Determinantul unei matrice-exercitii-

I. Determinanti de ordin 2

Sa se calculeze determinantii de ordin 2 :

a)

Rezolvare: = 8 - 7= 1

b)

Rezolvare: = +

c)

Rezolvare: = + = 8+9 = 17

d)

Rezolvare: = ) – (-3+ - +1)

= -3 – (-2) = -3+2 = -1

II. Determinanti de ordin 3

Calculati urmatorii determinanti de ordinul 3 :

a) d=

Rezolvare: 2+0+0-0-0+2 = 4

b) d=

Rezolvare: 36+0-100-(0+24+0) = -64-24 = -88

c) d=

Rezolvare: 1+0+0-0-0-0= 1

d) d=

Rezolvare: 9 + 0+100-30 -36-0 = 9 - 30 - 64

III. Regula lui Sarrus

Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizează tabelul de mai jos.

(am scris sub determinant

primele două linii)

Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o diagonală descendentă este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: . Produsul elementelor de pe o diagonală ascendentă este cu semnul minus. Avem trei astfel de produse: .

Suma celor şase produse dă valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu de calcul se numeşte „regula lui Sarrus”.

Exemplu. Să se calculeze prin metoda de mai sus determinantul :

Rezolvare: Regula lui Sarrus.

Regula triunghiului

IV. Proprietatile determinantilor

1) Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adică

dacă  , atunci   .

      transpusa matricei A este  .

 

 Atunci  , iar  .

Prin urmare  .

 Ex: B=  = 8-6=2

= = 8-6=2

2) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.

    det =           det  .

Ex: d= = 4 0-5 0= 0-0= 0

3) Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau două coloane) între ele, obţinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei iniţiale.

Prin schimbarea liniilor se arata că exista egalitatea  .

Ex: a= = -16 +0-0+0+3-0= -13

b= = 0-3-0-0+16+0= 13

 

4) Dacă o matrice are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său este nul.

            

  det = 

Ex: c= = 15+12+24-15-12-24= 0

 5) Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt înmulţite cu un

număr  , obţinem o matrice al cărei determinant este egal  cu   înmulţit cu determinantul matricei iniţiale.

                    

Ex :  d= = 2

= 2(3

= = 22

 6) Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporţionale,

atunci determinantul este nul.

Ex : e= = -52+120-42+42+52-120= 0