L7. Regulatoare PID. Sisteme cu esantionare

Exercitiul 1. Se considera un sistemul cu resort si amortizor prezentat ın Figura 1 unde variabila deintrare este forta F (t) si iesirea este deplasarea x(t).

M F

x

k

bx .

Figura 1:

Ecuatia care modelelaza acest sistem este:

Mx(t) + bx(t) + kx(t) = F (t)

unde: M = 1, b = 10, k = 20 sunt parametri sistemului si F (t) = 1.

1. Determinati functia de transfer G(s) pentru acest sistem.

2. Desenati ın Matlab raspunsul sistemului deschis pentru o intrare treapta unitara si determinatieroarea stationara.

3. Se considera un sistem ın bucla ınchisa ca cel prezentat ın Figura 2 cu un regulator PID ideal siprocesul descris de G(s). Functia de transfer a regulatorului PID este:

GPID = KP +KI

s+KDs

R(s)=1/s C(s) G PID ( s)

controller plant

G ( s)

Figura 2: Sistem ın bucla ınchisa

Obiectivul este sa determinam cum contribuie parametrii regulatoruluiKP , KI siKD la obtinerea:

• Unui timp de crestere mic

• Suprareglaj mic

• Timp de raspuns mic

• Eroare stationara minima sau zero

Completati Tabelul 1 utilizand rezultateleurmatoarelor simulari:

(a) Considerati mai ıntai un regulator proportional (P) si determinati influenta lui KP asupracaracteristicilor raspunsului la treapta. utilizati Simulink si un bloc PID cu KI = KD = 0,KP = 30 and KP = 300.

(b) Analizati influenta termenului derivativ KD cu un regulator proportional-derivator (PD)(unde KI = 0). Setati forma regulatorului Controller form: parallel.

(c) Considerati un regulator proportional-integrator PI (unde KD = 0) si determinati efectul luiKI . Setati forma regulatorului Controller form: parallel.

1

Regulator Timp de crestere Suprareglaj Timp de raspuns Eroare st

P KP = 30KP = 300

PD KP = 300, KD = 1KP = 300, KD = 10

PI KP = 30, KI = 70KP = 30, KI = 120

Tabela 1:

Exercitiul 2. Se considera un proces cu functia de transfer:

G(s) =1

s3 + 10s2 + 20s

Specificatiile de proiectare pentru un sistem de control ın bucla ınchisa sunt:

• Sistemul ınchis este stabil

• Eroare stationara zero pentru o intrare treapta unitara

1. Reprezentati grafic raspunsul la treapta unitara a sistemului deschis.

2. Acordati un regulator PID cu metoda Ziegler-Nichols:

(a) Considerati un sistem ın buclaınchisa cu un regulator cu functia de transfer GPID(s) siprocesul G(s). Setati parametrii regulatorului KI = 0 si KD = 0 si determinati valoarea luiKP pentru care sistemul ınchis este la limita de stabilitate (K0 = KP ).

(b) Determinati perioada oscilatiilor T0 din functia de transfer echivalenta a sistemului ınchis.

(c) Simulati sistemul ınchis pentru GPID = K0 si comparati perioada oscilatiilor cu cea calculataanterior.

(d) Setati parametri regulatorului KP , KI si KD din tabelul Ziegler-Nichols (din notele de curs).Simulati sistemul ınchis si verificati ındeplinirea specificatiilor. Observatie. Blocul PID din

Simulink are diferite forme de implementare care difera ıntre ele si de asemenea sunt diferite

ın diverse versiuni de Matlab. Verificati forma regulatorului ınainte de a seta parametrii.

(e) Modificati parametrii regulatorului ın conformitate cu observatiile din exercitiul anteriorpentru a obtine un suprareglaj mai mic.

Exercitiul 3. Se considera un sistem descris de functia de transfer

G(s) =1

s(s− 5)

pentru care se doreste obtinerea unui timp de raspuns mai mic de 1 secunda, un suprareglaj cat maimic si eroare stationara zero pentru un semnal de intrare treapta unitara.

1. Analizati stabilitatea sistemului. Reprezentati grafic raspunsul sistemului la treapta unitara.

2. Considerati sistemul de control ın bucla ınchisa din Figura 3. Incercati sa rezolvati problema cuun regulator proportional (P), GPID = KP . Calculati functia de transfer a sistemului ınchis siverificati daca specificatiile pot fi obtinute cu un regulator P.

3. Considerati un regulator PI cu functia de transfer

GPID = KP +KI

s

Puteti obtine specificatiile cu acest regulator? Calculati functia de transfer a sistemului ınchis sijustificati raspunsul.

2

Figura 3:

4. Incercati sa rezolvati problema utilizand un regulator PD cu functia de transfer:

GPD = KP +KDs

• Calculati functia de transfer a sistemului ınchis si determinati conditiile care trebuieındeplinite de parametrii regulatorului astfel ıncat sistemul ınchis sa fie stabil.

• Simulati sistemul ınchis si alegeti valori potrivite pentru parametrii regulatorului astfel incatspecificatiile sa fie ındeplinite.

5. Considerati un regulator PID cu functia de transfer

GPID = KP +KI

s+KDs

Simulati sistemul ınchis pentru diferite valori ale lui KI . Puteti obtine o ımbunatatire araspunsului sistemului ınchis?

Exercitiul 4. Se considera un sistem continuu descris de functia de transfer:

G(s) =1

s2 + s+ 1

1. Calculati functia de transfer echivalenta ın z, G(z) utilizand transformarea:

s =1− z−1

T(1)

Pastrati perioada de esantionare ca parametru.

2. Calculati functia de transfer G(z) utilizand transformarea Tustin:

s =2(1− z−1)

T (1 + z−1)(2)

Pastrati perioada de esantionare ca parametru.

3. Scrieti un script Matlab ın care calculati modelul echivalent ın timp discret G(z) ın Matlab:

(a) Introduceti functia de transfer a sistemului continuu (utilizati functia Matlab tf ).

(b) Alegeti o perioada de esantionare pentru acest sistem.

(c) Introduceti functia de transfer calculata la punctul 1.

(d) Introduceti functia de transfer calculata la punctul 2.

(e) Obtineti modelul echivalent discretizat utilizand functia Matlab c2d si metoda Tustin.Comparati rezultatul cu cel obtinut la punctul 2.

(f) Obtineti modelul echivalent discretizat utilizand functia Matlab c2d si metoda ZOH.

4. Reprezentati ın Matlab, pe acelasi grafic, raspunsul sistemului la treapta unitara pentru:

• Sistemul continuu.

• Sistemul discret obtinut la punctul (1).

• Sistemul discret obtinut la punctul (2).

3

• Sistemul discret obtinut la punctul (3f).

5. Observati si comentati rezultatele.

6. Modificati perioada de esantionare si comentati rezultatele.

Exercitiul 5. Se considera un sistem de control ın bucla ınchisa prezentat ın Figura 4 cu functia detransfer a procesului:

G(s) =1

s2

Pentru acest proces s-a calculat un regulator continuu:

Gc(s) =8(s + 1)

s+ 4

Figura 4:

1. Calculati functia de transfer discretizata a regulatorului, Gc1(z), utilizand transformarea dinrelatia (1) si pastrand perioada de esantionare ca parametru.

2. Calculati functia de transfer discretizata a regulatorului, Gc2(z), utilizand metoda Tustin dinrelatia (2) si pastrand perioada de esantionare ca parametru.

3. Scrieti un script Matlab ın care:

(a) Alegeti si setati o valoare pentru perioada de esantionare T

(b) Introduceti polinoamele de la numaratorul si numitorul functiilor de transfer Gc1(z) si Gc2(z)ın functie de perioada de esantionare T . Executati scriptul.

4. Implementati ın acelasi fisier Simulink urmatoarele sisteme ın bucla ınchisa cu semnal de intraretreapta unitara:

(a) Sistemul continuu din Figura 4.

(b) Sistemul din Figura 5 ın care functia de transfer Gc(z) = Gc1(z) este un bloc Discrete transfer

function cu polinoamele de la numarator si numitor calculate ın scriptul Matlab de la punctul3b cu transformarea (1).

(c) Sistemul din Figura 5 ın care functia de transfer Gc(z) = Gc2(z) este un bloc Discrete transfer

function cu polinoamele de la numarator si numitor calculate ın scriptul Matlab de la punctul3b cu transformarea Tustin (2).

Figura 5:

5. Simulati cele trei sisteme pentru diferite perioade de esantionare si comentati rezultatele.

6. Pentru regulatorul discret Gc1(z) = U(z)/E(z), determinati ecuatia recurenta a comenzii uk ınfunctie de valorile curente si anterioare ale erorii (ek, ek−1) si valorile anterioare ale comenzii(uk−1).

4