metoda markowitz

7/29/2019 Metoda Markowitz

1/14

ILOTA DIANA BRINDUSAPIETE FINANCIARE SI BURSE DE VALORIMODUL II

MODELUL MARKOWITZ

Teritoriu aflat prin excelen sub imperiul pragmatismul, domeniul pieelor financiare anceput s-i dezvolte i o redutabil latur teoretic. Chiar dac evidena legturii nemijlocite

dintre teorIe i practic mai este nc pus la ndoial, nu trebuie uitat c tiina financiara moderna

este fundamentat pe domeniul pieelor financiare.

Aceast latur a finanelor poate demonstra oricnd i caracterul su practic (i dezvoltarea

exploziv a burselor de valordemonstreaz acest lucru), dar i pe cel teoretic, fr ca aceste

domenii s poat fi delimitate cu precizie. n fapt, punerile de acord n privina unor probleme

marginale(care dau consisten tiinelor clasice) apar ca inutile n cazul pieelor financiare, iardivergenele ncep nc de la stabilirea domeniului de studiu. Astfel, coala anglo-saxson (i, n

primul rnd, cea american) desemneaz prin pia financiar totalitatea tranzaciilor cu

instrumente monetare (paia monetar) i cu titluri pe termen lung (paia de capital). Dimpotriv,

coala din restul Europei (i, n primul rnd, cea francez) definete prin termenul de pia

financiar: piaa valorlor imoobiliare, reprezentnd, alturi de piaa creditului i piaa monetar, o

component a pieei capitalurilor.

Aadar, piata de capital reprezinta o piata specializata unde se intalnesc si se regleaza inmod liber cererea si oferta de active financiare pe termen mediu si lung. Concret, este vorba despre

o piata pe care se tranzactioneaza in mod liber valori mobiliare (actiuni, obligatiuni), piata ce are

drept rol principal mobilizarea capitalurilor persoanelor (fizice/juridice) care economisesc

(cumparatorii de actiuni si obligatiuni) si care urmaresc plasarea profitabila a acestor capitaluri;

1


2/14


aceste fonduri sunt atrase de catre emitentii de actiuni/obligatiuni, ce sunt in cautare de capital in

vederea finantarii unor proiecte de investitii.

Desigur, piata de capital prezinta interes si din alte puncte de vedere, permitand preluareacontrolului asupra unor societati prin achizitii semnificative de actiuni sau obtinerea unor castiguri

pe termen scurt prin specularea modificarilor de curs ale valorilor mobiliare.In functie de

momentul in care se realizeaza tranzactia, piata de capital se imparte in doua segmente:

- Piata primara. Este piata pe care emisiunile noi de valori mobiliare sunt negociate pentru

prima data. Concret, este vorba de procesul prin care intermediarii financiari, care de regula fac

legatura intre societatea emitenta si investitori, se obliga sa plaseze valorile mobiliare nou emise in

schimbul unui comision;- Piata secundara. Odata puse in circulatie valorile mobiliare pe piata primara, acestea fac

obiectul tranzactiilor pe piata secundara. Functionarea efectiva a pietei secundare se realizeaza prin

intermediul pietelor de negocieri sau organizate: este in principal vorba de bursa de valori si de

piata extrabursiera (sau piata OTC - Over the Counter Market).

Diferenta dintre cele doua forme organizate ale pietei de capital (bursa si piata OTC) consta

in existenta unor conditii si criterii de eficienta economico-financiara, de informare a investitorilor,

referitoare la numarul de actiuni puse in circulatie, etc pentru accesul la bursa, conferind societatiicotate pe aceasta piata garantii superioare pentru investitori. De asemenea exista diferente intre

modul de functionare si organizare a celor doua piete - bursa de valori este o piata de licitatie in

timp ce piata Rasdaq este o piata de negociere.

Pieele dezvoltate de capital au dou caracteristici importante: divizibilitate (atomicitate) i

lichiditate. Divizibilitatea semnific c activele sunt reprezentate de un mare numr de aciuni care

pot fi cumprate pentru sume diferite. n consecin un activ poate fi deinut n proporii diferite de

un anumit numr de investitori i invers un investitor poate repartiza banii si n mai multe tipuri

de aciuni. Lichiditatea semnific faptul c un investitor poate imediat, fr costuri prea mari, de a

schimba anumite aciuni cu altele. Aceasta implic faptul c orice investitor poate s-i constituie,

n orice moment, portofoliul dup cum i convine n acel moment, foarte repede i fr costuri prea

mari. El va avea posibilitatea de a-i arbitra poziiile dup cum dorete.

2


3/14


In aceste condiii interesul fiecarui investitor este de a obine informatii cu privire la

aciunile diverselor societi cotate pe pia. Aceste informaii vor permite investitorilor evaluarea

perspectivelor fiecrei oportuniti de investire i investirea n portofoliul care prezint cele mai

bune perspective. Sursele prin care investitorii pot obtine informaiile sunt conturile de exploatare,

bilanurile societilor, cursurile i volumele tranzaciilor, publicaiile specializate si jurnalele

financiare, care evalueaz i interpreteaz noutile financiare, precum si instituiile financiare care

apreciaz perspectivele societilor cotate.

Aceste canale de informaii sunt eficiente n msura n care informaia se rspndete rapid

i unde fiecare nou informaie devine repede public.

Pentru c aciunile sunt divizibile i lichide, investitorii sunt n msura de a se adapta rapid

schimbrilor de percepie privind valoarea unei societi. Aceste noi informaii vor duce la

cumprri i vnzri care vor afecta cursul pn cnd acesta va corespunde noii valori a societii.

Astfel, informaia va fi repede asimilat n noul curs al titlului. De exemplu, dac toti investitorii

sunt siguri c cursul unui titlu va crete mine cu 5%, ei l vor cumpra pn cnd aceast speran

de ctig de 5% va fi reflectat n cursul de astzi. Din aceast cauz variaia ateptat de 5% de

mine va fi redus la 0. Pornind de la aceast logic cursul de astzi devine o estimaie nedeplasat

a cursului de mine.

In aceste condiii va fi foarte greu pentru un investitor individual de a gsi o aciune care nu

este corect evaluat. Datorit acestui fapt se poate formula ipoteza conform creia pieele de capital

sunt piee eficiente. Principiul de eficien a pieelor de capital semnific faptul c cursul de

astzi constituie o bun aproximare a cursului de mine. Un astfel de proces este un proces de

martingale. Conform acestuia toate informaiile necesare previziunii cursurilor viitoare sunt deja

reflectate n cursul actual. Un caz special de martingale este procesul bine cunoscut de drumurialeatoare, care necesit ipoteza suplimentar de independen a distribuiile variaiilor de curs.

Termenul de drum aleator este adesea ru interpretat. Astfel, unii consider c variaiile de

curs se vor datora ntmplrii i nu vor avea nici o raiune cauzal. Ipoteza de pia eficient nu are

n vedere o astfel de interpretare. Cursul variaz pentru c caracteristicile i perspectivele unei

societi n economie se schimb i datorit faptului c evaluarea de investitor ale acestor

3


4/14


caracteristici i perspective se modific. n ali termeni, cunotinele unui investitor se modific

odat cu apariia continu de noi informaii i revizuirea impactului vechilor informaii. Adic, n

orice moment variaia cursului n perioada urmtoare este aleatoare, fiind dat de naturainformaiilor disponibile.

Rezumnd, n ipoteza de piee eficiente, toate informaiile disponibile, de la un anumit

moment, sunt incluse n curs. Cursul din orice moment este o estimaie nedeplasat a cursurilor din

perioada viitoare. Pe o astfel de pia nici un investitor nu poate spera de a avea, de o manier

repetat, informaii care s nu fie deja actualizate de ctre ceilali investitori n cursuri. n

consecin, nici un investitor nu poate realiza rate de rentabilitate anormale i de o manier

sistematic. Nivelul ratei de rentabilitate, la care un investitor poate spera, este n funcie de risculasumat de acel investitor. Aceast remarc este foarte important i reprezint una din elementele

de baz a Modelului de Echilibru a Activelor Financiare.

Conceptul de pia eficient informaional are o serie de implicaii extreme n practica

gestiunii portofoliilor: singurii investitorii care dispun de informaii privilegiate vor avea

posibilitatea de a obine ctiguri anormale .

n cadrul teoriei optimizrii unui portofoliu de aciuni, dup criteriul rentabilitate-risc, prin

metoda lui Markowitz, se definete noiunea de portofoliu eficient ca fiind acel portofoliu carepentru o rentabilitate sperat, (o rentabilitate aprioric impus) prezint riscul cel mai mic sau:

portofoliu eficient este acel portofoliu care, pentru un risc minim asumat, prezint cea mai mare

rentabilitate. Criteriul Rentabilitate-Risc pentru alegerea unui portofoliu eficient, implic att

diversificarea titlurilor ct i modul corect de diversificare.

ntr-un comportament raional, agenii economici fac anticipri pertinente asupra performanelor

proiectelor lor de investiii n active financiare. n consecin, ei estimeaz fluxurile viitoare de

trezorerie (cash flow-urile) si rata de actualizare a lor n raport cu toate informaiile interne si

externe disponibile. Evoluia previzibil a tuturor acestor performane a investiiei proiectate este

deci luat n calculul cash flow-urilor viitoare i a ratei de actualizare a lor. Imperfeciunile oricrui

proces de anticipaie, pe de o parte i modificri neateptate n evoluia fenomenelor economice, pe

de alt parte, fac posibil existena unor abateri ale fenomenelor reale faa de mrimea lor

anticipat, performana proiectelor de investiii devine astfel mai mult sau mai puin aleatoare.

4


5/14


Rentabilitatea proiectelor de investiii n cumprarea de valori mobiliare comport un risc,

respectiv o abatere fa de mrimea estimat a acesteia.

Cumprarea unei valori mobiliare (aciune, obligaiune, certificat de depozit etc.) reprezintun act de investire de capital, de fapt este vorba de un transfer de capital catre un antreprenor, o

firm, de la care se ateapt o rentabilitate corespunzatoare riscului asumat prin aceast investire de

capital propriu.

Rata de rentabilitate a unui activ financiar este data de :

- renumerarea pe care emitentul o poate asigura investitorului de capital;

- cresterea realtiva, in timp, a valorii activului respectiv.

Rentabilitatea calculat mai sus vizeaz intrega perioad de deinere a valorii mobiliarecumparate.

Pentru comparabilitatea ei cu rate de doband din economie este necesar anualizarea ratei

de rentabilitate. Dar, in termeni investiionali, ceea ce intereseaz este media rentabilitailor

nregistrate anterior.

Riscul unei investiii reprezint posibilitatea apariiei abaterilor de rentabilitate faa de cea

medie asteptat ca urmare a variaiei neanticipate a fenomenelor economico-financiare care o

determin, n raport cu frecvena acestor abateri i cu distribuii asimetrice, se poate anticipamrimea riscului prin determinarea abaterii mediei ptratice, care este rdcina ptrat a dispersiei.

Piaa ideal reprezint piaa pe care preurile ofer semnalul cel mai potrivit de alocare a

resurselor, o pia pe care firmele pot lua decizii de plasare a fondurilor i pot alege ntre aciuni ale

firmelor, presupunnd c aceste preuri reflect pe deplin, n orice moment, toate informaiile

disponibile.

O pia pe care preurile reflect toate informaiile disponibile este numita eficient.

In majoritatea lucrrilor de studiu al pieelor financiare se pornete de la ipoteza c

echilibrul pieei poate fi definit in termenii veniturilor anticipate, care in cazul unui titlu de valoare

se exprim in funcie de risc.

Piata financiara, asemeni celorlalte piete libere, ne ofera un pret de piata al activelor

financiare tranzactionate. Acest pret de piata se poate inregistra empiric, fie sub forma unui pret

mediu de tranzactie, fie sub forma cursului bursier.

5


6/14


Pentru un activ financiar, rentabilitatea si riscul sunt analizate ca factori determinanti ai

valorii, ca urmare valoarea de piata a unui activ financiar este rezultanta valorii timpului si a primei

de risc asumat si se poate scrie :Valoarea de piata = Valoarea timp + Prima de risc

Legea cererii si ofertei gaseste pe o piata financiara matura cele mai bune conditii pentru

determinarea pretului de echilibrului al pietei. Totusi pentru analiza unei piete financiare perfecte

sunt necesare o serie de ipoteze restrictive :

- agentii au un comportament rational si doresc maximizarea functiei de utilitate;

- exista atomicitatea pietei, ceea ce asigura lichiditatea acesteia;

Piata financiara are :- eficienta informationala,

- eficienta operationala,

- eficienta organizatorica,

si se bazeaza pe concurenta si arbitraj;

- pietele sunt contigente, ceea ce permite o repartitie optimala a resurselor in economie, o

buna diversificare a riscurilor, o buna performanta a sistemului;

- cursurile bursiere ale titlurilor urmeaza o traiectorie aleatoare, variatiile succesive alecursului fiind independente (probabilistic independente), unele fata de altele;

- piata se caracterizeaza prin simetria fata de informatie; investitorii pot sa realizeze

anticipari omogene ale preturilor, ceea ce presupune o dispersie a variatiilor de curs dupa o legea

de probabilitate gaussiana o legea normala de probabilitate ;

- agentii pot acorda si contracta imprumuturi la rata dobanziii fara risc;

- operatiile pe piata nu sunt afectate de fortele de frecare impozite sau taxe si costuri ale

informatiei

Aceste ipoteze sunt necesare pentru modelarea sistemului financiar si dau pietei perfecte un

caracter referential si trebuie precizat de la caz la caz corespondenta dintre piata perfecta si

realitatea financiara.

Din punct de vedere al eficientei se disting trei forme de eficienta a pietelor :

6


7/14


- Eficienta slaba care priveste integrarea evolutiei cursurilor trecute in anticiparile de

cursuri viitoare;

- Eficienta semiforte pe baza adaptarii preturilor la orice informatie noua disponibilapublicului, privind patrimoniul firmei, rezultatele ei financiare, dividentele, splitari, etc.;

- Eficienta forte presupune integrarea rapida in preturile de piata a tuturor informatiilor

disponibile despre activul (titlul) tranzactionat, inclusiv a informatiilor privilegiate.

n cadrul teoriei rentabilizrii unui portofoliu de aciuni, dup metoda lui MARKOWITZ, se

definete noiunea de portofoliu eficient ca fiind acel portofoliu care pentru o rentabilitate sperat,

(o rentabilitate aprioric impus ) prezint riscul cel mai mic i invers: portofoliu eficient este acel

portofoliu care, pentru un risc minim asumat, prezint cea mai mare rentabilitate.Criteriul Rentabilitate-Risc, (expected returns - variance of returns), pentru alegerea unui

portofoliu eficient, implic att diversificarea titlurilor ct i modul corect de diversificare.

Markowitz a demonstrat c exist mai multe portofolii eficiente, managerului de portofoliu

revenindu-i sarcina de a lua decizia optrii pentru un anumit portofoliu, dup mai multe criterii,

printre care i aversiunea fa de risc.

Astfel un portofoliu total diversificat duce la eliminarea riscului specific al titlurilor

determinat doar de variabilitatea rezultatelor intreprinderii emitente.Ceea ce contez n determinarea riscului portofoliului este numai riscul sistematic de pia.

Dorina de distribuire a riscului este impins uneori prea departe de ctre investitor i

conduce vrnd-nevrnd la mprtierea ttitlurilor din depozit. Consecina este ngreunarea privirii

de ansamblu asupra portofoliului, cu urmarea fireasc de a nu se mai supraveghea atent, cu grij

investiiile efectuate i eficiena lor.

Trebuie evitate investiiile unilaterale, plasarea de capital ntr-o singur poziie i pe acelai

domeniu. Nu orice distribuie de portofoliu reprezint o diversificare semnificativ a riscurilor.

Mulimea portofoliilor care la un anumit risc vor avea o speran maxim de rentabilitate

formeaz formeaz mulimea portofoliilor eficiente care se situeaz pe o curb numit frontiera

eficient. Altfel spus frontiera eficient reprezint curba pe care se reprezint grafic toate

combinaiile posibile de titluri care minimizeaz riscul la o rentabilitate sperat sau invers,

maximalizeaz rentabilitatea la un risc asumat.

7


8/14


Pornind de la modelul frontirei eficiente a lui MARKOVITZ se pot lua decizii privind

gestiunea eficienta a portofoliului de valori mobiliare. Din mulimea portofoliilor situate pe

frontiera eficient vor fi alese acele portofolii care rspund cel mai bine preferinelor specificefiecrui investitor dup criterii de rentabilitate i risc.

n raport cu aversiunea sau, dimpotriv, cu preferina pentru risc investitorul se va plasa

pe frontiera eficient (PVMA) i va alege rentabilitatea dorit cu risc minim posibil.

Legea cererii si ofertei gaseste pe o piata financiara matura cele mai bune conditii pentru

determinarea pretului de echilibrului al pietei. Totusi pentru analiza unei piete financiare

perfecte sunt necesare o serie de ipoteze restrictive :

- exista atomicitatea pietei, ceea ce asigura lichiditatea acesteia;- piata financiara are : eficienta informationala, eficienta operationala, eficienta

organizatorica, si se bazeaza pe concurenta si arbitraj;

- piata se caracterizeaza prin simetria fata de informatie; investitorii pot sa realizeze

anticipari omogene ale preturilor, ceea ce presupune o dispersie a variatiilor de curs dupa o lege

de probabilitate gaussiana o lege normala de probabilitate ;

- agentii pot acorda si contracta imprumuturi la rata dobanzii fara risc;

- operatiile pe piata nu sunt afectate de fortele de frecare impozite sau taxe si costuri aleinformatiei

n cadrul teoriei rentabilizrii unui portofoliu de aciuni, dup metoda lui MARKOWITZ,

se definete noiunea de portofoliu eficient ca fiind acel portofoliu care pentru o rentabilitate

sperat, prezint riscul cel mai mic . Markowitz a demonstrat c exist mai multe portofolii

eficiente, managerului de portofoliu revenindu-i sarcina de a lua decizia optrii pentru un anumit

portofoliu, dup mai multe criterii, printre care i aversiunea fa de risc.Mulimea portofoliilor

care la un anumit risc vor avea o speran maxim de rentabilitate formeaz formeaz mulimea

portofoliilor eficiente care se situeaz pe o curb numit frontiera eficient, pe care se reprezint

grafic toate combinaiile posibile de titluri care minimizeaz riscul la o rentabilitate impusa.

8


9/14


Daca in momentul, initial, de selectie a titlurilor care vor compune portofoliile, se

introduc suficiente conditii restrictive, tehnic, prin cele doua modele prezentate, se asigura o

structura optimala a portofoliilor care vor avea o evolutie temporala previzionata, la diferitenivele de incredere, cu o specificare pentru metoda Sharpe, care implica necesitatea analizei

variatiei coeficientilor de volatilitate ,pentru toate titlurile.

Studiul poate fi finalizat prin urmatoarea concluzie :

- modelele de optimizare, dupa criteriul rentabilitate-risc, modelul Markowitz si modelul

diagonal a lui Sharpe, ofera tehnici de selectie pentru portofolii optimale, cu caracteristici

statistice - ale portofoliilor selectate care sunt stationare si asigura realizarea rentabilitatii

previzionate, in acest moment find indeplinite conditiile tehnice pentru aplicarea metodelorpentru portofolii de interes, formate din tiluri cotate BVB.

APLICAIE:

Se consider titlurile cu urmtoarele preuri de achiziie (p0):

Societate Trimestrul 1 Trimestrul 2 Trimestrul 3 Trimestrul 4

BRD 23.000 26.500 26.700 37.300

SIF1 6.900 7.300 8.050 8.300

SIF2 6.900 7.950 8.750 10.400

SIF4 4.200 5.600 5.020 5.800

ALR 28.500 34.300 50.260 46.500

Dac preurile viitoare de achiziie (p1) dividendul i componena portofoliului sunt

urmtoarele:

Societate p1 Dividend (D1) Ponderi (%)

BRD 40.200 0,197 29,33

SIF1 8.500 0,480 24,00

SIF2 12.000 0,420 14,67

SIF4 6.000 0,421 17,00ALR 50.000 2,207 15,00

Sa se determine:

1. rentabilitatea

2. riscul portofoliului.

9


10/14


REZOLVARE:

1. Rentabilitatea portofoliului

Rentabilitatea timestrial a titlurilor:

,0

01

0

1

P

PP

P

DRe

+=

Societate Trimestrul 1 Trimestrul 2 Trimestrul 3 Trimestrul 4

BRD 75,640% 52,443% 51,301% 8,304%

SIF1 30,145% 23,014% 11,553% 8,193%

SIF2 80,000% 56,226% 41,943% 19,423%

SIF4 52,882% 14,662% 27,909% 10,708%

ALR 83,183% 52,207% 3,874% 12,273%

10


11/14


0,00%

20,00%40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Trimestrul

1

Trimestrul

4

BRD

SIF4

BRD

SIF1

SIF2

SIF4

ALR

Rentabilitatea medie a titlurilor:

=

=T

i

eiRT

R1

1

11


12/14


0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

Rentabilitatea

medieBRD

SIF1

SIF2

SIF4

AL

R

BRD

SIF1

SIF2

SIF4

ALR

Rentabilitatea portofoliului:

=

=n

i

iipRxR

1

*

=

p

R29,33%*46,922%+24%*18,226%+14,67%*49,398%+17%*26,54%+15%*37,884%=35,577%

2. Riscul portofoliului

12

Societate Rentabilitatea medie

BRD 46,922%

SIF1 18,226%

SIF2 49,398%

SIF4 26,540%

ALR 37,884%


13/14


Dispersia rentabilitilor ( 2 ):

( )

=T

i

iit RRT 1

22 1

Abaterea medie ptratic: ( ):

2 =

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

Dispersia

rentabilitilor

BRD

SIF1SIF2

SIF4

ALRBRD

SIF1

SIF2

SIF4

ALR

13

SocietateDispersia

rentabilitilorAbaterea medie

ptratic

BRD 5,914% 0,243

SIF1 0,775% 0,088SIF2 4,843% 0,220

SIF4 2,719% 0,165

ALR 10,174% 0,101


14/14


0

0,1

0,2

0,3

Abaterea

medie

ptratic

BRD

SIF1

SIF2

SIF4

ALRBRDSIF1

SIF2

SIF4

ALR

Corelaia dintre titluri ( ij ):

( )( ) =

=

N

i

jtiitij jRRRRN

1

*1

=ij 0,153

Riscul portofoliului:

= =

=

N

i

N

j

ijjip xx1 1

2**

=2

p 20,725%

14

metoda markowitz

Documents