algebra exercitii

7/17/2019 Algebra exercitii

http://slidepdf.com/reader/full/algebra-exercitii 1/12

-

Defini[ia

1.1,.

Se nurnegte

segrnent

orientat,

orice

perecrhe

orr]o-

natx

(,4,

B)

e

fixt3.

Punctele

A

rsi

B

se

vol

nurni

originea

qi respectir.,,

extremit:rtea

segmentului.

Segmentul

orientat

cu

a,ceste

extremitH, i

se

noteazd

si

cu

,48.

CAPITOLTJL

2

Vectori

libreri

L.

Segmente

orientate.

Vectori

liberi

ie

t3

spaliul

trirlimernsiorral

al

geornetriei

elementare;

elementele

Orice

rioud

puncte

distincte

vor

rcestui

spaliu

le vom

numi

puncte.

etermina

o unici

dreapt5,.

Dacx

punctele

,4

qi

B

suut

dist,irrcte.

atunci

acestea

determinfl

o

dreiiptd,

'urnitd,

dreapta

suport

a

segme*tului

qi

'otat

d,

,48.

Da,cx

originea qi

extremi{;atea

unui

segment

oriental;

coincicl

se otiline

segmentul

orientat

nul. notat

bt.

n

K

AJ

extreffiilat*a

n

X

S=*

*riginea

ex:r*$]it*i*$

a,

segrnentului

orientat

nul

este

originea

Observalii

1.

l)reapta

suport

nedeter-

minatd.

2. Pentru

orice

punct

,,4

e

€3,

(A,:\)

-

0t.

3. fE:

T

<+

"4:

B

Defini{ia

1.2.

Dou5,

drepre

din

t3

au aceeaqi

direclie

dacir

sunt

palalcle

sau coincid.

Jre3relw

L./..

ucmonsti^alra

se rr:zumd

la

vcrificarca

pr.opr

iotalilor

unci

rclaiii

de ecirir.alen 5

(r'efiexivitate,

sirner,rie

qi

tranzilivita,te)

pentru

relatr1a

"aceeaqi clirecrlie"

qi

o

ldsXrn

cititorului.

;lttoru

rle

echiru,len fl

a

uneri

clrepfe,

rezultatx

prin

factolizare

pe

lmrrllinrea

clrcptc,lol

din

s1>a1iu

in

rapolt

r.u

relaliade

,,:rc.ccaitri

rcilec1icr".

ig

va

nrrmi

*re^c{ia

drePtei

r*tpo.ii.-*.

-

*a-*az^,rt*



28

2.

\,.ECITORI

LIIIERi

\[

.f',l.ti.i

o

''ciileclie"

estc

o farnilie

cler clrepte

paralele,

orice

dreaptX

''clin

fa,milie

fiind

un

reprezenta,nt

al

acesteia.

ff[Definitri

a

L.4.

Doud segmente

cirienta,te

rrerruie

a,u

aceeqi

rlirec{ie

5 dre

rt

sunt

oaralele sau

coirrci<l.

Dernorrstril ia

se

rezurna

(arc)a

propr

relatir:i

de

echivalen 5.

iHObservalie.

Pentru

segmente

cirientate

nenule, direcliile

sunt

clir,sele

cle er:hiva,len 5

ale

clreptelor

suport,

relatir'

1a rela{ia

"aceeaqi

direr:lie"

pcntru

drepte.

(

Observalii.

1.

Oricare

dou5,

segmente

orientate

nule

au

aceea,qi

{

direc{ie.

I

Z. Direclia

uriui

segment

orientat

nul este

nedeterrtinatd,.

v

Pe o

dleapt[

se

pot stabili dou[

gi

numai

doul

sensuri

de

parcurgere

notate

prin

s5geli.

.ft

Defini{ia

1-.6.

Se

nurneqte

dreapt5

orientatd

o

dreaptS,

pentru

caic

s-a

stabilit

un

sens

de

parcurgerre.

_*

Observalia

1-.7.

Orice

segmelnt

orientat

AB

determini

un

setls

de

parcurgelre

al

<lreptei

suport

,'{B

qi

anllme:

sensul

de

la

-4

cilfue

B.

JPentru

segmente

orienl;a,te

cu a,ceea,gi

direclie,

putem

defini

relalia

|

"aceiagi

sens".

-&EXEa1L

a)

D-ouX segmente

orientei,te

nenule

cu

aceeagi

dreraptS,

suf6rt

a'r-,r,-el-aqilens

dac[

sensurile

determinal,e

de

ele

pe

clreapta

su-

oort coincicl.

.

b)

DouX

segmente

orientate

nenule

paraiele au acrelagi

sens

dacd,,

in

pianll detcrininat

de

dreptele

suport,

erxtremit:ilile

lor se aflX

in

acerl:r,gi

serniplan

fa15, de

dreapta

care

uneqte

originile

segmenteior.

Teorema

L.9,

R,clalia

bi'nard'

"acelag'i

sens"

este o

rela{i'e

d,e

ee:h,r,pa,l,eplii

1se

n^tu,l$irn,ea

segnt,r:n,telor

orze.ntal;e,

nen,u,le:

cu

aceeagi,

di,rectze.

lleorema

t7.6.L'

R

cl,

o,finn *t

t unt

{

,,,

i.ual,enti'De

rt.uLl.t'rt na, seq

rnent

e.l

or

i

rli.re.r.tie"

este

o

rela.fi,e

rle

o ri, e rt,tut e ne;r

rul e.



f..

q"

ffi

irr

ft-

''

'a)

eciriralen{X;

tui

lrozitir'.

Un segrnent

orientat

are

lurrgimea

zero

cla,c5

si

numai

dac;d

este

segmentul

nul.

Definitia

1.11.

pqqd

peg5nenle

orientzl,te

eu

aceeaEi

rrrngime

dac[.

rn

e;nlgle

lleorien

f a te c<I'esn

rrniSt

oa

Ie

&

Teorema

_/.

__ _

;;_-.

-eglfi

g(Lleptrplzerydtr'ine,a-egwf,ntelarqri,entgtzd,i,,ups&itL

DpvrolsrllATrE.

Din

Definilia

1.11.

qi

faptul

cH,

relafia,

de

congruerr{5

a

segrnentelor

neorientate

este

o

relalie

tie

er*rivalerrlX

rezultS,

conciuzia.

lil .

Defini{ie

-1.13.

DouS

seq^men1;e

orientate

nenule

se riumesc,

lltechipoiq,nte

daq.a_gu,acegrr

directie.

acelasi

sens

si aceeasi hrnr

\rom nota

faptyl

f\AB

este

€gbigglQilt,

"u

Crt

prin

.TF

-

Cfi.

6'ffiffi

{

i,-iil'

il

f;iffiffi

;,;'l

#

",

i

"i^i,;

ciiivalen{5, pe

multrirnea,

segnentelor

orienta,te

nenule.

DpivromsrRATrE.

In

corrdiliile

Definilici

f

.i3,

corrcluzia

rezultx

clin

Teoremele

1.5,

1.8.

i.12.

In

plus,

relalia

se

poate

c'xtincle

la

rnullimea

tutur.or

segmentelor

orientate

din

spaliu,

convenind

cX

oricare

clou5

seqermente

orientate

rurie

sunt

echipolente.

Ilelatia,

extinsx

r5,mane

rela{ie

de

echii.alen

|

_\'ectorjj

iiberi

se noteilz5,

de

obicei, cu

litere

mici

cu

barx

clerasupra:

\a,b,e,.

.

.,

iar

in

desen

se reprezintx

printr-un

segment

orientat

ales

ca

/r'eprezerrtarrt.

,{stfel

r,'ectorii

liberi

se

inai

noteaz5

qi

prin

AB,eD,.

. ..,

\i

putenr

spurle

tF,

TE

€

JB.

^{SIVa. +J

t.

Rerl*ti'la

rcrlalia

,,acela4i

seus"

pe

rn'ilimea

ment;elor

orierrtate

cu

:r,ceeaqi

direclie,

existx

cloa,r

cloux

clase cle

vectorul

iiber

corespunzxtor

clasei

segmentelor

orientate

nule

se

numegte

l'ectorrrl

nul

qi

se

noteazX

cu

0.

Lungimea

vectorului

liber

a

se

r.'a

nota

prin

llall.

\4u} ime

vectoriior liberi

cli*

sp:r,fiul

tridimensional

o vorn

nota

{.ru

de

l:.i.

v

1.

SEGX,{ENTE

ORIENTATE.

1IECTORI

LIBERI

irsul

initi

ef

i{ie

L.15.

plasele

*l"tl\

JA'.bfialg

ecliipqJpr4i

ffi

tate

reprezentative

)

Ur

l.:t?r.[ber.la

ff-ZaracteriruTa..i

a@

acestea

fiind

clireclia,

sensul qi

lungimea

cotnffia

segmentelor

orien-,



30

2.

\,'EC]TORI

LIBERi

if

Definitia

1'16'

Se

numeqte

versor

orice

'ector

liber

de

iungime

1. Un

\iersor se

noteazX,, cle

otricei, cu

Z.

(clar

qi

cu

i,

i,

k).

Definilia

1.1"7.

Doi vectori

liberi

care au

aceeagi

clireclie

se

nnrrlesc

coliniari.

+

Doi

r-ectori

c:oliniari

('al'e

ali aceeaEi

lrtnginie

qi

settsuri

opllse

se

nurlesc

vectoEi opuqi.

DacX a estet

un

vector

iiber atunci

opusul

acestuia

se

noteaza

Doi

vectori libt.gi.sunt egaii dac5

reprezentanlii

lor

sunt

erchi

len

OricXmi

punct

-e

€z

ii corespunde

un

unic;

r'ector

liber

u

€

l'.:,

segnrentul

orient;at OI,f

ftind

un

reprezetrtatrt

al acesl;uia.

Reciproc,

oricfrui

vector iiber

O

€

I/'s

ii

corespttnde

un

unic:

ptittct

A,[

e

t;t

astfel

inc6"t

OI't

s5

fie

un

reprezentant

al lui

u.

in consecitr{:i,

cot'espondenla

bijectiv5,

intre rnui{irnile

t3

qi

\"3

este

pusir

in

er-idcnld.

g

*\i'ctcrrul

lilrer

u:

OAI

sc l]Lllncttc

vectonrl

de

pozitie

al

nttttcr-

t

rrlrii

:if relati*

la originea O.

---:---:

-

DnttoNs'rnalre.

Fie

O

€

t3

iin

purrct

fixat numit

origine'

"

2. Operatii

cu

vectori

liberi

*

in acest

paragraf

vom

introduce

pc

rnullimea vectorilor

liberi

din

spaliu

1,'3

dou5

opera{ii:

adutrarea

vectorilor

qi

inrnullirea vectorilor

cu

scalari

reali

qi

vom

arXta

cX I/s

este un

spaliu vectorial

real

in

raport

cu

acestr:

operralii.

2.1. Adunarea.

Defi.nigia

2.1.

Fic

a

Ai

b doi

vectori

liberi.

Pentru

a

aduna cei

doi

vect;ori

putem utiiiza

rrna din

urm5toarele

dou5

reguii

ec;hivaletrte:

'.1)

R.equla

triunghiului:

dac5 Ol este un reprezenta,nt

ai

vec;toru-

lui a

qi

7E

ort"

un

reprezentant

al

vectorului

6, vectot'ul liber E avA,nd

ca

reprezentant

segtnentul

orient

ztt

O B se nutnegte

suma

vectorilor

a

ql

6.

in aceste

.or.Jiiii

putem

sc;rie: E: a

l-

b

ruv

Ort

:

OA

+TE.

rop o z i

i

e

rrfUn'ffifmA

&gl\TTi

o

ff

d,

tn tu'

-

o

c tt

rc

p

o

n'

d' e

n,{ ri

i,ilecti,t,d, rr,nic dete:itnr:inatri

de

.firareu

'u,rzu'i

ytu,n,ct

O

e

tsl



2.

OPERAfTT

CU

\,'ECITORr

r,iBERr

Observafia

2.2.

Adunarea'ectorilor

iiberi

*:

\4j

x

I/.r *

J,/r,

care

asociazx

fiec5lei perechi

de vectc.'ri

liberi (a,6),

vectorrrl

lilier

a

+

b,

este

lege

de

coinpozilie

intern5, pe

I,'3.

Se

poate

ar6ta

cx rrectorul

iiber

7

:

a

*

b

nu

depinde

de

alegerea

punct;ului

o, cleci

legea

este

bine

definit5,.

tl

*

*

zi

Regula

paralelogramului:

dacd

Ol

€

a

qi

oi

,b

astl'cl

i'cat

segmentele

o{ientate

o,1ai

oB determind

un

paralelograrn,

aturrr:i

diagonala

oC_a a,cestui paraleloglam

este

un reprezenta,nt

al

vectorului

liber

Z

*-

o

+

6,

nurnit

surna

yectorilor

A

Si

b.

Dptirrclt;srRATrtr.

\,bm

dcrnonstra

a-"ioFele

grupuiui

comutativ

folosind

definitria

de

mai

srrtQi

reprezentiri

geometiice

sugestive.

1)

asociativitatea:

{r

+

(6

+

z)

:

(a

+

6)

ie,Va,b,z

e

Vz.

Alegem

oA.IE, respectiv

nd

,oreprezentanli

ai vectorilor

liberi

a. 6, respecti'

F.

-{trrirc|

o(t este

reprezent?}nt

atat.

pent,r.u

n

+

(b

+ r)

cat

gi

pentru

(a

+-

6)

*

e aga

curn

reiese

gi

clin

figririle:



'lt

2. VECTORI

LIBERi

2)

c:'miri*'tir-itatea:

a

+E:6+

a,V'?.6

e

Ii'

'\lcgii*d

01

'

o

qi

OB

a

L,

cornutativitatea

reiese

din

reprezerltarea

geometric5:

----+

Di'

regula

praralelogr*mului,

OC

este

reprezenta,nt

pentru

a*b,

iar

clin

--)

BC

,.gulu'tri,righiului

(clin trirrnghiul

OBC.

1inA,ild

cont

de

faptul

cX

€

a),afi'('st(r

iln

rcpr('zcntant

pentlu

6

+

n'

3)

Eviclent,

0 este

eleirent

neutru

petttt'u adunarea

vectorilor,

adicS'

a*U:

U*o:0,v0t

13.

J\ Fr,irlerrt. olir:e eientettt

I

al

LI]\.rv r't

vr^

s

admite

simetric,

lii

a'nune

oprisui

sau,

-,?)

€13-adicaA+(-

rcd at.a,z.r...,rzn

sunt

n

)

3

r'ectori

iiberi

qi

t

-T---7

-^

A 1' r;-

,-+"-,.;

orr.,.. .,anfnlilnr

0T,

ad".

AtE,

€

G,

.

.

' ,

t"-'q|

€

on'

abunr:i

suma

vectorilor

ft1,a2,...,an

esto

vectorul

lihcr

E

al

ciirtri

t't'prczetttant

eS

Oal"anln

acesfc:gg$ii,

scriem

c:

at+a+

"

'+o"

sau 0

{,

:

O'{r

*

'41-121-

..

'

*

An-tAr,

iberi

Pcrmite

gener:riizarea

ffiUi

triunghiului,

pu$tn

t,

Z

3

utttoti,'

pol1gg4lgi

st*e*b'



2.

OPtrRATII

CU

VECIT0RT

LIBITRT

J,l

An

Definim

in

cele

ce

u'neazr

diferenla vectorilor

riberi

ca

opera.{ie

der:ivat5

din

adunare.

In g.ipul

comutativ

(\a,*),

ecualia

tt

+z:

a are

solulia

unicd

T

:

d

+

(-h),

pe

care

o notirrn

d

-

b

qi

o

nurnin,

airuruntr"

crintre

lcctorul

a

gi

r-et.tonrl

b.

^

,ra ;:J

--+

.{stl('r,

ctaca

U.4_€

d

1i

OB

€

0.

atunc.i

BA

(,ste

repl.ezcrntant

al

r.'ectorului

liber

a

-

&.

n r +

','

.r.

tnmultrrea

cu

scalari.

A

*-3

il*,r

td

(.T\,*)

este

grup

axiorne

din

definilia

,,

.

,,,

tF,

x

Vr-r

VS

a)

vs

+

o(,n'e

E.

d,'1.

a$il',

(ot,

a

49x

a

2.6.

lt:,

*,

.)

este

DptvtoNsr:naqrt

comutativ.

Justific5rn

in

cele

ce

s1;a iului

vectorial.

urmeazd,

celelalte

7)

7

.d,:

d,

Vn

E

J.,,

este

evident5.

2)

@r)a:

a(Ba),

Va,

J

e

R,

a

e 13.

se

demonst,reazii

imedia,t

folosincl

de{inilia

de

nrai

sus

qi

colsiderA'cr

situaliile

loll3unz5toare

s€mnelor

scalarilor

a

qi

i3.

J)

(o

+

lJ)A:

ad,

+

ph,yc.,lJ

e R.

c

e

li:.

Este

clin

nou imecriatd

cu

aceleaqi

consicrererrte

ca

mai

sus.

[i1.,

i

.gruJrul

aclitiv

com,r.atir-al

vectoriror

iiber.i

crin

spaiiu.

6ln,".jr,

i'troduce.

?.1ggo

de cornpozilie extern5,

aclic5,

o

fu'cqir:

dr,r

la

gX.,ll

?^,t"1,

nurnitd

inmultirea

unui

vector

liber

cu

un

scalar,

laenrxr,a

astlel:

_

_

ni{ia

2.5

{glni ig_3.q/Fie

cr

€

tR qi

a

€

ii.

.{rurrc,i:

aJ

a.a:

0,

da,c5

a:

0 sau

A:6,

(-=

ll_: 1fl"

1n

llector

je

ac;eeragi

ctirercEel-5i

acetaqi

sens

cu

a

qi

cu

un-gimea

eliali,

dacd

or

>

0;

):l::^este 1;1,

i'ector

cle

aceeaqi

di'eclie

rlar

de

sers

oprs

I.i

Z

qi

('u

lungunca

-olldll,

dacr[

o

(

0.



---

2.

\iECTORI

LIBERI

+)

u\(t

+a)

-

(Ia

+0{),

Vcr

€]K.O.b

€

Dac[

a

:

0 ega]itatea

erstel

evidernt5.

\rom

face demonstra,tia

in

cazul cl

>

Fie

O-{

€

a

qi

-48

€

b.

gturrci

(}B

-_

i

l;orul

sullla

u+t).

1"3

.

0, cazul

r.y

<

0

fiind

similar.

este

reprezentant

pentru

r,ec-

considcrAln

oC'

reprczeirtanl

perrtru

cn

si

o

D

reprezentant

pc,ntru

o:(a

*

&). Din reprezentarea,

geometricS:

rezult5

a,sernS,nalea

triunghiurtlor

oAB

qi

oCD

(au

un

unghi

comun.

iar

latrrrile

acestuia

sunt;

proporlionale).

At,unci

T$tlert qi

Ct

:

dAB,

aclicX

CD

este reprezentant

pentru

rlb.

in

consecin{X,

OE este

reprezentant

qi

pentnr

r,r'a

*

ab

qi

astfr,l,

demonstrali;i

este incheriai5.

@

Coliniaritate

qi

coplanaritate

In

a,cest

paragraf

r.,orn particulariza

rroliunile

de subspa iu

rectorial,

dependen 5 qi

inrlependernlx

liniard"

baz6, dimensiune

qi

coordonate,

pentru

spa{iul

verctoria} real

al

vectorilor

liberi

din

spaliu

l,ij.

alia

3.1.

OricS,mi

vector

7i

*

0

i

se

poate

Agpig"tlLreJ€gt

umit rre

Intr-adevzir

:

1,

adic5

0.6 €)ste

versor.

In

aceste

condi

Dn:nrerNsrR.ATM.

Iir baza obsen'a,liei

anterioa.re--

putern

scrie

a

:

ilall6,I

:

lit,llbo,

unde

a6'gi

ir6

sunt

rersorii

asociali

vectorilor

liberi

'a 'qi

6.

n.-ia.ni,

aceqti versori au

aceeaqi

dreal>tX

suport,

cleci

pot

fi

egali sau

oi:uqi.

Te

a,b

e$Da,ciii;gi,

b

su,nt

colini,ari,6

+A

'at'unci,

eristd, u

:grliu

sc,LLur raal

t

ustfcl

irtcdt

i

:

tu.



DacX

ct"

:

exist5 ,

:

]] ]1

ilatl

Dac5,6:

3. COLINI:\RJT..\TE

$I

COPLAIiARITATE 35

I

atunci

b:

llt:,llffi:

ljllla'o:

l]t,ll$o: Ba,

a..i

ll(rll ll0ll

€

JR,

astfel incA,t

b.:

1o,.

6:

ilfll6:

-i16llaa:

-lltll$u:

-Su,

'

ilail

llall

astfel inci,fth:ta.eci existX l:

Drl,roNsrn"ATIE.

ie

a,p

e

R

deoarece:

7

fu

€I'1+

llt

€

R

astfel

in<'At

b1

:

6

e

ti

+

if2

e

R

astfel incat

[:

Deci crll

I

ilb2:

(cLf1

*

dt2)n

e

\1.

'*a/J/

-D

\

Ei-iderit

{a}

geneleazl

Il,

Sd

oL,servd

gi

c6, dacd

a,

gi

exisrd

I

€

IR

astfel

incat

b

:

Atunci

t ,QT- r Ir

-l-

lru2

c

l'1

tfl

tza

deci d'irru(.\\)

:

1.

6

sunt

doi

recrtori

la.

a,tr

Iarl,olin

cleci

ari

0.

il ll

:

sunt

liniar

nden{i. Astfel,

Teorema

3.4.

t

lt

SUTt,t

(O

nuri, dacd

y:)ryi

da.c.L.qu

ttt

liLi ar de.Wndentd.

Dphaoi.{s'TRATIE.

Dacd cei

pulin

unui dintre cei trei vectori

este

nul

echii.'alen{a

este trir.ial5. aqa c5

in

cont,inuare

ii

vorn

presupune

nenuii.

"=+":

Presupunern cX

a,b,Z sunt

cotrilanari. Atunci

a

poate

fi de-

sconlpus

ca

surn5,

de

doi

vectori

coliniari

c;u

b,rrespectiv

Z._I)escom-

pnrlerea

se realize:r25, alega,nd

reprezent;ant,ii

O,4

e

a,OB

e

h,OC

ee

qi

construind

paralele

Ia,

OO

qi

OB

prin

prructtl

,4,

care

intersecteazX,

OB

irt

D, respectiv

OC

in E.

Segmerntele

cirientate

Ob

qi

OE surit

reprezentanli

pentm

cei

doi

vectori

din

descompunerea

lui

o

pe

care ii

notd,n

crr rra,

r'espet'tiv

ar.

-ttunci

a:

ao

*

ct

.

fu,nfl*rt

&,8,

E

e

onsecinta

3 Iultrimca

tLtturol- tectorilor

coliniari cu

rln

[or-

lTTx

a-\'r

:

{6

e

tr;lrt

e

m

astfel

inr:6,t

6

:

to}

este rnr-

subsr;atiu

vectoria,l de dirnensiune

I

in

1z:

liniaritate

a

rivaientS, cu

w

pnffffin-



-

36

2.

VECTORI

I,IBBRi

Deoalece

b

qi

o+ sunt

coliniali

<iin

Teorerna3.1,

rezultd

c6

exist[

tr

e

]R

astf'e}

inc6,t

ffi

:

tt6'

Sirnila,r' oxistir

t2

€

n'(

astfel

incAt

a":

trc'

Atunci

a:

t4b

*

tzE

I

o,

-

tJ

-.t'27:0,

cieci

a,b.e

sunt'

iinia'r

dependentri'

,,€":

Presupultem

A,6,.i'i*iar

r{epencler'deli,

adic5

exist5

t1,t2,t3

e

R.

nrr

toli

nuli,

astfel

incat tra

4

t2b

-t

fu4.:

A.

+

presupunem

tt

*

0.

Atunci

a

-

-

J6

-

9e.

De

aic;i

rezult5

c5

a.

f1

-lt

in-

fr

estr:

coliniar

cu

\rectorul

sutn5

al

vectorilor

b1

:

-tO

Ut

7t:

:7'

Dar

b1

coliniar

cu

b

qi

cr

coliniar

cu

E,

dec;i

a,b,c

coplanari'

Consecinla

:.S.

h4u]limea

tuturor

vectorilor

coplil,rrari

cu doi

v€tctori

r..;i;i;

i

qiT,,\\:'lz

€

i4lls./

e

lR astfei

i*cAt

E

:

sal-

f6]

este

un subspa,liu

vectorial

de

dimensiuue

2

iu

I't'

DBUONS.TRATIE.

Delmonstralia

este

asemirn[toare

cu

cea

a

consecinlei

g.3,

fiind

o

simpl5,

r'erificare

a defini{iei

subspaliului

vec;to-

riai.

Er,iclent

ta,tt|

constituie

un

sistern

de

generatori

pentru

1'z

qi fiind

nercc.riiniari

sgnt

liniar

intlepenclenli,

deci

lormeazi

o

trazH,

pentm f

i

qi

Declucern

clin

cele

lrrecizate

ariteriCrr

qi

cx

oric;are

trei

Vectori

Iiberi

necoplanari

sunt

liniar

ind<-:penrlerili'

iF

lfeorerrra

3.6.

ili,n?atur ,ea

spatriu,lni

uect,orztlJJ

uectorfur

l'ibeti

I

l,

i:.sfe

co,lfr.

cu

3.

ffi'Ar5t5,mcirtreivectorinecop1anaria.b,Zaleqi

a,leator

fot'meaz5,

o

baz5 pr:nt;ru

1'3'

Fiincl

necoplanali

cei

trei

vectori

sunt

lirriar

irrclependenli

cleci

rx,lpdne

de

derngnstrat

faptirl

cI

aceqtia

constituie

un sistern

rle

genera-

tori

pentr-u

i

3.

Pcntru

ar:eastzt,

cousiderdilr

un

alt

Yectol

iiber

d

e

i'3

qi

oi.'oB.o7,oB,l.el)rezeIlraiL1i

ai

vet'tolilor

a.

/,.l,

renlie"tir-d.

-\t

unci

,;";',1

,.'po*i.r

.l.rronrpune

clupir,

direcliile

'ectcirilor

a.1,

,.ui

E

ca

7t:

a.+6+

4.

Descoapunclrca

se

realizeazir

construind

prin

D

plane

paralJ.le

cri

planele

(BOC),

(C

O

A),

eA

B)

care

inlersecteirt-39.*I*

0 C,

0

A,respectir,

08

in

plI]91,-e19-t

i,

D2,D3'

Atunci

0

D

1,

O

D2'

O

D

3

srrnt

reprezentanli

pent,l'u

tt'o,

rJ6,

d'"'



.&îOEaY

f-i

,ul'-^ 't o

I

=

o

-.2

8-rl3=o

=).2=.t

o4 '

fxs'ft'IiL'ew

'

-

|

;

,-:

:

"l=

-qilof

Snunh.

afp&trnd=s.

o,'s-

(-i

1

llil=f)-

iiit"

"

\?i;;i?;f

'Yo

+M'

-p'd;A4ntâ6au

?

Yt,,uf,

"l.*erfr&/t

ty

otc.l&ttu

W"'oXf-Iru

A=tuBcPtJ1s

:

&\

i3:t

'r,

'r'

i

l&

&

4l

l2

L-2'

n

.l:o't

[t

-5

:+/

I

-G

-'

-1'^

I

Q.-z)(L-gtn+

+) -

eo

-te,

+

"te,c*-),)'r

{6-L)

+

4(Z+

1)'=

o4--)

(t--.,ztG)Cl"t+)-

&+

e"r-.tgA't,lg-*+

4*+{d-

o1=)

c,r.,3+

ti-

qt-

tuo&:

s

L

t

a

rt

)

-

.r

+*+

-

Az

=.

e

1:)

Jnu+

f+,rr

^'-e{-

/

+Y4

-43}

--22-

-t+fu

vr*al

-"ry'

-fuJ+2','*(z;'t)=o&)

zo(A-t)

t

(L-t):

o

G)

QLt)

(l-A)c,(

tH

=o

1\r::;-

iS"L

a."^/JUi

r"

)

x=

o&3'='

(A

trs

)

1,=.o-*l :;

:,":

Î'-'=

='"

.l'rYd"

r

r,f*

).1;)

:

I*$ri*,-:ffi}*="

-

#;{

-f,

-:

f,=

ri,;,:','

^:i',,i",2t-,*:Y;;

1

=

;, :

ft,|

,.x3

=,ttHA

L

6fr6i=>

drrnt,

\o",0-

#4

t''

a'

.-

'N*

*,

4ootr,

d&'4'

,,

xz%'+$

-f

$Xrt

X:-= -Xsf3<+

-{X:-:rxs

='{:-J

1"1-

f

l-e

x,

-f,x"=

61.

e,xt

--

{s

rj';ffiF

xs

=

491

X:-=

-d}-

=

tPC

,lr-,et

1)

|

f,e&3

:)

di*

Vlu,a:1

*a'"

/i;:

r

zrr*

L-

"'fu#r';$*-



4.

'ROTECTII

ORTOGONALIT

ALE

UNtrI

VECtT'l:t

LrBER

37

Decraerece

r[coriniar

t'u

u,fi

corirriar

cu

0

qi

4

co]iuia,r

cu

z,

'ezurtd

cX

e,xist[

dt,dz,r].s

e

R.

asti'el

inc:At

d,

:

tt,rd,.A

:

i;;;i

,1.:

dre. Arunci

d,:

-daa

+

d,2h

+

d,3a

gi

rleinonstraXiu,

.r1*

incheiat5.

sistemul

cle

scarari

(d1,

rr2-j'3)

elin ,remonstralia

anterioard,

reprezi'tX

coordonatele

vectorurui

rr

tn

l:a.za

{a,6,e}.

in

ai:este

conciilii

se

ftrlosesc

scrrierile

tl.:.

(rL

,

d2,

rfi)

qi

d(a,

,

tlz,

d,z)."

Baza

c:rno'icii

in

I"3

est,e

forrnati

ain

trei

'ersori

i,i,E

ca'e

a,u

lrroprietatea

cx

clrepteie

suport

aJe

re1;rezeritalr{iior

o,.l.rtoru

s'nt peF

pendiculare

rlou5,

c6,te

dorrx.

c'orclonatele

uriiri

l.ector

liber

in

baza

clanonicd

se

numesc

coordonate

euciidiene.

Co'siderXrn,

in

cele

cli'ur'rd.

r,ectorii

liberi

u

:

(ur,1r2,,t\)

qi

d:

("r,r-'",u3).

coorrlonatele

a,i:estora

fii'<i

exi;rirna,te

intr-o

baza

oa'ecilre

din

1,i:.

Atunci:

i\

*

J

) U:

?'

€)

u1

:'l,t.,tJ2:

?i1

.

?t3

: 1'1

;

6\

- -

)

1t

+,u

*

\tL1

*,U1,U2

*,t,2,.ttr2,

*

U3);

o\

JJ

A,ir

*-

(rr

i'1

.

(1,r,2,

cr?,3)i

a)

z qi

'r.r

sunt

cori*iari

clacx

qi

numai

<iacr

coorcioriateie

ror

sunt

propor ionale.

4.

proiec{ii

ortogonale

atre

unui

vector

liber

Fie

D

o

dreaptd

Ei

a

€

i,'

rin

'ecto'

Iiber.

consiclerxin

-+.8

a

a

qi

construim

prin,,{

Ei;f,

gl;ingie

pl

qi

p2

perrpenclicuiare

pe

drerapta

D.

No1,5m

{,4'}

:

D

)pt

$i

{8,}

:

D

nr.z.

f"r'

t:,,,

'

Se

poate

al\ta

cL_r'erctorur

riber

F.

avdnd

ca

repreze'tant

sergernerntul

orientat

-4,8,

nu

depinde

de

reprezentantul

ales

pentru

a.

vectorui

liber

7

se

nu'reEte

proiec{ia

ortogonarx

a

vectoru}ui

,

pe

clreapta

D

Ei

se

noteazd

np(a).

se

po'te

demonstra

cr

dacd

D1

qi

De

sunt

doux

drepte

paralcre,

iar

a

este

un

I'er_:tol

]iber

atlnci

rrnr(a):

TiDz(a).

in

consecintrd

proieclia

ortogon*lii

a

unui

r.ector

riber

pe

o

dreaptf

crerpincrer

numai

de

direcli:r

acesreia.

D*cd.

riolrrn

crr

u'eclorrrr

ribe-r

car.e

rrii

air:..1i,u

unei

cirepte

algebra exercitii

Documents