Modelul Sharpe

Continuatorul ideilor economice ale lui Markowitz a fost W. Sharpe cel care în analiza financiară a pieţei de capital a plecat de la premisa necesităţii stabilirii unei legături între evoluţia rentabilităţii titlurilor ce compun un portofoliu şi un factor macroeconomic acceptat.

El a observat un fenomen practic, pe care l-a modelat teoretic şi anume că rentabilitatea investirii capitalurilor proprii depinde în principal de doi factori: diferenţele obiective din nivelul primei de risc care sunt caracteristice capitalului investit pe pieţele financiare şi diferenţele dintre corporaţiile şi insituţiile financiare care investesc pe piaţă.

Utilizând metoda lui Markowitz aplicată pe un portofoliu de titluri Sharpe a elaborat un concept teoretic prin care a demonstrat că deţinătorul de capital poate gestiona gradul de risc din cadrul portofoliului, ţinând cont de maximizarea relaţiei rentabilitate-risc.

Sharpe a dovedit pe bază de calcul că investitorul care tinde spre maximizarea rentabilităţii, cu un risc minim, îşi va constitui un portofoliu orientat spre rentabilitatea scontată.

Sharpe a segmentat riscul caracteristic titlurilor financiare în două subcategorii exprimând riscul total ca fiind alcătuit din riscul sistematic şi riscul specific. În acest fel el a stabilit că prin diversificare în cadrul portofoliului se poate reduce până la eliminare riscul specific dar riscul sistematic depinde de factori macroeconomici şi nu poate fi influenţat de alegerile investitorului individual.

Într-o formulare generală Sharpe a introdus în calculul rentabilităţii unui titlu noţiunea de volatilitate care prezintă legătura existentă între evoluţia rentabilităţii unui titlu şi evoluţia rentabilităţii unui factor macroeconomic considerat de obicei renabilitatea medie a pieţei.

Spre deosebire de modelul Markowitz în care se stabileau legături între titluri, ele fiind grupate două câte două, modelul Sharpe stabileşte necesitatea unei legături existente între titlu şi un factor macroeconomic. Volatilitatea ca expresie a riscului titluri prezintă tocmai sensibilitatea rentabilităţii titlului la evoluţiile pieţei de capital. De asemenea segmentarea riscului în risc sitematic şi risc specific permite spre deosebire de modelul Markowitz o identificare a riscului ce poate fi eliminat prin diversificare.

modelul Sharpe stabileşte necesitatea unei legături existente între titlu şi un factor macroeconomic. Volatilitatea ca expresie a riscului titluri prezintă tocmai sensibilitatea rentabilităţii titlului la evoluţiile pieţei de capital. De asemenea segmentarea riscului în risc sitematic şi risc specific permite spre deosebire de modelul Markowitz o identificare a riscului ce poate fi eliminat prin diversificare.

Markowitz sugerează că procesul selecţiei portofoliului ar trebui să fie abordat prin prisma estimărilor prealabile ale performanţelor viitoare ale titlurilor.

Analiza acestor estimări pentru a determina o grupă de portofolii eficiente şi selecţia din această mulţime a portofoliilor ce corespund preferinţelor investitorilor constituie sensul teoriei lui Markowitz.

Modelul lui Sharpe porneşte de la teoria lui Markowitz urmărind să simplifice modalitatea de slecţie a titlurilor în portofoliu.

Problema analizei de portofoliu1

Pentru analiza titlurilor financiare avem nevoie de următoarele date:- valoarea aşteptată a rentabilităţii „i”- covarianţa dintre „i” şi „j”

Problema analizei de portofoliu constă în a determina setul de portofolii eficiente; un portofoliu este eficient dacă:

a) nici un altul nu oferă o rentabilitate mai mare la un anumit risc asumatb) dacă are cel mai mic risc pentru o anumită rentabilitate.Un portofoliu este descris de proporţiile investite în diferite titluri de

proprietate – notate cu . Pentru fiecare grupă de valori admisibile ale variabilelor lui există o combinaţie între E şi V deci există o valoare a lui .

.În modelul Sharpe spre deosebire de modelul Markowitz sunt admise şi ponderile negative, adică împrumutul la rata dobânzii fără risc pentru obţinerea fondurilor necesare activelor riscante cu rentabilităţi mari.Acest model introduce ca şi coeficient pentru a măsura corelaţia dintre rentabilitate şi riscul titlului şi cea a factorului macroeconomic considerat, indicatorul de volatilitate.

Problema analizei de portofoliu2

Pentru analiza titlurilor financiare avem nevoie de următoarele date:- valoarea aşteptată a rentabilităţii „i”- covarianţa dintre „i” şi „j”

Problema analizei de portofoliu constă în a determina setul de portofolii eficiente; un portofoliu este eficient dacă:

c) nici un altul nu oferă o rentabilitate mai mare la un anumit risc asumatd) dacă are cel mai mic risc pentru o anumită rentabilitate.

1 Sharpe W. – A Simplified Model of Portofolio Analysis, Management Science, January, 19632 Sharpe W. – A Simplified Model of Portofolio Analysis, Management Science, January, 1963

V

Ф3

Ф2

Ф1

E

combinaţiile posibile de portofoliu

2

3C

Un portofoliu este descris de proporţiile investite în diferite titluri de proprietate – notate cu . Pentru fiecare grupă de valori admisibile ale variabilelor lui există o combinaţie între E şi V deci există o valoare a lui .

Fig. 5. Combinaţiile de titluri financiare necesare pentru obţinerea unui portofoliu eficient

Figura de mai sus ilustrează relaţia ce există pentru diferite valori ale lui . Linia ne arată combinaţiile între E şi V unde şi . Celelalte linii se referă la valori mai mari ale lui deoarece . Din toate portofoliile doar unul va maximiza valoarea lui în cazul nostru portofoliul C.

Combinaţiile posibile vor fi limitate la mulţimea combinaţiilor obţinute, mai mult funcţia obiectiv va fi tangentă la această mulţime în punctul C această funcţie fiind de forma:

(relaţia 20)panta liniei trebuie să fie deci prin variaţia lui de la la 0 se poate

obţine fiecare soluţie a problemei.Pentru orice valoare dată problema descrisă mai sus cere maximizarea

funcţiei quadratică (o funcţie cu termeni ). Subiectul unei constrângeri

liniare cu variabile ce nu pot lua valori negative.

Un număr de tehnici încearcă rezolvarea problemei de programare quadrică. Metoda liniei critice dezvoltată de Markowitz împreună cu teoria sa despre portofoliu sunt cele mai potrivite pentru acest lucru.

2.5.1. Comentariul lui Sharpe asupra metodei liniei critice3

Două caracteristici ale setului de portofolii eficiente fac soluţiile sistematice ale portofoliului relativ simplu.

3 Sharpe W. – A simplified model for portfolio analysis, Management Science, Javier, 1963

V

Ф3

Ф2

Ф1

E

combinaţiile posibile de portofoliu

2

3C

Prima caracteristică o constituie relaţiile între portofoliile eficiente. Orice set de portofolii eficiente poate fi reprezentat cu ajutorul unor seturi mai mici ale limitelor de portofoliu.

Următoarea caracteristică prevede relaţiile între portofoliile limită. Două portofolii limită care sunt adiacente pe curbele E şi V sunt prezentate în următoarele maniere:

- un portofoliu va conţine toate titlurile financiare ce apar în celălalt plus alte titluri adiţionale ori toate titlurile cu excepţia unuia ce apare în celălalt.

Deci, dacă coborâm curbele E şi V dela un portofoliu limită la altul, proporţiile titlurilor în portofoliul eficient vor varia până când un titlu iese din portofoliu fiind înlocuit cu altul.

Etapele importante ale metodei liniei critice folosite pentru rezolvarea problemei analizei de portofoliu sunt:

1. Portofoliul limita cu este determinat. Este alcătuit în întregime din titluri care determină cele mai mari rentabilităţi.

2. Relaţiile dintre cantităţile de titluri incluse în portofoliul eficient şi valoarea lui sunt luate în considerare.

3. Folosind relaţiile de la punctul 2 fiecare titlu este examinat pentru a determina valoarea lui , valoare care la o schimbare a titlurilor din portofoliu va genera:

a) titlurile prezente în portofliu sunt examinate pentru a determina valoarea lui valoarea la care titlurile ar trebui să fie eliminate din portofoliu.

b) titlurile care nu sunt în portofoliu sunt examinate pentru a determina valoarea lui la care ar trebui să intre în portofoliu.

2. Valorile lui sunt determinate atât pentru intrarea în portofoliu cât şi pentru ieşire. Acest lucru indică locaţia următorului portofoliu optim.

3. Structura noului portofliu limită este calculată folosind relaţiile obţinute în etapa a doua. Întoarcerea la etapa a doua este posibilă numai dacă

; în acest caz analiza este completă.Cantitatea necesară pentru a completa analiza de portofoliu se calculează

folosind această metodă şi este în concordanţă cu următorii factori:1. Numărul de titluri analizate. Acest lucru va afecta calculele din etapa a

doua şi într-o oarecare măsură şi pe cele din etapa a treia.2. Numărul portofoliilor limită. Etapele de la 2 la 5 trebuie repetate de

fiecare dată pentru a găsi fiecare portofoliu limită.Complexitatea matricei varianţă-covarianţă. Etapa a doua cere ca matricea

să fie inversabilă şi acest lucru se repetă pentru fiecare portofoliu limită. În cazul

standard dacă N titluri vor fi analizate matricea va avea