in exerc;lii probleme pentru liceu - world public...
TRANSCRIPT
Ion GOlAN Ralsa GRIGOR Vasile MARIN Aorentm SMARANDACHE
P I .
f •
• 1
Algebra In exerc;lii 1; probleme pentru liceu
• , II /(11-
"., ,., • (h 1h t. lit E 1)
MulJimi, operaJii cu mulJimi
Relatii, funerii
Elemente de cambinatarica
•
~ " '21.1
{ ,.f.-II J
;.\
Ion GOlAN Raisa GRIGOR Vasile MARIN Florentin SMARANDACHE
Algebra in exerciJii Ii probleme pentru liceu
Mulfimi, operafii cu mulfim;
Relatii, fundii , ,
Elemente de combinatorica
CARTIER Editura Cartier SRL, str. Bucur~ti, Dr. 68, Chi;;inau, MD2012. TeL/fax: 24 83 68. E-mail: cartier@mdLnet Editura Codex 2000 SRL, str. Paul Ionescu, Dr. 6, sectoml1, Bucur~ti. TeL/fax: 01/223 44 88. GSM: 094 30 4915.
Difuzare: Bucure~ti: str. Paul Ionescu, Dr. 6, sectoml1. TeL/fax: 01/223 44 88. GSM: 094 30 4915. Ot~iniiu: bd. Mircea cel Batrin, Dr. 9, sectoml Ciocana. Tel.: 34 64 61.
ALGEBRA IN EXEROTII $1 PROBLEME PENTRU LICEU (Multimi, operatii cu multimi. Relatii, functii. Elemente de combinatorica.) Autori: Ion Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin, Florentin Smarandache. Coperta: Vitalie Coroban Prepress: Centrul de Matematica Aplicata ~i Informatica
© Ion Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin, Florentin Smarandache, 2000, pentru prezenta editie. Aceasta editie a apamt in 2000 la Editura Cartier. Toate drepturile rezervate.
Ciirtile CARTIER pot fi procurate in toate librariile bune din Romania ~i Republica Moldova.
LIBRARrILE CARTIER Casa Cilr[ii, bd. Mircea cel Batrin, Dr. 9, sectoml Ciocana, Chi~iniiu. Tel.: 34 64 61. Libriiria din Hoi, str. Bu~ti, Dr. 68, Chi;;iniiu, MD2012.
Tiparit in Republica Moldova de Concemul Presa. Comanda 1147 ISBN 9975-79-040-2
Cuvant inainte
Prezenta lucrare contine exercitii §i probleme de algebra, grupate pe capitole, pentru clasele superioare de licee §i §coli medii de cultura generala. Scopul ei este pregatirea matematica a elevilor din liceele de toate categoriile §i va fi utila in lucrul de sine statator. De asemenea, lucrarea poate fi folosita pentru lucrul extra§colar, deoarece cititorul va gasi in ea teoreme §i for mule importante, notiuni §i definitii de baza care nu intotdeauna sunt incluse in manualele §colare.
A.utorii
Notatii
egal; do diferit; I
E aparline;
cf nu apartine; C inclus in; :::> include pe; U reuniune; n intersectie; 0 multimea vida; v (sau) disjunctie; 1\ (§i) conjunctie;
clef p {:} q prin definitie peste q; ffi,~ ={0,1,2,3,4, ... } multimea numerelor naturale; Z = { ... , -2, -1,0,1,2, ... } multimea numerelor intregi;
Q = {: I m, nEZ, n:l O} multimea numerelor rationale;
IR multimea numerelor reale; C = {a + bila,b E R, i 2 = -I} multimea numerelor complexe; A-+ = {x E Alx > O}, A E {Z,Q,IR}; A_ = {y E Aly < O}, A E {Z, Q,IR}; A* = {z E Alz :I O} = A \ {O},
A E {IV, Z, Q, IR, C};
Ixl
[xl
4
modulul (valoarea absoluta) lui x E IR; partea intreaga a lui x E IR;
{;r}
(a, b)
(a,b.c)
A X B = {(a, b)la E A, bE B}
partea fractionara a lui x E IR, O::;{x}<l; cuplul avand ca prim element pe a §i ca al doilea element pe b (se mai zice "pereche ordonata"); triplet cu elementele respective a, b, c; produsul cartezian dintre multimea A §i multimea B;
A X B X C = {(a,b,c)la E A, b E B, produsul cartezian dintre multi-c E C} mile A, B, C;
E P(E) = {XIX C;;; E}
multimea universala; multimea partilor (submultimilor) multimii E;
A = B ~ (V)x E E( x E A ¢? x E B) egalitatea multimilor A §i B;
A C;;; B ~ (V)x E E( x E A ¢? x E B) A se include in B; .4 u B = {x E Elx E A V x E B} reuniunea multimilor A §i B; An B = {x E Elx E A 1\ x E B} intersectia multimilor A §i B; A \ B = {x E Elx E A 1\ x rf- B} diferenta dintre multimile A §i
B; A b B = (A \ B) U (B \ A) CE(A) = A = E \ A
aC;;;AxB
f: .4 -----+ B
DU)
EU)
5
diferenta simetrica; complimentara multimii A in raport cu multimea E; relatia a definita pe multimile A §i B; functie (aplicatie) definita pe A cu valori in B; domeniul de definitie al functiei f: domeniul de valori ale functiei f.
CAPITOLUL I
M nltimi. Operatii en mnltimi
1.1. Definitii §i notatii
Teoria axiomatica a multimilor este foarte dificila pentru a fi expusa la un nivel elementar, de aceea, intuitiv, prin multime vom in1elege o colec1ie de obiecte pe care Ie vom numi elemente sau puncte ale acestei mul1imi. 0 mul1ime este definita daca sunt date elementele sale sau daca se da 0 proprietate pe care 0 au toate elementele sale, proprietate care Ie deosebe§te de elementele altei mul1imi. Ulteror mul1imile Ie vom nota cu majuscule: A, B, C, .. . , X, Y, Z, iar elementele lor cu minuscule: a, b, c, ... , x, y, z etc.
Daca a este un element al mul1imii A, vom scrie a E A §i vom citi "a apar1ine lui A" sau "a este element din A". Pentru a exprima ca a nu este un element al mul1imii A, vom scrie a 1. A §i vom citi "a nu apartine lui A".
Printre multimi admitem existen1a unei mu11imi notate 0, numita multime vida, care nu con1ine nici un element.
~1ul1imea ce con1ine un singur element a 0 notam cu {a}. Mai general, mul1imea ce nu con1ine alte elemente decat elementele aI, a2,···, an 0 not am prin {aI, a2,···, an}.
Dad A este 0 multime toate elementele careia poseda proprietatea P, atunci vom scrie A = {xix verifid P} sau A = {xIP(x)} §i vom citi: A consta din acele §i numai acele elemente ce poseda proprietatea P (pentru care predicatul P( x) este adevarat).
Vom folosi nota1iile: IN = {O, 1,2,3, ... } - multi mea numerelor naturale; IN" = {I, 2, 3, ... } - mul1imea numerelor naturale nenule: Z = { ... , - 2, -1,0, 1,2, ... } - multimea numerelor intregi;
6
Z~ = {±l, ±2, ±3, ... } - multi mea numerelor intregi nenule;
Q = { : 1m E Z, n E IN* } - multi mea numerelor rationale;
Q* - multi mea numerelor rationale nenule; IR - multimea numerelor reale; IR* - multimea numerelor reale nenule;
IR+ = {x E IRlx ~ O}; IR'f- = {x E IRlx > O}; C = {a + bila, b E IR} - multimea numerelor complexe; C* - multimea numerelor complexe nenule; mE {1,2, ... ,n} {:} m = l,n; D( a) = {c E Z* la:c} - multimea tuturor divizorilor intregi al numarului a E Z; n( A) = I AI - numarul elementelor multimii finite A.
Nota. Vom eonsidera cititorul familiarizat eu simbolurile logiee: eonjunetia /\ ( ... §i ... ), disjune~ia v ( ... sau ... ), impliea~ia ~, euantineatorul existential (3) §i euantineatorul universal (If).
Fie A §i B doua multimi. Daca toate elementele multimii A sunt §i elemente ale multimii B, atunci spunem ca A este inclusa in B sau ca A este 0 parte a lui B, sau ca A este 0 submultime a multimii B §i notam A ~ B. Deci
A. ~ B {:} (If) x (x E A ~ x E B).
Proprietatile incluziunii: a) (If) A, A ~ A (refiexivitate); b) (A ~ B /\ B ~ C) ~ A. ~ C (tranzitivitate); c) (If) A, 0 ~ A. Daca A nu este 0 parte a multimii B, atunci scriem A C£. B, adica
A C£. B {:} (3)x (x E A/\x tf. B). Vom spune ca multimea A este egala eu multimea B, pe scurt
A = B, daca ele constau din unele §i acelea§i elemente, adica A = B {:} (A ~ B /\ B ~ .4).
Proprietatile egalitatii. Oricare ar fi multimile ~4, B §i C, avem: a) A = A (refiexivitate); b) (A = B) ~ (B = A) (simetrie); c) (A = B /\ B = C) ~ (A = C) (tranzitivitate). Prin P(A) yom nota multimea tuturor partilor multimii A,
adica X E P(A) {:} X ~ A.
Evident, 0, A E P(A). Multimea universala, multimea ce contine toate multi mile exa
minate in continuare, natura elementelor carora este una §i aceea§i, 0
yom nota prin E.
7
Operatii eu multimi
Fie A §i B doua multimi, A, B E peE). 1. Interseetia.
adica An B = {x E Elx E A A x E B},
x E An B ¢} (x E A A x E B),
x rf. A n B ¢} (x rf. A V x rf. B).
2. Reuniunea.
adica
3. Diferenta.
adica
Au B = {x E Elx E A V x E B},
x E A u B ¢} (x E A V x E B),
x rf. A u B ¢} (x rf. A A x rf. B).
A \ B = {x E Elx E A A x rf. B},
x E A \B ¢} (x E AAx rf. B),
x rf. A \ B ¢} (x rf. A V x E B).
(1)
(I')
(2)
(2')
(3)
(3')
4. Complement&ra unei multimi. Fie A E peE). Diferenta E \ A este 0 submultime a lui E, notata CE(A) §i numita eomplementara lui A in raport eu E, adica
eu alte cuvinte, CE(A) = E\ A = {x E Elx rf. A}.
x E CE(A) ¢} x rf. A,
x rf. CE(A) ¢} x E A.
Proprietati ale operatiilor eu multimi
.4 n A = A, A u A = A (legile de idempotenta).
(4)
( 4')
An B = B n A, Au B = B u A (legile de eomutativitate).
(A n B) n C = An (B n C), (I '1 d ... ) (.4 u B) u C = Au (B u C) egi e e aSOeIativitate .
Au (B n C) = (A u B) n (A U C), (I '1 d d' 'b .. ) An (B U C) = (A r B) U (A n C) egi e e Istn utivitate .
AU (A n B) = A. (I '1 d b b') A n (A U B) = A egi e e a sor tIe .
8
CE(AUB) = CE(A)nCE(B), . . CE(A n B) = CE(A) U CE(B) (legIle lUI de Morgan).
Doua submultimi "privilegiate" ale lui E sunt 0 §i E. Pentru oriee A E PtE), avem:
o ~ A ~ E, Au 0 = A, An 0 = 0, CE(0) = E, AuE=E, AnE=A, CE(E) = 0,
AU CE(A) = E, An CE(A) = 0,
CE(CE(A)) = A (principiul reciprocitatii). Ulterior vom folosi notatia CE(A) = A.
5. Diferenta simetrica. A /), B = (A \ B) U (B \ A).
Proprietati. Orieare ar fi multimile A, B §i C, avem: a) A /), A = 0; b) A/), B = B /), A (comutativitatea); c) A/),0 = 0 /), A = A; d) A /), (A /), B) = B: e) (A /), B) /), C = A /), (B /), C) (asociativitatea); f) An (B /), C) = (A n B) /), (A n C): g) A /), B= (A U B) \ (A n B). 6. Prod us cartezian. Fie x §i Y doua obiecte. Multimea
{ {x}, {x, y} } ale carei elemente sunt multimile {x} §i {x, y} se nume§te pereche ordonata (sau cuplu ordonat) eu prima component a x §i a doua component a y §i se noteaza eu (x, y). Avand trei obieete x, y §i z, notam (x,y.z) = ((x,y),z) §i numim triplet ordonat.
in general, avand n obieete Xl, X2, ... , Xn, notam (Xl,X2, ... ,Xn) = ( ... ((Xl,X2),X3), ... Xn)
§i numim sistem ordonat de n elemente (sau cortej de lungimea n). Avem (Xl, X2,···. xn) = (Yl, Y2,···, Yn) <¢:} (Xl = Yl /\X2 = Y2 /\ .. ,/\Xn = Yn)·
Fie A, B E PtE). Multimea A X B = {(a,b)[a E A /\ bE B}
se nume§te produs cartezian al multimilor A §i B. Evident, putem defini
A x B X C = {(x, y, z)[x E A /\ Y E b /\ Z E C}. Mai general, prod usul eartezian al multimilor AI, A2, ... , An
Al X A2 X ... X An = {(Xl,X2, ... ,Xn)[Xi E Ai, i = 1,n}. Pentru A = B = C = Al = A2 = ... = An, avem
def 2 def 3 def A X A = A , A X A X A = A ,A X A X '" X A = An. " V' ;/
non De exemplu 1R3 = {(x,y,z)[x,y,z E 1R}. Submultimea
9
/:::.= {(a,a)la E A} ~ A2 poarta numele de diagonala a multimii A2.
Exemple. 1. Fie A = {I, 2} §i B = {I, 2, 3}. Atunci A x B = {(I, 1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}
B x A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}. Observam ca A x B :I B x A. 2. Produsul cartezian JR2 = JR x JR se poate reprezenta ge
ometric ca multimea tuturor punctelor unui plan In care s-a fixat un sistem rectangular de coordonate xOy, asociind fiecarui element (x, y) E JR2 punctul P(x, y) din plan de abscisa x §i ordonata y. Fie A = [2; 3] §i B = [1; 5](A, B ~ JR). Atunci A x Bare ca reprezentare In plan dreptunghiul ha§urat K LM N (fig. 1.1), unde 1{(2,1), L(2,5), M(3,5), N(3,1).
y
5 L M - - -
/ /
~< 1
0 1 2 3
Fig. 1.1 Se verifica U§Of proprietatile: a) (A ~ C 1\ B ~ D) =? A x B ~ C x D; b) A x (B U C) = (A x B) U (A x C),
A x (B n C) = (A X B) n (A X C); c) A X B = 0 {:} (A = 0 V B = 0),
A x B:I 0 {:} (A :I 01\ B :I 0).
x
7. Intersectia §i reuniunea unei familii de mu1timi. 0 familie de multimi este 0 multime {Aili E I} = {A;hEI ale carei
10
elemente sunt multi mile Ai, i E I, Ai E peE). Spunem ca {A;li E I} este 0 familie de multimi indexate cu multi mea I.
Fie 0 familie de multimi {Ai liE I}. Reuniunea sa (sau reuniunea multimilor Ai, i E 1) este multimea
U Ai = {x EEl (3) i E I: x E Ai}. iEI
Intersec\ia familiei date (sau intersectia multimilor Ai, i E 1) este multimea
nAi = {x E Elx E Ai, (V)i E I}. iEI
In cazul I = {I, 2, ... , n}, scriem n
U Ai = Al U A2 U ... U An = U Ai, iEI i=1
n
nAi = Al nA2 n ... nAn = nAi. iEI i=1
8. Diagramele Euler-Wenn. Diagrame ale lui Euler (in SU A - ale lui \Venn) se numesc figurile cu ajutorul carora se interpreteaza multimile (cercuri, patrate, dreptunghiuri etc.) §i se demonstreaza ilustrativ unele proprietati ale operatiilor cu multimi. Vom folosi cercurile lui Euler.
Exemplu. Folosind diagramele lui Euler, sa se demonstreze legea lui de Morgan
Solu!ie.
E ><: (x (x (x ?9< (x
><: (x /x ~ ~~~ >;.?<
x~~~ ~~ ~ / / / ~~:;,,@ ><~ Xx /x xxx xxxx x:
)< VVX (x ~
b) Fig. 1.2
11
In fig. 1.2,a) partea ha§urata este A n B; cea neha§urata (cea in afara A n B) reprezinta CE(A n B).
In fig. 1.2,b) partea patratului ha§urata cu \ \ \ \ este egala cu CE(A), iar cea ha§urata cu / / / / este egala cu CE(B). Toata partea ha§urata formeaza C E(A) U C E(B) (partea neha§urata este exact A n B).
Din aceste doua figuri se vede ca CE(A n B) (partea patratului neha§urata in fig. 1.2,a) coincide cu CE(A) U CE(B) (partea oricum ha§urata din fig. 1.2,b). adica
CE(.4 n B) = CE(A) U CE(B).
1.2. Exercitii rezolvate
1. Pentru orice doua multimi A §i B, avem An B = A \ (A \ B).
Solutie. Folosind definitiile operatiilor cu multimi, obtinem succe-SlY:
x E A \ (A \ B) W (x E A 1\ x rJ. (A \ B)) ~ ~ (x E A 1\ (x rJ. A V x E B)) ~ (( x E A 1\ x rJ. A) V (x E A 1\ x E B)) ~
~ (x E A 1\ x E B) W x E An B. Din acest §ir de echivalente rezulta
A \ (A \ B) ~ A n B §i A n B ~ A \ (A \ B), ceea ce demonstreaza egalitatea ceruta.
Remarca. Egalitatea poate Ii demonstrata §i cu ajutorul diagramelor lui Euler.
E E
A('iB A\B A\ (A\ B)
Deci An B = A \ (A \ B).
12
2. Orieare ar fi A, B <;;;; E, are loe egalitatea
(A n B) U (A n B) = (A U B) n (A n B).
Solutie. Metoda analitica. Folosind definitiile operatiilor eu multimi, obtinem:
x E (A n B) U (A n B) ~ (x E (A n B) V x E (A n B)) <=?
W ((x E AAx E B)V(x E A/\x E B)) <=? ((x E AVx E A)A(x E Av
Vx E B) A (x E B V x E A) A (x E B V x E B)) (~) <=? (x E (AUB)A(x tf. AVx tf. B)) W (x E (AUB)Ax tf. (An B)) <=?
~ (x E (A U B) A x E (A n B)) ~ x E (A U B) n (A n B). Aeest §ir de eehivalente demonstreaza ca egalitatea din enunt este adevarata.
Metoda grafica. Folosind eereurile lui Euler, avem
-L. A
Q 1\ I." -r-
'- -(AftEJ)U(A(lB)
a)
E
Fig. 1.3
(AUB) (I(A(lB)
b)
In fig. 1.3,a) avem (A n B) U (A n B), eeea ee reprezinta partea ha§urata a patratului. Din fig. 1.3 se vede ca (A n B) U (A n B) = = (A U B) n (A n B).
3. Pentru orieare doua multimi A, B <;;;; E, este adevarata eehivalenta
A \ B = B \ A <=? A = B.
Solutie. Fie .4 \ B = B \ A. Presupunem ca A i= B. Atunei exist a a E A eu a tf. B sau bE B eu b tf. A.
in primul eaz, obtinem a E A \ B §i a tf. B \ .4, eeea ee eontraziee egalitatea A \ B = B \ A. in al doilea eaz, obtinem aeeea§i contradietie.
13
Deei dad A \ B = B \ A => A = B. Reeiproe, evident.
4. Sunt date multimile A = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10}, B = {2,4, 6,8, 10} §i C = {3, 6, 9}. Sa se verifiee egalitatile:
a) A \ (B U C) = (A \ B) n (A \ C); b) A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C).
Solutie. a) Avem B U C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}, A \ (B U C) = {1,5,7}, A \ B = {1,3,5,7,9}, A \ C = {1,2,4,5,7,8,10},
(A \ B) n (A \ C) = {I, 5, 7} = A \ (B U C). b) Pentru egalitatea a doua, avem
B n C = {6}, A \ (B n C) = {I, 2, 3,4, 5, 7, 8, 9, 10}, (A \ B) U (A \ C) = {1,2,3,4,5, 7,8,9, 10} = A \ (B n C).
5. Sa se determine multimile A §i B ee satisfae simultan eonditiile: 1) AU B = {I, 2, 3, 4, 5}; 2)AnB={3,4,5}; 3) 1 rf. A \ B; 4) 2 rf. B \ A.
Solutie. Din 1) §i 2) rezulta {3, 4, 5} ~ A ~ A U B §i {3,4,5} ~ B ~ AU B. Din 3) rezulta 1 rf. A sau 1 E B. Dad 1 rf. .4, atunci din AUB = {1,2,3,4,5} rezulta 1 E B. Insa dad 1 E B, atunei 1 rf. A, deoareee in eaz eontrar 1 E An B = {3, 4, 5}. Deci ramane 1 E B §i 1 rf. A. In mod analog, din 4) urmeaza 2 rf. B §i deci 2 E A. eu alte euvinte,
{3,4,5} ~ A ~ {2,3,4,5} §i {3,4,5} ~ B ~ {1,3,4,5} eu 2 E AuB, 1 E AUB §i de aeeea A = {2,3,4,5}, iar B = {1,3,4,5}.
Raspuns: A = {2,3,4,5}, B = {1,3,4,5}.
6. Fiind date multimile A = {11k + 81k E Z}, B = {4mlm E Z} §i C = {11(4n + 1) - 31n E Z}, sa se arate ea An B = C.
Solutie. Pentru a obtine egalitatea eeruta, yom demonstra adevarul eehivalentei
x E An B {:} x E C. Fie x E A n B. Atunei x E A §i x E B §i de aeeea exista doua numere intregi k, m E Z, astfel incat x = 11k + 8 = 4m {:} {:} 11k = 4( m - 2). In aeeasta egalitate membrul drept este divizibil prin 4, iar 11 eu 4 sunt primi intre ei. Deei din 11k:4 rezulta k:4, adidi
14
k = 4t pentru un t E Z. Atunci x = 11k + 8 = 11· 4t + 8 = 11· 4t + 11- 3 = 11(4t + 1) - 3,
ceea ce implica x E C, adica am demonstrat implicatia x E An B ~ x E C. (1)
Reciproc, fie y E C. Atunci exista 8 E Z cu Y = 11 ( 48 + 1) - 3 = 11 . 48 + 11 - 3 = 11 . 48 + 8 = 4( 11 8 + 2).
Luand 48 = U E Z §i 118 + 2 = v E Z, obtinem y = 11 u + 8 = 4v E A n B,
ceea ce demonstreaza adevarul implicatiei y E C ~ yEA n B.
Din (1) §i (2) rezulta egalitatea ceruta.
7. Sunt date multimile
(2)
A { IR/ { 2x S; 4x - 6 = x E 4x _ 11 < 2x + 1 } §i B = A n IN.
Sa se determine: a) toate multimile X cu B u X = {3,4,5,6, 7,8,9}; b) toate multimile Y = {y E ZIy2 E B U X},
B n Y = {3}. astfel incat
Solutie. ~terminam mU{imea A:
{ 2x < 4x - 6, 2x > 6, { x > 3, 4x = 11 < 2x + 1 <=> 2x ~ 12 <=> x ~ 6
<=> x E [3; 6).
Atunci B = [3; 6) n lN = {3, 4, 5}. a) Toate su bmultimile posibile ale lui B sunt
0, {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5} = B. Multimile cautateX sunt astfel, incat XuB = {3,4,5,6, 7,8,9} §i deci vor fi de forma X = C u {6, 7,8, 9}, unde C E P(B), adica multi mile cerute in p. a) sunt:
Xl = {6, 7, 8, 9}, X 2 = {3, 6, 7,8, 9}, X3 = {4, 6, 7,8, 9}, X 4 = {5,6, 7,8,9}, Xs = {3,4,6,7,8,9},X6 = {3,5,6,7,8,9},
X7 = {4,5,6, 7,8,9}, Xs = {3,4,5,6, 7,8,9}. b) Deoarece y E Z, atunci y2 E lN §i viceversa. Tinand cont
de y2 E B u X = {3,4,.5,6,7,8,9}, obtinem y2 E {4,9}, adica y E {-3, -2,2, 3} = M. Partile multimii M sunt:
0, {-3}, {-2}, {2}, {3}, {-3, -2}, {-3, 2}, {-3, 3}, {-2, 2}, {-2,3}, {2,3}, {-3,-2,2}, {-3,-2,3}, {-3,2,3}, {-2,2,3}, M.
Din conditia B n Y = {3} rezulta ca Y este una din multimile YI = {3}, Y2 = {-3, 3}, Y3 = {-2, 3}, Y4 = {2, 3}, Ys = {-3, -2, 3},
15
Y6 = {-3, 2, 3}, Y, = {-2, 2, 3} §i Ys = M = {-3, -2,2, 3}.
Raspuns: a) X E {XI, X 2 , X 3 , X 4 , X s, X 6 , X,. X s}; b) Y E {Y}, Y2 , Y3 , Y4 , Ys, Y6 , Y" Ys}.
8. Sa se determine A, B, G ~ T §i ALB, daca T = {1,2,3,4,5,6}, A L G = {1,2}, B L G = {5,6},
An G = B n G = {3,4}.
Solutie. Din AnG = BnG = {3,4} rezulta ca {3,4} ~ AnBnG. Stirn ca
A L G = (A \ G) u (G \ A) = (A u G) \ (A n G), B L G = (B \ G) u (G \ B) = (B U G) \ (B n G).
Atunci 1 E A L G {:> (1 E AUC Al tf. AnG) {:> ((1 E AVI E G)Al tf. AnG).
Sunt posibile cazurile:
a) 1 tf. A §i 1 E G; b) 1 E A §i 1 tf. G
(cazul treL 1 E A §i 1 E G ~ 1 E .4 n G = {3, 4}, este imposihil).
In primul caz, 1 tf. A §i 1 E C, din B L G = {5,6} rezulta 1 E B, fiindca in caz contrar 1 tf. B §i 1 E G ~ 1 E G \ B ~ B L G = {5,6}. Deci, in acest caz avem 1 E B n G = {3, 4}, ceea ce este imposibil §i ramane 1 E A, 1 tf. G. In mod analog obtinem 2 E A, 2 tf. B §i 2 tf. C, 5 E B §i 5 tf. A, 5 tf. G. 6 E B §i 6 tf. A, 6 tf. G.
eu alte cuvinte, am obtinut: .4 = {1,2,3.4}, B = {3,4,5,6}, G = {3,4} §i ALB = {1,2,5,6}.
Raspuns: .4 = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}, G = {3,4} §i ALB = {1,2,5,6}.
9. Se dau multimile A = {1,2}, B = {2,3}. Sa se determine multimile:
a) A X B; d) B2:
b) B X A; c) A2; e) (A X B) n (B X A); f) (A U B) X B;
g) (.4 X B) U (B X B).
Solutie. Folosind definitia produsului cartezian a doua multimi, oblinem:
a) .4 X B = {(I, 2), (1,3), (2,2), (2,3)}; b) B X A = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}; c) ,42 = {(I, 1), (1,2), (2,1), (2. 2)};
16
d) B2 = {(2, 2), (2,3), (3,2), (3, 3)}; e) (A x B) n (B x A) = {(2,2)}; f) AU B = {I, 2, 3}; (A U B) x B = {(I, 2), (1,3), (2,2), (2,3),
(3,2), (3,3)}: g) (A x B) U (B x B) = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3, 3)} =
= (.4 U B) x B.
10. Se dau multimile A = {I, 2, x}, B = {3, 4, y}. Sa se determine x §i y, §tiind ca {1,3} x {2,4} s;: A x B.
Solutie. Formam multimile A x B §i {1,3} x {2,4}: .4xB = {(1,3), (1,4), (l,y), (2,3), (2,4), (2,y), (x,3), (x,4), (x,y)}:
C = {1,3} x {2,4} = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}. Deoarece {I, 3} x {2,4} s;: A x B, ob~inem
(1,2) E C ~ (1,2) E A x B ~ (1, y) = (1, 2) ~ Y = 2; (3,4) E C ~ (3,4) E A x B ~ (3,4) = (x,4) ~ x = 3.
Pentru x = 3 §i y = 2, avem (3,2) E A x B.
Raspuns: x = 3, y = 2.
11. Daca A 2 B, atunci A x B = ((A \ B) x B) U B2.
Demonstrati.
Solutie. B s;: A =? (A \ B) U B = A §i de aceea Ax B = ((A \B)UB) x B = ((A \B) x B)U(B x B) = ((A \B) x B)UB2 (am utilizat egalitatea (A U B) xC = (A x C) U (B x C)).
12. Cate elemente are mul~imea
A = {x E Q I x = ; 2
+ 1 , n = 1, 1000}? 2n + n + 1
Solutie. Mul~imea A are atatea elemente ccite val~ri diferite are fraqia (n2+ 1)/(2n2+n+ 1), cand n ia valorile 1,2,3, ... ,1000. Alegem valorile lui n pentru care fraetia ia val~ri egale.
m 2 + 1 12 + 1 Fie m, I E IN*, m < I eu 2 = 212 I . Atunci
2m + m+ 1 + + 1 (m 2+ 1)(212 +1 + 1) = (12+ 1)(2m2+ m+ 1) {:} (m-I)(m+l- ml + 1) =
m# 1+1 = 0 ¢} m + I - ml + 1 = 0 {:} m(l - 1) = I + 1 {:} m = I _ 1 {:}
(l-1)+2 2 {:} m = {:} m = 1 + --.
1-1 I-I
17
Insa m E IN* §i de aceea
IN* 2 IN'" 2'([ ) [ [ - 1 = 1, [ [ = 2, mE¢} [_ 1 E ¢}: - 1 ¢} [ _ 1 = 2 ¢} [= 3.
Pentru [ = 2, obtinem m = 3, iar pentru [ = 3, avem m = 2. Tinand cant de faptul ca m < I, obtinem m = 2 §i I = 3. Deci numai pentru n = 2 §i n = 3, se obtine acela§i element al multimii A: x = 5/11.
Raspuns: multimea A are 999 de elemente, adica n(A) = 999.
13. Sa se determine numerele intregi x, y pentru care afirmatia (x - 1) . (y - 3) = 13 este adevarata.
Solutie. Notam A = {(x,y) E Z2IP(x): (x - 1)· (y - 3) = 13}.
Deoarece 13 este numar prim, iar x, y E Z, sunt posibile cazurile:
{
X - 1 = 1, {x - 1 = -1, {x - 1 = 13, { x-I = -13, y - 3 = 13, y - 3 = -13, y - 3 = 1, y - 3 = -1,
adid propozitia P( x) este adevarata numai in situatiile:
{x:: 2, {x:: 0, {x:: 14, { x:: .-12, y - 16, y - -10, y - 4, y - 2.
Raspuns: A = {(2, 16), (0, -10), (14,4), (-12, 2)}.
14. Sa se determine multimea A = {x E lRlya+X + v1J+x + v'c+X = 0, a,b,c E lR}.
Solutie. Deoarece ya+X 2:: 0, v1J+x 2:: 0, JC+x 2:: 0, rezulta d egalitatea y"Q"+X + Jb+X + JC+x = Oeste posibila, dad §i numai dad avem simultan:
a + x = b + x = c + x = ° ¢} x = -a = -b = -c. Atunci:
a) dad eel putin doua dintre numerele a, b §i c sunt diferite, nu putem avea egalitatea ya+X + Jb+X + JC+X = 0, adica in acest caz A = 0;
b) daca a = b = c. atunci x = -a §i A = {-a}.
Raspuns: 1) pentru a = b = c, avem A = {-a}; 2) dad eel putin doua din numerele a, b §i c sunt diferite, atunci A = 0.
15. Sa se determine multimea A = {x E ZI min(x + 2, 4 - x/3) 2:: 1}.
Solutie. Sunt p0sibile situatiile:
18
x + 2 S; 4 - x/3 sau x + 2 > 4 - x/3. Examinam fiecare caz aparte:
1) x + 2 S; 4 - x/3 ¢} 3x + 6 S; 12 - X¢} 4x S; 6 ¢} x S; 3/2. In acest caz, avem:
min(x + 2,4 - x/3) :2 1 ¢} x + 2:2 1 ¢} x :2 -l. Toate numerele intregi x pentru care -1 S; x S; 3/2 sunt: -1,0,l.
2) x + 2> 4 - x/3 ¢} x > 3/2. Atunci min(x + 2,4 - x/3):2 1 ¢} 4 - x/3:2 1 ¢} 12 - x:2 3 ¢} x S; 9.
Toate numerele intregi x pentru care 3/2 < x S; 9 sunt: 2,3,4,5,
6.7.8.9.
Am obtinut astfel: A = {-1,0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9}.
Raspuns: A = {-I, 0, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9}.
16. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care
multi mea A = {x E IRI(m - l)x 2
- (3m + 4)x + 12m + 3 = O} are:
a) un element;
b) doua elemente;
c) este vida.
Solutie. Multimea A coincide cu multimea solutiilor ecuatiei patrate
(m - 1 )x2 - (3m + 4)x + 12m + 3 = ° (1)
§i rezolvarea problemei s-a redus la determinarea valorilor parametrului m E IR pentru care ecuatia are 0 solutie, doua solutii diferite §i nu are solutii.
a) Ecuatia (1) are 0 singura (doua egale) solutie, dad §i numai
dad D = ° pentru a = m - 1 -# ° sau in cazul cand a = m - 1 = 0. Examinam aceste cazuri:
1) D = (:3m +4)2 - 4( m -1)(12m + 3) = -39m2 + 60m + 28 = ° ¢}
[
30 - 2V498 ¢} 39m2 - 60m - 28 = ° ¢} m = 39 1Ai\Q'
30 + 2y498 m= .
39 2) Pentru m = 1, ecuatia (1) ia forma -5x + 15 = ° ¢}
¢} x = 3. Deci multimea A consta dintr-un singur element pentru
19
{30 - 2V498 30 + 2J498}
mE 39 ,1, 39 .
b) Ecuatia (1) are doua radacini diferite, dad §i numai dad D > 0, adica
D 0 39 2 60 28 0 (30 - 2V498 30 + 2V498) > {:} m - m - < {:} m E 39 ' 39 .
c) Ecuatia (1) nu are radacini {:} D < 0 {:} 39m2 - 60m - 28 >
O ( 30 - 2V498 ) U (30 + 2V498 ) > {:} m E - 00, 39 39' +00 .
W ) {30 - 2V498 1 30 + 2V498} aspuns: a m E 39 " 39 ;
b) m {30 - 2V498 30 + 2V498}. E 39 ' 39 '
) ( 30 - 2V498 ) U (30 + 2V498 ) c mE -00, 39 39 ,+00.
17. Fie mu1timile A = {3, 4, 5} §i B = {4, 5, 6}. Sa se scrie elementele multimilor A2 n B2 §i (A \ (B \ A)) x (B n A).
Solu!ie. a) Pentru prima multime avem: A2 = {(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)}, B2 = {(4,4), (4,5), (4,6), (.5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)},
A2 n B2 = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}. b) Pentru multimea a doua avem:
B \ A = {6}, A \ (B \ A) = A, B n A = {4,5}. Atunci A x (B n A) = {(3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}.
Raspuns: A2 n B2 = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}; A \ (B \ A) X (B n A) = {(3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}.
18. Fiind date multimile A = {I, 2,3,4,5,6, 7} §i B = {2, 3, 4}, sa se rezolve ecuatiile A I::, X = A \ B §i (A I::, Y) I::, B = CA(B).
Solu!ie. Pentru a rezolva ecuatiile din enunt, folosim proprietatile diferentei simetrice: A I::, (A I::, B) = B, asociativitatea §i comutativitatea ei.
a) A I::, X=A\B=?A I::, (A 6 X)=A 6 (AnB)=?X =A 6 (A \B). Insa A \ B = {1,5,6, 7}, A \ (A \ B) = {2,3,4}, (A \ B) \A = 0 §i de aceea
x = A 6 (A \ B) = (A \ (.4 \ B)) U ((A \ B) \ A) = = A \ (A \ B) = {2, 3, 4} = B.
20
b) (A b. Y) b. B = A \ B {:} (A 6. B) 6. Y = A \ B {:} {:} (A 6. B) 6. ((A 6. B) 6. Y) = (A 6. B) 6. (A \ B) '*
{:} Y = (A 6. B) 6. (A \ B). Calculam
A 6. B = (A \ B) U (B \ A) = {1,5,6, 7} U 0 = {1,5,6, 7}. Deci
Y = (it \ B) 6. (A \ B) = 0.
Raspuns: X = B, Y = 0.
19. Sunt date multimile A = {x E IRllx - 11 + 12 - xl > 3 + x}, B = {x E IRI(x 2 - 4) X
x(x + 3)(x + 2)2 ::; O}. Sa se determine multi mile AU B, An B, A, B, A \ B, B \ A, (A U B) \ (B \ A) §i A X (B \ A).
Solutie. 1) Determinam multi mile A §i B.
a) x E A {:} Ix - 11 + 12 - xl> 3 + x {:} Ix -11 + Ix - 21> 3 + x (*)
X-l~ x-2 - - +
o 1 2 )
x
Inecuatia * este echivalenta eu totalitatea a trei sisteme de inecuatii:
{X E (-00,1), { x E (-00,1), 1 - x + 2 - x > 3 + x, x < 0,
( ) { x E [1;2), {:} {x E [1;2), {:} * {:} x-I + 2 - x > 3 + x, x < -2,
{X E [2, +(0), { x E [2, +(0), x-I + x - 2> 3 + x, x > 6
[
X E (-00,0), {:} x E 0, {:} x E (-00,0) U (6, +(0).
xE(6,+00) Deci
A = (-oo,O)U (6,+00).
b) x E B {:} (x 2 - 4)( x + 3)( x + 2)2 ::; 0 {:} (x + 2)3( X + 3)( x - 2) ::; ::; 0 {:} x E (-00, -3] U [-2; 2].
Cu alte cuvinte, B = (-00, -3] U [-2; 2].
21
2) Determinam mul!imile cerute cu ajutorul reprezentarii grafice
~/A//;2.@.~_ ~ ~ &/2L) --~~~~~~~~illi42~----~6 X -3 -2 0
a) Au B = (-00,2] U (6,+00)
b) An B = (-00, -3] U [-2;0)
c) A = ClR(A) = [0;6]
d) B = ClR(B) = (-3, -2) U (2,+00)
e) A \B = (-3,-2)U(6,+00)
f) B \ A = [0; 2]
g) (A U B) \ (B \ A) = 0
h) A X (B \ A) = {(x,y) E JR 2 1x E [0;6], y E [0;2]
-72?>.,--,/~"~---<~ ) 2 6 x
L?:?>. /Z6, -3 -2 0
) x
y ~ o 6
) x
I'?>'b ) -3 -2 2 x
-0 6 x -3 -2
o 2 ) x
20. 40 de elevi au scris 0 lucrare de control la matematica, care contine 0 problema, 0 inecuatie §i 0 identitate. Trei elevi au rezolvat corect numai problema, 5 elevi numai inecuatia, 4 elevi au demonstrat numai identitatea, 7 elevi nu au rezolvat numai problema, 6 elevi -numai inecua!ia, 5 elevi nu au demonstrat numai identitatea. Ceilal!i elevi au rezolvat totul corect. Ca!i elevi de ace§tea sunt?
Solutie. Fie A mul!imea elevilor care au rezolvat corect numai
22
problema. B - numai inecuatia, C - au demonstrat numai identitatea, D - multi mea elevilor care au rezolvat numai problema §i inecua~ia, E - multimea elevilor care au rezolvat numai problema §i au demonstrat identitatea, F - multimea elevilor care au rezolvat numai inecuatia §i au demonstrat identitatea, iar G - multimea elevilor care au rezolvat totul corect.
Din conditiile puse rezulta ca n(A) = 3, n(B) = 5, n(C) = 4, n(D) = 8, n(E) = 7, n(F) = 9.
Dar deoarece fiecare din elevii care au scris lucrarea a rezolvat cel pu~in un punct allucrarii corect §i intrucat multimile A,B,C,D,E, F, G au ca elemente comune numai elementele multimii vide, reuniunea multimilor A, B, C, D, E, F, G este multi mea elevilor care au scris lucrarea.
Prin urmare, n(AUBUCUDUEUFuG) = n(A)+n(B)+n(C)+ +n(D)+n(E)+n(F)+n(G). Deci n(G) = n(AUBUCUDuEUFuG)-n(A)-n(B)-n(C)-n(D)-n(E)-n(F) = 40-3-5-4-8-7 -9 = 4.
Raspuns: Deci 4 elevi dintre cei care au scris lucrarea au rezolvat totul corect.
21. (Problema matematicianului Dodjson.) Intr-o lupta incordata 72 din 100 de pirati au pierdut un ochi, 75
- 0 ureche, 80 - 0 mana §i 85 - un picior. Ce numar minim de pirati au pierdut in acela§i timp ochiul, urechea, mana §i piciorul?
Solutie. Notam prin A multi mea piratilor cu un ochi, prin B -mul~imea piratilor cu 0 ureche, prin C - multimea piratilor cu 0 mana §i prin D - multimea piratilor cu un picior.
In problema se cere de apreciat multimea A n B n C n D. Este evident ca multimea universala E este alcatuita din multimea
A. n B n C n D §i din numarul piratilor care au pastrat ori ambii ochi, ori amandoua urechi, ori amandoua mani, ori amandoua picioare.
De aceea E = (A n B n C n D) U AU B U C U D. De aici reiese ca multimea E nu este mai midi (nu are un numar mai mic de elemente) de cat sum a numerelor de elemente ale multimilor A, B, C, D §i An B n C n D (egalitatea ar fi avut loc numai in cazul cand multi mile A, B, C §i D doua cate doua nu se intersecteaza).
Dar n( A) = 30, n( B) = 25, n( C) = 20, §i n( D) = 15. Deci substituind, avem n(E) = 100, adica 100 :S n(A n B n C n D) + 30 + +25+20+15. Prin urmare, n(AnBnCnD) ~ 100-30-25-20-15 =
23
= 10. A§adar, nu mai putin de 10 pirati au pierdut in acela§i timp ochiul,
urechea, mana §i piciorul.
Raspuns: Nu mai putin de 10 pirati.
22. Din 100 de elevi 28 studiaza limb a engleza, 8 -limbile engleza §i germana, 10 - limbile engleza §i franceza, 5 - limbile franceza §i germana, 3 elevi studiaza toate trei limbi. Cati elevi studiaza numai o limba? Ca~i elevi nu studiaza nici 0 limba?
Solutie. Fie A multimea elevilor care studiaza limb a engleza, B -limb a germana, C - limba franceza.
Atunci multimea elevilor care studiaza limbile engleza §i german a este An B, engleza §i franceza - A n C, franceza §i germana - B n C, engleza, germana §i franceza - A n B n C, multimea elevilor care studiaza eel putin una din aceste trei limbi este A U B U C.
Din conditiile de mai sus rezulta ca elevii care studiaza numai limb a engleza alcatuiesc multimea A \ (A n B) U (A n C), numai german a -B \ (A n B) U (B n C), numai franceza - C \ (A n C) U (B n C).
Dar deoarece AnB ~ A, avem n(A \((AnB)U(AnC))) = n(A)-n((AnB)U(AnC)) = n(A)-(n(AnB)+n(AnC)-n(AnBnC)) =
= n(A) - n(A n B) - n(A n C) + n(A n B n C). In mod analog, n(B \ ((A n B) U (B n C))) = n(B) - n(A n B)
-n(B n C) + n(A n B n C); n(C\((AnC)U(BnC))) = n(C)-n(AnC)-n(BnC)+n(AnBnC).
Fie D multi mea elevilor care studiaza numai 0 limba, atunci n(D) = n(A \ ((A n B) U (A n C))) + n(B \ ((A n B) U (B n C)))+
+n(C \ ((A n C) U (B n C))). Prin urmare, n(D) = n(A) - n(A n B) - n(An C) + n(A n B n C) +
+n(B) - n(A n B) - n(B n C) + n(A n B n C) + n(C) - n(A n C)-n(B n C) + n(A n B n C) = n(A) + n(B) + n(C) - 2n(A n B) --2n(AnC)-2n(BnC)+3n(AnBnC) = 28+30+42-2·8-2·10-2·5+ +3·3= 63. n(D) =63.
Numarul elevilor care nu studiaza nici 0 limb a este egal cu diferenta dintre numarul total de elevi §i numarul elevilor care studiaza eel putin una din aceste limbi, adica n(H) = n(T) - n(A U B U C), unde H este multimea elevilor care nu studiaza nici 0 limba, iar T - multimea celor 100 de elevi.
Din problema 20 avem n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) -
24
-n(A n C) - n(B n C) - n(A n B) + n(A n B n C) = 28 + 30 + 42--8 - 10 - 5 + 3 = 80. Deci n(H) = 100 - 80 = 20.
Raspuns: 63 de elevi studiaza numai 0 limba, 20 de elevi nu studiaza nici 0 limbc'i.
1.3. Exercitii prop use
1. Care din afirmatiile urmatoare sunt adevarate §i care sunt false? a)xE{x}; b)x={x}; c) x f- {x}: d) 0 E {0}; e) 0 = {0}: f) 0 E {0}; g)0={a}; h)0E{a}; i)0C::;;{a}; j){x}C::;;{x}; k) 0 c::;; {0}; 1) {I, 3, 3} = {I, {2, 3}, 3}; m) {1,2,3,4,5}={4,1,3,5,2,4,5}; n) {3-1, 6+3}={2, 5+3}; 0) {a + a} = {2a}, a E JR.
2. Care din urmatoarele afirmatii sunt adevarate §i care sunt false (A, B §i C sunt multimi arbitrare)?
a) (A E B §i B E C) => A E C; b) (A c::;; B §i B E C) => A E C; c) (A f- B §i B f- C) =? .4 f- C; d) (A nBC::;; C §i A U C c::;; B) => .4 n C = 0;
e) (.4 c::;; ( B U C ) §i B c::;; ( A U C )) => B = 0; f) (A c::;; B §i B c::;; C §i C c::;; .4) => A = B = C; g) P(A U B) = {AI U BIIAI E P(A), BI E P(B)}; h) P(A n B) = P(.4) n P(B);
i) A c::;; 0 => A = 0;
j) A c::;; B U C => An B c::;; C; k) E c::;; A=? .4 = E; 1) A c::;; B =? B U C c::;; Au C; m) A c::;; B => B c::;; A; n) .4 c::;; B => (A n B = 0 §i A U B = E).
3. Fie A = {x E Qlx2 - 12x + 3.) = O},
B = {x E Qlx2 +2x-35 = O}, C = {x E QI(x2 +1)(7x-1) = O}. a) sa se determine multi mile A, B §i C. b) Sa se precizeze daca numerele 1/5, 5, 7, 1/2 apartin sau nu aces
tor muI~imi.
25
4. Sa se determine multimile A={XEltY*lx=2n, n=1,9}, B = {y E .liV*ly = 4m + 6n, m = 1,3, n = -1,0}.
5. Fie A = {x E iNlx = 4n + 6m, n, mE .liV*}. a) Sa se scrie trei elemente ale multimii A. b) Stabiliti daca 26,28,33 sunt elemente din A.
6. Sa se indice proprietatile caracteristice ale elementelor multimilor: A = {4,7,10}, B = {3,6,12}, C = {1,4,9,16,25}, D = {1,8,27,64,125}.
7. Cate elemente au multimile: A={XEQJx=3n/(n+2), n=1,50}, B = {y E Qly = (n - 1)/(2n+1
), n = 1,10}, C={z E JRJz=(an + b)/(cn + d), a,b,c,d E JR, cd>O, n=l,p}?
8. Fie data multimea A = {-3,-2,-1,1,2,3}. Sa se determine submultimile lui A:
Al = {x E AIP(x): 2x+ 1 = x}, A2 = {y E AIQ(y): IYI = y}, A3 = {z E AIR(x): Jzl = -z}.
9. Sa se determine multimile: a) A = {x E ZI min(x + 1, 4 - 0.5x) ~ I}; b) B = {x E Zlmax(x -2,13- 2x) ~ 6}; c) C = {x E iN*1 min(3x - 1, 2x + 10) ~ 20}; d) D = {x E .liV*J max(20 - x, (45 - 2x)/3) > 13}; e) E= {x E ZI min(2x + 7,16 -3x) > O}; f) F = {x E Z J max( x-I, 1 - x) ~ 4}; g) G = {x E JRI min(x - 1, (13 - x)/2) < 3}; h) H = {x E JR I max( x + 1, 7 - x) > 5}; i) I = {x E ZJ max(x + 1,4 - O.ox) ~ I}; j) J = {x E .liV*1 min(20 - x, (45 - 2x)/3) ~ 20}; k) J( = {x E Zlmin(x+2, 10- x) > -2}; 1) L = {x E Zllx - 4J < 8}.
10. Sa se compare (c, :=>, =, ct, 1;) multimile A §i B, daca:
{ I 2n+ 1 }
a) A = x E Q x = n + 4 ' n E iN* , B = {x E Alx < 2};
26
b) A={X E QIX= ~~2:~, n EM'"}' B={x E AI2 ~ x < 3};
c) A = {x E ZIx 2 + 5x + 10 = n2, n EM}, B = {-6, -3, -2, I};
d)A={XEZlx 2 +3x-3=n2, nEM}, B={-7,-4,1,4};
e) A = {x E ZIx2 + llx + 20 = n2, n EM}, B = {-16,5};
f) A = {x E Rllx-11+lx-21 > 5}, B = {x E lRl(5/(x-4)) > -I}; g) A = {x E Rllxl + 11- xl ~ 2}, B = {x E lRI4x 2
- 4x - 3 ~ O}; h) A = {x E RI4x2
- 4x - 3 ~ O}, B = {x E lRl(3/(x + 1)) < I}.
11. Fie A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {5,6,7,8,9,10}. Folosind simbolurile u, n, \, G (complementara), exprimati cu ajutorullui A, B §i M* multimile:
a) Al = {5,6, 7}; b) A2 = {1,2,3,4}; c) A3 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; d) -4.4 = {8, 9,10, ... }; e) As = {8,9,10}; f) A6 = {1,2,3,4,1l,12,13, ... }; g) A7 = {1,2,3,4,8,9,10}.
12. Sa se determine multimea E, in caz cit nu este indicata, §i partile sale A, B, G care satisfac concomitent conditiile:
a) Au B = {1,2,3,4,.5,6, 7}, An B = {1,2}, A \ B = {5}; b) A = {2, 5, 9,13, ] 8, 20}, B = {2, 6,18, 20},
Au B = {I, 5, 6, 9,13, 14}; c) An B = {1,3}, A = {5, 6, 7, 9, 10}, A l':. B = {2,4, .5, 8, 9, 10}; d) Au B = {1,2,3,4,5}, A \ B = {1,4}, An B ~ {3,4,5},
E = {1,2,3,4,5}; e) AuBuG = {1,2,3,4,5}, AnBnG = {4}, A \B = {1,2},
A \ G = {1,3}, 5 ~ A u B, E = {1,2,3,4,5}; f) E = {1,2,3,4}, 1 E A, {2,4}nB = 0, 3 E AnBnG, 4 E AnG,
An B ~ G, BuG ~ A, Au BuG = E; g) E = {1,2,3,4,5}, AuB = E, AnB = {2,3}, {2,3,4,5}nB ~ A,
{1,4} n _4. ~ B; h) E = {1,2,3}, AuBuG = E, AnB ct G, AnG ct B, BnG = {2},
1 E B \ G; i) E = {1,2,3,4,.5}, Au B = E, An B = {1,2}, 5 ~ A \ B,
A are mai multe elemente ca B; j) E = {I, 2, 3, 4, 5, 6}, AU BuG = E, An B n G = {5},
27
A \ B = {1,3,6}, A \ C = {1,2,4};
k) E = {1,2,3,4}. AnB = {1,2}, A \B = {1,2,4}, {1,2,3} rt B,
A are mai putine elemente ca B;
1) A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,5,6, 7}, AU B = {2,3,4, 7,8,9,10},
AnB={8,9,10};
m) E = {a,b,c,d,e.j,g,h,i}, AnB = {d,j,i},
AU{c,d,e} = {a,c.d,e,j,h,i}, BU{d,h} = {b,c,d,e,j,g,h,i};
n) E = {1,2,3, ... ,9}. An B = {4,6,9},
AU {3, 4, 5} = {I, 3, 4, 5,6,8, 9}, B U {4, 8} = {2, 3, ... , 9}.
13. Sa se determine mu1timile A, B. AU B, An B, A \ B, B \ A, A b, B, A U (B \ A), A \ (B \ A), A X B, B X A, (A U B) X A, B X (A \ B), daca:
4 { ~ I 8n - 18 J!vT
} a). = x E l!V x =. n E 2n - 9 ' ,
{ I 9n2 - 48n + 16 }
B= xEZx= ,nElN ; 3n - 8
b)A= xEQx=--,nElN , { I 2n + 1 } 2n - 3
{ I 3k + 1 ~} B= YEQy=--. kEIN . :3k - 2' ,
c) A = {x E lNlx = ~. n E IN} I n+2 '
{ I 6n + 7 ~}
B= YEZ,Y=3n+1,nElV ;
{ ~12X + 5 r} d) A = x E IN ~ E fA ,
{ I 2n2 + 4n + 2 }
B = x E IN Y = n2 + 1 ' n E IN :
28
e) A = {x E Z\ ~ ~ ~ ~ O}, B = {X E Z\ X2: ~X1+ 6 E Z};
f) A = { x E Z \ ~ ~ : ~ 1 }, B = { x E Fv'! ~ ~ : ~ 1 }:
g) A = { x E Z I : = ~ E Z }, B = { x E IN \ : = ~ E Z };
h) A = { x E Z I x 2 : :X 3+ 6 E Z },
B = {1: E IN \ x2
- 5x + 6 E Z}; x+3
i).4 = {x E .LV"'lx = 2n,n = 1,10}, B = {y E lV*ly = 4m + 6n, m = 1,3, n E {-1,0}};
j) A = {x E lRllx - 7\ + Ix + 71 = 14}. B = {x E Zllx + 31 + Ix - 91 = 14};
k) A = {n 2 - 51n E IN}, B = {n2 + Sin E IN}:
1) A = {n 2 - 50ln E LV}, B = {n 2 + 50ln E IN};
m) A = {n 2 - 500ln E Fv'}, B = {n 2 + 500ln E iN};
n) A={x E lRlx-Jx2-1=V2}, B={x E lRI8x2-2V2x+3=0}.
{ \
7n - 4 } 14. Fie M = x E Q x = n + 3 ' n E N* .
a) Sa se determine multimile: A = {x {:} Aflx ~ 6}, B = {x E Mix < 7}, C = {x E Mix E Z}. b) Cate elemente are multimea D = {x E ..:'vIlx ~ (699/100)}?
15. Sa se determine multimile A, B ~ E, daca .46. B = {2,4,5,8,9,1O}, An B = {1,3}, A = {5,6,7,9,10},
E = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10}.
16. Sa se determine multi mea E §i partile sale A §i B, daca A = {2, 5, 9,13,18, 20}, B = {2, 6, 18, 20}, AU B = {I, 5, 6, 9,13,14}.
17. Comparati multi mile A §i B, daca: a) A = {.r E lRIJx2 - 25 < x + I},
B = { x E lR\ { :/_\~ ~' (x + 1)2 };
b) A = {x E lRIJx2 - 16· (x2 - 80) ~ J~x2c---1-6},
B = {x E lR\ { :~ = ~~x~ ~0'1 }:
29
c) A = {x E lRIV6 + x - X2 > 2x - I},
B = {X E lRl { ~X+:1-:~.~ 0, }; 6 + x - -x2 '> (2x - 1)2,
d) A = {X E lRI2x - 3 - _1_ < x - 4 - ~}, x-5 x-v
B = {x E lRI2x - 3 < x - 4};
{ 1
5 2 52} e)A= XElR-2
(X-X -1)(x+4)<-2(X-X -1)(3x+1) ,
B = {x E lRlx + 4 < 3x + I};
f) A = {x E lRl y1x2+ 1 < O}, B = {x E lRl (yIx2+ 1) 2 < o}; g) A = {x E lRIVxTI· vX=3 < 1/2},
B = {x E lRl2J(x + 3)(x - 3) < I}.
18. Sa se determine valorile parametrului real m pentru care multimea A are un element, doua elemente sau este vida, daca:
a) A = {x E lRlx2 + mx + 1 = O}; b) A = {x E Dllmx2 - 5x + m = O}; c) A = {x E lRlx2 - mx + 3 = O}; d) A = {x E Dllx2 - 2( m - 2)x + m2 - 4m + 3 = O};
e) A = {x E DlI(m + 1)x2 - (5m + 4)x + 4m + 3 = O};
f) A = {x E Dllx2 - mx + 36 = O};
g) A = {x E lRl(2m - 1)x2 + 2(1 - m)x + 3m = O};
h) A = {x E lRlmx2 - (m + l)x + m - 1 = O}.
19. Sa se determine numarul de elemente ale multimii A:
a) A = {x E Qlx = (n2 + 3)/(n2 + n), n = 1,50};
b) A = { x E Q I x . = (z + 6 ~ z + 5)' Z E z, I z I ::; 45 };
c) A = {x E ZI(x 2 + 1)(5 - x2) ~ O};
d) A = {x E ZI(x2 - 3)(x2 - 33)(x2 - 103)(x2 - 203) < O};
e) A = {x E zlx = ;:~, z E Z };
f) A = {x E wlx = ;:~, z E Z }.
30
20. Se considera multimile A, B, C. Sa se determine A n B n C. a) A = {lOx + 31x E IN}, B = {12y + 71Y E IN},
C = {15z + 131z E IN}; b) A = {15n - 700ln E IN}. B = {270 - 10mlm E IN},
C = {48k + 561k E IN}.
21. Sa se determine An B, daca:
a) A = {6n + 71n E IN}. B = {1l4 - 7mlm E IN}; b) A = {3p + 281p E LV}, B = {107 - 14qlq E IN}; c) A = {3n - 21n E IN}. B = {1003 - 2mlm E IN}.
22. Sa se demonstreze proprietatile operatiilor cu multimi (vezi p. 1.1).
23. sa se demonstreze egalitatile (A, B, C etc. multimi arbitrare): a) A \ B = A \ (A n B) = (A U B) \ B; b) A \ (B U C) = (A \ B) n (A \ C); c) A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C); d) (A n B) \ C = (A \ C) n (B \ C); e) (A \ B) n C = (A n C) \ (B n C) = (A n C) \ B; f) (A U B) \ C = (.4 \ C) U (B \ C); g) (A \ B) \ C = A \ (B U C); h) A \ (B \ C) = (A \ B) U (A n C); i) An (B !::. C) = (A n B) !::. (A n C); j) (A n B) !::. A = A \ B;
n T,
k) Au (n B;) = n(A U B;); ;=1 ;=1 n n
;=1 ;=1 n n
m) A \ (U Bi) = n(A \ Bi). i=l i=l
24. Fiind date multi mile A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, C = {3,4,5} §i D = {4, 5, 6}, sa se scrie elementele urmatoarelor multimi:
a) (A X A) n (B X B); b) A2 X C 2 ;
c) (A \ B) X (C \ D); d) (A n B) X (C n B); e) (A U B) X (B U D);
31
f)(AxE)\(CxD); g) (A \E) x (CnE); h) (A \ C) x (E \ D); i) (A \ (C \ D)) x ((D \ E) U A); j) (A /:; E) x (D /:; E).
25. Fiind date mul~imile A, E §i C, rezolva~i ecuatiile (A f E) /:; X = C, unde f E {U, n, \, /:;}:
a) A = {L 4, 6}, E = {5, 7, 9}, C = {I, 2,3,4,5,6,7,8, 9}; b) A = {4,5,6}, E = {I,2,3,4,5,6, 7}, C = {I,5,6, 7}.
26. Sa se determine multi mile An E, AU E, A, E, A \ E, E \ A, Au (B \ A ), An ( A \ E), daca:
a) A={x E lR/(x-3)(2+x)(4-x) > O}, E={x E lR/x 2-7x+I2 ~ O}; b) A = {x E lR/4x2 - 12x + 5 < O}, E = {x E lR/I/2 < x < 5/2}; c) .4 = {x E lR/x2 - 5x + 6 ~ O}, E = {x E lRlI ~ 2x + 7 ~ 3}: d) A = {x E lRl(x2-4)(x+I) > A}, E = {x E lRlx 2-2x-3 > O};
e) A = {x E lR/2x(x+7) = x2+3x}, E = {x E lRl [ ~~2+=4 6:'0 };
f) A = {x E lRl(x2-4x)(x+I) < O}, E = {x E lRlx2_2x-3 < O}; g) A = {x E lR/3X(.T - 2) - (x + I)(x - 13) = O},
E = {x E lRl [ ~:x~ ~ ~4; + 9 = 0 };
h) A = {x E lR13( x - 9)2 - 2( x - 9) - 16 = O},
E = {x E lRl [ x2
-9I
(4X + !9)=_039 }; x-- x+- --
5 3 2 i) A = {x E lR 14( 2x - 3? - 4( 2x - 3) + 1 = O},
E = {x E lRl [ ~:2_-7)(!22+=I~'= 0 };
j) A={x E lR112x-II < 14x+II}, E={x E lRI13x-II-12x+31 ~ O}; k) A = {x E lR114-3xl ~ 2-x}, E = {x E lR112x-31 ~ 2x-3}; 1) A = {x E lRI6x2 - 2x+ 1 ~ I}, E = {x E lRlx2 +2Ixl-3 ~ O}; m) A = {x E lRllxl+IX-ll < 5}, E = {x E lRllx+II+lx-21 > 5}; n) A = {x E lRlllx - 31 + 11 ~ 2}, E = {x E lRlllx - 11 + xl < 3}.
J
CAPITOLUL II
Relatii, functii
2.1. Definitii §i notatii
I. Relatii, tipurile lor. Compunerea relatiilor. Fie A §i B doua multimi nevide, iar A x B produsul cartezian al
lor. 0 submultime R ~ A x B se nume§te relatie intre elementele lui A §i elementele lui B. in cazul dnd A = B, 0 relatie R ~ A X A se nume§te relatie binara definita pe multi mea A.
Daca exist a 0 relatie R ~ A X B, atunci pentru 0 pereche ordonata (a,b) E A X B putem avea (a,b) E R sau (a,b) rt. R. in primul caz scriem aRb §i citim "a este in relatia R cu b", iar in al doilea caz -a R- b, care se cite§te "a nu este in relatia R cu b". Retinem deci ca
aRb ~ (a,b) E R. Prin domeniul de definitie al relatiei R ~ A X B yom intelege
submuWmea DR ~ A ce cansta din acele §i numai acele elemente ale multimii A ce se afia in relatia R cu un element din B, adica
DR = {x E AI(:J) y E B, (x, y) E R}. Prin domeniul de valori al relatiei R ~ A X B yom intelege
submultimea PR ~ B ce consta din acele §i numai acele elemente ale multimii B care se alfa in relatia R cel putin cu un element din .4, adica
PR = {y E BI(3)x E A, (x,y) E R}. Relatia inversa. Daca avem 0 relatie R ~ A X B, atunci prin
relatie inversa a relatiei R yom intelege relatia R-1 ~ B X A definita de echivalenta
(b, a) E R-1 ~ ( a, b) E R, adica
R-1 = {(b,a) E B X AI(a,b) E R}.
33
Exemplul 1. Fie A = {I, 2}, B = {4, 5, 6} §i relatiile a = {(I,5), (2,4), (2,6)} ~ A X B, /3 = {(2,4), (2,5), (2,6)} ~ A X B §i , = {( 4, 1), (4, 2), (5, 1), ( 5, 2)} ~ B X A.
Sa se determine domeniul de definitie §i domeniul de valori ale aeestor relatii §i relatiile inverse respective.
Solulie. a) Do. = {I,2} = A, Po: = {4,5,6} = B; a-I = = {(5,I), (4,2), (6,2)}; Do:-l = B, Po:-l = A;
b) D/3 = {2}, Pf3 = {4,5,6} = B; /3-1 = {(4,2), (5,2), (6,2)}; D/3-1 = B, P!3-1 = {2};
c) D, = {4,5}, P, = {I,2} = A; ,-I = {(I,4), (2,4), (1,5), (2,5)}; D,-l = A, P,-l = {( 4, 5)}.
Compunerea relatiilor. Fie A, B, C trei multimi §i sa eonsideram relatiile R ~ A X B, S ~ B X C. Relatia R 0 S ~ A x C eonstruita in eonformitate eu eehivalenta
(a,c) E Ro S ¢> (::J)b E B ((a,b) E R 1\ (b,e) E S), adica R 0 S = ((a, e) E A x CI(::J)b E B((a,b) E R 1\ (b,e) E S)} ~ A x C,
se nume§te compunerea relatiilor R §i S.
Exemplul 2. Fie A, B, a, /3" eele din exemplul 1. Sa se determine
/3 {3 /3-1 /3-1 {3 {3-1 -1 {3-1 . (/3 )-1 a 0 a, a 0 , a 0 l' , 0 , , 0 a, 0, , 0 " 0 §l 0 l' .
Solulie. Atragem atentie ca eompusul relatiilor a ~ C x D eu j3 ~ E x E exist a, daea §i numai daca D = E.
a) Deoareee 0: ~ A X B, /3 ~ A X B, rezulta ea a 0 0: §i 0: 0 (3 nu exista.
b) 0: ~ A X B §i , ~ B X A =? a 0, E A X A. Determinam a 0 ,:
(1,5) E a §i (5, 1) E l' =? (1, 1) E a 0 1',
( 1, 5) E a §i (5, 2) E , =? (1, 2) E 0: 0 , ,
(2,4) E a §i {( 4,1), (4, 2)} ~ , =? {(2, 1), (2, 2)} ~ a 01';
(2,6) E a, rnsa in, nu avem nici 0 pereehe eu prima component a 6. Rezulta a 0, = {(I, 1), (1,2), (2,1), (2,2)}.
c) /3 ~ A X B, , ~ B X A=?/3 0, exista. Repetand rationamentele din p. b), obtinem
/3 0 l' = {(2, 1), (2,2)}. d) 8-1 ~ B X A §i a ~ A X B =? /3-1 0 a ~ B X B §i
/3-1 0 0: = {(4,4), (4,6), (5,4), (5,6), (6,4), (6,6)}. e) /3-1 ~ B X A §i ;3 ~ A X B =? /3-1 0 /3 ~ B X B §i
34
;3-1 0 ;3 = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)}=B2.
f) {3 ~ A x B §i (3-1 ~ B x A =? 13 0 13-1 ~ A x A §i 13 0 13-1 = {(2,2)}.
g) ,-I ~ A x B §i 13-1 ~ B X A =? ,-1 0 13- 1 ~ A X A §i ,-I 013-1 = {(I,2), (2,2)}. h) (13 0, )-1 = {(I, 2), (2, 2)} = ,-I 013-1 .
Rela!ia de egalitate. Fie A 0 multime. Relatia IA = {(x,x)lx E A} =/:0. ~ A X A
se nume§te rela!ie de egalitate pe A. Adica xIAy {:} x = y.
De un real folos este Teorema 1. Fie A,B,C,D multimi §i R ~ A X B, S ~ B X C,
T ~ C X D relatii. Atunci 1) (R 0 S) 0 T = R 0 (S 0 T) (asociativitatea compunerii relatiilor); 2) IA 0 R = RolE = R; 3) (R 0 S)-1 = S-1 0 R- l ;
4) (R-l )-1 = R.
Rela!ii de echivalen!8.. Relatia binara R ~ A 2 se nume§te: a) refiexiv8., daca xRx oricare ar fi x E A; b) simetric8., daca (xRy =? yRx), (V)x,y E A; c) tranzitiv8., daca ((xRy /\ yRz) =? xRz), (V) x, y, z E A; d) antisimetric8., daca ((xRy /\ yRx) =? x = y), (V) x, YEA; e) rela!ie de echivalen!8. pe A, daca ea este refiexiva, simetrica
§i tranzitiva; f) antirefiexiv8., daca x R-. x oricare ar fi x E A. Fie R 0 relatie de echivalenta pe multimea A. Pentru fiecare ele
ment x E A, multimea Rx = {y E AlxRy}
se nume§te clasa de echivalen!8. a lui x modulo R (sau in raport cu R), iar multimea
AIR = {Rxlx E A} se nume§te mul!ime factor (sau mul!ime cat) a lui A prin R.
Propriet8.!ile claselor de echivalen!8.. Fie R 0 relatie de echivalenta pe 0 multime A §i x, YEA. Atunci au loc urm,Hoarele afirmatii:
1) x E Rx; 2) Rx = Ry {:} xRy {:} y E Rx;
35
3) Rx 1= Ry <-=> Rx n Ry = 0;
4) U Rx = A. xEA
Parti!ii pe 0 mul!ime. Fie A 0 multime nevidi1. 0 familie de submullimi {Ai/i E I} ale lui A se nume§te parti!ie pe A (sau a lui A), daca. sunt satisfacute urmatoarele conditii:
1) i E I ::::} Ai 1= 0; 2) Ai 1= Aj ::::} Ai n Aj = 0;
3) U Ai = A. iEI
Teorema 2. Pentru orice relatie de echivalenta R pe multimea A, multimea factor A/ R = {Rx/x E A} este 0 partitie a lui A.
Teorema 3. Pentru orice partitie S = {Ai/i E I} a lui A, exista 0
unica relatie de echivalenta as pe A, astfel ca
A/as = {Ai/i E I}.
Relatia as ~ A2 se construie§te dupa regula xasy ¢> (3) i E I (x E Ai 1\ Y E Ai).
Se stabile§te u§or ca as este relalie de echivalenta pe A §i egalitatea ceruta.
Exemplul 3. Definim pe multimea Z relatia binara a in conformi-tate cu echivalenla aab ¢> (a-b):n, un de n E IN*, n fixat, (V) a,b E Z.
a) Sa se demonstreze ca a este relatie de echivalenta pe Z. b) Sa se determine structura claselor de echivalenta. c) Sa se construiasca multimea factor Z/a. Aplicatie: n = 5.
Solutie. a) Fie a, b, c E Z. Atunci: 1) refiexivitatea a - a = O:n ::::} aaa; 2) simetria aab::::} (a - b):n::::} -(b - arn ::::} (b - arn ::::} baa; 3) tranzitivitatea (aab 1\ bac) ::::} ((a - b):n 1\ (b - crn) ::::}
::::} ((a - b) + (b - c)):n::::} (a - crn::::} aac. Din 1) - 3) urmeaza eli a este relatie de echivalenta pe Z. b) Fie a E Z. Atunci
aa={b E Z/aab}={b E Z/(b-arn}={b E Z/(3)t E Z: b-a=nt}= = {b E Z/(3) t E Z: b = a + nt} = {a + nt/t E Z}.
In conformitate cu teorema impartirii eu rest pentru numer-ele intregi a §i n, obtinem
a = nq + r a, 0 ~ r a ~ n - 1.
36
Atunci a + nt = nq + ra + nt = ra + (nt + nq) = ra + ns,
un de s = t + q E Z, §i de aceea Q a = {ra + nsls E Z},
unde r a este restul de la impartirea lui a prin n. Insa a = nq + ra ¢} a - ra = nq ¢} (a - ra):n ¢} aQra ¢} Q a = Qra •
eu alte cuvinte, clasa de echivalenta a lui a E Z coincide cu clasa restului de la impartirea lui a prin n.
c) Deoarece prin impartirea la n se pot obtine numai resturile 0,1,2, ... , n - 1, din p. b) rezulta ca avem exact n clase de echivalenta diferite:
Qo, Ql, Q2,···, Qn-l·
De obicei se folose§te notatia Qi = ~, i = ~o-, ·-n-----:;-l. Atunci ZjQ = {a, 1, 2, ... , n=-1},
unde 7 consta din acele §i numai acele numere intregi care la impartirea prin n dau restul i, i = 0, n - l.
Pentru n = 5, obtinem ZjQ = {O,i,2,:3,4},
cu 0= {±O, ±5, ±10, ±15, ... } = {5tlt E Z}, i = {I + 5qlq E Z} = { ... ,-9,-4,1,6,1l, ... }, :2 = {2 + .5sls E Z} = { ... , -8, -3,2,7,12, ... }, :3 = {3+ 5ulu E Z} = { ... ,-7,-2,3,8,13, ... }, 4= {4+5vlvE Z} = { ... ,-6,-1,4,9,14, ... }. Definitie. Rela~ia Q se nume§te relatie de congruenta modulo
n pe Z, iar clasa a = Q a se nume§te clasa de rest modulo n §i elementele ei se numesc reprezentan~ii acestei clase.
Notatia obi§nuita: aQb ¢} (a - b):n ¢} a == b( mod n) (a este congruent cu b modulo n), lar
ZjQ = Zn = {O,i,2, ... ,n-=-1} este multimea tuturor claselor de rest uri modulo n.
Exemplul 4 (geometric). Fie II un plan §i L multimea tuturor dreptelor din plan. Definim pe L relatia binara (3 in conformitate cu
d1(3d2 ¢} d1 II d2 , (V) dl, d2 E L. a) Sa se arate ca (3 este 0 relatie de echivalenta pe L. b) Sa se descrie clasele de echivalenta modulo (3. c) Sa se indice multimea factor.
37
Solutie. a) Este evident ca f3 este relatie de eehivalenta (fieeare dreapta este paralela eu ea insa§i; daca d l II d2 ::::} d 2 II d l §i
(di II d2 1\ d2 II d3 ) ::::} dl II d3 ).
b) Fie dEL. Atunci clasa f3d = {I E Lilad} = {I E L1111d}
eonsta din aeele §i numai aeele drepte din L care sunt paralele eu dreapta d.
c) L / f3 = {f3d IdE L} este 0 multime infini ta, deoareee in planul 1i
avem 0 infinitate de direetii.
Exemplul5. Se da multimea A = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9} §i partile ei Al = {1,2}, A2 = {3, 4, 6}, A3 = {5, 7, 8}, A4 = {9}, BI = {1,2, 4}, B2 = {2,5,6}, B3 = {3,7,8,9,10}.
a) Sa se arate ca S = {At, A 2, A 3, A4} este partitie a lui A.
b) Sa se determine relatia de eehivalenta as pe A. c) Este T = {Bt, B 2, B 3} 0 partitie pe A?
Solutie. a) 1) Observam ca Ai E S::::} Ai :I 0, i = 1,4; .2) Al n A2 = Al n A3 = Al n A4 = A2 n A3 = A2 n A4
= A3 n A4 = 0.
3) Al U A2 U A3 U A4 = A, adica sistemul S de submultimi ale multimii A define§te 0 partitie pe A.
b) In eonformitate eu teorema 3, avem (x,y) E as {::} xasY {::} (3)i E {1,2,3,4} (x E Ai 1\ Y E Ai).
Deei as = {( 1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (3,6), (4,3), (4,4), (4,6), (6,3), (6,4),(6,6),(5,5),(5,7),(5,8),(8,5),(8,8),(8,7),(7,5),(7,7),(7,8),(9,9)}.
c) 1) Bi E T ::::} Bi :I 0; i = 1,3; 2) BI u B2 U B3 = A;
3) BI n B2 = {2} :I 0, eeea ee demonstreaza ea sistemul T nu define§te 0 partitie pe A.
Relatii de ordine. 0 relatie binara R pe multimea A se nume§te relatie de ordine pe A, daca este refiexiva, antisimetrica §i tranzi· tiva.
Daca R este 0 relatie de or dine pe A, atunei §i R- I este de asemenea o relatie de ordine pe A (verifieati!). De obieei, se noteaza relatia R eu ,,~" §i relatia R- I eu "~", astfel ca
x ~ y {::} y ~ x.
38
eu aeeasta notatie, eonditiile ca "S;" este 0 relatie de ordine pe multimea A se seriu:
refiexivitatea x E A ::::} x S; x; antisimetria (x S; Y 1\ Y S; x) ::::} x = y; tranzitivitatea (x S; Y 1\ Y S; z) ::::} x S; z.
Exemplul 6. Pe multimea IN definim relatia binara I in eonformitate eu
a-yb <:} (3) k E IN(a = b· k). Sa se arate ca I este 0 relatie de ordine pe IN.
Solutie. Verificam eonditiile din definitia relatiei de ordine. 1) Reflexivitatea
a = a . 1 ::::} ala, (V) a E IN. 2) Antisimetria. Fie a, b E IN eu alb §i bfa. Rezulta ca exista
numerele naturale c, dE IN eu a = b . c §i b = a . d. Atunci a = b . c = (a . d) . c = a . (d . c) ::::} d . c = 1 ::::} d = c = 1,
eeea ee implica a = b . c = b . 1 = b.
3) Tranzitivitatea. Fie a, b, c E IN eu alb §i blc. Atunci exista U, v E IN eu a = bu §i b = cv §i de aeeea
a = bu = (cv)u = c(vu)::::} alc. Deoareee v . u E IN, este adevarata implieatia
(alb 1\ blc)::::} alc, eeea ee demonstreaza ea I este 0 relatie de ordine pe multimea IN .
Remarca. Rela!ia de ordine I se nume§te rela!ie de divizibilitate pe IN §i se noteaza a:b, adica
alb::::} a:b<:} (3) k E IN(a = b· k) <:} bla (bla se cite§t€ lib divide pe a", iar a:b "a este divizibil prin b").
II. Relatii fU1lctionale. Fie A §i B doua multimi. 0 relatie R ~ A X B se nUffie§te aplicatie sau relatie functionala, daca sunt satisfaeute eonditiile:
1) (V)x E A(3)y E B, astfel ineat xRy; 2) (xRy.ft XRYI) ::::} y = YI· n -apijcatie (sau functie) este un triplet f = (A, B, R), unde A
§i B s_(dou~ multimi §i R ~ A x Beste 0 relatie funetionala. Daca, R ~ A x Beste 0 aplieatie, atunci pentru fieeare element
x E A exist a, conform eonditiilor 1) §i 2) de mai sus, un singur element y E,B, astfel ea xRy; notam aeest element y eu f(x). Deci
39
lex) = y {:> xRy. Elementul /( x) E B se nume§te imaginea elementului x E A prin
aplicatia /, multimea A se nume§te domeniul de definitie al lui / notat prin D(J) = A, iar multimea B se nume§te codomeniul lui / §i spunem, de obicei, ca / este 0 aplicatie definita pe A cu valori in B. Relatia functionala R se nume§te §i graficul aplicatiei (funqiei) /, notat, ulterior, prin Gf . Pentru a arata ca / este 0 aplicatie definita
pe A cu valori in B, scriem /: A ---+ B sau A -L B, iar in loc de a descrie care este graficullui R (allui J), indicam pentru fiecare x E A imaginea sa /( x). Atunci
y = /(x) {:> xRy {:> xR/(x) {:> (x,/(x)) E R = Gj, adica
Gf = {x,/(x))lx E A} ~ A X B. Egalitatea aplicatiilor. Doua aplicatii / = (A, B, R) §i
9 = (C, D, S) se numesc egale daca §i numai daca au acela§i domeniu A = C, acela§i codomeniu B = D §i acela§i grafic R = s. in cazul dnd /, g: A ---+ B, egalitatea / = 9 este echivalenta cu /(x) = g(x),(V)x E A, adica
/ = 9 {:> (V)x E A (J(x) = g(x)). Aplicatia identidl. Fie A 0 multime. Tripletul (A, A, 1A ) este,
evident, 0 aplicatie, care se noteaza cu acela§i simbol 1A (sau E) §i se nume§te aplicatie identica a multimii A.
Avem lAx) = y {:> (x,y) E 1.1 {:> X = y.
Prin urmare, 1.1: A ---+ A §i 1A (x) = x pentru (V)x E A.
Prin F(A, B) vom nota multimea functiilor definite pe A cu valori in B. Pentru B = A, vom folosi inscrierea F(A) in loc de F(A, A).
in cazul unei multimi finite A = {al,a2, ... ,an}, 0 functie so: A --+ A se da uneori cu ajutorul unui tablou de forma
in care in prima linie se tree elementele aI, a2, . .. , an ale multimii A, iar in a doua linie se tree imaginile respective ale acestora prin so, anume r(al),r(a2), ... , r(an).
in cazul cand A = {1, 2, ... , n}, vom folosi pentru a determina aplicatia so: A --+ A §i notatia
40
y=(ytl) y~2) yt3) y~n--\) y0L))' mai frecvent folosita pentru inscrierea aplicatiilor bijective ale multimii A in ea insa§i. De exemplu, daca A = {1,2}, atunci elementele lui F(A) sunt:
( 1 2) P = 1 1 ' ( 1 2) 1= 2 2 .
Daca f: A ----+ B, X ~ A, Y ~ B, atunci introducem notatiile: f(X) = {b E BI(3)x E X: f(x) = b} = {f(x)lx E X} ~ B
- imaginea submultimii X prin aplicatia f. In caz particular, 1'(A) = Im1', imaginea aplica1iei 1'; f-l(y) = {a E AI(3) y E Y: f(a) = y} = {a E Alf(a) E Y} ~ A
este preimaginea submultimii Y prin aplicatia f. In caz particular, pentru y E B, vom scrie in loc de f- 1 ( {y} )
simplu f- 1(y), adica f-l(y) = {a E Alf(a) = y}
- multimea tuturor preimaginilor lui y prin aplicatia f, iar f-l(B) = {a E Aly(a) E B}
- preimaginea completa a mu1timii B prin aplicatia f. Compunerea aplica1iilor. Consideram aplicatiile f = (A, B, R)
§i g = (B,G,S), deci codomeniullui f sa coincida cu domeniullui g.
Formam tripletul go f = (A, G, R 0 S). Atunci g 0 f este de asemenea 0 aplicatie, numita compusul
aplicatiei g cu aplicatia f, iar operatia "0 " se nume§te compunerea aplica1iilor. A vern (g 0 1)( x) = z ¢} (x, z) E R 0 S ¢} (3) y E B( (x, y) E R 1\ (y, z) E S) ¢}
¢} (3) y E B: xRy 1\ ySz ¢} (3) y E B: (J(x) = y 1\ g(y) = z) ¢}
¢} g(J(x)) = z, adica
(g 0 J)(x) = g(J(x)), (\I) x E A.
T eorema 4. Fie date aplicatiile A .J..... B ~ G ~ D. Atunci a) (h 0 g) 0 f = h 0 (g 0 J) (asociativitatea compunerii aplicatiilor); b) f 0 lA = IB 0 f = f·
Exemplul 7. Consider am relatii1e R ~ JR X JR §i S ~ [O,+oo)x x [0, +(0), T ~ JR X JR, definite astfel: xRy ¢} x2 = y,
xSy ¢} x = y2, xTy ¢} y = x + 1.
41
A. Sa se determine care din relatiile R, R-l, 5,5-1 , T, T-l sunt relatii functionale.
B. Sa se gaseasca func!iile determinate in p. A. C. Sase calculeze jog,goj, joh, hoj, hoh-l , h-l oh (J,g,h
funqiile din p. B.) D. Sa se calculeze (J 0 h)( -3), (h- l
0 h)(1/2), (h 0 1)(113).
Solutie. Rezolvam A §i B concomitent. a) Examinam rela!ia R.
x E JR :::} x 2 E JR :::} Y E JR, adica 1) (V) x E JR (3) y = x 2 E JR, astfel incat xRy; 2) (xRy /\ XRYl) :::} (y = x 2 /\ Yl = x 2 ) :::} Y = y!, adica R
este rela!ie functionala. N otam aplicatia determinata de R prin j, j = (JR, JR, R).
b) Examinam relatia R- l .
yR-lx ¢} xRy ¢} y = x 2 ,
adica daca y E JR = {a E JRla < O}, atunci nu exista nici un x E JR, astfel incat yR-lx, ceea ce demonstreaza ca R-l nu este rela!ie func!ionala.
c) Pentru rela!ia 5, avem: 5 §i 5-1 sunt rela!ii func!ionale. Notam prin 9 = ([0, +00), [0, +00), 5) §i g-l = ([0, +00), [0, +00), 5-1) func!iile (aplicatiile) definite de 5 §i 5-1 , respectiv.
d) Examinam relatia T: 1) x E JR :::} x + 1 E JR §i deci
(V)x E JR (3) y = x + 1 E JR, astfel ca xTy;
2) (xTy /\ XTYl) :::} (y = x + 1 /\ Yl = X + 1) :::} Y = Yl, ce demonstreaza ca Teste relatie funqionala.
e) Pentru relatia T- l , obtinem: yT-lx ¢} xTy ¢} y = x + 1 :::} x = Y - 1.
1) (V) Y E JR (3) x = y - 1 E JR, astfelincat yT-lx; 2) (yT-lx /\ yT-lxl) :::} (xTy /\ xlTy) :::} (y = x + 1 /\ Y =
= Xl + 1) :::} Xl + 1 = x + 1 :::} Xl = x, adica T-l este de asemenea rela!ie func!ionala. N otam prin h = (JR, JR, T) §i h -1 = (JR, JR, T-l ).
C. Din A §i B rezulta j(x) = x 2 ,x E JR, g(x) = .jX,x E [0, +00), hex) = x + 1,
x E JR, h-l(x) = X - 1,x E JR. a) Atunci jog, goj §i goh nu exista, fiindca domeniile §i codomeni
ile nu coincid (J = (JR, JR, R), 9 = ([0, +00), [0, +00), 5), h = (JR, JR, T»).
42
b) Calculam f 0 h, h 0 f, h 0 h-1 §i h-1 0 h. (f 0 h)(x) = f(h(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2;
(h 0 J)(x) = h(f(x)) = h(x2) = x 2 + 1; (h 0 h-1 )(x) = h(h-1(x)) = h(x - 1) = (x - 1) + 1 = x = 1JR(x);
(h- 1 0 h)(x) = h-1(h(x)) = h-1 (x + 1) = (x + 1) -1 = x = 1JR(x).
Deci f 0 h I: h 0 f §i h 0 h-1 = h-1 0 h = 1JR.
D. Calculam: (f 0 h)( -3) = (x + 1)2/x =_3 = 4, (h- 1 0 h)(1/3) =
= 1/2, (h 0 J)(1/3) = (x 2 + 1)/ x=1/3 = 1/9 + 1 = 10/9.
Aplicatii injective, surjective §i bijective. 0 aplicatie f: A ---+ B se nume§te:
1) inject iva, daca f( ad = f( a2) ~ al = a2, (\I) aI, a2 E A (echivalent: al I: a2 ~ f(al) I: f(a2));
2) surjectiva, daca (\I) bE B (3) a E A: f( a) = b (orice element din Bare cel putin 0 preimagine in A);
3) bijectiva, daca f este injectiva §i surjectiva. Remarca. Pentru a demonstra ca 0 func!ie f: A ---+ Beste sur
jectiva, trebuie ca ecua!ia f( x) = b sa fie rezolvabila in A pentru orice bE B.
De un real folos sunt
Teorema 5. Fiind date aplica1iile A ~ B ~ C, avem: a) dadi f §i 9 sunt injective, atunci go f este injectivii;
b) dacii f §i 9 sunt surjective, atunci 9 0 f este surjectivii; c) dacii f §i 9 sunt bijective, atunci 9 0 f este bijectiva; d) daca 9 0 f este injectiva, atunci f este injectiva;
e) daca 9 0 f este surjectiva, atunci 9 este surjectivii.
T eorema 6. Aplica1ia f: A ---+ B cu graficul G f = R este aplica1ie bijectiva, daca §i numai daca rela1ia inversii R-1 este 0 rela1ie func1ionalii (f-l este aplica1ie).
Aceasta teorema rezulta imediat din (y, x) E R-1 {:} yR-1x {:} f-l(y) = X {:} xRy {:} y = f(x).
Aplicatia inversa. Fie f: A ---+ B 0 aplicatie bije<:tiva cu graficuI G f = R. Din teorema 6 rezulta ca tripletul f- 1 = (B, A, R-1 ) este o aplicatie (functie). Aceasta functie se nlH'n~te inversa functiei f. Avem
f- 1 : B ---+ A, iar pentru y E R, f-l(y) = X {:} yR-1x {:} xRy {:} f(x) = y,
43
/ adid
Teorema 7. Aplicalia f: A --+ Beste bijectiva, daca §i numai daca exista 0 aplicalie g: B --+ A cu go f = 1A §i fog = lB. in acest caz, avem g = f-l.
III. Funetii reale. Funetia f: A --+ B se nume§te funetie de variabila reala, daea A = D(f) ~ JR. Funetia de variabila reala f: A --+ B se nume§te funetie reala, daea B ~ JR. Cu alte euvinte, funetia f: A --+ B se nume§te funetie reala, dad A ~ JR §i B ~ JR. Grafieul funetiei reale f: A --+ Beste submultimea G j a lui JR2, formata din toate pereehile (x, y) E JR2 eu x E A §i y = f(x), adica
Gj = {(x,f(x))lx E A}. Dad funqia f este inversabila, atunei
(y,x) E Gj-l {:} (x,y) E G j .
Traditional, in loe de f-l(y) = X se serie y = f-l(x). Atunei grafieul funetiei inverse f- 1 este simetrie eu grafieul funetiei f in raport eu biseetoarea y = x.
Exemplul 8. Pentru funetia f: [0,(0) --+ [0,(0), y = f(x) = x 2
,
funetia inversa este f- 1 : [0,(0) --+ [0,(0), y = f-l(x) = Vi.
Grafieul funetiei f este ramura parabolei y = x 2 euprinsa in eadranul I, iar grafieul funetiei f- 1 este ramura parabolei x = y2 euprinsa in eadranul I (fig. 2.1).
Operatii algebriee eu funetii reale. Fie f, g: D --+ JR doua funetii reale definite pe aeeea§i multime D. Consideram funetiile:
s = f + g: D --+ JR, definita prin s(x) = f(x) + g(x), (If) xED; s = f + g - funetia-suma.
p = f· g: D --+ JR, definita prin p(x) = f(x)· g(x), (If) xED; p = f . g - funetia-produs.
d = f - g: D --+ JR, definita prin d(x) = f(x) - g(x), (If) XED; d = f - g - funetia-diferenta.
q = £: Dl --+ JR, definita prin q( x) = f(( x)), (If) x E D1 , g g x
unde Dl = {x E Dlg(x) i= O};
q = £ - funetia cat. g
44
Ifl:D -+ JR, definita prin Ifl(x) = If(x)1 = { f(x),dae~ f(x) 2: 0, -f(x),daea f(x) < 0,
pentru (V)x E D; If I - functia modul.
y
x
Fig. 2.1
Exemplul9. Fie f,g: [0,+(0) -+ JR eu f(x) = x2 §i g(x) = .;x. Sa se determine f ± g, f· 9 §i fig·
Solutie. Deoareee funetiile f, 9 au aeela§i domeniu de definitie, funetiile f ± g, f . 9 §i f / 9 au sens §i
sex) = (J + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 +.;x, (V)x E [0,+(0);
d(x) = (J - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 -.;x, (V)x E [0,+(0);
p(x) = f(x)· g(x) = x2 . .;x, (V)x E [0,+(0);
q(x) = f(x)/g(x) = x2/.;x = x.;x, (V)x E Dl = (0,+00).
Exemplul 10. Fie f: JR -. [0, +(0), f(x) = x2 §i g: [0, +(0) -+ JR, g(x) = .;x. Sa se determine a) go f §i b) fog.
Solutie. a) go f = r.p are sens §i obtinem funetia r.p: JR -+ JR eu r.p(x) = (g 0 J)(x) = g(J(x)) = g(x2) = R = lxi, (V) x E JR.
b) De asemenea are sens 1j; = fog: [0,(0) -+ [0,(0), eu ~)(x) = (J 0 g)(x) = f(g(x)) = f(.;x) = (.;x? = x, (V) x E [0,(0).
45
2.2. Exercitii rezolvate
1. Fie A = {2,4,6,8} §i B = {1,3,5,7}, a ~ A X B,a = {(x,y)lx ~ 6 sau y ~ I}:
a) care este graficul relatiei a? b) sa se alcatuiasca schema relatiei a.
Solutie. a) Deoarece x E A, iar y E B, rezulta ca x ~ 6 {::} x E {6,8}, Y ~ 1 {::} Y = 1.
Deci a = {(6, 1), (6,3), (6,5), (6,7), (8,1), (8,3), (8,5), (8,7), (2,1), (4, I)}.
b) (Vezi fig. 2.2).
A B
Fig. 2.2 2. Fie A = {1,2,3,4} §i B = {1,3,5,7,8}. Sa se scrie graficul
relatiei a = {(x, y)13x + 4y = 1O} ~ A X B.
Solutie. Observam ca 3x + 4y = 10 {::} 3x = 2(5 - 2y) ~ x este par §i (5 - 2y):3. Tinand cant de faptul ca x E A §i y E B, abtinem: x E {2,4}, y E {1,7}. Egalitatea 3x + 4y = 10 este satisfacuta numai de x = 2 §i y = 1. Deci G ex = {(2, I)}.
3. Fie A = {1,3,4,5} §i B = {1,2,5,6}. Sa se scrie relatia a cu ajutorulliterelor x E A §i y E B, daca se cunoa§te graficul relatiei a.
Gex = {(I, 1), (1,2), (1,5), (1,6), (3,6), (5,5)}.
Solutie. (x, y) E G ex {::} y:x.
4. Consideram pe multimea numerelar naturale IN relatii1e a,j3,~/,w ~ IN 2
, definite in felul urmator (x,y E IN): a = {(3,5), (5,3), (3,3), (5,5)}; xj3y {::} x ~ y;x,y {::} y - x = 12;xwy {::} x = 3y.
46
a) Sa se determine 8a, Pa, 8(3, P(3, 8" P" 8w, PW. b) Ce proprietati poseda fiecare din relatiile 0:, (3, , , w ? c) Sa se determine relatiile 0:-1, (3-1, ,-I §i w-1 .
d) Sasedetermine relatiile (30" ,0(3, ,-1 0 (3-1, ((30,)-\ ,OW
§i w-1 ow.
Solutie. a) 1) 8a = {3,5} = Pa. 2) 8(3={x E lVl(3)y E lV: x(3y}={x E lV\(3)y E lV: x:S y}=lV
(pentru orice numar natural exista numere naturale ce-l intrec). P(3 = {y E lVl(3)x E lV: x(3y} = {y E lV(3)x E lV: x:S y} = lV
(pentru orice numar natural exista eel putin un numar natural ce nu-l intrece).
3) 8,={x E lVl (3)y E lV: x,y}={x E lVl(3)y E lV: y - x=12}= = {x E lVl(3) y E lV: x = y - 12} = lV
(de exemplu, 0 = If - 12, 1 = 13 - 12 etc.). P, = {y E lVl(3)x E lV: y = x + 12} = lV \ {0,1,2, ... ,1l}
(de exemplu, ecuatia 2 = x + 12 nu are solutii in lV). 4) 8w = {x E lVl(3)y E lV: xwy} = {x E lVl(3)y E lV: x =
= 3y} = {x E 1'Vlx:3} = {0,3,6,9, ... } = {3klk E lV}. Pw={y E lVl(3) x E lV: x=3y}={y E lVl(3) x E lV: y=x: 3}=lV
(pentru orice n E lV, avem n = 3n/3). b) 1) 0: este simetrica, tranzitiva, dar nu este reflexiva. De exem
plu, (2,2) rt 0:; deoarece (3,3) E 0:, rezulta ca 0: nu este nici antireflexiva.
2) (3 este reflexiva (x < x, (V) x E lV), antisimetrica ((x(3y 1\ y,6x) => (x :S y 1\ Y :S x) => x = y), tranzitiva (( x :S y 1\ Y :S z) => x :S z). Deci (3 este 0 relatie de or dine pe multimea lV.
3) , este antireflexiva (x - x -=I 12, (V) x E lV), antisimetrica ((x,y 1\ y,x) => (y-x = 12 §i x-y = 12) => x-y = y-x => x = y), dar nu este simetrica (x,y => y - x = 12 => x - y = -12 => x.:r-y), nu este tranzitiva ((x,y 1\ y,z) => (y - x = 12 1\ z - Y = 12) => z - x = = 24 => x.:r- z).
4) w nu este antireflexiva (x -=I 3x, (V) x E lV*, 0 = 3·0), este antisimetrica ((xwy 1\ ywx) => (x = 3y 1\ Y = 3x) => x = 9x => x = = 0 = y, iar pentru x -=I 0 -=I y, egalitatile x = 3y §i y = 3x nu pot avea loc), nu este reflexiva (de exemplu, 1 -=I 3 . 1 => l-w.. 1), nu este tranzitiva ((xwy 1\ ywz) => (x = 3y 1\ Y = 3z) => x = 9z -=I 3z, in general => x-w.. z).
47
c) 1) a-I = {(5,3), (3,5), (3,3), (5,5)} = 0:.
2) {3-1 = ((y,x) E ]V21(x,y) E {3} = {(y,x) E ]V2Jx{3y} = = {(y,x) E ]V21x ~ y} = {(y,x) E ]Vly ~ x}.
Deci
(1)
3) (y,x) E ,-I {:} (X,y) E, {:} x,y {:} Y - x = 12 {:} x = Y - 12, adica
4) (y,x) E w-1 {:} (x,y) E w {:} x = 3y {:} Y = x/3, adica
d) 1) (x, Y) E {3 0, {:} (3) zEIN: (x, z) E ,6 /\ (z, y) E ,{:}
{:} (3) z E ]V: x ~ z /\ Y - z = 12 {:} (3) ZEIN: x ~ z /\ z = = y - 12 {:} x ~ y - 12 {:} x + 12 ~ y,
adica
{3o, = {(x,y) E lV2lx+ 12 ~ y}.
(2)
(3)
(4)
2) (x,y) E, o{3 {:} (3)z E lV: (x,z) E, /\ (z,y) E f3 {:} (3)z E E lV: z-x=12/\ z ~ Y {:} (3)z E lV: z = x+12 /\ z ~ Y {:} x+12 ~ y. ceea ce irnplica
,0,6 = {(x, y) E lV 2 1x + 12 ~ y}. 3) (u,v) E ,-I o{3-1 {:} (3) wE lV: (u,v) E ,-I /\ (w,v) E {3-1 {:} (1),(2) (::1) Tl\' ¢:::::;> ::1 W E 11\: w = u - 12 /\ w ~ v {:} u - 12 ~ v {:} u ~ v + 12,
adica
(5)
eu alte cuvinte, ({3 0 ,)-1 = ,-I 0 (3-1.
5) (x,y) E ~/ ow {:} (3)z E Jl\T: (x,z) E, /\ (z,y) E w {:} (3)z E E lV: z - x = 12 /\ z = 3y {:} (3) zEN: z = x + 12 /\ z = 3y {:} {:} x + 12 = 3y, ceea ce irnplica
,ow = {(x,y) E lV21x + 12 = 3y}. 6) (u,v) E w-1 ow {:} (3)w E lV: (u,w) E w-1 /\ (w,v) E w {:}
(3) {:} (3)w E lV: u = w/3 /\ w = 3v {:} u = v {:} (u,v) E IN,
48
~.'
ceea ce implica
5. Consideram rela~ia binara definita pe IR in felul urmator xay <=> (x = y V x + y = 2).
a) Sa se demonstreze ca a este rela~ie de echivalen tao b) Sa se determine multimea factor IRI a.
Solutie. a) 1) Deoarece x = x, (V) x E IR, avem xax, (V) x E IR.
2) aab =* (a = b V a + b = 2) =* (b = a V b + a = 2) =* baa. 3) Fie aab §i bac, a, b, c E IR. Atunci
(aab /\ bac) =* ((a = b V a + b = 2) /\ (b = c V b + c = 2) =* =* ((a = b /\ b = c) V (a = b /\ b+c = 2) V (a+b = 2/\ b = c) V (a+b =
= 2 /\ b + c = 2)) =* (a = c V a + c = 2) =* aac. Cu alte cuvinte, relatia binara a este refiexiva, simetrica §i tranzitiva, ceea ce demonstreaza ca a este relatie de echivalenta pe IR.
b) Fie a E IR. Determinam clasa aa de echivalenta a lui a in raport cu a.
aa = {x E IRlxaa} = {x E IRlx = a V x + a = 2} = ={xEIRlx=a V x=2-a}={a,2-a}.
Atunci multi mea factor este IRla = {axlx E IR} = {{x, 2 - x}lx E IR}.
Observam ca laal = 1 <=> a = 1: laal = 2 <=> a i= 1; (a i= b =* (aa = ab <=> a+b = 2)). Cu alte cuvinte, pentru a i= 1, avem a i= 2 - a §i de aceea aa = a2-a, iar multi mea factor mai poate fi scrisa
IRla = {aala E IR, a 2 1} = {{a, 2- a}la 2 1}.
6. Fie A = {1,2,3,4,5} §i B = {a,b,c,d,e}. Care din diagramele din fig. 2.3 reprezinta 0 functie definita pe A cu valori in B §i care nu?
Solutie. Prin diagramele a), c), e) sunt date functiile definite pe A cu valori in B. Diagrama b) nu reprezinta 0 functie definita pe A cu valori in B, deoarece nu este indicata imaginea lui 2. Diagrama d) de asemenea nu define§te 0 functie pe A cu valori in B, deoarece lui 1 ii corespund doua elemente din B, anume a, d.
7. Fie A = {1, 2, 3} §i B = {a, b}. Sa se scrie toate functiile definite pe A cu valori in B, indicandu-se diagrama respectiva.
Solutie. Exista opt functii definite pe A cu valori in B. Diagramele lor sunt reprezentate in fig. 2.4.
49
A B
Fig. 2.3
Fig. 2.4
50
A B
8. Fie A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c}, C = {x,y,z,t} §i D = {1,2}.
a) Sa se faca diagramele respective pentru doua functii surjective defini te pe A cu valori in B.
b) Sa se faca diagrama functiilor injective definite pe D cu valori in B.
c) Sa se faca diagrama unei functii definite pe B cu valori in C, care nu este injectiviL
d) Sa se faca diagramele respective a doua functii bijective definite pe A cu valori in C.
Solu!ie. a) Diagramele a doua functii surjective §i doua functii nesurjective definite pe A cu valori in B sunt reprezentate in fig. 2.5 a) §i b).
a) b)
Fig. 2.5
b) Diagrama functiilor injective definite pe D cu valori in B sunt reprezentate in fig. 2.6.
c) Diagrama unei functii neinjective definite pe B cu valori in C este reprezentata in fig. 2.7.
d) Diagramele a doua functii bijective definite pe A cu valori in C sunt reprezentate in fig. 2.8.
51
B
Fig. 2.6
Fig. 2.7
Fig. 2.8
9. Fie A = {a, 1,5, 6}, B = {a, 3, 8, 15} §i functia f: A --+ B. definita de egalitatea f( x) = x 2 - 4x + 3, (V) x E A.
52
a) Este functia J surjeetiva? b) Este J injectiva?
c) Este J bijeetiva?
Solutie. a) Calculam J(A) = {J(O), J(I), J(5),J(6)} = {3,0, 8, 1.5} = B. Deei J este surjeetiva.
b) Funetia J este §i injeetiva, fiindca J(O) = 3, J(I) = 0, J(5) = 8 §i J(6) = 15, adica Xl =J X2 =} J(Xl) =J J(X2).
c) FUll.etia J este bijeetiva.
10. Utilizandu-se grafieul funqiei J: A ---+ B, J: JR ---+ JR, sa se arate ea funetia J este injeetiva, surjeetiva sau bijeetiva.
a)J(x)={ x-2, dacaxE(-XJ,2), . 3x - 6, daca X E [2,+00).
b) J: [1;5]---+ [-1;3], J(x) = Ix 2 - 6x + 81.
{
-3x, daca - 1 < x ::S 0, c) J: [-1,+00]---+ JR, J(x) = -x, dad ° < x ~ 1,
-0.5(x + 1), daea x> l. d) J: JR ---+ [0,+00), J(x) = max(x + 1,1- x).
Solutie. Dad orieare paralela la axa absciselor taie grafieul funetiei in eel mult un punet (adiea 11 taie intr-un singur punet sau nu-l taie deloe), atunei functia este injeetiva. Daca exista 0 paralela la axa absciselor care interseeteaza grafieul funetiei in doua sau mai multe punete, funetia nu este injeetiva. Daea E(J) este multimea valorilor funetiei J §i oriee paralela la axa abseiselor, dusa prin punctele axei ordonatelor ee se cantin in E(J), taie grafieul funetiei J eel putin intrun punet, funetia este surjeetiva. Rezulta do funetie J este bijeetiva, dad oricare paralela la axa absciselor, dusa prin punetele lui E(J), interseeteaza grafieullui J intr-un singur punet.
a) Grafieul funetiei J este reprezentat in fig. 2.9.
Avem E(J) = (-00, +00) §i oriee paralela y = m, m E JR, la axa absciselor interseeteaza grafieul funetiei J intr-un singur punet. Deci J este functie bijeetiva.
b) Observam ea J(x) 2:: 0, (V)x E [1;5]. Explicit, funetia J(x):
{ x2 - 6x + 8, dad x2 - 6x + 8 2:: 0,
J( x) = -x2 + 6x _ 8, dad x2 - 6x + 8 < ° = { x2 - 6x + 8, daea x E (-00,2] U [4,+00),
_x2 + 6x - 8, dad x E (2,4).
53
y
x
Fig. 2.9 Grafieul funetiei f este reprezentat in fig. 2.10. Avem EU) = [0; 3] C [-1; 3]. Orice paralelli y = m, m E (0,1),
interseeteaza grafieul funetiei f in patru punete; paralela y = 1 interseeteaza grafieul in trei punete; orice paralela y = m, m E (1; 3J, interseeteaza grafieullui f in doua punete. Ded funetia f nu este niei surjeetiva, nici injeetiva.
e) Grafieul funetiei este reprezentat in fig. 2.11. Avem DU) = [-1,+00), EU) = (-00,3].
Oriee paralela y = m la axa absciselor taie grafieul funetiei f( x) in eel mult un punet (y = -3,y = 2,y = 4) §i de aeeea f(x) este injeetiva. Eeuatia f(x) = r E 1R are solutie numai pentru r:S 3, deci f( x) nu este funetie surjeetiva.
d) Explicitam funetia f:
{
X + 1, dara 1 - x :S x + 1, f(x) = max(x + 1,1- x) =
1 - x, dara x + 1 < 1 - x
= { x + 1, daea x 2: 0, 1 - x, daea x < O.
54
y
3
- - - - - - - -y=3/2 3/2 I
J - -y=J
- --y=J/2
0 J 2 3 4 5 x
Fig. 2.10
y
- - - - - - - - - - - y=4
3
- - - - -- - -- --y=2
3
-1 x
-2
-3
Fig. 2.11
Graficul functiei f este reprezentat in fig. 2.12.
55
Avem D(J) = JR, E(J) = [1,+(0). Orice paralela y = m, mE E (1, +(0), intersecteaza graficul in doua puncte §i de aceea j nu este injectiva. Dreapta y = 1/2 E [0, +(0) nu intersecteaza graficul functiei j, deci j nu este nici surjectiva.
y
-l 0 1 x
Fig. 2.12
11. Sa se determine care din urmatoarele relatii sunt aplicatii; care din aplicatii sunt injective, surjective, bijective?
a) <.p = {(x, y) E IN21x - y = 3}; b) j = {(x, y) E [-1; 0] X [-1; 1]lx2 + y2 = I}; c) g = {( x, y) E [0, +(0) X (-00, +00 )Iy = x2}; d) 1jJ = {(x,y) E [0,+(0)2Iy = x 2}. Pentru functia bijectiva sa se indice inversa ei.
Solutie. a) (x, y) E <.p ¢:? x - y = 3 ¢:? x = Y + 3. Deoarece D(<.p) = D<p = {x E.LVI (3)y E.LV: x = y+ 3} ~.LV
(ecuatia 2 = y + 3 nu are solutii in .LV), rezulta ca <.p nu este relatie functionaIa.
b) (x, y) E j ¢:? x 2 + y2 = 1. Atunci, deoarece D(J) = Of = = [-I;O],iar
(_~)2+(~)2=1' (-~'~)Ej, ::::}
(_~_J3)Ej 2' 2
cu J3/2 ~ -J3/2, §i j nu este relatie functionala. c) A vern: (x, y) E g ¢:? xgy ¢:? Y = g( x) = x2. Atunci:
1) x E [O,+oo)::::} Y = x 2 E JR::::} (X,X2) E g;
.56
2) (xgYl 1\ xgY2) ~ Yl = x2 = Y2; 3) g(Xl) = g(X2) ~ xi = x~ ~ IXll = IX21 ~ Xl = X2, deoareee
Xl, X2 E [0, +(0); 4) eeuatia g(x) = r E IR are solutii in [0,+00), dad §i numai dad
r ~ 0, eeea ee demonstreaza ea 9 nu este surjeetie (numarul -2, de exemplu, nu are preimagine in [0, +00 )).
d) Avem: (x, y) E 1jJ {:? x1jJy {:? Y = 1jJ(x) = x2. Repetand rationamentele din p. e), obtinem ca 1jJ este injeetie. Mai mult, eeuatia '¢( x) = r E [0, +00) are solutia x = Vi E [0, +00) §i de aeeea 1jJ este aplieatie surjeetiva. Atunei 1jJ este aplieatie bijeetiva §i, in eonformitate eu teorema 6, relatia 1jJ-l este de asemenea aplieatie (funetie).
In conformitate eu aeeea§i teorema 6, avem
1jJ-l(X) = ..;x, x E [0, +00).
12. Fie {A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9} §i <p E F(A) data eu ajutorul tabelului
a) Sa se determine <p({2,3,5}); <p({1,3, 7,9}); Im<p. b) Sa se determine <p-l({1,2,3,4,5}); <p-l({2,3}); y-l({7,8,9}). e) Sa se ealculeze y-l(l); <p-l(4); y-l(7).
Solutie. a) <p({2,3,5}) = {so(2), <p(3), <p(5)} = {2,1,4}; <p({1,3,7,9}) = {<pel), <p(3), <p(7), <p(9)} = {2,1,3,1} = {1,2,3}; Im<p = <peA) = {<p(l), y(2), <p(3), <p(4), <p(5), <p(6), <p(7), <p(8), <p(9)} =
= {I, 2, 3, 4, 5}. b) <p-l({1,2,3A,5}) = {y E AI<p(y) E {1,2,3,4,5}} = A;
<p-l({2,3}) = {a E AI<p(a) E {2,3}} = {1,2,4,7,8}; <p-l({7,8,9}) = {b E AI<p(b) E {7,8,9}} = 0.
e) <p-l(l) = {a E AI<p(a) = I} = {3,9}; <p-l(4) = {b E AI<p(b) = 4} = {5}; <p-l(7) = {c E AI<p(c) = 7} = 0.
13. Fie A. = {1,2,3} §i B = {a,b,c}. Examinam relatii1e Q = {(La),(2,b),(3,a),(3,c)},/3 = {(l,b), (2,a),(3,c)},
'Y = {(2,a),(3,c),(1,c)}. a) Sase determine 0(:<,0(3,0, §i P(:<,Pt3,P,. b) Care din relatiile Q, /3 §i 'Y sunt aplieatii? Indieati tipul aplicatiei.
57
c) Determinati relatiile a-I, 13-1 §i ,-I. Care din ele este functie? d) Determinati relatiile a 0 13-1 ,13 0 a-I, a 0 ,-1, ,0 a-I, 13 0 ,-I
§i , 013- 1 . Care din ele sunt aplicatii?
Solutie. a) 00: = {1,2,3} = A = 0{3 = 0"(; Po: = {a,b,c} = B = p{3; P"( = {a, c}.
b) a nu este aplicatie, deoarece elementul 3 are doua imagini a §i c. 13 este aplicatie bijectiva; , este aplicatie, nici injectiva (elementele 3 =I- 1 au aceea§i imagine c), nici surjectiva (b nu are preimagine).
c) a-I = {(a,I),(b,2),(a,3),(c,3)},j3-1 = {(b,I),(a,2),(c,3)}, ,-I = {(a,2),(c,3),(c,I)}. Avem °0:-1 = B = 0{3-1, 0,,(-1 = {a, c} =I B, Po:-l = A = Pr1 = P,,(-1.
a-I nu este aplicatie, fiindca elementul a are doua imagini 1 §i 3; ,8-1 este aplicatie bijectiva; ,-I nu este aplicatie, fiindca 0,,(-1 =I- B (elementul b nu are imagine);
d) ao/3-1 = {(1,2),(2,1),(3,2),(3,3)}; j3oa- l = {(1,2),(2,1),(2,3),(3,3)}; ao,-1 = {(1,2),(3,2),(3,3),(3,1)}; ,0 a-I = {(2,1),(3,3),(1,3),(2,3)}; 80,-1 = {(2,2),(3,3),(3,1)}; ,013-1 = {(2, 2), (3, 3), (1, 3)}.
Este aplicatie numai relatia , 013-1 , nici injectiva, nici surjectiva.
14. Se dau functiile: /,g: JR --+ JR,
/(x) = { 3 - x, dac~ x ~ 2, g(x) = max(x _ 1,3 - x). x-I, daca x > 2,
Sa se arate ca / = g.
Solutie. Functiile / §i 9 sunt definite pe JR §i au valori in JR. Sa aratam ca lex) = g(x), (V)x E JR.
Explicitam functia g:
g(x)= {3 - x, dac~ x-I ~ 3 - x, x-I, daca 3 - x < x-I
= { 3 - x, dac~ x ~ 2, = / ( x ) x-I, daca x > 2
oricare ar fi x E JR. Deci / = g.
15. Fiind date functiile /, g: JR --+ JR,
{
X + 2, daca x ~ 2, { x _ 2 /( x)= x + 10 d ~ 2 g( x)= 2 ;
-3-' aca x > , x - ,
a) Sa se arate ca / §i 9 sunt functii bijective.
58
daca x < 3, daca x ~ 3.
b) sa se reprezinte grafie funetiile hi I-I in aeela§i reper de coor-donate.
e) Sa se determine funetii1e: s = 1+ g, d = 1-g, p = I· g, q = 1/ g.
d) Funetia d este oare bijectiva?
Solutie. a), b) Grafieul funetiei I este reprezentat in fig. 2.13 eu 0 linie continua, iar grafieullui I-I este reprezentat printr-o linie intrerupta.
x
Fig. 2.13
I-1(x)-{ x-2, dara x S; 4, - 3x-10, daea x> 4;
g-I(X)= 1 v
{
x+2, daea x < 1,
. 2(x+5), daea x 2: 1.
e) Compunem tabloul urmator:
59
x
f
g
f+g f-g
f·g
fig
Avem
(-00,2] (2,3) [3, +(0) x+2 (x + 10)/3 (x + 10)/3 x-2 x-2 2x - 5
2x 4(x + 1)/3 (7x - 5)/3 4 (16-2x)/3 (25 - 5x )/3
x 2 - 4 (x 2 + 8x - 20)/3 (2x2 + 15x - 50)/3
x+:l.xi2 x + lU x + lU
x - 2' 3(x - 2) 3(2x - 5)
{
2x, dad x ~ 2,
sex) = i(x+ 1), dad 2 < x < 3,
-(7x - 5). daca x > 3. 3 . -
{
4, dad x ~ 2,
d(x) = i(8 -x), dad 2 < x < 3,
:3 (.5 - x), dad x 2: 3.
{
x2 - 4, daca, x ~ 2,
p(x) = f(X 2 + 8x - 20), dad 2 < x < 3,
:3(2x2 + 15x - 50), dad x 2: 3.
x + 2 d v --, aca x ~ 2, x-2 x + 10 v
q( x) = 3( x _ 2)' daca 2 < x < 3,
x + 10 3(2x _ 5)' daca x 2: 3.
d) Avem d(x) = 4, (\I) x E (-00,2]' §i de aceea d nu este injectiva, adica d nu este bijectiva. Aceasta ne demonstreaza ca, diferenta (suma) a doua functii bijective nu este neaparat 0 functie bijectiva.
16. Se considera functia f: IR \ {-d/ e} ----+ IR \ {a/ e}, f(x) = (ax + b)/(ex + d), ad - be i 0, e i o.
a) sa se arate d functia f este inversabila. b) Sa se determine f-I. c) In ce caz avem f = f-I?
60
S I · ) 1) f( ) - f() aX1 + b _ aX2 + b o utle. a Xl - X2 {::} - {::} eX1 + d eX2 + d
{::} aex1 X2 + adx1 + bex2 + bd = aex1 X2 + bex1 + adx2 + bd {::} {::} adx1 + bex2 = adx2 + bex1 {::} ad(x1 - X2) - be(x1 - X2) = 0 {::} {::} (ad - be)( Xl - X2) = 0 {::} Xl = X2 =} f este injectiva.
2) Fie r E IR \ {ale}. Examinam ecuatia f(x) = r. Atunci f(x) = l' {::} (ax + b)/(ex + d) = r {::} ax + b = erx + dr {::}
T=J !! {::} (a - er)x = dr - b ~ X = (dr - b)/(a - er).
Daca X = (dr-b)/(a-er) = -die {::} cdr-be = -ad+cdr {::} ad-be = = o. Imposibil. Deci (dr - b)/(a - er) E IR \ {-die}, ceea ce demonstreaza cii ecuatia f(x) = rare solutii in IR \ {-die} pentru orice l' E IR \ {al e}. Aceasta ne demonstreaza ca f este functie surjectiva.
Din 1) - 2) rezulta ca f este functie bijectiva, deci §i inversabila. b) Determinam f- 1: IR \ {ale} -+ IR \ {-die}:
f(x) = ax +db
{::} (ef(x) - a)x = b _ df(x/~.z x = -j/~) + b =} ex + . e x - a
=} f -1 ( x) = - dx + b. ex - a
c) Pentru a avea f = f-1, este necesar ca functii1e f §i f- 1 sa aiM acela§i domeniu de definitie §i deci d = -a. Aceasta conditie este §i suficienta pentru egalitatea functiilor f §i f-1. in adevar, dacii d = -a, functiile f §i f- 1 sunt definite pe IR \ {ale}, iau valori in IR \ {ale} §i f-1(X) = (ax +b )/( ex+d) = f(x), (\1') x E 1R\ {al e }, adicii f- 1 = f.
17. Sa se reprezinte functia f( x) = V5x 2 - 2x + 8 ca 0 compozitie a doua functii.
Solutie. Punem u(x) = x2 - 2x + 8 §i vex) = yIX. Atunci f(x) = V.sx 2 - 2x + 8 = v(5x 2 - 2x + 8) = v(u(x)) = (v 0 u)(x).
Raspuns: f(x) = (1' 0 u)(x) cu u(x) = 5x2 - 2x + 8, vex) = yIX.
18. Sa se calculeze fog, 9 0 f, (J 0 g)(4) §i (g 0 J)(4), unde:
a) f(x) = _3_ §i g(x) = yIX; x-I
b) f(x) = VX + 3 §i g(x) = x2 - 4;
C)f(x)={X2+6X, dacii
vx<-3, §i 9(X)={5X-2, dacax~l,
-2x - 5, daca x 2: -3 x 2 - 2x +4, daca x> l.
Indicati D(J 0 g) §i D(g 0 J).
Solutie. a) Avem (J 0 g)(x) = f(g(x)) = f(yIX) = ylX3 ; x-I
61
3 (f 0 g)(4) = V4 _ 1 = 3; D(f 0 g) = [0; 1) U (1, +00).
(gol)(X)=g(f(X))=g(_3_) =V 3 ; (gOf)(4)=V 3 =1; x-I x-I 4-1 D(g 0 I) = (1, +00).
Deci (g 0 1)(4) t= (f 0 g)( 4), ceea ce demonstreaza ca legea comutativa a compunerii functiilor, in general, nu are loc: fog t= go f.
b) (f 0 g)(x) = f(g(x)) = J(x2 - 4) + 3 = vX2=1; x E D(fog) ¢} x2 -1 ~ 0 ¢} x E (-00,-1] U [1,+00) = D(fog).
(g 0 f)(x) =g(f(x ))=g( vX+3) = (vX+3)2 - 4=x - 1; D(go f) =IR. (fog)(4) = ~ = v'lS, (go 1)(4) = 4 -1 = 3.
c) Pentru a determina functiile fog §i go f, in acest caz procedam in modul urmator:
( f 0 )(x) = f( (x)) = { g2(x) + 6g(x), dac~ g(x) < -3, = g g -2g(x) - 5, daca g(x) ~ -3
{
g2(x)+6g(x), dacag(x)<-3, = -2g(x) - 5, daca g(x) ~ -3 §i x ~ 1, =
-2(x2 -2x+4)-5, dacag(x)~-3§ix>1
{
(5x - 2)2 + 6(5x - 2), daca 5x - 2 < -3, = -2(5x - 2) - 5, daca 5x - 2 ~ -3 §i x ~ 1, =
-2(x2 - 2x + 4) - 5, daca 5x - 2 ~ -3 §i x > 1
{
25x2 + lOx - 8, daca x < -1/5, = -lOx - 1, daca - 1/5 ~ x ~ 1,
_2x2 + 4x - 13, dad x > 1. (fog)(4) = -2.42 +4·4-13 = -29.
{ 5f(x) - 2, daca f(x) ~ 1,
(g 0 f)(x) = g(f(x)) = f2(x) _ 2f(x) + 4, daca f(x) > 1.
Observam d
[{
x2 + 6x ~ 1, x <-3
f(x)~I¢} {-2X-5~1, x ~-3
¢} [ x E [-3 - vIo; -3), x ~-3
[{
x E [-3 - vIo, -3 + vIo], x <-3
¢} ¢}
{-2X ~ 6, x ~-3
¢} x E [-3 - vIo; -3) U [-3, +00).
Deci pentru f(x) ~ 1, obtinem
( 0 I)(x) _ { 5(x2 + 6x) - 2, daca x E [-3 - vIo, -3) g - 5( -2x - 5) - 2, dad x E [-3, +00).
62
In mod analog,
[
{ X2 + 6x > 1,
x < -3 ....... [{ x E (-00,-3- /10), f(x) > 1 {:} {-2X _ 5> 1, ,...., x E 0
x ~-3 §i de aceea pentru f( x) > 1, obtinem (g 0 f)(x)=(x 2 + 6x)2 - 2(x2 + 6x) + 4=x4 + 12x3 + 34x2 -12x + 4 pentru x E (-00, -3 - .jill).
Totalizand, avem
{
x4 + 12x3 + 34x2 - 12x + 4, dacax E (-00, -3 - /10), (g 0 f)(x)= 5x2 + 30x - 2, daca x E [-3 - /10, -3),
-lOx - 7, daca x ~ -3. (gof)(4) = -10·4-27= -67.
19. Sa se rezolve ecuatiile: a) (g 0 f 0 f)(x) = (f 0 go g)(x), daca f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3;
v ax + 1 b) (f 0 f 0 f)(x) = x, daca f(x) = --, a E JR, x E JR \ {-a};
x+a c) (f 0 g)(x) = (g 0 f)(x), daca f(x) = 2x2 - 1, g(x) = 4x3 - 3x.
Solutie. a) Determinam functiile (g 0 f 0 f)(x) §i (f 0 g 0 g)(x): (g 0 f 0 f)(x) = g(f(f(x))) = g(f(3x + 1)) = g(3(3x + 1) + 1) =
= g(9x + 4) = 9x + 4 + 3 = 9x + 7; (f 0 g 0 g)(x) = f(g(g(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3) + 3) =
= f(x + 6) = 3(x + 6) + 1 = 3x + 19. Ecuatia devine
9x + 7 = 3x + 19 {:} x = 2.
Raspuns: x = 2. b) CalcuHim (f 0 f 0 f)( x):
(f 0 f 0 f)(x) = f(f(f(x))) = f(f( a; :a1)) =
ax + 1
=f(a. x+a +1) =f(ax2+x+2a) = ax + 1 2ax + 1 + a2 --+a x+a
a2x + x + 2a a· +1 3 2 _ 2ax + 1 + a2 = a x + 3ax + 3a + 1 =
a2x+x+2a 3a2x+x+3a+a3
------=-+a 2ax + 1 + a2
= ((a3 + 3a)x + (3a2 + 1))/((3a2 + l)x + (a3 + 3a)).
63
Ecuatia devine
(a3 +3a)x+(3a2 +I) 2 2 2
(3a2 + I)x + (a3 + 3a) = x ¢} (3a + I)x = 3a + 1 ¢}
¢} x2 = 1 ¢} [ x = -1, x = 1.
Raspuns: x E {-I,I}. c) Determinam (f 0 g)( x) §i (g 0 J)( x):
(f 0 g)(x) = f(g(x) = f(4x3 - 3x) = 2(4x3 - 3x)2 - 1 = = :32x6 - 48x4 + 18x2 - 1.
(g 0 J)(x) = g(f(x)) = g(2x2 - 1) = 4(2x2 - I? - 3(2x2 - 1) = = 4(8x6
- 12x4 + 6x 2 - 1) - 6x2 + 3 = 32x6 - 48x4 + 18x2 - 1. Ecuatia devine
32x6 - 48x4 + 18x2 - 1 = 32x6 - 48x4 + 18x2 - 1 ¢} 0 = 0, adica egalitatea este adevarata pentru orice x E JR.
Raspuns: x E JR.
20. Fie f, g: JR -----'. JR date de f( x) = x2 + X + 12 §i g( x) = x 2 - X + 2. Sa se arate ca nu exista nici 0 functie <p: JR -----'. JR, astfel incat
(<poJ)(x)+(<pog)(x)=(goJ)(x), (V)XEJR. (A)
Sol utie. Rela~ia (A) mai poate fi scrisa
Presupunem cii exista 0 functie <p: JR -----'. JR ce satisface relatia (A'). Punem in (A') x = 1 §i x = -1. Obtinem:
'P( 4) + <p(2) = 14, cp(2) + <pC 4) = 4, ceea ce implicit <p(4) + 'P(2) i= cp(2) + cp(4), contradictie cu ipoteza. Deci uu exista 0 functie cp cu proprietatea din enunt.
21. Sa se determine toate valorile parametrilor a, b E JR pentru care U 0 g)(x) = (g 0 J)(x), (V) x E JR, unde f(x) = x 2 - x §i g( x) = x2 + ax + b.
50lutie. Determinam fog §i g 0 f: U 0 g)( x) = f(g( x») = f( x 2 + ax + b) = (x 2 + ax + b)2 - (x 2 + ax + b) =
= x4 + 2ax3 + (2b - 1)x2 + a2x 2 + b2 - ax - b + 2abx = = X4 + 2ax3 + (a2 + 2b - 1)x2 + (2ab - a)x + b2 - b.
64
•
(g 0 f)(x) = g(J(x)) = g(X2 - X) = (X 2 - x)2 + a(x2 - X) + b = = X4 - 2x3 + (a + 1 )x2 - ax + b.
Atunei (J 0 g)(x) = (g 0 f)(x), (V) X E R ¢> x4 + 2ax3 + (a2 + 2b - l)x2+
+(2ab - a)x + b2 - b = x4 - 2x3 + (a + 1)x2 - ax + b ¢>
('v'~R a2 + 2b -=- 1 = a + 1, ¢> { a: -1,
{
2a = -2,
2ab - a - -a, b - O. b = b2 - b
Raspuns: a = -1, b = 0, g(x) = x 2 - X = f(x).
22. Sunt date funetiile f,g, h: IR ---+ IR, f(x) = x4 + 4x3 + 3, g(x) = x3 + X + 3 §i h(x) = x3 + 8.
Sa se arate ca: a) f nu este injectiva; b) g este ingectiva; e) h este bijectiva §i sa se determine h- l .
Solutie. a) Fie f(XI) = f(X2). Atunci xi + 4xi + 3 = xi + 4x~ + 3 ¢> (xi - x~)(xi + xD + 4(XI - X2)X
x(xi + XIX2 + x~) = 0 -=fo Xl = X2· De exemplu, f( x) = x3( X + 4) + 3, luand Xl = 0 §i x2 = -4, obtinem f(O) = f( -4) = 3, Xl i- X2·
b) g(xJ) = g(X2) ¢> X{ + Xl + 3 = x~ + X2 + 3 ¢>
¢> (Xl - x2)(xi + XIX2 + x~ + 1) = 0 ¢> Xl = X2, deoareee
xi + xIX2 + x~ + 1 > 0, (V) xI,x2 E IR. e) h(XI) = h(X2) ¢> x{+8 = x~+8 ¢> X{ = x~ ¢> Xl = X2,
adica h este functie injectiva. Demonstram ca h este surjeetiva. Fie r E IR. Rezolvam ecuatia
h( x) = r ¢> x3 + 8 = r ¢> x3 = r - 8 ¢> X = ~ r - 8 (radacina de ordin impar exista din orice numar real). Deci h este surjectie, prin urmare, h este functie bijectiva.
Determinam h-l :
(y,x) E Gh-l ¢> (x,y) E Gh ¢> h(x) = y = x3 + 8 ¢> x3 = Y - 8 ¢>
¢> X = ~y - 8 ¢> h-l(x) = ~x - 8.
23. Fie f: [1, +00) ---+ [1, +00) eu f(x) = x 6
- 3x5 + 6x4 - 7x3 + 6x 2
- 3x + 1. a) Sa se demonstreze ca f este functie bigectiva.
65
b) Sa se determine f-l.
Solutie. a) Avem f(x) = (x 2 - X + I? Reprezentam aceasta func1ie ca compozi1ie a doua func1ii:
u,v: [1,+00) ---+ [1,+00), unde u(x) = x3, vex) = x2 - X + l. Atunci f(x) = (u 0 v)(x), ce implica f = u 0 v, este bijectiva fiind compozitie a dOlia f-llnc1ii bijective.
b) f- 1 = (u 0 V)-1 = v-Iou-I. Determinam v-I §i u-l . u- l : [1,+00) ---+ [1,+00), u-l(x) = ijX.
Deoarece vex) = x2 - X + 1 = y ::::} x2 - X + 1 - y = O. Rezolvam in raport cu x E: [1, +00) aceasta ecuatie. Discriminantul este
D = 1 - 4(1 - y) = 4y - 3 §i Xl,2 = (11= J4y - 3)/2 (y ~ 1 {} 4y - 3 ~ O!).
Ecua1ia are 0 singura radacina in [1, +00): x = (1 + J4y - 3)/2.
Atunci v-l(x) = (1 + J4x - 3)/2.
A§adar, f-l(X) = (v- l ou-l)(x) = v-leu-lex)) = v-l(ijX) = = (1 + v4ijX - 3)/2, cu f-l: [1,+00) ---+ [1,+00).
24. Se considera func1ia f: JR ---+ JR cu proprietaWe: 1) f(Xl + X2) = f(Xl) + f(X2)' (V) Xt,X2 E JR; 2) f(l) = 1; 3) f(l/x) = 1/x2 . f(x), (V)x E JR*.
a) Sa se determine func1ia f. b) Sa se calculeze f( J1998).
Solutie. a) Pentru X2 = 0 din 1), rezulta f(Xl) = f(xd + f(O), ceea ce implicii f(O) = O. Pentru X2 = -Xl din 1), ob1inem
f(O) = f(Xl) + f( -Xl) = 0 ::::} f( -Xl) = - f(xt} ::::} f(X2) = = - f( -X2) ::::} f( -X2) = - f(X2).
Atunci
f(Xl - X2) = f(XI + (-X2)) ~ f(xd + f( -X2) =
= f(Xl) - f(X2), (V) Xl,X2 E JR.
Fie X rJ. {O, I}. Atunci
(1)
f(_l_)' ~ 1 .f(1_x)~f(l)-f(x). (2) 1 - X (1- x)2 (1 - X)2
66
P d Iv 1 l-x+x x v
e e a ta parte, -- = = 1 + -- impliea I-x I-x I-x
f(I~X) =f(l+ I~X) ~f(I)+f(I~X) =1+f(I~X) =
~ 1 + (1 ~ x) 2 . f (1: x) = 1 + (1 ~ x) 2 • [f (t -1)] =
~ 1 + ( 1 ~ x) 2 . (f (t) - f( 1)) = 1 + ( 1 ~ x) 2 . (:2 . f( x) - 1) =
1 x2 1-2x+f(x) = 1+ (1--x)2 ·f(x)- (l-x)2 = (l-x)2
Din (2) §i (3) urmeaza f(I)-f(x) _1-2x+f(x) f()-(l-x)2 - (l-x)2 ¢} X -x.
Deci f(x) = x, (V) x E JR. b) f( ,/1998) = vi1998.
Raspuns: a) f(x) = x; b) f(viI998) = vi1998.
(3)
25. Folosind proprietatile funetiei earacteristiee, sa se demonstreze egalitatea
Au (B n C) = (A U B) n (A U C), A, B, C E P(M). Solutie. Folosind proprietatile A = B ¢} fA = fB' vom demonstra
egalitatea eeruta ealculand eu ajutorullui fA, f B §i f e funetiile earaeteristiee ale multimilor Au (B n C) §i (A U B) n (A U C):
6) 4) fAU(Bne) = fA + fBne - fA· fBne = fA + fB· fe - fA(fB . fe) =
= fA + fB . fe - fA . fB . fe. 6)
f(AUB)n(AUe) = fAUB . fAue = (fA + fB - fA· fB)(fA + fe - fA· fe) = = f~ + fA· fe - f~ . fe + fB· fA + fB . fe - fB· fA· fe - n . fB-
2 3) f - I. .. . fB . fe + fA . fB . fe = fA + fB . fe - fA . fB . fe = AU(BnC),
eeea ee implica AU (B n C) = (A U B) n (A U C).
2.3. Exercitii propuse
1. Determinati domeniile de definitie §i de valori ale relatiilor: 1) a = {(2,4),(3,1),(2,-4),(O,27)}; 2) ~ = {(100,10),(200,20),(300,30),(400,40)}; 3) I = {(1,5),(2,7),(3,9),(4,1l)}; 4) b = {(1/2,5)};
67
5) p = {( -2, -5), (-2,0), (7, -2), (9, O)}; 6) w = {(-1,2),(-5,-2),(0,-2),(0,9)}.
2. Fie A = {2,4,6,8} §i B = {1,3,5,7}, a ~ A X B. a) Sa se determine graficul relatiei a. b) Sa se construiasca schema relatiei a:
1) a = {(x,y)lx < 3 §i y> 3}; 2) a = {( x , y) I x > 2 §i y < 5}; 3) a = {(x,y)lx > 6 sau y > 7}; 4) a = {(x, y)1 max(x, y):S 3}; 5) Q = {( x , y) I min ( x , y) :S 2}; 6) Q = {(x,y)lmin(x,y) > 6}; 7) Q = {(x,y)lmin(x,5) > max(y,3)}; 8) Q = {(x, y)1 max( x, 6) > max(y,5)}.
3. Fie A = {1,2,3,4} §i B = {1,3,5,7,8}. Sa se scrie graficul relatiei Q ~ A x B, dadi:
1) Q = {(x, y)lx + y = 9}; 2) a = {(x, y)12x - y = I}; 3) Q = {(x, y)lx2 - y2 = 8}; 4) a = {(x,y)lx - y ~ 3}: 5) a = {(x,y)ly:x}; 6) Q = {(x,y)14x + y = ll}; 7) Q = {(x, y)l(x + y):3}; 8) Q = {(x,y)lx ~ y}.
4. Fie A = {I, 3, 4, 5}, B = {I, 2, 5, 6} §i G graficul relatiei Q. Sa se scrie relatia Q prin propozitii continand literele x §i y, cu x E A §i y E B:
1) Gcx = {(1,5),(4,2),(5,1)}; 2) Gcx = {(1,2),(4,5),(5,6)}; 3) Get = {(1,2)'(1,5),(1,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}; 4) Get = {(1,5),(1,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,5),
(5,6)}; 5) Get = {(3,2),(4,2),(5.2)}; 6) Get = {(4,2),(4,6)}; 7) Gcx = {(4,1),(4,2),(4,5),(4,6),(1,6),(3,6),(5,6)}; 8) Get = {(I, 1), (4, 2)}.
68
5. Fie A = {1,2.3,4}. Sa se cerceteze proprietatile relatiei a ~ A2 (var. 1-6) §i a ~ JR2 (var. 7-14):
1) a = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)}; 2) 0'= {(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(3,4),(4,3)}; 3) a = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}; 4) a = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)}; 5) a = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4)}; 6) 0'= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,4)}; 7) 0'= {(x,y) E JR21x > 1 §i y > I};
I{ x>O {x<O 8)a={(x,y)EJR2 y>O' sau y<O'};
9) a = {(x, y) E JR21x 2': 0 sau y < O}; 10) a = {(x, y) E JR21x 2': 1 sau y > I}; 11) a = {(x, y) E JR21x2 + X = y2 + y}; 12) a = {(x, y) E JR21x2 - 3x + 2 = y2 - 3y + 2}; 13) a = {(x,y) E JR21x2 + X = y2 - y}; 14) a = {(x, y) E JR21x2 = y2}.
6. Pentru fiecare din relatiile binare a definite pe multi mea IN: a) sa se determine domeniul de definitie Da §i domeniul de valori Pa; b) sa se stabileasca proprietatile (refiexivitatea, irefiexivitatea,
simetria, antisimetria, tranzitivitatea); c) sa se determine relatia inversa a-I (x, Y E IN):
1) xay <=} c.m.m.d.c. (x,y) = 1; 2) xay <=} y < 2x; 3) xay <=} Iy - xl = 12; 4) xay <=} x = y2; 5) xay <=} (x - y):3; 6) xay <=} x . Y = 30; 7) xay <=} y = 2x + 1; 8) xay <=} x < y + 1; 9) xay <=} x < Y - 1; 10) xay <=} y = 2x;
11) xay <=} y2 = x2; 12) xay <=} x . Y = O. 7. Este data multimea A §i relatia binara a ~ A 2 . Sa se demon
streze ca a este relatie de echivalenta §i sa se determine multimea factor A/a.
1) A = {1,2,3}, 0'= {(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(3,3)}; 2) A = {1,2,3,4}, 0'= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,2),
(3,3),(4,4),(3,2),(2,3)}; 3) A = {1,2,3,4}, 0'= {(1,4),(1,1),(4,1),(1,2),(2,1),(3,3),
(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)}; 4) A = {1,2,3}, 0'= {(1,1),(2,2),(3,3)}; 5) A = {I, 3, 5, 6}, a = {(I, 6), (6, 1), (1,1), (6, 6), (3, 3), (5, 5)};
69
6) A = {I,2,3,4}, a = {(I,3),(L4),(I,I),(3,3),(3,I),(4,I), (4,4),(2,2),(3,4),(4,3)};
7) A = JN2, (a, b )a( c, d) {:} a + d = b + c;
8) A = Z x Z*, (a, b )a( c, d) {:} a . d = b . c;
9) A = {L2,3,4,6,9}, a = {(1,1),(I,3),(3,I),(2,2),(1,2), (4,4),(3,3),(2,I),(6,6),(9,9)};
10) A = {1,2,3,5}, a = {(I,3),(1,I),(3,1),(1,2),(2,I),(2,2), (3,3),(3,2),(2,3),(5,5)}.
8. Fie data mul~imea A = {I, 2,3,4,5,6,7,8, 9} §i sistemul de submuitimi S = {Ai ~ A, i = 1, n}. Demonstra~i ca S define§te 0
parti~ie pe A §i construi~i reIa~ia de eehivalenta as.
1) Al = {1,2,3,8,9}, A2 = {4}, A3 = {5,6, 7}; 2) Al = {1,2}, A2 = {3,4}, A3 = {5,6}, A4 = {7,8}, As = {9}; 3) Al = {I}, A2 = {2,3,4}, A3 = {5,6}, A4 = {7,8,9}; 4) Al = {I}, A2 = {3,4,5}, A3 = {2,7}, A4 = {6,9}, A5 = {8}; 5) Al = {I,2}, A2 = {3,9}, A3 = {4,8}, A4 = {5,6, 7}; 6) Al = {I, 2}, A2 = {3, 8, 9}, A3 = {4, 5, 6}, A4 = {7}; 7) Al = {I, 9, 7}, A2 = {2, 8, 6}, A3 = {3, 4, 5};
8) Al = {7,8}, A2 = {I,9}, A3 = {2,3,4,5,6}; 9) Al = {I, 8, 9}, A2 = {2, 7}, A3 = {4}, A4 = {5}, As = {3, 6};
10) Al = {I, 3, 5, 7, 9}, A2 = {2, 4, 6, 8}.
9. Definim pe JR relatia binara a: xay {:} In2 x - In x = In2 y -In y.
a) Sa se arate ca a este 0 relatie de eehivaIen~a pe JR. b) Sa se determine clasele de eehivalenta.
10. Definim pe JR rela~ia binara j3: xj3y {:} sin2 x - 2 sin x = sin2 y - 2 sin y.
a) Sa se arate ea j3 este 0 relatie de eehivaIen~a. b) Sa se determine clasele de echivalen~a.
11. Fie a ~ A2, unde A = {-5,-4,-3,-2,-1,0,I,2,3,4,5,6, 7,8} eu
xay {:} x2 - y2 = 2(x - y).
a) Este a 0 relatie de eehivalenta? b) In caz afirmativ, sa se determine clasele de eehivalenta.
70
12. Sa se determine fJa , Pa, a-I, a 0 a, a 0 a-I, a-loa, daca:
1) a = {(x,y) E ]V2IY:x}; 2) a = {(x,y) E ]V2/x:y}; 3) a = {(x,y) E JR21x + y ~ o}; 4) a = {(x, y) E JR2/2x ~ 3y}; 5) a = {(x,y) E [-7r/2,-7r/2j2ly ~ sinx}.
13. Sa se determine relatiile a 0 (3, (3 0 a, a-I, (3-1, a-I 0 (3-1, ((30 a)-I:
1) a = {(x,y) E JR21x ~ y}, (3 = {(x,y) E JR2/ x ~ y}; 2) a = {(x, y) E JR21x > y}, (3 = {(x, y) E JR21x < y}; 3) a = {(x,y) E JR21x + y < 2}, (3 = {(x,y) E JR212x - y > o}; 4) a={(x,y) E JR21(x-l)2+ y2>1}, (3={(x,y) E JR21x 2+y2 ~ 2}; 5) a = {(x, y) E Z21x-y este par}, (3 = {( x, y) E Z2lx-y este impar}; 6) a = {(x, y) E Z2 11xl = Iyl}, (3 = {(x, y) E Z2/ y = 2X}; 7) a = {(x,y) E ]V2Ix:y}, (3 = {(x,y) E ]V2IY:x}; 8) a = {(x, y) E ]V21xY = I}, (3 = {(x, y) E ]V2/ x . Y = I}.
14. Fie A = {1,2,3,4}, B = {a,b,c,d}. Sa se determine domeniul de definitie §i domeniul de valori ale fiecarei din urmatoarele relatii a, (3. Care din aceste relatii sunt aplicatii? Determinati tipul aplicatiei. Determinati relatiile a-loa, ao(3-I, (3oa- l , (30(3-1. Sunt ele aplicatii?
1) a = {(I,a),(2,c),(3,c),(4,d)}, (3 = {(1,d),(2,a),(3,c),(4,b)}; 2) a = {(I,a),(I,c),(2,b),(3,c),(4,d)},
/3 = {(I,a),(2,a),(3,a),(4,a)}; 3) a = {(2,a),(3,c),(4,d),(I,b),(2,b)},
f3 = {(I,a),(I,b),(I,c),(I,d)}.
15. Consideram aplicatia <.p: JR ~ JR, <.p( x) = sin x. Sa se determine <.p(JR), <.p((O,7r», y-I([-I,O)), <.p-1(1/2), <.p-l([I, 2)), <.p-I((I, 2]).
16. Aplicatia <.p: A ~ B, un de A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} §i B = {a, b, c, d, e, f}, este data de tabelul
Sa se determine <.p(A), <.p({2,3,5}), <.p({5,6,7,8}), <.p({1,3,7,9}), <.p-I({b,J,c}), <.p-l({e,c}), <.p-l(d).
71
17. Consideram aplicatia <p: 1R ------+ Z, <p( x) = [x J ([x J este partea intreaga a lui x). Sa se determine <p( {2, 4,6, 7}), <p( (1,5)), <p([ -2.5; 2]), <p -1 ( {2. 4, 5} ) §i <p -1 ( -1).
18. Se da aplicatia <p: lN --+ lN, <p(x) = x 2• Determinati <p(A) §i
y-l(A), dad A = {I, 2,3,4,5,6,7,8,9, 10}.
19. Fie A §i E doua multimi finite, IAI = m. lEI aplicatii surjective <p: A --+ E exista, dad:
n. Cite
1) n = 1; 2) n = 2; 3) m = 4, n = 3; 4) m = 5, n = 3;
5) m = 5, n = 4; 6) m = n = 5?
20. Fiind dat graficul relatiei a, stabiliti dad a este functie. Determinati oa §i Pa. Schimbind oa §i Pa, faceti ca a sa devina aplicatie injectiva, surjectiva §i bujectiva. Construiti graficul relatiei a-I. Relatia a-I este functie? Care este tipul ei?
1) a: x + y = 2
y
x
3) a: (x - 2)2/4 + (y - 2)2 = 1
y
3
2
I
o I 2 4 x
72
y
2
-2
2 x
4) a: y = x 2 + 1
y
I
-I 0 I x
.j) cr: y = _x2 + 1
1
"
y
i)cr:y=4-x2
y
2
9) cr: y = Ix - 11
1
x
-3
x
x
y
-1 0 1 3 x
8) cr: y = -VX+3
y
-1 1
x
10) cr: y = x 3
x
21. Fie A = {1,2,3,4}, B = {0,1,5,6} §i C = {7,8,9}. a) Sa se fad diagramele a doua functii injective §i a doua functii
neinjective definite pe C cu valori in B. b) Sa se fad diagramele a doua functii surjective §i a doua aplicatii
nesurjective definite pe A cu valori in C. c) Sa se faca diagramele a doua functii bijective §i a doua functii
nebijective definite pe A cu valori in B.
22. Fie A = {1,3,5,6} §i B = {0,1,2,3,5}, x E A, y E B. Care dintre relatiile de mai jos reprezinta 0 functie definita pe A cu valori in B? Dar 0 functie definita pe B cu valori in A? Pentru functii, indicati
73
tipullor:
1) a: x + y = 6; 2) a: y = x + 1; 3) a: x = y; 4) a: y = x2; 5) a: y = x3 - 9x2 + 23x - 15; 6) a: y5 - 11y4 + 41 y3 - 61 y2 + 30y - x + 1 = 0.
23. Utilizandu-se graficul functiei f: A ---+ B, sa se arate dad f este injectiva, surjectiva, bijectiva. In cazul functiei bijective, sa se determine f- 1 §i sa se construiasca graficele lui f §i f- 1 in acela§i reper de coordonate.
1) f: (-2;0) U [2,+x) ---+ [O,+x), f(x) = Ixl; 2) f: 1R --+ [2, +x), f(x) = Ixl + Ix - 21;
{ -x/2, -2:S x:S 0,
3) f: [-2,+(0) ---+ [0,+(0), f(x) = 1 0' x+ , x> ,
4) f: 1R _. ro +x) f(x) = { Ix2
- 11, x:S 1, - " 0, x> 1;
5)f: {0,1,3}--+{-2,0,4}, f(x)=2x-2;
6) f: {-3,0,2} ---+ {1,11/5,3,4}, f(x) = 0.2(2x+ 11).
24. Care din urmatoarele relatii a <;;; 1R2 sunt funqii? Indicati domeniul de definitie al functiilor. Stabiliti tipul functiei:
1) a: 2y - 3x = 19; 2) a: x· y = 9; 3) a: 3x - 7 + 5y = 0;
4) a: 2x2+3y-6= 0; 5) a: y = Jx-2; 6) a: xy-2y+5x-7=0;
7)00: x2 -(y-2)2=0; 8)00: 3(4-5x)+4(y+5)=I;
9) a: (x - 1)2 + (y + 3)2 = 4; 10) a: x2 - y + 7x = 3; 11) a: 4x - 2y = 9x + y; 12) a: y2 + xy + 1 = 0; 13) a: x2+y2 = 16; 14) a: y = x2-3x+l; 15) a: 2xy = y2+5.
25. Este data relatia a cu Det = [-3; 5J §i Pet = [-4; 7J. a) Perechea (-4,5) apartine relatiei a? De ce?
b) Indicati toate perechile ordonate (x, y) E a cu x = 0. Explicati.
26. Fiind data functia f( x), calculati valorile ei in punctele indi-cate.
1) f(x) = -7; f(4), f(-3), f(c), c E 1R; 2) f(x) = Ix3
- 2xl; f(5), f( -2), f( -7), f(I,4); 3) f(x) = X4 - x3
- X - 3; f(O), f( -1), f(2 + c);
4) f(x) = { x2
- 5, dad x > 0, f( -2), f(O), f(5); 2x + 3, dad x :S 0,
74
{
X2 + 1, dad x > 0, 5) f(x) = -4, daca x = 0, f(5), f(-I), f(I/2);
1 - 2x, daca x < 0,
6) f(x) = x2 - 5x + 2; (J(1 + c) - f(I))/c, c E JR*.
27. Determinati D(J), dad:
1) f(x) = (2x + 3)/(lx - 41); 3) f(x) = 5/(x2 + X + 1); 5) f(x) = ij6x2 + 13x - 5; 7) f(x) = (5x)/h/4 - 3x);
2) f(x) = JI2x + 11; 4) f(x) = 3 - 2/(5 - x); 6) f(x) = (4x)/(9 - 4x2); 8)f(x) = 11";
9) f(x) = (5x)/(x 2 - 2x - 15).
28. Fiind date functiile f( x) §i g( x), determinati functiile f + g, f - g, f· 9 §i f / g, indicand domeniul de definitie al acestora.
2 l)f(x) = JX=5, g(x) =~; 2)f(x)= x-3' g(x)=2x+l;
3) f(x) = x - 5, g(x) = x2 + 1; 4) f(x) = x - 3, g(x) = 2/x; .5) f(x) = x2 - 4, g(x) = 1 - x2; 6) f(x) = 3/x, g(x) = 4/x; 7) f(x) = x-I, g(x) = x2 - 5x + 6; 8) f(x) = ~,g(x) = x; 9)f(x) = 5, g(x) = -3; 10)f(x) = 1- x2, g(x) = 4x.
29. Reprezentati functia f( x) sub forma de compozitie a unor functii :
1) f(x) = 7(4x - 9)5 + 4; 3) f(x) = I/Jx2 - 3; 5) f(x) = -2(x + 5)4 + 10;
7) f(x) = JX2 + X - 2;
2) f(x)=(x 2+3x)t +(x2+3x)t -7; 4) f(x) = 4(x2 - 3)6 - 7; 6) f(x) = (2x - 3)2 - (2x - 3) + 1;
4 2 8) f(x) = (x - 1)3 + (x - 1)3 - 4;
2 1
9) f(x) = (3x + 5)3 + 3(3x + 5)3 + 7; 6
10) f(x) = 7tN~~ ~ yu - 3x
30. Fiind date functii1e f (x) §i g( x ), sa se determine functiile fog §i go f §i sa se calculeze (J 0 9 )(3) §i (g 0 1)(3) in variantele 1) - 6) §i (J 0 g)( -1) §i (g 0 1)( -1) in variantele 7) - 12).
1) f(x)=x+2, g(x)=x-l; 2) f(x)=x 2+8, g(x)=x - 3; 3) f(x)=g(x)=x; 4) f(x)=x 2-1, g(x)=x+l; 5) f(x)=2x 2+1, g(x)=x2-1; 6) f(x)=x 2, g(x)=x3
;
7) f(x)=x 2+2x+1, g(x)=-2x2-1; 8) f(x)=3x 2+2, g(x)=x-3; 9) f(x)=2x 4+4x3 +1, g(x)=x 2+1; 10) f(x) = x - 8, g(x)= Ixl; 11) f(x)=lx+ll=g(x); 12) f(x)=x-l, g(x)=x+l.
75
31. Fiind date funetiile f(x) = x2, g(x) = 3x §i hex) = x-I, sa se ealeuleze:
1) (fog)(I); 4) (f 0 h)(3): 7) (goh)(-2);
2) (g 0 f)(I); 5) (gof)(-2); 8) (hog)(-2);
3) (hof)(3); 6) (f 0 h)( -3); 9) (f 0 h)( -1/2);
12) (f 0 g)(1 + V2); 15) (f 0 (g 0 h))(c);
10) (gof)(-1/2); 13) (f 0 g)(c);
11) (f 0 h)(.Ji + 3); 14) (g 0 h)(c);
16) ((fog)'Yh)(c).
32. Determinati daca in pereehile de funetii f §i 9 una este inversa eeleilalte:
x-I 1) f(x)=2x+l, g(x)=-2-;
3) f(x)=x+4, g(x)=x-4: 1" ) x+5 5) J(x)=4x-5,g(x =-4-;
7) f(x)=x, g(x)=-x;
2) f(x)=-2x+3, g(x)=2x-3;
4) f(x)=x+l, g(x)=x-l; 1
6) f(x)=x- 2, g(x)=2x+l;
8) f(x) = -2x+3, g(x) = -2x-3.
33. Se da valoarea funetiei f. Sa se ealculeze valoarea funetiei f- 1 , daca:
1) f(3) = 4; 2) f(1/2) = 6; 3) f(a) = b; 4)f(a+1)=2; 5)f(m+n)=p.
34. Sa se determine f- 1 , daea: 1) f(x) = (x + 2)/2; 3) f(x) = I/VX + 2; 5) f(x) = (x/(x + 4))2; 7) f(x) = J(x - 1)/(x + 1); 9) f(x) = ((x - 3)/(x + 1))2;
2) f(x) = (2x + 1)/x; 4) f(x) = (l/x )2; 6) f ( x) = Ji-x /-f-;-( x-_-l-:"7);
8) f(x) = JJX+2 - 2; 10) f(x) = (Jx/(x + 4) - 2)2.
35. Este data funetia: f: E IR -- 1R, f(X)={ x2-2x-2, x 2:: 1,
2x - 1, x < l. a) Sa se demonstreze ea f este bijeetiva. b) Sa se determine f- 1 .
e) Sa se ealculeze f 0 f- 1 §i f- 1 0 f.
36. Fiind date funqiile f( x) §i g( x), sa se determine funetiile (f 0 g)(x) §i (g 0 f)(x) (f,g: IR -- 1R):
1) f(x) = Ix - 11 + 2; g(x) = Ix - 21 + 1;
2) f(x) = { x2
- 1, x::; 0, g(x) = { 4x2 - 2; x < 0, -5x - 1, x > 0; 3x - 2, x > o.
76
37. Sa se demonstreze egalitatea functiilor f §i g: 1) J,g: {-1,0, 1,2} ---+ JR, f(x) = X4 - 2x3 - x 2 + 2x + 1;
g( x) = x 5 - x4 - 3x3 + x2 + 2x + 1;
2) f,g: {-1,0,1} ---+ JR, f(x) = x3 - x, g(x) = sinr.x; 3) f, g: [1; 3] ---+ JR, f( x) = max( -t2 + 4t - 3), 1 ~ t ~ x;
(x) = {_x 2 + 4x - 3,1 ~ x ~ 2, g 1 2 < x ~ 3;
4) f,g: [-1; 1] ---+ JR, f(x) = {-x + L -1 ~ x ~ 0, x + 1, 0 < x ~ 1;
g(x) = max(-x + 1, x + 1); 5) f,g: {-1,0} ---+ JR, f(x) = l+x, g(x) = v1=X2; 6) f,g: {-1,0} ---+ JR, f(x) = -1 + v4+ 2x - x2 ;
g(x) = 1- v-2x - x 2 ;
7) f,g: {0,2} ---+ JR, f(x) = 2 - x, g(x) = v4 - x 2 ;
8) f,g: {0,2} ---+ JR, f(x) = v4 - x2; g( x) = 2 - y"-4x-_-x-;C2;
9) f,g: [1,+(0) -. JR,f(x)=vx+2vx-1+Vx-2v'x=1;
) { 2, 1 ~ x ~ 2,
g(x = 2~,x > 2; r.
10)f,g: {kr.,2kr.±"3lkEZ}---+JR, f(x)=sinx, g(x)=sin2x.
38. Sa se determine functii1e s= f+g, d= f-g, p = j-g §i q = fig: 1) f: {I, 2, 3,4} ---* {O, 1,3,5, 6}, f(I)=O, f(2)=I, f(3)=3, f( 4)=6;
g: {1,2,3,5} ---* {1,3,4,5},g(1)=1, g(2)=4, g(3)=3, g(5)=4;
2)f,g:JR---*JR, f(X)={ x+'32,x~33: g(X)={X-21'x~00: -x + ,x > , x + ,x > ,
{
X, x ~ -1, {X-1 x < 0 3) f,g: JR ---* JR, f(x) = -x,-1 < x < 1, g(x)= '> 0:
Ox> l' x, x - , , -,
) f [ ) JR f(x) = {2X + 1, 0 ~ x ~ 2, 4 : 0, +00 ---* • 1 2 , x>';
{
-x, x < 0, g: (-00,5] ---* JR, g(x) = 1, x = 0,
x,O < x ~ 5.
5) f,g: JR ---* JR, f(x) = max(x + 1, x2); g(x) = min(-x,x).
39. Fie A = {1,2,3,4}, B = {0,1,3,4} §i functiile f: A ---+ B, f(l) = 0, f(2) = 0, f(3) = 1, f(4) = 3;
77
g: B ----+ A, g(O) = 2, g(l) = 1, g(3) = 4, g(4) = 1. Pot fi definite funetiile Jog, go J? Daca da, determinati aeeste
funetii. Faeeti diagramele lor.
40. a) Sa se arate ca funetia J este bijectiva. b) Sa se determine J-1 •
e) Sa se reprezinte grafie funetiile J §i J-1 in aeela§i reper de co-ordonate.
1) J: JR ----+ JR, ,J(x) = 6x - 2; 2) J: [0, +(0) ----+ [1, +(0), J( x) = 3x + 1; 3) J: (-oo,O)U [2;4] ----+ (-00,4]' J(x) = _x2 +4x;
{
X + 3, x ~ 0, 4)J:JR----+(-00,3)U[4,+00), J(x)= 2 4 0.
"3x + , x> ,
5) J: [0, 7r] ---+ [-1, 1], J ( x) = { sin x, ° ~ x ~ 7r /2,
cos x, 7r /2 < x ~ 7r.
41. Sa se arate ca funetia J: JR ----+ JR, J( x) = x2 - 6x + 2 admite
restrictii inversabile pe: a) (-00,3]; b) [3,+(0); c) (-00,0]U[3,6). Sa se determine inversele acestor functii §i sa se reprezinte grafic
in acela§i reper de cOOldonare.
42. Folosind proprietatile functiei caracteristiee, sa se demonstreze egalitatile (afirmatiile):
1) An (B U C) = (A n B) U (A n C); 2) (A U B = B n A) ~ (A = B);
3) An B = An C} (B = C). AuB=AuC ~ ,
4) (A t; B) t; C = A t; (B t; C); 5) An (B t; C) = (A n B) t; (A n C); 6) At; B = (A u B) n (A u B); 7) A' t; B' = A t; B; 8) A' t; B = A t; B'; 9) At; B = 0 {:} A = B;
10) At; B = Au B ~ An B = 0; 11) An B = A \ B {:} A = 0; 12) Au B = A \ B {:} B = 0; 13) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B; 14) A \ B = B \ A {:} A = B.
CAPITOLUL III
Elemente de combinatoridi
3.1. Permutari. Aranjamente. Combinari. Binomullui Newton
Pentru rezolvarea multor probleme practice (§i nu numai) este nece-sar:
1) de a putea evalua numarul diferitelor combina1ii, compuse cu elementele unei mul1imi sau cu elementele a mai multor mul1imi;
2) de a alege dintr-o mul1ime de obiecte submul1imi (a face selec1ii) de elemente care poseda anumite proprieta1i;
3) de a dispune elementele unei sau ale mai multor mul1imi intr-o anumita ordine etc.
Domeniul matematicii care studiaza probleme de felul acesta §i metodele de rezolvare a lor se nume§te combinatorica. Altfel spus, combinatorica studiaza unele opera1ii asupra mul1imilor finite. Aceste opera1ii conduc la no1iunile de permutari, aranjamente §i combinari.
Fie M = {aI, a2," ., an} 0 mul1ime finita care are n elemente. Mu11imea M se nume§te ordonata, daca fiecare element al sau se asociaza cu un anumit numar de la 1 la n, numit rangul elementului, astfel incat elemente diferite ale lui M se asociaza cu numere diferite.
Definitia 1. Toate mul!imile ordonate care pot fi formate cu n elemente ale mul"limii date M (n( M) = n) se numesc permutari de n elemente.
Numarul tuturor permutarilor de n elemente se noteaza cu simbolul Pn §i se calculeaza conform formulei
Pn =n!(n!=1·2·3· ... ·n), nEJN. (1)
Prin defini1ie, se considera Po = O! = 1 = I! = Pl.
79
Definitia 2. Toate submul1imile ordonate care contin m elemente ale multimii Al cu n elemente se numesc aranjamente de n elemenie luate cate m.
~umarul tuturor aranjamentelor de n elemente luate cate m se noteaza cu simbolul A~ §i se calculeaza conform formulei
n! A~ = ( , = n(n-1)· ... ·(n-m+1); 0::; m::; n; n,m E IN. (2)
n-m).
Definitia 3. Toate submul1imile care contin m elemente ale multimii .AI cu n elemente se numesc eombimlri de n elemente luate cate m.
N umarul tuturor combinarilor de n elemente luate cate m se noteaza cu simbolul C;;' §i se calculeaza conform formulei , cm- n.
n - m!(n-m)! n(n-1)· ... · (n - m + 1)
m! (3)
un de m, n E IN; 0 ::; m ::; n. Remarca. in toate submultimile din definitiile 1 - 3, fiecare element
al multimii initiale M figureaza 0 singura data. Paralel cu combinatiile in care fie care din cele n elemente diferite
ale unei multimi participa numai 0 singura data, pot fi considerate §i combinatii cu repetitii, adica combinatii in care unul §i acela§i element poate participa mai mult de cat 0 singura data.
Fie date n grupe de elemente. Fiecare grupa contine cateva elemente de acela§i fei.
Definitia I'. Permutari de n elemente fiecare din ele continand 0:1 elemente ai], 0:2 elemente ai2 , ••• , O:k elemen te aik , unde 0:1 + 0:2 + + ... + O:k = n, se numesc permuHtri de n elemente eu repeti1ii.
N umarul tuturor permutarilor cu repetitii se noteaza cu simbolul P a] ,a2 , ... ,ak §i se calculeaza conform formulei
p _ (0:1 + 0:2 + ... + O:k )! a],a2,···,ak - 0:1!0:2 1 .•••• O:k!
n! (4)
Definitia 2' . . 4ranjamentele de n elemente fiecare din ele continand m elemente, iar unul §i acela§i element se poate repeta in fiecare aranjament de un numar arbitrar de ori, dar nu mai mult de m ori, se
80
numese aranjamente de n elemente luate eate m eu repeti!ii.
Numarul tuturor aranjamentelor cu repetitii de n elemente luate cate m in fiecare se noteaza cu simbolul A~ §i se calculeaza conform formulei
A~ = nm, n,m E IN*. (5)
Defini~ia 3'. Combinari de n elemente neeare din ele con{inand m elemente, iar unul §i aeela§i element se poate repeta de mai multe ori, dar nu mai mult de m ori, se numese eombinari de n elemente luate eate m eu repetitii.
N umarul tuturor combinarilor cu repetitii se noteaza cu simbolul C:- §i se calculeaza conform formulei
- m (n+m-1)! C:-=Cm +n _ 1 = m!.(n-l)!; n,mEJN*. (6)
in procesul de rezolvare a problemelor de combinatorica este important de a stabili mai intai tipul (forma) combinatiei. Una din regulile de stabilire a tipului combinatiei ar putea fi §i urmatorul tablou
l Se atrage at en tie la ordinea aranjarii elementelor: I
1 I daca ordinea daca. ordinea importa, I nu importa, at unci atunci avem aranja-avemcomb/ mente sau permutari
aranjamente, daca nu permutari, daca parti-participa toate elemen- cipa toate elementele tele mu1timii initiale mu1timii initiale
Deseori este utila folosirea urmatoarelor doua reguli: Regula sumei. Daca obiectul A poate fi ales in m moduri, iar
obiectul B in n moduri, atunci alegerea "sau A, sau B" poate fi efectuata in m + n moduri.
Regula inmultirii. Daca obiectul A poate fi ales in m moduri §i dupa fiecare alegere de acest fel obiectul B poate fi ales, la randul
81
sau, in n moduri, atunci alegerea "A §i E" in aeeasta ordine poate fi efectuata in m . n moduri.
Vom men1iona, de asemenea, cateva proprieta1i ale combinarilor, §i anume:
I. C: = c;;:-m.
II Cm-l + C m - Cm . n n - n+l'
III. C k = C k-
1 + C k-
1 + C k-
1 + ... + C k-
1 n n-l n-2 n-3 k-l
(Cn - k = C n - k + C n - k - 1 + C n - k - 2 + + CO ) n n-l n-2 n-3 . . . k-l .
IV. C~ + C~ + C~ + ... + C;;: = 2n. Formula
(x+at = C~·xn+C~·xn-l.a+C;·xn-2·a2+ ... +C;;:-1.x.an-1+C;;:·an (7)
se nume§te formula binomului lui Newton (n E IN*). Coeficien1ii C~, C~, C;, ... , C;;: din formula binomului lui Newton
se numese eoeficien1i binomiali; ei posed a urmatoarele proprieta1i: V. Coeficien1ii binomiali din dezvoltarea (7), egal departa1i de ter
menii extremi ai dezvoltarii, sunt egali intre ei. VI a. Suma tuturor coeficienWor binomiali este egala eu 2n. VI b. Suma coefieien1ilor binomiali care se afia pe loeuri pare este
egala eu suma eoeficien1ilor binomiali care se afia pe loeuri impare. VII. Daca n este un numar par (adica n = 2k), atunci eoefieientul
binomial al termenului din mijloe al dezvoltarii (adica C~) es~ eel mai mare. Daea n este impar (adiea n = 2k + 1), at unci eoeficien1ii binomiali ai celor doi termeni de la mijloc sunt egali intre ei (adica C~ = C~+l) §i sunt cei mai mari.
VIII. Termenul C~xn-kak, adica al (k+ 1 )-lea termen din egalitatea (7), se nume§te termenul de rang k+ 1 (termenul general al dezvoltarii) §i se noteaza eu Tk+!. A§adar,
T Ck n-k k
k+l = n' X • a , k = O,1,2, ... ,n. (8)
IX. Coeficientul termenului de rangul k + 1 in dezvoltarea binomului lui Newton este egal eu produsul eoeficientului termenului de rangul k inmu11it eu exponentullui x in aeest termen §i imparW la k, adica
C k = n - k + 1 . C k - 1 n k n'
(9)
82
x. C k++11 = n + 1 . Cnk.
n k + 1 (10)
3.2. Probleme rezolvate
1. In cate moduri se pot a§eza pe un raft patru carti?
Solu!ie. Cum in problema ordinea are importanta §i, in plus, partidpa toate elementele multimii date, este yorba despre permutari. Deci
P4 = 4! = 1 . 2 . 3 ·4 = 24.
Raspuns: 24.
2. Un tren de persoane are zece vagoane. In cate moduri pot fi a§ezate vagoanele pentru formarea trenului?
Solu!ie. Ca §i in problema precedent a, este yorba de permutari de 10 elemente ale multimii care are 10 elemente. Atund numarul modurilor in care poate fi format trenul este
PlO = 10! = 3628800.
Raspuns: 3628800.
3. In cate moduri §apte elevi pot fi a§ezati in §apte band, astfel incat toate bancile sa fie ocupate?
Solu!ie. P7 = 7! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ·6 . 7 = 5040.
Raspuns: 5040.
4. Cate numere de telefon a cate §ase dfre pot fi formate: 1) cifra participa in numarul de telefon numai 0 singura data; 2) cifra participa mai mult de 0 singura data? (Numarul de telefon poate incepe §i cu cifra 0.)
Solu!ie. In total avem 10 dfre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Cum numarul de telefon poate incepe §i cu dfra 0, avem:
1) aranjamente din 10 dfre luate cate 6, adica A~o = 10·9·8· 7 . 6 . 5 = 151200;
2) deoarece cifra in numar se poate repeta, avem aranjamente cu repetitii, adica
A~o = 106 = 1000000.
Raspuns: 1) 151200; 2) 1000000.
83
5. Eehipa de volei este formata din 6 sportivi. Cate eehipe de volei poate forma un antrenor avand 10 voleibali§ti Ia dispozi1ie?
Solu!ie. Deoareee Ia formarera eehipei antrenorul este preoeupat numai de eomponen1a aeesteia, este sufieient sa determinam numarul eombinarilor de 10 elemente Iuate eate 6, adica
10! 10 . 9 . 8 . 7 e6 - e4 - - - 210 10 - 10 - 4!. 6! - 1· 2 . 3 . 4 - .
Raspuns: 210.
6. Cate numere de eate einei eifre pot fi formate eu eifrele 0 §i I?
Solu!ie. Cum dfrele se repeta §i ordinea are importan1a, este yorba de aranjamente eu repeti1ii. Aid m = 5, n = 2.
Din dfrele 0 §i 1 pot fi formate A~ = 25 numere a eate einei dfre. Insa trebuie de Iuat in considera1ie ea numarul nu poate ineepe eu eifra zero. Ded din numarul A~ trebuie seazut numarul aeelor numere care
ineep eu zero. Numere de feIul aeesta sunt A~. Prin urmare, numarul eautat este
Raspuns: 16.
7. Cate numere de eate trei cifre pot fi formate eu cifrele 1,2,3,4,5, daea cifrele se pot repeta?
Solu!ie. Cum cifrele se repeta, evident este yorba despre aranjamente eu repetiW de 5 dfre Iuate eate trei. Prin urmare, pot fi formate A~ = 53 numere a eate trei cifre.
Raspuns: 125.
8. Din 10 trandafiri §i 8 gheorghine trebuie sa se formeze buchete care con1in 2 trandafiri §i 3 gheorghine. Cate buehete de feIul aeesta pot fi formate?
Solutie. Doi trandafiri din eei 10 care ii avem pot fi ale§i in era moduri, iar trei gheorghine din 8 pot fi Iuate in e~ moduri. Aplicand regula inmul1irii, avem: numarul total de buehete care pot fi formate este era . e~ = 1 890.
Raspuns: 1890.
9. La 0 serata dansanta participa 12 domni§oare §i 15 eavaleri. In cate moduri pot fi alese patru pereehi pentru a dansa?
84
Solu!ie. Cele 12 domni§oare pot fi repartizate in grupuri a cate patru persoane in Ci2 mod uri, iar cei 15 cavaleri - in Ci5 moduri. Deoarece in fiecare grup format de domni§oare (sau de cavaleri) ordinea are importanta, fiecare din acest grup poate fi ordonat in P4 mod uri. Ca rezultat (aplidim regula inmultirii), yom avea Ci2 . P4 • Ci5 = = Ai2 . Ci5 = Ci2 . Ai5 = 16216200.
Raspuns: 16216200.
10. Pentru efectuarea unui zbor cosmic pe Marte este necesar de a forma echipajul navei cosmice in urmatoarea componenta: capitanul navei, primul adjunct al c;l,pitanului, al doilea adjunct al capitanului, doi ingineri de bord §i un medic. Tripletul de comanda poate fi select at din cei 25 de piloti care se pregatesc de zbor, doi ingineri de bord din numarul de 20 de speciali§ti care cunosc la perfectie constructia corabiei cosmice, iar medicul - din numarul de 8 medici.
in cate moduri poate fi format echipajul navei cosmice?
Solu!ie. Alegand capitanul §i adjunctii sai, este important de determinat cine din piloti ar face fata mai bine unor functii oarecare de dirijare a navei. Deci este important §i modul de distribuire a functiilor intre membrii tripletului format. A§adar, tripletul de dirijare poate fi format in A~5 moduri.
Functiile ambilor ingineri de bord sunt cam acelea§i. Ei pot indeplini aceste functii cosecutiv. Deci perechea de ingineri poate fi f~rmata in Cia moduri. Referitor la medic - situatia este aceea§i, adica medicul poate fi ales in CJ mod uri.
Utilizand regula inmultirii, avem: fiecarui triplet de dirijare i se poate asocia un cuplu de ingineri in Cia moduri. in total yom avea A~5'Cia cvintete. Fiecarui cvintet i se asociaza un medic in CJ moduri. Ca rezultat, echipajul navei cosmice poate fi format in A~5 . Cia' CJ moduri, sau
A~5 . Cia' CJ = 20976000.
Raspu ns: 20976000.
11. In cate moduri diferite pot fi alese cind prajituri de acela§i fel sau diferite intr-o cofetarie un de exista 11 feluri diferite de prajituri?
Solu!ie. Cele dnd prajituri pot fi toate de un fel sau patru de un fel §i una de alt fel, sau trei de un fel §i doua de altfel, •... etc. sau
85
toate de feluri diferite. Numarul cautat al seturilor posibile a cate cinci prajituri de cele
11 feluri este egal cu numarul combinarilor cu repeti~ii de 11 elemente luate cate cinci, adica
- (11+5-1)! 15! Cfl = 5!(11 _ I)! = 5!10! = 3003.
Raspuns: 3003.
12. intr-un grup de 10 sportivi sunt doi vasla§i, trei inotatori, iar ceilal~i sunt atle~i. Trebuie de format 0 echipa din 6 persoane pentru competi~iile care se apropie in a§a mod, incat in echipa sa fie cel pu~in cate un reprezentant al celor trei feluri de sport nominalizate.
In cate moduri poate fi formata aceasta echipa?
Solutie. a) In echipa poate fi un v<lsla§, un inotator §i patru atle~i. Vasla§ul poate fi ales in C~ moduri, inotatorul in C~ moduri, iar atle~ii - in ct moduri. Utilizand regula inmul~irii, avem C~ . C~ . ct moduri.
b) in echipa poate fi un vasla§, doi inotatori §i trei atle~i. Conform ra~ionamentelor anterioare, numarul echipelor de componen1a aceasta va fi C~ . Cj . C~ .
c) in echipa poate fi un vasla§, trei inotatori §i doi atle~i. N umarul echipelor in cazul acesta va fi Ci . C~ . CJ.
d) in echipa pot fi doi vasla§i, un inotator §i trei atle~i. Vom avea Ci . C~ . C~ de aceste echipe.
e) in echipa pot fi doi v<lsla§i, doi inotatori §i doi atle~i. Numarul de echipe va fi Ci . Cj . CJ.
f) in echipa pot fi doi vasla§i, trei inotatori §i un atlet. Echipe vor fi in numar de Ci· C~· Cg.
U tilizand regula sumei, numarul total de echipe care pot fi formate este
C~ ·C~ ·ct+C~ ·Cj-C~ +Ci ·C~ ·Cg +Ci ·Cj ·Cl +Ci ·Cj ·Cg +Ci ·Cl·cg = = 175.
Raspuns: 175.
13. Sunt date k = 15litere mari, m = 10 vocale §i n = 11 consoane (in total k + m + n = 36 litere). Cate cuvinte diferite pot fi formate din aceste litere, daca in fiecare cuvant pe primul loc trebuie sa fie 0
litera mare, printre celelalte litere trebuie sa fie J.l = 4 vocale diferite (din numarul celor m = 10 date) §i v = 6 consoane diferite (din cele n = 11 date).
86
Solutie. Alegem 0 litera mare. Aeeasta alegere poate fi efeetuata in k moduri. Apoi din m voeale alegem J.L litere. Aeest lueru poate fi faeut in C::" moduri. In sfar§it, alegem v consoane, eeea ee poate fi realizat in C~ moduri. Utilizand regula inmul~irii, alegerea literelor neeesare pentru formarea euvantului poate fi efeetuata in k . C::" . C~ moduri.
Dupa ee am plasat litera mare pe primul loe, eu eelelalte J.L + v litere pot fi formate (J.L + v)! permutari. Fieeare permutare de felul aeesta furnizeaza un euvant nou. A§adar, in total pot fi formate k • C::" . C~(J.L + v)! euvinte diferite, adica 15· CioCfl ·10!
Raspuns: 15· CioCfl ·10!
14. Intr-o alimentara. sunt trei feluri de bomboane. Bomboanele sunt ambalate in trei eutii diferite, pentru fie care denumire eutia sa. In ccite moduri poate fi eomandat un set de cinei eutii?
" 5 (3 + 5 - I)! 7! Solu!le (vezl problema 11). C3 = '( )' = -'-I = 21.
5.· 3 - 1. 5.·2. Raspuns: 21.
15. Pentru a forma garda de onoare de 10 persoane, sunt invita~i ofi!eri ai trupelor: de infanterie, avia!ie, granieeri, artilerie; ofi!eri ai fiotei maritime §i ai trupelor de raehete.
In eate moduri poate fi aleasa eomponen~a garzii de onoare?
Solutie. Avem 6 eategorii de ofi!eri. Repetand ra~ionamentele din problema 10, avem de ealeulat eombinari eu repeti~ii de 6 elemente luate ccite 10, adiea
- (6+10-1)! 15! 15·14·13·12·11 CIO - - -- - - 3003 6 - - - -.
(6-1)!.1O! 5!·10! 1·2·3·4·5
Raspuns: 3003.
16. Pe un raft sunt m + n ear~i diferite. Printre ele m sunt eu coperte albastre, iar n eu coperte galbene. Car!ile sunt permutate in toate modurile posibile. Cate pozi~ii diferite ale earWor sunt, daca:
a) carWe in eoperte albastre oeupa primele m loeuri; b) ear~ile in coperte albastre stau alaturi?
Solutie. a) Car!ile in eoperte albastre pot fi plasate pe primele m loeuri in Pm = m! moduri. Cu fieeare repartizare de a§a fel, car~ile in eoperte galbene pot fi repartizate in Pn = n! moduri. Utilizand regula
87
inmultirii, avem in total m!·n! pozitii in care dirtile in coperte albastre ocupa primele m locuri.
b) Fie cartile in coperte albastre aranjate alaturi. Atunci dupa ele pe raft pot fi sau n carti in coperte galbene, sau n-I, sau n-2, ... , sau nici 0 carte in coperte galbene. A§adar, putem pIasa cartile in coperte albastre, astfel incat ele sa urmeze una dupa alta in n + 1 mod uri. In fiecare din aceste pozitii, cartile in coperte galbene pot fi permutate in orice mod, de asemenea §i cartile in coperte albastre pot fi permutate in orice mod. Drept rezultat, yom avea m! . n! . (n + 1) pozitii diferite ale cartilor.
Raspuns: a) m!· n!; b) m!· n!· (n + 1).
17. Aflati termenul al patrulea al dezvoltarii binomului lui Newton (2xyX _ ijX )8.
Solutie. Conform formulei (9), termenul de rangul 4 are forma T4 = CJ(2xyX)8-3 . (_x1/3)3 = -CJ .25 . x 15/ 2 . X =
= _ 8·7·6 .25.x17/2 = -256.7.x17/2 = -1792.x17/ 2. 1·2·3
Raspuns: -1792· X17/2.
18. Aflati coeficientul eel mai mare in dezvoltarea binomului [(1 + x)(1/x - I)]m.
Solutie. [(1+X)(~-I)]m = ((1+X~I-X))m m
= x-m . LC~(-I)k ·x2k . k=O
Daca m este numar par, adica m = 28, 8 E IN*, atunci dezvoltarea binomului contine 28 + 1 termeni, iar in baza proprietatii VII, coeficientul C2s este eel mai mare.
Daca m este numar impar, adica m = 28 + 1, 8 E IN, in baza aceleia§i proprietati VII, dezvoltarea binomului contine doi termeni care au coeficientii cei mai mari C 2s+I' C;:;1.
R" CS d v t v CS c s+1 d v aspuns: 2s' aca m es e numar par; 2s+1' 2s+1' aca m este numar impar.
19. Aflati termenii care nu-l contin pe x in dezvoltarea binomului , [(1 + x)(1 + I/x)]n.
88
[ ( l)]n (1+x)2n
Solutie. (1 + x) 1 + -; = xn . Termenul de rangul k + 1
in dezvoltarea acestui binom are forma
T ICk k Ck k-n k+ 1 = - 2n X = 2n· X • xn Acest termen nu contine x numai dad k - n = 0 ¢} k n. Deci termenul care nu-l contine pe x este Tn+!.
Raspuns: Tn+1 .
I 20. In dezvoltarea binomului (aya[3 - b/~)n
afiati termenul care contine pe a la puterea a treia, daca, sum a coeficientilor binomiali care se afia pe locuri imp are in dezvoltarea binomului este egala ell 2048.
Solutie. Vom afia mai intai exponentul n. In baza proprietatii VI a, suma coeficientilor binomiali este 2n. Deoarece suma coeficientilor care se afia pe locuri imp are este egala cu 2048, iar in baza proprietatii VI b, ea este egala cu suma coeficientilor care se afia pe locuri pare in dezvoltarea respectiva, avem
2048 = 2n - 1 ¢} 211 = 2n - 1 ¢} n = 12. A§adar, gradul binomului este 12. Termenul de rangul k + 1 ia forma
Tk+1 = Cf2(a{!a73)12-k. (_l)k. (b/~)k = = Cf2' (_l)k /(3(12-k)15). (a6 / 5)12-k. a-3k/7 . bk.
Tinand cont de cerintele problemei, avem 6(12-k) 3k 3 72 - 6k 3k
a-s-- T = a¢}- - = 3 ¢} 5 7
¢} 24·7 - 2· 7k - 5k = 35 ¢} 19k = 133 ¢} k = 7, iar
Ts = Ci2' a3 . 3-1 . (-I? . b7 = -264a3b7
.
Raspuns: -264a3b7 .
21. Pentru care valoare a lui n coeficientii binomiali ai termenilor al doilea, al treilea §i al patrulea din dezvoltarea binomului (x + y)n formeaza 0 progresie aritmetid?
Solutie. In baza formulei (8), avem T2 = C~xn-1y, T3 = C~xn-2y2, T4 = C~xn-3y3,
iar din conditiile problemei rezulta relatia n(n - l)(n - 2) n(n - 1)
C1 + C3 = 2C2 ¢} n + = 2 . ¢}
n n n 6 2
89
{:} n(6+(n-1)(n-2)-6(n-1)) = 0 ng: n2-9n+14 = 0 {:} [ n = 2, n = 7.
Conditiile problemei sunt verifieate de valoarea n = 7.
Raspuns: n = 7.
22. Demonstrati ca diferenta eoefieientilor lui xHI §i xk in dezvoltarea binomului (1 + X )n+I este egahl eu diferenta eoeficientilor lui xHI §i X k - I in dezvoltarea binomului (1 + x)n.
Solutie. Coeficientii lui xHI §i xk in dezvoltarea binomului (1 + X )n+I sunt c~t~ §i C~+I' respeetiv. Evaluam diferenta
CHI _ Ck ® (n + 1) - k Ck _ C k _ (n + 1 - k _ 1) . C k _ n+I n+I - k + 1 n+I n+I - k + 1 n+I -
n+1-k-k-1
k+1
(n + I)! k!(n+1-k)!
(n-2k)·(n+1)! (k+1)!.(n+1-k)!
In dezvoltarea binomului (1 +x)n, eoeficientii lui xHI §i X k- I sunt C~+I §i C~-I, respeetiv. Evaluam diferenta CHI _ Ck-I ~ n - k C k _ C k- I ~ n - k . n - k + 1 . Ck-1 _ C k- 1 =
n n k+1 n n k+1 k n n
= ((n-k)(n-k+1) _ ) .Ck- I = (k+ l)k 1 n
(n-k)2+(n-k)-k2 -k n!
(k + l)k (k - l)!(n - k + I)! (n+1)(n-2k)·n!
(k + l)!(n - k + 1)! (n - 2k) . (n + I)!
(k+1)!·(n-k+1)!
Cum membrii din dreapta in (*) §i (**) sunt egali, rezulta egalitatea membrilor din stanga, adica
CHI _ ck - CHI _ C k - I n+I n+I - n n'
eeea ee trebuia demonstrat.
23. Comparand coeficientii lui x in ambii membri ai egalitatii (1 + x)m. (1 + x)n = (1 + x)m+n,
demonstrati ea
C kCO Ck-ICI COCk C k n m + n m + ... + n m = m+n· (A)
Solutie. (1+x)m·(l+x)n = (C~+C~x+C~x2+ ... +C~xk+ ... + +C~-Ixm-l+xm).(C~+C;x+C;x2+ ... +C~xk+ ... +C~-lxn-l+xn).
90
In membrul drept al aeestei egalita1i, eoefieientul lui xk este C~ . C~ + C;, . C~-l + C;, . C~-2 + ... + C; . C~-l + C~ . C~,
iar in dezvoltarea binomului (1 + x )n+m , termenul de rangul k + 1 are forma
Tk+l = C~+n . xk. Cum polinoamele (1 + x r . (1 + x)n §i (1 + x )m+n sunt egale §i au
aeela§i grad, rezulta egalitatea eoefieien1ilor pe lang a aeelea§i puteri ale lui x, or aeeasta §i finalizeaza demonstra1ia egalita1ii (A).
24. Demonstra1i egalitatea C~ C; C~ C;:: 2 (n 1)
n+1 +-;-+ n-1 +···+T= n+1 2 -"2 . CO Cl C2 en v cn e n- 1
Solu~ie. Fie __ n_+~+ __ n_+ . .. +~ = A {:} __ n_+_n_+ n+1 n n-1 1 n+1 n
cn-2 CO +_n_+ ... + ~ = A.
n - 1 1 Multiplicam ambii membri ai ultimei egalita1i eu (n + 1). Ob1inem n + 1Cn n + 1Cn- 1 n + 1Cn- 2 n + 1Co = A( 1) (10)
n+ n + n + ... + n n+ {:} n+1 n n-1 1 {:} C~+l + C;+I + C~+I + ... + C~.:t: A( n + 1) {:}
{:} C~+I + C~+I + C;+l + ... + C~.:t: = C~+I + A( n + 1) <fb {:} 2n+1 = C~+l + A(n + 1) {:} 2n+1
- C~+I = A(n + 1) {:}
2n+1
- 1 2 ( 1) {:} A = n + 1 {:} A = n + 1· 2
n -"2 . Revenind la expresia ini1iala, avem
C~ e; e~ e;:: 2 (n 1 ) n+1+-;-+n-1+'.'+T=n+1 2 -;,
eeea ee trebuia demonstrat.
25. Demonstra1i ea nC~ - (n - l)C; + (n - 2)C~ - (n - 3)e~ + '" + (_1)n-1C;::-1 = o.
Solu~ie. Seriem dezvoltarea binomului (x - l)n: ( X - l)n = cOxn _ C1xn- 1 + C2xn- 2 _ C3X n- 3+ n n n n
(A)
Derivam ambii membri ai egalita1ii (A) in raport eu x. Ob1inem n(x - l)n-l = nC~xn-l - (n - 1)C;xn-2 + (n - 2)e~xn-3-
(**)
91
Punem in (**) x = 1. Atunci o = nG~ - (n - I)G; + (n - 2)G~ - (n - 3)G~ + ... + (_l)n-IC;;-I, ceea ce trebuia demonstrat.
(Alte metode vezi pag. 54 in [2].)
26. Demonstrati ca egalitatea 1 - lOGin + lo2Gin - 103G~n + ... - lo2n- IGin + 102n = (81)n
este adevarata.
Solutie. Se observa ca expresia 1 - lOGin + lo2Gin - 103G~n + ... - lo2n- IGin + 102n
reprezinta dezvoltarea binomului (1 - 10)2n = 92n = (Sl)n, ceea ce trebuia demonstrat.
27. Aduceti expresia PI + 2P2 + ... + nPn la 0 forma mai simpla.
Solutie. Vom efectua transformarile de rigoare aplicand metoda inductiei matematice. Fie
Pentru: n = 1, avem PI = Al {:} Al = 1; n = 2, avem PI + 2P2 = A2 {:} 1 + 2 . 2! = A2 {:} 5 = A2 {:}
{:} 3! - 1 = A2 {:} P3 - 1 = A2. n = 3, avem PI + 2P2 + 3P3 = A3 {:} A2 + 3P3 = A3 {:}
{:} 3! - 1 + 3 . 3! = A3 {:} 3!(1 + 3) - 1 = A3 {:} 4! - 1 = = A3 {:} P4 - 1 = A3 .
Presupunem ca pentru n = k egalitatea (*) ia forma
Calculam valoarea expresiei (*) pentru n = k + 1. A vern (**)
PI +2P2+3P3 + ... +kPk+(k+1)Pk+I = (k+1)!-1+(k+1)Pk+I = = (k + 1)! - 1 + (k + l)(k + 1)! = (k + 1)!(1 + k + 1) - 1 =
= (k + 2)! - 1 = Pk+ 2 - 1. In baza principiului inductiei matematice, ajungem la concluzia ca
PI + 2P2 + ... + nPn = (n + 1)! - 1 = Pn+I - 1.
Raspuns: PI + 2P2 + ... + nPn = Pn+1 - 1.
28. Sa se arate ca oricare ar fi m, n E IN, m! . n! divide (m + n)!
92
Solu!ie. Conform definitiei 3, (m ,+ n t = C~+n este numarul m.·n.
submultimilor care au n elemente ale unei multimi eu (m + n) ele-
d· v Cn t vIP . (m + n)! mente, a lea m+n es ,e un numar natura. nn urmare, , , m.·n.
este numar intreg, or aeeasta §i arata ea m! . n! divide (m + n)1
29. Sa se deduca egalitatea (n - k)C~+l - (k + l)C~ = (n - 2k - l)C~ti.
Solu!ie. Gtilizam proprietatea X. Avem
C~+I = (n - k)/(k + l)C~ti, C~ = (k + l)/(n + l)C~ti. Ca rezultat,
(n _ k)Ck+1 _ (k + l)Ck = (n - k)2 Ck+1 _ (k + 1)2 Ck+1 n n n + 1 n+1 n + 1 n+l
_ (n - k)2 - (k + 1)2 .Ck+1 _ (n - k - k - l)(n - k + k + 1) Ck+1 _ - n + 1 n+l - n + 1 n+1 -
- (n - 2k - l)(n + 1) . Ck+1 _ (n _ 2k _ 1). Ck+1 e t d - n + 1 n+1 - n+I' ...
30. Sa se ealculeze suma S _ 3 4 n+2.
n - 11 + 2! + 3! + 2! + 3! + 4! + ... + n! + (n + 1)! + (n + 2)!
Solu!ie. Se observa ca termenul an al aeestei sume poate fi transformat in modul urmator
n+2 n+2 an = n!+(n+1)!+(n+2)! = n!(1+n+1+(n+1)(n+2)) =
n+2 1 n+1 n!(n+2)2 n!(n+2) n!(n+1)(n+2) n+1 (n+2)-1 1 1
(n + 2)! (n + 2)! (n + 1)! (n + 2)! Atunci suma Sn ia forma 1111 1 1 1 1
Sn = 2! - 31 + 3! - 4! + ... - (k - 1)! + k! + ... - (n + 1)! + (n + 1)!-1 1 1
(n+2)! 2 (n+2)!
Raspuns: Sn = 1/2 - 1/( n + 2)!
31. Rezol vati eeuatia C~ + 6C; + 6C~ = 9x2 - 14x.
Solu!ie. C~ + 6C; + 6C~ = 9x2 - 14x {:}
93
x(x-l) x(x-l)(x-2) 2 ¢} X + 6 . 1 . 2 + 6 . 1 . 2 . 3 = 9x - 14x ¢}
¢} x + 3x(x - 1) + X(X - 1)(x - 2) = 9x2 - 14x ..gg 1 + 3x - 3 + x2_
-3x + 2 - 9x + 14 = 0 ¢} x 2 - 9x + 14 = 0 ¢} [ : : ~: Deoarece C~ are sens numai pentru x ~ 3, rezulta ca solutie a
ecuatiei initiale este x = 7.
Raspuns: x = 7.
32. Rezolvati ecuatia c:+i + 2C;_1 = 7(x - 1).
Solutie . c:+i + 2CLl = 7(x - 1) ¢}
(x+l)! (x-I)! ¢} (x - 2)!((x + 1) - (x - 2))! + 2· (x _ 1 _ 3)! = 7(x - 1) ¢}
¢} (x-2)!(x-l)x(x+l) +2. (x-4)!(x-3)(x-2)(x-l) =7(x-l) ~ (x-2)!·3! (x-4)!· 3!
¢} (x-l)x(x+l)+2(x-3)(x-2)(x-l)-42(x-l) = 0 ¢} x2-3x-l0 =
Raspuns: x = 5.
= 0 -->... [ X = -2, 5 -,r x=5 ~X=.
33. Rezo1vati ecuatia
(A~t~ . Px - y )/ Px - 1 = 72. (A)
Solutie. Deoarece A~t~ = (x + 1)!/(x - y)!, PX - y = (x - y)!, _ _ , (x + I)! . (x - y)! _ ~ ( _
Px - 1 - (x 1)., avem (A) ¢} ( )' ( )' - 72 0< <x X X + 1) -x - y. x-I. -Y -
_ 72 [ x = 8, xEN* - 8 - ¢} ::::::::} x- . x =-9
Cum y E IN §i y:S; x, avem y E {O, 1,2,3,4,5,6,7, 8}.
Raspuns: x = 8; y E {O, 1,2,3,4,5,6, 7,8}.
34. Sa se determine valorile lui x care verifica egalitatea (x + 2)! = -15(x - I)! + 5[x! + (x + I)!].
Solutie. (x + 2)! = -15(x - I)! + 5[x! + (x + I)!] ¢}
¢} (x-l)!x(x+l)(x+2) = -15(x-l)!+5[(x-l)!x+(x-l)!x(x+l)] ¢}
¢} (x - 1)!x(x + 1)(x + 2) = (x - 1)![-15 + 5x + 5x(x + 1)] ill ¢} x( x2 + 3x + 2) = -15 + 5x2 + lOx ¢} x3
- 2x2 - 8x + 15 = 0 ¢}
94
{:} [ ~2=+3; _ 5 = 0 => x = 3, deoarece solutiile ecuatiei x 2+x-5 = 0
sunt numere irationale.
Raspuns: x = 3.
35. Sa se rezolve ecuatia A~t~ . (x - n)! = 90(x - 1)!
5 I . An+1 ( )' _ ( )' (x + 1)! ( )' _ o utle. x+1' x - n . - 90 x - 1 . {:} ( ),' x - n . -x-no
= 90(x - 1)! o~L (x - 1)!x(x + 1) = 90(x - 1)! {:} x 2 + X - 90 = 0 {:}
........... [ x =-9~ "<-T x = -10 => x = 9. Atunci n E {0,1,2,3,4,5,6,7,8}.
Raspuns: x = 9, n E {O, 1,2,3,4,5,6,7, 8}.
36. Rezolvati sistemul de ecuatii
{ A~: Px - 1 + Crx = 126, Px+1 = 720.
(B)
Solutie. Din conditiile problemei, avem x, y E IN cu x ~ 1 §i x ~ y. in baza formulelor (1) - (3), avem
{
y! . 1 + y! = 126, {Y!( x + 1) = 126, (B){:} (y-x)! (x-1)! (y-x)!x! {:} (y-x)!·x! {:}
(x+1)!=720 (x+1)! = 6!
{ ( ~! )~. 5' = 126, {(Y-4)(Y-3)(y-2)(y-1)y=5!. 21, ...........
{:} Y x.. {:} -5 "<-T
x+1=6 x-
{:} {~5 =-5~Oy4 + 35y3 - 50y2 + 24y - 2520 = 0, (*)
Divizori ai termenului liber in (*) sunt numerele ±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±7; ±8; ±9; ±10; ....
Utilizam schema lui Horner §i teorema Bezout pentru a selecta numerele care sunt solutii ale ecuatiei (*). Cum y E IN, yom verifica numai numerele naturale. Se verifica: numerele {1, 2, 3, 4, 5, 6} nu sunt solutii ale ecuatiei (*).
Verificam y = 7. 11 -10 35 -50 24 -2520
7 1 -3 14 48 360 0
95
Deci (*) {:::> (y - 7)(y4 - 3y3 + 14y2 + 48y + 360) = 0 {:::> Y = 7,
deoarece pentru y> 7, expresia y4 - 3y3 + 14y2 + 48y + 360> O. A§adar, solu1ia sistemclui (B) este perechea (5,7).
Raspuns: {(5,7)}.
37. Afiati x §i y, dad
C y-I. (CY C y- 2 +2Cy-I)'Cy+I_305'5 x . x-2 + x-2 x-2' x - . . .
Solutie. Vom aduce mai intai la 0 forma mai simpla expresia C y + C y- 2 + 2Cy- I = (CY + C y- I ) + (Cy-I + Cy-2) g x-2 x-2 x-2 x-2 x-2 x-2 x-2
= C y + C y- I g C y. x-I x-I x
Ca rezultat, sistemul (C) ia forma
C y-I . C y . cy+I - 3' 5'''' x: x = : 0, (3) {CY- I cy 3-x . X· x - . . ° {:::> c y . Cy+I _ .'" {::;>
X· x - 5.0,
{:::> 1 (y - 1)!(:!- y + I)! ; y!(xX~ y)! =~, {}
x! x! --,-:--,-,. . - 1 y!(x - y)!' (x - y -1)!(y+ I)! -
y"!---~ 3
~(x-y+l)"!--- 5'
_~,-x_---,-_-,-!----",( y_+-..--:l )_""'-_. = 1 yt. (x - y)"!---
{:::> {5Y = 3x - 3y + 3, {:::> {8Y = 6y + 3 + 3, {:::> {y = 3, y + 1 = x - y x = 2y + 1 x = 7.
Raspuns: {(7,3)}.
38. Sa se determine valorile lui x, astfel incat (x(x + 1)!)/(2· x!) ~ 2x + 9.
Solutie. Din enun1 rezulta x E IN. Atunci
(C)
x(x+l}! x·x!(x+l) 2. x! ~ 2x + 9 {:::> 2. x! ~ 2x + 9 {:::> x
2 + X ~ 4x + 18 {:::>
96
2 xEN ¢} x - 3x - 18 ~ 0 ¢} (x + 3)(x - 6) ~ 0 -<====:> x - 6 ::; 0 ¢} 0 ::; x ::; 6 ~i x E IN. Deci x E {O, 1,2,3,4,5,6}.
Raspuns: x E {O. 1,2,3,4,5, 6}.
39. Sa se gaseasca valorile lui x care verifica inecuatia
x . cx - 3 - 7· cx - 3 < 8(x - 2). x-I x-2 -
Solu!ie. (*) are sens pentru x E IN ~i x 2: 3. Deoarece (x - l)(x - 2) cx - 3 = C2 = .. cx
- 3 = C I = X - 2 rezulta ca x-I x-I 1.2' x-2 x-2 ,
x(x - l)(x - 2) (*)¢} 2 -7(x-2)::;8(x-2)q(x-2)[x(x-1)-301~
EN ::; 0 ¢} (x - 2)(x 2
- X - 30) ::; 0 q (x - 2)(x + 5)(x - 6) ::; 06
. [X = 3, x=4
q (x - 2)(x - 6) ::; 0 ¢} 2 ~ x ~ 6 =} x = .5:
x = 6.
Raspuns: x E {3, 4, 5, 6}.
40. Sa se rezolve sistemul de inecuatii:
{
cx-2 _ c x - I < 100 x+I x+I - ,
C4 143· Px+5 (D) x+5 - 96. P
x+
3 < o.
{
(x+1)! _ (x+1)! <100. .. (x-2)!·3! (x-1)!·2!- .
Solu!le. (D) q (x + 5)! _ 143· (x + 5)! < 0 q
4! . (x + I)! 96· (x + 3)!
!(X-1)X(X+1) x(x+1) 0 -'---,-- - I ::; 1 0,
~ (x + 2)~~ + 3)(x + 4)(:·+ 5) _ 143(x + 4)(" + 5) < 0 ¢>
4! 96
¢} {x(x+ 1)(x-4)::; 600, q {X 3 -3X2 -4X -600::; 0, q
(x+4)(x+5)( 4(x+2)(x+3)-143) < 0 4x2 +20x -119 < 0
97
[{
X3 -3X2 -4X-600 < 0 x>2 x3 -3x2 -4x-600<0, x=2, - , <=> - {:} {:}
XElN{XE{2,3} {x3 -3x 2 -4X-600::;0,
, x=3
[
{ 8 - 12. - 8 - 600 ::; 0, x=2 {:} ,
{ 2.7 - 27 - 12 - 600 ::; 0, x=3
Raspuns: x E {2,3}.
=? [ x = 2, x = 3.
3.3. Exercitii propuse
1. 0 comisie este formata din pre§edinte, adjunctul sau §i inca cinci persoane. In cate mod uri membrii comisiei pot distribui functiile intre ei?
2. In cate moduri pot fi alese trei persoane dintr-un grup de 20 de persoane pentru a efectua 0 lucrare?
3. Intr-o vaza sunt 10 garoafe ro§ii §i 4 roze. In cate moduri pot fi alese trei flori din vaza?
4. Lacatul poate fi descuiat numai in cazul cand a fost corect format un numar de trei cifre din cele cinci cifre fixate. N umarul este format la ghici, luand la intamplare 3 cifre. S-a dovedit ca numai la ultima incercare lacatul a fost descuiat. Cate incercari au precedat succesul?
5. Pe un raft sunt 30 de volume. In cate moduri pot fi aranjate cartile, astfel incat volumele 1 §i 2 sa nu fie alaturi pe raft?
6. Patru tragatori trebuie sa nimereasca opt tinte (fiecare cate doua). In cate moduri pot fi repartizate tintele intre tragatori?
7. Cate numere de patru cifre, formate cu cifrele 0, 1,2,3,4,5, contin cifra 3, daca: a) cifrele in numar nu se repeta; b) cifrele se pot repeta?
8. in sectia de pian activeaza 10 persoane, in sectia de declamatori 15 persoane, in sectia de canto 12 persoane, iar in sectia de fotografie - 20 de persoane. In cate moduri poate fi formata 0 echipa
98
in care sa fie 4 declamatori, 3 piani§ti, 5 cantare~i §i un fotograf?
9. ~apte mere §i trei portocale trebuie puse in doua pungi in a§a mod ca in fiecare din ele sa fie cel pu~in 0 portocala §i numarul de fructe In pungi sa fie acela§i. in cate moduri poate fi realizata aceasta repartizare?
10. Numarul de inmatriculare al unei remord este compus din doua litere §i patru dfre. Cate numere de inmatriculare diferite pot fi formate utilizand 30 de litere §i 10 dfre?
11. Pe 0 latura a unui triunghi sunt luate n puncte, pe latura a doua sunt luate m puncte, iar pe latura a treia a acestui triunghi sunt luate k puncte. in plus, nici unul din punctele considerate nu este varf al triunghiului. Cate triunghiuri exist a cu varfuri In aceste puncte?
12. in jurul unei mese trebuie a§eza~i dnd cavaleri §i dnd domni§oare in a§a mod ca sa nu stea alaturi nid doua domni§oare, nici doi cavaleri. in cate moduri poate fi facut acest lucru?
13. Doua variante ale unei lucrari de control la matematica trebuie distribuite la 12 elevi. in cate mod uri pot fi a§eza~i elevii in doua randuri astfel Incat elevii de alaturi sa aiba variante diferite, lar cel care stau unul dupa altul sa aiba aceea§i varianta?
14. ~apte obiecte diferite trebuie distribuite la trei persoane. in cate moduri poate fi facuta aceasta distribuire, dad uneia sau la doua persoane poate sa nu Ie nimereasca nid un obiect?
15. Cate numere de §ase cifre pot fi formate cu cifrele 1,2,3,4,5,6, 7, astfel incat dfrele sa nu se repete, iar cifrele de la Inceputul numarului §i de la sfar§itullui sa fie pare?
16. Cate numere diferite de patru cifre pot fi formate folosind dfrele 1,2,3,4,5,6,7,8, daca in fiecare din ele figureaza dfra unu 0
singura data, iar celelalte dfre se pot intalni de mai multe ori?
17. Pentru a acorda premii c<l§tigatorilor la olimpiada de matematica, au fost puse la dispozi~ie trei exemplare ale unei car~i, doua exemplare ale altei car~i §i un exemplar al car~ii a treia. Cate premii pot fi acordate, dad la olimpiada au participat 20 de persoane §i nimanui nu i se Inmaneaza doua dr~i concomitent? Aceea§i problema,
99
daca nimanui nu i Se inmaneaza doua exemplare ale uneia §i aceleia§i carti, dar pot fi inmanate doua sau trei carti diferite?
18. Literele alfabetului Morze sunt alcatuite din simboluri (puncte §i liniute). Cate litere se pot desena, daca yom cere ca fiecare litera sa contina nu mai mult de cinci simboluri?
19. Pentru a gasi prietenul ratacit, ni§te excursioni§ti s-au diviz at in doua grupuri egale. Printre ei sunt numai patru persoane care cunosc imprejurimile. In cite moduri se pot diviza excursioni§tii, astfel incat in fiecare grup sa nimereasca doua persoane care cunosc imprejurimile, daca in total sunt 16 persoane?
20. Fiecare din cei 10 radi§ti situati in punctul A se straduie sa ia legatura cu fiecare din cei douazeci de radi§ti situati in punctul B. Cite variante diferite de stabilire a acestor contacte pot fi?
Demonstrati egalitatile: . 21. C m+1 + e m- 1 + 2cm = Cm+l.
n n n n+2 '
22 cm + em + + Cm - Cm+1 Cm+1 . • nn-l . .. n-IO - n+l - n-lO'
23. C; + 2C~ + 3C~ + ... + nC~ = n· 2n -l;
24. C~ + 2C; + 3C~ + ... + (n + l)e~ = (n + 1)· 2n-
1;
25. CO _ ~Cl + ~C2 _ ... + (-It. C~ = _1_. n 2 n 3 n n+l n+l'
26 C~ 2C~ 3C~ nC~ _ n(n + 1) . . C~ + CA + C; + ... + C;;:-l - 2
27. e~ + 2C; + 22C~ + ... + 2ne~ = 3n;
22Cl 23C2 2n+Icn 28. 2Co + __ n + __ n + ... + n
n 2 3 n+l
3n - 1 - 1
n+l
C k Ck+.5 2Ck+1 29. n + n n
C~ + C~+l C~+2 + C~+3 - C~+l + C~+2 (unde n,k E IN, n > k + 3);
2n 2n- 1 2n- 2 20 3n
30. n! + 1!(n - I)! + 2!(n - 2)! + ... + n! = n!;
100
n n 31. 2:= C~+k . 1/2k = 2n; 32. 2:=(pCP)2 = n . C n- I . n 2n-I'
k=O p=1 m m
33. 2:= C k C m- k - C m . p' q - p+q' 34. 2:=(-l)kC~ = (-ltC:_I ; k=O k=O
n
35. L Cr . C! = C: ·2n-
m
k=m (unde n,k,p,m,q E IN).
Sa se rezolve ecuatii1e §i sistemele de ecuatii:
36. A~ :C~-l = 48; 37. C:+{ + 2CLI = 7(x - 1);
38. A!: (A;+I - C~-4) = 24/23; 39. A~ + C~-2 = 14x:
40. A~ - 2A! = 3A.~;
42. A~-3 = xPx - 2 ;
44. A~+i + 2Px- 1 = (30/7) . Px:
41 A5. cx - 5 - 336' • X' x-I - ,
43. Px+2 : (A~=i . P3 ) = 210;
45. C:-I + C:-2 + C:-3 + ... + C:-8 + C:-9 + C:-10 = 1023;
46. Px+3 : (A~ . Px - 5 ) = 720;
48. A;_l - C; = 79;
50. C;+l : C~ = 4/5;
52 .. 4~1+C;i=14(x+ 1);
54 Cx-4 - '"'/15 A3 . . x+l - I . x+l'
56. C;+l . A~ - 4x3 = (A~x)2;
47 Cx+l. cx- 1 2/3' . 2x . 2x+1 - ,
49. 3C;+1 - 2A; = x;
51. 12C; + C;+4 = 162;
53. P x-t<3 : (A:ti . Px-n) = 240;
55. C~+l : C; = 6: 5;
57. 3C;+1 + P2 • X = 4A;;
58. A;+3 = C~+2 + 20; 59. C~ + C; = 11C;+1;
60. 11C; = 24C;+1; 61. (A~+1 + A~):A~_l = 99;
62. A~ti . (x - n)! = 90(x - 1)!;63. C~ = C;;
66 A2 + cx-2 = 101' . x-2 x ,
68. 12C::j = ,55A;+1;
70. A~ = 18A!_2;
101
65 A6 - 24xC4 = llA4. . x x x'
1 1 (x - 1)3 67. ---- = ;
Px- 1 Px Px+1
69. C~x_x2+5 = Cfl;
71. (A~O - A~): A~ = 109;
{ A~ + 3C~ = 90, 72. (n + 2)!: (A~· (n - k)1) = 132; 73.
A~ - 2C~ = 40; 74 C y ·Cy+l·Cy-l_6·S·2· . x+l· x . x - . . ,
75. (A;_l + yA;=D: A~-l : C¥-l = 10:2: 1;
76. A~-l : A;_l : (C;_2 + C;=~) = 21: 60: 10;
77 C y-l ·cY ·Cy+1 - 2·3 ·4· . x . X· x - .. ,
79. {
A3y _ 8A3y- 1 = 0 2x 2x ,
9C3y - 8C3y- 1 = O· 2x 2x ,
xCn _ 2 + k - 1 Y = n - l'
78 .
80.
{
xA;=i . pX-y = ISPx-l,
9C;+1 = 16C~+1;
{AY - 7Ay- 1 x - x ,
6C¥ = SC¥+l;
81. {
k-l n - 1 k
82. C k - 2 _ n - 1 _ k - 1 .
X n-2 k y - n - 1 '
Sa se rezolve inecuatiile §i sistemele de inecuatii:
(x - 1)1 83. (x _ 3)1 < 72;
85. x(x - 3)1 < 108(x - 4)1;
87. C~ > CZ;
89. Cfi 2 > C16;
91. C13 < cg2;
93. C~ < C~;
95. C:+: > 3/2;
(n + 2)1 84. (n + 1)(n + 2) < 1000;
86. C~ < C~;
88. C~O-l < C20;
90. C~ < C;;
92. Cf8"2 > Cr8;
94. SC; < C~+2;
96. 2C~ > l1C~_2; 97 cx-l < cx--3. 98 C 2x- 8 > C 2x- 12 . . x - x , . 2x - 2x ,
99. xc:=i - 7C:=~ ::; 8(x - 2); 100. c:+i - C:+: ::; 100;
4 3 S 4 . 102. Cx- 1 - Cx_1 - 4Ax_2 < 0,
A3 143 104. x+2 - -- < 0;
Px +2 4Px - 1
102
{ e~x > e~x' 105.
ex ex+2 13 < 13 ,
107. Aflati terrcenul al 5-lea din dezvoltarea binomului (2xylx _ ijX)8.
108. Aflati termenul de mijloc din dezvoltarea binomului (2x + y/2)8.
109. Aflati valoarea exponentului m din dezvoltarea binomului (l+a)m,
daca coeficientul termenului al 5-lea este egal cu coeficientul termenului al 9-lea.
110. Aflati A~, daca termenul al 5-lea din dezvoltarea binomului (Vx + l/x)n
nu depinde de x.
111. In dezvoltarea binomului ( v'I+X - y'l-X)n
coeficientul termenului al treilea este egal cu 28. Aflati termenul de mijloc din dezvoltarea binomului.
112. Aflati cea mai mica valoare a exponentului m din dezvoltarea binomului
(l+a)m, daca raportul coeficientilor a doi termeni vecini arbitrari este egal cu 7:15.
113. Aflati termenul din dezvoltarea binomului (yIx + l/ijX)16
114. Aflati termenul din dezv~tatea binomului (ifii" + a-I )15
care nu depinde de a.
115. Aflati termenul din dezvoltarea binomului ((aifii")/6 + 1/ ~)n
care nu contine a, daca suma coeficientilor primilor trei termeni din dezvoltare este egala cu 79.
103
116. Afla~i termenul din dezvoltarea binomului (l/VaI + ~)17
care nu con~ine a.
117. Afla~i termenulliber din dezvoltarea binomului
( -./7x + 2/ {Ix )1989.
118. Afla~i termenul al 3-lea din dezvoltarea binomului (z2 + l/z· {IZ)m,
dad suma coeficien~ilor binomiali este 2048.
119. Aflati termenul din dezvoltarea binomului (l/W - Vb/{/(;3)n
care con~ine b6 , dadi raportul coeficientilor binomiali ai termenilor al patrulea catre al doilea este egal cu 187.
120. Aflati termenul din dezvoltarea binomului (xVx - l/Vx5)n
care nu contine x. dara suma coeficientilor termenului al doilea de la inceputul dezvoltarii §i termenului al treilea de la sfar§itul dezvoltarii este egal cu 78.
121. Raportul coeficientului termenului al treilea catre coeficientul termenului al 5-lea din dezvoltarea binomului
(x- 3 / 2 - {Ix)n este egal cu 2/7. Aflati termenul din dezvoltarea binomului care contine x-5/ 2 •
122. Aflati x, y §i z, daca se §tie ra termenii al 2-lea, al 3-lea §i al 4-lea din dezvoltarea binomului
(x + yy sunt egali cu 240, 720, 1080, respectiv.
123. Pentru ce valoare a exponentului n coeficien~ii termenilor al 2-lea, al 3-lea §i al 4-lea din dezvoltarea binomului
(x + y)n formeaza 0 progresie aritmetica?
124. Aflati termenii din dezvoltarea binomului (~+ 0)24
care nu con tin irationalitati.
104
125. Ca~i termeni ra~ionali con~ine dezvoltarea binomului (v'2 + ~)lOO?
126. Afia~i rangurile a trei termeni conseeutivi din dezvoltarea binomului
(a + b)23 eoeficien~ii caruia formeaza 0 progresie aritmetica.
127. Afia~i termenul din dezvoltarea binomului (v'x + V"x- 3 )n
care eon~ine X 6 .5 , daca termenul al 9-lea are eel mai mare coefieient.
128. Termenul al 3-lea din dezvoltarea binomului (2x + 1/x2 )m
nu con~ine x. Pentru ee valoare a lui x acest termen este egal cu termenul al 2-lea din dezvoltarea binomului
(1 + x3?O?
129. Pentru care valori pozitive ale lui x eel mai mare termen din dezvoltarea binomului
(5+3x)lO este termenul al 4-lea?
130. In dezvoltarea binomului
(v'x+ 2~)n pnmn trei termeni formeaza 0 progresie aritmetiea. Afia~i to~i termenii ra~ionali din dezvoltarea acestui binom.
131. Afia~i valorile lui x pentru care diferen~a termenilor al 4-lea §i al 6-lea din dezvoltarea binomului
(ffx + IV32)m l~ ffx
este egala eu 56, daca se §tie ca exponentul m al binomului este cu 20 mai mic decat eoeficientul binomial al termenului al 3-lea din dezvoltarea acestui binom.
132. Stiind ea n este eel mai mare numar natural eu condi~ia logl/3 n + logn/3 n > 0, determina~i termenul care contine b2 din dez
voltarea binomului (Va - ifb)n.
105
133. Sa se determine x pentru care suma dintre termenul al 3-lea §i al 5-lea din dezvoltarea binomului (V2x + V21-x)n este egala cu 135, §tiind ca suma ultimilor trei coeficienti binomiali este 22.
134. Sa se determine x, §tiind ca termenul a16-lea din dezvoltarea binomului
(a + b)n, unde a = V2Ig(1O-3X), b = «2(x-2)Ig3,
este 21, iar coeficientii binomului ai termenilor de rang 2, 3 §i 4 sunt respectiv I, al III-lea §i al V-lea termen ai unei progresii aritmetice. ~
135. Exista termeni independenti de x in dezvoltarea binomului
J {fx2 + 2/ VX ? ( )
1988
Sa se scrie ace§ti termeni.
136. Cati termeni din dezvoltarea binomului ({13 + ij7 )36 sunt termeni intregi?
137. in dezvoltarea binomului
(vY+2~)n primii trei coeficienti formeaza 0 progresie aritmetica. Sa se determine toti termenii din dezvoltarea binomului care con tin puterile lui y cu exponent natural.
138. Afiati x, daca termenul al 3-lea din dezvoltarea binomului (x + xIgx)5
este egal cu 106.
139. in dezvoltarea (1+x_x 2 )25 sa se gaseasca termenulla care exponentullui x este de 3 ori mai mare decat suma tuturor coeficientilor d ezvol t arii.
140. Sa se determine rangul termenului eel mai mare din dezvoltarea binomului (p + q)n dupa puterile descrescatoare ale lui p, presupunand ca p > 0; q > 0; p + q = 1. Pentru care conditii:
a) termend eel mai mare va fi primul? b) termenul eel mai mare va fi ultimul? c) dezvoltarea va contine doi termeni consecutivi egali care sunt
mai mari decat toti ceilalti termeni ai dezvoltarii?
Raspunsuri
Capitolul I
3. a) A = {5,7}; B = {-7,2}; C = {1/7}.
4. A = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16, 18}; B = {2, 4, 6,8, 12}.
5. a) A = {10, 22, 24, ... }; b) 26,28 E A, 33 rt. A (deoarece A
consUi din numere naturale pare).
6. A = {x E .flV*lx = 1+3n, n = 1,3}; B = {x E .flV*lx =
= 3· 2n -1, n = 1,3}; C = {y E lI\l*\y = n2, n = 1,5}; D = {z E
E .flV*\z = n3, n = 1,5}.
7. n(A.) = 50; n(B) = 9; a) daca ad - be = ° => C = {bid};
b) daca ad - be #- ° => Care p elemente.
8. Al = {-I}; A2 = {1,2,3}; A3 = {-1,-2,-3}.
9. A = {a, 1,2,3,4,5, 6}; B = {4, 5,6, 7,8}; C = {1,2,3,4,5,6, 7};
D={1,2,3,4,5,6}; G=(-00,4) U (7,+00); H=(-00,2)U(4,+00) etc.
10. a) B C A, B #- A etc.
11. A6 = ClN*(B); A7 = A.!J. B.
12. a) A = {1,2,5}, B = E = Au B; b) A = {1,6,14}, B = = {1,5,9,13,14}, E = {1,2,5,6,9,13,14,18,20}; c) A = {1,2,3,4,8},
B = {1,3,5,9,10}, E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; d) A = {1,2,4},
B = {2, 3, 5}; e) A = {I, 2, 3,4}, B = {3,4}, C = {2, 4, .5};
f) A = {1,3,4}, B = {1,3}, C = {2, 3, 4}; g) 1) ~4. = {I, 2, 3},
B = E \ {1,2}; 2) A = {1,2,3,5}, B = {2,3,4}; 3) A = {2,3,4},
107
B = E \ {4}; 4) A = E \ {S}, B = {2, 3, S}; h) 1) A = E,
B = {1,2}, C = {2,3}; 2) A = {1,3}, B = {1,2}, C = {2,3};
i) A = {1,2,3,4}, B = {1,2,S};j) A = E, B = {2,4,S}, C = {3,S,6};
k) A = {1,2}, B = {1,2,4}; 1) E = {1,2, ... 10}, A = {7,8,9,10},
B = {2,3,4,8,9,10}; m) A = {a,d,J,h,i}, B = {b,c,d,e,j,g,i};
n) A = {1,4,6,8,9}, B = {2,3,4,S,6, 7,9}.
13. a) A = {6,10,20}, B = {-47,-8,13,22} etc.; b) AnB = 0
etc.; c) A = {0,2,3}, B = {-5,-1,1,5}etc.; d) A = {0,2}, B = {2,4}
etc.; e) A = {-1,0,1,2}, B = {0,2} etc.; f) A = {-4,-3,-2,-1},
B = 0 etc.; g) A = {-1,1,2,4,S,7}, B = {1,2,4,S,7} etc.;
h) A = {-33, -18, -13, -9, -8, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 2, 3, 7,12, 27},
B = {a, 2, 3, 7, 12, 27} etc.; i) A = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16,18, 20},
B = {2,4,6,8,12} etc.; j) A u B = [-7;7] U {10},
A \B = [-7;-4)U(-4;7], B\A = {10} etc.; k) AnB = 0 etc.;
{ v'2 3v'2} 1) An B = {626} etc.; n) Au B = 4' -4- etc.
14. a) A = {x E Qlx = (7n - 4)/(n + 3), n ~ 22, n E IN}, B=M,
C={2,6}; b) n(D)=2497.
15. A = {1,2,3,4,8}; B = {1,3,5,9,1O}.
16. A = {1,6,14}; B = {1,5,9,13,14}; E = {1,2,S,6,9,13,14,
18,20}.
17. a) A=[5,+(0), B=(l,+oo), A c B; b) A=B=[-9;-4]U
U[4;9]; c) A = [-2;0.S(1 + vis)), B = [0.S;0.5(1 + vis)), B ~ A;
d) A = (-00,-1), B = A; e) A = B = (3/2,+00); f) A = B = 0;
g) A = [3; V37/2], B = (-V37/2; -3] U [3; V37/2).
18. a) m E {-2,2}, m E (-00,-2) U (2,+00), m E (-2;2);
b) m E {-5/2, 5/2}, m E (-5/2,5/2), m E (-00, -5/2) U (5/2, +(0);
c) m E {-2V3,2V3}, m E (-00,-2V3) U (2V3,+00); d) m E
E 0, m E JR, m E 0; e) m = -2/3, m i- -2/3, m E 0;
f) m E {-12,12}, m E (-00,-12) U (12,+00), m E (-12;12);
{ 1- V33 1 + V33} m E (1- V33 1 + V33)
g) m E 6' 6' 6 ' 6 '
108
( 1-v'33) (1+v'33 ). h) {3- 2v'3 3+2v'3} mE - 00, 6 U 6' +00, mE 3' 3 '
(3 - 2v'3 3 + 2v'3) ( 3 - 2v'3) (3 + 2v'3 )
m E 3' 3 ' m E - 00, 3 U 3 ' +00 .
19. a) n(A) = 47; b) n(A) = 82; c) n(A) = 4; d) n(A) = 16;
e) n(A) = 4; f) n(A) = 2.
20. a) An B n C = {60t - 17lt E 1N*}; b) An B n C = {200}.
21. a) AnB = {37, 79}; b) AnB = {37, 79}; c) AnB = {6k+1Ik E
E Z, k E [0; 166]}.
24. a) {(2, 2), (2,3), (3,2), (3,3)}; b) {(3,3)}; c) {(1,3)};
d) {(2,4), (3,4), (2,.5), (3,5)}; e) {(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)}; f) {(1,2),
(1,;3), (1,4),(4,4)}; g) {(1,4)} etc.
26. a) A = (-00,-2) U [3;4), B = [3;4] etc.; b) A = B etc.;
c) A = [2;3], B = [-3;-2] etc.; d) A = (-2;-1) U (2,+00), B = = (-00, -1) U (3,+00) etc.; e) A = {O, -ll}, B = {-4/5,0,6/5} etc.;
f) A = (-oo,-I)U (0;4), B = (-1;3) etc.; g) A = 0, B = 0 etc.;
h) A = {7,35/3}; B = {-219/8, 7} etc.; i) A = {7/4} = B etc.;
j) A = (-oo,-l)U (0,+00), B = (-00,-2/5)U [4,+(0) etc.; k) A = = (-00,1] U [3/2,+00), B = 1R etc.; 1) A = [0,1/3]' B = [-1; 1] etc.;
m) A = (-2;3), B = (-00,-2) U (3,+00) etc.; n) A = (-00,2] U
U[4, +(0), B = (-00,2) etc.
Capitolul II
2. 1) Ga = {(2,5),(2,7)}; 2) Ga = {(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),
(8, 1),(8,3)}; 3) Ga ={(8, 1),(8,3),(8,5),(8, 7)}; 4) Ga ={(2, 1), (2,3)};
5) Ga ={(2, 1),(2,3),(2,5),(2,7),(4,1),(6,1),(8, I)}; 6) Ga ={(8, 7)};
7)Ga = {(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(8,1),(8,3)};8)Ga = {(2,1),(2,3),
(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7)}.
3. 1) Ga = {(1,8),(2,7),(4,5)}; 2) Ga = {(1,1),(2,3),(3,5),
(4, 7)}; 3) Ga = {(3, I)}; 4) Ga = {(4, I)}; 5) Ga = {(I, 1), (1, 3), (1, 5),
(1,7),(1,8),(2,8),(3,3),(4,8)}; 6) Ga = {(1,7),(2,3)}; 7) Ga =
109
= {(1,5),(1,8),(2,1),(2, 7),(3,3),(4,5),(4,8)}; 8) Ga = {(I, 1),(2,1),
(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)}.
4. 1) x + y = 6; 2) y = x + 1; 3) x < y; 4) max(x,y) > 4;
5) min(x, y) = 2; 6) cmmdc (x, y) = 2; 7) x este par san y = 6;
8) x = y2.
5. 1) tranzitiva; 2) simetrica; 3) simetrica §i tranzitiva; 4) refle
xiva, tranzitiva; 5) refiexiva; 6) refiexiva, simetrica; 7), 8) reflexiva,
simetrica, tranzitiva; 9) refiexiva, tranzitiva; 10) tranzitiva etc.
6. 1) oa = Pa = IN, simetrica; 2) oa = Pa = IN, refiexiva; 3) oa =
= Pa = IN, simetrica, antirefiexiva; 4) oa = {1,4,9, ... ,n2, ... },
Pa = IN, antisimetrica; 5) oa = Pa = IN, refiexiva, simetrica, tranzi
tiva etc. 6) oa = Pa = {I, 2, 3, 5, 6,10,15, 30}, antirefiexiva, simetrica;
7) oa = IN, Pa = {3, 4, 5, ... }, antirefiexiva, simetrica; 8) oa = pa =
=IN, refiexiva, antisimetrica, tranzitiva; 9) oa=IN, Pa={3,4,5, ... },
antirefiexiva, antisimetrica, tranzitiva; 10) oa = IN, Pa = {O, 2, 4, ... },
antisimetrica; 11) oa = Pa = IN, refiexiva, simetrica, tranzitiva;
12) oa = Pa = IN, simetrica.
9. 1) a = {a,e/a}, a E JR, a =F e/a; 2) a = Ve, avem a = {Ve}.
10. a = {x E JRlx = a + 2k7r san x = 7r - a + 2m7r, k, mE Z}.
11. a) da; b) a = {a, 2 - a}, i = {I}, 8 = {8}.
12. 1),2) oa = Pa = IN, a 0 a = a, a 0 a-I = a-I 0 a = IN2;
3) oa = pa = JR, a-I = a, a 0 a = a-I 0 a = a 0 a-I = JR2;
4) oa = Pa = JR, a 0 a = {(x, y) E JR214x ~ 9y}, a 0 a-I = a-I 0 a =
= JR2; 5) oa = [-~;~], Pa = [-1;~], a 0 a = {(x,y) E
E JR2Isin(sinx):s y}, aoa-1 = [-~;~r, a-I oa = {(x,y) E
E JR 2 1x, y E [ - 1; 7r/2]}.
15. ip(R) = [-1; 1]; ip((O; 7r)) = (0; 1]; ip-l([-l; 0]) = U [(2k -kEZ
-1)7r,2k7r]; {( -l)ni + n7rln E Z}; {7r /2 + 2k7rlk E Z}; 0.
16. B; {b, d}; {b, c, d}; {a, b, e}; {3, 5,7,4, 6}; {6,9}; {2,8}.
18. {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}; {1,2,3}.
110
23. 1) bijectiva; 2) nu este bijectiva; 3) bijectiva; 4) nu este bijec
tiva; 5) bijectiva: 6) nu este bijectiva; 7) bijectiva; 8) nu este bijectiva;
9) injectiva; 10) nu este injectiva; 11) injectiva; 12) surjectiva; 13) nu
este surjectiva; 14) surjectiva; 15) surjectiva.
29.1) u(x) = 4x - 9, vex) = 7x 5 +4, f(x) = (vou)(x); 2) u(x) = = x2 + 3x, vex) = x2/3 + x1/3 -7, f(x) = (v o u)(x); 3) u(x) = x2 - 3,
vex) = l/VX, f(x) = (v 0 u)(x) etc.
30. 1) (f 0 g)(x) = x + 1 = (g 0 f)(x); 4; 4; 2) (f 0 g)(x) = = (x-3)2+8, (gof)(x) = x2+5; 8; 14; 3) (fog)(x) = f(x) = g(x); 3;
3; 4) (f 0 g)(x) = x2 + 2x, (g 0 f)(x) = x2; 12; 9; 5) (f 0 g)( x) = 2X4 -
-4x2+3, (gof)(x) = 2X4+4x2; 129; 360; 6) (fog)(x) = x6 = (gof)(x);
729; 729; 7) (f 0 g)(x) = 4x4, (go f)(x) = _2X4 - 8x3 -12x2 - 8x - 3;
4; -1; 8) (f 0 g)(x) = 3x2 -18x + 29, (g 0 f)(x) = 3x2 -1; 50; 2 etc.
31. 1) 9; 2) 3; 3) 8; 4) 4; 5) 12; 6) 16; 7) -9; 8) -7; 9) 2.25;
10) 0,75; 11) 6+4V2; 12) 27+18V2; 13) 9c2; 14) 3c-3; 15) 9c2-18c+9;
16) 9c2 - 18c + 9.
32. 1) da; 2) nu; 3) da: 4) da; 5) da; 6) nu; 7) nu; 8) nu.
33. 1) f-1(4) = 3; 2) f-1(6) = 0.5; 3) f-1(b) = a; 4) f-1(2) =
= a + 1; 5) f-1(p) = m + n. 211
34. 1) f-1(X) = --; 2) f-1(X) = --; 3) f-1(x) = ; x-1 x-2· (x-2)2
1 4VX x2
4) f-1(x) = -; 5) f-1(X) = ; 6) f-1(x) = --; VX 1- VX x 2 - 1 x2 + 1 3 +..;x
7) f-1(X) = -1 2; 8) f-1(x) = (x2 + 2)2 - 2; 9) f-1(X) = 1 ..;x; -x - X
-1 _ 4(y'X + 2? 10)f (x)-1-(VX+ 2)2'
{
X, X > 2, {x' x> 1, 36. 1) (f 0 g)( x) = - (g 0 f)( x) = -4 - x, x < 2, 2 - x, x < l.
{
(4x - 2)2 - 1, x S 0,
2) (f 0 g)(x) = (3x 2 - 2)2 - 1, x E (0; J2/3], -5(3x - 2)2 - 1, x > fi73;
111
{
3(x2-1)-2,
(g 0 f)(x) = 4(x2 -1) - 2,
4( -5x - 1) - 2,
x < -1,
-1:::; x:::; 0,
x> O.
Capitol ul III
1. 42. 2. 1140. 3. 364. 4. 124. 5. 30! - 2 . 29! 6. 2520.
7. 204. 8. 2027025. 9. 105. 10. 302 . 104 . 11. n· m . k.
12. 2(P5)2 = 2· (120? 13. 2(P6)2 = 2· (720)2. 14. A~ = 37 ·15.
15. A§· Ag = 120. 16. 4.73 = 1372. 18. C~o· P 6; C~o . Cio . Cio.
19. 62. 20. 0.5Cl· Cf2 = 2772. 36. 4. 37. 5. 38. 5. 39. 5.
40. 3. 41. 14. 42. 7. 43. 5. 44. 7. 45. 10. 46. 7. 47. 4.
48. 11. 49. 5. 50. 7. 51. 8. 52. 4. 53. 10. 54. 10. 55. 8. 56. 9.
57. 3. 58. 3. 59. 13. 60. 10. 61. 9. 62. 9. 63. 8. 64. 8. 65. 9.
66. 10. 67. 1; 3. 68. 0. 69. 3. 70. 9; 10. 71. 19. 72. 10. 73. (5,3).
74. (8,3). 75. (7,3). 76. (7,3). 77. (34,14). 78. (15,7).
( 2 k(k-l)(2k-n))
79. (8,3). 80. (10,4). 81. Ck' ( )2 . 82. 0. n n n-l
83. {3,4,5,6,7,8,9}. 84. {1,2,3,4,5,6}. 85. {4,5,6,7,8,9,10,11}.
86. {x> 11lx E IN}. 87. {7:::; x < 11lx E IN}. 88. {I :::; x :::; 10lx E
E IN}. 89. {9 < x < 18, x E IN}. 90. {5,6,7}. 91. {0,1,2,3,4,5}.
92. {11,12,13,14,15,16,17,18}. 93. {6,7,8,9}. 94. {x > 14!x E
E IN}. 95. {x ~ 21x E IN}. 96. {x ~ 121x E IN}. 97. {5, 6, ... }.
98. {10}. 99. {3,4, ... ,13}. 100. {2,3,4, ... ,9}. 101. {n ~ 81n E
E IN}. 102. {5,6,7,8,9,10}. 103. {1,2,3,}. 104. {2:::; x:::; 361x E
E IN}. 105. 0. 106. 0. 107. 1120x7 . {IX. 108. 70x4y4. 109. •. 2 2 22k + 15 . 12. 110. 240. 111. 70(1 - x ). 112. m = _ , cea mal
(
mica valoare k = 6, atunci m = 21. 113. Cf6· x 3. 114. T6 = Cf5.
115. T5 = Cf2 . 6-7 . 116. Tg = C~7. 117. T1378 = CU~; . 21377.
118. T3 = 55z50/ 3. 119. C5gb6a-12. 120. Ci2 = T4.
121. 84x-5/ 2. 122. (2,3,5). 123. 7. 124. TIHI = 36Cig. 125. 26.
126. {Tg, T IO , Tu} §i {TI4 , T15 , TI6 }. 127. T2 = CI8 . x6.5 = 153x6.5 .
112
128. 2. 129. 5/8 < x < 20/21. 130. {To, T4, Ts}. 131. 1.
132. T7 = 28ab2 • 133. {-1, 2}. 134. {0,2}. 135. T1421
= CUgg·21420. 136. {Ti,T16,T3d. 137. n = 8, avem Tl = y4, 35 2
T~ = _yo n = 4 avem Tl = Y . 138. 10. OJ 8' ,
Nota ° Pentru capitolele I §i II au fost indicate doar raspunsurile
mai putin "voluminoase" §i cele care se ohtin relativ mai complicat (la
parerea noastra).
Bibliografie
1. Goian I., Grigor R., Marin V. Bacalaureat "Matematica" 1993 - 1995. Republica Moldova. - Chi§inau: "Amato" S.R.L., 1996.
2. Goian 1., Grigor R., Marin V. Bacalaureat "Matematica" 1996. Republica Moldova. - Chi§inau: Evrica, 1997.
3. Ionescu- Tau c., M u§at $t. Exerci!ii 'Ii probleme de matematica pentru clasele IX - X. - Bucure§ti: Editura didactica §i pedagogica, 1978.
4. Militaru C. "Algebra", Exercilii §i probleme pentru liceu §i admitere in facuItate. - Bucure§ti: Editura "Alux" S.R.L, 1992.
5. Nifstifsescu C., Nita C., Popa S. Matematidi "Algebra", manual pentru clasa X-a. - Bucure§ti: Editura didactica §i pedagogica, 1994.
6. Petrica 1., Lazar 1. Teste de matematica pentru treapta I-a §i a II-a de liceu. - Bucure§ti: Albatros, 1981.
7. Sacter O. Culegere de probleme de matematidi propuse la examenele scrise de maturitate §i de admit ere in institute §i faculta!i. - Bucure§ti: Editura tehnica, 1963.
8. Stamate 1., Stoian 1. Culegere de probleme de algebra pentru licee. - Bucure§ti: Editura didactica §i pedagogica, 1971.
9. $ahno C.I. Culegere de probleme de matematica elementara I Traducere din limba rusa de 1. Cibotaru. - Chi§inau: Lumina, 1968.
10. ilblmr:uH A.r., IIuHclw A.H. CnpaBOQHOe noco6He no MeTO)laM peIlIeHHH 3a)laQ no MaTeMaTHKe )lJIH cpe)lHeH IlIKOJIbl. - M.: HaYKa, 1983.
11. JIHnuH C.E. BapaHoBa H.B., BOp'lyzoBa 3.r. C60PHHK 3a)laQ no 3J'IeMeH
TapHoH aJIre6pe - M.: IIpocBerneHHe, 1973.
CUPRINS
Prefata
Notatii
Capitolul I. Multimi. Operatii eu mu1timi 1.1. Defini1ii §i nota1ii 1.2. Exerci1ii rezolvate 1.3. ExerciFi propuse
Capitolul II. Relatii, funetii 2.1. Defini1ii §i nota1ii 2.2. Exerci1ii rezolvate 2.3. Exerci1ii propuse
Capitolul III. Elemente de eombinatoriea
3
4
6
6 12 25
33 33 46 67
79 3.1. Permlltari. Aranjamente. Combinari. Binomullui Newton 79 3.2. Probleme rezolvate 83 3.3. Exerci1ii propuse 98
Raspunsuri 107
Bibliografie 114
Colectia CARTIER ENCICLOPEDIC Dicp.onar enciclopedic ilustrat Horia Zava - Dic[ionar Eminescu
Colectia ALEEA CLASICILOR Mihai Erninescu - Poezii George COi?buc - Poezii Odavian Goga - Poezii Ion Minulescu - Poezii Ion Creanga - Scrieri Eugen Lungu - Poeti de pe vremea lui Eminescu Alexandru Macedonski - Poezii
Colectia cARTI CELEBRE Emil Garleanu - Din lumea celor cari nu cuvfntii Plutarh - Oameni ilu~tri ai Greciei Plutarh - Oameni ilu~tri ai Romei
Colectia POESISjCARTIER CLASIC Esenin - Opera poetica. Traducere de George Lesnea (caseta, 2 volume) Eminescu - Opera poeticii (caseta, 4 volume) Macedonski - Versuri, Petidi - Versuri, Pillat - Versuri (caseta, 3 volume) Urmuz - Pagini bizare, Fundoianu - Versuri, Voronca - Versuri (casetii, 3 volume) Topirceanu - Versuri, Minulescu - Versuri (caseta, 2 volume) Ibraileanu - Spiritul critic fn cultura romJneascii, Adela (caseta, 2 volume)
Colectia PRIMA MEA BIBLIOTECA. H.Ch.Andersen - Cele mai frumoase pove~ti Vasile Alecsandri - Serile la Mirce~ti Ion Creanga - Punguta cu doi bani Ion Creanga - Povestea lui Harap-Alb Alexandru Donici - Grierul ~i fumica Mihai Erninescu - Criiiasa din pove~ti
Seria CARTIER ISTORIC Constantin Stere: Singur fmpotriva tuturor Constantin Stere: Victoria unui fnJrfnt Ion Chirtoaga - Istoria romJnilor. Epoca medievala Eric Hobsbawm - 0 istorie a secolului Xx. Era extremelor Octavian $of ran sky - Republica Moldova: capital geopolitic Dinu POi?tarencu - 0 istorie a Basarabiei (1812 - 1940) Andrei Turcanu - Sabatul sau Noaptea vrajitoarelor politicii moldovene~ti.
Seria ROTONDA Paul Goma - Altina. Criidina scufundatii Alexandru Mu~ina - Eseu asupra poeziei moderne Em. Galaicu-Paun - Poezia de dupa poezie. Ultimul deceniu Ghenadie Postolache - Sezonul cer?etorilor Doru Ciocanu - Dictionar auajed Constantin Cheianu - Totul despre mine! Irina Nechit - Codot eliberatorul Vladimir Bulat - Arta ?i ideologie Cristina Cirstea - Ceva care sa-mi aminteasca de mine Ghenadie Postolache - Rondul
Seria CARTIER EDUCATIONAL An Anthology of American Literature and Culture. Editor: Hamilton Beck (2 volume) English Home-Reading (jar universities, high and secondary schools) English. Manual de limbii ?i literatura englezii pentru clasa a X-a Le '::- 'n<;ais. Exercices et tests de grammaire. Bacalaureat Limba romana. Teste la limba ~i literatura romana, ~olile alalingve. Bacalaureat Vasile Marin (coordonator) - Algebra. Ecuatii ?i inecuatii. Vol. I. Bacalaureat Muzica. Manual pentru clasa I Muzica. Crestomatie pentru clasa I Limba romana. Culegere de texte pentru clasa I L' arc-en-ciel. Manual de limbii Jranceza pentru clasele a III-a, a IV-a, a V-a Lumina gindului. Manual de limba romana pentru clasa a XI-a a ?colii alolingve Albinute. Manual de limbii romanii pentru clasa a III-a a ?colii alolingve Fagura~. Manual de limbii romana pentru clasa a IV-a a ?colii alolingve Limba ramana. Chidulfnvatatorului pentru clasele a III-a ?i a IV-a, ?coala alolingvii Limba bulgara. Manual pentru clasa a III-a Literatura romana. Material didactic pentru clasa a VIII-a a ?colii alolingve Eugenia Gondiu - Atestarea cadrelor didactice Nicolae Bucun (coordonator) - Tehnologii educationale. Chid metodologic
IN AFARA COLECTIILOR Thrainn Eggertsson - Economia neoinstitu[ionala Coranul Republica Moldova 1n imagini (album) George Meniuc sau Intoarcerea in Itaca Alexandru Burlacu - Proza basarabeana: jascinatia modelelor (anii '20-'30)
rJCARTIER edXo)iorO
III ~ I I ~ ~ I ~I~ I ~ I 9 789975 790406