UNIVERSITATEA TRANSILVANIA DIN BRASOVMASTER IN INGINERIE VIRTUALA SI PROIECTARE AVANSATA

SISTEME MULTI-CORP

Student: Dragos PuscaciuInginerie Virtuala si Proiectare Avansata1946

2014 – 2015

MODELUL MULTI-PUNCT(Multi-Particle System - MPS)

În contrast cu toate celelalte modele descrise pâna acum, mecanismul modelat ca un sistem multi-punct (MPS) consta într-un set de puncte materiale între care sunt definite restrictii relative. Aceasta reprezentare a mecanismului este radical diferita de modelul MBS (inclusiv de cel cu coordonate naturale), în primul rând prin înlocuirea notiunii de corp solid cu cea de punct material. Pentru aceasta, fiecare corp este înlocuit printr-un set echivalent de puncte materiale supuse la restrictii de distanta constanta, astfel încât modelul mecanismului nu mai include explicit notiunea de solid. În acest fel, miscarea sistemului este complet descrisa de miscarea echivalenta a sistemului de puncte materiale înlocuitoare. Drept consecinta, apare o serie de importante simplificari ale modelului:

• Pentru urmarirea miscarii nu mai este necesara definirea de repere BRF asociate;

• Miscarea de rotatie nu mai are relevanta (punctele materiale au momentele masice nule).

• Matricea maselor (care nu mai include momente masice) si vectorul fortelor generalizate sunt calculate pentru întregul sistem de puncte materiale.

În esenta modelul MPS al mecanismului se bazeaza pe un model multi-punct al rigidului si un model cu contacte punctiforme pentru fiecare tip de cupla cinematica.

Modelul rigidului consta într-un set de puncte materiale separate prin distante constante. Fiecare punct material este asociat cu o masa concentrata, în conformitate cu principiile de echivalenta inertiala utilizate în mod curent în cadrul metodei concentrarii maselor. În spatiul 3D, pentru un rigid sunt necesare minim 4 puncte materiale (fig. de mai jos), între care exista 6 distante constante. Cele 4 puncte sunt date prin 3x4=12 coordonate generalizate, între care exista 6 relatii algebrice de distanta:

In anumite situatii constructive particulare este posibil însa ca un corp sa fie definit chiar si cu mai putine puncte materiale (cazul discurilor subtiri în spatiul 3D care se pot reprezenta si prin 3 puncte, sau al barelor subtiri în plan ce se pot reprezenta si numai prin 2 puncte materiale).

Modelul cuplei

cinematice se bazeaza pe faptul ca în spatiul 3D un punct material are 3 grade de libertate si prin urmare maximum 3 tipuri de restrictii pot fi impuse:

1) Coincidenta cu un alt punct -> f = 0, r = 3

2) Contactul cu o curba 3D -> f = 1,r = 2

3) Contactul cu o suprafata 3D -> f = 2,r = 1

Modelul cuplei este definit ca o combinatie a acestor restrictii între punctele materiale ce corespund corpurilor adiacente. Modelul contactului punctiform permite definirea practic a oricarui tip de cupla. Cu modelele cuplelor uzuale intalnite la mecanismele articulate definite pentru entitatile mecanismului, mobilitatea se poate calcula cu relatia:

p – numarul punctelor materiale care compun modelul

S – dimensiunea spatiului (S=3 pentru spatiul 3D si S=2 pentru spatiul 2D)

ri – numarul total al restrictiilor

Vectorul coordonatelor generalizate contine coordonatele tuturor punctelor materiale ale modelului si are expresia:

[q] = [x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 … xp yp zp]T

Vectorul [q] înmagazineaza toate informatiile privind pozitia instantanee a mecanismului si se poate determina prin rezolvarea numerica a sistemului de ecuatii de restrictii geometrico-cinematice. În cazul analizei cinematice, acesta contine M + ri ecuatii algebrice, în care M este numarul miscarilor conducatoare.

Prin derivarea succesiva a ecuatiilor de restrictie, modelul cinematic se

conpleteaza într-o maniera relativ simpla cu ecuatiile de viteze si acceleratii, capatând în final forma din prima figura.

Pentru modelul dinamic, ecuatiile se scriu în forma condensata la fel ca pentru modelul MBS, în care însa matricele au expresii mult mai simple. Astfel, matricea maselor este:

m = diag[m1 m1 m1 m2 m2 m2 ... mp mp mp]

Cei ri multiplicatori ai lui Lagrange reprezinta forte de reactiune (nu momente) din cuplele cinematice, precum si eforturile interne dintre punctele materiale ale rigidului.

Pentru analiza dinamica, trebuie avut în vedere ca asupra punctelor materiale actioneaza forte exterioare, reactiuni, precum si forte de inertie. Pentru a putea fi luate în considerare, cuplurile exterioare trebuie descompuse în cupluri de forte echivalente. În acest scop, la modelarea corpurilor trebuie avut în vederea alegerea punctelor materiale astfel încât sa poata fi modelate si cuplurile de forte.

Definirea clara a modelului mecanic al mecanismelor permite formularea unui model matematic coerent de analiza, începând cu relatiile de calcul al mobilitatii si terminând cu sistemele de ecuatii diferential algebrice ale modelului dinamic.

Modele prezentate conduc la formulari matematice diferite care, în functie de tipul mecanismului si scopul aplicatiei, sunt mai mult sau mai putin avantajoase.

1) Modelul lantului cinematic conduce la cel mai redus numar de ecuatii, în contrast cu modelul MPS propus, care se exprima prin cel mai mare numar de ecuatii. Numarul ecuatiilor este important din punctul de vedere al eficientei de calcul (timp de rulare), si este de presupus ca modelul MPS este mai lent, deci mai putin potrivit pentru aplicatiile care vizeaza simularea în timp real.

2) Modelul lantului cinematic conduce la relatii deosebit de complexe, din acest motiv este utilizat, în general, în programe de calcul simbolic, care furnizeaza la iesire ecuatiile cinematico-dinamice sub forma simbolica. Rezolvarea în sine a acestora presupune parcurgerea unei etape numerice suplimentare prin utilizarea unui program specializat. Acest model este deosebit de avantajos în cazul mecanismelor cu miscari conducatoare controlate (sistemele mecatronice), datorita accesului la variabilele cuplelor chiar prin intermediul coordonatelor generalizate ale modelului. Un dezavantaj major al acestui model însa este dificultatea de a integra deformabilitatea corpurilor, în cazul sistemelor flexibile.

3) Modelul MBS este foarte potrivit pentru implementarea numerica, motiv pentru care sta la baza tuturor pachetelor comerciale de pe piata. În plus, se preteaza la includerea unor modele deformabile pentru corpuri, prin discretizarea corpurilor prin metoda elementului finit.

4) Modelul MPS utilizeaza un set de coordonate generalizate mai extins, ceea ce conduce la un numar mai mare de ecuatii. Din punctul de vedere al eficientei de calcul, acesta este un dezavantaj. În schimb, d.p.d.v. al potentialului de modelare, cresterea gradului de discretizare a mecanismului ofera un potential ridicat de modelare a unor fenomene neliniare, cum ar fi în primul rând deformabilitatea corpurilor.

5) Modelul MPS aduce numeroase simplificari, dintre care cele mai importante sunt:

a) Reprezentarea fortelor si a proprietatilor masice este simplificata considerabil.

b) “Particle methods are numerical tools which combine robustness and accuracy for the simulation of advection - dominated phenomena. They consist in tracking advected quantities with local mollified velocity. This velocity field can for instance be computed on a grid, leading to the so-called Particle-In-Cell (PIC) methods.

When dealing with the 3D incompressible Navier–Stokes equations, it is economical to use this strategy as it allows to use grid - based Poisson solvers which are faster than summation formulas.

A typical PIC code consists in pushing particles, interpolate fields on a grid, use centered formulas to differentiate on the grid all quantities that are not directly related tothe transport, and finally interpolate back to particles these quantities. Frequent regriding with a cubic spline interpoltion kernel allows to maintain the regularity of the particle distribution which is crucial for accuracy.”