Curriculum

Opţional

„Matematica aplicată”

Clasa a IX-a

Elaborat de prof. de matematică

Efros Galina, gr. didactic II

Liceul Teoretic Magdăceşti,

Raionul Criuleni

1

Argumentarea cursului opţional

„Matematica aplicată” în cl. X

Scopul principal al cursului opţional „Matematica aplicată” – completarea celor mai importante cunoştinţe acumulate pe parcursul studierii matematice în clasele V-X cu cunoştinţe (rezultate, competenţe) teoretice aprofundate şi aplicative (creatoare) extra-curriculare, dându-le (punându-le în evidenţă) astfel elevilor instrumente mai sigure si variate de abordare şi rezolvare a problemelor complicate şi dificile integratoare ce ţin de aplicarea cunoştinţelor studiate conform curriculumului modernizat pentru treapta liceală care pot apărea la teze semestriale şi examenul de BAC.

Temele luate în discuţie sunt propuse de elevii promoţiilor precedente şi aceştia ceea ce dă dovadă de un real interes al lor şi le va spori, cred, eficienţa şi corectitudinea în rezolvarea de probleme, siguranţa în corectitudinea justificărilor şi argumentărilor ce le vor face, datorită abordării superioare celei oferite de rezultatele cuprinse în curricula, atât la momentul investigării problemelor propuse, cât şi pe parcursul rezolvării lor, desigur şi în continuarea studierii matematicii în cursul liceal, cât şi a matematicii superioare şi a altor ştiinţe: economice, de audit, tehnice, în construcţii, mecanice şi în situaţii din viaţa cotidiană.

2

Subcompetenţele, conţinuturi, activităţi de învăţare şi evaluare.

Subcompetenţele ConţinuturiActivităţi de învăţare şi evaluare

I. Numeri reale. Puteri. Logaritmi. Radicali1.1 Recunoaşterea în

diverse enunţuri a elementelor mulţimilor numerice studiate (N,Z,Q,R) şi scrierea numerelor reale folosind diverse forme.

1.2 Efectuarea trecerii de la o formă de scriere a numerelor reale la alta.

1.3 Utilizarea terminologiei aferente noţiunii de număr real în diferite contexte.

1.4 Aplicarea în calcule a proprietăţilor matematice cu numere reale: adunarea, scăderea, înmulţirea, ridicarea la putere cu exponent număr raţional, real, operaţii cu radicali de ordinul n, unde n este un număr real mai mare sau egal cu doi, logaritmul unui număr real pozitiv.

1.5 Utilizarea în diverse situaţii reale şi/sau modelate a estimărilor şi aproximărilor pentru verificarea validităţii unor calcule cu numere reale folosind puteri, radicali, logaritmi.

1.6 Transpunerea unei situaţii cotidiene în limbaj matematic, rezolvarea problemei obţinute şi interpretarea rezultatului.

1.7 Justificarea şi argumentarea

Proprietăţile modulului unui număr real. Demonstrarea unor egalităţi. Demonstrarea unor inegalităţi.

Demonstrarea unor egalităţi cu radicali de ordinul doi şi de ordinul trei.

Demonstrarea unor inegalităţi cu radicali.

Demonstrarea unor egalităţi cu logaritmi.

Demonstrarea unor egalităţi numerice folosind principiul inducţiei matematice.

Demonstrarea unor inegalităţi numerice folosind principiul inducţiei matematice.

Calculul unor sume. Demonstrarea unor

egalităţi şi inegalităţi din combinatorică folosind principiul inducţiei matematice.

Exerciţii şi probleme de:- scrierea numerelor reale în diferite forme;- calcul cu numere şi aplicare în calcule a algoritmilor şi proprietăţilor adecvate;- efectuare de aproximări, estimări, şi de comparări;- transferul şi explorarea soluţiilor unor problemele pentru rezolvarea altora;- rezolvarea de probleme şi situaţii-problemă;- aplicarea terminologiei şi notaţiilor aferente a noţiunii de număr real, inclusiv în comunicare;- justificarea şi argumentarea rezultatelor obţinute şi a terminologiilor utilizate- formarea obişnuinţei de a verifica dacă o problemă este sau nu determinată;- demonstrarea unor egalităţi şi inegalităţi numerice;- de calcul a unor sume de numere reale folosind metoda coeficienţilor nedeterminaţi folosind principiul inducţiei matematice;

Metode şi activităţi de instruire: metoda exerciţiului, activitate în grup, studiu de caz, analogii;

Activităţi de evaluare:- probe scrise, metoda investigaţiei, metoda

3

Subcompetenţele ConţinuturiActivităţi de învăţare şi evaluare

rezultatului obţinut în calcule cu numere reale.

1.8 Aplicarea calculelor cu numere reale în situaţii practice, inclusiv în realizarea diverselor proiecte.

1.9 Aplicarea proprietăţilor egalităţilor şi inegalităţilor în mulţimea numerelor reale la demonstrarea identităţilor şi inegalităţilor.

1.10 Aplicarea proprietăţilor modulului unui număr real în diferite contexte.

1.11 Aplicarea proprietăţilor unui număr real cu exponent raţional, real în diferite contexte.

1.12 Aplicarea proprietăţilor radicalilor în diferite contexte.

1.13 Aplicarea proprietăţilor logaritmilor unui număr real pozitiv în diferite contexte.

1.14 Demonstrarea unor egalităţi, inegalităţi matematice folosind diferite metode.

1.15 Aplicarea diferitor metode de rezolvare a unor probleme în situaţii reale sau modelate.

proiectului;

II. Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme2.1 Determinarea metodei, metodelor adecvate de rezolvare a ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii.2.2 Rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de

Ecuaţii de gradul I cu modul şi/sau parametru

Inecuaţii de gradul I cu şi/sau parametru

Sisteme de ecuaţii de gradul I cu modul

Exerciţii şi probleme de:- rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii cu module şi/sau parametru;- determinarea metodei, metodelor adecvate de

4

Subcompetenţele ConţinuturiActivităţi de învăţare şi evaluare

ecuaţii cu module şi/sau parametru;2.3 Aplicarea creatoarea a algoritmilor de rezolvarea a ecuaţiilor, inecuaţiilor, sistemelor de ecuaţii;2.4 Aplicarea proprietăţilor funcţiilor la rezolvarea ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii;2.5 Analiza rezolvări ecuaţiilor, inecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii cu module şi/sau parametru în contextul corectitudinii, simplităţii, clarităţii şi semnificaţiei rezultatelor obţinute;

şi/sau parametru Ecuaţii de gradul II cu

modul şi/sau parametru

Inecuaţii de gradul I cu modul şi/sau parametru

Ecuaţii raţionale cu modul şi/sau parametru

Ecuaţii iraţionale cu parametru

Ecuaţii exponenţiale cu modul şi/sau parametru

Ecuaţii logaritmice cu modul şi/sau parametru

rezolvare a ecuaţiilor, inecuaţiilor şi a sistemelor de ecuaţii cu module şi/sau parametru;- analiză a rezolvării unei ecuaţii, inecuaţii şi a sistemelor de ecuaţii cu module şi/sau parametru în contextul corectitudinii, simplităţii, clarităţii şi a semnificaţiei rezultatelor obţinute;- compunere şi rezolvare de ecuaţii, inecuaţii şi a sistemelor de ecuaţii cu module şi/sau parametru;

Metode şi activităţi de instruire:metoda exerciţiului, activitate în grup şi de sine-stătătoare, studiu de caz, observarea independentă, demonstraţia, învăţarea reciprocă;

Activităţi de evaluare:- lucrări scrise, metoda investigaţiei, metoda proiectului;

III. Elemente de trigonometrie3.1 Aplicarea cunoştinţelor dobândite la trigonometrie la demonstrarea unor egalităţi trigonometrice.3.2 Determinarea metodei, metodelor adecvate de rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice date.3.3 Rezolvarea ecuaţiilor trigonometrice de tipurile indicate, utilizând tabele de valori, grafice, formule trigonometrice şi interpretarea acestora.

Demonstrarea unor egalităţi trigonometrice

Ecuaţii trigonometrice cu modul, cu parametru, cu soluţii pe un interval

Exerciţii de:- optimizare a calcului trigonometric prin alegerea adecvată a formulelor şi identităţilor trigonometrice;- rezolvare a ecuaţiilor trigonometrice cu modul, cu parametru, cu soluţii pe un interval dat;- de demonstrare a egalităţilor trigonometrice.

Metode şi activităţi de instruire:

5

Subcompetenţele ConţinuturiActivităţi de învăţare şi evaluaremetoda exerciţiului, descoperirea, activitate în grup, studiu de caz, demonstraţia, învăţarea reciprocă;

Activităţi de evaluare:- lucrări scrise, metoda investigaţiei, metoda proiectului;

IV. Probleme de geometrie plană.4.1 Identificarea în diferite contexte şi clasificarea după diverse criterii a figurilor geometrice studiate şi a proprietăţilor acestora.4.2 Utilizarea în diferite contexte a proprietăţilor figurilor geometrice studiate.4.3 Reprezentarea în plan a figurilor geometrice studiate, inclusiv prin utilizarea instrumentelor de desen adecvate.4.4 Analiza rezolvării unei probleme, situaţii de problemă de geometrie în contextul corectitudinii, a simplităţii, al clarităţii şi al semnificaţiei rezultatelor.4.5 Modelarea goemetrică a unor situaţii cotidiene şi/sau din alte domenii şi rezolvarea acestora.4.6 Elaborarea unui algoritm de rezolvare şi rezolvarea problemei de geometrie în situaţii reale şi/sau modelate.4.7 Determinarea valorii de adevăr a unor propoziţii matematice recurgând la argumentări, justificări şi/sau demonstraţii.4.8 Calcularea de lungimi de

Rezolvarea triunghiurilor

Probleme de construcţii. Patrulatere. Cercul. Triunghiuri şi patrulatere înscrise şi circumscrise.

Exerciţii de:- identificarea în diferite contexte şi clasificarea după diverse criterii a figurilor geometrice studiate şi a proprietăţilor acestora;- reprezentarea în plan a figurilor studiate inclusiv prin utilizarea instrumentelor de desen adecvate;- rezolvare de probleme şi situaţii de probleme cu analiza rezolvărilor în contextul corectitudinii şi al simplităţii, al clarităţii şi semnificaţiei rezultatelor;- aplicarea terminologiei şi a notaţiilor aferente de geometrie plană studiate, inclusiv în situaţii de comunicare;- analiză şi interpretare a rezultatelor obţinute la rezolvarea unor probleme practice prin utilizarea elementelor de geometrie studiate;- determinarea valorii de adevăr a unor proprietăţi matematice recurgând la argumentări, demonstraţii.

Metode şi activităţi de instruire:

6

Subcompetenţele ConţinuturiActivităţi de învăţare şi evaluare

segmente, măsuri de unghiuri, perimetre, arii în situaţii reale şi/sau modelate.

Modelarea, descoperirea, activităţi în grup, studiu de caz cu aplicaţii practice, jocuri didactice, contra-exemplu, observarea independentă, demonstraţia, învăţarea reciprocă;

Activităţi de evaluare:- probe orale, scrise, metoda investigaţiei, metoda proiectului;

7

Valori şi atitudini

În aspectul şi dezvoltării competenţei interpersonale, civice, morale şi a competenţei culturale „Curriculumul opţional” , Matematica aplicată vizează formarea la elevi în procesul educaţional a următoarelor valori şi atitudini:

dezvoltarea unei gândiri deschise, creative şi a unui spirit de obiectivitate;

manifestarea curiozităţii şi a imaginaţiei în crearea de strategii, probleme, planuri de activitate, în rezolvarea şi realizarea acestora;

manifestarea tenacităţii, a perseverenţei, a capacităţii de concentrare, a încrederii în forţele proprii, a tendinţei realizării potenţialului intelectual, a responsabilităţii pentru propria formare;

încurajarea iniţiativei şi a disponibilităţii de a aborda sarcini variate; manifestare independenţei în gândire şi acţiune; dezvoltarea simţului estetic şi critic; aprecierea rigorii, ordinei şi eleganţei în arhitectura rezolvării unei

probleme, în aplicarea unei metode, unui algoritm sau a construirii unei teorii;

utilizarea terminologiei aferente matematicii în situaţii de comunicare; susţinerea propriilor idei şi puncte de vedere prin argumentare şi /sau

formulări de întrebări; cooperarea în calitate de membru al unui grup; angajarea în discuţii critice şi constructive de grup asupra unui subiect

matematic; adoptarea punctelor de vedere diferite, şi orientarea în vederea formării propriei viziuni;

formarea obişnuinţei de a recurge la concepte şi metode matematice în abordarea unor probleme în situaţii reale şi/sau modelate;

formarea şi dezvoltarea motivaţiei pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viitoarea profesie;

stimularea unor atitudini favorabile faţă de ştiinţă şi de cunoaştere în general.

8

Repartizarea temelor, cl. X

Nr. de ordine

TemeleNr. de ore

IIIIIIIV

Numeri reale. Puteri. Logaritmi. RadicaliEcuaţii. Inecuaţii. SistemeElemente de trigonometrieProbleme de geometrie plană.

121237

Total ore 34

9

Lista conţinuturilor propuse pentru formarea competenţelor propuse.

ConţinuturiNr. ore

I. Numeri reale. Puteri. Logaritmi. Radicali1. Proprietăţile modulului unui număr real. Demonstrarea

unor egalităţi şi a unor inegalităţi.2. Demonstrarea unor egalităţi cu radicali de ordin 2 şi 3.3. Demonstrarea unor inegalităţi cu radicali.4. Demonstrarea unor egalităţi logaritmi.5. Demonstrarea unor egalităţi cu ajutorul inducţiei

matematice.6. Demonstrarea unor inegalităţi cu ajutorul inducţiei

matematice.7. Calculul unor sume.

II. Ecuaţii. Inecuaţii. Sisteme1. Ecuaţii de gradul I şi II cu modul şi/sau parametru.2. Sisteme de ecuaţii de gradul I cu modul şi/sau

parametru.3. Ecuaţii raţionale cu modul şi/sau parametru.4. Inecuaţii de gradul I şi II cu modul şi/sau parametru.5. Ecuaţii iraţionale cu parametru.6. Ecuaţii exponenţiale cu modul şi/sau parametru.7. Ecuaţii logaritmice cu modul şi/sau parametru.

III. Elemente de trigonometrie1. Demonstrarea unor proprietăţi trigonometrice.2. Ecuaţii trigonometrice cu modul, parametru, cu soluţii

pe un interval dat.IV. Probleme de geometrie plană.

1. Rezolvarea triunghiurilor.2. Probleme de construcţie.3. Patrulatere.4. Cercul.

122

2112

2

21221

12122312

72221

10

Tipuri de activităţi de învăţare recomandate pentru formarea competenţelor vizate (metode, tehnici):

1 Activităţi în perechi cu control reciproc.2 Discuţii, argumentări orale şi în scris.3 Activităţi în grupuri mici, 4-5 elevi.4 Tehnica „Mozaic”(discuţii în perechi apoi în grup/ de sine-stătător apoi

în grup).5 Joc didactic „Domino”.6 Asalt de idei. Metoda „BBB”.7 Tehnica dezbaterilor.8 Tehnica „Matricea de asociere”.9 Tehnica „Mai multe capete la un loc”.

10 Tehnica „Rezolvare în lanţ”.11 Metoda „Studiu de caz”.12 Metoda „Investigaţiei”.13 Metoda „Proiectului”.

Forme de evaluare

1 Evaluări orale, individuale.2 Autoevaluare prin verificarea rezultatelor obţinute.3 Evaluare în perechi cu discutarea rezultatelor obţinute.4 Evaluare formativă.5 Evaluare sumativă.6 Metoda investigaţiei cu prezentarea rezultatului.7 Metoda proiectului cu prezentarea rezultatului.

Crezul instruirii active

Ce aud = uit !

Ce aud şi văd = îmi amintesc puţin !

Ce aud, văd şi întreb sau discut cu cineva = încep să înţeleg !

Ce aud, văd, discut şi aplic (fac) = însuşesc şi mă deprind !

Ce redau altcuiva = învăţ !

Ceea ce pun în practică = mă transformă !

11

Bibliografie

1. Ion Achiri, Petru Efros, Valetin Garit, Nicolae Prodan. Matematică. Manual pentru clasa a X-a, ed. Prut Internaţional, Chişinău, 2012.

2. Ion Achiri, Maria Efros, Petru Efros, Valentin Garit, Ana Popa, Valeriu Popa, Nicolae Prodan, Parascovia Sârbu. Matematică. Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasa a X-a. Ed. Prut Internaţional, Chişinău, 2001.

3. Ion Grati. Matematică. Modulul numărului. Ed. Univers pedagogic, Chişinău, 2006.

4. Liliana Niculescu. Probleme de matematică pentru liceu, clasa a IX-a. Ed. Cardinal, Craiova, 1996.

5. Victor Iavorschi. Matematica. Culegere de exerciţii şi probleme pentru clasele a X-XII, ed. Orhei, 2012.

6. Vavilov V.V., Melnicov I.I., Olehnic S.H., Pasicenco P.I., Zadaci po metematiche. Uravnenia i neravenstva, Moscva, Nauca, 1977.

7. Revista matematica v şcole, 2011-2012, Edinnîi Gosudarstvennîi Examen.

8. Revista matematica dlia şcolinicov, 2011-2013.9. Victor Iavorschii, Teste de matematică, Chişinău, Evrica, 1997.10. Victor Iavorschii, Teste pentru bacalaureat, ed. Prut Internaţional

2000.11. Nicolae Lachi, Paulina Lachi Teze semestriale la matematică pentru

cursul de liceu, Chişinău, 2010.12. C. Năstăsescu, C. Niţa, S. Popa, Algebră, manual pentru cl. X,

Bucureşti, 1992.13. Petre Simion, Nistor Nicolae, Valentin Niculă, Vasile Dilimoţ-Niţă,

Matematica. Breviar teoretic cu probleme şi exerciţii rezolvate, clasa a IX-a. Ed. Niculescu, Bucureşti, România.

14. Lucian Dragomir, Adriana Dragomir, Ovidiu Bădescu, Matematica pentru clasa a IX-a. Probleme de matematică. Ed. Paralela 45.

15. Fadeev D.C., Leaşenco N.N., Niculin M.Ţ., Socolovschii I.F. Zadaci po Alghebre, VI-VIII, Prosveşcenie, Moscva, 1988.

16. Simonov Alexandr Iacovlevici, Bacaev Dmitrii Sergheievici, Anelidman Alexandr Girşevici, i drugie. Sistema trenirovocinîh zadaci i uprajnenii po matematiche. Moscva. Prosveşcenie, 1991.

12

17. V.S Kramor, Povtoriaem i sistematiziruem şcolinîi curs alghebrî i gheometrii, Moscva, Prosveşcenie, 1990.

18. M.I. Scanavi, V.K. Egherev, V.V. Zaiţev, B.A. Kordenshii, T.N. Maslova, I.F. Orlovscaia, P.I. Pozoischi, G.S. Rihovscaia, Z.A. Scopeţ, N.M. Fiodorova, Sbornic concursnyh zadach po matematiche dlia postupaiuşcih vo Vtuzî. Izd. Vîsşaia Şcola, 1977, Moscva.

19. G.V. Dorofeev, N.M. Potapov, N.H. Rozov, Posobie po matematiche dlea postupaiuşcih v Vuzî. Izd. Nauca, 1976, Moscva.

13