grinzi continue - c-tin avram

Lucrmes. ouprinde un resumat sl teoriei calcnlnloi static elsstic @i plastic ggrinzilor continue cu seetinne constanti sau vasiabili, nume: roase pentru determinarea eforturilor qi reac$innilor din i n c h i n

saroini fixe sau mobile, cum gi exemple de oaloul care *rat% modd de folosire a formnlelor gi tabelelor.

Nous. editis este revizut& qi completatZ. Lucrarea se adreseazi inginerilor conatmcto?i proieo-i gi studen-

t i lm faonlti$.tilor de construc 11, cum si inginer~lor g~ stud:ntflor de d t e spe- 1' cialitgti oirora l i se pun pro leme legate de teorla gr~nedor oontmnue.

Edijia de fat5 a lucrdrii ,,&in& continue. Tabele de caleul" repreaht i retipdrirea edit& apdrute tn anul 1959, recdmtci gi cmpletatci cu u M t o a r e k :

- calcululdeforma$iilor elastice dintncwoiere ale pQnnz i lw contin% (subcap.3.4); - calnclul grinzilor continue in d o m i u l plastic (cap. 4); - ta6ela 116 (modulul de re&stenfd plastic lVp $ coefieientul de forma" y pentnc

difen'le sectiuni); - e x m p l e b de calcul 6,18,19 gi 20. Tolodalii numcirul tabelelor pentru grin& continue e u m l e n t de imjie constant

$2 ,3 sau 4 deschideri inegale a fosl redus de la 92 la 50 tabele, p a l dintre ele pennG $t?d n inte*polaresufi&nt de exact6 ppntru valori intermediare ale rapoartelm deschiderilor.

Calnrlul p h t i e a1 slructurilw static nedeterminate realizate d i n m t n i a l e e h t i c o - p h t i e e , cum este o,lelul m a l e sau b e l a u l armat, calm1 care a cdpdtat astdzi o extindere destul de mare, p d t e luaren tn conside*are a rezervelor de rezisten$d pe care calnclul elastic nu k poate p n e in evidenjri g i duce prth aeeasta la solu$i mi economice g i mn i rationale d e d t caleulul elastic.

Directivele C o n g r w l u i a1 111-lea a1 P.M.R. previd pe do o park. realizarea wnui tlolum m r e de investitii tn loate h i i l e ecmacmiei nationale gi pe de a 1 6 park eregterea tntr-u.n r i t m rapid a nUma:mlui ifisinerilm necesari produe$iei. Prin retipd- rilea l w d r i i de t a p se d i un sprij in efectiv mtiVitdjii de proiectare a colzstnlcJiilor de toate genurp'k gi pregdlirii de noi cadre dc ingineri pent?u e c m i u na$ionali.

AUTORUL

Imraren d~ fi(i reprell.nf6 reedilarea, lair-un pi~zgur vokmz mai rrdur, o dour3 l u n 6 n anlmioarp ale aslontl?<i: ,,Gn'nn eonhnse nc m m e n l de innjiv mriakl. Tea& st tabple dp c a h l ' ' 11946) si ..Cnnn ran1qnt.e cu m m l de itwrie cmlunt" 119491. , . ,. ~ m m a Zucrare qwindea , tn afar; de iabekk de c a b 1 ~i e m p l e i e de c a h l edrespuk- zdtoare. teoria oenerald cmvletd a arinzii continue cu mwnenl de inertie variabil, En limp ee an &area a d& labellle de ealeul erau precedafe de un s&rt recumai a1 temiei grin& continue cu moment de i w @ constant.

fn p& park a lucrd~ii de fat6 se dd un reeuml a1 teoriei grin& contilnue eu moment de inn,tk variabil $i comlnnt, care mppnnde toate fmu le l e de ealcul $i indica- tiik necesare d e h i v d r i i reacjiunilor, a e f o r M l m a defom~ajiikn Enlr4 grin% continud ac;ionati de sareini (/or@ si euple) distribuite sau concenkate, fixe sau mobile. Formulele date permit, tntre allele, g i rezolvarea cancrilw de grinzi continu8 care nu d n t cuprime C tabelele de calcul. Se presupm ezrnosmfe tecriile +wind probletnele de statiea comtrucJiilar care inlervin C aceastri lucrare.

Partea a doua cuprinde 103 labele pentm @nda continud eu m e n 1 de k t i e constant Qi 54 tabele pentrzc grinda cmtinui ou mammt de ilze7tie ieariahil (m vute drepte ,si parabolice). Tabelele permit determinarea rm! iuni lw V $i a eforturil?? En lulgul grinzii (momente de tncovdere M $i for,@ Biehare T ) din sarcini uniform distribuite g i concentrate, permanenti giutile (g , p , G, P), prenc?ngi dhsareini mobile (b' ''

de influen@ V , M , T ) . Fa@ de editia precedentti, se d m Bn plus 9 liniile de in.flw V , M , T pentrn incircarea cu cuplul mobil M = l (tabela 103).

hz parlea a treia se dau o swie de exemple de ealcul care ilustrewi mo de tolosire a tabelelor sau rezolvarea unor problene ee nu se giisesc Fvrl tabele.

Formulele si labelek de ealcul din twezenta lunare dn t slabilite ue baza l e d

dul

h i n d prin el h s u i i o p r o b h d Garte; de asemma nn.ncpri& calculul eL7- continue tn d m n i u l plaslie.

Grinda continud cu m m t de i w t i e conslant este e l e m t u l static nedeten ~ r l ?ria? de; b l f l n ~ l in pn1,:1;,.u d c loale zzjele a inginemlui conrbuclor proircfant.

Gnnda ccnl:nud ru mom~n! de i n d i e m r i d i l este Iolo~tM mat rar ri anume L . sbuc!it irnpmfnnle nr desthtda mori sai sarcint p~rma.&nte man , nrm a? f i podu de Sosea sau L tale lwafu, chidir:k inditjtnalr r d d~s~huler i mar; el<. P r i ~ Enqropa qrihzilw pe reazeme gi cmentrarea momentelor kcovoietoare C amte zone, se miqore i n mod corespunitw monznztele bcovoietoare Bn d m p , rm l t t nd o redueere importa a see$ipmilar elnnentelor $i deci a sareinilor permanenle din grmbtea prop?%; ori,

".. rile wea az i ntii

asenema e h t e de cmtructie, locwi sareinile peryunente d n t hahidhare, fiind tn g m a l mull m; mari decCt sa7einite utdle ( d i m ea exemplu cam1 unui pod din heton amnat preemprimal pe grinzi continue m d m " deschibi egale a 68 m ficcare, la care bdl$zmea grinzii Fvr. h p s-a luat de 1,33 m faH de 5,OG m pe reazm).

herarea se adresea& in,ginerilor eonstncclwi proieclanti Qi s tudenf ih f amlh i f i h de eonstmojii. Ea poate li tmnsi folosiP $i de iwinerii sau studatid de alt i specialitafe atunci eEnd l i se pun probleme legate de teoria gri&lor continue. Rolosirea labelelw de e a h l upreazd w c a de proiectare $i permite s i se r m h rapid $i e m i c proble- mle puse de pracliea in~z 'wease i .

AUTORUL

Grinda continui aqezati pe (n + 1) reazeme consecutive, din care nnul este fix (articulatie) qi celelalte mobile (reazeme simple), este de (n - 1) ori static nedeterminati, adici de atitea ori cite reazeme intermediare are grinda. Reaze- mele mobile permit dilatarea qi contractia liberi s grinzii; reazemul fix face posi- bil i echilibrarea componentelor dupi ax& grinzii ale fortelor exterioare.

' t 2 L , J v m Fig. 1.

Grinda continui poate f i dreapti sau montaa de la inceput sub formi d e linie f r h t i in dreptul reamelor. Vom considera mai departe numai cazul grinzii. continue cu axa dreapt5 $i agezati pe reazeme de nivel (fig. 1).

Sarcinile aplioate grinzii pot f i forte sau cupluri, distribuite sau concentrate, fixe sau mobile. Vom considera mai departe numai cazul sarcinilor cuprinse Sn planul vertical de simetrie a1 grinzii; fortele de leglturi care echilibreazi sarcinile direct a.plicate vor f i reactiunile verticale Vo, V,, ... , V , qi impingerea ori-

11

zontali H,,, iar in lungul axei grinzii vor lua nagtere eforturile: forte axiale N, forte tiietoare T g i momente Encovoietoare M.

Ca necunosoute finale static nedeterminate, independent de metoda de oalcul folosit&,.se aleg momentele incovoietoare MI, M,, ...,. M,, din dreptul reazemelor i.xtermediare. OdatEG aceste necunosoute determmate, grinda continu& se poate descompune h n grinzi static determinate, actionate de sarcinile direct aplicate gi momentele hcovoietoare M, din dreptul reazemelor (7. fig. I), dupi care se uot usor oalcula:

- reactiunile V $i H; - eforturile N , T $i M in lungul axei grindlor; - deplasirile in orice punct a1 grinzilor (rotiri gi sigeti) CalcuIul se face pe baza ipotezelor eunoscute: - materialul esti continuu, omogen gi izotrop; - materialul este perfect elastic ~i eforturile siut proportionale cu ddorma-

tiile (legea lui Hooke); - oroarietZtile materialului sint constante in timp gi transmiterea efortu-

rilor nn2de$nde he timp; - sectiunile plane p i normale pe axa grinzii inainte de deformare, r8mEn

plane g i normale pe axa grinzii g i dupj deformare (ipoteza lni Bernoulli) ; - deformatiile sint foarte mici gi ecuatiile de echilibru static se pot exprima

pentrn starea nedefonnat~l a grinzii; - este valabil principiul suprapunerii efeetelor, atft pentru eforturi, oEt ~i

pentrn deformatii.

2. GRINDA SIMPLU REZEKATA DOMENIUL ELASTIC CA ELEMENT AL GRINZII CONTINUE

2.1. Ceneraliati. Echilibml unei grinzi, in cazul cel mai genera1 de Encilr- oare plan&, poate f i asigurat prin trei conditii simple de rezemare, care se reali- zeaG in mod obignuit printr-o articula.$ie gi un reazem simplu (fig. 2). Reactizc- +tile V,,, Vl g i H, se determini cu ajutorul celor trei eeuatii de eehilibru static. Eforturile AT, T gi M se determin5 cu metoda sectiunilor:

- f o r $ a a x i a 1 & N pe fata din dreapta a unei sectiuni a grinzii este egali cu suma proiectiilor pe axa grinzii a tuturor fortelor exterioare (forte date ~i reactiuni) de la stinga sectiunii; N este pozitiv eind reprezinti o intindere

- f o r 3 a t & i e t o a r e T pe fats aoeleiagi sectiuni este egalg cu sum proiec$iilor pe normala la axa grineii a tuturor fortelor exterioare dr la sting scctiunii; T este pozitiv cSnd este dirijat de jos in sus;

- m o m e n t u 1 i n o o v o i e t o r M pe f&$a aceleiagi sectiwi este eg; cu sunla momentelor, in raport cu centrnl de grentate a1 seotiunii, ale tuturor fo telor exterioare de la st- sectiunii, plus suma tuturor cuplurilor exterioare i la stinga seetionii; M este pozitiv eind produce intinderi pe fata infrrioa~ a grinzii. . .

Saroinile (forte g i cupluri) stnt pozitive eind aotioneazi ca h fig. 2. Fortele care ac$ioneazi inclinat fat% do axa grinzii se pot Enlocui on oompo-

uentrlc lor normale (p, P) gi tangentiale (pL, P,), ultimele aplicate cu excentri- citatea e >, 0 fa$% de axa grinzii; primele produc numsi eforturi T gi M, iar nltimele eforturi N, T gi M. Sarcinile aplio'te grineii pot fi forte $i cupluri concentrate (P, P,, M) s & ~ forte sicupluri repartiza%e uniform, liniar, parabolic etc.

in lungul grinzii (p, p,, nt). h e eforturi ?i sarcinile aplicate grinzii exist2 urn%- toarele relatii diferenjiale:

dN - = - dT d-M dz P,; = - p ; --

ds - T + ep, + m. (1 a,b, c)

Fig. 2.

Din analiza definitiilor date eforturilor N, T gi M gi a relatiilor diferentiale (1) se pot trage concluzii privind oonstruirea diagrmnelor acestor eforturi:

- coeficientul unghiular a1 tangentei geometrice la curba N , htr-o sec$iune a grinzii, este egal cu for@ tangential% repartizati pe din dinma sec$iune, dar cu semn sohimbat; pe por$innile de grind% cu p, = 0 rezult% N constant, iar Ln sectinnile Sn care se aplici o forti tangential& conoentrati P, valoarea lui N face un salt eeal on P.:

- cGeficientGi unghiular a1 tangentei geometrice la curba T, Sntr-o sectiune a grinzii, este egal cu for$a normal& repartizati p din aoea sectiune, dar cu semn sohimbat; pe poqiunile de grindi eu p = 0 rezulti T constant, iar h sectiunile

Fn care se anlici o f o ~ @ normal% concentrata P, valoarea lui T face un salt iga lcu P ; ' - coeficientul unghiular a1 tangentei gwmetrice la curba M , intr-o sectiune a grinzii inc&rcat& numai cu fo* normale, este egal m f o e taietoare T din aces sectiune; En sectiunile in care T este nu1 san trece prin valoarea zero, M este maxim sau minim, iar in sec$iunile in m e T face un salt, tangents geometric& la ourba M are o schimbare bmsci a inolin&rii;

- pe portiunile de grindi neindrcate, Teste wnstant, iar M variaz8 liniar; - ne nortiunile de grind5 i ncha t e cu forte normale p uniform repartiza*, r - 9

T variazi imiar, iar M Api o paraboli de gradul doi; - pe portiunile de grindi i ncha t e cu forte normale p repartizate liniar, T variaci dup% o parahol& de gradul doi, iar M dup8 o paraboli de gradul trei;

- ne nortinuile de grind& cu T > 0, M crqte, iar pe cele cu T < 0, M . & , -

descregte ; - tangentele geometrice la curba M duse En dreptul a don8 sectiuni ale grinzii

se intersecteazk pe rezultanta fortelor normale aplicate pe grindi Intre aceste sectiuni ;

- pe portiunile de grind& incacate, h afari de forte normale, g i cu foqe tangentiale excentrice repartizate p, ~i cupluri repartizate m, coeficientul unghiular al tangentei la curba M este dati de relacia (1 c); En sectiunile in care se aplici o Sorfi tangential5 excentrici cancentrat5 PI sau un cuplu concentrat M, valoarea momentului inwvoietor face un salt egal cu eP,,,respectiv cu M (v. fig. 2).

Vom considera mai departe numai cazul gnnzii simplu rezemk pe dous rea- zcme de nivel, incLreati cu forte transversale verticale repartizate sau concentrate ( p , P) qi cu cupluri repartizate sau concentrate (m, M), pe care le echilibreazi reactiunile verticale To gi V1; 5n lungul grinzii apar eforturile T g i M. Cazul Inc%c8rii cu forte tangentiale excentrice (p,, P,) poate f i inlocuit cu doui cazuri mai simple ce se rezolv& separat: incircarea cu cupluri ea mai inainte (m = ep , ; M =eP,),gi hoircarea cu forte tangentiale axiale grinzii (p,, P,) cafe produo reac- tiunea orlzontali Ho in reazemul fix gi forte axiale N En lungul gnnzii.

2.2. Eforturi gi reactiuni. Determinarea aoestor mgrimi se face conform celor aritate la parwaful 2.1 (v. si exemplul 1). Se analizeazi mai departe trei cazuri

M&rimile static determinate s h t afectate de indicele s, isr cele static nedebr- minate de indicele n.

2.2.2. F o r , t a c o n c e n t r a t d m o b i l d P = l (fig. 4). Liniile de influenti ale reactiunilor sint date de expresiile:

h e liniile de influen$% ale fortelor tiietoare din sectiuuile (0) gi (10) $i cele ale reactiunilor exists relatiile:

To=Vo=E5'; TI,=-Vl=-5. (6a.b) y,

Fig. 3. Fig. 4.

- - speciale. Linia de influenti a fortei tsietoare din sectiunea a/b are expresii:

2.2.1, s a i i f i x e. Griuda simplu rezemati ca element a1 grinzii continue este supus8 la doui categorii de inciLr~i1i: T ' - - ' = - E p e n t r u z g a ; c=-=E' Z' p e n b x ' , < b . (7a,b)

- sarcini direct aplicate ( p , P, m, M); " - 1 1 - cuplurile M, gi ~ , , ap l ica te la capetele grinzii $i care reprezints mmen

tele static nedeterminate dm dreptul reazemelor. Link de influenti a momentului incovoietor din sectiunea a/b este d a a morturile gi reactiunile au valorile (fig. 3): de relatia:

2' 2 M,=M,,+Mm=M;,+Ml-i-+M,-; 1 (2)

M, - M.. T, = T, + T,, ='T,, - - I ' (3)

v, = v,, + vln = v, -*I= I + T~; (4 a)

M 1 - M , = - T v Y,=V,+V,. =v, + - 1 (4 b!

h Ordonata maxim8 a liniei de influenti a momentului ineovoietor are loc In seotiunea a/b cu valoarea M = abll; extremitatea ordonatei maxime descrie para- bola xx'll de sigeati 0,25 1.

Liniile de influenti M., To = To gi - TI , = Vl sfnt date In tabela 5; In aceeagi tabel& sint date gi momentele inoovoietoare gi fortele Gietoare maxime gi minime din incircarea cu sarciui uniform repartizate, ipotezele de hcgrcare fiind stabilite pe baza liniilor de influen@.

Tabelele 6 ?i 7 sint nlclttuite in mod analog pentru grinda static nedeterminati cu o singurl deschidere $i eu moment de inefiie constant.

2.2.3. C u p l u l c o n c e n t r a t m o b i l M = l ( f i g . 5). Liniile de influens ale resctiunilor si ale fortelor aietosre sfnt date de relatia:

Linia de influen@ a momentului incovoietor din sectiunea a/b se determini% cu formula:

B a Mi = - = const. pentru x 4 a ; M', = - - =const. pentru x' ,< b. (10 a, b) 1 1

Fig. 6. Fig. 6.

este 2.3. Deiormatii elastice din incovoiere. Pentru calculul grinzilor continue necesar s i se cunoascl rotirile 7' pip" ale sectiunilor din dreptul reazemelor grinzii simplu rezemate actionat3 de saaeini direct aplicate (p, P, m, N) g i de doui cupluri aplicate la capetele grinzii (M', M"); rotirile sectiunilor sint egale cu rotirile axei deformate conform ipotezei lui Bernoulli. Pentru studiul deformat,iilor grinzilor este necesar 6% se poatk determina 2x1 fiecare sectiune a grinzii rezemate rotirea p a sectiunii $i sltgeata 8 a axei deformate.

La calculul deformatiilor elastice nu se tine seama de influenta for@( toare T, deformatiile produse de fortele tiietoare fiind neglijabile in raport ou produse de momentele incovoietoare; fac exceptie grinzile fnalte, la w e ki l t in a sectiunii transversale depi%$epto 115 din deschiderea 2 a grinzii, cfnd se ii considera$ie si influenp fortelor tiietoare.

Rotirile sectiunilor gi sigetile axei deformate se pot dekmina folosind tc rema grinzii conjugate (fig. 6):

--,----- simplu

I - rotirea ink-o sectiune a grinzii r ale este numeric egalL cu forta tsietoare

din aceeagi sectiune a grinzii conjugate JeLrcatTi, cu suprafata de momcnte reduse MIEI (sarcina elastid MIEI):

I

- sggeata intr-o sectiune a grinzii $ale este n)rne$c egallt cu momentul ineovoietor din aoccagi sectiune a grinzii eon ugate incarcata cu s~lprafya de momente reduse MIEI (sarcina elastid MIEI): 1

In relatiile de mai Znainte, mirimile M pi I sfnt functii de r. Rotirile axei deformate sub axa ini la1 nedeformatB a grinzii se socotesc pozi-

tive (fig. 6), iar eele de deasupra ei, nedivl : ; shgetile 8 sint pozitiye cind centrele de greutate ale sectiunilor grinzii se deplaseazl de sus in jos.

In mod obi~nuit este suficient s?i s$ calculeze rotirile rp' pip" $i sigetile 8.' 2.3.1. C r i n d a cu rnomenf e inertme colzstant. 2.3.1.1. Movnmlul ~neovoielor M'd= 1 aplicat tn mcnpi~le~l ails sthlga a1

grinzii (fig. 7, a) saw M" = 1 A cap tul dzn dreapkz (fig. 7, 6) - tabela 4, nr. 32 qi 33). I

Unghiurile de rotire pe reazeme: 1 rp '=n '=cr=- .- . 1 1

3 E I ' fi EI (14 a , h)

8i 1

#+,' = p = l.-. 1 1 6 E l ' 3 EJ (fig. 7, b). (14 C, d)

I

f SE'Z ll t:$Z 8 , - p x 8 g II 5sg z. - 0 "--" "I^" " -.

Ci: a w l g *J - ' 8. c 9 J2 m % J E . w g m -* S -2 e a$ J J" - II 0- a6 E - a j r ". p 0 - .p II 5 3 & ~ , z5. ;: , 01- %I... - ;Z$.I l " 2 Jn a -.- 0 st% F r. C.' I

m - ? I S ;21 - 3 P - N . ~ 3 - m .-. w e 3 5 II

I1 F &5.=. 2 - 1 - - 1 - II 5- - rr % j 3 rSg,E. G - . 7 Jn E 2 11 h a I 2 g!-z '2 II

I - 41- -. _, Jn

II X: d a 2 s w $ " . $

- 1 - * I S r n

- 11 ",g E" r- e: g ? '

s s 4 -. - w P O l o 0 -, E. s -

C g g a g z F 0 0. 5 - 5 -

a 5 -, d N zg F ;;: a? * Z 'G i '$ '.' ab: 2 a--

m E, " E g g II P-2

" 1 , z a g P P ~ * s - ." g ' g g e:o a

1 ,.f J" 2 2 2;"

a ll I1 &-a, m!- gg-

'0 1 " 1 % a'? E g "F' b ' I\ $& g I I P Z r G S -.

2 9 5 I.?

2.3.7.4. Guplul concenlrat mbi1 M = 1 (fig. 8, b) - (tabela 4, nr. 34). Unghiurile de rotire pe reazeme, cind cuplul concentrat mobil M = 1 par-

curge intreaga descbidere a grinzii, au valorile:

Valorile coeficientilor ok = (3 F,'% -1) gi a; = (1-3 53 se gisesc calculate, pentru fiecare zccime a deschiderii grinzii, in tabela 1. Expresia termenilor de inctrcare k' gi k" este de asemenea dati, sub alt& forms, in tabela 4, nr. 34.

1.iniile de influent5 ale unghinrilor de rotire p' $i p", respectiv ale termenilor ~~~

de inc&care k' vi k", sint parable de gradul doi (V. fig. 8, b) . Sageata axei deformate in sectiunea %/b, = 5115;: - in stinga cuplului M = 1 (chd E , 4 5):

- in dreptul cuplului M = 1 (cind 5, = n: 1 1' SM=-.-[5(35" - 1) + , E 3 ] ; 6 EI

(24 0)

- oind cuplul M = 1 oalci in mijlooul grinzii: 8, = 0. (24 d)

1,iniile de influent& ale coeficientilor a$6 gi din formulele (24 a pi b) sint date in tabela 3 fiecare zeciG a desehiderii grinzii.

2.3.1.5. Variaiia cEe ternperaturi fa@ de ternperatwa de montaj*(k emcecutie) (tabela 4, nr. 35). Considerim o variatie liniari de temperaturi pe mn%l$imea h a grinzii, temperatura t; a fibrei inferioare fiind considerati mai mare deci! temperatura tz a fibrei superioare, ass, incit Al0=t,"- t x i n aceasti% situatie uugh~unle de rotire ~e reazeme sint pozitive); noam cu a, coeficientul .. .

de dilatare termirl liniari.

~ n ~ b i n r i l e de rotire pe reazemo au valorile:

SBgeatn axei deformate in sectiunea a/b = 515': a (1 - a) l a 8, = -&,At= = -alAlo c(1 - c),

2h (27) w raloarea maximi .la mijlocul deschiderii:

1' 8, ms = - alAla. ah . . (27 a)

Axa defo~mati a grinzii este un aac do cerc (aproximatfi printr-o paraboli in formula 27).

Variatia de temperaturi in m a grinzii 61' = (1," + t4/2 fa t i de temperatura de montaj (de exeoutie) produce alungirea grinzii cu AZ = q 6,. 1.

Variatia de temperaturi nu produce efortnri in grinda simplu rezemati. 2.3.1.6. Alk tncireriri. Unghiurile de rotire pe reazeme p' sip", respectiv ter-

menii de indrcare k' gi k", pentru diferite inckciri intilnite in mod obignuit in practici, altele decit cele de mai iuainte, se gisesc gata calculate in tabela 4. Sggetile axei deformate se pot calcula plecind de la formula generala. (13), cu E I = oonst.

2.3.1.7. Rolirile pe veazeme pentru fnca'reiri totale se calculea7A cu formulele:

''= aM' + PM" + 9'; r" = PM' + rrM" + pa, (28 a, b) fn care M' pi M" sin1 momentele inoovoietoare din dreptul reazemelor (momentele de continnitate - v. fig. 1). iar p' = k'jEI $i p" = k"/EI rotbile pe reazeme produse de incirekile aplicate in lungul grinzii (exclusiv cuplele d 4 ' ~ i M").

Tinind seama de relatiile (14), formulele (28) se pot scrie:

6EIs' = 2M'Z + Mnl $6k'; ~ E I T ' = M'l + 2MX1 + 6k". (29 a,, b)

Termenii de incLrcare k' gi kl sint dati fn ttibela 4. 2.3.2. G r i n d a e u m o m e n t d e i n e r i i e v a r i a b i 1 , a v t n d

v u t e d r e p t e s a u p a r a l~ o 1 i e e. Cazul curent a1 grinzilor continue eu moment de iner$ie variabil este ace1 al grinzilor cu vute (Engrogiri) pe reazeme, partea centrali a fiedrei deschideri avfnd moment de inertie constant (fig. 9.) Practic se utilizeazi dou& tipuri de vute; vule drepte, la care fa$a inferioari este dupB o linie dreapti (fig. 9, a, 10, a $i b) $i vute paraboliee, la care fa$& inferioara este dupi o parabolL (fig. 9, b, 10, e gi d).

, I Fig. 9.

Grinda simplu rezemati, ca element al grinzii continue, poate sH f e nesime- Me$, avind vl~tA la un singur capit (fig. 10, a gi c) sau simelricii, avind vute la amindoui capetele (fig. 10, b si d).

Se fac notatiilc: A1 - lungimea vutei, cu A 4 1 pentm grinda nesimetrici, respectiv A 0,6 pentru grinda simetrici (A reprezinta, lungimea relativh a vutei);

I, - momentul de ineeie minim a1 sectiunii grinzii (momentul de iner$ie pe portiunea cu sectiune constanti);

I, - momentul de inertie maxim (la capitnl vutei, in axa reazemului) ; n = I,: I , - raportul dintre momentul de inertie m i n i [;i cel maxim; I, - momentul de inertje in sectiunea x/x' a grinzii.

- A l -

Fig. 10.

Pe portiunea de grind& cu sectiune constanti rezulti I, = lo = const; b~ lungul vutei din stinga a grinzii, I, are expresia:

- penbu vuta dreapts:

I, = (1 - c q s I,; (30 a)

- pentru vuta parabolic&: I, = (1 - C ~ ) ~ I , ,

cu C

C - 1 - v ; gi 0 , < 5 = - < I , (31 a, b). A1

(pentru vuta din dreapta - la gr&i simetrice - se hlocuiegte x cu x' gi 5 cu 5'). 2.3.2.1. M m l u l twncovoielor M' = 1 aplicat tn capritul din s s ~ a a1 grinzii,

sau M" = 1 tn eapritul din dreapta (fig. 7). Unghiurile de rotire pe reazeme, pornind de la formulele generale (ll), se pot scrie:

- pentrn grinda simetricK:

- pentru grinda nesimetrioK:

Expresiile (83)s; (35) se pot integr' ai~alitic [3 valorile termenilor de hclir- care el, c, gi c, se giisesc gata ealcolade in tabele 1 e ; 62, 63, 64 si 66 in fnnc$ir de A, n, forma vutei gi simetria san nesimetria grinzii.

Calculul analitic a1 sigetilor axei deformate, prinintegrare directi, pornind de la formula generall (l3), este dificil gi laborios; este mai simplu s& se foloseascL calcnlul aproximativ analitic sau grabic, bazat pe teorema grinzii conjugate ( V 4.12)~ ,'.

~ l i e i i l e axei deformate se pot determina ugor cu ajotorul tabelelor 68, 69, 70, 71, in care se dautermenii de inckcare k, si k, pentru forta concentrat& mobili P = 1, oici, conform teoremei reciprociti$ii deforma$iilor (Yaxwell), se poate scrie (v. fig. 13, a): pentru M' = 1:

1% Xnr.,1= ?P=, = - k,;

EI. (36 a)

pentru M* = 1 ;

2.3.2.2. Sarcina uniform vepartizaki q pe toalil lungirnea grim% Unghiurile de rotirc pe reazeme au valorile:

- pentru grinda simetrici:

- pentru grinda nesimetricz:

, 91" 'P = -kl; v X = 3c

BI, El, kz, (38 a, b)

ou I, 1 z* X" dz . I I z sa dz

1 - 21 , ( - 1' 1= I , 2 - - , ) ( - (39a,b) 21 0 B la z*

Valorile termenilor de inekeare k, k, $i k, se gisesc gata caloulate in bbe- lele 62, 63, 65 gi 67.

2.3.2.3. Forja eonceatrafa: mobilii P = 1 (fig. 8, Unghiurile de rotire pe reazeme au va,lorile:

, 1. 9 =-&. , 'P" = - 11 kt. 310 BI,

(40 a, b)

CU

b ' 2" dz sZ 1z 'a ddz ' k ~ = a ( ~ ( I - ) ~ + + ~ ~ P . ~ ; (41 a)

(41 b)

Liniile de influen@ ale termenilor de PncLcare k, $i k, sint date in tabelele 68, 69, 70 gi 71.

2.3.2.4. Guplul eoneenlral mobil 1ll = 1 (fig. 8, b). Determinarea ungbiurilor de rotire pe reazeme se poate face ca in cazul precedent, pornind de la formula (ll), dar calmlul este laborios pi dificil. Unghiurile de rotirc pe reazeme se pot lnsi caleula suficient de exact (cu o eroare de citeva procente), folosind tabelele 68, 69,

70 si 71 gata oaloulate; pentru aceasta se inlocuiegte cuplul M = 1, care actionead in sectiunea alb s grinzii, cu ouplul eP = 1 din aoecs~i seetiune (fig. I]), la care bra- $ul de pirghie e se poate alege oricft de mic dorim. In tabelele amintito mai inainte, ordonatelc liniilor de influenti ale termenilor de indrcare k, si k, sint calculate pentru fiecare zeeime a deschiderii grinzii (Ax = = 0, l l ) , asa inclt se poate lua e = 0,01 1 pentru un calcul suficient de exact. Confonn principiului suprapunerii efeotelor se poate scrie:

, 1 z2 ' - ~ l p p . +(pp., =;. EI, 'Pad - (k;-k;) ; (42 a)

. ,*' Termenii de lnczrcare k;, k;, k; $i b -Jk2 k; (pozitivi) se determini5 prin inter-

Fig. 11. polare liniari fntre valorile vecine, date in tabelele 68. 69. 70 $i 71. Unghiurile de

rotire Q,-, $i p&=, rezulti pozitive sau negative, in functie de pozitia cuplului M = 1 p e grind5 (v. fig. 8, a g i exemplul 3).

Bormulele (42) slnt valabile pentm sac$iunile 1, 2, ..., 8, 9 ale grinzii. Pentru sectiunea 0 (reazemnl din stinga) $i sectiunea 10 (reazemui din dreapta) folosim formulele (32) $i (34), tinind seama 06:

- in sectiunea 0: , ,, . 'Pk-I = 9M.4 p1 Y a - I = (Pw-1% (42 C, d)

2.3.2.5. Alte Ccirciri. Determinarea prin calcul a unghiurilor de rotire pe reazeme, pornind de la formula (11), pentru alte cazuri de incirciri (jn genul celor din tahela 4) duoe la cxpresii greu de integrat. Unghiurile de rotire pe reazeme se pot lnsi d c u l a ugor cn ajutorul liniilor de influenti date de formulele (40) in cazul incircHrii cu forte, respectiv de fomulele (42) in cazul incir&ii ou cupluri.

fn c i r c a r e a c u f o r t e c o n c e n t r a t e: se determins din tabelele 68, 69, 70 sau 71 valorile termenilor de lncircare k, gi in sectiunile grinzii in

I care actioneazi fortele concentrate P (pentru sectiunile cuprinse intre valorile date in Lthele se interpoleazi liniar), dupi ca/re iinghiurilc de rotire pe reazeme se cal- culeazB cu formulele:

l a l q n = - ~ p k 2 . 131. - (43 a, b)

I . f n c H r c a r e a c u s a r c i n a u n l f o r m r e p a r t i z a t i s q p e o 1 u n g i m e s d i n d e s c h i d e r e { g r i n z i i: se calculeazB suprafap S a liniei de influent;i. k,, respectiv k,, pe unglmea lncKrcat8, dupi regula trapezului ( d a d limita fncbdri i cade intre douis o donate, se interpoleazH liniar pentru deter-

se determini cu formulele: 9' minarea ordonatei la limita ino&rcirii), dupioare unghiurile de rotire pe reazemc

I

Suprafetele S au dimensiunea une lungimi (ordonatele k sint numere, iar abscisele A x sint lungimi). 1

l n c i r c a r e a c u s a r c i n i q(z) r e p a r t i z a t i d u p i o l e g e o a r e c a r e (liniarH, parabolic& etc.): se descompune sarcina repartizati in forte elementare concentrate AP (dupH regula trapezului, spre exemplu) si apoi se procedeazi ca in cazul fortelor couocntrate. I

~ n c i r c a r e a c u o u p l u r c o n c e n t r a t e s a u r e p a r t i - z a t e; se procedeazi in mod analog ca in cazul incircilrii cu forte concentrate sau

I repartizate. V a r i a t i a d e t e m p e r a t

determini diagrama de momente inccv -. - Ten@ de temGatnrH AtD, momentul in voletor htr-o sectiune x/i' a grinzii avind valoarca: 7 '

Jionali, deoarece deformatia grinzii se dintre cele doui fete ale incastrare partial& sau totali la apar momente de incovoiere in luugul grinzii. Ing. V. P tabele care dau direct

grinda cu vute drepte. momentele de incastrare perfects temperaturii, pentru

2.3.3. G r i n d . r u n o m e n ) d e i n r r l i e r a r i a b i l o r i c r n . Se trateazH cazul general al grinzii si plu rezema6 la care momentul de ine6ie I a1 sectiunii transversale variazi in lungul grinzii yi nu dupi o lege m- zits,, care s& permit5 o rezolvare &nal tlB usoar& a integralelor definite din for- I ' mulele (l l) , (12) gi (13). Se noteazi ou I , mornentul de ineflie minim.

.I

Pentru efectuarea integralelor definite din forniulele de mai inainte sc utiii- zeaz& metoda aproximativil cunosr,uti a Ensnmirii dt. cantititi elementare, fic aria.- litic, fie grafic.

2.3.3.1. Caleulul analitic 2.3.3.1.1. ]t n c & r c a r e a o u s a r c i n i f i x e. Se consider& incharea

cu momentul incovoietor M' = 1 aplicat in capitul din stiuga a1 grinzii (care produce rotirile pe reazeme a' y i pi), M" = 1 in eap'tul din dreapta al grinzii (care

producc rotirilc pe reazeme p gi 6 7 8 9 lo ,") ~i forte gi cupluri, repartizate

sau concentrate, aplicate in lungul grinzii (care produc rotirilc pe reazeme p' g i p").

Caloulul se face dupil metoda de insumare a lni Simnson. Pen- trn aoeasta, se impart: lungimea grinzii Eutr-un numir par de n p k t i cgale (10, 20, 50 etc. pirt i egale, dupL precizia doritil a oalculului), aga inclt:

Fig. 12. I = aAx (46)

ei se calculeazi momentul do iner$ie I, yi momentul lncovoietor M, din Enc&rciri, In fiecare punct de diviziune (fig. 12): rezulti M , = 5' pentru inckcasea M' = 1, respectiv MX = F; pentru M" = 1.

Unghiurile de rotire pe reazeme, porniud de la formulele (l l) , au valorile:

unde k este coeficientul din metoda lui Simpson (k = 1; 4; 2; 4 ; 2; ... ; 2; 4; 1). Pentru usurinta caloulelor. sumele din formulele de mai inainte (care se extind pe lntreka iingime a grinzii) se e f z u e a z i organizat cu 'jutorul unei tabele (coloa- nele 10, 11, 12, 13 gi 14 din tabela a).

I n cazul uuei variatii de temperaturi Ato (In conditiile de la pct. 2.3.1.6), rotirile pe reazeme p; $i pi se pot wlcula cu formulele (48 a, b), momentol incovoietor M; lulndu-se cu valoarea (conven$ional&) dati de formula (45).

SQetile axei deformate produse de cuplul M' = 1 aplicat in oapatul din sthga- a1 grinzii, respectiv M"=l ln capitul din dreapta, se pot calcula ca lapct. 2.3.3.1.2.

Sligetile axei defonnste produse de sareini aplicate in lungul grinzii sau d e o variatie de temperaturi At" se pot calcula mai uqor gi suficient de exact pe cale grafici ca la pot. 2.3.3.2.

2.3.3.1.2. F o r $ a c o 11 o e n t r a t & m o b i 1 & P = 1. Pentru determinarea unghiurilor de rotire pe reazeme p' gi p" produsede forta mobili P = 1 se- foloseyte teorema reciprocititii deformatiilor (Maxwell -fig. 13, a); t inhd seama. gi de formula (13), se poate scrie:

astfel lncit d e b i n a r e a unghiurilor de rotire p' pi p" se reduce la determinarea. sigetilor axei deformate a grinzii pentru lnc&roarea M' = 1, reapectiv M" = 1 (linia axei deformate reprezinti chiar linia de influenta, a unghiurilor de rotire pe. reazeme).

Cu Mx = x'/l = t', fonnula (49 a) se poate scrie:

Sub aceasti form&, partea a doua a relatiei de mai sus reprezinti momentul'. lnoovoietor in sectiunea ajb a grinzii conjugate iuckcati cu suprafata de momente reduse MJojI, = x' Io/lI, = t' Io/I,.

Cousideri~u grinda impLrtit8 iutr-uu numkr par de pirt i egale, ca la pet. 2.3.3.1.1. Valoarea inc&rcirii cuprinsH intre doug sectiuni consrcutive este:

A s Zo 10 A z I, 10 W; = - (- S;n-l + - &), spre exempln: w; = (; F,; + - 4;)

2 &n-> 1,

{foqele w: se presupun, suficient de exact, c i actioneazi la mijlocul interva- lului Ax).

Poqa tHietoare intr-o sectiune oarecare are valoarea:

8; = EL-, - u(,,, spre exemplu: X; = 3; - foi .

%. - AZ " & - - C k5 (coloana 10, tahela a):

3 I ,

Fig. 13.

Molnentul incovoietor in aceeasi secfiune este:

As aW;, =Elo?' = EI$' = 91Z&_, + S;,. , Ax - tnk -. 2

(50 a)

sprc extmplu: A s 8K;=EIop;= EI w;-. 2

Calculele se organizeazil ca in Pentru determinarea anghiului p" pe reazemul din dreapta se proce-

deazi la fel: I

(calculele se incep de la reazemul din

I Tobela b

15 ( 16 I 17 1 18 1 18 1 20 I Zl

, As 1 1 2 1 w n 1. rm-, $1 -"% , I i- In:-n;,+.r:.ln=-=T

m;=o

. A 2 w r , = m ; + s , ~ s - w - ' 2

, Ax m p = r n ; + d ; ~ ~ - w , - 2

, Ax m ; = n : + ~ ~ ~ z - u r - .

l 2

, A z R;=DI(;+B;As-w.- 2

. A z w ~ ; = ~ ; + ~ ; A z - w - ' 2

. A z ~ R , - W I ; + ~ , A Z - W $ 2 -

. AX m ; = m ; + r ; ~ s - w ' 2 -

, Az 5 t , = m ; + $ ; ~ z - w - 2

. A z r n ; = m ; + b i ; ~ ~ - i . ~

, AX mio = mi + 5 ; ~ z - w,, y =o

0 d -- w:

-1, I

WP , A x

2.3.3.1.3. C u p 1 u 1 c o n c m o b i 1 M = 1. Pentru determi- naaea unghiurilor do rotire pe produse de cuplul mobil M = I se

29

2

3

4

--

--

5 ~ ; A S --

8 --

, w.3 -

4 -

7

8 -

9

I 0

S T - , A z

, A X w.,

I

--

--

--

5;=51-~;

Q;-S~-W;

g.;-8k-w;

WI -

W;

, wo

WIO

5 ; ~ ~

A

A

, , A = '

"7 y - , A X

- , A z

= - C;AZ

I;-~[;-w;

s ,=s / ; - t~ i

Q;AZ

A

folosegte tearema reciprocititii defom~atiilor (Maxwell -fig. 13, b); tinind seama gi de formula. (l2), se poate scrie:

astfel incit determinarea unghiurilor de rotire pe reazeme p' g i pn produse de cuplul mobil M = 1 din seotiunea a/b se reduce la determinazea unghiurilor de rotire p, $i 7, in sectiunea a/b produse de monlentul Encovoietor M' = 1 aplicat in reaze- mu1 din stinga, respectiv Y" = 1 in reazemul din dreapta.

Considerim grinda h p i r $ i t i in n p&rti egale, ca la pct. 2.3.3.1.1. Wrmu- lele (51) se mai pot scrie:

Unghiurile de rotire a' gi a" sint date de formulele (47 a gi b); integralele definite din formulele de mai fnainte se calculeaz& cu metoda aproximativi a trapezului, ordonatele E,'I,/I, (respectiv cIo/I,) fiind date in coloana 16, tabela a.

Unghiurile de rotire pe reazeme p' gi p" rezulti phitive sau negative, functie de pozitia cuplului M = 1 pe grinds (v. gi fig. 8, a).

2.3.3.2. Calculul gufie. Pentru indrcarea cu sazcini fixe, formulele (11), (12) $i (13) se pot sorie sub forma:

In aceasti situatie, eonsiderind grinda conjugati incircatl ou suprafata de momente reduse M,Io/I,, reactiunile Vo gi V, (respectiv unghiurile de rotiue pe reazeme 7' gi p"), forta tiietoare 8, (respectiv unghiul de rotire 7 in sectinnea alb) gi momentul incovoiotor Qn, (respectiv sageat5 S hrsectiunea alb) se pot determina grafic cu ajntorul poligonului de forte +i a1 poligonului funicular(fig. 14).

Se imparte grinda intr-un numir n. de pirti egale, aga incik 1 = nAx (pentru claritatea desenului, grinda din fig. 14 s-a impirtit in cinoi pi$i egale; practic se ia un n u m b mai mare dc diviziuni, dup% precizia doria a calculului). Se alege scara 1 : p pentru lungimi.

Se calculeaz& ordonatele MLI.11.: in nunotele de divizinne si se traseazi dia- & ", ..

grama de momente reduse; figiile elementare de IHtirne A s gi i&ltime M;I,/I, se asimileazi cu ~araleloerame. asa Encit ..fortele elementare" care actioneazi minda conjugati se pot calcu~a cu forkula: .. '

spre exemplu:

Se determini grafic centrele de greutate ale suprafetelor elementare gi se aplicl in ele fortele elementare w,, obtinhdu-se poligonul de pozitie al acestor forte.

Se alege scara 1: q pen* fortele elementare wm, reactiunile Vo gi V,, forta tiietoare T, ?i produsul El, (toate aceste mbimi se misoari in kgcmz).

Se.constmiepte poligonul de forte w,,, ?i cu un pol oarecare 0, avind distanta polari H = EIo/p, se construiegte apoi poligonul funicular 0,, el, :.., El5 7 O*. Din conditia c i momentul incovoietor 8K, este nu1 pe reazeme se obtlne llnla de

9 Fig. 14.

kchidere t) a poligonului funicular. Duoindu-se In poligonul de forte o razi polar& paraleli ou 0, se obtin valorile reactiunilor Vo gi V,.

Poligmul funicular astfel desenat reprezinti - intr-o prim& aproxima:ie - ~ b i a r ax& deforrnati a grinzii. In realitate axa deformati a grinzii este o cnrbZcon- t inui insoris& in poligonul funicular si tangenti3 la laturile awstui poligon in dreptul punctelor de divisiune a grinzii, d c i numai in aceste puncte tangenta p la axa

deformati ~i sigeata 8 a axei deformate coincid cu latura gi ordonata poligonului - funicular. . Luind pentru distanta polar% H vnloarea E l J p yi 1: p fiind scara lungimilor,

sagetile 8 (cu ,%, = H&,, spre exemplu 31tl =H1,) rezulta in desen in udevirata lor mkrime (la scara 1: I), in schimb unghiuriIe de rotire p apar deformate in poli- gouul funicular.

Un~hiurile de rotire pe reaaeme se deduc usor din relatiile:

reactiunile Vo pi Vl n~&surindu-se direct din poligonul de forte. Pentru dcterminarea suficient de exacta a unghiului de rotire p intr-o sffitiune - ~

oarecare ajb a grinzii, se deseneazz diagrama fo$lor tiietoare 9, ca in fig. 14 (diagrama este curba continui - linia intrerupti - care are valori calculate grafic exact in drcptul punctelor de diviziune a grinzii). Se misoar8 in aceastl diagram% forta tiietoare 5,,, (spre exemplu 5,) si se obtine:

om p = - , spre exemplu ip - o% El0 --EI,'

(58)

S5neata S se m2soari direct. la adevirata mlrime, fn poligonul fnnic~llar (spre - .~ 0~ ~

- -

exemplu s&geata 6 , Fu sectiuuea m = 2). In cazul unei variatii de temperaturi At" (in conditiile de la pot. 2.3:1.5),

rotirile pe reazeme si p; pi sigetile 1, se determini ca in cazul in&cltrclrl~ cu sarcini fixc, ordonatele diagramei de momente iucovoietoare (conventionale) M , din fig. 14 calcuIfndu-se, in punctele de diviziune, cu formula (45).

Pentm determiuarea unghimilor de rotire pe reazeme p' gi p" produse de for+ concentrat5 mobill P = 1, se procedeaz& ca mai Enainte, consideriod grinda incircatl cu momentul incovcietor Y' = 1 in capitul din sttnga, respectiv M" - 1 in capitul din dreapta (la care corespuude diagrama de momente reduse t'l ,/I, , respectiv SI,/I, -fig. 13, a), fntrucft, conform teoremei reciprocit&$ii deformatiilor, se poate scrie:

T' =a', respeotiv rp" = S", (59 a, b)

unde 8'. respectiv S", este sigeata produs& de momentul M' = 1, respectiv Ma = 1, En sectiunea in cue calch forta concentrat5 mobili P = 1.

Peutru determinarea unghiurilor de rotire pe reazeme p' yi p" produse de M = 1, se procedeazz oa in cnzul precedent, rici se poate

p' = pl, respectiv p" = p,, (60 a, b)

unde p,, respectiv p,, este unghiul de rotire produs de momentul M' = 1, respectiv Jf" = 1, in sectiunea in care calc& cuplul concentrat mob11 M = 1.

3. GRINDA CONTINUA h' DOMENIUL ELASTIC

3.1. Determinarea momentelor ineovoietoare static nedeterminate de pe ren- zeme. Grinda coutinui agezata, pe n + 1 reazeme consecutive este de n - 1 ori static nedeterminat5, in ipoteza c& un reazem este fix (articulatie) iyi celelalte mobile (re&- zeme simple); cind grinda este.pw$ial sau perfect incastrata in unul sau , ambele reazeme extreme; atunci apar una sau doui necunoscute static nedetermlnate in plus, aga incit numkul total al nec~~noscutelor devine n sau n + I.

Independent de metoda folositil pentm calculul grinzii continue, necunoscu- tele finale r h i n de fapt momentele incovoietoare M I , M,, .... M,, ce apar in grindl in dreptul reazemelor 1, 2, ..., n - 1 din sarcini exterioare sau din alte cause (denivelarea reazemelor, variatii de temperaturi etc.), intmcit pornind de la valorile acestor necunoscute se pot determina fn continuare reactiunile v~r t i -

~~ ~~ . - - - -~ -- ~- ~ a l e Vo, V l , Vz , ..., V,-,, V,, efoiturile M yi T in lungul axei grinzii si deplaski le (rotiui $i seet i ) En orice punct a1 grinzii.

Pentru calculul grinzilor continue sipoato folosi atit metoda eforturilor, cft si metoda denlasPilor.

1. hletoha eforturilor dnce la sistemul de ecuatii de trei momente, sistem ce ~ o a t e fi rezolvat:

a) direct, printr-un procedeu oarecare algebric (prin substitutie, prin elimi- nare, cu determinanti, cu algoritmul lui Gauss) ceea ce conduce la aya-numita metodi a ecuatiilor celor trei momente;

b) prin recuren;i, ceea ce conduce la metoda punctelor fixe; c) prin iteratie, ceea ce conduce la metoda momentelor la noduri. 2. Metoda deplasirilor dnce la sistemul de ecuatii de trei rotiri, sistem ce

poate fi rezolvat: a) direct, ea mai fnainte; b) prin recurenti, ceea ce conduce la metoda lui XlouEek; c) prin iteratie, ceea ce conduce la: d metoda transmiterii rotirilor, chd se aleg ca neonnoscute chiar rdtirile

la noduri; p) metoda repartiz&rii momentelor (Cross), cind se aleg ca necunoscute momen-

tele la mpetele barelor, adic& direct necunoscntele care intereseazs. La sfirgitul calculului prin metoda deplasbilor se trece de la rotiri la momen-

tele hcovoietoare MI, ME, ..., MnI,, (cind in calcul se opereazii direct cu rotiri). Se dau in continuare metodele de calcul de la pnnctele la, l b , $i 2cp de mai

inainte; pentru celelalte metode se vor consulta lucr&rile [I], [El, [18]. 3.1.1. M e l o d a e e u a f i i l o r c e l o r t r e i m o m e n f e (Clnpeyron).

Pentru reazemul m, ecuatia lui Clapeyron are forma:

Mm-=P,. + Mm(4,+a',.,) +Jf,,b,+~= - (rp; + qb+,). (59 a) Pentru o grind& continu& cu n deechiden (fig. lb), se pot scrie (n-1) ecuatii

de forma (59), a d i d atitea ecuatii cite reazeme intermediare are grinda, respectiv

Fig. 15.

cite necunoscute static nedetermihate are sistemul, &ci M, =.O gi Me= 0. Pro- blema se reduce deci la rezolvarea unui sistem de (la - 1) e a ~ n t n liniare cu (n - 1)

\ -, --7 necunoscnte.

Daci grinda este perfect incaskat& in reazemele extreme, apar doul necunoscute in plus ( M , gi M,,), pentru care se pot scrie doul ecnatii suplimentare:

M o a ; + M l p , = - q , ; M , . l p , + M , a ~ = - ~ , . (60 a, b)

Pentm grinzi cu vute drepte sau parabolice, unghiurile de rotire a', a" h i P, precum si uughiurile de rotire q' gi q" produse de sarcina uniform repartizatic q, sint datx En tabelele 62-67; pentru f o e concentrate sau sarciui repartizate dup& o lege oarecare (care pot fi inlocuite cu forte elementare concentrate), unghiurile p' $i p" se pot ealeula cu ajutorul liniilor de influenti din tabelele 68-71.

h cazul grinzii continue cu moment de inerfie constant, ecuatiile de mai kainte se transformi in:

zmMm-, + 2(1m + Zm+x)Mm + L + 1 Mma = - 6 (k", %+,) (59 b) si

2 1 1 M , + ~ M , = - 6 k i ; l , M , , - l + 2 1 , M , = - 6 k ~ . (60e,d)

Termenii de inoBrcare k' gi k" se gisesc in tabela 4. Metoda ccuatiilor celor trei momente este practicl pentru grinzi continue cu

putine deschideri, la care se incarcB mai multe deschideri deodati. 3.1.2. M e i o d a p u n c t e 1 o r f 2. x e. Pozitia punctelor fixe K , pi Lm

din deschiderea l, se determini prin distantele a, $i h,,, (fig. 16):

Fiecare deschidere are doui puncte fixe K @i L, afar& de deschiderile extreme, unde:

a ,=O; b,=0. (63 n, b)

Determinarea punctelor fixe K, respectiv L , se face pornind de ladeschiderea din stinga, respoctiv din dreapta:

respectiv:

Daci grinda este Encastrati elastic in unul sau ambele reazeme extreme, distantele a, si b, sint diferite de zero. Notim cu E nnghiul de rotire a reazemului extrem cind in ace1 reazmn se aplici un moment M = 1 (v. gi [6]) gi cu 6 = e-" gradul de incastrare a1 capitului grinzii in reazem; penku inoastrarea perfect& avem E = 0 $i 0 = 1, iar pentru articulatie E = m @i 8 = 0.

Pozitia pnnotelor fixe K1 $i L, se determing prin distantele a, gi b , (fig. 16):

La limitc rezultl: - pentru incastrarea perfect& ( c = 0):

- pentru articulatie sau reazem simplu ( E = m):

a, = 0; h , = 0. (63 a, b)

Mai departe punctele fixe K,, K , etc., respectiv L,,, L,-, etc., se determius cu formulele (61).

In ca~ul'~r'inzii continue cu moment do 'inertie constant, formulele de mai inainte se trausform?i in:

- pentru incastrarea elastic& ( 0 < c < w):

- pentru incaskarea perfect% (E = 0 ) ;

.=L. 3 ' a n e 3 , -&. (66 C, d)

- pentru articulatie sau reazem simplu (c = m):

a , = O ; b, = 0 . (63 e, d)

La tncircrorarea deschiderii 1, cu sarcini direct aplioate, momentele de incovoiere static nedeterminate de pe reazemele vecine au valorile (fig. 17):

Fig. 17.

respectiv pentru grinda cu moment de inortie constant:

60, Mm-1 = y [kLbm - Em (1, - 5,,,)1; G"'m

(67 0)

eu:

ern = 1 , - (a, + bm). (68 1 In celclalte desrhidtr~ mamentc.Ie dc fntovo~ere ~a r i a7s liniar de la un reazenl

la altul, jar linia mom~ntelor treceprin punctele f ~ x e aledesch~derilur respectlvt.:

%-I Mm-, = - Mm-1 etc.; in-, - a,"-% (69 a)

am+, &+I = - M m etc. L+I - am+,

Cina sint mai multe deschideri Enclrcate, momentele de lncovoiere totale rezultl din insumarea momentelor partiale eorespunzitoare hc&roirii fiecirei deschideri in parte (principiul suprapunerii efectelor).

Metoda puuotelor fixe se folosegte in special pentru determinarea Iiniilor de influent& (v. pot. 3.2); ea p a t e f i folositi gi in cazul sarcinilor fixe eind sfnt multe ipoteze de hcgrcare si in fiecare ipotezi se incarci numai cite un singur eimp.

3.1.3. M e t o d a r e p a r t i z d r i i m o m e n t e 1 o r (Cross). Se presu- pune cunoscuti metoda Cross [5], [6]. Calculnl se conduce dupl cum urmeazi (fig. 18).

Fig. 18.

Se calculeazi rigiditltile barelor l,, I,, ... 1, ,... l,,, 1, cu formulele: - pentru deschiderile intcrioare:

1 1 m" = . m p; 9 J s - p; ' (70 a, b) C 1 - - .I --

1 .I J a! J

'- pentni descbiderilc extreme:

respectiv pentru grinda ou moment do inortie constant:

Dac& grinda este incastrati elastic in reazemele extreme (s fiind unghiul de rotire a reazemlllui extrem cind in ace1 reazem se aplici un moment M = 1) atnnci rigidititile barelor extreme I, ?i I, au valorile:

respcctiv pentru grinda cu moment de inertie constant:

La limite rezulta: - pentru lncastrarea perfect5 (e = 0):

- pentru artieulafie sau reazem simplu (E = m):

respectiv pentru grinda ru moment de inertie constant: 4EI 4EI

(E = 0): MI,, = - ; m".I, = -; 1, 1.

(73 c, d)

Se calculcazi apoi coefieientii de repartitie (rigidit8tile relative) pentru nodu- rile interioare 1, 2, ..., n - 2 , n - I:

7~ m-.

T.. - - -.L ; r jk=- - mia , (76 ;I b) I. - mji + rnjh mji + "jk

pi in continuare coeficien$ii de transmitere:

respectiv pentru grinda cu moment de inertie canstant:

h-0 = 0; 11+2 = 0,5; I,+j = 0,5; ti+ = 0,5. (77 e, f , g, h)

Cind grinda este incastrat% elastic in reazrmole extreme, corficir!ntii de trans- niiiere spre aceste reazrmr au vahrile:

respectiv pentm grinda cu moment de inertie constant:

La limite rezult8: - pentru fnoastrarea perfeeti (c = 0):

PI = -; ; ,, = k. (79 a , b) (11 a"

- pentru artioulatie sau reazem sim$lu (E = m):

11 a = 0; t,-,., = O , (80 a,, b)

respectiv pentru grinda cu moment de inrrtie constant:

( e = 0): tl,o = 0,5; f,_l., = 0,5; (79 c, d)

(i = 00): t, o = 0; = 0. (80 a , b)

Coeficientii de rep.uti$ie sint totdoauna negativi, iar coefieientii de transmi- $ere, totdeauna pozitivi.

Sc oalouleazP momentele de incastrare pcrfecti din capetele barelor (in desebi- derile incbcate), folosind regula de semne Cross (fig. 18), comuni metodei deplasirilor:

- pentru desohiderile extreme:

- penku desohiderile interioare:

Unghinrile de rotire a', a", P, rp' gi rp", pentru grinda cu vute drepte $i parr- holico, sint date in tabelele 62-71 (pentru tnc2rciri cu forte concentrate sau dis- tribuitc dupi o lege oarecare se folosesc liniile de influenti ip' ~i rp" din tabelele 68-71; v. si 2.3.2.5).

Pentru griuda cu moment de inertie constant, fomnlele de mai inainte se transform% in:

termenii de inc8roare k' gi k" fiind dati in tabela 4. Cind grinda este incastrat2 elastic fn reazemele extrcnie, momentele de

incastrare partial% in reazemele 0 gi n gi de inasstrare perfect& in reazemele 1 gi n-1 ale desohiderilor extreme au valorile:

respectiv pentru grinda cu moment de iner$ie constant: tasarea unui reazem se misoari fa$% de linia de inchidere, adicI f a g de linia care unelte reazemele vecine celui oons~derat in pozitiile lor tasate); rezulti:

2(2h - k;) YO ; M , ~ = - 2 [2k;(1 + 38@) - k;] No1 = + h 4 YO; (83 c,d) urn . urn 1 urn . Vm

p ' = + - , p,=--; r p r = - , , , rp,+1=+-. (86) L, r, L,+l

2[2k;r(1+38n)-k;llYn; 2 (2ki - kk) Mn,,n=+ M,, ,-I = - -- -- 1" C YR, (84 Xomentele ineovoietoare ce iau din denivelarea reazemului m au

valorile urmitoare, determinate prin punctelor fixe (fig. 19):

La, limite, pentru incastrare perfecti in reazemele extreme (E=O), formulele (83 si 84) se transformi fn formule de tipul (82), iar pentru articulatie sau reazem simplu (E = m), in formulele (81).

Se efectueazi apoi calculul iterativ al mementelor inwvoietoare static nedeterminate din dreptul reazemelor chiar pe schemagrinzii continue (v. vi exemplele 4, c yi 7, c). Pentru usuring u r m k i i i caleulului, se noteaze momentele de repar- tieat (adici momentele de incastrare perfects) cu I), momentele repartizate cu 2) pi momentele transmise cu 3). Se face echilibrarea succesiv.% a nodurilor, incephd cu nodul cel mai dezechilibrat, si iteratia se continu% pin& la gradul de precizie dont. Suma algebrich a, tuturor momentelor din cap&tul fieokei bare (adicl a momentului de Encastrare perfecti yi a momentelor repartizate gi transmise) reprezinti momentul fncovoietor static nedeterminat. Se trece apoi de la regula de semne Cross la regula din metoda eforturilor (fig. 18). ,

L lm., & fm L i n ? , , /m.r ----I Fig. 19. .

Metoda repartiz&rii momentelor este practic5 pentru grinzi cu multe deschideri, la care celelalte metode sfnt laborioase sau In cazul cind nu dispunem de tahele.

3.1.4. f f r i n z i c o r r t i a r e c u r e a z e m e t a s a b d l e , a v t n d lasrir i date. ht r -o grind& continue cu n desohideri, presupunem ce reazemul m se deniveleazi cu cantitatea v, fa@ de linia reazemelor vecine, presupuse fixe. Denivelares vm se socotegte pozitivi la o deplasare in jos a reazemului qi negativi b caz contrar (dacii se taseazi simultan mai multe rememe, cu cantititi diferite,

M , + , = - > . ~ ~ v ~ . ~ ! T L . am+, , (87 C) I,+, . Pm+, c,, h & cm fm+, - bm+,

respectiv pentru grinda cu moment de i I , . e r t ~ e constant:

Celelalte momente pe reazeme se d termini cu formulele (69). t CEnd sint mai multe deniveliri de reazeme, se determine momentele incovoietoare pentru fiecare denivelare in p a r t si apoi, se supfapun efectele.

Calculul se poate face gi cu ajutor 1 metode1 repartizZrii momentelor (v. pet. 3.1.3). Xomentele de incastrare perfecti roduse de denivelarea v, a reazemului m au valoriie: P

urn + Bm+t . Mm+l, m = - - * t 9 . L} &+,~~+ , - Pm+, (89 d)

rcspectiv pentru grinda cu moment de inrrfie constant:

Dacl reazemul extre~n 0 rste incastrat elastic qi reazemul I re deniveleazs eu cantitatea 4, momentele de incastrare partiali in 0 pi de inca8trare perfeca in I au valorile:

respectiv pentru grinda cn moment dc inertie constant: GElu, 6EZv, ,

Ma1 = + 1: M,, = + 1:

La limite, pentru incastrare perfect& in reazemul extrem (c, = 0), formulele (90) se transformi in formule de tipul (89 a, b gi e, f,) i w pentru articulatie sau rcazcm simplu (c, = M) in formulele:

rcspectiv pentm grinda cu moment de inertie constant:

3.1.5. V a r i a l i i d e t e m p e r a t u r d f a t i d e t e m p e ~ a t u r a d e n o n t a f . lntr-o grindi continu5 cu un reazem fix (articulatie) gi relelalte mobile (reazrme simple), nu apw eforturi decit din variatia de temperaturi Ato = = 1: - t i intre fata interioari gi fata superioara a grinzii, deoarece dilatarra in lungul grinzii produsk de variatia de temperaturi ( 1 1 + t:)/2 in a x i este liberi.

Momentele incovoietoare static nedeterminate de pe reazeme produsc dc varia- $is de temperature At" se pot calcula cu oricare din metodele aritafe la pet. 3.1, respectiv cu formulele date la pot. 3.1.1, 3.1.2 gi 3.1.3, inlocuind rotirile pe reazeme p' gi p" prodnse de inc5rcilri ou,rotirile pe reazeme p; gi p; produse de variatia de temperatur5 Ato; rotbile pi g i pf se determini ca lapct. 2.3.1.5 (v. pi tal)ela 4, nr..45), 2.3.2.5, 2.3.3.1.1 ~i 2.3.3.2.

Intre reazemele grinzii continue, momentul incovoietor variazi lininr.

Se calculeazi pozitia punctelor fixe If pi L cu formulele (61-66) -(fig. 1G). Se aplici in reazemul n perechea de momente e x t ~ r i o n r ~ Em = 1 rare qv - -. . - - . - - - - , - - . - . .

transmit prin punotele fixe ping la capetele grinzii continue, resultind momentcla pe reazeme 81Lm,, 8lL,,, ... gi 311,+,, &,, ... (formulelc 69).

Ordonatele liniei de influenti pentru deschiderild din dreapta reazrmului n, spre exemplu pentrn descbiderca l , , se ealculcazk cu formula:

I I I

Idem pentru deschiderile din stinga reazemului n:

m-2 m- / m m+

Unghiurile de rotire P, p' gi p", peutru grinzi cu vute.drepte gi pambolice, sint date in tabelele 62-64. 66 si 68-71,

I mtz ; 'P . I rnr3.r

Pentru grinda ou moment dc inertic constant, formulele (03 a, b) sc transform& in:

A n

2,"-, 2- z," T - rn,,- % !,",2 2 !m+;=lp 4 Fig. 20

3.2 Linii de influen$H Liniile de influent& ale coeficientilor w;. gi o; se iau din tabela 1. Formulele (93 c, d) reprezinti diferenta a doui parabole cubice. Curba rrzul-

3.2.1. L i n i i d e i n f l u e n t d p e n t r r / o r ! a c o n c e n t r n t d tants admite un punct de inflexiune pentru fiecare deschidere, afar5 dr cin~pu- n o b i l d P = l . rile marginale, unde una din parabole lipsegte ( c h i @It,-,=8ILa=O :i L81t,=81(n=0).

3.2.1.1. Mpmente tneoeoietoare static nedeteminnte pe reweme. Liuia de inflo- Ordouatele liniei de influenti sint de forma Mm = xl, unde x este un numk. en@ a momentului incovoietor M, de pe reazemnl m al unri grinzi continue cu n La o grindi continui cu deschideri inegale este comod s i se ia in calcule, c;a deschideri se determini dupi cum urmeazk (fig. 20). deschidere de bae5, deschiderea primului cimp' de la stinga: 1, = 1; ordona.tele

liniei de influen* vor rezulta de forma Mm = xl, daci h formulele (93) toate deschiderile se inlocuiesc cu valorile:

unde m,,,, m,,,,, ... m, ... sint numere pozitivc. Pentru ugurin$& qi control, calculele se aranjeazi in tabele. Cum rezultii din fig. 20, ciud fo$a P = 1 oulci in eimpurile vecine reazemului

pentru care s-a calculat linia de influen@, momentul iucovoietor pe reazem este negativ; cind forta P = 1 trece En celelalte cimpuri, momentul pe reazem schimbi alternativ de semn.

3.2.1.2. M o m ~ t e hcovoietoare tn clmp. Problema este static determinatii. Linia de infloen!B a momentului de incovoiere M,, in sectiuuea x/x' a deschiderii 1,

liuiile de influen* ale momentelor iueovoietoare de pc reazemele m - 1 qi m determinate ca la act. 3.2.1.1.

Alura l6iiIor de influenti M, qi semnele ordonatelor acestor linii depind, aaa cum rezulti din fig. 22, de pozitia sectiunii x/x' f a t i de punctele fixe K gi L.

3.2.1.3. Fwk Iriietwe. Pcutru o deschiderc oarocarc 1, so oalculeazi liniile de influenti x, qi Th ale for$elor tiietoare din seotiunile aflate imediat in dreapta reuzemului m - 1 i;i fn stlnga reazemului m (fig. 23).

Fig. 22.

Fig. 21

se calculeazi eu formulele (fig. 21): - pentru deschiderea l,,,:

- pentru celelalte deschideri:

unde .8K, reprezint5 linia de influenti, static determinatj, a momentului lncovoietor din sectiirnca z/x' a grinzii simplu rezemate l, (tabela 5), iar M-, $i M,,,

Fig. 28.

45

Pentru deschidcrra I,,, avcm: . Ifm-*-Nm Tb-, = 8,-, - : T,=%, - Mm-'-Mm ; (96 a, h) 1 , 1,

iar pentru toate celelalte deschideri:

Tm_, = Tb = - Mm-r - Mm

1, (96 c)

undc X,, pi Z , reprezintl liuiile de influrnJX, s ta t ic determinate, ale fortelor tiietoare din sectiunile imediat vecine reazemelor grinzii simplu rczemate 4, (liniile dn influenti To pi T,, din tabela 5).

Linia de influenti a forte; tilietoare T, din sectiunea s/x' a. deschiderii L, este dat8 de ramura liniei de influrnfi T,, situati la dreapta seotiunii pi de ramura liniei de influenli T, situati la stinga sectiunii (diagrama hasurati din fig. 23 jos).

3.2.1.4. Rene&J. Linia de influenti a reactiunii V,,, do pe reazemul m se cal- cnleazk cu formula (fig. 24):

Vm= - Tk 1 Tm. (97)

am-2 / I

Fig. 24.

Fig. 25.

Pcntru rcazemele extreme rezulti (fig. 25):

v, = T,; v,= - T,,. (97 a, b)

1 Liniile de inflneu!i &I,,,, M,, T,-,, Tm qi V,, peutru inelrrcarea cu forts coneentrati mobill P = 1, sint d4t.e:

- in tabelele 35-60 pentru grinzi continue cu moment de inertie constant $i 2-5 desohideri egale sau inegaie:

- in tabelele 72-91, 92-93, 96- 7, 100-101, 104-105, 108-109 ?i ,112-113 pentru ginzi continue cu mome t de inertie variahil (vute drepte pi parabolice) pi 2-4 deschideri.

4 3.2.1.5. Folosirea liniilor de influenti. Pentru calculul eforturilor M si T $i

a1 reac$iuuilor V produse de sareini mobile, se, dcs~neazi liniile de influenti sub formi de diagrame, puuindu-se in abscisl luug~mea grinzii ?i in ordonate, ordonatele liniilor de influenti calculate p e n t 4 fiecare zeeime a deschidcrilor grinzii. Se procedeazi apoi dupX cum urmeazl:

1) C o n v o i d e s a r c i n i c o b c e n t r a t e . Se deseneazi pe calc convoiul,' distantele dintre for@ luindu-se a scara lungimilor pentru diagrama liniei de influenti. Se plimbi hirtia de calc culoonvoiul peste diagrama liuiei de infiu- en@ pi prin citeva incerciri se gbegte pozi,ia convoiului care produce efortul maxim sau minim, introduoind convoiul pe la un d ap l t sau altul a1 grinaii $i inc&clnd con- venabil anumite bucle - pozitive sau ne a t ~ v e ale liniei de influent&. Pentru

$ ? ' - momente incovoietoare qi reactiuui se asaza, in general, forta cea mai marc in dreptul ordonatei maxime; pentru forte $ietoare se agazi in general, prima fort& a convoiului h dreptul sectiuuii in care se calculeazi efortul.

Se misoari apoi ordonata liniei de influenti in dreptul fieckei forte; cihd forta ca,dr intre doul ordonate, se inlerp leazil liniar, grafic sau aualitie. Daci I ostc lungimca deschiderii marginale din s inga a grinzii, efortul maxim sau minim so determini, prin calcul, cu formulelo: 1 R

- pentru momentcle incovoietoare:

- pentru for!elo tiictoare:

T =.dYp;

- pcntru reacfiuni: 1 v = a ZP,

undc z, y, z sint ordonatele liniei dc inflden* misurate in dreptulfor$elor P. Proiectantii experimentati pot oiti ducat in tabele ordonatele x, y, z din drep-

tul fortelor P, fir& a mai f i nevoiti s i dbseneze.diagramele liniilor de influen@. 2) S a r c i n a m o b i l i u n i f r m d i s t r i h u i t a p. Dacl sar-

cina mobilg incarel fntreaga grindi sau [or$iunile de grindi care dau eforturile maxime sau minime, atunci valorile M, T qi V se gisesc gata oaleulate En tabelele saroinilor uniform distrihuite g g i p (v. di pot. 3.3).

Da& sarcina mobili Encarci numai o portiune dintr-o desohidere oarecare I, = ml, atuuci efortul este egal cu sarciA p iumul$it& ou suprafata liniei dc influent& pc poqiunea inc lca t i :

M, T 8aU V = pS.

Suprafap S sc calculeazi, cu sufici ntir exactitate, dupZL regula trapezului. Distantele dintre ordonate sint de forma A k = d l = 0,1 ml (cLci L, = ml, unde I este prima deschiderc., iar f i e m e deseh idp cste I m p l f i B in 10 p k t i egale). Ordo-

I 47

natele sint de forma xl pentru momente (lungimi) gi deforms y sau z pfntru forte tgietoare sau reactiuni. Suprafata S este de forma kla pentru momente $1 kt pentru forte t&ietoare gi ieactiuni.

Cind limita in&c?irii cade intre doug ordonate, se interpolem5 liniar, grafic sau analitic, pentru determinarea ordonatei la limita hcircki i .

3) S a r c i n i m o b i l e d i s t r i b u i t e d u p i o l e g e o a r e - c a r e. fn acest caz se descompune sarcina distribniti in forte elementare concentrate U qi apoi se procedeaz5 ca la 1.

4) S a r c i n i f i x e. Cind grinda continul este inc?ircat% cu sarcini fixc, concentrate (P) sau distribuite dupa o lege oarecare (care se pot lnlocui ou forte elementare concentrate hP), eforturile M gi T gi reactiunile V se pot detemin? uvor

cu aiutoml liniilor de influ- 0 m - l - 1 m.2 m.1:3 4 5 A LA Y aZ + 4

- * Fig. 26.

en$%," aga cum s-a aritat pentru sarcini mobile, cu sin- gura deosebire c i pozitia fortelor este bine determinati pe grindi.

3.2.2. L i n i i de ififla- en@ pentru cuplul concentrat mobilM=1[7]. Linia de influentg a momentului fncovoietor M, de pe reazemul m a1 unei grinzi continue cu n deschideri se calculeaz% cu fonnulele (93 a,h)-(fig. 2 6 , ~ ) . in oare unghiurile de rotire rp; gi p; se determin% cu formulele (42), conform fig. 11, pentru grinda cu moment de inertie variabil gi vute drepte sau parabolice, respectiv cu formulele (51) si (52), conform fig. 13, b, pentru grinda cu moment de inertie variabil oricum.

Pentru grinda cu moment de inertie constant, formulele (93 a, b) se transfor- m& in:

En care liniile de influen$% ale coeficientilor oh$ ob se iau din tabela 1. Ordonatele limiei de influent& sint numere. Linia de influen* a momentului incovoietor M , dm sectiunea six' a des-

chiderii 2, (fig. 26, b) se calculeazL cuformulele (95) in care linia de influen9 a momentulni incovoietor a, este dat& de formulele (10) - (in fig. 5 Ma = a,).

Lmia de influent5 a fortei titietoare Tm din orice sectiune a deschiderii 5, (fig. 26, c) se calculeaz% cu formulele: - pentru deschiderea 2,:

1 Mm-1-Nm . T;D,=T,=--- 1, 1, (99 a)

- pentIU toate celelalte descbideri:

T~.,_~ = - Mm-1- Mm. Jm (99 b)

Ordonatele liniei de influen@ sint de forma y/1. unde y este un numir. Linia de influen@ a reactiunii Vm de pe reazemul m (fig. 26, d) se calculeaz&

cu formula (97). \ ,

Liniile de influent5 M,, M,,, Tk-I = gi V,, pentru inckoarea cu cnplul concentrat mobil M = I gi grinzi cu moment de inertie oonstant gi 2-5 descbideri egale, sint date in tabela 61.

3.3. Sarcini uniform repariizate pemanenk 81 mobile

3.3.1. S ~ r c i n a p e r n a a n e n l d g, u n i f o r m r e p a r l i z a l i p e t o a t i 1 u n g i m e a g r i n a i i. Momentele incovoietoare pe reazeme se deteminti aga cum s-a. argtat la pct. 3.1, folosind totdeauna metoda de calcnl cea mai potrivitg. Unghiurile de rotire pe reazeme rp' gi p" sint date, pentru grinda ou moment de iner$ie constant, in tabela 4 (nr. I ) , iar p e n h grinda cu moment de inertie variabil si vute drepte sau parabolice, in tabelele 62, 63, 65 pi 67.

Momentul lncovoietor in cimp din scctiunea x/x' a deschiderii 1, se calculeaz% cu formula:

1 Momentul incovoietor static determinat a, = - (5 - $) gl:, se ia din

2 tabela 6.

Momentnl incovoietor M,, variazs in lungul deschiderii dup& o parabolir (fig. 27). Sectiunea de moment maxim are abscisa:

iar sectiunile de moment nu1 abscisele:

For* Sietoare in sectiunea z/x' a deschiderii l, are valoarea:

Borta tLietoare T,, variazii liniar, avfnd la extrerniagile deschiderii lm valorile (fiCs27):

1 Mm-1 - M*t. y - - -gl 1 T,-1 = -91, - -

I , m - Mm-' - Nm. (103 c, d) 2 2 Im

Fig. 27.

Reatiunca pe reaeemul m se calculeazL cu formula: V m = -T; + T6. (104)

3.3.2. S a r c i n a m o b i l b : u n i f o r m r e p a r l i z a t d p. Se calculeazi eforturile maxime $i minime in fiecare sectiune a grinzii continue.

, , / L --J-- /m+ , -4- 1m+z --I-- Fig. 28.

IvIi~omentul incovoietor M,,, (pozitiv) pe reazemul m se obtine iucirrcind cimpurile in care linia de influent5 Mm are ordonatele pozitive (fig. 28, c), iar M, (negatiq cbnpurile in care linia de influent5 Mm ,are ordonatele negativ! (fie. 28. b ) : se incarcl deci numai deschideri lntregi (unghlurlle de rotire 7' qi p

Pentru momentul incovoietor in clmp trebuie s i se deosebeasd dou& cazuri: C a z u 1 1: se@iunea 212' se giseqte iutre punctele fixe. Pentru momentul

M, ,, (pozitiv), respectiv M,, mi, (negativ), se incarci numai cimpnri intregi

Fig. 29.

ca in fig. 29, b, respectiv fig. 29, c. Dupi calcularea momentelor incovoietoare static ncdeterminate M,, $i M,, momentul M,,, se determinft cu formulele:

Momentul M ,,,, variazi dup2 o paraboll, iar M ,,,, liniar (fig. 31). C a z u l 2: sectiunea 21%' se gLegte iutre punctul fix L si reazemul m.

Pcntru determinarea momentului inwvoietor M, ,, (pozitiv), respectiv M , mi,

(negativ), grinda se incarci ca in fig. 30, b, respectiv 30, c ; cimpul 1, se fncarci partial, En prinlul caz pe portiunea 2; si in al doilea pe portiunea zl.

Fig. 30.

Punctul de absoisi %/xi se determing prin interpolare liniar& intre ordonatele, una negativri pi alta pozitivi, ale liniei de influen* M,, care incadreazH acest punct. Pentru grinda cu moment de inertie constant, punch1 de abscisri xl/x', se poate determina qi cu ecuatia:

a x ? + + z ~ + y = O , (106)

unde:

a = [ a ( Z , - x ) - b x ] ; p= -3aZm( lm-b -x ) ; (106 a, b)

y = - 1: [(Z, - 3a) (l, - 21 - x)] . (1% c)

Unghiurile de rotire pe reazeme p,, pi pi, produse de incharea par$iaI a cimpului l, cn sarcina uniform repartizat& p, se pot determina, pentru grindaWcu moment de inertie variabil, folosind liniile de influen@ ale rotir~lor p' $i rp" produse de forts mobill concentrati P = 1 si date in tabelele 68-71 (v. yi 3.2.1.5); pentru grinda cu moment de inertie constant, ungbiurile p, gi pk se gisesc in tabela 4 (nr. 5) .

Se calculeazi momcntele M,_, qi Mm corespunz&toare ipotezelor de in&- care din fig. 30, b gi c pi apoi:

Cind sectiunea xjx' se g&segte intrc rcazemul m - I gi punctul fix K, se procedeazri ca mai sus, folosindu-se formulele:

m : + p x 1 + y =O, (108)

unde:

a x - a ( - ) ] y = - c h x ; (108 a, c)

p = [b (1, - 3a) x + a (25, - 36) (i,,, - 2) l ; (108 b)

apoi:

Curbele de momente incovoietoare maxime pi miuime in intervalele (m-1)- - K @i L - m au expresii anslitice complicate chiar pentiu grinda cu moment de inertie constant. Aceste curbe pot f i inlocuite, pentru simpliificare, cu linii drepte, caae dau momente ceva mai defavorabile, deci acoperitoare (fig. 31); in aceasti situatie este suficient s& se calculeze momentele incovoietoare maxime $1 minime din dreptul reazemelor (M,-, qi M,) pi din dreptul punctelor fixe K +i L (cu formulele 105), ceea ce simplifici foarte mult problema, d c i se incare& numai elm- puri intregi.

Wrta tHietoare maximi T,,,,,, respectiv miniml T,,,, fn seciiunea x/x l din deschiderea l,, se obtine din incilrcarea grinzii continue ca in

- 4 --L- 4 + 1~ 4- 1, -I--- Fig. 31.

Fig. 32.

fig. 32, b, respectiv fig. 32, c. Fortele a i e t o m de mai inainte se pot calcula inrnultind sarcina p cu suprafa@ liniei de influenti, de pe portiunile incircate, a fortei aietmre din sectiunea x/z ' . Se poate proceda pi alt- fel: se calculeaz& momentele incovoietoare static nedeterminate Mm, g i Mm oorespunzitoare in&rrc&rii din fig. 32, b, respectiv fig. 32, c, dupri care:

Fig. 33.

PZ" Mm-&. -- Tm ma, - 21, 1,

Fortele tiietoare maxime ei minime variazr in lungul grinzii ca in fig. 33.

Reactiunile maxime pi minime pe reazrmul m au valorile (v. pi fig. 33): Vmm,= - T k , , + TmrnaE; (111 a)

V, mi,, = - T m mnx + Trn mi". (111 b)

Eforturile M ~i T $i reactiunile V, produse de sarcini unilorm repartizata permanente (g) pi mobile (p), sint gata I. alculate:

- in tabelele 8-33peutru grinzi continue cu moment de inertie constant pi 2-5 .deschideri:

- in tabelele 72-91, 94-95, 98-99, 1OZ710S, 106-107, 110-111 pi 114-115 pentm grinzi continue cu moment de inertie variabil (vute drepte gi parabolice) pi 2-4 deschidcri.

3.4. Deformatii elastiee din ineovoiere

La proiectarea grinzilor continue., in afara calculului oapacitAtii portante,

b care este obligatoriu pentru orice element de constmctie, intervine unrori $i calculul deformatiilor pentru veri- ficarea nedepiqirii anumitor valori limiti.

Deformatiile elasticeale grinzilor continue (rotirile pe reazeme T yi 8 i i . g ~ -

tile 8 in once puuct al axei grinzii) 'C He pot calcula consideiind fiecare des-

chidere ca o grindi simplu rezematl supus& la incirc&rilc:

- cuplurile J1' pi M" aplicatr la capetele grinzii, care represinti momentele incovoietoare de continuitate (ml- rimi static nedeterminate, caloulate conform Pot. 3.1):

. - sarcinile direct aplicate pc grindl (p, P, m, M).

Formulele date mai dcparte s h t

d stabilite pentru sarcini fixe. Ele pot f i insi folosite pi pentru sarcini mobile, cHci deformatiile elastice'se d 0 u k d pentru ipotezele de incLcare care dau efortnrile maxime; ln aceste ipotcze de inc&rcare sarcinile mobile pot fi con- siderate drept sarcini fixe.

Fig. 94. 3.4.1. Q r i l t z i c o n t i n u e EU m o m e n t lde i n e l t i e eon-

s t o n t . In fig. 34, a s-.% reprezentat deschiderea 1, = 1 a unei grinzi continue, cu sarcinile direct aplicate SPi si diagrama de momente incovoietoare M, iar En

fig. 34, 6 axa ei deformat&. fn fig. 34, c $i d s-a reprezentat grinda simplu reze- mat5 de deschidere l,,, = 2 incgrcata cu cuplurile M' qi M", respectiv cu sarcinile direct aplicate ZP,, cum qi axele deformate corespunzltoare.

Unghiurile de rotire T' qi r" pe reazemcle m-1 pi m se pot calcula cu formulele (28 a, b), luind pentru a', a" pi p valorile date de formulele (14 a, b, e):

Unghiurile de rotire p' pi p" (fig. 34, d), pentrn diferite inoh.rcbi intilnite in mod obipnuit in practich., so calculeazi cu formulele:

1 p' =-k'. (pm = - 1 k", EI ' EI

(113 a, b)

unde termenii de incbcare k' pi k" se iau din tabela 4. Pentru alte incirciri decit cele din tabela 4, unghiurile de rotire (p' pi p" se

calcnleazA cu formulele generaIe.(ll a, b), luind EI = oonst. (v. pi fig. 6):

1 1 ?' = - i0 Mox'dz; (p" = 1: M Q ~ d5, (114 a, b) IEI IEI

unde MO este ordonata, in punctul de abscisi x/x', a diagramei de momente incovoietoare produse de sarcinile aplicate pe grinda simplu rezemati de deschidere Z, = 1 (v. fig. 34, d).

Sigeata SR in sectiunea k de abscisi a/b=E/Y este egall cu (v. fig. 34,1, c, d):

S h = $ + S f . (115)

Sageata 6; prodush. de be?lrcarea cu cuplurile M' yi M' are valoarea (v. gi formulele 15 a, b):

12 8; = -(obMt + obMn), 681 (I16)

unde coefioientii w b pi a> se iau din tabela I. In cazul incarckii grinzii simplu rezemate de deschidere 1, = 1 cu forte con-

centrate, valoarea sigetii 6; se poate calcula cu ajutorul formulelor (21 s, b):

eoeficientii qi fiind dati in tabela 2.. Idem in cazul incbrcirii cu cupluri cu ajutorul formulelor (24 a, b):

coefieientii o;, gi o;, fiind dati in tabela 3.

D a d grinda simplu rezemati este incircatA cu sarcini distribuite dupi o lege omcare -forte pcx), respectiv cupluri m(x) - atunci sarcina distribuiti se descompune in sarcini elementare concentrate (forte AP, respectiv cupluri hM) pi apoi se folosegte formula (117), respectiv formula (118). Sarcinile elementare concentrate (AP, AM) se calculeai, ca mi.rime qi pozitie, conform fig. 35.

In cazul incirdrii cu sarcina uniform distribuiti p pe o lungime s din deschiderea grinzii se procedeazi precum urmeazi:

a) Secliunea k de abscisi a /& se af l i in dreapta sarcinii ps (fig. 36, a): se calculeazi suprafap S" a liniei de influent& oh, dat5 in tabela 2, pe lungimea incircati, dupi regula trapezului; daci limita iuciroiLrii cade intre doui ordonate, se interpoleazi liniar pentm determinarea ordonatei liniei de influenti la limita incirc5rii. Sigeatasedetermiu&ouformula:

Fig. 35 ( l l9 a)

b) Sectiunea k de abscisi ajb se afli in stinga sarcinii ps (fig. 36, b): se procedeaza in mod asembitor cu linia de influenti wbs. Rezulti:

c) Sectiunca k de abscisi a l l se afl5 intre limitele inc&r&ii (fig.36, e): se calculeazi suprafetele S" si S' pe lungimile indrcate la stinga, respectiv la dreapta

b Fig. 36.

sectiunii k. Rezulti:

11 8 t ==p(S" + S'). (119 0 )

Suprafetele S au dimensiunea uuei lungimi (ordonatele o m sint numere, i a r absoisele Ax lungimi).

Gind sarcina uniform distribuiti p incard grinda simplu rezemati pe toatH lungimea ei, sQeata in sectiunea k de abscisi alb = se calculeazi cu formula (v. qi formula 18):

o - & ' . 5 - 2 8 a + E ' _ ~ t - - EZ 24 BI'a~69 (I2")

cu: 5 = 0,O 0, l 0,2 0,3 0,4 0,5

o,, = 0,0000 0,0041 0,0077 0,0106 0,0124 0,0130

5 = 0.6 0,7 0,8 0,9 1,0

up, = 0,0124 0,0106 0,0077 0,0041 0,0000.

Sigeata maximi Sa = B,,, nu are lac in sectiunea de moment incovoietor maxim, ci En sectiunea in care rotirea este uuli; pozitia acestei sectiuui de abscisi a/b = se obtine egalind cu zero valoarea rotirii q din formula (12):

r p = r p ' - - M d x = O , ;z j: (121)

cu:

Z' M =-M' + ? M " + M O . 1 I (122)

Formula (121) reprezintB o ecuatie in a. Dupi determinarea abscisei a, valoarea sigetii maximc se calculeaza cu for-

mulele date mai iuainte. f n mod praetic ins% este suficient s i secalculeze sigeata fn sectiunea dc moment incovoietor maxim, diferenta intre aceasti sqeat8 qi cea maximi fiiud neglijabila, (v. $i exemplul 2).

Conventiile dc semue pentru sarcini, eforturi ~i defarmatii elastice sint cele stabilite la pet. 2.1, 2.2 qi 2.3 (v. gi fig. 34).

3.4.2. G r i l z z i c o l z t i n u e c u v u t c d r e p t e s a u p a r a b o l i e e . Unghiurile de rotire pe reazeme T' pi r" (v. fig. 34) se calculeazi cu formulele (28 a, b).

Unghiurile de rotire cr', ct" gi P se iau din tabelele 62, 63, 64 p i 65 in functie de A, n, forma vutei qi simetria sau nesimetria grihzii simplu rezemate de descbidere 1," = 2.

I n cazul incirdrii cu forte concentrate in lungul deschiderii, rotirile rp' pi T" se calculeazi cu formulele (43 a, b), liniile de influent% ale termenilor de incircare k, yi k, fiind date in tabelele 68, 69, 70 $i 71.

Idem in cazul inciro&rii cu oupluri concentrate (v. $i pct. 2.3.2.4, fig. 11 gi formulele 42 a, b):

, l I a n rp = -.-.C(k; - k ; ) M i ; (123 a)

e ,-L

1 I "

v n = 7.-- C(k; - ki) M,. (123 b). El0 ,-I

Ciid inckcarea se face cu sarcini distribuite dup5 o lege oarecare (fo* p, cuplwi m), rotirile rp' $i rp" se calculeazi cu formulele (43 a, b) respeetiv (123 a, b) dupi metodica de la pot. 3.4.1.

Sigeata ah in sectiunea k se calculeaz;? cu formula (116). Sigeata 6; produsi de cuplurile M' pi M " (v. fig. 34 , c) se determini folosind

teorema reciprocit;itii deformatiilor (v. $i fig. 13, a): sigeata produsi in sectiunca h de cuplul M' = 1 aplioat in reazemul m-1, respectiv M" = 1 in m, este egali eu rotirea pe reazemul m-I, respectiv pe reaeemul m, prodnsi de for@ P = 1. Rezulti:

unde termenii de i n c k m e k1 ti & se iau din tabe.lele 68, 69, 70 gi 71. pentru sectiunea k ; daci sectiunea k cade intre doui ordonate &, respectiv k,, se mterpo- leazi liniar.

Calculul analitic al sge t i i 8: produsi de incircarea directs a grinzii simpb rezemate de deschidere I , = 1 cu forte $i cupluri este dificil ~i laborios. Siigetile 8; Re pot calcula ea la pet. 2.3.3, cu diagrama de momente incovoietoare Ma din fig. 34, d. Acest calcul se poate face de la inceput pentru sagetile Sh cu diagrama de mamente incovoietoare M din fig. 34, a, fki a mai fi necesar, calculul separat al siigeigetilor 8; cu formula (124); calculul grafic este mai expeditlv decit cel analitic de insumare de cantititi elementare gi suficient de exact daei desenul se exe- cuts cu ingrijire (v. pot. 2.3.3.2 pi fig. 14).

3.4.3. O r i n e i c o n t i n u e cu m o m e n t d e i n e r t i e v a r i a - b i 1 o r i c u m. Pentru calculul rotirilor pe reazeme T' pi T" p: al siget~lor 6~ (v. fig. 34, b) se procedeazi ca la pet. 2.3.3, folasind diagrama de momente incovoietoare M din fig. 34, a.

tie de temperatnr& AtD fa t i de temperatura de montaj (in conditiile de la pet. 2.3.1.5) nu produc eforturi, ci numai deplaski rigide in cazul lni v (fig. 37, a), respectiv deplasiri elastice in cazul lui At" (fig. 37, b).

Depiasirile totale in deschiderea 1, = 1 a grineii continue (static nedeter- minata) se pot obtine prin suprapunerea deplas&ilor el'stice produse de eforturile static nedeterminate M' si M" (ca in fig. 34, c) peste deplasirile ginzii sinlplu rezemate (oa in fig. 37):

- din denivelarea reazemelor:

T; = (a'M' + BM") + Q,; (126 a) T; = (PM' +="Me) + rp;; (125 b)

8 s = 8L C a:,; (126 e) - din variatii de temperatur8:

T; = (a'M' + BM") + rp; ; (126 a) T; =(@MI + a"M") + 8;; (126 b)

81, = stt + q,. (126 c) Deplasbile elastice (arM' + PM"), (PM' +a"&!") qi 6: se calculeazs ca la

pet. 3.4.1, 3.4.2 $i 3.4.3 cu disgramele de momente fneovoietaare M' - M" din fia. 37.

i)eplasjrile grinzii simplu rezemate au valorile: a) denivelarea reazemnlui m (cu v > 0): - pentru deschiderea 1,:

I-- I,,) ---& I,",, -----I 0

Fig. a?.

3.4.4. D e n d u e l a r e a r e a s e m e l o r ; v a r i a l i i d e l e m p e - r a 1 u r 5,. In grinda simplu reeemati de desehidere 1, = 1 (formi de ha.% static determinaG), denivelarea v a reazemelor (in conditiile do la pct. 3.1.4) sau o varia-

- pentru deschiderea l,,,,:

b) Variatia de temperaturs At": deplasjrile elastice rp;, p; pi a;, se calculeaz& ea la pet. 2.3.1.5, 2.3.2.5, 2.3.3.1.1 qi 2.3.3.2.

Conventiile de semue slnt aritate in fig. 37.

4. GRINDA CONTINUA DOMENIUL PLASTIC

Proiectarea unei structuri de rezistentil static nedeterminati se poate face in urmLtoarele modnri:

1) - determinarea eforturilor se face in domeniul elastic (v. ~i cap. 1. Intro- ducere, aliniatul ultim);

- dimensionarea elementelor structurii se face tot in domeniul elastio prin mctoda de calcul a ,~zisten$elor admisibile";

2) - determinarea eforturilor se face ca la (1); - dimensionarea elementelor structur;i se face in domeniul plastic, prin

metoda de calcul ,,la rupere"(coeficient unic de siguranv) sau prin motoda de calcul ,.la s t k i limit%' (coeficienti diferentiati de calcul);

6 . 2) - d~t.eminn,rea eforturilor se face in domeniul plastlc; --I - - dimens~onarea elementelor structurii se face ca i a (2). Modul (1) de proiectare admite aceleagi ipoteze de bazi pentru ambele faze

de calcul, dar este valabil numai pentru materialele ee se supun legii lui Hooke pins la rupere (materialele casante).

Modurile (2) gi (3) de proiectare se pot aplica structurilor din materiale elastico-plastice (opl moale, beton armat etc.). Modul (2) contine o contradictie funda- mentaii privind cele douL faze ale proiectirii: materialul este eonsiderat elastlo in calculul static $i plastic la dimensionare; el reprezinta. totugl un progres sub- stantial fa?.% de modul (1) mai ales sub raport economic. Modul (3) de proiectare iulituri aceasti contradietie $i permite expioatarea rezervelor de rezist.enti ale structurilor static nedeterminate, pe care modul (1) nu lc poate pune in evidenp.

1.a stnletnrile static determinate eforturile nu depind de deplasbl (in cadrul -. . .. . . calculului de ordinul I); calculul static se face pe baza ecuatiilor de echilibru statfc, iar dimensionarea elementelor structurii dupL modul (1) sau (2) funct~e de proprie- tLtile materialelor.

4.1.1. C u r b a e a r a e t e r i s t i c d a m a t e r i a l u l u i e l a s l i e o - p l a s 1 i e i d e a I. Diagramele caraeteristice reale ale materialelor variazi3 in limite mari, aqa cum rezulta. din fig. 38 pentru materialele casante (betonul, fonta,

1 6 br iU

b Fig. 38.

o b c Fie. 39. "

rocile naturale - f i~ . 38, a), otelul moale cn palier distinct de curgere (fig. 38, b) qi otelul ecruisat (fig. 38, c).

Penku uqurareil calculelor, diagramele reale se inlomiesc cu diagramele conventionale simplifioate din fig. 39.

h calculul plastic a1 structurilor din otel moale $i beton armat se admite dia- grams din fig. 39, b (materiale elastico-plastice); in seaiunile critice se considera. cB materialul este rigid-plastic (c. = 0 in fig. 39, 8).

4.1.2. G r i n d a s i m p l u r e z e m a l d : f o r m a r e a a r t i e u l a - ! i i l o r p l a s t i e e ; c o e f i c i e w t u l d e f o r n d a l s e c t i u n i i . In sectiuneadin drcptul for!ei P a grinzii din material elastico-plastic ideal din fig. 40, a

- Fig. 40.

apare momentul incovoietor limit5 in conformitate cu calmlul elastic, Me, cind la o valoare a lui P egal& cu P,, in fibrele extreme ale ei o = o,:

8h' 1 Mk,.=A~e=u,W=~,-=-P.Z, (129 a) G 4

respecliv: 4 M, P y T . (129 b)

Capacitatea portanti a sectiumi nu este ins% epuizat& $i sarcinil P poate cregte in continuare pin& cind, teoretio, se atinge o = a, pe intreaga ei iniltime (fig. 40, c); in realitate exist& intotdeauna o foarte mici zoni elastic2 in jurul axei neutre, care SR poate insi ncglija. Avem:

Bh' 1 M,, = M , = o,Wn = oo,- = 1,5 Me = -P,E, 4 4

(130 a)

respectiv:

P,=* =1,5 P,. 1

(130 b)

Momentul incovoietor M,, care reprezinti capacitatea limiti a secfiuuii de a rezista la incovoiere, se numeste moment do plastificare sau preseurtat llaanat plastic.

Tn sectiuntra solicitati maxim, numitii sectiune niticii, se forme& o wtim- Zutie plnstbli; in realitate materialul so plrstifici pe o anumiti zoni in vecinitatea sectiunii critice (fig. 40, a, 42, a, b, c) pi numai in cazul unui ,,prafil ideal" plasti- ficarea se reduce la. o scctiuno (fig. 42, d). Sub actiunea lui M , = const articulatia plastic& se rotqte cu un unghi 6, unghiul de disoontinuitate a1 axei griuzii in dreptul articula$iei (fig. 40,t). Structura se transformi deci intr-un mecanism cu un gra,d de libertate.

Anioulatia plastici se deosebegte de o articulatie obipuuiti deoarece: - momeutul in articulatia plastic% nu este nu1 ci ega,l cu M,; - articulatia plastici este unilateral% dispirind la schimbarea sensului de

actiune a efortului (la des&care materialul elastico-plastic ideal se comport2 ca un material elnstir -fig. 39, b).

Tn eazul seetiunilor cu o singuri ax& de simetrie

/A, 4 cuprinsi in planul de incovoiere (fig. 41) modulut de I I I 1 .- rezistent: pluslie W , se calculcaz& cu formula:

unde S,, respeotiv S,, reprezints momentul static a1 ariei sonei oomorimate 8.. resoectiv iutinsc A.. in raport cu axa neutri; En staiiul piasticaxa neutr%'bnparte

Fig. 41 aria A a sectillnii in doui parti egale:

A , = 4 = 0 , 5 A. (132)

Raportul supraunitar:

numit coefkimat rEe fwmd al sectiunii, indie& rezerva de rezistentg a sectiunii, creg- tcrea capaciwii ei de rezistenti fa@ de stadiul elastic datoriti plastific%rii.

Pentru diferite secfiuni, valorile W, pi y sint date in tabela 116: din exami- narea aeestei tabele rezulti c6 y este cu atft mai mlc cu cit materialul este rnai indc- pirtat de axa neuM, deci cu cit sectiunea supusi la incovoiere este mai jndicios nlcituiti iu conformitate cu calculul elastic (in cazul ,,profilului ideal" cu inima infinit de subtire, y = 1).

T.imita zonei elastice, in momeutul formbii articulatiei plastice, este functie de inGreare pi de foma sectiunii tranwersale:

- in a z u l sarcinii concentrate, zona elasti& este limitat5 in planul de incovoiere, de douB parabole de gradul doi (v. fig. 40, a si 42, 6);

- in cmul sarcinii uniform distribuite zoua elastic& este limitatg. de doua drepte (fig. 42, a si c).

Lungimea articulatiei plastice este datA de formula:

pentru sareina concentrat5 la mijlocul desohiderii, re spec ti^:

pentru sarcina uniform distribuitg. pe toati lungimea grinzii. Aga cum rezult& din fig. 40 gi 42, lungimile 1, sint er atit mai mici cu cit

coeficientul de formi y este mai mic. 4.1.3. S t r u e t u r i s t a t i c n e d e t e r m i n a t e Bn d o m e n i u l

p l a s t i c ; c o e f i c i e n f u l d e r e d i s t r i b u t i e a 1 s t r u e t u r i i . Spre deosehire de oazul structurilor static determinate, ln emu1 unai structuri static nedeterminate din material elastioo-plastic ideal aparifia unei singure artieulatii pla,stice nu duce laepuizareacapaciti$ii ei portante, adioi lacedareaplartiG(colaps), deoarece structura formeazi inc& un sistem geometric indeformabil. Lacresterea sarcinilor. In seotiunea corespunzitoare primei artieulatii "lastice momentul in- . . ~ ~ ~ - -

covoictor ;&mine knstant pi egal cu M,, pe cind in celelalte sectiuui eforturile eresc. Aceasti redistrihufie continu& a. eforturilor dncc la. aparitia succesivi a altor articulatii 0 plastior.

Nllm&ml astioulatiilor plastice necesare pentru a produce cedarea plastic& a strueturii este egnl ou n u m h l legiturilor necesare pentru a realiza configuratia geo- b metric5 indefomabili a strueturii sau a nirtii de s t r u ~ t u ~ r i cnre ne transformi in I

I ~ - ~~~ . .~ . .~ ..

hledanism in starea limiti. Cind iutreaga structur5 static nede-

terminat& se transform5 in mecanism, nu- C mirul articulatiilor olastice este h general

I egal cu n + I, 'unde este gradul de nedz- I terminare statici a1 struoturii (mpere com- I P ~~~~~~

plea) ; la stmcturi simetrioe iuctcate si- A 1 ' 1 T

metric pot spirea mai mult de n + 1 arti- I J 2. culatii plastice, prin formarea simultanil a lp.0 unor artiouMii simetriee (rupere supra- ?-- ddl -+-051 completB). Pig. 42.

Cind numai o p a t e din structur2 se transform& b mecanism! restul stplcturii r&minEnd static nedeterminat sau determinat, num-1 art~cula$lllor plastrce eSte in general mai mic decit e + 1 -(rupere incornplea).

In calcnlul plastic a1 structurilor static nedeterminate se congider2~ drept limitit a stadiului elastic momentul aparitiei primei articulap; plastlce, c ~ d In sectiunea critic% corespunzitoare avem M = M, (so plastific2 lntre!ga sectlune), En loc de M = Ye (se plastific& nnmai fibrele extreme ale sectmnl~); de rezerva de resisten$& a primei sectiuni critice, dati prin caeficientul de form2 y, se tine scama prin dimensionarea sectiunii prin metoda de oalcul la rupere sau la stiri limit&. In felul acesta in calcnlul plastic al eforturilor se tine seama numa, de rezerva de reristeut2 a stmcturii.

S& considerim o grindit continu; cu douL deschideri egale si sectiune constant&, Enc&rcat& cu o for$& ooncentratZ P la mijlocul deschiderii din stings (fig. 43, a); structura este o datL static nedeterminats. (n = 1).

Fig. 43.

Calculul elastic duce la diagrama de momente incovoietoare din fig. 43, b (v. si tabela 34). Prima articulatie plastic2 apar'e in sectiunea I cbd forta P atinge valoma P,, egal& conform calculului elastic. cu:

Grinda, devenitL de tip Gerber, poate suporta cregterea in continuare a lui P, pin& cind la o incbcare P = P,, M E devine egal cu-M, $i strnctura se transform& partial intr-un mecanism, atingind starea limit%.

64

Din diagrama de momente hcovoietoare corespunz&toare calculului plastic (fig. 43, e) rezulti:

MB M u - 3% M -L'=M* + - = M p + - - - O - 4 2 2 2

de nnde:

p , = 6 . 1

(135 b)

Raportul dintre sarcina de rupeye plastic& P, gi cea carespunz&toare aparitiei primei articulatii plastice P,, numit coe!dn'ent & redistriktie a1 struefurti:

p. 7 = - = 6 x0,203=1,218

p, (136)

reprezint& rezerva de rezisten@ a stmcttwii (h acest caz egal2 ou 21.8%). In cazul fig. 44, a prima articula$ie plastid apare in sectiunea critid B.

La cregterea in continuare a sarcinilor, din cauza simetriei stmcturii gi a incAro2- rilor,. ror apare simultan dou2 articnlatii plastiw in sectiunile critice I gi 2.

0

C / 1 I P

d 6

Fia. 44. .

Din cslculul elastic (fig. 44, b), respectiv plastic (fig. 44, e) rezult2 ssroi- nile limit&:

iar coeficientul de redistributie al stmcturii are valoarea:

4.1.4. P r i n c i p i i l e f u n d a m e n b a l e a l e c a l c u l u l u i p l a s . t i c. Pentru simplificarea calculului plastic al skucturilor static nedeterminate se admit urmitoirele principii fundamentale:

1) Stmctura este exeoutati dink-un material elastico-plastic ideal, f%ri zonir de consolidare (v. fig. 39, b).

2) Se admite ipoteza sectiunilor plane (Bernoulli) $i in stadiul plantic. 3) Se neglijeazii influenta fortei tiietoare T asupra valorii momentului plastic

M,; sectinnile critlce trebuie h s i mtfol dimensionate fncit cedarea s& nu se pro- duci datoriti fortelor tiietoare.

4) Structura atinge starea limit& a capacit?i$ii portante atunci c b d apare un numir sufioient de artmnlatii plastice pentru a o transforma, total sau partial, fntr-un mecanrsm; in ace1 moment se produce cedarea plastic& a structurii (colapsul).

5) Se consideri c& articulatiile plastice sint punctuale (Iq = 0; fig. 45) g i se formeazi instantaneu de indata ce in scctiunea critic& respectlv5 momentul boo- voietor M devine egal cu momentul plastic M, = a,Wp (fig. 46).

Jrhcu/qI~cp/os/c~+ reold

WllV 1 4

~7 - Fig. 46. Fig. 4 6

6) Elementele structurii situate intre articulatiile plastioe punctuale r h h n I n d i ~ t ? in stadiul de cedare ulasticL; defomatiile sub actiunea sarcinii limitlr se *-- . . - . -. . . produc numai datoriti rotiri~articula$iilor plsstice.

7) Cedarea plastic8 a structurii se produce inainte . de - .. cedarea local& a unei sectinni (rupere oaaantZ) sau inainte de pierderea stabilltat11 unora din barele ei; In kaz cdnkar sarciua limit& rezult6 mai mica.

8) Cedarea plastic% a structurii se produce bainte de epuizarea capaciti$ii de rotire a wennei articulatii plmtioe; in oaz oontrar sareina limiti rezult& mai mici.

9) Pin& la cedarea plastic5 (atingerea stArii limit&) deformatiile structurii i int atit de mici lnclt pot fi neglijate variatiile mlrirnilor geometric0 care in&% in wnditiile de echilibru.

10) In nici un punct al structurii momentul hcovoietor M nu dep&vqte valoarea l i i t i M,.

11) St&rile de teusiune i n i w e $i deplaskile de m e m e nu influenpaz& sarcina limiti care produce cedarea plastic8 a structurii; distributia eforturilor in structura este oonditionata numai de sarcinile aplicate, fiind independents de soli- citgrile la care structura a fast supus& anterior.

12) Sarcinile aplicate structurii ac$ioneazi static ~i depiud de un singur pars- metru, crescind proportional pin5 la cedarea plastid.

4.2.1. Ct r i n d a e o n t i n u d m e t a 1 i c d . Otelul moale cu palier distinct de curgere se apropie cel mai mult de ipoteza materialului elastico-plastic ideal. La grinzile continue metalice capacitatea de rotire a articulatiilor plastice este dcstul do mare, incit s i fie asigurata formarea mecanismului de cedare plas- tioi f&Z depigirea capacititii de rotire in nici o sectiune critic&.

In calculul plastic conditiile de echilibm static, de continuitate geometric& $ cele fizice de legituri intre deformatii $i efortwi - din calculul elastic - se fnIocuiesc prin:

- conditii de echilibm static; - conditii de mecanism (cunoagterea numkului @i pozitiei articulatiilor plas-

tice la cedarea plastici); - conditii de curgere plastid (in orice punct a1 struoturii:-Mq,<M,<+Hn). Dac5 pentrn structura static nedeterminati gi sistemul de sarclnl dat, depin-

zfnd de un singur parametm, se gisefe o diagrami de momente lncovoietoare care satisface cele trei conditii de mai lnainte, aceast& diagrami este unica compatibili cu aceste conditii $i sistemul de sarcini corespunz&tor reprezinti sarcinile limit& pe care structura le poate snporta.

Pentru determinarea saroinilor limits $i a diagramei de momente hcovoietoare corespunzitoare se pot folosi doui metode: metoda cinematici $i metoda static& [38, 39, 47, 50, 581.

a) Metoda einanatica: (ehborati de A. A. Gvozdev). DacI pentru structura static nedeterminati gi sistemul de sarcini dat, depinzhd de un singur panuneb, se cunoqte mecanismul de cedare plasticit, atunci valoarea limit5 a acestui sistem de sarcini se poate gisi aplicfnd teorema lucmlui mecanic virtual.

ki cazul grinrilor continue se poate stabili usor mecanismul de cedare plas- tics. La o grind& continui cu mai multe deschideri, starea limit& se atinge in general prin formarea unui meoanism partial: aparitia fntr-o deschidere a unei articulatii care se deschide in jos gi a doui atticulatii care se deschid in sus pe reazemele aoeleiqi deschideri (grind& cu sectiune constant& -fig. 47, a) sau fn apropie- rea reazemelor (grindi cu sectiune variabili - fig. 47, b); ordinea de aparitie a articula$iilor plastice depinde de schema de inc%roare. Daci grinda continui are seetiune variabils gi vute puternice mecanismele de cedare plastici se pot forma ca in fig. 48; se ohservi 0% pot apare $i mai mult decit trei articulatii plastioe.

Chd nu se cunoaqte mecanismul real de cedare plastid, se aplicit teorema lucrului mecanie virtual diferitelor mecanisme posibile; sarcina limiti real5 va f i cea mai mici dintre toate saroinile limit& gisite in acest fel vi mecanismul cores- punzitor va fi mecanismul real de cedare plastici.

Aplicbd metoda cinematic% la calculul grinzilor continue din fig. 43 $i fig. 44, se ob$ine (fig. 49, a qi b):

b

Fig. 47.

Fig. 48.

Fig. 49.

de unde: p - 6 M P , P I

1 - - M p = + (137 a, b)

respectiv:

de unde: u . M - '7' P, =- , 9 v - 6 ' (137 a, b)

Pentrn o deschidere interioar8 a uuei grinzi continue cu m i mult decft do& desahideri egale, ln&cat& cu forte concentrate la mijlocul desohiderilor (fig. 49, c) rezula:

de unde: P, 1 p &f --.

7 - - 1 '- 8 (138 a, h)

Tu cazul grinzii continue din fig. 50, a pozi$ia articulatiei plastice din prima deschidere trebuie determiuats. Presupunind c& se g&se@e la distanta x de primul reazem se scrie:

z(1-2) 1 q , . - . - = ~ I e I + M B O B ~ M , ( ~ + ~ ) ~

de unde:

6 = ZMu(L+ 2).

z l ( l - 2)

Sarcina l imia q, trebuie sl fie cea mai m i d dintre toate sarcinile q, calculate cu diferite valori x. Valoarea lui x oorespuuz&toare sarcinii limia q, se obtine deci din ecuatia dg,/dx = 0 :

z P + 2 l x - B = O , de uude:

x=x,,=(fi-1)lc0,411. (139)

Cu aceasti% valoare a lui x:

Pentru o deschidere intermedim8 1ncirmtA ca in fig. 50, d se obtine:

de unde: 16 M P . - PV 1% 7 . p - 1 6 - (141 a, b)

Valoarea limit& a sistemului de forte poate fi deci calculat& egalind momentul hcovoietor static determinat Mo cu 2 M,. Astfel, in cazul fig. 50, f se scrie:

M - " I = ~ M , , @ - 8

dc unde: 1 6 M P . M -*.

¶ r = 7 3 - 16 (141 8; b)

Pentru o deschidere marginal5 (fig. 50, c), cu MA = 0, M B = - MP ~i iM,,,,, = M,, ecuatia (145) devine:

M , , , = M , , , - M B ? = M ~ (146)

Aici se va egala momentul M ~ . cu M~ (I + y) (numai fntimpletor pentru 0

scheme de indrcare M,,, = M,):

1 1 M*, .=-p, 2 ZG, - - q , ~ = . M , ( l + ~ ) s 2

de unde:

6 = ZMp(1 + 4 , %V - %I

Valoarea extrernl a lui p, q,, poate f i determinaa fn mod o b i p i t . Folosind ins& pmprietHtile paraboloi, se scrie:

- " - M~ -L , a d i c i a : = z , = ( 1 / 2 - 1 ) 1 ~ 0 , 4 1 1 ( X 2 M p 2

(139)

$i 11,666 MP . - fi. (140 a, b)

"= 7 ' - 11,656

Astfel se g&seqte pentru fiecare desohidere in parte sarcina limia (fig. 52).

Fig. 52.

Metoda static& este foarte comod& pentru calculul plastic al grinzilor continue cu sectiune variabil&, respectiv modulul de rezistentil W , variabil, htrucit permite determinarea ugoarz a pozitici articulatiilor plastice de ling& reazeme. Pentru aceasta se deseneazi diagramele momentelor plastice negative si pozitive:

pe intreaga lungime a grinzii qi apoi diagrama de momente hcovoietoare M , astfel amplificae incit se fie inscrisl in cele doue diagrame de mai inainte; sectiunile critioe in care apar articul%$iile plastice (care transforms ficcare deschidere in mecanism) sint determinate de punctele de contact dintrc diagrama M , gi diagramele

M,, (fig. 53). Cunoschd valorile momentelor plastice din dreptul sectiunilor critice (sectiunile I - B' - B' - 2 - C' - C" .- 3 - D' - D" - 4 fn fig. 53). din simple relatii geometrice se pot determina in continuare momentele incovoietoare M, din dreptul reazemelor intermediare (MB. Mc, Mo in fig. 53). Saroiqile critice in ficcare deschidere se detcrmins apoi scriind pentru fiecare scctiune critic3 din cimp (seotiunile 1-2-3-4 in fig. 53) o ecuatie de echilibru de forma ecuatiei (142), dar cu valorile corespunzltoare fig. 53.

v v 1 ' I t Fig. 63.

Dup& determinarea diagrmei de momente fncovoietoare M, corespunzHtoare narcinilor limit&, se pot oalcula forplet3ietoare qi reactiunile on alutorul formulelor (3) ~i (4 a, b).

Sub actiunea sarcinilor de exploatare (a sarcinilor normate) stmcturile metalice calculate plastic se gbeso in mod obignuit in stadiul elastic. Cind nn exist& eforturi alternante, se poate admite in citeva puncte un inceput de plastificare chiar i?~ conditiile de serviciu, spre exemplu formarea a citeva articulatii plastice din totalul de n articulatii care preced cedarea plastic&. fn acest caz calculul se p a t e face conform 1471.

4.2.2. (;r, i n a c 0 n t i s u d d s b e t o n a r m a t . Relatia conventio- cu calculul plastic (r = 1). DacH grinda se dimensioneazi la momentele fncovoie- nal& M - Y" din fig. 46 poate fi admisi ?i in cazul structurilor de heton armat, toare rezultate dintr-un calcul plastic (m cele aritate in paragraful precedent) can- la care se folosesc procente mici pi mijlocii de armare (obignuite in practici), iar j tititile de armituri din clmpuri ~i de pe reazeme se egaleazi. Se obtin deci avan- -&ha este realizat& din atel moale, adici la care cantitatea gi calitatea armiturii taje privind fasonarea gi montarea armiturii. La dimensionare se poate ins5 admite asiguri defomatii plastice suficient de mari inainte de atingerea stadiului de orice diagram& de momente inoovoietoare static compatibili, cuprinsi intre dia- rupere (fig. 54). grama limiti elastic5 pi cea plastici, astfel incit solutia s i devini economic%.

Momentul nlastic M, corespunde atingerii limitei de curgere ac in armifma . .. La grinzile de beton armat un calcul fn domeniul plastic poate deveni avan-

intinsl 8. (stadiul I1 a d i incovoiere). CreGterea lui M, pin& la valoarea momentului de rupere M, provoaxi curgerea armiturii intinse pe lunglmea 1, a articula-

Fic 54.

+I+ Fig. 66.

tajos: - cfnd se urmiregte reducerea momentelor incovoietoare En uneIe zone cu aelomerare mare de armlturi: - - cind se urmbpte industrializarea fasonsrii armiturilor (plici continue armate cu plase sudate continue etc.); - ctnd se urmiregte desdrcarea deschiderilor mici vecine cu deschideri mari;

- l a grinzi prefabricate, uude capacitatea de preluilre a momentelor de cou- tinuitate de citre imbiniri este limitatl;

- ciud se verifici o coustructie existent& pi rezultH sectiuni suprasolicitate sau puncte slabe dintr-o executie defectuoasi, Insi in schimb exista rezerve in alte sectiuni etc.

Calculul plastic a1 unei grinzi continue de beton armat de n ori static nedeterminati se poate face in felul urmitor:

Se face in prealabil un oaloul elastic a1 grinzii continue thi o exactitate excesivl, deoarece acest calcul nu corespunde comportgrii reale a stmcturii nici chiar sub actiunea sarcinilor de exploatare (a sarcinilor normate). Acest calcul se poate face cu modulul de rigiditate EbIb c~ies~unzi tor stadiului'~; uneori se tine

tiei plastice, miriidu-i capacitatea de rotire (fig. 55). Pentru procente mici gi mij- seama yi de influenta fisurhii betonulul intins luind modulul de rigiditate K cores-

locii de armare M, = (1,05 ... 1,lO) M,. punzgtor stadiului I1 [61]. Modulul de rezisten* W, $i momentul plaatio M, = e,Wp se pot determina E,,

conform teoriei lui V. I. Murqev [49] (fig. 56 gi tabela 116). K = - W,(&-z). * (148)

0 b E Fig. 56.

Caloulul nlastic a1 erinzilor continue de beton armat prezinti anumite parti- culariti@ pi ne'cesiti satiifacerea unor oonditii suplimentarefag de cel al grinzilor metalice [37, 41, 42, 45, 46,48, 51, 52, 53, 54, 56, 56, 57, 59, 601.

La o grindi ooutinui de beton armat cu sectiune transversali constanti modulul de rezistenti plastic W, $i momentul plastic M, pot varia in limite mari in lungul grinzii, variind sectiunea armiturii intinse A. Dac& armiturile din clmpuri gi de pe reazeme se dimensionead la momentele incovoietoare date de calculul elastic, rezulti CL teoretic vor apare articulatii plastice simultan in toate sectiuuile critice. In acest caz grinda nu are rezervi de siguranp in conformitate

Se alcg n seetiuni eu momente ineoroietoare maxime in valoare absoluta (in general ser!iunile in dreptul reazrmelor intermediare - fie. 57 - sau uneori o sectiune in cimp ?i alta >e reazem la fiecare descbidere) gi ie dimensionem% arm&- tura $tins& A, din aceste sectiuni la momente incovoietoare X" mi mici decit momentele X rezultate din calculul elastic. In aceste n sectiuni critice se vor forma primele n articulatii plaatice w e preced cedarea plaatistjd.

Pentru ca s i se produe5 cedarea plastici este necesar s& se mai formeze inci cfte o articulatie plastic& pentru fiecare deschidere (in c h p sau pe unul din reazeme).

Cinoagtrrea momentelor incovoietoare X . in cele n seetiuni rriticc transforms structura intr-un sistem static detrrminat: anlicarea eonditiilor de eehilibru static . . (formula 142) permite trasarea noii diagrame de momente incovoietoare (linia punc- tatZ in fig. 57). care constituie diagrama de momente a calculului plastic. Sectiu- nile critice cuprinse iutre cele n sectiuni critice alese initial vor avea momente incovoietoare mai mari decit cele rezultate din calculul elastic. Uneori se cauti s i se egaleze pe de o park momentele incovoietoare din chpurile marginale gi primele reazeme intermediare p i pe de altZ parte momentele incovoietoare din cimpurile interioare $i celelalte reazeme intermediare [48, 591.

Efectuind calculul plastic ca mai inainte, rezulti un coeficient de redistributie al structurii mai mare decit unitatea.

Yentru ca mecanismul de oedare plastic& s i se produd Sn conformitate cu calculul ar&tat, trebuie EndepIinite urmitoarele oonditii de ,,mpereN [42, 541:

a) Capacitatea de rotire nu este dep6sitK in nici o articulatie plastid Snainte de formarea meoanismului de cedare plastid.

Doterminarea rotirilor 0 ale articulatiilor plastice se face imediat hajnte de cedarea plastich, adici in momentul cind s-a format cea de a n + 1 artlculat~e plas-

Fig. 57.

tic8 care transformi structura partial sau total in mecanism, dar rotirea ei este inc& nuli.

Se cunosc momentele plastice X* din primele a sectiuni critice igi sarfidile limit& determinate prin calculul plastic de mai inainte ; grinda static deterpmat3 obtinutL este dat& in fig. 58, a. Tronsoanele cnprinse tntre primele n art~culatii plastice r8mIn incll contiune. Astfel rotirea relativi in articulatia i, adiejl rotirea articulatiei plastice i, se poate calcula cu formula:

Si, i - l ~ i ' _ l + Sii XI + Si. ia x:+, + Aio = - 0,. (149)

cu (fig. 68, b gi c):

Pentru modulul de rigiditate EI se poate lua valoarea EbIb corespuu5%toaa, stadiului I sau mai exact valoarea K corespunzMoare stadiulu~ I1 (formula 148).

Pentru sistemul de baz& din fig. 58, a, ecuatia de continuitate pentru sectiunea i in metoda eforturilor este:

ai, ,-I Ximl + S,i Xi + Si, ,+I X,+I + A s = 0. (151)

pnind seama de aceasti ecuatie ?i de relatia:

AX, = Xi - Xl,

eeuatia (149) devine (fig. 58, d, e, f ) :

si, AX,, + sii ai + ai, i+l = ei. (153)

Folosirea formulei (153) este mai simplii decit a formulei (149). Pentru calculul capacit&tii de rotire a articulatiilor plastice de beton annat

(e,,,,,) s-au propus diierite formnle [37, 42, 54 ete.].

b) Nu se produce ruperea nioi unei sectiuni sub actiunea fortelor tgietoare lnainte de cedarea plastic& a stmcturii. Asigurarea impotriva cedkii premature a grinzilor datoriti actiuuii fortelor tiietoare se face fie majorhd armiitura trans- versal& calculati cu forta tMetoare limit& [48], fie majorind aceasti forti t&ietoare 1541.

c) hiculat i i le plastice apar in sectiunile critice luate in consideratie la nal- euluI plastic (sectiunile de pe reazeme gi sectiunea de moment incovoietor maxim

. ' e '

AX,=7 AX,,7=7 AX,,: 7

Fig. 68.

din c h p ) . Pentru satisfacerea aoestei conditii este neoesar ca dimensionarea arm&- turii longitudinale s8 se fac& pe baza inf%gur%toarelor momentelor plastice pozitive sau negative determinate conform [48] sau [57]. Cind grinzile secundare sint legate monolit de minzile principale, se procedeazi ca la art. 22 din 1481

Grinzile c o n t h e de beton armat caiculate in stadiul p~astiF trebke-;& satis- fac& $i urmitoarele conditii de ,,exploatare" 142. 541:

a) Absenta articulatiilor plastiie sub acthnea sarciuilor de exploatare (a sarcinilor normate). Pentru a satisface aceste conditii, valorile momentelor inoovoietoare X* alese in mod arbitrar trebnie d fie cuprinse intre limitele [421:

este media ponderat2 a coeficien$ilor de suprainoHr~~~e. Valorile X se determina sub actiunea sarcinilor de calcul. Normele sovietice [48] admit o redueere maxim& a momentului elastic X de 30% iar cele engleze de 15%.

De fapt coeficientul n, reprezina limita superioar8 7. a coeficientului de redistr~butie T; trebuie deci respectaEi conditia:

r< re=)4n (1%) pentru toti weficientii de redistributie ai grinzii continue.

Limita superioari a coeficientului de redistributic pentru care nu .spar articulatii plastice sub sarcinile de exploatare, dati de relatia (165) paate f l scriss gi sub forma 1511:

cu k = a / g (aici = n,,gn este sarciua permanent2 de caloul 8i P =%pn - B a r - ' ," . ciua temporarfi de cal&l).

Valoloilrea minimi a coeficientului 7, se obtine penku k = 0 (numai ssarin& permanenti):

re,, = 11, (obignuit q = l,l), (157 a)

jar valoarea maximi pentru k = ca (sarcina temporaril extrem de mare in raport cu cea permanent&):

7,,, = n, (obignuit n, = 1,2 - 1,4). (157 b)

b) Li i tarea deschiderii fisurilor. c) Limitma efortului unitar maxim b betonul zonei wmprimate. d) Limitarea deforma$iilor. Respectarea cnnditiilor (b) gi (c) asiguridurabilitates, iar a conditiei (d) exploa-

tuea normali a construc$iilor de beton m a t . Detalii privind calculul plastic a1 grinzilor'oontinue de beton m a t pi veri-

ficarea respectirii conditiilor de ruperc qi exploatare se gisesc En lucdrile [37, 42, 44, 45, 46, 48, 53, 54, 55, 56, 57, 591.

Dupi determinarea momentelor plastice de calcnl Mp $ toate sectiunile mi- tice, calculul grinzii la $ncovo~ere se face cu momentele incovoietoare limit& [57]:

M = 1,05 M,, (168)

admitind CA momentele de rupere (stadiul 111) sint cu aproximativ 5% mai mari declt momentele plastice.

Calculul eforturilor Eu domeniul plastic nu esto pormis pentru elementele gi structurile static uedeterminate pentru care nu exist& prescriptii coI'?spunzi%toare sau verificsri experimentale concludente sau care sint supuse la sarclni repetate; in aoeste cazuri calculul efortnrilor se face cu metodele mecanicii construct~~lor ca pentru corpuri omogeue si elastice [61].

Grinzile continue de beton armat au de foarte multe ori seotiunea transvcr- sali in f o m i de T (fig. 59).

La asemenea grinzi momkntul de ineqie al sectiunii. transemale se deter- minil pentru intreaga sectiune de beton, f i r i a se lua in considera$ie sectiunea armiturii longitudinale.

Distanta x de la muchia superioarfi a sectiunii pin% la oentrul ei de greutate G ~i momentul de inertie I al sectiunii in raport cu axa orisontali oe t r ee prin G se calculeazii cu formnlele:

unde S, yi I , reprezintg, momentul static g i momentul de ineqie ale sectiunii T in raport co muchis snnsrinnr5.

:----:--- ~alculul momentulul de lneqie I se poate face mai ugor cu formula:

in care coeficientul y se introduce cu valoarea din fabela e .

ANEXA 2

Detetminsrea liniei de influenti M,,, pentru cuplul mobil M = 1 din linia da influen@ M, pentru forfa mobilg P = 1

Ordontele liniei de influen@ a momentului fncovaietor static nedeterminat di, de pe reazemnl m al unei grinzi continue cu n deschideri, date de cuplul eoncentrat mobil M = 1, se pot determina pornind de la ordonatele liniei de

Talela c

Vdorile caeflclsntolui y din form1118 (181) cuplului eP = 1, dupH care se poate calcull ordonata q a liniei de influen@ M,,, din cuplul mobil M = 1 cu formula:

1 q = -- . y, 1 t y". (162)

P e n h alte detalii ale calculului, v; ki pct. 2.3.2.4.

2,OO 1,106 1,129 1,160 1,189 1,222 1,261 1,286 1,328 1,353 1,366 1.371 2) Ordonatele q ale liniei de influenti Mm date de cuplul mobil M r l s6

230 1,127 1,163 1,178 1,223 1,262 1,295 1,335 1,381 1,408 1,422 1,426 pot determina prin derivare numeria *) d t ordon?tele y ale liniei de influent% 2,40 1,147 1,177 1,206 1,256 1,300 1,337 1,381 1,431 1,469 1,473 1,477 M,,, date de forta mahili P = 1, lntrucft p ]ma h n ~ e de influentg reprezinc deri- 2/30 1,166 1,201 1,233 1,289 1,337 1,377 1,425 1,478 1,507 1,520 1.524 vata celei de a doua linii de influent%, lu care se deduce gi directdin formula 2,80 1,186 1,224 1,259 1,321 1,372 1,416 1,467 1,523 1,552 1,664 1,567 3,00 1,205 1,246 1,284 1,351 1,407 1,463 1,507 1,565 1,594 1,605 1,608

(162), in care la limiti e = dz ~i y" - dy gi dcci:

Ordonatele y sint date fw tabele pentrl fiecare zecime a deschiderilor grinzii, fiind de forma y = al, unde a este un nu iir gi 1 lungimea primci deschideri din stlnga a grinzii (1, = 1). 'T

Ordonata q pentru o secfiune oarecar a grinzii se determinz ca formula de mai jos, fn care se folosesc don& ordonate % din stinga sectiunii respective $i doui ordonate y din rbeapta e i (v. $i exemplu! 16 gi fig. 64).

6,20 1,398 1,470 1,634 1,641 1,723 1,786 1,852 1,910 1,930 1.933 1,934 1 I

5,40 1,414 1,489 1,555 1,663 1,747 1,810 1,877 1,934 1,953 1,955 1,957 9 = ~ ( y - 3 - a 5,60 1,430 1,507 1,574 1,685 1,770 1,834 1,900 1,967 1,974 1,977 1,979 6.80 1,446 1,525 1,594 1,707 1,793 1.857 1,924 1,979 1,995 1,997 2,000 6-00 1,461 1,542 1,613 1,728 1,815 1,880 1,946 2,000 2,016 2.017 2,021 Cu Ax = 0, l E, = 0, l rnl pi y = al, formula de rnai sus se trxmformi fn: 6.50 1,499 1,585 1,659 1,179 1,868 1,933 1,988 '2,050 2.063 2,064 2,070 7.00 1,536 1,626 1,703 1,827 1,917 1,983 2,047 2,095 2,106 2.107 2,116 1 q=- 7,60 1,671 1,665 1,745 1,872 1,964 2,029 2,092 2,137 2,146 2,147 2,159 1.2n

' (163)

8,OO 1,605 1.703 1,786 1,915 2,008 2.073 2,134 2,176 2,183 2.185 2,200 8.54 1.639 1,739 1,824 1,956 2,049 2,113 2,173 2,212 2,218 2,220 2.239 Ordonatele q skit numere. 9,oO 1.671 1,175 1,861 $1,995 2,088 2,152 2,209 2,246 2,250 2.264 2,277 Pentm oapetele de curbi (sec$iunile 1, l0' $i 10" din fig. 84) gi :ec$unile

9.60 1,702 1,809 1.897 2,032 2,125 2,188 2,@3, 2,277 2,280. 2.286 2,313 vecine (sectiunile 1, 9 gi 11 din fig. 64) se dmite prelungirea antisimetrici a curhei 10.00 1,732 1,841 1,,931 2,068 2,160 2,222 2,276 2,506 2,309 2.316 2,348 y fati de capetele ei (linia punctati din Xg. 64). 10,60 1,762 1,873 1.974 2.101 2,193 2,264 2.306 2.334 2,336 2,345 2,382 Dupi determinaea liniilor de influe M,, liniile de mfluenp I$,, T,,, qi 11,OO 1,791 1,904 1,996 2,134 2,225 . 2,256 , 2,334 2,360 2,362 2.373 2.415 11,60 1,818 1,933 2,027 2,165 2.255 2,313 2,361 2,386 2,386 2.399 2.447

vrn se cillculeazi cu formulele (95), (99) $!&I (v. qi pct. 3.2.2).

12.00 1,859 1,962 2,056 2,194 2,284 2.341 2,387 2,408 2,409 2,425 2,478

influenti a momentului fncovoietor &.date, de forts concentratz mobilz P = 1, Qinda eontinu& aetionati de foee tangent ale excentrice mobile, la care linia

pentru care exist5 tabele gata calculate (tabelele 35-60 pentru grinzile cu I = t reazemelor nu eoinci e cu axa grin~ii

= const gi tabelele 72-91, 92-93, 96-97, 100-101, 104-105, 108-109 gi 112-113 pentm grinzile cu I variabil).

Pin& aioi s-a considerat d liuia re emelor coincidk cu axa grihzii; acesta J este, spre exemplu, casul grinzilor .de ru re dm beton m a t monolit care sint

Pentru aceasta se pot folosi doui prooedee. cu poduri rulante.

t '. prinse pe Entreaga lor EnEiltime fn consolo e stiIp11or ha,lelor industxiale previzute

: 1) Se lnlocuiegte cuplwl..fiwbil M - 1 din sectiunea ln care actioneazi cu cuplul eP = 1 din m a g i &c$iune, la oare b rap l de phghie e se alege oricit de

In schirnb la grinzile podurilor de dsea si cale feratA, reazemele mobile $i reazemul fix sint ayezate in mod obignuitrub far inferioari a grinzii, aga tnclt

mic dorim (v. fig. 11). Dm% y este ordonata liniei de influenfi M, in ace&& linia reazemelor nu mai coincide cu axa rmm sectiune din fo* mobilH. P = I , ~ ~ t u ~ c i - ~ r i n interpolare liniaci%htre valorile vecine se determini ordonatele y' gi y",din 9eptul foqelor P' =- l ie $i P" =f l[e ale I) Zurrnijhl - Pxaktisohe Mathernatikl fijr Ingenieure und Physilrer (Springer

Verlag - 1953). I

fn soeast5 situatie, for$a mobili excentrid Pt se reduce in raport 'cu ax8 grinzii la un cuplu mobil M = ePt, care produce in grinds eforturile M, T $i reactiunile verticale V, $i la o fort& axiali mobils Pt, care produce in grindi eforturi axiale N de lntindere sau de compresiune $i o reacfiune orizontalg H = Pt in reazemul fix. Reaeiunea orizontali H = P,, aplichdu-se excentric fati de axa grinzii, d& nagtere unui cuplu suplimentar M' = e'P, .= const care actioneazi grinda ca o inckcare exterioarH aplicats in sectiunea ce cuprinde reazemul fix (fig. 65, a).

Cuplul suplientar fix M' = e'P, produce in grinds eforturi suplimentare M', T' gi reactiuni verticale suplimentare V', care s e suprapun peste eforturile M, T $i reac$iunile V, maxime gi minime, produse de cuplul mobil M = eP,.

Mkimile M, T qi V se determini% cu ajutorul liniilor de influen+ stabilite la pct. 3.2.2. Mltrimile M', T' $4 V' se pot determina cu orice metodi cnnoscuti

11 pentru studiul grinzilor continue; este mai aimplu ins& s i se foloseasc8 chiar liniile de influenti pentru cuplul mobil M = 1, aga cum se aratil in exemplul 17.

TABELE DE CALCUL

I. GRlNZI CONTINUE CU MOMENT DE INERTIE CONSTANT IN DOMENNIL ELASTIC

Clad fort. P-1

' O O S 3 4 8 9 r W D ' O

- 1- ~ o e , o o o o e o m ........... - ggggggggggg - - ,,,o,,oomoo ........... 9

g&%'SS3~~~E~ ' - O o o o O o o o P ~ p ........

rn 80ZZ05500Z8 om- , *Pw" , -mo - - PPPPPPPPPPP - gsz5zss09Z-

u M e o - , m m c " s

e -

- meo,,m,,mm, ...........

a 8ggg$zgZ&e o m - ~ w ~ ~ v ~ ~ ~ a

- 9PPPP"PPPP.c - X 0 % 0 8 & 9 9 9 8 8 s o"m-m-x"3ucm,o - PPPPePPPPP.e gEgggggggHH c

= ...

CO

. . . . .

- -. . . .

*lj - X:" II . . II .:

XI- El-

-1; -1'3 - - . . g

F - g - - I A 3

OU

.- T * X I1

El- El-

-1% -1% - - 7 7 .,, 5 x

- (0

. . , . . . . .

4 II T n

q z - .

,- 0)

*: II r II

61- 2 -3 I I 3

f- f- - I . - f- Oc

4 II T n

% 1- 0

, . . . . . .

T II T + q'- - e - -

I - ;t N w + . 9 ~. - -

. .

P II

. T 11

Ll* 8Q

'" - N I S

,- P

. .

1 II ??

II EI-

% - c

'- - I - t - P I B - -

Y W

P /I a.

II E I* e - 'P I k

$ .:

s E s. a 9

2 9 B

*. i.

0 - e D1 - e

% El I .I

w

I X - - 9 0 - 1 6 0 - o .ISZI'O- MO*T o o o o o o o o ' 0 o o o or 2

* BS29'0- 1b929'0- 16100.0 816890'0- 986'0 910% 880'0 610'0 210'0 010'0 £00'0 LW'O SW'O ~ ' 0 EW'O W'O 0 8 - P 9ztLo- . 15 GZP~O- ~d t00.0 .16 m ~ - w6.0 9~0.0 wla- mo- ~ o ' o eso'o tso40 mo.0 uofo LIO'O 110~0 wow o 8

,a9zrLo- ,asss'o- ~aelo'o .~ero'o 6'8'0 m18 BLIIO- IBO'O- s ~ b - 980'0 ELO'O 180'0 6~0'0 LEO% $zo:o ZIVO o L a ~ a q n ' o - ravsz'o- rsam'o . l 6 n o a zw'o W 0 ~ 6 ~ ~ 0 - €11'0- 580'0- 810'0 ~ I ' O 101.0 E80'O 880'0 2tO.O 120'0 0 9 !! 26 521'0- IOOBI~O- 16 EEO~O .PEWO mGo EIEV 8~1'0- 611.0- OSO'O- 610~0 880'0 SSI'O m1'0 $80'0 EWO reo'o o 9 " E la pzo'o- ta nr'o- 16 280'0 .!ao~o'o m'o e n % asr'o- 111'0- tso'o- sm'o 850'0 911'0 611.0 OEI'O 880'0 610'0 o t - laqLoco 1s cno'o- la zv1-o .la sso'o LZVO ~ ' 0 LWO- s0.0- 6 ~ 0 ~ 0 - mao- 8~0 '0 ~ 8 0 ' 0 921.0 EBI'O EII'O SSO'O o c ; 165LI'O 160SOcO- (B'iOZ'O .P990'0 962% t0L.O LBO%- 9W'o- LEO%- LW'O- eZO.0 2SO.O 280'0 111'0 111'0 OLO'O . 0 , Z 8 ,bpLz'o 16800'0- lDs82'0 t@E20'0 091'0 1S6'0 ~ 0 ' 0 - EEO'O- W'O- ~ ' 0 - 010'0 OVO'O 990'0. OLO'O 980'0 0 1 5 16 SLE'O o 15 SLE'O o o OW'I o o o o 0 . 0 o o o o 0 ' 0

. .

-i

* w a r n -@d :.oon!loss "I *ls!oamol sp lol-01 S - . s!!qom !o!ons ulo06 flnannu! ep ,!m!? 4!*WFP W*llma !m!*l*B C.

IX - 16 ws'o- 16 m'o- 0 wo'l m'o c 0 0 o o 0 0 0

0 ' 0 o o r g - 15 oot'o- 16 mVo- P soo'o .tb srso wo mr'o o onor oso'o OLO'O 080'0 090'0 010'0 oso'o 020'0 010'0 0 6 . , B

~BwF'o - 16028'0- 1B0~0.0 ,16080.0 ~€6'0 WZ*O o 080'0 ~ 1 % 0~1'0 021'0 001'0 080'0 080'0 ow'o 020'0 0 8.s

16ooz.i- 16sre.o- laptoso ,PSOI'O OOLV ~€6.0 o 0~0.0 0 ~ 1 ~ 0 OIZV 081.0 0510 w.1'0 080'0 OBO'O O E O ' O o 6 a II

la 001'0- t6 081'0- !6oso'o .tsoeI~o 008'0 OOt.0 o o w 0 m . 0 0~1.0 OW'O m'o 081'0 021'0. 080'0 0V0'0 0 9 :: 16 ow% 16 EZI.O- 15~21'0 ,16 a1 '0 009'0 we'o o w0.o m1.0 o m.o ' 092'0 ooz'o asr'o 001'0 050'0 0 9 & I ~ W I ' O 16~80'0- ,6081:o .IBOZI~O , omCo 009'0 o om% m . 0 o e ~ ~ wt'o mz'o orz'o osr'o mr'o oso'o o i : 1 6 ~ 2 ' 0 I ~ ~ , O . O - 1 6 ~ ~ ~ . ~ ,,DSOI~O OOE'O OOL.O o omo mw 060.0 WI'O osr'o osr'o ors'o otr'o o~oo o r ; tWE'O 16080'0- bO26'0 ,l6(lBO'O 002'0 008'0 0 m0.O 010'0 WO.0 Om'0 W1'0 WI'O 011'0 081'0 08G.0 0 Z i:

1am1'0 169~4'0- CWVo d6sr0'0 ~ 1 . 0 006'0 0 010.0 om'o 080'0 070'0 w0'0 0080.0 OLO'O 080'0 080'0 0 7 y

16 msao 0 15 wS'O 0 WO'O WO'I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 . I 1 . I I - . 1 . 1 - . ---* -, -4*m elrod sxrqom s$ma :pm+es UI ~ q o r n m ~ np imoemox -

Il!qOVJ !0!Ms N l O O d ylosnW! SP !!o!l 1.

4PqI41P WIF. !q=-g

grinzi continue - c-tin avram

Documents