CUPRINSALGEBR I. Elemente de logic matematic . 3II. Mulimi . 6III. Relaii binare ... 9IV. Funcii . 11V. Operaii cu numere reale .. 1VI. Ecuaii !i inecuaii de gradul "nt#i ... 1$VII. %umere comple&e .. 16VIII. Ecuaii !i inecuaii de gradul al II'lea ... 1(I). Ecuaii algebrice de gradul III* IV !i V ... $). +ogaritmi .. $)I. Metoda induciei matematice .. 6)II. ,nali- combinatorie . .)III. /rogre0ii ... 9)IV. /olinoame . 31)V. /ermutri* matrici* determinani 3)VI. 2i0teme lineare . 33)VII. 2tructuri algebrice ... 36GEOMETRIE I TRIGONOMETRIEI. 4riung5iul .. 39II. /oligoane con6e&e $1III. Relaii metrice "n triung5i ... $1IV. /atrulatere ... $V. /oligoane "n0cri0e "n cerc . $3VI. 7ercul .. $3VII. 7omplemente de geometrie plan . $$VIII. /oliedre . $3I). 7orpuri rotunde ... $9). Funcii trigonometrice .. 31)I. Formule trigonometrice .. 31)II. In6er0area 8unciilor trigonometrice .. 33)III. 2oluiile ecuaiilor trigonometrice 0imple 3$)IV. Elemente de geometrie analitic 331ANLIZ MATEMATIC I. 2iruri .. 39II. +imite de 8uncii ... 61III. Funcii deri6abile 6$IV. ,0imptote 6.V. /rimiti6e ... 6(VI. Integrale de8inite . .1

ALGEBRI. Elemente de logic mtemticI.!. No"i#ne de $%o$o&i"ie9e8iniia I.1.1. Se numete propoziie un enun despre care se poate spune ceste adevrat sau fals, adr nu i adevrat i fals simultan.2e notea- cu p,q, P, QE&:1; < : ace0ta e0te un enun care e&prim un ade6r* deci o propo-iieade6rat.; & = 3 > 3* &% e0te o propo-iie 8al0* pentru c nu e&i0t nici unnumr natural a0t8el ca & = 3 > 33; & ?* &*?% e0te un enun de0pre care nu 0e poate 0pune nimic. 9ecinu e0te o propo-iie.Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii. 9ac o propo-iie pe0teade6rat0e0punecare6aloarealogic0au6aloareadeade6r: ade6rul@acea0t6aloaredeade6r0enotea-cu0imbolul 10aua!i 0criem v(p)=10au(v)p = a. 9aca o propo-iie qe0te 8al0* 0e 0pune c are 6aloarea de ade6r: 8al0ul@acea0t6aloaredeade6r0enotea-cu0imbolul 10auf!i 0criem v(q) =00auv(q) = f.I.'. O$e%to%i logiciNegaia9e8iniia I.1.. Negaia unei propoziii $ este propoziia care este fals cnd $este adevrat i este adevrat cnd p este fals. 2e notea-: non p, 1 p* p.4abela de ade6r a propo-iieinon p0e "ntocme!te be ba-a relaieiv(non p) = 1 v(p).p non p1 11 1Conjuncia9e8iniia I...Conjunciaa dou propoziii$i(este propoziia care esteadevrat dac i numai dac fiecare propoziie $ i ( este adevrat.2e notea-: p q 34abela de ade6r a propo-iiei p q e0te:p q pq1 1 11 1 11 1 11 1 1Disjuncia9e8iniia I..3.Disjunciaa dou propoziii$ i(este propoziia careeste adevrat dac i numai dac cel puin una din propoziiile $) (esteadevrat.2e notea-: p q4abela de ade6r a propo-iiei p q e0te:p q pq1 1 11 1 11 1 11 1 1mplicaia9e8iniia I..$. mplicaia propoziiilor $ i ( este propoziia care este fals dac i numai dac $ este adevrat i ( este fals.2e notea-: (non p) 0au q, pq !i 0e cite!te: Ap implic qB 0au Adac p* atunciqB. /ropo-iia p e0te ipote-a* iar propo-iia q e0te conclu-ia.4abela de ade6r a propo-iiei pq e0te:p q non p (nonp)q1 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1$!c"ivalena logic9e8iniia I..$. #ropoziiile $ i ( sunt ec"ivalente logic, dac i numai dac$) ( sunt adevrate sau false simultan.2enotea-(nonp)q!i(nonq)p@ Cpq; !i Cqp;@pq@ 0ecite!te: Apec5i6alent cu qB 0au Ap dac !i numai dac qB* Ap e0te condiie nece0ar !i 0u8icientpentru qB.4abela de ade6r a propo-iiei compu0e pq e0te:p q non p non q pq qp (pq) (qp)1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1I.*. E+$%e,ii -n clc#l#l $%o$o&i"iilo%/ropo-iiile p,q, r, 8iind date* cu aDutorul operatorilor logici1****putem 8ormula di8erite e&pre0ii* care 0e nume0c formule ale calculului cu propoziiisau e$presii logice. Ele 0e notea- 0au (p,q,r,), (p,q,r,).Enlocuind"npep,q,r,cudi8eritepropo-iii obinemoaltpropo-iie*ade6rat 0au nu* a crei 6aloare de ade6r 0e nume!te valoarea e$presiei * obinutpentru propo-iiile p,q,r, re0pecti6e.9e8iniia I.3.1. % e$presie logic care se reduce la o propoziie adevrat,oricare ar fi propoziiile p,q,r, se numete tautologie.9e8iniiaI.3..Doue$presii logiceisenumescec"ivalentedacinumai dac pentru orice propoziii p,q,r, cele dou e$presii reprezint propoziiicare au aceeai valoare de adevr. &n scris se noteaz .I... No"i#ne de $%edict9e8iniia I.$.1. Se numete predicat sau propoziie cu varia'ile un enun caredepindedeovaria'ilsaudemai multevaria'ilei areproprietateacpentruorice valori date varia'ilelor se o'ine o propoziie adevrat sau o propoziie fals./redicatele0enotea-p(z,y,z,), q(x,y,z,)!i pot 8i unareCdeo6ariabil;*binare Cde dou 6ariabile;* ternare Cde trei 6ariabile;* etc.* 6ariabilelex,y,z, lu#nd6alori "n mulimi date.9e8iniia I.$.. #redicatele p(z,y,z,), q(x,y,z,) se numesc ec"ivalente dac,oricare ar fi valorile pe care le iau x,y,z, (n unul i acelai domeniu, propoziiilecorespunztoare au aceleai valori de adevr. Scriem p(z,y,z,) q(x,y,z,).3I./. C#nti0icto%i9e8iniiaI.3.1.)iep*$+, cuxM, unpredicat. Dace$ist*cel puin+unelementxM, astfel(nct propoziiap(x)esteadevrat, atunciscriem xp(x),Cx;p(x)0auCxM;p(x).Sim'olulsenumetecuantificator e$isteniali secitete ,e$ist-.9e8iniiaI.3..)iep*$+cuxM, unpredicat. Dacp*$+esteopropoziieadevrat pentru oricexM, atunci scriemxpx,Cx;p(x) sauCxM;p(x).Sim'olul se numete cuantificator universal i se citete ,oricare ar fi-.Proprietatea de o!utativitate a uantifiatori"or#1. C&;C?;pC&*?; C?;C&;pC&*?;@. C&;C ?;pC&*?; C?;C &;pC&*?;@$e%u"i de ne%are#1. 1CC&;pC&;; CC&;1CpC&;;@. 1CC&;pC&;; CC&;1CpC&;;@3. 1CC&;C?;pC&*?;;CC&;C?;1pC&*?;;@$. 1CC&;C ?;pC&*?;;CC &;C ?;1pC&*?;;@I.1. Metod de demon,t%"ie $%in %ed#ce%e l 2,#%d,cea0tmetod0eba-ea-petautologia(pq)(nonpnonq)* carenearat c pentru a demon0tra c pq* e0te totuna cu a demon0tra c non pnon q.I.3. P%o$%iet"i 0#ndmentle le o$e%to%ilo% logiciOricare ar 8i propo-iiile p,q,r, a6em:1. non(non p) p&. (pq) (qp) Ccomutati6itatea conDunciei;@3. ((pq)r) (p(qr)) Ca0ociati6itatea conDunciei;@$. (pq) (qp) Ccomutati6itatea di0Dunciei;@3. ((pq) r) (p (qr)) Ca0ociati6itatea di0cDunciei;@6. ((pq)(qr))(pr) Ctran-iti6itatea implicaiei;@.. non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan@non(pq) (non p)(non q)(. (p(qr)) ((pq)(pr)) conDuncia e0te di0tributi6 "n raport cu di0Duncia !i (p(qr)) ((pq)(pr)) di0Duncia e0te di0tributi6 "n raport cu conDunciaII. M#l"imi6.oduri dedefinireamulimilor. Mulimile 0ede8ine0c8ieprinindicareaelementelor lor Cde pild F1*1*3G 0au F&*?*-G;* 8ie prin 0peci8icarea unei proprieticaracteri0tice a elementelor lor Cde e&emplu F&R&

H 3& => 1G;.Mulimile 0e notea- cu litere mari: ,* I* 7* )* J* K* iar elementele lor culitere mici: a* b* c*/partenenaunui element laomulime. 9acunelementaaparineuneimulimi '* ace0ta 0e notea- a' !i 0e cite!te Aa aparine lui 'B.9e8iniie..ulimeavidestemulimeacarenuarenici unelement. Senoteaz cu .II.!. Eglitte m#l"imlo% / 4i 01C, > I; C&, &I; !i C?I ?,;Propriet()i"e e%a"it()ii#1. ,* , > , Cre8le&i6itatea;@. C, > I; CI > ,; C0imetria;@3. C, > I I > 7; C, > 7; Ctran-iti6itatea;@II.'. Incl#&i#ne m#l"imii / -n m#l"ime 01C, I; C&, & I;Mulimea , 0e nume!te o parte 0au o su*!u")i!e a lui I.Propriet()i"e in"uziunii#1. ,* , , Cre8le&i6itatea;@. C, I; CI ,; C, > I; Canti0imetria;@3. C, I I 7; C, 7; Ctran-iti6itatea;@$. ,* ,Relaia de neinclu-iune 0e notea- , I.II.*. Re#ni#ne m#l"imilo% / 4i 01, I > F&&, &IGPropriet()i"e reuniunii#1. ,* I: , I > I , Cre8le&i6itatea;@. ,* I* 7: C, I; 7; > , CI 7; Ca0ociati6itatea;@3. ,: , , > , Cidempotena;@$. ,: , > ,@3. ,* I: , , I* I , I..II... Inte%,ec"i m#l"imilo% / 4i 01, I > F&&, &IGPropriet()i"e interse)iei#1. ,* I: , I > I , Ccomutati6itatea;@. ,* I* 7: C, I; 7 > , CI 7; Ca0ociati6itatea;@3. ,: , , > , Cidempotena;@$. ,: , > 3. ,* I: , I ,* , I I6. ,* I* 7: C, I; 7 > C, 7; CI 7; Cdi0tributi6itatea inter0eciei 8a dereuniune;@.. ,* I* 7: C, I; 7 > C, 7; CI 7; Cdi0tributi6itatea reuniunii 8a deinter0ecie;@(. ,* I: , C, I; > ,* , C, I; > , Cab0orbia;.9e8iniie..ulimile' i+carenuaunici unelement comunsenumescdisjuncte. #entru ele avem ' + > .II./. 5i0e%en" m#l"imilo% / 4i 01, L I > F&&, &IGPropriet()i"e diferen)ei#1. ,: , L , > @. ,* I* 7: C, L I; 7 > C, 7; L CI 7;@3. ,* I: , L I > , L C, I;@$. ,* I: , > C, I; C, L I;@3. ,* I* 7: , L CI 7; > C, L I; L 7@6. ,* I* 7: , L CI 7; > C, L I; C, L 7;@.. ,* I* 7: C, I; L 7 > C, L 7; CI L 7;@(. ,* I* 7: C, I; L 7 > , CI L 7; > C, L 7; I.II.1. 5i0e%en" ,imet%icm#l"imilo% / 4i 01, I > C, L I; CI L ,;Propriet()i"e diferen)ei si!etrie#1. ,: , , > @. ,* I: , I > I , Ccomutati6itatea;@3. ,: , > , > ,@$. ,* I* 7: C, I; 7 > , CI 7; Ca0ociati6itatea;@3. ,* I* 7: , CI 7; > C, I; C, 7;@(6. ,* I: , I > , I L C, I;II.3. Com$lement% #nei m#l"imi / -n %$o%t c# m#l"ime !1C' 8iind o parte a lui ,* adic ',;7E, > F&&E &,GPropriet()i# C,* IE;1. 7EC7E,; > , Cprincipiul reciprocitii;@. 7E, > E L ,@3. 7E > E@$. 7EE > @3. , 7E, > , Cprincipiul e&luderii teriului;@6. , 7E, > Cprincipiul necontradiciei;@.. , I 7EI 7E,@(. , L I > 7EC, I;.II.6. 7o%m#lele l#i de Mo%gn C,* IE;7EC, I; > 7E, 7EI@ 7EC, I;> 7E, 7EI.II.8. P%od#,#l c%te&indo# m#l"imile / 4i 01, & I > FCa*b;a, bIGPropriet()i"e produsu"ui artezian C ,*I*7*9 a6em;:1. , & I I & ,* dac , I@. C, & I; C, & 7; > , & CI 7;@3. C, I; & 7 > C, & 7; CI & 7;@$. C, I; & 7 > C, & 7; CI & 7;@3. C, L I; & 7 > , & 7 L I & 7@6. C, I; & C7 9; > C, & 7; CI & 9;9e8iniia II.9.1. .ulimile ' i + se numesc ec"ipotente dac e$ist o 'ijecie de la ' la +.9e8iniia II.9.. )ie , o mulime. /ceasta se numete finit dac , = sau dac e$ist n-, astfel (nct , este ec"ipotent cu mulimea .1,/,,n0.9e8iniiaII.9.3.%mulime,senumeteinfinitdaceanuestefinit.E&emple de mulimi in8inite 0unt: N) Z) 9) R.9e8iniia II.9.$.)ie ,o mulime./ceasta se numete numra'ildac esteec"ipoent cu N. E&emplu: Mulimea numerelor raionale.9e8iniia II.9.3.% mulime se numete cel mult numra'ildac este finitsau numra'il.9e8iniia II.9.6.)ie ,o mulime. Se numete cardinalulacestei mulimi unsim'o asociat ei, notat E sau ard ,, astfel (nct E > F * dac i numai dac ,9este ec"ipotent cu 12 cardinalul mulimii vide se noteaz cu 0, cardinalul mulimii.1,/,,n0 cu n-, senoteaz cu n, iar cardinalul mulimii N se noteaz cu x0 *alefzero+.4eorema II.9.1. )ie ' i + dou mulimi finite. /tunci1, I > , = I ', I 4eorema II.9.. )ie ', + i 2 trei mulimi finite. /tunci1, I 7> , =I =7 ' , I ' , 7 ' I 7 = , I 7 III. Rel"ii 2in%e3elaia 'inar pe o mulime9e8iniia III.1. )ie M o mulime nevid. Se numete relaia 'inar 3 pe . oparteaprodusului cartezian.$.. Dac$.esterelaia3cu4., atunciscriem $34 sau *$,4+3. Deci o relaie 'inar se refer la perec"ile de elemente din..Propriet()i a"e re"a)ii"or *inare pe o !u")i!e#1. Relaia binar $ pe mulimea M 0e nume!te re8le&i6 dac aM a6em pe a$a.. Relaia binar $pe mulimeaM 0e nume!te 0imetric dac a*bM a6em a$*implic *$a.3. Relaia binar $pe mulimea M 0e nume!te anti0imetric dac a*bM*a$* !i*$a implic a>b.$. Relaiabinar$pemulimeaM 0enume!tetran-iti6daca*b*cM*a$*implic *$ implic a$.9e8iniia III..Se numete greficul relaiei 3definit pe .mulimea5 6 7*$,4+$348.9e8iniia III.3. % relaie 'inar 3 definit pe o mulime nevid . se numeterelaie de ec"ivalen dac ea este refle$ic, tranzitiv i simetric.E&emplu: Fie N mulimea numerelor naturale !i numrul 3 8i&at. /e N 0tabilimurmtoarea relaie $: a !i * din N 0unt "n relaie cu $* dac a !i * "mprite la 3 dauacela!i re0t. 2criem a * Cmod 3;@ de pild $ 1 Cmod 3;. ,cea0ta e0te o relaie deec5i6alen.9e8iniiaIII.$.)ie.omulime. 3orelaiedeec"ivalenpe.i aunelement fi$at din .. Se numete clas de ec"ivalen corespunztoare elementuluiamulimeaCa67$. $3a8. Douclasedeec"ivalenCai C'saucoincid*cnd a$*+ sau sunt disjuncte.9e8iniiaIII.3.)ie.omulimei 3orelaiedeec"ivalenpe.. Senumete mulimea cta lui . (n raport cu relaia 3 i se noteaz .93 mulimeaclaselor de ec"ivalen.119e8iniia III.6. )ie . o mulime nevid. Se numete relaie de ordin pe . orelaie 'inar care este refle$iv, tranzitiv i antisimetric.2e notea-: AMB 0au AB9e e&emplu: relaia cuno0cut de ordine natural AB pe N) Z) 9!iRe0te orelaie de ordine.9e8iniiaIII...)ie.omulimenevidi ,-orelaiedeordinpe../ceastrelaiedeordinsenumeterelaiedeordinetotaldacoricaredouelemente ale lui .sunt compara'ile adica,*Mavemsaua:'sau':a..ulimea (nzestrat cu o relaie de ordine total se numete mulime totalordonat.9e8iniia III.(. )ie . o mulime nevid. % relaie de ordine pe . se numeterelaiede'unordonaredacoricepartenevidalui .areuncel mai micelement. .ulimea ., cu aceast relaie de 'un ordonare, se zice 'ine ordonat.O relaie de bun ordonare pe M e0te o relaie de ordie total pe M.I:. 7#nc"iiI:.!. No"i#ne de 0#nc"ie9e8iniia IV.1.1.)ie / i 0 dou mulimi. #rin funcie definit pe mulimea/, cu valori (n mulimea 0 se (nelege orice lege *procedeu sau convenie+ f, (n 'azacreiaoricrui elementa'i seasociazununicelement, notatf(a), din0..ulimea /se numetedomeniu de definiie, iar mulimea 0 se numetecodomeniu de definiie sau domeniul valorilor funciei.9e8iniia IV.1.. )ie f#'+ o funcie. #rin graficul acestei funcii (nelegemsu'mulimea 5fa produsului cartezian / $ 0 format din toate perec"ile (a,f(a)),a'. deci 5f 6 7*a, f*a+ a/89e8iniia IV.1.3.Se numete funcie numerico funcie f#'+, pentru careatt domeniul de definiie'ct i domeniul valorilor+sunt su'mulimi alemulimilor numerelor reale *deci ', +R+.11I:.'. 7#nc"ii in;ecti &

* e0te inDecti6* dar g:K%* gC&; > &

nu e0te o 8uncie inDecti6 deoarece gC'; > gC; > $.9e8iniia IV... % funcie f#'+ este o funcie surjectiv, dac pentru orice *+ e$ist cel puin un element a', astfel (nct f(a) *. Deci f#'+ nu este surjectiv dac *+ avem f(a) *C;a'.9e e&emplu: 8:RR* 8C&; > a&* a 1 e0te 0urDecti6.9e8iniia IV..3. % funcie f#'+ care este simultan injectiv i surjectiv se numete funcie 'ijectiv.9e e&emplu: Fie , > F&R& 1G !i 8:RR* 8C&; > &

. Funcia 8 e0te biDecti6.I:.*. Com$#ne%e 0#nc"iilo%9e8iniia IV.3.1.)iefunciilef#'+if#+2*domeniul dedefiniiealfunciei%coincide cu codomeniul funcieif+. )ie a',atuncif(a)+,deci e$istimaginea saprin %,adic %(f(a))2./stfelputemdefini o funcie3#'2 unde3(a) = %(f(a))pentru a'. )uncia 3 astfel definit se noteaz %Nf*sau %f+ i senumete compunerea funciei %cu funciaf.Ob0er6aii:1. 9ac8:,I!i g:790unt dou8uncii* are0en006orbimdecompunerea8unciei g cu 8uncia 8 numai dac I > 7.. 9ac8:,I!i g:I,0unt dou8uncii* are0en0gN8:,,!i 8Ng:II. "ngeneral 8Ng gN8.4eorem. Fie8:,I!i g:I7!i 5:79trei 8uncii. ,tunci 8iecaredin8unciile 5NCgN8;* C5Ng;N8 are 0en0 !i e&i0t egalitatea: 5NCgN8; > C5Ng;N8.I:... 7#nc"i in 8. /entru orice mulime 7 !i pentru orice 8uncie g:7, a6em 1,Ng > g9e8iniia IV.$..%funcief#'+se numete inversa'il dace$istofuncie %#+' astfel (nct %Nf = 1' i fN% = 1+.4eorem. O 8uncie e0te in6er0abil dac !i numai dac e0te biDecti6.1:. O$e%"ii c# n#me%e %ele:.!. P#te%i nt#%le le n#me%elo% %ele1.C=a;n > =an.C'a;n > =an3.C'a;n=1 > 'an=1$.aman > am=n3.am:an > am'n* a 16.ambm>Cab;m..am:bm > !

,_

ba* b 1@(. mmmaa1a1 ,_

* a 1@9.Cam;n > amn > Can;m@11. a1 > 1* a 1@11. 1n > 1* n 1* n%./uterilenumerelor reale0ee&tindat#t pentrue&poneni raionali po-iti6i 0aunegati6i* c#t !i pentru e&poneni reali* puterile reale 8iind de8inite cu aDutorul !irurilorde puteri raionale.,ce0te puteri au proprieti identice cu e&poneni numerenaturale.:.'. Identit"i 0#ndmentleOricare ar 8i &*?*-*t*a*b*cR !i n%* a6em:1. a

H b

> Ca H b;Ca = b;@ $ab > Ca = b;

H Ca H b;

@. Ca = b

;C& = ?

; > Ca& H b?;

= Ca& = b&;

@3. Ca

= b

= c

;C&

= ?

= -

= t

; > Ca& H b? H c- H bt;

= Cb& = a? H d- H ct;

= Cc& = =d? =a- H bt;

= Cd& H c? = b- = at;

@$. a3 H b3 > Ca H b;Ca

= ab = b

;@3. a3 = b3 > Ca = b;Ca

H ab = b

;@6. &3 = ?3 = -3 H 3&?- > C& = ? = -;C&

= ?

= -

H &? H &- H ?-;@.. &3 = ?3 = -3 > C& = ? = -;3 H 3C& = ?;C? = -;C- = &;@(. a$ H b$ > Ca H b;Ca = b;Ca

= b

;@9. a$ = b$ > Ca

= b

H ab 11.a3 H b3 > Ca H b;Ca$ = a3b = a

b

= ab3 = b$;@11. a3 = b3 > Ca = b;Ca$ H a3b = a

b

H ab3 = b$;@1.C1 = a;C1 = a

= a$; > 1 = a = a

= a3 = a$ = a3@13.a6 = b6 > Ca3 H ab

;

= Cb3 H a

b;

CO. de RecPuign?',dan0on;@1$.an H bn > Ca H b;Can'1 = an'b = = abn' = bn'1;@13.an H bn > Ca

H b

;Can' = an'$b

= = a

bn'$ = bn';@1316.an=1 = bn=1 > Ca = b;Can = an'1b = = abn'1 =bn;@1..C1 = a = a = = an;C1 = an=1; > 1 = a = a

= = an=1.:.*. Rdicli. P%o$%iet"i1.1 *1> a a a! !@. 1 *1 11> a aaa!!!@3. ( ) 1 * a a a!!@$.1 * * * a a* * a! ! !@3.1 *1 1>

,_

aa a!!@6.1 * * * * * a a** a! ! ! !@.. 1 * 1 * : > * a*a* a!! !@(. 1 * + +a a a an ! n ! n !@9. 1 * : > + a a a an ! n ! n !@11.n ! n!a a a 1 * @11.( ) 1 * a a a a!nn! ! n@1. 1 * > a a an p !n !p@13. 1 * * * a * a * a!n q! pn n q ! p@1$. 1 * a a a an ! !n ! n@13. 1 * 1 * : : > * a * a * a!n q! pn n q ! p@16. a a a *

R@1..1 *11 11 + + +a a a an n n@1(. ( ) 1 *1 1 ++a a ann@19. 1 * * + + + * a a* * a * a @1. 2 ' 2 '+ 't+ t * dac !i numai dac ,

H I > 7

@1.E&pre0ia conDugat a lui * a te0te * a + iar pentru 3 3* a te0te 33 3 * a* a + +:I. Ec#"ii 4i inec#"ii de g%d#l -nt=i:I.!. Ec#"ii de g%d#l -nt=i ,# ec#"ii 0inea& = b > 1* a*b*&RFie 2 mulimea de 0oluii a ace0tei ecuaii. 9ac1$1. a 1* & > a*C0oluie unic;. 2 > Fa*G.. a > 1 !i b 1* ecuaia nu are 0oluii: 2 > @3. a > 1 !i b > 1* orice numr real & e0te 0oluie a ecuaiei a8ine date@ 2 > R.2emnul 8unciei a8ine 8:RR* 8C&; > a& = b* a 1&' a*=8C); se!n ontrar "ui a 1se!nu" "ui aOra8icul 8unciei de gradul "nt#i 6a 8i o linie dreapt.?,C1*b;

&ICa**1;:I.'. Inec#"ii de g%d#l -nt=i ,# ec#"ii 0ine2azu" 1. a& = b Q 1* a*b*&R. Fie 2 mulimea 0oluiilor. 9ac:1. a Q 1* 2 >Ca** = ;@. a M 1* 2 > C'*a*;@3. a > 1* b Q 1* 2 > R@$. a > 1* b > 1* 2 > .2azu" /. a& = b > 1* a*b*&R. 9ac:1. a Q 1* 2 > C=*a*R. a M 1* 2 > Sa**=;3. a > 1* b > 1* 2 > R@$. a > 1* b Q 1* 2 > .Inecuaiile a& = b M 1 !i a& = b 1 0e reduc la cele dou ca-uri Cprin "nmulireainecuaiei re0pecti6e cu H1 !i 0c5imbarea 0en0ului inegalitilor;.:I.*. Mod#l#i #n#i n#m% %el13'>< 1 & daca &*1 & daca 1*1 & daca &*x/roprieti: &*?R* a6em:1. 1 x 1 x @. x x @3.y x y x 0au y x @$.a x a a x a *R@3.x x x @6.y x y x + +@..y x y x + (.y x y x @9.y x y x y x + + @11.y x xy @11.1 * yyxyx.Ec#"ii 4i inec#"ii 0#ndmentle) c%e con"in mod#l#l:!.* a x * Ca*b*&R* 2 > mulimea 0oluiilor;* 4b M 1 b > 1 ab Q1 Fa H b@ a = bG'.* a x > * 4b M 1 Rb > 1 RLFaGb Q1F'*a H b;Fa = b*G*.* a x < * 4b M 1 b > 1b Q1 Fa H b@ a = bG:II. N#me%e com$le+e169e8iniia VII.1. Se numete numr comple$ orice element z6*a,'+ al mulimii3$3 6 7*a,'+a,'R8, (nzestrate cu dou operaii alge'rice,adunarea1z=(a,*),z=(a,*)R&R*z 5 z = (a 5 a, * 5 *)i (nmulirea1z=(a,*),z=(a,*)R&R*zz =(aa6**, a* 5a *)..ulimeanumerelorcomple$esenoteaz cu C i este corp comutativ.:II.!. 7o%m lge2%icn#me%elo% com$le+e- > a = ib* cu a > Ca*1;* b > Cb*1; !i i > C1*1;* re0pecti6 i

> '1.Eglittedo# n#me%e com$le+e & 4i &>?a = ib > aT = ibT a > aT !i b > bTAd#n%e n#me%elo% com$le+e %e $%o$%iet"ile: e0te a0ociati6* comutati6* admite ca element neutru pe 1 !i orice numr comple&a 5 *i admite un opu0 a i*.@nm#l"i%e n#me%elo% com$le+e %e $%o$%iet"ile?e0te a0ociati6* comutati6* admite ca element neutru pe 1 !i orice numr comple&a5*inenul admiteunin6er0( )

,_

++ +i* a** aa*i a 1@ e0tedi0tributi68adeadunare z(z 5 z7) = zz 5 zz7 -*-T*-B7.P#te%ile n#m%#l#i i# m%* i$m > 1* i$m=1 > i* i$m= > '1* i$m=3 > 'i.9e8iniia .1.1. Dac z 6 a /a&. z 6z> /*i&3. U U z z z z t t &$. U U z z zz &3.; ;C C U *i a *i a * a zz + + &6.z zz zzz UU &.. ( )nnz z &(.zzzz U U

,_

.:II.'. Mod#l#l #n#i n#m% com$le+ z7z z z 0au * a z + ,6em apoi:1.z z .U U z z z z + +@1.3.U U U z z z z z z + + @$.U U z z zz @3.1 *U U zzzzz.:II.'. 7o%m t%igonomet%icn#me%elo% com$le+e- > rCco0 u = i0in u;unde r > - * iar ung5iul uS1*; e0te 0oluia ecuaiilor trigonometrice rco0 u > a !ir0in u > b.9e e&emplu: dac - > '1 H i* atunci $3* u z !i - > ;$30in$3Cco0 i +.:II... 7o%m#l l#i Moi co0Cnu; = i0inCnu;7on0ecinele 8ormulei lui Moi6reco0 nu > co0n u = 7

nco0n'u 0in

u = 7$nco0n'$u 0in$u = @0in nu > 71nco0n'1u 0in u = 73nco0n'3u 0in3u = @tg nu > ... 1...$ $3 3 31 + + u t% 2 u t% 2u t% 2 u t% 2 t%u 2n nn n n.:II./. E+t%ge%e %dcinii de o%din#l n dint%A#n n#m% com$le+- > rCco0 u = i0in u;( )( )( ) 1 *...** 1 * 1 *; 1C0in; 1Cco0 11 *...** 1 * 1 *

0in

co0 11 *...** 1 * 1 *

0in

co01 +++ + 1]1

+++n 8n8in8n 8n8in8n 8n8 uin8 ur z8n8nn8n /entru 0impli8icare 8olo0im urmtoarea notaie:( )8 8n 1!i( )8 8n 1

,_

+++ +t + a * a**ia * ai* a:II.1. Ec#"i 2inom&n H , > 1* ,7* , > Cco0 = i0in ;&V > ,1WnV* V > 1 * 1 n* ,R* , M 1@&V > ,1WnV* V >1 * 1 n* ,R* , Q 1@1(&V >

,_

+++n8in8pn 0in

co0* V >1 * 1 n* ,7LR:III. Ec#"ii 4i inec#"ii de g%d#l l IIAle:III.!. Ec#"ii de g%d#l l doilea&

= b& = c > 1* a*b*cR* a 1!. )ormule de rezolvare: Q 1a*x

1 + * a*x

* > b

H $ac@ 0aua*xU U1 + * a*xU U

* b > bT* T > bT

H ac.>. )ormule utile (n studiul ecuaiei de gradul al ?lea1&1 = &

> C&1 = &

;

H &1&

> 2

H /&13 = &

3 > C&1 = &

;3 H 3&1&

C&1 = &

; > 23 H 2/&1$ = &

$ > C&1 = &

;$ H &1

&

> 2$ H $2

/ = /

*.Discuianaturii isemnul rdcinilor"n8unciede0emnelelui>b

H$ac*/ > &1&

* 2 > &1 = &

./ 2 %atura !i 0emnul rdcinilor M 1 ' 'Rdcini comple&e: ai *x

* 1 t > 1' 'Rdcini reale !i egale a*x x

1 / Q 1 2 Q 1 Rdcini reale po-iti6e Q 1/ Q 1 2 M 1 Rdcini reale negati6e/ M 1 2 Q 1 Rdcini reale !i de 0emne contrare@ cea po-iti6 e0te maimare dec#t 6aloarea ab0oluta a celei negati6i/ M 1 2 M 1 Rdcini reale!i de0emnecontrare@ ceanegati6e0temai mare "n 6aloare ab0olut... Semnul funciei 8:RR* 8C&; > a&

= b& = c* a*b*cR Q 1: a 1* &1 M &

.& '&1&

=8C&;0emnul lui a10emn contrar lui a 10emnul lui a > 1) ' &1 > &

=8C&; 0emnul lui a 10emnul lui a19 M 1) ' =8C&; 0emnul lui a/.5raficul funciei8:RR* 8C&; > a&

= b& = c* a*b*cR e0te o para*o"(. ,cea0t8uncie 0e poate 0crie !i 0ub 8orma a a*x a x f$ ; C

+

,_

+ * numit 8orm canonic. ? Q 1a Q 1,C&1*1;IC&

*1;7C1*c;7 V

,_

a a*$*

O,I & 9@. .a$imul sau minimul funciei de gradul al doilea1. 9ac a Q 1* 8uncia 8C&; > a&

= b& = c are un minim egal cu a $ * minim ce 0ereali-ea- pentru & > a*

. 9ac a M 1* 8uncia 8C&; > a&

= b& = c are un ma&im egal cu a $ * ma&im ce 0ereali-ea- pentru & > a*

3. ntervale de monotonie pentru funcia de gradul al doilea4eorem. Fie 8uncia de gradul al doilea 8C&; > a&

= b& = c* a11. 9acaQ1*8uncia8e0te0trictde0cre0ctoarepeinter6alul1]1 a*

* C!i0trictcre0ctoare pe inter6alul

+; *a*.. 9acaM1* 8uncia 8 e0te0trict cre0ctoare peinter6alul1]1 a*

* C!i 0trictde0cre0ctoare pe inter6alul

+; *a*.1Ob0er6aie: Inter6alele1]1 a*

* C!i

+; *a*0e nume0cintervale demonotonie ale funciei f.5e,com$#ne%e t%inom#l#i8C&; > a)

= b) = c* a*b*cR* a1*&1 !i &

8iindrdcinile trinomului.1. Q 1* 8C&; > aC) H &1;C) H &

;@. > 1* 8C&; > aC) H &1;

@3. M 1* 8C&; e0te ireductibil pe R* deci 8C&; > a)

= b) = c2onstruirea unei eua)ii de %radu" a" doi"ea 9nd se unos su!a :i produsu"r(d(ini"or ei# &

H 2& = / > 1* cu 2 > &1 = &

!i / > &1&

.4eorem: Ecuaiile a&

= b& = c > 1 !i aT&

= bT& = cT > 1*a*b*c*aT*bT*cTR*a*aT1* au cel puin o rdcin comun dac !i numai dac:a b c 11 a b c> 1 0au CacT H aTc;

H CabT H aTb;CbcT H bTc; > 1aT bT cT 11 aT bT cT2ondi)ii neesare :i sufiiente pentru a nu!ere"e rea"e date :is( fie ;nanu!ite re"a)ii u r(d(ini"e x1 :i x/ a"e eua)iei de %radu" a" doi"ea 8C&;>a&

= b& = ca*b*cR* a1* respetiv, pentru a f(x) s( p(streze un se!n onstant &*&R.-r.rt.$e"a)ii ;ntre x1, x/, :i 2ondi)ii neesare :i sufiiente1 M &1 M M &

0au&1 M M &

M1. 8C ;8C; M 1 M &1 &

M 1. > b

H $ac > 1. a8C; Q 13. a8C; Q 1$. M a*

3. Q a*

3&1 M M M &

1. a8C; M 1. a8C; M 1 ceea ce atrage dup0ine Q1$ &1 M M &

1. a8C; M 13 M &1 &

1. > 1. a8C; Q 13. M a*

16&1 &

M 1. > 1. a8C; Q 13.a*

M .8C); > 1* &* &R 1. 1. a Q 1( 8C); 1* &* &R 1. 1.a M 1Ob0er6aie: Re-ol6area ecuaiei biptrate a&n = b&n = c > 1* n%* n Q * prin0ub0tituia &n > ?* 0e reduce la re-ol6area unei ecuaii de gradul al doilea "n ?* anumea?

= b? = c > 1 !i la re-ol6area a dou ecuaii binome de 8orma &n > ?1* &n > ?

.:III.'. Inec#"ii 0#ndmentle de g%d#l l IIAle1. a&

= b& = c Q 1* a*b*cR* a1* 2 > mulimea 0oluiilor: a 2 Q 1 Q 1 > 1 > 1 M 1 M 1a Q 1a M 1a Q 1a M 1a Q 1a M 1 C'* &1;C&

* =;C&1*&

;RLF&1GR. . a&

= b& = c 1* a*b*cR* a1* 2 > mulimea 0oluiilor: a 2 Q 1 Q 1 > 1 > 1 M 1 M 1a Q 1a M 1a Q 1a M 1a Q 1a M 1 C'* &1RS&

* =;S&1*&

RRF&1GRInecuaiile a&

= b& = c M 1 !i a&

= b& = c 1 0e reduc la ca-urile precedenteCprin "nmulirea cu H1 !i 0c5imbarea 0en0ului ace0tor inegaliti;.:III.*. Re&olb>1atunci primaecuaiedi0pare;. /re0upun#ndcb1*atunci ecuaia a& = b? = c >1 e0te ec5i6alent cu ecuaia *

x*a*ax y . 9ac0ub0tituim "n y "n cea de a doua ecuaie a 0i0temului C2;* atunci C2; e0te ec5i6alent cu0i0temul:' +

,_

+ +

,_

+

,_

+ 1; U C1 1 1

1 1

1f*

x*ae x d*

x*a

*

x*ax * x a*

x*ay4Re-ol6#nd ecuaia a doua a 0i0temului C2T; obinem6alorile lui &* apoi*"nlocuind "n prima ecuaie din 0i0temul C2T; obinem 6alorile lui ?.9i0cuie.!.9ac ecuaia a doua din 0i0temul C2T; are dou rdcini reale*atunci 0i0temul C2; are o 0oluie real.'.9ac ecuaia a doua din 0i0temul C2T; are dou rdcini egale*0au "n ca-ul c#nd acea0ta e0te o ecuaie de gradul "nt#i* atunci 0i0temul C2; are dou0oluii reale.*.9acecuaiaadouaa0i0temului C2T;nuarenici ordcinreal* atunci 0i0temul C2; nu are 0oluii reale.>. Sisteme de ecuaii omogeneXn a0t8el de 0i0tem e0te de 8orma:' + + + +

1

1 1

1; Cd yxy * x ad yxy * x a42i0temul C2; 0e nume!te omogen deoarece polinoamele a1)

= b1)J = c1J

!ia

)

= b

)J = c

J

0unt omogene* "n 0en0ul c toate monoamele care apar "n 0crierealor au acela!i grad./re0upunem mai "nt#i c d11 !i d

1. E&i0t "n ace0 ca- numerele reale !i di8erite de -ero a0t8el "nc#t d1 = d

> 1. 2e "nmule!te prima ecuaie cu !i cea de adoua cu !i apoi 0e adun. 2e obine 0i0temul ec5i6alent:3' + + + + + + +1 ; C ; C ; C; U C

11

1

1 1

1y xy * * x a ad yxy * x a4 %otm coe8icientul ecuaiei a doua din C2T; cu a3*b3*c3. ,tunci:' + + + +1; U C

3 3

31

1 1

1yxy * x ad yxy * x a49eoarece d11 0i0temul C2T; nu are 0oluia & > 1 !i ? > 1. /utem pre0upune c&1. Emprim ecuaia a doua din C2T; cu &

!i obinem ecuaia de gradul al doilea "nxy: c3

,_

xy= b3xy = a3 > 1 care* re-ol6at* ne d "n general dou 6alori V1 !i V

pentruxy adic* xy> V1 !i xy> V

.Re-ol6area0i0temului C2; e0teec5i6alentcure-ol6areaurmtoarelor dou0i0teme:' + +1

1 1

111; Cd yxy * x ax 8 y4 !i' + +1

1 1

1

; Cd yxy * x ax 8 y47#nd d1 > 1 !i d

> 1* 0i0temul C2; e0te de 8orma C2T; !i re-ol6area 0e continuca pentru 0i0temul C2T;.A. Sisteme de ecuaii simetrice9e8iniiaVIII.3.3.%ecuaie(ndounecunoscutesezicesimetricdac(nlocuind x cu y i y cu x, ecuaia nu se sc"im'.Re-ol6area 0i0temelor de ecuaii 0imetrice 0e 8ace a0t8el: 0e introducnecuno0cutele au&iliare s !i p date de relaiile: & = ? > 0 !i &? > p./rin introducerea ace0tor noi necuno0cute s !i p* "n 8oarte multe ca-uri 0i0temul0e reduce la un 0i0tem de ecuaii 8ormat dintr'o ecuaie de gradul "nt#i !i o ecuaie degradul al doilea "n necuno0cutele s !i p.IB. Ec#"ii lge2%ice de g%d#l III) I: 4i :IB.!. Ec#"i %eci$%oc de g%d#l l t%eilea&3 = b&

t b& t a > 1* a*bR* a1Re-ol6area ei 0e reduce la aceea a ecuaiei C& t 1;Sa&

= Cb = a; = aR > 1$IB.'. Ec#"i %eci$%oc de g%d#l l $t%#lea&$ t b&3 = c&

t b& = a > 1* a*b*cR* a1Re-ol6area ei 0e reduce la aceea a unei ecuaii de gradul al doilea* prin0ub0tituia ? > & = &1: aC&

=

&1; t bC& = &1; = c > 1 0au a?

= b? = c H a> 1.IB.'. Ec#"i 2i$t%ta&$ = b&

= c > 1* a*b*cR* a17u & > ?

* re-ult ecuaia a?

= b? = c > 1* deciaa * *x

$

$ * 3 ** 1 t t B. Log%itmi9e8iniia).1.)ieaRCD)a;i 'RCDdounumerereale. Senumetelogaritmal numrului real strict pozitiv 'e$ponentul lacare tre'uie ridicatnumrul a, numit 'az, pentru a o'ine numrul '.+ogaritmul numrului * "n ba-a a 0e notea- logabE6ident*aa *log . /entru a > 11 obinem logaritmi -ecimali* iar pentru a > eobinem logaritmi naturali.Propriet()i#1.logab > logac b > c* Cb*c Q 1;@.logaa > 1@3.loga1 > 1$.logaac > c@ logab1>' logab@ loga&n > n loga& * &13.;* * 1 C * log1log > ! - ! * *!*a!a @6.logab logba > 1@..Formula de 0c5imbare a ba-ei logaritmului: a**

alogloglog (.&Q1 !i ?Q1 loga&? > loga& = loga?@9.&Q1 !i ?Q1 loga?& > loga& H loga?@ ologa& > ' loga?11.aQ1 !i &C1*1; loga& M 1@ aQ1 !i &Q1 loga& Q 1@11.1MaM1 !i &C1*1; loga& Q 1@ 1MaM1 !i &Q1 loga& M 1@1.aQ1 !i 1M&M? loga& M loga?@ 13. &Q1* ?Q1* aQ1* bQ1* a1* b1 yxyx**aaloglogloglog@1$.&Q1* aQ1* a1* n% loga& > loga&n@13.&R* aQ1* a1 a& > e&lna.3%peraii cu logaritmi zecimali1. 2uma a doi logaritmi: 0e adun 0eparat caracteri0ticile C0e adun algebric* "ntruc#te&i0t caracteri0tici po-iti6e !i caracteri0tici negati6e; !i 0eparat manti0ele Ccare 0unt"ntotdeauna po-iti6e "n a8ar de ca-ul "n care "ntregul logaritm e0te negati6;@ apoi celedou re-ultate 0e adun algebric.. 2cderea a doi logaritmi: 0e adun de0c-utul cu logaritmul 0c-torului.3. Enmulireaunui logaritmcuunnumr "ntreg: c#ndcaracteri0ticae0tepo-iti6*"nmulirea0e8ace"nmodobi!nuit@ c#ndcaracteri0ticae0tenegati60e"nmule!te0eparat manti0a !i 0eparat caracteri0tica !i 0e adun algebric re-ultatele.$. Emprirea unui logaritm printr'un numr "ntreg: "n ca-ul c#nd caracteri0tica e0tepo-iti6* "mprirea 0e 8ace obi!nuit. En ca-ul "n care e0te negati6 0e "mparte 0eparatmanti0a !i 0eparat caracteri0tica@ dac nu0e"mparte e&act cucaracteri0tica prinnumrul dat* atunci 0e adaug caracteri0ticii at#tea uniti negati6e c#te 0unt nece0arepentrua a6ea unnumr di6i-ibil prin"mpritorul re0pecti6!i* pentrua nu0emodi8ica re-ultatul* 0e adaug !i manti0ei tot at#tea uniti* dar po-iti6e.B.!. Ec#"ii 4i inec#"ii log%itmice 0#ndmentle1. loga& > b* aQ1* a1* bR. 2oluia: & > ab.. loga& Q b* bR. Fie 2 mulimea 0oluiilor. ,6em:a 2a Q 11 M a M 1Cab* =;C1* ab;3. loga& M b* bR. Fie 2 mulimea 0oluiilor. ,6em:a 2a Q 11 M a M 1C1* ab;Cab* =;B.'. Ec#"ii 4i inec#"ii e+$onen"ile 0#ndmentle1. a& > b* aQ1* a1* bQ1. 2oluia & > logab* bR. a& > b* aQ1* a1* b1* nu are nici o 0oluie real3. a& Q b. Fie 2 mulimea 0oluiilor. ,6em:a b 2a Q 11 M a M 1a Q 1a 1b Q 1b Q 1b M 1Clogab* =;C'* logab;R$. a& M b. Fie 2 mulimea 0oluiilor. ,6em:a b 2a Q 11 M a M 1b Q 1b Q 1C'* logab;Clogab* =;6a Q 1a 1b M 1BI. Metod ind#c"iei mtemticeBI.!. A+iom de %ec#%en"l#i PenoFie , o parte a lui % a0t8el c:1. 1,. Cn%;* n, n=1,. ,tunci re-ult , > %.BI.'. Metod ind#c"iei mtemticeFie /Cn; o propo-iie care depinde de numrul natural n. 9ac a6em:1. /C1; ade6rat@. n%* /Cn; ade6rat /Cn=1; ade6rat* atunci /Cn; e0te ade6rat pentru oricenumr natural n.En demon0traie prin metoda induciei matematice Crecuren; poate aprea "nloc de 1* un numr natural n1* dac "n propo-iia /Cn; pe care 6rem 0 demon0trm amcon0tatat nn1.BI.'. :%intmetodei ind#c"iei mtemticeFie /Cn; o propo-iie care depinde de numrul natural nn1. 9ac a6em:1. /Cn1; ade6rat@. Cm%* n1mV;/Cm; ade6rat/CV; ade6rat*atunci/Cn; e0teade6ratpentru orice numr natural nn1.BII. Anli& com2into%ieBII.!. Pe%m#t%i9e8iniia )II.1.1.%mulime(mpreuncuoordine 'ine determinatdedispunere a elementelor sale este o mulime ordonat i se notaz (a1,a/,,an).9e8iniia)II.1..Senumescpermutrialeunei mulimi/ cunelementetoate mulimile ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numrulpermutrilora n elemente, nNC, este #n6;>ABn 6 nC2 DC 6 ; *prin definiie+.Factoriale Cproprieti;: nY > Cn H 1;Yn@ nY > 1 n1;Y Cn++BII.'. A%n;mente.9e8iniia )II..1.Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m*mn+ale unei mulimi / cu n elemente, toate su'mulimile ordonate cu cte m elementecare se pot forma din cele n elemente ale mulimii /. 2e notea- ,mn.%umrul aranDamentelor a n elemente luate c#te m e0te:,mn > nCn H 1;Cn H m = 1; > m;Y CnnY* nm.Propriet()i# ,nn > /n@ ,nn > 1YnY 0au ,nn> nY@ 1 @1 1 nnnnn' ' '.BII.*. Com2in%i9e8iniia )II.3.1. Se numesc com'inri a n elemente luate cte m *mn+ aleunei mulimi / cu n elemente toate su'mulimile cu cte m elemente, care se potforma din cele n elemente ale mulimii /. 2e notea- !n2.Propriet()i#1.1 @111 1 2 2 2 n 2nnn n@.11 1@ + !n!n!n! nnnn2 2 2 2 2@3. %umrul 0ubmulimilor unei mulimi cu n elemente e0te n@$.111 111111... ++ + + + + !!!!!!!n!n!n2 2 2 2 2 2@3. ; ... C 11 1

11...Y Y... YY+ + !p p npp npnn2 2 2p p pn unde p1 = pm'1 M nBII... Binom#l l#i NeEtonC& = a;n > n nn8 8 n 8nnnnna 2 a x 2 a x 2 x 2 + + + + + ... ...1 1 1C& H a;n > n nnn 8 8 n 8n8 nnnna 2 a x 2 a x 2 x 2 ; 1 C ... ; 1 C ...1 1 1 + + + + unde n%Propriet()i#1. 4ermenul de ranV 851 e0te 4V=1 > C'1;V8n2&n'VaV@.8n8n8n8n288 n2 288 n21@1111+++++@3. 4V= > xa88 n+1 4V=1 0au 4V= > xa88 n+14V=1@$. %umrul termenilor de-6oltrii C& t a;n e0te n=1@3. 7oe8icienii termenilor egal deprtai de e&tremi 0unt egali.$e"a)ii i!portante:11

1 3 3 1 1 $11 1 1 1; C ... ; C ; C@... @...@ 1 ; 1 C ... @...nn n nnnnn n nnn n nnnnn nn nn n n2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2+ + + + + + + + + + + + + +

,aA,B,an,B (n care fiecare termen, (ncepnd cu a>, se o'ine din cel precedent prin(nmulirea acestuia cu un acelai numr F *FD+ numit raie. 2e notea- a1*a

*a3*an*99aca1e0teprimul termen* ancel de'al n'leatermenCtermenul general;*qraia* n numrul termenilor !i 4n 0uma celor n termeni* atunci a6em:an > Pan'1* n Cprin de8iniie;an > a1Pn'1* n Can "n 8uncie de a1* P !i n;2n > a1 = a

= = an* 2n > 1 P1 Pan12n > 1 P *P 1P a an 1Eermeni ec"idistani de e$tremi. Entr'o progre0ie geometric*produsu" a doiter!eni e3idistan)i de extre!i este e%a" u produsu" ter!eni"or extre!i:apan6p51 = a1an.Ob0er6aie. 9ac numrul termenilor e0te impar Cn > m = 1; atunci e&i0t untermen la miDloc* a!51, a0t8el "nc#t 11

1 + +! !a a a.7ondiia nece0ar !i 0u8icient ca trei numere a,*,* luate "n acea0t ordine* 08orme-e o progre0ie geometric e0te 0 a6em */ = a.BI:. PolinomeBI:.!. 7o%m lge2%ic#n#i $olinom87S&R e0te 8 > a1)n = a1)n'1 = a

)n' = = an* unde n e0te gradul* a0 coe8icientuldominant* an H termenul liber.)uncia polinomial a0ociat lui 87S&R e0te8Z:778ZC; > 8C;7@8C; 8iind 6aloarea polinomului 8 "n .Eeorema (mpririi cu rest: 8*g7S&R* g1 e&i0t polinoamele unice P*r7S&Ra0t8el "nc#t 8 > gP = r* grad r M grad %.&mprirea unui polinom cu G?a: Re0tul "mpririi polinomului 87S&R* 81 la)'a e0te 8Ca;.Sc"ema lui Horner: ne aDut 0 a8lm c#tul P > b1)n'1= b1)n'= = bn'1al"mpririi polinomului 8 > a1)n = a1)n'1 = a

)n' = = an la binomul )'a@ precum !ire0tul ace0tei "mpriri r > 8Ca;@a1a1 an'1ana b1 > a1b1 > ab1=a1 bn'1 > abn'=an'1r>8Ca;>abn'1=anBI:.'. 5i 1@313. g 8 !i 81 grad f grad %@$. a7[ a8 8@3. 8 8 Cre8ele&i6itate;@6. 8 g !i g 5 8 5 Ctran-iti6itate;@.. 8 g !i g 8 a7[ cu 8 > ag C8*g 0unt a0ociate "n di6i-ibilitate;.9e8iniia)IV...Inpolinom dsenumetecel mai maredivizorcomun*c.m.m.d.c.+ al polinoamelor f i % dac:;+ d f !i d %.>+ d f !i d % d d i notm d=(f,%)9e8iniia )IV..3. Dac d6; atunci f i % se numesc prime (ntre ele.9e8iniia)IV..$.Inpolinom !senumetecel maimicmultiplucomun*c.m.m.m.c.+ al polinoamelor f i % dac1;+ f ! !i % !.>+ f ! !i % ! ! !4eorem. 9ac d>C8*g; atunci m > dg 8 BI:.*. Rdcinile $olinomelo%9e8iniia )IV.3.1. Numrul C se numete rdcin a polinomului f daci numai dac8Z*+ 6 D.Eeorema lui 0ezout1 %umrul 7 e0te rdcin a polinomului 81C)'a; 8.9e8iniia )IV.3..Numrulse numete rdcin multipl de ordinul papolinomului fD dac i numai dac (=6a) f iar (=6a)p51 nu?l divide pe f.4eorem: 9ac 87S&R e0te un polinomde graduln!ix1,x/,x>,,xn0untrdcinile lui cu ordinele de multiplicitate!1,!/,!>,,!natuncin!n! !x = x = x = a f ; ...C ; C ; C 1 1 1 unde a0 e0te coe8icientul dominant al lui f* iar !1 5!/ 5 5 !n = grad f.BI:... Ec#"ii lge2%ice9e8iniia )IV.$.1. % ecuaie de forma f*$+ 6 D unde fD este un polinom, senumete ecuaie alge'ric.Eeorema lui /'el?3uffini: Ecuaiile algebrice de grad mai mare dec#t patru nu0e pot re-ol6a prin radicali.Eeorema lui DJ/lam'ert?5auss1 Orice ecuaie algebric de grad mai mare 0auegal cu unu* are cel puin o rdcin Ccomple&;.)ormulelelui Viete19acnumerelex1,x/,,xn0unt rdcinilepolinomului87S&R* 8 > a1)n = a1)n'1 = = an* a11 atunci:31' + + + + + + + + + + + + + ++ + + 1 11 1 1 111131$1 311

1 31111 1; 1 C ........ .......... .......... .......... .......... ..........; 1 C ... ... ... ....... .......... .......... .......... .......... ................ ......aax x xaax x x x x x x x x xaax x x x x x x x xaax x x x x x x xaax x xn nn8 8! 8 ! 8 ! 8 8 8n n nn n nnBI:./. Polinome c# coe0icien"i din R) 9) Z4eorem: 9ac 8RS&R admite pe > a = ib* b1 ca rdcin atunci el admiteca rdcin !i pe> a H ib* iar !iau acela!i ordin* de mutiplicitate.4eorem: 9acunpolinom8a=b d Ca*b

p 1 atunci p an !i P a1.En particular dac 8KS&R are rdcina >pK atunci p an.B:. Pe%m#t%i) mt%ici) dete%minn"iB:.!. Pe%m#t%i9e8iniie )V.1.1. )ie /67;,>,Bn8, se numete permutare de gradul n daac?A/ i 'ijectiv. >

,_

Cn;... C; C1;n ... 1 2n H mulimea permutrilor de grad n@ card 2n > nY31, > e* permutarea identic e >

,_

n... 1n... 1Compunerea permutrilorFie *2n atunci o >

,_

Cn;; C...C;; C C1;; Cn... 1 2nEranspoziii9e8iniia )V.1.. )ie i,jA) ij) i;Sn, i; se numete transpoziie dac1'D i* V daca V*D V daca i*i V daca D*; C8i?

,_

n ...i... V... D ... 1n ...D... V... i ... 1; C8i?Ob0er6aii:1. CiD;'1 > iD@. %umrul tran0po-iiilor de grad n e0te

n2Signatura *semnul+ unei permutri9e8iniia )V.1.3. )ie *i,jHA+A) i:j, *i,j+ se numete inversiune a lui dacI;HJIiH) mIH numrul inversiunilor lui ?

; 1 C; C 1

n n2 !n@ C; > C'1;mC; 0e nume!te signatura lui .Ob0er6aii:1. /ermutarea 0e nume!te pardac C; > 1* re0pecti6 impardacC; > ' 1@. Orice tran0po-iie e0te impar@3. < n ? i ? i? i1; C ; C; C @$. C o; > C;C;.33B:.'. Mt%ici9e8iniia )V..1. Fie M > F1**mG !i % > F1**nG. O aplicaie ,:M&%7,Ci*D;>aiD 0e nume!te matrice de tipul Cm*n;: cu ! linii !i n coloane:

,_

!n ! !nna a aa a aa a a'...... ... ... ......... 111 1 11!i notmMm*nC7; mulimea matricelor de tipul Cm*n; cuelemente numere comple&e.9e8iniia )V... Dac !=n atunci matricea se numete ptratic de ordinuln, iar mulimea lor se noteaz Mn(2).9e8iniia )V..3.Dou matrici /,0.m,n*C+ sunt egale dac i numai dacaij 6 'ij Ii,j+.$N.Operaii cu matrici:;. /dunareaFie ,*IMm*nC7; atunci 7 > , = IMm*nC7; unde ciD>aiD = biD Ci*D;M&% e0te0uma lor.Propriet()i ,*I*7Mm*nC7;:1. ,=I > I=, Ccomutati6itate;@. C,=I;=7 > ,=CI=7; Ca0ociati6itate;@3. ,=1 > 1=, > , Celementul neutru e0te matricea nula 1;@$. ,=C',; > C',;=, > 1 Copu0ul lui , e0te H,;.>. &nmulirea cu scalariFie ,Mm*nC7; !i7atunci I>,Mm*nC7; undebiD>iDCi*D;M&%e0teprodu0ul matricei , cu 0calarul .Propriet()i ,*IMm*nC7; !i 7.1. 1, > ,@. , > ,@3. C,=I; > , = I@$. C=;, > , = ,@3. C,; > C;, > C,;.A. Eranspusa unei matriciFie ,Mm*nC7; atunci t,Mm*nC7; unde taiD > aDi* Ci*D;M&%K. &nmulirea matricelorFie ,Mm*nC7; !i IMn*pC7; atunci 7>,IMm*pC7; unde n88? i8 i?* a 1*Ci*D;M&% e0te produ0ul lorPropriet()i#3$1. C,I; 7 > ,CI7; Ca0ociati6itate;@. ,In > In, Celement neutru'matricea unitate;

,_

1 ... 1 1... ... ... ...1 ... 1 11 ... 1 1n@3. C,=I;7 > ,7 = I7@$. ,CI=7; > ,I = ,7.B:.*. 5ete%minn"iFie MnC7; H mulimea matricilor ptrate de ordin n cu elemente din 7:

,_

!n ! !nna a aa a aa a a'...... ... ... ......... 111 1 11* ,MnC7;9e8iniia )V.3.1. Se numete determinantul matricii /, numrul det , > n4n na a a ; C ;C; 1 C 1... ; Cdet , > n! n nnna a aa a aa a a...... ... ... ......... 111 1 11det , > ai1,i1 = ai,i = = ain,in unde ,iD e0te complementul algebric al elementuluiai? din matricea ':33,iD > C'1;i=Da...a a... aa... ... ............ ...a...aa... a aa...a a ...a a... ...... ... ... .... ...a... a a ... aaa ...aa ... a anm 1 nD 1 ' nD n n11n i 1 1D i 1 ' 1D i 1 i 11 i1n ' i 1 1D ' i 1 ' 1D ' i 1 ' i 11 in 1 D 1 ' D11n 1 1D 1 ' 1D 1 11++ + + + + ++ ++9ac 7 > ,I* atunci det 2 > det ' det + C,*I*7MnC7;;Determinantul de ordinul >:1 111 11 11a a a aa aa a Determinantul de ordinul A133 1 1 3 3 11 1331 31 3 1 13 3 1 331133 3 313113 1 11a a a a a a a a a a a a a a a a a aa a aa a aa a a + + B:... In r.2i0temul C2; e0te incompati'il dac r min Cm*n; !i rang ' > r = 1.B:I.*. Si,teme omogene Cbi > 1;1. 2unt compati'ile determinate C&1 > &

> > &n > 1; dac r > n@. 2unt compati'ile nedeterminate dac r M n.B:II. St%#ct#%i lge2%iceB:II.!. MonoidFie CM*[;* M&MM* C&*?;&[?* M'ne6id./$iomele monoidului:M!. C&[?;[- > &[C?[-; &*?*-M Ca0ociati6itatea;@3.M'. eM a0t8el "nc#t &[e > e[& > & &M Ce element neutru;@dac M*. &[? > ?[&* &*?M monidul e0te comutati6.E&: 1. C%*=;* C%*; 0unt monoi-i comutati6i@. CFCE;*o; monoidnecomutati6CFCE; e0temulimea8unciilor 8:EE* EHne6id* o H compunerea 8unciilor;.B:II.'. G%#$Fie CO*[;* O&OO* C&*?;&[?* O'ne6id./$iomele grupului1G!. C&[?;[- > &[C?[-; &*?*-OCa0ociati6itatea;@G'. eO a0t8el "nc#t &[e > e[& > & &O Ce element neutru;@G*. &O &TO a0t8el "nc#t &T[& > &[&T > e C&T 0imetricul lui &;@dac G.. &[? > ?[&* &*?O grupul e0te comutati6 C0au abelian;.E&:1. CK*=;* C8C&;8C?;* &*?O1.9e8iniia )VII..$. 8:O1O

se numeteautomorfism*endomorfism+algrupului C1, dac f este un izomorfism *morfism+.B:II.*. InelFie C,*=*;* ,&,,* C&*?;&=? !i ,&,,* C&*?;&?* , ne6id@ 9e8iniia )VII.3.1. C,*=*; este inel dac1G. C,*=; e0te grup abelian@M. C,*; e0te monoid !i5. e0te di0tributi6 8a de =:&C?=-; > &? = ?-C?=-;& > ?& = ?-* &*?*-,3(dac C. &? > ?& &*?,* inelul e0te comutati6.E&emple de inele:1. CK*=*; H inelul numerelor "ntregi@. CKSiR*=* ; H inelul "ntregilor lui Oau00* KSiR > F- > a = bia*bKG3. CRn**; H inelul re0turilor modulo n@$. CMnC,;*=*; H inelul matricelor ptratice Ccu elemente din inelul ';@3. CKn*=*; H inelul cla0elor de re0turi modulo n.Fie inelele C,**[; !i C,T**o;:9e8iniia )VII.3.1. 8:,,Tse numeteizomorfismde ineledacfeste'ijectiv i 8C&?; > 8C&;8C?;* 8C&[?; > 8C&;o8C?;* &*?,.9e8iniia )VII.3.. C,*=*;esteinel fr divizori ai lui zerodac $D, 4Dimplic $4D.9e8iniia)VII.3.3.Ininel comutativcucel puindouelementei frdivizori ai lui zero se numete domeniu integritate.9e8iniia )VII.3.$.Dac */, n Can H coe8icient dominant;@- dac a1 > a1 > > an* f > 1 Cpolinom nul;* grad 1 > '.Propriet()i:1. grad Cf5%; ma&Fgrad f* grad %G@. grad f% grad f = grad %.4eorem. 9ac'e0tedomeniudeintegritateatunci'D=Ee0tedomeniudeintegritate !i grad f% > grad f = grad %* f,%'D=E.B:II... Co%$Fie C\*=*;* \&\\* C&*?;&=? !i \&\V* C&*?;&?* \ H ne6id.9e8iniia )VII.$.1. *O, 5a C,9I7* 5a lugimea "nlimii din ,* 9I7;@ ,9 > ma CI9>I7* ma lugimea medianei din ,* 9CI7;;@ ,9 > ba CI,9 >7,9* ba lugimea bi0ectoarei din ,* 9CI7;;@-

c b a + + > p Cp H 0emiperimetrul triung5iului ,I7;@- ,,I7 H aria triung5iului ,I7* notat !i 2@- R H ra-a cercului circum0cri0 unui poligon@- r H ra-a cercului "n0cri0 "ntr'un poligon@- ln H latura poligonului regulat cu n laturi@- an H apotema poligonului regulat cu n laturi@- / H perimetrul poligonului@- ,lat H aria lateral Cpri0m* piramid* trunc5i de piramid;@- ,tot H aria total* notat !i ,@- V H 6olumul.I. T%i#ngKi#lnegaliti gemetrice:1. mCMI,; Q mC,;* mCMI,; Q mC7;* MI, e0te ung5i e&terior@$1. a=b Q c* b=c Q a* a=c Q b3. a Q b'c * b Q c'a * c Q a'b,$. ma M

c b +3. p M ma = mb = mc M /Eeorema 'isectoarei CI,9 9,7; MI 7 ** aI997@$. 3 * 3 *3 * a * *

@3. $3*$3*

a ! * a !a! * a @6. aa* * aa * * ** * a+ + +

@

@ @..

*''+2@(.

a$ @9. * a *r+ +@$111.Relaii e&primate prin 8uncii trigonometrice:b > a0in +* b > aco0 2* b > ctg +* b > cctg 2.III.'. T%i#ngKi#l d%e$t#ngKic ,I7 Ca > b > c;1.

3 a* ! 3a a a .$3

a''+2 @3.33 a$ $.63 ar III.*. T%i#ngKi#l o%ec%e ,I7 C,9I7;1. 4eorema lui /itagora generali-at:a; b

> a

= c

H aI9* dac mCI;M91 @b; b

> a

= c

= aI9* dac mCI;Q91 @. Relaiile lui 2te]ard OCI7;:b

IO = c

7O H a

,O > aIO7O@3.$; C

a*!a + @$.; ;C ;C C

p * p a p pa3a @3.* a p p **a; C

+@6.43 a'a'+2

@..; ;C ;C Cp * p a p p 4 @(.4a*$$@9.p4r .III... Rel"ii e+$%imte $%in 0#nc"ii t%igonomet%ice1. 4eorema 0inu0urilor: $2

+*'a

0in 0in 0in @. 4eorema co0inu0ului: *a*' ' ** a

co0 @ co0

+ + @3. 4eorema tangentelor: * a* a 2t%+ 't%+ @$.2 + ' $ 4't% a p p 4'2 + a42 a*4 0in 0in 0in*

; C *0in 0in 0in*

0in

@3.

co0

co0

co0 $2 + '$ p @6.2 + $ 3a0in 0in@$.. ; 0in 0in co0 $ C0in

2 + ' ' $ !a+ @(.

co0 ' ***a+@ 9.*a p p ' ; C

co0@11.* p * p ' ; ;C C

0in @11.; C; ;C C a p p p * p 't% .I:. Pt%#lte%eI:.!. P%lelog%m#l,I79 C,I79* I7,9* 9E,I;97,7I9 > FOGO, > O7* OI > O9 O,,I79 > ,I9E,,I79 > ,I,90in '.,EII:.'. 5%e$t#ngKi#l9 7,I79 C,I79* I7,9* , > 91;,7 > I9O,,I79 > ,I,9,II:.*. Rom2#l 9,I79 C,I79* I7,9* ,I > I7;,7 > d1* I9 > d

,I > a,7,7I9,,I79 >

d d 1 I:... Pt%t#lI,I79 C,I79* I7,9* ,I > ,7, > 91* ,I > a* ,7 > d; 97,7 > I9,7I9d > aO,,I79 > a

.$3 , II:./. T%$el97,I79 C,I79* ,I > +* 97 > *M% H linie miDlocie; MM% >

* + + M%,,I79 > 33 * + +M%

; C ,E I:. Poligone -n,c%i,e -n ce%c:.!. Pt%#lte%#l -n,c%i, -n ce%c,I,9 = I79 > 1(1@9I,7 I97@MEeorema lui #tolomeu ,I97 = ,9I7 > ,7I9 7,,I79 > ^ ,7I90in I:.'. Poligone %eg#lte -n,c%i,e -n ce%c#l de %& 31. 4riung5iul ec5ilateral: $3 3*

* 3

3 3$4$a $ " @. /tratul:

$ $ *

*$ 4$a $ " @3. _e&agonul regulat:

3 3*

3*

6 6$4$a $ " @$. /oligonul regulat cu n laturi:n n na pn$n4n$ an$ " 0in

* co0 * 0in

unde

n" np .:I. Ce%c#lPungimi i arii: lcerc > R* ,cerc > R

@ larc,I>1(1 $@ ' m0ura "n grade@,,0ector,I > 1(1

$ OC,OI; > 1(1 C ' m0ura "n radiani; IIng"i cu vrful (n interiorul cercului1 I$$mC,OI; > ; I mC,,mC,MI; >

; 9 mC7 ; I mC, + M 97Ing"i cu vrful pe cercOMM4MmC,MI; >

; I mC,4mC,M4; >

; M mC, , B

Ing"i cu vrful (n e$teriorul cerculuiMO4M4 7mC,MI; >

; 9 mC7 ; I mC, 9TmC,MI; >

; 4 mC9 ; 4 mCI ,I#uterea unui punct fa de un cercI MO4M4%CM; > M,MI > OM

H r

> M4 4C%; > %,%I > r

H O%

,:II. Com$lemente de geomet%ie $lnEriung"iul orticestetriung"iul determinat depicioarele(nlimilorunuitriung"i2 dintre toate triung"iurile cu vrfurile respectiv pe laturile unui triung"i*sau pe prelungiri+, triung"iul ortic are cel mai mic perimetru.Cevianaestedreaptadeterminatdevrful unui triung"i i unpunct allaturii opuse.Eeorema lui Ceva1 Cevienele /., 0N, C#ale triung"iului /0Csuntconcurente dac i numai dac 1 P+P'-'-2M2M+.Eeoremalui .enelaus1 #edreptele0C, C/, /0, determinatedelaturiletriung"iului /0C, se consider punctele ., N respectiv # situate dou dintre ele pelaturile triung"iului i unul pe prelungirea unei laturi, sau toate trei pe prelungiride laturi. #unctele ., N, # sunt colineare dac i numai dac1 1 P+P'-'-2M2M+.Dreapta lui !uler1 &ntr?un triung"i oarecare, punctele H, % i 5*ortocentrul, centrul cercului circumscris i centrul de greutate+ sunt colineare.$3Dreaptalui Simson1#roieciileunui punct depecercul circumscrisunuitriung"i, pe dreptele suport ale laturilor acestuia, sunt colineare.Cercul e$(nscris1unui triung"i este tangent la o latur a triung"iului i laprelungirile celorlalte dou laturi2 centrul cercului e$(nscris este intersecia'isectoarei unui ung"i interior cu 'isectoarele celorlalte dou ung"iuri e$terioare.Cercul lui !uler*cercul celor noupuncte+1 picioarele (nlimilor unuitriung"i, mijloacele laturilor i mijloacele segmentelor determinate de ortocentru ivrfurile triung"iului sunt conciclice.:III. Polied%e:III.!. P%i,m!.P%leli$i$ed#l d%e$t#ngKic,lat > Ca = b;c@c,tot > Cab = ac = bc;@ dV > abc bd

> a

= b

= c

a'.C#2#l Cde latur a > b > c;, > 6a cV > a3 da > a 3 a b*.P%leli$i$ed#l9T7TITOC,I7; ,T ITITO > 5V > ,,I795 9 O 7, I..P%i,m 7TCdreapt 0au oblic* de "nlime 3; ,T ITV > ,ba-ei5 5 7,I/.P%i,m t%i#ngKi#l% %eg#lt 7TC,I > a;OT,lat > 3a5 ,T IT,tot > 3a5 =

3 a

$6V > $3 a

5 7O, I:III.'. Pi%mid!. Tet%ed%#l %eg#ltCtoate muc5iile 0unt congruente*,,OCI79;* ,M97;@

3*36 a'Ma3 I 7'. Tet%ed#l d%e$t#ngKicCO,OIO7O,* O, > OI > O7 > a* 7M,I;7 @

6*

a '+a2MaFM

3

a''+2

3

3 a a'tot+ G > 63a*. Pi%mid t%i#ngKi#l% %eg#ltC,I > ,7 > I7 > ,* V, > VI > V7 VM I7* VM H apotem;$.1

@ 33 `0in *36`0in3

aG a 'F M ' F + ' 3 $3

3$3

31

3 aGGM a a'GM a'a3 GMtot"at + + .. Pi%mid $t%#lte% %eg#lt C,I79Hptrat de latur a* V, > VI > V7 > V9* VMI7;3

$

3 aGGM a a 'GM a 'a3 GMtot"at + + /. Pi%mid Ke+gonl %eg#lt C,I79EF H 5e&agon regulat VM I7*V, > VI > V7 > V9 > VE > VF > a;

33

3 33$3

3 aGGM aa'GM a 'a3 GMtot"at + + M,I1. Pi%mid %eg#ltCpiciorul "nlimii coincide cu centrul circum0cri0 ba-ei;:3@

3 'G ' ' 'apote!a P'*azei"at *azei tot*azei"at + 3. Pi%mid Cde "nlime 3;:$(3@3 'G ' ' '*azei"at *azei tot + :III.*. T%#ncKi#l de $i%midC+ H aria ba-ei mari* * H aria ba-ei mici* 3 H "nlimea;!. T%#ncKi#l de $i%mid o%ec%e:* + * +3G + + C3'. T%#ncKi#l de $i%mid %eg#ltP H perimetrul ba-ei mari* p perimetrul ba-ei mici* ap apotema; C3

; C

; C* + * +3Ga p P* + 'a p P'ptotp"at + + ++ + +:III... Polied%#l %eg#ltRelaia lui Euler: v6!5f = /Cv numal 6#r8urilor* ! numrul muc5iilor* f numrul 8eelor;4ipurile de poliedre regulate:- tetraedrul regulat: f = H, v = H, ! = I&- cubul C5e&aedru regulat;: f = I, v = J, ! = 1/&- octaedrul regulat: f = J, v = I, ! = 1/&- dodecaedrul regulat: f = 1/, v = /0, ! = >0&- ico0aedrul regulat: f = /0, v = 1/, ! = >0&IB. Co%$#%i %ot#nde%otaii: $ ra-* C generatoare* 3 H "nlimeIB.!. Cilind%#l ci%c#l% d%e$t3 $ GC $ $ '$C 'C 3tot"at

; C

+ $9IB.'. Con#l ci%c#l% d%e$t3; C

3 $GC $ $ '$C '$ 3 Ctot"at+ + IB.*. T%#ncKi#l de conCr H ra-a ba-ei mici;; C3; C ; C; C; C

$r r $3Gr $ r $ C 'r $ C 'r $ 3 Ctot"at+ + + + + + + IB... S0e%

1 08erice3

3$$$3 '$3 '$G$ 'zoneia"oteiB. 7#nc"ii t%igonomet%iceB.!. 5e0ini"ii -n t%i#ngKi#l d%e$t#ngKica*+ 0in* a

+ co0*

*t%+ 7*

t%+ * 2 + co0 0in * t%2 t%+

ba , cIB.'. P%o$%iet"ile 0#nc"iilo% t%igonomet%ice1. 0in:RS'1*1R?11 &31 '10inC'&; > '0in &* 0inC& = V; > 0in &* CVK;. co0:RS'1*1R?1

1 & '1co0C'&; > co0 &* co0 C& = V; > co0 &* CVK;3. tg:RLFCV=1;

GR? tgC'&; > 'tg &tgC&=V; > tg &* CVK;'

1 &$. ctg:RLFVGR? ctgC'&; > 'ctg &ctgC& = V; > ctg &* CVK;

3 1 &BI. 7o%m#le t%igonomet%ice31BI.!. Rel"ii -nt%e 0#nc"iile t%igonomet%ice le #n#i %g#ment?1. 1 co0 0in + @ 0in 1 co0 @ co0 1 0in t t .co00in t% 11co0 @10int% t%t%+ t+ t3. co0

0in

,_

t% t%

,_

* $. 0in ; 0inC co0 ; co0C @ t% t% ; C3. co0

0in

,_

+ 0in

co0

,_

+* t% t%

,_

+

6. 0in ; 0inC + co0 ; co0C +@ t% t% + ; C.. 0in ;0inC co0 ;0inC @ t% t% ;CBI.'. 7o%m#le de d#n%e? t% t%t% t%t%t t t t t1; C0in 0in co0 co0 ; co0Cco0 0in co0 0in ; 0inCBI.*. 7o%m#le $ent%# m#lti$lii de %g#ment?... 0in co0 0in co0 0in co0 co0... 0in co0 0in co0 co0 0in11 co0 @1

0inco0 3 co0 $ 3 co00in $ 0in 3 3 0in 1

1

1 co00in1 0in co0co0co0 0in 0in3 3 3 3 3 3 1 1$ $ $

33

+ + ++ nnnnnnnnnnn2 2 2 n2 2 nt%t%t%t%t% t%t%t%t%t% t% t%t%t%BI... 7o%m#le $ent%# ;#mt"i de %g#ment?3 co0 1co0 10inco0 1co0 10in

co0 1

co0 @

co0 1

0in+t ++t t t%BI./. S#me) di0e%en"e 4i $%od#,e?

co0

0in0in 0in + +

co0

0in0in 0in +

co0

co0co0 co0 + +

0in

0inco0 co0 + co0 co0; 0inC@co0 co0; 0inC + + t% t% t% t%

,_

,_

+ + $co0 $0inco0 0in

,_

,_

+ $co0 $0inco0 0in t% t%t% t%t% t%++ + + + + + ;R 0inC ; S0inC

1co0 0in;R co0C ; Sco0C

1co0 co0;R co0C ; Sco0C

10in 0inBII. In. 7oordonatele C&*?; ale miDlocului 0egmentului ,I:

*

11y yyx xx++H. 7oordonatele punctului M care "mparte 0egmentul C,I; "n raportul 8#

*1 118y yy88x xx+++33BI:.'. Ec#"i d%e$tei1. 9repte paralele cu a&ele de coordonate:Cd;:& > a CdO?;* Cd;:? > a CdO&;. 9reapta determinat de punctul Mo(xo,yo) !i 6ectorul nul a t r r d v u ao + : ; C : ; * C* tR*or'6ectorul de po-iie a lui Mo@ r'6ectorul de po-iie a unui punct M al dreptei d.'+ + vt y yut x xdoo: ; C * tR* ecuaiile parametrice@3. Ecuaia e&plicit: ? >m& = n CmR[* nR* m H panta* n H ordonata la origine;@$. Ecuaia prin tieturi: [;@ * C * 1 1 $ * a*yax +L. Ecuaia dreptei de pant !* prin punctul Mo(xo,yo): ? H ?o > mC& H &o;* Cm1;@I. Ecuaia dreptei determinat de punctele '(x1,y/)* +(x/,y/):; * C * ;* C 111 11 111 1 1y y x xx xx xy yy yx xx xy yy y 0au 1111 1 1y xy xy xM. Ecuaia general: a& = b? = c > 1@J. ,ria triung5iului ,I7 C,C&1*?1;* IC&

*?

;* 7C&3*?3;;: ,,I7>

1* unde111 1 1y xy xy x * dac > 1 atunci ,* I* 7 0unt colineareN. /o-iia relati6 a dreptelor Cd1; !i Cd

;:1 : ; C1 1 1 1 + +y * x a d !i 1 : ; C + +y * x a dd1 > d

* dac

1

1

1

**aa d1 d

* dac

1

1

1

**aa @d1 d

!i d1 d

* dac

1

1**aa10.9i0tana de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (3)# ax 5 *y 5= 0 1 1; * C* a *y ax3 M d++ +11. Xng5iul determinat de dreptele:361 1 1: ; C n x ! y d + !i: ; C n x ! y d + ; 1 C *1 1 11 + ! !! !! !t%d1 d

* dac !1!/ = '1BI:.*. Ce%c#l7ercul 7 de centru MCa*b; !i ra- r:1. Ecuaia cercului C& H a;

= C? H b;

> r

@ dac MCa*b; > 1C1*1;: &

= ?

> r

@. Ecuaia general: &

= ?

= m& = n? = p > 1* unde

ma * b >

n !i r

> $1Cm

= n

; H p.BI:... Conice %$o%tte l +ele de ,imet%ie!. Eli$, !1 FCc*1;* FTC'c*1;* ,Ca*1;* ,TC'a*1;* IC1*b;* ITC1*'b;* MF = MFT > a* ME!cuaia elipsei1

* 1 1 a**yax + +IM ,T FTF,O

IT!cuaia tangentei (n punctul .*$o,4o+, .!11 1 +*yyaxxo o'. Li$e%2ol H1 FCc*1;* FTC'c*1;* ,Ca*1;* ,TC'a*1;* MF H MFT> a* MA.!cuaiea "iper'olei1

* 1 1 a * *yax ? M

FT,TO, F&!cuaia tangentei (n .o*$o,4o+, .oH.1 1

1

1 *yyaxx3.*. P%2ol #1 FC

p*1;* 5:& > '

p C5 H dreapta directoare;: dCM*5; > MF* MP.!cuaia para'olei #1 y/ = /px?5 M &OF!cuaia tangentei (n .o*$o,4o+, .o#1 yyo = p(x 5 xo)ANALIZ MATEMATIC 3(I. i%#%iI.!. i%#%i 4i limite9e8iniia I.1.1. Se numete ir de numere reale o funcie f1NR, f*n+ 6 an.9e8iniia I.1.. Qirul *an+nD se numete cresctor *respectiv descresctor+ dacanan + 1 daca *1 daca *lim*** an nn.+ nnnn* alim lim atunci + + ; Climn nn* a* + ; Climn nn* a@3. dac nnalim!i * *nn lim* *R* atunci + ; Climn nn* a61'< +> 1 daca *1 daca *lim*** an nn@$. nnnn* alim lim atunci + ; Climn nn* a* + ; Climn nn* a@3. dac nnalim!i nn*lim atunci ; Climn nn* a@6. dac 1lim nna atunci nn a1lim dac an Q 1 !i nn a1lim dac an M 1.I... i%#%i ti$ 61.Y1...Y 1Y 111lim. 9@11lim. (@ 1 * 1 ...1lim. .@ 1 * 1lim. 6@ ;1...31

11 Clim. 3@ 1 daca *11; ... 1 Clim. $daca *1 0i daca *1 0i daca *daca * 1......lim. 31 daca *1 daca *lim; ... Clim. 1 daca e&i0ta* nu 1 daca *1 daca * 11 1 daca * 1lim. 1

11111 1111 1111 111 1enenp na anqqq q qp 8*ap a p 8p a p 8p 8n n * n * n *a n a n a n aaan a a n a n a n aqqqqqnnnnn p p pnnnnnno oo op pp p8 88 8n8n8 88 8nnn

,_

+ + + +

,_

+ + + +> + + + + +< + + + +'< > > > + +< < II. Limite de 0#nc"ii%otaii: f:9R* 9R* ' punct de acumulare a lui 9@II.!. 5e0ini"ii le limitei9e8iniiaII.1.1.R * ; Clim " " x fx *dacpentruoricevecintateGalui"e$ist o vecintate Q a lui astfel (nct &9X* &* s rezulte f(x)V.69e8iniia II.1..R * ; Clim " " x fx ,dacpentru oriceir*$n+nD,$n9LFG,avnd nnxlim rezult " x fn ; Clim*criteriul cu iruri+@9e8iniia II.1.3. R * ; Clim " " x fx , dac Q1* Q1 astfel (nct &9LFGi & ' M rezult f(x) 6 "M @9e8iniia II.1.$. " x fx; Clim, dac "s = "d = ", unde ; C lim x f "xxs< !i ; C lim x f "xxd>.II.'. O$e%"ii c# limite de 0#nc"ii8:9R* g:9R*'punct deacumularealui 9* 1; Clim" x fx* ; Clim" x %x*"1,"/R@.; C; Clim* 1 daca . $@ ; Clim. 3@ ; C ; Clim. @ ;; C ; C Clim. 1

1

1 1 1""x %x f"" a x af" " x % x f" " x % x fxxxx + +II.*. Limite ti$nn nnn nxa a a a x a x a + + + + + + ... ; ... Clim. 111 111 1 @lim; ... Clim111 1nxnn nxx a a x a x at t + + +!! !nn n!! !nn nx * * *a a a* x * x *a x a x a+ + ++ + ++ + ++ + + ............lim. 11 111 111 111 1 @lim......lim1111 111 1!nx!! !nn nx x *x a* x * x *a x a x at t + + ++ + + * * *lim. 3 +n - n $ xn nx nxxlim * + 1 limnxx@63$. G 1 F L * *lim[+ $ a $ a axx xxalim * 1lim xxa* dac a Q 1@1lim xxa* xxalim * dac 1 M a M 1@3.G 1 F L 8inita* 1 * log loglim[+ > $ xa ax >xaxxlog lim11 !i + xaxloglim dac a Q 1@+ >xaxxlog lim11 !i xaxloglim dac 1 Ma M 1@6.0in 0inlimxx* co0 co0limxxK t% t%xx + *lim* K t% t%xx *lim t%xxxlim

.. >t%xxxlim11* a K naxxnx11. @ ; 1 Clim*11lim11e x exxxxx +

,_

+ t 11.@ 1; 1 lnClim1+ xxx1. 1 * ln1lim1> a axaxx*6$13.$ r rxxrx +*1 ; 1 Clim1.II... Contin#itte 0#nc"iilo%9e8iniia II.$.1.)ief#9R*xo9*xo punct de acumulare a lui uuulogau, a1, aO0, uO0uuaUln1ln u, uQ1U1uu au, a1, aO0 au ln aueueuu0in u co0 uuco0 u' 0in uutg u, co0 u 1Uco01

uu ctg u, 0in u 1U0in1

uu arc0in u, uS'1*1R; 1 * 1 C * U11

u uuarcco0 u, uS'1*1R; 1 * 1 C * U11

u uuarctg uU11

uu+arcctg uU11

uu+uv , uO0 uvv ln u 5 vuv61uIII./. 5e%i 1.Eeorema lui Pagrange19ac 8uncia continu f:Sa*bRR e0te deri6abil pe Ca*b;* atunci e&i0t cCa*b;a0t8el "nc#t ; C U; C ; C fa *a f * f.4eorem. 9ac 8uncia fe0te continu !i deri6abil pe I CI H inter6al de0c5i0;*atunci: 1. "ntre dou rdcini con0ecuti6e ale 8unciei e&i0t cel puin o rdcin a deri6atei@. "ntre dou rdcini con0ecuti6e ale deri6atei e&i0t cel mult o rdcin a 8unciei.Eeorema lui Cauc"419acf,%:Sa*bRR continue pe Sa*bR*deri6abile pe Ca*b; !i gTC&;1*&Ca*b;atunci cCa*b; a0t8el "nc#t ; C U; C U; C ; C; C ; C % fa % * %a f * fI:. A,im$toteI:.!. A,im$tote o%i&ontle Cf:9R;9e8iniia IV.1.1.Dac 1; Clim" x fx+ sau ; Clim" x fx *"1,"/R*drepteley="1 i y="/ sunt asimptote orizontale a lui f spre D) respectiv ?I:.'. A,im$tote o2lice Cf:9R;9e8iniia IV..1.Dac 1; Clim !xx fxi $ n ! n !x x fx + * * R ; C Slimdreapta y = !x 5 n este asimptot o'lic a lui f spre D.6(9e8iniia IV...Dac 1 U; Clim !xx fxi $ n ! n x ! x fx + U * U * U R U ; C Slimdreapta y = !x 5 n este asimptot o'lic a lui f spre A.I:.*. A,im$tote