Teoria câmpului ELECTROmagnetic

 1. SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

1.1. Recapitularea marimilor electromagnetismului

Pentru caracterizarea fenomenelor electromagnetice si a starilor corespunzatoare, teoria macroscopica utilizeaza sase specii de marimi primitive, adica sase specii a caror introducere nu este posibila fara a face apel la experienta - sau la teoria microscopica - si un numar mare de marimi derivate, care completeaza si usureaza caracterizarea acestor stari.

Marimile de stare electrica si magnetica ale corpurilor sunt:

- sarcina electrica q (caracterizeaza starea de încarcare electrica),

- momentul electric   (caracterizeaza starea de polarizatie electrica),

- intensitatea curentului electric de conductie i (caracterizeaza starea electrocinetica),

- momentul magnetic   (caracterizeaza starea de magnetizatie).

Aceleasi stari se caracterizeaza local prim marimi derivate, dintre care cele mai importante sunt: densitatea de volum a sarcinii v, polarizatia electrica  , densitatea de curent  , magnetizatia  . Alte marimi derivate importante sunt: densitatea de suprafata si de linie a sarcinii S si l, sarcina de polarizatie qp, densitatea superficiala de

curent  , curentul amperian im, solenatia  s.a.

Marimile de stare locala ale câmpului electromagnetic sunt:

- intensitatea câmpului electric   si inductia electrica  , ambele

marimi fiind derivate din vectorul câmp electric în vid   si caracterizeaza local aspectul electric al câmpului electromagnetic (câmpul electric),

- intensitatea câmpului magnetic   si inductia magnetica  , ambele

marimi sunt derivate din vectorul inductie magnetica în vid    si

caracterizeaza local aspectul magnetic al câmpului electromagnetic (câmpul magnetic).

Marimile derivate mai importante corespunzatoare sunt:

- tensiunea electrica (în lungul unei curbe C)                       ,

(cu sensul de referinta  )

- fluxul electric (printr-o suprafata S)                                  ,

(cu sensul de referinta  )

- tensiunea magnetica (în lungul unei curbe C)                     ,

(cu sensul de referinta  )

- fluxul magnetic (printr-o suprafata S)                               ,

(cu sensul de referinta  )

- curentul electric (printr-o suprafata S)                              ,

(cu sensul de referinta  )

1.2. Regimurile marimilor electrice si magnetice

În teoria fenomenologica (macroscopica) a câmpului electromagnetic, marimile fizice pot fi considerate functiuni de timp, iar dupa consecintele variatiei lor în timp, starile electromagnetice se pot gasi în urmatoarele regimuri:

- regimul static, în care marimile de stare nu variaza în timp (sau variaza suficient de lent, pentru a putea neglija efectul variatiei lor) si nu se produc transformari energetice; în acest caz fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice si cele doua laturi ale câmpului electromagnetic se pot studia separat, în cadrul electrostaticii si magnetostaticii;

- regimul stationar, în care marimile nu variaza în timp, însa interactiunile câmpului electromagnetic cu substanta sunt însotite de transformari energetice;

- regimul cvasistationar, caracterizat prin variatia suficient de lenta în timp a marimilor, astfel încât sa se poata neglija efectele asociate variatiei în timp a unor marimi. In acest regim se disting:

- regimul cvazistationar anelectric, în care se neglijeaza efectele magnetice ale curentilor de deplasare peste tot, cu exceptia dielectricului condensatoarelor (acest regim este numit în mod curent cvazistationar) si

- regimul cvazistationar amagnetic, în care se neglijeaza efectele de inductie electromagnetica în producerea câmpului electric;

- regimul nestationar, corespunde celui mai general caz de variatie în timp a marimilor, în care apare radiatia electromagnetica.

1.3. Recapitularea legilor electromagnetismului

Legile generale si principalele legi de material ale teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice sunt prezentate în diferitele lor forme, integrale si locale. Legile vor fi numerotate cu cifre romane.

I. Legea inductiei electromagnetice

(1.3-1)

în care e este tensiunea (electromotoare) indusa în lungul conturului închis , iar S este fluxul magnetic prin suprafata S sprijinita pe conturul :

(1.3-2)

Versorul normalei  si vectorul element de arc   sunt asociati dupa regula burghiului drept, ca în figura 1.3-1a.

Legea se poate prezenta si sub forma integrala explicita

(1.3-3)

Fig. 1.3-1. Conventii la scrierea legii inductiei electromagnetice (a) si cazul unei suprafete de discontinuitate (b).

Curba  si suprafata S se considera solidare cu corpurile aflate în miscare (sunt antrenate în miscarea corpurilor), deci derivarea tine seama atât de variatia în timp a integrandului, cât si de deplasarea suprafetei. Se foloseste derivata substantiala, de flux:

(1.3-4)

unde

(1.3-5)

unde  este viteza punctelor suprafetei S.

Transformând integrala de contur în integrala de suprafata (cu teorema lui Stokes) si folosind derivata de flux pentru a doua integrala, în domenii de continuitate si netezime a câmpurilor de vectori se obtine forma locala

(1.3-6)

Pentru suprafete de discontinuitate, scriind forma integrala pe un mic contur S strâns de o parte si de alta a suprafetei de discontinuitate, pe o lungime l (figura 1.3-1b), se obtine

sau

(1.3-7)

respectiv Et1 = Et2, adica la trecerea prin suprafata de discontinuitate se conserva componenta tangentiala a intensitatii câmpului electric.

II. Legea fluxului electric

(1.3-8)

unde  este fluxul electric prin suprafata închisa , iar q este sarcina electrica continuta de suprafata . Cu notatiile din figura 1.3-2a

(1.3-9)

pentru o repartitie continua de sarcini electrice în volumul D.

Versorul   pe normala, este orientat spre exteriorul suprafetei închise .

Fig. 1.3-2. Notatii pentru legea fluxului electric (a) si cazul suprafetei de discontinuitate (b).

Transformând integrala de suprafata în integrala de volum cu formula Gauss-Ostrogradski, se obtine forma locala a legii, în domenii de continuitate si netezime a câmpului de vectori 

(1.3-10)

Pentru suprafete de discontinuitate, se scrie forma integrala a legii pe o suprafata S, strânsa - de o parte si de alta - a suprafetei de discontinuitate, care poate fi încarcata cu densitatea de suprafata a sarcinii S (figura 1.3-2b) si se obtine

sau

(1.3-11)

respectiv D2n - D1n = S, adica saltul componentei normale a inductiei electrice este proportional cu densitatea de suprafata a sarcinii electrice.

Pe suprafete neîncarcate electric se conserva componenta normala a inductiei.

III. Legea legaturii dintre 

(1.3-12)

în care   este vectorul polarizatiei electrice, iar 0 este permitivitatea vidului, numita si constanta electrica.

IV. Legea polarizatiei electrice temporare

Polarizatia are o componenta permanenta  , independenta de valoarea actuala a intensitatii câmpului electric si o

componenta temporara  , care depinde de valoarea actuala a acestui câmp

(1.3-13)

Legea polarizatiei temporare exprima dependenta de intensitatea câmpului electric a polarizatiei temporare

(1.3-14)

In dielectrici izotropi, liniari si fara polarizatie permanenta 

(1.3-14')

iar împreuna cu legile III si IV se ajunge la relatia constitutiva

(1.3-15)

V. Legea circuitului magnetic

(1.3-16)

în care umm este tensiunea magnetomotoare pe conturul închis , S este solenatia calculata pe suprafata S sprijinita pe conturul , iar S este fluxul electric prin aceeasi suprafata S (figura 1.3-3a)

(1.3-17)

si aici se pastreaza aceeasi regula a burghiului drept pentru

asocierea între vectorul element de arc   si versorul normalei  .

Legea se poate prezenta si sub forma integrala explicita

(1.3-18)

Fig. 1.3-3. Notatii pentru legea circuitului magnetic (a) si cazul unei suprafete de discontinuitate (b).

Curba  si suprafata S se considera solidare cu corpurile aflate în miscare (sunt antrenate de acestea), deci derivarea tine seama atât de variatia în timp a integrandului, cât si de deplasarea suprafetei, adica se foloseste derivata substantiala, de flux, (1.3-4). Astfel, forma integrala explicita devine

(1.3-19)

Transformând membrul stâng cu formula lui Stokes, se stabileste forma locala a legii (în domenii de continuitate si netezime)

(1.3-20)

Pentru suprafete de discontinuitate, scriind forma integrala pe un mic contur S strâns de o parte si de alta a suprafetei de discontinuitate, pe o lungime l (figura 1.3-3b), se obtine

sau

(1.3-

21)

respectiv Ht2 - Ht1 = JS, adica la trecerea prin suprafata de discontinuitate componenta tangentiala a intensitatii câmpului magnetic are un salt egal cu densitatea superficiala a curentului.

Daca nu exista curenti pe suprafata, componenta tangentiala se conserva la trecerea prin suprafata de discontinuitate.

VI. Legea fluxului magnetic

(1.3-22)

unde

(1.3-23)

este fluxul magnetic calculat pe suprafata închisa  (figura 1.3-4a).

Transformând cu formula Gauss-Ostrogradski integrala de volum în integrala de suprafata, se obtine forma locala pentru domenii de continuitate si netezime

(1.3-24)

Fig. 1.3-4. Notatii pentru legea fluxului magnetic (a) si cazul unei suprafete de discontinuitate (b).

Pentru suprafete de discontinuitate, se scrie forma integrala a legii pe o suprafata S, strânsa - de o parte si de alta - a suprafetei de discontinuitate (figura 1.3-4b) si se obtine

sau

(1.3-25)

respectiv B2n = B1n, adica la trecerea printr-o suprafata de discontinuitate se conserva componenta normala a inductiei magnetice.

Observatie. Adesea se introduce un câmp de vectori auxiliar  , numit potential magnetic vector, prin relatia

(1.3-26)

Astfel este satisfacuta identic forma locala (1.3-24).

Câmpul de vectori   este determinat numai daca se cunoaste si divergenta sa, care poate fi data de

- conditia de etalonare Coulomb:      

- conditia de etalonare Lorentz:        

Ultima etalonare este folosita pentru potentialele electrodinamice:

potentialul vector   si potentialul scalar Ve.

VII. Legea legaturii dintre 

(1.3-27)

unde   este vectorul magnetizatiei.

VIII. Legea magnetizatiei temporare

Magnetizatia are o componenta permanenta  , independenta de valoarea actuala a intensitatii câmpului magnetic si o

componenta temporara  , care depinde de valoarea actuala a acestui câmp

(1.3-28)

Legea magnetizatiei temporare exprima dependenta magnetizatiei temporare de intensitatea câmpului magnetic

(1.3-29)

In materiale magnetice liniare, izotrope si fara magnetizatie permanenta

(1.3-29')

iar cu legile VII si VIII se obtine relatia constitutiva

(1.3-30)

IX. Legea conservarii sarcinii electrice

(1.3-31)

în care

(1.3-32)

Fig. 1.3-5. Notatii pentru legea conservrii sarcinii electrice (a) si cazul unei suprafete de discontinuitate (b).

Curentul este calculat cu versorul normalei  orientat spre exteriorul suprafetei închise  (figura 1.3-5a). Legea exprima curentul electric de conductie ca un flux de sarcini electrice, sau sarcina electrica ca o integrala în timp a curentului de conductie.

Legea se poate prezenta si sub forma integrala explicita

(1.3-33)

Din nou, suprafata  este considerata solidara cu corpurile aflate în miscare. Pentru a introduce sub semnul integrala operatorul de derivare în raport cu timpul trebuie folosita derivata substantiala de volum. Pentru un câmp scalar g

(1.3-34)

unde

(1.3-35)

este derivata substantiala de volum în raport cu timpul. Mai sus s-a notat cu   vectorul vitezei punctului în raport cu sistemul de referinta.

Cu aceasta derivata, forma integrala a legii conservarii sarcinii electrice devine

(1.3-36)

Transformând membrul stâng cu formula Gauss-Ostrogradski în integrala de volum, în domenii de continuitate si netezime a câmpului densitatii de curent se stabileste forma locala

(1.3-37)

Pentru suprafete de discontinuitate, se scrie forma integrala pe o suprafata S, strânsa - de o parte si de alta - a suprafetei de discontinuitate, încarcata cu densitatea de suprafata a sarcinii S (figura 1.3-5b) si se obtine

sau

(1.3-38)

respectiv J2n - J1n = -S/t, adica saltul componentei normale a densitatii curentului de conductie este proportional cu derivata în raport cu timpul a densitatii de suprafata a sarcinii electrice.

Pe suprafete neîncarcate se conserva componenta normala a densitatii de curent.

X. Legea conductiei electrice

se prezinta întâi în formele locale

(1.3-39)

unde  este vectorul intensitatii câmpului electric imprimat (care este exprimarea în limbaj electric al unor câmpuri de forte de natura neelectrica) si apoi în formele integrale, pentru circuite filiforme

(1.3-40)

unde, cu notatiile din figura 1.3-6,

Fig. 1.3-6. Notatii pentru forma integrala a legii conductiei electrice.

Fig. 1.3-7. Notatii pentru forma integrala a legii transformarii energiei în conductoare.

(1.3-41)

S-a presupus o distributie uniforma a curentului pe sectiunea transversala (de arie A) a conductorului filiform, care are curba axa C, pe care se defineste tensiunea în lungul firului uf, tensiunea electromotoare imprimata ei si rezistenta R, respectiv conductanta G.

In expresia ultimelor marimi  = 1/ este rezistivitatea în punctul curent, iar A este aria sectiunii transversale pe liniile de curent; ambele marimi pot fi variabile de la punct la punct.

XI. Legea transformarii energiei în conductoare

se prezinta întâi în forma locala, care exprima densitatea de volum a puterii electromagnetice cedata corpurilor în procesul de conductie

(1.3-42)

sau, tinând seama de legea conductiei electrice

(1.3-43)

unde pR este densitatea de volum a puterii disipate prin efect Joule, iar pg este densitatea de volum a puterii generate sub influenta câmpurilor imprimate.

Pentru conductoare filiforme (figura 1.3-7), integrând pe volumul conductorului, se stabileste forma integrala a legii. Puterea PJ primita de conductor în procesul de conductie este

PJ = uf i, (1.3-44)

Ţinând seama de legea conductiei electrice se obtine

PJ = R i2 - ei i = PR - Pg, (1.3-45)

unde PR este puterea disipata prin efect Joule, iar Pg este puterea generata datorita tensiunii electromotoare imprimate.

XII. Legea electrolizei

exprima efectul electrochimic al curentului electric de conductie, sub forma

(1.3-46)

în care m este masa depusa prin electroliza de sarcina electrica q (integrala curentului de conductie), dintr-o substanta cu masa atomica A si   valente, F0 fiind constanta lui Faraday.

* = * = *

Se reaminteste ca în forma integrala a legilor vectorul element de arc   care da sensul de parcurgere al curbei închise  ce margineste suprafata deschisa S si versorul normalei la

suprafata   sunt asociati dupa regula burghiului drept, iar pentru

suprafata închisa  versorul normalei   este orientat spre exterior.

Domeniile de integrare se considera a fi antrenate de corpuri în miscarea lor, deci se folosesc derivatele substantiale de flux si de volum.

În legi intervin trei constante universale:

- constanta electrica (permitivitatea vidului)

0 = 1/(4 9.109) [F/m],

- constanta magnetica (permeabilitatea vidului)

0 = 4 10-7 [H/m],

- constanta lui Faraday (echivalentul electrochimic)

F0 = 96490 [C/g].

1.4. Discutie asupra sistemului legilor electromagnetismului

Legile I, II, III, V, VI, VII, IX si XI sunt legile generale ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic.

Legile IV, VIII, X si XII sunt principalele legi de material si în ele intervin, în afara constantelor universale, anumite marimi de material (dependente local de natura acestuia, de temperatura, de starea de deformare sau tensionare locala etc.): susceptivitatea electrica e, permitivitatea  = 0 r, susceptivitatea magnetica m, permeabilitatea  = 0 r, rezistivitatea  sau conductivitatea  = 1/,

intensitatea câmpului electric imprimat  , masa atomica A, valenta  . Exista si alte legi de material cu aplicativitate mai restrânsa în determinarea câmpului electromagnetic: legea câmpurilor imprimate voltaice, legea emisiunii electronice din metale s.a.

Legile I, II, III si IV stabilesc toate conditiile producerii câmpului electric (prin faptul ca permit precizarea circulatiei în lungul oricarei curbe închise si a fluxului prin orice suprafata închisa, pentru fiecare dintre vectorii câmp  ).

Legile V, VI, VII si VIII stabilesc toate conditiile producerii câmpului magnetic (prin faptul ca permit precizarea circulatiei în lungul oricarei curbe închise si a fluxului prin orice suprafata închisa, pentru fiecare dintre vectorii câmp  ).

Legile IX si X stabilesc proprietati ale curentului electric de conductie si permit determinarea vectorului câmp  , iar legea XI stabileste efectul energetic al procesului de conductie a curentului electric. Legea XII precizeaza efectul chimic al curentului de conductie.

Principalele dependente pe care le implica sistemul legilor I-X de mai înainte, în conditiile obisnuite întâlnite în aplicatii tehnice, pot fi reprezentate schematic ca în figura 1.4-1. Sagetile indica sensul cauzal, iar sagetile cu linie întrerupta indica legaturile care exista numai în stari variabile în timp (regim ne-stationar). Sagetile cu ambele sensuri indicate corespund unei interdependente a carei interpretare cauzala depinde de conditii concrete suplimentare.

Principalele idei exprimate în aceasta reprezentare sunt urmatoarele.

a) In regim stationar nu exista practic influenta  reciproca  între fenomenele electrice si magnetice, singura legatura între aceste categorii de fenomene fiind exprimata de legea lui Ohm (X), conform careia repartitia câmpului imprimat (adica a surselor) determina atât curentii din conductoare (si deci câmpul magnetic produs de acesti curenti), cât si repartitia câmpului electric din conductoare. Câmpul electric si câmpul magnetic sunt în legatura exclusiv prin intermediul corpurilor conductoare, parcurse de curent electric de conductie. În lipsa curentilor electrici de conductie, aceasta legatura dispare si rezulta doua câmpuri de vectori complet independente: câmpul electrostatic si câmpul magnetostatic.

b) In regim stationar, câmpul electric în izolanti este determinat de repartitia sarcinilor electrice si a momentelor electrice (legile II si III); totodata câmpul electric influenteaza repartitia momentelor electrice

(partea lor temporara) prin legea de material a polarizatiei temporare (IV), iar în conductoare, câmpul electric impune repartitia de sarcina electrica (de obicei, superficiala), fiind determinat de repartitia câmpului electric imprimat (prin conditia de echilibru electrostatic, care rezulta din X). Câmpul electric stationar este produs de corpuri încarcate electric sau polarizate electric.

Fig. 1.4-1. Principalele relatii si dependente între legile I-X ale câmpului electromagnetic.

c) In regim stationar (si cvasistationar) câmpul magnetic este determinat de repartitia curentilor electrici si a momentelor magnetice (legile V, VI si VII); totodata câmpul magnetic influenteaza repartitia momentelor magnetice (partea lor temporara), prin legea de material a magnetizatiei temporare (VIII). Câmpul magnetic stationar este produs de corpuri magnetizate sau parcurse de curent electric.

d) In regim variabil în timp apare o conditionare reciproca între repartitia de sarcina si cea de curent prin legea conservarii sarcinii (IX); totodata mai apare o dublalegatura directa (nu prin intermediul corpurilor) între câmpul electric si câmpul magnetic: câmpul magnetic variabil în timp determina aparitia unui câmp electric solenoidal (indus) prin fenomenul inductiei electromagnetice (I); câmpul electric variabil în timp determina aparitia unui câmp magnetic solenoidal produs de curentul de deplasare, care intervine în legea circuitului magnetic (V). Aceasta legatura dubla conditioneaza existenta

câmpului electromagnetic "desprins" de corpuri, sub forma de unde electromagnetice, care se propaga cu o viteza finita.

* = * = *

Sistemul legilor câmpului electromagnetic trebuie sa îndeplineasca patru conditii de natura metateoretica:

a) sistemul sa fie complet, adica sa permita descrierea completa a unei anumite clase de stari si de fenomene. Pentru câmpurile de vectori, legile trebuie sa permita cunoasterea circulatiei vectorului câmp pe orice curba închisa si a fluxului câmpului prin orice suprafata închisa. Sistemul prezentat permite îndeplinirea acestei conditii

pentru oricare dintre câmpurile  ;

b) sistemul sa fie necontradictoriu, conditie care este satisfacuta de sistemul legilor teoriei Maxwell-Hertz;

c) legile sistemului sa fie independente, adica sistemul sa nu contina afirmatii deductibile din altele ale aceluiasi sistem.

Din punct de vedere strict axiomatic, legea IX (a conservarii sarcinii electrice) nu este independenta de legile II si V (a fluxului electric, respectiv a circuitului magnetic), ci rezulta din ele. De fapt, pe neconcordanta dintre teorema lui Ampère si legea conservarii sarcinii electrice si-a bazat Maxwell rationamentul prin care a stabilit forma legii circuitului magnetic. Exista enunturi mai generale decât în acest curs pentru legile II si V, care asigura independenta logica a tuturor legilor generale prezentate.

Daca se aplica legea circuitului magnetic (V) unui contur  care se reduce în cele din urma la un punct, lasând o suprafata S finita (fig. 1.4-2), care devine o suprafata închisa , se stabilesc urmatoarele limite

Fig. 1.4-2. Suprafata si contur pentru stabilirea legii conservarii sarcinii electrice din legea circuitului magnetic.

(1.4-1)

si, tinând seama de legea fluxului electric ( = q) rezulta legea conservarii sarcinii electrice i + dq/dt = 0, ca o consecinta a legii circuitului magnetic.

Este posibil sa se pastreze conservarea sarcinii electrice ca lege, atunci legile fluxului electric si fluxului magnetic devin teoreme. Intr-adevar, aplicând legea circuitului magnetic si legea inductiei electromagnetice pe suprafata definita anterior (al carei contur de sprijin se va reduce la un punct, fig. 1.4-1) se obtin relatiile

(1.4-2)

Ţinând seama de legea conservarii sarcinii electrice si integrând expresiile, se stabilesc relatiile

Conditiile de coerenta interna a teoriei, ca si constatarea de natura experimentala ca prin mijloace adecvate se poate anula câmpul electromagnetic într-o regiune oarecare din spatiu, impun ca cele doua constante sa fie nule. Astfel rezulta teorema fluxului electric si teorema fluxului magnetic.

În lucrarea de fata, ca si în multe altele, datorita importantei practice deosebite a celor trei legi implicate se trece peste aceasta redondanta si se pastreaza sistemul legilor sub forma enuntata anterior, cu 12 legi.

d) Mai trebuie adaugata conditia ca legile sa fie verificate de experienta (criteriul de adevar), desi aceasta conditie nu este necesara din punctul de vedere axiomatic, însa este esentiala pentru aplicatiile practice. Din acest punct de vedere legile teoriei Maxwell-Hertz au fost verificate experimental, fiind confirmate aproape toate

consecintele lor. Exceptie fac unele experiente cu corpuri polarizate aflate în miscare (Roentgen si Eichenwald) sau cu corpuri care se misca la viteze foarte mari. Aceste cazuri sunt explicate complet de teoria relativista a câmpului electromagnetic (Minkowski, Einstein), care însa implica redefinirea unor concepte fundamentale si se aplica numai sistemelor inertiale.

Limitarile introduse de "deficientele" electrodinamicii Maxwell-Hertz prezinta o importanta redusa pentru practica inginereasca, fapt pentru care aceasta electrodinamica sta la baza tuturor metodelor ingineresti.

1.5. Ecuatiile lui Maxwell si Maxwell-Hertz

Câmpul electromagnetic poate fi studiat sistematic cu ajutorul formelor locale ale legilor. Se numesc ecuatiile lui Maxwell ecuatiile cu derivate partiale care reprezinta formele locale ale legilor generale ale câmpului electromagnetic în medii imobile (viteza locala  ) si în domenii de continuitate si netezime a proprietatilor fizice locale. În scriere vectoriala aceste ecuatii sunt:

(1.5-1)

(1.5-2)

(1.5-3)

(1.5-4)

Ecuatiile lui Maxwell se completeaza cu relatiile

dintre   si dintre   (legile III, IV, VII, VIII si X), care în medii liniare sunt relatiile constitutive

(1.5-5)

(1.5-6)

(1.5-7)

Rezolvarea sistemului de ecuatii (1.5-1)...(1.5-7) este posibila în

principiu, daca se dau , , sursele  si  , conditiile pe frontiera domeniului în care se determina câmpul (componenta tangetiala a lui  ) si conditiile initiale (teorema unicitatii ecuatiilor câmpului electromagnetic); la suprafete de discontinuitate a proprietatilor de material se tine seama de conditiile de trecere, formulate în capitolele anterioare.

Observatie. Ecuatiile Maxwell-Hertz, pentru corpuri în miscare, se obtin înlocuind în primele doua ecuatii derivata partiala în raport cu timpul prin derivata de flux

(1.5-8)

1.6. Unda electromagnetica plana

O consecinta importanta a ecuatiilor lui Maxwell este existenta câmpului electromagnetic "desprins" de corpuri sub forma undelor electromagnetice. Existenta acestor unde este determinata de o legatura dubla între câmpul electric si câmpul magnetic (prin legea inductiei electromagnetice si legea circuitului magnetic), care nu este mijlocita de corpuri.

Pentru a pune în evidenta unele proprietati ale undelor electromagnetice se va studia cel mai simplu caz, al unei unde electromagnetice plane, în care marimile dintr-un plan depind numai de o coordonata de-a lungul unei drepte perpendiculare pe plan si de timp. Se alege planul perpendicular pe axa Ox, iar directia axei va fi numitadirectie de propagare. Marimile de stare ale câmpului vor fi

(1.6-

1)

O unda electromagnetica plana exista (practic) la distante suficient de mari de orice sursa de câmp electromagnetic, într-un mediu liniar, izotrop, omogen si imobil. Fie  permitivitatea si µ permeabilitatea mediului. Se cauta solutiile variabile în timp ale ecuatiilor lui Maxwell, în ipoteza (1.6-1), considerând ca in mediu nu exista nici sarcini electrice (v = 0), nici curenti de conductie ( ). In aceste conditii, tinând seama ca derivatele spatiale în raport cu y si z sunt nule, ecuatiile componentelor marimilor de stare devin

(1.6-2)

(1.6-2)

(1.6-3)

Din aceste ecuatii rezulta doua consecinte importante:

a) Unda electromagnetica plana este transversala, adica nu are componente variabile în directia de propagare: Ex = const1, Hx =

const2. Componentele variabile în timp ale vectorilor   se afla în plane transversale fata de directia de propagare.

b) Sistemele de ecuatii ramase (1.6-2) si (1.6-3) se pot grupa în doua perechi de ecuatii: una se refera numai la Ey si Hz, iar cealalta numai la Ez si Hy. Cele doua perechi si nu sunt legate prin nici un fel de relatii, deci sunt independente între ele. Exista deci cel putin doua unde suprapuse care nu se influenteaza reciproc.

O unda formata dintr-o asemenea pereche se spune ca este polarizata liniar. Deci o unda electromagnetica plana provine din suprapunerea a doua unde cu polarizari liniare, dupa directii ortogonale, care sunt independente între ele.

Ultima observatie permite restrângerea studiului la una dintre aceste unde: perechea , adica se presupune Ez = 0 si Hy = 0. Vectorii

câmpului   sunt perpendiculari între ei si ambii sunt perpendiculari pe directia de propagare (figura 10.1-1).

Sistemul de ecuatii ramas este

(1.6-5)

Fig. 1.6-1. Notatii pentru unda electromagnetica plana.

Eliminând câte una dintre functiunile Ey si Hz, se obtin ecuatiile de ordinul doi

(1.6-6)

(1.6-7)

care sunt de tipul numit ecuatia undelor.

Din teoria ecuatiilor cu derivate partiale se stie ca ecuatia undelor are solutia sub forma unei functiuni arbitrare f de argument

(1.6-8)

adica are forma

(1.6-9)

În aceasta expresie v este o constanta ale carei valori posibile se determina substituind solutia în ecuatia de ordinul doi. Cu regulile de derivare cunoscute rezulta succesiv

adica se obtine ecuatia

(1.6-10)

Ecuatia este satisfacuta daca

(1.6-11)

Semnificatia fizica a constantei v se poate stabili astfel. Se scade si se aduna la argumentul  marimea t. Se obtine

(1.6-12)

Din aceasta identitate se observa ca valoarea functiunii f depinde de timp si de punct astfel încât în punctul x la momentul t are valoarea pe care o avea în punctul x-vtla momentul t-t.  Deci repartitia spatiala a functiunii se deplaseaza în lungul axei Ox cu viteza v, numita viteza de faza a undei. Aceasta este viteza pe care trebuie sa o aiba un observator, pentru ca în raport cu el repartitia spatiala sa apara invariabila.

  Exista doua valori ale vitezei de faza, egale si de semn contrar, care arata ca pot exista doua unde, care se deplaseaza în sensuri opuse de-a lungul axei Ox: unda directa se deplaseza în sensul crescator al axei Ox (v > 0), si unda inversa - în sensul descrescator al axei (v < 0).

Observatie. Fiecare dintre aceste unde exista numai daca, undeva, departe, în partea din care "vine" unda, a existat o sursa de radiatie electromagnetica.

Mai departe se va studia numai unda directa si se va nota cu c simbolul vitezei v si cu c0 - viteza în vid a undelor electromagnetice (viteza luminii)

(1.6-13)

Cu aceasta notatie unda directa pentru intensitatea câmpului electric are expresia

(1.6-14)

în care f este o functie arbitrara, de exemplu de forma

(1.6-15)

în cazul unei variatii sinusoidale în timp într-un punct dat.

Cunoscând intensitatea câmpului electric, se poate calcula intensitatea câmpului magnetic:

iar apoi prin integrare

(1.6-16)

Constanta de integrare se poate considera nula, întrucât se cauta numai solutiile variabile în timp. Se noteaza cu

(1.6-17)

o marime caracteristica a mediului, numita impedanta de unda, care în vid are valoarea

(1.6-18)

este o constanta universala, numita impedanta de unda a vidului. Cu aceasta notatie, intensitatea câmpului magnetic se scrie

(1.6-19)

adica în fiecare punct din spatiu este proportionala si în faza cu intensitatea câmpului electric (E [V/m], H [A/m]  E/H []).

Expresia (1.6-19) rezolva complet problema determinarii marimilor de stare ale câmpului electromagnetic în unda plana.

Concluzii referitoare la undele electromagnetice plane.

a) În medii omogene, izotrope, liniare (,µ constante), imobile ( ), neîncarcate (v = 0), izolante ( ) si indefinit extinse, solutiile ecuatiilor lui Maxwell care depind de o singura coordonata spatiala x de-a lungul unei axe Ox, sunt suprapuneri de unde plane elementare, care se propaga cu vitezele de faza constante ±c de-a lungul axei.

Unda plana se compune din cel mult patru unde elementare, care difera fie prin directia de propagare, fie prin directia de polarizare liniara.

b) În fiecare unda elementara, vectorii   sunt perpendiculari între

ei si perpendiculari pe directia de propagare; vectorii    formeaza un triedru ortogonal drept, adica produsul vectorial   are directia de propagare.

c) Variatia în timp a marimilor   este arbitrara si este determinata de conditiile de producere a undei. In fiecare punct al undei

elementare si în fiecare moment, valorile   sunt proportionale, raportul lor fiind impedanta de unda a mediului.