DANA IOANA ALEXAN DRESCU ANA ELISABETA NAC H I

GABRIELA LAURA FRiNCU IOLAN DA POPESCURoDrcA MAnActNEANU LTLTANA MARTA ToDERtuc

GABRIEL vniNCEAN U

CLASA A V.A

r'ORINT

EDUCATTONAL

GAIET DE VAGANTA

CU?R.INS

Tema I - Numerele naturale: scrierea, reprezentarea pe axi, aproximarea ..........4

Tema 2 - Adunarea ;i sclderea numerelor naturale ........7

Tema 3 - inmullirea numerelor naturale .......................10

Tema 4 - Puteri cu exponent numir natural........ ..........13

Tema 5 - Compararea puterilor numerelor naturale ........................16

Tema 6 - impi(irea cu rest a numerelor naturale...... ......................19

Tema 7 - Ordinea operatiilor cu numere naturale...... ......................22

Tema 8 - Divizibilitatea numerelor naturale; divizori qi multipli... ....................25

Tema 9 - Sume de numere naturale ...........28

Tema 10 - Media aritmeticd a numerelor naturale...... .......................31

Tema 11 - Ecuatii gi inecualii in mul{imea numerelor naturale .........34

Tema I"2 - Metode de rezolvare a problemelor............... ...................37

Tema 13 - Mullimi - defini{ii.... ...................40

Tema 14 - Multrimi flnite gi mullimi infinite ...................43

Tema 15 - Operatii cu mul1imi.. ...................46

Tema 16 - Fractiile in raport cu numbrul I ................. .......................49

Tema 17 - Fractii gi procente .......................52

Tema 18 -Amplificarea qi simplificarea fractiilor ..........55

Tema 19 - Reprezentarea fractiilor ordinare pe ax6......... ..................58

Tema 20 - Frac{ii zecimale finite .......... .......61

Tema 21 - Frac{ii zecimale: comparare, ordonare, reprezentare ........64

Tema22 * Operatii cu fracJii zecimale ........67

Tema 23 - Frac{ii zecimale cu exponent numlr natural........ .............70

Tema}A - impl4irea numerelor naturale .......................73

Tema 25 - imp[4irea fracliilor zecimale finite.......... ........................76

Tema 26 - Ordinea operatiilor cu fractii zecimale ..........79

Tema27 - Media aritmeticd a fractiilor zecimale..... ......82

Tema 28 - EcuaJii gi inecua{ii cu fractii zecimale..... ......85

Tema 29 * Uniteti de misurl pentru lungime, arie, volum ................88

Tema 30 - Uniteti de m6sur[ pentru capacitate, mas6, timp. .............91

N,*wrlrrerl* twlu,ra,ll,:sor ipren, r?-proz!.wfurea,w ry-a, wr*twr*rea"

Numerele naturale se scriu cu ajutorul cifrelor arabe: 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

$irulnumerelornaturaleeste: 0, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10, 11,12, 13,14, 15,...Tabelul de numera{ie este:

Clasa Clasa miliardelor Clasa milioanelor Clasa miilorOrdinul 12 11 10 9 8 7 6 5 4

Ordinulin clasl sute zecl unit6li sute zect unitili sute zeci unit

4620Exempla

Scriem;i citim numdrul din tabel: 4 620 381 ++ patru milioane $ase sute douizeci de mii trei sute

optzeci qi unu.Aproximarea prin lipsl p6nd la zeci (sute, mii etc.) este cel mai mare numdr, mai

numirul respectiv, format numai din zeci (respectiv, sute, mii etc.).Aproximarea prin adaos pAn[ la zeci (sute, mii etc.) este cel"mai mic num5r, mai

num5rul respectiv, format numai din zeci (sute, mii etc.).Rotunjirea pAni la zeci (sute, mii etc.) este aproximarea prin lips[ sau prin adaos cea mai apropiati de

num[rul respectiv; in cazul in care sunt la fel de apropiate, se considerd aproximarea prin adaos.

1. Completa{i cu cifrele numerelor de mai jos in tabelul de numera(ie:

a) 4 940 345 234; b) 2 938 300; c) 235 452 t}l; d) 200 200 020 000.

Clasa miilor Clasa unitl

sute

2. Completali cu unul dintre semnele < sau >:

a) 444 456 56s 444 565 656; b) 5 768 5 786; c) 124 312 99 899.

3. Care este cel mai mic numdr natural scris cu 6 cifre, in care cifra zecilor de mii este 8, iar cifraunitSlilor din clasa unitSlilor este 7?

Dar cel mai mare?

/ cwwfi+r*rea., Wo'lcfuea" i. wbt1a"-re,a, vvu-$/q.roltr t*t*ro.Lo;

Clasa uniti{ilor3 2 I

td\i sute zecl unit6li

3 8 1

i mic sau egal cu

mare sau egal cu

TEMA L tw ul**A UILA ^.e vtyw *$LWL dtrfrre:

Clasa milioanelor12 11 10 9 I 7 6 J 4 3 ) I

sute zeci unit[ti sute zect unititi zect unit6ti sute zecr unititia)

b)

c)

d)

4. Completa{i tabelul:

NumirulAproximarea la nivelul

zecilorAproxintarea la nivelul

miilorAproximarea la nivelul

sutelorprin lipsl prin adaos prin lipsi prin adaos prin lipsl prin adaos

s6 834

24s 026

45 248 467

5. Scrie{i cu ajutorul

a) dou[ mii qapte;

cifrelor urm[toarele numere :

b) un milion patru sute qaizeci de mii trei sute opt;

c) cinci miliarde douizeci qi unu de mii trei.

6. a) Reprezentfiipe axa nu-

merelor punctele: B(3), 3c(s), D(7), E(10).

b) Scrie fi coordonatele

punctelor M, N, P, Ireprezentate pe ax6.

ut-lOP,A/Mo

7. Determina{i toate cifrele care, inlocuindu-l pe n,verificd:a) n37n> 6375; b)4912<4941.

S.Scrielitoatenumereledeformaabcd,cucifreleo,b,cqidconsecutiveqia<b<c<d.

9. $tergdnd o cifrl a num[rului 349 518 791, care este numdrul r[mas, qtiind cd este cel mai mare

posibil? Dar dacd se qtie cE numdrul r6mas este cel mai mic posibil?

10. De c6te ori utllizdm cifra 5 pentru a scrie toate numerele de trei cifre? Dar cifra 0?

1 1. Se considerd numdrul 123 45 67 89 I 0 I I 12 13 | 4...20 I 120 1220 13 .

a) CA"te cifre are acest numdr?

b) Suprima{i 100 de cifre astfel inc6t num[rulc) Suprimali 100 de cifre astfel inc6t numlrul

ffiFffi&.*6mr*.€4pS";ffi;e.SMx{{fiel,zd.-

@$

rlmas sI fie cel mai mare posibil.

rdmas sd fie cel mai mic posibil.

S7" vr4, jt/"d,rw!

1. Folosind o singur6 cifr6, Andreea a notat prescurtat unele date din calendar

sub forma: 1.1.11 pentru 1 ianuarie 2011 sau 22.2.22pentru 22februatie2022.

De cdte ori, intr-un secol, data se poate nota in acest mod?

2. Completali careul urmdtor astfel incit sd compune{i qirul numerelor naturale cu secvente ori-

zontale sau verticale (nu qi oblice) formate din numere consecutive.

72

-77 84

88 q4

6q 65 6a 4

7L

5a

4A I 2a a5

56 30 24

4s 37

i

o#

aoo

a

ir. u-u-iln" U4,vrn v\& vtvw *wn 4L d'p,tprelI prq>r it-tdfi,lz a^dq,un"fuii ru,waore7.o-'r.

l-, - l-, wlq' vw

Ad,oqt*rea' tlL *cidzrea' ,wff;*scadtriinuwu,re.t,rt - f rlfo'wturo-\Ttt/ ',oo.oqnw ^.1*t/w14Lt-oTyv/Wu?/fd"O-T tr"AthJ{A'Le. ,^a't,talo'

Numerele care se aduni se numesc termenii adunflrii, iar rezultatul adundrii se nume;te sumi.Numdrul din care se scade se nume$te desclzut, ce1 care se scade se numegte scdzdtor, iar rezultatul

sc[derii se numeqte diferen(i.Proprietdlile adundrii ;i scdderii numerelor natursle:

1. Suma a doui numere naturale este tot un num[r natural.

2. Diferenla a doul numere naturale este numdr natural dacl descdzutul este mai mare sau egal cu

sc[z[torul.3. DacI a + b :c, atunci a : c - b qi b : c - a.

4, Comutativitstea udundrii: a + b: b + a pentru orice numere naturale a qi b.

5, Asociativitatea adundrii: (a + b) + c: a * (b + c) penffu orice numere naturale a, b qi c.

6, Elementul neutru al adundrii: a + 0:0 + a: a pentru orice numdr natural a; 0 este element neutru.

7, Adundnd suu scdzdnd ucela;i numdr natural tn umbii membri ai unei egalitdli, egalitatea se

pdstreaTd:Dacda:6, atunci at c: b+ c qia-c: b-cin cazulincare c ( a.

8. Adundnd sau scdzind acela;i numdr naturul tn umbii membri ai unei inegalitdli, inegalitatea se

pdstreazd:Dacda < b, atunci at c 1b+ c qia-c1b-cincazulin care c ( a.

9, Sepot aduna Si scddea doud egalitd,ti: Din a: b qi c: d,rezultdcT* c: b + d qi a-c: b - d,dacdc4a.

10, Se pot uduna doar doud inegalitdli de acela;i sens: Dacd a < b qi c < d, rczultd a -r c < b + d.

11.Avem a - (b - c) : a * b -r c, dacdb ( a qi c ( b.

12. Avem a - (b + c) : a - b - c, dacd b * c 4 a.

1. Calculafi:a) 456 + 253: e) 4 980 -345:b) 3 678 +298: f) 476 + 346 + 298:c)706 895 + 4074d) s 609 -2346:

2. Complet a[i r enthatele operaJiilor :

a) 47 - (30 - 3):b)47*30+3:c) 2s8 - (t20 - 38) ,

d)258-t20f38:

3. Completati tabelul aldturat,

g)3 567 +234-169:h) s 786 * 1 43s -981 -

e)463-256-44:f) 463 - (2s6 + 44)

g) s78 -378 - 89 :h) s78 * (378 + 89)

@d

a s22 90

b 34s 100

a+b 2s8 5 000

a+478 880 500 500

b-68 70

TEMA 2

4. Folosind proprieta[ile adun[rii qi scdderii, calculali sumele:

a)S,:14+53+42+86;b) E : 338 + 413 + 44 + 287 + 862 + 56;

c) S, : (74 + 37) + 159 + 63 + (841 + 26);

d)E: 3 + 5 + I +9 + ...+2013 -2-4-6-8- ...-2012;

#.._=-- .=y,

e) E: I 000 +999 -998 -997 +996+995 -994-993 +... + 4+3 -2-1.

a) Scrieli numdrul 7 ca sumd de doud numere naturale. Cdte solulii are problema?

b) Scrieli num6ru1 7 ca sumd de opt numere naturale.

6. Kilometrajul de la bordul unei maqini aratd23 935 km. Peste cari kilometri bordul maqinii vaardta, pentru prima datd,unnum6r egal cu r[sturnatul sdu?

7. Diferenla a dou[ numere este 443. Dacd unul dintre numere este 2 013, afla{i c6t este al doilea.

8. Ana, Cristiana gi Daria au suma vArstelor egal[ cu 29. Care va fi suma vdrstelor lor peste 4 ani?

9. Calculali suma: S: 9 * gg + ggg + ... + Tg-.g. ffi

-W10. Pe o tabl[ sunt scrise numerele de la 1 la 10. Nou[ elevi participdlaurmltorul joc: primul elev

qterge doud numere qi pune in locul lor suma acestora m5ritd cu 1, al doilea elev qterge dou[numere qi pune in locul 1or suma acestora mlritd cu 2, al treilea elev qterge dou[ numere qi

pune in locul 1or suma acestora m[ritd cu 3 qi aqa mai departe p0nd la ultimul elev. Ce numdr

rdmine pe tabl6 la terminarea jocului? (Fiecare elev joac6 o singurd datd).

Si." vq, j,)lrA,vw!

tr. Determina{i regula de scriere a termenilor urm[torului qir: 0, l,1,2,3, 5, 8, 13,21, ...

Scriind mai mu$i termeni, veli afla anul in care Mihai Viteazul a incheiat pacea cu turcii.Care este acesta?

inlocuili literele cu cifre astfel incdt sd reconstituili adunirile:

APA +

?PAA

Ve,rLfi*ro:

M,ct2

MARE +

AR.ERE

E

AR

E

Vwifiu"ro:

s

qoa6

SOARE +OARE

ARERE

E

oAR

Eq0630

VwLfru-rc:

5. Plasa{i restul numerelor de la I la 9 in cerculelele libere pen-

tru a obline pe orizontald qi pe verticalI suma indicatd inp6tratele de pe margine. Puteli folosi fiecare num[r doar o

singurl dat6.

iw *c.eq'& te^,LA vte vswv o*;*vtL d!,t?to:I y>r apr iltarfi,Le U,r,t,r.,&L'fw LL nt w*t rol.n

tetr*a,Ls.I y.r,1r,v,,,,u"qix?A, vr,t*wuerrdn-fwafir,fAJe

inmullirea este o aclunare repetat5. Numerele careinrnullirii se numeqte produs.

se inmullesc se numesc factori, iar rezultatul

Proprietdlile inmuQirii numerelor naturale:l. Comutativitutea: a' b: b ' a,pentru orice numere naturale a qi b.

2. Asociativitatea: a ' (b ' c): (:a ' b) ' c, pentru orice numere naturale a, b qi c.

3. Elementul neutru: a' 1 :1 ' a: a, pentru orice numlr natural a (numdrul 1 este element neutru).4. Distributivitatea tnmullirii fa{d de oclunare ;i de scddere:

a' (b + c) : a' b + a' c qi a' (b - c) : a' b - a' c,pentru orice numere naturale a, b qi c.

Observatie:Scriereadistributivitdliisubformaa'b+a'c-a'(b+c)saua'b-a'c:a'(b*c)poarta numele de scoaterea factorului comun.

5. Dacd a: b, atunci a ' c :6 ' c, pentru orice numere naturale a, b qi c.

6. Dac[ a < b, atunci a' c < b' c, pentruorice numere naturale a, b qi c, ct c f 0.

7.Din a : b qi c : d, atunci a' c : b' d, pentruorice numere naturale a, b, c qi d.8. Dac[ ct < b gi c 1 d, atunci a' c < b' d, pentrtorice numere naturale a, b, c qi d.

9.Produsuloriciruinumdrcu0esteegalcu0:a'0:0'a:0(sespunecS0esteelementabsorbant).10. Un numdr par este de forma 2fr qi un numf,r impar este de forma 2k + l, cu ft numlr natural oarecare.11. Produsul prirnelor n numere naturale nenule se noteazd cu n! qi se citeste ,,n factorial". Prin

convenfie,0! : 1.

l. Calculati:

a) 6 13: d)72 3t: g) 3as 4s0:h)689.490:i) 40 0s6 009 20 013:

e) 101 '14:f) 97 48.-

2. Calcula{i, utilizdnd propriet[{ile de asociativitate qi comutativitate ale inmullirii:a)298 5'10 2: ; b)25 80 57 4.5: ; c)2987.3428.t6.0:

3. Calculati nrai simpla) 16 8- 16 2

u, folosind factorul comun:

b)29 54+29.16:c)14't6-14'6:d) 83 213 - 213 63 :e)12 l9+3 4:

4. Calculafi folosind regula exemplificatdmaijos, apoi completali reztltatul.Exemple: 27 11 :21 '(10 + l ):27 ' l0 + 21 :2lA + 27 :297;

48 19 :48 . (20- t):48 20 -48:960 -48:9t2.

b)23 4:c) 18 l0:

a)36'11b) 47 , 2,1

nBMw#-,irye,*rt.:.#,IL:J

_&ffi"iu:{*ig*s-"

c)25'41:-;d) t25. 19 : _;

e) 130 29 :088 101:

TEMA 3

5. intr-un blister de medicamente sunt 6 folii de tablete. Fiecare folie confine 15 tablete. Blisterele

sunt ambalate in cutii confindnd cdte 20 de blistere. Determinali cdte tablete se afl6 in 15 cutii.

6. Circuitul de Formula I din Catalunia de la Montmelo are lungimea de 4 655 m qi trebuie par-

curs de 66 de ori. Cdfi metri parcurge un pilot care terminl cursa?

l.Dafia qi bunica ei planteaz[ flori. Daria planteazd 3 rfuiduri de flori, iar pe fiecare rdnd pune

c6te 15 flori. Bunicaplanteazd l5 r0nduri de flori, iar pe flecare rdnd pune cite 3 flori.

a) C6te flori a plantat Daria? C6te flori a plantat bunica?

b) Ce proprietate a inmulfirii reiese din cele doul rezultate?

8. a) Scrieli numdrul 15 ca un produs de doul numere naturale distincte. Scrierea este unic6?

b) Scrieli numlrul 15 ca un produs de trei numere naturale distincte.

c) Scrie{i num[ru] 15 ca un produs de 2013 numere naturale. Ce proprietate a inmultirii a]i

aplicat la aceastl cerinf[?

9. a) Determinali ultima cifrd a produsului:2 012 ' 2 013 ' 2 014.

b) DeterminaJi ultima cifr6 a produsului:2 012 ' 2 013 '... ' 2 019.

c) in c6te zerouri se termind produsul primelor 50 de numere naturale?

10. Dacd a: 23 qi b + c : 9, calculafi:

a)ab) ac: ;

b) 5a + 3b't 3c: ;

11. Efectuali calculele. Ce observa{i?

6,J:66 . 67:

666 . 667:

c)ab+ac-48: ;

d)9b+ 9c-3a: ;

e)23b*qc: ;

f) 9a -23b -23c:

6666.6667:

& sav,t,ju,aa,vwl

., ?'WOwifu" Urr,tt 4llttifiiin flecare casetd scriem produsul celor doud numere

Aflali numdrul situat in vArful piramidelor.

a) b)

situate in casetele aflate sub aceasta.{

2. Olxtutitvul 720Cu ce bile putem obline produsul

G6sili mai multe solulii.

-,, i t*tn wilrfi,re-a yu,+<*t**aytA,

in Evul Mediu, matematicienii arabi foloseau la inmultirede calcul expus[ alSturi.

Exemplu: 378 ' 127 :48 006.

Studiali aceastb metodd qi utilizati-o pentru a calcula:

a) 472 . 43; b)7 203 .24t.Indicalie: in careu se completeazd cu produsele ci-

frelor care alcdtuiesc cei doi factori astfel incdtcele dou[ cifre sd fie despdrfite de diagonala

cdsufei. La sfArqit se adund de la dreapta spre

stdnga cifrele inscrise pe intervalele oblice.

Determinafi num[ru] care lipseqte din careul

de alSturi:

11 t2 13 14 24

I 11 111 111I 1

93 92 9t 90 0

212 2 ttz 21 112 211 1t2 ?