1

ÎNFĂŞURĂRILE MAŞINILOR DE CURENT ALTERNATIV

Înfăşurările maşinilor de curent alternativ sunt ceva mai simple decât ale celor de curent continuu, însă repatiţia inducţiei în întrefier este mai complexă, întrucât variază atât în timp cât şi în spaţiu. Pentru a uşura înţelegerea construcţiei şi a fenomenelor, se va porni cu prezentarea cazului înfăşurării monofazate şi apoi se va trece la cele trifazate, care sunt cel mai frecvent întâlnite. 1. ÎNFĂŞURĂRI MONOFAZATE ŞI CÂMPURILE MAGNETICE CORESPUNZĂTOARE Se va porni şi în cazul înfăşurărilor monofazate de la situaţiile cele mai simple şi se vor avea în vedere numai înfăşurările cu pas diametral, la care deschiderea unei bobine este egală cu pasul polar.

1.1. Înfăşurare monofazată cu 2 poli şi o crestătură pe pol Considerăm o maşină care are practicate două crestături la periferia interioară a

statorului, în care se plasează o bobină cu Nq spire, alimentată în curent alternativ. În fig.1 se indică o secţiune transversală prin maşină, cu marcarea liniilor de câmp şi schema desfăşurată a înfăşurării.

Fig. 1 Deoarece întrefierul are o grosime mică, se poate considera că inducţia magnetică

este constantă în lungul razei la un moment dat. De asemenea, întrucât permeabilitatea magnetică a fierului este mult mai mare decât a aerului, se pot neglija căderile de tensiune magnetomotoare în fier şi ca atare, se poate considera aceeaşi tensiune magnetomotoare (t.m.m.) pe toată lungimea întrefierului (abstracţie făcând de semn). Câmpul magnetic creat are la un anumit moment un pol nord şi unul sud în lungul axei de referinţă (longitudinale) şi se anulează în dreptul axei neutre. Se observă că de o parte şi de alta a acestei axe (care trece prin cele două spire), liniile de câmp au sensuri contrare, deci

2

t.m.m. îşi schimbă semnul în dreptul acestei axe, adică la unghiul π/2 faţă de axa de referinţă. În baza presupunerilor făcute, se poate considera ca t.m.m. v(α,t) are la momentul t forma din fig.2

Fig. 2

Să reţinem că t.m.m. creată de curentul alternativ variază în timp, fiind de forma ( ) ,cos2

21cos, tINtVtv qm ωωω ±=±=

în care am notat:

221 INV qm = .

Semnul + este rezervat pentru tensiunea magnetică v în lungul razei în zona polului nord, semnul – pentru polul sud. În relaţiile anterioare, I este valoare efectivă a curentului, iar ω este pulsaţia acestuia. Deci “înălţimea” dreptunghiului din fig. 2 este funcţie de timp după o lege similară cu curentul i din spirele înfăşurării. Există deci momente când câmpul este pretutindeni nul şi momente când polaritatea polului nord se schimbă, devenind sud şi invers.

Inducţia magnetică B(α,t) într-un punct oarecare caracterizat prin coordonata α, la momentul t, se determină ca:

( ) ( )( ) ( ) .cos

22,, 0

0 tINtvtB q ωαδ

µ

αδα

µα ±==

Pentru δ(α) = const., variaţia inducţiei magnetice la periferia interioară a statorului la un moment dat repetă variaţia dreptunghiulară a tensiunii magnetice dintre stator şi rotor în lungul razei. Dacă δ(α) variază periodic, atunci variaţia în spaţiu a inducţiei magnetice este mai complicată.

Există mai multe motive pentru care se preferă ca o maşină electrică să funcţioneze cu o repartiţie spaţială sinusoidală a inducţiei magnetice în întrefier. După cum se constată, în cazul analizat, forma undei t.m.m. şi respectiv a inducţiei este destul de depărtată de cea dorită. Pentru a avea o imagine a apropierii repartiţiei inducţiei în întrefier de forma ideală, în teoria maşinilor electrice se preferă a se descompune unda dreptunghiulară în spaţiu a tensiunii magnetice în armonice, conform descompunerii în serie Fourier. Dat fiind că funcţia v (α,t) îndeplineşte condiţia v (α,t0) = - v (α + πt0), rezultă că dezvoltarea în serie Fourier nu conţine armonici pare. Cum faţă de originea de referinţă aleasă, tensiunea magnetică se bucură şi de proprietatea v (α,t0) = v (- α,t0), rezultă că descompunerea în serie conţine numai termeni cosinusoidali (fig.3). Deci :

( ) ( ) ( ) αωα vtVtv vm

v

vcoscos1,

,3,2,12

1

∑∞

=

−−=…

3

Amplitudinea ( ) tcosV vm ω a armonicei ν de spaţiu a tensiunii magnetice în funcţie de înălţimea Vm cos ωt

a dreptunghiului rezultă din aplicarea teoriei seriilor Fourier:

( ) ( ) αααπ

ωπ

dvtvtV vm cos,1cos

2

0∫= ,

de unde rezultă: ( )

mv

m Vv

Vπ4

=

Fig. 3

Reţinem deci că armonica fundamentală de spaţiu a tensiunii magnetice are la un moment dat t o

amplitudine de π4

ori mai mare decât “înălţimea”dreptunghiului. Armonica de ordinul 3 are la un moment

dat o amplitudine de trei ori mai mică decât amplitudinea fundamentală. Pe măsură ce ordinul armonicii creşte, scade şi amplitudinea pentru un moment t dat. Dacă din dezvoltarea în serie Fourier reţineam numai primul termen, atunci:

( ) ( ) ( ) ωωα coscos, 11 tVtv m= în care:

( )ππ

2241 INVV q

mm ==

Modul cum variază în timp şi spaţiu tensiunea magnetică de felul celei de mai sus este redat în figura 4.

Fig. 4 Există deci puncte la periferia interioară a statorului pentru care tensiunea

magnetică în lungul razei dintre stator şi rotor este în permanenţă nulă. În celelalte puncte, tensiunea magnetică variază sinusoidal în timp, cu amplitudinea variabilă de la punct la punct. O asemenea variaţie în timp şi spaţiu este analogă undelor staţionare din acustică sau electrodinamică. O asemenea tensiune magnetică poartă numele de tensiune magnetică sinusoidală în timp şi spaţiu. Dacă δ(α) = const., atunci inducţia magnetică armonică fundamentală va fi:

4

( ) ( ) ( ) ωωα coscos, 11 tBtB m= în care:

( )πδ

µ 22 01 INB q

m = .

1.2. Înfăşurare monofazată cu 2p poli şi o crestătură pe pol

Foarte multe maşini electrice de curent alternativ posedă înfăşurări pentru mai

multe perechi de poli. În figura 5,a, b, este reprezentată o asemenea înfăşurare pentru 2p = 4poli.

Fig. 5 În acest caz, înfăşurarea poate poseda pentru fiecare pereche de poli câte o bobină

cu Nq spire, ale cărei laturi sunt plasate în crestături distanţate la periferia interioară a

statorului cu un pas polar 4D

p2D π=

π=τ . Bobinele tuturor perechilor de poli se leagă în

serie aşa cum se indică în figura 5,b. O asemenea înfăşurare poartă numele de înfăşurare monofazată într-un strat, fiindcă în fiecare crestătură se găseşte o singură latură de bobină.

Se poate realiza o înfăşurare perfect analogă în privinţa câmpului magnetic pe care-l produce, dar diferită ca legături. Înfăşurarea este plasată tot în 4 crestături, dar are 4 bobine în serie, fiecare cu Nq/2 spire parcurse de curentul i în acelaşi sens (fig.5,c). În fiecare crestătură se află însă 2 laturi de bobină. O astfel de înfăşurare poartă numele de înfăşurare în două straturi. În cazul înfăşurării într-un strat ca şi cel al înfăşurării în 2 straturi numărul total de spire în serie este w = pNq. Câmpul magnetic al uneia din înfăşurările prezentate mai sus la un moment dat, când sensul curentului i prin laturile de bobină coincide cu cel indicat în fig.5,a, este indicat în aceeaşi figură, prin liniile vectorului inducţie magnetică. Se observă că s-au format 2 poli nord şi 2 poli sud, cei patru poli alterând ca polaritate la periferia interioară a statorului. Similar cazului prezentat la punctul 1.1, t.m.m. dintre stator şi rotor în lungul razei variază, la un moment dat t, după o lege dreptunghiulară în funcţie de coordonata α considerată de la axa de simetrie a unei bobine a înfăşurării (fig.6). “Înălţimea”

5

dreptunghiului la un moment dat t, când curentul care străbate înfăşurarea este tcos2Ii ω= , are următoarea expresie:

tINtV qm ωω cos221cos =

Dacă se descompune unda dreptunghiulară în spaţiu a tensiunii magnetice în serie Fourier, atunci armonica fundamentală va avea expresia:

( ) ( ) ( ) ωωα ptVtv m coscos, 11 = în care:

( )ππ

2241 INVV q

mm ==

Fig. 6 Expresia de mai sus a armonicei fundamentale se verifică imediat pentru

înfăşurarea considerată. Într-adevăr, atunci când parcurgem o singură dată periferia interioară a statorului şi unghiul geometric αvariază de la 0 la 2π, unda tensiunii magnetice dintre stator şi rotor înregistrează p perioade întregi (două în cazul fig. a), iar argumentul cosinusoidei care redă variaţia aceasta variază între 0 şi p2π. Cu alte cuvinte, tensiunea magnetică prezintă o alternanţă întreagă pentru fiecare pol la periferia interioară a statorului.

Reţinem acest fapt, care uşurează prezentarea şi studiul maşinilor de curent alternativ cu mai multe perechi de poli: la o variaţie ∆α a unghiului geometric la periferia interioară corespunde pentru armonica fundamentală a tensiunii magnetice o variaţie a argumentului p∆α. Cum argumentul cosinusoidei armonicei fundamentale este denumit uneori unghi electric, rezultă relaţia următoare:

unghiul electric = p x unghi geometric Dezvoltarea completă în serie Fourier a tensiunii magnetice în cazul înfăşurării monofazate cu 2p

poli, pas diametral şi q = 1, adică o crestătură de fiecare pol, va fi:

( ) ( ) αωπ

α vptv

Vtv m

qv

vcoscos

41,

2

,3,2,1

−∞

=∑ −=

….

Evident, conform celor demonstrate mai sus, pentru armonica de ordinal v, la o variaţie ∆α a unghiului geometric la periferia interioară a statorului, variaţia corespunzătoare a argumentului cosinusoidei care exprimă analitic acea armonică va fi vp∆α, adică:

unghiul electric = vp X unghi geometric. Dacă întrefierul este constant, putem trece cu uşurinţă de la tensiunea magnetică

dintre stator şi rotor la inducţia magnetică. Astfel, pentru armonica fundamentală (v = 1): ( ) ( ) ( ) αωα ptBtB m coscos, 11 =

6

în care:

( )πδ

µ 22 01 INB q

m = .

Reţinem, de asemenea, un fapt important: câmpul magnetic al unei înfăşurări nu depinde decât de numărul de spire, de sensul şi valoarea curentului din spirele înfăşurării şi de poziţia relativă a crestăturilor care conţin bobinele înfăşurării şi nu de felul cum sunt realizate legăturile exterioare sau de numărul de starturi ale înfăşurării. 1.3. Înfăşurare monofazată cu 2p poli şi q crestături pe pol

Fig. 7

În cele mai multe maşini electrice de curent alternativ, spirele înfăşurărilor monofazate în loc de a fi plasate într-o singură pereche de crestături pentru o pereche de poli sunt repartizate în mai multe perechi de crestături (fig.7,a). Fie q > 1 numărul de crestături corespunzătoare unui pol. În figura 7,a, care se referă la o maşină cu 2p = 4 poli, q = 3. În total, deci, maşina are Q = 2pq = 4x3 = 12 crestături. Numărul total de spire în serie ale înfăşurării va fi, deci, w = pqNq. Înfăşurarea poate fi realizată într-un singur strat figura 7,b cu bobine de deschidere egală y = τ, sau într-un singur strat, dar cu bobine de deschidere inegală, în medie însă tot y = τ (figura 7,c). De asemenea înfăşurarea se poate executa şi în două straturi (fig.7,d). Înfăşurările de mai sus produc acelaşi câmp magnetic în întrefier, fiindcă toate sunt străbătute de acelaşi curent monofazat, ocupă aceleaşi crestături la periferia interioară a statorului, au acelaşi număr de conductoare în crestătură, iar legăturile exterioare între diferitele bobine, deşi diferite, asigură acelaşi sens de curent în conductoarele diferitelor crestături. Liniile de inducţie ale câmpului magnetic produs de o înfăşurare oarecare din cele de mai sus sunt arătate în figura 7, a. Să studiem acest câmp pe baza cunoştinţelor de până acum. Putem presupune că acest câmp magnetic este rezultatul suprapunerii celor q = 3 câmpuri magnetice produse fiecare, respectiv de ansamblurile de crestături a a’a’ a’’’, bb’b’’b’’’, cc’c’’c’’’.

7

Fig. 8

Ansamblul de crestături aa’a’’a’’’ produce o tensiune magnetică va, care la un moment dat t are o variaţie dreptunghiulară (fig.8) exact ca înfăşurarea prezentată la punctul 1.2. În mod cu totul analog, ansamblul de crestături bb’b’’b’’’ produce o tensiune magnetică vb, între stator şi rotor, care, în momentul considerat t, are o variaţie dreptunghiulară la periferia interioară a statorului, dreptunghiurile fiind de aceeaşi înălţime cu aceea a dreptunghiului tensiunii magnetice va (fig.8). În schimb, dreptunghiurile tensiunii vb, sunt declarate în spaţiu faţă de dreptunghiurile tensiunii va. Dacă γ este unghiul geometric dintre două crestături vecine aparţinând respectiv ansamblurilor a a’a’ a’’’ şi bb’b’’b’’’, atunci, conform regulii cunoscute (unghi electric = p x unghi geometric), decalajul dintre dreptunghiurile tensiunii magnetice vb şi dreptunghiurile tensiunii va va fi pγ. În mod analog, ansamblul de crestături cc’c’’c’’’ va produce o tensiune magnetică vc , tot dreptunghiulară în spaţiu, dar decalată cu unghiul pγ faţă de tensiunea magnetică vb (v. fig.8). Evident:

22IN

VVV qcmbmam === .

Tensiunea magnetică rezultată produsă de cele q = 3 ansambluri se determină prin însumarea tensiunilor magnetice parţiale va, vb, vc (fig.8 - curba îngroşată). După cum se remarcă imediat, la un moment dat, tensiunea magnetică variază la periferia interioară a statorului în trepte, având o formă mult mai apropiată de sinusoidă decât dreptunghiurile realizate prin înfăşurări cu q = 1. Acest lucru înseamnă că armonicele superioare de spaţiu ale tensiunii magnetice rezultate dintre stator şi rotor vor fi mai mici decât în cazul când înfăşurarea ar fi repartizată într-o singură pereche de crestături pe fiecare pereche de poli. Acest rezultat este deosebit de important, fiindcă armonicele spaţiale ale câmpului magnetic au influenţe dăunătoare asupra funcţionării maşinilor de curent alternativ. În continuare, vom apela din nou la descompunerea în serie Fourier a tensiunilor magnetice parţiale va, vb, vc produse la fiecare din cele q = 3 ansambluri de crestături. Să considerăm mai întâi armonicele fundamentale de spaţiu ale tensiunilor parţiale. Ele au aceeaşi amplitudine:

( )π

221 INV q

am =

8

şi sunt decalate în spaţiu cu unghiul pγ (fig.9).

Fig. 9 Fig. 10

Dacă sumăm într-o diagramă de fazori cei q = 3 fazori ( ) ( ) ( )111cmbmam VVV ==

ai armonicelor fundamentale în spaţiu ale tensiunilor parţiale cu decalaje respective (fig. 10), putem determina uşor fazorul ( )1

mV al armonicii fundamentale a tensiunii magnetice rezultate, conform relaţiei:

( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1m am bm cmV V V V= + +

Deoarece unghiul geometric γ este totdeauna submultiplu de π din motive tehnologice, rezultă că fazorii ( ) ( ) ( )111

cmbmam VVV == puşi cap la cap reprezintă din punct de vedere geometric o parte a unui poligon regulat. Fie O centrul cercului circumscris poligonului respectiv şi A, B, C, vârfurile poligonului (fig.10). Fazorul rezultat ( )1

mV

reprezintă o coardă AD a cercului circumscris. Mărimea fazorului ( )1mV se poate obţine

calculând raza OA atât din triunghiul isoscel OAB cât şi din triunghiul isoscel OAD: ( ) ( )

2sin/

21

2sin/

21 11 γγ pqVpVOA amam ==

de unde:

( ) ( ) ( ) ( )1111

2sin

2sin

qamamm kqVpq

pq

qVV ==γ

γ

în care:

( )

2sin

2sin

1

γ

γ

pq

pq

kq = .

Aşadar, armonica fundamentală a tensiunii magnetice rezultate are la un moment dat o amplitudine ( ) tV m ωcos1 mai mică decât suma amplitudinilor armonicelor

fundamentale parţiale. Coeficientul ( )1qk - denumit coeficient de repartizare – care este

9

totdeauna subunitar, arată în ce măsură se micşorează tensiunea magnetică dintre stator şi rotor (armonică fundamentală) la un moment dat, prin faptul că în loc de a se concentra toate spirele înfăşurării monofazate într-o singură crestătură pe pol, se repartizează aceste spire în mai multe crestături mai mici, pentru fiecare pol.

Armonica fundamentală a tensiuni magnetice rezultate are deci următoarea expresie analitică:

( ) ( ) ( )( )

αωπ

αωα ptpI

ptVtv qm coscos

22coscos,

111 == ,

originea de referinţă a coordonatei α fiind axa de simetrie din figura 7,a. În ceea ce priveşte armonica de spaţiu de ordinal v a tensiunii magnetice rezultate, cele precizate

mai sus se aplică întocmai, numai că diferiţi fazori ( ) ( ) ( )vcm

vbm

vam VVV == sunt declaraţi cu un unghi vpγ (se

ştie că pentru armonica de ordinal v se aplică următoarea regulă: unghiul electric = vp x unghi geometric, v. punctul 1.2). Deci:

( ) ( ) ( )vq

vam

vm kqVV =

în care:

( )

2sin

2sin

γ

γ

vpq

vpq

k vq =

Relaţiile de mai sus permit calcularea amplitudinilor armonicelor de diferite ordine, respectiv ai coeficienţilor de repartizare ( )v

qk . Se constată o sensibilă diminuare a acestor amplitudini. De exemplu, pentru q=1, armonica de ordinul 5 reprezintă circa 20% din amplitudinea fundamentalei, în timp ce pentru q=3, ea reprezintă doar 4,3% din amplitudinea fundamentalei. Totodată, se produce şi o diminuare a amplitudinii armonice fundamentale, dar într-o proporţie neînsemnată, de 4 – 5%. De asemenea, se poate constata că pentru q>5 nu se mai înregistrează o scădere sensibilă a amplitudinilor armonicelor şi, ca atare, este lipsită de interes creşterea exagerată a numărului de crestături pe pol. Studiind repartiţia câmpului magnetic în cazul înfăşurărilor cu pas scurtat, se constată că acestea permit o diminuare şi mai accentuată a armonicelor. De exemplu, pentru q=3, se poate ajunge ca armonica de ordin 5 să reprezinte doar 0,75 din fundamentală. În funcţie de deplasarea cu care se scurtează deschiderea bobinei, se poate obţine o diminuare mai pronunţată a armonicelor de ordin 3 şi 5, sau a armonicelor de ordin 3 şi 7. Mai menţionăm că unele construcţii de înfăşurări cu pas scurtat conduc şi la o diminuare a consumului de cupru, prin utilizarea unor bobine de deschidere mai mică. Aceste avantaje fac ca astfel de înfăşurări să fie mult folosite. 2. ÎNFĂŞURĂRI TRIFAZATE Cele mai multe maşini electrice sunt trifazate, având o înfăşurare trifazată simetrică, parcursă de curenţi trifazaţi şi formând astfel un sistem simetric echilibrat. Acest fapt conduce la formarea unui câmp magnetic învârtitor, având o deosebită importanţă în teoria maşinilor electrice de curent alternativ şi a condus la inventarea unor tipuri de maşini de curent alternativ simple şi robuste.

10

Fig. 11

În fig.11,a este schiţat un stator de maşină cu 2p = 2 poli, posedând trei înfăşurări de fază identice ca număr de spire şi ca număr de crestături ocupate, legate în stea sau triunghi şi alimentate de la o reţea trifazată de curent alternativ. Cele trei înfăşurări de fază ocupă fiecare câte o treime din crestăturile armăturilor. Ele sunt decalate la periferia interioară, aşa cum se indică în schema desfăşurată a înfăşurării din fig.11b.Intrările A, B, C şi ieşirile X, Y, Z ale celor trei înfăşurări de fază se fac în câte trei puncte diferite,

arcele dintre aceste puncte fiind p3

2π . De astfel, cele trei înfăşurări sunt identice, dar

decalate la periferia interioară a statorului cu unghiul geometric p3

2π (în cazul fig.11 cu

120°, fiindcă p = 1). Pentru simplitatea figurii s-a presupus că fiecare înfăşurare de fază are q=1 crestături pe pol şi pas diametral. Succesiunea celor trei înfăşurări la periferia statorului este inversă sensului de rotaţie al acelor ceasornicului.

Curenţii prin cele trei înfăşurări de fază sunt:

π

−ω=

π

−ω=

ω=

34tcos2Ii

;3

2tcos2Ii

;tcos2Ii

C

B

A

Ne propunem să calculăm tensiunea magnetică dintre stator şi rotor produsă de ansamblul celor trei înfăşurări de fază, parcurse de curenţii de mai sus. Pentru a stabili calitativ variaţia în timp şi spaţiu a tensiunii magnetice, vom considera cinci momente succesive: ,

64;

63;

62;

6;0t ππππ

=ω suficiente pentru a trage

concluzii, iar pentru a determina tensiunea magnetică rezultată la unul din momentele alese, vom face suprapunerea tensiunilor magnetice produse de înfăşurările de fază, ţinând seamă de valoarea momentană şi de sensul momentan al curenţilor de fază (fig. 12).

11

Fig. 12 În fig.11,a s-a indicat sensul pozitiv ales pentru curenţii de fază în diferitele spire ale înfăşurărilor, iar valoarea şi sensul curenţilor de fază, în fiecare din cele cinci momente considerate, rezultă uşor din fig.12,a

În figurile 12,b,c,d,e,f, fiecare valabilă pentru unul din momentele alese, se prezintă atât tensiunile magnetice parţiale vA, vB, vC , cât şi tensiunea magnetică v rezultată, care este pusă în evidenţă prin haşuri.

În fig.11, axa de referinţă a fost aleasă axa longitudinală a fazei A. Începuturile B şi C ale celorlalte faze sunt plasate de cealaltă parte a acestei axe faţă de începutul A. Ca atare, dacă, de exemplu, curenţii prin fazele A şi B au la un moment dat acelaşi semn, tensiunile magnetice create de aceste două faze într-un acelaşi punct din întrefier, aflat în apropierea acestei axe, au semne contrare, iar dacă curenţii au semne contrare, tensiunile magnetice considerate au acelaşi sens. Astfel, la primul moment (I) considerat în fig.12,a (corespunzând lui ωt=0), curenţii prin fazele B şi C sunt negativi, în timp ce iA>0 şi, ca atare, toate t.m.m. sunt pozitive la α=0 în acest moment. Aceeaşi situaţie se menţine până la α=π/6, adică până în dreptul axei neutre a fazei B, unde vB îşi schimbă sensul (fig.12,b). Mai departe, la α=π/2 se schimbă sensul pentru vA, iar la α=5π/6 se inversează sensul pentru vC ş.a.ş.m.d.

La al II-lea moment considerat (corespunzător lui ωt=π/6) (fig.12,b), iB=0, iar iA şi iC îşi păstrează sensul anterior, dar au altă amplitudine; ca atare, vB=0, iar vA şi vC pastrează sensurile anterioare, dar au alte amplitudini. Pozitiile în care aceste t.m.m. îşi schimbă sensul se păstrează (de altfel, acest lucru este valabil la orice moment de timp, pentru că axele neutre ale fazelor rămân neschimbate înspaţiu). Pentru α=0, t.m.m. din fazele A şi C se adună; ele se scad începând de la α=π/2 şi din nou se adună (dar cu semn negativ) începând cu α=5π/6 ş.a.ş.m.d.

Funcţionări similare se petrec şi la celelalte momente considerate în fig. 12,a (momentele III, IV, V) şi reprezentate în fig.12,d,e,f. Bineînţeles, aspectele discutate sunt valabile în oricare moment de timp t şi nu neapărat în cele considerate în figură.

12

O primă remarcă în legătură cu tensiunea magnetică rezultată este următoarea: privită în diferite momente successive, tensiunea magnetică v pare a se deplasa la periferia interioară a statorului, în sensul succesiunii în spaţiu a înfăşurărilor A, B, C, de fază, prezentând şi o oarecare variaţie de formă. Tensiunea magnetică v este deci o tensiune magnetică învârtitoare.

O a doua remarcă se referă la forma mult mai apropiată de o sinusoidă a tensiunii magnetice v rezultată decât a tensiunilor magnetice de fază vA, vB, vC. Acest lucru reprezintă un avantaj important şi înseamnă că în seria Fourier a tensiunii magnetice v, anumite armonice superioare au fost înăbuşite.

Tensiunea magnetică v este aceaşi fie că rotorul maşinii are o astfel de formă încât

întrefierul este constant, fie altă formă, dar ( )

+=

pπ

αδαδ .

În continuare, vom încerca să deducem expresia analitică a tensiunii magnetice v. Ne vom referi mai întâi la armonica sa fundamentală v(1).

Tensiunea magnetică armonică fundamentală ( )1Av a înfăşurării A de fază, dacă

originea de spaţiu coincide cu axa de simetrie a fazei A (fig.11), va fi: ( ) ( ) ( ) αωα ptVtv mA coscos, 11 = ,

în care:

( )( ) ( )

πpIkwk

V sqm

22 111 =

Tensiunea magnetică armonică ( )1Bv a înfăşurării B, ţinând seama de decalajul

geometric în spaţiu de p3

2π al înfăşurării B în raport cu înfăşurarea A şi de defazajul de

p32π în timp al curentului iB în raport cu curentul iA, va fi:

( ) ( ) ( )

( ) .3

2cos3

2cos

32cos

32cos,

1

11

−

−

=

−

−=

πα

πω

πα

πωα

ptV

ptVtv

m

mB

În sfârşit, tensiunea magnetică armonică fundamentală ( )1cv a înfăşurări C de fază are

următoarea expresie : ( ) ( ) ( ) ( )1111

CBA VVVV ++= Pentru efectuarea sumei, vom exprima tensiunile magnetice ( ) ( ) ( )111

CBA VVV ++ sub altă formă, pe baza unei identităţi trigonometrice cunoscute:

13

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

−++−=

−++−=

++−=

38coscos

21

;3

4coscos21

;coscos21

11

11

11

παωαω

παωαω

αωαω

ptptVv

ptptVv

ptptVv

mC

mB

mA

Cum

( ) 03

8cos3

4coscos =

−++

−++−

παω

παωαω ptptpt

indiferent de valoarea variabilelor α şi t, rezultă: ( ) ( ) ( ) ( )αωα ptVtv m −= cos

23, 11

Aceasta este expresia analitică a unei tensiuni magnetice învârtitoare. Ea se deosebeşte de tensiunea magnetică a unei înfăşurări monofazate, prezentate la punctul 1.1 (a se vedea şi fig.4), care este sinusoidală în timp şi în spaţiu. În adevăr, t.m.m. are valoare maximă atunci când ωt=pα. Deci, la fiecare moment t, t.m.m. este maximă pe altă direcţie α. Este ca şi cum la fiecare moment de timp avem o altă orientare a câmpului magnetic. Aşadar, o armătură imobilă care este prevăzută cu o înfăşurare trifazată simetrică parcursă de curenţi trifazaţi echilibraţi produce o tensiune magnetică armonică fundamentală învârtitoare.

Iată câteva din proprietăţile acestei tensiuni magnetice armonice fundamentale învârtitoare : a) Amplitudinea tensiunii magnetice rezultante armonică fundamentală reprezintă 3/2 din amplitudinea tensiunilor magnetice armonică fundamentală produsă de înfăşurările de fază. b) Viteza unghiulară de rotaţie Ω a tensiunii magnetice învârtitoare v(1) este funcţie numai de pulsaţia ω a curenţilor de fază şi de numărul p de perechi de poli ai înfăşurărilor de fază.

Într-adevăr, să presupunem că la un moment dat t în punctul α la periferia interioară a statorului tensiunea magnetică are valoarea v(1):

( ) ( ) ( ) ( )αωα ptVtv m −= cos23, 11

După un interval de timp ∆t, aceeaşi valoare v(1) a tensiunii magnetice o regăsim la punctual α + ∆α, adică:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )αωααω ptVpttV mm −=∆+−∆+ cos23cos

23 11

Prin urmare, se impune ca: ( ) ( ) αωααω ptptt −=∆+−∆+ ,

de unde rezulta viteza unghiulara:

ptωα

=∆∆

=Ω .

14

Cu cât frecvenţa f şi deci şi pulsaţia ω = 2πf a curenţilor din înfăşurările de fază vor fi mai mari, cu atât tensiunea magnetică învârtitoare va avea o viteza unghiulară Ω mai mare. Cu cât numărul de poli va fi mai mic, cu atât tensiunea magnetică învârtitoare ,,se va roti" mai repede la periferia interioară a statorului. Ultima relaţie se poate transforma punând în evidenţă viteza de rotaţie n şi frecvenţa f. Cum Ω = 2πn, iar ω = 2πf, rezultă :

pfn =

Dacă frecvenţa f are chiar valoarea industrială, f = 50 Hz, atunci viteza de rotaţie a tensiunii magnetice învârtitoare, exprimată de data aceasta în rotaţii pe minut, va fi dată de relaţia :

pn 3000=

Se remarcă faptul că viteza tensiunii magnetice învârtitoare, denumită uneori viteza de sincronism, nu poate varia decât în trepte, funcţie de numărul p de perechi de poli ai înfăşurării trifazate, în cazul maşinilor de curent alternativ conectate la reţeaua electrică industrială. În plus, viteza n de rotaţie nu poate fi în acest caz mai mare de 3 000 rot/min (p =1). Acest lucru constituie un dezavantaj al maşinilor de curent alternativ bazate pe câmpuri învârtitoare. Vitezele de sincronism pentru diverse valori ale lui p şi pentru f=50 Hz se pot calcula uşor cu relaţia de mai sus. De exemplu, n=3000 rot/min pentru p=1, n=1500 rot/min pentru p=2, n=1000 rot/min pentru p=3 etc. c) Tensiunea magnetică învârtitoare armonică. fundamentală a unei faze se suprapune perfect peste tensiunea magnetică sinusoidală în timp şi spaţiu armonică fundamentală a unei faze în momentul în care în faza respectivă curentul trece prin valoarea maximă pozitivă. Acest lucru este evidenţiat chiar în seria de figuri 12,b,c,d,e,f. Se poate demonstra şi pe cale analitică proprietatea enunţată mai sus, care este deseori aplicată în studiul acestor maşini. d) Sensul de rotaţie al tensiunii magnetice învârtitoare coincide cu sensul fazelor la periferia interioară a statorului. Proprietatea rezultă din proprietatea (b) unde s-a obţinut o valoare pozitivă pentru Ω, adică rotaţia se face în sensul creşterii coordonatei α, care este corelată cu sensul succesiunii fazelor. De aici rezultă că inversarea sensului de rotaţie a câmpului învârtitor se poate obţine prin inversarea succesiunii fazelor, ceea ce se obţine prin inversarea între ele a două dintre legături la reţeaua de alimentare a înfăşurărilor de fază. Ca şi în cazul înfăşurărilor monofazate, se pot stabili armonicele tensiunii magnetice. Menţionăm aici doar câteva aspecte mai importante care rezultă în urma unui astfel de studiu: - t.m.m. este nulă pentru armonicele 3,9,15,...; acest fapt este deosebit de important mai ales în privinţa armonicei de ordinul 3, care – în alte cazuri – este cea mi importantă ca mărime; - t.m.m. de ordin 5,11,17,... sunt tot învârtitoare, dar cu sens de rotaţie invers faţă de fundamentală, în timp ce t.m.m. de ordin 7,13,19,...au acelaşi sens de rotaţie cu fundamentala; - viteza de rotaţie unghiulară pentru o armonică este Ω(ν) = ω/νp, deci scade cu cât ordinul armonicii este mai mare.