l3&4 camp magnetic

CÂMPUL MAGNETIC DE JOASĂ FRECVENȚĂ 1

DISTRIBUŢIA CÂMPULUI MAGNETIC DE JOASĂ FRECVENŢĂ ÎN JURUL UNOR SURSE TIPICE

Obiectivul lucrării - determinarea, prin calcul numeric, a mărimilor caracteristice câmpului magnetic (inducţia magnetică şi intensitatea câmpului magnetic) produs în jurul unor surse caracteristice aplicaţiilor uzuale: linie aeriană de distribuţie a energiei electrice, bobină solenoidală, ansamblu de bobine, etc. Se vor studia, de asemenea, posibilităţile de reducere a câmpului magnetic: expunere la distanţă de sursă, ecranare magnetică.

FORMULAREA GENERALĂ A PROBLEMEI DE CALCUL AL CÂMPULUI MAGNETIC

* Regimul de lucru - Formularea corespunde regimului cuasistaţionar armonic, adică variaţiei armonice cu frecvenţă joasă, a mărimilor de câmp; în aplicaţiile curente privind sistemele şi instalaţiile electrice este vorba de frecvenţa industrială. In condiţiile variaţiei armonice a mărimilor de câmp şi în cazul liniarităţii mediului, mărimile electrice şi magnetice se pot reprezenta în complex simplificat. * Domeniul de calcul - În cazul general calculul se face într-un domeniu 3D; pentru simplificarea modelării numerice se identifică, dacă există, condiţii de simetrie plan-paralelă sau plan-axială, ceea ce permite calculul pe un domeniu 2D. În exemplele de configuraţii considerate în continuare vor fi exploatate astfel de simetrii. * Sursa de câmp magnetic - În toate aplicaţiile, sursa elementară de câmp în regim armonic de joasă frecvenţă este un conductor parcurs de curent alternativ; sistemele electrice prezintă trasee multiple de conductoare sau înfăşurări care produc câmp magnetic ce variază în timp la fel ca şi curentul prin conductoare. Legea circuitului magnetic dă expresia cantitativă a legăturii dintre curenţii sursă şi câmpul magnetic produs [1],

€

rotH = J+dDdt

, (1)

sau în forma integrală specifică frecvenţelor joase (Teorema lui Ampère),

€

H⋅dlΓ∫ = wi . (2)

* Proprietăţi de material - În regim armonic se lucrează cu reprezentarea mărimilor armonice în complex simplificat; proprietăţile electrice se exprimă şi ele prin conductivitatea electrică complexă

€

σ = σ + jωε sau prin mărimea corespondentă, permitivitatea electrică complexă

€

ε = σ /(jω) = ε− jσ /ω [2].

Conductoarele parcurse de curent se reprezintă cu proprietăţile specifice de material (conductivitatea electrică specifică σ, iar permitivitatea electrică şi permeabilitatea magnetică în mărimi relative au valori unitare pentru materialele conductoare). Mediul în care se determină distribuţia câmpului magnetic poate fi aerul sau un alt

2 CÂMPUL MAGNETIC DE JOASĂ FRECVENȚĂ

material pentru care se definesc proprietăţi specifice. În aplicaţiile din această lucrare se studiază distribuţia de câmp magnetic în aer şi în materiale de ecranare. * Ecuaţiile de câmp - se utilizează legea circuitului magnetic pentru regimul cuasistaţionar în forma (1) sau (2).

SOLUŢII ANALITICE Determinarea mărimii fizice caracteristice câmpului magnetic (B sau H) produs de curentul electric ce străbate un fir conductor se poate face, în cazul unor configuraţii simple (Fig. 1), aplicând formula Bio-Savart-Laplace: Fig.1 Configuraţia geometrică a unui tronson de circuit Inducţia magnetică în punctul oarecare P(x,y,z) se exprimă astfel:

€

BP =µ0i4π

dl×RR3

Γ∫ , (3)

unde: - permeabilitatea magnetică a vidului; i - intensitatea curentului care produce câmpul magnetic, considerat constant

în lungul firului conductor Γ - curba descrisă de conductorul parcurs de curent; dl - elementul de lungime al conductorului: ; (x0, y0, z0) sunt coordonatele unui punct situat pe firul conductor; R - vectorul de poziţie al elementului de lungime faţă de punctul P în care se calculează câmpul: ; R - modulul vectorului R. Prin dezvoltarea produsului vectorial din ec. (3) rezultă

€

dl×R =

i j kd x0 d y0 d z0

x − x0 y − y0 z − z0

= (4)

€

= i z − z0( )d y0 − y − y0( )d z0[ ] + j − z − z0( )d x0 + x − x0( )d z0[ ] + k y − y0( )d x0 − x − x0( )d y0[ ] .

B A dl

R

P(x,y,z)

y

a

H

L/2 -L/2

x

z


Dacă se consideră amplasarea conductorului (avantajoasă din motive de calcul) într-un plan paralel cu planul (y,z), atunci x0 = const. şi dx0 = 0; se obţine, conform ecuaţiei (3), expresia inducţiei magnetice în punctul P(x,y,z) oarecare:

€

BP =µ0i4π

i z − z0( )d y0 − y − y0( )d z0[ ] + j x − x0( )d z0 −k x − x0( )d y0

x − x0( )2 + y − y0( )2 + z − z0( )2

32A

B∫ ,

(5)

Observatie. Calculul inducţiei magnetice cu expresia (5) necesită integrare pe traseul circuitului parcurs de curent; acest lucru poate deveni dificil pentru trasee complicate. În [2] şi [3] sunt prezentate detalii pentru calculul inducţiei în cazul liniilor mono si multifilare de transport şi distribuţie a energiei electrice, ţinându-se seama de curbura traseului conductoarelor sub acţiunea greutăţii lor.

SOLUŢII NUMERICE În regimul cuasistaţionar armonic ecuaţiile de câmp se exprimă în mărimi complexe. Dacă se lucrează într-un domeniu 2D în care curenţii electrici (respectiv densităţile de curent) au orientare perpendiculară pe planul de calcul, atunci este preferabil să se exprime ecuaţiile în potenţial magnetic vector (definit prin B = rot A) deoarece acesta are o singură componentă nenulă, orientată la fel ca si densitatea de curent (perpendicular pe planul de calcul):

- în domeniile 2D obţinute prin simetrie plan-paralelă (planul x,y),

€

A = Azez şi

€

J = Jzez

- în domeniile 2D obţinute prin simetrie plan-axială (planul r,z),

€

A = Aϕeϕ şi

€

J = Jϕeϕ

Ecuaţia de câmp (1) se modifică prin considerarea legilor constitutive pentru medii liniare [1], adică

€

B = µH,

€

D = εE. Astfel,

€

rot Bµ

= J+ddt

εE( ) ; (6)

ec. (6) se modifică în continuare ţinând seama de legea inducţiei electromagnetice

€

rotE = −dBdt

+ rot v×B( ) , sau în forma

€

rotE = −d rot A( )

dt+ rot v× rot A( ) ,

echivalent cu

€

E = −d Adt

+ v× rot A . (7)

Ecuaţia de câmp (6) se poate astfel rescrie în forma

€

rot 1µ

rot A

= J+

ddt

ε −d Adt

+ v× rot A

. (8)


Dacă se aplică formalismul de reprezentare în complex, ec. (8) ia forma:

€

rot 1µ

rot A

= J+ jω −ε jωA + v× rot A( )[ ], sau ţinând seama că

€

σ = jωε,

€

rot 1µ

rot A

− jωσA −σ v× rot A( ) = J. (9)

Ecuaţia (9) este implementată în pachetele software pentru calculul regimului cuasistaţionar armonic de câmp magnetic şi este aplicată şi în modelările numerice propuse în continuare cu COMSOL Multiphysics [4]. Postprocesarea soluţiei exprimată în p.m.v. permite determinarea altor mărimi de câmp (de exemplu B, H), determinarea energiei magnetice, permite reprezentarea spectrului liniilor de câmp (Az = constant în domeniile 2D), etc. Construcţia modelului numeric în COMSOL Multiphysics [4]

a. Alegerea regimului (application mode) - în fereastra Model Navigator se aleg: 2D, AC/DC Module > Quasi-Statics, Magnetic > Perpendicular Induction Currents, Vector Potential > Time-harmonic analysis b. Descrierea domeniului de calcul se face în modul de lucru Draw > Specify object c. Introducerea datelor se face în meniul Options > Constants d. Atribuirea proprietăţilor de material se realizează în meniul Physics > Subdomain settings e. Specificarea condiţiilor de frontieră se realizează în meniul Physics > Boundary settings f. Reţeaua de discretizare se generează cu opţiunile din meniul Mesh

g. Pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii se preferă o metodă directă; acest lucru este posibil, deoarece geometria problemei 2D este simplă şi numărul de elemente ale reţelei este redus. Se verifică opţiunile din meniul Solve > Solver parameters h. Pentru postprocesare se fac opţiuni în meniul Postprocessing > Plot parameters

CHESTIUNI DE STUDIAT 1. Câmpul magnetic produs în jurul unei linii de distribuţie a energiei electrice Se reprezintă ca sursă de câmp magnetic un conductor sau un ansamblu de conductoare ce aparţin unei linii electrice aeriene (vezi ANEXA 1) sau unei linii subterane (vezi ANEXA 3). În 2D conductoarele sunt perpendiculare pe planul de calcul, se reprezintă prin secţiunea lor transversală şi trebuie specificată valoarea densităţii de curent. Deoarece problema este liniară, inducţia magnetică este direct proporţională cu intensitatea curentului (respectiv cu densitatea de curent). Un studiu calitativ se poate face specificând valoare unitară pentru densitatea de curent prin conductoare; pentru o evaluare realistă, rezultatul se scalează apoi la orice valoare data lui J.


În toate reprezentările, domeniul de calcul trebuie limitat la o distanţă convenabilă în jurul liniei de distribuţie (conductorul sau grupul de conductoare); pentru reprezentarea 2D frontiera poate fi un cerc sau un dreptunghi care are în centru linia de distribuţie. Pe această frontieră se specifică o condiţie de tipul "linie de câmp" sau "izolaţie magnetică", implementată printr-o ecuaţie în care p.m.v. ia o valoare cunoscută, de exemplu valoarea nulă. Consideraţi următoarele cazuri:

Cazul a - un singur conductor parcurs de curent - cazul unei linii aeriane, respectiv cazul unui cablu subteran; pentru cablul subteran analizaţi efectele de ecranare magnetică datorate structurii cablului; Cazul b - două conductoare parcurse de curent în acelaşi sens şi în sensuri opuse; analizaţi distribuţia câmpului magnetic în spaţiul dintre conductoare şi înafară; analizaţi efectele variaţiei distanţei dintre conductoare; faceţi legătura cu aplicaţii practice ale acestor configuraţii; Cazul c - trei conductoare formând un sistem trifazat (parcurse de curenţi defazaţi simetric în timp); consideraţi cazul conductoarelor aşezate în linie şi apoi în vârfurile unui triunghi; analizaţi distribuţia câmpului magnetic la diferite momente de timp, în spaţiul dintre conductoare şi înafară.

Pentru fiecare caz parcurgeţi următoarele etape ale analizei: - reprezentaţi spectrul liniilor de câmp magnetic (Postprocessing > Plot parameters > Contour). - reprezentaţi distribuţia inducţiei magnetice (sau similar a intensităţii câmpului magnetic) în funcţie de distanţa faţă de linia electrică - de ex. o familie de curbe B(x) pentru valori distincte ale coordonatei y. (Utilizaţi facilităţile din meniul Postprocessing > Cross-Section Plot parameters > Line/Extrusion). Comparaţi curbele şi formulaţi concluzii. (pentru referinta vezi ANEXA 2) - studiaţi, printr-un calcul parametric, variaţia în timp a spectrului liniilor de câmp magnetic, la mai multe momente succesive ale unei perioade; rezultatele pot fi vizualizate cu animaţia realizată în Postprocessing > Plot parameters > Animate.

2. Câmpul magnetic al unei bobine solenoidale Bobinele solenoidale sunt construite dintr-o înfăşurare cilindrică, de lungime mare şi sunt cunoscute pentru calitatea de a produce o zonă de câmp magnetic uniform în interiorul lor; cu cât lungimea solenoidului este mai mare, cu atât mai extinsă este zona de câmp uniform [1]. Construiţi în COMSOL modelul unui solenoid cu 15 spire, realizate din conductor cu diametrul de 5mm şi distanţa de 5mm între spirele succesive; diametrul solenoidului este de 60mm. Geometria solenoidului permite identificarea simetriei plan-axiale şi reprezentarea modelului în Axial Symmetry 2D, AC/DC Module > Quasi-statics magnetic > Azimuthal induction currents, Vector potential > Time-harmonic analysis.


Reprezentaţi şi analizaţi spectrul liniilor câmpului magnetic şi harta de culoare a inducţiei magnetice. Reprezentaţi distribuţia inducţiei magnetice atât în zona interioară, cât şi în cea exterioară solenoidului; cum variază inducţia cu distanţa măsurată de la suprafaţa solenoidului? Cum se modifică rezultatele problemei dacă frecvenţa curentului prin spirele solenoidului creşte de la 50 Hz la 500 Hz? Plasaţi în imediata vecinătate a solenoidului un corp (alegeţi o geometrie simplă) sau un ecran şi studiaţi pătrunderea câmpului magnetic pentru diferite proprietăţi electrice şi magnetice ale acestuia (mediu conductor, mediu dielectric, mediu biologic la frecvenţă joasă, mediu feromagnetic, etc.). 3. Câmpul magnetic în jurul unui transformator de putere Infăşurările transformatoarelor electrice de putere au solenaţii mari şi reprezintă surse de câmp magnetic de inducţie relativ ridicată pentru spaţiul din imediata vecinătate. La transformatoarele cu răcire în ulei, cuva reprezintă şi un ecran eficient pentru câmpul magnetic, ceea ce nu se întâmplă în cazul transformatoarelor uscate. Realizaţi în COMSOL modelul unei coloane cu cele două înfăşurări (primar şi secundar) poziţionate concentric. Se poate utiliza ipoteza simetriei plan-axiale în jurul axului coloanei, considerată de secţiune circulară; prezenţa celorlalte faze se neglijează. Modelul se construieşte alegând ca mod de lucru: Axial Symmetry 2D, AC/DC Module > Statics magnetic > Azimuthal induction currents, Vector potential > Total potential. Renunţând la studiul problemei în regimul cuasistaţionar este posibilă neglijarea efectului de repartiţie neuniformă a densităţii de curent în secţiunile prin înfăşurări (în regim variabil acestea se comportă ca nişte conductoare masive); în acelaşi timp se neglijează astfel şi pierderile în miezul feromagnetic. Regimul magnetic static este astfel adoptat pentru a analiza un moment de timp oarecare (instantaneu), sau pentru rezolvarea ecuaţiilor scrise pentru mărimi efective.

Date: diametrul coloanei D = 0.14m; dimensiunile infăşurărilor se consideră iniţial identice (H = 0.8m, a = 0.03m), iar solenaţiile în opoziţie (w1I1 = - w2I2 = 5·104 Asp).

Reprezentaţi şi analizaţi spectrul liniilor câmpului magnetic de dispersie. Reprezentaţi distribuţia inducţiei magnetice (componenta radială şi componenta axială) atât în zona interioară înfăşurărilor, cât şi în cea exterioară. Cum variază inducţia cu distanţa măsurată de la suprafaţa bobinajului? Analizaţi distribuţia de câmp magnetic dacă se modifică dimensiunile unei înfăşurări. Consideraţi în model prezenţa cuvei de tablă şi reluaţi aceeaşi evaluare de rezultate. Bibliografie [1] Mocanu C. I. – Teoria câmpului electromagnetic, EDP, Bucureşti, 1992. [2] Morega Mihaela – Bioelectromagnetism, Editura Matrix Rom, 1999, ISBN 973-685-056-0 [3] Morega Mihaela, s.a. – Probleme de Bioinginerie. Modele numerice, Editura MatrixRom 2001, ISBN 973-685-321-7. [4] COMSOL Multiphysics, 3.5a, User's Guide and Modeling Guide, Copyright © 1998-2009 by COMSOL AB


ANEXA 1 Principalele componente ale unei linii electrice aeriene în dublu circuit, de 400 kV

1- Lanţ de izolatoare de susţinere 2- Fascicul de conductoare legate în

paralel, pentru o fază a circuitului (până la şase conductoare/fază)

3- Distanţor (folosit pentru menţinerea la distanţă constantă a conductoarelor din fascicul)

4- conductoare de protecţie (au funcţie de paratrăsnet orizontal)

5- ansamblul celor trei conductoare formează un circuit trifazat (pe stâlp sun dispuse două circuite)

ANEXA 2 Profilul componentei verticale a inducţiei magnetice în mijlocul deschiderii pentru linii electrice aeriene cu diferite tensiuni nominale şi curenţi de sarcină


ANEXA 3 Structura unui cablu subteran pentru o linie de distribuţie de 15 kV.

1- conductor de fază (Cu sau Al) realizat cu structura

multifilară 2- izolaţia fazei 3- strat semiconductor pentru ecranarea miezului

conductor 4- bandă conductoare pentru inchiderea curenţilor de

suprafaţă 5- izolaţie electrică 6- manta metalică pentru ecranare magnetică şi

consolidare mecanică 7- strat de protecţie fata de mediul in care este

îngropat cablul (uzual PVC)

Dispunerea coplanară sau în treflă a cablurilor unipolare, pentru obţinerea unei conexiuni trifazate. Dimensiunile g, s, y, z sunt distanţe de izolaţie electrică şi depind de tensiunea nominală a liniei subterane.

l3&4 camp magnetic

Documents