Încercări în LATEXCătălin Ionuţ Ene

24 august 2013

1 Cuvânt înainteSunt conştient că prezentul document scris folosind LATEX nu este prea bine re-alizat, el reprezentând doar o primă încercare de acomodare cu acest sistem depreparare a documentului. Şi îmi cer iertare şi pentru lipsa de coeziune a aces-tui document; au fost incluse teoreme, definiţii, corolare, exerciţii dintre celemai diverse, astfel încât să pot exersa tehnoredactarea. Aşadar, nu conţinutulacestui document a fost principala mea preocupare, ci tehnoredactarea lui.

Sursele indicate în bibliografie au fost folosite numai pentru scopul de aexersa tehnoredactarea.

Acest document a fost creat folosind sistemul de tehnoredactareMiKTEX (cumediul integrat de editare, tehnoredactare şi previzualizare TEXworks). Siste-mul MiKTEX este disponibil la adresa web: http://miktex.org/.

Apreciez orice fel de feedback referitor la acest document. Vă mulţumescpentru răbdare.

2 Analiză - câteva lucruri despre derivare şi integrareTeorema 2.1 (Teorema de derivare a funcţiilor compuse). [1] I şi J intervale dinR şi funcţiile I u−→ J

f−→ R. Dacă u este derivabilă în punctul x0 ∈ I , f derivabilă înu(x0) = y0 ∈ J , atunci (f ◦ u) : I → R este derivabilă în x0 şi:

(f ◦ u)′(x0) = f ′(u(x0)) · u′(x0) (1)

Definiţie 2.1 (Derivata de ordinul al II-lea). [1] Funcţia f : D → R este de douăori derivabilă în x0 ∈ D′ ∩D dacă ∃ V ∈ V (x0) cu proprietatea: (f derivabilăîn orice punct al vecinătăţii V ) şi (f ′ : V → R este derivabilă în x0 ∈ V ). Senotează:

f ′′(x0) = limx→x0

x∈V ∈V (x0)

f ′(x)− f ′(x0)

x− x0(2)

Definiţie 2.2 (Funcţia integrabilă Riemann pe un interval). [2] O funcţief : [a, b] → R se numeşte integrabilă în sensul lui Riemann pe intervalul [a, b]

1

dacă ∃ un număr I ∈ R cu proprietatea: pentru ∀ şir (∆n) de diviziuni aleintervalului [a, b], cu

∆n = (x(n)0 , x

(n)1 , x

(n)2 , . . . , x

(n)kn−1, x

(n)kn

) (3)

culimn→∞

‖∆n‖ = 0 (4)

şi orice şir de puncte intermediare (ξ(n)), cu

ξ(n) = (ξ(n)1 , ξ

(n)2 , ξ

(n)3 , . . . , ξ

(n)kn−1, ξ

(n)kn

) (5)

cux

(n)i−1 ≤ ξ

(n)i ≤ x(n)

i (6)pentru 1 ≤ i ≤ kn, n ∈ N, şirul de sume integrale corespunzător este convergentcătre I când n→∞.

Se numeşte suma Riemann sau suma integrală asociată funcţiei f , diviziunii∆n şi sistemului de puncte intermediare ξ(n) numărul real:

σ∆n(f, ξ(n)) =

kn∑i=1

f(ξ(n)i ) · (x(n)

i − x(n)i−1) (7)

Numărul I se va numi integrala definită a funcţiei f pe intervalul [a, b] şi seva nota astfel:

INot.=

∫ b

a

f(x) dx (8)

Teorema 2.2 (Teorema fundamentală a calculului integral). [3](1) Teorema de existenţă a primitivelor funcţiilor continue. Fie f : [a, b] → R con-

tinuă. Atunci funcţia F : [a, b] → R, F (x) =∫ xaf(t) dt, x ∈ [a, b], respectă

proprietăţile:

(i) F continuă pe [a, b], F (a) = 0;(ii) F derivabilă pe [a, b], F ′(x) = f(x),∀x ∈ [a, b];

Aşadar, F este o primitivă a funcţiei f şi F se anulează în a.

(2) Formula Leibniz-Newton:∫ baf(t) dt = G(a)−G(b), unde G este o primitivă

oarecare a funcţiei f .

(3) Legătura între integrare şi derivare:(∫ x

a

f(t) dt

)′= f(x) (9)

Teorema 2.3 (Formula lui Euler). [4] Pentru ∀x ∈ R, are loc următoarea relaţie:

eix = cosx+ i sinx (10)

unde e este baza logaritmului natural (e ≈ 2.71828), i este numărul imaginar unitate,iar sinx şi cosx sunt funcţiile trigonometrice sinus şi cosinus cu argumentul x dat înradiani.

2

2.1 Funcţii “cu ramuri”Un exemplu de astfel de funcţie, “cu ramuri”, este funcţia “semn” (sau “sig-num”). Aceasta se numeşte astfel pentru că întoarce semnul numărului primitca argument. Fie sgn : R→ {−1, 0, 1} cu:

sgn(x) =

−1 dacă x < 0,

0 dacă x = 0,

1 dacă x > 0.

(11)

2.2 Exerciţii (amuzante)1. Să se calculeze următoarele integrale definite:∫ π

e

x5 + x3 + x2 + 6x+ 3

x3 + x2 + 1dx (12)

∫ +∞

−∞ex dx (13)

2. Să se calculeze următoarea integrală nedefinită:∫eπ

5√2i

· x± 1 dx (14)

3. Cugetaţi la următoarea ecuaţie (care este adevărată):

1 = 0.9999999999999999999999999999 . . . (15)

3 AlgebrăTeorema 3.1 (Teorema fundamentală a algebrei — Gauss - D’Alembert). [2] Oecuaţie algebrică de grad cel puţin 1 cu coeficienţi complecşi admite cel puţin o soluţiecomplexă.

Corolar 3.1. [2] O ecuaţie algebrică de gradul n ∈ N∗ cu coeficienţi complecşi areexact n soluţii complexe.

Teorema 3.2 (Teorema fundamentală a grupurilor ciclice). Orice subgrup al unuigrup ciclic este ciclic. Pentru un grup ciclic finit de ordin n, ordinul fiecărui subgrupeste un divizor al lui n şi există câte un subgrup şi numai unul pentru fiecare divizor.

3

3.1 Matricea unitateMatricea unitate (i.e., matricea care acţionează ca element neutru pentru înmul-ţire) în inelul (Mn,+, ·) este:

In =

1 0 0 . . .0 1 0 . . .0 0 1 . . ....

......

. . .

(16)

3.2 Un determinantDeterminantul de ordinul al 2-lea se calculează astfel:∣∣∣∣x11 x12

x21 x22

∣∣∣∣ = x11 · x22 − x12 · x21 (17)

Adică, în cuvinte: (produsul elementelor de pe diagonala principală a matri-cei de ordinul al 2-lea) minus (produsul elementelor de pe diagonala secun-dară); a nu se generaliza această medotă de calcul şi la cazurile matricelor deordine ≥ 2.

3.3 Exerciţii1. Să se stabilească dacă următoarea lege este asociativă:

a⊕ b = a · b+ a� b+ a⊗ b+ 1024 (18)

undea� b = a · b · ab (19)

şia⊗ b = a� {[a · (b+ a)] · b} (20)

4 AritmeticăTeorema 4.1 (Teorema fundamentală a aritmeticii sauTeorema factorizării unice).Oricare n ∈ N cu n ≥ 2 se descompune în factori primi în mod unic (exceptând ordineafactorilor în descompunere).

Exemplu: Descompunerea (unică a) lui 4200 în factori primi va fi:

4200 = 23 · 3 · 52 · 7 (21)

4

5 GeometrieTeorema 5.1 (Teorema fundamentală a asemănării). O paralelă dusă la una dintrelaturile unui triunghi oarecare formează cu celelalte două laturi sau cu prelungirile lorun triunghi asemenea cu triunghiul dat.

Definiţie 5.1 (Poliedru). Un poliedru (de la cuvintele greceşti: “poly”=multeşi “hedron”=bază) este o formă tridimensională formată din feţe (în engleză:“faces”) poligonale plane, care se întâlnesc în muchii (în engleză: “edges”).Muchiile se întâlnesc în vârfuri (în engleză: “vertices”, cu singularul “vertex”).Exemple de poliedre: cubul, tetraedrul, paralelipipedul, dodecahedronul etc.

Definiţie 5.2 (Poliedru convex). Spunem că un poliedru este convex dacă seg-mentul care uneşte oricare două puncte ale poliedrului este inclus complet îninteriorul poliedrului.

Teorema 5.2 (Formula sau teorema lui Euler pentru poliedre). Caracteristica Eu-ler a suprafeţei unui poliedru convex este:

χ = V − E + F = 2 (22)

unde V =numărul de vârfuri, E=numărul de muchii şi F=numărul de feţe.

6 TrigonometrieTeorema 6.1 (Teorema fundamentală a trigonometriei sau forma trigonometricăa Teoremei lui Pitagora). Dacă x este măsura unui unghi, x ∈ R, atunci:

sin2 x+ cos2 x = 1 (23)

6.1 Tabelul valorilor funcţiilor trigonometrice pentruunghiuriremarcabile

x 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sinx 0 12

√2

2

√3

2 1

cosx 1√

32

√2

212 0

tanx 0√

33 1

√3 —

cotx —√

3 1√

33 0

Bibliografie[1] Burtea, Marius şi Burtea, Georgeta, Matematică - Manual pentru clasa a

XI-a M1, Editura Carminis Educaţional, Piteşti, 2006, ISBN (10) 973-7826-67-1, ISBN (13) 978-973-7826-67-1.

5

[2] Burtea, Marius şi Burtea, Georgeta, Matematică - Manual pentru clasa a XII-aM1, Editura Carminis Educaţional, Piteşti, 2007, ISBN 978-973-123-018-4.

[3] Ganga, Mircea, Matematică - Manual pentru clasa a XII-a Profil M1 - Elementede analiză matematică, Editura Mathpress, Ploieşti, 2007, ISBN 978-973-8222-26-7.

[4] Wikipedia, http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

6