geoan2

7/24/2019 GeoAn2

http://slidepdf.com/reader/full/geoan2 1/15

GeodezieMatematica

Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de rotaţieRaze de curbură

Dr. Ing. Mat OctavianBalotă

UNIVERSITATEA DE ŞTIINŢE AGRONOMICEŞI

MEDICINĂ VETERINARĂ BUCUREŞTIac!ltat"a #" $%&!nătă'iri !nciar" (i Ingin"ria

M"#i!l!i

7/24/2019 GeoAn2


Parametrii elipsoidului de rotaţie

S’

2

2

2

222 1

a

b

a

bae −=

−=

12

2

2

222| −=

−=

b

a

b

bae

Prima excentricitate:

A doua excentricitate:

( )222 1 eab −=

Din prima ecuaţie rezultă că:

(1)

(2)

(3)

a

ba

f

−

=

Turtirea :

(4)

b

ac

2

=

( ) f ab −= 1

f

ac

−=

1

(5)

(6)

aza de cur!ură polară :

01 b

Z

a

YX2

2

2

22

=−+

+

( )

( )

( ).

;,

;,

B Z Z

L BY Y

L B X X

===

"cuaţia #enerală a elip$oidului de rotaţie:

%orma ecuaţiilor parametrice:

( )1OS X =( )2OS Y =( )3OS Z =

&tilizarea ecuaţiei #enerale (') e$te diicilă i de aceea *n practică $e olo$e$c ecuaţiile

parametrice (+) uncţie de coordonatele #eodezice , i -. Atenţie. /oordonatele #eodezice ,. - nu deine$c poziţia *n $paţiu a punctului 0 t ci doar anormalei la elip$oid. Pentru deinirea *n $paţiu a punctului 0t mai e$te nece$ară omărime:

/ota elip$oidală 00t $au Altitudinea #eodezică 00

Pentru punctul 0 de pe elip$oid 7

Pentru punctul 0t de pe teren cota elip$oidală e$te iar altitudinea #eodezică e$te

t

8 $in , 8 $in , t

(')

(+)

Ht

(4)

7/24/2019 GeoAn2


Ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

S(B)

Z ≡ z

S(3)

x

90°+B

B

r ≡ x

S0

Oz

Pentru deducerea ecuaţiilor parametrice ale elip$oidului de rotaţie (+) e$te util $ă $e determine. *n preala!il.ecuaţiile parametrice ale elip$ei meridiane: x x (,). z z (,). deoarece le#ătura dintre coordonatele 9. . ire$pecti; x. z e$te imediată:

.

;cos

;sin

z Z

Lr Y

Lr X

==

=

.;cos

;sin

z Z L xY

L x X

==

=

).(;cos)(

;sin)(

B z Z L B xY

L B x X

==

=

(<)= =

Pentru deducerea ecuaţiilor parametrice ale elip$ei meridian $e olo$ete interpretarea #eometrică a primeideri;ate a unei uncţii care e$te ciar panta tan#entei la #raicul uncţiei.

A;and uncţia (17) care de$crie elip$a meridian panta tan#entei *n punctul 0 e$te t# (<78,):

01 b

z

a

x)z,x(f

2

2

2

2

=−+= (17) = )90(),( Btg dx

dz z x f +== (11)

7/24/2019 GeoAn2


Ecuaţiile parametrice ale elipsei meridian

Aa cum e$te cuno$cut. ecuaţia elip$ei meridiane $u! ormă implicită e$te:

Dacă $e olo$ete un alt parametru #eometric *n locul $emiaxei mici:

rezultă:.

0e preeră ormulele parametrice ale elip$ei *n care inter;ine $in#urul parametru al punctului0 (latitudinea #eodezică ,).

/oeicientul un#iular al tan#entei la elip$ă *n punctul 0 e$te: t# (<7° 8 ,) > ct# ,

!c"s# co"fici"n# $n%&i$'ar oa#" fi "xria# *i ana'i#ic ca fiin "%a' c$ ria "ri,a#- a f$nci"i (11) " o$- ,ariabi'".

/if"r"nia'a #o#a'- a ac"s#"i f$ncii "s#"

/in "xr"sia " ai s$s r"z$'#- ria "ri,a#- a f$nci"i. a c-r"i s"nificai" "s#" an#a #an%"n#"i 'a c$rb-

.

.

f"c#$n ca'c$'"'" n"c"sar" r"z$'#-

.

01 b

z

a

x)z,x(f

2

2

2

2

=−+=)"1(a b 222 −=

0a"1

zx 22

2

2 =−−+

.0+zz

f

+xx

f

+f =∂

∂

+∂

∂

=

c#%Bzf

xf

+x

+z−=

′′

−=

z

f xf

x

z

∂∂∂∂

−=

x x

f

2=∂∂

2"1

z2

z

f

−=∂∂

z

e x

e

z

x

dx

dz )1(

1

2

22

2

−

−=−

−=

;c#%Bz

)"1(x 2

=−

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(1')

Din (16) i (1') rezultă: .)1( 2 zctgBe x =−

=

= = tgBe x z )1( 2−= (1+)

?nlocuind (1+) *n (13) rezultă: 0aBcos

Bsin

"1

)"1(xx 2

2

2

2

222 =−⋅

−−

+ Bcosa)Bsin"BsinB(cosx 2222222 =−+

Bcosa)Bsin"1(x22222 =− Bcosa)Bsin"1(x 2122 =−

4

Bcosax = 2122 )Bsin"1(4 −=

=

= = = unde(1<)

7/24/2019 GeoAn2


Ecuaţiile parametrice ale elipsoidului de rotaţie

b

ac

2

=v

c

w

a =

@ntroducnd relaţia (1<) *n ormula (1+) $e o!ţine expre$ia de determinare a coordonateiz *n uncţie de latitudinea ,:

Bsin

Bcos

"1

Bsin"1

Bcosaz

2

22⋅

−⋅

−

=

5

Bsin)"1(c

4

Bsin)"1(azBsin

Bsin"1

)"1(az

22

22

2 −=

−=⇒⋅

−

−= unde

B

5

Bcosc

4

Bcosax ==

5

Bsin)"1(c

4

Bsin)"1(az

22 −=

−=

?n concluzie ecuaţiile parametrice ale elip$ei meridiane $unt:

5

Bcosc

4

Bcosax ==

5

Bsin)"1(c

4

Bsin)"1(az

22 −=

−=

e;enind la o!$er;aţiile de la *nceputul para#raului anterior i *nlocuind *n ecuaţiile (<) rezultatele o!ţinute cu

relaţiile (27) i $e o!ţin ecuaţiile parametrice ale elip$oidului de rotaţie:

.5

Bsin)"1(c

4

Bsin)"1(aZ

;5

6sinBcosc

4

6sinBcosaY

;5

6cosBcosc

4

6cosBcosaX

22 −=

−=

==

==

(27)

(21)

=

2122 )sin1( BeV +=

7/24/2019 GeoAn2


Prin normala *ntrCun punct oarecare de pe $upraaţa elip$oidului pot trece oininitate de plane. denumite plane normale (deoarece conţin ). Ace$te planeinter$ectează elip$oidul după o ininitate de $ecţiuni. denumite secţiuni normale.

0ecţiunile care nu trec prin normală (care nu conţin normala) $e nume$c secţiuni

înclinate (ex.: $ecţiunea perpendiculară pe axa polilor. care inter$ectează elip$oidul dupăcercul paralel al punctului re$pecti;).Dintre $ecţiunile normale po$i!ile una are raza de cur!ură maximă i una are raza

de cur!ură minimăB ace$tea $e nume$c secţiuni normale principale i au proprietatea dea i perpendiculare *ntre ele.

7

7

r

ri$'

,"r#ica'

"riian$' $nc#$'$i S

ara'"'$' $nc#$'$i S

O

B

8

S0

!

S

(c

)

8’

Secţiunea meridiană. 0ecţiunea meridiană (care. aa cum $e ;a arăta *n continuare are raza de cur!urăminimă) e$te reprezentată de meridianul punctului 0.

0ecţiunea meridiană are orma unei elip$e. iind o!ţinută din inter$ecţia planului meridian cu elip$oidul derotaţie. aza de cur!ură a ace$tei elip$e $e notează cu :

. *n care d$ e$te elementul de arc de elipsă:

d$2 dx2 8 dz2. ezultă a$tel:.

+B

+s

B

s'i

0B=

∆∆

=→∆

22

+B+z

+B+x

+

= (22)

Raze de curbură principale

7/24/2019 GeoAn2


Raza de curbură a elipsei meridian

/alculul deri;atelor nece$are *n relaţia (22) $e realizează prin con$iderarea ormulelor(27). A$tel. de exemplu. prima deri;ată din (22) e$te:

222

3

222

1

22 1:cossin2)sin1(cos2

1)sin1(sin B Be Be B Be Ba

dB

dx

⋅−+−−=

−

(23)care. după tran$ormări $imple. de;ine:3

2

4

)"1(Bsina

+B

+x −−=

Analo#. $e poate calcula i cealaltă deri;ată nece$ară. rezultnd:.

?n ace$t el $e poate determina expre$ia razei de cur!ură a elip$ei meridiane:.

Prin tran$ormări $imple $e poate deduce expre$ia:

.

3

2

4

Bcos)"1(a

+B

+z −=

3

2

4

)"1(a9

−

=

22

+B

+z

+B

+x

+

= (22)

222 5)"1(4 −=

(2+)

v

c

w

a=

(26)

(24)

(25)

5

Bcosc

4

Bcosax == (27)

2122 )Bsin"1(4 −= 2122 )sin1( BeV +=

Einnd apoi cont de relaţiile i notaţiile 2':

rezultă o altă po$i!ilitate de exprimare a razei de cur!ură a elip$ei meridiane:35

c =

(2')

7/24/2019 GeoAn2


Raza de curbură a elipsei meridian

D

d

d

,F

,

d0

"F

P

GH

PF

"

H1

Prin deiniţie dacă $e noteaza pe i#ura prin ds un element ininitezimal de arc al elip$eiatunci $e poate $crie:

un#iul *n ninitezimal dintre tan#enta *n , i tan#enta *n ininit apropiatăcore$punzătoare latitudinii .

&n#iul celor două tan#ente *n punctele i e$te e#al cu un#iulperpendicularelor core$punzătoare ceea ce *n$eamnă că:

α d ds ! =

=α d

ϕ α d + B B ( )α d

ϕ α d d =

ϕ ϕ d dz dx !

d ds !

22

+=⇒=22

+

=

ϕ ϕ d dz

d dx ! 22 dz dxds += =

ϕ

φ

22 sin1

cos

⋅−

⋅=

e

a x

( )ϕ

φ 22

2

sin1

sin1

⋅−−=e

ea z

( )( )322

22222

2

sin1

1

ϕ ϕ ϕ e

ea

d

dz

d

dx !

−

−=

+

=( )

( ) 23

22

2

sin1

sin1

ϕ

ϕ

ϕ e

ea

d

dx

−

−−=

( )

( ) 23

22

2

sin1

cos1

ϕ

ϕ

ϕ e

ea

d

dz

−

−−=

7/24/2019 GeoAn2


Raza de curbură a Primului Vertical

Secţiunea primului vertical este reprezentată de secţiunea normală perpendiculară pe secţiuneameridiană. 0ecţiunea primului ;ertical i $ecţiunea *nclinată. a paralelului *n punctul con$iderat. au aceeaitan#entă. 0e o!ţine a$tel le#ătura dintre raza de cur!ură a primului ;ertical notată cu I i raza de cur!ură aparalelului. notată r. le#ătură care $ati$ace o cele!ră teoremă. a lui Meusnier. din geometria suprafeţelor:

Bcos 7r =

Deoarece r ≡ x $e o!ţine *n continuare. prin utilizarea relaţiilor:.

Din cele de mai $u$ rezultă $emniicaţia #eometrică a razei de cur!ură a primului ;ertical I 007 .V

c

a

B

r ===

cos

5

Bcosc

4

Bcosax ==

S(B)

Z ≡ z

S(3)

x

90°+

BB

r ≡ x

S0

O z

0e o!$er;ă că i raza de cur!ură a primului ;ertical are o ;ariaţie de la ecuator la pol. cre$cnd *n mărime odatăcu creterea ar#umentului ,:

-a ecuator. unde , 7°. rezultă: -a pol. unde , <7°. rezultă:

;

;1

0

0

a "

=

=

;

;1

90

90

ac "

V

>=

=

;90

c ! =

;)1( 2

0 aea ! <−=

.00

" ! <

Iumai la pol cele două raze de cur!ură principale i I $unt e#ale. ?n celelalte $ituaţii raportul dintre razele decur!ură ale $ecţiunilor normale principale ;a i:.

1Bcos"15 7 222 ≥′+== ezultă I ≥ . moti; pentru care raza de cur!ură I a primului ;ertical $emai numete i marea normală.

b

ac 7

2

9090 ===

7/24/2019 GeoAn2


Meusnier theorem

@n dierential #eometrG Meusnier's theorem states

that all cur;e$ on a $urace pa$$in# trou# a #i;enpoint p and a;in# te $ame tan#ent line at p al$o a;ete $ame normal cur;ature at p and teir o$culatin#circle$ orm a $pere. Te teorem Ja$ ir$t announced!G Kean ,apti$te eu$nier in 1''6.

7/24/2019 GeoAn2


Raza de curbură a unei secţiuni normale oarecare

r

ri$'

,"r#ica'

"riian$' $nc#$'$i S

ara'"'$' $nc#$'$i S

O

B

8

S0

!

S

(c)

0e con$ideră un punct 0 pe elip$oid ($ituat pe un anumit meridian i pe un anumit paralel). Prin ace$t punct $e

poate duce normala I la $upraaţă (o unică po$i!ilitate). Prin normală trec o ininitate de plane normale. careinter$ectează elip$oidul după secţiuni normale. iecare a;nd o altă rază de cur!ură.

Azimutul A e$te un#iul ormat de cur!a c (directia 00) cu direcţia nord a meridianului. 0e poate demon$traformula Euler de calcul a razei de curbură a unei secţiuni normale. de azimut A

# ! # "

!" $ # 22 sincos +

=

Din relaţia de mai $u$ $e o!$er;ă că raza de cur!ură a unei $ecţiuni normale oarecare e$te exprimată *nuncţie de azimutul $ău A i. *n cazul elip$oidului de rotaţie. de cur!urile $ecţiunii meridianului () i. re$pecti;. aprimului ;ertical (I).

Aa cum e$te cuno$cut. ;alorile extreme ale uncţiei $e determină eectunduC$e prima deri;ată *n raport de;aria!ila con$iderată (A). care $e e#alează apoi cu zero: !

1

( ) ( ) 0 7!2sin7

1!cos!sin2!sin!cos 72

7

1

1

! !

=−=+−=

∂∂

(1)

(2)

7/24/2019 GeoAn2


ezultă că ;alorile extreme ale uncţiei (1) au loc *n următoarele două cazuri.(deoarece I ≠ ∞):

%azul &'

sin 2! < 0. c""a c" s" oa#" r"a'iza =n o$- si#$aii ! < 0%

*i a#$nci s"ci$n"a nora'- a,$#- =n ,""r" "s#"s"ci$n"a "riian- *i r"s"c#i, "n#r$ ! < 100% *i a#$nci s"ci$n"a nora'- consi"ra#- "s#" s"ci$n"a

ri$'$i ,"r#ica'. c""a c" s>a "ons#ra# =n c$rs$' an#"rior.

%azul &&'

< 7. si#$ai" =n#'ni#- 'a o'i. confor c"'or "ons#ra#" =n ara%raf$' an#"rior. as#f"' =nc# s" oa#" scri"

.

o#i,ai" "n#r$ car" c s>a n$i# raza de curbur( polar(.

Observaţie /in si#$aia "xaina#- 'a cazul & . r"z$'#- c- s"ci$ni'" nora'" rincia'" s$n# "r"nic$'ar" =n#r" "'".

b

ac 7

2

9090 ===

Raza de curbură a unei secţiuni normale oarecare

7/24/2019 GeoAn2


Raza de curbura medie Gauss

edia aritmetică a razelor de cur!ură ale $ecţiunilor normale care trec printrCun punct$ituat pe elip$oid. atunci cnd numărul ace$tor $ecţiuni tinde către ininit. $e numete razămedie de curbură $au rază medie auss. notată !

∑∆−π=

=→∆

∆π

+= # #

# #

#

# ! # " !"

$2

0

22

0 2sincos'i

! < 0%

S

!i

∆!

! < 100%

Pri;ind *n lun#ul normalei I care trece prin punctul 0.meridianul (A 7#) i primul ;ertical (A 177#) $e reprezintă *ntrCun plan

tan#ent la elip$oid. *n ace$t punct. prin linii drepte. /elelalte $ecţiuni normale(de azimut oarecare Ai) $e reprezintă prin cur!e. @nter;alul dintre ace$tea e$te

con$iderat init (mic) ∆ A

-a limită. cnd ∆ A → 7. $uma din relaţia (3) $e poate *nlocui cu următoarea inte#rală:

.

1

cos

1

sincos

72

sincos

2 2

0

2

22

0

2

0

2222 ∫ ∫ ∫ ππ π

+

=+π

=+π

= d#

tg# "

!

# "

!

# ! # "

"

!

!" d#

# ! # "

!" $

Pentru calculul inte#ralei. $e introduce următoarea $cim!are de;aria!ilă

+#+!!cos

1

7

##%!

7

2

=⇒=

.2

; 00 ∞=⇒==⇒= t #t # π

cu core$pondenţa dintre limitele celor două ;aria!ile A i re$pecti; t

(3)

(4)

(5)

7/24/2019 GeoAn2


Raza de curbură medie Gauss

A$tel expre$ia razei medii auss (4) de;ine :

20

1

2

t

dt !" $

+π

= ∫ ∞

!" !" arctg !" =

−π

π

=

π

= ∞

0

2

2|

2

0

@ntroducnd *n ultima ormulă relaţiile cuno$cute (') i (+).

rezultă că *n punctul 0 con$iderat raza medie auss este:

22

2

1

2

5

c

4

)"1(a =−=

aza medie auss ;ariază de a$emenea *n uncţie de latitudinea #eodezică ,. *nre#i$trndla el ca i I. o cretere de la ecuator (, 7°) la pol (, <7°):

;0

ab $ <= ac

e

a $ >=

−

=2

1

2

90

)1(

aza medie auss are o aplica!ilitate deo$e!ită *n geodezie i *n cartografia matematică.

3

2

4

)"1(a

−=

5

c

4

a

Bcos

r 7 ===

(6)

(+)(')

(<)

7/24/2019 GeoAn2


( )

( )

( ).

;,

;,

B Z Z

L BY Y

L B X X

===

%orma ecuaţiilor parametrice: ecuatiile parametrice ale elip$ei meridian ec. par. ale elip$oidului de rotatie

2

2

2

222 1

a

b

a

bae −=

−=

12

2

2

222| −=

−=

b

a

b

bae

Prima excentricitate:

A doua excentricitate:

a

ba f

−=

Turtirea :

b

ac

2

=

aza de cur!ură polară :

01 bz

ax)z,x(f 2

2

2

2

=−+=

5

Bcosc

4

Bcosax ==

5

Bsin)"1(c

4

Bsin)"1(az

22 −=

−=

.5

Bsin)"1(c

4

Bsin)"1(a

Z

;5

6sinBcosc

4

6sinBcosaY

;5

6cosBcosc

4

6cosBcosaX

22 −=

−=

==

==

2122 )Bsin"1(4 −=

2122 )sin1( BeV +=

# ! # "

!" $ # 22 sincos +

=

3

2

4

)"1(a9

−

=

V

c

a " =="#!M$%E $&%E

geoan2

Documents