matematic| – manual pentru clasa a ix-a · 2018-09-26 · cyan yellow magenta black cyanellow y...

13

Upload: others

Post on 11-Feb-2020

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

Cyan Yellow Magenta Black Cyan Yellow Magenta BlackM

ATEM

ATIC

|–

man

ual p

entru

clas

a a

IX-a

Trun

chi c

omun

+ cu

rricu

lum

dife

ren]

iat

CO

RIN

T�

Trunchi comun + curriculum diferen]iat

Pre]: 4,64 leiISBN 978-973-135-304-3

Page 2: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

�������������� ���������� �

��������������������������

�� ������������������� ���������

��� ����������

���������������� ��������� ��������� � ��������� ���� ������ �������������

��� ������������������������������ �� �������� ���������� � ��������������� ���

��� � ���������������� �������� ������������� ������������������������ ��������������

����� ��������� �������� ������������������������������ � ���������� �����

�������� �� �������������

��� ���������������� � ����������������������������������� �����������∅�

������������

������ � ������

� ������ � ���� ��

����� ��������������

��∈������∉��

∈!������ ��

∉!�������� ��

� ������ ���

���������

��⊂��������⊃��

⊂!� ������ ⊃!� �����

������������ ������ ��

��⊄ �

⊄!�������� ����

������������������������������������⊂���� ���⊂���"��� ������������ ���������#�

�������������� ���������

� ��������� ��� �� ��

��∩���$�%��&���∈���� ���∈��' ��∪���$�%��&���∈��������∈��'

Page 3: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

(

���������

� �����������������������

)��������������������� ���� *���� ��� �����+����������������������������������

���� ��� ,�������� �����+�������� ����� ����������� ������ �������������

-����� ���������.���������.��/��������� ���������������,������������ ��� ����� �

-����������������������������� � ���������0�������������������������������* �

����������� ��������������������

1�� ������������ ������������������������� ������ ��������������������� �

���������

2��������������� �������� ��* ���������� � ����� ����� � ���� ��* ���������� ���

���� ������������������������������������������� �

3����� �� �������� �������������������� �������������������0

��$�%4��5�����6����������7'�

�� ������

������������������� 8����������"�� ���� ���#������*������������

��� ���������� ������ ����������������� ���������������������������� �����"�����

�������#��������������� ����������������������� ����

)���� ��������4�� ������������������)���� ��������5�� ������������������

�������� ���� �� ��� ��

����$�%��&���∈���� ���∉��' ��9���$�%��&���∈���� ���∉��'

!��������������� ����×���$�%"����#�&���∈������∈��'�

����������� ��×���≠���×���

Page 4: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

:

��������������� ��������� !��������"��������

�� ������

�� ��� ���������������� ������������������������������ ��������"�

���������������* ������*����� �����������1���������������������� ��

������������ ������������������������� ���������

1����� �������������������������� ������������� ���*��� ��0����������� ������������

-����������� ������������������������0

�# �� ������� ������!�������!����� ��������� ������∈���"�������������#�

�# "�� ��#�;�������;�"�� ��#��"��!��#�<�������<�"��!��#��� ��������� ���������∈��

"�������������#�

�# ��;�4�$����� ��������� ���∈���"4���������������������������������#�

��<��5�$����� ��������� ���∈���"5�������������������������������� ��#�

�# ��<�"�� ��#�$���<���;���<����� ��������� ���������∈���"�����������������������������"���

����������#�

�����������

"� 2 ��������������������������� ����������8 ����������������������� �#�������������

�� ����������<�#�����"��≠�4#������ �������.��������� ����� ��� �����������������

����#�����0��������� �����#�������������������=���������������������8 ���������

��������� �������� ������ ���;�"��$��#�$�"�� ��#�.����������<�"��0��#�$�"��<��#�0���$���

$� >��������� ������� ������������� ��� �,���������� ��������� ,������ � ��?�� �

� ��������� ���������8 ������������ �������������������� ���

��������

"� =������$�6�∈���� ���$���∈�����6�;���$�������� ���$���.�6�∉���

$� =������$�:�∈���� ���$�6�∈�����:���#�$�6������ �#�$�6

:�∉���

1�������∈��@�� ���∈��@�������������

�$�

�� �

���

� � � �⋅ ⋅ ⋅ ⋅������� ������������%����������

����� ������ � ���������������� ������� �������� �������������������������������

1����������������∈��@��,��0

"� ��

�<���

�$���� ��

� �$��"��!��#�

�$���

�<���

� &����

�0���

�$���$�

����A���

'�� ( )� �

� �

� �

= ����≠�4� �(��"��

#�

�$����!��

��������������������������������

1��������������������������������� ������ ������������� �������� ����������

�����0�������8 �������������≠�4�������������������� �������� ���������������������������

��#����� �������������A���"1���������� ����������������������%����� ��������B��#�

-������������ �����������/���,��������� ������� ���

Page 5: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

C

���������

�������!���������������������������������������������������������

)���*��������=��������������������������� ��������������������/���� ������� ��

��A������A������������

+� ��� ����� �����,��- ����������=������A���� ������ �����������������������

����������� ��� ���A��� ���� ���!���A���!���

�������������*������1��������������������������������� ������A�4���8 �����

�����������������������������!���A���

D ������������������������� ���� ����� �����������������������������������

��������&����'��������������

�����������������������"����������������������� �

-���� �����,����������������� ������� ����������������������������������� ���

�����������������-���������������������8� ���������� � ��������� �����������������*

��$�%�����.���.5��4��5��������'�

1����� �����������������* ������� ������������� 0����������� �������������1��� �/

��� ���,�� � �������������������� �������������������������������,���� ���� ������

�������������* �������������������������� ����*����������� ���� �� �

�� ������

1������ �����∈�����8 �������������.��∈��������������������������������

�������� ������0

��;�".�#�$�".�#�;���$�4

�������!����������������������������������"��������� ���������"������

�# =��������#������ ��� �����#� ���� ������#���� ��������� ����#����∈���

�# =������ �����#� �������� �����#��� ��������� ����#����∈���

�# =���������#�����≠�4������ �����#��� ��������� ����#����∈���

�# =�������#�A�4�������#�B�4������ ���!�#�A�4��� ��������� ����#�∈���

�# =������A�4��#�B�4������B�4��#�A�4������ ���<�#�B�4�� ��������� ����#�∈���

�# =������$�4��#�∈������#�$�4����∈�������� ���<�#�$�4�

*# ������ �����������������* ��� ������������������������* ���������������������*�

E��������� �����������������������������@�� ������ �����������������*

���������@�

Page 6: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

7

Elemente de logicã matematicã ºi teoria mulþimilor

2.3. Mulþimea numerelor raþionale; operaþii algebriceÎmpãrþirea necesitã o mulþime de numere în care sã se poatã efectua ºi alte operaþii

decât cele admise pentru numerele întregi.Rezolvarea ecuaþiei de forma ax = b, cu a, b ∈ � a condus la introducerea numerelor

raþionale ºi a mulþimii � = { }∈ ≠�, , 0a a b bb

.

Aºadar, un numãr raþional este o fracþie ab

, unde a, b ∈ �, b ≠ 0.

Definiþie

Fracþiile ab

ºi cd

, a, c ∈ � ºi b, d ∈ �* se numesc echivalente dacã a · d = b · c.

Mulþimea tuturor fracþiilor echivalente cu o fracþie datã se numeºte numãr raþional.

Exemplu:

Mulþimea fracþiilor { }1 2 3, , , ...3 6 9

obþinute prin

amplificare sau simplificare reprezintã numãrul

raþional unic 13

.

Observaþii:1. Orice numãr întreg poate fi scris ca o fracþie cu numitorul 1.2. În clasele anterioare, pe mulþimea numerelor raþionale a fost definitã o relaþie de ordine.3. Mulþimea numerelor raþionale este înzestratã cu operaþiile de adunare ºi înmulþire.

Considerãm cunoscute proprietãþile relaþiei de ordine ºi ale operaþiilor cu numere raþionale.

Mulþimea numerelor raþionale pozitive se noteazã �+ = { }∈ ≠ >�| , , 0, 0a aa b bb b

.

Mulþimea numerelor raþionale negative se noteazã �– = { }∈ ≠ <�| , , 0, 0a aa b bb b

.

Page 7: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

F

���������

��#����$������% ��������������������������

���������������� ���������,��������� ����������� ���������� ���� ����������� 0

� ���������������� ���� �����"��������������������������* #�

� ���������������� ����� �����"� � ������ �� � ������ � ��#�

$�&�"�"��)��������������� ���������� ��������� ���������������

-�� �������*� ������������� �������������������������������������������� ���� ����

�"������≥�4����A�4#���������� ����� �����"� � ������ �� � ������� � ���� ������ �� 8��#�

��������

>��������������������� ���� �������������������� ��� ����0

�#(

:���#�

(5

66���#�

G

5��

?������������������������� ��������� ��������������, �*������������� �������� ���

�������� ������ ����-,��0

�#(

:�$4�F���#�

(5

66�$�5��(�(������#�

G

5��$�4�:F66�����

-��������� �� ������ ��������8�������#������ ����� ������� ��������� � �����������

����, �*����,����������� � �������� �����������

����8���������#�� ��#������� ������ ������� ��������� � ������,���������������, �*��

������� �� � �������� �����

2���� ������ ��������������������� ��������� ������������������� �� � ��������� ���

������ �������������������������

����8�������#��*�������"�(#��������������������-������� ����� �������� ����

� ����5�"�(#�

����8�������#����� ���������6�� �������� ��4�:F66���������� ����������4�:F"6#�

�� ������

� 2���� �������������� ����������� ��� �������, �*������������ ������

����������������

� 2���� �������������� ������������� ��� �������, �*������������ ������

���������������

� 2���� ������ � ���� 8���������, �*����������� ��������� ���������

���������������� �� � ��������� ��-�������������������� � �����������������

����������������� ����������

1� ���������� ����������� ���������� ���� ���������� ����� ������ � ���"�8����#���

�������� ����� ����� �� � ������ � ����=������������� �������� ����� ������ � ������ �� � ��

��� � ��������� ����� ��� ������"H#������� �������������� ����

Page 8: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

H

��������������� ��������� !��������"��������

$�&�"�$��)������������� ���������������� � ��������� � ������������

��� ���������� ���

�# =�����4�∈���� ��

5���

���������

(������ ��������� �

4 5 �� ���

(� � � � �$��

4

5 �

����

���

5 44���4

(

(

� � �

����

��������

6��(�$�6�(

5444�$�

64�( 6GF

5444 5�:= ��.6�4�($.6

�(

5444�$�.

64�(

5444�$�.

6GF

5�:�

�# =�����4�∈���� ��

5���

���������

(������ ��������� ��

4�"�

5������

(#�$��

4

5 �

� ���

���

HH���H

(

(

� � �

����

��������

4�"�6C#�$��6C

HHH��.4�"�6C#�$�.

�6C

HHH�

�# =�����4�∈���� ��

5���

���������

(����

(;5��������

(;������� ���������

�4��

5������

("�(�;�5

����(�;��

#�$��4

+ −

������

5 � 5 �

�� ����� ���

��� ���

HH���H44���4

( � (

(�

� � � � � �

��������

5��"6C#�$�5�6C �

HH4

−�$�5

�6(

HH4�$�5

56

::��.5��"6C#�$�.5

56

::�

����������� �� �������� ����� ������ � ����������� � ��������� ��������

I�� ������,�����������������0

&�����

�� ����������� ������������� ����������� ������������ ������ ���� ����

� � ���������� ������ ���� ����� �� � ������ � �������� ����� ��� ������H�

����������� =���������� ����8 ������������ ������ ���������� ����H������ ���� ����

��*�������� ��������� ���������������������� ��� ���

�������

5G�"H#�$�5GH

H�$�5G�;�5�$�5F�� ���5F�$�5F�"4#�

1��������������� � ��������� �� ������������ ������������� ���� ��������,����

������ ������������ ������ ���������� ����H������,����� ������ ���������� ������ ����

� � ����������� � �� � ������ � �������� ����4�

Page 9: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

239

Exerciþii ºi problemerecapitulativeC

AP

ITO

LU

L

111. Algebrã1. Cercetaþi dacã existã numere naturale care împãrþite la 2n + 2 sã dea restul 2n ºi

împãrþite la 2n sã dea restul 2n – 1, unde n este numãr natural nenul.

2. a) Determinaþi n ∈ � pentru care numãrul 1! + 2! + 3! + ... + n! este pãtrat perfect.b) Arãtaþi cã un produs de 2 numere naturale consecutive nu este pãtrat perfect.c) Arãtaþi cã un produs de 3 numere naturale consecutive nu este cub perfect.

3. a) Arãtaþi cã existã 7 numere naturale consecutive neprime.b) Arãtaþi cã existã n numere naturale consecutive neprime, oricare ar fi n∈ �*.

4. Arãtaþi cã urmãtoarele numere sunt prime între ele:a) 3n + 2 ºi 4n + 3, n ∈ �; b) k · n + k – 1 ºi (k + 1)n + k, n ∈ �, k ∈ �*.

5. a) Arãtaþi cã fracþia 22 3nn++ este ireductibilã, oricare ar fi n ∈ �.

b) Arãtaþi cã fracþia 2 2 1

n kn k

++ − , n ∈ �, k ∈ �* este ireductibilã.

6. Determinaþi n ∈ � astfel încât:

a) 2 1n + ∈ �; b) 2 2003n + ∈ �.

7. Determinaþi x, y ∈ � astfel încât:

a) x + y = 1960 ; b) x + y = 2250 .

8. a) Fie k ∈ � ºi mulþimea H = {a + b 2 | a, b ∈ �, a2 – kb2 = 1}. Determinaþi ovaloare strict pozitivã a lui k astfel încât pentru orice x, y ∈ H sã avem xy ∈ H.

b) Fie k ∈ � ºi mulþimea H = {a + b 3 | a, b ∈ �, a2 – kb2 = 1}. Determinaþi ovaloare strict pozitivã a lui k astfel încât pentru orice x, y ∈ H sã avem xy ∈ H.

9. a) Fie a, b, c ∈ � astfel încât a + b + c ∈ � ºi a2 + b2 + c2 ∈ �. Demonstraþi cã ab + bc + ca ∈ �.

b) Fie a, b, c ∈ � astfel încât a + b + c ∈ �, a2 + b2 + c2 ∈ �, a3 + b3 + c3 ∈ �.Demonstraþi cã abc ∈ �.

10. Arãtaþi cã 2 , 2 3+ , 2 3 5+ + nu sunt numere raþionale.

11. Fie a, b, c ∈ � astfel încât a3 + b3 + c3 ºi a + b + c se divid cu 7.Demonstraþi cã abc se divide cu 7.

12. Fie x, y ∈ �* ºi z = xy

x y+ , x + y ≠ 0. Arãtaþi cã x2 + y2 + z2 este pãtratul unui numãr raþional.

(RMT 2/185)

Page 10: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

285

Cuprins1. Elemente de logicã matematicã ºi teoria mulþimilor ........................................ 3

1. Relaþii ºi operaþii cu mulþimi (recapitulare) ............................................................... 31.1. Relaþii ......................................................................................................................... 31.2. Operaþii cu mulþimi .................................................................................................... 3

2. Mulþimea numerelor reale .......................................................................................... 42.1. Mulþimea numerelor naturale; operaþii algebrice ....................................................... 42.2. Mulþimea numerelor întregi; operaþii algebrice .......................................................... 62.3. Mulþimea numerelor raþionale; operaþii algebrice ...................................................... 72.4. Mulþimea numerelor reale ........................................................................................ 112.5. Intervale de numere reale ........................................................................................ 252.6. Inegalitãþi remarcabile ............................................................................................. 29

3. Elemente de logicã matematicã ................................................................................ 373.1. Enunþ, propoziþie, valoare de adevãr ....................................................................... 373.2. Operaþii logice elementare în mulþimea propoziþiilor ............................................... 383.3. Predicate. Cuantificatori ........................................................................................... 443.4. Echivalenþa ºi corelarea operaþiilor logice elementare cu operaþiile ºi relaþiile

cu mulþimi ................................................................................................................ 493.5. Condiþii necesare, condiþii suficiente ........................................................................ 51

4. Tipuri de raþionamente logice .................................................................................. 544.1. Legea dublei negaþii ................................................................................................. 544.2. Legea terþiului exclus ............................................................................................... 544.3. Reducerea la absurd ................................................................................................. 544.4. Inducþia matematicã ................................................................................................ 55

2. Funcþii definite pe mulþimea numerelor naturale: ºiruri, progresii.Probleme de numãrare ..................................................................................... 61

1. Modalitãþi de a defini un ºir; ºiruri mãginite, ºiruri monotone ............................... 611.1. ªiruri; generalitãþi .................................................................................................... 611.2. Modalitãþi de a defini un ºir ..................................................................................... 621.3. ªiruri mãrginite ........................................................................................................ 631.4. ªiruri monotone ....................................................................................................... 64

2. Progresii aritmetice ................................................................................................... 692.1. Definirea progresiei aritmetice ................................................................................. 692.2. Proprietãþile progresiei aritmetice ............................................................................ 702.3. Formula termenului general al unei progresii aritmetice .......................................... 712.4. Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii aritmetice ................................ 72

3. Progresii geometrice ................................................................................................. 763.1. Definirea progresiei geometrice ............................................................................... 763.2. Proprietãþile progresiei geometrice .......................................................................... 773.3. Formula termenului general al unei progresii geometrice ........................................ 783.4. Formula sumei primilor n termeni ai unei progresii geometrice ............................... 79

*

Page 11: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

286

CUPRINS

4. Probleme de numãrare ............................................................................................. 834.1. Completarea unui ºir cu încã p termeni, p * ....................................................... 834.2. Numãrarea termenilor dintr-un ºir ........................................................................... 834.3. Determinarea termenului de pe locul n, n 1, dintr-un ºir ...................................... 844.4. Aflarea sumei primilor n termeni dintr-un ºir .......................................................... 844.5. Numãrarea unor numere care au o anumitã proprietate .......................................... 854.6. Aflarea poziþiei ocupate de un numãr într-un ºir ...................................................... 874.7. Numãrarea apariþiilor unei cifre în scrierea unui numãr .......................................... 88

3. Funcþii, lecturi grafice ....................................................................................... 911. Reper cartezian, produs cartezian ............................................................................ 91

1.1. Reper cartezian ........................................................................................................ 911.2. Produsul cartezian a douã mulþimi .......................................................................... 921.3. Drepte în plan de forma x = m sau y = m, m 94

2. Funcþii ....................................................................................................................... 952.1. Noþiunea de funcþie .................................................................................................. 952.2. Modalitãþi de a descrie o funcþie .............................................................................. 962.3. Funcþii egale ............................................................................................................. 972.4. Prelungirea ºi restricþia unei funcþii ......................................................................... 982.5. Graficul unei funcþii ................................................................................................. 982.6. Imaginea ºi preimaginea unei funcþii ....................................................................... 982.7. Funcþia identicã ...................................................................................................... 1002.8. Lecturi grafice ........................................................................................................ 100

3. Funcþii numerice. Operaþii cu funcþii numerice ...................................................... 1043.1. Operaþii cu funcþii numerice ................................................................................... 1043.2. Graficul unei funcþii numerice ................................................................................ 1043.3. Intersecþia graficului cu axele de coordonate ......................................................... 1053.4. Funcþii mãrginite .................................................................................................... 1053.5. Funcþii pare ºi funcþii impare ................................................................................. 1063.6. Simetria graficului unei funcþii faþã de drepte de forma x = m, m ,

sau faþã de puncte oarecare din plan ...................................................................... 1063.7. Funcþii monotone ................................................................................................... 1073.2. Funcþii periodice .................................................................................................... 108

4. Compunerea funcþiilor ............................................................................................ 109*5. Inversa unei funcþii ................................................................................................. 112

4. Funcþia de gradul întâi ................................................................................... 1151. Definiþia funcþiei de gradul întâi ºi reprezentarea geometricã a graficului ........... 1152. Monotonia ºi semnul funcþiei de gradul întâi ........................................................ 1173. Inecuaþii de forma ax + b 0, ax + b 0, ax + b > 0, ax + b < 0 ........................ 119

3.1. Semnul unui produs ............................................................................................... 1203.2. Semnul unui raport ................................................................................................ 121

4. Poziþiile relative a douã drepte în plan ................................................................... 122

5. Sisteme de forma ax by cmx ny p

, a, b, c, m, n, p 122

5.1. Metode de rezolvare ............................................................................................... 123

6. Sisteme de inecuaþii de gradul întâi ....................................................................... 125

Page 12: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

287

CUPRINS

5. Funcþia de gradul al doilea ............................................................................. 1301. Definiþia funcþiei de gradul al doilea ...................................................................... 1302. Reprezentarea geometricã a graficului funcþiei de gradul al doilea ....................... 1313. Relaþiile lui Viète ..................................................................................................... 134

4. Rezolvarea sistemelor de forma x+ y = sxy = p , s, p ............................................. 135

6. Interpretarea geometricã a proprietãþilor algebriceale funcþiei de gradul al doilea ...................................................................... 137

1. Monotonia funcþiei de gradul al doilea ................................................................... 1372. Semnul funcþiei de gradul al doilea ........................................................................ 1393. Inecuaþii de gradul al doilea ................................................................................... 141

3.1. Exemple de rezolvare ............................................................................................. 1413.2. Alte tipuri de inecuaþii de gradul al doilea ............................................................. 1423.3. Imagini ºi preimagini ale unor intervale ................................................................. 143

4. Sisteme de forma 2mx n yax bx c y

, a, b, c, m, n ................................................ 144

4.1. Metoda de rezolvare .............................................................................................. 1444.2. Poziþia relativã a unei drepte faþã de o parabolã .................................................... 1454.3. Interpretarea geometricã ........................................................................................ 1454.4. Sisteme reductibile la cele studiate ........................................................................ 147

5. Sisteme de forma ..... 148

5.1. Metoda de rezolvare .............................................................................................. 1485.2. Interpretarea geometricã ........................................................................................ 148

7. Vectori în plan ................................................................................................. 154Introducere ................................................................................................................... 154

1. Vectori ..................................................................................................................... 1541.1. Segment orientat, relaþia de echipolenþã, vectori, vectori coliniari ........................ 1541.2. Direcþie ................................................................................................................... 1551.3. Sens ....................................................................................................................... 1561.4. Lungime ................................................................................................................. 1561.5. Segmente echipolente. Vectori ............................................................................... 157

2. Operaþii cu vectori .................................................................................................. 1592.1. Adunarea vectorilor ............................................................................................... 1592.2. Înmulþirea unui vector cu un numãr real ............................................................... 1612.3. Raportul în care un punct împarte un segment orientat ........................................ 1622.4. Descompunerea unui vector dupã douã direcþii date ............................................. 162

8. Coliniaritate, concurenþã, paralelism – calcul vectorial în geometria planã .... 1651. Vectorul de poziþie al unui punct ............................................................................ 1652. Vectorul de poziþie al punctului care împarte un segment într-un raport dat.

Teorema lui Thales; condiþii de paralelism ............................................................. 1672.1. Vectorul de poziþie al punctului care împarte un segment într-un raport dat ......... 1672.2. Teorema lui Thales ................................................................................................. 1682.3. Condiþii de paralelism ............................................................................................ 169

, a1, a2, b1, b2, c1, c2 ∈∈∈∈∈ �, a1 ≠≠≠≠≠ 0, a2 ≠≠≠≠≠ 0

Page 13: MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a · 2018-09-26 · Cyan Yellow Magenta Black Cyanellow Y Magenta Black MATEMATIC| – manual pentru clasa a IX-a Trunchi comun + curriculum

288

CUPRINS

3. Vectorul de poziþie al centrului de greutate al unui triunghi.Concurenþa medianelor unui triunghi .................................................................... 1693.1. Vectorul de poziþie al centrului de greutate al unui triunghi .................................. 1693.2. Concurenþa medianelor .......................................................................................... 170

4. Teorema bisectoarei. Vectorul de poziþie al centrului cercului înscrisîntr-un triunghi ....................................................................................................... 1714.1. Teorema bisectoarei ............................................................................................... 1714.2. Vectorul de poziþie al centrului cercului înscris într-un triunghi ............................. 173

5. Ortocentrul unui triunghi. Relaþia lui Sylvester. Concurenþa înãlþimilor ............... 1745.1. Relaþia lui Sylvester ºi aplicaþii ............................................................................... 1745.2. Concurenþa înãlþimilor ........................................................................................... 176

6. Teorema lui Menelaos; teorema lui Ceva ................................................................ 1776.1. Teorema lui Menelaos ºi aplicaþii ........................................................................... 1776.2. Teorema lui Ceva ºi aplicaþii .................................................................................. 179

9. Elemente de trigonometrie ............................................................................ 1841. Cercul trigonometric ............................................................................................... 1842. Funcþii trigonometrice definite pe [0, 2], respectiv [0, ] .................................... 1873. Funcþii trigonometrice definite pe 190

3.1. Funcþiile sinus ºi cosinus ........................................................................................ 1903.2. Funcþia tangentã .................................................................................................... 1923.3. Funcþia cotangentã ................................................................................................. 194

4. Formule de reducere la primul cadran ................................................................... 1965. Formule trigonometrice (pentru sume, diferenþe) ................................................. 2006. Formule trigonometrice pentru dublul unui numãr ............................................... 2067. Formule pentru sin x ºi cos x în funcþie de tg

2x ...................................................... 207

8. Formule pentru transformarea sumei în produs .................................................... 2139. Formule pentru transformarea produselor de funcþii trigonometrice

în sume sau diferenþe ............................................................................................. 214

10. Aplicaþii ale trigonometriei ºi ale produsului scalar a doi vectoriîn geometria planã ......................................................................................... 220

1. Produsul scalar a doi vectori ................................................................................. 2201.1. Definiþie, proprietãþi ............................................................................................... 2201.2. Teorema cosinusului ............................................................................................... 2221.3. Teorema lui Stewart ............................................................................................... 2241.4. Rezolvarea triunghiului dreptunghic ...................................................................... 225

2. Aplicaþii vectoriale ºi trigonometrice în geometrie ................................................ 2272.1. Teorema sinusurilor ............................................................................................... 2272.2. Rezolvarea triunghiului oarecare ........................................................................... 2272.3. Calculul razei cercului înscris ºi a cercului circumscris triunghiului ....................... 2292.4. Calculul lungimilor unor segmente importante din triunghi .................................. 2302.5. Calcul de arii .......................................................................................................... 233

11. Exerciþii ºi probleme recapitulative .............................................................................. 239

Indicaþii ºi rãspunsuri .................................................................................................... 259

Bibliografie .................................................................................................................... 284

*