s
3s
3slss
3s
p
(pentru rigidizări simple)
Relaţia (9.5.a) devine:
E
f3.5
b
t
I
I y2
sl
sl
p
T
355S5.10
235S13
f3.5
E
t
b
ys
s
- cr - tensiunea critică elastică pentru flambaj prin torsiune, fără luarea în considerare a rotirii datorită plăcii:
2
s
s6
p
T
p
T
p
Tcr b
t10807.0
I
I
6.2
E
I
I
)1(2
E
I
IG
- secţiuni din platbande;
T2f
2
pcr GI
EI
I
1
- secţiuni deschise relativ rigide la torsiune (L, T).
Lungimea de flambaj a rigidizării transversale se va lua de cel puţin 0.75·hw.
- - parametru care asigură un comportament de Clasa 3 a rigidizării. EC3-1-5 recomandă 6 , fără să fie făcute precizări referitoare la tipul secţiunii rigidizării. În lucrarea [8] se recomandă 2 , pentru rigidizările cu secţiune deschisă şi 6 pentru rigidizările rigide la torsiune (secţiuni T, L). Comentariu:
- Pentru 2 , relaţia (9.5.a) devine: E
f2.5
I
I y
p
T (5.2 în loc de 5.3 dat în EC3-1-5);
- Pentru 6 , relaţia (9.5.a) devine: E
f6.15
I
I y
p
T
355S2.6
235S6.7
f6.15
E
t
b
ys
s
;
- Condiţia 6 nu se justifică pentru rigidizările din platbande simple; - Relaţia (9.5.a) corespunde pentru 04.2 . Momentul de inerţie a rigidizărilor transversale care constituie reazeme rigide pentru
panourile adiacente, trebuie să verifice condiţiile:
2h/a:pentrua/th5.1I w233
wst (9.6.a)
2h/a:pentruth75.0I w3
wst (9.6.b) Rigidizările transversale se verifică la flambaj (curba „c” de flambaj), pentru o forţă axială
egală cu valoarea:
1Mwwyw2w
EdEd 3/thf1
VN
(9.7)
Forţa tăietoare se calculează la distanţa de 0.5·hw măsurată de la marginea panoului la care forţa tăietoare este maximă.
În cazul aplicării unor încărcări transversale, rigidizarea se verifică la compresiune axială,
dacă are secţiune simetrică, sau la compresiune cu încovoiere pentru secţiuni nesimetrice (rigidizări dispuse numai pe o parte a inimii).
Lungimea de flambaj a rigidizării se va considera minimum 0.75·hw.
111
Verificarea rigidizării din acţiunea forţei longitudinale şi a forţei transversale verticale concentrată
În cazul acţiunii simultane a unei forţe verticale şi a forţelor longitudinale direct aplicate sau rezultate din acţiunea momentului încovoietor se va adăuga o forţă de compresiune suplimentară, figura 9.4, stabilită cu relaţia [8]:
2
2m
Ed.stb
N
(9.8)
Fig. 9.4
În acest caz săgeţile rigidizării vor fi date de relaţiile:
st.cr
Ed.st00
N
N1
1wwwf
;
1N
N1
ww
Ed.st
st.cr0
(9.9.a;b)
Efortul unitar maxim în secţiunea rigidizării va fi cel corespunzător solicitării de compresiune şi încovoiere:
maxst
Ed.st
st
Ed.stmax e
I
fN
A
N (9.10)
Relaţiile (9.9) şi (9.10) sunt aplicabile pentru rigidizări simetrice (pe ambele părţi). În lucrarea [8] se prezintă metodologia de calcul pentru rigidizări nesimetrice (pe o singură parte a inimii). Relaţiile de verificare C1 şi C2 vor fi:
300
bw ;
1M
ymax
f
(9.11.a;b)
9.2. Rigidizări longitudinale În absenţa unor încărcări axiale longitudinale ale grinzii, rigidizarea longitudinală se verifică la compresiunea rezultată din acţiunea momentului încovoietor, figura 9.5. Condiţiile (9.5), referitoare la rigidizările transversale se aplică, de asemenea şi pentru rigidizările longitudinale. Rigidizările longitudinale discontinue care nu trec prin deschideri practicate în rigidizările transversale sau nu sunt prinse de părţile laterale ale acestor rigidizări, vor fi:
- folosite numai pentru inimi; - neglijate în analiza globală; - neglijate în calculul eforturilor; - considerate în calculul lăţimilor eficace a panourilor secundare ale inimii;
- considerate în calculul tensiunii elastice critice.
112
Fig. 9.5
9.3. Montantul rigid de capăt Montanţii de reazem se pot realiza în două variante din punct de vedere al funcţiunii structurale, respectiv:
montanţi rigizi; montanţi nerigizi.
Montanţii rigizi se alcătuiesc şi se dimensionează astfel încât să poată prelua reacţiunea verticală a grinzii şi să asigure ancorarea rezultantei tensiunilor de întindere din panoul de capăt al inimii, ca efect al formării câmpului diagonal întins. Montanţii nerigizi preiau numai reacţiunea verticală a grinzii, pentru preluarea tensiunilor din efectul de câmp fiind necesară în general reducerea deschiderii primului panou de inimă. În figura 9.6 sunt prezentate schematic cele două tipuri de montanţi – rigizi şi nerigizi.
Fig. 9.6
Constructiv, montantul rigid se poate realiza prin dispunerea unor rigidizări suplimentare la distanţa „e” din axul de rezemare sau utilizând un profil laminat. Pentru realizarea unei ancorări corespunzătoare a câmpului diagonal întins se recomandă ca distanţa „e” să îndeplinească condiţia: wh1.0e (9.12) Aria rigidizărilor, Ae , se determină din condiţia de rezistenţă la încovoiere a grinzii scurte dublu T, produsă de componenta orizontală a tensiunii de întindere din câmpul diagonal. Componenta orizontală a tensiunilor de întindere din inimă poate fi aproximată din condiţia:
wy
h 43.0
f
(9.13)
Zvelteţea redusă a inimii este dată de relaţia:
113
kt4.37
hf76.0
3
f
w
w
cr
y
cr
yw (9.14)
în care: 2w
2w
2
2
crh
t
)1(12
Ek
;
1h
apentru
a
h34.500.4
1h
apentru
a
h00.434.5
k
w
2w
w
2w
Prin înlocuiri succesive se obţine:
w
2wy
w
2w
ywhh h
ktf1.16
h
kt4.37f43.0tq
(9.15.a)
yw
2wMAX
h fh
t49q - pentru: 34.9k;1 MAX (9.15.b)
Deoarece hq variază pe înălţimea inimii grinzii, se admite o valoare medie echivalentă, figura 9.7, dată de relaţia:
yw
2w
eq.h fh
t32q (9.16)
Fig. 9.7
Pentru: 8
hqM
2weq.h
max
, din condiţia: y
maxmax f
W
M , se obţin condiţiile recomandate
de EN 1993-1-5:
e
th4A
2ww
e
- pentru: eAW e (9.17.a)
2wwr th4W - pentru montantul rigid din profile (9.17.b)
9.4. Exemple de calcul E1. Montant de reazem Se verifică montantul de reazem, rigidizarea de capăt şi panoul marginal la voalare din forfecare, a unei grinzi principale cu inimă plină de pod metalic.
114
Se cunosc următoarele date: - alcătuirea constructivă şi date geometrice, conform figurii E1.1;
- reacţiunea maximă din reazem: VEd=1812 kN; - oţel S355 KM.
Fig. E1.1
Aplicare numerică Rigidizarea de capăt Se verifică condiţia:
e
th4A
2ww
e
; 2e cm40220A ; 2
22ww cm45.35
26
2.11604
e
th4
Condiţia este îndeplinită. Montantul de reazem Montantul de reazem are secţiunea transversală prezentată în figura E1.2, prin considerarea unei conlucrări cu inima grinzii egală cu wt15 , egală cu 1/2 faţă de conlucrarea din cazul rigidizărilor transversale curente, având în vedere solicitarea complexă şi importanţa structurală deosebită a montantului de reazem.
Platbandele montantului aşezare de o parte şi de alta a inimii se încadrează în Clasa 3 de secţiuni:
34.1114920/180t/c1.810 r prin urmare întreaga secţiune a montantului este eficientă.
Fig. E1.2
Se obţine:
99.0)dcurba(21.09.93
1
79.9
1601
i
h1
i
L
1r
w
1r
11cr
115
Rezistenţa montantului la compresiune cu flambaj este:
kN1812V.kN286010)1.1/355052.8999.0(1
fAN Ed2
1MyRd.b
Verificarea panoului de inimă la voalare din forfecare
178,01600/1250h/a w 2
w
a
h34.500.4k
74.121250
160034.500.4k
2
; 7.7474.12
2.1
81.031k31133
12
1600
t
h
w
w
Este necesară verificarea la voalare din forfecare. Rezistenţa de proiectare la voalare:
222
w
w22
32
E mm/N69.101600
12000190
h
t000190
b)1(12
Et
2Ecr N/mm 13669.1074.12k
Parametrul de zvelteţe w se determină cu relaţia pentru montant rigid:
08.123.1136
35576.0
f76.0
cr
yww
71.07.0/37.1 ww
Se obţine: kN 2540101.13
12160035571.0
3
thfV 3
1M
wwywwRd.bw
Rezultă: Rd.bfRd.bwRd.bmax.Ed VVVkN 812 1V
E2. Verificarea rigidizărilor inimii Se verifică rigidizarea longitudinală şi rigidizările transversale ale unei grinzi cu inimă plină. Se cunosc următoarele date de proiectare:
- alcătuirea constructivă a grinzii prezentată în figura E2.1 şi figura E2.2; - se vor analiza două cazuri de încărcare, prezentate în figura E2.3.
Fig. E2.1
116
Fig. E2.2
Fig. E2.3
Evaluarea solicitărilor de calcul Momente încovoietoare maxime pentru cel două cazuri de încărcare sunt evaluate în Tabelul E2.1. Forţele tăietoare la distanţa de 0.5·hw de la reazem au valorile din Tabelul E2.2.
Rigidizarea transversală se va verifica la o forţă tăietoare kN2718VEd şi la o forţă
concentrată transversală kN13509005.1QN EdEd.st .
117
Tabelul E2.1
Cazul 1 Cazul 2
m/kN5.3g ; m/kN450p Încărcarea de calcul va fi:
m/kN6804505.15.335.1
pgq QGEd
Momentul încovoietor de calcul (maxim):
kNm88568
9680
8
LqM
22Ed
Ed
m/kN5.3g ; kN900Q Momentul încovoietor de calcul (maxim):
kNm798690055.18
95.335.1
)2Q5.3Q2(8
LgM
2
EdEd
2Ed
Ed
Tabelul E2.2
Cazul 1 Cazul 2
kN25505.15.06802
9680
)h5.0(q2
LqV wEd
EdEd
kN2718
5.15.05.335.19005.122
95.335.1
)h5.0(gQ22
LgV wEdEd
EdEd
Rigidizarea longitudinală Se realizează din oţel S355. Rigidizarea longitudinală s-a dispus înspre mijlocul zonei inactive, respectiv la 300 mm sub talpa comprimată, figura 9, la o distanţă de 0.20·b. Prin dispunerea rigidizării longitudinale panoul inimii este divizat în două subpanouri având laturile mm300b1 (subpanoul 1) şi mm1200b2 (subpanoul 2), figura 9.a. Rigidizarea longitudinală se realizează din două platbande dispuse pe o parte şi pe alta a inimii, cu dimensiunile de 100x15 mm, figura E2.4.
Fig. E2.4
Rigidizarea solicitată la compresiune din încovoierea generală a grinzii Având în vedere faptul că inima din cele două panouri adiacente rigidizării longitudinale este integral activă (efectivă), se evaluează clasa secţiunii platbandelor rigidizării longitudinale:
1Clasa29.7967.615
100
t
c
118
Secţiunea şi caracteristicile de calcul ale rigidizării longitudinale (platbandele şi zonele aferente din inimă) sunt prezentate în figura E2.5. Pentru calculul rezistenţei la încovoierea a grinzii se adoptă un calcul simplificat, luând în considerare rezemarea rigidizării pe mediu elastic (inima grinzii), respectiv „comportare tip placă”, fără considerarea interacţiunii placă-stâlp (pentru calculul „exact” a se exemplul 7.6-E3).
Fig. E2.5
Se obţin următoarele rezultate:
lungimea teoretică de flambaj:
43
22
21s
cbt
bbI33.4a cm200acm433
forţa critică de flambaj pentru caa :
kN6280bb14
abtE
a
IEN
22
21
22
23
2s
2
s.cr
coeficientul de zvelteţe redus:
s.cr
ysc
N
fA 78.060.0 (curba c)
efortul axial capabil al rigidizării longitudinale (rezistenţa la compresiune cu flambaj):
kN6211fA
N1M
yssRd.b
Pentru a nu se produce flambajul rigidizării longitudinale din acţiunea momentului încovoietor, rezistenţa la încovoiere a grinzii se evaluează cu ajutorul diagramei (2) din figura E2.6, stabilită prin luarea în considerare a claselor secţiunii celor două subpanouri adiacente rigidizării.
Fig. E2.6
119
Se obţine:
322
el.wwpl.wpl.wffpl.el cm86522
6
115113313.17153340
6
htdAdAW
Rezistenţa la încovoiere a grinzii va fi:
mkN1158100.1
355010286.2fWM 4
4
0M
ypl.elrRd.c
Având în vedere faptul că în ambele variante de încărcare a grinzii este respectată condiţia r
Rd.cEd MM , în rigidizarea longitudinală nu se va depăşi rezistenţa la compresiune.
Condiţiile prevăzute de EN 1993-1-5 §9.2 (8);(9):
E
f3.5
I
I y
p
T (a); ycr f (b)
Relaţia (a) devine:
E
f3.5
b
t
I
I y2
sl
sl
p
T
355S5.10
235S13
f3.5
E
t
b
ys
s
- cr - tensiunea critică elastică pentru flambaj prin torsiune, fără luarea în considerare a rotirii datorită plăcii:
2
s
s6
p
T
p
T
p
Tcr b
t10807.0
I
I
6.2
E
I
I
)1(2
E
I
IG
- secţiuni din platbande;
- - parametru care asigură un comportament de Clasa 3 a rigidizării. EC3-1-5 recomandă 6 , fără să fie făcute precizări referitoare la tipul secţiunii rigidizării. În lucrarea [8] se recomandă 2 , pentru rigidizările cu secţiune deschisă şi 6 pentru rigidizările rigide la torsiune (secţiuni T, L). În cazul analizat se consideră 2 şi se obţine :
5.1066.615
100
t
b
s
s
condiţia (a) din EC3-1-5 este îndeplinită;
y2
26
cr f11.5cm/daN15818100
1510807.0
25 .
Rigidizările transversale Se realizează din oţel S235. Se verifică prima rigidizare de la reazem, unde forţa tăietoare este maximă. Secţiunea de calcul a rigidizării este prezentată în figura E2.7.
Fig. E2.7
Verificarea condiţiilor C1 şi C2
Se consideră acoperitor: 1/ p.crc.cr .
120
În acest caz se consideră că forţa de compresiune longitudinală este egală cu rezistenţa la compresiune a rigidizării longitudinale:
kN6211NN sRd.bEd
Se obţin următoarele valori numerice:
22
m cm/daN6.12200
1
150
1
150
101621
; 0.14
1.1/1503002350
5.18101.2u
62
44
60
4m
ref cm1564150
300
300
1501
150
101.2
6.12u
b
300w1
b
EI
Condiţia refst II este îndeplinită. Săgeata rigidizării transversale considerând o încărcare transversală a acesteia cu o forţa
concentrată sRd.btransv N02.0N , figura E2.8.
Fig. E2.8
În această ipoteză se obţine:
mm07.0101506334101.23
1203010162102.0
bIE3
bbNw
6
222
st
22
21.transv
el
mm5300
bmm07.0wel
Verificarea condiţiilor prevăzute de EN 1993-1-5 (§9.2 (8);(9))
Se consideră: 2 : E
f3.5
I
I y
p
T (a); ycr f2 (b)
În cazul rigidizărilor transversale se obţine:
131215
180
t
b
s
s
condiţia (a) din EC3-1-5 este îndeplinită;
yy2
26
cr f2f38.2cm/daN6045180
1510807.0
Pentru panoul de reazem avem 21h/a w .
43233w
4st cm22511505.1a/th5.1cm6334I
121
Verificarea rigidizării transversale din acţiunea forţei tăietoare prin dezvoltarea câmpurilor diagonale cu tensiuni de întindere
Din acţiunea câmpului diagonal din panourile adiacente rigidizării se dezvoltă o forţa de compresiune rezultantă în rigidizare a cărei valoare de calcul se obţine din relaţia:
kN165310)1.13/(1150355062.1
12718
3/thf1
VNN
22
1Mwwyw2w
Edten.stEd
Deoarece forţa de compresiune rezultată din acţiunea câmpului diagonal este mai mare decât forţa transversală concentrată, respectiv EdEd.stten.st QNN , pentru verificarea rigidizării la
compresiune se va utiliza forţa ten.stEd NN .
unde: 62.134.981.0104.37
1500
kt4.37
h
w
ww
; 34.9a
h00.434.5k
2w
Secţiunea efectivă a rigidizării:
3Clasa14141215
180
t
c1010
st
secţiunea este activă integral.
Rezistenţa rigidizării la compresiune cu flambaj pentru wcr h8.0L este:
kN1707101.1
23509.790.1
fAN 2
1M
yststRd.b
> kN1653NEd
2.014.019.93
1
9.8
1508.01
i
L
1
cr
1
Verificarea rigidizării din acţiunea forţei longitudinale şi a forţei transversale verticale concentrată
Având în vedere acţiunea simultană a forţei verticale şi a forţelor longitudinale rezultate din acţiunea momentului încovoietor, se va adăuga forţa de compresiune suplimentară Ed.stN .
Relaţiile de verificare C1 şi C2 vor fi: 300
bw ;
1M
ymax
f
Se obţin următoarele rezultate numerice:
kN288101506.12b
N 22
2
2
2m
Ed.st
kN16382881350NNN Ed.stEd.stEd.st
daN109.2)1508.0(
6334101.2
L
IEN 6
2
62
2cr
st2
st.cr
cm5.0300
bcm03.0
1101638
109.2
1
300
150
1N
N1
ww
2
6
Ed.st
st.cr0
22
22
maxst
Ed.st
st
Ed.stmax
cm/daN21361.1
2350cm/daN19435.18
6334
53.0101638
9.79
101350
eI
fN
A
N
Condiţiile prevăzute sunt îndeplinite.
122
10. FLAMBAJUL LATERAL AL GRINZILOR CU INIMǍ PLINǍ
10.1. Aspecte generale Grinzile solicitate la încovoiere simplă au rigidităţi mult diferite după cele două axe
principale ( zy II ), ca urmare sunt expuse pericolului flambajului lateral al tălpii comprimate
(pierderea stabilităţii generale sau flambaj prin încovoiere), fenomen asemănător cu flambajul prin încovoiere - răsucire al barelor comprimate, figura 10.1.
Fig. 10.1. Flambajul lateral al grinzii dublu T În cazul în care talpa comprimată a grinzii nu este fixată împotriva flambajului lateral, prin elemente ale structurii din care acesta face parte, se impune verificarea grinzii la pierderea stabilităţii generale, chiar şi în situaţia în care eforturile unitare din încovoiere sunt mult inferioare celor limită.
Modelul matematic de calcul la flambaj lateral are la bază următoarele ipoteze: deformaţiile grinzii în planul de rigiditate minimă nu sunt însoţite de deformarea secţiunii
transversale a barei (secţiunea se roteşte ca un disc rigid în jurul centrului de răsucire C, respectiv S – după notaţia EC);
se admite că în starea deformată a grinzii, încărcările rămân paralele cu direcţia iniţială. În studiul flambajului lateral al grinzilor cu inimă plină intervin următorii parametri (figura 10.2): - schema de încărcare a grinzii, caracterizată prin coeficienţii C1, C2 şi C3; - nivelul de aplicare al sarcinilor pe înălţimea secţiunii transversale a barei, precizat prin
coordonata za, a punctului A în care se aplică încărcarea; - forma secţiunii transversale a barei (prin curba de flambaj) şi caracteristicile de rezistentă
ale secţiunii (A, Iy, Iz, I, IT); - condiţiile de rezemare faţă de cele două plane principale de inerţie, prin coeficienţii k; kw; - marca oţelului caracterizată prin limita de curgere fy.
123
Fig. 10.2. Sistemul de axe şi de notare a caracteristicilor de calcul
În continuare se va prezenta modul de calcul al momentului critic de pierdere a stabilităţii prin încovoiere – răsucire pentru două cazuri simple:
grinda cu secţiune dreptunghiulară, încărcată cu momente încovoietoare la capete; grindă cu secţiune dublu T, bisimetică, încărcată cu momente încovoietoare la capete.
În ambele cazuri reazemele împiedică deplasările laterale si răsucirea secţiunilor de capăt, dar permit deplanarea si rotirea în jurul axelor secţiunii transversale y si z (acest caz se mai denumeşte cazul standard). Pentru calcul, se consideră următoarele ipoteze: - bara este perfect dreaptă, fără nici un tip de imperfecţiuni (geometrice sau de material); - materialul are o comportare liniar elastică; - deplasările sunt mici. Grinda cu secţiune dreptunghiulară
Ecuaţia diferenţială a fibrei medii deformate în planul de rigiditate minimă este:
0adx
d 22
2
(10.1)
unde: zT
2y2
EIGI
Ma
Soluţia ecuaţiei diferenţiale (10.1) este de forma: axcosBaxsinA (10.2) În cazul barei simplu rezemate la capete şi fixată pe reazeme de tip furcă, condiţiile de capăt sunt:
0 pentru x = 0 şi x = L
rezultă: B = 0 şi L
a
Valoarea critică a momentului încovoietor yM (care conduce la pierderea stabilităţii
generale) are valoarea:
zTE
cr.y EIGIl
M
(10.3)
124
Grinda cu secţiune dublu T, cu două axe de simetrie (fig. 10.1 şi 10.3)
Considerând configuraţia deformată din figura 10.3, se pot scrie trei ecuaţii de echilibru, pentru aflarea deplasărilor necunoscute u, v şi . În conformitate cu ipoteza deplasărilor mici, pentru secţiunea transversală, se pot considera caracteristicile din poziţia nedeformată.
Segmentul A-C
Fig. 10.3
Pentru încovoiere după axa y1 , considerând yy1y McosMM , ecuaţia de echilibru se
poate scrie:
0Mdx
)x(vdEI y2
2
y (10.4.a)
Pentru încovoiere după axa z1 , considerând yy1z MsinMM , ecuaţia de echilibru
este:
0M)x(dx
)x(udEI y2
2
z (10.4.b)
Pentru răsucire în jurul axei x1 , considerând )dx/du(M)dx/dusin(MT yy , ecuaţia
diferenţială pentru torsiune neuniformă este:
0dx
)x(duM
dx
)x(dGI
dx
dEi yT3
3
(10.4.c)
Ecuaţia (10.4.a) este ecuaţia diferenţială utilizată în mod obişnuit pentru încovoierea după axa de inerţie maximă şi depinde numai de deplasarea verticală a grinzii v(x). Ecuaţiile (10.4.b) şi (10.4.c) sunt cuplate. Derivând ecuaţia (10.4.c) în raport cu x şi
înlocuind expresia 22 dx/)x(ud din ecuaţia (10.4.b), se obţine următoarea ecuaţie diferenţială de ordinul IV:
125
0)x(EI
M
dx
)x(dGI
dx
)x(dEI
z
2y
2
2
T4
4
(10.5)
Impunând condiţiile de margine:
0dx
ud
dx
udLu0u
Lx2
2
0x2
2
(10.6.a)
0dx
d
dx
dL0
Lx2
2
0x2
2
(10.6.b)
Soluţiile care verifică condiţiile (10.6) sunt:
L
xsinCu 1
;
L
xsinC2
Înlocuind soluţiile în ecuaţia diferenţială (10.5) se obţine valoarea critică a momentului încovoietor pentru grinda dublu T, dublu simetrică, încărcată cu moment încovoietor la capete:
T2
2
2z
2E
cr.y GIL
EI
L
EIM (10.7)
În cazurile practice de proiectare şi realizare a construcţiilor şi podurilor metalice, grinzile pot fi cu secţiune monosimetrică, cu alte condiţii de rezemare, atât în plan vertical cât şi pentru rotirea după axa de inerţie minimă, respectiv pentru deplanare, precum şi diferite cazuri de încărcare şi implicit diagrame de moment încovoietor.
Determinarea momentului critic pentru fiecare caz particular presupune rezolvarea unor ecuaţii diferenţiale complexe, motiv pentru care în activitatea de proiectare se utilizează expresii acoperitoare aproximative, aplicabile pentru situaţiile curente de calcul structural.
10.2. Flambajul lateral (deversarea elementelor încovoiate) conform normativului EN 1993
Rezistenţa la flambaj Grinzile cu inimă plină, fără legături de fixare laterală, solicitate la încovoiere plană, se verifică la flambaj lateral prin torsiune cu relaţia:
0.1M
M
Rd.b
Ed (10.8)
Mb.Rd – momentul rezistent la flambaj lateral se determină cu relaţia:
1M
yyLTRd.b
fWM
(10.9)
unde:
4Clasa:tiunisecW
3Clasa:tiunisecW
2si1Clasa:tiunisecW
W
y.eff
y.el
y.pl
y (10.10)
- LT - factorul de reducere pentru flambaj lateral. Curbe de flambaj Pentru grinzi cu secţiune constantă, coeficientul de reducere LT se determină în funcţie de
coeficientul de zvelteţe LT , cu relaţia:
126
1dar1
LT2LT
2LTLT
LT
(10 11)
unde:
-
2LTLTLTLT 2.015.0 ;
- LT - factor de imperfecţiune; cr
yyLT
M
fW ;
- Mcr – momentul elastic critic pentru flambaj lateral. Factorul de imperfecţiune LT , corespunzător curbei de flambaj are valorile recomandate
în tabelul 10.1. Tabelul 10.1
Curba de flambaj a b c D Factorul de imperfecţiune LT 0.21 0.34 0.49 0.76
Încadrarea secţiunilor în curbele de flambaj lateral corespunzătoare se va face conform recomandărilor din tabelul 10.2.
Tabelul 10.2
Secţiune transversală Limite Curba de flambaj 2b/h a
Profile laminate dublu T 2b/h b
2b/h c Secţiuni sudate dublu T
2b/h d Alte secţiuni - d
Pentru coeficienţi de zvelteţe 4,00.LTLT sau 2
0.LTcrit
Ed
M
M (SR EN 1993-1-1:2005,
§6.3.2.2), efectele flambajului lateral pot fi neglijate.
Determinarea momentului critic de flambaj lateral Pentru un element cu secţiunea transversală dublu T, dublu sau monosimetrică, constantă
în lung, momentul încovoietor elastic critic de pierdere a stabilităţii generale (flambajul lateral), cu notaţiile din figura 10.2, este dat de relaţia:
j3g2
2j3g2
z2
t2
z
w2
w2z
2
1cr zCzCzCzCEI
GIkL
I
I
k
k
kL
EICM (10.12.a)
Pentru secţiuni I dublu simetrice, relaţia pentru determinarea momentului critic elastic devine:
g2
2g2
z2
t2
z
w2
w2z
2
1cr zCzCEI
GIkL
I
I
k
k
kL
EICM (10.12.b)
unde: - C1,C2 şi C3 sunt coeficienţii funcţie de modul de încărcare a grinzilor (diagrama M) şi
condiţiile de rezemare, tabelul 10.3 [32] şi Anexa A [40];
127
Tabelul 10.3
Coeficienţi C1, C2 şi C3 Condiţii de încărcare Diagrama M Valoarea k C1 C2 C3
Ψ=
+1 1,0
0,7 0,5
1,000 1,000 1,000
- 1,000 1,113 1,144
Ψ =
3/4 1,0
0,7 0,5
1,141 1,270 1,305
- 0,998 1,565 2,283
Ψ=
+1/
2 1,0 0,7 0,5
1,323 1,473 1,514
- 0,992 1,556 2,271
Ψ=
+1/
4 1,0 0,7 0,5
1,563 1,739 1,788
- 0,997 1,531 2,235
Ψ=
0 1,0 0,7 0,5
1,879 2,092 2,150
- 0,939 1,473 2,150
Ψ=
-1/
4 1,0 0,7 0,5
2,281 2,538 2,609
- 0,855 1,340 1,957
Ψ=
-1/
2 1,0 0,7 0,5
2,704 3,009 3,093
- 0,676 1,059 1,546
Ψ=
-3/
4 1,0 0,7 0,5
2,927 3,258 3,348
- 0,366 0,575 0,837
Ψ=
-1
1,0 0,7 0,5
2,752 3,063 3,149
- 0,000 0,000 0,000
1,0 0,5
1,132 0,972
0,459 0,304
0,525 0,980
1,0 0,5
1,285 0,712
1,562 0,652
0,753 1,070
1,0 0,5
1,365 1,070
0,553 0,432
1,730 3,050
1,0 0,5
1,565 0,938
1,267 0,715
2,640 4,800
1,0 0,5
1,046 1,010
0,430 0,410
1,120 1,890
128
- dAzyzI2
1zz
A
22
ysj - coeficient care ţine cont de asimetria secţiunii
transversale în raport cu axa y-y (zj = 0 – pentru secţiuni dublu simetrice);
- 22 mm/N77080G;mm/N000210E
Cu notaţiile din figura 10.2, jz , se poate calcula cu relaţiile:
5.0pentru12h5.0
5.0pentru12h4.0z
ffs
ffsj unde:
ft3ftfc
3fc
fc3fc
ftbtb
tb
Se adoptă următoarea convenţie pentru semnul pozitiv, figura 10.4: - z - pozitiv de la centrul de greutate spre talpa comprimată; - az - pozitiv când forţa are efect destabilizator;
- gz - pozitiv când forţa acţionează din punctul de aplicare spre centrul de forfecare;
- jz - pozitiv atunci când talpa cu momentul zI mai mare este în zona comprimată.
Fig.10.4
Produsul g2zC ţine cont de poziţia punctului de aplicare al încărcării pe bara încovoiată, în
relaţie cu poziţia centrului de forfecare. Aşa cum se arată sugestiv în figura 10.5, o încărcare verticală aplicată sub centrul de forfecare al secţiunii (care coincide cu centrul de greutate al secţiunii, în cazul secţiunilor dublu-simetrice), are un efect stabilizator, în timp ce, aceiaşi încărcare aplicată deasupra centrului de forfecare, are un efect destabilizator [39].
Fig. 10.5
129
Verificarea lungimii stabile a unui tronson de bară Verificarea stabilităţii generale a unui tronson de bară supusă la încovoiere, între două legături transversale, se poate efectua verificând dacă lungimea acestuia este mai mică decât lungimea stabilă. Pentru tronsoanele barelor cu secţiune uniformă de tip I sau H pentru care 40t/h f , supuse la un moment de încovoiere variabil liniar şi fără compresiune axială semnificativă, lungimea stabilă se poate determina astfel:
625.01:pentrui)4060(
1625.0:pentrui35L
z
zstabila (10.13)
în care: - – raportul momentelor încovoietoare de la extremităţile tronsonului de bară; - iz – raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slabă a secţiunii. Pentru secţiuni transversale de Clasa 4 se va lua:
c.w.efff.eff
f.effz
A3
1A
Ii
(10.14)
unde: - Ieff.f – momentul de inerţie a tălpii comprimate eficace, în raport cu axa slabă a secţiunii; - Aeff.f – aria eficace a tălpii comprimate; - Aeff.w.c – aria eficace a părţii comprimate a inimii.
Metoda alternativă de calcul pentru profile laminate sau secţiuni sudate echivalente În conformitate cu SR EN 1993-1-1, factorul de reducere LT pentru profile laminate sau secţiuni sudate se determină cu relaţia:
2LT
2LTLT
LT1
, dar
2
LTLT
/1
0.1 (10.15)
în care:
-
2LT0.LTLTLTLT 15.0 ;
- 4.00.LT (valoare maximă) şi 75.0 (valoare minimă);
- LT - zvelteţea redusă, calculată la fel ca în metoda generală. Curbele de flambaj adoptate depind şi în acest caz de geometria secţiunii transversale şi sunt prezentate în tabelul 10.4.
Tabelul 10.4
Secţiune transversală Limite Curba de flambaj 2b/h b
Profile laminate dublu T 2b/h c
2b/h c Secţiuni sudate dublu T
2b/h d
130
În această metodă, alura diagramei de moment încovoietor între legăturile transversale ale elementului structural verificat, este considerată în calcul printr-un factor de reducere modificat
mod.LT , calculat cu relaţia:
1dar,f mod.LTLT
mod.LT
(10.16)
Parametrul f are valoarea minimă recomandată:
2LTc 8.00.21k15.01f dar 0.1f (10.17)
Valoarea factorului de corecţie ck este dată în tabelul 10.5. Tabelul 10.5
În Tabelul 10.5 sunt prezentate trei seturi de diagrame de moment încovoietor. Primul set se referă la bare încovoiate cu momente pe capete. Al doilea set de diagrame poate reprezenta cazul încărcării uniform distribuite pe lungimea barei, combinate cu momente pe capăt. Pentru cel de al treilea set, diagramele pot reprezenta cazul unei încărcări concentrate aplicate la mijlocul deschiderii barei, combinate cu momente pe capăt. Condiţiile de rezemare nu sunt relevante, deoarece sunt deja reproduse prin diagramele de moment. Valorile kc prezentate în Tabelul 10.5 corespund unor situaţii uzuale; unele valori sunt exacte, iar altele sunt aproximative [39].
Metoda simplificată pentru grinzi cu legături transversale Rezistenţa la flambaj prin încovoiere – răsucire a elementelor structurale solicitate la încovoiere poate fi îmbunătăţită prin introducerea unor legături transversale discrete în lungul barei încovoiate, care să fixeze zona comprimată a secţiunii transversale de alte puncte din structură. Un exemplu tipic în acest sens este fixarea tălpii inferioare a unei grinzi de panele de acoperiş, aşa cum se arată în figura 10.6. În acest caz, fixarea tălpii superioare se realizează direct
131
prin pane, în zonele de rezemare a acestora pe grindă, iar talpa inferioară se fixează de pane prin contrafişe.
Fig. 10.6
Barele încovoiate a căror talpă comprimată este prevăzută cu legături transversale discrete
nu trebuie verificate la stabilitate generală dacă lungimea Lc dintre legături sau zvelteţea f a tălpii comprimate echivalente, satisface condiţia:
Ed.y
Rd.c0c
1z.f
ccf
M
M
i
Lk
(10.18)
în care:
- Lc – lungimea barei încovoiate între legături; - My.Ed – momentul de calcul maxim între legături;
- 1M
yyRd.c
fWM
;
- Wy – modulul de rezistenţă în raport cu talpa comprimată; - ck – factor de corecţie al zvelteţii, care ţine seama de distribuţia momentului încovoietor
între legături (tabelel 10.4); - z.fi – raza de giraţie a secţiunii formate din talpa comprimată a grinzii plus o treime din
talpa comprimată a inimii, în raport cu axa de inerţie minimă a secţiunii;
- 1.00.LT0.c – parametrul de zvelteţe limită a tălpii comprimate echivalente; - 9.931 .
Dacă zvelteţea tălpii comprimate echivalente, f , depăşeşte limita dată prin relaţia (10.18), momentul capabil al barei încovoiate pentru flambaj prin încovoiere – răsucire poate fi determinat cu relaţia:
Rd.cRd.cfRd.b MMkM (10.19) unde: - 10.1kf – factor de modificare care ia în considerare faptul că metoda tălpii comprimate echivalente oferă rezultate conservative; - – factor de reducere pentru talpa comprimată echivalentă. Pentru aplicarea relaţiei (10.19), se consideră următoarele curbe de flambaj:
curba d – pentru secţiuni sudate cu 44t/h f ;
curba c – pentru celelalte secţiuni.
132
Anexa A
În cazul unor situaţii complexe, elemente cu momente la capete (elemente dublu încastrate sau porţiuni între două blocaje transversale) încărcate cu sarcini uniform distribuite sau concentrate, pentru determinarea coeficienţilor C1 şi C2, se recomandă procedura din SN003a-EN-EU – NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling [40]. Pentru elemente structurale, sub efectul combinat al momentelor încovoietoare aplicate la capete si al încărcărilor transversale direct aplicate (fig. A.1), coeficienţii C1 si C2, se pot obţine din monogramele prezentate în anexă. Se consideră două cazuri distincte: a) momente încovoietoare aplicate la capete si încărcărilor transversale uniform distribuite; b) momente încovoietoare aplicate la capete si o încărcare transversală concentrată aplicată la mijlocul deschiderii.
Fig. A.1: Momente pe capete si încărcări transversală
Distribuţia momentului încovoietor poate fi determinată folosind doi parametri: - - raportul momentelor de capăt. Prin definiţie, M este momentul încovoietor de capăt maxim, astfel: 11 ( = 1 pentru momentul încovoietor uniform); - - raportul dintre momentul datorat încărcării transversale si momentul încovoietor de capăt maxim, M:
)bcazulM4
FL
)acazulM8
qL2
(A.1)
Pentru coeficientul se adoptă următoarea convenţie de semne:
0 - dacă M şi încărcarea transversală (q sau F), considerate că acţionează individual, deformează grinda în aceiaşi direcţie; 0 - dacă M şi încărcarea transversală (q sau F), considerate că acţionează individual, deformează grinda în direcţii diferite. Coeficienţii C1 şi C2 au fost determinaţi pentru 1kk w . Coeficientul C3 are valoare unitară atunci când momentele încovoietoare de pe capetele elementului structural produc compresiune pe aceiaşi talpă, pe toată lungimea grinzii. În caz contrar, coeficientul C3 se calculează funcţie de parametrul f care se determină cu formula:
ftfc
ftfcf II
II
(A.2)
În care Ifc şi Ift reprezintă momentul de inerţie al tălpii comprimate, respectiv întinse, a secţiunii transversale, calculate în raport cu axa de inerţie z-z.
133
Fig. A.2: Momente pe capete si încărcare uniform distribuită – Factorul C1
134
Fig. A.3: Momente pe capete si încărcare uniform distribuită – Factorul C2
135
Fig. A.4: Momente pe capete si încărcare concentrată la mijlocul deschiderii – Factorul C1
136
Fig. A.5: Momente pe capete si încărcare concentrată la mijlocul deschiderii – Factorul C2
137
10.3. Exemplu numeric Evaluarea stărilor limită ultime
Se evaluează stările limită ultime pentru o grindă metalică cu inimă plină, secţiune dublu T alcătuită sudat.
Se cunosc: - material S 235 ; - schema statică, încărcarea şi secţiunea grinzii (fig. E.1).
f x f
350 x 15
p
z
hw x tw1200 x 8
4 000
y
2 0004 000
12 0004 000
Fig. E.1
Calculul grinzilor cu inimă plină la stări limită în conformitate cu normativul Eurocode 3
presupune efectuarea următoarelor verificări de rezistenţă: rezistenţa secţiunii transversale la încovoiere; rezistenţa secţiunii transversale la forţă tăietoare; rezistenţa la flambaj lateral (deversare); rezistenţa la voalare din forfecare; rezistenţa la flambaj vertical al tălpii comprimate; rezistenţa la acţiunea forţelor locale concentrate.
Clasa secţiunii. Caracteristicile secţiunii eficace (efective)
Stabilirea clasei secţiunii
Fig. E.2
Talpa comprimată (fig. E.2):
3Clasatalpa
14144.1115/171t/c1010
Inima: 1241508.0
120
t
d
w
clasa 4
Clasa secţiunii = max. { clasa tălpii; clasa inimii} = 4
Secţiunea eficace a inimii Inima grinzii este un element rezemat pe două laturi (perete interior), solicitat la încovoiere,
figura E.3.
138
bp=hw=1200
bc=bp/2 bt=bp/2be1 be2
1
t=tw
=8
2compresiune
Fig. E.3
Pentru Ψ = 01
2
avem: beff= pc bb / 1 ;
be1=0.4 beff; be2=0.6 beff În acest caz: = - 1 kσ =23.9.
Rezultă : 08.19.2314.28
8/1200
k4.28
t/bpp
; 673.008.1p
Se obţine:
84.008.1
)13(05.008.1)3(055.022
p
p
Lăţimi efective: beff = 0.84ּ 60 = 50.4 cm; be1=20.2 cm; be2=30.2 cm Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor
unitare este prezentată în figura E.4. Caracteristicile de calcul ale secţiunii brute şi eficace sunt centralizate în tabelul E.1.
Fig. E.4
Tabelul E.1
Caracteristica EC 3 Ag Aeff Iy Iy eff Iz Iz eff
U.M. cm2 cm2 cm4 cm4 cm4 cm4 Valoarea 201 193.34 502 730 492 910 10 724 10 723
Caracteristica EC 3 Wy Wy eff Iω It Wpl.y
U.M. cm3 cm3 cm6 cm4 cm3 Valoarea 8 174 7 838 39.58·106 100 9 259
Evaluarea rezistenţelor secţiunii
Rezistenţa secţiunii transversale la încovoiere monoaxială Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă) a secţiunii transversale la încovoiere
monoaxială, pentru secţiuni de clasa 4, este:
Mc.Rd = 4
0Myeff.y 101842
1.0
123507838
1fW
daN·cm = 1 842 kNּm
139
Rezistenţa secţiunii transversale la forţă tăietoare Valoarea de calcul a rezistenţei plastice la forfecare, Rd.plV , este:
2
0M
ywRd.pl 10
0.1
1
3
2350962.11
3
fAV 1563 kN
Rezistenţa la flambaj lateral (deversare)
Pentru secţiuni I dublu simetrice, momentul critic elastic este:
g2
2g2
z2
t2
z
w2
w2z
2
1cr zCzCEI
GIkL
I
I
k
k
kL
EICM = 6 166 kN·m
în care: 2
z2
kL
EI=
2
62
400
10724101.2 =138.94·104 daN
C1=1.132; C2=0.459; k=kw=1; L=1200/3=400 cm
54.0106166
23507838M/fW
4cryy.effLT
74.0LTLT - curba d (h/b>2)
Rezistenţa de calcul la deversare (capacitatea portantă la încovoiere având în vedere
pierderea stabilităţii prin încovoiere laterală şi răsucire) va fi:
1Myeff.yLTRd.b /fWM = (0.74·7838·2350/1.1)10-4 =1239 kN·m
Rezistenţa la voalare din forfecare
2.1;1 ; 2.67k311508
1200
t
d
w
;
k 2d/a
434,5 =
2120/200
434,5 = 6.77
Se calculează coeficientul de zvelteţe relativă a inimii:
54.177.614.37
8.0120
k4.37
t/df76.0
3/f w
cr
yw
cr
yww
Deoarece w
=1.54 > 1.08, rezultă: 60.0
7.0
37.1
ww
Forţa tăietoare care poate fi preluată de inimă (contribuţia inimii), fără a se produce fenomenul de voalare este:
daN045711.13
96235060.0
3
thfV
1M
wywwRd.bw
cr =2
2
2
2i
2cm/daN709
1200
8100
66.1
9501250
d
t100)
9501250(
Rezistenţa la flambaj vertical al tălpii comprimate în planul inimii Pentru ca fenomenul de flambaj vertical al tălpii comprimate în planul inimii să nu se poată
produce se verifică condiţia:
fc
w
yfw
w
A
A
f
Ek
t
h
; k = 0.55 – pentru talpă comprimată clasa 3 sau 4.
140
w
w
t
h= 150
8.0
120 ;
fc
w
yf A
A
f
Ek
=
355.1
1208.0
2350
101.255.0
6
= 665
Condiţia de rezistenţă este îndeplinită Rezistenţa la acţiunea forţelor locale concentrate Această verificare nu este necesar să fie efectuată deoarece nu se aplică încărcări
concentrate la talpa comprimată.
141
11. VERIFICAREA LA OBOSEALĂ
11.1. Verificarea la oboseală a grinzilor de poduri metalice Verificarea unei suprastructuri la starea limită de oboseală constă în asigurarea unui nivel de probabilitate acceptabil pentru ca ruperea prin oboseală să nu se producă sau, pentru ca să nu fie nevoie de reparaţii pentru remedierea unor degradări din oboseală pe toată durata de viaţă impusă construcţiei. În cazul podurilor rutiere (conform SR EN 1993-2, punctul 9.2.2 şi SR EN 1994-2, punctul 6.8.4), pentru verificările la oboseală se foloseşte Modelul de încărcare la oboseală 3, figura 11.1.
Fig. 11.1
Modelul este alcătuit din 4 osii, încărcarea pe fiecare osie fiind 120 kN. Atunci când este relevant, trebuie luate în considerare două vehicule pe aceeaşi bandă de circulaţie, cel de-al doilea vehicul având încărcarea pe fiecare osie de 36 kN, iar distanţa între două vehicule, măsurată între centrele lor nu este mai mică de 40 m.
D este distanţa de la rostul de dilataţie
Amplificarea dinamică este inclusă în model. În zona rosturilor de dilataţie se va considera un coeficient suplimentar de amplificare dinamică fat , conform
figurii 11.2. Fig.11.2
Pentru verificarea podurilor de cale ferată la oboseală se folosesc valorile caracteristice ale
modelului de încărcare LM 71 (EN 1991-2), incluzând coeficientul dinamic 2 , în concordanţă cu datele referitoare la trafic specificate de autorităţile competente. Verificarea la oboseală se efectuează pentru toate elementele structurale componente ale podului.
Verificările la oboseală trebuie făcute funcţie de natura traficului pe linia pe care este amplasat podul (trafic standard, predominant greu, trafic mixt etc.). În general traficul mixt este reprezentativ pentru traficul real.
142
Tonajul anual din trafic se consideră 25106 tone pe fiecare linie, iar durata de viaţă normală a structurii de 100 de ani.
Conform EN 1993-1-9:2003 şi EN 1993-2, trebuie verificate următoarele condiţii: Ecartul de eforturi unitare:
3/f5.1
f5.1
y
y
(11.1)
2. Rapoartele între valorile de calcul ale ecarturilor de tensiuni şi valorile ecarturilor de tensiuni pentru oboseală:
0.1/
0.1/
MfC
2.EFf
MfC
2.EFf
(11.2)
3. Efectul combinat al eforturilor unitare normale şi al eforturilor tangenţiale (stare de tensiune plană):
0.1//
5
MfC
2.EFf3
MfC
2.EFf
(11.3)
În aceste relaţii: - CC, - valorile de referinţă ale rezistenţei la oboseală la 2106 cicluri de solicitare pentru detaliul constructiv relevant, date în EN 1993 -1-9, funcţie de categoria detaliului constructiv (grupa de crestare), fig.11.3;
a) curbele N
Fig.11.3
143
b) curbele N
Fig.11.3 (continuare)
- ecarturile echivalente de eforturi unitare pentru 2×106 cicluri de solicitare (vătămările datorate spectrului ecarturilor de eforturi unitare produse de un ecart echivalent pentru 2×106 cicluri de solicitare) : P22E (11.4.a)
P22E (11.4.b)
- - factor de echivalenţă a vătămărilor. Factori echivalenţi pentru poduri de cale ferată Factorul de echivalenţă al vătămărilor pentru poduri CF cu deschiderea de până la 100 m este: 4.1max4321 (11.5)
- 1 - factor stabilit funcţie de schema statică, care ţine cont de vătămarea produsă de trafic - Tabelul 9.3 şi Tabelul 9.4 – EN 1993 –2. Observaţie:
La determinarea factorului 1 intervine lungimea critică a liniei de influenţă, Li ,(a se vedea Tabelul
9.4 din EC3-2), care diferă pentru moment încovoietor şi forfecare. - 2 - factor care ţine seama de volumul traficului - Tabelul 9.5 – EN 1993 – 2.
12 - pentru un tonaj anual din trafic de 25×106 tone;
- 3 - factor funcţie de durata de viaţă normată a podului - Tabelul 9.6 – EN 1993-2.
13 - pentru o durată de viaţă de 100 ani;
- 4 - factor care ia în considerare existenţa mai multor linii de cale ferată pe pod - Tabelul 9.7- EN 1993 – 2. 4 = 1 - pentru o linie CF;
144
- ecarturile de tensiuni: minPmaxPP (11.6.a)
minPmaxPP (11.6.b)
- 2 - coeficientul dinamic , conform EN 1991-2:
82.02.0L
44.12
(11.7)
- L - lungimea determinantă a elementului structural verificat, conform EN 1991-2
- Ff - coeficient parţial de siguranţă pentru acţiunile de oboseală. Dacă în proiect nu este
specificat altfel, Ff =1;
- Mf - coeficient parţial de siguranţă pentru rezistenţa la oboseală, conform EN 1993-1-9 – Tabelul 11.1. Tabelul 11.1 Coeficientul fM
Consecinţa cedării Metoda de evaluare redusă importantă
Vătămare tolerată 1.00 1.15 Siguranţă de viaţă 1.15 1.35
Pentru cazurile uzuale de proiectare, coeficienţii 321 ,, sunt prezentaţi în Tabelele
11.2.a; b; c. Tabelul 11.2.a Coeficientul 1
Tabelul 11.2.b Coeficientul 2
Trafic pe an [106t]
5 10 15 20 25 30 35 40 50
2 0.72 0.83 0.90 0.96 1.00 1.04 1.07 1.10 1.15
Tabelul 11.2.c Coeficientul 3
Durata de viaţă [ani]
50 60 70 80 90 100 120
3 0.87 0.90 0.93 0.96 0.98 1.00 1.04
145
Pentru cazurile curente de proiectare, lungimea determinantă L este dată în Tabelul 11.3.
Tabelul 11.3
CAZ ELEMENTUL STRUCTURAL LUNGIMEA DETERMINANTĂ L
Platelaj metalic - calea închisă în cuvă de balast (platelaj ortotrop – tensiuni locale) Platelaj cu rigidizări transversale şi nervuri (rigidizări) longitudinale continue 1.1. Tola (pentru ambele direcţii) - 3 × distanţa antretoaze 1.2. Rigidizări longitudinale - 3 × distanţa antretoaze 1 1.3. Antretoaze (rigidizări transversale) - 2 × lungime antretoază Platelaj prevăzut numai cu rigidizări transversale 2.1. Tola (pentru ambele direcţii) - 2 × distanţa antretoaze + 3 m 2 2.2. Antretoaze - 2 × distanţa antretoaze + 3 m
Grinzile căii – calea deschisă (pentru tensiuni locale şi transversale) – se recomandă 3
3.1. Lonjeron: - ca element al reţelei de grinzi - 3 × distanţa antretoaze - simplu rezemat - distanţa antretoaze + 3 m 3
3.2. Antretoaze - 2 × lungime antretoază Platelaj din beton cu calea în cuvă de balast
4 A se vedea tabelul 6.2 din EC 1- 2
Grinzi principale 5.1. Grinzi simplu rezemate - deschiderea grinzii
5 5.2. Grinzi continue peste n reazeme mLkL ; im L
n
1L
n 2 3 4 5 k 1.2 1.3 1.4 1.5
Factori echivalenţi pentru poduri rutiere Factorul echivalent corespunzător vătămării pentru podurile de şosea a căror deschidere nu depăşeşte 80 m se obţine astfel:
= 1 × 2 × 3 × 4 dar max (11.8)
în care:
1 - factor care ţine seama de efectul vătămării din trafic şi depinde de lungimea sau suprafaţa de influenţă;
2 - factor care ţine seama de volumul traficului;
3 - factor care ţine seama de durata de viaţă proiectată a podului;
4 - factor care ţine seama de traficul de pe alte benzi;
max - valoarea maximă a factorului λ - ţinând seama de limita de oboseală. Factorul 1 Pentru stabilirea factorului 1, lungimea critică a liniei sau a suprafeţei de influenţă se consideră după cum urmează: a) pentru momente:
- pentru o deschidere simplu rezemată, lungimea deschiderii Li ; - pentru grinzi continue, pentru secţiuni din mijlocul deschiderii, a se vedea figura 11.4,
lungimea deschiderii Li luată în considerare;
146
- pentru grinzi continue, pentru secţiuni pe reazem, a se vedea figura 11.4, media a două deschideri Li şi Lj adiacente acelui reazem;
- pentru antretoaze care susţin lonjeroni, suma a două deschideri adiacente a lonjeronilor susţinuţi de antretoază.
Fig. 11.4
b) pentru forfecare, pentru o deschidere simplu rezemată şi pentru grinzi continue:
- pentru secţiune pe reazem, a se vedea figura 11.4, deschiderea Li luată în considerare; - pentru secţiune din mijlocul deschiderii, a se vedea figura 11.4, 0,4 x deschiderea Li luată în
considerare. c) pentru reacţiuni:
- pentru reazemul de capăt, deschiderea Li luată în considerare; - pentru reazeme intermediare, suma a două deschideri adiacente Li + Lj.
d) pentru poduri în arc:
- pentru tiranţi, de două ori lungimea tiranţilor; - pentru arc, jumătate din deschiderea arcului.
Se recomandă utilizarea factorilor 1 din figura 11.5.
Factorul 2 se calculează cu relaţia:
5/1
0
Obs
0
1m2 N
N
Q
Q
(12.9)
în care: Qm1 este greutatea medie brută (kN) a camioanelor de pe banda lentă obţinută cu relaţia:
5/1
i
5ii
1mn
QnQ
; Q0 = 480 kN ; N0 = 0.5 x 106 ;
NObs este numărul total de camioane pe an, pe banda lentă;
Qi este greutatea brută a camionului i de pe banda lentă, precizată de autoritatea competentă, în kN;
ni este numărul camioanelor cu greutatea brută Qi de pe banda lentă precizată de autoritatea competentă.
Pentru valori indicate ale Qm1 şi NObs , λ2 poate fi obţinut din Tabelul 11.4.
Tabelul 11.4. Valori - 2
NObs Qm1 0 25106 0.50106 0.75106 1.00106 1.25106 1.50106 1.75106 2.00106
200 0.362 0.417 0.452 0.479 0.500 0.519 0.535 0.550 300 0.544 0.625 0.678 0.712 0.751 0.779 0.803 0.825 400 0.725 0.833 0.904 0.957 1.001 1.038 1.071 1.100 500 0.907 1.042 1.130 1.197 1.251 1.298 1.338 1.374 600 1.088 1.250 1.356 1.436 1.501 1.557 1.606 1.649
147
1 pentru momente la poduri de şosea
la mijlocul deschiderii pe reazem
Lungimea deschiderii L [m] Lungimea deschiderii L [m]
Fig. 11.5
Factorul 3 se calculează cu relaţia:
5/1
Ld3 100
t
(12.10)
în care tLd este durata de viaţă proiectată a podului în ani, Tabelul 11.5.
Tabelul 11.5. Valori - 3 Durata de viaţă proiectată în ani
50 60 70 80 90 100 120
Factorul 3 0,871 0,903 0,931 0,956 0,979 1,00 1,037
Durata de viaţă proiectată a podului care se recomandată este: tLd = 100 de ani. Factorul 4 se determină cu relaţia:
5/15
1m1
mkk
1
k5
1m1
3m3
1
35
1m1
2m2
1
24 Q
Q
N
N
Q
Q
N
N
Q
Q
N
N1
(11.11)
în care: k - numărul benzilor cu trafic greu;
Nj - numărul camioanelor pe an, de pe banda j;
Qmj - greutatea medie brută a camioanelor de pe banda j;
j - valoarea liniei de influenţă a efortului secţional care produce ecartul de efort unitar în mijlocul benzii, care se introduce în ecuaţia (11.11) cu semn pozitiv.
Factorul max se obţine din spectrul eforturilor unitare corespunzătoare. Se recomandă utilizarea factorilor max din figura 11.6.
148
Valori max în mijlocul deschiderii pe reazem max max
Lungimea deschiderii L [m] Lungimea deschiderii L [m]
Fig. 11.6
11.2. Exemplu numeric Să se efectueze verificarea la oboseală la antretoaza unui pod metalic de cale ferată, pentru prinderea cu suduri în K a tălpilor de inimă, în zona centrală (zona de rezemare a lonjeronilor). Sunt cunoscute secţiunea antretoazei (figura E.1) şi solicitările din acţiunile produse de modelul de încărcare LM 71:
SECŢIUNE: Tălpi: bf×tf = 300×25 mm Inima: hw×tw = 1000×20 mm
Fig. E.1
SOLICITĂRI: MEd=157 268 daNm VEd=86 207 daN
daNm64268MM maxP71LM
daN10437VV maxP71LM
Se vor verifica următoarele condiţii:
1. Ecartul de eforturi unitare:
3/f5.1
f5.1
y
y
3. Rapoartele între valorile de calcul ale ecarturilor de tensiuni şi valorile ecarturilor de tensiuni pentru oboseală:
149
0.1/
0.1/
MfC
2.EFf
MfC
2.EFf
4. Efectul combinat al eforturilor unitare normale şi al eforturilor tangenţiale:
0.1//
5
MfC
2.EFf3
MfC
2.EFf
Factorul de echivalenţă al vătămărilor pentru poduri CF cu deschiderea de până la 100 m este: 4.193.011193.0 max4321 - 93.01 - Tabelul 9.4–EC3 – Part 2, pentru Li = 2×5.0 m (deschiderea lonjeronilor);
- 00.12 - Tabelul 9.5-EC3-Part 2, pentru un tonaj anual din trafic de 25×106 tone;
- 00.13 - Tabelul 9.6-EC3-Part 2, pentru o durată de viaţă de 100 ani;
- 00.14 - Tabelul 9.7-EC3-Part 2, pentru o linie CF; Coeficientul dinamic care se ia în considerare pentru verificarea la oboseală este:
28.182.02.0L
44.12
Momentul încovoietor şi forţa tăietoare pentru calculul eforturilor unitare maxime, pentru calculul la oboseală (fără considerarea coeficienţilor acţiunilor) sunt: daNm64268MM maxP71LM
daN10437VV maxP71LM
Se obţin eforturile unitare, normale şi tangenţiale, maxime şi minime:
22wmaxPmaxP mm/N2.61cm/daN61250
717560
64268
2
h
I
M ; 0minP
22
w
maxPmaxP mm/N7.12cm/daN127
2717560
384437104
tI
SV
; 0minP
unde momentul static al tălpii faţă de axa neutră: S=302.551.25=3844 cm3. Ecarturile de tensiuni:
2y
2minPmaxPP mm/N5.3522355.1f5.1mm/N2.61
2y
2minPmaxPP mm/N5.2033/f5.1mm/N7.12
Ecarturile echivalente de eforturi unitare pentru 2×106 cicluri de solicitare:
2P22E mm/N8.722.6128.193.0
2P22E mm/N157.1228.193.0
Se obţine:
150
0.122.015.1/80
151
/
0.175.015.1/112
8.721
/
MfC
2.EFf
MfC
2.EFf
Conform încadrării detaliului constructiv de îmbinare - Tabelul 8.2 şi Tabelul 8.5 din EC3-1-9 s-au utilizat valorile:
2C
2C mm/N80;mm/N112
Se verifică efectul combinat al eforturilor unitare normale şi al eforturilor tangenţiale (pentru
starea de tensiune plană):
0.142.022.075.0//
535
MfC
2.EFf3
MfC
2.EFf
În figurile următoare se prezintă zone afectate de fisuri produse cu deosebire din efectul oboselii materialului, precum şi unele soluţii de consolidare prin eclisare.
Fisură în inima antretoazei, iniţiată de sudura verticală
Fisură în talpa şi inima unei grinzi cu inimă plină
Fisură din oboseală
Fisură din oboseală în zona reazemului
151
12. STABILITATEA GENERALĂ A GRINZILOR PRINCIPALE REZEMATE ELASTIC
12.1. Aspecte generale În cazul podurilor deschise, la care talpa superioară nu este fixată în plan orizontal de o
contravântuire care să reducă lungimea de flambaj, intervine problema flambajului general al tălpii comprimate, respectiv stabilitatea generală a grinzii.
Problema flambajului general al tălpii comprimate la poduri pe grinzi, calea jos deschise, este deosebit de importantă pentru siguranţa în exploatare, consecinţele legate de pierderea stabilităţii fiind deosebit de grave sau chiar catastrofale (de-a lungul timpului fiind înregistrate mai multe accidente de această natură).
Problema stabilităţii generale a grinzilor principale se pune cu deosebire în cazul tablierelor la care grinzile sunt realizate în varianta de grinzi cu zăbrele, în cazul grinzilor cu inimă plină pericolul de pierdere a stabilităţii tălpii comprimate este mai redus.
Se recomandă să fie efectuată verificarea stabilităţii generale indiferent de modul de alcătuire a grinzilor principale – cu zăbrele sau cu inimă plină.
12.2. Baza de calcul. Grinda pe mediu elastic Modelarea tălpii superioare
Se consideră grinda cu inimă plină, având talpa superioară de secţiune constantă, solicitată la o forţă de compresiune constantă, talpa fiind prinsă la capete în semicadre transversale suficient de rigide pentru a realiza fixarea acesteia în sens transversal. În acest caz semicadrele intermediare sunt echivalente unor reazeme elastice, iar semicadrele de capăt unor reazeme rigide, figura 12.1.
Fig. 12.1. Grindă principală cu zăbrele. Schema statică a tălpii superioare
Rigiditatea minimă a reazemelor laterale elastice pentru care nodurile încep să se comporte ca şi cum ar fi nedeplasabile este:
152
⋅
=K
Pk cr
min [ ]LF (12.1)
unde:
2z
2
crEI
Pπ
= - sarcina critică Euler a barei articulată - simplu rezemată
de lungime mL= ;
K - factor numeric care depinde de numărul m al panourilor, tabelul 12.1 şi figura 12.1, ( 250.0K → pentru m > 11). Tabelul 12.1
m 2 3 4 5 6 7 8 9 K 0.500 0.333 0.293 0.276 0.268 0.263 0.258 0.255
Dacă o semiundă a tălpii comprimate flambate este mai mare decât lungimea a panoului, poate fi făcută o simplificare prin înlocuirea şirului de reazeme elastice aflate la distanţa cu un mediu elastic continuu echivalent (fig. 12.2), având modulul de elasticitate k, denumit rigiditatea liniară a mediului elastic (coeficient de pat):
0kk = ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2L
F (12.2)
Fig. 12.2. Grinda pe mediu elastic
Pentru determinarea valorilor lui k0 şi k se scrie relaţia dintre o forţă H aplicată la capătul superior al unui montant şi deplasarea δ care s-ar produce dacă talpa superioară ar fi înlăturată, figura 12.3:
a
a20
m
3v
EI2
bHh
EI3
Hh+=δ (12.3)
unde: mI - momentul de inerţie al montantului;
aI - momentul de inerţie al antretoazei.
Mărimea forţei 0HH = care produce o deplasare 1=δ , este 00 kH = şi reprezintă rigiditatea reazemului elastic, calculată cu relaţia:
a
a20
m
3v
0
I2
bh
I3
h
Ek
+
= ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡L
F (12.4)
Modulul de elasticitate k (rigiditatea liniară) a mediului elastic va fi:
a
a20
m
3v
0
I2
bh
I3
h
1Ekk
+
⋅== ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡2L
F (12.5)
153
H1 – rigiditatea cadrului curent H2 – rigiditatea cadrului de capăt
Fig. 12.3. Rigiditatea semicadrelor transversale: a) grinzi principale cu inimă plină
b) grinzi principale cu zăbrele Bara comprimată pe mediu elastic
Se consideră bara dreaptă solicită la compresiune centrică de forţele N aplicate la capete,
aflată pe un mediu elastic având rigiditatea liniară (coeficientul de pat) k, figura 12.4.
Fig. 12.4. Rigiditatea mediului elastic
După pierderea formei de echilibru drepte, asupra barei va acţiona şi reacţiunea mediului elastic de intensitate uk ⋅ , unde u reprezintă săgeata fibrei medii deformate.
Pentru determinarea valorii critice a forţei de compresiune poate fi folosită metoda energetică. Expresia generală a axei deformate a barei articulată la capete este dată de seria trigonometrică:
∑=
⋅π⋅=
n
1ii L
xisinau (12.6)
Dacă: UΔ - energia potenţială de deformaţie a barei;
VΔ - lucrul mecanic efectuat de forţa de compresiune N, există următoarele stări energetice ale sistemului:
- sistem stabil - dacă UΔ > VΔ - sistem instabil - dacă UΔ < VΔ
Valoarea sarcinii critice crN se determină din condiţia UΔ = VΔ , pentru care echilibrul sistemului devine instabil.
Energia potenţială de deformaţie a barei UΔ este:
154
∫∫ ⋅+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅=Δ+Δ=Δ
L
0
2
2L
02
2z
21 dxu2
kdx
dx
ud
2
EIUUU (12.7)
unde: 1UΔ - energia potenţială de deformaţie din încovoierea barei;
2UΔ - energia potenţială a deformaţiilor rezemării elastice. Lucrul mecanic efectuat de forţa de compresiune N este:
dxdx
du
2
NLNV
2L
0∫ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=Δ⋅=Δ (12.8)
Efectuând calculele matematice se obţine expresia sarcinii critice crN :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
π+
π=
z42
42
2z
2
crEIn
Lkn
L
EIN (12.9.a)
sau ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ γ
+=2
2Ecr
nnNN (12.9.b)
unde: 2
z2
EL
EIN
π= şi
z4
4
EI
Lk
π=γ ,
iar n este un număr întreg şi reprezintă numărul semiundelor în care flambează flambează. Pentru determinarea numărului n de semiunde care face ca crN să fie minim se consideră următoarele cazuri: 1. 0k = – bara nu reazemă pe mediu elastic În relaţiile (12.9) se ia n=1 şi se obţine sarcina critică Euler a barei articulat – simplu rezemată la capete.
2
z2
EcrL
EINN
π== (12.10)
2. 0k > , k foarte mic – bara reazemă pe un mediu elastic foarte flexibil În relaţiile (12.9) se ia n=1, deci bara flambează fără a avea punct de inflexiune.
3. k creşte şi se ajunge la situaţia 1ncr
2ncr NN == <
Pentru această valoare a rigidităţii liniare a mediului elastic, bara are un punct de inflexiune la mijloc. Valoarea minimă a rigidităţii k pentru care are loc trecerea de la n=1 la n=2 se obţine din condiţia:
z
4
4
z4
4
EI4
Lk4
EI
Lk1
π+=
π+ sau
441
γ+=γ+
Rezultă: 4EI
kL
z4
4
=π
=γ (12.11)
Pentru cazul k mai mic decât valoarea dată de relaţia (12.11) axa deformată a barei flambate nu prezintă nici un punct de inflexiune (n=1), iar pentru k mai mare decât valoarea dată de (12.11), apare un punct de inflexiune la mijlocul barei (n=2). 4. k creşte – bara flambează cu un număr n>2 semiunde Se poate determina valoarea k pentru cazul când numărul semiundelor trece de la n la n+1, punând condiţia:
1ncr
ncr NN +=
respectiv: ( )( ) z
42
42
z42
42
EI1n
Lk1n
EIn
Lkn
π+++=
π+
155
Se obţine: ( )22
z4
4
1nnEI
Lk+=
π sau ( )22 1nn +=γ (12.12.a)
respectiv: ( )1nnEI
kL
z2
2
+=π
sau ( )1nn +=γ (12.12.b)
În figura 12.5 se reprezintă încărcarea critică crN , în funcţie de z
2
2
EI
kL
π=γ .
Fig. 12.5. Încărcarea critică crN , în funcţie de γ
Pentru a obţine valoarea n pentru care Ncr devine minim în relaţia (12.9.b) se introduce variabila continuă n în loc de n şi se pune condiţia:
0nd
dNcr = ⇒ γ=4
n sau γ=2
n
Rezultă:
E2z
2
cr N2L
EIN ⋅γ=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
γγ
+γπ
= sau zcr kEI2N = (12.13.a)
Pentru calculul practic al forţei critice de pierdere a stabilităţii se determină mărimea
adimensională z
4
4
EI
kL
π=γ şi apoi valoarea întreagă 4n γ≅ .
Tabelul 12.2 γ γ n
0…4 0…2 1 4…36 2…6 2
36…144 6…12 3 144…400 12…20 4
Se obţine astfel:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ γ
+=2
2Ecr
nnNN , Zn∈ (12.13.b)
Aşa cum rezultă şi din graficul din figura 12.5, valorile n funcţie de γ sunt cele prezentate în tabelul 12.2.
156
12.3. Stabilitatea generală a tălpii comprimate
în conformitate cu normativul EN 1993-2
Determinarea forţei critice de flambaj
În cazul în care forţa de compresiune din talpa superioară, EdN , este constantă pe
deschiderea grinzii, determinarea forţei critice de pierdere a stabilităţii, în conformitate cu normativul EN 1993-2, se face utilizând teoria barei comprimate pe reazeme elastice, cu relaţia:
Ecrit NmN ⋅= , (12.14)
unde: - 2
z2
EL
EIN
π= ; γ⋅
π=
2
2m 1≥ ;
z
4
EI
Lc ⋅=γ ; dC
c = ;
- L şi sunt deschiderea grinzii şi distanţa dintre semicadrele transversale; - dC este rigiditatea reazemului elastic.
O legătură laterală a unei tălpi comprimate poate fi considerată rigidă dacă rigiditatea sa satisface relaţia:
L
N4C E
d > (12.15)
Conform EN 1993-2:2005, tabelul D.3, rezistenţa (rigiditatea) transversală a unui semicadru, definită ca forţa transversală care aplicată în centrul de greutate al tălpii comprimate îi imprimă acesteia o deplasare egală cu unitatea (fig. 12.6), se calculează cu relaţia:
Fig.12.6
q
vq23
v
vd
I2
Ibh
3
h
IEC
⋅+
⋅= (12.16)
Numărul de semiunde, n, cu care flambează talpa comprimată, rezultă din condiţia:
( ) ( )1nnEI
Lc1n1n
z
4
2+≤
⋅
π≤− (12.17)
de unde: 1EI
Lc1n 4
z
4
≥⋅
π≅ ; Zn ∈ (12.18)
Deoarece numărul de semiunde aparţine mulţimii numerelor întregi, rezultă că şi
2
z
4
22n2
EI
Lc22m ⋅=
⋅⋅
π=γ⋅
π= , trebuie să fie un număr întreg.
În cazul grinzilor cu inimă plină efectele fenomenului de flambaj lateral al tălpii comprimate pot fi ignorate în cazul în care este îndeplinită una din condiţiile:
4,00.LTLT =λ≤λ sau 2
0.LTcrit
Ed
M
Mλ≤ ,
în care: ( )
crit
ywceffLT
N
f3/AA ⋅+=λ ,
unde: effA - este aria tălpii comprimate;
wcA - este aria zonei comprimate din inimă; în cazul secţiunilor de clasă 4, această arie trebuie luată ca arie efectivă.
157
Cazul când forţa de compresiune EdN nu este constantă
pe deschiderea tălpii comprimate a grinzii: În EN 1993-2:2005, se propune următoarea procedură de calcul pentru talpa inferioară comprimată, în cazul grinzilor continue cu semicadre transversale rigide situate la distanţa L: Coeficientul m se alege ca valoare minimă obţinută din următoarele formule:
)50350/()23()1(44,01m 5,1 μ⋅−γ⋅Φ⋅++Φ⋅μ++=
[ ] 5.05,1 )100/05,0(195,0)1(44,01m γ⋅Φ⋅μ+++Φ⋅μ++=
în care: 12 V/V=μ , figura 12.7
)1/()M/M1(2 12 μ+−=Φ , pentru 0M2 > ; când diagrama de moment încovoietor îşi schimbă semnul
se ia acoperitor 0M2 = . Verificarea pierderii stabilităţii se face la distanţa kL25,0 ⋅ de reazemul cu momentul
încovoietor maxim, ţinând cont că verificarea rezistenţei secţiunii transversale este făcută de asemenea în
secţiunea cu moment încovoietor maxim, unde m/LLk = .
Fig. 12.7
Pentru elementele comprimate, efectul imperfecţiunilor iniţiale şi efectele de ordinul II, pot fi luate în considerare prin aplicarea unei forţe laterale suplimentare, FEd , în dreptul conexiunii tălpii cu resortul, unde:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⋅≥−
⋅⋅
⋅≤
=2.1 pentru-
N
N1
1
80
N
2.1 pentru - 100
N
Fk
crit
Ed
Ed
k
kEd
Ed (12.19)
în care: EdN - forţa de compresiune maximă din talpă;
crit
k N
EI⋅π= ; - este distanţa între reazemele elastice.
12.4. Verificarea tălpii comprimate la flambaj
prin încovoiere – răsucire
Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă sau efortul capabil) la flambaj a unui element comprimat se determină cu relaţia:
1M
yFTRd.b1
fANγ
⋅⋅⋅χ= (12.20)
158
unde: ⎪⎩
⎪⎨⎧
−
−=
4ClasatiunisecA
3;2;1ClasatiunisecAA
eff
g
Pentru elemente cu secţiune transversală constantă (elemente uniforme), solicitate la
compresiune axială constantă, valoarea coeficientului de reducere FTχ se determină în funcţie de
coeficientul de zvelteţe redus FTλ , cu relaţia:
2
FT2
FTFT
FT1
λ−φ+φ=χ ; 1FT ≤χ (12.21)
în care:
( )[ ]2FTFTFT 2,015,0 λ+−λα+=φ ; α - factor de imperfecţiune;
cr
yFT N
fA ⋅=λ - coeficientul de zvelteţe redus al barei.
Observaţii legate de flambajul general
Problema flambajului general al tălpii comprimate la podurile pe grinzi cu zăbrele cu calea jos deschise şi cea a flambajului lateral al tălpii superioare la podurile pe grinzi cu inimă plină cale jos sunt deosebit de importante pentru siguranţa în exploatare a unor astfel de structuri metalice, consecinţele legate de pierderea stabilităţii fiind deosebit de grave sau chiar catastrofale.
De-a lungul timpului s-au înregistrat mai multe accidente de această natură, datorate neacoperirii prin calcul a acestui fenomen sau tratării lui superficiale.
Pierderea stabilităţii generale este mult mai periculoasă în cazul podurilor pe grinzi cu zăbrele deschise, deoarece înălţimea mare a acestora conduce la crearea unor rigidităţi transversale reduse a semicadrelor alcătuite din montanţi şi antretoaze (reazeme intermediare cu elasticitate ridicată).
În cazul podurilor pe grinzi principale cu inimă plină situaţia este mai puţin “periculoasă”, deoarece în acest caz înălţimea “montanţilor” este mult mai mică, iar ranforţii contribuie la o mărire importantă a rigidităţii semicadrelor transversale. Cu toate acestea se recomandă şi pentru astfel de structuri verificarea stabilităţii generale a grinzilor principale, respectiv al flambajului lateral al tălpii comprimate.
În toate cazurile, semicadrele finale trebuie să fie suficient de rigide pentru a realiza fixarea tălpii în sens transversal, reazemele elastice fiind doar semicadrele intermediare.
Metoda energetică preluată de EC 3/2 are dezavantajul că nu ţine cont de variaţia secţiunii tălpii superioare şi de variaţia efortului de compresiune în aceasta, comparaţia făcându-se cu efortul maxim.
12.5. Exemplu de calcul Se analizează stabilitatea tălpii comprimate a grinzilor principale ale unui tablier metalic de cale ferată cunoscând următoarele date de proiectare:
• secţiunea transversală a tablierului prezentată în figura E.1; • momentul încovoietor maxim: MEd = 13 725 kN⋅m; • caracteristici de calcul pentru calculul stabilităţii generale, figura E.2.
Aplicare numerică Având în vedere faptul că prinderea antretoazelor de grinzile principale se realizează prin dezvoltarea unor ranforţi puternici (pe toată înălţimea grinzilor), aceşti ranforţi contribuie la asigurarea stabilităţii generale a grinzii, funcţionând ca nişte reazeme elastice.
159
Fig. E.1
Fig. E.2
- distanţa dintre antretoaze d = 5.00 m - mm1600h =
- mm1100hv =
- 45q cm10649.3I ⋅=
- mm5000bq =
- 4v cm68057I =
Observaţie: - h ; VI şi vh - valori medii
Considerând pentru început că semicadrele formate de antretoazele cu ranforţi la prinderea de grinzile principate şi rigidizările verticale împreună cu zona activă aferentă din inima grinzii principale, constituie o rezemare cvasi-rigidă a tălpii comprimate, se verifică stabilitatea tălpii prin compararea lungimii stabile a unui tronson de bară supusă la încovoiere cu distanţa dintre semicadrele transversale (distanţa dintre antretoaze).
⎩⎨⎧
≤ψ≤−−⋅εψ⋅−≤ψ≤−⋅ε⋅
=625.01:pentrui)4060(
1625.0:pentrui35L
z
zstabila
în care: - ψ – raportul momentelor încovoietoare de la extremităţile tronsonului de bară; - iz – raza de giraţie a secţiunii formate de talpa comprimată a grinzii plus 1/3 din partea comprimată a inimii, în raport cu axa slabă a secţiunii.
Observaţie: Această verificare în cazul grinzilor principale este doar orientativă şi ne ajută să apreciem dacă,
eventual, rigiditatea tălpii comprimate ar fi mult în afara limitelor necesare.
160
În cazul grinzii principale, pentru panourile centrale, figura E.3, avem:
Fig. E.3
cm500dcm5387.1692.035i35L zstabila =>=⋅⋅=⋅ε⋅= unde:
4333
ww3ff
z cm6626812
2.143
12
653
12
t)6/h(
12
btI =
⋅+
⋅=
⋅+
⋅=
2wwff cm6.2462.143365t)6/h(tbA =⋅+⋅=+=
cm7.166.246
68662
A
Ii zz ===
Calculul exact privind pierderea stabilităţii generale presupune să fie luate în considerare: rigiditatea efectivă a acestor ranforţi, eforturile din talpa superioară şi secţiunea grinzii pe fiecare panou. Verificarea se poate face asimilând talpa superioară a grinzii principale cu talpa superioară a unei grinzi cu zăbrele (EN 1993-2:2005 punctul 6.3.4).
Secţiunea transversală a grinzii principale se încadrează în clasa 4 de secţiuni. În cazul secţiunilor de clasă 4, wcA (aria zonei comprimate din inimă) trebuie luată ca arie efectivă (eficace), figura E.4. Înălţimea efectivă a inimii, în zona comprimată, este: mm3076601390hwc =−= , respectiv:
2433/hwc = mm. Fig. E.4
m
Se observă faptul că zona din inimă care conlucrează cu talpa comprimată nu include parte din zona inactivă a inimii.
Astfel, la verificarea stabilităţii generale a tălpii comprimate se va lua în considerare secţiunea alcătuită din talpa superioară (comprimată) a grinzii şi o porţiune egală cu 243 mm din inimă, figura E.5. 66068Iz = cm4; 242A = cm2
Fig. E.5
Secţiunea montantului fiind variabilă, se va utiliza o secţiune medie care este echivalată cu cea a unui profil laminat HE400B care are Iy=57680 cm4. De asemenea lungimea (înălţimea) montantului fiind variabilă prin conformarea grinzii, se va opera cu o lungime medie.
Se obţine: cm/daN23183
9003642
68057500160
3
110
68057101.2
I2
Ibh
3
h
IEC
23
6
q
vq23
v
vd ==
⋅⋅⋅
+
⋅⋅=
⋅⋅+
⋅=
161
2d cm/daN5.166500
23183Cc === ; 53593
66068101.2
30005.166
EI
cL6
4
z
4
=⋅⋅
⋅==γ
Numărul de semiunde, n, cu care flambează talpa comprimată:
157.59353511
EI
Lc1n 444
z
4
>=π
=γπ
=⋅
π≅
Deoarece Zn∈ ⇒ 6n = , prin urmare bara are 5 puncte de inflexiune. Având în vedere faptul că grinda principală este fixată prin 5 semicadre transversale, rezultă că acestea constituie reazeme rigide pentru talpa superioară a grinzii principale (figura E.6).
Fig. E.6. Bara cu cinci puncte de inflexiune (6 semiunde)
Acest lucru era de aşteptat ca urmare a verificării lungimii stabile de bară, care a rezultat mai mare decât distanţa dintre semicadre, ceea ce confirmă faptul că, în cazul tablierelor pe grinzi principale cu inimă plină, problema stabilităţii tălpii comprimate este mai puţin ”periculoasă” comparativ cu cazul grinzilor principale cu zăbrele. Rezultă forţa critică de pierdere a stabilităţii, în cazul în care forţa de compresiune din talpa superioară, EdN , ar fi constantă pe deschiderea grinzii:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=π
=
=⋅=γ⋅π
=
daN957157L
EIN
72n22
m
2z
2
E
22
⇒ =⋅= Ecrit NmN 113 729 kN
Verificarea tălpii comprimate la flambaj
( )
26,01014.1
3350224
N
f3/AA7
crit
ywcfFT =
⋅
⋅=
⋅+=λ ⇒ 96,0FT =χ
549610)1.1/335022496.0(/fAN 21MyFTRd.b =⋅⋅⋅=γ⋅⋅χ= − kN
Efortul de compresiune în talpă EdN
Efortul unitar normal în centrul tălpii comprimate este:
232513610023.8
1071613z
I
M6
4
eff
Ed =⋅⋅⋅
=⋅=σ daN/cm2
(unde: z - distanţa de la centrul de greutate al întregii secţiuni efective la centrul de greutate al tălpii comprimate împreună cu zona de conlucrare)
5208102242325AN 2Ed =⋅⋅=⋅σ= − kN
Rezultă: 180,06549
5208
N
N
Rd,b
Ed <==
162
13. Î M B I N Ă R I 13.1. Îmbinări cu nituri şi şuruburi Date generale Proiectările cu nituri şi şuruburi se realizează în conformitate cu normativul EN 1993-1-8: 2005, respectiv norma română echivalentă SR EN 1993-1-8: 2006. Coeficienţii parţiali de siguranţă Mγ sunt prezentaţi în tabelul 13.1.
Tabelul 13.1
VERIFICARE Coeficient parţial
de siguranţă Mγ
Valoare
Mγ
0Mγ 1.00
1Mγ 1.10 Rezistenţa elementelor şi a secţiunilor
2Mγ 1.25
Rezistenţa şuruburilor Rezistenţa niturilor Rezistenţa bolţurilor Rezistenţa sudurilor
Rezistenţa plăcilor la presiune pe gaură
2Mγ
1.25
Rezistenţa la lunecare - la starea limită ultimă (categoria C) - la starea limită de exploatare(categoria B)
3Mγ
ser.3Mγ 1.25 1.10
Rezistenţa la presiune pe gaură a şuruburilor injectate 4Mγ 1.00
Rezistenţa nodurilor grinzilor cu zăbrele din ţevi 5Mγ 1.00
Rezistenţa bolţurilor la starea limită a exploatării normale ser.6Mγ 1.00
Pretensionarea şuruburilor de înaltă rezistenţă 7Mγ 1.10
În tabelul 13.2 sunt prezentate valorile nominale pentru limita de curgere ybf şi rezistenţa la
rupere ubf a şuruburilor. Pentru îmbinări cu şuruburi pretensionate se vor folosi numai şuruburi clasa (grupa) 8.8 şi clasa 10.9.
Tabelul 13.2 Clasa şurub
4.6 4.8 5.6 5.8 6.8 8.8 10.9
ybf (N/mm2) 240 320 300 400 480 640 900
ubf (N/mm2) 400 400 500 500 600 800 1000
În tabelul 13.3 sunt prezentate ariile nete (în zona filetului) şi ariile brute ale şuruburilor.
163
Tabelul 13.3
Diametrul şurubului la filet [mm] Şuruburi brute şi păsuite
M12 M14 M16 M18 M20 M22 M24 M27 Diametrul găurii [mm] 13 15 17 19 21 23 25 28
Netă 0,762 0,989 1,44 1,65 2,25 2,82 3,24 4,27 Şurub brut
1,13 1,54 2,01 2,54 3,14 3,80 4,52 5,73 Aria [cm2]
Brută (zona nefile-tată)
Şurub păsuit
1,33 1,77 2,27 2,84 3,46 4,15 4,91 6,16
SIRP M16 M20 M22 M24 M27 M30 Aria netă [cm2] 1,57 2,45 3,02 3,50 4,59 5,61
Categorii de îmbinări cu şuruburi
Îmbinări solicitate la forfecare Îmbinările cu şuruburi solicitate la forfecare sunt proiectate în unul din următoarele moduri: Categoria A: Îmbinări care lucrează la forfecare În această categorie se utilizează şuruburi din grupele de calitate 4.6 până la 10.9 inclusiv. Nu este necesară pretensionarea şuruburilor sau condiţii speciale pentru pregătirea suprafeţelor de contact. Categoria B: Îmbinări rezistente la lunecare în starea limită a exploatării normale În această categorie se utilizează şuruburi pretensionate. Lunecarea nu trebuie să se producă în starea limită de exploatare normală. Forţa de forfecare de calcul la starea limită de exploatare normală nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare. Forţa de forfecare ultimă de calcul nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la forfecare şi nici forţa capabilă la presiune pe gaură. Categoria C: Îmbinări rezistente la lunecare la starea limită ultimă În această categorie se utilizează şuruburi la care lunecarea nu trebuie să se producă la starea limită ultimă. Forţa de forfecare de calcul ultimă nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare şi nici rezistenţa la presiune pe gaură. Pentru îmbinările care sunt supuse la întindere, se verifică suplimentar rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă la găurile pentru şuruburi Nnet,Rd , la starea limită ultimă.
Îmbinări solicitate la întindere Îmbinările cu şuruburi solicitate la întindere se calculează în unul din următoarele moduri: Categoria D: nepretensionate În această categorie se utilizează şuruburi din grupele de calitate 4.6 până la 10.9 inclusiv. Nu este necesară pretensionarea şuruburilor. Această categorie nu trebuie utilizată pentru îmbinările care sunt supuse frecvent unor variaţii ale forţei de întindere.
164
Categoria E: pretensionate În această categorie se utilizează şuruburile din clasele de calitate 8.8 şi 10.9 cu strângere controlată conform Standarde de referinţă: Grupa 7. Verificările de calcul pentru îmbinări sunt prezentate în tabelul 13.4.
Tabelul 13.4 Categ-oria Precizări Criterii Observaţii
ÎMBINĂRI SOLICITATE LA FORFECARE
A lucrează la forfecare Rd.vEd.v FF ≤
Rd.bEd.v FF ≤ Nu este necesară pretensionarea. Se pot utiliza grupele de şuruburi 4.6 – 10.9.
B lunecare împiedicată la starea limită de exploatare normală
ser.Rd.sser.Ed.v FF ≤
Rd.vEd.v FF ≤
Rd.bEd.v FF ≤ Utilizate şuruburi pretensionate grupele 8.8 şi 10.9.
C lunecare împiedicată la starea limită ultimă
Rd.vEd.v FF ≤
Rd.bEd.v FF ≤
Rd.netEd.v NF ≤
Utilizate şuruburi pretensionate grupele 8.8 şi 10.9. Se verifică Nnet.Rd.
ÎMBINĂRI SOLICITATE LA ÎNTINDERE
D nepretensionate Rd.tEd.t FF ≤
Rd.pEd.t BF ≤ Nu este necesară pretensionarea. Se pot utiliza grupele de şuruburi 4.6 – 10.9.
E pretensionate Rd.tEd.t FF ≤
Rd.pEd.t BF ≤ Utilizate şuruburi pretensionate grupele 8.8 şi 10.9.
Poziţionarea găurilor pentru şuruburi şi nituri Distanţele minime şi maxime între găuri şi distanţele de la centrul găurii până la marginea piesei pe direcţia efortului şi perpendicular pe direcţia efortului, pentru şuruburi şi nituri sunt prezentate în tabelul 13.5. Notarea distanţelor este prezentată în figura 13.1.
165
Fig. 13.1
Tabelul 13.5 Maxime
Structuri executate din oţeluri cf. EN 10025, cu excepţia EN 10025-5
Structuri din oţel cf. EN 10025-5
Distanţe Minime Oţeluri supuse condiţiilor
atmosferice sau altor factori corozivi
Oţeluri nesupuse condiţiilor
atmosferice sau altor factori corozivi
Oţel neprotejat
1e od2.1
)d5.1( o mm40t4 +
Cea mai mare valoare dintre 8t sau 125 mm
2e od2.1
)d5.1( o mm40t4 +
Cea mai mare valoare dintre 8t sau 125 mm
3e od5.1
4e od5.1
1p od2.2
)d5.2( o
Cea mai mică valoare dintre
14t sau 200 mm
Cea mai mică valoare dintre
14t sau 200 mm
Cea mai mică valoare dintre
14t sau 175 mm
0.1p Cea mai mică valoare dintre
14t sau 200 mm
i.1p Cea mai mică valoare dintre
28t sau 400 mm
2p od4.2
)d5.2( o
Cea mai mică valoare dintre
14t sau 200 mm
Cea mai mică valoare dintre
14t sau 200 mm
Cea mai mică valoare dintre
14t sau 175 mm Notă: 1. Valorile din paranteză se referă la elemente solicitate la oboseală 2. t – grosimea cea mai mică a elementelor exterioare îmbinate
Rezistenţele de calcul a dispozitivelor de fixare individuale Rezistenţele de calcul a dispozitivelor de fixare individuale (şuruburi şi nituri) sunt prezentate în tabelul 13.6. Pentru îmbinările cu un singur plan de forfecare şi un singur rând de şuruburi, şuruburile vor fi prevăzute cu şaibe atât sub piuliţă cât şi sub capul şurubului. Forţa capabilă la presiune pe gaură pentru fiecare şurub este limitată la:
2MuRd.b /tdf5.1F γ= (13.1)
La îmbinările cu nituri sau cu şuruburi solicitate la forfecare care sunt prevăzute cu plăci de compensare cu o grosime totală tp mai mare decât o treime din diametrul nominal d, figura 13.2, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se va multiplica cu un factor de reducere pβ , calculat cu relaţia:
1;t3d8
d9p
pp ≤β
+=β (13.2)
166
Tabelul 13.6 Mod de cedare Şuruburi Nituri
Forţa capabilă la forfecare
pentru un plan de forfecare
2M
ubvRd.v
AfF
γα
=
unde:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
−=
=
nefiletatazonaprintreceforfecaredeplanuldaca
surubuluitijeiabrutaariaA
filetatazonaprintreceforfecaredeplanuldaca
filetatazonainnetaariaA
Ab
s
⎩⎨⎧
−−
=α9.10,8.6,8.5,8.4grupelepentru5.0
8.8,6.5,6.4grupelepentru6.0v
2M
0urRd.v
Af6.0F
γ=
Pentru oţel S235:
fur=400 N/mm2
Forţa capabilă la presiune pe gaură
2M
ub1Rd.b
tdfkF
γα
=
unde:
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧ −
=
erioareintsuruburipentru
5.2
7.1d
p4.1
.min
ineargmdesuruburipentru
5.2
7.1d
e8.2
.min
k
0
2
0
2
1
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−
−
=α
=α
0.1
f
f
erioareintsuruburipentru4
1
d3
p
capatdesuruburipentrud3
e
.min
u
ub
0
1
0
1
d
b
Forţa capabilă la întindere
2M
sub2Rd.t
AfkF
γ=
unde: ⎩⎨⎧
−−
=suruburicelelalte90.0
inecatcapcusuruburi63.0k2
2M
0urRd.t
Af6.0F
γ=
Rezistenţa de calcul la forfecare prin străpungere
2MupmRd.p /ftd6.0B γπ= Nu este necesară verificarea
Forfecare şi întindere
combinate 1
F4.1
F
F
F
Rd.t
Ed.t
Rd.v
Ed.v ≤⋅
+
167
Pentru îmbinări cu două planuri de forfecare la care plăcile de compensare sunt dispuse pe ambele părţi ale îmbinării, tp se ia ca şi grosimea celei mai subţiri plăci de compensare.
Fig. 13.2
La îmbinările la care distanţa Lj dintre centrele dispozitivelor de fixare de capăt, măsurată pe direcţia de transmitere a forţei, este mai mare de 15d, figura 13.3, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se reduce prin multiplicare cu un factor de reducere Lfβ , calculat cu relaţia:
d200
d15L1
jLf
−−=β ; 0.175.0 Lj ≤β≤ (13.3)
Fig. 13.3
Îmbinări pretensionate cu şuruburi din grupa 8.8 sau 10.9 Pentru Categoria C: Îmbinări rezistente la lunecare la starea limită ultimă, se utilizează şuruburi din clasele de calitate (grupele) 8.8 şi 10.9, iar lunecarea nu trebuie să se producă la starea limită ultimă. Forţa de forfecare de calcul ultimă nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare şi rezistenţa la presiune pe gaură. Pentru îmbinările solicitate la întindere se verifică suplimentar rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă la găurile pentru şuruburi Rd.netN , la
starea limită ultimă. Rezistenţa de calcul la lunecare Rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub pretensionat din grupa 8.8 sau 10.9 se determină cu relaţia:
C.p3M
sRd.s F
nkF
γμ
= (13.4)
unde: - sk – conform Tabel 13.7; - n – numărul suprafeţelor de frecare; - μ – coeficient de frecare obţinut prin încercări specifice sau conform tabel 13.8;
- C.pF – forţa de pretensionare de calcul:
subC.p Af7.0F = (13.5)
168
Tabelul 13.7 Descriere ks
Şuruburi utilizate în găuri normale 1.0 Şuruburi utilizate în găuri mari sau în găuri ovalizate scurte cu axa ovalizării perpendiculară pe direcţia de transmitere a forţei
0.85
Şuruburi utilizate în găuri ovalizate lungi cu axa ovalizării perpendiculară pe direcţia de transmitere a forţei
0.70
Şuruburi utilizate în găuri ovalizate scurte cu axa ovalizării paralelă cu direcţia de transmitere a forţei
0.76
Şuruburi utilizate în găuri ovalizate lungi cu axa ovalizării paralelă cu direcţia de transmitere a forţei
0.63
Tabelul 13.8
Clasa suprafeţei de
frecare
Factorul (coeficientul) de frecare μ
A 0.5 B 0.4 C 0.3 D 0.2
Forţa capabilă la presiune pe gaură
2M
ub1Rd.b
tdfkF
γα
= (13.6)
Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă
2M
unetRd.u.net
fA9.0N
γ= (13.7)
Tracţiune combinată cu forfecare Dacă o îmbinare pretensionată este supusă unui efort de întindere de calcul, Ft,Ed sau Ft,Ed,serv, suplimentar efortului de forfecare de calcul Fv,Ed sau Fv,Ed,serv, care are tendinţa să producă lunecare, rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub se determină astfel: - pentru îmbinări din categoria B:
)F8.0F(nk
F ser.Ed.tC.pser.3M
sser.Rd.s −
γμ
= (13.8)
- pentru îmbinări din categoria C:
)F8.0F(nk
F Ed.tC.p3M
sRd.s −
γμ
= (13.9)
Dacă într-o îmbinare forţa de contact în zona comprimată contra balansează forţa de tracţiune aplicată în zona întinsă, nu este necesară reducerea rezistenţei la lunecare a îmbinării. Slăbirea secţiunii dată de găurile dispozitivelor de prindere Calculul ariei nete Aria netă a secţiunii transversale este egală cu aria brută din care se scad slăbirile datorate găurilor sau a altor goluri. Dacă găurile de fixare sunt dispuse în zig - zag, aria totală a slăbirilor se consideră cea mai mare valoare dintre:
• Aria slăbirilor pentru găuri care nu sunt dispuse în zig-zag (linia de cedare (2) din figura 13.4);
• ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅ ∑ p4
sndt
2
0 - pentru linia de cedare (1)
în care (figura 13.4): - s – pasul în zig-zag, respectiv interaxul între două găuri consecutive, măsurat paralel cu
axa barei; - p – interaxul măsurat perpendicular pe axa barei; - t – grosimea piesei; - n – numărul găurilor situate pe linie diagonală sau în zig-zag;
169
- d0 – diametrul găurii.
Fig. 13.4. Găuri în zig-zag şi linii de rupere critice
Calculul ruperii în bloc Ruperea în bloc constă în cedarea la forfecare de-a lungul unui rând de şuruburi în suprafaţa de forfecare a grupului de găuri, însoţită de ruperea la întindere de-a lungul liniei de găuri în suprafaţa întinsă a grupului de şuruburi. Ruperea în bloc este exemplificată în figura 13.5.
1. forţă de tracţiune mică 2. forţă de forfecare mare 3. forţă de forfecare mică 4. forţă de tracţiune mare
Fig. 13.5
Pentru un grup simetric de şuruburi solicitat la o încărcare centrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia:
0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/AfV γ+γ= (13.10)
Pentru un grup de şuruburi solicitat la o încărcare excentrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia:
0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/Af5.0V γ+γ⋅= (13.11)
unde: - Ant – aria netă solicitată la întindere - Anv – aria netă solicitată la forfecare.
13.2. Îmbinări sudate Tipuri de suduri Suduri de colţ Sudurile de colţ se folosesc la asamblarea pieselor a căror feţe supuse îmbinării formează între ele unghiuri cuprinse între 60° şi 120°. Sunt admise şi unghiuri mai mici de 60°, dar în astfel de cazuri sudura se consideră sudură cap la cap cu pătrundere parţială.
170
La capete sau la marginile pieselor, extremităţile sudurilor de colţ se întorc în jurul colţurilor, fără a fi întrerupte şi având aceiaşi grosime, pe o lungime egală cu cel puţin de două ori mărimea catetei secţiunii transversale a sudurii, cu excepţia cazurilor în care accesul sau configuraţia îmbinării nu permite acest lucru. Întoarcerile de la capete sunt indicate pe desene. Suduri de colţ întrerupte Sudurile de colţ întrerupte nu se folosesc în medii corosive. La o sudură de colţ întreruptă, întreruperile (L1 sau L2) dintre capetele oricăror lungimi de sudură de colţ Lw trebuie să satisfacă condiţiile din figura 13.6.
Cea mai mică dintre Lwe ≥ 0,75 b şi 0,75 b1
Pentru barele cu secţiune compusă supuse la întindere: Cea mai mică dintre: L1 ≤ 16 t şi 16 t1 ; 200 mm Pentru barele cu secţiune compusă comprimate sau solicitate la forfecare: Cea mai mică dintre: L2 ≤ 12 t şi 12 t1 ; 0,25 b ; 200 mm Fig. 13.6
Suduri în crestătură Sudurile în crestătură cuprind sudurile de colţ executate în găuri circulare sau alungite care se folosesc pentru a transmite forţe tăietoare sau pentru a preveni flambarea sau depărtarea pieselor suprapuse. Diametrul găurii circulare sau lăţimea găurii alungite, la sudurile în crestătură, nu trebuie să fie mai mici decât de patru ori grosimea piesei în care este efectuată crestătura. Suduri cap la cap O sudură cap la cap cu pătrundere totală este definită ca o sudură care asigură pătrunderea şi topirea completă a materialelor de bază şi de adaus, pe toată grosimea îmbinării. O sudură cap la cap, cu pătrundere parţială, este definită ca o sudură care asigură o pătrundere în îmbinare mai mică decât grosimea totală a materialului de bază. Suduri în gaură Sudurile în gaură pot fi folosite: - pentru a transmite forţe tăietoare; - pentru a preveni flambarea sau depărtarea pieselor suprapuse; - pentru a asigura asamblarea părţilor componente ale unor bare cu secţiuni compuse.
171
Diametrele găurilor circulare sau lăţimile găurilor alungite, la sudurile în gaură, sunt cu cel puţin 8 mm mai mari decât grosimile pieselor în care sunt efectuate. Capetele găurilor alungite sunt semicirculare sau au colţuri rotunjite cu o rază cel puţin egală cu grosimea piesei în care sunt efectuate, exceptând acele capete care se extind până la marginea piesei respective. Grosimea sudurilor în gaură, în piese de până la 16 mm grosime, este egală cu grosimea materialului de bază. Grosimea sudurilor în gaură, în piese din material de bază cu grosimi de peste 16 mm, trebuie să fie de cel puţin jumătate din grosimea materialului de bază, dar nu mai puţin de 16 mm. Suduri între feţe rotunjite Pentru barele cu secţiune circulară plină, grosimea de calcul a sudurilor din lungul marginilor rotunjite şi suprafeţe plane cu care acestea sunt în contact, este definită în figura 13.7.
Fig. 13.7
Suduri cu eclise În cazul îmbinărilor sudate realizate cu eclise, acestea sunt păsuite faţă de marginea piesei înainte de sudare. Când două piese, asamblate prin sudură, sunt separate de eclise cu o grosime mai mică decât distanţa la baza rostului sudurii necesare pentru transmiterea efortului, lungimea sudurii se măreşte pe partea necesară, cu o valoare egală cu grosimea eclisei.
Rezistenţa de calcul a sudurilor de colţ Lungimea sudurilor Lungimea efectivă a unei suduri de colţ ℓeff se consideră egală cu lungimea pe care sudura are o grosime constantă. In acest sens ea poate fi luată egală cu lungimea reală a sudurii, din care se scade de două ori grosimea sudurii a. Dacă se asigură o grosime constantă pe toată lungimea sudurii, inclusiv începutul şi sfârşitul acesteia, nu este necesară reducerea lungimii reale a sudurii. O sudură de colţ cu o lungime efectivă mai mică decât 30 mm sau mai mică de 6 ori grosimea acesteia, nu poate fi considerată sudură de rezistenţă. Grosimea sudurilor de colţ Grosimea reală efectivă a unei suduri de colţ a, se ia egală cu înălţimea celui mai mare triunghi (cu laturi egale sau inegale) care poate fi înscris în secţiunea transversală a sudurii, măsurată perpendicular pe latura exterioară a acestuia, figura 13.8. Grosimea reală efectivă a unei suduri de colţ nu se ia mai mică de 3 mm. La determinarea rezistenţei de calcul a unei suduri în colţ cu pătrundere adâncă, se ia în considerare şi grosimea ei suplimentară, figura 13.9, cu condiţia ca, prin încercări preliminare, să se dovedească că pătrunderea prevăzută poate fi efectiv realizată.
172
Rezistenţa de calcul a sudurilor de colţ se determină fie prin metoda direcţională, fie prin metoda simplificată.
Fig. 13.8
Fig. 13.9
Metoda direcţională În această metodă forţele transmise pe unitatea de lungime a sudurii de colţ sunt descompuse în componente paralele şi componente perpendiculare în raport cu axa sudurii. Aria de calcul a sudurii, Aw, trebuie luată egală cu: Aw = Σ a x ℓeff
Se acceptă o distribuţie uniformă a tensiunilor pe secţiunea ariei a sudurii, care conduce la tensiuni normale şi tensiuni tangenţiale, conform figurii 13.10, după cum urmează:
- ⊥σ - tensiuni normale, perpendiculare pe aria de calcul a sudurii;
- IIσ - tensiuni normale, paralele cu axa sudurii;
- ⊥τ - tensiuni tangenţiale (în planul sudurii), perpendiculare pe axa
sudurii;
- IIτ - tensiuni tangenţiale (în planul sudurii), paralele cu axa sudurii.
Fig. 13. 10
Tensiunile normale paralele cu axa sudurii, σ||, nu se iau în considerare la verificarea rezistenţei de calcul a sudurilor de colţ. Rezistenta de calcul a unei suduri de colţ trebuie să satisfacă următoarele două condiţii:
2Mw
u2II
22 f)(3
γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ ;
2M
uf9.0γ
≤σ⊥ (13.12.a, b)
unde: - fu este valoarea nominală a rezistenţei de rupere la tracţiune a materialului piesei mai slabe din îmbinare; - βw este coeficientul de corelare, conform tabelului 13.9. Tabelul 13.9
173
Metoda simplificată de determinare a rezistenţei sudurilor de colţ Alternativ cu metoda direcţională, rezistenţa de calcul a sudurilor de colţ, poate fi considerată corespunzătoare, dacă în orice punct din lungul sudurii, rezultanta tuturor eforturilor transmise pe unitatea de lungime a acesteia, satisface următoarea condiţie: Rd.wEd.w FF ≤ (13.13) unde: Fw.Ed - este forţa de calcul pe unitatea de lungime a sudurii; Fw.Rd - este forţa capabilă a sudurii, pe unitatea de lungime. Independent de orientarea planului ariei de calcul a sudurii faţă de forţa aplicată, forţa capabilă pe unitatea de lungime Fw,Rd trebuie determinată cu ajutorul relaţiei: afF d.wvRd.w = (13.14)
unde : fvw,d - este forţa de calcul la forfecare a sudurii. Rezistenţa de calcul la forfecare a sudurii fvw,d se determină cu relaţia:
2Mw
ud.vw
3
ff
γ⋅β= (13.15)
unde: fu şi βw sunt cele definite anterior. Rezistenţa de calcul a sudurilor cap la cap Suduri cap la cap cu pătrundere completă Rezistenţa de calcul a sudurilor cap la cap cu pătrundere completă se ia egală cu rezistenţa de calcul a celei mai slabe piese îmbinate, cu condiţia ca sudura să fie făcută cu materiale consumabile corespunzătoare, care să asigure obţinerea epruvetelor de tracţiune realizate din metalul depus prin sudare, cu o limită minimă de curgere şi o rezistenţă minimă de rupere, cel puţin egale cu cele ale materialului de bază. Suduri cap la cap cu pătrundere parţială Rezistenţa de calcul a unei suduri cap la cap cu pătrundere parţială se determină folosind metoda pentru suduri cap la cap cu pătrundere adâncă. Grosimea unei suduri cap la cap cu pătrundere parţială nu se ia mai mare decât adâncimea pătrunderii care poate fi realizată în mod efectiv pe toată lungimea sudurii. Îmbinări cap la cap în T Rezistenţa de calcul a unei îmbinări cap la cap în T, constând dintr-o pereche de suduri cap la cap bilaterale, cu pătrundere parţială, completate cu suduri în colţ suprapuse, poate fi determinată ca la o sudură cap la cap, dacă grosimea nominală totală a ariei de sudură, exclusiv porţiunea nesudată, nu este mai mică decât grosimea t a inimii ansamblului îmbinării în T, cu condiţia ca porţiunea nesudată să nu fie mai mare decât t/5 sau 3 mm. Rezistenţa de calcul a îmbinărilor cap la cap în T care nu îndeplinesc condiţiile specificate trebuie determinate folosind metoda pentru sudurile în colţ sau pentru sudurile în colţ cu pătrundere adâncă, în funcţie de adâncimea pătrunderii. Grosimea sudurii se determină conform prevederilor pentru sudurile de colţ şi pentru sudurile cap la cap cu pătrundere parţială. Rezistenţa de calcul a sudurilor în gaură Forţa capabilă Fw,Rd a sudurilor în gaură, se ia astfel:
174
wd.vwRd.w AfF = (13.16) unde: fvw,d - este rezistenţa de calcul la forfecare a sudurilor; Aw - este aria de calcul a sudurii şi şi se ia egală cu aria găurii. Distribuţia eforturilor Distribuţia eforturilor într-o îmbinare sudată poate fi calculată pe baza ipotezei comportării ei elastice sau plastice. Tensiunile remanente şi tensiunile care nu provin din transmiterea unor eforturi, nu se iau în considerare la verificarea rezistenţei sudurilor. Îmbinările sudate se calculează astfel încât să aibă o capacitate de deformare corespunzătoare. Cu toate acestea, nu se poate conta pe ductilitatea sudurilor. La îmbinările la care se pot forma articulaţii plastice, sudurile se calculează astfel încât să li se asigure în final o rezistenţă de calcul cel puţin egală cu a celei mai slabe piese din îmbinare. Îmbinări lungi La îmbinările prin suprapunere rezistenţa de calcul a unei suduri în colţ se reduce prin multiplicare cu un coeficient de reducere βLw pentru a ţine seama de efectele neuniformităţii distribuţiei tensiunilor pe lungimea ei. În general, la îmbinările mai lungi de 150a coeficientul de reducere βLw se ia egal cu βLw.1, determinat de relaţia: βLw.1 = (1,2 – 0,2Lj) /150a, dar βLw.1 ≤ 1,0 (13.17) unde: Lj - este lungimea totală a suprapunerii în direcţia de transfer a efortului. Pentru suduri în colţ mai lungi de 1,7 m, care prind elemente de rigidizare transversale în bare cu inimă plină, coeficientul de reducere βLw se ia egal cu βLw.2 calculat cu relaţia: βLw.2 = 1,1 – Lw / 17 , dar βLw.2 ≤ 1,0 şi βLw.2 ≥ 0,6 (13.18) unde: Lw - este lungimea sudurii (în metri).
13.3. Exemple numerice 13.3.1. Îmbinări cu şuruburi şi nituri E1. Elemente solicitate la întindere îmbinate cu şuruburi Se verifică rezistenţa îmbinării din figura E1-1, cunoscând următoarele date de proiectare:
- kN130NEd = ; oţel S 355 )mm/N510f( 2u = ;
- şuruburi M 16, grupa 5.6 )mm/N500f( 2ub = , nepretensionate;
- factorul de siguranţă: 25.12M =γ .
Fig. E1-1
175
Rezolvare: Baza teoretică Îmbinarea se încadrează în Categoria A: Îmbinări care lucrează la forfecare. Rezistenţa (forţa capabilă) la forfecare a şurubului pentru un plan de forfecare:
2M
ubvRd.v
AfF
γα
=
unde: ⎩⎨⎧
−=
−==
nefiletatazonaprintreceforfecaredeplanuldacasurubuluitijeiabrutaariaA
filetatazonaprintreceforfecaredeplanuldacafiletatazonainnetaariaAA
b
s
⎩⎨⎧
−−
=α9.10,8.6,8.5,8.4grupelepentru5.0
8.8,6.5,6.4grupelepentru6.0v
Rezistenţa (forţa capabilă) la presiune pe gaură:
2M
ub1Rd.b
tdfkF
γα
=
unde:
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
−⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
=
erioareint
suruburipentru
5.2
7.1d
p4.1
.min
ineargm
desuruburipentru
5.2
7.1d
e8.2
.min
k
0
2
0
2
1
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
−−
−
=α
=α
0.1
f
f
erioareint
suruburipentru4
1
d3
p
capatde
suruburipentrud3
e
.min
u
ub
0
1
0
1
d
b
Aplicare numerică Se obţin următoarele valori numerice:
kN23.48N2304825.1
4
165006.0
F
2
Rd.v ==
⋅π⋅⋅
=
kN144.48N1444825.1
51651059.05.2F Rd.b ==
⋅⋅⋅⋅=
unde:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=
5.25.2
83.27.117
554.1
.min
5.25.2
24.37.117
308.2
.min
k1
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
98.0510
500
73.04
1
173
50
59.0173
30
.min
d
b
Se verifică condiţia:
]F;F.[minF Rd.bRd.vEd.v < ; kN144.48]F;F.[minkN5.324
130
4
FF Rd.bRd.v
EdEd.v =<===
176
E2. Îmbinare cu şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate Să se evalueze rezistenţa îmbinării din figura E2-1 (capacitatea portantă), cunoscând următoarele date de proiectare:
- Oţel S 235 ( )mm/N360f 2u = ;
- şuruburi pretensionate M 20 ( )mm245A 2s = grupa 10.9 )mm/N1000f( 2
ub = ; - găuri Ø 22 mm; - lunecarea împiedicată la starea limită ultimă (îmbinare categoria C); - coeficientul de frecare dintre piese 5.0=μ (prelucrare prin sablare, clasa suprafeţei A).
Fig. E2-1
Rezolvare: Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.4.1 pentru Categoria C: Îmbinări rezistente la lunecare la starea limită ultimă, se utilizează şuruburi din clasele de calitate (grupele) 8.8 şi 10.9, iar lunecarea nu trebuie să se producă la starea limită ultimă. Forţa de forfecare de calcul ultimă nu trebuie să depăşească rezistenţa de calcul la lunecare şi rezistenţa la presiune pe gaură. Pentru îmbinările solicitate la întindere se verifică suplimentar rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă la găurile pentru şuruburi Rd.netN , la starea limită ultimă. Rezistenţa de calcul la lunecare Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.9.1, rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub pretensionat din grupa 8.8 sau 10.9 se determină cu relaţia:
C.p3M
sRd.s F
nkF
γμ
=
unde: - sk – conform tabel 13.7; - n – numărul suprafeţelor de frecare; - μ – coeficient de frecare obţinut fie prin încercări specifice sau conform tabel 13.8; - C.pF – forţa de pretensionare de calcul:
subC.p Af7.0F =
Forţa capabilă la presiune pe gaură
2M
ub1Rd.b
tdfkF
γα
=
177
Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă
2M
unetRd.u.net
fA9.0N
γ=
Aplicare numerică Rezistenţa de calcul la lunecare
kN2.1375.17125.1
5.020.1F
nkF C.p
3M
sRd.s =
⋅⋅=
γμ
=
unde: kN5.171N105.17124510007.0Af7.0F 3subC.p =⋅=⋅⋅==
Forţa capabilă la presiune pe gaură
2M
ub1Rd.b
tdfkF
γα
= kN104.175N10417525.1
162036076.05.2==
⋅⋅⋅⋅=
unde:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=
5.25.2
75.27.122
704.1
.min
5.25.2
3.57.122
558.2
.min
k1
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
78.2360
1000
81.04
1
223
70
76.0223
50
.min
d
b
Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă
kN564N01956425.1
360)222180(169.0
fA9.0N
2M
unetRd.u.net ≈=
⋅⋅−⋅=
γ=
Rezistenţa îmbinării Rezistenţa dispozitivelor de fixare(şuruburi de înaltă rezistenţă pretensionate)
kN8.548kN2.137x4]F;F[.minxnF Rd.bRd.sbtot.Rd.b === unde nb = 4- numărul şuruburilor din îmbinare. Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă
kN564N Rd.u.net ≈ Rezistenţa de calcul a îmbinării va fi:
kN8.548]N;F.[minF Rd.u.nettot.Rd.bRd ==
E3. Îmbinări lungi cu şuruburi Să se evalueze rezistenţa îmbinării cu şuruburi din figura E3-1, cunoscând următoarele date de proiectare:
- Oţel S 235 ( )mm/N360f 2u = ;
- şuruburi nepretensionate M 16 grupa 5.6 )mm/N500f( 2ub = ,în găuri Ø 17 mm;
- lunecarea preluată în zona nefiletată.
178
Fig. E3-1
Rezolvare: Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.8, la îmbinările la care distanţa Lj dintre centrele dispozitivelor de fixare de capăt, măsurată pe direcţia de transmitere a forţei, este mai mare de 15d, figura E3-2, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se reduce prin multiplicare cu un factor de reducere Lfβ , calculat cu relaţia:
d200
d15L1
jLf
−−=β ; 0.175.0 Lj ≤β≤
Fig. E3-2
Aplicare numerică Se obţin următoarele valori numerice:
987.016200
16152801
d200
d15L1
jLf =
⋅⋅−
−=−
−=β
Rezistenţa la forfecare
kN63.47N6284725.1
4
165006.0
987.0F
2
Rd.v ≅=
⋅π⋅⋅
=
Rezistenţa la presiune pe gaură
Rd.vRd.b FkN475.135N47513525.1
121636098.05.2F >==
⋅⋅⋅⋅=
179
unde:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=
5.25.2
06.47.117
704.1
.min
5.25.2
36.77.117
558.2
.min
k1
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
39.1360
500
12.14
1
173
70
98.0173
50
.min
d
b
Rezistenţa (capacitatea portantă) a dispozitivelor de fixare (pentru 10 şuruburi) este:
kN3.476kN63.47x10Fx10F Rd.vtot.Rd.b === Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă
kN1.4541025.1
36012)172180(9.0
fA9.0N 3
2M
unetRd.u.net =
⋅⋅⋅−=
γ= −
Se obţine rezistenţa îmbinării: kN1.454]N;F.[minF Rd.u.nettot.Rd.bRd ==
E4. Îmbinare solicitată la forfecare cu plăci de compensare Să se evalueze rezistenţa îmbinării din figura E4-1 (capacitatea portantă), cunoscând următoarele date de proiectare:
- oţel S 355 )mm/N510f( 2u = ;
- şuruburi M 16, grupa 8.8 )mm/N800f( 2ub = , nepretensionate, în găuriØ17 mm;
- factorul de siguranţă: 25.12M =γ .
Fig. E4-1
Rezolvare: Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.6.1, la îmbinările cu nituri sau cu şuruburi solicitate la forfecare care sunt prevăzute cu plăci de compensare cu o grosime totală tp mai mare decât o treime din diametrul nominal d, figura E4-2, forţa capabilă la forfecare Fv.Rd se va multiplica cu un factor de reducere pβ , calculat cu relaţia:
1;t3d8
d9p
pp ≤β
+=β
180
Pentru îmbinări cu două planuri de forfecare la care plăcile de compensare sunt dispuse pe ambele părţi ale îmbinării, tp se ia ca şi grosimea celei mai subţiri plăci de compensare.
Fig. E4-2
Aplicare numerică Se obţin următoarele valori numerice:
Rezistenţa la forfecare
191.0103168
169
t3d8
d9
pp <=
⋅+⋅⋅
=+
=β
Pentru un şurub cu două secţiuni de forfecare se obţine:
kN45.140N44714025.1
4
168006.0
291.0F
2
Rd.v ≅=
⋅π⋅⋅
⋅=
Rezistenţa la presiune pe gaură: Rd.vRd.b FkN94.159N93615925.1
101651098.05.2F >≅=
⋅⋅⋅⋅=
unde:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=
5.25.2
06.47.117
704.1
.min
5.25.2
54.67.117
508.2
.min
k1
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
57.1510
800
12.14
1
173
70
98.0173
50
.min
d
b
Rezistenţa (capacitatea portantă) a dispozitivelor de fixare (pentru 4 şuruburi) este: kN8.561kN45.140x4Fx4F Rd.vtot.Rd.b ===
Rezistenţa plastică de calcul în secţiunea netă
kN4.4991025.1
51010)172170(9.0
fA9.0N 3
2M
unetRd.u.net =
⋅⋅⋅−=
γ= −
Se obţine rezistenţa îmbinării: kN4.499]N;F.[minF Rd.u.nettot.Rd.bRd ==
E5. Prinderi articulate. Calculul ruperii în bloc Să se verifice prinderea grinzii din figura E5-1, cunoscând următoarele date de proiectare:
- oţel S 275 ( 2u mm/N430f = );
- reacţiunea verticală de calcul: kN110VEd = ;
181
- şuruburi de prindere M20 (As = 245 mm2) - grupa 8.8 ( 2ub mm/N800f = );
- găuri Ø 21 mm.
Fig. E5-1
Rezolvare Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.10.2, ruperea în bloc constă în cedarea la forfecare de-a lungul unui rând de şuruburi în suprafaţa de forfecare a grupului de găuri, însoţită de ruperea la întindere de-a lungul liniei de găuri în suprafaţa întinsă a grupului de şuruburi. Ruperea în bloc este exemplificată în figura E5-2.
5. forţă de tracţiune mică 6. forţă de forfecare mare 7. forţă de forfecare mică 8. forţă de tracţiune mare
Fig.E5-2
Pentru un grup simetric de şuruburi solicitat la o încărcare centrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia:
0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/AfV γ+γ=
Pentru un grup de şuruburi solicitat la o încărcare excentrică, rezistenţa la rupere în bloc este dată de relaţia:
0Mnvy2MntuRd.1.eff /A)3/f(/Af5.0V γ+γ⋅=
unde: - Ant – aria netă solicitată la întindere; - Anv – aria netă solicitată la forfecare. Aplicare numerică Se obţin următoarele valori numerice:
182
Rezistenţa la forfecare Pentru două şuruburi cu o secţiuni de forfecare fiecare, în zona filetată, se obţine:
kN2.1881025.1
2458006.012F 3
Rd.v ≅⋅⋅
⋅= −
Rezistenţa la presiune pe gaură pentru placa de prindere Rezistenţa la presiune pe gaură a plăcii de prindere cu grosimea de 12 mm, pentru două găuri va fi:
kN1.2621025.1
1220430635.05.22F 3
Rd.b ≅⋅⋅⋅⋅
= −
unde: 5.25.2
97.47.121
508.2
.mink1 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
= ;
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
86.1430
800
702.04
1
213
60
635.0213
40
.min
d
b
Rezistenţa (capacitatea portantă) a dispozitivelor de fixare (pentru 2 şuruburi) este: { } EdRd.bRd.vRd VkN2.188F;F.minF >==
Rezistenţa la presiune pe gaură pentru inima profilului laminat
Ed3
Rd.b VkN9.1521025.1
6.520430794.05.22F >≅
⋅⋅⋅⋅= −
unde: t = 5.6 mm;
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅+
=α
=α
0.1
86.1430
800
702.04
1
213
60
794.0213
1040
.min
d
b
Verificarea la rupere în bloc Pentru grupul de şuruburi solicitat la încărcare excentrică, rezistenţa la rupere în bloc, figura E5-3, va fi:
kN7.15610]0.1/)215.16050(6.53
430)215.050(6.54305.0[
/A)3/f(/Af5.0V
3
0Mnvy2MntuRd.1.eff
=⋅⋅−++⋅−⋅⋅=
=γ+γ⋅=
−
Fig. E5-3
183
E6. Îmbinări cu şuruburi solicitate la întindere Să se verifice îmbinarea din figura E6-1, cunoscând următoarele date de proiectare: - solicitările din îmbinare:
• kNm110MEd =
• kN100VEd =
- oţel S 235 ( )mm/N360f 2u = ;
- şuruburi nepretensionate M20 - grupa 5.6 )mm/N500f( 2ub = ; 2
s mm245A = .
Fig. E6-1
Rezolvare Baza teoretică Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.6.1, forţa capabilă la întindere a unui şurub este dată de relaţia:
2M
sub2Rd.t
AfkF
γ= , unde:
⎩⎨⎧
−−
=suruburicelelalte90.0
inecatcapcusuruburi63.0k 2
În cazul solicitării combinate la întindere şi forfecare se va verifica relaţia de interacţiune:
1F4.1
F
F
F
Rd.t
Ed.t
Rd.v
Ed.v ≤⋅
+
Aplicare numerică Rezistenţa la întindere Din ecuaţia de echilibru (moment faţă de punctul de rotire, considerat ca fiind centrul tălpii comprimate, în cazul unei prinderi rigide), se obţine efortul maxim de întindere în perechea de şuruburi de la partea superioară, figura E6-2:
184
kN2.88FkN5.68)048.0388.0493.0(2
493.0110
z2
zMF Rd.t2222
i
1EdEd.t =<=
++
⋅=
⋅=
∑
unde:
kN2.881025.1
2455009.0AfkF 3
2M
sub2Rd.t =
⋅⋅=
γ= −
Fig. E6-2
Rezistenţa la forfecare Rezistenţa la forfecare simplă pentru cele 6 şuruburi din îmbinare, planul de forfecare fiind în zona nefiletată, va fi:
2M
ubvRd.v
Af6F
γα
= kN100VkN2.4521025.1
4
205006.0
6 Ed3
2
=>≅
⋅π⋅⋅
= −
Întindere şi forfecare combinată: 1776.02.884.1
5.68
2.452
100
F4.1
F
F
F
Rd.t
Ed.t
Rd.v
Ed.v <=⋅
+=⋅
+
Rezistenţa la presiune pe gaură pentru placa de prindere(de capăt) Rezistenţa la presiune pe gaură a plăcii de prindere cu grosimea de 30 mm, pentru şase găuri va fi:
kN100VkN16461025.1
3020360635.05.26F Ed
3Rd.b =>>≅
⋅⋅⋅⋅= −
unde: 5.25.2
63.37.121
408.2
.mink1 =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
= ;
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
39.1360
500
417.14
1
213
105
635.0213
40
.min
d
b
E7. Îmbinări cu şuruburi la grinzile cu inimă plină Să se proiecteze îmbinarea de montaj a grinzii principale a unui pod de cale ferată cu calea în cuvă de balast, cunoscând următoarele date de proiectare:
- dimensiunile grinzii şi poziţia îmbinării de montaj, figura E7-1;
185
46w cm10103.3I ⋅=
46f cm10335.9I ⋅=
46 cm1044.12I ⋅=
SECŢIUNI: La mijloc:
tălpi: b×t = 700×32 mm inimă: hw×tw = 3000×16 mm
La reazeme: tălpi: b×t = 500×32 mm
inimă: hw×tw = 2 000×16 mm La îmbinare:
tălpi: b×t = 700×32 mm inimă: hw×tw = 2855×16 mm
Fig. E7-1
- acţiuni pentru o grindă principală:
o acţiuni permanente: m/kN103g5.0g Gg.Ed =⋅γ⋅=
o acţiuni din convoi (încărcare echivalentă): m/kN90q5.0q m31QM.Ed =⋅Φ⋅γ⋅=
o acţiunea indirectă a vântului: m/kN5pp ind.wwind.w.Ed =⋅γ= TOTAL : m/kN200pEd ≈
- oţel: S 355 ( 2u mm/N510f = );
- şuruburi de montaj: M 27 - grupa 10.9 ( 2ub mm/N1000f = ), pretensionate.
Rezolvare Baza teoretică Solicitările – momentul încovoietor MEd şi forţa tăietoare VEd , din secţiunea de îmbinare se repartizează la tălpi şi la inimă astfel:
Tălpi: 0V;I
IMM f.Ed
fEdf.Ed ==
186
Inimă: Edw.Edw
Edw.Ed VV;I
IMM ==
unde: - If – momentul de inerţie al tălpilor - Iw – momentul de inerţie al inimii - I – momentul de inerţie al întregii secţiuni.
Momentul încovoietor preluat de tălpi se transformă într-un cuplu de două forţe axiale (întindere şi compresiune) – NEd.f, pentru care se calculează dispozitivele de îmbinare, eclise şi şuruburi, unde:
h
MN f.Ed
f.Ed = ; h – distanţa dintre centrele de greutate a tălpilor.
Recomandare: Se recomandă ca îmbinarea să fie dimensionată la efortul capabil al tălpii, astfel încât îmbinarea să poată prelua o încărcare apropiată de cea care poate fi preluată de secţiunea grinzii, respectiv la un efort axial egal cu rezistenţa plastică a tălpii în secţiunea netă evaluat cu relaţia:
2M
unetRd.u.net
fA9.0N
γ⋅
=
Momentul încovoietor care revine inimii este preluat de elementele de îmbinare prin forţe proporţionale cu distanţa faţă de centrul îmbinării, şuruburile extreme, cele mai solicitate, vor fi acţionate de o forţă rezultată din ecuaţia de echilibru de valoare:
∑⋅⋅
=2i
1w.EdM.1
zm2
zMN
unde: m – numărul de şiruri verticale de şuruburi de o parte şi de alta a rostului. Forţa tăietoare se repartizează uniform la elementele de îmbinare:
b
EdV n
VN =
unde: nb – numărul de şuruburi de fiecare parte a rostului de îmbinare. Eclisele de îmbinare Eclisele din îmbinare trebuie să îndeplinească următoarele condiţii de rezistenţă:
- eclisele pentru îmbinarea tălpilor:
∑ ≥ net.fnet.e AA
- eclisele pentru îmbinarea inimii: net.wnet.e WW ≥ şi net.wnet.e AA ≥
Aplicare numerică Solicitările de calcul din îmbinare
kNm36419)xL(2
xpM Ed
4.9x =−⋅
==
kN1120x2
LpV Ed4.9x =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −==
Repartizarea solicitărilor la elementele secţiunii
Tălpi: 0V;kNm531141044.12
10335.936419
I
IMM f.Ed6
6f
Edf.Ed ==⋅
⋅==
Inimă: kN1120VV;kNm83341044.12
10103.336419
I
IMM Edw.Ed6
6w
Edw.Ed ===⋅
⋅−=
187
Îmbinarea tălpilor Eclise: 4 eclise 320 x 20 mm, figura E7-2.
Fig. E7-2
2net.f
2net.e mm23215)288700(32Amm64016)284320(204A =⋅−=>=⋅−⋅=
Şuruburi: IP M27 – grupa 10.9; 2s cm59.4A =
Îmbinarea se calculează la efortul axial capabil al tălpii:
kN5033887.2
14531
h
MkN559310
25.1
510)288700(329.0
fA9.0N f.Ed3
2M
unetRd.u.net ==>=
⋅⋅−=
γ⋅
= −
Rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub Conform SR EN 1993-1-8:2006 § 3.9.1, rezistenţa de calcul la lunecare a unui şurub pretensionat M 27 din grupa 10.9 va fi:
kN2573.32125.1
5.020.1F
nkF C.p
3M
sRd.s =
⋅⋅=
γμ
=
unde: - sk – conform tabel ; - n – numărul suprafeţelor de frecare (egal cu 2); - μ – coeficient de frecare obţinut fie prin încercări specifice sau conform tabel;
- C.pF – forţa de pretensionare de calcul:
kN3.3211045910007.0Af7.0F 3subC.p =⋅⋅⋅== −
Rezultă numărul de şuruburi pentru îmbinarea unei tălpi:
suruburi24aleg8.21257
5593
F
Nn
Rd.s
Rd.u.netf.b ⇒===
Forţa capabilă la presiune pe gaură (pentru talpa grinzii)
2M
ub1Rd.b
tdfkF
γα
= Rd.s3 FkN93.38510
25.1
3227510476.03.2>=
⋅⋅⋅⋅= −
unde:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ =−
=
3.25.2
3.27.128
804.1
.min
3.25.2
3.27.128
408.2
.min
k1
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=−⋅
=⋅=α
=α
0.1
96.1510
1000
702.04
1
283
80
476.0283
40
.min
d
b
188
Îmbinarea inimii Rezolvarea constructivă a îmbinării este prezentată în figura E7-3. Eclisele de îmbinare a inimii îndeplinesc condiţiile: net.wnet.e WW ≥ şi net.wnet.e AA ≥
unde: 2net.e mm40040)28252720(102A =⋅−⋅= ;
2net.w mm48034)28252855(16A =⋅−=
Efortul maxim la care sunt solicitate şuruburile din poziţiile exterioare ale ecliselor este obţinut din efortul produs de momentul încovoietor MEd.w şi forţa tăietoare VEd.w.
kN257FkN2044.2278.202NNN Rd.s222
V2
M.1R =<=+=+=
unde: kN78.2026507822
132104833
zm2
zMN 2
2i
1w.EdM.1 =
⋅⋅⋅=
⋅⋅=
∑
kN4.2250
1120
n
VN
b
EdV === ; 50nb = şuruburi de fiecare parte a rostului
Fig. E7-3
189
13.3.2. Îmbinări sudate E1. Elemente solicitate la întindere îmbinate cu sudură Să se verifice rezistenţa îmbinării cu sudură prezentată în figura E1-1, cunoscând următoarele date de proiectare:
- oţel: S460N ( 2u mm/N540f = );
- efortul axial: kN300FEd = .
Fig.E1-1
Baza teoretică Se verifică:
• condiţiile constructive: ⎩⎨⎧
⋅≥
ww a6
mm40
• condiţiile de rezistenţă:
2Mw
u2II
22 f)(3
γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ (1.a);
2M
uf9.0γ
≤σ⊥ (1.b)
Aplicare numerică Condiţiile constructive sunt îndeplinite. Deoarece: ⇒>=⋅= mm170mm4503150a150 w îmbinarea este de tip scurtă. Sudurile longitudinale
0=τ=σ ⊥⊥ . Din relaţia (1.a) se obţine Rd.IIτ : 2Mw
uRd.II
3
f
γβ=τ
Forţa care poate fi preluată de cordoanele de sudură longitudinale va fi:
kN2541025.113
54017032AF 3
Rd.IIII.wRd.w.II =⋅⋅
⋅⋅=τ⋅= −
Sudura frontală (figura E1-2)
2wσ
=τ=σ ⊥⊥
0Rd.II =τ
Fig. E1-2
190
Relaţia (1.a) devine: 2Mw
u2
w2
w f
23
2 γβ≤⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ
Efortul unitar de calcul pentru sudura frontală va fi:
2Mw
uRd.w
2
f
γβ=σ
Forţa care poate fi preluată de cordonul de sudură frontal este:
kN3.731025.112
540803AF 3
Rd.w.wRd.w. =⋅⋅
⋅=σ⋅= −⊥⊥
Rezistenţa de calcul (capacitatea portantă) a îmbinării sudate va fi: kN3.3273.73254FFF Rd.w.Rd.w.IIRd.w =+=+= ⊥
Observaţie: Rezistenţa sudurii poate fi verificată simplificat cu relaţia:
kN300FkN3141025.113
)801702(3540
3
LafF Ed
3
2Mw
wwuRd.w =>=
⋅⋅
+⋅⋅=
γ⋅β⋅
⋅⋅= −
E2. Consolă sudată Să se verifice prinderea cu suduri de colţ a unei console realizată dintr-o placă dreptunghiulară, figura E2-1, cunoscând următoarele date de proiectare:
- forţa verticală la care este acţionată consola: VEd=250kN - excentricitatea forţei verticale: e=60 mm - oţel: S 235 (fu=360 N/mm2).
Fig. E2-1
Rezolvare Baza teoretică Se verifică:
• condiţiile constructive: ⎩⎨⎧
⋅≥
ww a6
mm40
• condiţiile de rezistenţă:
2Mw
u2II
22 f)(3
γ⋅β≤τ+τ+σ ⊥⊥ (1.a);
2M
uf9.0γ
≤σ⊥ (1.b)
191
Aplicare numerică Condiţiile constructive sunt îndeplinite. Deoarece: ⇒>=⋅= mm300mm4503150a150 w îmbinarea este de tip scurtă. Eforturile unitare în cordoanele de sudură sunt următoarele (figura E2-2):
Fig. E2-2
23
w
EdII mm/N104
30042
10250
La2
V=
⋅⋅⋅
=⋅⋅
=τ ; 2w mm/N4.882
125
2==
σ=σ=τ ⊥⊥
unde: 22
3
2w
Ed
w.elw mm/N125
6
30042
6010250
6
La2
eV
W
M=
⋅⋅
⋅⋅=
⋅
⋅==σ
Se verifică condiţiile de rezistenţă:
2
2Mw
u
22222II
22
mm/N36025.18.0
360f
mm/N4.252)1044.88(34.88)(3
=⋅
=γ⋅β
≤
≤=++=τ+τ+σ ⊥⊥ DA
2
2M
u2 mm/N25925.1
3609.0
f9.0mm/N4.88 ==
γ≤=σ⊥ DA
192
14. CONSOLIDAREA GRINZILOR
Problematica întreţinerii, reabilitării şi consolidării structurilor de poduri metalice este prezentată în lucrarea Poduri metalice. Întreţinere şi reabilitare [18]. În acest modul sunt prezentate cele mai uzuale metode de consolidare a grinzilor metalice cu inimă plină, având inimile cu zvelteţe ridicată, utilizate cu deosebire în domeniul podurilor, dar principiile prezentate sunt valabile pentru orice domeniu de utilizare al acestora. Metodele de consolidare prezentate în continuare sunt: - consolidarea prin sporirea secţiunii tălpilor; - consolidarea prin pretensionare cu tiranţi rigizi.
14.1. Consolidarea grinzilor prin sporirea secţiunii tălpilor
Prin adăugarea unor elemente de consolidare la una sau la ambele tălpi ale grinzii (grinda
aflându-se încărcată numai cu sarcinile permanente), se obţine creşterea momentului de inerţie faţă de axa principala y-y şi implicit vor scădea eforturile unitare şi deformaţiile sub acţiunea încărcărilor utile. În figura 14.1 sunt prezentate câteva posibilităţi de sporire a capacităţii portante a grinzilor prin modificarea secţiunii tălpilor.
Fig. 14.1. Sporirea secţiunii grinzilor cu inimă plină Starea de eforturi în grinda cu inimă plină consolidată este prezentată pentru varianta de
consolidare constând din adăugarea unui element secţiune T alcătuit sudat, la talpa inferioară a grinzii, figura 14.2.
Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente:
seff,y
Eggs z
I
M=σ (14.1.a)
ieff,y
Eggi z
I
M=σ (14.1.b)
unde: gGEg MM ⋅γ=
193
Fig. 14.2. Starea de eforturi în grinda consolidată
Faza II: grinda consolidată, încărcată cu sarcinile verticale din convoi: Peste eforturile unitare corespunzătoare la Faza I se adaugă eforturile:
's
c,eff,'y
EPPs z
I
M=σ (14.2.a)
'i
c,eff,'y
EPPi z
I
M=σ (14.2.b)
unde: c,eff,'yI - momentul de inerţie efectiv al secţiunii consolidate;
• pentru poduri feroviare: P3QEP MM ⋅φ⋅γ= ;
71LMP MCM ⋅= , ( 1C ≥ - coeficientul creşterii încărcărilor utile).
• pentru poduri rutiere: PQEP MM ⋅γ= ;
1LMP MCM ⋅= Starea de eforturi în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în elementul adăugat la talpa
inferioară (elementul de consolidare - c) va fi următoarea:
0M
y's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs
fz
I
Mz
I
M
γ≤+=σ (compresiune) (14.3.a)
0M
y'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi
fz
I
Mz
I
M
γ≤+=σ (întindere) (14.3.b)
0M
yc
c,eff,'y
EPc
fz
I
M
γ≤=σ (întindere) (14.3.c)
Observaţie: Datorită modificării secţiunii tălpilor, se modifică şi poziţia centrului de greutate al grinzii. Spre exemplu, adăugarea unui element de consolidare la talpa inferioară, face ca centrul de greutate să se deplaseze în sensul axei z, ceea ce implică o reîncadrare a inimii grinzii în clase de secţiuni şi o reevaluare a secţiunii efective ( 1/ 12 −≠σσ=ψ ).
Deformaţia elastică
Prin modificarea rigidităţii grinzii se obţin de asemenea efecte favorabile legate de săgeata elastică a grinzii.
194
Pentru o grinda cu secţiune variabilă săgeata se poate calcula suficient de exact cu relaţia:
y
2max
m
2max
EI
LM
48
5.5
EI
LM
48
5≅=δ (14.4)
unde: L
II
iim
∑ ⋅= - este momentul de inerţie mediu ponderat al grinzii;
yI este momentul de inerţie al grinzii la jumătatea deschiderii acesteia.
Rezultă următoarele valori pentru săgeţi: - grinda neconsolidată:
( )
y
2P3g
EI
LMM
48
5.5 ⋅⋅φ+=δ (14.5.a)
- grinda consolidată:
2cy
P3
y
gL
I
M
I
M
E48
5.5⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⋅φ+=δ (14.5.b)
unde cyI reprezintă momentul de inerţie maxim al secţiunii consolidate.
Deformaţia elastică din convoiul feroviar LM71 Grinda principală se realizează în general cu o contrasăgeată egală cu săgeata din încărcările permanente plus 25% din săgeata produsă de încărcarea utilă. Deformaţia elastică (săgeata) produsă de încărcarea utilă se determină din acţiunile normate produse de convoiul LM 71 (afectate de coeficientul dinamic). Momentul încovoietor pentru calculul săgeţii va fi: P3f MM ⋅Φ=
Se obţine deformaţia elastică a grinzii δ , care se compară cu săgeata admisă aδ :
600
L
IE48
LM5.5ac
y
2f =δ≤⋅
⋅⋅=δ (14.6)
Săgeata admisibilă, în conformitate cu EN 1990 – Anexa A2/2005 este L/600. Din condiţia de confort de circulaţie ”foarte bun”, săgeata verticală maximă, pentru
elementele în lungul căii, este dată în figura 14.3 (EN 1990 - Anexa A2), pentru grinzi cu 3 sau mai mult de 3 deschideri simplu rezemate. Deformaţia verticală δ se calculează din acţiunea convoiului LM 71, pentru 1i =γ , luând în considerare coeficientul dinamic Φ . Raportul δ/L admisibil, în funcţie de viteză, rezultat din figura 14.3, se multiplică cu 0.9 pentru grinzi continue şi cu 0.7 pentru o grindă simplu rezemată sau 2 grinzi simplu rezemate succesive .
Fig.14. 3
195
14.2. Consolidarea grinzilor prin pretensionare cu tiranţi rigizi
Consolidarea prin majorarea secţiunii tălpilor se poate realiza relativ simplu în cazul grinzilor sudate; la grinzile nituite adăugarea unei platbande suplimentare la talpă presupune scoaterea niturilor de cap existente şi apoi renituirea pachetului cu platbandă adăugată, operaţie deosebit de laborioasă.
Consolidarea cu tiranţi constă în adăugarea, pe zonele unde secţiunea iniţială este insuficientă, a unor elemente formate din bare drepte rigide, aceste elemente nefiind legate solidar (continuu) cu secţiunea de bază a grinzii.
Tiranţii pot fi realizaţi din profile laminate (L, U, oţel rotund), figura 14.4, sau pot avea secţiuni alcătuite sudat.
Fig. 14.4. Tiranţi din profile laminate. Fixarea de talpa
întinsă pe zona dintre ancoraje
Tiranţii rigizi pot fi rectilinii orizontali sau pot avea un traseu poligonal, fiind distanţaţi de
talpa grinzii prin montanţi (sistem macaz), figura 14.5.
Fig. 14.5. Grinzi consolidate cu tiranţi rigizi
Tiranţii introduşi în sistemul tablierului pot fi tiranţi simpli, fără un efort iniţial, sau tiranţi
pretensionaţi, având un efort iniţial de întindere. Pretensionarea tiranţilor, realizată mecanic sau termic, măreşte eficienţa acestora prin
faptul ca se reduc eforturile unitare din încărcările permanente. Pretensionarea tiranţilor, în cazul în care aceştia au un traseu poligonal (sistem macaz) se poate realiza relativ simplu prin introducerea unor prese în dreptul montanţilor,
Calculul consolidării cu tirant rectiliniu a grinzilor cu inimă plină
Soluţia cea mai simplă de consolidare este cea cu tirant drept, aşezat sub talpa întinsă a
grinzii, fixat la capete în blocuri de ancoraj, aflate la o anumită distanţă de capetele grinzii. Starea de eforturi în grindă se poate urmări în schemele din figura 14.6, pe etapele de
realizare a consolidării.
196
Fig. 14.6. Starea de eforturi în grinda consolidată cu tirant
Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente Eforturile unitare normale vor fi: - în talpa superioară:
seff,y
Eggs z
I
M+=σ (14.7.a)
- în talpa inferioară:
ieff,y
Eggi z
I
M−=σ (14.7.b)
unde: gGEg MM ⋅γ=
Faza II: tirantul se tensionează cu efortul Nt
Faţă de faza I se adaugă eforturile unitare:
seff,y
tt
br
tNs z
I
eN
A
Nt
⋅−+=σ (14.8.a)
ieff,y
tt
br
tNi z
I
eN
A
Nt
⋅++=σ (14.8.b)
197
Faza III: se încarcă grinda cu sarcinile utile (convoi) În această fază grinda, iniţial simplu rezemată, devine static nedeterminată (n=1), efortul din tirant creşte de la Nt la Nt+X, unde X este efortul de autotensionare. Starea de eforturi unitare în grindă şi în tirant, ţinând cont de eforturile unitare din fazele anterioare şi de efectul dinamic al încărcărilor utile va fi:
- în talpa superioară: ( )[ ]
0M
ys
eff,y
ttEPEg
br
ts
fz
I
eXNMM
A
XN
γ≤
+−++
++=σ (14.9.a)
- în talpa inferioară: ( )[ ]
0M
yi
eff,y
ttEPEg
br
ti
fz
I
eXNMM
A
XN
γ≤
+−+−
++=σ (14.9.b)
- în tirant:
0M
y
t
tt
f
A
XN
γ≤
+=σ (întindere) (14.9.c)
unde: eff,yI - momentul de inerţie efectiv al secţiunii;
• pentru poduri feroviare:
P3QEP MM ⋅φ⋅γ= ; 71LMP MCM ⋅=
• pentru poduri rutiere: PQEP MM ⋅γ= ; 1LMP MCM ⋅=
În cazul în care tirantul este nepretensionat, în relaţiile (14.9.a,b,c) se va lua Nt=0 şi relaţiile vor avea forma simplificată:
( )
0M
ys
eff,y
tEPEg
brs
fz
I
XeMM
A
X
γ≤
−+++=σ (14.10.a)
( )
0M
yi
eff,y
tEPEg
bri
fz
I
XeMM
A
X
γ≤
−+−+=σ (14.10.b)
0M
y
tt
f
A
X
γ≤=σ (întindere) (14.10.c)
Determinarea efortului de autotensionare în tirant
Efortul X de autotensionare din tirant se poate determina aplicând metoda forţelor pentru rezolvarea ecuaţiei de condiţie a sistemului static nedeterminat, figura 14.7.
XP111X Δ=Δ+δ (14.11)
unde:
tttbr,y
2t
0 tt
2
0 br,y
2
11 AE
1
EI
edx
AE
ndx
EI
m tt
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=+=δ ∫∫
Ω−==Δ ∫br,y
t
0 br,y
PP1 EI
edx
EI
mMt
; XEAbr
tX −=Δ
198
Fig. 14.7. Determinarea efortului de autotensionare din tirant
Se obţine:
tttbrbr,y
2t
br,y
t
AE
1
EA
1
EI
e
EI
e
X
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
Ω
= (14.12.a)
unde: MEP - diagrama de moment încovoietor din convoiul de calcul, în
sistemul static determinat; m, n - diagramele de moment încovoietor şi forţă axială din X=1, pe
sistemul static determinat; Ω - aria diagramei de moment încovoietor din încărcările cu convoiul de calcul, în
sistemul static determinat pe porţiunea de grindă aferentă tirantului. Dacă tirantul este realizat ca element rigid Et=E, iar relaţia (14.12.a) devine:
ttbrbr,y
2t
br,y
t
A
1
A
1
I
e
I
e
X
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
Ω
= (14.12.b)
În cazul grinzilor cu secţiune variabilă, în relaţiile de calcul se pot introduce pentru momentul de inerţie şi aria grinzii, valorile medii ponderate ale acestora calculate cu relaţiile:
199
L
II
iim
∑ ⋅= ;
L
AA
iim
∑ ⋅= (14.13.a, b)
Efectul tirantului asupra săgeţii
Săgeata grinzii se determină în funcţie de momentul încovoietor maxim pe grindă şi din efectul de reducere datorat tirantului:
( )
t2
m
P3gL
EI48
MM5δ−
⋅φ+=δ (14.14.a)
în care: ( )22
m
ttotalt
L
0 m
tt c4L
EI8
eXdx
EI
mM−==δ ∫ (14.14.b)
unde: XNX ttotalt += .
Săgeata tδ produsă de momentul
încovoietor negativ ttotaltt eXM = (relaţia
14.14.b) se obţine prin metoda Mohr-Maxwell, figura 14.8.
Fig. 14.8. Calculul săgeţii din efectul tirantului
14.3 Exemple numerice E1. Exemplu numeric 1 Se verifică starea de eforturi uitare normale pe secţiune unei grinzi principale ale unui tablier de pod metalic, în urma consolidării grinzilor prin adăugarea sudată a câte unui element T la talpa inferioară, pe zona centrală a deschiderii. Se cunosc următoarele date de proiectare:
• Oţel S355; • Date referitoare la caracteristicile grinzilor principale
- elevaţie, figura E1.1:
Fig. E1.1
200
- solicitări maxime, secţiunea şi caracteristicile de rezistenţă, figura E1.2:
SECŢIUNE: La mijloc: - tălpi: bf×tf = 650×30 mm - inimă: hw×tw = 2600×12 mm
La reazeme: - tălpi: bf×tf = 400×30 mm - inimă: hw×tw = 1600×12 mm
Fig. E1.2
OŢEL: S355 ML
SOLICITĂRI: MEd = 21 500 kN⋅m din care: MEg = 4 400 kN·m MEP = 17 100 kN·m
• Date referitoare la soluţia de consolidare propusă, figura E1.3:
Fig. E1.3
Analiza soluţiei de consolidare Grinda neconsolidată Se verifică eforturile unitare din încovoiere pentru grinda neconsolidată, evaluând caracteristicile secţiunii efective.
Clasificarea secţiunii
Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor unitare este prezentată în figura E1.4.
201
Fig. E1.4
Se obţin eforturile unitare normale din încovoiere în fibrele extreme ale secţiunii:
2y
26
4
seff,y
Edns cm/daN3550fcm/daN3805142
10023.8
1021500z
I
M=>=
⋅
⋅==σ
2y
26
4
ieff,y
Edni cm/daN3550fcm/daN3323124
10023.8
1021500z
I
M=<=
⋅
⋅==σ
Grinda consolidată Se reevaluează secţiunea activă a inimii, luând în considerare distribuţia eforturilor unitare din figura E1.5.
Fig. E1.5
Se obţine:
60.0−=ψ
1.1578.929.681.7k 2 =Ψ⋅+Ψ⋅−=σ
673.042.21.1581.04.28
12/2600
k4,28
t/bpp >=
⋅=
⋅ε⋅=λ
σ
=ρ 139.042.2
)60.03(055.042.2)3(055,022
p
p <=−−
=λ
Ψ+−λ
Se obţine secţiunea efectivă a inimii: beff=0.39 xּ1623 = 633 mm; be1=253 mm; be2=380 mm.
202
Secţiunea eficace a grinzii şi caracteristicile de calcul sunt prezentate în figura E1.6.
Fig. E1.6
Eforturi unitare
Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente, figura E1.7:
26
4
seff,y
Eggs cm/daN779142
10023.8
104400z
I
M=
⋅
⋅==σ
26
4
ieff,y
Eggi cm/daN680124
10023.8
104400z
I
M=
⋅
⋅==σ
Fig. E1.7
Faza II: grinda consolidată, încărcată cu sarcinile verticale din convoi, figura E1.8:
Peste eforturile unitare corespunzătoare la
Faza I se adaugă eforturile:
27
4's
c,eff,'y
EPPs cm/daN2730179
10121.1
1017100z
I
M=
⋅
⋅==σ
27
4'i
c,eff,'y
EPPi cm/daN132787
10121.1
1017100z
I
M=
⋅
⋅==σ
Fig. E1.8
203
Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în elementul adăugat la talpa inferioară (element de consolidare - c) este prezentată în figura E1.9.
Fig. E1.9
Se obţine:
2
0M
y2's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs cm/daN3550
fcm/daN35092730779z
I
Mz
I
M=
γ≤=+=+=σ
2'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi cm/daN20071327680z
I
Mz
I
M=+=+=σ
0M
y27
4
cc,eff,'y
EPc
fcm/daN19776.129
10121.1
1017100z
I
M
γ≤=
⋅
⋅==σ
Concluzie
Prin adăugarea unui element la talpa inferioară a grinzii se obţine o reducere a eforturilor
unitare normale din încovoiere, astfel:
- la talpa superioară:
%8.71003805
35093805100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%401003323
20073323100
ni
ini
i =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
O soluţie pentru sporirea substanţială a capacităţii portante a grinzii constă în dispunerea
suplimentară a unor rigidizări longitudinale, prin care să fie coborâtă clasa secţiunii (inimii) la cel mult Clasa 3. Aceste rigidizări pot fi luate în considerare la calculul caracteristicilor secţiunii.
204
E2. Exemplu numeric 2 Se verifică starea de eforturi uitare normale pe secţiunea grinzii din exemplul E1, în urma consolidării prin pretensionare exterioară cu un tirant rigid dispus rectiliniu la talpa inferioară a grinzii.
Soluţia de consolidare propusă, constă în dispunerea unui tirant rigid, nepretensionat în faza iniţială, sub talpa inferioară a grinzilor principale, realizat din câte două profile laminate 2 UPN 380, figura E2.1.
2
t cm8.1604.80x2A == Fig. E2.1
Analiza soluţiei de consolidare Grinda neconsolidată
2y
26
4
seff,y
Edns cm/daN3550fcm/daN3805142
10023.8
1021500z
I
M=>=
⋅
⋅+==σ
2y
26
4
ieff,y
Edni cm/daN3550fcm/daN3323124
10023.8
1021500z
I
M=<=
⋅
⋅−==σ
Grinda consolidată
Faza I: grinda neconsolidată, încărcată cu sarcinile permanente Eforturile unitare normale vor fi: - în talpa superioară:
26
4
seff,y
Eggs cm/daN779142
10023.8
104400z
I
M+=
⋅
⋅+=+=σ
- în talpa inferioară:
26
4
ieff,y
Eggi cm/daN680124
10023.8
104400z
I
M−=
⋅
⋅−=−=σ
Faza II: tirantul nu se tensionează
Faza III: se încarcă grinda cu sarcinile utile (convoi)
205
În această fază grinda, iniţial simplu rezemată, devine static nedeterminată (n=1), în tirant apare efortul de autotensionare X.
kN6572
26008.160
1
702
1
1065.7
173
1053.365.7
173
A
1
A
1
I
e
I
e
X
6
2
9
ttbrbr,y
2t
br,y
t
=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⋅
⋅=
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
Ω
=
Aria 292321 cmkN1053.3mkN678352SSS ⋅⋅=⋅=++=Ω , se determină cu ajutorul
diagramei din figura E2.2, în care intervin: - momentul încovoietor la distanţa c de la reazeme, determinat din ecuaţia parabolei:
mkN7894L
x
L
x88.0
1936.0
MMM
2
2EP
2x1 ⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−== = ;
- momentul de inerţie brut mediu al secţiunii grinzii, aproximat la valoarea:
466y
medbr.y cm1065.710502.89.0I9.0I ⋅=⋅⋅=⋅≈
- ariile parţiale:
2t11 mkN514124264789MS ⋅=⋅=⋅= ;
( ) 21EP2 mkN320446.312311L12.0MMS ⋅=⋅=⋅⋅−= ;
( ) ( ) 21EP3 mkN8441834.2212311
3
2c2L88.0MM
3
2S ⋅=⋅=−−= .
Fig. E2.2 Starea de eforturi unitare în grinda consolidată şi în tirant va fi următoarea: - în talpa superioară:
( )
( ) 26
5445
seff,y
tEPEg
brs
cm/daN337014210023.8
17310657.21017100104400
702
10657.2
zI
XeMM
A
X
=⋅
⋅⋅−⋅+⋅+
⋅=
=−+
++=σ
- în talpa inferioară:
206
( )
( ) 26
5445
ieff,y
tEPEg
bri
cm/daN108812410023.8
17310657.21017100104400
702
10657.2
zI
XeMM
A
X
−=⋅
⋅⋅−⋅+⋅−
⋅=
=−+
−+=σ
- în tirant: 2
tt cm/daN1652
8.160
700265
A
X===σ
Prin consolidarea cu tirant se obţine o reducere a eforturilor unitare normale din încovoiere, astfel:
- la talpa superioară:
%4.111003805
33703805100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%2.671003323
10883323100
ni
ini
i =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
Consolidări prin pretensionare exterioară
E3. Analiză comparativă a unor metode de consolidare Se analizează eficienţa unor metode de consolidare a grinzilor cu inimi zvelte (Clasa 4), din punct de vedere al creşterii capacităţii portante în raport cu consumul de oţel folosit pentru elementele de adaos, respectiv în raport cu reducerea eforturilor unitare din încovoiere în secţiunea grinzii. Cazurile analizate în cadrul aplicaţiei sunt următoarele:
• Cazul 1: Grinda Clasa 4 neconsolidată; • Cazul 2: Grinda consolidată cu o platbandă la talpa inferioară; • Cazul 3: Grinda consolidată cu o platbandă la talpa superioară; • Cazul 4: Grinda consolidată cu platbande la ambele tălpi; • Cazul 5: Grinda consolidată cu o rigidizare longitudinală; • Cazul 6: Grinda consolidată cu o platbandă la talpa inferioară, plus o rigidizare longitudinală.
Grinda analizată alcătuită din oţel S355M, are secţiunea transversală şi caracteristicile de calcul prezentate în figura E3.1 şi este solicitată la un moment încovoietor total (acţiuni permanente plus acţiuni utile de calcul):
207
mkN80013MEd ⋅= din care: mkN2003MEg ⋅= - momentul încovoietor din acţiunile permanente;
mkN60010MEP ⋅= - momentul încovoietor din acţiunile utile (convoi).
Fig. E3.1. Secţiune transversală de bază
Cazul 1: Grinda Clasa 4 neconsolidată
Clasificarea secţiunii
Talpa comprimată: 34.1181.0141413.830
2/)12500(
t
c
f
=⋅=ε⋅<=−
= ⇒ talpa Clasa 3
Inima : 44.10081.012412467.16612
2000
t
c
w
=⋅=ε⋅>== ⇒ inima Clasa 4
Clasa secţiunii =max. [clasa inimii; clasa tălpii comprimate] = 4 Secţiunea eficace a inimii Inima grinzii este un element rezemat pe două laturi, solicitat la încovoiere, figura E3.2.
Fig. E3.2
Pentru: ψ = 01
2 <σσ
, avem: beff = pc bb ⋅ρ=⋅ρ / ( )ψ−1 ; be1=0.4· beff; be2=0.6· beff
În acest caz: ψ = - 1 ; kσ =23.9.
208
Rezultă : 673.048.1k4,28
t/bpp >=
⋅ε⋅=λ
σ
−; =ρ 163.0
)3(055,02p
p <=λ
Ψ+−λ
Se obţine: beff=0.63 xּ100 = 63 cm; be1=25 cm; be2=38 cm. Secţiunea eficace a grinzii şi distribuţia eforturilor unitare este prezentată în figura E3.3.
Fig. E3.3
Se obţin eforturile unitare normale din încovoiere în fibrele extreme ale secţiunii:
2y
26
4
seff,y
Edns cm/daN3550fcm/daN3995108
10731.3
1080013z
I
M=>=
⋅
⋅==σ
2y
26
4
ieff,y
Edni cm/daN3550fcm/daN362598
10731.3
1080013z
I
M=>=
⋅
⋅==σ
Prin urmare grinda nu satisface condiţia de rezistenţă la încovoiere. Cazul 2: Grinda consolidată cu o platbandă la talpa inferioară Se analizează grinda consolidată prin adăugarea la talpa inferioară a unei platbande cu secţiunea de 400x30 mm, figura E3.4.a.
Fig. E3.4
209
Se reevaluează secţiunea activă a inimii, luând în considerare distribuţia eforturilor unitare din figura E3.4.b. Se calculează:
168.00 −>−=ψ> ; 6.1678.929.681.7k 2 =Ψ⋅+Ψ⋅−=σ
673.078.16.1681.04.28
12/2000
k4,28
t/bpp >=
⋅=
⋅ε⋅=λ
σ
=ρ 152.078.1
)68.03(055.078.1)3(055,022
p
p <=−−
=λ
Ψ+−λ
Se obţine secţiunea efectivă a inimii: beff=0.52 xּ1188 = 618 mm; be1=247 mm; be2=371 cm. Secţiunea eficace a grinzii şi caracteristicile de calcul sunt prezentate în figura E3.5.
Fig. E3.5
Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în elementul adăugat la
talpa inferioară (elementul de consolidare - c) va fi următoarea, figura E3.6:
Fig. E3.6
210
0M
y26
4
6
4's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs
fcm/daN39036.129
10614.4
1010600108
10731.3
103200z
I
Mz
I
M
γ>=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
6
4'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi cm/daN25964.76
10614.4
101060098
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
0M
y26
4
cc,eff,'y
EPc
fcm/daN18244.79
10614.4
1010600z
I
M
γ≤=
⋅
⋅==σ
Prin adăugarea platbandei la talpa inferioară a grinzii se obţine o reducere a eforturilor unitare normale din încovoiere, astfel: - la talpa superioară:
%3.21003995
39033995100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%4.281003625
25963625100
ni
ini
i =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
Cazul 3: Grinda consolidată cu o platbandă la talpa superioară Se analizează grinda consolidată prin adăugarea la talpa superioară a unei platbande cu secţiunea de 400x30 mm, figura E3.7.a.
Fig. E3.7 Se reevaluează secţiunea activă a inimii, luând în considerare distribuţia eforturilor unitare din figura E3.7.b. Se calculează:
346.11 −>−=ψ>− ; 19.36)1(98.5k 2 =Ψ−=σ
673.020.119.3681.04.28
12/2000
k4,28
t/bpp >=
⋅=
⋅ε⋅=λ
σ
=ρ 177.020.1
)46.13(055.020.1)3(055,022
p
p <=−−
=λ
Ψ+−λ
Se obţine secţiunea efectivă a inimii:
211
beff=0.77 xּ812 = 625 mm; be1=250 mm; be2=375 mm. Secţiunea eficace a grinzii şi caracteristicile de calcul sunt prezentate în figura E3.8.
Fig. E3.8
Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în elementul adăugat la
talpa superioară va fi următoarea:
26
4
6
4's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs cm/daN27746.85
10912.4
1010600108
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
6
4'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi cm/daN34394.120
10912.4
101060098
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
cc,eff,'y
EPc cm/daN19126.88
10912.4
1010600z
I
M=
⋅
⋅==σ
Prin adăugarea platbandei la talpa inferioară a grinzii se obţine o reducere a eforturilor unitare normale din încovoiere, astfel:
- la talpa superioară:
%6.301003995
27743995100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%51003625
34393625100
ni
ini
i ≈⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
Cazul 4: Grinda consolidată cu platbande la ambele tălpi Secţiunea eficace a inimii rămâne cea de la cazul grinzii neconsolidată, secţiunea consolidată fiind de asemenea o secţiune dublu simetrică. Secţiunea eficace a grinzii consolidate şi caracteristicile de calcul ale acesteia sunt prezentate în figura E3.9.
Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în platbanda superioară (platbanda inferioară este mai slab solicitată) va fi va fi următoarea:
212
26
4
6
4's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs cm/daN27004.106
10357.6
1010600108
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
6
4'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi cm/daN25016.99
10357.6
101060098
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
cc,eff,'y
EPc cm/daN18244.109
10357.6
1010600z
I
M=
⋅
⋅==σ
Fig. E3.9
Prin adăugarea platbandelor de consolidare la ambele tălpi ale grinzii se obţine o reducere
a eforturilor unitare normale din încovoiere, astfel:
- la talpa superioară:
%4.321003995
27003995100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%311003625
25013625100
ni
ini
i =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
Cazul 5: Grinda consolidată cu o rigidizare longitudinală În acest caz grinda se consolidează cu o rigidizare longitudinală dispusă în zona comprimată a inimii, aproximativ la mijlocul zonei inactive, realizată din două platbande, dispuse de o parte şi de alta a inimii, cu secţiunea de 200x20 mm fiecare, figura E3.10. Nervura se consideră suficient de rigidă pentru a crea o linie nodală pentru cele două subpanouri de inimă rezultate. Rigidizarea longitudinală se realizează din oţel S235. Clasa secţiunii Rigidizarea longitudinală
213
⇒ε⋅=== 101020
200
t
crigidizarea Clasa 2
Fig. E3.10
Panoul superior de inimă Panoul superior de inimă este o placă comprimată neuniform, rezemată pe două laturi, figura E3.11.
3Clasa26.40)53.033.067.0/(81.042
)33.067.0/(428.3512
430
t
c
⇒=⋅+⋅=
=Ψ⋅+ε⋅<==
Fig. E3.11
Panoul inferior de inimă Panoul inferior de inimă este o placă comprimată neuniform, rezemată pe două laturi, figura E3.12.
Fig. E3.12
214
12912
1550
t
c== ; 120.2* −<−=Ψ=Ψ
36.23820.2)20.21(81.062)1(62 =+⋅=Ψ−Ψ−ε⋅ 4.10831.0/81.05.41/5.41 =⋅=αε⋅ , unde: 5.031.01560/488 <==α
4.108/5.41 =αε⋅ < <= 129t
c36.238)1(62 =Ψ−Ψ−ε⋅ ⇒ inima Clasa 3
Având în vedere rezultatele anterioare rezultă faptul că întreaga secţiune transversală este eficace.
Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii va fi va fi următoarea:
26
4
6
4's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs cm/daN33988.95
10109.4
1010600108
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
0My2
6
4
6
4'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi /fcm/daN36832.110
10109.4
101060098
10731.3
103200z
I
Mz
I
Mγ>=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
Prin adăugarea unei rigidizări longitudinale se obţine o reducere a eforturilor unitare normale din încovoiere, astfel:
- la talpa superioară:
%151003995
33983995100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%21003625
36833625100
ni
ini
i ≈⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
Cazul 6: Grinda consolidată cu o platbandă la talpa inferioară, plus o rigidizare longitudinală neflexibilă În acest caz grinda se consolidează cu o platbandă 400x30 mm la talpa inferioară, plus o rigidizare longitudinală dispusă în zona comprimată a inimii (ca şi în cazul anterior), figura E3.13.
Fig. E3.13
215
Se constată faptul că întreaga secţiune este eficace dacă grinda este solicitată la încovoiere, datorită raportului în care se află tensiunile de întindere şi cele de compresiune.
Starea de eforturi finală în fibrele extreme ale secţiunii grinzii şi în platbanda de consolidare
de la talpa inferioară va fi va fi următoarea:
26
4
6
4's
c,eff,'y
EPs
eff,y
Egs cm/daN31779.113
10365.5
1010600108
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
6
4'i
c,eff,'y
EPi
eff,y
Egi cm/daN26601.92
10365.5
101060098
10731.3
103200z
I
Mz
I
M=
⋅
⋅+
⋅
⋅=+=σ
26
4
cc,eff,'y
EPc cm/daN18791.95
10365.5
1010600z
I
M=
⋅
⋅==σ
Prin consolidarea grinzii se obţine o reducere a eforturilor unitare normale din încovoiere,
astfel:
- la talpa superioară:
%5.201003995
31773995100
ns
sns
s =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
- la talpa inferioară:
%6.261003625
26603625100
ni
ini
i =⋅−
=⋅σ
σ−σ=σΔ
Analiza rezultatelor. Concluzii şi comentarii
În tabelul E3.1 sunt centralizate rezultatele analizei soluţiilor de consolidare şi se fac anumite observaţii în funcţie de următorii parametri:
• cA - aria elementului de consolidare;
• 100A
AA c=Δ - consumul suplimentar de oţel [%] ;
• 100f
);(MAXfR
y
isy σσ−= - rezerva de rezistenţă la încovoiere a grinzii [%].
Se pot formula următoarele observaţii: - în cazul grinzilor cu inimi zvelte, consolidarea cu material de adaos la talpa inferioară nu este o
soluţie eficientă deoarece se măreşte zona inactivă a inimii de Clasa 4; - introducerea unei rigidizări longitudinale în zona comprimată a inimii poate reduce clasa inimii
prin subîmpărţirea în subpanouri şi implicit poate mări semnificativ capacitatea portantă a grinzii;
- introducerea unei rigidizări longitudinale în zona comprimată a inimii dublată de sporirea secţiunii tălpii inferioare, sau a ambelor tălpi, conduce la sporirea semnificativă a capacităţii grinzii.
216
Tabelul E3.1
sσ sσΔ [%] Caz Schema Ac [cm2] [%]AΔ
iσ iσΔ [%] Comentariu
3995 0
1
0 0
3625 0
0Mys /f γ>σ
0Myi /f γ>σ
3903 2.30
2
120 22.2
2596 28.4
0Mys /f γ>σ
Consolidarea insuficientă
2774 30.6
3
120 22.2
3439 5.0
R=3.1%
2700 32.4
4
240 44.4
2501 31.0
R=23.9%
3398 15
5
80 14.8
3683 2.0
Consolidarea insuficientă
0Myi /f γ>σ
3177 20.5
6
200 37
2660 26.6
R=10.5%
217
BIBLIOGRAFIE
1. BIA, C., ILLE, V., SOARE, M. V.: Rezistenţa materialelor şi teoria elasticităţii. E.D.P. Bucureşti. 1983
2. BONDARIUC, V., BĂNCILĂ, R., BOLDUŞ, D.: Poduri metalice. Vol. I, II, Universitatea Politehnica Timişoara. 1997
3. BJÖRN ÅKESSON: Plate Buckling in Bridges and other Structures. Taylor & Francis. London. 2007
4. BUCĂ I., OPRAN O., MUHLBACHER, R., POPA, N.: Poduri metalice. Exemple de proiectare. E.D.P. Bucureşti. 1981
5. GUŢIU, Şt, MOGA, C.: Structuri compuse oţel beton. Bazele proiectării şi exemple de calcul. UT PRESS. 2011
6. JANTEA, C., VARLAM, F.: Poduri metalice. Alcătuire şi calcul. Casa Editorială “Demiurg”, Iaşi. 1996
7. JANTEA, C., VARLAM, F., COMISU, C.: Poduri metalice. Suprastructuri cu platelaj ortotrop. Exemplu de calcul. Casa de Editură Venus. Iaşi. 2000
8. JOHANSSON, B., MAQUOI,R., SEDLACEK,G., MÜLLER,C., BEG,D.: Commentary and worked examples to EN 1993-1-5 „Plated structural elements” (programme of CEN/TC 250). 2007
9. MATEESCU, D., CARABA, I.: Construcţii metalice. Calculul şi proiectarea elementelor din oţel. ED. Tehnică. 1980
10. MAZILU, P., ŢOPA, N., IEREMIA, M.: Teoria şi calculul plăcilor ortotrope. E.T. Bucureşti. 1983
11. MOGA, P., PĂCURAR,V.,GUŢIU, Şt.,MOGA, C.: Poduri metalice. Suprastructură pod de cale ferată. U.T.PRESS. 2007
12. MOGA,P., PĂCURAR,V., GUŢIU,ŞT., MOGA,C.: Calculul elementelor metalice. Norme române - Eurocode 3. U.T.PRESS. 2006
13. MOGA,P.,PĂCURAR,V.,GUŢIU,ŞT.,MOGA,C.: Construcţii şi poduri metalice. Aplicare euronorme. U.T.PRESS. 2007
14. MOGA, P. GUŢIU Şt., MOGA.C.: Bazele proiectării elementelor din oţel. Aplicare euronorme U.T.PRESS. 2011
15. MOGA, P., PĂCURAR,V.,GUŢIU, Şt.,MOGA, C.: Elemente metalice. Exemple de calcul. U.T.PRESS. 2008
16. MOGA, P.: Poduri. Suprastructuri metalice şi compuse oţel-beton. U.T.PRESS. 2011
17. MOGA, P., GUŢIU, Şt..: Poduri metalice. Ghid de proiectare. UT PRES. 2010
18. MOGA, P., GUŢIU Şt.: Poduri metalice. Întreţinere şi reabilitare. U.T.PRESS. 2010
19. TRAHAIR,NS., BRADFORD, MA., GARDNER,L.: The behaviour and design of steel structures to EC3. Taylor & Francis. London. Fourth edition. 2008.
20. *** SR 1911-98. Poduri metalice de cale ferată. Prescripţii de proiectare
218
21. *** Steel Box Girder Bridges. AASHTO, Vol. 97. 1974
22. *** Inquiry into the Basis of Design and Method of Erection of Steel Box Girder Bridges. Part I, II,
III, IV. London. 1974
23. *** EUROCODE 1. Actions on structures. EN 1991
24. *** EUROCODE 3. Part 1. Design of Steel Structures. EN 1993: 2003
25. *** EUROCODE 3. Part 2. Steel Bridges. EN 1993-2: 2005
26. *** SR EN 1993-1-1/2006. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-1: Reguli generale şi reguli pentru clădiri
27. *** SR EN 1993-1-5/2006. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-5: Elemente din plăci plane solicitate în planul lor
28. *** SR EN 1993-1-9/2006. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 1-9: Oboseala
29. *** SR EN 1993-2/2007. Eurocod 3: Proiectarea structurilor de oţel. Partea 2: Poduri de oţel
30. *** SR EN 1994-2/2006. Eurocod 4 : Proiectarea structurilor compozite de oţel şi beton. Partea 2 : Reguli generale şi reguli pentru poduri
31. *** SR EN 1994-1- 1/2006. Eurocod 4 : Partea 1-1 : Reguli generale şi reguli pentru clădiri
32. *** Seminar on EUROCODE 3. Design of Steel Structures. Tempus 4502-92. Timişoara. 1993
33. *** Seminar on EUROCODE 3. Part 1.3. Cold formed gauge members and sheeting. Tempus 4502-94. Timişoara. 1995
34. *** EUROCODE 3. Exemple de calcul. Tempus Phare Project 01198. 1997
35. *** ESDEP WG 8. Plates and shells. Lecture 8. The ESDEP Society
36. *** European Steel Design Education Programme. ESDEP. Course
37. *** SSEDTA: Structural Steelwork Eurocodes Development of A Trans-national Approach
38. *** Leonardo da Vinci Pilot Project CZ/02/B/F/PP-134007, Development of skills facilitating implementation of Eurocodes. HANDBOOK 1. Basis of Structural Design
39. *** Verificarea la stabilitate a elementelor din oţel în conformitate cu SR EN 1993-1.1.
Recomandări de calcul, comentarii si exemple de aplicare. Contract nr. 424/08.12.2009. Timişoara. 2010
40. SN003a-EN-EU – NCCI: Elastic critical moment for lateral torsional buckling). www.access-steel.com
41. Proiecte realizate de XC. PROJECT Cluj-Napoca