merged_document.pdf

MECANICA FLUIDELOR CURS1

LECTOR DR. ELENA-RITA AVRAM

Bibliografie

Florea, J., Panaitescu, V. Mecanica fluidelor Ed. Didactic iPedagogic, Bucureti, 1979;

Ionescu, D., Matei, P., Todirescu, A., Ancua, V., Buculei, M. Mecanica fluidelor i maini hidraulice Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1983

Oprua Dan, VAIDA LIVIU, Dinamica fluidelor, Ed. Mediamira, Cluj-Napoca, 2004, ISBN 973-713-044-8, 210 pag.

Florea, J., Seteanu, I., Panaitescu, V., Zidaru, Gh. Mecanica fluidelor imaini hidropneumatice. Probleme Ed. Didactic i Pedagogic, Bucureti, 1982;

NOIUNI INTRODUCTIVE

1. Obiectul cursului. Legtura cu alte discipline

2. Aplicaii ale mecanicii fluidelor

3. Definiia fluidului. Particula fluid

4. Modele de fluid

5. Metode de studiu ale mecanicii fluidelor


Mecanica fluidelor este una din cele trei ramuri ale mecanicii, cea mai veche

dintre tiinele fundamentale ale naturii.

1. Mecanica general - studiaz legile universale ale mecanicii i aplicaiile lor

la studiul corpurilor solide rigide.

2. Mecanica solidelor deformabile - studiaz legile universale ale deformaiilor

pe care le sufer corpurile solide datorit forelor care acioneaz asupra lor.

3. Mecanica fluidelor - are ca obiect studiul fluidelor, precum i interaciunea

dintre acestea i solidele cu care vin n contact.


Mecanica fluidelor:

Statica fluidelor - studiaz repausul fluidelor i aciunile exercitate de

acestea asupra corpurilor solide cu care vin n contact.

Cinematica fluidelor - studiaz micarea fluidelor, fr a lua n considerare

forele care determin, sau modific, starea de micare.

Dinamica fluidelor - studiaz micarea fluidelor lund n considerare i

forele care determin sau modific starea de micare, precum i

transformrile energetice produse n timpul micrii.


Principalele aplicaii ale staticii fluidelor constau n:

studierea instrumentelor de msurare a presiunii fluidelor;

studierea forelor hidrostatice cu care fluidele acioneaz asupra

corpurilor solide cu care vin n contact;

studiul corpurilor plutitoare;

studiul atmosferei, considerat n repaus.


Aplicaiile dinamicii fluidelor - clasificare dup condiiile la frontierimpuse micrii. Dinamica fluidelor, extern: studiul curgerii fluidelor n jurul unorcorpuri solide, considerate izolate n interiorul fluidului.

studiul construciilor supuse aciunii vntului; fenomene aerodinamice - curgerea aerului n jurul

vehiculelor aflate n micare (trenuri, automobile, avioaneetc.);

Fenomene hidrodinamice - curgerea apei n jurul vehiculeloraflate n micare n interiorul acesteia (submarine, vehiculeamfibii etc.).

- La aceste fenomene se studiaz puterea necesar nvingeriiforelor de rezisten la naintare, iar n cazul fenomeneloraerodinamice i fora de portanta generat.


Exemplu:La deplasarea automobilului,

datorit interaciunii acestuia cu aerul, presiunea din partea frontalcrete, n timp ce presiunea din partea din spate scade.

Datorit vscozitii aerului, duptrecerea automobilului, aerului

dislocat de acesta nu este nlocuit

instantaneu ci dup o anumitperioad, astfel creandu-se o depresiune.

n acelai timp aerul estecomprimat n partea frontal undese creeaz o presiune dinamic.

e-automobile.ro


Exemplu:

Aerul, datorit densitii ivscozitii, se opune micriioricrui corp care-l ptrunde.

Cu ct forma corpului este mai

puin aerodinamic cu att fora de rezisten a aerului este mai mare.

Fora cu care se opune aeruldepinde de aria suprafeeitransversale a corpului n micare.

Cu ct volumul de aer dislocat de

corp este mai mare cu att

rezistena aerului crete.e-automobile.ro


Exemplu:

Viteza automobilului joac un rolextrem de important n ceea ce

privete fora de rezisten a aeruluila deplasarea automobilului.

Aceasta crete cu ptratul vitezei, iar puterea rezistent a aeruluidepinde de viteza automobilului

ridicat la puterea a 3-a.

Puterea consumat pentru a nvinge rezistena aerului este datde produsul forei de rezisten a aerului cu viteza automobilului:

Fora de rezisten a aerului depinde de: densitatea aerului = 1225 kg/m3

coeficientul de rezisten longitudinal a aerului, Cx

viteza automobilului, vx aria suprafeei transversale maxime, A


Dinamica fluidelor, intern: micarea fluidelor este delimitat de frontiere

solide: canalizri

nchise, conducte, ai cror perei sunt n general imobili. Se disting:

Fenomene gazodinamice

micarea gazelor n canalizri, conducte;

micarea gazelor n maini pneumatice;

Fenomene hidraulice

micarea lichidelor n canalizri, conducte;

micarea lichidelor n maini hidraulice;

Curgere printr-o conduct de seciune variabil


Se studiaz, nu numai transportul propriu-zis al fluidelor, ci n special transportul de

energie:

- hidraulic, n cazul lichidelor

- pneumatic, n cazul gazelor.

Aproape toat energia utilizat de omenire este, la un moment dat, transportat de fluide

n micare:

energia mecanic a apei, aerului comprimat sau a vaporilor;

energia termic a apei calde sau a aburului;

energia chimic a petrolului (i a derivatelor sale), sau a gazelor combustibile etc.

Excepie - energia nuclear,


Hidroforul - utilizat pentru alimentarea unor consumatori cu apa sub presiune.

pompa de apa,

rezervor metalic,

motor (in general este electric, dar poate fi si termic) pentru actionarea pompei

de apa

circuit electronic de automatizare.

Pompa de apa aspira apa dintr-un put si o trimite (sub presiune) in rezervorul

metalic, in care se gaseste un anumit volum de aer.

Prin intrarea apei in rezervorul metalic, volumul de aer existent in acesta este

comprimat, formandu-se o perna de aer sub presiune (p = 2 2,5 bar), care se

mentine atata timp cat nu se consuma apa din rezervorul metalic.

Pe masura ce se consuma apa din rezervor, presiunea din acesta scade, iar cu

ajutorul circuitului electronic de automatizare se comanda actionarea pompei de apa

de catre motor.

Optional, perna de aer din rezervor poate fi creata cu ajutorul unui compresor de aer.

2. Aplicaii ale mecanicii fluidelorTurbine eoliene

Turbinele eoliene - valorificarea energiei eoliene sau a energiei

cinetice a curentilor de aer atmosferici (sau pentru valorificarea

energiei cinetice a vantului).

Turbinele transforma energia eoliana in lucru mecanic util, care poate

fi folosit pentru antrenarea pompelor de apa, a morilor sau a

generatoarelor de curent electric.

Pentru a pune in miscare o turbina eoliana este necesara o viteza a

vantului de minimum 2,8 m/s, iar din ratiuni economice se impune ca

viteza acestuia sa aiba o valoare medie de 34 m/s. Optimul

tehnologic si economic se atinge la 12 m/s.

Turbinele eoliene de puteri medii si mari se folosesc intr-un sistem

centralizat de producere a energiei electrice, sunt instalate grupat (in

largul marilor sau oceanelor, respectiv pe uscat) si mai pot fi

denumite centrale eoliene.


Hidrocentrala

Hidrocentrala transforma energia potentiala a apei

in energie electrica.

Hidrocentralele se amplaseaza pe cursurile de apa

lac de acumulare, baraj, sisteme de aductiune a apei, turbine hidraulice generatoare de curent electric alternativ trifazat.Partea principala a unei hidrocentrale este

constituita de ansamblul format din turbina

hidraulica (sau de apa) si generatorul de curent

electric, care transforma lucrul mecanic generat de

turbina (in urma antrenarii ei in miscare de rotatie

de catre curentul de apa) in energie electrica.

Principalele tipuri de turbine hidraulice folosite in

prezent sunt turbinele Pelton, Francis si Kaplan.


Fizica distinge pentru corpurile materiale, n condiii obinuite, trei stri, numite i stri de agregare:

solid, lichid, gazoas.

Observaie: n condiii speciale exist i o a patra stare, numit plasm. Plasma este o substan gazoas, puternic sau complet ionizat, ale creiproprieti sunt determinate de existena ionilor i electronilor n stare liber.Mecanica distinge dou mari categorii de corpuri:

Solide - rigide;

- deformabile;

Fluide - lichide;

- gaze.


Dac un corp solid, n condiii obinuite, are form i volum fix, adic distanele dintrepunctele sale puncte rmn constante (sau se modific foarte puin) sub aciunea uneiforte exterioare, fluidele (lichidele i gazele) pot cpta deformaii orict de mari sub aciunea unor forte relativ mici. Acest lucru este posibil datorit forelor mici de coeziune dintre moleculele fluidelor.

Astfel:

lichidele iau forma vaselor care le conin (ca i gazele de altfel), deci nu au formproprie, dar au volum constant, Vlichide = ct deci i densitate constant lichide = ct;datorit acestui fapt lichidele se consider ca fiind fluide incompresibile;

gazele ocup ntregul volum al recipientelor ce le conin, deci nu au un volumconstant, Vgaze ct , n consecin i densitatea lor este variabil gaze ct - pot fi comprimate. Astfel, gazele se consider ca fiind fluide compresibile.

Aceste proprieti, enunate anterior, definesc fluiditatea lichidelor i gazelor, adicuurinade deplasare a particulelor din care sunt formate, de unde i denumirea generalde fluide.

3. Definiia fluidului. Particula fluidConceptul de mediu continuu

n mecanic fluidele sunt considerate i analizate ca fiind medii continue, adic ocupun spaiu n care distribuia mrimilor fizice ce le caracterizeaz (presiune, densitate, temperature etc.) este continu, cu excepia unor puncte, linii sau suprafee, numite i de discontinuitate.

Ex. de suprafa de discontinuitate: formarea undelor de oc pe aripa unui avion care zboar cu o vitez mai mic dect cea a sunetului, dar apropiat de aceasta.

Pe suprafaa undei de oc viteza particulelor de aer atinge viteza sunetului: vaer = c (celeritate). Fenomenul se numete de trecere a barierei sonice.c = 1228 km/h (341,1 m/s) la nivelul mrii ( paer = 760 mmHg ) i temperatura taer = 15 C .


Conceptul de mediu continuu

Ipoteza general a continuitii unui fluid se exprim prin faptul c n fiecare punctaparinnd fluidului P( x,y,z ), la orice moment dat t, se pot determina:

presiune p definit de funcia p = p( x,y,z,t ), densitate definit de funcia = ( x,y,z,t ), temperatur T definit de funcia T = T( x,y,z,t ), vitez v definit de funcia v = v( x,y,z,t ).

i aceste funcii sunt continue, deci derivabile.

Practic, cu ct liberul parcurs al moleculelor ce formeaz un fluid (distana medie dintredou ciocniri consecutive intre particulele mediului) este mai mic (numr ct mai mare de molecule n unitatea de volum), cu att fluidul poate fi considerat un mediu continuu.

3. Definiia fluidului. Particula fluidPentru a aprecia dac un mediu fluid poate fi considerat continuu se calculeaz numrulKnudsen, Kn (dup numele fizicianului danez Martin Knudsen, 18711949):

unde:

liberul parcurs al particulelor mediului; L o dimensiune caracteristic fenomenului studiat; P parametru caracteristic fenomenului studiat;

variaia relativ a parametrului studiat pe unitatea de lungime.

Astfel, se consider c pentru:

kn 1 mediul este considerat rarefiat; se foloete teoria cineticomolecular. kn 1 mediul mai pastreaz din caracteristicile mediului continuu, ns n anumite

regiuni propietatea se pierde (zone de discontinuitate).


Conceptul de mediu omogen

Un mediu fluid continuu este considerat i omogen dac la o temperatur i presiune, constante, densitatea sa este constant.

Conceptul de mediu izotrop

Un mediu fluid este considerat izotrop dac prezint aceleai proprieti ntoate direciile din jurul unui punct.


Definiie: Fluidul se consider ca fiind un mediu continuu, omogen i izotrop, lipsit de formproprie, n care, n stare de repaus, pe suprafeele de contact ale diferitelorparticule, se exercit numai eforturi normale.

Definiie: Particula fluid este o poriune de fluid, de form oarecare i de dimensiuni arbitrarde mici, care pstreaz caracteristicile de mediu continuu i n raport cu care se studiaz repausul sau micarea fluidului.

Limita inferioar a dimensiunilor particulei este impus de condiia neglijrii influeneimicrilor proprii ale moleculelor, sau a micrii browniene.

Aceasta trebuie s fie mai mare dect lungimea liberului parcurs molecular.Limita superioar este determinat de condiiile aplicrii calculului infinitezimal.

Observaie: Omogenitatea i izotropia unui fluid permit ca relaiile stabilite pentru o particul s fie valabile pentru ntregul fluid .

4. Modele de fluidDefiniie: Prin model de fluid se nelege o schem simplificat de fluid, acesta fiindconsiderat un mediu continuu, cruia i se atribuie principalele proprieti macroscopice(msurabile) ale fluidului real (compresibil i vscos).

Necesitatea elaborrii unor modele simplificate de studiu ale fenomenelor naturale (reale) se datoreaz complexitii micrii fluidelor. Neglijnd anumite procese secundarefenomenului real, deci simplificndu-l, devine posibil construirea unui model. Astfel, se pot acceptat modele de fluid, precum:

fluid uor: se neglijeaz greutatea proprie - valabil pentru gaze; fluid ideal: lipsit de vscozitate - se neglijeaz efectul forelor de frecare ce apar ntre

straturile de fluid modelul Euler; fluid incompresibil: modelul de fluid la care volumul unei mase determinate nu se

modific odat cu variaia presiunii - valabil pentru lichide modelul Pascal; fluid newtonian: fluide care se supun legilor mecanicii clasice, newtoniene; fluid ne-newtonian: fluide a cror comportament nu se supune legilor mecanicii

newtoniene, precum soluiile coloidale (uleiul de ungere recirculat n maini conineimpuriti n stare de suspensie), materialele plastice macromoleculare n stare lichidetc.

Comportamentul fluidelor ne-newtoniene constituie obiectul de studiu al tiinei reologiei.

5. Metode de studiu ale mecanicii fluidelor

Mecanica fluidelor folosete n cercetare att metode teoretice, ct i metode experimentale, de cele mai multe ori in strns colaborare.

Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilor i teoremelormecanicii generale la studiul repausului i micrii fluidelor. Acest lucrueste posibil prin reprezentarea fluidului ca mediu continuu.

Metodele experimentale se aplic, fie n scopul stabilirii unor legi generale ale unor fenomene, a verificrii unor concluzii teoretice, fie cametod de rezolvare direct a unor probleme complexe, ce nu pot fi soluionate pe cale teoretic.

Metodele mixte rezult prin mbinarea primelor dou.

MECANICA FLUIDELOR CURS 2


Proprieti fizice fundamentale ale fluidelor


1. Densitatea

2. Compresibilitatea izotermic

3. Vascozitatea

Proprieti specifice lichidelor

1. Adeziunea

2. Absoria i degajarea gazelor

Proprieti specifice gazelor


Densitatea (greutatea specific)Densitatea se definete ca masa unitii de volum:

unde: m este masa unui element de volum V.

Admind ipoteza continuitii, densitatea este o funcie continu de coordonatele punctului i de timp: = (x,y,z,t).

Densitatea se msoar n kg/m3 i are aceeai valoare n orice punct al fluiduluiomogen.

Inversul densitii se numete volum specific sau volum masic:

(1.1)

(1.2)


Greutatea specific este greutatea unitii de volum:

ntre densitate i greutate specific existrelaia:

Densitatea variaz funcie de presiune i de temperatur. Pentru lichide variaia n raportcu presiunea poate fi neglijat. Densitateafluidului scade odat cu creterea temperaturii.

Pentru ap densitatea maxim este n jurulvalorii de 4oC i are valoarea de1kg/m3. Variaia densitii apei funcie de temperatur este redat n figura 1.

(1.3)

Fig. 1 Variaia densitii apei n funcie de temperatur


Compresibilitatea izotermic a fluidelor este proprietatea de variaie a densitii(volumului), sub influena variaiei presiunii.Dac are loc o variaie de presiune p pentru un fluid cu volum V i presiune p, se produce o variaie relativ de volum V/V proporional cu p, dat de relaia:

unde este coeficient de compresibilitate cubica (m2/N), iar semnul minus arat cunei creteri a presiunii i corespunde o scdere a volumului.

n majoritatea fenomenelor studiate considerm lichidele ca fluide incompresibile.De exemplu apa este de 100 de ori mai compresibil dect oelul.

Gazele sunt mai compresibile dect lichidele. Se poate neglija compresibilitatea

gazelor pentru viteze mai mici de 0,6c (c este viteza sunetului).

(1.4)


Definim modulul de elasticitate ca inversul modulului de compresibilitate:

Relaia poate fi exprimat i funcie de densitatea . Pornind de la condiia ca nprocesul de comprimare masa s rmn constant:

sau daca derivam

Separnd variabilele obinem:

de unde:

(1.5)

(1.6)

=

V=const


tiind c viteza de propagare a sunetului stabilit de Newton este:

rezult:

Deoarece =1

=

1

i la fluide incompresibile tinde ctre zero,

rezult deci adic o propagare instantanee a sunetului, ceea

ce este n contradicie cu realitatea fizic.

Prin urmare, n fenomenele legate de propagarea undelor de presiune n medii fluide

este necesar considerarea proprietii de compresibilitate a fluidului.

(1.7)


Micrile n fluide compresibile pot fi clasificate n funcie de viteza pe care o au fa de viteza sunetului prin numrul lui Mach (Ma), care este adimensionali ne d raportul dintre viteza v i viteza sunetului c (celeritate) n mediulrespectiv:

Astfel:

- pentru Ma < 1 - micarea este subsonic, - pentru Ma = 1 - micarea este sonic, - pentru Ma > 1 - micarea este supersonic.

(1.8)


Dilatarea termic

Variatia relativ a volumului de fluid este direct proportional cu variatia de

temperatura:

unde V0 reprezinta volumul initial de fluid.

Se observa, de exemplu, ca la o crestere a temperaturii, are loc o crestere a

volumului de fluid considerat.

Relatia se poate prelucra sub forma:

unde V1 reprezinta volumul final de fluid.

(1.9)

(1.10)


Vascozitatea

Proprietatea de vascozitate a fost explicat i definit diferit de oamenii de tiin:

- Newton a considerat c vascozitatea este o consecin a forelor de coeziunecare reacioneaz la deplasarea relativ a particulelor de fluid. Aceast ipoteznu poate fi valabil pentru gaze, la care distanele intermoleculare sunt mari iforele de coeziune neglijabile.

- Maxwel explica vascozitatea fluidelor, prin capacitatea de a face s apar fore, atunci cnd se produc variaii brute ale formei fluidului.

Putem concluziona c dac fluidul este n micare, n diferite plane de separaieapar fore sau tensiuni tangeniale (fore raportate la aria suprafeei), care se opunvariaiei formei volumului considerat, frneaz micarea i modific repartiiavitezelor.


Vascozitatea

Vascozitatea reprezint mecanismul transmiteriimicrii n fluid.

Vascozitatea se mai poate defini ca o proprietate

comun tuturor fluidelor, prin care cu fore suficientde mici se pot produce deformaii orict de mari, cu viteze de deformare mici.

Considerm un paralelipiped dreptunghic, cu aria bazei S i nlimea h, figura 2.

Suprafaa AIBICIDI alunec cu viteza v fa de baz, fora necesar pentru a imprima aceast vitez fiind:

Fig. 2. Determinarea forei de viscozitate

(1.11)


Vascozitatea

Relaia (1.11) a fost determinat experimental i este coeficient dependent de natura fluidului i se numete viscozitate dinamic.

Stratul aderent la plac are aceeai vitez v cu placa. Atracia dintre acest strat i urmtorul face ca i acesta s fie antrenat cu o vitezmai mic vI , astfel nct diferena creat s produc micarea, .a.m.d.Unitatea de msur pentru coeficientul de viscozitate dinamic este poise (g/cms) nsistemul vechi CGS, sau poisseuille (kg/ms) n sistemul internaional.

Tensiunea tangenial ce apare ntre dou straturi infinit vecine (h dn), (v dv) este:

Aceast tensiune are tendina de a egala vitezele celor dou straturi, deci se opunemicrii stratului cu vitez mai mare (are sens opus micrii acestui strat).

(1.12)

Proprieti fizice fundamentale ale fluidelorVascozitatea

Fluidele ale cror tensiuni tangeniale de vascozitate n micare laminar sunt date de relaia (1.12), se numesc newtoniene.Raportul dintre vascozitatea dinamic i densitate se numete vascozitate cinematic:

Unitatea de msur n sistemul internaional SI, pentru viscozitatea cinematic este m2/s, iar n vechiul sistem CGS este stockes (cm2 /s).

Cteva valori pentru vascozitatea cinematic la temperatura normal pentru diferitefluide sunt prezentate n tabelul 1.

Variaia vascozitii cu temperatura este diferit pentru lichide i gaze. La lichidescade cu creterea temperaturii, iar la gaze crete.

(1.13)

Proprieti fizice fundamentale ale fluidelorConductibilitatea termica

Este proprietatea fluidului de a transmite caldura.

Intereseaza de obicei determinarea temperaturii unui anumit strat din interiorul unui

mediu fluid prin care se transmite caldura.

Transmiterea de caldura poate fi caracterizat de fluxul termic q a carui sens, de la placa mai cald spre placa mai rece este precizat n figura urmatoare:

Proprieti fizice fundamentale ale fluidelorConductibilitatea termica

Pentru determinarea temperaturii , corespunzatoare unui strat situat la distanta y de placa de baza, ce are temperatura cea mai mica, , se face asemanarea triunghiurilordreptunghice din figura:

Se obtine:

Fluxul termic de la placa superioara la cea inferioara este dat de formula lui Newton:

reprezinta coeficientul de convectie termica.

(1.14) = (" )

Proprieti fizice fundamentale ale fluidelorDifuzia masica

Difuzia masica este proprietatea unui fluid de a se raspndi n interiorul unui alt fluid,

proces datorat agitatiei termice moleculare

Se pune problema determinarii concentratiei fluidului F1 ce difuzeaza ntr-o anumita

zona ocupata de fluidul F2.

n cazul unui vas umplut partial cu alcool de exemplu, deasupra caruia se gaseste aer,

se poate determina concentratia alcoolului difuzat n aer, la o anumits distanta de

suprafata libera a alcoolului.

n vecinatatea suprafetei libere a alcoolului din vas vaporii de alcool au o concentratie de

saturatie, ce reprezinta de fapt concentratia maxima a vaporilor de alcool.

La distanta maxima de suprafata libera a lichidului concentratia are valoarea minima Cx.


Se doreste determinarea concentratiei vaporilor de alcool n aer ntr-un strat oarecare,

orizontal, figurat pe desen cu linie ntrerupta. Facnd asemanarea triunghiurilor

dreptunghice din figura, rezulta :


Fluxul masic m este dat de legea lui Fick:

si se produce n sensul pozitiv al axei Oy, adic din zona cu concentratie de alcool mai

mare spre zona cu concentratie minima.

a reprezinta coeficientul de difuzie masica .

(1.15)


Tensiunea superficiala

Se constata experimental ca suprafata libera a unui fluid se gaseate

ntr-o stare de tensiune asemanatoare cu a unei membrane elastice

ntinse.

Forta care se exercita pe unitatea de latime la suprafata exterioar a

fluidului este coeficientul de tensiune superficiala .

Ca urmare a actiunii tensiunii superficiale, la suprafata libera ramne un

numar minim de particule, ct sunt absolut necesare pentru a forma

aceasta suprafata .

Din acest motiv, volume mici de lichid iau forma sferica, (eventual

elipsoidala), stiut fiind faptul ca sfera este corpul geometric cu volum

maxim la suprafa exterioara minima. O suprafata exterioara a unui

volum mic de lichid corespunde unei energii superficiale minime:


Capilaritatea

Este o consecinta a proprietatilor de adeziune si tensiune superficiala. Se constata ca

lichidele cu densitate mica urca n tuburile capilare ce au diametrul interior de ordinul

zecimilor de milimetri, cu o cota h fata de suprafata libera a lichidului, conform figurii a.

Lichidele cu densitate mare coboara n tuburile capilare cu o cota h, conform figurii b.

Figura a Figura b


Capilaritatea

Citirea naltimilor coloanei de lichid denivelate, h, se face plecnd de la planul suprafetei

libere a lichidului pna la planul orizontal tangent la suprafata libera a lichidului din tub.

Pentru determinarea cotei h se egaleaza rezultanta fortelor de tensiune superficiala

calculata pe circumferinta suprafetei libere, cu greutatea volumului de lichid ce a urcat n

tubul din figura a:

formula lui Jourin:



Absoria i degajarea gazelor




Majoritatea gazelor se dizolv (ptrund prin difuziune) n lichide. Absoria este un procesfizico-chimic i se produce dac concentaia componentelor gazelor este mai mare dect cea corespunztoare lichidului la presiunea i temperatura respectiv.

Absorbia crete odat cu creterea presiunii i scade odat cu creterea temperaturii.

La presiune i temperatur normal n ap se dizolv 2% gaze: astfel este posibil viaaflorei i faunei acvatice.

Dac componenta fazei absorbante (lichidul) este mai mare dect cea a fazei absorbate(gazul) fenomenul se produce invers i se numete desorbie.

Desorbia crete odat cu creterea presiunii.



Dac n anumite poriuni ale unui lichid n micare presiunea scade pn la valoareapresiunii de vaporizare la temperatura dat se produce vaporizarea lichidului nsoitde degajare de gaze dizolvate.

Apare fenomenul numit cavitaie, un fenomen care este duntor pentru mainile iinstalaiile hidraulice.

Bulele de vapori i de gaz, ajung n zone cu presiuni mai mari i se recondenseazproducnd suprapresiuni i creteri de temperatur mari, precum i zgomote.

O alt ipotez, chimic, explic distrugerea metalelor prin faptul c vaporii i gazeledegajate pun n libertate oxigenul atomic, care este foarte activ chimic i corodeazmetalul.


Cavitatia este fenomenul ce se produce la scaderea presiunii pna la nivelul

presiunii de vaporizare al lichidului.

n aceste conditii, se formeaza cavitati n interiorul lichidului aflat n curgere,

care sunt umplute cu gaze continute anterior n lichid, cavitati care se reabsorb cu

cresterea ulterioara a presiunii.

Fenomenul este nsotit de procese mecanice (presiuni foarte mari), chimice (se

degaja oxigen activ), termice (temperaturi locale de mii de grade), electrice

(fulgere n miniatura), ce conduc mpreuna la distrugerea materialului metalic.

Distrugerea palelor rotoarelor de pompa cuplate la motoare asincrone conduce

la asimetrii n masa acestora, ce provoaca batai n lagare si obligativitatea opririi

instalatiei si nlocuirea rotorului, cu costuri ridicate pentru piesa si manopera.


n mod similar se poate produce distrugerea palelor rotoarelor

de turbina, n special la turbinele de abur, la iesirea din ultima

treapta, cea de joasa presiune, cu pagube similare.

Pentru evitarea fenomenului de cavitatie, se asigura de regula

n amonte de zona periclitata, o presiune suficient de mare,

pentru a nu scadea presiunea n zona critica pna la valoarea

presiunii de vaporizare.


Gazele datorit spaiilor intermoleculare mari sunt fluide mult mai uoare i maicompresibile dect lichidele. Gazele ocup prin expansiune tot volumul disponibil(coeziunea este neglijabil).

Datorit compresibilitii accentuate, densitatea variaz mult cu presiunea la o temperatur dat. Ecuaia de stare Clapeyron-Mendeleev se exprim pentru o mas de gaz m dat, de volum V:

unde, - p presiune [Pa]- R - constanta de gaz perfect [ J/kgK]

- M masa moleculara-- V volum [m3]- m masa [kg]- T temperatura [K]

Proprieti specifice gazelorPentru un mol de substan

unde - VM - volum molar

- reprezint constanta universal pentru gazele perfecte, mol

mVM3

310996413,22

TpVM

Kkmol

J

472,8314

TTM

mpV

TmmMRTpVM

mRTpV

RTp

RTpv

TpMv

M

R

unde:

- numrul de moli de substan.

p presiune [Pa]- R - constanta de gaz perfect [ J/kgK]

- M masa moleculara- v volum specific [m3/kg]- V volum [m3]- m masa [kg]- T temperatura [K]


Se numeste amestec de gaze perfecte, gazul perfect format din molecule identice din punct de vedere fizic, dar diferite din punct de vedere chimic.

Intr-un amestec de gaze perfecte avem mai multe componente, o componentadefinindu-se ca fiind un gaz perfect elementar ale carui molecule sunt identice din

punct de vedere chimic.

Definim volumul elementar Vi ca fiind volumul pe care l-ar ocupa particulelecomponentei i, in aceleasi conditii de presiune si temperatura la care se afla

intregul amestec.

Legea lui Amagat Volumul amestecului format dintr-un numar n de componenteeste egal cu suma volumelor elementare.

n

i

iam VV


Se numeste presiune partiala a componentei i dintr-un amestec, pi, presiunea pe care ar exercita-o particulele componentei i din amestec daca ar ocupa intregul volum al

incintei (Vam) la temperatura Tam.

Legea lui Dalton: Presiunea exercitata de particulele componente ale unui

amestec este egala cu suma presiunilor partiale ale componentelor din

amestec:

n

i

iam PP1

Particulele unei componentea unui amestec se comporta ca si cum ar ocupa intregul

volum al incintei, la aceeasi temperatura cu intregul amestec.

STATICA FLUIDELOR

1. Definiia i obiectul staticii fluidelor

Statica fluidelor studiaz echilibrul fluidelor i aciunea pe care acestea le exercit asupracorpurilor solide cu care vin n contact.

ntr-un fluid n repaus nu apar fore de vascozitate, ele fiind condiionate de deplasarearelativ a particulelor. Rezult c n starea de repaus proprietatea de vascozitate nu se manifest i prin urmare relaiile din statica fluidelor sunt stabilite pentru fluidele perfecte (pentru fluide incompresibile i compresibile).

Un fluid n repaus se manifest ca un fluid ideal (nevscos) relaiile fiind valabile i pentrufluide reale (vscoase).

Un fluid n repaus este acionat de dou categorii de fore, care l echilibreaz:

forele masice

forele de suprafa.

STATICA FLUIDELOR

Forele masice sunt analoage celor ntlnite n mecanica corpurilor rigide i se datoreazprezenei cmpurilor exterioare.

Cele mai obinuite fore masice ntlnite sunt cele de greutate datorate cmpului gravitaional exterior masei de fluid considerate.

n cazul unui repaus relativ (fluidul se afl n repaus fa de un sistem de referin mobilcare execut o micare accelerat fa de un sistem de referin fix), pe lng forele de greutate apar i forele de inerie.

Forele de suprafa joac rolul forelor de legtur din mecanica rigidului. Pentru un fluid n repaus forele de suprafa sunt fore de presiune fiind compresiuni normale la elementele de suprafa.

STATICA FLUIDELOR

Ecuaiile generale ale hidrostaticii

Ecuaiile pentru echilibrul fluidelor se obin din anularea rezultantei forelor ceacioneaz asupra maselor de fluid.

Considerm o particul fluid de forma unui paralelipiped desprins dintr-un fluid aflat n echilibru de dimensiuni dx,

dy, dz, i densitate .

Forele de suprafa sunt fore de presiune datorate aciunii fluiduluiasupra particulei considerate.

tiind c forele de presiune sunt proporionale cu mrimea suprafeelor elementare considerate i c presiunea este n funcie de coordonatele punctului n spaiu, p = p (x,y,z), atunci forele de presiune pe feele determinate de planele sistemului de referin se pot exprima astfel: pdydz, pdxdz, pdxdy.

STATICA FLUIDELOR

La presiunile pe feele opuse se adaug creterile pariale datorate variaiilorobinute prin deplasarea n cele trei direcii, obinndu-se:

Rezultanta forelor masice unitare acioneaz n centrul de masal particulei considerate i are expresia:

i are componentele:

STATICA FLUIDELOR

Condiia de echilibru dup axa Ox va fi:

Se calculeaza in mod analog si pentru axele Oy si Oz si se obtine:

Se simplifica

cu dxdydz

STATICA FLUIDELOR

Ecuaiile difereniale de echilibru dup cele trei axe sunt:

Cele trei ecuaii exprim condiiile de echilibru ale volumului de fluid considerat,ntre forele de presiune i forele masice.

Acestea sunt ecuaiile generale ale hidrostaticii ecuaiile cu derivatele parialede ordinul I, stabilite de Euler pentru echilibrul fluidului.

A gsi condiia de integrabilitate a acestui sistem nseamn a preciza condiiile pe care

trebuie s le ndeplineasc fora masic unitar pentru ca sub aciunea safluidul s rmn n echilibru.

STATICA FLUIDELOR

Multiplicm cele trei ecuaii, respectiv prin dx, dy, dz, le adunm i obinem:

Membrul stng al egalitii reprezint difereniala total a presiunii p, astfel putem scrie:

(1)

Ecuaia reprezint expresia variaiei de presiune ntre dou puncte ale unui fluid situate la distana elementar ds care are proieciile dx, dy, dz.

Deoarece membrul stng al egalitii este o diferenial total, expresia are sens dacparanteza din membrul drept este o diferenial total a unei funcii de x, y ,z n acelaidomeniu.

1

= ,

1

= ,

1

=

1

=

Ecuatia vectoriala de repaus a fluidelor.

STATICA FLUIDELOR

Considerm o funcie scalar U(x,y,z) uniform n domeniul dat.

Dac componentele forei masice unitare X, Y, Z pot fi exprimate ca derivate parialeale funciei U n raport respectiv cu x, y, z, putem scrie:

(2)

sau

unde U reprezint potenialul forelor masice exterioare.

Aceasta reprezint condiia necesar i suficient pentru ca un cmp de forte masiceunitare s determine echilibrul unui fluid, adic trebuie s fie potenial.

Spre exemplu, cmpul gravitaional este potenial deci sub aciunea sa un fluid poate fi n echilibru.

STATICA FLUIDELOR

3. Legea fundamental a hidrostaticii

Dac nlocuim n relaia (1), expresiile din relaia (2), obinem:

iar prin integrare:

care reprezint legea fundamental a hidrostaticii.

O remarc general este: dac un fluid se afl n repaus fade un sistem de referin fix (sau sistem inerial) singurelefore masice care apar n fluid sunt forele de greutate(create de cmpul gravitaional); n cazul unui echilibrurelativ apar n plus i forele de inerie.

STATICA FLUIDELOR

Consecinele legii fundamentale a hidrostaticii

1) Dac n ecuaia considerm dp = 0, (p= ct), se obine Xdx+Ydy+Zdz = 0 (deoarece 0), care reprezint ecuaia diferenial a suprafeelor de egalpresiune, numite i suprafee izobare.

Definim suprafaa echipotenial, locul geometric al punctelor n care potenialul forelor masice este constant.

Dac fluidul este incompresibil ( = ct), pentru U = Ct se obine p = ct, deci ntr-un fluid n repaus absolut suprafeeleechipoteniale sunt i izobare.

STATICA FLUIDELOR

2) Din relaia rezult c fora masic ce acioneazasupra unei particule fluide este normal la suprafaaechipotenial (izobar) ce trece prin punctul de aplicaie al forei ieste ndreptat n sensul scderii potenialului, deci n sensulcreterii presiunii.

3) Suprafeele echipoteniale nu se intersecteaz deoarecepresiunea fiind un camp scalar este unic ntr-un punct dup oricedirecie i deci n punctul respectiv nu pot exista dou potenialeegale.

STATICA FLUIDELOR

4) O suprafa izobar este i izodens ( = ct); afirmaia esteevident pentru un fluid incompresibil la care = ct n toat masadeci i pe suprafaa izobar.

5) Temperatura pe o suprafa echipotenial este constantdeoarece p i fiind constante din ecuaia lui Clapeyron -Mendeleev rezult:

STATICA FLUIDELOR

6) Suprafaa de separaie dintre dou fluide imiscibile cu densitile 1 2 este echipotenial; de asemenea i dintre un lichid i un gaz.

Considernd c ntre dou puncte infinit vecine ale acesteisuprafee diferena de presiune este aceeai, indifferent n ce fluid este calculat:

Rezult c:

de unde: dU = 0, deci U = ct.

STATICA FLUIDELOR

7) Dac forele masice sunt neglijabile n raport cu cele de presiune presiunea n fluid este constant.

n acest caz, dac rezult din relaia

c U = ct, deci conform relaiei

p = ct (conform primei consecine).

Rezult c dac ntr-o zon a fluidului are loc o suprapresiune p aceasta se transmite n toat masa fluidului. Aceast consecinpoart numele de principiul lui Pascal.

STATICA FLUIDELORPRESIUNE

Presiunea este mrimea fizic egal cu raportul dintre mrimeaforei F ce apas normal i uniform pe o suprafa i aria S a acestei suprafee:

=

Dac fora nu este uniform distribuit, atunci presiunea se referla raportul dintre fora elementar dF i aria elementar dS:

=

STATICA FLUIDELOR

Legea lui Pascal sau principiul lui Pascal arat cvariaia de presiune produs ntr-un punct al unui lichidaflat n echilibru n camp gravitaional se transmite integral n toate punctele acelui lichid.

Particulariznd, rezult c presiunea exercitat la suprafaaunui lichid aflat n repaos se va transmite n toate direciilei cu aceai intensitate, n tot lichidul ct i asupra pereilorvasului care l conine.

Dintre aplicaiile practice ale acestui principiu se pot amintipresa hidraulic i acionarea hidraulic a frnelor unuiautovehicul.

STATICA FLUIDELOR

Schema de principiu a unei prese hidraulice esteprezentat n figura: un piston cu seciunea transversal S1 este utilizat pentru a exercita o for F1 asupra unui lichid.

Creterea presiunii de la suprafaa lichidului (p=F1/S1) este transmis prin tubul de legtur unui cilindruprevzut cu un piston mai mare, de seciune S2.

Ca urmare a faptului c presiunea este aceeai nntreaga mas de lichid obinem:

Presa hidraulic este deci un dispozitiv de amplificarea forei cu un factor de multiplicare egal cu raportulariilor suprafeelor celor dou pistoane.

https://www.youtube.com/watch?v=VxLTDtaRCZk

=11

=22

=> 2 = 121

STATICA FLUIDELOR

1-pedal

2-pomp de frn;

3-conduct de legtur4-cilindru de frn

5-tambur6-sabot

n figura este prezentat schema de principiua sistemului de franare a roii unuiautovehicul.

Apsarea pedalei (1) creeaz o for f ceacioneaz asupra pistonului pompei de frn(2) i astfel se mrete presiunea lichiduluidin ntregul sistem.

Creterea de presiune se transmite pn la cilindrul de frn (4), iar pistoanele acestuiadeplaseaz saboii (6). Saboii sunt astfel aplicai pe tamburul (5), iarfora de frecare creat asigur frnarea roii.

https://www.youtube.com/watch?v=VxLTDtaRCZk

STATICA FLUIDELOR

Ecuaia general a hidrostaticii n cmp gravitational

Particularizm componentele forei masice unitare pentru cmpul gravitational:X = 0, Y = 0 i Z = - g => ecuatia general a hidrostaticii n cmp gravitational devine:

+

=

sau

+

=

sau

+ =

STATICA FLUIDELOR

Considernd un fluid n repaus absolut putem scrie

relaia pentru dou puncte ale fluidului A i B:

tiind c pA= po relaia devine:

Se observ c presiunea crete liniar cu adncimea.

Distribuia de presiuni ntr-un lichid n repaus

STATICA FLUIDELOR

n cazul mai multor lichide imiscibile n repaus ele se aeaz n ordinea greutilor lorspecifice:

ntr-un lichid n repaus planele orizontale sunt plane izobare. De aici douconsecine:- suprafaa liber a lichidelor este orizontal (principiul vaselor comunicante)- suprafaa de separaie dintre dou lichide imiscibile este un plan orizontal.

Distribuia de presiuni n cazul a trei lichide imiscibile

STATICA FLUIDELOR

Legea lui Arhimede - orice corp

scufundat ntr-un fluid aflat n repaos este

mpins de ctre o for vertical, de jos nsus, egal cu greutatea volumului de fluid dislocuit de ctre corpul respectiv.Asupra corpului scufundat n fluid

acioneaz, pe direcie vertical, forele de presiune F1 i F2. Fora ascensional ce acioneaz asupracorpului va fi, evident, Fa = F2 F1.

Folosind presiunile, putem scrie:

de unde rezult:

STATICA FLUIDELOR

innd cont de relaiile determinate pentru presiunea hidrostatic, obinem:

unde este densitatea lichidului, iar h este nlimea corpului.

Observm c h S = V , adic volumul corpului, care este egal cu volumul de lichid dislocuit, este masa volumului de

lichid dislocuit, iar este greutatea

volumului de lichid dislocuit, ceea ce ne conduce la concluzia c fora

ascensional este egal cu greutatea volumului de lichid dislocuit.

Pentru corpuri avnd o form oarecare, fora ascensional se calculeaz

cu relaia:

STATICA FLUIDELOR

Punctul n care se aplic fora ascensional se numetecentru de presiune i este n general diferit de centrul de greutate (cu excepia cazurilor n care corpul scufundat esteomogen).

Legea lui Arhimede se aplic tuturor fluidelor, pentru corpuriscufundate complet sau incomplet (n acest ultim caz fiind luat

n calcul doar volumul scufundat al corpului).

STATICA FLUIDELOR

n funcie de relaia dintre fora ascensional i greutateacorpului sunt posibile urmtoarele cazuri:

Fa < G n acest caz greutatea aparent a corpuluiscufundat este Ga = G - Fa;

Fa = G n acest caz corpul rmne n echilibru ninteriorul fluidului;

Fa > G n acest caz corpul se va ridica la suprafaafluidului; pe msur ce corpul iese din fluid, foraascensional scade deoarece scade volumul de fluid dislocuit, iar n momnentul n care fora ascensionalajunge s fie egal cu greutatea corpului, acesta plutetela suprafaa lichidului.

CINEMATICA FLUIDELOR

Se ocupa cu studiul miscarii fluidelor fara sa ia in considerare fortele si transformarile energetice care apar.

Se vor determina componentele vitezei vectoriale si ale acceleratiei vectoriale precum si traiectoriile parcurse de

particulele fluide.

Se considera ca marimile sunt functii continue si derivabilen timp si spatiu si se aplica elemente de teoria cmpului.

Formulele sunt valabile att pentru fluidele ideale ct sipentru fluidele reale.

Masa de fluid in miscare - compusa dintr-un numar mare de particule fluide


METODE DE STUDIU

Metoda Lagrange

n metoda Lagrange se urmareste fiecareparticula pe traseul strabatut de aceasta, iar

miscarea ntregului fluid este caracterizat prin

ansamblul traiectoriilor parcurse de

particulele fluide.

Miscarea fiecarei particule de fluid se raporteaza la un sistem de axe fix Oxyz.

Pozitia unei particule fluide M depinde de timpul t si de pozitia initiala (coordonate xo, yo,

zo variabilele lui Lagrange corespunzatoaretimpului to).

z

x O(y)

z03

M3(t)

z02

z01

x03 x02 x01

M2(t)

M1(t) M3(t0)

M2(t0)

M1(t0)


Ecuatiile traiectoriei:

x=x(xo, yo, zo ,to); y=y(xo, yo, zo ,to); z=z(xo, yo, zo ,to)

Vitezele:

Acceleratiile:

Metoda rar utilizata sub forma generalizata deoarece pentru descrierea miscariiunei mase de fluid care contine n particule este necesar sa se scrie un numar

corespunzator de sisteme de ecuatii .

Utilizare studiul miscatii unor particule individualizate.

t

xu

t

yv

t

zw

2

2

t

x

t

uax

2

2

t

y

t

va y

2

2

t

z

t

waz

;

;

;


Metoda Euler

determina elementele miscarii tuturor particulelor care trec printr-un punct fix din spatiu raportat prin coordonatele sale x,y,z la un triedru fix, cand timpul

variaza

studiaza campul vitezelor in punctele spatiului ocupat de fluidul in miscare

studiaza variatia vitezelor in aceste puncte functie de timp

descrierea miscarii unui fluid presupune cunoasterea vitezelor in toate punctelespatiului si pentru toti timpii.

;

;

;


Campul vitezelor

u=u(x, y, z, t) ; v=v(x, y, z, t) ; w=w(x, y, z, t)

unde x, y, z coordonatele punctelor spatiului

Traiectoria particulei:

derivarea functiilor x(t), y(t) si z(t)

prin integrare

x=x(xo, yo, zo ,t); y=y(xo, yo, zo ,t); z=z(xo, yo, zo ,t),

unde xo, yo, zo constante de integrare si reprezinta coordonatele particulei la momentul initial to variabilele Lagrange

),( trVV

dt

dxu

dt

dyv

dt

dzw

acceleratie

locala

acceleratie de

antrenare

z

Vw

y

Vv

x

Vu

t

V

dt

Vda

dzz

udy

y

udx

x

udt

t

udu

dz

z

vdy

y

vdx

x

vdt

t

vdv

dz

z

wdy

y

wdx

x

wdt

t

wdw

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

duax

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dvay

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dwaz

Campul acceleratiei

- vitezele sunt sunt functii de coordonate x, y, z si de timpul t, iar

coordonatele sunt functii de timp diferentierea totala a unei functii de

mai multe variabile


Acceleratia locala din variatia in timp a vitezei in punctele fixe din spatiu

caracteristica miscarilor nepermanente

derivata partiala coordonatele punctelor sunt considerate invariabile

miscarea permanenta = 0

Acceleratia convectiva rezultatul vitezelor diferite in diferitele puncte ale spatiului

- in curgere pemanenta nu este nula

- este nula in cazul unui camp al vitezelor omogen

Sau daca introducem operatorulz

ky

jx

i

VVt

VV

zw

yv

xu

t

Va

)(


y

u

x

vv

x

w

z

uw

wvu

xt

u

dt

duax

2

222

z

v

y

ww

y

u

x

vu

wvu

yt

v

dt

dvay

2

222

x

w

z

uu

z

v

y

wv

wvu

zt

w

dt

dwaz

2

222

VVrotV

gradt

Va

2

2

partea potentialapartea rotationala

Coordonate carteziene forma echivalenta


x

Cz

z

y

z

r

zi

i

riC Cr

P

P

r

V

z

VV

V

r

V

r

VV

dt

dVa rz

rrr

rr

2

r

VV

z

VV

V

r

V

r

VV

dt

dVa rzr

2

z

VV

V

r

V

r

VV

dt

dVa zr

zzr

zz

Coordonate cilindrice cu r, , z, cu x=rcos , y=rsin , z=z


.V

ECUATIA CONTINUITATII LEGEA CONSERVARII MASEI FLUIDELOR

Ecuatia continuitatii expresia matematica a principiului conservarii masei aplicatamediului fluid in miscare

Ecuatia continuitatii in cazul general

Se considera cazul general al unui fluid compresibil de densitate (x,y,z,t) in miscarenepermanenta cu viteza (x,y,z,t).

In spatiul ocupat de fluid se fixeaza un paralelipiped cu laturile dx, dy, dz paralele cu

axele Ox, Oy, Oz.

Relatia care exprima continuitate fluidului se obtine egaland variatia masei de de fluid

din volumul dxdydz in intervalul de timp dt cu difernera dintre masa de fluid care intra

si cea care iese in acelasi interval de timp.


vdzdxd

t

udydzdt

wdxd

ydt

O x

y

z

dydzdtdxx

uu

dxdydtdzz

ww

dxdydtdyy

vv

V

0

Vdiv

t

Masa de fluid la momentul t este dxdydz; dupa un interval de timp masa se schimba datorita densitatii si

devine

dxdydzdtt

dxdydzdxdydzdtt

dm

dxdydzdtz

w

y

v

x

udm

Variatia masei in intervalul de timp dt va fi

Se egaleaza expresiile variatiei masei

Se face bilantul maselor intrate si iesite prin fetele

laterale ale paralelipipedului si rezulta diferenta

dintre masa intrata si iesita

0

z

w

y

v

x

u

t

0

Vdiv

t

sau, vectorial


dt

d

zw

yv

xu

t

0

z

ww

y

vv

x

u

dt

d

0 Vdivdt

d

0

z

w

y

v

x

u 0Vdiv

0

z

w

y

v

x

u0Vdiv

Daca se deriveaza u, v, w si se tine seama ca

Rezulta o alta forma a ecuatiei continuitatii

Pentru miscarea permanenta a unui fluid compresibil

Pentru miscarea nepermanenta a unui fluid incompresibil =ct

Sau

Sau

Sau


In ipoteza unor deplasari foarte mici, deformatia medie a unghiului drept DAB este

analog,

O

x

y

A

C

C

D

B

D C

B A B

D

Pentru interpretarea marimilor de forma ayz se examineaza miscarea unei particule de

forma paralelipipedica a carei sectiune intr-un plan paralel cu yOx este dreptunghiul ABCD:

Intr-un interval de timp dt particula se

deplaseaza si se deformeaza ocupand

pozitia ABCD. Se anuleaza translatia sirotatia, aducand particula in planul

ABCD.

Deplasarea DD se datoreaza diferenteidintre vitezele punctelor A si D

zdtz

vDD

'' ydt

y

wBB

''

zz

vvv AD

si are marimea

yza

y

w

z

v

dt

dty

w

z

vydt

y

w

yzdt

z

v

zAB

BB

AD

DD

2

1

2

1

2

111

2

1

2

1

2

1 ''''

Forma patratica (x, y, z) functia de deformatie iar cuadrica corespunzatoare

(in matematic, cuadricele sunt suprafee algebrice de gradul al doilea, adic suprafee

ale spaiului afin euclidian tridimensional, a cror ecuaie se obine prin anularea unui

polinom de gradul al doilea n trei variabile), =const. elipsoidul de deformatie, axele

elipsoidului fiind axele principale de deformatie. Functia de deformatie reprezinta

functia de potential al vitezelor de deformatie.

Marimile axx, ayy, azz vitezele de

deformatie liniara ale unitatii de lungime

iar marimile ayz, axy, azx vitezele de

deformatie unghiulara ale unitatii de

unghi

DINAMICA FLUIDELOR

Studiaza miscarea fluidelor si interactiunea lor cu corpurile solide tinandseama de fortele care determina sau modifica starea de miscare si

transformarile energetice produse in timpul miscarii.

Principiul conservarii masei - legea continuitatii

Principiul conservarii si transformarii energiei relatia lui Bernoulli

Teoremele variatiei impulsului si momentului cinetic teoremele Euler

Legea a doua a lui Newton ecuatiile de miscare

Fluidele ideale compresibile si incompresibile

Etapa premergatoare in abordarea studiului miscarii fluidelor reale

DINAMICA FLUIDELOR IDEALE

Ecuaiile lui Euler

n dinamica fluidelor se aplic principiile generale ale mecanicii generale, legi de variaie i legi de conservare.

n studiul mecanicii fluidelor ideale, ipoteza de fluid perfect (frviscozitate) reprezint o prim aproximaie, rezultatele obinute putnd fi folosite cu ajutorul unorcoeficieni de corecie i pentru probleme reale.

Ca metod de lucru se pot extrapola principiile i teoremele mecaniciirigidului solid la dinamica mediului fluid continuu.

Pentru aceasta considerm mediul fluid ca fiind format dintr-o infinitate de particule infinit mici a cror micare se supune legii mecanicii clasice, fiindsuficient s determinm ecuaiile de micare pentru o particul oarecaredin mediul fluid.

Ca form a particulei fluide alegem forma paralelipipedic, forma adoptat pentru particul neavnd influen asupra rezultatelor obinute.


Considerm o particul infinit mic de form paralelipipedic detaat de mediul de fluid

REPREZENTAREA GRAFICA SI INTERPRETAREA ENERGETICA

Daca se analizeaza dimensional temenii relatiei lui Bernoulli pentru fluidele grele

incompresibile (in general lichide sau in particular gaze in cazuri cu totul speciale, de

exemplu la cosurile de fum sau de tiraj inalte sau la prizele de aer curat inalte din

combinatele chimice, in care energia de pozitie a gazului nu poate fi neglijata) pe o

linie de curent se observa ca fiecare are dimensiunea unei lungime, fapt care permite

o reprezentare grafica a intregii expresii.

22

2

21

1

2

1

22z

p

g

Vz

p

g

V

LLT

TL

g

V

2

222

2

LFL

FLp

3

2

1

Lz


M1

M2

M3

O O

C

C

C C

P P

P

E E

E E

H

H

g

V

2

2

1

g

V

2

2

2

g

V

2

2

3

1p

2p

3p

1z 2z3z

P

O O plan de referinta orizontal ales arbitrar

C C linie de curent oarecare din mediul fluid aflat in miscare

particulele care trec prin punctele M1, M2, M3 sunt caracterizate de parametrihidrodinamici (V1,p1), (V2,p2), (V3,p3).


.222

33

2

32

2

2

21

1

2

1 constzp

g

Vz

p

g

Vz

p

g

V

Observatii:

Egalitatile arata ca suma celor trei segmente trebuie sa fie aceeasi indiferentpentru care punct de pe linia de fluid se construieste.

Locul geometric al tutror punctelor aflate la extremitatea segmentelor (z+p/) linia P P linie piezometrica

Linia E E linie nergetica sau nivel energetic

Distanta H reprezinta grafic valoarea constantei si variaza de la o linie de curentla alta

Se aplica relatia lui Bernoulli punctelor M1, M2, M3:


Pentru interpretarea energetica a relatiei este suficient sa se inmulteasca

membri cu valoarea mg=const., reprezentand greutatea particulei care se

deplaseaza pe linia de curent si se obtine:

Concluzie:

In miscarea permanenta a unui fluid ideal la care fortele masice deriva dintr-un

potential, suma energiei cinetice, energiei potentiale de presiune si energiei potentiale

de pozitie ramane constanta pentru toate punctele situate pe aceeasi linie de curent.

.2

2

constmgzpmmV

.2

2

constmgzpmV

energia cinetica

a particulei

energia

potentiala de

presiune

energia potentiala

de pozitie


xu

yv

z

w

022

2

wvu

dzdydx

UdpV

dwdzvdyudxt

yyx

Relatia lui Bernoulli in miscarea potentiala nepermanenta

In cazul miscarii nepermanente potentiale a fluidelor ideale, componentele vitezei au

expresiile:

in care functia = (x,y,z,t) este potentialul vitezelor.

Daca luam in considerare expresia legii conservarii si trasformarii energiei in cazul

miscarii fluidelor ideale


si in primul termen al ecuatiei de mai sus introducem componentele vitezei in cazul

miscarii nepermanente potentiale, atunci ecuatia se poate scrie sub forma:

tdd

tdz

zdy

ydx

xtwdzvdyudx

t


0

wvu

dzdydx

yyx deoarece

02

1

2

1 22

yzzyz

v

y

wx

02

1

2

1 22

zxxzx

w

z

uy

02

1

2

1 22

xyyxy

u

x

vz

02

2

UdpV

dt

d

tCUdpV

t

2

2

Asfel ecuatia de mai sus devine o ecuatie cu diferentiale totale exacte,

calculate in raport cu spatiul:

Daca se integreaza in raport cu spatiul rezulta

Relatia constituie relatia lui Bernoulli pentru miscarea

nepermanenta potentiala numita si relatia lui Lagrange.

, unde constanta C(t) depinde numai de timp.



Calculul debitului prin orificii

Orificiul este o deschiztur practicatn pereii sau fundul unui rezervor ncare se afl fluid.

Conturul orificiului este situat nntregime sub nivelul suprafeei libere.

Din punct de vedere al calcului hidraulical debitelor orificiile pot fi mici sau mari.

Un orificiu se numete mic dacdimensiunea sa pe vertical (d) nu depete o zecime din sarcina hmsurat pn n centrul orificiului


Se poate considera c n seciunea transversal a vnei de fluid n dreptul orificiului, parametrii hidrodinamici v i p nu variaz sensibil putnd fi considerai constani.

Dac d >(h/10), viteza i presiunea variaz considerabil de la un punct la altul nseciunea orificiului, care se consider n acest caz orificiu mare.

Dup grosimea peretelui n care este practicat orificiul, se deosebesc:

orificii n perei subiri cnd fluidul se dezlipete de pereii interiori ai orificiului

orificii n perei groi, cnd fluidul se lipete de pereii interiori formnd un micajutaj.

n cazul scurgerii unui lichid, se deosebesc:

orificii libere, cnd evacuarea are loc n atmosfer sau n alt mediu gazos

orificii necate dac evacuarea are loc n acelai sau n alt mediu lichid.


n cazul micrii permanente putem scrie relaia lui Bernoulli pe o linie de curent

ntre punctul 1 situat pe suprafaa liber i punctul 2 aflat n seciunea orificiului,

Adugm i ecuaia continuitii sub forma:

sau:

, unde:

Revenind la relaia lui Bernoulli, obinem:


Revenind la relaia lui Bernoulli, obinem:

de unde:

relaie care d valoarea vitezei fluidului perfect prin orificii mici n micarea permanent i poart denumirea de relaia lui Torricelli.

n cazul n care S1 >> S2 (n2= 0) i p1 = p2 = p0, relaia devine:

Teorema impulsului i teorema momentului cinetic n cazul micrii

permanente a fluidelor


Teorema impulsului i teorema momentului cinetic n cazul micrii permanentea fluidelor

DINAMICA FLUIDELOR REALE

Micarea laminar a fluidelor reale

Starea de tensiune ntr-un fluid n micare

Ecuaiile de micare a fluidelor reale sub forma dat de Cauchy (n componentede tensiuni)

Ecuaiile lui Navier-Stokes pentru micarea laminar a fluidelor reale

Relaia lui Bernoulli pentru o linie de curent, n micarea laminara fluidelor reale

MICAREA TURBULENT A FLUIDELOR REALE

Tensiunea tangenial n micarea turbulent

Distribuia vitezelor n micarea turbulent

Calculul pierderilor de presiune

Calculul pierderilor liniare de presiune

Calculul pierderilor locale de presiune ploc

Pierderile totale de presiune ptot (lungimea echivalenta a conductei lech)

merged_document.pdf

Documents