camp electrostatic

of 25 /25
7 Tema 3 CÂMPUL ELECTROSTATIC A. NOŢIUNEA DE CÂMP FIZIC Noţiunea de câmp fizic s-a impus în fizică începând din a doua jumătate a secolului al XIX-lea, ca noţiune fundamentală pentru explicarea transmiterii interacţiunilor din aproape în aproape şi de la distanţă. Noţiunea de câmp fizic este asociată cu descrierea în fiecare punct a proprietăţilor unei regiuni din spaţiu, proprietăţi determinate de corpurile prezente în regiunea respectivă. Expresiile funcţiilor care descriu în fiecare punct proprietăţile spaţiului, includ în mod obligatoriu mărimi fizice asociate proprietăţilor specifice ale corpurilor sursă de câmp. Indiferent de natura fizică a câmpului, prezenţa acestuia într-un anume punct este detectată prin acţiuni specifice exercitate asupra unui corp plasat în câmp, numit corp de probă. Câmpul fizic există independent de prezenţa corpului de probă iar prezenţa acestuia nu trebuie să perturbe proprietăţile câmpului existent. De obicei, pentru câmpul fizic, se defineşte câte o funcţie vectorială şi una scalară, relaţionate între ele în fiecare punct al câmpului, numite intensitatea câmpului, respectiv potenţialul câmpului. Cunoscând intensitatea câmpului în fiecare punct, se poate determina forţa exercitată de corpul sursă a câmpului asupra oricărui alt corp plasat în orice punct din câmp. Cunoscând potenţialul în fiecare punct, se poate determina energia potenţială corespunzătoare interacţiunii dintre corpul sursă a câmpului şi oricare alt corp plasat în orice punct din câmp. B. INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTROSTATIC Regiunea din spaţiu în care se exercită forţe electrice asupra corpurilor electrizate aflate în repaus sau în mişcare se numeşte câmp electric. Corpul electrizat care generează câmpul este numit sursă a câmpului. Dacă sursa câmpului electric este în repaus, câmpul generat se numeşte câmp electrostatic. Pentru detecţia câmpului electric într- un punct oarecare din spaţiu se utilizează un corp punctiform, încărcat electric, numit corp de probă. + + F

Upload: itmikepitro

Post on 21-Jan-2016

62 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: Camp Electrostatic

7

Tema 3 CÂMPUL ELECTROSTATIC

A. NOŢIUNEA DE CÂMP FIZIC Noţiunea de câmp fizic s-a impus în fizică începând din a doua jumătate a secolului al XIX-lea, ca noţiune fundamentală pentru explicarea transmiterii interacţiunilor din aproape în aproape şi de la distanţă. Noţiunea de câmp fizic este asociată cu descrierea în fiecare punct a proprietăţilor unei regiuni din spaţiu, proprietăţi determinate de corpurile prezente în regiunea respectivă. Expresiile funcţiilor care descriu în fiecare punct proprietăţile spaţiului, includ în mod obligatoriu mărimi fizice asociate proprietăţilor specifice ale corpurilor sursă de câmp. Indiferent de natura fizică a câmpului, prezenţa acestuia într-un anume punct este detectată prin acţiuni specifice exercitate asupra unui corp plasat în câmp, numit corp de probă. Câmpul fizic există independent de prezenţa corpului de probă iar prezenţa acestuia nu trebuie să perturbe proprietăţile câmpului existent. De obicei, pentru câmpul fizic, se defineşte câte o funcţie vectorială şi una scalară, relaţionate între ele în fiecare punct al câmpului, numite intensitatea câmpului, respectiv potenţialul câmpului. Cunoscând intensitatea câmpului în fiecare punct, se poate determina forţa exercitată de corpul sursă a câmpului asupra oricărui alt corp plasat în orice punct din câmp. Cunoscând potenţialul în fiecare punct, se poate determina energia potenţială corespunzătoare interacţiunii dintre corpul sursă a câmpului şi oricare alt corp plasat în orice punct din câmp. B. INTENSITATEA CÂMPULUI ELECTROSTATIC Regiunea din spaţiu în care se exercită forţe electrice asupra corpurilor electrizate aflate în repaus sau în mişcare se numeşte câmp electric. Corpul electrizat care generează câmpul este numit sursă a câmpului. Dacă sursa câmpului electric este în repaus, câmpul generat se numeşte câmp electrostatic. Pentru detecţia câmpului electric într-un punct oarecare din spaţiu se utilizează un corp punctiform, încărcat electric, numit corp de probă.

+ +F

Page 2: Camp Electrostatic

8

De fapt interacţiunile se realizează instantaneu între câmpul electric şi corpul de probă. Pentru a descrie câmpul electric în fiecare punct al spaţiului, se defineşte mărimea fizică vectorială numită intensitatea câmpului electric, numeric egală cu forţa electrică ce acţionează asupra unui corp punctiform încărcat cu o sarcină de 1C, plasat în acel punct al câmpului:

qFE!

!=

Ţinând cont de expresia forţei din legea lui Coulomb, se găseşte modulul intensităţii câmpului electric:

2r4QE

πε= sau vectorial:

rr

r4QE 2

!!

πε=

Din această formulă se constată că intesitatea câmpului electric scade exponenţial cu distanţa r. La o sferă metalică electrizată distribuţia intensităţii câmpului este astfel: • în interiorul sferei câmpul electric este nul

deoarece sarcinile electrice sunt în echilibru, chiar pe sferă

• în exteriorul sferei intensitatea se calculează ca şi cum întreaga sarcină ar fi concentrată în centrul sferei.

• corpurile metalice au proprietatea de a ecrana câmpul electric atât de la interior la exterior cât şi de la exterior la interior dacă acestea sunt legate la pământ.

• în funcţie de semnul sarcinii “Q” sursă

a câmpului, intensitatea câmpului este orientată la fel cu r! dacă Q>0 sau în sens contrar lui r! dacă Q<0.

+ -

+

+

+

+

+

E

r

E

r

+

+

++

+

++

+ ++

+++

+

+

+

Eint=0

Page 3: Camp Electrostatic

9

LINIILE DE CÂMP Noţiunea de linie de câmp a fost introdusă în fizică de către Faraday în scopul unei reprezentări de tip geometric a câmpurilor electrice şi magnetice. Linia de câmp este o linie imaginară care admite, în fiecare punct al său, ca tangent vectorul intensitate a câmpului electric. Sensul liniei de câmp este acelaşi cu sensul intensităţii câmpului electric. Totalitatea liniilor de câmp trasate pentrtu o sursă oarecare constituie spectrul câmpului respectiv. • Liniile de câmp nu se intersectează în nici

un punct al câmpului. • Liniile de câmp unesc sarcini de semne

contrare. • Traiectoria unui corp de probă coincide cu

linia de câmp. • Liniile de câmp se desenează astfel încât

“desimea” lor să constituie o măsură a intensităţii câmpului electric.

• Pentru un câmp electric uniform, liniile de câmp sunt paralele şi echidistante.

În cazurile în care într-un punct din spaţiu, câmpul electric este generat de un ansamblu de sarcini electrice, este valabil principiul superpoziţiei: intensitatea câmpului electric E

!, într-

un punct din spaţiu, este egală cu suma vectorială a intensităţilor kE!

ale câmpurilor electrice generate de fiecare sarcină electrică punctiformă Qk , independent de celelalte câmpuri n21 E......EEE

!!!!+++=

D. FLUXUL ELECTRIC Termenul flux provine din cuvântul latinesc fluere, care înseamnă a curge. Originea sa se găseşte în teoria fluidelor, unde fluxul reprezintă debitul unui fluid care trece printr-o suprafaţă oarecare. Fluxul unui câmp electric uniform, de intensitate E!

, printr-o suprafaţă plană de arie S, este: Φ=E.S.cosα unde α este unghiul dintre vectorul câmpului electric E

! şi vectorul normalei n! la suprafaţa dată.

+ -

+++++

_

+++++

__

__

Page 4: Camp Electrostatic

10

TEOREMA LUI GAUSS Considerăm un corp punctiform, încărcat cu sarcina electrică Q şi un înveliş sferic de rază R cu centrul pe corpul punctiform. Fluxul total al câmpului electric prin suprafaţa dată este: Φ=E.S sau ţinând cont că aria sferei este S=4πR2

rezultă: 22 R4

R4Q π

πε=Φ

După simplificări rezultă că fluxul câmpului electric printr-o sferă este:

ε

=Φ Q

Acest rezultat a fost generalizat pentru orice suprafaţă închisă şi orice distribuţie spaţială de sarcini electrice de către Gauss (1777-1855): Fluxul câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este egal cu raportul dintre sarcina electrică totală aflată în interiorul suprafeţei şi permitivitatea electrică a mediului în care se află suprafaţa considerată:

ε

=Φ ∑ intQ

Dacă o suprafaţă închisă se află în câmp electric, dar nu are sarcini electrice în interior, atunci fluxul prin suprafaţă este zero deoarece numărul liniilor de câmp care intră în suprafaţă este egal cu numărul liniilor care ies din suprafaţă. APLICAŢII 1. Câmpul electric creat de o distribuţie sferică a sarcinii electrice Se consideră o suprafaţă sferică, de rază R, pe care este distribuită uniform sarcina electrică Q, denumită pătură sferică. Se alege o suprafaţă de rază r, pe care urmează să se aplice teorema lui Gauss, denumită suprafaţă gaussiană. Fluxul câmpului electric prin suprafaţa aleasă este: Φ=E.4πr2 Ţinând cont de teorema lui Gauss rezultă:

a) pentru r>R , ε

=Φ Q rezultă 2r4QE

πε=

b) pentru r<R , Φ=0 (sarcina este pe suprafaţă) rezultă: E=0

+

+

+

++

+

++

+ ++

+++

+

++

R

rQ

Page 5: Camp Electrostatic

11

2. Câmpul electric generat de o distribuţie plană de sarcină electrică

Se consideră o suprafaţă plană pe care este depusă sarcină electrică cu densitatea σ. Intensitatea câmpului electric este perpendiculară pe suprafaţa plană. Se alege ca suprafaţă gaussiană un cilindru de rază r, cu generatoarea perpendiculară pe suprafaţa plană. Fluxul elctric prin cilindru este suma dintre fluxul prin baze şi fluxul prin suprafaţa laterală: Φ=Φbaze+Φlateral Întrucât câmpul electric este paralel cu suprafaţa laterală, fluxul elctric lateral este nul: Φlateral=0. Fluxul câmpului electric prin cele două baze este: Φbaze=E.2S=E.2πr2 Fluxul total prin cilindru este: Φ=E.2πr2 Sarcina electrică aflată în interiorul cilindrului este: q=σ.πr2 Conform teoremei lui Gauss fluxul electric prin cilindru este:

ε

σπ=ε

=Φ2rq

Egalând cele două expresii ale fluxului electric se obţine:

ε

σπ=π2

2 rr2.E

Rezultă că intensitatea câmpului electric creat de o suprafaţă plană este:

ε

σ=2

E

3. Câmpul electric creat de două distribuţii plane şi paralele Considerând unsistem de două plane paralele pe care se găsesc sarcini electrice diferite ca semn dar cu aceeaşi densitate σ1=σ2=σ Cele două distribuţii plane vor crea câmpuri egale:

ε

σ==2

EE 21

Cele două intensităţi sunt paralele şi de acelaşi sens, câmpul total este:

σ

S+

E E

++++++++

_____

_

_

_

+σ1 −σ2

E1

E2

Page 6: Camp Electrostatic

12

εσ=E

PROBLEME 1) Două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile elctrice q1=+4.10-6C respectiv, q2=+2.10-6C sunt situate la distanţa d=6cm. Calculaţi intensitatea câmpului electric la jumătatea distanţei dintre ele. Aceeaşi cerinţă dacă q2 este negativă. R: E=2.107V/m 2) Să se reprezinte graficele intensităţilor câmpurilor electrice create de cele două sarcini electrice considerate punctiforme şi graficul câmpului electric rezultant în spaţiul dintre sarcini pe linia ce le uneşte. 3) O sferă metalică cu raza R=2cm este încărcată cu sarcina electrică q=2.10-6C. Să se reprezinte grafic intensitatea câmpului electric în funcţie de distanţa r măsurată de la centrul sferei. 4) Arătaţi că, dacă un ecran electric este legat la pământ, el permite ecranarea în ambele sensuri (de la exterior spre interior şi invers), iar dacă ecranul este izolat, el permite ecranarea numai de la exterior spre interior. 5) În vârfurile A, B, C ale unui pătrat cu latura "=4cm, se află trei corpuri punctiforme, cu sarcinile: Q1=−2.10-6C, Q2=4 2 .10-6C şi Q3=Q1. Să se calculeze intensitatea câmpului electric în punctul D. R: E=16.106V/m 6) Două sfere concentrice, din metal, au razele R1<R2. Pe sfera interioară se află sarcina electrică +q, iar pe cea exterioară +Q. Să se exprime intensitatea câmpului electric în următoarele situaţii: a) în interiorul sferei mici; b) în spaţiul dintre cele două sfere; c) în exteriorul sferei mari;

+ +q1 q2

+-

-

A B

CD

Qq

+ + + ++

+++

++

++++

+

++

+

+++ +

++

+

+

+

+

Page 7: Camp Electrostatic

13

d) să se reprezinte grafic E(r) . 7) Într-un câmp electric omogen, caracterizat prin vectorul intensitate E, orientat vertical în sus şi de modul E=104V/m, se află o sferă metalică cu masa m=10g încărcată cu sarcina electrică q=+10-6C, care este suspendată cu un fir izolant de lungime "=1m. Se imprimă sferei, din poziţia de echilibru, o viteză iniţială vo=1m/s, pe o direcţie orizontală. Să se calculeze tensiunea din fir în momentul când sfera se află la distanţa maximă faţă de poziţia iniţială. R: T=0,18N 8) Într-un punct situat între două corpuri punctiforme, încărcate electric, pe linia ce le uneşte, intensitatea câmpului electric este zero. Cum sunt sarcinile electrice?

E

vo+

+

α

l

Page 8: Camp Electrostatic

14

Tema 4 POTENŢIALUL ELECTRIC

A. LUCRUL MECANIC Dacă în câmpul creat de sarcina Q se găseşte sarcina q, forţa exercitată asupra ei poate să efectueze un lucru mecanic: L=Fmed.d unde d=r2-r1 iar 21med FFF = După înlocuiri şi calcule se găseşte expresia lucrului mecanic: Această relaţie se poate scrie sub forma:

21 r4

Qqr4

QqLπε

−πε

=

Din această relaţie se trage concluzia că lucrul mecanic nu depinde de forma drumului parcurs de sarcina de probă, deci câmpul de forţe electrice este conservativ. Astfel, lucrul mecanic este egal cu diferenţa energiilor corespunzătoare celor două stări: L=W1-W2

unde r4

QqWπε

=

este energia potenţială a sistemului celor două sarcini electrice. B. POTENŢIALUL ELECTRIC Pentru a caracteriza capacitatea unui câmp electric de a efectua lucru mecanic, se foloseşte noţiunea de potenţial electric:

qWV =

sau r4

QVπε

=

Astfel, lucrul mecanic efectuat de câmpul electric pentru a deplasa o sarcină electrică q între două puncte este: L=q(V1-V2) sau L=q.U

+ +

r

r1

2

q+QFF1 2

πε=

21 r1

r1

4QqL

Page 9: Camp Electrostatic

15

unde U=V1-V2 este definită ca diferenţă de potenţial sau tensiune. Aşadar: • câmpul electric E caracterizează capacitatea de acţiune F asupra

corpului de probă • potenţialul electric V caracterizează capacitatea de a efectua un

lucru mecanic L asupra corpului de probă • între intensitatea câmpului electric şi potenţial este relaţia de

legătură:

rVE =

B. ENERGIA UNUI SISTEM DE SARCINI Pentru un sistem de două sarcini electrice q1 şi q2,

energia potenţială este: r4

qqW 21

πε=

care se poate scrie şi sub forma:

r4

qq21

r4qq

21W 1

22

1 πε+

πε=

apoi ( )122211 VqVq21W +=

În această relaţie V21 este potenţialul creat de sarcina q2, în care se află sarcina q1 , iar V12 este potenţialul creat de sarcina q1, în care se află sarcina q2. Pentru un sistem format dintr-un număr oarecare de sarcini electrice energia sistemului este:

∑=

=n

1kkkVq

21W

unde Vk reprezintă potenţialul total în care se află fiecare sarcină qk. C. TENSIUNE-CÂMP ELECTRIC Considerând că între două plăci există un câmp electric uniform E, acesta poate efectua un lucru mecanic asupra unei sarcini q : L=F.d=qE.d Pe de altă parte, lucrul mecanic se poate scrie şi astfel: L=q(V1-V2)=q.U

+ +q1 q2r

V V1 2

E

d

+q

+ -

EUd

=

Page 10: Camp Electrostatic

16

Astfel, se deduce că: E. SUPRAFEŢE ECHIPOTENŢIALE Potenţialul electric este o mărime fizică scalară dependentă de coordona-tele unui punct din spaţiu: V=f(x,y,z) Suprafeţele din spaţiu pentru care potenţialul este constant se numesc suprafeţe echipotenţiale. Deplasarea unei sarcini electrice pe o suprafaţă echipotenţială se face fără efectuare de lucru mecanic. Vectorul câmp electric este orientat perpendicular pe suprafeţele echipotenţiale şi are sensul de la o suprafaţă cu potenţial mai mare spre o suprafaţă cu potenţial mai mic. F. APLICAŢII • CORP METALIC (SFERĂ) Considerând un corp metalic, de formă sferică, încărcat cu sarcina electrică q care se distribuie uniform pe toată suprafaţa, formând o pătură sferică. Potenţialul electric din interiorul unui corp metalic încărcat cu sarcină electrică Q este constant şi egal cu cel de pe suprafaţa corpului iar în exteriorul corpului se aplică formula generală a potenţialului: • SFERE CONCENTRICE (izolate) Considerând un sistem de două sfere metalice, concentrice dintre care sfera mică de rază r, este încărcată cu sarcina +q iar sfera mare de rază R, iniţial fără sarcină electrică. Prin influenţă sfera exterioară se electrizează cu sarcinile electrice +q’ şi –q’. Potenţialele celor două sfere se obţin prin însumarea potenţialelor produse de fiecare sarcină din sistem.

q

+ + + + +

+++

++++

++

++ +

+

++

+

+

+

+

V QR= 4πε

VQ

r=

4πε

r

V

++ +

++

+

+

++

+++

++

+

+ q+

+

+++ +

++

+

+

+

+

__

_____

__

__ _ _ _

__

q'

Page 11: Camp Electrostatic

17

R4q

R'q'q

Rq

41'V

r4q

R'q'q

rq

41V

πε=

−+

πε=

πε=

−+

πε=

• SFERE CONCENTRICE (cu legare la pământ) Legarea la pământ aunei sfere (exterioară) va determina scurgerea sarcinilor pozitive în pământ iar sistemul arată ca în figură. Potenţialele celor două sfere sunt:

0

R1

R1

4q

R'q

Rq

41'V

R1

r1

4q

R'q

rq

41V

=

πε=

−+

πε=

πε=

−+

πε=

Era de aşteptat ca potenţialul sferei mari, care este legată la pământ, să fie nul, egal cu cel al pământului. PROBLEME 1) Două corpuri punctiforme încărcate cu sarcinile elctrice q1=+4.10-6C respectiv, q2=+2.10-6C sunt situate la distanţa d=6cm. Calculaţi potenţialul electric la jumătatea distanţei dintre ele. Aceeaşi cerinţă dacă q2 este negativă. R: V=18.105V 2) Să se reprezinte graficele potenţialelor electrice create de cele două sarcini electrice, din problema precedentă şi graficul potenţialului electric rezultant în spaţiul dintre sarcini pe linia ce le uneşte. 3) O sferă metalică cu raza R=2cm este încărcată cu sarcina electrică q=2.10-6C. Reprezentaţi graficul potenţialului electric în funcţie de distanţa r măsurată de la centrul sferei. 4) În vârfurile A, B, C ale unui pătrat cu latura "=4cm, se află trei corpuri punctiforme, cu sarcinile: Q1=−2.10-6C, Q2=4 2 .10-6C şi Q3=Q1.

+ +q1 q2

+-

-

A B

CD

q+

+

+++ +

++

+

+

+

+

__

_______

__ _ _ _

__

q'

Page 12: Camp Electrostatic

18

Să se calculeze potenţialul electric în punctul D. R: V=0V 5) Două corpuri punctiforme A şi B cu sarcinile electrice QA=2µC respectiv QB=−4µC, se află în aer la distanţa d=1,8m. Să se calculeze intensitatea câmpului electric în punctele de pe dreapta AB unde potenţialul este nul şi apoi valoarea potenţialului electric unde intensitatea câmpului electric este nulă. R: E=75.103V/m 6) Două sfere concentrice, din metal, au razele R1<R2. Pe sfera interioară se află sarcina electrică +q, iar pe cea exterioară +Q. Să se exprime valoarea potenţialului electric în următoarele situaţii: a) în interiorul sferei mici; b) în spaţiul dintre cele două sfere; c) în exteriorul sferei mari; d) să se reprezinte grafic V(r) . 7) Pot exista puncte în care intensitatea câmpului electric să fie nulă, iar potenţialul electric să fie diferit de zero? Explicaţi! 8) Două sfere metalice mici, având aceeaşi sarcină electrică, situate la distanţa d=50cm între centrele lor, interacţionează cu forţa de respingere F=10-5N. Care este potenţialul sferelor, dacă diametrul lor este D=1cm? R: V=15kV 9) Care este sarcina electrică Q a unui corp care crează în aer o diferenţă de potenţial ∆V=180V între două puncte situate la r1=1m respectiv r2=2m de acel corp? R: Q=4.10-8C 10) Două corpuri punctiforme au sarcinile electrice q1=3.10-8C respectiv q2=5.10-8C iar distanţa dintre ele este d=5cm. Care este energia localizată în câmpul electric al sistemului celor două corpuri? R: W=2,7.10-4J

Qq

+ + + ++

+++

++

++++

+

++

+

+++ +

++

+

+

+

+

Page 13: Camp Electrostatic

19

Tema 5 CAPACITATE ELECTRICĂ

Experimental s-a constatat că un conductor se poate încărca cu sarcina electrică Q dacă este supus unui potenţial electric V. Această proprietate se numeşte capacitate elctrică a conductorului. Experienţele arată că raportul dintre sarcina electrică Q şi potenţialul V la care se află suprafaţa exterioară a conductorului, este constant, depinzând doar de dimensiunile şi forma conductorului:

CVQ......

VQ

VQ

n

n

2

2

1

1 ====

Constanta C este o mărime fizică ce caracterizează capacitatea conducto-rului de a se încărca cu sarcină electrică şi se numeşte capacitate electrică.

Unitatea de măsură a capacităţii este: FVCC

SI== (farad)

În practică se utilizează de obicei submultiplii faradului: - 1mF=10-3F - 1µF=10-6F - 1nF=10-9F - 1pF=10-12F

Pentru un conductor sferic izolat, de rază R, capacitatea electrică este:

R4

R4QQ

VQC πε=

πε

==

Din această formulă se vede că pentru corpurile obişnuite capacitatea electrică a lor are valori foarte mici. CONDENSATORUL ELECTRIC Din cauză că un conductor izolat realizează o capacitate electrică foarte mică, în tehnică s-au realizat dispozitive, numite condensatori, formate din două conductoare, numite armături, separate de un strat izolator foarte subţire numit dielectric. Dacă între armăturile condensatorului se aplică o tensiune electrică U=VA-VB (unde VA şi VB sunt potenţialele armăturilor) atunci armăturile se încarcă cu sarcini egale QA=−QB, dar de semne contrare.

+ + + + +

+++

++++

++

++ +

+

++

+

+

+

+Q V

C

Page 14: Camp Electrostatic

20

Capacitatea C a unui condensator depinde de forma, poziţia relativă şi dimensiunile armăturilor şi de natura dielectricului dintre ele şi nu depinde de tensiunea dintre armături sau de sarcina electrică. Clasificarea condensatorilor după:

• forma armăturilor

−−−

sfericecilindriceplane

• natura dielectricului

−−−−−−

oxizimicăstiroflexceramicăhârtieaer

• mobilitatea armăturilor

−−−

iabilevarsemiiabilevar

fixe

Condensatorul plan Condensatorul plan este alcătuit din două armături plane, de arie S fiecare, dispuse paralel la distanţa d una de cealaltă. Între armături se găseşte un dielectric cu permitivitatea electrică εεεε. Conform teoremei lui Gauss intensitatea câmpului electric dintre armăturile condensatorului plan este dată

de relaţia: εσ=E ştiind că Q=σS iar U=E.d rezultă:

capacitatea condensatorului plan

dS.C ε=

Din această relaţie se vede că un condensator va avea capacitatea mai mare dacă aria suprafeţelor celor două armături este mai mare, dacă distanţa dintre armături este mai mică şi dacă dielectricul are permitivitatea electrică mai mare.

Page 15: Camp Electrostatic

21

De multe ori pentru a realiza o capacitate mare se folosesc straturi multiple de armături şi eventual rulate pentru a ocupa un volum cât mai mic. Condensatorul sferic Considerând un sistem de două sfere concentrice, conductoare, cu razele R şi r cu valori apropiate. Sfera interioară se încarcă cu sarcina electrică +Q iar sfera exterioară se leagă la pământ. După stabilirea echilibrului sistemul arată ca în figura alăturată. Potenţialele celor două sfere sunt:

0

R1

R1

4Q

RQ

RQ

41'V

R1

r1

4Q

RQ

rQ

41V

=

πε=

−+

πε=

πε=

−+

πε=

Tensiunea electrică între sfere este egală cu diferenţa celor două potenţiale

( )Rr4

rRQR1

r1

4Q'VVU

πε−=

πε=−=

Capacitatea condensatorului sferic se calculează din:

UQC =

de unde rezultă: rR

r.R4C−

πε=

Dacă se ţine cont că R≈r şi dacă notăm cu d=R-r iar S=4πR2 rezultă că:

dSC ε=

şi regăsim formula de calcul pentru condensatorul plan care ar avea aceeaşi suprafaţă cu cea sferică.

+

+

+++ +

++

+

+

+

+

__

_____

__

__ _ _ _

__Q

Page 16: Camp Electrostatic

22

GRUPAREA CONDENSATORILOR a) Gruparea serie Considerând grupul de condensatori C1, C2 şi C3 conectaţi în serie, trebuie găsit un condensator cu o capacitate echivalentă care conectat în locul grupării să se încarce cu aceeaşi sarcină electrică. Armăturile vecine a doi condensatori consecutivi şi conductorul ce le uneşte formează un conductor izolat pe care sarcina iniţială este zero. După aplicarea tensiunii U condensatorii se încarcă cu sarcini egale. Pentru gruparea serie de condensatori se poate scrie: U=VA-VB=VA-V1+V1-V2+V2-V3+V3-VB sau U=U1+U2+U3

Dar ţinând cont că: 3

32

21

1 CQ U

CQ U

CQU ===

rezultă:

++=++=

321321 C1

C1

C1Q

CQ

CQ

CQU

Pentru condensatorul echivalent:

sC1QU =

de unde rezultă că: 321S C1

C1

C1

C1 ++=

b) Gruparea paralel Doi sau mai mulţi condensatori sunt conectaţi în paralel dacă armăturile lor sunt conectate la aceleaşi două puncte ale unui circuit electric. Este evident că toţi condensatorii dintr-o grupare paralel au aceiaşi tensiune între armături. Sarcina acumulată de grupare este: Q=Q1+Q2+Q3 sau Q=C1U+C2U+C3U=(C1+C2+C3)U Pentru condensatorul echivalent sarcina este: Q=CPU De unde rezultă: CP=C1+C2+C3

+ -Q

C

+ -Q

C

+ -Q

C

U1 2 3

A B

+ -QC

+ -QC

+ -QC

1

2

3

U

1

2

3

CS

CP

Page 17: Camp Electrostatic

23

ENERGIA DIN CONDENSATOR Deoarece la încărcarea condensatorului sarcinile electrice sunt deplasate de pe o armătură pe alta, lucrul mecanic efectuat de câmpul electric constituie un transfer de energie spre condensator. Energia potenţială electrică a sistemului este dată de relaţia:

( )BBAA VQVQ21W +=

sau ţinând cont că sarcinile de pe cele două armături sunt egale: QA=Q şi QB=-Q

Rezultă: ( )BA VVQ21W −=

Sau

CQ

21W

CU21W

QU21W

2

2

=

=

=

Din punct de vedere al dispunerii spaţiale, această energie este localizată în câmpul electric dintre armăturile condensatorului, motiv pentru care mai este denumită energia câmpului electric dintre armături.

+++

++

++

_______

E

U

Page 18: Camp Electrostatic

24

PROBLEME 1) Între armăturile unui condensator plan de capacitate Co se introduce o placă dielectrică lipită de una din armături având grosimea egală cu jumătate din distanţa d dintre armături şi permitivitatea relativă εr. Care va fi noua capacitate a condensatorului? R: C=2εrCo/(1+εr) 2) Între plăcile unui condensator plan cu suprafaţa armăturilor S şi distanţa dintre armături d, se introduce o placă dielectrică de grosime d, arie S' şi permitivitate electrică εr. Găsiţi expresia capacităţii în acest caz. R: 3) Armăturile unui condensator plan cu suprafaţa comună S, sunt aşezate la distanţa d una faţă de alta. Calculaţi capacitatea electrică dacă între armături se introduce o lamă metalică subţire. Dar dacă lama are grosimea d' ? R: C=εS/d 4) Care condensator din gruparea alăturată va avea mai multă sarcină electrică, ştiind că toţi condensatorii au aceiaşi capacitate? R: C1 5) Cunoscând capacităţile C1=8µF; C2=3µF şi C3=6µF din schema precedentă, calculaţi capacitatea echivalentă a grupării. R: C=10µF 6) Calculaţi capacitatea echivalentă a grupării de condensatori din schema alăturată, cunoscând: C1=3µF; C2=6µF; C3=2µF şi C4=2µF . R: C=3µF 7) Calculaţi capacitatea echivalentă a grupării de condensatori din schema alăturată, cunoscând: C1=3µF; C2=6µF; C3=6µF şi C4=3µF .

( )[ ]C d S Sr= + −ε ε0 1 '

U

C

CC

1

2 3

C C C C1 2 3 4

C C C C1 2 3 4

Page 19: Camp Electrostatic

25

R: C=4µF 8) În circuitul din figura alăturată capacităţile condensatorilor sunt: C1=3µF; C2=2µF şi C3=5µF. Să se calculeze: a) capacitatea echivalentă; b) tensiunea UAB pentru ca sarcina q2=6.10-5C. R: C=2,5µF UAB=60V 9) Bateria de condensatori C1=1µF; C2=3µF; C3=2µF şi C4=4µF este conectată la tensiunea U=9V. Să se calculeze capacitatea echivalentă, tensiunile, sarcinile şi energiile electrice ale fiecărui condensator. R: C=2/3µF Q1=6µC Q2=6µC Q3=2µC Q4=4µC 10) Doi condensatori având capacităţile C1=4µF şi C2=2µF sunt legaţi în serie şi conectaţi la o tensiune U=12V. Să se determine: a) tensiunile U1 şi U2 la bornele condensatorilor; b) sarcinile electrice q1 şi q2 ale armăturilor. R: U1=4V; U2=8V; q1=16µC; q2=16µC 11) Doi condensatori C1=0,1µF şi C2 sunt conectaţi în serie la o tensiune U=110V. Ce valoare are capacitatea C2 dacă la bornele ei se măsoară tensiunea U2=10V? Care sunt sarcinile acumulate pe armăturile condensatorilor? R: C2=1µF; Q1=10µC; Q2=10µC 12) Se consideră reţeaua de condensatori din figura alăturată, în care se cunosc capacităţile: C1=4µF, C2=2µF şi C3=3µF, potenţialul electric al punctului A fiind VA=−12V. Să se determine potenţialul punctului B (VB) şi sarcinile electrice pe cei trei condensatori q1, q2 şi q3. R: VB=−8V; q1=16µC; q2=8µC; q3=24µC

C

C

C1

2

3A B

C C

C C

1 2

3 4U

C C

U

1 2

C C

U

1 2

U2

C

C

C1

2

3A B

Page 20: Camp Electrostatic

26

13) Doi condensatori cu capacităţile C1=1µF şi C2=2µF sunt încărcaţi fiecare la tensiunea Uo=50kV, după care se conectează între ei în serie. Să se calculeze căldura Q disipată în sârmele de legătură. R: Q=1875J 14) Doi condensatori C1 şi C2 sunt încărcaţi fiecare la tensiunile U1 şi U2, după care se conectează între ei: a) cu plăcile de aceeaşi polaritate în contact; b) cu plăcile cu polarităţi diferite în contact. Determinaţi tensiunile electrice la bornele grupării în fiecare caz. R:

21

2211b

21

2211a CC

UC-UC UCC

UCUCU+

=++=

15) Un condensator plan, cu aer, este conectat la tensiunea U=20kV, după care se deconectează şi se umple jumătate din spaţiul dintre armături cu un dielectric cu permitivitatea electrică εr=5, măsurându-se o tensiune U1 , respectiv U2. Cunoscând distanţa dintre armături d=2cm, să se calculeze cele două tensiuni şi să se compare capacităţile obţinute. R: U1=120kV U2=20/3 kV 16) Un condensator plan, cu aer, are dimensiunile armăturilor de 40cm şi 60cm, iar distanţa dintre armături d1=0,5cm. După încărcarea condensa-torului la tensiunea U=2kV, se deconectează de la sursă şi se depărtează plăcile la distanţa d2=2d1. Să se determine lucrul mecanic necesar. R: L=85.10-5J 17) Doi condensatori cu capacităţile C1 şi C2 sunt conectaţi în serie şi încărcaţi la o sursă cu tensiunea Uo. Se deconectează de la sursă şi se leagă condensatorii în paralel. Să se calculeze căldura Q degajată în firele de legătură în timpul acestui proces. R:

QU C C C C

C C=−

+02

1 2 1 22

1 222

( )( )

Page 21: Camp Electrostatic

27

18) Să se calculeze capacitatea echivalentă a bateriei de condensatoare în care C1=C4=2µF şi C2=C3=6µF, în cazurile în care: a) comutatorul K este deschis; b) comutatorul K este închis. R: Ca=3µF ; Cb=4µF 19) În circuitul din figura alăturată se cunosc: C1=1µF; C2=2µF; C3=1µF; C4=5µF şi U=6V. Să se calculeze capacitatea echivalentă şi tensiunea la bornele condensatorului C4. R: Ce=2µF U4=2V 20) Cei doi condensatori din figura alăturată au capacităţile C1=6µF, respectiv C2=4µF şi sarcinile electrice Q01=24µC, Q02=6µC. Să se calculeze sarcinile Q1 şi Q2 , tensiunea U după închiderea întrerupătorului K. Care este diferenţa dintre energia iniţială şi cea finală înmagazinată pe cei doi condensatori? R: Q1=18µC; Q2=12µC; U=3V 21) În circuitul din figura alăturată, capacităţile condensatorilor au valorile: C1=1µF, C2=4µF şi tensiunea E=10V. În momentul iniţial comutatorul K se află în poziţia A iar condensatorul C2 este descărcat. Se trece comutatorul pe poziţia B, apoi readus pe poziţia A, ş.a.m.d. Să se calculeze tensiunea şi sarcinile condensatorilor după n=25 conectări ale lui K pe poziţia B.

1x1xx...xx1

n1n2

−−=+++ − R:

+

−=n

21

2n CC

C1EU

22) Cunoscând capacităţile C1=3µF, C2=3µF, C3=2µF, C4=6µF, C5=5µF şi tensiunea aplicată U=6V, să se determine capacitatea echivalentă, sarcinile electrice pe fiecare condensator şi energia înmagazinată în bateria de condensatori. R: C=2µF; Q1=12µC; Q2=Q3=Q4=2µC; Q5=10µC

C1

C2

C3

C4

K

C1 C2K

C1 C2

KA B

E

C1 C2

C3

C4

U C5

UC C C C1 2 3 4

Page 22: Camp Electrostatic

28

MIŞCAREA PARTICULELOR ELECTRIZATE ÎN CÂMP ELECTRIC

Considerăm două plăci metalice paralele, situate la distanţa d, între care se găseşte aplicată o tensiune U ce crează un câmp electric uniform de intensitate:

dUE =

O particulă electrizată de masă m şi sarcină electrică q pătrunde în câmpul electric cu viteza v0 perpendiculară pe liniile câmpului. Pentru a studia mişcarea particulei alegem un sistem de coordonate xOy. În interiorul câmpului, pe Ox viteza iniţială este v0, forţa Fx=0, acceleraţia ax=0 deci mişcarea este uniformă cu ecuaţia: x1=v0t

Pe axa Oy intervine forţa Fy=qE care imprimă o acceleraţie mqEa y = ,

ecuaţiile de mişcare sunt:

t

mqEt.av

tmqE

21

2ta

y

yy

22

y

==

==

după eliminarea timpului, rezultă:

212

01 x

mvqE

21y =

Această ecuaţie arată că traiectoria particulei în interiorul câmpului este un arc de parabolă. Calculând vitezele vx şi vy la ieşirea din câmp:

0

1y0x mv

qEx vşi vv ==

şi din asemănarea triunghiurilor vitezelor şi al deplasărilor în exterior:

20

12 mv

DqExy =

E

v0 y1

y2

D

+

_

Page 23: Camp Electrostatic

29

şi deviaţia totală este:

+= D

2x

mdvqUxy 1

20

1

se constată că deviaţia y poate fi influenţată de valoarea tensiunii U. Una dintre aplicaţiile deviaţiei electronilor în câmp electric este la osciloscopul catodic. Osciloscopul catodic este un aparat care permite înregistrarea fenomenelor variabile în timp, transfomând semnalele electrice în semnale optice care pot fi observate pe ecran. Elementul mobil îl constituie un fascicul de electroni care este deviat de la o traiectorie rectilinie de către un câmp electric determinat de tensiune a de măsurat (analizat). Părţi componente: • filamentul f are rolul de degaja căldură la temperaturi ridicate • catodul C ajungând la incandescenţă emite un flux de electroni • grila G formează un fascicul îngust de electroni • anodul A produce un câmp electric accelerator (tensiune foarte

mare) • plăcile de baleiaj pe vericală Bv deplasează fasciculul pe verticală • plăcile de baleiaj pe orizontală Bo deplasează fasciculul pe

orizontală • ecranul E are un strat luminofor care transformă energia cinetică a

electronilor în energie luminoasă (spot). Funcţionare:

f

CBv

Bo E

fe

AG

Page 24: Camp Electrostatic

30

Fasciculul de electroni emis de catod este accelerat de către câmpul electric foarte puternic produs de anod. Pe plăcile de baleaj pe orizontală se aplică o tensiune liniar crescătoare în timp, periodică, cu formă de dinte de fierăstrău: Acest tip de tensiune, aplicat plăcilor de baleaj pe orizontală face ca fasciculul de electroni să fie dirijat permanent, periodic de la stânga spre dreapta pe suprafaţa ecranului şi foarte repede înapoi, producând pe ecran o dungă luminoasă orizontală. Dacă pe plăcile de baleaj pe verticală se aplică un semnal electric variabil în timp, fasciculul de electroni va fi dirijjat corespunzător pe verticală încât spotul de pe ecran va avea o poziţie rezultată din compunerea celor două mişcări şi va desena o figură geometrică corespunzătoare.

Page 25: Camp Electrostatic

31

EXPERIENŢA LUI MILLIKAN Determinarea experimentală a valorii sarcinii electrice elementare a fost făcută de către Millikan în 1913, drept pentru care i s-a decernat Premiul Nobel în anul 1913. Dispozitivul este format din două plăci plane paralele, cea superioară fiind prevăzută cu un mic ajutaj prin care se pulverizează picături foarte fine de ulei. Prin frecare cu aerul picăturile de ulei se electrizează. Sub acţiunea greutăţii proprii ele coboară mărindu-şi viteza până când forţa de frecare cu aerul F=C.v devine egală cu greutatea picăturii. m.g=C.v Din acest moment picătura se mişcă uniform. Constanta C depinde de vâscozita-tea mediului. Dacă între plăci se aplică o tensiune încât forţa electrică să fie orientată în sus, la echilibru se poate scrie: G=Fr+Fe Sau mg=C.v1+q.E Prin eliminarea constantei C se poate găsi valoarea sarcinii electrice a picăturii de ulei care a fost “luată în colimator” Valoarea vitezelor se determină măsurând timpul necesar picăturii ca să parcurgă un spaţiu dat. Problemă O picătură de ulei electrizată, având masa m=10-14kg, se află între două plăci, plasate orizontal la o distanţă d=1cm una de alta. În lipsa câmpului electric, picătura, sub efectul greutăţii sale şi datorită frecării cu aerul, atinge o viteză limită v1=0,2mm/s. Aplicând o tensiune U=490V între plăci, viteza de cădere devine v2=0,12mm/s. Să se afle: a) sarcina q a picăturii de ulei (exprimată în sarcini elementare) b) viteza limită v3 a picăturii dacă se inversează polaritatea tensiunii c) valoarea tensiunii U’ şi polaritatea ei pentru a menţine în repaus

picătura între plăci. Se va lua g=9,8m/s2. R: a) q=8.10-19C=5e; b) v3=0,28mm/s; c) U’=1225V

U

Frv

G

Frv1

G

Fe