memorator matematic liceu

8/3/2019 MEMORATOR MATEMATIC liceu

1/66

1

ALGEBR

I. Elemente de logic matematic

I.1. Noiunea de propoziie

Definiia I.1.1.Se numete propoziie un enundespre care se poate spune c este adevrat

sau fals, adr nui adevrati fals simultan.

Se noteaz cup,q, P, Q

Ex: 1) Q : acesta este un enun care exprim un adevr, deci o propoziie adevrat.

2) x + 5 = 3, xN este o propoziie fals, pentru c nu exist nici un numr natural

astfel ca x + 5 = 33) x y, x,yN este un enun despre care nu se poate spune nimic. Deci nu este o

propoziie.

Valoarea logic sau valoarea de adevr a unei propoziii. Dac o propoziie p este

adevrat se spune c are valoarea logic sau valoarea de adevr: adevrul; aceast valoare de

adevr se noteaz cu simbolul 1 sau ai scriem v(p) = 1 sau (v)p = a. Daca o propoziie q este

fals, se spune c are valoarea de adevr: falsul; aceast valoare de adevr se noteaz cu simbolul 0

saufi scriem v(q) = 0 sau v(q) = f.

I.2. Operatori logici

Negaia

Definiia I.1.2.Negaia unei propoziii p este propoziia care este fals cnd p este

adevrati este adevrat cnd p este fals. Se noteaz: non p, p, p .

Tabela de adevr a propoziiei non p se ntocmete be baza relaiei v(non p) = 1

v(p).

p non p

1 0

0 1


2/66

2

Conjuncia

Definiia I.2.2. Conjuncia a dou propoziiipiq este propoziia care este adevrat dac

i numai dac fiecare propoziie piq este adevrat.

Se noteaz:p q

Tabela de adevr a propoziieip q este:

p q p q

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Disjuncia

Definiia I.2.3.Disjuncia a dou propoziiip iq este propoziia care este adevrat dac

i numai dac cel puin una din propoziiile p, qeste adevrat.

Se noteaz:p q

Tabela de adevr a propoziieip q este:

p qp q

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

Implicaia

Definiia I.2.4.Implicaia propoziiilorpiq este propoziia care este fals dac i numai

dac p este adevratiq este fals.

Se noteaz: (non p) sau q, pqi se citete: p implic q sau dac p, atunci q. Propoziia

p este ipoteza, iar propoziia q este concluzia.

Tabela de adevr a propoziieipq este:


3/66

3

p q non p (non p)q

1 1 0 1

1 0 0 0

0 1 1 1

0 0 1 1

Echivalena logic

Definiia I.2.4. Propoziiile p i q sunt echivalente logic , dac i numai dac p, q sunt

adevrate sau false simultan.

Se noteaz (non p)q i (non q)p; (pq) i (qp); pq; se citete: p echivalent cu q

sau p dac i numai dac q, p este condiie necesar i suficient pentru q.

Tabela de adevr a propoziiei compusepq este:

p q non p non q pq q p (pq) (qp)

1 1 0 0 1 1 1

1 0 0 1 0 1 0

0 1 1 0 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1

I.3. Expresii n calculul propoziiilor

Propoziiilep,q, r, fiind date, cu ajutorul operatorilor logici , , , , putem formula

diferite expresii, care se numesc formule ale calculului cu propoziii sau expresii logice. Ele se

noteaz sau (p,q,r,), (p,q,r,).

nlocuind n pep,q,r, cu diferite propoziii obinem o alt propoziie, adevrat sau nu, a

crei valoare de adevr se numete valoarea expresiei , obinut pentru propoziiile p,q,r,

respective.

Definiia I.3.1.O expresie logic care se reduce la o propoziie adevrat, oricare ar fi

propoziiilep,q,r,se numete tautologie.


4/66

4

Definiia I.3.2. Dou expresii logice i se numesc echivalente dac i numai dac

pentru orice propoziiip,q,r, cele dou expresii reprezint propoziii care au aceeai valoare de

adevr. n scris se noteaz .

I.4. Noiunea de predicat

Definiia I.4.1.Se numete predicat sau propoziie cu variabile un enuncare depinde de o

variabil sau de mai multe variabile i are proprietatea c pentru orice valori date variabilelor se

obine o propoziie adevrat sau o propoziie fals.

Predicatele se noteazp(z,y,z,), q(x,y,z,)i pot fi unare (de o variabil), binare (de dou

variabile), ternare (de trei variabile), etc., variabilelex,y,z, lund valori n mulimi date.

Definiia I.4.2.Predicatelep(z,y,z,), q(x,y,z,) se numesc echivalente dac, oricare ar fi

valorile pe care le iaux,y,z, n unuli acelai domeniu, propoziiile corespunztoare au aceleaivalori de adevr. Scriemp(z,y,z,) q(x,y,z,).

I.5. Cuantificatori

Definiia I.5.1. Fie p(x), cu xM , un predicat. Dac exist (cel puin) un elementxM,

astfel nct propoziia p(x) este adevrat, atunci scriem xp(x), (x)p(x) sau (xM)p(x).

Simbolulse numete cuantificator existeniali se citete exist.

Definiia I.5.2. Fie p(x) cuxM, un predicat. Dac p(x) este o propoziie adevrat pentruoricexM , atunci scriem xpx, (x)p(x) sau (xM)p(x). Simbolulse numete cuantificator

universali se citete oricare ar fi.

Proprietatea de comutativitate a cuantificatorilor:

1. (x)(y)p(x,y) (y)(x)p(x,y);2. (x)( y)p(x,y) (y)( x)p(x,y);

Reguli de negare:

1. ((x)p(x)) ((x)(p(x));2. ((x)p(x)) ((x)(p(x));3. ((x)(y)p(x,y))((x)(y)p(x,y));4. ((x)( y)p(x,y))(( x)( y)p(x,y));


5/66

5

I.6. Metoda de demonstraie prin reducere la absurd

Aceast metod se bazeaz pe tautologia (pq) (non pnon q), care ne arat c pentru a

demonstra cpq, este totuna cu a demonstra c non pnon q.

I.7. Proprieti fundamentale ale operatorilor logici

Oricare ar fi propoziiilep,q,r, avem:

1. non(non p) p;2. (pq) (qp) (comutativitatea conjunciei);3. ((pq)r)(p(qr)) (asociativitatea conjunciei);4. (pq) (qp) (comutativitatea disjunciei);5. ((pq)r)(p (qr)) (asociativitatea discjunciei);6. ((pq)(qr))(pr) (tranzitivitatea implicaiei);7. non(pq) (non p)(non q) legile lui de Morgan;

non(pq) (non p)(non q)

8. (p(qr)) ((pq)(pr)) conjuncia este distributiv n raport cu disjuncia i(p(qr)) ((pq)(pr)) disjuncia este distributiv n raport cu conjuncia

II. Mulimi

Moduri de definire a mulimilor. Mulimile se definesc fie prin indicarea elementelor lor

(de pild {0,1,3} sau {x,y,z}), fie prin specificarea unei proprieti caracteristice a elementelor lor

(de exemplu {xRx2 3x + 2 = 0}).

Mulimile se noteaz cu litere mari: A, B, C, X, Y, Z, iar elementele lor cu litere mici: a,

b, c,

Apartenena unui element la o mulime. Dac un element a aparine unei mulimiA, acesta

se noteaz aAi se citete a aparine luiA.Definiie.Mulimea vid este mulimea care nu are nici un element. Se noteaz cu .

II.1. Egalitatea mulimlorAiB:

(A = B) (xA xB) i (yB yA)

Proprietile egalitii:

1. A, A = A (reflexivitatea);


6/66

6

2. (A = B) (B = A) (simetria);3. (A = B B = C) (A = C) (tranzitivitatea);

II.2. Incluziunea mulimiiA n mulimeaB:

(A B) (xA x B)

Mulimea A se numete o parte sau o submulime a lui B.

Proprietile incluziunii:

1. A, A A (reflexivitatea);2. (A B) (B A) (A = B) (antisimetria);3. (A B B C) (A C) (tranzitivitatea);4. A, A

Relaia de neincluziune se noteaz A B.

II.3. Reuniunea mulimilorAiB:

A B = {xxA xB}

Proprietile reuniunii:

1. A, B: A B = B A (reflexivitatea);2. A, B, C: (A B) C) = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotena);4. A: A = A;5. A, B: A A B, B A B.

II.4. Intersecia mulimilorAiB:

A B = {xxA xB}

Proprietile interseciei:

1. A, B: A B = B A (comutativitatea);2. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);3. A: A A = A (idempotena);4. A: A = 5. A, B: A B A, A B B


7/66

7

6. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea interseciei fa de reuniune);7. A, B, C: (A B) C = (A C) (B C) (distributivitatea reuniunii fa de intersecie);8. A, B: A (A B) = A, A (A B) = A (absorbia).

Definiie.MulimileA iB care nu au nici un element comun se numesc disjuncte. Pentru

ele avemA B = .

II.5. Diferena mulimilorAiB:

A \ B = {xxA xB}

Proprietile diferenei:

1. A: A \ A = ;2. A, B, C: (A \ B) C = (A C) \ (B C);3. A, B: A \ B = A \ (A B);4. A, B: A = (A B) (A \ B);5. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) \ C;6. A, B, C: A \ (B C) = (A \ B) (A \ C);7. A, B, C: (A B) \ C = (A \ C) (B \ C);8. A, B, C: (A B) \ C = A (B \ C) = (A \ C) B.

II.6. Diferena simetric a mulimilorAiB:

A B = (A \ B) (B \ A)

Proprietile diferenei simetrice:

1. A: A A = ;2. A, B: A B = B A (comutativitatea);3. A: A = A = A;4. A, B, C: (A B) C = A (B C) (asociativitatea);5. A, B, C: A (B C) = (A B) (A C);6. A, B: A B = A B \ (A B)


8/66

8

II.7. Complementara unei mulimiA n raport cu mulimeaE:

(A fiind o parte a luiE, adicAE)

CEA = {xxE xA}

Proprieti: (A, BE)

1. CE(CEA) = A (principiul reciprocitii);2. CEA = E \ A;3. CE = E;4. CEE = ;5. A CEA = A (principiul exluderii teriului);6. A CEA = (principiul necontradiciei);7. A B CEB CEA;8. A \ B = CE(A B).II.8. Formulele lui de Morgan (A, BE)

CE(A B) = CEA CEB; CE(A B)= CEA CEB.

II.9. Produsul cartezian a dou mulimileA iB:

A x B = {(a,b)aA bB}

Proprietile produsului cartezian ( A,B,C,D avem):

1. A x B B x A, dac A B;2. (A x B) (A x C) = A x (B C);3. (A B) x C = (A x C) (B x C);4. (A B) x C = (A x C) (B x C);5. (A \ B) x C = A x C \ B x C;6. (A B) x (C D) = (A x C) (B x D)

Definiia II.9.1.MulimileAiB se numesc echipotente dac exist o bijecie de laA laB.

Definiia II.9.2. FieEo mulime. Aceasta se numete finit dacE = sau dac exist

nN, astfel nctEeste echipotent cu mulimea {1,2,,n}.

Definiia II.9.3. O mulime E se numete infinit dac ea nu este finit. Exemple de

mulimi infinite sunt: N, Z, Q, R.

Definiia II.9.4. FieEo mulime. Aceasta se numete numrabil dac este echipoent cu

N. Exemplu: Mulimea numerelor raionale.


9/66

9

Definiia II.9.5. O mulime se numete cel mult numrabil dac este finit sau

numrabil.

Definiia II.9.6. FieEo mulime. Se numete cardinalul acestei mulimi un simbo asociat

ei, notat E sau card E , astfel nctE = F , dac i numai dac E este echipotent cu F;

cardinalul mulimii vide se noteaz cu 0, cardinalul mulimii{1,2,,n} cu nN, senoteaz cu n,

iar cardinalul mulimiiNse noteaz cux0(alef zero).

Teorema II.9.1. FieAiB dou mulimi finite. Atunci:

A B = A + B -A B

Teorema II.9.2. FieA, BiCtrei mulimi finite. Atunci:

A B C= A +B +C - A B - A C - B C + A B C

III. Relaii binare

Relaia binar pe o mulime

Definiia III.1. Fie M o mulime nevid. Se numete relaia binar R pe M o parte a

produsului cartezian MxM. Dac x M este relaia R cu yM, atunci scriem xRy sau (x,y)R.

Deci o relaie binar se refer la perechile de elemente din M.

Proprieti ale relaiilor binare pe o mulime:

1. Relaia binarR pe mulimea Mse numete reflexiv dac aM avem pe aRa.2. Relaia binarR pe mulimea Mse numete simetric dac a,bM avem aRb implic bRa.

3. Relaia binarR pe mulimea Mse numete antisimetric dac a,bM, aRb i bRa implic a=b.

4. Relaia binarR pe mulimea Mse numete tranzitiv dac a,b,c M, aRb implic bRc implic

aRc.

Definiia III.2. Se numete greficul relaiei R definit pe M mulimea G =

{(x,y)xRy}.Definiia III.3. O relaie binar R definit pe o mulime nevid M se numete relaie de

echivalen dac ea este reflexic, tranzitivi simetric.

Exemplu: Fie N mulimea numerelor naturale i numrul 3 fixat. Pe N stabilim urmtoarea

relaieR: ai b din N sunt n relaie cuR, dac ai b mprite la 3 dau acelai rest. Scriem ab

(mod 3); de pild 4 1 (mod 3). Aceasta este o relaie de echivalen.


10/66

10

Definiia III.4. Fie M o mulime. R o relaie de echivalen pe Mi a un element fixat din

M. Se numete clas de echivalen corespunztoare elementului a mulimea Ca = {xMxRa}.Dou clase de echivalen Cai Cb sau coincid (cndaRb) sau sunt disjuncte.

Definiia III.5. Fie M o mulime i R o relaie de echivalen pe M. Se numete mulimea

ct a lui M n raport cu relaia Ri se noteaz M/R mulimea claselor de echivalen.

Definiia III.6. Fie M o mulime nevid. Se numete relaie de ordin pe M o relaie binar

care este reflexiv, tranzitivi antisimetric.

Se noteaz:


11/66

11

Definiia IV.1.3.Se numete funcie numeric o funcief:AB, pentru care att domeniul

de definiieA cti domeniul valorilorB sunt submulimi ale mulimilor numerelor reale (deciA,

BR).

IV.2. Funcii injective, surjective, bijective

Definiia IV.2.1. Fief:AB o funcie. Spunem cfeste o funcie injectiv, dac pentru

oricare dou elementexiy ale luiA,xy, avemf(x)f(y). Faptul cfeste injectiv se mai

exprimi altfel:x,yA: f(x) = f(y) x = y

De exemplu: f:NN, definit prin formula f(x) = x2, este injectiv, dar g:ZN, g(x) = x2 nu

este o funcie injectiv deoarece g(-2) = g(2) = 4.

Definiia IV.2.2. O funcie f:AB este o funcie surjectiv, dac pentru orice bB exist

cel puin un elementaA, astfel nctf(a) b.Decif:AB nu este surjectiv dacbB avem

f(a) b()aA.

De exemplu: f:RR, f(x) = ax, a 0 este surjectiv.

Definiia IV.2.3. O funcief:AB care este simultan injectivi surjectiv se numete

funcie bijectiv.

De exemplu: Fie A = {xRx 0} i f:RR, f(x) = x2. Funcia f este bijectiv.

IV.3. Compunerea funciilorDefiniia IV.3.1. Fie funciile f:AB if:BC (domeniul de definiie al funcieig

coincide cu codomeniul funcieif). Fie aA, atuncif(a)B, deci exist imaginea sa pring, adic

g(f(a))C. Astfel putem defini o funcie h:AC unde h(a) = g(f(a)) pentru aA . Funcia h

astfel definit se noteazgf(saugf) i se numete compunerea funcieigcu funciaf.

Observaii:

1. Dac f:AB i g:CD sunt dou funcii, are sens s vorbim de compunerea funciei g cufuncia f numai dac B = C.

2. Dac f:AB i g:BA sunt dou funcii, are sens gf:AA i fg:BB. n general fg gf.Teorem. Fie f:AB i g:BC i h:CD trei funcii. Atunci fiecare din funciile h(gf),

(hg)f are sens i exist egalitatea: h(gf) = (hg)f.


12/66

12

IV.4. Funcia invers

Definiia IV.4.1. Fie A o mulime oarecare. Notm cu 1A:A A funcia definit astfel:1A(a) = a pentru aA. 1A se numete funcia identic a mulimii A.

Propoziie. Fie A o mulime i 1A funcia sa identic. Atunci:

1. Pentru orice mulime B i pentru orice funcie f:AB avem f1A= f2. Pentru orice mulime C i pentru orice funcie g:CA avem 1Ag = g

Definiia IV.4.2. O funcie f:AB se numete inversabil dac exist o funcie g:BA

astfel nctgf = 1Aifg = 1B.

Teorem. O funcie este inversabil dac i numai dac este bijectiv.

V. Operaii cu numere reale

V.1. Puteri naturale ale numerelor reale1. (+a)n = +an2. (-a)2n = +a2n3. (-a)2n+1 = -a2n+14. aman = am+n5. am:an = am-n, a 06. a

m

bm

=(ab)m

7. am:bm = m

b

a, b 0;

8. mm

ma

a1

a1 =

= , a 0;

9.(am)n = amn = (an)m;

10. a0 = 1, a 0;

11. 0n

= 0, n 0, nN.Puterile numerelor reale se extind att pentru exponeni raionali pozitivi sau negativi, ct i

pentru exponeni reali, puterile reale fiind definite cu ajutorul irurilor de puteri raionale. Aceste

puteri au proprieti identice cu exponeni numere naturale.

V.2. Identiti fundamentale


13/66

13

Oricare ar fi x,y,z,t,a,b,cRi nN, avem:

1. a2 b2 = (a b)(a + b); 4ab = (a + b)2 (a b)2;2. (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax by)2 + (ax + bx)2;3. (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2 + t2) = (ax by cz bt)2 + (bx + ay dz ct)2 + (cx + + dy +az

bt)2 + (dx cy + bz + at)2;

4. a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2);5. a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2);6. x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 xy xz yz);7. x3 + y3 + z3 = (x + y + z)3 3(x + y)(y + z)(z + x);8. a4 b4 = (a b)(a + b)(a2 + b2);9. a4 + b4 = (a2 + b2 ab10.

a

5

b

5

= (a b)(a

4

+ a

3

b + a

2

b

2

+ ab

3

+ b

4

);11.a5 + b5 = (a + b)(a4 a3b + a2b2 ab3 + b4);12.(1 + a)(1 + a2 + a4) = 1 + a + a2 + a3 + a4 + a5;13.a6 + b6 = (a3 2ab2)2 + (b3 2a2b)2 (G. de Recquigny-Adanson);14.an bn = (a b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1);15.a2n b2n = (a2 b2)(a2n-2 + a2n-4b2 + + a2b2n-4 + b2n-2);16.a2n+1 + b2n+1 = (a + b)(a2n + a2n-1b + + ab2n-1 +b2n);17.(1 + a + a2 + + an)(1 + an+1) = 1 + a + a2 + + a2n+1.

V.3. Radicali. Proprieti

1. 0,1 >= aaa mm ;2. 0,11 1 >== aa

aam

mm ;

3. ( ) 0, = aaa mm ;4. 0,, = baabba mmm ;5. 0,11 >=

a

aa

m

m ;

6. 0,,,, = cbaabccba mmmm ;


14/66

14

7. 0,0,: >= bab

aba mmm ;

8. 0, = + + aaaa nm nmnm ;

9.

0,: >=

+

aaaa

nm nmnm

;10. n mnm aaa 0, = ;11. ( ) 0, == aaaa mnnmm n ;12. 0, >= aaa n pmn mp ;13. 0,, = bababa mn qmpnn qm p ;

14. 0, == aaaa n mmnm n ;

15. 0,0,:: >= bababa mn qmpnn qm p ;

16. = aaa ,2 R;

17. 0,12121

12 == +++ aaaa nnn ;

18. ( ) 0,1212 = ++ aaa nn ;

19. 0,,2 ++=+ baabbaba ;

20.22

CACABA

+= , dac i numai dac A2 B = C2;

21.Expresia conjugat a lui ba este ba + iar pentru 33 ba este 3 233 2 baba ++

VI. Ecuaii i inecuaii de gradul nti

VI.1. Ecuaii de gradul nti sau ecuaii afine

ax + b = 0, a,b,xR

Fie S mulimea de soluii a acestei ecuaii. Dac

1. a 0, x =a

b (soluie unic). S = {

a

b }.

2. a = 0 i b 0, ecuaia nu are soluii: S = ;


15/66

15

3. a = 0 i b = 0, orice numr real x este soluie a ecuaiei afine date; S = R.Semnul funciei afine f:RR, f(x) = ax + b, a 0

x-

a

b +

f(X) semn contrar lui a 0 semnul lui a

Graficul funciei de gradul nti va fi o linie dreapt.

y

A(0,b)

x

B(a

b ,0)

VI.2. Inecuaii de gradul nti sau ecuaii fine

Cazul 1. ax + b > 0, a,b,xR. Fie S mulimea soluiilor. Dac:

1. a > 0, S =(a

b , + );

2. a < 0, S = (-,a

b );

3. a = 0, b > 0, S = R;4. a = 0, b = 0, S = .Cazul 2. ax + b = 0, a,b,xR. Dac:

1. a > 0, S = (+,a

b ]

2. a < 0, S = [a

b ,+)

3. a = 0, b = 0, S = R;


16/66

16

4. a = 0, b > 0, S = .Inecuaiile ax + b < 0 i ax + b 0 se reduc la cele dou cazuri (prin nmulirea inecuaiei

respective cu 1 i schimbarea sensului inegalitilor).

VI.3. Modului unui numr real

>

=


17/66

17

b = 0 a

b >0 {a b; a + b}

2. bax > b S

b < 0 R

b = 0 R\{a}

b >0 {-,a b){a + b,}

3. bax 0 {a b; a + b}

VII. Numere complexe

Definiia VII.1. Se numete numr complex orice element z=(a,b) al mulimii RxR =

{(a,b)a,bR}, nzestrate cu dou operaii algebrice, adunarea:z=(a,b), z=(a,b)RxR, z + z = (a + a, b + b)i nmulirea: z=(a,b), z=(a,b)RxR, z z = (aa-bb, ab +a b).

Mulimea numerelor complexe se noteaz cu Ci este corp comutativ.

VII.1. Forma algebric a numerelor complexe

z = a + ib, cu a = (a,0), b = (b,0) i i = (0,1), respectiv i2 = -1.

Egalitatea a dou numere complexe z i z:

a + ib = a + ib a = a i b = b

Adunarea numerelor complexe are proprietile:

este asociativ, comutativ, admite ca element neutru pe 0 i orice numr complex a + bi admite

un opusa ib.

nmulirea numerelor complexe are proprietile:


18/66

18

este asociativ, comutativ, admite ca element neutru pe 1 i orice numr complex a + bi nenul

admite un invers ( )

+

+=+ i

ba

b

ba

abia

2222

1; este distributiv fa de adunarez(z + z)

= zz + zz z,z,zC.

Puterile numrului i:mN, i4m = 1, i4m+1 = i, i4m+2 = -1, i4m+3 = -i.

Definiia 2.1.1. Dac z = a +bi, atunci numrul a ib se numete conjugatul lui zi se

noteaz a ib = ziba =+ .

Au loc urmtoarele proprieti, z,z,zC.

1. z+ z = 2a;2.

z - z = 2bi;

3. '' zz = ;4. '' zzzz = ;5. ))((' 22 biabiabazz +=+= ;6.

zz

zz

z

z '

'= ;

7. ( )nn zz = ;8.

z

z

z

z ''=

.

VII.2. Modulul unui numr complex

zC

zzz = sau 22 baz +=

Avem apoi:

1. zz = 2. '' zzzz ++ ;3. ''' zzzzzz ++ ;4. '' zzzz = ;


19/66

19

5. 0,'' = zz

z

z

z.

VII.3. Forma trigonometric a numerelor complexe

z = r(cos u + isin u)

unde r = z , iar unghiul u[0,2) este soluia ecuaiilor trigonometrice rcos u = a i rsin u = b.

De exemplu: dac z = -1 i, atunci4

5,2

== uz i z = )

4

5sin

4

5(cos2

i+ .

VII.4. Formula lui Moivre

uRi nN, (cos u + isin u)n = cos(nu) + isin(nu)

Consecinele formulei lui Moivre

cos nu = cosnu + C2ncosn-2

u sin2u + C4ncosn-4

u sin4u + ;

sin nu = C1ncosn-1u sin u + C3ncosn-3u sin3u + ;

tg nu =...1

...4422

55321

++

utgCutgC

utgCutgCtguC

nn

nnn .

VII.5. Extragerea rdcinii de ordinul n dintr-un numr complex

z = r(cos u + isin u)

( )

( )

( ) 1,...,2,1,0,)12(sin)12(cos1

1,...,2,1,0,2sin2cos1

1,...,2,1,0,2

sin2

cos1

=+

++

=

=+=

=

++

+=

nkn

ki

n

k

nkn

ki

n

k

nkn

kui

n

kurz

k

n

k

n

n

k

n

Pentru simplificare folosim urmtoarea notaie:

( )kk

n =1 i ( )kk

n =1

+

+

++

=+ 22

2222 aba

b

b

i

aba

iba

VII.6. Ecuaia binom

xn A = 0, AC, A = (cos + isin )

xk= A1/nk, k = 1,0 n , AR, A < 0;


20/66

20

xk= A1/nk, k = 1,0 n , AR, A > 0;

xk=

++

+n

ki

n

kpn

2sin

2cos , k = 1,0 n , AC\R

VIII. Ecuaii i inecuaii de gradul al II-lea

VIII.1. Ecuaii de gradul al doilea

ax2 + bx + c = 0, a,b,cR, a 0

1. Formule de rezolvare: > 0

a

bx

21+

= ,a

bx

22

= , = b2 4ac; sau

abx ''1 += , a

bx ''2 = , b = 2b, = b2 ac.

2. Formule utile n studiul ecuaiei de gradul al II-lea:x1

2 + x22 = (x1 + x2)

2 2x1x2 = S2 2P

x13 + x2

3 = (x1 + x2)3 3x1x2(x1 + x2) = S

3 2SP

x14 + x2

4 = (x1 + x2)4 2x1

2x22= S4 4S2P + 2P2

3.Discuia naturiii semnul rdcinilorn funcie de semnele lui = b2 4ac, P = x1x2, S =

x1 + x2.

P S Natura i semnul rdcinilor

< 0 - -Rdcini complexe:

a

ibx

22,1

=

= 0 - -Rdcini reale i egale

a

bxx

221==

P > 0 S > 0 Rdcini reale pozitive

> 0 P > 0 S < 0 Rdcini reale negative

P < 0 S > 0 Rdcini reale i de semne contrare; cea pozitiv este mai mare

dect valoarea absoluta a celei negativi

P < 0 S < 0 Rdcini reale i de semne contrare; cea negativ este mai mare n

valoare absolut.


21/66

21

4.Semnul funcieif:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR

> 0: a 0, x1 < x2.

x - x1 x2 +

f(x) semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

= 0

X - x1 = x2 +

f(x) semnul lui a 0 semnul lui a

< 0

X - +

f(x) semnul lui a

5. Graficul funcieif:RR, f(x) = ax2 + bx + c, a,b,cR este oparabol. Aceast funcie se poate

scrie i sub formaaa

bxaxf

42)(

2

+

+= , numit form canonic.

y > 0

a > 0

A(x1,0)

B(x2,0)

C(0,c)

C V

aa

b

4,

2

O A D B x

6. Maximul sau minimul funciei de gradul al doilea


22/66

22

1. Dac a > 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un minim egal cua4

, minim ce se realizeaz pentru

x =a

b

2

2. Dac a < 0, funcia f(x) = ax2 + bx + c are un maxim egal cua4

, maxim ce se realizeaz

pentru x =a

b

2

7.Intervale de monotonie pentru funcia de gradul al doilea

Teorem. Fie funcia de gradul al doilea f(x) = ax2 + bx + c, a0

1. Dac a > 0, funcia f este strict descresctoare pe intervalul

a

b

2,( i strict cresctoare pe

intervalul +

),

2a

b.

2. Dac a < 0, funcia f este strict cresctoare pe intervalul

a

b

2,( i strict descresctoare pe

intervalul

+

),2a

b

.

Observaie: Intervalele

a

b

2,( i

+

),2a

bse numesc intervale de monotonie ale

funciei f.

Descompunerea trinomului f(x) = aX2 + bX + c, a,b,cR, a0, x1i x2 fiind rdcinile

trinomului.

1. > 0, f(x) = a(X x1)(X x2);2. = 0, f(x) = a(X x1)2;3. < 0, f(x) este ireductibil pe R, deci f(x) = aX2 + bX + c

Construirea unei ecuaii de gradul al doilea cnd se cunosc suma i produsul rdcinilor ei:

x2 Sx + P = 0, cu S = x1 + x2i P = x1x2.


23/66

23

Teorem: Ecuaiile ax2 + bx + c = 0 i ax2 + bx + c = 0, a,b,c,a,b,cR, a,a0, au cel

puin o rdcin comun dac i numai dac:

a b c 0

0 a b c = 0 sau (ac ac)2 (ab ab)(bc bc) = 0

a b c 0

0 a b c

Condiii necesare i suficiente pentru ca numerele reale date i s fie n anumite relaii

cu rdcinile x1i x2 ale ecuaiei de gradul al doilea f(x)=ax2 + bx + c a,b,cR, a0, respectiv,

pentru ca f(x) s pstreze un semn constantx,xR.

Nr.crt. Relaii ntre x1, x2, i Condiii necesare i suficiente

1 < x1 < < x2 sau

x1 < < x2 03. af() > 04. a

b

2

3 x1 < < < x2

1. af() < 0

2. af() < 0 ceea ce atrage dup sine

>0

4 x1 < < x2 1. af() < 0

5 < x1 x2

1. = 02. af() > 03. 0


24/66

24

3.a

b

2

<

7 f(X) = 0, x, xR 1. 02. a > 0

8 f(X) 0, x, xR 1. 02. a < 0

Observaie: Rezolvarea ecuaiei biptrate ax2n + bxn + c = 0, nN, n > 2, prin substituia xn

= y, se reduce la rezolvarea unei ecuaii de gradul al doilea n y, anume ay2 + by + c = 0 i la

rezolvarea a dou ecuaii binome de forma xn = y1, xn = y2.

VIII.2. Inecuaii fundamentale de gradul al II-lea

1. ax2 + bx + c > 0, a,b,cR, a0, S = mulimea soluiilor:

a S

> 0

> 0

= 0 = 0

< 0

< 0

a > 0

a < 0

a > 0a < 0

a > 0

a < 0

(-, x1)(x2, +)

(x1,x2)

R\{x1}

R

2. 2. ax2 + bx + c 0, a,b,cR, a0, S = mulimea soluiilor: a S

> 0

> 0

= 0

= 0

< 0

< 0

a > 0

a < 0a > 0

a < 0

a > 0

a < 0

(-, x1][x2, +)

[x1,x2]

R

{x1}

R


25/66

25

Inecuaiile ax2 + bx + c < 0 i ax2 + bx + c 0 se reduc la cazurile precedente (prin

nmulirea cu 1 i schimbarea sensului acestor inegaliti).

VIII.3. Rezolvarea sistemelor de ecuaii cu coeficieni reali

1. Sisteme formate dintr-o ecuaie de gradul al doilea i una de gradul ntiAceste sisteme sunt de forma:

=+++++

=++

0

0)(

1112

112

1 fyexdycxybxa

cbyaxS

Se rezolv prin metoda substituiei. n prima ecuaie putem presupune c sau a0 sau b0

(dac a = b = 0 atunci prima ecuaie dispare). Presupunnd c b0, atunci ecuaia ax + by + c =0

este echivalent cu ecuaia b

c

xb

a

b

axc

y =

= . Dac substituim n y n cea de a doua

ecuaie a sistemului (S), atunci (S) este echivalent cu sistemul:

=+

++

+

+

=

0

)'(

111

2

112

1 fb

cx

b

aexd

b

cx

b

ac

b

cx

b

axbxa

b

cx

b

ay

S

Rezolvnd ecuaia a doua a sistemului (S) obinem valorile lui x, apoi, nlocuind n prima

ecuaie din sistemul (S) obinem valorile lui y.

Discuie. 1. Dac ecuaia a doua din sistemul (S) are dou rdcini reale, atunci

sistemul (S) are o soluie real.

2. Dac ecuaia a doua din sistemul (S) are dou rdcini egale, sau n cazul

cnd aceasta este o ecuaie de gradul nti, atunci sistemul (S) are dou soluii reale.

3. Dac ecuaia a doua a sistemului (S) nu are nici o rdcin real, atunci

sistemul (S) nu are soluii reale.

2. Sisteme de ecuaii omogeneUn astfel de sistem este de forma:

=++

=++

22

222

2

12

112

1)(dycxybxa

dycxybxaS


26/66

26

Sistemul (S) se numete omogen deoarece polinoamele a1X2 + b1XY + c1Y

2i a2X2 + b2XY

+ c2Y2 sunt omogene, n sensul c toate monoamele care apar n scrierea lor au acela i grad.

Presupunem mai nti c d10 i d20. Exist n aces caz numerele reale i diferite de

zero astfel nct d1 + d2 = 0. Se nmulete prima ecuaie cu i cea de a doua cu i apoi se

adun. Se obine sistemul echivalent:

=+++++

=++

0)()()()'(

22121

222

12

112

1

yccxybbxaa

dycxybxaS

Notm coeficientul ecuaiei a doua din (S) cu a3,b3,c3. Atunci:

=++

=++

0)'(

233

23

12

112

1

ycxybxa

dycxybxaS

Deoarece d10 sistemul (S) nu are soluia x = 0 i y = 0. Putem presupune c x0. mprim

ecuaia a doua din (S) cu x2i obinem ecuaia de gradul al doilea nx

y: c3

2

x

y+ b3

x

y+ a3 = 0

care, rezolvat, ne d n general dou valori k1i k2 pentrux

yadic,

x

y= k1i

x

y= k2.

Rezolvarea sistemului (S) este echivalent cu rezolvarea urmtoarelor dou sisteme:

=++

=

12

112

1

1

1

)(dycxybxa

xkyS i

=++

=

12

112

1

2

2

)(dycxybxa

xkyS

Cnd d1 = 0 i d2 = 0, sistemul (S) este de forma (S) i rezolvarea se continu ca pentru

sistemul (S).

3. Sisteme de ecuaii simetriceDefiniia VIII.3.3. O ecuaie n dou necunoscute se zice simetric dac nlocuindx cuyi

y cux, ecuaia nu se schimb.

Rezolvarea sistemelor de ecuaii simetrice se face astfel: se introduc necunoscutele auxiliares ip date de relaiile: x + y = s i xy = p.

Prin introducerea acestor noi necunoscutesip, n foarte multe cazuri sistemul se reduce la

un sistem de ecuaii format dintr-o ecuaie de gradul nti i o ecuaie de gradul al doilea n

necunoscutelesip.


27/66

27

IX. Ecuaii algebrice de gradul III, IV i V

IX.1. Ecuaia reciproc de gradul al treilea

ax3 + bx2 bx a = 0, a,bR, a0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a ecuaiei (x 1)[ax2 + (b + a) + a] = 0

IX.2. Ecuaia reciproc de gradul al patrulea

ax4 bx3 + cx2 bx + a = 0, a,b,cR, a0

Rezolvarea ei se reduce la aceea a unei ecuaii de gradul al doilea, prin substituia y = x +

x

1: a(x2 +

2x

1) b(x +

x

1) + c = 0 sau ay2 + by + c 2a= 0.

IX.3. Ecuaia biptrat

ax4 + bx2 + c = 0, a,b,cR, a0

Cu x = y2, rezult ecuaia ay2 + by + c = 0, decia

acbbx

2

424,3,2,1

=

X. Logaritmi

Definiia X.1. Fie aR*+, a 1 i bR*+ dou numere reale. Se numete logaritm alnumrului real strict pozitiv b exponentul la care trebuie ridicat numrul a, numit baz, pentru a

obine numrul b.

Logaritmul numrului b n baza a se noteaz logab

Evident baablog= . Pentru a = 10 obinem logaritmi zecimali, iar pentru a = e obinem

logaritmi naturali.

Proprieti:

1. logab = logac b = c, (b,c > 0);2. logaa = 1;3. loga1 = 04. logaac = c; loga

b

1=- logab; logax

2n = 2n logax , x0


28/66

28

5. )2,,0(,log1log >= mNmbbm

ba

m

a;

6. logab logba = 1;

7.

Formula de schimbare a bazei logaritmului: a

b

b c

c

a log

log

log =

8. x>0 i y>0 logaxy = logax + logay;9. x>0 i y>0 loga

y

x= logax logay; cologax = - logay

10.a>1 i x(0,1) logax < 0; a>1 i x>1 logax > 0;11.00, b>0, a1, b1

y

x

y

x

b

b

a

a

log

log

log

log= ;

14.x>0, a>0, a1, nN logax = logaxn;15.xR, a>0, a1 ax = exlna.

Operaii cu logaritmi zecimali

1. Suma a doi logaritmi: se adun separat caracteristicile (se adun algebric, ntruct exist

caracteristici pozitive i caracteristici negative) i separat mantisele (care sunt ntotdeauna pozitive

n afar de cazul n care ntregul logaritm este negativ); apoi cele dou rezultate se adun algebric.

2. Scderea a doi logaritmi: se adun desczutul cu logaritmul scztorului.

3. nmulirea unui logaritm cu un numr ntreg: cnd caracteristica este pozitiv, nmulirea se face

n mod obinuit; cnd caracteristica este negativ se nmulete separat mantisa i separat

caracteristica i se adun algebric rezultatele.

4. mprirea unui logaritm printr-un numr ntreg: n cazul cnd caracteristica este pozitiv,

mprirea se face obinuit. n cazul n care este negativ se mparte separat mantisa i separat

caracteristica; dac nu se mparte exact cu caracteristica prin numrul dat, atunci se adaugcaracteristicii attea uniti negative cte sunt necesare pentru a avea un numr divizibil prin

mpritorul respectiv i, pentru a nu se modifica rezultatul, se adaug i mantisei tot attea uniti,

dar pozitive.

X.1. Ecuaii i inecuaii logaritmice fundamentale

1. logax = b, a>0, a1, bR. Soluia: x = ab.


29/66

29

2. logax > b, bR. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a S

a > 1

0 < a < 1

(a , +)

(0, ab)

3. logax < b, bR. Fie S mulimea soluiilor. Avem:

a S

a > 1

0 < a < 1

(0, a )

(ab, +)

X.2. Ecuaii i inecuaii exponeniale fundamentale

1. ax = b, a>0, a1, b>0. Soluia x = logab, bR2. ax = b, a>0, a1, b0, nu are nici o soluie real3. ax > b. Fie S mulimea soluiilor. Avem:

a b S

a > 1

0 < a < 1

a > 0

a 1

b > 0

b > 0

b < 0

(logab, +)

(-, logab)

R

4. ax < b. Fie S mulimea soluiilor. Avem:a b S

a > 1

0 < a < 1

a > 0

a 1

b > 0

b > 0

b < 0

(-, logab)

(logab, +)

XI. Metoda induciei matematice

XI.1. Axioma de recuren a lui Peano

Fie A o parte a lui N astfel c:

1. 0A2. (nN), nA n+1A. Atunci rezult A = N.


30/66

30

XI.2. Metoda induciei matematice

Fie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural n. Dac avem:

1. P(0) adevrat;2. n N, P(n) adevrat P(n+1) adevrat, atunci P(n) este adevrat pentru orice numr

natural n.

n demonstraie prin metoda induciei matematice (recuren) poate aprea n loc de 0, un

numr natural n0, dac n propoziia P(n) pe care vrem s demonstrm am constatat nn0.

XI.2. Variant a metodei induciei matematice

Fie P(n) o propoziie care depinde de numrul natural nn0. Dac avem:

1. P(n0) adevrat;2. (m N, n0mk) P(m) adevrat P(k) adevrat, atunci P(n) este adevrat pentru orice

numr natural nn0.

XII. Analiz combinatorica

XII.1. Permutri

Definiia XII.1.1. O mulime mpreun cu o ordine bine determinat de dispunere a

elementelor sale este o mulime ordonati se notaz (a1,a2,,an).

Definiia XII.1.2.Se numesc permutri ale unei mulimi A cu n elemente toate mulimile

ordonate care se pot forma cu cele n elemente ale lui n. Numrul permutrilora n elemente,

nN*, este Pn=123n = n!; 0! = 1 (prin definiie).Factoriale (proprieti): n! = (n 1)!n; n! =

1n

1)!(n

++

XII.2. Aranjamente

Definiia XII.2.1. Se numesc aranjamente a n elemente luate cte m (mn) ale uneimulimi A cu n elemente, toate submulimile ordonate cu cte m elemente care se pot forma din

cele n elemente ale mulimii A. Se noteaz Amn.

Numrul aranjamentelor a n elemente luate cte m este:


31/66

31

Amn = n(n 1)(n m + 1) =m)!(n

n!

, nm.

Proprieti: Ann = Pn; Ann =

0!

n!sau Ann= n!; 1;

01 ==n

n

n

n

nAAA .

XII.3. Combinri

Definiia XII.3.1.Se numesc combinri a n elemente luate cte m (mn) ale unei mulimiA cu n elemente toate submulimile cu cte m elemente, care se pot forma din cele n elemente ale

mulimii A. Se noteaz mn

C .

Proprieti:

1. 1; 0001 ==== CCCnC nnnn ;2. 111; +== mnmnmnmnnnn CCCCC ;3. Numrul submulimilor unei mulimi cu n elemente este 2n;4. 111111111 ... + +++++= mmmmmmmnmnmn CCCCCC ;5. )...(

2111

2

1

1 ...!!...!

!++

=mppn

p

pn

p

n

n

CCCppp

nunde p1 + pm-1 < n

XII.4. Binomul lui Newton

(x + a)n = nnn

kknk

n

n

n

n

naCaxCaxCxC +++++ ......110

(x a)n = nnn

nkknk

n

kn

n

n

naCaxCaxCxC )1(...)1(...110 ++++ unde nN

Proprieti:

1. Termenul de rankk+1 este Tk+1 = (-1)k knC xn-kak;2. knknknkn Ck knCCk knC 1;1 111 +=+= +++ ;3. Tk+2 =

x

a

k

kn

+

1Tk+1 sau Tk+2 =

x

a

k

kn

+

1

Tk+1;

4. Numrul termenilor dezvoltrii (x a)n este n+1;5. Coeficienii termenilor egal deprtai de extremi sunt egali.


32/66

32

Relaii importante:

221202

15311420

1010

)(...)()(

;2...;2...

;0)1(...;2...

n

nnn

n

n

n

nnn

n

nnn

n

n

n

nn

nn

nnn

CCCC

CCCCCC

CCCCCC

+++=

=+++=+++

=++=+++

Dezvoltri particulare uzuale:

1. (a b)2 = a2 2ab + b2;2. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac);3. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;4. (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3;5. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a2b + a2c + b2a + b2c + c2a + c2b) + 6abc;6. (a + b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4.

XII.5. Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Dac Sp = 1p + 2p + + np, pN, atunci avem:

12

)122()1(;

30

)196)(1(

2

1(;

6

)12)(1(;

2

)1(

222

5

23

4

2

321

++=

+++=

+=++

=+

=

nnnnS

nnnnnS

nnS

nnnS

nnS

O relaie care permite calculul lui Sp, cnd se cunosc Sp-1, Sp-2,, S1 este formula lui Pascal:

(n+a)p+1 = 1+ nSCSCSC pppPpp

++++ +++ 1112

11

1 ...

XIII. Progresii

XIII.1. Progresii aritmetice

Definiia XIII.1.1. Se numete progresie aritmetic un ir de numere a1,a2,a3,,an , n

care fiecare termen, ncepnd cu a2 , se obine din cel precedent prin adugarea unui numrconstant numit raia progresiei. Se noteaz a1,a2,a3,an,

Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), rraia, n numrul

termenilori Sn suma celorn termeni, atunci avem:

an = an-1 + r, n2 (prin definiie)

an = a1 + (n 1)r, n2 (prin definiie)


33/66

33

Sn = a1 + a2 + + an, Sn =2

)na(a n1 +

n2

1)r(n2aS 1n

+=

Termenii echidistani de extremi. ntr-o progresie aritmetic suma termenilor echidistani

de extremieste egal cu suma termenilor extremi: ak+ an-k+1 = a1 + an.

Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1), atunci exist un termen n

mijloc, am+1, astfel nct 2am+1 = a1 + a2m+1.

Condiia necesar i suficient pentru ca trei termeni a,b,c, luate n aceast ordine, s

formeze o progresie aritmetic, este s avem 2b = a + c.

XIII.2. Progresii geometrice

Definiia XIII.2.1. Se numete progresie geometric un ir de numere a1,a2,a3,,an , ncare fiecare termen, ncepnd cu a2 , se obine din cel precedent prin nmulirea acestuia cu un

acelai numr q (q0) numit raie. Se noteaz a1,a2,a3,an,Dac a1 este primul termen, an cel de-al n-lea termen (termenul general), q raia, n numrul

termenilori Sn suma celor n termeni, atunci avem:

an = qan-1, n2 (prin definiie)

an = a1qn-1, n2 (an n funcie de a1, q i n)

Sn = a1 + a2 + + an, Sn = 1q 1qa

n

1

Sn = 1q,q1

qaa n1

Termeni echidistani de extremi. ntr-o progresie geometric, produsul a doi termeni

echidistani de extremi este egal cu produsul termenilor extremi: apan-p+1 = a1an.

Observaie. Dac numrul termenilor este impar (n = 2m + 1) atunci exist un termen la

mijloc, am+1, astfel nct 1212

1 ++ =mm aaa .

Condiia necesar i suficient ca trei numere a,b,c, luate n aceast ordine, s formeze o

progresie geometric este s avem b2 = ac.


34/66

34

XIV. Polinoame

XIV.1. Forma algebric a unui polinom

fC[x] este f = a0Xn + a1X

n-1 + a2Xn-2 + + an, unde n este gradul, a0 coeficientul dominant, an

termenul liber.

Funcia polinomial asociat lui fC[x] este f~

:CC f~

() = f() C; f() fiind

valoarea polinomului f n .

Teorema mpririi cu rest: f,gC[x], g0 exist polinoamele unice q,rC[x] astfel nct f

= gq + r, grad r< grad g.

mprirea unui polinom cu X-a: Restul mpririi polinomului fC[x], f0 la X-a este f(a).

Schema lui Horner: ne ajut s aflm ctul q = b0Xn-1 + b1X

n-2 + + bn-1 al mpririi

polinomului f = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 + + an la binomul X-a; precum i restul acestei mpriri r

= f(a);

a0 a1 an-1 an

a b0 = a0 b1 = ab0+a1 bn-1 = abn-2+an-1 r=f(a)=abn-1+an

XIV.2. Divizibilitatea polinoamelor

Definiia XIV.2.1. Fie f,gC[x], spunem c g divide pe fi notm gf dac qC[x] astfelnct f=gq.

Proprieti:

1. a f, aC*, fC[x];2. g fi f0 r = 0;3. g fi f0 gradf gradg;4. aC* aff;5. ff (refelexivitate);6. fg i g h fh (tranzitivitate);7. fg i g f aC* cu f = ag (f,g sunt asociate n divizibilitate).

Definiia XIV.2.2. Un polinom dse numete cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al

polinoamelorfigdac: 1) dfi dg.

2) dfi dgddi notm d=(f,g)

Definiia XIV.2.3.Dac d=1 atuncifigse numesc prime ntre ele.


35/66

35

Definiia XIV.2.4. Un polinom m se numete cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al

polinoamelorfigdac: 1) fm igm.

2)fmigmm m

Teorem. Dac d=(f,g) atunci m =d

gf

XIV.3. Rdcinile polinoamelor

Definiia XIV.3.1.NumrulC se numete rdcin a polinomuluifdaci numai dacf~

() = 0.Teorema lui Bezout: Numrul Ceste rdcin a polinomului f0(X-a) f.

Definiia XIV.3.2. Numrul se numete rdcin multipl de ordinulp a polinomuluif0 dac i numai dac (X-a) fiar(X-a)p+1nu-l divide pef.

Teorem: Dac fC[x] este un polinom de gradul n i x1,x2,x3,,xn sunt rdcinile lui cu

ordinele de multiplicitate m1,m2,m3,,mn atunci nm

n

mm xXxXxXaf )...()()( 21 210 = unde

a0este coeficientul dominant al luif, iarm1 + m2 + + mn = gradf.

XIV.4. Ecuaii algebrice

Definiia XIV.4.1. O ecuaie de forma f(x) = 0 unde f0 este un polinom, se numeteecuaie algebric.

Teorema lui Abel-Ruffini: Ecuaiile algebrice de grad mai mare dect patru nu se pot

rezolva prin radicali.

Teorema lui DAlambert-Gauss: Orice ecuaie algebric de grad mai mare sau egal cu unu,

are cel puin o rdcin (complex).

Formulele lui Viete: Dac numerelex1,x2,,xn sunt rdcinile polinomului fC[x], f = a0Xn

+ a1Xn-1 + + an, a00 atunci:


36/66

36

=

=+++

=+++

=+++++

=+++

+++

021

021112121

0

312421321

0

2132121

0

121

)1(...

.......................................................

)1(............

......................................................

...

......

...

a

axxx

a

axxxxxxxxxx

a

axxxxxxxxx

a

axxxxxxxx

a

axxx

nn

n

kk

mkmkmkkk

nnn

nnn

n

XIV.5. Polinoame cu coeficieni din R, Q, Z

Teorem: Dac fR[x] admite pe = a + ib, b0 ca rdcin atunci el admite ca rdcin i

pe = a ib, iari au acelai ordin, de mutiplicitate.

Teorem: Dac un polinom fQ[x] admite pe = a + b d (a,bQ, b0, dR\Q) ca

rdcin, atunci el admite i pe= a b d , iari au acelai ordin, de mutiplicitate.

Teorem: Dac un polinom fZ[x], grad f1, admite o rdcin = 2p Q, (p,q) = 1 atunci

p ani q a0.

n particular dac fZ[x] are rdcina =pZ atunci p an.

XV. Permutri, matrici, determinani

XV.1. Permutri

Definiie XV.1.1. Fie A={1,2,n}, se numete permutare de graduln daac :AA i bijectiv.

=

(n)...(2)(1)

n...21

Sn mulimea permutrilor de grad n; card Sn = n!


37/66

37

1A = e, permutarea identic e =

n...21

n...21

Compunerea permutrilor

Fie ,Sn atunci o =

(n))(...(2))((1))(

n...21

Sn

Transpoziii

Definiia XV.1.2. Fie i,jA, ij, ijSn,ij se numete transpoziie dac:

=

=

=

ji,kdacak,

jkdacai,

ikdacaj,

)(kij

=

n...i...k...j...21

n...j...k...i...21)(k

ij

Observaii: 1. (ij)-1

= ij;2. Numrul transpoziiilor de grad n este 2

nC

Signatura (semnul) unei permutri

Definiia XV.1.3. Fie (i,j)AxA, i


38/66

38

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

i notm Mm,n(C) mulimea matricelor de tipul (m,n) cu elemente

numere complexe.

Definiia XV.2.2. Dac m=n atunci matricea se numete ptratic de ordinul n , iar

mulimea lor se noteaz Mn(C).

Definiia XV.2.3. Dou matrici A,BMm,n(C) sunt egale dac i numai dac aij = bij(i,j)MxN.

Operaii cu matrici:

1. AdunareaFie A,BMm,n(C) atunci C = A + BMm,n(C) unde cij=aij + bij (i,j)MxN este suma lor.

ProprietiA,B,CMm,n(C):

1. A+B = B+A (comutativitate);2. (A+B)+C = A+(B+C) (asociativitate);3. A+0 = 0+A = A (elementul neutru este matricea nula 0);4. A+(-A) = (-A)+A = 0 (opusul lui A este A).5.

2. nmulirea cu scalariFie AMm,n(C) i C atunci B=AMm,n(C) unde bij=ij (i,j)MxN este produsul

matricei A cu scalarul .

Proprieti A,BMm,n(C) i C.

1. 1A = A;2. A = A;3. (A+B) = A + B;4. (+)A = A + A;5. (A) = ()A = (A).

3. Transpusa unei matriciFie AMm,n(C) atunci

tAMm,n(C) undetaij = aji, (i,j)MxN

4. nmulirea matricelor


39/66

39

Fie AMm,n(C) i BMn,p(C) atunci C=ABMm,p(C) unde =

=n

kkjikij

bac1

, (i,j)MxN

este produsul lor

Proprieti:

1. (AB) C = A(BC) (asociativitate);2. AIn = InA (element neutru-matricea unitate)

=

1...00

............

0...10

0...01

nI

3. (A+B)C = AC + BC;4. A(B+C) = AB + AC.

XV.3. Determinani

Fie Mn(C) mulimea matricilor ptrate de ordin n cu elemente din C:

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

, AMn(C)

Definiia XV.3.1.Se numete determinantul matricii A, numrul

det A = nS

nnaaa

)()2(2)1(1 ...)(

det A =

nmnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + + ainAin unde Aij este complementul algebric al elementului aij din

matriceaA:


40/66

40

Aij = (-1)i+j

a...aa...aa

.....................

a...aa...aa

a...aa...aa

......................

a...aa...aa

a...aa...aa

nm1nj1-njn2n1

1ni11ji1-1ji12i11i

1n-i11j-i1-1j-i12-i11i

2n12j1-2j2221

1n11j1-1j1211

+

++++++

+

+

+

Dac C = AB, atunci det C= detA det B (A,B,CMn(C))

Determinantul de ordinul 2:

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa=

Determinantul de ordinul 3:

331221233211132231312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

++=

XV.4. Inversa unei matrici

Fie AMn(C), dac det A0 exist A-1Mn(C) astfel nct AA-1 = In, InMn(C), In matricea unitate:

=

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AA

...

............

...

...

det

1

21

22212

12111

1

XVI. Sisteme lineare

XVI.1. Notaii:

aij coeficieni, xI necunoscute, bi termeni liberi;


41/66

41

(S)

=+++

=+++

=+++

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

.......................................

...

...

2211

22222121

11212111

, m ecuaii, n necunoscute;

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

............

...

...

21

22221

11211

,

=

nmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

,

r rangul matricii A = rangul sistemului

XVI.2. Compatibilitatea

Sistemul (S) este compatibil determinatdac:

1. r = m = n (sistem de tip Cramer) i det A = 0, atunci xI =

i , unde

=

nn

n

n

nnn

i

a

a

a

baa

baa

baa

...

...

...

...

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

2. r = n < m i rang = r.Sistemul (S) este incompatibildac r min (m,n) i rang = r + 1.

XVI.3. Sisteme omogene (bi = 0)

1. Sunt compatibile determinate (x1 = x2 = = xn = 0) dac r = n;2.

Sunt compatibile nedeterminate dac r < n.

XVII. Structuri algebrice

XVII.1. Monoid

Fie (M,*), MxMM, (x,y)x*y, M-nevid.


42/66

42

Axiomele monoidului:

M1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zM (asociativitatea);

M2. eM astfel nct x*e = e*x = x xM (e element neutru);

dac M3. x*y = y*x, x,yM monidul este comutativ.

Ex: 1. (N,+), (N,) sunt monoizi comutativi;

2. (F(E),o) monoid necomutativ (F(E) este mulimea funciilor f:EE, E nevid, o

compunerea funciilor).

XVII.2. Grup

Fie (G,*), GxGG, (x,y)x*y, G-nevid.

Axiomele grupului:

G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,zG(asociativitatea);

G2. eG astfel nct x*e = e*x = x xG (e element neutru);

G3. xG xG astfel nct x*x = x*x = e (x simetricul lui x);

dac G4. x*y = y*x, x,yG grupul este comutativ (sau abelian).

Ex: 1. (Z,+), (Q,+), (R,+), (C,+) grupuri comutative;

2. (Rn,) grupul resturilor modulo n, comutativ;

3. (Mn(Z),+) grupul matricilor ptrate de ordin n cu elemente din Z;

4. (K, o) grupul lui Klein (al simetriilor fa de sistemul de coordonate),comutativ;

5. (n, o) grupul simetric de grad n (al permutrilor de n elemente) nu este

comutativ;

Definiia XVII.2.1. Fie (G,*) grup, HG, H este subgrup dac x,yHx*yHi

xHxH(x este simetricul lui x n raport cu operaia *);

Fie grupurile (G1,), (G2,):

Definiia XVII.2.2. f:G1G2 se numete morfism de grupuri dac f(xy)=f(x)f(y),x,yG1.

Definiia XVII.2.3. f:G1G2 se numete izomorfism de grupuri dac f este bijectiv i

f(xy)=f(x)f(y), x,yG1.

Definiia XVII.2.4. f:G1G2se numete automorfism (endomorfism) al grupuluiG1, dac

feste un izomorfism (morfism).


43/66

43

XVII.3. Inel

Fie (A,+,), AxAA, (x,y)x+y i AxAA, (x,y)xy, A nevid;

Definiia XVII.3.1. (A,+,) este inel dac:

G. (A,+) este grup abelian;

M. (A,) este monoid i

D. este distributiv fa de +:

x(y+z) = xy + yz

(y+z)x = yx + yz, x,y,zA

dac C. xy = yx x,yA, inelul este comutativ.

Exemple de inele:

1. (Z,+,) inelul numerelor ntregi;2. (Z[i],+, ) inelul ntregilor lui Gauss, Z[i] = {z = a + bia,bZ}3. (Rn,,) inelul resturilor modulo n;4. (Mn(A),+,) inelul matricelor ptratice (cu elemente din inelulA);5. (Zn,+,) inelul claselor de resturi modulo n.

Fie inelele (A,,*) i (A,,o):

Definiia XVII.3.1. f:AA se numete izomorfism de inele dacfeste bijectiv if(xy)

= f(x)f(y), f(x*y) = f(x)of(y), x,yA.

Definiia XVII.3.2. (A,+,) este inel fr divizori ai lui zero dac x0, y0 implic xy0.

Definiia XVII.3.3. Un inel comutativ cu cel puin dou elementei fr divizori ai lui zero

se numete domeniu integritate.

Definiia XVII.3.4. Dac (A,+, ) este inel, atunci (A[X],+, ) este inelul comutativ alpolinoamelor cu coeficieni nA.

fA[X], f = a0 + a1X + a2X2 + + anX

n este forma algebric a unui polinom de

nedeterminatXcu coeficieni nA:

- dac an0, gradf= n (an coeficient dominant);- dac a0 = a1 = = an,f= 0 (polinom nul), grad 0 = -.

Proprieti: 1. grad (f+g) max{gradf, gradg};

2. gradfg gradf+ grad g.


44/66

44

Teorem. DacA este domeniu de integritate atunciA[X] este domeniu de integritate i grad

fg= gradf+ gradg, f,gA[X].

XVII.4. Corp

Fie (K,+,), KxKK, (x,y)x+y i KxKk, (x,y)xy, K nevid.

Definiia XVII.4.1. (K,+,) este corp dac (K,+,) este inel, 01 ixK, x0 x-1K,astfel nct xx-1 =x-1x = 1.

Dac xy = yx x,yK, corpul este comutativ.

Exemple de corpuri:

1. (Q,+,) corpul numerelor raionale;2. (R,+, ) corpul numerelor reale;3. (C,+, ) corpul numerelor complexe;4. (Q( d ),+,) corpul numerelor ptratice (dZ, d liber de ptrate);5. (Zp,+, ) corpul claselor de resturi modulop (pN*,p >1,p numr prim).

Definiia XVII.4.2. Fie corpurile (K,,*) i (K, ,o), f:KK este izomorfism de corpuridacfeste bijectiv,f(xy) = f(x) f(y), f(x*y) = f(x) o f(y) x,yR.

Teorema mpririi cu rest n mulimea K[X], K corp comutativ i gK[X], g0:

fK[X], exist polinoamele q,rK[X], unic determinate astfel nct f = qg+r, grad r < grad g


45/66

45

TRIGONOMETRIE SI GEOMETRIE ANALITICA

I. Formule trigonometrice

I.1. Relaii ntre funciile trigonometrice ale unui argument:

1. 1cossin 22 =+ ; 22 sin1cos;cos1sin ==

2.

cos

sin=tg

22

1

1cos;

1

sin

tgtg

tg

+

=

+

=

3. cos2

sin =

ctgtg =

2,

ctgtg =

2

4. sin)sin( = cos)cos( = ; tgtg = )(

5. cos2

sin =

+

sin2

cos =

+ ,

ctgtg =

+

2

6. sin)sin( =+ cos)cos( =+ ; tgtg =+ )(

7. sin)2sin( = cos)2sin( = ; tgtg = )2(

I.2. Formule de adunare:


46/66

46

tgtg

tgtgtg

=

=

=

m

m

1)(

sinsincoscos)cos(

cossincossin)sin(

I.3. Formule pentru multiplii de argument:

..sincossincossincoscos

...sincossincoscossin

1

12cos;

1

22sin

cos3cos43cos

sin4sin33sin

22

12

2

1

22

1cos2sin21sincos2cos

cossin22sin

55533311

444222

2

2

2

3

3

2

2

2222

+=

+=

+

=

+=

=

=

=

=

=

=

===

=

nn

nn

nn

nn

nn

n

CCCn

CCn

tg

tg

tg

tg

tgctg

ctg

ctgctg

tgctgtg

tgtg

I.4. Formule pentru jumti de argument:

cos1

cos1

sin

cos1

cos1

sin

2

2

cos1

2cos;

2

cos1

2sin

+

=

=+

=

+=

=

tg

I.5. Sume, diferene i produse:

2cos2sin2sinsin

+

=+

2cos

2sin2sinsin

+=

2cos

2cos2coscos

+=+


47/66

47

2sin

2sin2coscos

+=

coscos

)sin(;

coscos

)sin(

=+

=+ tgtgtgtg

=

+=+

4cos2

4sin2cossin

=

+=

4cos2

4sin2cossin

ctgctg

tgtgtgtg

++

=

++=

++=

+=

)]sin()[sin(2

1cossin

)]cos()[cos(2

1

coscos

)]cos()[cos(2

1sinsin

II. Soluiile ecuaiilor trigonometrice simple

II.1. Ecuaii fundamentale

}{,.4

{,.3

}2arccos{]1,1[,cos.2

}arcsin)1{(]1,1[,sin.1

ZkkaccctgaxRaactgx

ZkkarctgaxRaatgx

Zkkaxaax

Zkkaxaax k

+=

+=

+=

+=

II.2. Tabele de valori:x

funcia

0

6

4

3

2

2

3

2

sinx 0

2

1

2

2

2

3

1 0 -1 0


48/66

48

cosx 1

2

3

2

2

2

3

0 -1 0 1

x

funcia

0

6

4

3

2

2

3

2

tgx 0

3

3

1 3 / 0 / 0

ctgx / 3 1

3

3

0 / 0 /

x

funcia

-1

2

3 2

2 2

1

0

2

1 2

2 2

3

1

arcsinx

2

3

4

6

0

6

4

3

2

arcosx

6

5

4

3

3

2

2

3

4

6

0

xfunctia

3 -133 0

33 1 3

arctgx

3

4

6

0

6

4

3

arcctgx

6

5

4

3

3

2

2

3

4

6

III. Elemente de geometrie analitic

III.1. Segmente

1. Distana dintre dou puncte A(x1,y1), B(x2,y2): AB = 212212 )()( yyxx +


49/66

49

2. Panta dreptei AB:12

12

xx

yymAB

=

3. Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:2

,2

2121 yyyxx

x+

=+

=

4. Coordonatele punctului Mcare mparte segmentul (AB) n raportul k:

2,

12121 kyyy

k

kxxx

+=

++

=

III.2. Ecuaia dreptei

1. Drepte paralele cu axele de coordonate:(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)

2. Dreapta determinat de punctul Mo(xo,yo) i vectorul nul atrrdvua o +=:)(:),( , tR, or -

vectorul de poziie a lui Mo; r-vectorul de poziie a unui punct Mal dreptei d.

+=

+=

vtyy

utxxd

o

o:)( , tR, ecuaiile parametrice;

3. Ecuaia explicit: y =mx + n (mR*, nR, m panta, n ordonata la origine);

4. Ecuaia prin tieturi: *);,(,01 Rbab

y

a

x=+

5. Ecuaia dreptei de pant m, prin punctul M

o(x

o,y

o): y y

o= m(x x

o), (m

0);

6. Ecuaia dreptei determinat de puncteleA(x1,y2),B(x2,y2):),(,),( 2121

12

1

12

11

12

121 yyxx

xx

xx

yy

yyxx

xx

yyyy

=

= sau

0

1

1

1

22

11 =

yx

yx

yx

7. Ecuaia general: ax + by + c = 0;8. Aria triunghiului ABC (A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3)): AABC =

2

1, unde


50/66

50

1

1

1

22

11

yx

yx

yx

= , dac = 0 atunci A, B, C sunt colineare

9. Poziia relativ a dreptelor (d1) i (d2):0:)( 1111 =++ cybxad i 0:)( 2222 =++ cybxad

d1 = d2, dac2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a==

d1d2, dac2

1

2

1

2

1

c

c

b

b

a

a= ;

d1 d2i d1 d2, dac

2

1

2

1

b

b

a

a

10.Distana de la punctul Mo(xo,yo) la dreapta (h): ax + by + c = 0

22

00),(ba

cbyaxhMd

+

++=

11.Unghiul determinat de dreptele:111 :)( nxmyd += i 222 :)( nxmyd +=

)1(,1 2121

12

+

= mmmmmm

tg

d1 d2, dac m1m2 = -1

III.3. Cercul

Cercul C de centru M(a,b) i raz r:

1. Ecuaia cercului (x a)2 + (y b)2 = r2; dac M(a,b) = 0(0,0): x2 + y2 = r2;

2.

Ecuaia general: x

2

+ y

2

+ mx + ny + p = 0, unde 2

m

a = , b = 2

n

i

r2 =4

1(m2 + n2) p.

III.4. Conice raportate la axele de simetrie


51/66

51

1. ElipsaE: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), B(0,b), B(0,-b), MF + MF = 2a, ME

Ecuaia elipsei: 2222

2

2

2

,01 acbb

y

a

x=+=+

Ecuaia tangentei n punctul M(xo,yo), ME:01

22=+

b

yy

a

xx oo

2. HiperbolaH: F(c,0), F(-c,0), A(a,0), A(-a,0), MF MF= 2a, MH.

Ecuaiea hiperbolei: 2222

2

2

2

,01 abcb

y

a

x==

Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), MoH.012

020

= b

yy

a

xx

3. ParabolaP: F(2

p,0), h:x = -

2

p(h dreapta directoare): d(M,h) = MF, MP.

Ecuaia parabolei P:y2 = 2px

Ecuaia tangentei n Mo(xo,yo), MoP:yyo = p(x + xo)


52/66

52

ANALIZ MATEMATIC

I. iruri

I.1. iruri i limiteDefiniia I.1.1.Se numete ir de numere reale o funcie f:NR, f(n) = an.Definiia I.1.2. irul (an)n0 se numete cresctor (respectiv descresctor ) dac an an+1,

nN (respectiv an an+1,nN). irurile cresctoare iirurile descresctoare se numesciruri monotone.

Definiia I.1.3. irul (an)n0 este mrginit dac i numai dac M>0 astfel nctanM,nN.

Notaie: (an)n0, anR, R =R {-, +}.

Definiia I.1.4.irul (an)n0, anRare limita ai scriem aann

=

lim , aRdac n orice

vecintate a punctuluia se afl toi termeniiirului ncepnd de la un anumit rang.

Definiia I.1.5. irul este convergent, aann

=

lim , aR, dac>0, NN astfel nct

n> N, an - a0, NN astfel nctan >, n > N.

Definiia I.1.7. =

nn

alim dac >0, NN astfel nctan < -, n > N.

Dac =

nn

alim , atunciirul este divergent.

I.2. Criterii suficiente de convergen sau de existen a limitei unui ir

1. dac 0lim =

nn

b , bn 0 i an - abn atunci aann

=

lim ;

2. dac =

nn

blim i anbn atunci +=

nn

alim ;

3. dac =

nn

blim i anbn atunci =

nn

alim ;

4. orice ir monoton i mrginit este convergent (criteriul lui Weierstrass);5. dac bnancni acb n

nn

n

==

limlim atunci aann

=

lim ;


53/66

53

6. criteriul lui Stolz:- dac (bn)n0 cresctor: =

n

n

blim i existnn

nn

n bb

aa

+

+

1

1lim , atunci

nn

nn

nn

n

n bb

aa

b

a

= ++

1

1

limlim ;

- dac (an)n0, an > 0 i existn

n

n a

a 1lim +

atunci n nn

alim

=n

n

n a

a 1lim +

(Cesaro);

- - dac (bn)n0 cresctor: 0limlim ==

nn

nn

ba i existnn

nn

n bb

aa

+

+

1

1lim , atunci

nn

nn

nn

n

n

bb

aa

b

a

=

+

+

1

1limlim ;

I.3. Operaii cu iruri convergente

aann

=

lim , bbnn

=

lim , a,bR

)0daca(,lim.3

;,lim.2

;)(lim,)(lim.1

=

=

=+=+

bba

ba

Raa

babababa

n

n

n

nn

nnn

nnn

I.4. Operaii cu iruri care au limit

aann

=

lim , bbnn

=

lim , a,bR

1. dac =

nn

alim i bbnn

=

lim , bR atunci 01

lim,)(lim =+=+ nn

nnn a

ba ,

+=

0daca,

0daca,lim

b

bba nn

n

2. +==

nn

nn

ba limlim atunci +=+

)(lim nnn

ba , +=

)(lim nnn

ba ;

3. dac =

nn

alim i bbnn

=

lim , bR, atunci =+

)(lim nnn

ba


54/66

54

=

0daca,

0daca,lim

b

bba nn

n

;

4. ==

nn

nn

ba limlim atunci =+

)(lim nnn

ba , +=

)(lim nnn

ba ;

5. dac = nn alim i = nn blim atunci = )(lim nnn ba ;6. dac 0lim =

n

n

a atunci = nn a

1lim dac an > 0 i =

nn a

1lim dac an < 0.

I.5. iruri tip

.!

1...

!2

1

!1

11lim.9

;1

1lim.8

;1,1...21lim.7

;0,1lim.6

;)1

...3

1

2

11(lim.5

;1daca,1

1)...1(lim.4

daca,

0sidaca,

0sidaca,

daca,0

...

...lim.3

0daca,

0daca,lim)...(lim.2

1dacaexista,nu

1daca,

1daca,1

11daca,0

lim.1

2

00

11

10

11

10

0

001

110

en

en

pn

aa

n

qq

qqq

pkb

a

papk

papk

pk

nnbnbnb

ananana

a

anaananana

q

q

q

q

q

n

n

n

n

n ppp

n

n

n

n

n

n

oo

oo

pppp

kkkk

n

k

nkk

kk

n

n

n

=

++++

=

+

=+++

>=

+=++++

>+

+

=


55/66

55

II. Limite de funcii

Notaii:f:DR, DR, - punct de acumulare a lui D;

II.1. Definiii ale limitei

Definiia II.1.1. R,)(lim =

llxfx

, dac pentru orice vecintate V a lui l exist o

vecintate Ua luiastfel nct xDU, x, s rezultef(x)V.


llxfx

, dac pentru orice ir (xn)n0, xnD\{} , avnd

=

n

n

xlim rezult lfn

=

)(lim (criteriul cuiruri);


llxfx

, dac >0, >0 astfel nct xD\{} i x -

< rezultf(x) - l< ;

Definiia II.1.4. lfx

=

)(lim

, dac ls = ld= l, unde )(lim xfl

xx

s

= .

II.2. Operaii cu limite de funcii

f:DR, g:DR, - punct de acumulare a lui D, 1)(lim lxfx

=

, 2)(lim lxgx

=

, l1,l2R;

.)(

)(lim,0daca.4

;)(lim.3

;)()(lim.2

;))()((lim.1

2

12

1

21

21

l

l

xg

xfl

laxaf

llxgxf

llxgxf

x

x

x

x

=

=

=

+=+

II.3. Limite tip

nnn

nnn

x

aaaaxaxa +++=+++

...)...(lim.11

101

10

;lim)...(lim 01

10n

xn

nn

x

xaaxaxa

=+++


56/66

56

mmm

nnn

mmm

nnn

x bbb

aaa

bxbxb

axaxa

+++

+++=

+++

+++

...

...

...

...lim.2 1

10

110

110

110

;lim

...

...lim

0

01

10

110

m

n

xm

mm

nnn

x

xb

xa

bxbxb

axaxa

=

+++

+++

2,,,lim.3 = +

nNnRx nn

x

=

n

x

xlim , =+

12lim nx

x ;

4. }1{\,,lim*+

= RaRaax

x

=

x

x

alim , 0lim =

x

x

a , dac a > 1;

0lim =

x

x

a , =

x

x

alim , dac 0 < a < 1;

5. }1{\finita,0,logloglim*+

>= Rx aa

x

=>

xa

xx

loglim00

i +=

xax

loglim dac a > 1;

+=

>

xa

x

x

loglim

0

0i =

xa

x

loglim dac 0 < a < 1;

6.

sinsinlim =

xx

,

coscoslim =x

Ztgtgxx

+= 2

,lim , Zctgctgxx

=

,lim

=

tgx

x

x

lim

2

2

7. =>

ctgxxxlim

00 , =

=

aZna

xx

n

x

10. ;)1(lim,1

1lim1

0exe

xx

x

x

x

=+=

+

11. ;1)1ln(

lim0

=+

x

x

x

12. 0,ln1

lim0

>=

aa

x

ax

x

,

13. Rrrx

x r

x

=+

,

1)1(lim

0.

II.4. Continuitatea funciilor

Definiia II.4.1. Fie f:DR,xoD,xo punct de acumulare a luiD,feste continu nxo,

dac )()(lim 00

xfxfxx = ,

xo se numete punct de continuitate.

Definiia II.4.2. Fie D, este punct de discontinuitate de prima spe dac exist i

sunt finite limitele laterale n , dar funcia nu este continu n .

Definiia II.4.3. Fie D, este punct de discontinuitate de spea a doua dac nu este de

prima spe.

Teorem.Dac f:IR,I intervalifcontinu peI, atunciJ = f(I) este interval ( o funcie

continu pe un interval are proprietatea lui Darboux pe acel interval).

III. Funcii derivabile

III.1. Definiia derivatei ntr-un punct

f:ER, xoE,xo punct de acumulare a lui E:


58/66

58

f(x0) =h

xfhxf

xx

xfxf

Ehxhxx

)()(lim

)()(lim 00

00

0

0

0

+=

+

fs(x0) =0

0 )()(lim

00 xx

xfxf

xx xx

f(x0) = fs(x0) = fd(x0)Interpretarea geometric:

- dac f(x0)R, y - f(x0 ) = f(x0 )(x x0) este ecuaia tangentei la graficul funciei f n punctulA(x0,f(x0));

- dac feste continu n x0, fd(x0) = +, fs(x0) = -, sau invers, x0 este punct de ntoarcere algraficului;

- dacfeste continu nx0i exist derivatele laterale nx0, cel puin una fiind finit, darfnu estederivabil nx0,x0 este punct unghiular al graficului.

III.2. Reguli de derivare

f,g:ER,f,gderivabile nxE:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x);2. (cf)(x) = cf(x), cR;3. (fg)(x) = f(x)g(x) + f(x)g(x)4. dacg(x)0,

)(

)(')()()(')(

2

'

xg

xgxfxgxfx

g

f =

;

5. dac f:IJ, g:JR, f derivabil n x0I i g derivabil n y0 = f(x0), atunci (gof)(x0) =g(y0)f(x0);

6. dacf:IJ continu, bijectiv i derivabil nx0cuf(x0)0, atuncif-1:JI este derivabil ny0,y

0= f(x

0)if-1(y

0) =

)('

1

0xf.

III.3. Derivatele funciilor elementare

Funcia (condiii) Derivata (condiii)

C 0

xn, nN* nxn-1


59/66

59

xr, rR,x>0 rxn-1

0, xx 0,2

1>x

x

logax, a1, a>0, x>0

xa

1

ln

1

lnx, x>0

x

1

ax, a1, a>0, x>0 a

xln a

ex

ex

sinx cosx

cosx -sinx

tgx, x Zkk + ,2

)12( 2cos

1

ctgx,x Zkk , 2sin

1

arcsinx, x[0,1])1,0(,

1

12

xx

arcosx, x[0,1])1,0(,

1

1

2

x

x

arctgx21

1

+

arcctgx21

1

+

III.4. Derivata funciilor compuse

Funcia (condiii) Derivata (condiii)

un, nN* nun-1u

ur, rR, u>0 uxn-1u

0, uu 0,2

'>u

u

u


60/66

60

logau, a1, a>0, u>0

u

u

a

'

ln

1

ln u, u>0'

1u

u

au, a1, a>0 auln au

eu

euu

sin u cos uu

cos u - sin uu

tg u, cos u0'

cos

12

uu

ctg u, sin u0

'sin

12 uu

arcsin u, u[-1,1])1,1(,'

1

12

uuu

arccos u, u[-1,1])1,1(,'

1

12

uuu

arctg u'

1

12

uu

+

arcctg u'

1

12

uu

+

uv

, u>0 uvvln u + vuv-1u

III.5. Derivatele de ordin superior ale unor funcii elementare

Funcia (condiii) Derivata de ordinul n(f(n))

xm, mN, mn m(m-1)(m-n+1)xm-n

Nmxm

,1

(-1)nm(m-1)(m+n-1)

nm+

1

ex

ex

ax (ln a)nax


61/66

61

lnx(-1)

n-1(n-1)!

nx

1

Funcia (condiii) Derivata de ordinul n(f(n))

sinx

+ 2sin

n

x

cosx

+

2cos

nx

Formula lui Leibniz:

ffgfC

gfCgfCgfCgfCgfgf

n

k

kknk

n

nnn

nnn

nn

nn

nn

= =

=++++=

=

)0(

0

)()(

)()1(1)2(2)1(1)()(

,

'...''')(

III.6. Proprieti ale funciilor derivabile

Teorema lui Fermat:

Fief:IR derivabil pe I. n orice punct extrem local din interiorul lui I,feste nul.

Teorema lui Rolle:

Dac funcia continu f:[a,b]R este derivabil pe (a,b) i f(a) = f(b) atunci exist c(a,b)

astfel nctf(c) = 0.

Teorema lui Lagrange:

Dac funcia continu f:[a,b]R este derivabil pe (a,b), atunci exist c(a,b) astfel nct

)(')()(

cfab

afbf=

.

Teorem. Dac funciafeste continu i derivabil pe I (I interval deschis), atunci:

1. ntre dou rdcini consecutive ale funciei exist cel puin o rdcin a derivatei;2. ntre dou rdcini consecutive ale derivatei exist cel mult o rdcin a funciei.Teorema lui Cauchy:

Dacf,g:[a,b]R continue pe [a,b], derivabile pe (a,b) i g(x)0, x(a,b) atunci c(a,b)

astfel nct)('

)('

)()(

)()(

cg

cf

agbg

afbf=


62/66

62

IV. Asimptote

IV.1. Asimptote orizontale (f:DR)

Definiia IV.1.1. Dac 1)(lim lxfx

=

+

sau 2)(lim lxfx

=

, l1,l2R, drepteley=l1iy=l2

sunt asimptote orizontale a luifspre +, respectiv -IV.2. Asimptote oblice (f:DR)

Definiia IV.2.1. Dac 0)(

lim =

mx

xf

x

i Rnmnmxxfx

=+

,,])([lim dreapta y

= mx + n este asimptot oblic a luifspre +.Definiia IV.2.2. Dac 0')(lim =

m

xxf

x

i Rnmnxmxfx

=+

',',']')([lim dreapta

y = mx + neste asimptot oblic a luifspre -.IV.3. Asimptote verticale (f:DR)

Definiia IV.3.1.Dac =

)(lim xf

xx

, - punct de acumulare a luiD, dreaptax=este

asimptot vertical la dreapta a luif.

V. Primitive

(integrale nedefinite)

Definiia V.1. Fie funcia f:JR, J interval, F:JR este primitiva luif , dac F este

derivabil pe JiF(x) = f(x), xJ.

Se noteaz: += cxFdxxf )()(

Proprieti ale primitivelor:

1. [ ] += + dxxfdxxfdxxfxf )()()()( 2121 ;


63/66

63

2. = dxxfadxxaf )()( ;3. = dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')( .

V.1. Prima metod de schimbare a variabilei

Dac :IJ,f:JR,derivabil pe I,fadmite primitive (F), atunci

+= ctFdtttf )()('))(( o

V.2. A doua metod de schimbare a variabilei

Dac :IJ, f:JR, bijectiv, derivabil, cu derivata nenul pe I, ')( = ofh

admite primitive (H) atunci += cxHdxxf )()( 1o .

V.3. Tabel de primitive: (I interval,IR)

1. NnRxcn

xdxx

nn +

+=

+

,,1

1

;

2. +++

=+

}1{\),,0(,1

1

Rxcx

dxx

;

3.

1,0,,ln >+= aaRxcaa

dxa

xx

;

4. RIIxcxx

dx+ = ,,ln ;

5. },{\,,ln2

1122

aaRIIxcax

ax

adx

ax+

+

=

;

6. 0,,1122

+=+

aRxca

xarctg

adx

a;

7. Rxcxxdx += ,cossin ;8. Rxcxxdx += ,sincos ;9.

++= ZkkRIIxctgxdx

x 2)12(\,,

cos

12

;


64/66

64

10. { }ZkkRIIxcctgxdxx

+= \,,sin

12

;

11.

++= ZkkRIIxcxtgxdx

2)12(\,,cosln

;

12. { } += ZkkRIIxcxctgxdx \,,sinln ;13. ( ) Rxcaxxdx

ax+++=

+,ln

1 2222

;

14. 0),,(sau),(,ln1 2222

>+++=

aaxaxcaxxdxax

;

15. 0),,(,arcsin122

>+=

aaaxc

a

xdx

xa

V.4. Primitivele funciilor raionale

1. 0,1,,)()1(

1)( 1 ++

+= +

+ anNncbaxan

dxbax nn ;

2. ++=+

0,)ln(1

acbaxabax

dx;

3. ++

=+

0,1,,)()1(

1

)( 1anNnc

baxanbax

dx

nn

;

4. bacax

bx

babxax

dx+

++

=

++,ln

1

))((;

5. =+

+

=++

0,4bunde,

42

1 22

22

aacc

aa

bx

dx

acbxax

dx.

Substituiile lui Euler:

1. 0daca,2 >=++ aaxtcbxax ;2. 0daca,2 >=++ cctxcbxax ;3. 1212 si04daca),( xacbxxtcbxax >=++ este o rdcin a ecuaiei

ax2

+ bx + c = 0.


65/66

65

VI. Integrale definite

IV.1. Definiia integrabilitii (integrale Riemann)

Notaii:f:[a,b]R, = (a = x0, x1, x2, , xn = n) diviziune,xi-1ixi , i puncte intermediare,

(f, ) suma Riemann: ==

n

iiii xxff

11))((),(

Definiia VI.1.1.f se numete integrabil dac exist numrul realIfcu proprietatea:

> 0, >0 astfel nctr pentru orice divizune a lui [a,b] cu


66/66

Formula de schimbare de variabil:

Dac :[a,b]J,f:JR,fcontinu pe J, derivabil cu derivata continu pe [a,b], atunci

= )(

)()()('))((

b

a

b

a

dxxfdtttf

Proprieti de paritate:

Dacf:[-a,a]R continu atunci:

=

a

a

a fdxxf

f

dxxf

0paradaca,)(2

imparadaca,0)(

VI.1. Aplicaii ale integralei definite

1. Aria subgraficului f,f:[a,b]R+,fcontinu:aria =

b

af dxxf )(

Aria subgraficului f,g,f,g:[a,b]Ri f(x) g(x) x[a,b]

aria =b

agf dxxgxf )]()([,

2. Volumul corpurilor de rotaie,f:[a,b]R+,fcontinu:

=

b

af dxxfCvol )()(

2

3. Lungimea graficului f:[a,b]R+,fderivabil cu derivata continu:

+=b

a

dxxffl 2))('(1)(

4. Aria suprafeelor de rotaie:

+=b

a

f dxxfxfA2))('(1)(2

memorator matematic liceu

Documents